Identités remarquables et factorisation : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « identités remarquables et factorisation », question par question.
Cette correction rédige chaque calcul étape par étape, en nommant l’identité utilisée avant de l’appliquer. Elle signale aussi les erreurs de signe les plus fréquentes, notamment devant une parenthèse précédée d’un moins. Pour les factorisations, une vérification rapide par développement accompagne le résultat.
Dans le problème de la terrasse, un découpage de la figure montre pourquoi l’aire dallée se factorise, ce qui donne du sens à la formule. Chaque exercice se termine par son barème, alors tu peux évaluer ta copie question par question. Ensuite, reprends les calculs manqués sans regarder la solution, puis compare à nouveau : c’est ainsi que les automatismes se fixent.
L’énoncé complet se trouve ici : Identités remarquables et factorisation : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : identités remarquables et factorisation
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Développer avec les identités | 4 points |
| 2. Factoriser des expressions | 4 points |
| 3. Calculs astucieux et fractions | 4 points |
| 4. Choisir la bonne forme | 4 points |
| 5. La terrasse et le bassin | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : identités remarquables et factorisation
Exercice 1 – Développer avec les identités (4 points)
- On applique \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) avec \(a = x\) et \(b = 5\).
Ainsi \(A = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2\).
Donc \(A = x^2 + 10x + 25\). - On applique \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) avec \(a = 3x\) et \(b = 2\).
Ainsi \(B = (3x)^2 – 2 \times 3x \times 2 + 2^2\).
Donc \(B = 9x^2 – 12x + 4\). - On reconnaît \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\) avec \(a = 2x\) et \(b = 7\).
Ainsi \(C = (2x)^2 – 7^2\).
Donc \(C = 4x^2 – 49\). - D’abord, \((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\). Ensuite, \((x – 1)(x + 1) = x^2 – 1\).
On garde les parenthèses : \(D = x^2 + 8x + 16 – \left(x^2 – 1\right)\).
Puis \(D = x^2 + 8x + 16 – x^2 + 1\).
Donc \(D = 8x + 17\).
La partie 1 est un carré d’aire \(a^2\). La partie 4 est un carré d’aire \(b^2\). Les parties 2 et 3 sont des rectangles de côtés \(a\) et \(b\), donc chacune a pour aire \(ab\). Or l’aire du grand carré vaut aussi \((a + b)^2\). Par conséquent, \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Piège classique : écrire \((x + 5)^2 = x^2 + 25\) en oubliant le double produit \(10x\). La figure le montre bien, car les deux rectangles orange ne disparaissent pas.
Exercice 2 – Factoriser des expressions (4 points)
- Le facteur commun est \(3x\), car \(6x^2 = 3x \times 2x\) et \(15x = 3x \times 5\). Donc \(E = 3x(2x – 5)\).
- Le facteur commun est \((x + 1)\).
Ainsi \(F = (x + 1)\left[(2x – 3) + (x + 4)\right]\).
Donc \(F = (x + 1)(3x + 1)\). - On a \(G = x^2 – 9^2\), c’est une différence de deux carrés. Donc \(G = (x – 9)(x + 9)\).
- Comme \(16 = 4^2\), on applique \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).
Ici, \(a = 2x + 1\) et \(b = 4\).
Ainsi \(H = (2x + 1 – 4)(2x + 1 + 4)\).
Donc \(H = (2x – 3)(2x + 5)\).
Vérifions en développant. D’une part, \((2x – 3)(2x + 5) = 4x^2 + 4x – 15\). D’autre part, \((2x + 1)^2 – 16 = 4x^2 + 4x – 15\). - On reconnaît \(a^2 – 2ab + b^2\) avec \(a = x\) et \(b = 7\). En effet, \(2 \times x \times 7 = 14x\). Donc \(K = (x – 7)^2\).
- On a \(9x^2 = (3x)^2\).
Ainsi \(L = \left[3x – (x + 2)\right]\left[3x + (x + 2)\right]\).
Puis \(L = (2x – 2)(4x + 2)\).
Enfin, on sort 2 de chaque facteur : \(L = 4(x – 1)(2x + 1)\).
Piège classique : dans \(L\), écrire \(3x – x + 2\) au lieu de \(3x – x – 2\). En effet, le moins placé devant la parenthèse change aussi le signe du 2.
Exercice 3 – Calculs astucieux et fractions (4 points)
- On écrit \(101^2 = (100 + 1)^2 = 10\,000 + 200 + 1\). Donc \(101^2 = 10\,201\).
- On écrit \(49 \times 51 = (50 – 1)(50 + 1)\).
