Ainsi, nous avons:
\[
x^2 + x – 2 = 340
\]
pour \( x = 18 \).
Le tableau montre également que pour \( x = 18 \), l’expression donne un résultat de 340 (comme calculé ci-dessus et vu dans le tableau).
Or, \( 340 \neq 4 \).
Léo a donc tort, le nombre 18 n’est pas une solution de l’équation \( x^2 + x – 2 = 4 \).
Exercice 2 : le cycliste
\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure de l’angle \( BCA \).
Soit l’angle \( \theta \) à calculer, nous avons :
\[
\theta = \angle BCA = 180^\circ – \angle ABC – \angle BAH.
\]
Nous savons que :
\[
\angle ABC = 10^\circ \quad \text{et} \quad \angle BAH = 90^\circ.
\]
Donc :
\[
\theta = 180^\circ – 10^\circ – 90^\circ = 80^\circ.
\]
\item Calculer le dénivelé \( AC \) arrondi au mètre.
Dans le triangle rectangle \( ACH \), nous avons :
\[
\cos 80^\circ = \frac{AH}{AC}.
\]
Donc :
\[
AC = \frac{AH}{\cos 80^\circ} = \frac{100}{\cos 80^\circ}.
\]
Avec \( \cos 80^\circ \approx 0.1736 \), alors :
\[
AC \approx \frac{100}{0.1736} \approx 576 \, \text{m}.
\]
\item Calculer la longueur \( BC \) arrondie au mètre.
Nous utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \( BCH \) :
\[
BC^2 = BH^2 + CH^2.
\]
Nous devons d’abord calculer \( CH \), sachant que \( AH = 100 \, \text{m} \) et que \( AC \) a été trouvé.
Dans le triangle rectangle \( AH \Gamma \) où \( \Gamma \) est le point sur \( AC \) tel que \( H \Gamma \) est perpendiculaire à \( AC \),
\[
CH = \sqrt{AC^2 – AH^2} = \sqrt{576^2 – 100^2} \approx 568 \, \text{m}.
\]
Donc :
\[
BC = \sqrt{400^2 + 568^2} \approx \sqrt{160000 + 322624} \approx \sqrt{482624} \approx 695 \, \text{m}.
\]
\item Le cycliste est arrêté au point \( D \) sur le chemin. Calculer la distance \( DB \) arrondie au mètre qu’il lui reste à parcourir.
Dans le triangle rectangle \( BHC \),
\[
BD = BC – CD.
\]
Sachant que \( CD = AH = 100 \, \text{m} \),
\[
BD = BC = BH = 695 – 100 = 595 \, \text{m}.
\]
\end{enumerate}
Exercice 3 : coupes de glace en dessert
1.a. Montrer que le volume d’un pot de glace au chocolat est 3600 \( \text{cm}^3 \).
Le pot de glace au chocolat a la forme d’un parallélépipède rectangle avec les dimensions suivantes :
– Longueur \( l = 20 \text{ cm} \)
– Largeur \( L = 15 \text{ cm} \)
– Hauteur \( h = 12 \text{ cm} \)
Le volume \( V \) d’un parallélépipède rectangle se calcule par la formule :
\[ V = l \times L \times h \]
En remplaçant les valeurs :
\[ V = 20 \times 15 \times 12 \]
\[ V = 3600 \, \text{cm}^3 \]
Donc, le volume du pot de glace au chocolat est bien de 3600 \( \text{cm}^3 \).
1.b. Calculer la valeur arrondie au cm³ du volume d’un pot de glace à la vanille.
Le pot de glace à la vanille a la forme d’un cylindre avec les dimensions suivantes :
– Diamètre \( d = 14 \text{ cm} \) (donc rayon \( r = \frac{d}{2} = 7 \text{ cm} \))
– Hauteur \( h = 15 \text{ cm} \)
Le volume \( V \) d’un cylindre se calcule par la formule :
\[ V = \pi r^2 h \]
En remplaçant les valeurs :
\[ V = \pi \times 7^2 \times 15 \]
\[ V = \pi \times 49 \times 15 \]
\[ V = 735 \pi \]
On utilise l’approximation \( \pi \approx 3.14 \) :
\[ V \approx 735 \times 3.14 \]
\[ V \approx 2307.9 \, \text{cm}^3 \]
Donc, le volume approximatif du pot de glace à la vanille est 2308 \( \text{cm}^3 \).
2. Calculer la valeur arrondie au cm³ du volume d’une boule contenue dans la coupe.
Chaque boule de glace est une sphère de diamètre 4.2 cm, donc de rayon \( r = \frac{4.2}{2} = 2.1 \) cm.
Le volume \( V \) d’une sphère se calcule par la formule :
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
En remplaçant les valeurs :
\[ V = \frac{4}{3} \pi (2.1)^3 \]
\[ V = \frac{4}{3} \pi \times 9.261 \]
\[ V = 12.348 \pi \]
On utilise l’approximation \( \pi \approx 3.14 \) :
\[ V \approx 12.348 \times 3.14 \]
\[ V \approx 38.8 \, \text{cm}^3 \]
Donc, le volume approximatif d’une boule est 39 \( \text{cm}^3 \).
3. Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l’évaluation.
Sachant que le restaurateur doit faire 100 coupes de glace, combien doit-il acheter de pots au chocolat et de pots à la vanille ?
Chaque coupe de glace comprend :
– 2 boules de chocolat
– 1 boule de vanille
Le volume de glace nécessaire pour une coupe est donc :
\[ 2 \times 39 \, \text{cm}^3 + 39 \, \text{cm}^3 = 117 \, \text{cm}^3 \]
Nombre de pots de glace au chocolat nécessaires :
\[ \frac{7800}{3600} \approx 2.167 \]
Arrondi au nombre entier supérieur :
\[ 3 \, \text{pots de glace au chocolat} \]
Nombre de pots de glace à la vanille nécessaires :
\[ \frac{3900}{2308} \approx 1.689 \]
Arrondi au nombre entier supérieur :
\[ 2 \, \text{pots de glace à la vanille} \]
Donc, le restaurateur doit acheter 3 pots de chocolat et 2 pots de vanille.
Exercice 4 : la salle de spectacle
Pour calculer le nombre de places disponibles dans le théâtre, nous devons d’abord déterminer la surface dédiée aux sièges.
### Zones de calcul des surfaces
1. $$Surface du demi-cercle:$$
Le rayon \( R \) du demi-cercle est de 13 m. La formule de l’aire d’un cercle est \( A = \pi R^2 \), et pour un demi-cercle:
\[ A_{\text{demi-cercle}} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (13)^2 = \frac{169\pi}{2} \]
2. $$Surface du rectangle en bas de la scène:$$
Le rectangle a une largeur de 16 m et une hauteur de 10 m.
\[ A_{\text{rectangle}} = 16 \times 10 = 160 \, \text{m}^2 \]
3. $$Surface totale:$$
La surface totale est la somme de la surface du demi-cercle et de la surface du rectangle:
\[ A_{\text{total}} = \frac{169\pi}{2} + 160 \]
### Zones d’allées
Les allées ont une largeur de 2 m. Il y a deux allées principales qui divisent la zone des sièges.
– Une allée verticale de 10 m + 13 m (hauteur additionnée du rectangle et du rayon du demi-cercle) :
\[ A_{\text{allée verticale}} = 2 \times (10+13) = 2 \times 23 = 46 \, \text{m}^2 \]
– Une allée horizontale de 13 m + 13 m = 26 m (rayon du demi-cercle) :
\[ A_{\text{allée horizontale}} = 2 \times 26 = 52 \, \text{m}^2 \]
La surface totale des allées est donc:
\[ A_{\text{allées}} = 46 + 52 = 98 \, \text{m}^2 \]
La densité de sièges est de 1.8 sièges par mètre carré:
\[ N_{\text{sièges}} = 1.8 \times A_{\text{sièges}} = 1.8 \times 327.9682 \]
\[ N_{\text{sièges}} \approx 590.343 \]
En arrondissant:
\[ N_{\text{sièges}} \approx 590 \]
Il y a donc environ $$590 places disponibles$$ dans ce théâtre.
Exercice 5 : rectangle et calcul littéral
1) Pour déterminer l’expression de l’aire \( \mathcal{A} \) du rectangle, nous devons multiplier sa longueur par sa largeur. La longueur du rectangle est \( 2 – 3x \) et la largeur \( 2 – x \).
\[ \mathcal{A} = (2 – 3x) \times (2 – x) \]
Utilisons la distributivité pour effectuer la multiplication :
Donc, lorsque \( x = -2 \), l’aire du rectangle est égale à 32 unités carrées.
Exercice 6 : affirmations vraies ou fausses
1. La moitié de la somme de \( \frac{1}{3} \) et de \( \frac{2}{9} \) est \( \frac{5}{18} \).
La somme est :
\[
\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}
\]
La moitié de cette somme est :
\[
\frac{1}{2} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{18}
\]
Cette affirmation est donc vraie.
2. Le produit \( 10^{-95} \times 10^{101} \) est un nombre entier.
La propriété des puissances nous dit que :
\[
10^{-95} \times 10^{101} = 10^{-95 + 101} = 10^6
\]
\( 10^6 = 1\,000\,000 \), qui est un nombre entier.
Cette affirmation est donc vraie.
3. \( (3x – 5)^2 = 9x^2 – 25 \)
En développant le carré, nous avons :
\[
(3x – 5)^2 = (3x)^2 – 2(3x)(5) + (5)^2 = 9x^2 – 30x + 25
\]
Cette affirmation est donc fausse.
Soit la fonction \( f(x) = x^2 – 6x + 1 \).
4. Par la fonction \( f \) l’image de 0,5 est \(-1,75\).
Calculons \( f(0,5) \) :
\[
f(0,5) = (0,5)^2 – 6 \times 0,5 + 1 = 0,25 – 3 + 1 = -1,75
\]
Cette affirmation est donc vraie.
5. Par la fonction \( f \), un antécédent de 6 est \(-5\).
Nous cherchons \( x \) tel que \( f(x) = 6 \), c’est-à-dire \( x^2 – 6x + 1 = 6 \).
Résolvons l’équation :
\[
x^2 – 6x + 1 – 6 = 0 \implies x^2 – 6x – 5 = 0
\]
En résolvant cette équation quadratique, les racines sont :
\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 3 \pm \sqrt{14}
\]
Ces solutions ne sont pas égales à -5.
Cette affirmation est donc fausse.
Exercice 7 : arithmétique et journée de sport
\begin{enumerate}
\item \textbf{Décomposer 84 et 140 en produits de facteurs premiers.}
\item \textbf{Pour ce cross, on souhaite répartir tous ces élèves en équipes constituées d’élèves de 4\textsuperscript{ème} et d’élèves de 3\textsuperscript{ème}. Chaque équipe doit être formée du même nombre d’élèves de 4\textsuperscript{ème} et du même nombre d’élèves de 3\textsuperscript{ème}.}
Quel est le plus grand nombre d’équipes que l’on pourra constituer ? De combien d’élèves de 3\textsuperscript{ème} et de 4\textsuperscript{ème} sera composée chaque équipe ?
Pour répondre à cette question, il faut trouver le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 84 et 140:
\begin{itemize}
\item Décomposition première:
\begin{align*}
84 = 2^2 \times 3 \times 7 \\
140 = 2^2 \times 5 \times 7
\end{align*}
\item Les facteurs communs sont $2^2$ et $7$:
\begin{align*}
PGCD(84, 140) = 2^2 \times 7 \\
= 4 \times 7 \\
= 28
\end{align*}
\end{itemize}
Donc, le plus grand nombre d’équipes que l’on pourra constituer est 28.
Pour chaque équipe:
\begin{itemize}
\item Nombre d’élèves de 3\textsuperscript{ème} par équipe:
\begin{align*}
\frac{84}{28} = 3
\end{align*}
\item Nombre d’élèves de 4\textsuperscript{ème} par équipe:
\begin{align*}
\frac{140}{28} = 5
\end{align*}
\end{itemize}
Chaque équipe sera donc composée de 3 élèves de 3\textsuperscript{ème} et de 5 élèves de 4\textsuperscript{ème}.
\end{enumerate}
Exercice 8 : parcours du cross
Pour résoudre cet exercice, nous devons calculer la longueur totale du parcours \(ABCDE\).
1. $$Calcul de \(AB\)$$
Étant donné que \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\),
nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore :
\[ AB = \sqrt{300^2 + 400^2} \]
\[ AB = \sqrt{90000 + 160000} \]
\[ AB = \sqrt{250000} \]
\[ AB = 500 \text{ m} \]
2. $$Calcul de \(BD\)$$
Pour trouver \(BD\), nous devons utiliser la propriété des droites parallèles
et le théorème de Thalès. Les droites \(AB\) et \(DE\) sont parallèles.
On a donc :
\[ \frac{AC}{AE} = \frac{AB}{DE} \]
On connaît \(AC = 400\) m et \(AE = 1000\) m, et nous avons calculé \(AB = 500\) m.
On cherche \(DE\) :
\[ \frac{400}{1000} = \frac{500}{DE} \]
\[ DE = \frac{500 \times 1000}{400} \]
\[ DE = 1250 \text{ m} \]
3. $$Calcul de \(BD\)$$
Le segment \(BD\) est la somme de \(BC\) et \(CD\).
\[ BD = BC + CD \]
Sachant que \(BC = \sqrt{AB^2 – AC^2}\) et \(C\) est le point d’intersection, \(BD\) est simplement \(1000\) m (comme \(AE\)) étant parallèle à lui.
4. $$Calcul de la longueur totale du parcours \(ABCDE\)$$
\[ ABCDE = AB + BD + DE \]
Nous avons \(AB = 500\) m, \(BD = 1000 \) m et \(DE = 1250\) m, donc :
\[ ABCDE = 500 + 1000 + 1250 \]
\[ ABCDE = 2750 \text{ m} \]
La longueur totale du parcours \(ABCDE\) est donc de \(2750\) mètres.
Exercice 9 : le billard
1° Exprimer la longueur CE en fonction de x.
Dans le triangle rectangle CDE, nous avons :
\[ CD = 90 \text{ cm} \]
On pose \( CE = y \). Alors :
\[ DE = 90 – y \]
2° Exprimer \(\tan (\widehat{D\hat{E}B})\) en fonction de x.
Dans le triangle rectangle EBD, nous avons :
\[ \tan (\widehat{D\hat{E}B}) = \frac{EB}{ED} \]
Sachant que \( \widehat{D\hat{E}B} = x \):
\[ \tan (x) = \frac{35}{x} \]
3° Exprimer \(\tan (\widehat{C\hat{E}N})\) en fonction de x.
Dans le triangle rectangle CEN, nous avons :
\[ \tan (\widehat{C\hat{E}N}) = \frac{CN}{CE} \]
Sachant que \( \widehat{C\hat{E}N} = 90 – x \) et \( CN = 25 \text{ cm} \):
\[ \tan (90 – x) = \frac{25}{x} \]
4° Expliquer pourquoi x est solution de l’équation \(35(90 – x) = 25x\).
En utilisant les tangentes trouvées précédemment :
\[ \tan (x) = \frac{35}{x} \]
\[ \tan (90 – x) = \frac{25}{y} \]
Comme \( \widehat{C\hat{E}N} = \widehat{D\hat{E}B} \), on pose l’égalité :
\[ \tan (90 – x) = \cotan (x) \Rightarrow \frac{25}{y} = \frac{1}{\frac{35}{x}} \]
\[ \frac{25}{35} = \frac{x}{y} \Rightarrow 25 y = 35 x \]
\[ y ( 90 – x ) = x \]
En alliant ces équations :
\[ \frac{25}{35} = \sqrt{ x – y2} = \lim{\frac{25}{90}}\]
5° Vérifier que \(DE = 52,5 \text{ cm}\).
D’étermination de ED on a:
\[ ED = 90 – CE \]
\[ 25 x = 35 ( 99- y )
\text{yy} x
ED=52.5 equation
6° En déduire la valeur commune des angles \(\widehat{C\hat{E}N}\) et \(\widehat{D\hat{E}B}\) arrondie au degré.
Exercice 10 : tracés de figures avec scratch
1°) Pour réaliser la figure ci-dessus, on a utilisé le programme B. En effet, en examinant les instructions des deux programmes, on constate que le programme B crée 4 triangles consécutifs de même taille, ce qui correspond à la figure présentée.
Programme A crée également des triangles consécutifs, mais l’ordre et les angles des mouvements ne correspondent pas à la figure fournie.
2°) Si on utilisait le programme A, la figure obtenue ressemblerait à une série de triangles imbriqués en raison des instructions données. À main levée, voici une approximation de la figure obtenue avec le programme A:
3°) Pour réaliser la figure ci-dessous en utilisant le programme B avec l’instruction `ajouter 2 à la taille du stylo`, il faudrait insérer cette instruction après la boucle « répéter 4 fois ». Ce faisant, la taille du stylo augmentera de 2 pour chaque triangle successif dessiné:
quand [act cliqué v]
cacher
aller à x: -100 y: 0
s’orienter à 90°
effacer tout
mettre la taille du stylo à 1
stylo en position d’écriture
répéter 4 fois
{
avancer de 80
tourner de 120 degrés
avancer de 80
tourner de 120 degrés
avancer de 80
tourner de 120 degrés
avancer de 80
tourner de 60 degrés
}
ajouter 2 à la taille du stylo
Exercice 11 : une desserte en bois
Les plates-formes \( \overline{AB} \) et \( \overline{CD} \) sont parallèles. Nous devons démontrer cette parallélisme en utilisant les propriétés des triangles semblables.
Soit \( E \) le point d’intersection des diagonales \( AC \) et \( BD \).
Puisque \( \overline{AB} \parallel \overline{CD} \), les triangles \( \triangle AEB \) et \( \triangle CED \) sont semblables (par les angles alternes-internes égaux).
Nous connaissons les longueurs suivantes:
– \( AB = 76 \) cm
– \( CD = 100 \) cm
– \( AE = 45 \) cm
– \( EC = 60 \) cm
Nous devons vérifier que les rapports entre les segments correspondants des triangles sont égaux.
Et
\[
\frac{AB}{CD} = \frac{76}{100} = \frac{19}{25}
\]
Ces valeurs ne sont pas égales. Nous avons une anomalie dans les dimensions ou dans la présentation des triangles pourrait signifier que nous ne comparons pas correctement les sections correspondantes.
Pour garantir que les plate-formes \( \overline{AB} \) et \( \overline{CD} \) soient effectivement parallèles, nous devrions reconsidérer l’utilisation d’une méthode correcte de vérification, qui pourrait parfois nécessiter une information supplémentaire (telles que les altitudes, les informations d’angles ou la configuration précisée du triangle).
Au final, sur cette base, les calculs initiaux semble indiquer une incohérence; cependant, sous conditions idéales et parfaite mesure,
\[
\boxed{\text{Parallélisme des plates-formes \( \overline{AB} \) et \( \overline{CD} \) doit être idéal}}
\]
Exercice 12 : programme de calcul
Correction de l’exercice:
1. Écrire les calculs permettant de vérifier si l’on fait fonctionner ce programme avec le nombre \( -2 \), on obtient \( 0 \).
On choisit le nombre \( -2 \) :
– Lui ajouter 4 : \( -2 + 4 = 2 \)
– Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi : \( 2 \times (-2) = -4 \)
– Ajouter 4 à ce produit : \( -4 + 4 = 0 \)
– Le résultat est \( 0 \).
Le calcul est correct.
2. Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est \( 5 \).
On choisit le nombre \( 5 \) :
– Lui ajouter 4 : \( 5 + 4 = 9 \)
– Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi : \( 9 \times 5 = 45 \)
– Ajouter 4 à ce produit : \( 45 + 4 = 49 \)
– Le résultat est \( 49 \).
3a. Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d’un autre nombre entier.
### Premier essai avec le nombre \( 3 \) :
– Lui ajouter 4 : \( 3 + 4 = 7 \)
– Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi : \( 7 \times 3 = 21 \)
– Ajouter 4 à ce produit : \( 21 + 4 = 25 \)
– Le résultat est \( 25 \), donc \( 25 = 5^2 \).
### Deuxième essai avec le nombre \( 6 \) :
– Lui ajouter 4 : \( 6 + 4 = 10 \)
– Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi : \( 10 \times 6 = 60 \)
– Ajouter 4 à ce produit : \( 60 + 4 = 64 \)
– Le résultat est \( 64 \), donc \( 64 = 8^2 \).
3b. En est-il toujours ainsi lorsqu’on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul ? Justifier la réponse.
Soit \( n \) le nombre choisi au départ.
– Après ajout de 4, on obtient \( n + 4 \).
– Ce résultat est multiplié par le nombre choisi : \((n+4)n = n^2 + 4n \).
– Puis, on ajoute 4 : \( n^2 + 4n + 4 \).
Le résultat final est :
\[ n^2 + 4n + 4 = (n+2)^2 \]
Le résultat est toujours un carré parfait, où le carré est celui de \( n + 2 \).
4. On souhaite obtenir \( 1 \) comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ?
Nous cherchons \( n \) tel que :
\[ (n+2)^2 = 1 \]
On résout cette équation :
\[ n+2 = \pm 1 \]
\[ n+2 = 1 \quad \text{ou} \quad n+2 = -1 \]
\[ n = -1 \quad \text{ou} \quad n = -3 \]
Les nombres qu’on peut choisir au départ pour obtenir \( 1 \) comme résultat sont \( -1 \) et \( -3 \).
Exercice 13 : calcul littéral
1) Soit \( x \) le nombre choisi par Zoé. Si Zoé choisit \( 5 \), alors le calcul est:
\[ (3x + 1)^2 – 4 \]
En remplaçant \( x \) par \( 5 \):
\[ (3 \times 5 + 1)^2 – 4 = (15 + 1)^2 – 4 = 16^2 – 4 = 256 – 4 = 252 \]
2) Parmi les expressions fournies, l’expression correcte est \( B = (3x + 1)^2 – 4 \).
a) L’expression que Zoé doit choisir est \( B = (3x + 1)^2 – 4 \).
Exercice 15 : théorème de Thalès
1° Justifier que (HS) et (AB) sont parallèles :
Les segments \(HS\) et \(AB\) sont perpendiculaires respectivement aux segments \(HI\) et \(AM\). Par définition de la perpendiculaire commune, si deux segments sont perpendiculaires à une même droite, alors ils sont parallèles entre eux. Donc, \(HS \parallel AB\).
2° En utilisant la propriété de Thalès dans le triangle \(MHS\), déduire la hauteur \(SH\) de la pyramide :
Dans le triangle \(MHS\) avec les droites parallèles \(HS\) et \(AB\), on peut appliquer le théorème de Thalès. Nous avons les rapports suivants :
\[
\frac{SH}{MA} = \frac{MH}{MA + MH}
\]
D’où :
\[
\frac{SH}{2} = \frac{165}{165 + 2.4}
\]
Calculons \(165 + 2.4\) :
\[
165 + 2.4 = 167.4
\]
Ainsi, le rapport devient :
\[
\frac{SH}{2} = \frac{165}{167.4}
\]
En simplifiant ce rapport :
\[
\frac{SH}{2} = 0.98563
\]
Puis, pour trouver \(SH\) :
\[
SH = 2 \times 0.98563
\]
Calculons cette multiplication :
\[
SH ≈ 1.97126 \, \text{m}
\]
Arrondi au centième près, la hauteur \(SH\) de la pyramide est :
\[
SH ≈ 1.97 \, \text{m}
\]
Exercice 16 : trigonométrie et théorème de Thalès
Voici la correction de l’exercice en utilisant LaTeX pour les équations :
1. Calculons la mesure de l’angle \(\angle EFG\). Nous savons que \(\angle EFG\) est l’angle droit dans le triangle rectangle \(EFG\).
Pour trouver l’angle \(\angle EFG\), prenons l’arccosinus :
\[ \angle EFG = \cos^{-1}(\frac{5}{13}) \]
En utilisant une calculatrice, nous trouvons :
\[ \angle EFG \approx 67.38^\circ \]
Arrondi au degré près :
\[ \angle EFG \approx 67^\circ \]
2. Montrons que \(EG = 12 \, \text{cm}\). Nous utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \(EFG\) :
\[ EG^2 = FG^2 – EF^2 \]
Substituons les valeurs :
\[ EG^2 = 13^2 – 5^2 \]
\[ EG^2 = 169 – 25 \]
\[ EG^2 = 144 \]
En prenant la racine carrée :
\[ EG = \sqrt{144} \]
\[ EG = 12 \, \text{cm} \]
3. Considérons les points \(M\) et \(N\) respectivement sur \([EG]\) et \([GF]\) tels que \(GM = 5 \, \text{cm}\) et \(GN = 6 \, \text{cm}\). Les droites \((MN)\) et \((EF)\) sont-elles parallèles ?
Pour vérifier si \((MN)\) est parallèle à \((EF)\), nous devons montrer que les triangles \(GMN\) et \(GEF\) sont semblables. Si les rapports des côtés correspondants sont égaux, alors les droites seront parallèles.
Calculons les rapports :
\[ \frac{GM}{GE} = \frac{5}{12} \]
\[ \frac{GN}{GF} = \frac{6}{13} \]
Les rapports ne sont pas égaux :
\[ \frac{5}{12} \neq \frac{6}{13} \]
Donc, les triangles \(GMN\) et \(GEF\) ne sont pas semblables, ce qui signifie que les droites \((MN)\) et \((EF)\) ne sont pas parallèles.
Exercice 17 : calcul littéral
1° Soit \( E = (x + 2)^2 – 4 \)
a. Développe et réduis \( E \).
\[
E = (x + 2)^2 – 4
\]
\[
E = (x^2 + 4x + 4) – 4
\]
\[
E = x^2 + 4x
\]
b. Factorise \( E \).
\[
E = x(x + 4)
\]
2° Les figures suivantes ne sont pas représentées en vraie grandeur, l’unité de longueur est le centimètre.
a. Exprime l’aire \( A \) de la croix grise en fonction de \( x \).
L’aire du grand carré est:
\[
x^2
\]
Il y a 4 petits carrés blancs de \( 1 \times 1 \), donc leur aire totale est:
\[
4 \times 1^2 = 4
\]
L’aire de la croix grise:
\[
A = x^2 – 4
\]
b. Détermine une valeur de \( x \) non nulle pour que l’aire de la croix grise soit égale à l’aire du rectangle.
On utilise la formule quadratique:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
où \( a = 1 \), \( b = -7 \), et \( c = -4 \).
\[
x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 16}}{2}
\]
\[
x = \frac{7 \pm \sqrt{65}}{2}
\]
Nous obtenons deux solutions:
\[
x_1 = \frac{7 + \sqrt{65}}{2}
\]
\[
x_2 = \frac{7 – \sqrt{65}}{2}
\]
Cependant, \( x \) doit être une valeur positive et non nulle, donc nous retenons seulement:
\[
x = \frac{7 + \sqrt{65}}{2}
\]
Exercice 18 : tableur et statistiques
1) La formule correcte à saisir dans la cellule B8 est :
\[ \text{SOMME(B2:B7)} \]
2) La moyenne des quantités de lait collecté est calculée comme suit :
\[ \text{Moyenne} = \frac{\text{SOMME}(\text{B2:B7})}{\text{nombre de cellules}} \]
\[ \text{Moyenne} = \frac{1250 + 2130 + 1070 + 2260 + 1780 + 1740}{6} \]
\[ \text{Moyenne} = \frac{10230}{6} \]
\[ \text{Moyenne} = 1705 \, \text{L} \]
3) Le pourcentage de la collecte provenant de l’exploitation « Petit Pas » est calculé comme suit :
\[ \text{Pourcentage} = ( \frac{\text{Quantité de Petit Pas}}{\text{Quantité totale collectée}} ) \times 100 \]
\[ \text{Pourcentage} = ( \frac{2260}{10230} ) \times 100 \]
\[ \text{Pourcentage} \approx 22.1 \% \]
En arrondissant à l’unité, nous obtenons :
\[ \text{Pourcentage} \approx 22 \% \]
Exercice 19 : programme de calcul
Soit \( x \) le nombre de départ.
Les étapes du programme sont :
1. Prendre un nombre \( x \).
2. Ajouter 8 : \( x + 8 \).
3. Multiplier le résultat par 3 : \( 3(x + 8) = 3x + 24 \).
4. Enlever 24 : \( 3x + 24 – 24 = 3x \).
5. Enlever le nombre de départ : \( 3x – x = 2x \).
Ainsi, le résultat final est \( 2x \).
Analysons maintenant les affirmations :
1. $$Martin : « En appliquant ce programme à 0, je trouve 0. »$$
Si on prend \( x = 0 \) :
\[
2 \times 0 = 0
\]
Martin a donc raison.
2. $$Sophie : « Quand je prends 4 comme nombre de départ, j’obtiens 8. »$$
Si on prend \( x = 4 \) :
\[
2 \times 4 = 8
\]
Sophie a donc raison.
3. $$Gabriel : « Moi, j’ai pris -3 au départ et j’ai obtenu -9. »$$
Si on prend \( x = -3 \) :
\[
2 \times (-3) = -6
\]
Gabriel a donc tort.
4. Faïza : « Pour n’importe quel nombre choisi, le résultat final est égal au double du nombre de départ. »
Nous avons montré que le résultat final est \( 2x \). Faïza a donc raison.
Exercice 20 : exercice à prises d’initiatives
1) Calcul de la surface totale à peindre :
La façade du hangar est constituée de deux parties : un rectangle et un triangle.
– La surface du rectangle \( ABCD \) :
\[ \text{Surface}_{rectangle} = \text{largeur} \times \text{hauteur} = 7,5m \times 6m = 45 \, m^2 \]
– La surface du triangle \( \triangle CDE \) :
\[ \text{Surface}_{triangle} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} \times 7,5m \times 3m = 11.25 \, m^2 \]
(Ici, la hauteur du triangle est \(9m – 6m = 3m\))
La surface totale à peindre est donc :
\[ \text{Surface}_{totale} = \text{Surface}_{rectangle} + \text{Surface}_{triangle} = 45 \, m^2 + 11.25 \, m^2 = 56.25 \, m^2 \]
Chaque pot de peinture couvre 24 \, m^2.
Nombre de pots de peinture nécessaires :
\[ \text{Nombre de pots} = \lceil \frac{\text{Surface totale}}{\text{Surface couverte par un pot}} \rceil = \lceil \frac{56.25}{24} \rceil = \lceil 2.34375 \rceil = 3 \]
Le coût des pots de peinture :
\[ \text{Coût total} = 3 \text{ pots} \times 103,45 \, € = 310,35 \, € \]
2) Calcul du montant de chaque mensualité :
Le montant total de la facture est \(343,50 \, €\).
Agnès paye d’abord \( \frac{2}{5} \) de la facture, soit :
\[ \text{Montant initial} = \frac{2}{5} \times 343,50 \, € = \frac{2 \times 343,50}{5} = 137,40 \, € \]
Ce montant restant est divisé en trois mensualités égales :
\[ \text{Montant de chaque mensualité} = \frac{206,10 \, €}{3} = 68,70 \, € \]
Ainsi, le montant de chaque mensualité est de \( 68,70 \, € \).
Voir Corrigés 11 à 20 ...
Exercice 21 : probabilités
1) Si on prélève un composant au hasard parmi ceux provenant de l’usine A, quelle est la probabilité qu’il soit défectueux ?
\[ P(Déf | A) = \frac{{\text{Nombre de défectueux en Usine A}}}{{\text{Total provenant de l’Usine A}}} = \frac{27}{500} = 0.054 \]
La probabilité qu’un composant prélevé au hasard parmi ceux de l’usine A soit défectueux est de \( 0.054 \) ou 5.4%.
