Aires et volumes : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « aires et volumes », question par question.
Cette correction reprend chaque question avec la rédaction attendue en classe : formule écrite, puis calcul posé en ligne, et enfin phrase réponse avec l’unité. Pour les conversions, elle rappelle combien de rangs il faut décaler, car ce nombre change selon qu’on parle d’aire ou de volume. Deux schémas montrent aussi comment découper une base en un rectangle et un triangle rectangle.
Pour le cylindre, la correction distingue la valeur exacte avec π et la valeur approchée avec 3,14. Le barème indique les points de méthode et de résultat. Enfin, les pièges classiques signalés t’aideront à repérer les erreurs d’unités, qui coûtent le plus de points.
L’énoncé complet se trouve ici : Aires et volumes : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : aires et volumes
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Conversions d’unités | 3 points |
| 2. Le prisme à base trapèze | 4 points |
| 3. Le patron du cylindre | 4 points |
| 4. La boîte cadeau de Rose | 4 points |
| 5. La piscine des Ferreira | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : aires et volumes
Exercice 1 – Conversions d’unités (3 points)
- On sait que \(1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2\), donc \(3{,}5 \times 100 = 350\). \(3{,}5\text{ m}^2 = 350\text{ dm}^2\)
- Comme \(1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2\), on divise par \(10\,000\) : \(4\,200 \div 10\,000 = 0{,}42\). \(4\,200\text{ cm}^2 = 0{,}42\text{ m}^2\)
- Pour les volumes, on décale de trois rangs, car \(1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3\). \(2{,}7\text{ dm}^3 = 2\,700\text{ cm}^3\)
- On a \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ L}\), ainsi \(1{,}5 \times 1\,000 = 1\,500\). \(1{,}5\text{ m}^3 = 1\,500\text{ L}\)
- D’abord, \(850\text{ cm}^3 = 0{,}85\text{ dm}^3\). Or \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}\). \(850\text{ cm}^3 = 0{,}85\text{ L}\)
- Ici, \(60\text{ cL} = 0{,}6\text{ L} = 0{,}6\text{ dm}^3\), puis \(0{,}6 \times 1\,000 = 600\). \(60\text{ cL} = 600\text{ cm}^3\)
Piège classique : décaler d’un seul rang par unité, comme pour les longueurs. Pourtant, on décale de deux rangs pour les aires et de trois pour les volumes.
Exercice 2 – Le prisme à base trapèze (4 points)
- AKCD est un rectangle de côtés \(AK = 4\text{ cm}\) et \(AD = 4\text{ cm}\). Son aire vaut alors \(4 \times 4 = 16\text{ cm}^2\).
KBC est un triangle rectangle en K, avec \(KB = 7 – 4 = 3\text{ cm}\) et \(KC = AD = 4\text{ cm}\). Son aire vaut donc \(\frac{3 \times 4}{2} = 6\text{ cm}^2\).
Enfin, on additionne : \(16 + 6 = 22\). L’aire du trapèze ABCD est \(22\text{ cm}^2\). - Le volume d’un prisme droit est égal à l’aire de la base multipliée par la hauteur. Ainsi, \(22 \times 10 = 220\). Le volume du prisme est \(220\text{ cm}^3\).
- Le périmètre de la base vaut \(7 + 5 + 4 + 4 = 20\text{ cm}\). Par conséquent, l’aire latérale vaut \(20 \times 10 = 200\). L’aire latérale est \(200\text{ cm}^2\).
- Comme \(1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}\), le moule contient \(220\text{ mL}\). Sa contenance est \(0{,}22\text{ L}\).
Piège classique : oublier de diviser par 2 l’aire du triangle KBC. En effet, un triangle rectangle est la moitié d’un rectangle.
Exercice 3 – Le patron du cylindre (4 points)
- Quand on enroule le rectangle pour former la surface latérale, sa longueur fait exactement le tour d’un disque de base. Elle est donc égale au périmètre de ce disque : \(L = 2 \times \pi \times 3\). La valeur exacte est \(L = 6\pi\text{ cm}\).
