Les nombres relatifs : cours de maths en 5ème à imprimer en PDF.
Mis à jour le 29 mai 2025
I Introduction aux nombres relatifs :
1.Activité d’introduction :
2.Définitions et vocabulaire :
Nous découvrons un nouvel ensemble de nombres, les nombres relatifs.
Il en existe deux sortes :
- les nombres relatifs positifs :
. - les nombres relatifs négatifs : .
Remarque :
Le chiffre zéro est le seul nombre relatif à la fois positif et négatif.
Ces nombres relatifs, vous les avez déjà rencontrés dans de nombreuses situations de la vie de tous les jours.
Exemples :
- les températures en hiver : ;
- les dates en histoire : ;
- les ascenseurs : étage ;
- les comptes bancaires : €.
Remarque :
Votre calculatrice connait les nombres relatifs et elle sait également effectuer des calculs contenant des nombres relatifs.
II. Repérage sur une droite graduée et nombres relatifs :
Exemple :
Sur la droite graduée précédente, le point A a pour abscisse -1, on note .
se lit le point B d’abscisse 5.
L’origine de la droite graduée O a pour abscisse zéro. On note .
Tout nombre relatif est composé de deux éléments :
- son signe (+ ou -);
- sa partie numérique ( ou distance à zéro).
On appelle nombres opposés, deux nombres relatifs tels que :
- leurs signes sont différents;
- leur partie numérique sont égales.
Exemples :
Les nombres relatifs et sont des nombres opposés et les points qui les représentent sur une droite graduée sont symétriques par rapport au point O (origine).
III Comparaison de nombres relatifs :
Remarque :
Considérons deux nombres relatifs.
- Si les deux nombres relatifs sont de signes différents alors le plus grand est celui qui est positif.
- Si les deux nombres relatifs sont positifs alors le plus grand est celui qui a la plus grande partie numérique.
- Si deux nombres relatifs sont négatifs alors le plus grand est celui qui a la plus petite partie numérique.
Exemples :
IV. Repérage dans le plan :
1.Activité d’introduction :
2.Coordonnées d’un point dans un repère :
Un repère orthogonal du plan est la donnée de deux droites graduée perpendiculaires de même origine O. La droite graduée horizontale est appelée l’axe des abscisses et la droite graduée verticale est l’axe des ordonnées.
Un moyen mnémotechnique pour ne pas confondre le nom de ces deux axes : la première lettre du mot ordonnée est la lettre O donc l’axe des ordonnées est l’axe dirigé vers le haut.
- Tout point du plan peut être repéré par un couple de nombres relatifs appelé coordonnées du point.
- La première valeur est appelée l’abscisse du point;
- La seconde valeur est appelée l’ordonnée du point.
Exemple :
Dans le repère suivant:
Le point A a pour coordonnées : .
Le point B a pour coordonnées : .
V. Addition et soustraction de nombres relatifs :
1. Somme de deux nombres relatifs :
Considérons deux nombres relatifs.Pour effectuer la somme de deux nombres relatifs ayant le même signe :
- on conserve le signe en commun;
- on additionne les parties numériques.
Exemples :
Calculer les sommes suivantes :
Considérons deux nombres relatifs.Pour effectuer la somme de deux nombres relatifs ayant des signes différents :
- on conserve le signe du nombre ayant la plus grande partie numérique;
- on effectue la différence positive des parties numériques.
Exemples :
Calculer la somme des nombres relatifs :
Remarque :
Par la suite, nous ne noterons pas le signe + en début de ligne.
2.Carte mentale pour l’addition de deux nombres relatifs :
3.Différence de deux nombres relatifs :
Remarque :
Exemples :
Calculer les expressions suivantes :
4.Carte mentale pour la soustraction de deux nombres relatifs :
Autre version de cette leçon
I. Les nombres relatifs
Il existe deux type de nombres :
- les nombres positifs qui sont les nombres supérieurs à zéro;
- les nombres négatifs qui sont les nombres inférieurs à zéro.
- + 3,2 est un nombre relatif positif, il peut aussi s’écrire 3,2.
