Extensions et corps finis en L3 de maths : cours et méthodes

La caractéristique de \(K\) est l’entier \(m \geqslant 0\) tel que \(\ker \varphi = m\mathbb{Z}\). Autrement dit, elle vaut \(0\) si aucune somme \(1 + \cdots + 1\) n’est nulle. Dans le cas contraire, \(m\) désigne le premier entier strictement positif qui annule \(1_K\).

Un corps a toujours pour caractéristique \(0\) ou un nombre premier \(p\).

Supposons \(m \neq 0\). D’abord, \(m \neq 1\) car \(1_K \neq 0_K\). Ensuite, si \(m = ab\) avec \(1 < a, b < m\), alors \((a \cdot 1_K)(b \cdot 1_K) = m \cdot 1_K = 0\). Or un corps est intègre, donc l’un des facteurs est nul. Cela contredit la minimalité de \(m\). Par conséquent, \(m\) est premier.

L’intersection de tous les sous-corps de \(K\) est un sous-corps, appelé sous-corps premier. Il est isomorphe à \(\mathbb{Q}\) si la caractéristique est nulle, et à \(\mathbb{F}_p\) si elle vaut \(p\).

Tout sous-corps contient \(1_K\), donc l’image de \(\varphi\). Si la caractéristique vaut \(p\), cette image est isomorphe à \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), qui est déjà un corps. Si elle est nulle, \(\varphi\) est injective. Tout sous-corps contient alors les quotients \(\varphi(a)\varphi(b)^{-1}\), et ces quotients forment une copie de \(\mathbb{Q}\). Dans les deux cas, on obtient le plus petit sous-corps.

Si \(K\) est de caractéristique \(p\), l’application \(F : x \mapsto x^p\) est un morphisme de corps de \(K\) dans lui-même : \(F(x+y) = F(x) + F(y)\) et \(F(xy) = F(x)F(y)\). Elle est injective, et même bijective lorsque \(K\) est fini.

Lorsque \(K\) est un sous-corps d’un corps \(L\), on dit que \(L\) est une extension de \(K\), et l’on écrit \(L/K\). Le corps \(L\) est alors un \(K\)-espace vectoriel. Sa dimension, finie ou non, s’appelle le degré de l’extension et se note \([L:K]\).

Pour \(a_1, \ldots, a_r\) dans \(L\), on note \(K(a_1, \ldots, a_r)\) le plus petit sous-corps de \(L\) contenant \(K\) et les \(a_i\). De même, \(K[a]\) désigne le plus petit sous-anneau contenant \(K\) et \(a\) : c’est l’ensemble des \(P(a)\), avec \(P \in K[X]\).

Soit \(K \subset M \subset L\) une tour de corps. Si \((u_i)_{i \in I}\) est une base de \(M\) sur \(K\) et \((v_j)_{j \in J}\) une base de \(L\) sur \(M\), alors la famille des produits \((u_i v_j)\) est une base de \(L\) sur \(K\). En particulier, \([L:K] = [L:M]\,[M:K]\).

Commençons par la partie génératrice. Tout \(x \in L\) s’écrit \(\sum_j m_j v_j\) avec \(m_j \in M\). Chaque \(m_j\) s’écrit à son tour \(\sum_i k_{ij} u_i\) avec \(k_{ij} \in K\). Donc \(x = \sum_{i,j} k_{ij} u_i v_j\). Passons ensuite à la liberté. Si \(\sum_{i,j} k_{ij} u_i v_j = 0\), on regroupe selon \(j\) : \(\sum_j \big(\sum_i k_{ij} u_i\big) v_j = 0\). La liberté des \(v_j\) sur \(M\) annule chaque parenthèse. Enfin, la liberté des \(u_i\) sur \(K\) annule tous les \(k_{ij}\).

Si \(L/K\) est finie et \(M\) un corps intermédiaire, alors \([M:K]\) divise \([L:K]\). En particulier, une extension de degré premier n’a aucun corps intermédiaire autre que \(K\) et \(L\).

L’élément \(a\) est algébrique sur \(K\) s’il annule un polynôme non nul de \(K[X]\), c’est-à-dire si \(\mathrm{ev}_a\) n’est pas injectif. Dans le cas contraire, \(a\) est transcendant sur \(K\).

