Équations réduites de droites : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « équations réduites de droites », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices dans l’ordre. Pour chaque droite, le coefficient directeur est d’abord calculé, puis l’ordonnée à l’origine est obtenue en remplaçant les coordonnées d’un point. Chaque résultat est ensuite vérifié avec un second point, comme tu dois le faire sur ta copie.
Tu trouveras aussi le repère complété de l’exercice 3 et le plan du quartier avec la piste cyclable tracée. Compare ta rédaction étape par étape, puis compte tes points grâce au barème détaillé sous chaque exercice. Lis enfin les pièges signalés, car ils portent souvent sur les droites verticales et sur le signe du coefficient.
L’énoncé complet se trouve ici : Équations réduites de droites : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : équations réduites de droites
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Quatre droites à identifier | 5 points |
| 2. Une droite par deux points | 4 points |
| 3. Tracer à partir de l’équation | 3 points |
| 4. Équation cartésienne et parallèles | 4 points |
| 5. La piste cyclable du quartier | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : équations réduites de droites
Exercice 1 – Quatre droites à identifier (5 points)
- Tous les points de \(d_3\) ont la même abscisse, \(-3\), alors que leurs ordonnées prennent toutes les valeurs. La droite est donc verticale : elle n’a pas de coefficient directeur, ainsi elle ne peut pas s’écrire \(y = mx + p\). L’équation de \(d_3\) est \(x = -3\).
- On lit d’abord l’ordonnée à l’origine sur l’axe des ordonnées, puis on compte le déplacement vertical entre deux points du quadrillage.
Pour \(d_1\) : elle coupe l’axe en 1, puis passe de \((0\,;\,1)\) à \((1\,;\,3)\), donc \(m = \frac{3 – 1}{1 – 0} = 2\). \(d_1 : y = 2x + 1\).
Pour \(d_2\) : elle coupe l’axe en 3, ensuite elle passe de \((0\,;\,3)\) à \((2\,;\,2)\), donc \(m = \frac{2 – 3}{2 – 0} = -\frac{1}{2}\). \(d_2 : y = -\frac{1}{2}x + 3\).
Pour \(d_4\) : elle coupe l’axe en \(-2\) et passe par \((3\,;\,0)\), donc \(m = \frac{0 – (-2)}{3 – 0} = \frac{2}{3}\). \(d_4 : y = \frac{2}{3}x – 2\). - On remplace \(x\) par 4 dans chaque équation.
Sur \(d_2\) : \(-\frac{1}{2} \times 4 + 3 = -2 + 3 = 1\), et l’ordonnée de \(A\) vaut bien 1. Donc \(A\) appartient à \(d_2\).
Sur \(d_4\) : \(\frac{2}{3} \times 4 – 2 = \frac{8}{3} – \frac{6}{3} = \frac{2}{3}\), or \(\frac{2}{3} \neq 1\). Par conséquent, \(A\) n’appartient pas à \(d_4\).
Piège classique : écrire \(y = -3\) pour \(d_3\). En effet, \(y = -3\) décrit une droite horizontale, alors que la droite verticale se note \(x = -3\).
Exercice 2 – Une droite par deux points (4 points)
- Comme \(x_A \neq x_B\), la droite \((AB)\) n’est pas verticale. Son coefficient directeur vaut :
\(m = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{-3 – 5}{3 – (-1)} = \frac{-8}{4} = -2\).
Ensuite, \(A\) est sur la droite, donc \(5 = -2 \times (-1) + p\), soit \(5 = 2 + p\), d’où \(p = 3\).
On vérifie avec \(B\) : \(-2 \times 3 + 3 = -3\). Ainsi, \((AB) : y = -2x + 3\). - Les points \(C\) et \(D\) ont la même abscisse 2, donc la droite \((CD)\) est verticale. \((CD) : x = 2\).
- D’abord, \(m = \frac{y_F – y_E}{x_F – x_E} = \frac{4 – (-1)}{6 – (-4)} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\).
Puis, avec \(E\) : \(-1 = \frac{1}{2} \times (-4) + p\), soit \(-1 = -2 + p\), d’où \(p = 1\).
Vérification avec \(F\) : \(\frac{1}{2} \times 6 + 1 = 4\). Donc \((EF) : y = \frac{1}{2}x + 1\). - On calcule \(-2 \times 10 + 3 = -20 + 3 = -17\) : c’est bien l’ordonnée de \(G\). Le point \(G\) est donc sur la droite \((AB)\). Les points \(A\), \(B\) et \(G\) sont alignés.
