Aires de figures composées et problèmes : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « aires de figures composées et problèmes », question par question.
Dans cette correction, chaque figure est d’abord découpée en morceaux simples, et la formule utilisée est écrite avant le calcul : \(L \times l\) pour le rectangle, base fois hauteur divisé par 2 pour le triangle, \(\pi \times r \times r\) divisé par 2 pour le demi-disque. Les multiplications par \(3{,}14\) sont détaillées pour être refaites à la main.
Le plan de la chambre est redessiné avec son découpage en deux rectangles. Les pièges signalés portent surtout sur le périmètre, où l’on compte souvent un trait intérieur en trop. Suis le barème pour repérer les points de méthode que tu peux récupérer.
L’énoncé complet se trouve ici : Aires de figures composées et problèmes : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : aires de figures composées et problèmes
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Aires sur quadrillage | 4 points |
| 2. La chambre en L | 3 points |
| 3. Le terrain de la famille Moreau | 5 points |
| 4. Le logo du club | 4 points |
| 5. Le gazon et le massif | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : aires de figures composées et problèmes
Exercice 1 – Aires sur quadrillage (4 points)
- D’abord, on compte les carreaux de \(1\text{ cm}^2\) :
F1 : \(6 \times 2 = 12\) carreaux ; F2 : \(4 \times 3 = 12\) carreaux ; F3 : 6 carreaux pour la barre et \(2 \times 3 = 6\) pour le pied, soit 12 carreaux.
Les trois figures ont la même aire : \(12\text{ cm}^2\). - Ensuite, F1 : \(6 + 2 + 6 + 2 = 16\), soit 16 cm.
F2 : \(4 + 3 + 4 + 3 = 14\), soit 14 cm.
F3 : on fait le tour : \(6 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 1 = 20\), soit 20 cm. - Inès a tort, car F1, F2 et F3 ont toutes une aire de \(12\text{ cm}^2\), mais leurs périmètres sont différents (16 cm, 14 cm et 20 cm).
Piège classique : pour F3, oublier les petits côtés de 1 cm aux extrémités de la barre ou les deux segments de 2 cm sous la barre. Il faut suivre tout le contour avec le crayon.
Exercice 2 – La chambre en L (3 points)
- D’abord, on découpe la chambre par un trait horizontal : un rectangle R1 de 6 m sur 2 m en bas et un rectangle R2 de 4 m sur 3 m en haut (\(5 – 2 = 3\)).
\(\text{Aire}_{R1} = 6 \times 2 = 12\text{ m}^2\)
\(\text{Aire}_{R2} = 4 \times 3 = 12\text{ m}^2\)
L’aire de la chambre est \(12 + 12 = 24\text{ m}^2\). - Ensuite, \(24 \times 25 = 600\). Le parquet coûtera 600 €.
- Périmètre de la chambre : \(6 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 = 22\text{ m}\). Puis on retire la porte : \(22 – 1 = 21\). Il faut 21 m de plinthes.
Piège classique : calculer \(6 \times 5 = 30\text{ m}^2\) comme si la chambre était un rectangle complet. Le coin manquant de 2 m sur 3 m, soit \(6\text{ m}^2\), doit être retiré. Ainsi, \(30 – 6 = 24\text{ m}^2\) et on retrouve le même résultat.
Exercice 3 – Le terrain de la famille Moreau (5 points)
- \(\text{Aire}_{ABCD} = AB \times BC = 30 \times 20 = 600\). L’aire du rectangle est \(600\text{ m}^2\).
- Ensuite, dans le triangle BEC, la base [BC] mesure 20 m (côté du rectangle) et la hauteur correspondante est [EH], perpendiculaire à (BC), de longueur 24 m.
\(\text{Aire}_{BEC} = \frac{BC \times EH}{2} = \frac{20 \times 24}{2} = \frac{480}{2} = 240\)
L’aire du triangle est \(240\text{ m}^2\). - Ainsi, \(600 + 240 = 840\). L’aire du terrain est \(840\text{ m}^2\).