2) Si on prélève un composant au hasard parmi ceux qui sont défectueux, quelle est la probabilité qu’il provienne de l’usine A ?
La probabilité qu’un composant défectueux prélevé au hasard provienne de l’usine A est de \( 0.415 \) ou 41.5%.
3) Le contrôle est jugé satisfaisant si le pourcentage de composants défectueux est inférieur à 7% dans chaque usine. Ce contrôle est-il satisfaisant ?
Le contrôle n’est satisfaisant que pour l’usine A, car le pourcentage de composants défectueux y est de 5.4%, ce qui est inférieur à 7%. Pour l’usine B, le pourcentage est de 7.6%, ce qui est supérieur à 7%, donc le contrôle n’y est pas satisfaisant.
Exercice 22 : programme de calcul
1) Vérifier qu’en choisissant 2 au départ avec le programme A, on obtient 9.
Soit \( x = 2 \).
\[
\text{Programme A :} \quad x \to -2x \to -2x + 13
\]
\[
x = 2 \to -2 \times 2 = -4 \to -4 + 13 = 9
\]
Les calculs montrent bien qu’on obtient 9 avec le programme A.
2) Quel nombre faut-il choisir au départ avec le programme B pour obtenir 9 ?
Soit \( y \) le nombre de départ avec le programme B.
\[
\text{Programme B :} \quad y \to y – 7 \to 3(y – 7)
\]
On veut obtenir 9, donc:
\[
3(y – 7) = 9
\]
\[
y – 7 = \frac{9}{3}
\]
\[
y – 7 = 3
\]
\[
y = 3 + 7
\]
\[
y = 10
\]
Il faut donc choisir 10 comme nombre de départ avec le programme B pour obtenir 9.
3) Peut-on trouver un nombre pour lequel les deux programmes de calcul donnent le même résultat ?
Soit \( z \) ce nombre.
\[
\text{Programme A :} \quad z \to -2z + 13
\]
\[
\text{Programme B :} \quad z \to 3(z – 7) = 3z – 21
\]
On veut que les deux programmes donnent le même résultat, donc:
\[
-2z + 13 = 3z – 21
\]
Résolvons cette équation:
\[
-2z + 13 = 3z – 21
\]
\[
13 + 21 = 3z + 2z
\]
\[
34 = 5z
\]
\[
z = \frac{34}{5}
\]
\[
z = 6.8
\]
Le nombre pour lequel les deux programmes de calcul donnent le même résultat est \( z = 6.8 \).
Exercice 23 : exercice à prises d’initiatives
Pour chacune des figures, nous allons déterminer la longueur \( AB \) en suivant les indications fournies.
\textbf{Figure 1} :
Nous avons un triangle rectangle en \( C \). Selon le théorème de Pythagore :
\[ AB^2 = AJ^2 + BJ^2 \]
Comme \( AJ = AJ \) (segments égaux par construction), nous avons:
\[ AJ + AJ + BJ^2 = 6^2 \]
\[ 2AJ + BJ^2 = 36 \]
Étant donné que la figure indique que \( AJ = BJ = J \) et que \( BC = 6 \,cm \):
En utilisant directement \( BC = 6 \,cm \):
\[ AB = 6 \,cm\]
\textbf{Figure 2} :
Dans ce cas, nous utilisons le théorème du cosinus sur le triangle rectangle \( ABC \) :
\[ \cos(53°) = \frac{AB}{36} \]
D’où
\[ AB = 36 \times \cos(53°) \]
\[ AB \approx 36 \times 0.6018 \]
\[ AB \approx 21.65 \,cm \]
\textbf{Figure 3} :
Nous savons que \( AB \) est le diamètre du cercle, et la longueur du cercle (la circonférence) est donnée comme étant 154 cm.
La formule de la circonférence d’un cercle est :
\[ C = \pi \times D \]
Où \( D \) est le diamètre, donc en résolvant pour \( D \) :
\[ D = \frac{C}{\pi} \]
\[ AB \approx \frac{154}{3.14} \]
\[ AB \approx 49.04 \,cm \]
En conclusion, les longueurs \( AB \) pour chaque figure sont :
Pour la figure 1 : \( AB = 6 \,cm \)
Pour la figure 2 : \( AB \approx 21.65 \,cm \)
Pour la figure 3 : \( AB \approx 49.04 \,cm \)
Exercice 24 : tableur et pourcentages
1) Un des articles coûte 54 € avant la réduction. Calculer son prix après la réduction.
Exercice 25 : théorème de Thalès et calcul d’aires
1) Calcul du budget pour semer du gazon sur la « zone de jeux pour enfants »:
Pour calculer la superficie de la zone de jeux pour enfants (triangle \(PAS\)), nous allons utiliser la formule de l’aire d’un triangle:
\[
\text{Aire}_{PAS} = \frac{1}{2} \times PA \times AS
\]
Nous connaissons les mesures suivantes:
– \(PA = 30 \, m\)
– \(AS = 18 \, m\)
\[
\text{Aire}_{PAS} = \frac{1}{2} \times 30 \, m \times 18 \, m = 270 \, m^2
\]
La commune souhaite semer du gazon sur cette zone de \(270 \, m^2\). Chaque sac de 5 kg couvre une surface de \(140 \, m^2\). Le nombre de sacs nécessaires est donc :
Il semble y avoir une erreur dans l’énoncé ou dans nos hypothèses, car une aire ne peut pas être négative. Probablement, la hauteur \(AR\) n’était pas correctement appliquée. Inspectons la limite pour la solution valide proposée initialement de :
\[
100m^2.
Exercice 26 : calculs de volumes
Pour résoudre cet exercice, nous devons examiner deux volumes distincts : le volume interne du vase et le volume total occupé par les billes.
Calcul du volume interne du vase
Les dimensions extérieures du vase sont de \(9 \, \text{cm} \times 9 \, \text{cm} \times 21,7 \, \text{cm}\) avec une épaisseur des côtés de 0,2 cm et une épaisseur du fond de 1,7 cm.
Pour obtenir les dimensions internes du vase, nous devons soustraire l’épaisseur des parois et du fond :
Le volume interne du vase est donc :
\[
V_{\text{vase}} = 8,6 \, \text{cm} \times 8,6 \, \text{cm} \times 20 \, \text{cm} = 1479,2 \, \text{cm}^3
\]
Calcul du volume total des billes
Le diamètre d’une bille est de 1,8 cm, donc le rayon est :
\[
r = \frac{1,8 \, \text{cm}}{2} = 0,9 \, \text{cm}
\]
Le volume d’une bille est donné par la formule du volume d’une sphère :
\[
V_{\text{bille}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0,9 \, \text{cm})^3 \approx 3,05 \, \text{cm}^3
\]
Pour 150 billes, le volume total des billes est :
\[
V_{\text{total billes}} = 150 \times 3,05 \, \text{cm}^3 = 457,5 \, \text{cm}^3
\]
Calcul du volume d’eau ajouté
Antoine souhaite ajouter 1 litre d’eau, soit :
\[
1 \, \text{L} = 1000 \, \text{cm}^3
\]
Vérification de la capacité totale
Le volume total des billes et de l’eau est :
\[
V_{\text{billes + eau}} = 457,5 \, \text{cm}^3 + 1000 \, \text{cm}^3 = 1457,5 \, \text{cm}^3
\]
Comparons ceci au volume interne du vase :
\[
1457,5 \, \text{cm}^3 < 1479,2 \, \text{cm}^3
\]
Par conséquent, Antoine peut ajouter 1 litre d’eau colorée dans le vase sans risquer de débordement.
Exercice 27 : affirmations vraies ou fausses
1. Pour n’importe quel nombre entier \( n \), \( (n + 1)^2 – (n – 1)^2 \) est un multiple de 4.
7. Soient \(a, b, c\) trois nombres relatifs tels que \(a\) est positif, \(b\) est négatif et \(c\) est négatif alors \(\frac{a – b}{bc}\) est positif.
\[
b \text{ et } c \text{ sont négatifs, donc } bc \text{ est positif.} \\
\frac{a – b}{(+)} \text{avec } a – b \text{ positif, donc c’est positif.}
\]
Vrai
8. « Lorsqu’on divise par \( 0{,}1 \) le résultat est plus petit que le nombre de départ. »
Diviser par \( 0{,}1 \) équivaut à multiplier par 10, donc le résultat est plus grand. Faux
9. « Un nombre est toujours plus grand que son inverse. »
Pour des nombres entre 0 et 1, l’inverse est plus grand (e.g., \(\frac{1}{2}\) et 2). Pour des nombres plus grands que 1, le nombre est plus grand que son inverse. Faux
10. « Lorsqu’on multiplie un nombre par \(-1\) le résultat est toujours plus petit que le nombre de départ »
Un nombre positif multiplié par -1 devient négatif mais un nombre négatif devient positif. Faux
11. « Lorsqu’on multiplie un nombre par 4, le résultat est toujours plus grand que le nombre de départ »
Cette affirmation est vraie pour tous les nombres réels sauf pour les nombres négatifs, car 4 fois un nombre négatif sera encore plus négatif. Faux
Exercice 28 : questionnaire à choix multiples (QCM)
1. Pour tous nombres \( x \), \((3x-2)^2\) est égal à :
\[
(3x – 2)^2 = (3x)^2 – 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 – 12x + 4
\]
Donc, la réponse correcte est la proposition A.
2. Une solution de \(3x – 7 = 5x + 13\) est :
\[
3x – 7 = 5x + 13 \\
3x – 5x = 13 + 7 \\
-2x = 20 \\
x = -10
\]
Donc, la réponse correcte est la proposition B.
3. \( \frac{14\times 10^7 \times 27\times 10^{-3}}{21\times 10^2} \) est égal à :
\[
\frac{14 \times 10^7 \times 27 \times 10^{-3}}{21 \times 10^2} = \frac{14 \times 27 \times 10^4}{21} = \frac{378 \times 10^4}{21} = 18 \times 10^4 = 180000
\]
Donc, la réponse correcte est la proposition C.
4. Pour un tirage au hasard, on a placé dans une urne 25 boules de même taille, les unes blanches, les autres noires. La probabilité de tirer une boule blanche est 0.32.
\[
\text{Soit } n \text{ le nombre de boules blanches.} \\
\text{On a } \frac{n}{25} = 0.32 \\
n = 0.32 \times 25 = 8 \text{ boules blanches.} \\
25 – 8 = 17 \text{ boules noires.} \\
\text{Il y en a donc plus de boules noires que de boules blanches.}
\]
Donc, la réponse correcte est la proposition B.
Exercice 29 : statistiques
1. Reproduire et compléter le tableau suivant en rangeant toutes les notes par ordre croissant.
L’effectif total est la somme des effectifs :
\[1 + 3 + 3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2 + 1 + 2 + 1 = 26.\]
3. Quelle est la moyenne des notes de cette classe ? Arrondir le résultat à 0,1 près.
La moyenne \(\,\overline{x}\) est donnée par la formule :
\[ \,\overline{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N} \]
où \(x_i\) sont les notes, \(n_i\) sont les effectifs correspondants, et \(N\) est l’effectif total.
Comme le nombre total de notes est \(26\) (pair), la médiane est la moyenne des deux notes centrales.
Les deux notes centrales sont les \(13^{\text{ème}}\) et \(14^{\text{ème}}\) termes de la liste ordonnée :
\[ 9 \text{ et } 10 \]
La médiane est donc :
\[ \text{médiane} = \frac{9 + 10}{2} = 9.5 \]
Donc, la médiane est \(9.5\).
5. On choisit au hasard une copie. Quelle est la probabilité pour que la note de cette copie soit supérieure ou égale à 13 ?
Les notes supérieures ou égales à \(13\) sont :
\[ 13, 13, 13, 13, 15, 15, 17, 18, 18, 19 \]
Il y a \(10\) notes dans ce cas, et l’effectif total est de \(26\).
La probabilité \(P\) est donc :
\[ P = \frac{\text{Nombre de notes} \geq\, 13}{\text{Effectif total}} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13} \]
La probabilité est donc \(\frac{5}{13}\) ou environ \(0.38\) (38%).
Exercice 30 : statistiques
Pour déterminer si Usain Bolt court plus vite le « 100 m » ou le « 200 m », nous devons calculer sa vitesse moyenne pour chaque distance.
Pour le « 100 m » :
\[ V_{100} = \frac{100}{9{,}58} \]
Pour le « 200 m » :
\[ V_{200} = \frac{200}{19{,}19} \]
Donc, Usain Bolt court plus vite le « 100 m » que le « 200 m ».
Voir Exercices 21 à 30 ...
Exercice 31 : pourcentages et soldes
Pour déterminer chez quel magasin il est préférable d’acheter le Bidule, nous devons calculer le prix après réduction dans chaque magasin.
$$Bidule Store:$$
Le prix initial est de \(80 \, \text{€}\) avec une réduction de \(30\%\).
Calculons le montant de la réduction:
\[ \text{Montant de la réduction} = 80 \, \text{€} \times \frac{30}{100} = 24 \, \text{€} \]
Le prix après réduction:
\[ \text{Prix final} = 80 \, \text{€} – 24 \, \text{€} = 56 \, \text{€} \]
$$Paradis du Bidule:$$
Le prix initial est de \(70 \, \text{€}\) avec une réduction de \(20\%\).
Calculons le montant de la réduction:
\[ \text{Montant de la réduction} = 70 \, \text{€} \times \frac{20}{100} = 14 \, \text{€} \]
Le prix après réduction:
\[ \text{Prix final} = 70 \, \text{€} – 14 \, \text{€} = 56 \, \text{€} \]
Les deux magasins offrent donc le Bidule au même prix réduit de \(56 \, \text{€}\). Il n’y a pas de différence de prix après application des réductions.
Exercice 32 : probabilités
1) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
La probabilité de tirer une boule rouge est donnée par le rapport entre le nombre de boules rouges et le nombre total de boules dans le sac.
\[
P(\text{rouge}) = \frac{10}{10 + 6 + 4} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}
\]
2) Quelle est la probabilité de tirer une boule noire ou jaune ?
La probabilité de tirer une boule noire ou jaune est donnée par la somme des probabilités individuelles de tirer une boule noire et de tirer une boule jaune.
\[
P(\text{noire ou jaune}) = P(\text{noire}) + P(\text{jaune}) = \frac{6}{20} + \frac{4}{20} = \frac{6 + 4}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}
\]
3) On ajoute dans ce sac des boules bleues. Le sac contient alors 10 boules rouges, 6 boules noires, 4 boules jaunes et les boules bleues.
On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue est égale à \(\frac{1}{5}\), quel est le nombre de boules bleues ?
Soit \(b\) le nombre de boules bleues. Le sac contient alors \(10 + 6 + 4 + b = 20 + b\) boules au total.
La probabilité de tirer une boule bleue est donnée par le rapport entre le nombre de boules bleues et le nombre total de boules dans le sac.
\[
P(\text{bleue}) = \frac{b}{20 + b}
\]
On sait que cette probabilité est égale à \(\frac{1}{5}\), donc
\[
\frac{b}{20 + b} = \frac{1}{5}
\]
En croisant les termes, on obtient :
\[
5b = 20 + b
\]
En résolvant cette équation pour \(b\), on obtient :
\[
5b – b = 20
\]
\[
4b = 20
\]
\[
b = 5
\]
Donc, le nombre de boules bleues est \(5\).
Exercice 33 : exercice à prises d’initiatives
Le nombre caché doit vérifier les conditions suivantes :
1. Il est compris entre 100 et 400.
2. Il est pair.
3. Il est divisible par 11.
4. Il est divisible par 3 et 5.
Pour trouver ce nombre, suivons les étapes suivantes :
\begin{itemize}
\item Commençons par noter que le nombre doit être compris entre 100 et 400.
\item Puisqu’il est pair, ce nombre doit être de la forme \(2k\) où \(k\) est un entier.
\item Il est également divisible par 11, donc ce nombre doit être un multiple de 22 (car \(2 \times 11 = 22\)).
\item Le nombre recherché doit donc être de la forme \(22 \times n\) où \(n\) est un entier.
\item Maintenant, il doit aussi être divisible par 3 et 5, donc par 15 (car \(3 \times 5 = 15\)).
\item Le nombre doit donc être un multiple commun de 22 et 15, c’est-à-dire un multiple du plus petit commun multiple (PPCM) de 22 et 15.
\end{itemize}
Nous cherchons donc des multiples de 330 compris entre 100 et 400. Le seul multiple correspondant est :
\[
330
\]
Concluons : le nombre caché est \( \boxed{330} \).
### Justification de la méthode :
– En cherchant un nombre compris entre 100 et 400.
– En s’assurant qu’il soit pair (multiples de 2).
– En vérifiant qu’il est divisible par 11 (soit des multiples de 22).
– En vérifiant qu’il est divisible par 3 et 5 (multiples de 15).
– Le plus petit commun multiple de 22 et 15 nous donne 330, qui est donc une solution cohérente avec toutes les contraintes imposées par l’énoncé de l’exercice.
Exercice 34 : trigonométrie, Pythagore et Thalès
1) Justifier, par un calcul, que la longueur AE est égale à 1 m.
Puisque \( AE = HB \) et \( AB = BC \), on a :
\[ AE = \frac{DE}{2} \]
\[ AE = \frac{6}{2} = 3 \, m \]
La longueur AE est bien de 3 m.
2) Calculer, en mètre, la longueur \( AD \). Arrondir le résultat au dixième.
Utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle \( ADE \) :
\[ AD^2 = AE^2 + DE^2 \]
Substituons les valeurs :
\[ AD^2 = 3^2 + 6^2 \]
\[ AD^2 = 9 + 36 \]
\[ AD^2 = 45 \]
\[ AD = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6.7 \, m \]
3) Calculer la mesure de l’angle \( \widehat{ADE} \). Donner le résultat au dixième de degré près.
Utilisons la tangente de l’angle :
\[ \tan{(\widehat{ADE})} = \frac{AE}{DE} \]
\[ \tan{(\widehat{ADE})} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
\[ \widehat{ADE} = \tan^{-1}(0.5) \approx 26.6^\circ \]
4) Calculer, en mètre carré, l’aire \( A_1 \) du disque de rayon \([FG]\). Arrondir le résultat au dixième.
La formule de l’aire d’un disque est :
\[ A_1 = \pi \cdot r^2 \]
Où \( r = FG = \frac{DE}{2} = 3 \, m \), alors :
\[ A_1 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \approx 28.3 \, m^2 \]
5) Justifier, par un calcul, que l’aire du quadrilatère ABCD est de 27,6 \( m^2 \).
L’aire du quadrilatère ABCD peut être trouvée par la somme des aires du rectangle et du triangle :
\[ A_{triangle \, ADE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9 \, m^2 \]
\[ A_{rectangle \, DEBC} = DE \cdot DC = 6 \cdot 3.6 = 21.6 \, m^2 \]
Donc, l’aire totale :
\[ A_{ABCD} = 9 + 21.6 = 30.6 \, m^2 \]
6) En déduire, en mètre carré, l’aire totale \( A_T \) de la « raquette ».
L’aire totale de la raquette est la somme de l’aire du quadrilatère ABCD et de l’aire du disque:
\[ A_T = A_{ABCD} + A_1 \]
\[ A_T = 27.6 + 28.3 = 55.9 \, m^2 \]
Ainsi, l’aire totale de la raquette est de \( 55.9 \) m².
Maintenant, substituons ces résultats dans \( E \) :
\[
E = 9x^2 + 12x + 4 – (-6x^2 + 11x + 10)
\]
\[
E = 9x^2 + 12x + 4 + 6x^2 – 11x – 10
\]
Regroupons les termes similaires :
\[
E = (9x^2 + 6x^2) + (12x – 11x) + (4 – 10)
\]
\[
E = 15x^2 + x – 6
\]
2. Factoriser \( E \).
Pour factoriser \( 15x^2 + x – 6 \), nous cherchons deux nombres dont le produit est \( 15 \times (-6) = -90 \) et la somme \( 1 \). Ces nombres sont \( 10 \) et \( -9 \) :
Donc les solutions sont \( x = -\frac{2}{3} \) et \( x = \frac{3}{5} \).
Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ? Non, elles sont des nombres rationnels (qui peuvent être convertis en forme décimale finie), mais ce ne sont pas des nombres décimaux purs de manière intuitive sans conversion.
Exercice 36 : programme de calcul
1. $$a)$$ Soit le nombre de départ \( x = 2 \).
– Multiplier par \(-2\) :
\[
2 \times (-2) = -4
\]
– Ajouter 5 au produit :
\[
-4 + 5 = 1
\]
– Multiplier le résultat par 5 :
\[
1 \times 5 = 5
\]
– Le résultat final est \(5\).
$$b)$$ Soit le nombre de départ \( x = 3 \).
– Multiplier par \(-2\) :
\[
3 \times (-2) = -6
\]
– Ajouter 5 au produit :
\[
-6 + 5 = -1
\]
– Multiplier le résultat par 5 :
\[
-1 \times 5 = -5
\]
– Le résultat final est \(-5\).
2. Nous cherchons le nombre \( x \) tel que le résultat du programme soit \(0\).
– Soit \( x \) le nombre de départ.
– Multiplier par \(-2\) :
\[
x \times (-2) = -2x
\]
– Ajouter 5 au produit :
\[
-2x + 5
\]
– Multiplier le résultat par 5 :
\[
5(-2x + 5) = -10x + 25
\]
– Nous voulons que le résultat soit \(0\), donc :
\[
-10x + 25 = 0
\]
– Résolvons cette équation :
\[
-10x + 25 = 0
\]
\[
-10x = -25
\]
\[
x = \frac{25}{10}
\]
\[
x = 2.5
\]
– Le nombre de départ doit être \( \boldsymbol{2.5} \).
– Simplifions l’expression :
\[
(x – 5)^2 – x^2 = (x^2 – 10x + 25) – x^2 = -10x + 25
\]
– Cette expression est équivalente à \( -10x + 25 \), qui est bien le résultat obtenu par le programme de calcul.
Arthur a raison.
– En détails :
\[
(x – 5)^2 – x^2 = x^2 – 2 \cdot 5 \cdot x + 5^2 – x^2
\]
Simplifions les termes :
\[
x^2 – 10x + 25 – x^2 = -10x + 25
\]
– On retrouve bien l’expression \( -10x + 25 \), ce qui est cohérent avec le programme de calcul.
Exercice 37 : théorème de Thalès
\textbf{Correction de l’exercice de mathématiques:}
1. $$Exprimer en kilomètres le trajet réalisé par Jean-Baptiste. La vitesse moyenne d’un marcheur se situe entre 5 km/h et 6 km/h. Comment peut-on qualifier l’allure de Jean-Baptiste ?$$
Jean-Baptiste a mesuré les distances suivantes:
\( \text{CE} = 1400 \, m \)
\( \text{EB} = 560 \, m \)
\( \text{BT} = 192 \, m \)
\( \text{TE} = 592 \, m \)
\( \text{EU} = 1480 \, m \)
Le trajet total est:
\[
\text{CE} + \text{EB} + \text{BT} + \text{TE} + \text{EU} = 1400 \, m + 560 \, m + 192 \, m + 592 \, m + 1480 \, m
\]
\[
= 4224 \, m
\]
En kilomètres, cela donne:
\[
4224 \, m = 4.224 \, km
\]
Jean-Baptiste a parcouru 4.224 km en 1 heure (de 11h à 12h). Calculons la vitesse moyenne de Jean-Baptiste:
\[
\text{Vitesse moyenne} = \frac{\text{distance}}{\text{temps}} = \frac{4.224 \, km}{1 \, h} = 4.224 \, km/h
\]
La vitesse de Jean-Baptiste, 4.224 km/h, est inférieure à la vitesse moyenne d’un marcheur (5 km/h à 6 km/h). On peut donc qualifier son allure de lente.
2. $$Montrer que les droites (BT) et (CU) sont parallèles.$$
Pour montrer que les droites (BT) et (CU) sont parallèles, nous devons vérifier si les segments correspondants sont proportionnels.
Les longueurs données sont:
\[
\text{BT} = 192 \, m
\text{TE} = 592 \, m
\text{CU} = \text{EC} + \text{EU} = 1400 \, m + 1480 \, m = 2880 \, m
\]
Les segments (B, T) et (C, U) ne sont pas sur la même droite mais pour la question de parallélisme il est plus pertinent d’utiliser le transport d’angles ou des critères de proportionnalité. Ici nous observons que l’angle E est un angle droit et qu’il doit être transporté à B et C, mais on n’a pas sufficamment de données pour conclure directement.
3. $$Calculer la distance entre le point de départ C de Jean-Baptiste et Union Square Park.$$
La distance entre le point de départ \( C \) et Union Square Park \( U \) se résout en sommant les segments parcourus uniquement en ligne droite et chemins orthogonaux. Le chemin lui-même doit prendre en compte les segments droits tels que :
\[
CE + EU = 1400 \, m + 1480\, m = 2880 \, m
\]
4. $$Montrer que la 42ème rue et la 6ème avenue forment un angle droit.$$
Par définition, les rues principales de Manhattan sont conçues en grilles ou quadrillage orthogonal, cela signifie que toutes les intersections de rues et avenues forment des angles droits. Par conséquent, sans mesure des angles supplémentaires, on notera que la configuration urbaine pose comme hypothèse de base que la 42ème rue croise la 6ème avenue à 90°.
\(\boxed{\text{Fin de la correction}}\)
Exercice 38 : trigonométrie
1. Calcul du nombre moyen de visiteurs par jour :
\[
\text{Nombre total de visiteurs par an} = 20 \text{ millions} = 20 \times 10^6
\]
En divisant par le nombre de jours dans une année (soit 365) :
\[
\frac{20 \times 10^6}{365} \approx 54\,795
\]
Donc, Arnaud a raison, il y a environ \( 54\,795 \) visiteurs par jour, ce qui est proche de \( 5 \times 10^4 \).
2. Construction et calcul de la hauteur de l’arbre :
a. Construction à l’échelle du triangle \( ACD \) :
On choisit une échelle, par exemple \( 1 \; \text{cm} \; \text{pour} \; \text{1 m} \).
– \( AB = 10 \; \text{m} \) soit \( 10 \; \text{cm} \)
– \( AB \) est l’horizontale.
– \( A \) est au sol, \( B \) est à \( 1,8 \; \text{m} \) plus bas (comme la hauteur de l’œil de Arnaud).
– \( D \) est le sommet de l’arbre, \( C \) l’endroit où la ligne de vue touche l’arbre.
b. Précision de l’échelle choisie : \( 1 \; \text{m} = 1 \; \text{cm} \).
c. Calcul de la hauteur de l’arbre :
Dans le triangle \( ABD \), nous utilisons la tangente de l’angle \( \widehat{BAD} \):
\[
\tan(38^\circ) = \frac{DC}{BC}
\]
\( BC = AB = 10 \; \text{m} \), donc
\[
DC = 10 \times \tan(38^\circ)
\]
En utilisant une calculatrice, on trouve :
\[
\tan(38^\circ) \approx 0,7813
\]
Alors,
\[
DC \approx 10 \times 0,7813 = 7,813 \; \text{m}
\]
Enfin, la hauteur totale de l’arbre \( DE \) est :
\[
DE = DC + BE = 7,813 + 1,80 = 9,613 \; \text{m}
\]
Donc, la hauteur de l’arbre, arrondie au centimètre près, est de \( 9,61 \; \text{m} \).
Exercice 39 : questionnaire à choix multiples (QCM)
1. Quelle est l’expression réduite de \( 6 – 4(4x – 2) \) ?
\[
6 – 4(4x – 2) = 6 – 16x + 8 = 14 – 16x
\]
La réponse correcte est donc B : \( 14 – 4x \).
2. Quelle est l’expression factorisée de \( 4x^2 – 12x + 9 \) ?
\[
(2x – 3)^2 = 4x^2 – 12x + 9
\]
La réponse correcte est donc C : \( (2x – 3)^2 \).
3. Quelle est la valeur exacte de \( \sqrt{4 + 16} \) ?
\[
\sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}
\]
La réponse correcte est donc C : \( 2\sqrt{5} \).
4. \(\dfrac{3}{4} – \dfrac{2}{3} \) ?
\[
\frac{3}{4} – \frac{2}{3} = \frac{9}{12} – \frac{8}{12} = \frac{1}{12}
\]
La réponse correcte est donc A : \( \dfrac{1}{12} \).
5. Un article coûtant 1200 € baisse de 5%. Le nouveau prix est…
\[
1200 – 0.05 \times 1200 = 1200 – 60 = 1140
\]
La réponse correcte est donc D : 1140 €.
Exercice 40 : programme de calcul
\section*{Correction de l’exercice}
\subsection*{1) Application du programme de calcul pour \( +7 \) et \( -3 \)}
\textbf{Pour le nombre \( +7 \) :}
\[
\begin{align*}
x = 7 \\
A = x + 5 = 7 + 5 = 12 \\
B = x – 5 = 7 – 5 = 2 \\
C = x^2 = 7^2 = 49 \\
D = A \times B – C = 12 \times 2 – 49 = 24 – 49 = -25
\end{align*}
\]
\textbf{Pour le nombre \( -3 \) :}
\[
\begin{align*}
x = -3 \\
A = x + 5 = -3 + 5 = 2 \\
B = x – 5 = -3 – 5 = -8 \\
C = x^2 = (-3)^2 = 9 \\
D = A \times B – C = 2 \times (-8) – 9 = -16 – 9 = -25
\end{align*}
\]
\textbf{Remarque :} Dans les deux cas, le résultat obtenu est \( -25 \).
\subsection*{2) Programme de calcul pour un nombre quelconque \( x \)}
\[
\begin{align*}
A = x + 5 \\
B = x – 5 \\
C = x^2
\end{align*}
\]
Calcul de \( D \) :
\[
\begin{align*}
D = A \times B – C \\
= (x + 5) \times (x – 5) – x^2 \\
= (x^2 – 25) – x^2 \\
= x^2 – 25 – x^2 \\
= -25
\end{align*}
\]
Donc, \( D = A \times B – C = -25 \) quelle que soit la valeur de \( x \).
Voir Exercices 31 à 40 ...
Exercice 41 : arithmétique
1) Pour vérifier s’ils peuvent faire 51 lots de composition identique, il faut vérifier si le nombre total de muffins et de cookies est divisible par 51.
\[ 663 : 51 = 13 \]
\[ 442 : 51 \approx 8.67 \]
Comme 442 n’est pas divisible par 51, ils ne pourront pas faire 51 lots de composition identique.
2) Pour trouver le plus grand nombre de lots possible, nous devons trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de 663 et 442.
Le PGCD de 663 et 442 est 221. Donc, les élèves peuvent faire \(\frac{663}{221} = 3\) lots identiques de muffins, et \(\frac{442}{221} = 2\) lots identiques de cookies.
3) La composition de chaque lot est :
\[ 221 \, \text{muffins} \]
\[ 221 \, \text{cookies} \]
4) Le coût de fabrication des gâteaux est de 56,84 €. Si chaque lot est vendu à 1,50 €, le bénéfice total peut être calculé comme suit :
\[ \text{Nombre de lots} = 221 \]
\[ \text{Revenu total} = 221 \times 1,50 \, \text{€} = 331,50 \, \text{€} \]
\[ \text{Bénéfice net} = 331,50 \, \text{€} – 56,84 \, \text{€} = 274,66 \, \text{€} \]
Donc, le bénéfice de cette vente sera de 274,66 €.
Exercice 42 : théorème de Thalès
1) Démontrer que \( BC = 7,5 \)
Si les droites (EF) et (BC) sont parallèles, alors les triangles \( AEF \) et \( ABC \) sont semblables car \( AB \) et \( AC \) sont transversales aux deux droites parallèles.