- – 5 est un nombre négatif. C’est un nombre entier relatif.
- D’autres exemples de nombres relatifs positifs : +12; 0,5; .
II.Repérage sur une droite graduée
Chaque point appartenant à une droite graduée peut être repéré par un nombre relatif appelé l’abscisse de ce point.
Par exemple, le point M d’abscisse +3 sera noté M(+3).
Une droite graduée est une droite possédant une origine notée O dont l’abscisse est nulle et possédant une unité telle que OI=1 avec I le point d’abscisse 1.
- L’abscisse de l’origine O est le nombre .
- Les points A, B et C ont pour abscisses respectives -4; – 2,5; 4.
On appelle distance à zéro (ou partie numérique) d’un nombre relatif, la partie de ce nombre privée de son signe.Sur une droite graduée, la distance à zéro d’un nombre relatif représenté par un point M est la distance OM.
Exemple :
- La distance à zéro du nombre – 2,5 est la distance OB car B a pour abscisse – 2,5. Elle vaut donc 2,5.
- La distance à zéro du nombre + 4 est la distance OC. Elle est donc égale à 4.
On appelle nombres relatifs opposés, deux nombres relatifs ayant la même partie numérique mais ayant des signes contraires.
Exemple :
Les nombres + 7,2 et – 7,2 sont des nombres opposés.
Remarque :
Deux points d’abscisses opposées sont symétriques par rapport à l’origine.
III.Repérage dans le plan
On appelle repère orthogonal du plan la donnée de deux axes perpendiculaires sécant au point O.L’axe horizontal est appelé l’axe des abscisses.
L’axe vertical est appelé l’axe des ordonnées.
Le point d’intersection de ces deux axes est appelé l’origine du repère et est noté O.
Tout point M du plan peut être repéré par un couple de nombres relatifs appelé coordonnées du point dans le repère orthogonal du plan.
Le premier nombre relatif est l’abscisse du point M et le second est l’ordonnée du point M.
Exemple :
Le point H est repéré grâce aux nombres relatifs – 2 et 3.
– 2 est sur l’axe des abscisses et 3 est sur l’axe des ordonnées.
On dit que H a pour abscisse – 2 et pour ordonnées 3.
Le point H a pour coordonnées – 2 et 3 et on note H ( – 2; 3).
Remarques :
- O a pour coordonnées (0;0).
- Tout point placé sur l’axe des abscisses a une ordonnée nulle, comme le point B(-4;0).
- Tout point placé sur l’axe des ordonnées a une abscisse nulle, comme le point F (0; – 2).
IV.Comparaison de nombres relatifs
Un nombre négatif est inférieur à un nombre positifSi deux nombres sont positifs, le plus grand est celui qui possède la plus grande partie numérique.
Si deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui possède la plus petite partie numérique.
Exemples :
- Les nombres 5,4 et 5,17 sont deux nombres positifs.5,4 a la plus grande partie numérique donc 5,4 > 5,17.
- Les nombres – 6 et – 3 sont négatifs et – 6 < 3 car – 3 a la plus petite partie numérique.
V.Addition de deux nombres relatifs
On considère deux nombres relatifs.
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, il faut :
- conserver le signe en commun
- additionner les parties numériques.
Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, il faut :
- conserver le signe du nombre ayant la plus grande partie numérique;
- calculer la différence positive entre les deux parties numériques.
Exemple :
A = +3
B = – 8
La somme de deux nombres relatifs opposés est nulle.
Exemple :
Pour effectuer la somme de plusieurs nombres relatifs, on effectue les calculs dans le sens de la lecture en appliquant la règle précédente.
Exemple :
VI. Soustraction de deux nombres relatifs
Soustraire un nombre c’est lui ajouter son opposé.
Pour effectuer les soustractions de nombres relatifs dans une expression numérique, il faut :
- Transformer les soustractions en additions;
- Appliquer les règles de calculs précédentes pour l’addition.
Exemples :
A = (+17) – (-7)
A = (+ 17) + (+ 7)
A= 24
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