- Le contour du terrain est formé de [AB], [BE], [EC], [CD] et [DA]. En effet, le segment [BC] est intérieur.
\(30 + 26 + 26 + 30 + 20 = 132\)
Le périmètre du terrain est 132 m. - Enfin, \(132 \times 4 = 528\). La famille Moreau paiera 528 € de grillage.
Piège classique : utiliser 26 m comme hauteur du triangle. La hauteur relative à [BC] est le segment perpendiculaire à (BC), c’est-à-dire [EH], qui mesure 24 m. En effet, les côtés de 26 m servent seulement au périmètre.
Exercice 4 – Le logo du club (4 points)
- \(8 \times 8 = 64\). L’aire du carré est \(64\text{ cm}^2\).
- Le diamètre du demi-disque est le côté du carré, 8 cm, donc le rayon mesure 4 cm.
Aire du disque entier : \(\pi \times 4 \times 4 = 16\pi \approx 16 \times 3{,}14 = 50{,}24\).
Aire du demi-disque : \(50{,}24 \div 2 = 25{,}12\).
L’aire du demi-disque vaut environ \(25{,}12\text{ cm}^2\). - Ainsi, \(64 + 25{,}12 = 89{,}12\). L’aire du logo vaut environ \(89{,}12\text{ cm}^2\).
- Le contour est formé de trois côtés du carré et d’un demi-cercle, car le côté supérieur du carré est intérieur.
Trois côtés : \(3 \times 8 = 24\text{ cm}\).
Demi-cercle : la longueur du cercle entier est \(\pi \times 8 \approx 25{,}12\), donc le demi-cercle mesure environ \(25{,}12 \div 2 = 12{,}56\text{ cm}\).
\(24 + 12{,}56 = 36{,}56\). Le périmètre du logo vaut environ 36,56 cm.
Piège classique : prendre 8 cm comme rayon et trouver une aire quatre fois trop grande. Le côté du carré est un diamètre : le rayon est sa moitié.
Exercice 5 – Le gazon et le massif (4 points)
- \(20 \times 12 = 240\). L’aire du jardin est \(240\text{ m}^2\).
- D’abord, disque entier de rayon 5 m : \(\pi \times 5 \times 5 = 25\pi \approx 25 \times 3{,}14 = 78{,}5\).
Demi-disque : \(78{,}5 \div 2 = 39{,}25\).
L’aire du massif vaut environ \(39{,}25\text{ m}^2\). - Ainsi, \(240 – 39{,}25 = 200{,}75\). Il faut semer environ \(200{,}75\text{ m}^2\) de gazon.
- 8 sacs couvrent \(8 \times 25 = 200\text{ m}^2\), c’est un peu moins que \(200{,}75\text{ m}^2\). Il faut donc un sac de plus, soit 9 sacs, qui couvrent \(225\text{ m}^2\).
\(9 \times 18 = 162\).
Salomé doit acheter 9 sacs et paiera 162 €.
Piège classique : répondre 8 sacs parce que \(200{,}75 \div 25\) fait environ 8. Avec 8 sacs, il resterait \(0{,}75\text{ m}^2\) sans gazon : on arrondit toujours au nombre entier de sacs supérieur.
À retenir de ce contrôle
- Pour l’aire d’une figure composée, on la découpe en figures simples, puis on additionne ou on soustrait les aires des morceaux.
- Le périmètre ne compte que le contour extérieur de la figure : les traits intérieurs du découpage ne comptent pas.
- L’aire d’un demi-disque de rayon r vaut π × r × r divisé par 2, et la longueur d’un demi-cercle π × r.
- L’aire d’un triangle se calcule avec une base et la hauteur qui lui correspond, perpendiculaire à cette base.
- Deux figures de même aire n’ont pas forcément le même périmètre, et réciproquement.
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