Systèmes et intersection de droites : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « systèmes et intersection de droites », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices dans l’ordre. Chaque résolution est rédigée en entier, avec le choix de la méthode, les calculs ligne par ligne, puis la vérification dans les deux équations. Pour les questions graphiques, le lien entre solution du système et point d’intersection est expliqué pas à pas.
Tu trouveras aussi le calcul des déterminants, ainsi que la façon de conclure quand deux droites sont parallèles ou confondues. Le problème des cafés est illustré par un graphique qui montre le point d’intersection trouvé par le calcul. Compare ta copie à chaque étape, compte tes points avec le barème, puis relis les pièges signalés, car ils reviennent souvent en devoir.
L’énoncé complet se trouve ici : Systèmes et intersection de droites : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : systèmes et intersection de droites
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Deux méthodes de résolution | 4 points |
| 2. Le point d’intersection | 3 points |
| 3. Une, aucune ou une infinité de solutions | 4 points |
| 4. Les places du cinéma de quartier | 4 points |
| 5. Le mélange de deux cafés | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : systèmes et intersection de droites
Exercice 1 – Deux méthodes de résolution (4 points)
- L’inconnue \(y\) est déjà isolée dans la première équation, donc on la remplace dans la seconde :
\(3x + 2(2x – 1) = 12\)
\(3x + 4x – 2 = 12\)
\(7x = 14\), d’où \(x = 2\).
Ensuite, \(y = 2 \times 2 – 1 = 3\).
Vérification : \(2 \times 2 – 1 = 3\) et \(3 \times 2 + 2 \times 3 = 6 + 6 = 12\). Le système \((S_1)\) a pour unique solution le couple \((2\,;\,3)\). - On multiplie d’abord la première équation par 2 et la seconde par 3, afin d’obtenir le même coefficient devant \(x\) :
\(6x + 8y = 10\)
\(6x – 9y = 27\)
Puis on soustrait membre à membre : \(8y – (-9y) = 10 – 27\), donc \(17y = -17\) et \(y = -1\).
On remplace ensuite dans la première équation : \(3x + 4 \times (-1) = 5\), alors \(3x = 9\) et \(x = 3\).
Vérification : \(3 \times 3 + 4 \times (-1) = 9 – 4 = 5\) et \(2 \times 3 – 3 \times (-1) = 6 + 3 = 9\). Le système \((S_2)\) a pour unique solution le couple \((3\,;\,-1)\).
Piège classique : en soustrayant, écrire \(8y – 9y\) au lieu de \(8y – (-9y)\). On obtient alors \(-y = -17\), ce que la vérification dans la seconde équation dénonce aussitôt.
Exercice 2 – Le point d’intersection (3 points)
- La droite \(d_2\) passe par \((0\,;\,4)\) et \((4\,;\,0)\). Or \(0 + 4 = 4\) et \(4 + 0 = 4\), donc ces points vérifient \(x + y = 4\). De même, \(d_1\) passe par \((0\,;\,1)\) et \((-2\,;\,0)\) : en effet, \(0 – 2 \times 1 = -2\) et \(-2 – 2 \times 0 = -2\). Ainsi, \(d_1\) a pour équation \(x – 2y = -2\) et \(d_2\) a pour équation \(x + y = 4\).
- Le point \(I\) se lit à l’intersection des deux droites : \(I(2\,;\,2)\). Comme \(I\) appartient aux deux droites, ses coordonnées vérifient les deux équations à la fois. Elles semblent donc résoudre le système formé de \(x + y = 4\) et \(x – 2y = -2\).
- La première équation donne \(x = 4 – y\). On substitue alors dans la seconde :
\(4 – y – 2y = -2\)
\(-3y = -6\), d’où \(y = 2\), puis \(x = 4 – 2 = 2\).
Le système a pour unique solution \((2\,;\,2)\), ce qui confirme la lecture graphique.
Exercice 3 – Une, aucune ou une infinité de solutions (4 points)
- On applique la formule \(ab^{\prime} – a^{\prime}b\) à chaque système :
pour \((S_3)\), \(2 \times (-6) – 4 \times (-3) = -12 + 12 = 0\) ;
pour \((S_4)\), \(1 \times (-1) – 3 \times 2 = -1 – 6 = -7\) ;
pour \((S_5)\), \((-1) \times (-6) – 3 \times 2 = 6 – 6 = 0\).
Seul \((S_4)\) admet une solution unique, car c’est le seul déterminant non nul. (En le résolvant, on trouve d’ailleurs \((1\,;\,1)\).) - Multiplions la première équation de \((S_3)\) par 2 : on obtient \(4x – 6y = 2\). Or la seconde équation impose \(4x – 6y = 5\). Un même nombre ne peut pas valoir à la fois 2 et 5, donc le système est impossible. \((S_3)\) n’a aucune solution : ses deux droites sont parallèles et distinctes, car elles ont le même coefficient directeur \(\frac{2}{3}\) mais des ordonnées à l’origine différentes, \(-\frac{1}{3}\) et \(-\frac{5}{6}\).
