Différentielle de Fréchet en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Différentielle d’une forme quadratique

Soit \(A \in M_n(\mathbb{R})\) et \(q(x) = {}^t x\,A\,x\) pour \(x \in \mathbb{R}^n\).

1. Développer \(q(a+h)\) et en déduire que \(dq(a)h = {}^t a\,(A + {}^t A)\,h\).
2. On prend \(n = 2\) et \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\). Écrire \(q(x,y)\), puis calculer \(\nabla q(1,-1)\) de deux façons.
3. Déterminer les points \(a\) en lesquels \(dq(a) = 0\).

Exercice 2 – Dérivées directionnelles d’un polynôme de deux variables

Soit \(f(x,y) = x^2 y + 3y – x\) et \(a = (1,2)\).

1. Calculer \(\nabla f(a)\).
2. Calculer \(D_v f(a)\) pour \(v = (1,-1)\), d’abord avec le gradient, puis directement à partir de \(f(1+t, 2-t)\).
3. Parmi les vecteurs unitaires pour la norme euclidienne, lesquels donnent une dérivée directionnelle maximale ? nulle ?

Exercice 3 – Jacobienne d’un changement de variables exponentiel

Sur \(U = ]0, +\infty[ \times \mathbb{R}\), on pose \(\Phi(u,v) = (u\,e^{v},\ u\,e^{-v})\).

1. Calculer la matrice jacobienne et le jacobien de \(\Phi\).
2. Montrer que \(\Phi\) est une bijection de \(U\) sur \(]0, +\infty[^2\) et expliciter \(\Psi = \Phi^{-1}\).
3. Calculer \(J_\Psi(x,y)\) et vérifier que \(J_\Phi(u,v)\,J_\Psi(\Phi(u,v)) = I_2\).

Exercice 4 – Produit matriciel et carré d’une matrice

On munit \(M_n(\mathbb{R})\) d’une norme sous-multiplicative.

1. Montrer que \(P(A,B) = AB\) est différentiable sur \(M_n(\mathbb{R})^2\) et donner \(dP(A,B)(H,K)\).
2. En déduire que \(S(A) = A^2\) est différentiable, avec \(dS(A)H = AH + HA\). Majorer le reste \(S(A+H) – S(A) – dS(A)H\).
3. Calculer \(dS(A)H\) pour \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(H = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). Comparer avec \(2AH\).

Exercice 5 – Dérivée d’une fonction le long d’un cercle

Soit \(f(x,y) = x^2 – xy + 2y^2\) et \(g(t) = f(\cos t, \sin t)\).

1. Calculer \(g^{\prime}(t)\) par la règle de la chaîne.
2. Exprimer \(g(t)\) à l’aide de \(\cos 2t\) et \(\sin 2t\), et retrouver \(g^{\prime}(t)\).
3. En déduire les valeurs extrêmes de \(f\) sur le cercle unité.

Exercice 6 – Une norme n’est jamais différentiable en zéro

1. Soit \(N\) une norme sur un espace \(E \neq \{0\}\). Montrer, à l’aide de \(t \mapsto N(tv)\), que \(N\) n’est pas différentiable en \(0\).
2. Sur \(\mathbb{R}^2\), on pose \(N_1(x,y) = |x| + |y|\). Montrer que \(N_1\) n’est pas différentiable en \((1,0)\).
3. Montrer que \(N_1\) est différentiable en \((1,2)\) et en \((-3,1)\), et donner ses différentielles.
4. Décrire l’ensemble des points où \(N_1\) est différentiable.

Exercice 7 – Développement de Taylor à l’ordre deux

Soit \(f(x,y) = e^{x-y}\cos(x+y)\).

1. À l’aide des variables \(u = x – y\) et \(w = x + y\), écrire le développement de Taylor-Young de \(f\) à l’ordre deux en \((0,0)\).
2. En déduire \(\nabla f(0,0)\) et la matrice hessienne de \(f\) en \((0,0)\).
3. Étudier le signe de \(f(x,y) – (1 + x – y)\) près de l’origine, le long des droites \(y = x\) et \(y = -x\). Interpréter.