Piège classique : calculer \(\frac{x_B – x_A}{y_B – y_A}\), c’est-à-dire la fraction à l’envers. Le coefficient directeur est toujours la variation des ordonnées divisée par celle des abscisses.
Exercice 3 – Tracer à partir de l’équation (3 points)
- Pour \(x = 0\), on obtient \(y = 4\) ; pour \(x = 4\), on obtient \(y = -4 + 4 = 0\). La droite \(d\) passe par \((0\,;\,4)\) et \((4\,;\,0)\).
- On prend \(x = 0\), car alors \(y = -2\). Ensuite, on choisit un multiple de 4 pour que le calcul tombe juste : pour \(x = 4\), \(y = \frac{3}{4} \times 4 – 2 = 3 – 2 = 1\). La droite \(d^{\prime}\) passe par \((0\,;\,-2)\) et \((4\,;\,1)\).
- La droite \(\Delta\) est la verticale qui passe par tous les points d’abscisse 3. Le point \(K\) est sur \(\Delta\), donc \(x_K = 3\) ; il est aussi sur \(d\), alors \(y_K = -3 + 4 = 1\). Ainsi, \(K(3\,;\,1)\).
Exercice 4 – Équation cartésienne et parallèles (4 points)
- On isole \(y\) : \(3x + 2y – 8 = 0\) équivaut à \(2y = -3x + 8\).
Puis on divise par 2 : \(y = -\frac{3}{2}x + 4\). C’est bien l’équation réduite de \(\delta\). - Une droite d’équation \(ax + by + c = 0\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}(-b\,;\,a)\). Ici, \(a = 3\) et \(b = 2\), d’où \(\vec{u}(-2\,;\,3)\). De plus, \(\frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}\), ce qui correspond bien au coefficient directeur. Un vecteur directeur est \(\vec{u}(-2\,;\,3)\).
- Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur, donc la droite cherchée s’écrit \(y = -\frac{3}{2}x + p\). Elle passe par \(P\), alors \(-5 = -\frac{3}{2} \times 2 + p = -3 + p\), d’où \(p = -2\). Son équation réduite est \(y = -\frac{3}{2}x – 2\).
- On met l’équation sous forme réduite : \(4y = -6x – 1\), puis \(y = -\frac{3}{2}x – \frac{1}{4}\).
Le coefficient directeur vaut \(-\frac{3}{2}\), comme pour \(\delta\), mais l’ordonnée à l’origine est différente. Cette droite est donc parallèle à \(\delta\), sans être confondue avec elle.
Piège classique : lire directement 3 comme coefficient directeur dans \(3x + 2y – 8 = 0\). Il faut d’abord isoler \(y\), car le coefficient directeur vaut ici \(-\frac{3}{2}\).
Exercice 5 – La piste cyclable du quartier (4 points)
- Le coefficient directeur de la route vaut \(m = \frac{4 – 1}{4 – (-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
Ensuite, avec \(R\) : \(1 = \frac{1}{2} \times (-2) + p = -1 + p\), donc \(p = 2\).
Vérification avec \(S\) : \(\frac{1}{2} \times 4 + 2 = 4\). La route a pour équation \(y = \frac{1}{2}x + 2\). - Le chemin est vertical et passe par les points d’abscisse 2, d’où l’équation \(x = 2\). Pour le point \(C\), on remplace \(x\) par 2 dans l’équation de la route : \(y = \frac{1}{2} \times 2 + 2 = 3\). Le chemin a pour équation \(x = 2\) et \(C(2\,;\,3)\).
- La piste est parallèle à la route, donc elle a le même coefficient directeur \(\frac{1}{2}\). Elle passe par \(M\), alors \(4 = \frac{1}{2} \times 6 + p = 3 + p\), d’où \(p = 1\). La piste a pour équation \(y = \frac{1}{2}x + 1\).
- Pour \(x = 2\), la piste donne \(y = \frac{1}{2} \times 2 + 1 = 2\), donc \(D(2\,;\,2)\). Les points \(C\) et \(D\) sont sur la même verticale, par conséquent \(CD = 3 – 2 = 1\) unité, c’est-à-dire 100 mètres. Le tronçon de chemin mesure 100 m.
À retenir de ce contrôle
- Une droite non verticale a une unique équation réduite y = mx + p, où m est le coefficient directeur et p l’ordonnée à l’origine.
- Le coefficient directeur de la droite passant par A et B se calcule en divisant la différence des ordonnées par celle des abscisses.
- Une droite verticale a pour équation x = k : elle n’a pas de coefficient directeur et pas d’équation réduite de la forme y = mx + p.
- Deux droites non verticales sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur.
- La droite d’équation ax + by + c = 0 admet pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées (−b ; a).
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