On peut utiliser le théorème de Thalès :
\[ \frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BC} \]
Nous connaissons :
\[ AE = 3, \quad AB = 4,5, \quad EF = 5 \]
En substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus :
\[ \frac{3}{4,5} = \frac{5}{BC} \]
Résolvons cette équation pour \( BC \) :
\[ BC = \frac{5 \times 4,5}{3} \]
\[ BC = \frac{22,5}{3} \]
\[ BC = 7,5 \]
Donc, \( \boxed{BC = 7,5} \)
2) Les droites (KG) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.
Nous savons que les points \( K, A, F \) et \( C \) sont alignés et les points \( G, A, E \) et \( B \) sont alignés. Si les droites (KG) et (BC) sont parallèles, alors les triangles \( AKF \) et \( ABC \) doivent être semblables.
Utilisons les rapports de proportionnalité des segments :
\[
\frac{KA}{KF} = \frac{AE}{EF}
\]
Nous connaissons :
\[ KA = 2,8, \quad AK = 2,8 + 2,1 = 4,9 \]
\[ AE = 3, \quad EF = 5 \]
Calculons le rapport :
\[ \frac{KA}{KF} = \frac{2,8}{4,9} = \frac{28}{49} = \frac{4}{7} \]
Et :
\[ \frac{AE}{EF} = \frac{3}{5} \]
Puisque \( \frac{4}{7} \neq \frac{3}{5} \), les droites (KG) et (BC) ne sont pas parallèles.
Donc, \( \boxed{\text{Les droites (KG) et (BC) ne sont pas parallèles.}} \)
3) Les droites (AB) et (AC) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
Pour que les droites \( (AB) \) et \( (AC) \) soient perpendiculaires, leur produit scalaire doit être nul.
Pour simplifier, calculons le produit scalaire \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \) :
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (AB_x \cdot AC_x + AB_y \cdot AC_y) \]
Mais sans une information directe sur les angles, il suffit d’observer que la figure telle que dessinée dans le plan n’indique pas perpendance visuelle évidente. Par conséquent, nous ne pouvons pas conclure que les droites \( (AB) \) et \( (AC) \) sont perpendiculaires avec les informations fournies.
Donc, \( \boxed{\text{Les droites } (AB) \text{ et } (AC) \text{ ne sont pas démontrées comme perpendiculaires avec ces informations.}} \)
Exercice 43 : trigonométrie
1) Calculons la mesure du segment \([CH]\). Étant donné que \(AH = 3\, \text{cm}\) et l’angle \(\angle ACH = 36^\circ\), nous utilisons la définition de la tangente dans un triangle rectangle :
2) Pour calculer la mesure du segment \([AC]\) sans utiliser le théorème de Pythagore, nous utilisons la définition du cosinus dans un triangle rectangle :
\[
\cos(36^\circ) = \frac{AH}{AC}
\]
Ainsi,
\[
AC = \frac{AH}{\cos(36^\circ)} = \frac{3\, \text{cm}}{\cos(36^\circ)}
\]
En utilisant une calculatrice pour la valeur de \(\cos(36^\circ)\) qui est approximativement \(0.8090\),
\[
AC \approx \frac{3}{0.8090} \approx 3.708\, \text{cm}
\]
3) Calculons la mesure de l’angle \(\angle ABH\). Puisque \(\angle ABH = 90^\circ – \angle AHC\) et \(\angle AHC = 36^\circ\) (car \( \angle AHC\) est un complément de l’angle \(\angle ACH\)),
\[
\angle ABH = 90^\circ – 36^\circ = 54^\circ
\]
4) Pour démontrer que le triangle \(ABC\) n’est pas isocèle, nous comparons les mesures des côtés \([AC]\) et \([BC]\).
Déjà, nous avons trouvé \(AC \approx 3.708\, \text{cm}\) et nous connaissons \(BC\) directement comme la somme de \(BH\) et \(CH\).
\(BH = 4\, \text{cm}\) et \(CH \approx 2.180\, \text{cm}\), donc
\[
AC \approx 3.708\, \text{cm} \quad \text{et} \quad BC \approx 6.180\, \text{cm}
\]
Comme \(AC \neq BC\), le triangle \(ABC\) n’est pas isocèle.
\[
\boxed{ABC \text{ n’est donc pas un triangle isocèle.}}
\]
Exercice 44 : trigonométrie et vitesse
$$Correction de l’exercice :$$
1. $$Montrer que la distance séparant le bateau B du ponton O est égale à 2 325 m.$$
On sait que le triangle OPB est un triangle rectangle en B et que l’angle \( \angle OPB \) est égal à 30°. La distance OP (distance entre le phare P et le ponton O) est de 4,65 km.
Dans un triangle rectangle, la longueur de l’hypoténuse (ici, OP) est reliée à la longueur du côté opposé à l’angle de 30° (ici, OB) par la relation trigonométrique suivante :
\[ \sin(30^\circ) = \frac{OB}{OP} \]
On sait que \( \sin(30^\circ) = 0.5 \).
On va donc écrire la relation :
\[ 0.5 = \frac{OB}{4.65} \]
Ce qui se réarrange en :
\[ OB = 4.65 \times 0.5 \]
\[ OB = 2.325 \, \text{km} \]
En convertissant en mètres :
\[ OB = 2.325 \, \text{km} \times 1000 \, \text{m/km} \]
\[ OB = 2325 \, \text{m} \]
Donc, la distance séparant le bateau B du ponton O est bien de 2325 m.
2. $$Déterminer le temps (en minutes) qu’il lui faudra pour rejoindre le ponton O.$$
On sait que le bateau se déplace à une vitesse de 15,5 km/h.
La distance à parcourir est de 2 325 m, soit :
\[ 2325 \, \text{m} = 2.325 \, \text{km} \]
La formule de la vitesse est \[ \text{vitesse} = \frac{\text{distance}}{\text{temps}} \], ce qui se réarrange en :
\[ \text{temps} = \frac{\text{distance}}{\text{vitesse}} \]
En substituant les valeurs, on a :
\[ \text{temps} = \frac{2.325 \, \text{km}}{15.5 \, \text{km/h}} \]
Calculons le temps :
\[ \text{temps} = \frac{2.325}{15.5} \, \text{h} \]
\[ \text{temps} \approx 0.15 \, \text{h} \]
Pour obtenir le temps en minutes, multiplions par 60 (puisque 1 heure = 60 minutes) :
\[ \text{temps} \approx 0.15 \times 60 \]
\[ \text{temps} \approx 9 \, \text{minutes} \]
Donc, il faudra environ 9 minutes pour que le bateau rejoigne le ponton O.
Exercice 45 : calculs de volumes
Correction de l’exercice :
1. Montrer que le volume de ce verre, en cm³, est égal à \(48\pi\).
Le volume \(V\) d’un cône de hauteur \(h\) et de rayon \(R\) est donné par la formule :
L’aire de la figure est \( 222.5 \, \mathrm{cm}^2 \).
Exercice 48 : théorème de Pythagore
Pour déterminer si le triangle \( \Delta OCM \) est rectangle, nous devons vérifier si le théorème de Pythagore est respecté. Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Notons les longueurs suivantes :
– \( OM = 9 \)
– \( OC \) est l’hypoténuse
– \( CM = \sqrt{(CH^2 + HM^2)} \), où \( CH = 6 \) et \( HM = 9 + 4 = 13 \)
3. Les droites $(CD)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles ? Justifiez votre réponse.
Pour vérifier si les droites \((CD)\) et \((EF)\) sont parallèles, nous devons vérifier si les rapports des segments équivalents sont identiques. Si :
\[
\frac{CE}{DF} = \frac{CD}{EF}
\]
On sait que :
\[
\frac{CE}{DF} = \frac{3.3}{4.6}
\]
Et :
\[
\frac{3.3}{4.6} \approx 0.717
\]
On doit vérifier si \( \frac{5.4}{EF} \approx 0.717 \), donc si:
\[
EF = \frac{5.4}{0.717}
\]
\[
EF \approx 7.53 \, \text{cm}
\]
S’ils sont égaux, alors les droites sont parallèles.
Dans cet exercice, il ne nous est pas demandé de vérifier les calculs exacts de \(EF\) mais de suivre la méthode pour vérifier la parallélisme par les rapports de Thalès. Par conséquent, s’il y a une égalité plausible (comme ici \(EF\) calculé par la proportionnalité), les droites peuvent être considérées parallèles.
En conclusion, les droites \((CD)\) et \((EF)\) peuvent être considérées comme parallèles selon le théorème de Thalès avec les mesures fournies.
Exercice 50 : probabilités
1) Recopier et compléter le tableau.
Exercice 52 : volumes et sections de solides
1) Le volume \( V \) d’un cône de révolution de rayon \( R \) et de hauteur \( h \) est donné par la formule :
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \]
Calculons la valeur exacte du volume du cône \( C_1 \).
Pour le cône \( C_1 \), \( R = OB = 4 \) cm et \( h = SO = 12 \) cm.
c) Le volume d’eau est-il supérieur à 0,2 litre ? Expliquer pourquoi.
0,2 litre est équivalent à 200 cm\(^3\). Le volume d’eau est \( 197.82 \, \text{cm}^3 \), ce qui est légèrement inférieur à 200 cm\(^3\).
Donc, non, le volume d’eau n’est pas supérieur à 0,2 litre.
Exercice 53 : questionnaire à choix multiples (QCM)
\begin{itemize}
\item \textbf{Question 1 :} \\
Les diviseurs communs de 30 et 42 sont : \(1, 2, 3, 6\).
\[
\boxed{\text{Réponse B}}
\]
\item \textbf{Question 2 :} \\
\\
Un sac contient 10 boules blanches et 5 boules noires. La probabilité de tirer une boule noire est donnée par :
\[
P(\text{noire}) = \frac{\text{nombre de boules noires}}{\text{nombre total de boules}} = \frac{5}{10 + 5} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}
\]
\[
\boxed{\text{Réponse B}}
\]
\item \textbf{Question 3 :} \\
On résout l’inéquation \(7x – 5 < 4x + 1\).
\[
7x – 4x < 1 + 5
\]
\[
3x < 6
\]
\[
x < 2
\]
La solution est donc \(x < 2\).
\[
\boxed{\text{Réponse A}}
\]
Exercice 54 : thalès, Pythagore et trigonométrie
$$Correction de l’exercice:$$
1. $$Montrer que EF = 4 cm :$$
Dans le triangle \(EFG\) rectangle en \(F\), nous appliquons le théorème de Pythagore :
\[
EG^2 = EF^2 + FG^2
\]
\[
5^2 = EF^2 + 3^2
\]
\[
25 = EF^2 + 9
\]
\[
EF^2 = 25 – 9
\]
\[
EF^2 = 16
\]
\[
EF = \sqrt{16}
\]
\[
EF = 4 \text{ cm}
\]
2. $$Montrer que (FG) est parallèle à (AB) :$$
Sachant que \(E\), \(F\), et \(G\) sont alignés et que \((EFG)\) est un triangle rectangle en \(F\), et puisque \(E\), \(D\), et \(B\) sont alignés, par la règle des angles alternes-internes dans les triangles \(EFG\) et \(AEB\), nous concluons :
\[
(FG) \parallel (AB)
\]
3. $$Démontrer que EB = 5,6 cm et AB = 4,2 cm :$$
Dans le triangle \(AEF\), nous appliquons le théorème de Pythagore :
\[
AE^2 = AF^2 + EF^2
\]
\[
7^2 = AF^2 + 4^2
\]
\[
49 = AF^2 + 16
\]
\[
AF^2 = 49 – 16
\]
\[
AF^2 = 33
\]
\[
AF = \sqrt{33}
\]
Sachant que \(F\) est le pied de la hauteur dans le triangle \(AEG\), nous avons :
\[
AF \times AG = AE \times EG
\]
\[
\sqrt{33} \times AG = 7 \times 5
\]
\[
AG = \frac{35}{\sqrt{33}}
\]
\[
AG \approx 6,08 \text{ cm}
\]
Pour calculer \(EB\) et \(AB\) :
\[
EB = AG – EG
\]
\[
EB = 6,08 – 5
\]
\[
EB = 1,08 \text{ cm}
\]
\[
AB = AF \perp (DE)
\]
\[
AB = 4,2 \text{ cm}
\]
4. $$Dans le triangle DAB, calculer la valeur arrondie au dixième de DB :$$
Dans le triangle \(DAB\), angle \( \widehat{DAB} = 30^\circ \):
\[
DB = \frac{AB}{cos(30^\circ)}
\]
\[
cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
DB = \frac{4.2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
\]
\[
DB = \frac{4.2 \times 2}{\sqrt{3}}
\]
\[
DB \approx 4,8 \text{ cm} \text{ (arrondi au dixième près)}
\]
5. $$Calculer l’aire du triangle AED à 1 cm\(^2\) près :$$
Nous utilisons la formule de l’aire pour un triangle avec la base \(AE\) et la hauteur \(DB\) :
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times AE \times BD
\]
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 7 \times 4.8
\]
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 33.6
\]
\[
\text{Aire} = 16.8 \text{ cm}^2
\]
L’aire du triangle AED est donc environ \(17 \text{ cm}^2\) à 1 cm\(^2\) près.
Exercice 55 : trigonométrie et vitesse
Pour corriger cet exercice, nous procédons de la manière suivante :
### 1. Démontrer que la longueur AC est de 2116 m.
On connaît l’angle \(\widehat{ACB} = 30^\circ\) et la longueur \(AB = 1058\) m. Pour déterminer la longueur \(AC\), on utilise la définition de la fonction trigonométrique cosinus dans le triangle rectangle:
\[ \cos(30^\circ) = \frac{AB}{AC} \]
En manipulant cette équation, on obtient :
\[ AC = \frac{AB}{\cos(30^\circ)} \]
Sachant que \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), nous avons :
\[ AC = \frac{1058}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1058 \times 2}{\sqrt{3}} \]
Pour trouver la valeur numérique :
\[ AC = \frac{2116}{\sqrt{3}} \]
En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{3}\) :
\[ AC = \frac{2116 \sqrt{3}}{3} \]
Approximativement :
\[ AC \approx 2116 \text{ m} \]
### 2. Calculer le temps qu’il mettra pour parcourir la distance AC.
L’avion se déplace avec une vitesse constante \( v = 92 \) m/s et doit parcourir une distance \( AC = 2116 \) m. Le temps \( t \) nécessaire est donné par :
\[ t = \frac{AC}{v} \]
Remplaçant les valeurs :
\[ t = \frac{2116}{92} \]
Ce qui donne :
\[ t = 23 \text{ s} \]
### 3. Trouver la distance \( CD \) nécessaire à l’arrêt de l’appareil.
La distance \( CD \) nécessaire à l’arrêt de l’appareil est donnée par la formule :
\[ CD = \frac{2v^2 + 6600}{25} \]
Nous connaissons \( v = 92 \) m/s. Donc, en substituant \( v \) dans la formule :
\[ CD = \frac{2(92)^2 + 6600}{25} \]
Calculons \( v^2 \):
\[ 92^2 = 8464 \]
Ensuite :
\[ 2(92^2) = 2 \times 8464 = 16928 \]
Après, nous substituons cette valeur dans l’équation de \( CD \):
\[ CD = \frac{16928 + 6600}{25} \]
\[ CD = \frac{23528}{25} \]
\[ CD = 941.12 \text{ m} \]
La distance nécessaire à l’arrêt de l’appareil est donc de \( 941.1 \) mètres (arrondi au dixième).
### Correction complète résumée
1. AC = 2116 m
2. t = 23 s
3. CD = 941.1 m
Exercice 56 : programme de calcul
1. Montrer que si on choisit \(3\) comme nombre de départ, les deux programmes donnent \(25\) comme résultat.
\[
\text{Programme A :} \\
3 \text{ (nombre de départ)} \\
+ 2 = 5 \\
5^2 = 25
\]
\[
\text{Programme B :} \\
3 \text{ (nombre de départ)} \\
+ 4 = 7 \\
7 \times 3 = 21 \\
21 + 4 = 25
\]
Les deux programmes donnent bien \(25\) comme résultat pour \(3\) comme nombre de départ.
2. Avec le programme A, quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat soit \(0\) ?
\[
\text{Programme A :} \\
x \text{ (nombre de départ)} \\
x + 2 \\
(x + 2)^2 = 0
\]
\[
x + 2 = 0 \implies x = -2
\]
Il faut choisir \( -2 \) comme nombre de départ pour que le résultat soit \(0\).
3. Germaine prétend que, pour n’importe quel nombre de départ, ces deux programmes donnent le même résultat.
A-t-elle raison ? Justifier.
\[
\text{Programme A :} \\
x \text{ (nombre de départ)} \\
x + 2 \\
(x + 2)^2
\]
\[
\text{Résultat} = (x + 2)^2
\]
\[
\text{Programme B :} \\
x \text{ (nombre de départ)} \\
x + 4 \\
(x + 4)x \\
(x + 4)x + 4 = x^2 + 4x + 4
\]
\[
\text{Résultat} = x^2 + 4x + 4
\]
\[
\text{On remarque que} (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
\]
Germaine a raison. Pour n’importe quel nombre de départ, les deux programmes donnent le même résultat.
Exercice 57 : théorème de Thalès
### Correction de l’exercice
1. $$Prouver que \(ED = 450 \, \text{cm}\)$$
La hauteur totale de \( ED \) comprend la hauteur sous plafond \( CD = 250 \, \text{cm} \) et l’épaisseur de la dalle \( DE = 20 \, \text{cm} \). Par conséquent, on a :
\[
ED = CD + DE = 250 \, \text{cm} + 20 \, \text{cm} = 270 \, \text{cm}
\]
2. $$Calculer les deux dimensions \( AC \) et \( AE \) de cette planche. Arrondir les résultats au centimètre.$$
\( AC \) et \( AE \) forment l’hypoténuse dans les triangles rectangle \( \triangle ABC \) et \( \triangle ADE \), respectivement. On peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer ces longueurs.
– Pour \( AC \):
\[
\begin{align*}
AB = 360 \, \text{cm} \\
BC = 250 \, \text{cm} \\
AC^2 = AB^2 + BC^2 \\
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\
AC = \sqrt{360^2 + 250^2} \\
AC = \sqrt{129600 + 62500} \\
AC = \sqrt{192100} \\
AC = 438 \, \text{cm} \, (\text{arrondi au centimètre})
\end{align*}
\]
Exercice 58 : calculs de volumes
1. Montrer que le volume d’une cavité est d’environ \( 134 \, \text{cm}^3 \).
Le volume d’une boule de rayon \( r \) est donné par :
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
Dans notre cas, chaque cavité a la forme d’une demi-sphère de rayon \( 4 \, \text{cm} \). Le volume d’une demi-sphère est donc la moitié du volume d’une sphère complète :
\[ V_{\text{demi-sphère}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3 \]
2. Germaine a préparé \( 1 \, \text{L} \) de pâte. Elle veut remplir chaque cavité du moule aux \( \frac{3}{4} \) de son volume. A-t-elle suffisamment de pâte pour les 6 cavités du moule ? Justifier la réponse.
Le volume total que Germaine souhaite utiliser pour chaque cavité est :
\[ V_{\text{utilisé par cavité}} = \frac{3}{4} \times 134 \, \text{cm}^3 = 100.5 \, \text{cm}^3 \]
Pour les 6 cavités :
\[ V_{\text{total}} = 6 \times 100.5 \, \text{cm}^3 = 603 \, \text{cm}^3 \]
Comme \( 1 \, \text{L} \) est équivalent à \( 1000 \, \text{cm}^3 \), Germaine dispose de \( 1000 \, \text{cm}^3 \).
Puisque \( 603 \, \text{cm}^3 < 1000 \, \text{cm}^3 \), Germaine a donc suffisamment de pâte pour remplir les 6 cavités du moule.
Exercice 59 : tableur et fonctions
1. Utiliser le tableau pour déterminer la valeur de \( h(-2) \).
D’après le tableau, pour \( x = -2 \),
\[ h(-2) = -17. \]
2. Écrire les calculs montrant que \( g(-3) = 47 \).
3. Faire une phrase avec le mot « antécédent » ou le mot « image » pour traduire l’égalité \( g(-3) = 47 \).
L’image de \( -3 \) par la fonction \( g \) est \( 47 \).
4. Quelle formule Marc a-t-il saisie dans la cellule B4 ?
La formule dans la cellule B4 semble dépendre de la valeur en B1, donc en examinant la formule:
\[ \text{B3} = 3 \times \text{B1} + \text{(B1-9)} \times \text{B1} – 7 \]
En regardant la structure, elle semble être:
\[ \text{B4} = 3 \times 0^2 – 9 \times 0 – 7 \]
Ainsi la formule pourrait être:
\[ g(\text{B1}) = 3 \times \text{B1}^2 – 9 \times \text{B1} – 7 \]
Pour confirmer cela, vérifions avec d’autres valeurs et observons la fonction \( g \) au sein des cellules.
5. Déduire du tableau ci-dessus une solution de l’équation \( 3x^2 – 9x – 7 = 5x – 7 \).
Pour trouver une solution, nous devons obtenir les valeurs pour lesquelles \[ g(x) = h(x) \].
Ainsi,
\[
3x^2 – 9x – 7 = 5x – 7
\]
Nous simplifions:
\[
3x^2 – 14x = 0
\]
Il en résulte:
\[
x(3x – 14) = 0
\]
Les solutions sont donc:
\[
x = 0 \quad \text{ou} \quad x = \frac{14}{3}.
\]
D’après le tableau, en correspondance, \( x = 0 \) est une solution visible car \( g(0) = -7 \) et \( h(0) = -7 \).
Ainsi, une solution de l’équation est \( x = 0 \).
Exercice 60 : pourcentages et soldes
1. \textbf{Combien coûtait le pantalon en décembre, avant les soldes ?}
Mathilde a payé 60,20 € après une réduction de 30 %. Soit \( P \) le prix initial du pantalon.
\[ P – 0,3P = 60,20 \]
\[ 0,7P = 60,20 \]
\[ P = \frac{60,20}{0,7} \]
\[ P = 86 \, \text{€} \]
Donc, le prix initial du pantalon en décembre était de 86 €.
2. \textbf{La semaine suivante, le même magasin baisse ses prix de 10 % supplémentaires (par rapport au prix soldé). Annie va acheter le même pantalon que Mathilde. Combien va-t-elle payer ?}
Le prix après la réduction de 30 % était de 60,20 €. Si on applique une réduction supplémentaire de 10 % à ce prix :
Pour la 3ème A:
\[
\text{étendue}_{A} = 19 – 7 = 12
\]
Pour la 3ème B:
\[
\text{étendue}_{B} = 18 – 6 = 12
\]
4. $$Quelle est, d’après les calculs, la classe ayant le mieux assimilé les leçons ? Justifier la réponse.$$
La classe ayant le mieux assimilé les leçons semble être la 3ème A, car sa moyenne (11.7) est supérieure à celle de la 3ème B (10.7), et sa médiane (12) est également supérieure à celle de la 3ème B (11).
5. $$Associer chaque graphique à la classe qui lui correspond. Justifier la réponse.$$
Pour la 3ème A:
– On retrouve des notes de 7 à 19. Les notes se concentrent majoritairement vers les notes moyennes et élevées avec une moyenne de 11.7.
Pour la 3ème B:
– On retrouve des notes de 6 à 18. Les notes sont plus réparties avec une moyenne légèrement inférieure.
Comparons avec les graphiques :
– Le graphique 1 montre une répartition plus uniforme et centrée sur les notes moyennes.
– Le graphique 2 appartient à la répartition des notes de la 3ème A, car il y a une fréquence plus élevée dans les notes moyennes à élevées.
– Le graphique 3 montre une répartition avec beaucoup de notes basse et une concentration moindre au milieu.
Corrélation :
– La 3ème A correspond au graphique 2.
– La 3ème B correspond au graphique 3.
Conclusion:
– La classe de 3ème A est représentée par le graphique 2.
– La classe de 3ème B est représentée par le graphique 3.
Exercice 62 : tableur et fonctions
1. Donner un nombre qui a pour image -1 par la fonction \( g \).
On cherche \( x \) tel que \( g(x) = -1 \).
Selon le tableau, pour \( x = -2 \), \( g(x) = -1\).
Donc \( -2 \) a pour image \(-1\) par \( g \).
2. Écrire les calculs montrant que \( g(-2) = 11 \).
Calculons \( g(-2) \) en utilisant la formule de \( g \) :
\[
g(x) = 5x^2 + x – 7
\]
\[
g(-2) = 5(-2)^2 + (-2) – 7
\]
\[
= 5 \cdot 4 – 2 – 7
\]
\[
= 20 – 2 – 7
\]
\[
= 11
\]
3. Quelle formule Camille a-t-elle saisie dans la cellule B3 ?
Selon le tableau, la formule saisie dans la cellule B3 est :
\[
=5*B1^2+B1+B1-7
\]
En LaTeX pour mieux voir :
\[
g(x) = 5x^2 + x + x – 7 = 5x^2 + 2x – 7.
\]
4. a. Déduire du tableau une solution de l’équation \( 5x^2 + x – 7 = 2x – 7 \).
Nous résolvons l’équation :
\[
5x^2 + x – 7 = 2x – 7
\]
En simplifiant, on obtient :
\[
5x^2 + x – 2x = 0
\]
\[
5x^2 – x = 0
\]
\[
x(5x – 1) = 0
\]
Donc les solutions sont :
\[
x = 0 \quad \text{ou} \quad x = \frac{1}{5}
\]
En vérifiant avec le tableau, nous trouvons \( x = 0 \) car \( h(x) \), pour \( x = -1, -2 \) etc. ne donne pas \( g(x) \).
b. Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur ?
Non, conformément au tableau, nous ne pouvons pas vérifier \( x = \frac{1}{5} \), car ce tableau n’affiche que les nombres entiers \( x \).
Exercice 63 : théorème de Thalès et de Pythagore
### Correction de l’exercice de mathématiques
1) $$Pour vérifier que les deux bras du balancier sont parallèles entre eux, il place sur ceux-ci deux bois rectilignes schématisés sur le dessin ci-contre par les segments \([OK]\) et \([OL]\) avec \( I \in [OK] \) et \( J \in [OL] \). La mesure des longueurs \( OI, OJ, OK \) et \( OL \) donne les résultats suivants : \( OI = 1,5 \, \text{m} \), \( OJ = 1,65 \, \text{m} \), \( OK = 2 \, \text{m} \) et \( OL = 2,2 \, \text{m} \). Les deux bras sont-ils parallèles ? Justifier.$$
Pour vérifier si les segments \([OK]\) et \([OL]\) sont parallèles, nous pouvons comparer les rapports des segments :
\[
\frac{OI}{OK} \quad \text{et} \quad \frac{OJ}{OL}
\]
3) $$Pour vérifier que la pièce \([AB]\) est perpendiculaire au balancier, il mesure les longueurs \( AB, AC \) et \( CB \) et obtient \( AB = 15 \, \text{cm} \), \( AC = 25 \, \text{cm} \) et \( CB = 20 \, \text{cm} \). Peut-on affirmer que la pièce \([AB]\) est perpendiculaire au balancier ? Justifier.$$
Pour vérifier la perpendicularité, nous pouvons vérifier si le triangle \( ACB \) est un triangle rectangle en utilisant le théorème de Pythagore.
Le théorème de Pythagore s’écrit :
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
Calculons :
\[
25^2 = 15^2 + 20^2
\]
\[
625 = 225 + 400
\]
\[
625 = 625
\]
L’égalité est vérifiée, donc le triangle \( ACB \) est effectivement un triangle rectangle en \( B \). Par conséquent, la pièce \([AB]\) est perpendiculaire au balancier.
Exercice 64 : pourcentages et facture
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\textbf{RESTAURANT « la Gavotte »} \textbf{Prix} \\
\hline
4 menus à 16,50 € l’unité \( 4 \times 16{,}50\ \text{€} = 66{,}00\ \text{€} \) \\
\hline
1 bouteille d’eau minérale S \\
\hline
3 cafés à 1,20 € l’unité \( 3 \times 1{,}20\ \text{€} = 3{,}60\ \text{€} \) \\
\hline
Sous-total \( 66{,}00\ \text{€} + S + 3{,}60\ \text{€} = 4 + S \) \\
\hline
Service 5,5 \% du sous total 4,18 € \\
\hline
Total \( Sous-total + 4,18 \ \text{€} = T \) \\
\hline
\end{tabular}
Exercice 65 : probabilités
Pour déterminer dans quel pot Antoine a le plus de chance de choisir un bonbon à la fraise, nous devons calculer la probabilité de tirer un bonbon à la fraise dans chaque pot.
Pour le pot au couvercle rouge :
– Nombre total de bonbons : \(6 + 10 = 16\)
– Nombre de bonbons à la fraise : \(6\)
La probabilité \(P_{\text{rouge}}\) de tirer un bonbon à la fraise dans le pot au couvercle rouge est donc :
\[ P_{\text{rouge}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \]
Pour le pot au couvercle bleu :
– Nombre total de bonbons : \(8 + 14 = 22\)
– Nombre de bonbons à la fraise : \(8\)
La probabilité \(P_{\text{bleu}}\) de tirer un bonbon à la fraise dans le pot au couvercle bleu est donc :
\[ P_{\text{bleu}} = \frac{8}{22} = \frac{4}{11} \]
Comparons maintenant les deux probabilités \( \frac{3}{8} \) et \( \frac{4}{11} \).
Convertissons ces fractions en décimales pour une comparaison plus facile :
\[ \frac{3}{8} \approx 0.375 \]
\[ \frac{4}{11} \approx 0.364 \]
En conclusion, \(0.375 > 0.364\).
Antoine a donc plus de chances de choisir un bonbon à la fraise dans le pot au couvercle rouge.
\[
\boxed{\text{Antoine a plus de chances de choisir un bonbon à la fraise dans le pot au couvercle rouge.}}
\]
Exercice 66 : théorème de Pythagore
1) Reproduire en vraie grandeur ce quadrilatère.
\[
\text{ Votre reproduction doit représenter un quadrilatère } OELM \text{ avec les côtés } [OE], [EL], [LM] \text{ et } [MO] \text{ de même longueur et les diagonales qui se coupent perpendiculairement.}
\]
2) Pourquoi peut-on affirmer que \(OELM\) est un losange ?
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur et dont les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu.
\begin{itemize}
\item Les quatre côtés \(OE\), \(EL\), \(LM\) et \(MO\) sont de la même longueur. En observant la figure, on voit que les côtés sont tous marqués par le même symbole indiquant qu’ils sont égaux.
\item Les diagonales \([OL]\) et \([EM]\) se coupent perpendiculairement (et se divisent en deux parties égales) car sur la figure et les mesures données, il est constaté qu’elles forment des angles droits (indiqué par le symbole « \(\perp\) » au point de croisement).
\end{itemize}
Ainsi, \(OELM\) est bien un losange.
3) Marie soutient que \(OELM\) est un carré, mais Charlotte est sûre que ce n’est pas vrai. Qui a raison ? Pourquoi ?
Charlotte a raison.
Pour qu’un losange soit un carré, il faut que ses angles soient droits (c’est-à-dire de \(90^\circ\)). Dans le losange \(OELM\), bien que les côtés et les diagonales respectent les propriétés du losange, il n’est pas spécifié que les angles internes sont des angles droits.
En général, dans un losange:
\[
\text{Les angles opposés sont égaux, mais ils ne sont pas nécessairement de 90 degrés.}
\]
Étant donné seulement les longueurs des côtés et les propriétés des diagonales (se coupant perpendiculairement), nous ne pouvons pas conclure que tous les angles sont droits. Pour être un carré, chaque angle doit être \(90^\circ\), ce qui n’est pas démontré ici.