Pour s’entraîner

Exercice 8 – Différentielle du déterminant

1. Montrer que \(\det(I_n + H) = 1 + \mathrm{tr}\,H + R(H)\), où \(R(H)\) est une somme de produits d’au moins deux coefficients de \(H\). En déduire \(d(\det)(I_n)\).
2. Pour \(A\) inversible, montrer que \(d(\det)(A)H = \det(A)\,\mathrm{tr}(A^{-1}H)\).
3. Justifier que \(d(\det)(A)H = \mathrm{tr}({}^t\mathrm{com}(A)\,H)\) pour toute matrice \(A\).
4. Vérifier cette formule pour \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\) en développant \(\det(A + H)\) avec \(H = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\).

Exercice 9 – Différentielle de l’inversion matricielle

On munit \(M_n(\mathbb{R})\) d’une norme sous-multiplicative avec \(\|I_n\| = 1\). Soit \(A \in GL_n(\mathbb{R})\).

1. Soit \(K\) une matrice telle que \(\|K\| \leq \frac{1}{2}\). Montrer que \(I_n + K\) est inversible et que \(\|(I_n + K)^{-1}\| \leq 2\).
2. En déduire que, si \(\|H\| \leq \frac{1}{2\|A^{-1}\|}\), alors \(A + H\) est inversible et \(\|(A+H)^{-1}\| \leq 2\|A^{-1}\|\).
3. Vérifier l’identité \((A+H)^{-1} – A^{-1} + A^{-1}HA^{-1} = (A+H)^{-1}HA^{-1}HA^{-1}\) et conclure que \(d(\mathrm{inv})(A)H = -A^{-1}HA^{-1}\).
4. Soit \(\varphi(A) = \mathrm{tr}(A^{-1})\). Calculer \(d\varphi(A)H\), puis vérifier le résultat avec \(A = \mathrm{diag}(1,2)\) et \(H = \mathrm{diag}(1,0)\).

Exercice 10 – Dérivées directionnelles sans différentiabilité

Soit \(f(x,y) = \frac{x\,y^3}{x^2 + y^6}\) si \((x,y) \neq (0,0)\), et \(f(0,0) = 0\).

1. Montrer que \(f\) admet en \((0,0)\) une dérivée suivant tout vecteur \(v\), et la calculer.
2. Calculer \(f(y^3, y)\) pour \(y \neq 0\). La fonction \(f\) est-elle continue en \((0,0)\) ? différentiable ?
3. Montrer que la restriction de \(f\) à toute droite passant par l’origine est continue en \(0\).

Exercice 11 – Une fonctionnelle intégrale sur les fonctions continues

Sur \(E = C([0,1])\), on considère \(\Phi(f) = \int_0^1 f(t)^3\,dt\).

1. On munit \(E\) de \(\|\cdot\|_\infty\). Montrer que \(\Phi\) est différentiable en tout \(f\) et calculer \(d\Phi(f)h\).
2. Calculer \(d\Phi(f)h\) pour \(f(t) = t\) et \(h = 1\).
3. Montrer que \(\Phi\) est de classe \(C^1\) sur \((E, \|\cdot\|_\infty)\).
4. On munit maintenant \(E\) de \(N_1(f) = \int_0^1 |f|\). À l’aide de fonctions triangles de hauteur \(n\) et de base \(\frac{1}{n^2}\), montrer que \(\Phi\) n’est pas continue en \(0\). Est-elle différentiable en \(0\) ?

Exercice 12 – Composition par le sinus dans les fonctions continues

Sur \(E = C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), on pose \(S(f) = \sin \circ f\).

1. Montrer que \(|\sin(a + b) – \sin a – b\cos a| \leq \frac{b^2}{2}\) pour tous réels \(a, b\).
2. En déduire que \(S\) est différentiable et que \(dS(f)h = (\cos \circ f)\,h\).
3. Montrer que \(\|dS(f)\| \leq 1\), puis que \(\|S(f) – S(g)\|_\infty \leq \|f – g\|_\infty\).
4. Soit \(u \in E\). Montrer que l’équation \(f = \frac{1}{2}\sin \circ f + u\) a une unique solution dans \(E\).