Supposons \(a\) algébrique sur \(K\). Le noyau de \(\mathrm{ev}_a\) est engendré par un seul polynôme unitaire, noté \(\mu_a\). Ce polynôme minimal est irréductible sur \(K\). De plus, \(K[a] = K(a)\), cette extension est isomorphe à \(K[X]/(\mu_a)\), et \([K(a):K] = \deg \mu_a\), avec la base \((1, a, \ldots, a^{d-1})\) où \(d = \deg \mu_a\).

Le noyau de \(\mathrm{ev}_a\) est un idéal non nul de l’anneau principal \(K[X]\). Il est donc engendré par un unique polynôme unitaire \(\mu_a\). Supposons \(\mu_a = AB\) avec \(A\) et \(B\) non constants. Alors \(A(a)B(a) = 0\) dans le corps \(L\), donc \(A(a) = 0\) ou \(B(a) = 0\). Or \(\mu_a\) divise tout polynôme qui annule \(a\), ce qui est impossible pour un facteur de degré plus petit. Par conséquent, \(\mu_a\) est irréductible. L’image \(K[a]\) est isomorphe à \(K[X]/(\mu_a)\), qui est un corps car l’idéal est maximal. Donc \(K[a]\) est déjà un corps, égal à \(K(a)\). Enfin, la division euclidienne par \(\mu_a\) montre que \((1, a, \ldots, a^{d-1})\) engendre \(K[a]\). Cette famille est libre, puisque aucun polynôme non nul de degré \(< d\) n’annule \(a\).

1. Éliminer les radicaux un par un pour obtenir un polynôme \(P\) unitaire qui annule \(a\).
2. Calculer \([K(a):K]\) par une tour de corps, ou prouver directement que \(P\) est irréductible (critère d’Eisenstein, réduction modulo un premier, absence de racine en degré \(2\) ou \(3\)).
3. Conclure : si \(\deg P = [K(a):K]\), alors \(P = \mu_a\).

Soit \(a = \sqrt{7 – \sqrt{13}}\), réel bien défini car \(\sqrt{13} < 7\). D’abord, \(a^2 = 7 – \sqrt{13}\), donc \((a^2 – 7)^2 = 13\). Ainsi, \(a\) annule \(P = X^4 – 14X^2 + 36\). Ensuite, \(\sqrt{13} = 7 – a^2\) appartient à \(\mathbb{Q}(a)\), d’où la tour \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{13}) \subset \mathbb{Q}(a)\). Le premier étage est de degré \(2\). Pour le second, il faut voir si \(7 – \sqrt{13}\) est un carré dans \(\mathbb{Q}(\sqrt{13})\). Posons \((x + y\sqrt{13})^2 = 7 – \sqrt{13}\) avec \(x, y\) rationnels. On obtient \(x^2 + 13y^2 = 7\) et \(2xy = -1\). En éliminant \(y\), on trouve \(4x^4 – 28x^2 + 13 = 0\), donc \(x^2 = \frac{13}{2}\) ou \(x^2 = \frac{1}{2}\). Aucune de ces valeurs n’est le carré d’un rationnel. Le second étage est donc aussi de degré \(2\). Finalement, \([\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}] = 4 = \deg P\), et \(P\) est le polynôme minimal de \(a\).

Toute extension finie \(L/K\) est algébrique : chaque élément de \(L\) est algébrique sur \(K\). De plus, si \(a\) et \(b\) sont algébriques sur \(K\), alors \(a + b\), \(ab\) et \(a/b\) (si \(b \neq 0\)) le sont aussi.

Si \([L:K] = n\), les \(n+1\) éléments \(1, a, \ldots, a^n\) sont liés sur \(K\). Une relation de liaison fournit un polynôme non nul qui annule \(a\). Pour la seconde affirmation, \(b\) reste algébrique sur \(K(a)\). La base télescopique donne alors \([K(a,b):K] \leqslant \deg \mu_a \cdot \deg \mu_b\). L’extension \(K(a,b)\) est donc finie, et ses éléments sont algébriques.

La réciproque est fausse : une extension algébrique peut être de degré infini. Soit \(\overline{\mathbb{Q}}\) l’ensemble des complexes algébriques sur \(\mathbb{Q}\), qui est un corps d’après la propriété. Pour tout \(n \geqslant 1\), le polynôme \(X^n – 3\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\) par le critère d’Eisenstein en \(3\). Ainsi, \(\overline{\mathbb{Q}}\) contient un élément de degré \(n\) pour tout \(n\), et \([\overline{\mathbb{Q}}:\mathbb{Q}]\) est infini.

