Correction du bac de maths : Récurrence, exercices des sujets officiels
Voici la correction bac de maths Récurrence : chaque exercice des sujets sur raisonnement par récurrence est corrigé en détail.
Utilise cette correction bac récurrence comme un modèle de rédaction pour les 37 exercices de la fiche. D’abord, rédige ta propre démonstration sans aide. Ensuite, place ta copie à côté du corrigé et vérifie les quatre étapes : propriété, initialisation, hérédité, conclusion.
Observe en particulier l’hérédité. En effet, le corrigé part toujours de l’hypothèse au rang n, puis transforme l’inégalité étape par étape. Ainsi, tu comprends pourquoi chaque ligne est justifiée. De plus, les solutions signalent quand une fonction croissante permet de conserver l’ordre. C’est l’argument qui revient le plus souvent.
Côté barème, une récurrence incomplète perd vite la moitié de ses points. Donc, si une étape manque dans ta copie, recopie la version du corrigé une fois, puis refais l’exercice le lendemain sans regarder. Enfin, reviens aux énoncés pour attaquer une nouvelle démonstration, cette fois sous chrono.
Toutes les notionsLes énoncés de ces exercices
Correction du bac de maths : 37 exercices sur raisonnement par récurrence
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Session 2026
Amérique du Nord, jour 2 Exercice 2 · 6 ptsSpécialité
Suite récurrente définie par \(f(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}}\) : encadrement par récurrence, limite retrouvée via une suite géométrique auxiliaire, puis sommes de carrés programmées en Python et comparées.
France, jour 1 Exercice 3 · 6 ptsSpécialité
Équation différentielle \(y^{\prime}=-0,035y+0,91\) modélisant le chauffage d’une pièce, puis suite de refroidissement minorée par récurrence, convergente, et programme Python de remise en marche.
France, septembre, jour 2 Exercice 1 · 5 ptsSpécialité
Loi binomiale appliquée aux lancers francs d’une basketteuse avec seuil et script Python, puis suite \(p_{n+1}=0{,}3p_n+0{,}4\) étudiée par récurrence pour un autre joueur.
Session 2025
Amérique du Nord, jour 1 Exercice 2 · 5 ptsSpécialité
Suite auxiliaire \(a_n=\dfrac{u_n}{u_n-1}\) minorée par récurrence afin d’obtenir la limite de \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}\), puis interprétation d’une fonction Python de seuil.
Centres étrangers, jour 2 Exercice 1 · 6 ptsSpécialité
Suite géométrique puis suite \(v_{n+1}=-0{,}05v_n^2+1{,}1v_n\) étudiée par récurrence et convergence, afin de comparer deux populations animales avec un programme Python.
France, septembre, jour 1 Exercice 3 · 6 ptsSpécialité
Convergence de deux suites vers 2 : suite \(u_{n+1}=\sqrt{3u_n-2}\) encadrée par récurrence avec programme Python de rang, puis suite homographique étudiée grâce à une suite géométrique auxiliaire.
France, septembre, jour 2 Exercice 1 · 6 ptsSpécialité
Loi binomiale pour un premier modèle du phénomène El Niño, puis suite \(p_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}3\) issue d’un arbre, étudiée par récurrence et suite géométrique auxiliaire.
Session 2024
Amérique du Nord, jour 2 Exercice 3 · 6 ptsSpécialité
Suite définie par \(u_{n+1}=2u_n-u_n^2\) étudiée par récurrence puis via la suite géométrique \(v_n=\ln(1-u_n)\), avant un script Python de seuil.
Centres étrangers, jour 2 Exercice 4 · 4 ptsSpécialité
Suite définie par \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}\) convergeant vers le nombre d’or, avec étude préalable de \(f\), récurrence sur la monotonie puis interprétation d’un script Python de seuil.
France, jour 2 Exercice 3 · 5 ptsSpécialité
Suite \(u_{n+1}=u_n^2-2u_n+2\) étudiée selon la valeur de \(a\) : récurrence et convergence, programme Python, puis suite géométrique \(v_n=\ln(u_n-1)\) pour la limite générale.
France, septembre, jour 1 Exercice 3 · 5 ptsSpécialité
Cinq affirmations à valider sur les suites : suite géométrique auxiliaire, encadrement et convergence, formule par récurrence, puis limite d’une suite calculée en Python.