- Quand on multiplie la première équation de \((S_5)\) par \(-3\), on obtient \(3x – 6y = -12\), c’est-à-dire exactement la seconde. Les deux équations sont donc équivalentes et décrivent la même droite. Tout couple qui vérifie \(-x + 2y = 4\) est alors solution. Par exemple, \(-0 + 2 \times 2 = 4\) et \(-2 + 2 \times 3 = 4\). Le système a une infinité de solutions, dont \((0\,;\,2)\) et \((2\,;\,3)\).
- Le déterminant vaut \(m \times 4 – 3 \times 2 = 4m – 6\). Il est nul lorsque \(4m = 6\), soit \(m = 1{,}5\). Le système admet donc une solution unique pour tout réel \(m \neq 1{,}5\).
Piège classique : conclure « aucune solution » dès que le déterminant est nul. En réalité, il faut ensuite distinguer les droites parallèles distinctes des droites confondues, comme pour \((S_5)\).
Exercice 4 – Les places du cinéma de quartier (4 points)
- La famille de Maëlle paie 2 places adulte et 3 places enfant, donc \(2a + 3e = 35\). Celle de Tiago en paie 3 et 1, donc \(3a + e = 31{,}5\). Le système est formé de \(2a + 3e = 35\) et \(3a + e = 31{,}5\).
- La seconde équation donne \(e = 31{,}5 – 3a\). On substitue ensuite dans la première :
\(2a + 3(31{,}5 – 3a) = 35\)
\(2a + 94{,}5 – 9a = 35\)
\(-7a = -59{,}5\), d’où \(a = 8{,}5\).
Puis \(e = 31{,}5 – 3 \times 8{,}5 = 31{,}5 – 25{,}5 = 6\).
Vérification : \(2 \times 8{,}5 + 3 \times 6 = 17 + 18 = 35\) et \(3 \times 8{,}5 + 6 = 31{,}5\). Une place adulte coûte 8,50 € et une place enfant coûte 6 €. - Sans réduction, le groupe paierait \(4 \times 8{,}5 + 5 \times 6 = 34 + 30 = 64\) €. Une baisse de \(10\,\%\) revient à multiplier par \(0{,}9\) : \(64 \times 0{,}9 = 57{,}6\). Le centre de loisirs paie donc 57,60 €.
Exercice 5 – Le mélange de deux cafés (5 points)
- D’une part, le mélange pèse 10 kg, donc \(x + y = 10\). D’autre part, l’arabica coûte \(24x\) euros et le robusta \(14y\) euros, alors le mélange coûte \(24x + 14y\) euros. Or 10 kg à 20 € le kilogramme reviennent à \(10 \times 20 = 200\) €. Ainsi, \(x\) et \(y\) vérifient \(x + y = 10\) et \(24x + 14y = 200\).
- La première équation donne \(y = 10 – x\). On remplace dans la seconde :
\(24x + 14(10 – x) = 200\)
\(24x + 140 – 14x = 200\)
\(10x = 60\), d’où \(x = 6\), puis \(y = 10 – 6 = 4\).
Vérification : \(6 + 4 = 10\) et \(24 \times 6 + 14 \times 4 = 144 + 56 = 200\). Hugo mélange 6 kg d’arabica et 4 kg de robusta. - Le point d’intersection appartient aux deux droites, donc ses coordonnées vérifient les deux équations : c’est la solution du système. Il a pour coordonnées \((6\,;\,4)\) et représente la composition du mélange, comme le montre le graphique ci-dessous.
- Cette fois, \(x + y = 15\) et \(24x + 14y = 15 \times 18 = 270\). Comme \(y = 15 – x\), on obtient :
\(24x + 14(15 – x) = 270\)
\(24x + 210 – 14x = 270\)
\(10x = 60\), donc \(x = 6\), puis \(y = 15 – 6 = 9\).
Vérification : \(24 \times 6 + 14 \times 9 = 144 + 126 = 270\). Hugo utilise 6 kg d’arabica et 9 kg de robusta.
Piège classique : écrire \(24x + 14y = 20\) en oubliant de multiplier le prix au kilogramme par la masse totale. En effet, l’équation porte sur le prix total du mélange, soit 200 €.
À retenir de ce contrôle
- Résoudre un système de deux équations linéaires revient à chercher les coordonnées du point commun aux deux droites associées.
- Le système ax + by = c et a’x + b’y = c’ admet une solution unique si et seulement si le déterminant ab’ − a’b est non nul.
- Quand le déterminant est nul, les droites sont parallèles : le système n’a alors aucune solution, ou une infinité si elles sont confondues.
- Une solution trouvée se vérifie toujours dans les deux équations, car une erreur de signe fausse souvent la seconde inconnue.
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