Soit \(P \in K[X]\) irréductible de degré \(d\). L’anneau quotient \(K[X]/(P)\) est un corps, extension de \(K\) de degré \(d\). La classe \(\theta\) de \(X\) vérifie \(P(\theta) = 0\), et \(K[X]/(P) = K(\theta)\). On l’appelle un corps de rupture de \(P\).

Dans l’anneau principal \(K[X]\), un polynôme irréductible engendre un idéal maximal. En effet, si \(Q \notin (P)\), alors \(Q\) et \(P\) sont premiers entre eux. Une relation de Bézout \(UQ + VP = 1\) montre que la classe de \(Q\) est inversible. Le quotient est donc un corps. Ensuite, \(K\) s’y injecte par les classes des constantes. Enfin, la division euclidienne par \(P\) donne la base \((1, \theta, \ldots, \theta^{d-1})\).

Le polynôme \(X^3 – 5\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\) : il est de degré \(3\) et n’a pas de racine rationnelle, car une telle racine serait un entier divisant \(5\). Dans \(E = \mathbb{Q}[X]/(X^3 – 5)\), notons \(\theta\) la classe de \(X\). Cherchons l’inverse de \(\theta + 2\). On remarque que \((\theta + 2)(\theta^2 – 2\theta + 4) = \theta^3 + 8 = 13\). Par conséquent, \((\theta + 2)^{-1} = \frac{1}{13}(\theta^2 – 2\theta + 4)\). En envoyant \(\theta\) sur \(\sqrt[3]{5}\), on obtient l’identité réelle correspondante.

On fixe \(P \in K[X]\) non constant, de degré \(n\). On dit que \(L\) est un corps de décomposition de \(P\) sur \(K\) lorsque deux conditions sont réunies : \(P\) se factorise dans \(L[X]\) sous la forme \(c(X – a_1)\cdots(X – a_n)\), et les racines \(a_1, \ldots, a_n\) engendrent \(L\) sur \(K\).

Un corps de décomposition existe toujours, et son degré sur \(K\) est au plus \(n!\). Il est unique à isomorphisme près (résultat admis).

Raisonnons par récurrence sur \(n\). Soit \(Q\) un facteur irréductible de \(P\). Dans un corps de rupture \(K_1\) de \(Q\), le polynôme \(P\) a une racine \(a_1\), et \([K_1:K] \leqslant n\). Ensuite, \(P = (X – a_1)P_1\) dans \(K_1[X]\). On applique alors la récurrence à \(P_1\), de degré \(n – 1\), au-dessus de \(K_1\) : on obtient un corps \(L\) où \(P_1\) est scindé, avec \([L:K_1] \leqslant (n-1)!\). En multipliant les deux degrés, \([L:K] \leqslant n!\).

Cherchons le corps de décomposition \(D\) de \(X^3 – 5\) sur \(\mathbb{Q}\). Ses racines complexes sont \(c\), \(jc\) et \(j^2 c\), avec \(c = \sqrt[3]{5}\) et \(j = e^{2i\pi/3}\). Donc \(D = \mathbb{Q}(c, jc, j^2 c)\). Or \(j = (jc)/c\), d’où \(D = \mathbb{Q}(c, j)\). D’une part, \([\mathbb{Q}(c):\mathbb{Q}] = 3\). D’autre part, \(j\) n’est pas réel, alors que \(\mathbb{Q}(c) \subset \mathbb{R}\). Comme \(j\) annule \(X^2 + X + 1\), il est de degré \(2\) sur \(\mathbb{Q}(c)\). Finalement, \([D:\mathbb{Q}] = 3 \times 2 = 6\), qui atteint la borne \(3!\).

On part des points \(O = (0,0)\) et \(I = (1,0)\) du plan. On s’autorise deux outils : tracer la droite passant par deux points déjà construits, et tracer le cercle de centre un point construit passant par un autre. Un point est constructible s’il s’obtient en un nombre fini d’étapes comme intersection de deux droites, d’une droite et d’un cercle, ou de deux cercles ainsi tracés. Un réel est constructible s’il est une coordonnée d’un point constructible.