Exercice 13 – Accroissements finis et unique point fixe

Sur \(\mathbb{R}^2\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), on pose \(F(x,y) = \left(\frac{1}{4}\sin(x+y) + 1,\ \frac{1}{3}\cos(x – y)\right)\).

1. Calculer la matrice jacobienne de \(F\).
2. On rappelle que la norme d’opérateur associée à \(\|\cdot\|_\infty\) est le maximum des sommes des valeurs absolues sur les lignes. Montrer que \(\|dF(p)\| \leq \frac{2}{3}\) pour tout \(p\).
3. En déduire que \(F\) est \(\frac{2}{3}\)-lipschitzienne, puis qu’elle possède un unique point fixe.
4. Montrer que ce point fixe appartient à \([\frac{3}{4}, \frac{5}{4}] \times [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]\).

Exercice 14 – Puissances de la norme euclidienne

Soit \(p > 0\) un réel et \(N_p(x) = \|x\|^p\) sur \(\mathbb{R}^n\), où \(\|\cdot\|\) est la norme euclidienne.

1. Montrer que \(N_p\) est différentiable sur \(\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\) et que \(\nabla N_p(a) = p\,\|a\|^{p-2}\,a\).
2. Montrer que \(N_p\) est différentiable en \(0\) si et seulement si \(p > 1\).
3. Pour quelles valeurs de \(p\) la fonction \(N_p\) est-elle de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^n\) ?

Exercice 15 – Un lemme de Schwarz en défaut

Soit \(f(x,y) = \frac{x^3 y}{x^2 + y^2}\) si \((x,y) \neq (0,0)\), et \(f(0,0) = 0\).

1. Calculer \(\partial_1 f\) et \(\partial_2 f\) hors de l’origine, puis en \((0,0)\).
2. Majorer \(|\partial_1 f|\) et \(|\partial_2 f|\) par des multiples de \(|x|\) ou \(|y|\), puis établir que \(f \in C^1(\mathbb{R}^2)\).
3. Comparer \(\partial_2 \partial_1 f(0,0)\) et \(\partial_1 \partial_2 f(0,0)\). Quelle hypothèse du théorème de Schwarz manque ici ?

Pour approfondir

Exercice 16 – Une équation aux dérivées partielles par changement de variables

On cherche les fonctions \(f\) de classe \(C^1\) sur \(U = ]0,+\infty[^2\) telles que \[x\,\partial_1 f(x,y) – y\,\partial_2 f(x,y) = 0 \quad \text{pour tout } (x,y) \in U. \qquad (\star)\]

1. Soit \(G\) de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[\). Vérifier que \(f(x,y) = G(xy)\) est solution de \((\star)\).
2. On pose \(\Phi(u,v) = \left(\sqrt{uv},\ \sqrt{u/v}\right)\) pour \((u,v) \in U\). Montrer que \(\Phi\) est une bijection de classe \(C^1\) de \(U\) sur \(U\), de réciproque \((x,y) \mapsto (xy,\ x/y)\).
3. Soit \(f\) une solution et \(F = f \circ \Phi\). Montrer que \(\partial_2 F(u,v) = \frac{1}{2v}\left(x\,\partial_1 f – y\,\partial_2 f\right)(\Phi(u,v))\).
4. En déduire toutes les solutions de \((\star)\), puis celle qui vérifie \(f(x,1) = \sin x\) pour tout \(x > 0\).

Exercice 17 – Différentielle seconde de l’inversion

On note \(\varphi(A) = A^{-1}\) sur \(GL_n(\mathbb{R})\), et on rappelle que \(d\varphi(A)H = -A^{-1}HA^{-1}\).