Session 2023
Amérique du Nord, jour 1 Exercice 4 · 5 ptsSpécialité
Méthode de Héron pour approcher \(\sqrt{11}\) : récurrence, convergence et limite d’une suite, puis rectangles d’aire 11 et script Python à exécuter.
Amérique du Nord, jour 2 Exercice 2 · 5 ptsSpécialité
Suite arithmético-géométrique décrivant les transferts entre deux clubs sportifs, avec récurrence, suite géométrique auxiliaire et limite, avant un programme Python de seuil.
Centres étrangers (groupe 1), jour 2 Exercice 2, jour 2) · 6 ptsSpécialité
Fonction \(f(x)=\ln(2x+3)-1\) étudiée à travers \(g(x)=f(x)-x\) et son point fixe \(\alpha\), puis récurrence prouvant la convergence de la suite \(u_{n+1}=f(u_n)\).
Centres étrangers, jour 1 Exercice 2 · 5 ptsSpécialité
Probabilités conditionnelles sur les trajets vélo ou transports de M. Durand, qui mènent ensuite à la relation \(p_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}6\), démontrée puis exploitée par récurrence.
Centres étrangers, jour 2 Exercice 2 · 5 ptsSpécialité
Variations, signe et limite de \(f(x)=x-\ln(1+x)\), ensuite récurrence, décroissance et convergence de la suite définie par \(u_{n+1}=u_n-\ln(1+u_n)\) avec \(u_0=10\).
France, jour 1 Exercice 3 · 5 ptsSpécialité
Suite arithmético-géométrique démontrée par récurrence pour modéliser les questions d’une FAQ, ensuite programme Python de seuil et comparaison avec un modèle exponentiel \(v_n=9-6\text{e}^{-0,19(n-1)}\).
France, jour 2 Exercice 2 · 5 ptsSpécialité
Suites modélisant une population d’insectes : d’abord un modèle géométrique et son seuil, puis une suite logistique étudiée par récurrence et une fonction Python seuil.
France, septembre, jour 2 Exercice 3 · 5 ptsSpécialité
Suite définie par \(u_{n+1}=\frac{1}{\text{e}}(1+\frac{1}{n})u_n\) : programme Python à compléter, monotonie et convergence, puis formule \(u_n=\frac{n}{\text{e}^n}\) prouvée par récurrence avant la limite.
Session 2022
Amérique du Nord, jour 1 Exercice 2 · 7 ptsSpécialité
Suite arithmético-géométrique modélisant le refroidissement d’un gâteau : récurrence, suite géométrique auxiliaire et limite, puis lecture d’une fonction Python qui cherche un seuil.
Amérique du Nord, jour 2 Exercice 1 · 7 ptsSpécialité
Probabilités conditionnelles sur la position d’un vélo de location, puis suite \(a_{n+1}=0{,}6a_n+0{,}24\) démontrée par récurrence avant l’étude de sa limite.
France, jour 1 Exercice 1 · 7 ptsSpécialité
Étude de \(f(t)=3t\,\text{e}^{-0{,}5t+1}\) modélisant un médicament dans le sang, puis suite arithmético-géométrique d’injections répétées étudiée par récurrence pour comparer deux protocoles.
France, septembre, jour 1 Exercice 3 · 7 ptsSpécialité
Étude de \(f(x)=\ln x / x\) et de l’équation \(f(x)=k\), réutilisée ensuite pour trouver la limite de la suite récurrente \(u_{n+1}=\text{e}^{u_n/4}\) bornée par récurrence.
France, septembre, jour 2 Exercice 3 · 7 ptsSpécialité
Fonction logarithme \(f(x)=x-x\ln x\) étudiée en limites et variations, puis suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\) traitée par récurrence, enfin maximum d’une famille \(f_k\).
Liban, jour 1 Exercice 3 · 6 ptsSpécialité
Étude de \(f(x)=1+x-\text{e}^{0,5x-2}\) avec limites et variations, puis suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\) bornée par récurrence et programme Python de seuil à interpréter.
