Réduites de Jordan et similitude : corrigé du contrôle de maths en L3
Voici le corrigé du contrôle de maths en L3 sur le thème « réduites de Jordan et similitude », question par question.
Cette correction suit le plan d’une copie d’examen soignée. La question de cours construit un supplémentaire sur lequel l’endomorphisme est injectif, sans recourir aux espaces quotients. Pour la décomposition de Dunford, vous trouverez la relation de Bézout, puis les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques, calculés et vérifiés. Ensuite, un tableau de Young rempli par les vecteurs de la base montre comment se lisent les blocs de Jordan. Par ailleurs, un tableau récapitule les rangs des cinq types de nilpotents de taille 4. Enfin, le problème détaille le calcul du polynôme caractéristique, la base de Jordan et la formule des puissances. Le barème suit chaque exercice, de sorte que vous pouvez évaluer votre copie.
L’énoncé complet se trouve ici : Réduites de Jordan et similitude : contrôle de maths en L3.
Barème du contrôle corrigé : réduites de Jordan et similitude
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Sauts de dimension des noyaux itérés | 3 points |
| 2. Décomposition de Dunford d’une matrice 3×3 | 4 points |
| 3. Un nilpotent décrit par un graphe | 4 points |
| 4. Tableaux de Young et similitude | 3,5 points |
| 5. Problème : réduite de Jordan et puissances | 5,5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : réduites de Jordan et similitude
Exercice 1 – Sauts de dimension des noyaux itérés (3 points)
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Une suite de noyaux qui se stabilise
Si \(u^k(x) = 0\), alors \(u^{k+1}(x) = u\left(u^k(x)\right) = 0\), donc \(\ker u^k \subset \ker u^{k+1}\). Supposons ensuite \(\ker u^k = \ker u^{k+1}\) et prenons \(x \in \ker u^{k+2}\). Le vecteur \(u(x)\) appartient alors à \(\ker u^{k+1} = \ker u^k\), d’où \(u^{k+1}(x) = 0\). Ainsi \(\ker u^{k+2} = \ker u^{k+1}\).
Par récurrence, dès que deux noyaux consécutifs coïncident, tous les suivants sont égaux. Or \(\ker u^p = E\) tandis que \(\ker u^{p-1} \neq E\), par définition de l’indice. Aucune égalité ne peut donc se produire avant le rang \(p\). Par conséquent, \(d_0 < d_1 < \cdots < d_p = n\).
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Un supplémentaire sur lequel u est injectif
Pour \(x \in F\), on a \(u^{k+1}(u(x)) = u^{k+2}(x) = 0\), donc \(u(F) \subset \ker u^{k+1}\). Soit maintenant \(x \in F\) tel que \(u(x) \in \ker u^k\). Alors \(u^{k+1}(x) = 0\), donc \(x \in F \cap \ker u^{k+1} = \{0\}\).
Ce seul argument donne deux résultats. D’une part, avec \(u(x) = 0\), il montre que \(u\) est injectif sur \(F\). D’autre part, il prouve que \(u(F) \cap \ker u^k = \{0\}\). La somme \(u(F) + \ker u^k\) est donc directe et contenue dans \(\ker u^{k+1}\). Il vient \(\dim F + d_k \leq d_{k+1}\), avec \(\dim F = d_{k+2} – d_{k+1}\). Ainsi \(d_{k+2} – d_{k+1} \leq d_{k+1} – d_k\).
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Un diagramme de n cases
Le nombre total de cases vaut \(\sum_{k=1}^{p} (d_k – d_{k-1}) = d_p – d_0 = n\) par télescopage. De plus, la question 2 montre que les longueurs \(d_k – d_{k-1}\) décroissent. Le tableau de Young de \(u\) est donc un diagramme à \(n\) cases, de lignes décroissantes.
Exercice 2 – Décomposition de Dunford d’une matrice 3×3 (4 points)
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Polynôme caractéristique et rang
Développons \(\det(XI_3 – A)\) selon la première ligne :
\[\chi_A = (X – 3)\left[(X – 2)(X + 2) + 3\right] + \left[-3(X + 2) + 12\right] + \left[3 + 4(X – 2)\right].\]
On obtient \((X – 3)(X^2 – 1) – 3X + 6 + 4X – 5 = X^3 – 3X^2 + 4\). Or \((X – 2)^2(X + 1) = (X^2 – 4X + 4)(X + 1) = X^3 – 3X^2 + 4\). Donc \(\chi_A = (X – 2)^2(X + 1)\).