1. Écrire \(d\varphi(A)H\) à l’aide d’une application bilinéaire appliquée à \((\varphi(A), \varphi(A))\). En déduire que \(\varphi\) est deux fois différentiable et que \[d^2\varphi(A)(H,K) = A^{-1}KA^{-1}HA^{-1} + A^{-1}HA^{-1}KA^{-1}.\]
2. Vérifier que \(d^2\varphi(A)\) est symétrique, conformément au théorème de Schwarz.
3. En déduire le développement de Taylor-Young de \((I_n + H)^{-1}\) à l’ordre deux.
4. Pour une norme sous-multiplicative avec \(\|I_n\| = 1\) et \(\|H\| < 1\), montrer que \(\|(I_n + H)^{-1} – I_n + H – H^2\| \leq \frac{\|H\|^3}{1 – \|H\|}\).

Exercice 18 – Reste de Taylor et contrôle de la différentielle seconde

Soit \(f(x,y) = \sin x \cos y\) sur \(\mathbb{R}^2\), muni de la norme euclidienne.

1. Calculer \(df(0,0)\) et la matrice hessienne de \(f\) en un point \((x,y)\) quelconque.
2. Montrer que les valeurs propres de cette hessienne sont \(-\sin(x+y)\) et \(-\sin(x-y)\).
3. À l’aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que \(|\sin x \cos y – x| \leq \frac{x^2 + y^2}{2}\) pour tous réels \(x, y\).
4. Montrer que, si \(x^2 + y^2 \leq r^2\), alors \(|\sin x \cos y – x| \leq \frac{\sqrt{2}}{6}\,r^3\). Étudier le cas \(x = y = r/\sqrt{2}\) quand \(r \to 0\).

Exercice 19 – Formule de Jacobi et déterminant d’une exponentielle

1. Soit \(M : \mathbb{R} \to M_n(\mathbb{R})\) de classe \(C^1\). Montrer que \(t \mapsto \det M(t)\) est dérivable, avec \((\det M)^{\prime}(t) = \mathrm{tr}\left({}^t\mathrm{com}(M(t))\,M^{\prime}(t)\right)\).
2. Soit \(A \in M_n(\mathbb{R})\) et \(\psi(t) = \det(e^{tA})\). On admet que \(\frac{d}{dt}e^{tA} = A\,e^{tA}\) et que \(e^{tA}\) est inversible. Montrer que \(\psi^{\prime}(t) = \mathrm{tr}(A)\,\psi(t)\).
3. En déduire que \(\det(e^{A}) = e^{\mathrm{tr}\,A}\).
4. Calculer \(\det(e^{A})\) pour \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}\).

Exercice 20 – Problème : points de différentiabilité de la norme infinie

Sur \(\mathbb{R}^n\), avec \(n \geq 2\), on note \(N(x) = \|x\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|\). Pour \(x \neq 0\), on note \(I(x)\) l’ensemble des indices \(i\) tels que \(|x_i| = N(x)\).

1. Rappeler pourquoi \(N\) n’est pas différentiable en \(0\).
2. Soit \(x \neq 0\) tel que \(I(x) = \{i\}\) et \(\sigma\) le signe de \(x_i\). On pose \(m = \max_{j \neq i}|x_j|\) et \(\rho = \frac{|x_i| – m}{2}\). Montrer que \(N(y) = \sigma\,y_i\) dès que \(\|y – x\|_\infty < \rho\). En déduire que \(N\) est différentiable en \(x\) et donner \(dN(x)\).
3. Soit \(x \neq 0\) et \(i \neq j\) deux indices de \(I(x)\). En étudiant \(t \mapsto N(x + t\,\sigma_i e_i)\), où \(\sigma_i\) est le signe de \(x_i\), montrer que \(N\) n’est pas différentiable en \(x\).
4. Décrire l’ensemble \(D\) des points de différentiabilité de \(N\) lorsque \(n = 2\). Montrer que, pour tout \(x \in D\), on a \(dN(x)x = N(x)\) et \(\|dN(x)\| = 1\) pour la norme d’opérateur associée à \(\|\cdot\|_\infty\).
5. Montrer que \(N\) est de classe \(C^1\) sur l’ouvert \(D\), et que \(dN\) n’admet de limite en aucun point de la diagonale \(\{(s,s) : s > 0\}\).

Pour aller plus loin

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