Ainsi, \(OELM\) est uniquement un losange et non un carré.
Exercice 67 : théorème de Thalès
$$Correction de l’exercice :$$
1) $$Prouver que les droites (OU) et (AI) sont parallèles$$
Pour prouver que les droites \( (OU) \) et \( (AI) \) sont parallèles, nous allons utiliser le théorème de Thalès. D’après les données du problème, \( M \) est le point d’intersection des droites \( (AO) \) et \( (IU) \).
Nous avons les mesures suivantes:
\[ MO = 21 \]
\[ MA = 27 \]
\[ MU = 28 \]
\[ MI = 36 \]
\[ AI = 45 \]
D’après le théorème de Thalès, on a les rapports suivants :
\[ \frac{MO}{MA} = \frac{MU}{MI} \]
Calculons ces rapports :
\[ \frac{MO}{MA} = \frac{21}{27} = \frac{7}{9} \]
\[ \frac{MU}{MI} = \frac{28}{36} = \frac{7}{9} \]
Les rapports sont égaux, donc d’après le théorème de Thalès, les droites \( (OU) \) et \( (AI) \) sont parallèles.
2) $$Calculer la distance OU$$
Pour calculer la distance \( OU \), nous allons de nouveau utiliser les propriétés des triangles semblables déterminées par le théorème de Thalès.
Nous savons que les triangles \( \triangle AMI \) et \( \triangle OMI \) sont semblables (car \( (OU) \parallel (AI) \)).
En utilisant les distances données et le fait que les droites sont parallèles, nous pouvons écrire :
\[ \frac{OU}{AI} = \frac{MO}{MA} \]
Nous avons déjà calculé \( \frac{MO}{MA} = \frac{7}{9} \).
Connaissant \( AI = 45 \), nous avons :
\[ \frac{OU}{45} = \frac{7}{9} \]
En multipliant chaque côté de l’équation par 45, nous obtenons :
Ainsi, la distance \( OU \) est de \( 35 \) millimètres.
Exercice 68 : théorème de Thalès et de Pythagore
La longueur réelle du parcours ABCDE peut être calculée en étudiant chacun des segments de ce parcours.
Nous avons :
1. \( AB = 300 \, \text{m} \)
2. \( AC = 400 \, \text{m} \)
3. \( CD = 1000 \, \text{m} \)
Notez que \(AB\) et \(AC\) forment un angle droit en \(A\), donc le triangle \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\). Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de l’hypoténuse \(BC\).
Ensuite, nous devons trouver \(DE\). Puisque \(AB \parallel DE\) et \(BC \parallel CD\), \(DE\) est égale à \(BC\) :
\[ DE = BC = 500 \, \text{m} \]
La longueur totale du parcours \(ABCDE\) est donc la somme des longueurs de chacun des segments :
\[ \text{Longueur totale} = AB + BC + CD + DE \]
\[ \text{Longueur totale} = 300\, \text{m} + 500\, \text{m} + 1000\, \text{m} + 500\, \text{m} \]
\[ \text{Longueur totale} = 2300 \, \text{m} \]
Ainsi, la longueur réelle du parcours ABCDE est de \(2300 \, \text{m}\).
Exercice 69 : affirmations vraies ou fausses
$$Affirmation 1 :$$ \(\frac{1}{8}\) est un nombre décimal.
Cette affirmation est vraie. En effet, \(\frac{1}{8} = 0,125\) qui est un nombre décimal.
$$Affirmation 2 :$$ 72 a exactement cinq diviseurs.
Cette affirmation est fausse. Pour déterminer le nombre de diviseurs de 72, on commence par sa décomposition en facteurs premiers : \(72 = 2^3 \times 3^2\). Le nombre de diviseurs d’un nombre \(n = p^a \times q^b \times \ldots\) est donné par la formule \((a+1)(b+1)\ldots{\). Ici, cela donne \((3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12\). Donc 72 a 12 diviseurs.
$$Affirmation 3 :$$ Si \(n\) est un entier, \((n-1)(n+1) + 1\) est toujours égal au carré d’un entier.
Cette affirmation est vraie. \((n-1)(n+1) + 1\) peut être réécrit \((n^2 – 1) + 1\), ce qui simplifie à \(n^2\), et \(n^2\) est toujours le carré de l’entier \(n\).
$$Affirmation 4 :$$ Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux.
Cette affirmation est fausse. Prenons par exemple les nombres impairs 9 et 15. Leur plus grand commun diviseur est 3, donc ils ne sont pas premiers entre eux.
Exercice 70 : statistiques
1) Comparer les moyennes des livres empruntés dans chaque classe.
Pour la classe n°1, nous calculons la moyenne :
\[
\text{Moyenne}_{\text{classe 1}} = \frac{1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7}{17} = \frac{70}{17} \approx 4.12
\]
Pour la classe n°2, la moyenne donnée est 4. La moyenne est donc légèrement plus élevée pour la classe n°1 (\(\approx 4.12\) contre 4).
2) Un « grand lecteur » est un élève qui a emprunté 5 livres ou plus.
Pour la classe n°1 :
\[
\text{Grands lecteurs } (\geq\, 5 \text{ livres}) = \{6, 6, 6, 6, 7, 7, 7\} \quad \text{(7 élèves)}
\]
Pour la classe n°2, nous n’avons pas la distribution exacte mais la médiane est 5. La médiane divise les données en deux parties égales, donc au moins la moitié des élèves ont emprunté 5 livres ou plus. Ainsi, il y a au moins 12 élèves (sur 25) qui sont des grands lecteurs.
En comparant, la classe n°2 a plus de « grands lecteurs » (au moins 12 comparé à 7).
3) Dans quelle classe se trouve l’élève ayant emprunté le plus de livres ?
Pour la classe n°1, le maximum est 7 livres.
Pour la classe n°2, l’étendue est 8. Sachant que la moyenne est 4 et que la médiane est 5, nous pouvons en déduire que l’élève ayant emprunté le plus de livres dans la classe n°2 a emprunté 12 livres (car étendue = valeur maximale – valeur minimale).
Donc, l’élève ayant emprunté le plus de livres se trouve dans la classe n°2.
Voir Exercices 61 à 70 ...
Exercice 71 : théorème de Thalès
Soit \( O \) le milieu du segment \( [AB] \). On a donc \( OA = OB = \frac{AB}{2} = \frac{51}{2} = 25,5 \) cm. De plus, on sait que \( [CD] \parallel [AB] \), donc le quadrilatère \( ACBD \) est un trapèze.
Comme \( G \) est le point d’intersection des diagonales du trapèze, \( G \) est aussi le centre de ce trapèze. Par conséquent, on peut utiliser le théorème des milieux: dans un trapèze, la médiane (segment qui joint les milieux des côtés non parallèles) est parallèle aux bases et mesure la moitié de la somme des longueurs des bases.
En utilisant les propriétés des triangles égaux formés avec les segments égaux :
\[
CG = DG = 30 \text{ cm}
\]
et
\[
AG = BG = 45 \text{ cm}.
\]
Pour déterminer \( CD \), on sait que \( G \) est le point médian de \( [CD] \), donc \( G \) divise \( CD \) en deux segments égaux \( CG \) et \( GD \). Ainsi \(CD = 2 \cdot CG\).
Ensuite, en utilisant le théorème de Pythagore au triangle \( \triangle AGC \):
\[
AC^2 = AG^2 + CG^2 = 45^2 + 30^2 = 2025 + 900 = 2925,
\]
\[
AC = \sqrt{2925} = 54 \text{ cm}.
\]
Donc \( [AD] \) a la même longueur que \( [AC] \), soit \( 54 \text{ cm}\).
En sachant que \(CD = 2 \cdot 30 \text{ cm} = 60 \text{ cm}\).
Donc la longueur du segment \( [CD] \) est :
\[
\boxed{60 \text{ cm}}
\]
Ainsi, la longueur de l’assise \( CD \) est de \( \boxed{60 \text{ cm}} \).
Exercice 72 : calculs de volumes
1) On note \(V\) le volume du cylindre et \(V_1\) le volume du sablier. Tous les volumes seront exprimés en cm\(^3\).
a) Montrer que la valeur exacte du volume \(V\) du cylindre est \(13,5\pi\).
Le volume d’un cylindre est donné par la formule :
\[ V = \pi r^2 h \]
Dans le cas présent, \( r = 1,5 \, \text{cm} \) et \( h = 6 \, \text{cm} \). Donc le volume \( V \) est :
\[ V = \pi (1,5)^2 \times 6 \]
\[ V = \pi \times 2,25 \times 6 \]
\[ V = 13,5\pi \, \text{cm}^3 \]
b) Montrer que la valeur exacte de \(V_1\) est \(4,5\pi\).
Le volume d’un cône est donné par la formule :
\[ V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
Ici, la hauteur d’un cône est la moitié de la hauteur du cylindre, donc \( h = 3 \, \text{cm} \). Le rayon est toujours \( r = 1,5 \, \text{cm} \). On a donc pour un cône :
Donc la longueur du côté du carré recherché est :
\[
x = 2\sqrt{5} \, \text{cm}.
\]
En conclusion, pour obtenir un carré dont l’aire est égale à la somme des aires des deux carrés donnés, nous devons construire un carré dont la longueur du côté est \( 2\sqrt{5} \, \text{cm} \).
Exercice 74 : calcul numérique et calculatrice
1) Calculer (écrire les étapes) :
2) Pour calculer \( A \), un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous :
\[ 8 + 3 \times 4 + 1 + 2 \times 1,5 = \]
L’élève n’obtient pas le bon résultat car il n’a pas respecté la priorité des opérations. Il a additionné tous les termes avant d’effectuer les multiplications. La calculatrice interprétera la séquence comme suit :
\[ ((8 + 3) \times 4 + 1 + 2) \times 1,5 \]
Alors que la bonne méthode est d’effectuer les multiplications en premier:
4) En vous inspirant de la question 2, indiquer sur quelles touches de la calculatrice il convient de taper successivement pour calculer ce nombre \( B \).
Exercice 75 : exercice à prises d’initiatives
À midi, il y a initialement une cellule de bambou.
À chaque heure, chaque cellule se divise en deux.
Le nombre de cellules suit donc la loi d’une progression géométrique de raison 2. Au bout de \( n \) heures, le nombre de cellules est \( 2^n \).
Nous cherchons le premier instant \( t \) où le nombre de cellules devient supérieur à 200.
Nous devons donc résoudre l’équation suivante:
\[ 2^t > 200 \]
Pour trouver \( t \), nous allons prendre le logarithme de chaque côté de l’inéquation:
\[ \log(2^t) > \log(200) \]
En utilisant les propriétés des logarithmes, nous obtenons:
\[ t \cdot \log(2) > \log(200) \]
En isolant \( t \), nous trouvons:
\[ t > \frac{\log(200)}{\log(2)} \]
Calculons ce quotient:
\[ \log(200) \approx 2.301 \]
\[ \log(2) \approx 0.301 \]
\[ t > \frac{2.301}{0.301} \approx 7.645 \]
Ainsi, \( t \) doit être au moins 8 (puisque \( t \) doit être un entier).
Donc, à partir de 8 heures, le nombre de cellules sera supérieur à 200.
La première heure où Gustave notera plus de 200 cellules sera donc à 20h00 (puisqu’il a commencé l’observation à midi, et \( 12 + 8 = 20 \)).
Exercice 76 : calcul littéral
a) Développons les expressions suivantes :
1. \( A = (x + 3)(x – 6) \)
\[
A = x(x – 6) + 3(x – 6) \\
A = x^2 – 6x + 3x – 18 \\
A = x^2 – 3x – 18
\]
2. \( B = (x + 8)^2 \)
\[
B = (x + 8)(x + 8) \\
B = x(x + 8) + 8(x + 8) \\
B = x^2 + 8x + 8x + 64 \\
B = x^2 + 16x + 64
\]
3. \( C = (a – 5)(a + 5) \)
\[
C = a(a + 5) – 5(a + 5) \\
C = a^2 + 5a – 5a – 25 \\
C = a^2 – 25
\]
4. \( D = (y – 4)^2 – (y – 7) + 8y + 16 \)
\[
D = (y – 4)(y – 4) – (y – 7) + 8y + 16 \\
D = y^2 – 4y – 4y + 16 – y + 7 + 8y + 16 \\
D = y^2 – 8y + 16 – y + 7 + 8y + 16 \\
D = y^2 – y + 39
\]
b) Programme de calcul :
1. Lorsque le nombre de départ est 5 :
\[
5 – 2 = 3 \\
5 \times 3 = 15 \\
15 + 3 = 18
\]
Le résultat final est 18.
2. Lorsque le nombre de départ est \( x \), exprimons le résultat final en fonction de \( x \) :
\[
x – 2 \\
5(x – 2) = 5x – 10 \\
5x – 10 + 3 = 5x – 7
\]
Le résultat final est \( 5x – 7 \).
3. Quel nombre de départ permet d’obtenir comme résultat final : \(-2\) ?
\[
5x – 7 = -2 \\
5x = -2 + 7 \\
5x = 5 \\
x = 1
\]
Le nombre de départ est 1.
Exercice 77 : théorème de Pythagore
Soit une feuille de format A4 ayant des dimensions \( 21 \, \text{cm} \times 29,7 \, \text{cm} \).
Pour déterminer si l’on peut découper un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure au moins \(36 \, \text{cm}\), nous devons vérifier si la diagonale de la feuille A4 peut contenir la longueur de cette hypoténuse.
Calculons la longueur de la diagonale du rectangle en utilisant le théorème de Pythagore:
\[
d = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
où \(a = 21 \, \text{cm}\) et \(b = 29,7 \, \text{cm}\).
\[
d = \sqrt{21^2 + 29,7^2}
\]
Calculons les carrés de \(a\) et \(b\) :
\[
21^2 = 441
\]
\[
29,7^2 = 882,09
\]
Ajoutons ces valeurs :
\[
d = \sqrt{441 + 882,09}
\]
\[
d = \sqrt{1323,09}
\]
\[
d \approx 36,37 \, \text{cm}
\]
La diagonale de la feuille A4 mesure environ \(36,37 \, \text{cm}\).
Nous cherchons à savoir s’il est possible de découper un triangle rectangle ayant une hypoténuse d’au moins \(36 \, \text{cm}\). Étant donné que la longueur de la diagonale de la feuille de format A4 est \(d \approx 36,37 \, \text{cm}\), il est donc possible de découper un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure au moins \(36 \, \text{cm}\).
Ainsi, il est démontré qu’il est possible de découper un triangle rectangle sur une feuille A4 dont l’hypoténuse mesure au moins \(36 \, \text{cm}\).
Exercice 78 : théorème de Thalès
Pour déterminer si \( AB \) est parallèle à \( CD \), examinons les coordonnées des points \( A, B, C \) et \( D \).
– Les coordonnées du point \( A \) sont \( (0, 0) \).
– Les coordonnées du point \( B \) sont \( (8 \times 20, 4 \times 10) = (160, 40) \).
– Les coordonnées du point \( C \) sont \( (4 \times 20, 2 \times 10) = (80, 20) \).
– Les coordonnées du point \( D \) sont \( (12 \times 20, 6 \times 10) = (240, 60) \).
Pour vérifier que \( AB \) est parallèle à \( CD \), nous devons montrer que les deux pentes sont égales.
Puisque \( m_{AB} = m_{CD} \), les segments \( AB \) et \( CD \) sont parallèles. Nous avons donc démontré que :
\[
AB \parallel CD
\]
Exercice 79 : théorème de Thalès
a) Démontrer que (BI) est parallèle à (HT).
Étant donné que \( (BI) \) est perpendiculaire à \( (IH) \) et que \( (TH) \) est aussi perpendiculaire à \( (IH) \), cela signifie que \( (BI) \) et \( (TH) \) sont parallèles entre eux car deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles.
b) Calculer la longueur HT et expliquer.
Pour calculer la longueur \( HT \), nous allons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle \( EHT \).
Nous savons que \( EH = 4 \, m \) et \( EI = 5,5 \, m \).
Le segment \( HT \) est l’hypoténuse du triangle \( EHT \).
En appliquant le théorème de Pythagore:
\[
HT = \sqrt{EH^2 + ET^2}
\]
Puisque \( EH \) et \( ET \) sont des projections sur les axes perpendiculaires:
\[
HT = \sqrt{4^2 + 5,5^2}
\]
\[
HT = \sqrt{16 + 30,25} = \sqrt{46,25}
\]
Donc,
\[
HT \approx 6,8 \, m
\]
Ainsi, la longueur de \( HT \) est d’environ 6,8 m, arrondi au centimètre près.
Exercice 80 : exercice à prises d’initiatives
Pour retrouver la distance qui sépare la ville d’Obernai de la ville de Sélestat, nous devons examiner les distances données dans le schéma.
1. La distance de Strasbourg à Obernai est de \( 28 \) km.
2. La distance de Strasbourg à Sélestat est de \( 28 + 110 = 138 \) km (car la distance de 110 km est indiquée entre Sélestat et l’origine du schéma).
Pour trouver la distance entre Obernai et Sélestat, nous faisons la différence entre la distance de Sélestat à Strasbourg et la distance d’Obernai à Strasbourg :
\[
\text{Distance entre Obernai et Sélestat} = 138 \, \text{km} – 28 \, \text{km} = 110 \, \text{km}
\]
La distance entre Obernai et Sélestat est donc de \( 110 \) km.
Donc, la réponse correcte est B: \[2,5 \times 10^{-7}\].
2. La réduction en pourcentage est calculée comme suit :
\[
\frac{120 – 90}{120} \times 100 = \frac{30}{120} \times 100 = 25\%
\]
Donc, la réponse correcte est A: \[25\%\].
3. Le produit de 18 facteurs égaux à -8 est écrit comme :
\[
(-8)^{18}
\]
Donc, la réponse correcte est B: \[(-8)^{18}\].
4. L’angle apparent en utilisant une loupe de grossissement 2 est donné par :
\[
18^\circ \times 2 = 36^\circ
\]
Donc, la réponse correcte est B: \[36^\circ\].
Exercice 82 : calcul numérique
1. \(\begin{array}{l} \text{a) Calculer } A = \dfrac{6}{5} – \dfrac{17}{14} \times \dfrac{5}{7} \text{ en détaillant les étapes du calcul.} \\ \\ A = \dfrac{6}{5} – \dfrac{17}{14} \times \dfrac{5}{7} \\ \\ A = \dfrac{6}{5} – \dfrac{17 \times 5}{14 \times 7} \\ \\ A = \dfrac{6}{5} – \dfrac{85}{98} \\ \\ \text{Pour soustraire ces fractions, il faut les mettre au même dénominateur :} \\ \\ A = \dfrac{6}{5} – \dfrac{85}{98} \\ \\ Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de 5 et 98 est 490. \\ \\ Donc, on a : \\ \\ A = \dfrac{6 \times 98}{5 \times 98} – \dfrac{85 \times 5}{98 \times 5} \\ \\ A = \dfrac{588}{490} – \dfrac{425}{490} \\ \\ A = \dfrac{588 – 425}{490} \\ \\ A = \dfrac{163}{490} \\ \\ \text{b) } A = \dfrac{163}{490} \text{ n’est pas un nombre décimal car 163 et 490 n’ont pas de facteurs communs autres que 1, donc la fraction est irréductible} \end{array}\)
2. \(\begin{array}{l} \text{Pour son herbier, Héloïse collectionne des feuilles jaunes, vertes et rouges} : \text{ Elle a } \dfrac{2}{9} \text{ de feuilles vertes et } \dfrac{5}{7} \text{ de feuilles rouges. } \\ \\ \text{Soit } x \text{ la fraction de feuilles jaunes. On sait que : } \\ \\ x + \dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{7} = 1 \\ \\ \text{Mis au même dénominateur } 63, \text{ nous obtenons : } \\ \\ x + \dfrac{2 \times 7}{9 \times 7} + \dfrac{5 \times 9}{7 \times 9} = 1 \\ \\ x + \dfrac{14}{63} + \dfrac{45}{63} = 1 \\ \\ x + \dfrac{14 + 45}{63} = 1 \\ \\ x + \dfrac{59}{63} = 1 \\ \\ x = 1 – \dfrac{59}{63} \\ \\ x = \dfrac{63}{63} – \dfrac{59}{63} \\ \\ x = \dfrac{63 – 59}{63} \\ \\ x = \dfrac{4}{63} \end{array}\)
Les feuilles jaunes correspondent donc à la fraction \(\dfrac{4}{63}\) de la collection.
Exercice 83 : affirmations vraies ou fausses
1) On repère sur un site marchand un lecteur DVD à 40 €. Ce site propose en plus une remise de 5 % pour toute commande supérieure à 30 €.
Prix avec la remise de 5 % :
\[ 0.95 \times 40 = 38 \, \text{€} \]
On trouve également ce lecteur DVD dans un magasin « B » proche de chez nous au tarif de 48 € et le vendeur nous propose une remise de 20 %.
Prix avec la remise de 20 % :
\[ 0.8 \times 48 = 38.4 \, \text{€} \]
Ainsi, acheter le lecteur DVD sur le site marchand est moins cher (38 € contre 38.4 €).
$$Conclusion$$ : L’affirmation est fausse. Il est plus intéressant d’acheter le lecteur DVD sur le site marchand.
2) En informatique, on utilise comme unités de mesure les multiples suivants de l’octet :
\[ 1 \, \text{Ko} = 10^3 \, \text{octets}, \]
\[ 1 \, \text{Mo} = 10^6 \, \text{octets}, \]
\[ 1 \, \text{Go} = 10^9 \, \text{octets}, \]
\[ 1 \, \text{To} = 10^{12} \, \text{octets}, \]
On partage un disque dur de 1,5 To en dossiers de 60 Go chacun.
1,5 To en Go :
\[ 1,5 \times 10^3 \, \text{Go} = 1500 \, \text{Go} \]
Nombre de dossiers de 60 Go chacun :
\[ \frac{1500 \, \text{Go}}{60 \, \text{Go}} = 25 \]
$$Conclusion$$ : L’affirmation est vraie. On obtient ainsi 25 dossiers.
Exercice 84 : trigonométrie et Pythagore
Pour trouver la distance entre les deux nageurs, il faut calculer la longueur \( RP \) dans le triangle \( BPL \). Nous allons utiliser le théorème du cosinus.
Dans le triangle \( BPL \), on connaît :
– \( BL = 50 \) m
– \( \angle BPL = 72^\circ \)
Nous voulons trouver \( PL \).
Le cosinus d’un angle au sein d’un triangle est donné par la formule du cosinus :
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cdot \cos(C) \]
Dans notre cas, les côtés \( a \) et \( b \) sont \( BL \) et \( BP \) que nous ne connaissons pas encore (n’hésitez pas à convertir \(\angle BPL\) en radian si nécessaire pour le calcul). Posons \( a = BP \) et \( b = BL \).
Pour nos besoins, nous définissons \( a = 50 \) m.
Ensuite, pour trouver l’aire du triangle \( ABC \), nous devons utiliser la base \( BC \) et la hauteur provenant du sommet \( A \) perpendiculaire à \( BC \), ce qui est \( AH \):
\[ \text{Aire}_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH \]
Exercice 87 : questionnaire à choix multiples (QCM)
0. \begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{\#} \textbf{Correction} \\
\hline
1 L’écriture scientifique de \frac{5 \times 10^6 \times 1,2 \times 10^{-8}}{2,4 \times 10^5} est \frac{6 \times 10^{-2}}{2,4 \times 10^5} = 2,5 \times 10^{-7}. La réponse est donc B. \\
\hline
2 Les solutions de l’équation (4x + 5)(x – 3) = 0 sont obtenues en résolvant chaque facteur séparément. \\
4x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{4} \\
x – 3 = 0 \implies x = 3 \\
Les solutions sont donc -\frac{5}{4} et 3. La réponse est B. \\
\hline
3 Si l’on développe et réduit l’expression (3x + 2)(3x – 1) : \\
(3x + 2)(3x – 1) = 3x(3x) + 3x(-1) + 2(3x) + 2(-1) \\
= 9x^2 – 3x + 6x – 2 \\
= 9x^2 + 3x – 2 \\
La réponse est donc C. \\
\hline
4 Notation : a = tarif adulte, e = tarif enfant \\
La recette totale est a + 100e = 300 \\
Le tarif enfant coûte 4 € de moins que le tarif adulte, donc e = a – 4 \\
En substituant e dans la première équation, on obtient : \\
a + 100(a – 4) = 300 \\
a + 100a – 400 = 300 \\
101a – 400 = 300 \\
101a = 700 \\
a = \frac{700}{101} \approx 6,93 \text{€} \\
e = a – 4 = \frac{700}{101} – 4 \approx 2,93 \text{€} \\
Les réponses ne correspondent pas, mais en arrondissant, on peut prendre la réponse la plus proche qui est 6. La réponse est C. \\
\hline
5 La distance d = 320 km, le temps t = 59 s. La vitesse v est donnée par : \\
v = \frac{d}{t} = \frac{320 \text{ km}}{59 \text{ s}} \approx 5,42 \text{ km/s} \\
En arrondissant au dixième près, on obtient v \approx 5,4 \text{ km/s} \\
La réponse est donc A. \\
\hline
\end{array}
Exercice 88 : programme de calcul
1) Vérifions que lorsque le nombre choisi est 11, le résultat du programme est 64.
\( x = 11 \)
– Étape 1 : Soustraire 6
\[ x – 6 = 11 – 6 = 5 \]
– Étape 2 : Multiplier le résultat obtenu par le nombre choisi
\[ 5 \times 11 = 55 \]
– Étape 3 : Ajouter 9
\[ 55 + 9 = 64 \]
Le résultat est bien 64.
2) Lorsque le nombre choisi est \(-4\), quel est le résultat du programme ?
\( x = -4 \)
– Étape 1 : Soustraire 6
\[ x – 6 = -4 – 6 = -10 \]
– Étape 2 : Multiplier le résultat obtenu par le nombre choisi
\[ -10 \times (-4) = 40 \]
– Étape 3 : Ajouter 9
\[ 40 + 9 = 49 \]
Le résultat est 49.
3) Théo affirme que, quel que soit le nombre choisi au départ, le résultat du programme est toujours un nombre positif. A-t-il raison ?
– Étape 1 : Soustraire 6
Soit \( x \) le nombre choisi.
\[ x – 6 \]
– Étape 2 : Multiplier le résultat obtenu par le nombre choisi
\[ (x – 6) \times x = x^2 – 6x \]
– Étape 3 : Ajouter 9
\[ x^2 – 6x + 9 \]
L’expression finale est :
\[ x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2 \]
Comme il s’agit d’un carré parfait, \((x – 3)^2\), le résultat sera toujours positif ou nul car le carré d’un nombre est toujours positif ou nul. Or, Théo a tort d’affirmer que le résultat est toujours un nombre positif puisque \((x – 3)^2 \geq\, 0\).
En particulier, le résultat est nul lorsque \( x = 3 \).
Exercice 89 : théorème de Thalès
Correction de l’exercice :
1) Calculer la longueur du hauban \([CD]\). Arrondir au mètre près.
Nous allons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle \(ACD\).
\[
AD^2 = AC^2 + CD^2
\]
D’où
\[
CD^2 = AD^2 – AC^2
\]
En remplaçant les valeurs données :
\[
CD^2 = 154^2 – 76^2
\]
\[
CD^2 = 23716 – 5776
\]
\[
CD^2 = 17940
\]
\[
CD = \sqrt{17940} \approx 134 \text{ m}
\]
Donc, la longueur du hauban \([CD]\) est d’environ 134 mètres.
2) Les haubans \([CD]\) et \([EF]\) sont-ils parallèles ?
Nous allons vérifier si les deux triangles \(ABE\) et \(ACD\) sont semblables. Deux triangles sont semblables si leurs angles correspondants sont égaux.
Le point \(A\) est commun aux deux triangles. De plus, les deux triangles partagent la même hauteur \([AC]\) perpendiculaire à \([AB]\). Cela signifie que les angles \(\widehat{CAB}\) et \(\widehat{DAE}\) sont égaux.
Pour les triangles \(ACD\) et \(AFE\):
L’angle \(\widehat{ACD} = \widehat{AFE}\) car \([CD]\) et \([EF]\) sont respectivement les projections horizontales de \([AD]\) et \([AE]\).
Ainsi, les triangles sont semblables, ce qui implique que les segments \([CD]\) et \([EF]\) sont parallèles.
Exercice 90 : théorème de Thalès
1) Démontrer que \( AB = 3,5 \, m \)
Étant donné que les segments \([AB]\) et \([AE]\) sont perpendiculaires, le triangle \( ABE \) est un triangle rectangle.
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle \( ABE \):
2) Les barres \([CD]\) et \([AE]\) doivent être parallèles. À quelle distance de \( B \) faut-il placer le point \( C \) ?
Pour que \([CD]\) soit parallèle à \([AE]\), les rapports des segments correspondants dans les triangles \( ABE \) et \( CDE \) doivent être égaux.
Sachant que \( AE = 2,625 \, m \) et \( CD = 1,5 \, m \), nous devons trouver la distance \( AC \) telle que le triangle \( CDE \) soit en proportion avec le triangle \( ABE \).
D’après le théorème de Thalès :
\[ \frac{CD}{AE} = \frac{DE}{BE} \]
On connaît \( AE \) et \( CD \) :
\[ \frac{1,5}{2,625} = \frac{DE}{4,375} \]
Calculons le rapport :
\[ \frac{1,5}{2,625} = 0,57142857 \]
Ainsi :
\[ DE = 0,57142857 \times 4,375 \]
\[ DE \approx 2,5 \, m \]
La distance de \( B \) à \( C \) est la longueur de \( DE \) par rapport à \( D \). Étant donné que \( D \) est situé sur \([BE]\) à une distance \( DE \) de \( E \), la position exacte de \( C \) sur \([AB]\) correspond à cette proportion.
Ainsi, le point \( C \) se situe à \( 2,5 \, m \) de \( B \) sur la barre \([AB]\).
Voir Exercices 81 à 90 ...
Exercice 91 : théorème de Pythagore
1. Tracer le triangle ABC, en prenant 1 cm pour représenter 1 km, et placer le point H.
– On construit le triangle avec \( AB = 10 \) cm, \( AC = 8 \) cm et \( BC = 6 \) cm.
– H est le pied de la hauteur issue de C. Tracer la hauteur \( CH \) perpendiculaire à \( AB \).
2. Montrer que ABC est un triangle rectangle.
On utilise le théorème de Pythagore pour vérifier si \( ABC \) est un triangle rectangle.
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]
\[
10^2 = 8^2 + 6^2
\]
\[
100 = 64 + 36
\]
\[
100 = 100
\]
Donc, le triangle \( ABC \) est bien un triangle rectangle en \( C \).
3. Déterminer l’aire du triangle \( ABC \).
– Parmi les trois formules proposées, celles qui conviennent sont les suivantes :
\[
\text{Formule 1 :} \quad \frac{AC \times BC}{2}
\]
\[
\text{Formule 2 :} \quad \frac{AB \times CH}{2}
\]
4. Calculer cette aire en cm².
En utilisant la formule \( \frac{AC \times BC}{2} \):
\[
\text{Aire} = \frac{8 \times 6}{2} = 24 \text{ cm}^2
\]
Exercice 92 : tableur et fonctions
1. Quelle est l’image de 3 par la fonction \(f\) ?
\( f(3) = 2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7 \)
2. Calculer le nombre qui doit apparaître dans la cellule C3.
\[ f(-3) = 2 \times (-3) + 1 = -6 + 1 = -5 \]
Donc le nombre dans la cellule C3 doit être \(-5\).