Dans \(A – 2I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -3 \\ 4 & 1 & -4 \end{pmatrix}\), la troisième ligne est la somme des deux premières, qui ne sont pas proportionnelles. Le rang vaut 2, donc \(\dim \ker(A – 2I_3) = 1\). Ce sous-espace propre est de dimension 1, alors que la valeur propre 2 est double : \(A\) n’est pas diagonalisable.
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Le projecteur fourni par Bézout
On développe : \((X – 2)^2 + (5 – X)(X + 1) = X^2 – 4X + 4 + 4X + 5 – X^2 = 9\), ce qui donne l’identité annoncée. Ensuite, le calcul matriciel fournit :
\[\Pi = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -3 & 3 & 3 \\ -4 & -1 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 3 & 3 & -3 \\ 4 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\]
Par le théorème de Cayley-Hamilton et le lemme des noyaux, \(\mathbb{R}^3 = \ker(A – 2I_3)^2 \oplus \ker(A + I_3)\), car les deux facteurs sont premiers entre eux. Si \(x \in \ker(A + I_3)\), alors \(\Pi x = 0\). Si \(x \in \ker(A – 2I_3)^2\), l’identité de Bézout appliquée en \(A\) donne \(x = \Pi x + \frac{1}{9}(A – 2I_3)^2 x = \Pi x\). Ainsi \(\Pi\) est le projecteur sur \(\ker(A – 2I_3)^2\) parallèlement à \(\ker(A + I_3)\).
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Construction de D et de N
On pose \(D = 2\Pi – (I_3 – \Pi) = 3\Pi – I_3\), qui agit par 2 sur le premier sous-espace caractéristique et par \(-1\) sur le second. Elle est donc diagonalisable. Ensuite, \(N = A – D\) :
\[D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.\]
Chaque ligne non nulle de \(N\) est orthogonale à chaque colonne, donc \(N^2 = 0\). Par ailleurs, \(D\) et \(N\) sont des polynômes en \(A\), si bien qu’elles commutent ; le calcul direct donne d’ailleurs \(DN = ND = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix}\). Par unicité, \(A = D + N\) est la décomposition de Dunford de \(A\).
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Une fausse décomposition
Les deux matrices proposées ne commutent pas : leur produit vaut \(\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) dans un ordre et \(\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) dans l’autre. En réalité, \(B\) possède deux valeurs propres distinctes, donc elle est diagonalisable. Sa décomposition de Dunford est \(B = B + 0\), et l’écriture proposée ne convient pas.
Piège classique : prendre pour \(D\) la diagonale de la matrice. Cette partie diagonale n’est presque jamais un polynôme en la matrice, et la commutation échoue alors.
Exercice 3 – Un nilpotent décrit par un graphe (4 points)
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Matrice et indice de nilpotence
Le graphe donne \(u(e_1) = e_2 + e_3\), \(u(e_2) = u(e_3) = e_4\) et \(u(e_4) = 0\). On range ces images en colonnes :
\[N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\]
Ensuite, \(u^2(e_1) = u(e_2) + u(e_3) = 2e_4\), alors que \(u^2(e_2) = u^2(e_3) = u^2(e_4) = 0\). Enfin, \(u^3(e_1) = 2u(e_4) = 0\), donc \(u^3 = 0\) sur la base. Ainsi \(u\) est nilpotent d’indice 3, puisque \(u^2 \neq 0\).
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Les noyaux successifs
Pour \(x = a e_1 + b e_2 + c e_3 + d e_4\), on calcule \(u(x) = a(e_2 + e_3) + (b + c)e_4\). Donc \(u(x) = 0\) équivaut à \(a = 0\) et \(c = -b\). Une base de \(\ker u\) est \((e_2 – e_3, e_4)\), d’où \(d_1 = 2\).
De même, \(u^2(x) = 2a\,e_4\) s’annule exactement quand \(a = 0\), donc \(d_2 = 3\). Comme \(u^3 = 0\), on a enfin \(d_3 = 4\). Les dimensions sont \(d_1 = 2\), \(d_2 = 3\) et \(d_3 = 4\).
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Lecture du tableau de Young
Les lignes du tableau comptent \(d_1 – d_0 = 2\), \(d_2 – d_1 = 1\) et \(d_3 – d_2 = 1\) cases. Ses colonnes ont donc pour hauteurs 3 et 1. La réduite de Jordan de \(N\) comporte un bloc nilpotent de taille 3 et un bloc nul de taille 1. La figure ci-dessous remplit chaque case avec le vecteur de base choisi à la question suivante.