Liban, jour 2 Exercice 4 · 6 ptsSpécialité
Étude de \(f(x)=\text{e}^{-x}+\ln x\) sur \(]0;1]\) avec limite, variations et unique zéro, puis deux suites croisées adjacentes traitées par récurrence et complétion d’un script Python.
Session 2021
Amérique du Nord, mai Exercice 2 · 5 ptsSpécialité
Suite récurrente \(u_{n+1}=0{,}75u_n(1-0{,}15u_n)\) modélisant une espèce animale menacée sur une île, avec variations de \(f\), récurrence puis limite, enfin une fonction Python de seuil.
Centres étrangers, jour 1 Exercice 3 · 5 ptsSpécialité
Suite arithmético-géométrique modélisant le télétravail dans une entreprise, puis récurrence et convergence d’une suite homographique \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n+4}{u_n+2}\) mesurant les salariés satisfaits.
Centres étrangers, jour 2 Exercice 2 · 5 ptsSpécialité
Suite arithmético-géométrique \(u_{n+1}=0{,}98u_n+250\) modélisant les panneaux d’une centrale solaire, avec récurrence, boucle Python et suite géométrique, puis étude d’un modèle exponentiel.
France, jour 1 Exercice 3 · 6 ptsSpécialité
Suite arithmético-géométrique \(T_{n+1}=0{,}94\,T_n+1{,}5\) modélisant la décongélation de gâteaux, avec récurrence et convergence, puis un seuil programmé en Python.
France, jour 2 Exercice 3 · 5 ptsSpécialité
Suite homographique \(u_{n+1}=\frac{4u_n}{u_n+4}\) étudiée par récurrence et monotonie, puis transformée en suite arithmétique \(v_n=\frac{4}{u_n}\) afin d’obtenir sa limite.
France, mars, sujet 1 Exercice A — au choix · 5 ptsSpécialité
Récurrence pour encadrer \(n\leqslant u_n\leqslant n+1\), puis suite géométrique auxiliaire de raison \(\frac34\) et formule tableur à étirer pour la suite \((u_n)\).
France, mars, sujet 2 Exercice 2 — commun à tous les candidats · 6 ptsSpécialité
Suites couplées \(u_{n+1}=u_n+v_n\) et \(v_{n+1}=2u_n+v_n\) étudiées par récurrence et encadrement, afin que le quotient \(v_n/u_n\) approche \(\sqrt{2}\), enfin lecture d’un seuil en Python.
France, septembre, jour 1 Exercice 2 · 5 ptsSpécialité
Suite récurrente \(u_{n+1}=\dfrac{4u_n}{1+3u_n}\) encadrée par récurrence, puis seuil programmé en Python, avant le passage par une suite géométrique auxiliaire de raison 4 pour trouver la limite.
France, septembre, jour 2 Exercice A · 5 ptsSpécialité
Suites adjacentes définies par des moyennes pondérées : différence géométrique de raison \(0{,}1\), monotonie, minoration par récurrence, puis suite constante \(5u_n+4v_n\) donnant la limite commune.
Session 2020
France, septembre Exercice 4 — candidats ayant suivi l'enseignement de spécial · 5 ptsBac S
Congruences et PGCD des entiers \(6\times5^n-2\) et \(3\times5^n+1\), puis correction d’un algorithme et suites couplées écrites sous forme matricielle.
France, septembre Exercice 4 — candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de s · 5 ptsBac S
Suite produit \(v_n=u_1\times\ldots\times u_n\) étudiée par algorithme, monotonie et récurrence jusqu’à sa limite, avant une somme de logarithmes à simplifier.
Notions à travailler ensuite
Tes questions sur cette notion
L’initialisation peut-elle tenir en une ligne ?
Oui. Un calcul du premier terme suivi d’une phrase de conclusion suffit, par exemple : u(0) = 1 et 1 est bien positif, donc P(0) est vraie. L’essentiel est de ne pas l’oublier.
Le correcteur accepte-t-il une hérédité par équivalences ?
Oui si chaque équivalence est juste, mais c’est risqué. Une suite d’implications partant de l’hypothèse est plus sûre et plus lisible. Le corrigé privilégie donc cette présentation.
Dois-je réécrire la conclusion en entier ?
Une phrase suffit : la propriété est vraie au premier rang et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel. Cette phrase compte dans le barème, ne la saute pas.
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