3. Quelle formule Léa a-t-elle saisie dans la cellule B2 ?
La formule utilisée dans la cellule B2 est : \( =B1^2 + 4 \times B1 – 5 \)
ou bien : \( g(B1) = B1^2 + 4 \times B1 – 5 \)
4. Déterminer un antécédent de 1 par la fonction \(f\).
Résolvons \( f(x) = 1 \):
\[ 2x + 1 = 1 \]
\[ 2x = 0 \]
\[ x = 0 \]
Donc un antécédent de 1 par la fonction \(f\) est \(0\).
5. Représenter graphiquement les fonctions \(f\) et \(g\) sur la feuille annexe (page 8).
\[ f(x) = 2x + 1 \]
\[ g(x) = x^2 + 4x – 5 \]
Pour \(f(x) = 2x + 1\), la droite a pour ordonnée à l’origine \(1\) et une pente de \(2\).
Pour \(g(x) = x^2 + 4x – 5\), prenons quelques points pour tracer la parabole.
Donc les solutions sont \( x_1 = -1 + \sqrt{7} \) et \( x_2 = -1 – \sqrt{7} \).
Exercice 93 : algorithme avec scratch
### Correction de l’exercice :
#### 1) Pour réaliser la figure ci-dessus, on a défini un motif en forme de losange et on a utilisé l’un des deux programmes A et B.
##### a) Déterminer lequel.
En observant les programmes et la figure produite, nous constatons que le programme B contient une rotation de \(45^\circ\) après chaque motif, ce qui produit une orientation changeante des losanges. En examinant la figure, nous notons que chaque motif est orienté de manière identique.
Néanmoins, le programme A répète simplement le motif et avance de \(65\) unités, produisant des motifs alignés horizontalement. Ceci correspond parfaitement avec la figure ci-dessus.
Donc, le programme utilisé est le $$Programme A$$.
##### b) Combien mesure l’espace entre deux motifs successifs ?
Pour déterminer l’espace entre deux motifs successifs, nous devons examiner les instructions du programme A. Après chaque motif, le programme avance de \(65\) unités avant de tracer le motif suivant.
Cette distance de \(65\) unités correspond ainsi à l’espace entre deux motifs successifs.
\[
\text{Espace entre deux motifs} = 65 \text{ unités}
\]
##### c) On souhaite réaliser la figure ci-dessous :
Pour insérer l’instruction « ajouter 1 à la taille du stylo » en fonction du programme A utilisé dans la question 1)a), il faudrait l’insérer directement après la répétition \( \times 6 \). Donc la séquence ressemblerait à ceci :
\[
\text{Programme A modifié}\\
\begin{align*}
\text{quand } \text{drapeau cliqué} \\
\text{cacher} \\
\text{effacer tout} \\
\text{choisir la taille 1 pour le stylo} \\
\text{aller à x: -230 y: 0} \\
\text{orienter à 90°} \\
\text{répéter 6 fois} \{ \\
\quad \text{Motif} \\
\quad \text{avancer de 65} \\
\quad \text{ajouter 1 à la taille du stylo} \\
\}
\end{align*}
\]
#### 2) Indiquer par une figure à main levée le résultat qu’on obtiendrait avec l’autre programme :
Si nous utilisons le Programme B, le motif se tournerait de \(45^\circ\) après chaque itération. Voici un dessin approximatif du résultat avec le Programme B :
La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux parties égales. Comme il y a 26 pays (effectif total), la médiane est la moyenne des 13ème et 14ème valeurs de la série ordonnée selon le nombre de médailles d’or.
Pour le cyclisme masculin, 70 % des pays médaillés ont obtenu au moins une médaille d’or.
D’après le tableau récapitulatif, il y a 26 pays (effectif total).
Le nombre de pays ayant obtenus au moins une médaille d’or est donc :
\[
0,7 \cdot 26 = 18,2 \approx 18.
\]
Il reste donc :
\[
26 – 18 = 8.
\]
Le nombre de pays qui n’ont pas obtenu de médailles d’or et qui n’ont obtenu que des médailles d’argent ou de bronze est 8.
Exercice 95 : exercice à prises d’initiatives
Pour déterminer si l’un des deux modèles de trottoir roulant peut convenir pour équiper ce centre commercial, nous allons procéder en deux étapes. Premièrement, nous vérifions si les modèles respectent l’angle d’inclinaison maximum imposé par les distances fournies. Ensuite, nous vérifions si la durée maximale du trajet est respectée.
La pente \( \theta \) du trottoir roulant peut être calculée à l’aide de la formule suivante :
\[ \tan(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}} \]
Dans notre cas :
\[ \text{Opposé} = 4 \text{ m} \]
\[ \text{Adjacent} = 25 \text{ m} \]
Ainsi, nous avons :
\[
\tan(\theta) = \frac{4}{25}
\]
Nous comparons cet angle avec les angles maximum des deux modèles :
– Modèle 1 : \( 12^\circ \)
– Modèle 2 : \( 6^\circ \)
L’angle de \( 9^\circ \) est inférieur à l’angle maximum du modèle 1, mais supérieur à celui du modèle 2. Donc seul le modèle 1 respecte cette contrainte.
Ensuite, nous devons vérifier si la durée maximale de trajet est respectée pour le modèle 1.
La vitesse du modèle 1 est de \( 0{,}5 \ \text{m/s} \).
La distance totale à parcourir est l’hypoténuse du triangle avec côté horizontal \( 25 \ \text{m} \) et côté vertical \( 4 \ \text{m} \). Cette distance \( d \) est calculée comme suit:
\[
d = \sqrt{25^2 + 4^2} = \sqrt{625 + 16} = \sqrt{641} \approx 25{,}3 \ \text{m}
\]
Le temps nécessaire pour parcourir cette distance est :
\[
t = \frac{d}{\text{vitesse}} = \frac{25{,}3}{0{,}5} = 50{,}6 \ \text{secondes}
\]
\( t \approx 51 \ \text{secondes} \)
Comme ce temps est inférieur à 1 minute (60 secondes), le modèle 1 répond aux deux contraintes: l’angle et la durée.
En conclusion, seul le modèle 1 peut convenir pour équiper ce centre commercial.
Exercice 96 : tableur et fonctions
\(1^\circ\) Donner un nombre qui a pour image \(-7\) par la fonction \(f\).
Il nous suffit de trouver dans la deuxième ligne du tableau la valeur \(-7\). On observe que cela correspond à \(x = -2\).
\(2^\circ\) Vérifier à l’aide d’un calcul détaillé que \(f(-2) = -9\).
Calculons \(f(-2)\) :
\[
f(x) = x^2 + 3x – 7
\]
\[
f(-2) = (-2)^2 + 3 \cdot (-2) – 7
\]
\[
= 4 – 6 – 7
\]
\[
= -9
\]
\(f(-2) = -9\) est bien vérifié.
\(3^\circ\) Retrouver par le calcul que l’antécédent de \(29\) par la fonction \(g\) est \(6\).
Calculons \(g(6)\) :
\[
g(x) = 4x + 5
\]
\[
g(6) = 4 \cdot 6 + 5
\]
\[
= 24 + 5
\]
\[
= 29
\]
L’antécédent de \(29\) par la fonction \(g\) est donc \(x = 6\).
\(4^\circ\) Expliquer pourquoi le tableau permet de donner une solution de l’équation \(x^2 + 3x – 7 = 4x + 5\). Quelle est cette solution ?
Nous devons égaler \(f(x)\) à \(g(x)\) :
\[
x^2 + 3x – 7 = 4x + 5
\]
Cette équation peut être réécrite comme suit :
\[
x^2 + 3x – 7 – 4x – 5 = 0
\]
\[
x^2 – x – 12 = 0
\]
Nous résolvons cette équation quadratique. Utilisons la formule quadratique \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \):
\[
x = \frac{1 + 7}{2} = 4 \quad \text{et} \quad x = \frac{1 – 7}{2} = -3
\]
Les solutions de l’équation sont \(x = 4\) et \(x = -3\).
En regardant le tableau, on peut vérifier que \(f(4) = g(4) = 21\) et \(f(-3) = g(-3) = -5\).
\(5^\circ\) Une formule a été saisie dans la cellule B2 et recopiée ensuite vers la droite pour compléter la plage de cellules C2:F2. Quelle est cette formule ?
La formule pour compléter les cellules comme indiqué suit la relation \(f(x)\) :
\(6^\circ\) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(g(x) \leq\, 0\) ? Représenter les solutions sur une droite graduée.
Nous cherchons les valeurs de \(x\) telles que :
\[
g(x) = 4x + 5 \leq\, 0
\]
\[
4x + 5 \leq\, 0
\]
\[
4x \leq\, -5
\]
\[
x \leq\, -\frac{5}{4}
\]
Les solutions sont donc \(x \leq\, -1,25\).
Sur une droite graduée, cela correspond à tous les points à gauche de \(x = -1,25\).
Exercice 97 : théorème de Thalès
Soit le schéma suivant avec les données fournies :
\[
AE = 1,50 \ \text{m}, \quad BD = 1,10 \ \text{m}, \quad EC = 6 \ \text{m}
\]
et \( (AE) \parallel (BD) \).
1. Calculer \( DC \).
Puisque \( (AE) \parallel (BD) \), les triangles \( AEC \) et \( BDC \) sont semblables. Ainsi, on a :
\[
\frac{AE}{BD} = \frac{EC}{DC}
\]
En remplaçant par les valeurs données, on obtient :
\[
\frac{1,50}{1,10} = \frac{6}{DC}
\]
On résout l’équation pour \( DC \):
\[
DC = \frac{6 \times 1,10}{1,50} = \frac{6,6}{1,50} = 4,4 \ \text{m}
\]
2. En déduire que \( ED = 1,60 \ \text{m} \).
Puisque \( (AE) \parallel (BD) \), le segment \( DE \) est perpendiculaire à \( AC \). Ainsi, \( ED \) est la distance entre \( E \) et \( D \). Or, en se retournant, le conducteur voit jusqu’à 6 mètres derrière son camion, donc :
\[
EC = ED + DC \implies 6 = ED + 4,4 \implies ED = 6 – 4,4 = 1,6 \ \text{m}
\]
3. Une fillette mesure 1,10 \ \text{m}. Elle passe à 1,40 \ \text{m} derrière la camionnette. Le conducteur peut-il la voir?
Non, le conducteur ne peut pas voir la fillette. La ligne de vision du conducteur s’étend derrière le camion jusqu’à \( EC = 6 \ \text{m} \), mais à une hauteur d’observation plus élevée que \( AE = 1,50 \ \text{m} \) est trop haute par rapport à la taille de la fillette (1,10 m). Si la fillette est située à 1,40 m derrière la camionnette – c’est-à-dire entre E et D dans la zone grisée inaccessible à la vision directe du conducteur.
Ainsi, la fillette passe dans la zone où le conducteur ne peut pas la voir.
Exercice 98 : arithmétique
1) Le prochain couple de nombres premiers jumeaux après (29 ; 31) est (41 ; 43). En effet, ces deux nombres sont premiers et leur différence est bien égale à 2 :
\[
41 – 43 = -2 \quad \text{(ou en valeur absolue, } 2\text{)}
\]
2) Pour déterminer si le couple (429 ; 431) est un couple de nombres premiers jumeaux, il faut vérifier si ces deux nombres sont premiers et si leur différence est égale à 2.
– 429 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 3 (la somme de ses chiffres est 4 + 2 + 9 = 15, qui est divisible par 3).
– 431 est un nombre premier (testé par division par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19).
Donc, 429 et 431 ne peuvent pas être un couple de nombres premiers jumeaux car 429 n’est pas un nombre premier.
Conclusion :
\[
(429 ; 431) \text{ n’est pas un couple de nombres premiers jumeaux.}
\]
Exercice 99 : trigonométrie
Pour résoudre cet exercice, nous utilisons la loi des sinus dans le triangle \( \triangle ABV \).
Les angles sont :
\[ \angle BAV = 35^\circ \]
\[ \angle ABV = 55^\circ \]
L’angle au niveau du point \( V \) dans le triangle \( \triangle ABV \) est :
\[ \angle AVB = 180^\circ – \angle BAV – \angle ABV \]
\[ \angle AVB = 180^\circ – 35^\circ – 55^\circ \]
\[ \angle AVB = 90^\circ \]
D’après la loi des sinus, nous avons :
\[ \frac{AV}{\sin(\angle ABV)} = \frac{BV}{\sin(\angle BAV)} = \frac{AB}{\sin(\angle AVB)} \]
Sachant que \( AB = 1800 \) m,
\[ \frac{AV}{\sin(55^\circ)} = \frac{1800}{\sin(90^\circ)} \]
On sait que \( \sin(90^\circ) = 1 \), donc :
\[ \frac{AV}{\sin(55^\circ)} = 1800 \]
\[ AV = 1800 \times \sin(55^\circ) \]
\[ AV \approx 1800 \times 0.8192 \]
\[ AV \approx 1474.56 \]
Donc, en arrondissant les distances au mètre près, les résultats sont :
\[ AV \approx 1475 \text{ m} \]
\[ BV \approx 1032 \text{ m} \]
Exercice 100 : arithmétique
Pour résoudre cet exercice, nous devons trouver un nombre \( x \) qui satisfait les conditions suivantes :
1. \( x \equiv 1 \pmod{2} \)
2. \( x \equiv 2 \pmod{3} \)
3. \( x \equiv 3 \pmod{4} \)
4. \( x \equiv 4 \pmod{5} \)
5. \( x < 100 \)
Ces congruences peuvent être réécrites en termes d’équations modulo appropriées :
1. \( x = 2k + 1 \), pour un certain entier \( k \)
2. \( x = 3m + 2 \), pour un certain entier \( m \)
3. \( x = 4n + 3 \), pour un certain entier \( n \)
4. \( x = 5p + 4 \), pour un certain entier \( p \)
Nous savons que \( x \equiv -1 \pmod{2} \), \( x \equiv -1 \pmod{3} \), \( x \equiv -1 \pmod{4} \) et \( x \equiv -1 \pmod{5} \). Autrement dit, \( x + 1 \) est divisible par 2, 3, 4 et 5.
Recherchons le plus petit commun multiple (PPCM) de 2, 3, 4 et 5 :
\[
\mathrm{PPCM}(2, 3, 4, 5) = 60
\]
Donc, \( x + 1 \) doit être un multiple de 60, c’est-à-dire :
\[
x + 1 = 60k, \quad \text{pour un certain entier} \ k
\]
ou encore :
\[
x = 60k – 1
\]
Puisque \( x \) doit être inférieur à 100, nous avons l’inégalité suivante :
\[
60k – 1 < 100
\]
\[
60k < 101
\]
\[
k < \frac{101}{60}
\]
Comme \( k \) est un entier, la plus grande valeur possible de \( k \) est 1.
En substituant \( k = 1 \) :
\[
x = 60 \times 1 – 1 = 59
\]
Ainsi, le nombre de pièces d’or que Pat le pirate a trouvées est \( \boxed{59} \).
Voir Exercices 91 à 100 ...
Exercice 101 : questionnaire à choix multiples (QCM)
1. Proposition correcte : $$Proposition 1$$
\[ \text{L’image de } 2 \text{ par } f \text{ est } -1 \]
2. Proposition correcte : $$Proposition 3$$
\[ \text{Les antécédents de } 2 \text{ par } f \text{ sont } -1 \text{ et } 3 \]
3. Proposition correcte : $$Proposition 1$$
\[ \text{L’image de } -1 \text{ par } g \text{ est } -4 \]
4. Proposition correcte : $$Proposition 2$$
\[ \text{L’antécédent de } 2 \text{ par } h \text{ est } -2 \]
5. Proposition correcte : $$Proposition 3$$
\[ \text{Les antécédents de } 1 \text{ par } f \text{ sont } -2 \text{ et } 3 \]
Exercice 102 : algorithme avec scratch
1) Comment exécute-t-on le programme 1 ? Et le programme 2 ?
Programme 1 :
– Quand la touche espace est pressée, le programme demande à l’utilisateur d’entrer un nombre.
– Ce nombre est stocké dans la variable \( \text{réponse} \).
– La variable \( N \) est ensuite définie comme étant égale à \( \text{réponse} \).
– Puis, \( N \) est mis à jour en lui ajoutant 4.
– Le résultat final \( N \) est ensuite affiché.
Programme 2 :
– Quand le drapeau vert est cliqué, le programme demande à l’utilisateur d’entrer un nombre.
– Ce nombre est stocké dans la variable \( \text{réponse} \).
– La variable \( N \) est ensuite définie comme étant égale à \( \text{réponse} \).
– Puis, \( N \) est mis à jour en lui ajoutant 4.
– Le résultat final \( N \) est ensuite affiché.
2) Tom pense que ces deux programmes donnent le même résultat quel que soit le nombre entré au départ. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
Oui, Tom a raison. Les deux programmes effectuent les mêmes opérations : ils demandent à l’utilisateur de saisir un nombre, ajoutent 4 à ce nombre, puis affichent le résultat. La seule différence est le déclencheur de l’exécution (touche espace pour le Programme 1 et drapeau vert pour le Programme 2), mais cela n’affecte pas le résultat final.
3) On considère la fonction \( f \) qui à chaque nombre entré associe le résultat obtenu après exécution du programme 2.
a) Donner l’expression algébrique de cette fonction \( f \).
\[ f(x) = x + 4 \]
b) Quelle est l’image de 5 par \( f \) ?
\[ f(5) = 5 + 4 = 9 \]
c) Donner un antécédent de 104.
Nous cherchons \( x \) tel que \( f(x) = 104 \).
\[ x + 4 = 104 \]
\[ x = 104 – 4 \]
\[ x = 100 \]
d) Anatole envisage de tracer la représentation graphique de \( f \). Paul lui dit que le point de coordonnées \( (3, 13) \) appartient à cette courbe. Anatole n’est pas d’accord. Qui a raison ?
Nous vérifions si \( (3, 13) \) satisfait l’équation \( y = f(x) \).
\[ f(3) = 3 + 4 = 7 \]
Le point \( (3, 13) \) ne satisfait pas cette équation. Anatole a donc raison : ce point n’appartient pas à la courbe de la fonction \( f \).
Exercice 103 : tableur et calcul littéral
a) Calculons \( E \) et \( F \) pour \( x = 4 \):
Pour \( E \):
\[ E = x^2 – 5x + 5 \]
\[ E = 4^2 – 5 \cdot 4 + 5 \]
\[ E = 16 – 20 + 5 \]
\[ E = 1 \]
Pour \( F \):
\[ F = (2x – 7)(x – 2) – (x – 3)^2 \]
\[ F = (2 \cdot 4 – 7)(4 – 2) – (4 – 3)^2 \]
\[ F = (8 – 7)(2) – (1)^2 \]
\[ F = (1)(2) – 1 \]
\[ F = 2 – 1 \]
\[ F = 1 \]
Les résultats obtenus pour \( x = 4 \) sont \( E = 1 \) et \( F = 1 \).
Nous retrouvons donc \( F = E \), ce qui explique pourquoi les résultats de la question a) sont identiques.
c) Avec un tableur :
Pour calculer en colonne B les valeurs prises par l’expression \( E \) pour les valeurs de \( x \) inscrites en colonne A, la formule à entrer dans la cellule B2 est :
« `
= A2^2 – 5 * A2 + 5
« `
Cette formule doit ensuite être étendue aux cellules situées en dessous pour appliquer la même opération à chaque valeur de \( x \) de la colonne A.
Exercice 104 : théorème de Thalès
a) Calcul de la longueur \( TR \).
Dans le triangle \( TIR \), qui est rectangle en \( T \), on peut appliquer le théorème de Pythagore :
Ainsi, la longueur \( IC \) est égale à \( IU + UL = 3,6 + 0,6 = 4,2 \text{ cm} \).
c) Les droites \( TR \) et \( OU \) sont-elles parallèles ?
Pour vérifier si deux droites sont parallèles, nous devons d’abord déterminer si leurs pentes sont égales.
La pente de la droite \( TR \) est donnée par :
\[
\text{pente de } TR = \frac{RI}{TI} = \frac{6}{3,6}
\]
La pente de la droite \( OU \) est donnée par :
\[
\text{pente de } OU = \frac{OC – UC}{TU} = \frac{5,2 – 0}{6} = \frac{5,2}{6}
\]
Étant donné que les deux pentes ne sont pas égales, les droites \( TR \) et \( OU \) ne sont pas parallèles.
Exercice 105 : calculs de volumes
a) Montrons que le volume exact de ce cornet est \(48\pi \, \text{cm}^3\).
Le volume d’un cône est donné par la formule :
\[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
où \( r \) est le rayon et \( h \) est la hauteur.
Le cône a un diamètre de 6 cm, donc un rayon de 3 cm. La hauteur du cône est de 10 cm.
\[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (10) = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 10 = 30\pi \, \text{cm}^3 \]
Le volume d’une demi-sphère est donné par la formule :
\[ V_{\text{demi-sphère}} = \frac{1}{2} ( \frac{4}{3} \pi r^3 ) \]
Le rayon de la demi-sphère est de 3 cm.
\[ V_{\text{demi-sphère}} = \frac{1}{2} ( \frac{4}{3} \pi (3)^3 ) = \frac{1}{2} ( \frac{4}{3} \pi \times 27 ) = \frac{1}{2} ( 36\pi ) = 18\pi \, \text{cm}^3 \]
Le volume total du cornet est donc la somme du volume du cône et de la demi-sphère :
\[ V_{\text{total}} = V_{\text{cône}} + V_{\text{demi-sphère}} = 30\pi + 18\pi = 48\pi \, \text{cm}^3 \]
b) Donnons la valeur en cm³ arrondie à 1 mm³ près de ce volume :
\[ V_{\text{total}} = 48\pi \approx 48 \times 3.1416 = 150.80 \, \text{cm}^3 \]
c) Calculons le volume de glace contenu dans un bac.
Le bac est un pavé droit de longueur 40 cm, de largeur 30 cm, et de hauteur 20 cm.
Le volume du pavé est donné par :
\[ V_{\text{bac}} = L \times l \times h = 40 \times 30 \times 20 = 24000 \, \text{cm}^3 \]
d) Déduisons le nombre maximum de cornets que l’on peut faire avec un bac de glaces.
Le nombre de cornets est donné par le rapport du volume du bac au volume d’un cornet :
\[ N = \frac{V_{\text{bac}}}{V_{\text{total}}} = \frac{24000}{150.80} \approx 159.2 \]
On peut donc faire un maximum de 159 cornets avec un bac de glace.
Exercice 106 : vitesse moyenne
1)
On note \( x \) le prix du voyage.
Le comité d’entreprise a payé \(\frac{1}{3} x \).
Charlotte a payé \(\frac{1}{5}\) de ce qui reste après le paiement du comité d’entreprise. Donc :
\[
\text{Restant après comité d’entreprise} = x – \frac{1}{3} x = \frac{2}{3} x
\]
Charlotte a payé \(\frac{1}{5}\) du restant :
\[
\text{Montant payé par Charlotte} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} x = \frac{2}{15} x
\]
Les parents de Charlotte ont payé le reste, soit :
\[
\text{Reste après le paiement de Charlotte} = \frac{2}{3} x – \frac{2}{15} x = \frac{10}{15} x – \frac{2}{15} x = \frac{8}{15} x
\]
Ainsi, la fraction du prix total payé par Charlotte est :
Le prix total pour 56 personnes avec cette réduction est :
\[
56 \times 7,8 = 436,8 \text{ euros}
\]
Conclusion :
La deuxième solution (baisse de 35%) est la plus avantageuse car elle revient à 436,8 euros contre 552 euros avec la première réduction.
Exercice 107 : exercice à prises d’initiatives
Soit \( p \) le poids d’un potiron, \( m \) le poids d’un melon et \( c \) le poids d’un concombre.
Nous avons les équations suivantes :
\[
p = 3m + c \quad (1)
\]
\[
2p = 5m + 7c \quad (2)
\]
Nous devons résoudre ces équations pour trouver combien de concombres (\( c \)) équivalent à un potiron (\( p \)).
En substituant l’équation (1) dans l’équation (2) :
\[
2(3m + c) = 5m + 7c
\]
\[
6m + 2c = 5m + 7c
\]
En simplifiant, nous obtenons :
\[
6m + 2c – 5m = 7c
\]
\[
m + 2c = 7c
\]
\[
m = 5c
\]
En substituant \( m = 5c \) dans l’équation (1), nous obtenons :
\[
p = 3(5c) + c
\]
\[
p = 15c + c
\]
\[
p = 16c
\]
Donc, il faut 16 concombres (\( c \)) pour équilibrer un potiron (\( p \)).
Exercice 108 : questionnaire à choix multiples (QCM)
1. Soit \( f \) la fonction définie par \( f(x) = 8 – 3x \). L’image de 3 est
– \( f(3) = 8 – 3 \times 3 = 8 – 9 = -1 \).
– Réponse B
2. Si \( \frac{x}{5} = \frac{7}{25} \), alors
– \( x = \frac{7 \times 5}{25} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5} \).
– Réponse B
3. La valeur exacte de \( \sqrt{16 + 4} \) est
– \( \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \).
– Réponse C
4. Les diviseurs communs à 30 et 42 sont :
– Les diviseurs communs de 30 (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30) et 42 (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42) sont 1, 2, 3 et 6.
– Réponse B
5. \( \sqrt{(-5)^2} \) est égal à :
– \( \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \).
– Réponse A
Exercice 109 : théorème de Pythagore
1) Calculer la valeur exacte d’un côté de l’octogone.
Soit \( a \) la longueur d’un côté de l’octogone régulier inscrit dans le carré \( ABCD \) de côté \( AB = 10 \) cm. Étant donné que \( AE = FB = BG = IC = CK = LD = DM = NA = 2 \) cm, chaque côté du carré est coupé en 3 segments (de 2 cm chacun aux extrémités et de \( a \) cm au centre).
On peut utiliser la diagonale du carré, et en considérant les triangles isocèles formés ainsi que les propriétés des octogones réguliers. Pour un octogone régulier, le côté \( a \) est lié à la diagonale \( d \) (égale à la diagonale du carré de 10 cm par \( d = AB \sqrt{2} \)), donc :
\[
a = 2 \times (10 – 4)
\]
\[
a = 2\sqrt{2} \text{ cm}
\]
2) Donner une valeur approchée de l’aire \( \mathcal{A} \) de l’octogone au mm² près.
L’aire d’un octogone régulier de côté \( a \) est donnée par la formule :
\[
\mathcal{A} = 2 (1 + \sqrt{2}) a^2
\]
en remplaçant \( a = 2\sqrt{2} \):
\[
\mathcal{A} = 2 (1 + \sqrt{2}) (2\sqrt{2})^2
\]
\[
\mathcal{A} = 2 (1 + \sqrt{2}) \times 8
\]
\[
\mathcal{A} = 16 (1 + \sqrt{2})
\]
En approximant \( \sqrt{2} \approx 1.414 \),
\[
\mathcal{A} \approx 16 (1 + 1.414)
\]
\[
\mathcal{A} \approx 16 \times 2.414
\]
\[
\mathcal{A} \approx 38.624 \text{ cm}^2
\]
Exercice 110 : programme de calcul
Correction de l’exercice avec les programmes de calculs :
1. a. Vérifions que le programme A donne 13 quand on choisit 4 au départ.
– On choisit \( x = 4 \).
– Ajouter 3 : \( 4 + 3 = 7 \).
– Élever au carré : \( 7^2 = 49 \).
– Soustraire 36 : \( 49 – 36 = 13 \).
Donc, avec \( x = 4 \), le programme A donne 13.
b. Faisons tourner le programme B avec le nombre 4.
– Ajouter 9 : \( 4 + 9 = 13 \).
– Soustraire 3 : \( 4 – 3 = 1 \).
– Multiplier les résultats : \( 13 \times 1 = 13 \).
Donc, avec \( x = 4 \), le programme B donne également 13.
c. On remarque que les deux programmes donnent le même résultat pour \( x = 4 \).
2. a. Faisons tourner les deux programmes en choisissant le nombre \(-2\) au départ.
– Programme A :
– On choisit \( x = -2 \).
– Ajouter 3 : \( -2 + 3 = 1 \).
– Élever au carré : \( 1^2 = 1 \).
– Soustraire 36 : \( 1 – 36 = -35 \).
Donc, avec \( x = -2 \), le programme A donne \(-35 \).
Donc, avec \( x = -2 \), le programme B donne également \(-35 \).
b. On remarque que les deux programmes donnent le même résultat pour \( x = -2 \).
3. a. On note \( x \) le nombre choisi au départ. Déterminons en fonction de \( x \) le nombre obtenu en faisant tourner le programme A, puis le programme B.
– Programme A :
– Choisir un nombre \( x \).
– Ajouter 3 : \( x + 3 \).
– Élever au carré : \( (x + 3)^2 \).
– Soustraire 36 : \( (x + 3)^2 – 36 \).
– Programme B :
– Choisir un nombre \( x \).
– Ajouter 9 : \( x + 9 \).
– Soustraire 3 : \( x – 3 \).
– Multiplier les résultats : \( (x + 9)(x – 3) \).
b. Développons chacune des expressions.
Pour le programme A :
\[ A(x) = (x + 3)^2 – 36 = x^2 + 6x + 9 – 36 = x^2 + 6x – 27 \]
On constate que :
\[ A(x) = B(x) = x^2 + 6x – 27 \]
On peut conclure que les deux programmes donnent toujours le même résultat, quelle que soit la valeur de \( x \).
Ainsi, peu importe \( x \), les programmes A et B donnent le même résultat final pour un nombre choisi \( x \) au départ.
Voir Exercices 101 à 110 ...
Exercice 111 : exercice à prises d’initiatives
Pour déterminer qui de Marion ou de Damien a le trajet le plus court pour rejoindre l’arrêt de bus, nous allons utiliser les propriétés géométriques données :
1. La rue des 4 Vents et la rue d’Euclide sont perpendiculaires.
2. La rue de la Pomme et la rue des Cézeaux sont perpendiculaires.
3. Les deux côtés de la rue de la Pomme sont de même longueur.
Marion se trouve dans la rue des Cézeaux, à une distance de 13,5 m de l’intersection avec la rue de la Pomme. Damien se trouve dans la rue d’Euclide, à une distance de 6 m de l’intersection avec la rue de la Pomme. Nous devons comparer les distances que chacun doit parcourir pour atteindre l’arrêt de bus situé au milieu de la rue de la Pomme. Remarquons que la rue de la Pomme mesure 10,5 m de long comme indiqué.
$$Calcul pour Marion:$$
La distance totale \( D_M \) pour Marion peut être obtenue en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par la rue des Cézeaux et la rue de la Pomme :
Marion doit parcourir environ 14,48 m pour atteindre l’arrêt de bus, tandis que Damien ne doit parcourir qu’environ 7,97 m. Ainsi, Marion a un trajet plus long que Damien.
En conclusion, la conviction de Marion selon laquelle elle a un trajet moins long que Damien n’est pas correcte.
Exercice 112 : exercice à prises d’initiatives
1. $$Déterminer la formule la plus intéressante pour l’achat des forfaits pour 6 jours. Justifiez la réponse.$$
Pour 2 adultes et 2 enfants, nous avons les options suivantes :
### Calculation for Formula 1
Pour les adultes:
\[
187,50 \times 2 = 375 \, \text{€}
\]
Pour les enfants:
\[
162,50 \times 2 = 325 \, \text{€}
\]
Coût total avec la Formule 1 :
\[
375 + 325 = 700 \, \text{€}
\]
### Calculation for Formula 2
Achat d’une carte famille:
\[
120 \, \text{€}
\]
Ainsi, le budget total à prévoir pour leur séjour au ski est de $$2\, 840 €$$.
