Valeur absolue et distance : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « valeur absolue et distance », question par question.
Dans cette correction, chaque réponse passe par la même idée : traduire la valeur absolue en distance sur la droite réelle, puis lire le résultat sur un dessin. Tu y trouveras la rédaction attendue en seconde, avec le centre et le rayon de chaque intervalle écrits explicitement.
Un schéma récapitule les ensembles de solutions des inéquations, ce qui permet de contrôler les crochets. Pour la racine de 2, les encadrements sont justifiés étape par étape. Le problème de l’atelier montre ensuite comment une tolérance se modélise. Enfin, le barème de chaque exercice précise la répartition des points entre méthode et résultat.
L’énoncé complet se trouve ici : Valeur absolue et distance : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : valeur absolue et distance
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Deux points sur la droite réelle | 4 points |
| 2. Équations et inéquations avec une distance | 5 points |
| 3. Du centre et du rayon à l’intervalle | 4 points |
| 4. Encadrer et arrondir la racine de 2 | 3 points |
| 5. La tolérance de l’atelier | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : valeur absolue et distance
Exercice 1 – Deux points sur la droite réelle (4 points)
- On lit que A a pour abscisse \(-2\) et que B a pour abscisse \(5\). La distance AB est donc la valeur absolue de la différence des abscisses :
\(AB = |5 – (-2)| = |7| = 7\).
La distance AB vaut 7 unités. - D’abord, \(|-7| = 7\). Ensuite, \(|3 – 8| = |-5| = 5\). Enfin, comme \(\pi \approx 3{,}14\), on a \(\pi > 2\), donc \(2 – \pi\) est négatif et sa valeur absolue est son opposé.
\(|-7| = 7\), \(|3 – 8| = 5\) et \(|2 – \pi| = \pi – 2\). - L’égalité \(|x – 5| = 3\) signifie que la distance entre le point d’abscisse \(x\) et le point B est égale à 3. On part donc de 5 et on recule ou on avance de 3 : \(5 – 3 = 2\) et \(5 + 3 = 8\).
Les solutions sont \(x = 2\) et \(x = 8\).
Piège classique : écrire \(|2 – \pi| = 2 – \pi\). Or ce nombre est négatif, alors qu’une valeur absolue est toujours positive ou nulle.
Exercice 2 – Équations et inéquations avec une distance (5 points)
- L’équation \(|x – 3| = 2\) signifie que \(x\) est à la distance 2 du réel 3. Ainsi, \(x = 3 – 2 = 1\) ou \(x = 3 + 2 = 5\).
\(S = \{1 \,;\, 5\}\). - On écrit \(|x + 1| = |x – (-1)|\) : c’est la distance entre \(x\) et \(-1\). Cette distance doit être au plus 4, donc \(x\) est compris entre \(-1 – 4 = -5\) et \(-1 + 4 = 3\), bornes incluses.
\(S = [-5 \,;\, 3]\). - Ici, la distance entre \(x\) et 2 doit être strictement plus grande que 1. Par conséquent, \(x\) est à gauche de \(2 – 1 = 1\) ou à droite de \(2 + 1 = 3\), bornes exclues.
\(S = \,]-\infty \,;\, 1[ \,\cup\, ]3 \,;\, +\infty[\). - On factorise : \(2x – 6 = 2 \times (x – 3)\). Or la valeur absolue d’un produit est le produit des valeurs absolues, donc \(|2x – 6| = |2| \times |x – 3| = 2 \times |x – 3|\). L’équation devient alors \(2 \times |x – 3| = 4\), c’est-à-dire \(|x – 3| = 2\), que l’on a résolue à la question 1.
\(S = \{1 \,;\, 5\}\).
Piège classique : prendre 1 comme centre pour \(|x + 1|\). En effet, le signe plus cache une soustraction de \(-1\), donc le centre est \(-1\).
Exercice 3 – Du centre et du rayon à l’intervalle (4 points)
- Le centre est le milieu des bornes : \(c = \dfrac{4{,}5 + 7{,}5}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\). Le rayon est la demi-longueur : \(r = \dfrac{7{,}5 – 4{,}5}{2} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\).
\(x \in [4{,}5 \,;\, 7{,}5]\) équivaut à \(|x – 6| \leq 1{,}5\). - De même, \(c = \dfrac{-2 + 8}{2} = 3\) et \(r = \dfrac{8 – (-2)}{2} = 5\). Comme les bornes sont exclues, l’inégalité est stricte.
\(x \in \,]-2 \,;\, 8[\) équivaut à \(|x – 3| < 5\). - On lit sur la droite l’intervalle fermé \([-1 \,;\, 5]\). Son centre vaut \(\dfrac{-1 + 5}{2} = 2\) et son rayon \(\dfrac{5 – (-1)}{2} = 3\).