Un réel \(t\) est constructible si et seulement s’il existe des sous-corps \(L_0, L_1, \ldots, L_r\) de \(\mathbb{R}\), emboîtés, avec \(L_0 = \mathbb{Q}\), chaque \(L_{k+1}\) de degré \(2\) sur \(L_k\), et \(t \in L_r\). Par conséquent, si \(t\) est constructible, alors \(t\) est algébrique et \([\mathbb{Q}(t):\mathbb{Q}]\) est une puissance de \(2\).

Nous commentons le sens direct, le seul utile pour les impossibilités. Supposons que tous les points déjà construits ont leurs coordonnées dans un corps \(K\). Une droite passant par deux de ces points a une équation à coefficients dans \(K\). Un cercle aussi, puisque son rayon au carré est dans \(K\).

Couper deux droites revient à résoudre un système linéaire : les coordonnées restent dans \(K\). Couper une droite et un cercle donne une équation du second degré : les coordonnées tombent dans \(K\) ou dans \(K(\sqrt{\delta})\), avec \(\delta \in K\). Pour deux cercles, la différence de leurs équations est une équation de droite, ce qui ramène au cas d’une droite et d’un cercle. Ainsi, chaque nouveau point demande donc une extension de degré \(1\) ou \(2\). Après réindexation, on obtient la tour annoncée. Enfin, \(\mathbb{Q}(t) \subset L_r\) et \(L_r\) est de degré \(2^r\) sur \(\mathbb{Q}\), donc le degré de \(t\) divise \(2^r\).

1. Traduire la construction demandée par la constructibilité d’un réel \(t\) bien choisi.
2. Trouver un polynôme unitaire de \(\mathbb{Q}[X]\) annulé par \(t\), souvent grâce à une formule trigonométrique.
3. Prouver qu’il est irréductible : son degré est alors \([\mathbb{Q}(t):\mathbb{Q}]\).
4. Conclure à l’impossibilité si ce degré n’est pas une puissance de \(2\).

Montrons que l’angle de \(60°\), pourtant constructible, ne peut pas être partagé en trois. Il suffirait de construire \(\cos 20°\), ou de façon équivalente \(t = 2\cos 20°\). Posons \(z = e^{i\pi/9}\), de sorte que \(t = z + z^{-1}\). En développant le cube, \(t^3 = z^3 + z^{-3} + 3t\). Or \(z^3 + z^{-3} = 2\cos 60° = 1\). Par conséquent, \(t^3 – 3t – 1 = 0\). Ensuite, les seules racines rationnelles possibles de \(X^3 – 3X – 1\) sont \(\pm 1\). Or \(1 – 3 – 1 = -3\) et \(-1 + 3 – 1 = 1\). Ce polynôme de degré \(3\) est donc irréductible, et \([\mathbb{Q}(t):\mathbb{Q}] = 3\). Par conséquent, \(t\) n’est pas constructible.

Si \(K\) est un corps fini, sa caractéristique est un nombre premier \(p\) et son cardinal vaut \(p^n\), où \(n = [K:\mathbb{F}_p]\).

D’abord, la caractéristique est non nulle, donc égale à un premier \(p\), et le sous-corps premier est \(\mathbb{F}_p\). Ensuite, \(K\) est un \(\mathbb{F}_p\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\). Le choix d’une base l’identifie à \(\mathbb{F}_p^n\), qui a \(p^n\) éléments.

Soit \(K\) un corps fini de cardinal \(q\). Le groupe \(K^*\), d’ordre \(q – 1\), est cyclique. Un générateur s’appelle un élément primitif, et il y en a exactement \(\varphi(q-1)\), où \(\varphi\) est l’indicatrice d’Euler.

Pour \(d\) divisant \(q – 1\), notons \(\psi(d)\) le nombre d’éléments d’ordre \(d\) dans \(K^*\). Supposons \(\psi(d) \geqslant 1\) et prenons \(x\) d’ordre \(d\). Les \(d\) éléments \(1, x, \ldots, x^{d-1}\) sont des racines distinctes de \(X^d – 1\). Comme \(K\) est un corps, ce sont les seules racines. Par conséquent, un élément \(y\) vérifiant \(y^d = 1\) appartient au sous-groupe engendré par \(x\). Parmi ces puissances, exactement \(\varphi(d)\) sont d’ordre \(d\). Ainsi, \(\psi(d) \leqslant \varphi(d)\) dans tous les cas. D’autre part, l’ordre de chaque élément divise \(q – 1\), d’où \(\sum_{d \mid q-1} \psi(d) = q – 1\). Comme \(\sum_{d \mid q-1} \varphi(d) = q – 1\), toutes les inégalités sont des égalités. En particulier, \(\psi(q-1) = \varphi(q-1) \geqslant 1\).