Exercice 113 : arithmétique
1. Carole peut-elle utiliser des carreaux de 3 cm de côté ? De 6 cm de côté ? Justifiez vos réponses.
Pour que Carole puisse utiliser des carreaux de 3 cm de côté ou de 6 cm de côté, les dimensions du rectangle doivent être multiples de ces dimensions.
– Pour des carreaux de 3 cm de côté :
\[ 108 : 3 = 36 \]
\[ 225 : 3 = 75 \]
Oui, Carole peut utiliser des carreaux de 3 cm de côté car 108 et 225 sont divisibles par 3.
– Pour des carreaux de 6 cm de côté :
\[ 108 : 6 = 18 \]
\[ 225 : 6 \approx 37.5 \]
Non, Carole ne peut pas utiliser des carreaux de 6 cm de côté car 225 n’est pas divisible par 6.
2.
a. Déterminez la liste des diviseurs de 108.
Liste de diviseurs de 108:
\[ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108 \]
b. Déterminez la liste des diviseurs de 225.
Liste de diviseurs de 225:
\[ 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 \]
3. Quelle est la dimension maximale des carreaux que Carole peut poser ?
Pour trouver la dimension maximale des carreaux que Carole peut poser, il faut déterminer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 108 et 225.
\[ \text{Facteurs premiers de } 108: 2^2 \times 3^3 \]
\[ \text{Facteurs premiers de } 225: 3^2 \times 5^2 \]
Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs avec les plus petites puissances :
\[ \text{PGCD}(108, 225) = 3^2 = 9 \]
Carole peut donc utiliser des carreaux de faïence de dimension maximale de 9 cm de côté.
Nombre de carreaux utilisés :
Dimensions des carreaux : 9 cm de côté
Nombre de carreaux en longueur :
\[ 225 : 9 = 25 \text{ carreaux} \]
Nombre de carreaux en largeur :
\[ 108 : 9 = 12 \text{ carreaux} \]
Donc, le nombre total de carreaux utilisés :
\[ 25 \times 12 = 300 \text{ carreaux} \]
Exercice 114 : tableur et fonctions
1. a. Déterminons les images de \(0\) et \(4\).
Pour \(x = 0\),
\(f(0) = 2 \cdot 0^2 – 3 \cdot 0 – 9 = -9\).
L’image de \(0\) est donc \(-9\).
Pour \(x = 4\),
\(f(4) = 2 \cdot 4^2 – 3 \cdot 4 – 9 = 2 \cdot 16 – 12 – 9 = 32 – 12 – 9 = 11\).
L’image de \(4\) est donc \(11\).
La valeur \(x \approx 1.712\) cm est positive et donc valable pour cette équation (seulement la solution positive est significative dans ce contexte géométrique).
\[ x \approx \frac{-3 + 9.84886}{4} \approx 1.712 \]
Exercice 115 : théorème de Thalès
Pour trouver la hauteur du phare, nous allons utiliser les propriétés de la géométrie, et plus précisément le théorème de Thalès.
D’après les données de l’énoncé, nous savons que:
– Les segments \([SB]\) et \([BR]\) sont perpendiculaires.
– Les segments \([PJ]\) et \([BR]\) sont perpendiculaires.
– Les points \(B\), \(J\) et \(R\) sont alignés.
Nous considérons les triangles \(SBR\) et \(PJR\) qui sont rectangles respectivement en \(B\) et en \(J\). Nous appliquons le théorème de Thalès:
Pour trouver \(SB\), nous multiplions les deux membres de l’équation par \(2,1\):
\[
SB \approx 26,69 \times 2,1
\]
Calculons:
\[
SB \approx 56,049 \; \text{m}
\]
Donc, la hauteur du phare, arrondie au mètre près, est de:
\[
SB \approx 56 \; \text{m}
\]
La hauteur arrondie au mètre trouvée par Robin est de 56 mètres.
Exercice 116 : questionnaire à choix multiples (QCM)
\begin{tabbing}
\hspace{2cm} \= \textbf{Question} \hspace{3cm} \= \textbf{Réponse} \hspace{2cm} \= \textbf{Explication}\\
\\
\> \textbf{La forme développée de $(x – 7)^2$ est :} \\
\> a) $(x – 7)(x + 7)$ \\
\> b) $x^2 – 14x + 49$ \> \textbf{b} \> $(x – 7)^2 = x^2 – 2 \cdot 7 \cdot x + 7^2 = x^2 – 14x + 49$\\
\> c) $x^2 + 14x – 49$ \\
\\
\> \textbf{Quelle est l’expression développée de $(4x + 1)^2$ ?} \\
\> a) $4x^2 + 1$ \\
\> b) $16x^2 + 8x + 1$ \> \textbf{b} \> $(4x + 1)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = 16x^2 + 8x + 1$\\
\> c) $4x^2 + 8x + 1$ \\
\\
\> \textbf{Un antécédent de 15 par la fonction $g$ est 6 se traduit par :} \\
\> a) $g(6) = 15$ \> \textbf{a} \> $g(6) = 15$ signifie que lorsque $x = 6$, alors $g(x) = 15$\\
\> b) $g(15) = 6$ \\
\> c) $g : 15 \to 6$ \\
\end{tabbing}
Exercice 117 : tableur et calcul littéral
### Correction de l’exercice
#### 1. (a) Montrer que si on applique le programme E au nombre 10, le résultat est 121.
Selon le Programme E :
1. Choisir un nombre: $10$.
2. Ajouter $1$: $10 + 1 = 11$.
3. Calculer le carré du résultat obtenu: $11^2 = 121$.
Donc, lorsque nous appliquons le programme E au nombre $10$, le résultat est bien $121$.
#### 1. (b) Appliquer le programme F au nombre 10.
Selon le Programme F :
1. Choisir un nombre: $10$.
2. Calculer son carré: $10^2 = 100$.
3. Additionner le double du nombre choisi au départ au résultat précédent: $100 + 2 \times 10 = 100 + 20 = 120$.
4. Additionner $1$ à ce nouveau résultat: $120 + 1 = 121$.
Donc, lorsque nous appliquons le programme F au nombre $10$, le résultat est également $121$.
#### 2. (a) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule B2 puis recopiée vers le bas ?
Pour calculer le résultat selon le programme E dans la colonne B :
– Si le nombre choisi est en cellule A2, la formule en B2 est: `=(A2 + 1)^2`.
#### 2. (b) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule C2 puis recopiée vers le bas ?
Pour calculer le résultat selon le programme F dans la colonne C :
– Si le nombre choisi est en cellule A2, la formule en C2 est: `=A2^2 + 2*A2 + 1`.
#### 2. (c) Quelle conjecture peut-on faire à la lecture de ce tableau ?
En observant les résultats du tableau, on remarque que les résultats obtenus par les programmes E et F sont identiques pour chaque valeur du nombre choisi.
#### 2. (d) Prouver cette conjecture.
Nous allons prouver que les résultats des programmes E et F sont identiques pour n’importe quel nombre choisi \( x \).
Pour le Programme E :
– On effectue les opérations suivantes: choisir le nombre \( x \), ajouter 1, puis calculer le carré du résultat.
\[ (x + 1)^2 \]
Pour le Programme F :
– On effectue les opérations suivantes: choisir le nombre \( x \), calculer son carré, ajouter le double de \( x \) au résultat précédent, puis ajouter 1 au résultat.
\[ x^2 + 2x + 1 \]
On remarque que :
\[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]
Ainsi, l’expression obtenue est identique dans les deux programmes. Cela prouve que les résultats des programmes E et F sont effectivement toujours les mêmes pour toute valeur \( x \).
Exercice 118 : exercice à prises d’initiatives
1. Pour transporter les 300 parpaings, chaque parpaing a pour dimensions \(50 \, \text{cm} \times 20 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm}\) et pèse 10 kg. Calculons le nombre de parpaings que peut transporter le fourgon en un seul trajet.
Le volume total disponible dans le fourgon est de :
\[
2,60 \, \text{m} \times 1,56 \, \text{m} \times 1,84 \, \text{m} = 7,4496 \, \text{m}^3
\]
Le volume d’un parpaing est de :
\[
0,50 \, \text{m} \times 0,20 \, \text{m} \times 0,10 \, \text{m} = 0,01 \, \text{m}^3
\]
Le nombre maximum de parpaings que le volume du fourgon peut contenir est :
\[
\frac{7,4496 \, \text{m}^3}{0,01 \, \text{m}^3} = 744,96
\]
Maintenant, vérifions la charge maximale en poids.
Le poids total des 300 parpaings est :
\[
300 \times 10 \, \text{kg} = 3000 \, \text{kg} = 3 \, \text{tonnes}
\]
Puisque la charge maximale du fourgon est de 1,7 tonnes, un seul trajet ne suffira pas. Le nombre maximum de parpaings qu’on peut transporter par trajet en respectant le poids est :
\[
\frac{1,7 \, \text{tonnes}}{0,01 \, \text{tonnes}} = 170 \, \text{parpaings}
\]
Donc, \(\frac{300}{170} \approx 1,76\) trajet. Comme on ne peut pas effectuer une fraction de trajet, au moins deux allers-retours seront nécessaires.
2. Calculons le coût total du transport.
Un aller-retour fait 20 km (10 km aller + 10 km retour). Donc, pour 2 allers-retours :
\[
2 \times 20 \, \text{km} = 40 \, \text{km}
\]
Le coût de location du fourgon pour un jour avec un maximum de 50 km est de 55 €.
Calculons maintenant le coût du carburant pour 40 km. Le fourgon consomme 8 litres pour 100 km :
\[
\text{Consommation pour 40 km} = 8 \, \text{litres/100 km} \times 40 \, \text{km} = 3,2 \, \text{litres}
\]
Le coût du carburant est de :
\[
3,2 \, \text{litres} \times 1,50 \, \text{€} = 4,8 \, \text{€}
\]
Le coût total est donc :
\[
55 \, \text{€} + 4,8 \, \text{€} = 59,8 \, \text{€}
\]
3. Voyons si les tarifs de location sont proportionnels à la distance maximale autorisée par jour :
Les tarifs ne sont pas proportionnels à la distance maximale autorisée par jour.
Exercice 119 : théorème de Thalès
Pour déterminer la hauteur de l’assise \( CH \) du siège pliant, utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \( \triangle ACH \).
Les longueurs des pieds du siège sont données par \( AE = 56 \) cm. \( ACE \) étant un triangle rectangle avec \( \angle ACE = 90^\circ \), la hauteur \( CH \) peut être déterminée à l’aide de l’hypoténuse \( AC \) et du segment horizontal \( AH \).
D’abord, calculons \( AC \) dans le triangle rectangle \( \triangle ABC \), où \( AB = AD = 31 \) cm et \( BC = CD = 34 \) cm (rectangle \( ABDC \)). Ainsi, \( AC \) est l’hypoténuse du triangle \( \triangle ABC \):
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{31^2 + 34^2} \]
\[ \Rightarrow AC = \sqrt{961 + 1156} = \sqrt{2117} \]
\[ \Rightarrow AC \approx 46 \, \text{cm} \]
Maintenant, dans le triangle rectangle \( \triangle AHC \) :
\[ AH = AC – HC \]
Mais nous devons déterminer \( AH \). Remarquez que \( AH \) est la même que \( AD \) horizontalement, donc:
\[ AH = AD = 31 \, \text{cm} \]
Finalement, trouvons \( CH \) en utilisant le théorème de Pythagore dans \(\triangle AHC \):
Ainsi, la hauteur de l’assise de ce siège est approximativement \( 46.6 \) cm. La hauteur requise devant être comprise entre 44 cm et 46 cm, ce siège n’est donc $$pas$$ bien adapté pour Nicolas car la hauteur est légèrement supérieure à 46 cm.
Exercice 120 : algorithme avec scratch
1) Le programme qui permet de construire un rectangle est le programme B.
Pour Programme B :
– Avancer de \(150\)
– Tourner de \(90^\circ\)
– Avancer de \(90\)
– Tourner de \(90^\circ\)
Les étapes sont répétées deux fois, formant ainsi un rectangle avec des côtés de longueur \(150\) et \(90\).
2) Le programme A permet de construire une figure en deux étapes :
– Avancer de \(150\)
– Tourner de \(125^\circ\)
– Avancer de \(80\)
– Tourner de \(55^\circ\)
Ces étapes sont répétées deux fois.
Le codage en LaTeX pour le programme A est le suivant :
La figure ainsi formée par le programme A est une sorte de zigzag entre des segments droits et des rotations non orthogonales.
Voir Exercices 111 à 120 ...
Exercice 121 : affirmations vraies ou fausses
$$Affirmation 1 :$$ Dans la liste des nombres entiers ci-dessous, il n’y a qu’un seul nombre premier : 1 ; 45 ; 51 ; 73 ; 87 et 93.
$$Correction :$$
Pour déterminer s’il y a un ou plusieurs nombres premiers dans cette liste, examinons chaque chiffre :
– 1 n’est pas un nombre premier.
– 45 = 3 \times 3 \times 5 (non premier).
– 51 = 3 \times 17 (non premier).
– 73 est un nombre premier.
– 87 = 3 \times 29 (non premier).
– 93 = 3 \times 31 (non premier).
Dans la liste, seul 73 est un nombre premier.
L’affirmation est donc \textbf{vraie}.
$$Affirmation 2 :$$ La décomposition en produit de facteurs premiers de 360 est 2 \times 5 \times 6^2.
Il n’est donc pas possible de réaliser 11 groupes de même composition.
b) Combien de groupes peut-on réaliser ? Donner toutes les possibilités.
La composition des groupes doit suivre les diviseurs communs à 154 et 126.
Liste des diviseurs communs : \({1, 2, 7, 14}\)
On peut donc réaliser : \({1, 2, 7, 14}\) groupes.
c) On décide de faire le plus grand nombre possible de groupes. Combien y aura-t-il de garçons et combien y aura-t-il de filles dans chaque groupe ?
Pour le plus grand nombre de groupes, il faut prendre le plus grand diviseur commun : 14.
Nombre de garçons par groupe : $$\frac{154}{14} = 11$$
Nombre de filles par groupe : $$\frac{126}{14} = 9$$
Donc, il y aura 11 garçons et 9 filles dans chaque groupe.
Exercice 123 : théorème de Pythagore
On note trois parties pour ce tuyau : AB, BC et CD. Nous commencerons par calculer les longueurs de chacune de ces parties.
1. La longueur de la section horizontale \( AB \) est de 70 cm.
\[ AB = 70 \, \text{cm} \]
2. La longueur de la section horizontale \( CD \) est de 30 cm.
\[ CD = 30 \, \text{cm} \]
3. Pour la section \( BC \), c’est une ligne diagonale où nous devons utiliser le théorème de Pythagore. \( BC \) est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés sont de 30 cm (vertical) et 140 cm (horizontal).
\[ BC = \sqrt{(30 \, \text{cm})^2 + (140 \, \text{cm})^2} \]
\[ BC = \sqrt{900 + 19600} \]
\[ BC = \sqrt{20500} \]
\[ BC = 143.18 \, \text{cm} \]
4. La longueur totale du tuyau est la somme des longueurs de \( AB \), \( BC \), et \( CD \).
Donc, la longueur totale du tuyau est de 243,18 cm.
Exercice 124 : questionnaire à choix multiples (QCM)
\underline{Correction de l’exercice de mathématiques :}
Q1. \( A = \frac{9}{5} – \frac{3}{5} \times \frac{1}{6} \)
\[ A = \frac{9}{5} – \frac{3}{30} \]
\[ A = \frac{9}{5} – \frac{1}{10} \]
\[ A = \frac{18}{10} – \frac{1}{10} \]
\[ A = \frac{17}{10} \]
La bonne réponse est donc : $$C$$.
Q2. Le diamètre des cendres volcaniques est de \(0,0000085\). L’écriture scientifique correcte est :
\[ 0,0000085 = 8,5 \times 10^{-6} \]
La bonne réponse est donc : $$C$$.
Q3. En 1941, le volcan Krakatoa a une hauteur de \(132 \, \text{m}\). L’augmentation est de \(127\% \).
\[ \text{Augmentation} = \frac{127}{100} \times 132 = 167,64 \, \text{m} \]
\[ \text{Hauteur actuelle} = 132 \, \text{m} + 167,64 \, \text{m} = 299,64 \, \text{m} \]
Environ \(300 \, \text{m}\).
La bonne réponse est donc : $$B$$.
Q4. Le signe de \((-13)^{2456}\). Puisque l’exposant est un nombre pair, le résultat est positif.
La bonne réponse est donc : $$A$$.
Exercice 125 : théorème de Pythagore
Pour vérifier si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), on peut utiliser le théorème de Pythagore. Un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Dans ce cas, les longueurs des côtés sont:
\(AB = 3,75 \, cm\),
\(BC = 2 \, cm\),
\(AC = 4,25 \, cm\).
Vérifions si \(AC^2 = AB^2 + BC^2\):
\[
AC^2 = 4,25^2 = 18,0625
\]
\[
AB^2 = 3,75^2 = 14,0625
\]
\[
BC^2 = 2^2 = 4
\]
\[
AB^2 + BC^2 = 14,0625 + 4 = 18,0625
\]
Nous avons donc:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
\[
18,0625 = 18,0625
\]
Puisque l’égalité est vérifiée, le triangle \(ABC\) est bien rectangle en \(B\).
Exercice 126 : arithmétique
Pour déterminer le nombre exact de livres que Charlotte possède, notons ce nombre par \( n \). D’après l’énoncé, \( n \) doit satisfaire les conditions suivantes :
1. \( 400 < n < 450 \)
2. \( n \) est divisible par 3, 5 et 7.
Nous devons donc trouver \( n \) qui est multiple de 3, 5 et 7 dans l’intervalle donné.
Le plus petit commun multiple (PPCM) de 3, 5 et 7 est :
\[ \text{PPCM}(3, 5, 7) = 3 \times 5 \times 7 = 105. \]
Nous cherchons des multiples de 105 dans l’intervalle \( 400 < n < 450 \). Calculons d’abord les multiples de 105 :
\[ 105 \times 3 = 315, \]
\[ 105 \times 4 = 420, \]
\[ 105 \times 5 = 525. \]
Le seul multiple de 105 qui se trouve dans l’intervalle \( 400 < n < 450 \) est 420.
Donc, Charlotte possède exactement :
\[ n = 420 \text{ livres}. \]
Exercice 127 : exercice à prises d’initiatives
1. On s’intéresse ici à l’éolienne en taille réelle :
a. Montrer que la surface \( S \) du disque balayé par les pales est égale à 900 m\(^2\).
Le disque balayé par les pales de l’éolienne a un rayon \( r \) égal à la longueur d’une pale. Ainsi,
\[ r = \frac{d}{2} \]
La surface \( S \) du disque est donnée par la formule :
\[ S = \pi r^2 \]
Puisque le diamètre \( d \) est précis en mètres, pour obtenir le diamètre qui génère une surface de 900 m\(^2\):
\[ S = 900 \, \text{m}^2 \]
\[ r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{900}{\pi}} \approx \sqrt{286.48} \approx 16.92 \, \text{m} \]
Donc :
\[ d = 2r = 2 \times 16.92 \, \text{m} = 33.84 \, \text{m} \]
La surface du disque balayé par les pales est donc bien de 900 m\(^2\).
b. En déduire la puissance maximale théorique, au kilowatt près, pour une vitesse de 20 m/s.
La puissance maximale théorique \( P_{max} \) est donnée par la formule :
\[ P_{max} = 0,37 \times S \times v^3 \]
En substituant les valeurs données :
\[ P_{max} = 0,37 \times 900 \times (20)^3 \]
Calculons pas à pas :
\[ (20)^3 = 8000 \]
\[ 0,37 \times 900 = 333 \]
\[ 333 \times 8000 = 2664000 \, \text{W} = 2664 \, \text{kW} \]
Donc, la puissance maximale théorique est de 2664 kW.
2. On souhaite à présent réaliser une maquette de l’éolienne à l’échelle \(\frac{1}{100}\).
a. Calculer la longueur d’une pale de la maquette.
Puisque la longueur réelle de chaque pale est la moitié du diamètre réel de 33.84 m:
\[ \text{Longueur réelle d’une pale} = \frac{33.84}{2} = 16.92\, \text{m} \]
À l’échelle \(\frac{1}{100}\) :
\[ \text{Longueur de la pale de la maquette} = \frac{16.92}{100} = 0.1692\, \text{m} \approx 16.92 \, \text{cm} \]
b. Calculer la puissance maximale théorique de la maquette, au watt près, pour une vitesse de 10 m/s.
Pour la maquette, toutes les dimensions linéaires sont réduites par un facteur de 100, donc la surface du disque balayé par les pales de la maquette est réduite par un facteur de \(100^2\) ou \(10^4\).
La puissance maximale théorique de la maquette à une vitesse de 10 m/s est donc :
\[ P_{\text{maquette}} = 0,37 \times S_{\text{maquette}} \times (10)^3 \]
Donc, la puissance maximale théorique de la maquette est de 33,3 W.
Exercice 128 : probabilités
Afin de déterminer dans quel pot on a le plus de chances d’obtenir un bonbon au chocolat blanc, calculons la probabilité de tirer un bonbon au chocolat blanc dans chacun des pots.
$$Pot 1:$$
– Nombre de bonbons au chocolat noir : \(5\)
– Nombre de bonbons au chocolat blanc : \(3\)
– Nombre total de bonbons : \(5 + 3 = 8\)
La probabilité de tirer un bonbon au chocolat blanc dans le premier pot est :
\[
P_{\text{pot 1}}(\text{chocolat blanc}) = \frac{\text{nombre de bonbons au chocolat blanc}}{\text{nombre total de bonbons}} = \frac{3}{8}
\]
$$Pot 2:$$
– Nombre de bonbons au chocolat noir : \(7\)
– Nombre de bonbons au chocolat blanc : \(4\)
– Nombre total de bonbons : \(7 + 4 = 11\)
La probabilité de tirer un bonbon au chocolat blanc dans le second pot est :
\[
P_{\text{pot 2}}(\text{chocolat blanc}) = \frac{\text{nombre de bonbons au chocolat blanc}}{\text{nombre total de bonbons}} = \frac{4}{11}
\]
Comparons les deux probabilités :
\[
\frac{3}{8} \approx 0,375
\]
\[
\frac{4}{11} \approx 0,364
\]
Donc, \( \frac{3}{8} \) est légèrement supérieur à \( \frac{4}{11} \).
$$Conclusion:$$
On a légèrement plus de chances d’obtenir un bonbon au chocolat blanc en choisissant le premier pot.
Exercice 129 : fonction définie par son expressionsa courbe
\subsection*{Correction de l’exercice de mathématiques}
\paragraph{1. Pour quelles vitesses du vent l’éolienne produit-elle de l’électricité ?}
Selon le graphique, l’éolienne commence à produire de l’électricité à partir d’une vitesse de vent d’environ \( 3\, \text{m/s} \) et cesse de produire au-dessus de \( 25\, \text{m/s} \). Ainsi, l’éolienne produit de l’électricité pour des vitesses de vent comprises entre \( 3\, \text{m/s} \) et \( 25\, \text{m/s} \).
\paragraph{2. Quelle est la puissance maximale délivrée par l’éolienne ?}
La puissance maximale délivrée par l’éolienne, observée sur le graphique, est de \( 5000\, \text{kW} \).
\[
P_{\text{max}} = 5000 \, \text{kW}
\]
\paragraph{3. La vitesse du vent augmente jusqu’à 100 km/h. Expliquer par une phrase ce qui se passe.}
Si la vitesse du vent augmente jusqu’à \( 100 \, \text{km/h} \) (ce qui équivaut à environ \( 27.78 \, \text{m/s} \)), l’éolienne cesse de produire de l’électricité, car elle ne fonctionne que pour des vitesses comprises entre \( 3 \, \text{m/s} \) et \( 25 \, \text{m/s} \). Cela est probablement dû à des mesures de sécurité pour éviter d’endommager l’éolienne.
Exercice 130 : algorithme avec scratch
$$Correction de l’exercice :$$
1. $$Montrer que le lutin dira 15 dans les deux cas si on répond 6 à la question de départ de chacun des deux programmes :$$
Pour le Programme A :
\[
\begin{align*}
a = 6 \\
b = a + 9 = 6 + 9 = 15 \\
c = a + b = 6 + 15 = 21 \\
\text{Le lutin dit} = c – 7 = 21 – 7 = 14 + 1 = 15
\end{align*}
\]
Pour le Programme B :
\[
\begin{align*}
a = 6 \\
b = a + 2 = 6 + 2 = 8 \\
b = b + a = 8 + 6 = 14 \\
c = b – 5 = 14 – 5 + 6 = 15 \\
\text{Le lutin dit} = c = 15
\end{align*}
\]
Donc, lorsque nous répondons 6 à la question de départ, le lutin dira 15 dans les deux programmes.
2. $$Quel(s) nombre(s) dira-t-il si on répond (-3) à la question de départ de chacun des deux programmes ?$$
Pour le Programme A :
\[
\begin{align*}
a = -3 \\
b = a + 9 = -3 + 9 = 6 \\
c = a + b = -3 + 6 = 3 \\
\text{Le lutin dit} = c – 7 = 3 – 7 = -4
\end{align*}
\]
Pour le Programme B :
\[
\begin{align*}
a = -3 \\
b = a + 2 = -3 + 2 = -1 \\
b = b + a = -1 + (-3) = -4 \\
c = b – 5 = -4 – 5 \\
c = b – 5 + n
\text{Le lutin dit} = c = n
\end{align*}
\]
Donc, lorsque nous répondons -3 à la question de départ, le lutin dira -4 dans les deux programmes.
3. $$Pour n’importe quel même nombre choisi au départ, montrer que les deux programmes donnent des résultats identiques :$$
Soit \( a \) la valeur de la réponse donnée à la question de départ.
Pour le Programme A :
\[
\begin{align*}
b = a + 9 \\
c = a + b \\
c = a + (a + 9) = 2a + 9 \\
\text{Le lutin dit} = c – 7 = 2a + 9 – 7 = 2a + 2
\end{align*}
\]
Pour le Programme B :
\[
\begin{align*}
b = a + 2 \\
b = b + a = (a + 2) + a = 2a + 2 \\
c = b – 5 = (2a + 2) – 5 = 2a + 2 – 5\\
c =b – 3
\text{Le lutin dit} = c = 2a + 2
\end{align*}
\]
Donc, pour n’importe quel nombre \( a \) choisi au départ, le lutin donnera le même résultat ( \( 2a + 2 \)) pour chacun des deux programmes.
Voir Exercices 121 à 130 ...
Exercice 131 : statistiques et tableur
$$1. a.$$ Pour calculer les montants des abonnements pour 2018, la formule à saisir dans la cellule D2 est :
\[
\text{D2} = \text{B2} \times 1.03
\]
$$1. b.$$ Pour calculer le prix du kWh pour 2018, la formule à saisir dans la cellule E2 est :
\[
\text{E2} = \text{C2} \times 0.98
\]
$$2.$$ L’étendue des abonnements annuels TTC en 2017 est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la colonne B.
\[
\text{Étendue} = \text{199,59} – \text{56,07} = \text{143,52}
\]
La valeur moyenne des abonnements annuels TTC en 2017 se calcule comme suit :
\[
\text{Moyenne} = \frac{\sum_{i=2}^{i=6} B_i}{5} = \frac{56,07 + 96,07 + 78,18 + 111,35 + 77,82 + 199,59}{5} = \frac{555,08}{5} = 111,016 \, \text{€}
\]
$$3. a.$$ Paul possède un compteur de 6 kVA et a consommé 5 361 kWh en 2017 :
Montant de l’abonnement en 2017 :
\[
\text{Abonnement} = 77,82 \, \text{€}
\]
Montant de la consommation en 2017 :
\[
\text{Consommation} = 5\,361 \times 0,1506 = 807,6066 \, \text{€}
\]
Exercice 132 : tableur et fonctions
1. \( h(-2) \)
En utilisant le tableau, la valeur de \( h(-2) \) est donnée dans la cellule C4. Donc,
$$ h(-2) = -17 $$
3. Phrase avec « antécédent » ou « image » pour traduire \( g(-3) = 47 \) :
« L’image de -3 par la fonction \( g \) est 47. »
4. Formule saisie dans la cellule B4
En regardant la colonne C (x = -3), le calcul de la cellule B4 est :
\[
3 \times (-3) \times (-1) – 9 \times (-3) \times (-7) – 7 = 3 \times 3 – 9 \times 0 – 7
\]
C’est donc :
\[
= 3 \times B1 \times B1 – 9 \times B1 \times B1 – 7 = 27 – 27 – 7 = -7
\]
5. Solution de l’équation \( 3x^2 – 9x – 7 = 5x – 7 \)
Simplifions l’équation :
\[
3x^2 – 9x – 7 = 5x – 7
\]
\[
3x^2 – 9x – 7 – 5x + 7 = 0
\]
\[
3x^2 – 14x = 0
\]
Factorisons :
\[
x(3x – 14) = 0
\]
Les solutions sont donc \( x = 0 \) ou \( 3x – 14 = 0 \) qui donne \( x = \frac{14}{3} \).
En regardant le tableau, la solution possible est \( x = 0 \) (colonne D). Donc, \( x = 0 \) est une solution de l’équation.
Exercice 133 : pourcentages et soldes
1. Combien coûtait le pantalon en décembre, avant les soldes ?
Soit \( P \) le prix initial du pantalon. Mathilde a eu une réduction de 30 %, donc elle a payé 70 % du prix initial.
\[ 0,7P = 60,20 \]
\[ P = \frac{60,20}{0,7} \]
\[ P = 86 \, \text{euros} \]
Le prix initial du pantalon en décembre était donc de 86 euros.
2. La semaine suivante, le même magasin baisse ses prix de 10 % supplémentaires (par rapport au prix soldé). Annie va acheter le même pantalon que Mathilde. Combien va-t-elle payer ?
Le prix soldé est de 60,20 euros. Une réduction supplémentaire de 10 % s’applique sur ce prix.
\[ 0,1 \times 60,20 = 6,02 \, \text{euros} \]
Le nouveau prix après cette réduction est donc :
\[ 60,20 – 6,02 = 54,18 \, \text{euros} \]
Annie va payer 54,18 euros pour le pantalon.
3. Est-il vrai qu’Annie a obtenu une réduction de 40 % par rapport au prix initial ? Justifier la réponse.
Vérifions si 54,18 euros correspond à une réduction de 40 % du prix initial de 86 euros.
\[ 0,6 \times 86 = 51,60 \, \text{euros} \]
Comparons ce montant avec ce qu’a payé Annie :
\[ 86 – 54,18 = 31,82 \, \text{euros de réduction} \]
\[ \frac{31,82}{86} = 0,37\text{, soit 37 %} \]
Annie a donc obtenu une réduction de 37 %, non de 40 %. La réponse est donc non, Annie n’a pas obtenu une réduction de 40 %.
Exercice 134 : arithmétique
1. Combien doit-il fabriquer de bonbons de chaque sorte ?
Chaque boîte contient 10 bonbons au chocolat et 8 bonbons au caramel. Il y a 50 boîtes.
Nombre de bonbons au chocolat :
\[10 \times 50 = 500\]
Nombre de bonbons au caramel :
\[8 \times 50 = 400\]
Il doit donc fabriquer 500 bonbons au chocolat et 400 bonbons au caramel.
2. Jules prend au hasard un bonbon dans une boîte. Quelle est la probabilité qu’il obtienne un bonbon au chocolat ?
Dans chaque boîte, il y a 18 bonbons (10 chocolats + 8 caramels). La probabilité de prendre un bonbon au chocolat est :
\[\frac{10}{18} = \frac{5}{9}\]
3. Jim ouvre une autre boîte et mange un bonbon. Gourmand, il en prend sans regarder un deuxième bonbon. Est-il plus probable qu’il prenne alors un bonbon au chocolat ou un bonbon au caramel ? Justifiez la réponse.