Ainsi \(49 \times 51 = 50^2 – 1^2 = 2\,500 – 1\).
Donc \(49 \times 51 = 2\,499\). - On utilise \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).
Ainsi \(1\,003^2 – 997^2 = (1\,003 – 997)(1\,003 + 997)\).
Puis \(1\,003^2 – 997^2 = 6 \times 2\,000\).
Donc \(1\,003^2 – 997^2 = 12\,000\). - On factorise le numérateur : \(x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)\).
Or \(x + 3\) n’est pas nul, car \(x \neq -3\).
Ainsi \(\dfrac{(x – 3)(x + 3)}{x + 3} = x – 3\).
Le quotient vaut \(x – 3\). - Le numérateur vaut \((2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1^2\), soit \((2x + 1)^2\).
De plus, \(2x + 1 \neq 0\).
Ainsi \(\dfrac{(2x + 1)^2}{2x + 1} = 2x + 1\).
Le quotient vaut \(2x + 1\).
Piège classique : « simplifier » \(\dfrac{x^2 – 9}{x + 3}\) en barrant des termes d’une somme. Cependant on ne simplifie que des facteurs, jamais des termes.
Exercice 4 – Choisir la bonne forme (4 points)
- On développe le carré : \(f(x) = x^2 – 6x + 9 – 25\).
Puis on réduit : \(f(x) = x^2 – 6x – 16\). - Comme \(25 = 5^2\), on factorise avec \(a^2 – b^2\).
Ici, \(a = x – 3\) et \(b = 5\).
Ainsi \(f(x) = (x – 3 – 5)(x – 3 + 5)\).
Donc \(f(x) = (x – 8)(x + 2)\). - Avec la forme développée, \(f(0) = 0 – 0 – 16\). Donc \(f(0) = -16\).
Avec la forme de départ, \(f(3) = 0^2 – 25\). Donc \(f(3) = -25\).
Avec la forme factorisée, \(f(-2) = (-10) \times 0\). Donc \(f(-2) = 0\).
Enfin, on reprend la forme développée, car \(\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2\).
Ainsi \(f\left(\sqrt{2}\right) = 2 – 6\sqrt{2} – 16\).
Donc \(f\left(\sqrt{2}\right) = -14 – 6\sqrt{2}\).
Exercice 5 – La terrasse et le bassin (4 points)
- L’aire de la terrasse carrée vaut \((x + 6)^2\). Celle du bassin vaut \(4^2 = 16\). L’aire dallée est la différence des deux. Donc \(A(x) = (x + 6)^2 – 16\).
- On développe : \(A(x) = x^2 + 12x + 36 – 16\).
Donc \(A(x) = x^2 + 12x + 20\). - Comme \(16 = 4^2\), on utilise \(a^2 – b^2\).
Ainsi \(A(x) = (x + 6 – 4)(x + 6 + 4)\).
Donc \(A(x) = (x + 2)(x + 10)\).
Le découpage ci-dessous confirme ce résultat. En effet, la partie dallée se recompose en un rectangle de côtés \(x + 2\) et \(x + 10\).
- Avec la forme factorisée, \(A(4) = (4 + 2)(4 + 10) = 6 \times 14\). Ainsi, l’aire dallée vaut \(84\text{ m}^2\). La forme de départ donne d’ailleurs \(10^2 – 16 = 84\).
- On résout \((x + 6)^2 – 16 = 105\), c’est-à-dire \((x + 6)^2 = 121\).
Or \(x + 6\) est une longueur positive, et \(11^2 = 121\). Alors \(x + 6 = 11\).
Malik doit choisir \(x = 5\), soit une terrasse de 11 m de côté.
Vérifions : \(5^2 + 12 \times 5 + 20 = 25 + 60 + 20 = 105\).
Piège classique : garder aussi la solution \(x + 6 = -11\). Pourtant une longueur ne peut pas être négative, donc cette valeur est exclue.
À retenir de ce contrôle
- Les trois identités remarquables sont (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a + b)(a − b) = a² − b².
- Pour factoriser, on cherche d’abord un facteur commun, puis on reconnaît éventuellement une différence de deux carrés.
- Un moins devant une parenthèse change tous les signes à l’intérieur : il faut donc garder les parenthèses pendant le développement.
- La forme factorisée est la plus pratique pour trouver quand une expression s’annule, la forme développée pour calculer l’image de 0.
- On simplifie un quotient seulement après avoir factorisé, en précisant la valeur interdite qui annule le dénominateur.
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Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon calcul littéral, fractions, puissances, racines carrées.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en seconde.
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