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Une base de Jordan explicite
On part de \(e_1\), qui est dans \(\ker u^3\) sans être dans \(\ker u^2\). Sa chaîne est \(\left(u^2(e_1), u(e_1), e_1\right) = (2e_4, e_2 + e_3, e_1)\). On la complète par \(e_2 – e_3\), qui est dans \(\ker u\) mais pas dans \(\mathrm{Vect}(e_4)\). Les quatre vecteurs \(2e_4\), \(e_2 + e_3\), \(e_1\), \(e_2 – e_3\) sont indépendants : la coordonnée sur \(e_1\) isole le troisième, puis \(e_2 + e_3\) et \(e_2 – e_3\) sont indépendants et indépendants de \(e_4\).
Dans cette base, \(u\) envoie le premier vecteur sur 0, le deuxième sur le premier, le troisième sur le deuxième et le quatrième sur 0. La matrice de \(u\) dans la base \((2e_4, e_2 + e_3, e_1, e_2 – e_3)\) est la réduite de Jordan formée d’un bloc de taille 3 et d’un bloc de taille 1.
Exercice 4 – Tableaux de Young et similitude (3,5 points)
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Blocs et rangs de chaque tableau
Les hauteurs des colonnes donnent les tailles des blocs. De plus, \(\mathrm{rg}\, N^k = 4 – d_k\), où \(d_k\) est le nombre de cases des \(k\) premières lignes. On obtient ainsi le tableau suivant.
Tableau Lignes Blocs de Jordan \(\mathrm{rg}\, N\) \(\mathrm{rg}\, N^2\) \(\mathrm{rg}\, N^3\) (a) 2, 2 2 et 2 2 0 0 (b) 4 1, 1, 1 et 1 0 0 0 (c) 2, 1, 1 3 et 1 2 1 0 (d) 1, 1, 1, 1 4 3 2 1 (e) 3, 1 2, 1 et 1 1 0 0 Le tableau (b) correspond à la matrice nulle et le tableau (d) au bloc de Jordan nilpotent de taille 4.
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Deux rangs suffisent
D’après le tableau, les couples \((\mathrm{rg}\, N, \mathrm{rg}\, N^2)\) valent \((2, 0)\), \((0, 0)\), \((2, 1)\), \((3, 2)\) et \((1, 0)\) : ils sont deux à deux distincts. Ce couple détermine donc le tableau de Young. Réciproquement, deux matrices semblables ont des puissances semblables, donc de mêmes rangs. Ainsi deux nilpotents de taille 4 sont semblables si et seulement si \(\mathrm{rg}\, N\) et \(\mathrm{rg}\, N^2\) coïncident.
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Mêmes polynômes, et pourtant
La matrice \(A\) a la forme \(\begin{pmatrix} 0 & C \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) par blocs de taille 2, avec \(C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\) inversible. Donc \(A^2 = 0\), \(A \neq 0\) et \(\mathrm{rg}\, A = 2\). Par ailleurs, \(B = c\,r^{\top}\) avec \(c = (1, 1, 0, 0)^{\top}\) et \(r = (1, -1, 2, 0)^{\top}\). Comme \(r^{\top} c = 0\), on a \(B^2 = c\,(r^{\top} c)\,r^{\top} = 0\), avec \(B \neq 0\) et \(\mathrm{rg}\, B = 1\).
Les deux matrices sont nilpotentes, donc \(\chi_A = \chi_B = X^4\). Leur polynôme minimal divise \(X^2\) sans être \(X\), donc \(\mu_A = \mu_B = X^2\). Pourtant, leurs rangs diffèrent. Ainsi \(A\) et \(B\) ne sont pas semblables : \(A\) correspond au tableau (a), et \(B\) au tableau (e).
Piège classique : croire que les polynômes caractéristique et minimal suffisent à décider la similitude. C’est vrai jusqu’à la taille 3, mais faux dès la taille 4.
Exercice 5 – Problème : réduite de Jordan et puissances (5,5 points)
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Deux développements successifs
Dans \(M – XI_4\), la quatrième colonne n’a qu’un coefficient non nul, \(2 – X\), en dernière position. En développant selon cette colonne, puis selon la deuxième colonne du mineur obtenu, il vient :
\[\det(M – XI_4) = (2 – X)(-1 – X)\left[(1 – X)(3 – X) + 1\right].\]
Or \((1 – X)(3 – X) + 1 = X^2 – 4X + 4 = (X – 2)^2\), et \((2 – X)(-1 – X) = (X – 2)(X + 1)\). Par conséquent, \(\chi_M = (X – 2)^3 (X + 1)\).