Pour tout premier \(p\) et tout entier \(n \geqslant 1\), posons \(q = p^n\). Il existe un corps à \(q\) éléments : c’est le corps de décomposition de \(X^q – X\) sur \(\mathbb{F}_p\). Deux corps à \(q\) éléments sont isomorphes. On note \(\mathbb{F}_q\) ce corps.

Existence. Soit \(L\) un corps de décomposition de \(P = X^q – X\) sur \(\mathbb{F}_p\), et \(R\) l’ensemble des racines de \(P\) dans \(L\). Le polynôme dérivé vaut \(qX^{q-1} – 1 = -1\), car \(q = 0\) dans \(L\). Donc \(P\) et \(P^{\prime}\) n’ont pas de racine commune : les racines sont simples, et \(R\) a \(q\) éléments. Ensuite, \(R\) est l’ensemble des points fixes de \(F^n\), itéré du Frobenius, qui est un morphisme de corps. Par conséquent, \(R\) est un sous-corps de \(L\). Comme \(R\) contient toutes les racines, \(R = L\).

Unicité. Soit \(K\) un corps à \(q\) éléments. Par le théorème de Lagrange dans \(K^*\), tout \(x \neq 0\) vérifie \(x^{q-1} = 1\). Ainsi, tout élément de \(K\) annule \(X^q – X\). Ce polynôme a donc \(q\) racines dans \(K\), qui en compte \(q\) : \(K\) est un corps de décomposition de \(X^q – X\) sur \(\mathbb{F}_p\). L’unicité du corps de décomposition conclut.

Le corps \(\mathbb{F}_{p^n}\) contient un sous-corps à \(p^d\) éléments si et seulement si \(d\) divise \(n\). Ce sous-corps est alors unique : c’est l’ensemble des \(x\) tels que \(x^{p^d} = x\).

1. Choisir un polynôme unitaire \(Q\) de degré \(n\) dans \(\mathbb{F}_p[X]\).
2. Vérifier son irréductibilité : en degré \(2\) ou \(3\), il suffit qu’il n’ait aucune racine dans \(\mathbb{F}_p\) ; en degré \(4\), il faut aussi exclure les facteurs irréductibles de degré \(2\).
3. Noter \(x\) la classe de \(X\) : les éléments du corps s’écrivent \(c_0 + c_1 x + \cdots + c_{n-1}x^{n-1}\).
4. Calculer avec la règle de réduction \(Q(x) = 0\), qui exprime \(x^n\) en fonction des puissances plus petites.

Construisons \(\mathbb{F}_9\). Prenons \(Q = X^2 + X + 2\) dans \(\mathbb{F}_3[X]\). On a \(Q(0) = 2\), \(Q(1) = 4 = 1\) et \(Q(2) = 8 = 2\). Sans racine et de degré \(2\), \(Q\) est irréductible. Dans \(\mathbb{F}_3[X]/(Q)\), la classe \(x\) vérifie \(x^2 = -x – 2 = 2x + 1\). Calculons ensuite les puissances de \(x\). On trouve \(x^3 = 2x^2 + x = 2x + 2\), puis \(x^4 = 2x^2 + 2x = 2\). Donc \(x^4 = -1 \neq 1\), et \(x^8 = 1\). L’ordre de \(x\) divise \(8\) sans diviser \(4\) : il vaut \(8\). Autrement dit, \(x\) est un élément primitif de \(\mathbb{F}_9\).

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• Bases utiles : Idéaux premiers, anneaux principaux et factoriels
• Chapitre d’avant : Idéaux premiers, anneaux principaux et factoriels
• Chapitre d’après : Dunford, Jordan et endomorphismes nilpotents
• Vérifier ses acquis : QCM de L3 de maths sur extensions et corps finis
• Contrôle corrigé en temps limité : Degrés d'extension et constructibilité : contrôle de maths en L3
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