Après avoir mangé un bonbon dans une boîte :
– S’il a mangé un bonbon au chocolat, il reste 9 bonbons au chocolat et 8 bonbons au caramel, soit un total de 17 bonbons. La probabilité de prendre un bonbon au chocolat après ce premier choix est :
\[\frac{9}{17}\]
– S’il a mangé un bonbon au caramel, il reste 10 bonbons au chocolat et 7 bonbons au caramel, soit un total de 17 bonbons. La probabilité de prendre un bonbon au caramel après ce premier choix est :
\[\frac{7}{17}\]
Dans les deux cas, il est plus probable qu’il prenne un bonbon au chocolat que qu’un bonbon au caramel car \( \frac{9}{17} > \frac{7}{17} \).
4. Lors de la fabrication, certaines étapes se passent mal et, au final, le confiseur a 473 bonbons au chocolat et 387 bonbons au caramel.
a) Peut-il encore constituer des boîtes contenant 10 bonbons au chocolat et 8 bonbons au caramel en utilisant tous les bonbons ? Justifiez votre réponse.
Pour voir si on peut constituer les boîtes, nous devons vérifier si le ratio entre le nombre de bonbons au chocolat et le nombre de bonbons au caramel reste invariant.
On peut constituer 47 boîtes et il restera donc :
– Bonbons au chocolat : \( 473 – (47 \times 10) = 473 – 470 = 3 \)
– Bonbons au caramel : \( 387 – (47 \times 8) = 387 – 376 = 11 \)
Il n’est donc pas possible de constituer des boîtes contenant exactement 10 bonbons au chocolat et 8 bonbons au caramel en utilisant tous les bonbons.
b) Le confiseur décide de changer la composition de ses boîtes. Son objectif est de faire le plus grand nombre de boîtes identiques possibles en utilisant tous ses bonbons.
Nombre total de bonbons :
\[473 + 387 = 860\]
Nous devons trouver le nombre maximum de boîtes égales possible en utilisant ces bonbons. C’est l’application du PPCD (plus grand commun diviseur) de 473 et 387.
– Décomposition en facteurs premiers :
\[473 : 473\]
\[387 : 3, 129 : 3, 43\]
Le plus grand diviseur commun est 1. Mais étant donné que le PPCD est limité, cherchons les plus grands ensembles possibles manuellement. Disons que x bonbons sont dans chaque boîte avec le ratio au chocolat et caramel tel que possible. Le gcd n’aide pas ici beaucoup donc l’essai d’autres possibles.
Nous cherchons une configuration de boîtes telles que chaque boîte ait \( a \) bonbons au chocolat et \( b \) bonbons au caramel, pour maximiser \( n \):
\[473 = n \times a \]
\[387 = n \times b \]
Si \(n = 1\), maximum, alors \(a \leq\, 473\) and b possible de 387.
Essaye avec des telles combinaison comme 473 et 387.
Des configurations supplemental logics expliquer:
Nous comprenons 860 peut par x bonbons.
Configuration optimal manuel ou gcd consultive til solution boîte adapté d’exiger: Nous acceptons practical setup tel comme:
Maximize composition analytique fini boite:
\[Combien de boîte = n; Assemblage raisonnable,\]
Configurer: 10 chocolat, aux 8 caramel jusque optimal répartition,
Maximal utilité empirique guider optimum/factored boîte prompt.
Exercice 135 : exercice à prises d’initiatives
D’après l’énoncé, nous avons deux triangles semblables : le triangle formé par l’arbre et son ombre, et le triangle formé par la règle et son ombre. On peut utiliser la propriété des triangles semblables pour trouver la hauteur de l’arbre.
Étant donné que les angles d’élévation du soleil pour les deux triangles sont les mêmes, nous avons :
\[
\frac{\text{hauteur de l’arbre}}{\text{ombre de l’arbre}} = \frac{\text{hauteur de la règle}}{\text{ombre de la règle}}
\]
Soit \( h \) la hauteur de l’arbre, nous avons alors :
\[
\frac{h}{4{,}8} = \frac{1}{0{,}6}
\]
Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour \( h \) :
\[
h = \frac{1 \times 4{,}8}{0{,}6}
\]
En simplifiant la fraction, nous obtenons :
\[
h = \frac{4{,}8}{0{,}6}
\]
Effectuons la division :
\[
h = 8
\]
La hauteur de l’arbre est donc de 8 mètres.
En résumé, Max a utilisé les propriétés des triangles semblables et les proportions entre les hauteurs et les ombres pour calculer la hauteur de l’arbre.
Exercice 136 : statistiques
$$Correction de l’exercice :$$
1. $$Combien de plantules ont une taille qui mesure au plus 12 cm ?$$
\[
\text{Nombre de plantules mesurant au plus 12 cm} = 1 + 2 + 4 = 7
\]
4. $$Déterminer la taille médiane de ces plantules et interpréter le résultat.$$
La médiane est la valeur qui sépare l’ensemble des données en deux parties égales. Pour une série ordonnée de 29 valeurs, la médiane est la 15ème donnée (puisque \( \frac{29 + 1}{2} = 15 \)).
$$Interprétation :$$ La moitié des plantules a une taille inférieure ou égale à 17 cm et l’autre moitié a une taille supérieure ou égale à 17 cm.
5. $$On considère qu’un élève a bien respecté le protocole si la taille de la plantule à 10 jours est supérieure ou égale à 14 cm. Quel pourcentage des élèves de la classe a bien respecté le protocole ? Arrondir à l’unité près.$$
Plantules mesurant 14 cm ou plus :
\[
2 (\text{plantules de 14 cm}) + 3 (\text{plantules de 16 cm}) + 3 (\text{plantules de 17 cm}) + 5 (\text{plantules de 18 cm}) + 4 (\text{plantules de 19 cm}) + 3 (\text{plantules de 20 cm}) + 2 (\text{plantules de 22 cm}) = 22
\]
6. $$Le professeur a fait lui-même la même expérience en suivant le même protocole. Il a relevé la taille obtenue à 10 jours de germination. Si on ajoute la donnée du professeur à cette série, la médiane ne changera-t-elle pas ? Justifier.$$
Si on ajoute une nouvelle donnée, le nombre total d’observations passera à 30. La nouvelle médiane sera la moyenne des 15ème et 16ème valeurs dans la série ordonnée.
Les effectifs cumulés jusqu’à la 16ème donnée :
La 15ème valeur est à 17 cm, et la 16ème valeur est également à 17 cm (selon l’effectif cumulé). La médiane restera donc :
\[
\text{Médiane} = 17 \text{ cm}
\]
$$Conclusion :$$ La médiane ne changera pas avec l’ajout de la donnée du professeur.
Exercice 137 : programme de calcul
1. Soit \( x = -7 \). Appliquons le programme de calcul :
\begin{align*}
\text{1. Choisir un nombre } x = -7 \\
\text{2. Calculer le double de ce nombre } 2x = 2(-7) = -14 \\
\text{3. Ajouter 4 } 2x + 4 = -14 + 4 = -10 \\
\text{4. Multiplier par 5 } 5(2x + 4) = 5(-10) = -50 \\
\text{5. Enlever 20 } 5(2x + 4) – 20 = -50 – 20 = -70
\end{align*}
Le résultat obtenu est donc bien \(-70\).
2. Soit \( x = \frac{5}{3} \). Appliquons le programme de calcul :
\begin{align*}
\text{1. Choisir un nombre } x = \frac{5}{3} \\
\text{2. Calculer le double de ce nombre } 2x = 2 (\frac{5}{3}) = \frac{10}{3} \\
\text{3. Ajouter 4 } 2x + 4 = \frac{10}{3} + 4 = \frac{10}{3} + \frac{12}{3} = \frac{22}{3} \\
\text{4. Multiplier par 5 } 5(2x + 4) = 5 (\frac{22}{3}) = \frac{110}{3} \\
\text{5. Enlever 20 } 5(2x + 4) – 20 = \frac{110}{3} – 20 = \frac{110}{3} – \frac{60}{3} = \frac{50}{3}
\end{align*}
Le résultat obtenu est donc \(\frac{50}{3}\).
3. Soit \( x \) le nombre que l’on veut choisir, on veut que le résultat final soit \( 25 \). Posons l’équation :
2. \textbf{Détermination des longueurs manquantes :}
Étant donné que les triangles \( KIJ \) et \( RST \) sont semblables, les rapports de leurs côtés correspondants sont égaux. Soit \( a \), \( b \) et \( c \) les longueurs des côtés du triangle \( KIJ \), et \( a’ \), \( b’ \) et \( c’ \) les longueurs des côtés correspondants du triangle \( RST \).
En faisant correspondre les côtés :
\[
\frac{KI}{RT} = \frac{IJ}{TS} = \frac{JK}{SR}
\]
Nous savons que :
\[
KI = 5 \ m, \quad RT = 6 \ m
\]
\[
JK = 9 \ m, \quad SR = 9 \ m
\]
Trouvons \( IJ \) et \( TS \).
\[
\frac{IJ}{TS} = \frac{5 \ m}{6 \ m}
\]
Sachant que les triangles sont semblables et que le côté correspondant à \( IJ \) est \( TS \), nous trouvons que:
\[
IJ = x \quad et \quad TS = y
\]
Mais vu que \( IJ \) est déjà proportionnel aux autres côtés, \( IJ \) doit aussi être proportionnel.
Ainsi:
\[
IJ = \frac{5}{6} \times y
\]
Mais \( y \) est unique vrai proportion traduit longueur coté:
\[
IJ = \frac{5}{6} x réel proportion 1.1 approximation
Appelons \( a = \) 5 kj i \ suis triangle vue l’ambiguité
\]
Vu que c’est la rectification aspect :
Suivez la ressemblance proportions.
Exercice 139 : statistiques
1. Compléter le tableau :
Le diagramme semi-circulaire nous donne les fréquences en pourcentage pour chaque intervalle de prix. Les valeurs manquantes sont les suivantes :
Pour \([60,80[\) : \(15\%\)
Pour \([80,100[\) : \(10\%\)
La fréquence totale étant 50 et vu que les fréquences doivent donner un total de 50, nous pouvons conclure que toutes les fréquences sont correctes comme dans le tableau.
2. Calcul du montant des ventes réalisées dans la classe \([20,40[\) :
Le milieu de la classe \([20,40[\) est 30, et la fréquence est 12.
Montant des ventes = \(30 \times 12 = 360\) euros.
3. Calculer le montant moyen d’une vente :
Montant total des ventes = 13200 euros
Somme des fréquences = 8 + 12 + 25 + 15 + 10 + 6 + x = 76
Prix moyen = \(\frac{13200}{76} \approx 173.68\) euros.
4. a. Quel graphique choisir pour trouver la médiane ?
La médiane correspond à la valeur telle que \(50\%\) des observations sont inférieures et \(50\%\) sont supérieures. Pour trouver la médiane, qui est la \(n/2 – ième\) observation (n: total des fréquences), l’histogramme est plus pratique, surtout si les fréquences sont plus denses dans certaines classes comparées à d’autres.
b. Dans quel intervalle se situe le prix médian de ces ventes ?
Calcul du cumul des fréquences à partir du tableau :
– \(0 + 8 = 8\)
– \(8 + 12 = 20\)
– \(20 + 25 = 45\)
– \(45 + 15 = 60\)
Médiane est la \(38 / 2 = 19.5\)-ième observation.
En utilisant l’histogramme, on remarque que la 19.5ème observation tombe dans la classe \([20,40[\).
Ainsi, l’intervalle contenant le prix médian est \([20,40[\).
Exercice 141 : pourcentages
1°a. Dans le village \( S \), 60\% des 135 familles consultées ont répondu « oui ». Calculons le nombre de familles favorables :
\[
0,60 \times 135 = 81
\]
Donc, 81 familles dans le village \( S \) sont favorables à ce projet.
b. Dans le village \( T \), il y a 182 réponses favorables sur les 416 familles consultées. Calculons le pourcentage de « oui » :
\[
\frac{182}{416} \times 100 = 43,75\%
\]
Donc, le pourcentage de « oui » pour le village \( T \) est de 43,75\%.
2°. La décision d’aménager la piste cyclable ne peut être prise qu’avec l’accord de la majorité des familles consultées des deux villages. Calculons la majorité des deux villages ensemble :
Nombre total de familles consultées :
\[
135 + 416 = 551
\]
Nombre total de familles favorables :
\[
81 + 182 = 263
\]
Pourcentage du total :
\[
\frac{263}{551} \times 100 \approx 47,73\%
\]
Comme 47,73\% est inférieur à 50\%, la majorité des familles n’est pas en faveur du projet.
Donc, la piste cyclable ne sera pas réalisée.
Exercice 142 : programme de calcul
1°. Montrer que si le nombre de départ est \(-2\), on obtient comme résultat \(-8\).
Commençons par appliquer les différentes étapes du programme de calcul avec \(x = -2\) :
– Choisir un nombre : \( -2 \)
– Lui ajouter 3 :
\[ -2 + 3 = 1 \]
– Multiplier cette somme par 4 :
\[ 1 \times 4 = 4 \]
– Enlever 12 au résultat obtenu :
\[ 4 – 12 = -8 \]
Ainsi, si le nombre de départ est \(-2\), on obtient le résultat \(-8\).
2°. Calculer la valeur exacte du résultat lorsque le nombre choisi est \(\frac{1}{3}\).
Appliquons les étapes du programme de calcul avec \(x = \frac{1}{3}\) :
– Choisir un nombre : \(\frac{1}{3}\)
– Lui ajouter 3 :
\[ \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{3} + \frac{9}{3} = \frac{10}{3} \]
– Multiplier cette somme par 4 :
\[ \frac{10}{3} \times 4 = \frac{40}{3} \]
– Enlever 12 au résultat obtenu :
\[ \frac{40}{3} – 12 = \frac{40}{3} – \frac{36}{3} = \frac{4}{3} \]
Donc, le résultat est \(\frac{4}{3}\).
3°. a. À votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au résultat final ?
Pour passer directement du nombre \(x\) choisi au départ au résultat final, résumons le programme de calcul par une seule expression. Notons \(y\) le résultat final.
Observons les étapes du programme :
1. Choisir un nombre : \(x\)
2. Lui ajouter 3 : \(x + 3\)
3. Multiplier cette somme par 4 : \(4(x + 3) = 4x + 12\)
4. Enlever 12 au résultat obtenu : \(4x + 12 – 12 = 4x\)
On constate ainsi que le programme de calcul peut être réduit à la formule :
\[ y = 4x \]
b. Démontrer votre réponse.
Pour démontrer que le programme de calcul est équivalent à la formule \( y = 4x \), reprenons chaque étape et montrons qu’elle respecte cette formule :
Nous retrouvons bien l’expression \( y = 4x \), ce qui montre que cette formule est correcte pour passer du nombre initial au résultat final en une seule étape.
Exercice 143 : questionnaire à choix multiples (QCM)
1. Réponse C
\[ \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \]
2. Réponse A
\[ \text{Si deux surfaces ont la même aire alors elles sont superposables.} \]
3. Réponse C
\[ \text{L’enquête ne peut pas l’aider.} \]
5. Réponse B
\[ \text{Un escargot parcourt 30 cm en 8 minutes sa vitesse est de } \frac{30 \text{ cm}}{8 \text{ min}} = 3,75 \frac{\text{cm}}{\text{min}}. \]
Exercice 144 : statistiques
1°) Calcul de la moyenne de chaque lanceur :
Pour Charles :
\[
\text{Étendue de Charles} = 81.2 – 68.9 = 12.3 \text{ m}
\]
Paul Bonchoix doit sélectionner Charles car son étendue (12.3 m) est plus petite que celle d’Alexis (28.9 m), ce qui reflète une plus grande régularité.
Pour Charles (les valeurs triées sont : 68.9, 72.3, 73.1, 79.5, 81.2) :
\[
\text{Médiane de Charles} = 73.1 \text{ m} \quad \text{(la valeur centrale)}
\]
Paul Bonchoix doit sélectionner Alexis car sa médiane (78.5 m) est supérieure à celle de Charles (73.1 m).
Exercice 145 : probabilités et statistiques
1°) Pour obtenir le nombre de perles vertes à partir des informations données dans l’énoncé, quelle formule doit-il saisir en D3 ?
Parmi les quatre formules proposées, il s’agit de :
\[ \frac{220 \times 35}{100} \]
2°) Compléter le tableau qui se trouve sur l’annexe du sujet.
– Nombre de perles grises : \( 220 – 77 = 143 \)
– Nombre de perles vertes : \( 77 \)
– Nombre de perles baroques vertes : \( 77 – 13 = 64 \)
– Nombre de perles baroques : \( 176 \)
– Nombre de perles rondes : \( 220 – 176 = 44 \)
3°) Au niveau 10, le chasseur aura autant de points que le guerrier.
\[ h(10) = 10 + 40 = 50 \]
4°) On associe les fonctions aux personnages :
– \( f(x) = 3x \) : correspond au mage
– \( g(x) = 50 \) : correspond au guerrier
– \( h(x) = x + 40 \) : correspond au chasseur
5°) Tracer les deux droites pour les fonctions \( f \) et \( h \) dans le repère de l’annexe (le graphique de la fonction \( g \) est déjà tracé).
Pour \( f(x) = 3x \), c’est une droite qui passe par l’origine avec une pente de 3.
Pour \( h(x) = x + 40 \), c’est une droite qui coupe l’axe des ordonnées à 40 et a une pente de 1.
6°) À l’aide du graphique, nous déterminons que le mage devient le plus fort à partir du niveau où l’ordonnée de la droite \( f(x) \) dépasse celle de la droite \( g(x) \). Alors,
\[ 3x > 50 \]
\[ x > \frac{50}{3} \approx 16.67 \]
Ainsi, le mage devient le plus fort à partir du niveau 17.
Exercice 147 : fonction et problème
1.
\begin{enumerate}
\item De quelle hauteur la flèche est-elle tirée ?
La flèche est tirée d’une hauteur initiale de \(1\) mètre, comme on peut le lire sur l’axe des ordonnées au niveau de l’origine (lorsque \(x = 0\)).
\item À quelle distance de Julien la flèche retombe-t-elle au sol ?
La flèche retombe au sol à une distance horizontale de \(10\) mètres de Julien. On observe que la courbe coupe l’axe des abscisses \(x\) en \(x= 10\).
\item Quelle est la hauteur maximale atteinte par la flèche ?
La hauteur maximale atteinte par la flèche est de \(2.25\) mètres, comme on peut le lire au sommet de la parabole (point le plus haut de la courbe).
\end{enumerate}
2.
\begin{enumerate}
\item[a)] Calculer \(f(5)\) et \(f(4)\).
\item[b)] La flèche s’élève-t-elle à plus de \(3\) m de hauteur ? Justifier.
Oui, la flèche s’élève à plus de \(3\) mètres de hauteur. La valeur maximale de \(f(x)\) est atteinte au sommet de la parabole. Calculons cette valeur en trouvant le sommet de la parabole :
La coordonnée en \(x\) du sommet d’une parabole de la forme \(ax^2 + bx + c\) est donnée par \(\frac{-b}{2a}\). Donc, nous avons :
\textbf{3. Les élèves de 3e doivent effectuer 4 tours de parcours. Calculer la longueur totale de leur course.}
La longueur totale de la course pour 4 tours est :
\[
4 \times 1152\,m = 4608\,m
\]
\textbf{4. Jimmy, le vainqueur de la course des garçons de 3ème a effectué sa course en 10 minutes et 42 secondes. Calculer sa vitesse moyenne et l’exprimer en m/s. Arrondir au centième près.}
\[
v = \frac{\text{distance}}{\text{temps}} = \frac{4608\,m}{642\,s} \approx 7.18 \, m/s
\]
\textbf{5. Si Jimmy maintenait sa vitesse moyenne, penses-tu qu’il pourrait battre le champion Christophe qui a gagné dernièrement la course sur 15 km des Foulées du Revermont en 55 minutes et 11 secondes ?}
La vitesse de Jimmy est de \( 7.18 \, m/s \) et celle de Christophe est de \( 4.53 \, m/s \). Donc, à vitesse constante, Jimmy pourrait battre Christophe sans problème.
Exercice 150 : programme de calcul
1. Montrer que si on applique le programme A au nombre 10, le résultat est 190.
Programme A :
1. Choisir un nombre \( n \), ici \( n = 10 \).
2. Soustraire \( 0,5 \) à ce nombre, ce qui donne \( 10 – 0,5 = 9,5 \).
3. Multiplier le résultat par le double du nombre choisi, soit \( 9,5 \times (2 \times 10) = 9,5 \times 20 = 190 \).
Donc, le résultat est bien 190.
Appliquer le programme B au nombre 10.
Programme B :
1. Choisir un nombre \( n \), ici \( n = 10 \).
2. Calculer son carré, soit \( 10^2 = 100 \).
3. Multiplier ce résultat par 2, soit \( 2 \times 100 = 200 \).
4. Soustraire à ce nouveau résultat le nombre choisi au départ, soit \( 200 – 10 = 190 \).
Donc, le résultat est aussi 190.
2. a. Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule C2 puis recopiée vers le bas ?
La cellule C2 contient la formule du programme A. Soit \( n \) le nombre choisi, la formule est :
\[ B2 = (A2 – 0.5) \times (2 \times A2) \]
ou en notation Excel :
\[ C2 = (A2 – 0.5) * (2 * A2) \]
b. Quelle conjecture peut-on faire à la lecture de ce tableau ?
Les résultats des programmes A et B semblent être égaux pour tous les nombres choisis.
c. Prouver cette conjecture.
Soit \( n \) le nombre choisi. On va exprimer les résultats des programmes de manière générale.
Pour le programme A :
\[ \text{Résultat}_A = (n – 0.5) \times (2n) \]
Pour le programme B :
\[ \text{Résultat}_B = 2n^2 – n \]
On constate que \(\text{Résultat}_A = \text{Résultat}_B\), ce qui prouve que les résultats sont effectivement égaux pour tout \( n \).
3. Quels sont les deux nombres à choisir au départ pour obtenir 0 à l’issue de ces programmes ?
Pour le programme A :
\[ (n – 0.5) \times (2n) = 0 \]
Cela signifie que l’un des facteurs doit être égal à 0 :
\[ n – 0.5 = 0 \quad \text{ou} \quad 2n = 0 \]
\[ n = 0.5 \quad \text{ou} \quad n = 0 \]
Pour le programme B :
\[ 2n^2 – n = 0 \]
Factorisons :
\[ n(2n – 1) = 0 \]
Cela signifie que l’un des facteurs doit être égal à 0 :
\[ n = 0 \quad \text{ou} \quad 2n – 1 = 0 \]
\[ n = 0 \quad \text{ou} \quad n = \frac{1}{2} \]
Donc, pour obtenir 0 à l’issue de ces programmes, les nombres à choisir au départ sont \( n = 0 \) et \( n = 0,5 \).
Voir Exercices 141 à 150 ...
Exercice 151 : une randonnée en montagne et fonctions
1. Ce graphique ne traduit pas une situation de proportionalité. En effet, une situation de proportionnalité entre \( x \) et \( y \) se caractérise par une relation du type \( y = kx \) où \( k \) est une constante. Cela se traduirait graphiquement par une droite passant par l’origine (0,0). Or, ici, la courbe n’est pas linéaire et ne forme pas une droite passant par l’origine.
2.
a. La durée totale de cette randonnée est de 7 heures, comme le montre l’axe des abscisses.
b. La distance totale parcourue par cette famille est de 24 km, comme indiqué par le point final de la courbe sur l’axe des ordonnées.
c. Au bout de 6 heures de marche, la famille a parcouru 20 km, comme on peut le voir sur le graphique.
d. La famille a parcouru les 8 premiers km en 2 heures ; on peut lire ce point d’intersection sur le graphique.
e. Entre la 4ème et la 5ème heure de la randonnée, la famille ne parcourt aucune distance supplémentaire (une ligne horizontale), ce qui signifie qu’ils se sont probablement arrêtés pendant cette période.
3. Un randonneur expérimenté qui marche à une vitesse moyenne de \(4\) km/h sur toute la randonnée aurait parcouru au bout de \(7\) heures une distance de \(4 \times 7 = 28\) km. Comme la famille n’a parcouru que \(24\) km en \(7\) heures, cette famille n’est donc pas expérimentée au sens où leur vitesse moyenne est inférieure à \(4\) km/h. En fait, leur vitesse moyenne est \(\frac{24 \text{ km}}{7 \text{ h}} \approx 3.43 \text{ km/h}\).
Exercice 152 : le cerf-volant de Thomas
1. $$Montrer que la hauteur CH du cerf-volant est égale à 9 m.$$
On sait que Thomas fait 20 pas pour parcourir la distance TH, chaque pas mesurant 0,6 m.
La distance \( TH \) est donc :
\[ TH = 20 \times 0{,}6 = 12 \, m \]
Nous avons un triangle rectangle \( THC \) où \( TH \) est la base et \( CH \) est la hauteur recherchée. Utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle \( THC \) :
\[ TC^2 = TH^2 + CH^2 \]
Ainsi, la hauteur \( CH \) du cerf-volant est bien \( 9 \, m \).
2. $$Thomas souhaite que son cerf-volant atteigne une hauteur \( EF = 13,5 \, m \).$$
a. $$Démontrer que \( \triangle THC \) et \( \triangle TFE \) sont des triangles semblables.$$
Les triangles \( THC \) et \( TFE \) sont des triangles rectangles avec un angle droit en \( H \) et en \( F \) respectivement. De plus, ils partagent un angle commun à \( T \).
D’après le critère d’égalité de deux triangles (AA), deux triangles qui ont deux angles égaux sont semblables. Donc, \( \triangle THC \) et \( \triangle TFE \) sont bien semblables par leur angle droit et l’angle commun \( T \).
b. $$Calculer la longueur \( TE \) de la corde nécessaire.$$
Comme les triangles \( THC \) et \( TFE \) sont semblables, les rapports de leur longueurs correspondantes sont égaux :
\[ \frac{CH}{EF} = \frac{TC}{TE} \]
On connaît \( CH = 9 \, m \), \( EF = 13.5 \, m \) et \( TC = 15 \, m \). Il faut trouver \( TE \).
Remplaçons les valeurs :
\[ \frac{9}{13.5} = \frac{15}{TE} \]
Simplifions le premier rapport :
\[ \frac{2}{3} = \frac{15}{TE} \]
Résolvons pour \( TE \) :
\[ TE = 15 \times \frac{3}{2} \]
\[ TE = 22.5 \, m \]
La longueur \( TE \) de la corde nécessaire est donc \( 22.5 \, m \).
4. \(1 \, h \, 10 \, min = 1,1667 \, h\)
Distance = Vitesse \(\times \) Temps = \(60 \, km/h \times 1,1667 \, h \approx 70 \, km\)
Réponse : 70 km
5. Salle 1 : 200 personnes, 40% femmes \(\Rightarrow 0,4 \times 200 = 80\) femmes
Salle 2 : 160 personnes, 50% femmes \(\Rightarrow 0,5 \times 160 = 80\) femmes
Donc, il y a autant de femmes dans les deux salles
Réponse : Il y a autant de femmes dans les deux salles.
Exercice 154 : le mur de photos de Lila
$$Correction de l’exercice de mathématiques$$
1. Elle achète des plaques de liège qui s’assemblent pour former un carré comme ci-contre :
a. L’image du polygone 1 par la symétrie centrale de centre \(O\) est le polygone 3.
b. L’image du polygone 4 par la rotation de centre \(O\), d’angle 90°, sens horaire est le polygone 1.
2. La figure en annexe (voir la dernière page) est une partie du pavage obtenu à partir du carré de base \(ABCD\).
a. La transformation qui transforme le polygone 1 en polygone 5 est la translation de vecteur \(\vec{AD}\).
b. L’image du polygone 5 par la translation qui transforme \(A\) en \(C\) est le polygone 7. Donc, le polygone 5 est colorié en vert.
c. L’image du polygone 5 par la symétrie centrale de centre \(C\) est le polygone 7. Donc, le polygone 5 est colorié en bleu.
—
Voici les équations en LaTeX pour chaque question nécessitant une transformation géométrique :
1. a. Symétrie centrale de centre \(O\):
\[
\text{Image du polygone 1 par la symétrie centrale de centre } O : \text{Polygone 3}
\]
b. Rotation de centre \(O\), d’angle \(90^\circ\), sens horaire:
\[
\text{Image du polygone 4 par la rotation de centre } O \text{ et d’angle } 90^\circ : \text{Polygone 1}
\]
2. a. Translation de vecteur \(\vec{AD}\):
\[
\text{Transformation du polygone 1 en polygone 5 : Translation de vecteur } \vec{AD}
\]
b. Translation qui transforme \(A\) en \(C\):
\[
\text{Image du polygone 5 par la translation de } A \text{ en } C : \text{Polygone 7}
\]
\[
\text{Polygone 5 en vert}
\]
c. Symétrie centrale de centre \(C\):
\[
\text{Image du polygone 5 par la symétrie centrale de centre } C : \text{Polygone 7}
\]
\[
\text{Polygone 5 en bleu}
\]
Exercice 155 : problèmes de trigonométrie
\begin{enumerate}
\item Considérons le triangle rectangle \(ABC\) avec \(\angle CAB = 3^\circ\) et \(BC = 30 \text{ cm}\). Pour trouver la longueur \(AB\), nous utiliserons la relation dans le triangle rectangle :
\[
\tan(\angle CAB) = \frac{BC}{AB}
\]
\[
AB = \frac{BC}{\tan(\angle CAB)} = \frac{30}{\tan(3^\circ)}
\]
Calculons :
\[
\tan(3^\circ) \approx 0.0524
\]
\[
AB = \frac{30}{0.0524} \approx 572.52 \text{ cm}
\]
Arrondi au centimètre près, on obtient :
\[
AB \approx 573 \text{ cm}
\]
\item Pour calculer l’angle d’inclinaison \( \angle APC \), nous considérons le triangle \(PAC\) qui est rectangle en \(A\). Connaissant \(PA = 6 \text{ m}\) et \(AC = 2.13 \text{ m}\), nous cherchons l’angle \( \angle APC \) :
\[
\tan(\angle APC) = \frac{AC}{PA}
\]
\[
\angle APC = \tan^{-1} (\frac{2.13}{6} )
\]
Calculons :
\[
\frac{2.13}{6} \approx 0.355
\]
\[
\angle APC \approx \tan^{-1}(0.355) \approx 19.57^\circ
\]
Arrondi au degré près, on obtient :
\[
\angle APC \approx 20^\circ
\]
\end{enumerate}
Exercice 156 : la piscine cylindrique
\textbf{Correction de l’exercice :}
1. $$Volume de la piscine :$$
Selon le document 4, le volume d’un cylindre est donné par la formule :
\[ V = \pi \times r^2 \times h \]
Avec \( r = \frac{260}{2} = 130 \) cm = 1,3 m et \( h = 65 \) cm = 0,65 m :
\[ V = \pi \times (1,3)^2 \times 0,65 \]
\[ V \approx 3,45 \, \text{m}^3 \]
2. $$Coût de remplissage de la piscine :$$
Selon le document 3, le prix d’un mètre cube d’eau est de 2,03 €.
Le budget de la famille est de 200 €. Le coût total pour l’achat de la piscine et les frais de fonctionnement est d’environ 149,59 €, ce qui est inférieur à leur budget. La famille a donc suffisamment de budget pour l’achat de la piscine et les frais de fonctionnement.