- On remplace alors π par \(3{,}14\) : \(6 \times 3{,}14 = 18{,}84\). \(L \approx 18{,}84\text{ cm}\)
- Le rectangle mesure \(18{,}84\text{ cm}\) sur \(5\text{ cm}\), donc son aire vaut \(18{,}84 \times 5 = 94{,}2\). L’aire latérale est d’environ \(94{,}2\text{ cm}^2\).
- L’aire d’un disque de base vaut \(\pi \times 3 \times 3 = 9\pi \approx 28{,}26\text{ cm}^2\). Ensuite, le volume vaut \(9\pi \times 5 = 45\pi\), soit \(45 \times 3{,}14 = 141{,}3\). Le volume est d’environ \(141{,}3\text{ cm}^3\).
Piège classique : utiliser le diamètre à la place du rayon dans l’aire du disque. On calcule \(\pi \times r \times r\), avec \(r = 3\text{ cm}\), et non \(\pi \times 6 \times 6\).
Exercice 4 – La boîte cadeau de Rose (4 points)
- La base est un triangle rectangle, donc son aire vaut la moitié du produit des côtés de l’angle droit : \(\frac{6 \times 8}{2} = 24\). L’aire d’une base est \(24\text{ cm}^2\).
- On multiplie ensuite l’aire de la base par la longueur : \(24 \times 20 = 480\). Le volume de la boîte est \(480\text{ cm}^3\).
- Il faut donc recouvrir les deux bases et les trois faces rectangulaires.
Deux bases : \(2 \times 24 = 48\text{ cm}^2\).
Faces latérales : \((6 + 8 + 10) \times 20 = 24 \times 20 = 480\text{ cm}^2\).
Au total : \(48 + 480 = 528\). Rose doit recouvrir \(528\text{ cm}^2\). - L’aire de la feuille vaut \(30 \times 20 = 600\text{ cm}^2\). Or \(528 \leq 600\), donc la feuille est assez grande. Oui, l’aire de la feuille suffit : il reste même \(72\text{ cm}^2\) pour les rabats.
Piège classique : oublier les deux bases triangulaires dans l’emballage, ou n’en compter qu’une seule.
Exercice 5 – La piscine des Ferreira (5 points)
- La face avant se découpe en un rectangle de \(10\text{ m}\) sur \(1\text{ m}\) et un triangle rectangle de côtés \(10\text{ m}\) et \(2 – 1 = 1\text{ m}\).
Rectangle : \(10 \times 1 = 10\text{ m}^2\).
Triangle : \(\frac{10 \times 1}{2} = 5\text{ m}^2\).
L’aire de la face avant est \(10 + 5 = 15\text{ m}^2\). - En effet, la piscine est un prisme droit dont la base est la face avant et la hauteur est la largeur : \(15 \times 4 = 60\). Le volume de la piscine est \(60\text{ m}^3\).
- Puisque \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}\), on calcule \(60 \times 1\,000 = 60\,000\). La piscine contient \(60\,000\text{ L}\).
- Ensuite, on cherche combien de fois \(5\,000\text{ L}\) sont contenus dans \(60\,000\text{ L}\) : \(60\,000 \div 5\,000 = 12\). Il faut 12 heures pour remplir la piscine.
- Enfin, le prix vaut \(60 \times 3{,}50 = 60 \times 3 + 60 \times 0{,}5 = 180 + 30 = 210\). L’eau coûte \(210\) €.
Piège classique : calculer \(10 \times 4 \times 2 = 80\text{ m}^3\) en prenant partout la plus grande profondeur. Or le fond est en pente, donc la piscine n’est pas un pavé droit.
À retenir de ce contrôle
- Pour les aires, on décale de deux rangs par unité, car 1 m² = 100 dm² ; pour les volumes, on décale de trois rangs.
- Le volume d’un prisme droit ou d’un cylindre est égal à l’aire de sa base multipliée par sa hauteur.
- Dans le patron d’un cylindre, la longueur du rectangle est égale au périmètre du disque de base, soit 2 × π × rayon.
- Un litre correspond à un décimètre cube, donc 1 m³ = 1 000 L et 1 cm³ = 1 mL.
- L’aire latérale d’un prisme droit se calcule en multipliant le périmètre de la base par la hauteur du prisme.
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