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Rangs et forme de Jordan
Dans \(M – 2I_4\), la troisième ligne \((-1, 0, 1, 0)\) répète la première, et la quatrième \((-3, -3, 3, 0)\) répète la deuxième. Ces deux lignes ne sont pas proportionnelles, donc \(\mathrm{rg}(M – 2I_4) = 2\). Le calcul donne ensuite :
\[(M – 2I_4)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 9 & 9 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 9 & 9 & -9 & 0 \end{pmatrix},\]
de rang 1. Enfin, \(M + I_4\) est de rang 3, puisque \(-1\) est valeur propre simple. Pour la valeur propre 2, on a donc \(d_1 = 2\) et \(d_2 = 3\), qui est la multiplicité. Le tableau de Young a pour lignes 2 et 1, donc deux blocs de tailles 2 et 1.
La réduite de Jordan est \(J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\).
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Choix des vecteurs de la base
Prenons \(x = (-1, 1, 0, 0)\). Les lignes non nulles de \((M – 2I_4)^2\) donnent \(-9 + 9 = 0\), donc \(x \in \ker(M – 2I_4)^2\). En revanche, \((M – 2I_4)x = (1, 0, 1, 0) \neq 0\). On pose donc \(v_1 = (1, 0, 1, 0)\) et \(v_2 = x\), si bien que \(Mv_1 = 2v_1\) et \(Mv_2 = v_1 + 2v_2\).
Ensuite, la quatrième colonne de \(M – 2I_4\) est nulle, donc \(v_3 = e_4\) est propre pour 2, et indépendant de \(v_1\). Enfin, \(v_4 = (0, 1, 0, 1)\) vérifie \((M + I_4)v_4 = 0\), car la somme des colonnes 2 et 4 de \(M + I_4\) est nulle. La matrice \(P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\), de déterminant 1, vérifie \(M = PJP^{-1}\).
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Les projecteurs et la décomposition
Le polynôme minimal vaut \((X – 2)^2 (X + 1)\), et l’identité de Bézout de l’exercice 2 s’applique encore. Ainsi \(\Pi = \frac{1}{9}(5I_4 – M)(M + I_4)\) et \(I_4 – \Pi = \frac{1}{9}(M – 2I_4)^2\). La seconde formule se lit sur la matrice déjà calculée, et l’on en déduit :
\[\Pi = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\]
Puis \(D = 3\Pi – I_4\) est diagonalisable, et \(N = M – D\) est nilpotente ; elles commutent car ce sont des polynômes en \(M\). On obtient \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ -3 & -3 & 3 & 2 \end{pmatrix}\) et \(N = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\), avec \(N^2 = 0\).
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Formule du binôme
Comme \(D\) et \(N\) commutent, la formule du binôme s’applique ; de plus, \(N^2 = 0\) ne laisse que deux termes : \(M^k = D^k + k\,D^{k-1} N\). D’abord, \(\Pi\) et \(I_4 – \Pi\) sont des projecteurs associés, donc \(D^k = 2^k \Pi + (-1)^k (I_4 – \Pi)\).
Ensuite, chaque colonne de \(N\) est multiple de \(v_1\), qui vérifie \(Dv_1 = 2v_1\) puisque \(v_1\) appartient au sous-espace caractéristique de 2. Donc \(D^{k-1} N = 2^{k-1} N\). Pour tout \(k \geq 1\), \(M^k = 2^k \Pi + (-1)^k (I_4 – \Pi) + k\,2^{k-1} N\). Pour \(k = 1\), on retrouve bien \(2\Pi – (I_4 – \Pi) + N = D + N = M\).
Piège classique : choisir pour \(v_2\) un vecteur propre. Il faut un vecteur du noyau de \((M – 2I_4)^2\) hors du sous-espace propre, sinon la chaîne s’arrête dès le premier vecteur.
À retenir de ce contrôle
- Pour un nilpotent, les dimensions des noyaux itérés croissent strictement jusqu’à l’indice, avec des sauts qui ne peuvent que diminuer.
- Le nombre de blocs de Jordan de taille au moins k vaut la différence des dimensions des noyaux des puissances k et k − 1.
- Dans la décomposition de Dunford, les deux matrices doivent commuter ; elles sont alors des polynômes en la matrice de départ.
- En dimension 4, deux nilpotents sont semblables exactement quand ils ont le même rang et des carrés de même rang.
- Lorsque N est nilpotente d’indice 2 et commute avec D, la puissance k de D + N vaut D puissance k plus k D puissance k − 1 fois N.
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