La condition s’écrit \(|x – 2| \leq 3\). - On calcule la distance : \(|1{,}52 – 1| = 0{,}52\). Or \(0{,}52 > 0{,}5\), donc l’inégalité stricte n’est pas vérifiée.
Le réel \(1{,}52\) ne vérifie pas \(|x – 1| < 0{,}5\).
Exercice 4 – Encadrer et arrondir la racine de 2 (3 points)
- Les deux bornes \(1{,}4142\) et \(1{,}4143\) ont le même arrondi au centième, car leur chiffre des millièmes est 4. L’arrondi de \(\sqrt{2}\) au centième est \(1{,}41\).
- On soustrait \(1{,}41\) à chaque membre de l’encadrement :
\(0{,}0042 < \sqrt{2} – 1{,}41 < 0{,}0043\).
Le nombre \(\sqrt{2} – 1{,}41\) est donc positif, et il est égal à sa valeur absolue. Ainsi, \(|\sqrt{2} – 1{,}41| < 0{,}0043 < 0{,}01\).
On a bien \(|\sqrt{2} – 1{,}41| < 0{,}01\). - On multiplie chaque membre par 3, qui est positif, donc l’ordre est conservé :
\(3 \times 1{,}4142 = 4{,}2426\) et \(3 \times 1{,}4143 = 4{,}2429\).
Ainsi, \(4{,}2426 < 3\sqrt{2} < 4{,}2429\), et les deux bornes s’arrondissent à \(4{,}24\).
L’arrondi de \(3\sqrt{2}\) au centième est \(4{,}24\). - Quand on multiplie par \(-1\), l’ordre change : \(-1{,}4143 < -\sqrt{2} < -1{,}4142\). Ensuite, on ajoute 5 à chaque membre.
\(3{,}5857 < 5 – \sqrt{2} < 3{,}5858\).
Piège classique : oublier d’inverser les inégalités en passant à \(-\sqrt{2}\). Pourtant, multiplier par un nombre négatif change toujours l’ordre.
Exercice 5 – La tolérance de l’atelier (4 points)
- La condition \(|L – 25| \leq 0{,}2\) signifie que \(L\) est à une distance au plus \(0{,}2\) de 25. Donc \(25 – 0{,}2 \leq L \leq 25 + 0{,}2\).
Une pièce est acceptée lorsque \(L \in [24{,}8 \,;\, 25{,}2]\). - On calcule l’écart de chaque pièce à 25 mm :
pièce n° 1 : \(|24{,}85 – 25| = 0{,}15 \leq 0{,}2\), acceptée ;
pièce n° 2 : \(|25{,}21 – 25| = 0{,}21 > 0{,}2\), rejetée ;
pièce n° 3 : \(|24{,}79 – 25| = 0{,}21 > 0{,}2\), rejetée ;
pièce n° 4 : \(|25{,}2 – 25| = 0{,}2 \leq 0{,}2\), acceptée ;
pièce n° 5 : \(|25{,}03 – 25| = 0{,}03 \leq 0{,}2\), acceptée.
Les pièces n° 1, 4 et 5 sont acceptées, tandis que les pièces n° 2 et 3 sont rejetées. - Le nouvel intervalle a pour centre \(\dfrac{24{,}9 + 25{,}1}{2} = 25\) et pour rayon \(\dfrac{25{,}1 – 24{,}9}{2} = 0{,}1\).
La nouvelle condition s’écrit \(|L – 25| \leq 0{,}1\). - Une pièce est rejetée quand \(|L – 25| > 0{,}2\), c’est-à-dire quand \(L < 24{,}8\) ou \(L > 25{,}2\). De plus, une longueur est strictement positive.
Les longueurs rejetées forment l’ensemble \(]0 \,;\, 24{,}8[ \,\cup\, ]25{,}2 \,;\, +\infty[\).
Piège classique : rejeter la pièce n° 4, alors que son écart est exactement égal à la tolérance. Comme l’inégalité est large, cette pièce est acceptée.
À retenir de ce contrôle
- Pour tous réels x et a, le nombre |x − a| est la distance entre x et a sur la droite réelle, et elle est toujours positive ou nulle.
- L’inégalité |x − a| ≤ r, avec r positif, équivaut à x appartient à l’intervalle fermé [a − r ; a + r] de centre a et de rayon r.
- Pour lire |x + b|, on l’écrit |x − (−b)| : le centre de l’intervalle est alors −b et non b.
- L’intervalle [m ; n] s’écrit |x − c| ≤ r avec le centre c égal à (m + n) ÷ 2 et le rayon r égal à (n − m) ÷ 2.
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