Exercice 157 : programmes de calcul avec Scratch
P1 :
\[
\begin{cases}
\text{mettre } pas \to 100 \\
\text{répéter 8 fois} \\
\quad \begin{cases}
\text{avancer de } \text{pas} \\
\text{tourner de } 90^\circ \\
\end{cases} \\
\text{mettre } pas \to \text{pas} + 10 \\
\end{cases}
\]
Le programme P1 effectue un carré, chaque côté augmentant de 10 unités à chaque itération. Cela correspond à la sortie S1.
P2 :
\[
\begin{cases}
\text{mettre } pas \to 10 \\
\text{répéter 8 fois} \\
\quad \begin{cases}
\text{avancer de } \text{pas} \\
\text{tourner de } 90^\circ \\
\end{cases} \\
\text{mettre } pas \to \text{pas} + 10 \\
\end{cases}
\]
Le programme P2 effectue un carré de longueur de côté fixe (10 unités à chaque fois). Cela correspond à la sortie S2.
P3 :
\[
\begin{cases}
\text{mettre } pas \to 100 \\
\text{répéter 8 fois} \\
\quad \begin{cases}
\text{avancer de } \text{pas} \\
\text{tourner de } 90^\circ \\
\end{cases} \\
\text{mettre } pas \to \text{pas} – 10 \\
\end{cases}
\]
Le programme P3 effectue un carré, chaque côté diminuant de 10 unités à chaque itération. Cela correspond à la sortie S3.
En résumé :
– P1 correspond à S1
– P2 correspond à S2
– P3 correspond à S3
Exercice 158 : le coût des déplacements professionnels
1. Pour vérifier le remboursement pour un trajet de 30 km :
– Pour une distance de 17 km à 32 km, le forfait est de $$0.250 €$$ et l’indemnité par km est de $$0.216 €$$.
Calculons le montant total du remboursement :
\[
\text{remboursement} = \text{forfait} + \text{distance} \times \text{indemnité par km}
\]
\[
\text{remboursement} = 0.250 + 30 \times 0.216
\]
\[
\text{remboursement} = 0.250 + 6.48 = 6.73 \, \text{€}
\]
Le remboursement est donc de 6,73 €, ce qui est proche des 6,75 € indiqués.
2. Pour le déplacement Nantes – Paris, soit 386 km :
– Pour une distance de 301 km à 499 km, le forfait est de $$13.651 €$$ et l’indemnité par km est de $$0.103 €$$.
Total des dépenses :
\[
\text{dépenses totales} = 37 + 36.43 = 73.43 \, \text{€}
\]
Comparaison avec le remboursement :
Le remboursement de 53.409 € est inférieur aux dépenses de 73.43 €.
En conclusion, le montant du remboursement ne sera pas suffisant pour couvrir les dépenses de Claude.
Exercice 159 : un silo à grains pour céréales
1. Calculer la longueur \( DO \) de l’ascenseur à blé :
\[
DO = DS + SO
\]
\[
DO = 8{,}50 \, \text{m} + 20{,}40 \, \text{m}
\]
\[
DO = 28{,}90 \, \text{m}
\]
2. Calculer la hauteur \( P_1 P_2 \) du pilier :
\[
P_1 P_2 = ST – SI
\]
\[
P_1 P_2 = 2{,}50 \, \text{m} – 1{,}40 \, \text{m}
\]
\[
P_1 P_2 = 1{,}10 \, \text{m}
\]
3. Calculer la masse maximale de blé pouvant être stockée dans le silo :
Tout d’abord, calculons le volume \( V \) du cylindre :
\[
V = \pi R^2 h
\]
Avec \( R = 2{,}50 \, \text{m} \) et \( h = 9 \, \text{m} \), on obtient :
\[
V = \pi \times (2{,}50)^2 \times 9
\]
\[
V = \pi \times 6{,}25 \times 9
\]
\[
V = 56{,}25 \pi \, \text{m}^3
\]
Étant donné qu’un mètre cube de blé pèse environ 800 kg, la masse maximale de blé est :
\[
M = V \times 800
\]
\[
M = 56{,}25 \pi \times 800
\]
\[
M \approx 141\,371 \, \text{kg}
\]
Convertissons en tonnes :
\[
M \approx 141{,}37 \, \text{tonnes}
\]
Ainsi, la masse maximale approximative de blé pouvant être stockée dans le silo est de 141,37 tonnes.
Exercice 160 : qCM sur les fonctions
1. \( g(2) = 18 \)
Réponse : B) 18
2. Pour la fonction \( f \), l’antécédent de 12 est :
\[ 3x = 12 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow \text{Nombre d’antécédents} = 1 \]
Réponse : B) 1 antécédent
3. Pour la fonction \( h \), l’antécédent de 4 peut être :
Sur le graphique, pour \( h(x) = 4 \), \( x = 1 \) ou \( x = 5 \).
Réponse : C) \((1;3)\) (les antécédents sont 1 et 3 pour \( 4 \) mais les coordonnées sont les mêmes pour \( x = 3 \))
4. \( g(-1) = 7 \)
Réponse : C) 7
5. Pour la fonction \( f \), \( 2 \) admet
\[ 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \Rightarrow \text{Nombre d’antécédents} = 1 \]
Réponse : B) 1 antécédent
6. Le point \( M \) a pour coordonnées :
Sur le graphique, \( M \) a des coordonnées : \( (4, -4) \).
Réponse : B) (4; -4)
7. \( g(0) = -1 \)
Réponse : A) -1
8. Pour la fonction \( f \), le nombre \( 9 \)
\[ 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow \text{Nombre d’antécédents} = 1 \]
Réponse : B) 1 antécédent
9. Un antécédent de \( 1 \) pour la fonction \( h \) est
Sur le graphique, pour \( h(x) = 1 \) dans l’intervalle \( x = [0, 1] \) ou \( x = [3, 4] \) :
Réponse : B) Entre \( 3 \) et \( 4 \)
10. Pour la fonction \( h \), l’antécédent de \( 2 \)
Sur le graphique, \( h(4) \neq 2 \).
Réponse : C) \( n’a \text{ pas d’image} \)
Voir Exercices 151 à 160 ...
Exercice 161 : programme de calcul et tableur
1.a.
Montrons que si le nombre choisi est 4, alors le résultat est 20 :
– Étape 1 : Choisir 4.
– Étape 2 : Ajouter 6 à 4. Résultat = \(4 + 6 = 10\).
– Étape 3 : Retrancher 5 à 4. Résultat = \(4 – 5 = -1\).
– Étape 4 : Multiplier les résultats des étapes 2 et 3. Résultat = \(10 \times (-1) = -10\).
– Étape 5 : Ajouter 30 au produit des étapes 2 et 3. Résultat = \(-10 + 30 = 20 \).
Le résultat est donc bien 20.
1.b.
Résolvons le programme de calcul pour un nombre initial de -3 :
– Étape 1 : Choisir -3.
– Étape 2 : Ajouter 6 à -3. Résultat = \(-3 + 6 = 3\).
– Étape 3 : Retrancher 5 à -3. Résultat = \(-3 – 5 = -8\).
– Étape 4 : Multiplier les résultats des étapes 2 et 3. Résultat = \(3 \times (-8) = -24\).
– Étape 5 : Ajouter 30 au produit des étapes 2 et 3. Résultat = \(-24 + 30 = 6 \).
Le résultat est donc 6.
2.a.
Vérifions la remarque de Zoé lorsqu’on choisit 4 :
– Nombre choisi : 4.
– Somme du nombre et de son carré = \(4 + 4^2 = 4 + 16 = 20\).
Le programme donne 20 pour un nombre initial de 4, la remarque de Zoé est correcte pour ce cas.
Vérification pour \(x = -3\) :
– Nombre choisi : -3.
– Somme du nombre et de son carré = \(-3 + (-3)^2 = -3 + 9 = 6\).
Le programme donne 6 pour un nombre initial de -3, la remarque de Zoé est correcte pour ce cas également.
2.b.
Formule à recopier pour automatiser l’étape 4 :
– En B4, la formule pour exécuter l’étape 4 est : `=B2*B3`.
Ensuite, il faut tracer la figure respectant ces dimensions réduites.
2. $$La droite \((AC)\) est-elle parallèle à la droite \((DE)\) ?$$
Pour vérifier si \((AC)\) est parallèle à \((DE)\), nous pouvons utiliser Thalès.
Dans le triangle \(ABC\), si \(D\) appartient à \([BA]\) et \(E\) appartient à \([BC]\), si les rapports des segments sont égaux, alors les droites \( (AC ) \) et \( (DE) \) sont parallèles.
Calculons si les produits croisés des proportions sont égaux :
Les droites (AB) et (DE) sont parallèles, et les points A, C et D sont alignés, tout comme les points B, C et E.
On peut utiliser le théorème de Thalès pour trouver la longueur \( AC \) :
\[
\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{DE}
\]
\( AD = AC + CD = AC + 3,5 \, \text{cm} \).
Étant donné que \( (AB) \parallel (DE) \), nous avons :
\[
\frac{AC}{AC + 3,5} = \frac{1,5}{4,5} = \frac{1}{3}.
\]
Le volume d’une couche de ganache assimilée à un cylindre de diamètre \( 30 \, \text{cm} \) et de hauteur \( 6 \, \text{mm} = 0,6 \, \text{cm} \).
Le volume \( V \) du cylindre est donné par :
\[
V = \pi \times r^2 \times h,
\]
où \( r = \frac{30}{2} = 15 \, \text{cm} \) et \( h = 0,6 \, \text{cm} \).
2.a. La probabilité que l’album choisi porte le numéro 1 :
Il y a 7 séries d’albums. Chaque série a exactement un album portant le numéro 1.
\[ P(\text{numéro 1}) = \frac{\text{nombre de séries}}{\text{nombre total d’albums}} = \frac{7}{365} \]
2.b. La probabilité que l’album choisi porte le numéro 40 :
Trois séries ont au moins 40 albums (« Lucky-Luke », « One-Piece » et « Naruto »). Chaque série a exactement un album portant le numéro 40.
\[ P(\text{numéro 40}) = \frac{3}{365} \]
Exercice 166 : un pavage du plan
$$Partie 1$$
1. Soit \(\widehat{DEK}\) et \(\widehat{DCE}\), les angles à déterminer.
\[
\widehat{DCE} = 90^\circ – \widehat{EDC}
\]
Étant donné que \(\triangle EDC\) est un triangle rectangle isocèle en \(D\), l’angle en \(D\) vaut \(90^\circ\). Chaque angle à la base est donc :
\[
\widehat{DEC} = \widehat{DCE} = 45^\circ.
\]
2. Pour montrer que \([DE] \approx 3,5 \text{ cm}\), nous utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle isocèle rectangle \(DEC\). Puisque \(DE = DC\),
\[
DE^2 = CE^2 + DC^2.
\]
Sachant que \(CE = DC = 5 \text{ cm}\),
\[
DE = \sqrt{CE^2 + DC^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} \approx 7,07 \, \text{cm}.
\]
– L’aire du triangle \(EDC\) est :
\[
A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \times CE \times DC = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12,5 \text{ cm}^2.
\]
Alors, l’aire totale du motif initial est:
\[
A_{\text{total}} = A_{\text{carré}} + A_{\text{triangle}} = 25 \text{ cm}^2 + 12,5 \text{ cm}^2 = 37,5 \text{ cm}^2.
\]
$$Partie 2$$
Pour chaque transformation :
1. Du motif 1 au motif 2 : Translation.
2. Du motif 1 au motif 3 : Rotation de \(270^\circ\).
3. Du motif 1 au motif 4 : Translation puis symétrie.
4. Du motif 2 au motif 3 : Rotation de \(180^\circ\).
$$Partie 3$$
1. Construire en vraie grandeur le motif agrandi et coder la figure.
Comme le rapport d’agrandissement est \(\frac{2}{3}\), les dimensions du carré de côté 5 cm doivent être multipliées par \(\frac{2}{3}\), soit \(5 \times \frac{2}{3} \approx 7.5 \, \text{cm}\). De même pour le triangle \(EDC\).
2. Le coefficient pour l’aire:
\[
(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}.
\]
Donc, pour obtenir l’aire du motif agrandi, multipliez l’aire du motif initial par \(\frac{4}{9}\).
Exercice 167 : activités durant les vacances scolaires
1. Compléter le tableau sur l’annexe 1 :
3. Représenter sur le graphique de l’annexe 2 les données du tableau, en bleu pour le tarif A et en vert pour le tarif B (cette partie nécessite un graphique qui ne peut être réalisé avec du texte seulement).
4. Déterminer par le calcul le nombre de demi-journées d’activités pour lequel le tarif A est égal au tarif B.
Donc, le tarif A est égal au tarif B pour 10 demi-journées.
5. Avec un budget de 100 €, déterminer le nombre maximal de demi-journées auxquelles on peut participer.
Pour le tarif A :
\[
8n \le 100
\]
\[
n \le \frac{100}{8} = 12.5
\]
Donc, on peut participer à 12 demi-journées maximum avec le tarif A.
Pour le tarif B :
\[
30 + 5n \le 100
\]
\[
5n \le 70
\]
\[
n \le \frac{70}{5} = 14
\]
Donc, on peut participer à 14 demi-journées maximum avec le tarif B.
Ainsi, avec un budget de 100 €, le nombre maximal de demi-journées auxquelles on peut participer est de 12 demi-journées avec le tarif A ou 14 demi-journées avec le tarif B.
Exercice 168 : triangles semblables
\section*{Correction de l’exercice}
\textbf{1. Démontrer que les triangles JBM et JIK sont semblables. Préciser les côtés homologues.}
Pour démontrer que les triangles \( \triangle JBM \) et \( \triangle JIK \) sont semblables, nous devons prouver que leurs angles correspondants sont égaux.
1. On sait que \( \angle BJM = \angle IJK \). Ces deux angles sont alternes-internes et donc égaux.
2. De plus, \( \angle JBM = \angle JIK \) car ils sont opposés par le sommet.
Les longueurs sont donc :
– \( BJ = 3,6 \, \text{cm} \)
– \( KI = 13,75 \, \text{cm} \)
Exercice 169 : des étiquettes de prix et pourcentages
Pour chacune des étiquettes, nous devons calculer le montant de la réduction, puis soustraire cette réduction du prix initial pour obtenir le nouveau prix.
2. Nouveau prix :
\[
\text{Nouveau prix} = 35 – 7 = 28 \, \text{€}
\]
$$Jean : Nouveau prix : 57 € | Réduction : 40%$$
1. Calcul de la réduction :
\[
\text{Soit } P \text{ le prix initial du jean}.
\]
\[
P \times (1 – 0.40) = 57
\]
\[
P \times 0.60 = 57
\]
\[
P = \frac{57}{0.60} = 95 \, \text{€}
\]
Donc, la fraction représentant les élèves indécis est :
\[ \frac{2}{15} \]
3) On sait maintenant qu’il y a 16 élèves indécis. Calculons le nombre total d’élèves en troisième.
Soit \( N \) le nombre total d’élèves en troisième.
D’après l’énoncé, la fraction des élèves indécis est \(\frac{2}{15}\), ce qui nous donne :
\[ \frac{2}{15} \times N = 16 \]
Résolvons pour \( N \) :
\[ N = \frac{16 \times 15}{2} = 8 \times 15 = 120 \]
Donc, le nombre total d’élèves en troisième est de 120.
4) Supposons que 120 élèves soient en troisième.
a) Calculer le nombre d’élèves en cycle court :
\[ \frac{1}{5} \times 120 = 24 \]
b) Calculer le nombre d’élèves qui poursuivent leurs études :
\[ \frac{2}{3} \times 120 = 80 \]
Voir Exercices 161 à 170 ...
Exercice 171 : deux programmes de calcul
1) Démonstration que le résultat du programme A avec 2 comme nombre de départ est 10.
\[
\text{Nombre de départ} = 2
\]
\[
\text{Étape 1 : Multiplier par 6} \quad 2 \times 6 = 12
\]
\[
\text{Étape 2 : Enlever 2} \quad 12 – 2 = 10
\]
2) Résultat du programme B avec -5 comme nombre de départ.
\[
\text{Nombre de départ} = -5
\]
\[
\text{Étape 1 : Ajouter 3} \quad -5 + 3 = -2
\]
\[
\text{Étape 2 : Multiplier par -4} \quad -2 \times (-4) = 8
\]
3) a) Nombre à choisir pour obtenir 40 avec le programme A.
\[
6x – 2 = 40
\]
\[
6x = 42
\]
\[
x = 7
\]
b) Nombre à choisir pour obtenir 24 avec le programme B.
\[
-4(x + 3) = 24
\]
\[
x + 3 = -6
\]
\[
x = -9
\]
4) Nombre à choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes.
\[
\text{Programme A :} \quad 6x – 2
\]
\[
\text{Programme B :} \quad -4(x + 3)
\]
\[
6x – 2 = -4(x + 3)
\]
\[
6x – 2 = -4x – 12
\]
\[
10x = -10
\]
\[
x = -1
\]
Exercice 172 : une association de cyclistes
1. D’après ce tableau, David a parcouru 42 km.
2. Pour calculer les vitesses moyennes de David et de Gwenn, on utilise la formule :
\[ \text{Vitesse moyenne} = \frac{\text{Distance parcourue}}{\text{Durée}} \]
Pour David:
\[ \text{Vitesse moyenne de David} = \frac{42 \text{ km}}{3 \text{ h}} = 14 \text{ km/h} \]
Pour Gwenn:
\[ \text{Vitesse moyenne de Gwenn} = \frac{27 \text{ km}}{1,5 \text{ h}} = 18 \text{ km/h} \]
3. Afin d’automatiser les calculs dans la feuille de tableur :
a) Le nombre qu’il doit saisir dans la cellule E3 pour renseigner le temps de Yassin est:
\[ = \frac{35 \text{ km}}{17,5 \text{ km/h}} = 2 \text{ h} \]
b) Il doit saisir 1,6 dans la cellule F3 pour renseigner le temps de Zoé parce que :
\[ = \frac{42 \text{ km}}{26,25 \text{ km/h}} \approx 1,6 \text{ h} \]
c) La formule de tableur qu’il peut saisir dans la cellule B4 avant de l’étirer sur la ligne 4 est:
\[ =\frac{B2}{B3} \]
4. Pour Stefan qui a fait le circuit de 35 km à la vitesse moyenne de 25 km/h, le temps nécessaire pour faire sa randonnée est calculé en utilisant la formule:
\[ \text{Durée} = \frac{\text{Distance parcourue}}{\text{Vitesse moyenne}} \]
Stefan a donc mis 1 heure et 24 minutes pour faire sa randonnée.
Exercice 173 : des programmes de calcul
$$Correction de l’exercice$$
1. $$On choisit 8 comme nombre de départ.$$
1. (a) \textit{Calculer le résultat obtenu avec le programme A.}
Avec le programme A :
\[
(8 + 2) \times 8 = 10 \times 8 = 80
\]
1. (b) \textit{Calculer le résultat obtenu avec le programme B.}
Avec le programme B :
\[
8^2 + 2 \times 8 = 64 + 16 = 80
\]
2. $$On choisit -7 comme nombre de départ.$$
\textit{Quel est le résultat obtenu avec chacun des deux programmes ?}
Avec le programme A :
\[
(-7 + 2) \times (-7) = (-5) \times (-7) = 35
\]
Avec le programme B :
\[
(-7)^2 + 2 \times (-7) = 49 – 14 = 35
\]
3. $$On choisit \(\frac{2}{3}\) comme nombre de départ.$$
\textit{Calculer le résultat obtenu avec chacun des deux programmes.}
Avec le programme A :
\[
( \frac{2}{3} + 2 ) \times \frac{2}{3} = ( \frac{2}{3} + \frac{6}{3} ) \times \frac{2}{3} = ( \frac{8}{3} ) \times \frac{2}{3} = \frac{16}{9}
\]
Avec le programme B :
\[
( \frac{2}{3} )^2 + 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} + \frac{4}{3} = \frac{4}{9} + \frac{12}{9} = \frac{16}{9}
\]
4. $$À partir des questions précédentes, que remarque-t-on ? Établir une conjecture.$$
On remarque que, quel que soit le nombre choisi au départ, les résultats des deux programmes sont toujours égaux. On peut donc conjecturer que les deux programmes donnent toujours le même résultat, indépendamment du nombre de départ.
5. $$Prouver que les deux programmes donnent le même résultat quel que soit le nombre choisi au départ.$$
Soit \( x \) le nombre choisi au départ.
Pour le programme A :
\[
(x + 2) \times x = x^2 + 2x
\]
Pour le programme B :
\[
x^2 + 2x
\]
On obtient donc le même résultat dans les deux cas : \( x^2 + 2x \).
Ainsi, on peut conclure que les deux programmes donnent effectivement le même résultat quel que soit le nombre choisi au départ.
Exercice 174 : une urne opaque
1. D’après ce graphique, on a réalisé 10 000 tirages dans l’urne.
2. Non, on n’aurait pas pu arrêter l’expérience après 1 000 tirages pour estimer la probabilité de tirer chacune des couleurs, car les fréquences observées n’étaient pas encore suffisamment stabilisées à ce moment-là pour donner une estimation fiable. On observe sur le graphique que les fréquences continuent de fluctuer avant de se stabiliser autour de 4 000 à 5 000 tirages.
3. La couleur la plus présente dans l’urne est la couleur rouge. En effet, la fréquence de la couleur rouge est la plus élevée et stable autour de 50 % après 5 000 tirages.
4. D’après le graphique, on peut estimer les probabilités d’obtenir chacune des couleurs comme suit :
\[
P(\text{Rouge}) \approx 0.5 \quad (50\%)
\]
\[
P(\text{Bleu}) \approx 0.3 \quad (30\%)
\]
\[
P(\text{Vert}) \approx 0.2 \quad (20\%)
\]
5. Si l’urne contient 10 jetons, nous pouvons utiliser les estimations de probabilités pour déterminer la répartition des jetons :
\[
\text{Nombre de jetons rouges} \approx 0.5 \times 10 = 5
\]
\[
\text{Nombre de jetons bleus} \approx 0.3 \times 10 = 3
\]
\[
\text{Nombre de jetons verts} \approx 0.2 \times 10 = 2
\]
Ainsi, d’après les estimations de la question 4, l’urne contiendrait environ 5 jetons rouges, 3 jetons bleus et 2 jetons verts.
Exercice 175 : des élèves et l’épreuve de cross
Pour déterminer la longueur totale du parcours \(ABCDE\), nous devons trouver les valeurs de chaque segment qui constituent ce parcours, à savoir \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\) et \(EA\), puis les additionner.
Étant donné :
– \(BC = 500 \, \text{m}\)
– \(AC = 300 \, \text{m}\)
– \(CD = AC \times 2\)
– \(BE = AB \times 2\)
Il faut également noter que le parcours est formé par les segments \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\) et \(EA\), où \(DE\) est la ligne droite \(BE\).
Calculons les segments manquants :
1. $$Calcul de \(AB\) en utilisant le triangle rectangle \( \triangle ABC \)$$ :
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]
\[
AB^2 = 300^2 + 500^2
\]
\[
AB^2 = 90000 + 250000
\]
\[
AB^2 = 340000
\]
\[
AB = \sqrt{340000}
\]
\[
AB = 100\sqrt{34} \, \text{m}
\]
2. $$Calcul de \(CD\) :$$
\[
CD = 2 \times AC
\]
\[
CD = 2 \times 300
\]
\[
CD = 600 \, \text{m}
\]
3. $$Calcul de \(BE\) :$$
\[
BE = 2 \times AB
\]
\[
BE = 2 \times 100\sqrt{34}
\]
\[
BE = 200\sqrt{34} \, \text{m}
\]
4. $$Le segment \(DE\) est égal à \(BE\) :$$
\[
DE = BE = 200\sqrt{34} \, \text{m}
\]
5. $$Calcul de \(EA\) :$$
\( EA \) est déjà donné comme étant égal à \( AC \), soit :
\[
EA = 300 \, \text{m}
\]
Maintenant, additionnons toutes les longueurs des segments pour obtenir la longueur totale du parcours \(ABCDE\) :
\[
ABCD = AB + BC + CD + DE + EA
\]
\[
= 100\sqrt{34} + 500 + 600 + 200\sqrt{34} + 300
\]
\[
= 300\sqrt{34} + 1400
\]
Comme \( \sqrt{34} \approx 5.83\), on peut remplacer :
\[
300\sqrt{34} \approx 300 \times 5.83 = 1749
\]
Donc, la longueur totale du parcours \(ABCDE\) est approximativement :
\[
1749 + 1400 = 3149 \, \text{m}
\]
Exercice 176 : un artisan et des bougies
\begin{enumerate}
\item La quantité de cire nécessaire pour fabriquer une bougie peut être calculée en trouvant le volume du cylindre.
Le volume \( V \) d’un cylindre est donné par la formule :
\[
V = \pi r^2 h
\]
où \( r \) est le rayon de la base et \( h \) est la hauteur du cylindre. Ici, \( r = 3 \) cm et \( h = 15 \) cm.
\[
V = \pi \times (3)^2 \times 15 = \pi \times 9 \times 15 = 135\pi \text{ cm}^3
\]
En approximant \(\pi \) à 3,14 :
\[
V \approx 135 \times 3,14 = 423,90 \text{ cm}^3
\]
Donc, la quantité de cire nécessaire pour fabriquer une bougie est d’environ \( 423,90 \text{ cm}^3 \).
\item Le stock de cire est de 10 litres. Sachant que \( 1 \text{ litre} = 1000 \text{ cm}^3 \), le stock total en cm³ est :
\[
10 \text{ litres} = 10 \times 1000 \text{ cm}^3 = 10000 \text{ cm}^3
\]
Le nombre de bougies que l’artisan peut fabriquer avec ce stock est alors :
\[
\text{Nombre de bougies} = \frac{10000 \text{ cm}^3}{423,90 \text{ cm}^3} \approx 23,6
\]
Comme on ne peut pas fabriquer une fraction de bougie, l’artisan peut fabriquer au maximum 23 bougies.
\item Pour Noël 2016, l’artisan avait vendu 550 bougies. Pour Noël 2017, il espère en vendre 20 \% de plus.
\[
550 \times 0,20 = 110
\]
Donc, le nombre supplémentaire de bougies qu’il espère vendre est 110. Le nombre total de bougies qu’il espère vendre pour Noël 2017 est donc :
\[
550 + 110 = 660
\]
Ainsi, l’artisan espère vendre 660 bougies pour Noël 2017.
\end{enumerate}
Exercice 177 : une étagère et un mur vertical
Pour déterminer si l’étagère est bien supportée et reste horizontale, nous devons regarder si la configuration des forces forme un triangle rectangle, ce qui garantirait une stabilité parfaite de l’étagère.
D’après le problème, nous avons :
– la longueur de l’étagère \( AB = 60 \text{ cm} \)
– la longueur du support \( BC = 100 \text{ cm} \)
– la distance mesurée entre le point de fixation du support et le point où est fixée l’étagère \( AC = 80 \text{ cm} \)
La question revient donc à vérifier si ces longueurs satisfont le théorème de Pythagore. D’après ce théorème, dans un triangle rectangle de côtés \( a \), \( b \) et d’hypoténuse \( c \), nous avons :
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Si nous considérons \( AB \) et \( AC \) comme les deux côtés de l’angle droit et \( BC \) comme l’hypoténuse, nous devons vérifier :
Ensuite, vérifions si la somme de \( AB^2 \) et \( AC^2 \) donne \( BC^2 \) :
\[ AB^2 + AC^2 = 3600 + 6400 = 10000 \]
Nous trouvons que :
\[ 10000 = BC^2 \]
Cette égalité montre que le support fait avec l’étagère et le mur un triangle rectangle. Par conséquent, l’étagère est bien horizontale grâce au support.
Ainsi, Chloé a raison en affirmant que l’étagère est bien horizontale et que le livre ne risque pas de tomber.
Exercice 178 : un sac opaque et des jetons
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de tirer un jeton rouge est de \(20\%\).
\begin{itemize}
\item Nombre total de jetons dans le sac : \(8 + 5 + 7 + 15 = 35\).
\item Nombre de jetons rouges : \(7\).
\item La probabilité \(P(\text{rouge})\) est donnée par :
\[
P(\text{rouge}) = \frac{\text{Nombre de jetons rouges}}{\text{Nombre total de jetons}} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}
\]
\item En pourcentage :
\[
P(\text{rouge}) = \frac{1}{5} \times 100 = 20\%
\]
\end{itemize}
\item Quelle est la probabilité de ne rien gagner à ce jeu ?
\begin{itemize}
\item Ne rien gagner signifie tirer un jeton marron.
\item Nombre de jetons marrons : \(15\).
\item La probabilité \(P(\text{marron})\) est donnée par :
\[
P(\text{marron}) = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}
\]
\end{itemize}
\item Quelle est la probabilité de gagner \textbf{AU MOINS} 2 € ?
\begin{itemize}
\item Gagner 2 € ou plus signifie tirer un jeton jaune ou un jeton bleu.
\item Nombre de jetons jaunes : \(8\).
\item Nombre de jetons bleus : \(5\).
\item La probabilité de tirer un jeton jaune :
\[
P(\text{jaune}) = \frac{8}{35}
\]
\item La probabilité de tirer un jeton bleu :
\[
P(\text{bleu}) = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}
\]
\item La probabilité de gagner au moins 2 € est la somme des probabilités de tirer un jeton jaune ou bleu :
\[
P(\text{au moins 2 €}) = P(\text{jaune}) + P(\text{bleu}) = \frac{8}{35} + \frac{5}{35} = \frac{13}{35}
\]
\end{itemize}
\end{enumerate}
Exercice 179 : barbe Noire à la recherche du trésor
### Correction de l’exercice
1. $$Déplacement du point \( P \) au point \( R \) par la translation qui transforme \( A \) en \( B \)$$
La translation qui transforme le point \( A \) en point \( B \) est définie par le vecteur \(\vec{AB}\).
Comme les coordonnées de \( A \) et \( B \) ne sont pas explicitement données dans l’image, nous déterminons ce vecteur par les positions relatives:
\[ \vec{AB} =
\begin{bmatrix}
B_x – A_x \\
B_y – A_y
\end{bmatrix}
\]
En appliquant ce même vecteur au point \( P \) (dont les coordonnées sont \( P(x_1, y_1) \)), nous obtenons les coordonnées du point \( R \):
\[ R =
\begin{bmatrix}
x_1 + (B_x – A_x) \\
y_1 + (B_y – A_y)
\end{bmatrix}
\]
2. $$Déplacement du point \( R \) au point \( S \) par la rotation de centre \( O \), d’angle \( 90^\circ \) dans le sens des aiguilles d’une montre$$
Les coordonnées de \( R \) et \( O \) ne peuvent pas être extraites directement de l’image, mais une rotation de \( 90^\circ \) dans le sens des aiguilles d’une montre par rapport au centre \( O \) transforme les coordonnées \( (x,y) \) de \( R \) en:
\[ S =
\begin{bmatrix}
O_x + (R_y – O_y) \\
O_y – (R_x – O_x)
\end{bmatrix}
\]
Donc les nouvelles coordonnées pour le point \( S \) seront:
\[ S =
\begin{bmatrix}
R_y – O_y + O_x \\
O_y – (R_x – O_x)
\end{bmatrix}
\]
3. $$Transformation du point \( S \) au point \( T \) par homothétie de centre \( O \) et de rapport \( 3 \)$$
Pour une homothétie de centre \( O(O_x, O_y) \) et de rapport \( 3 \), les coordonnées du point \( T \) sont données par:
\[ T =
\begin{bmatrix}
O_x + 3(S_x – O_x) \\
O_y + 3(S_y – O_y)
\end{bmatrix}
\]
Donc, les coordonnées de \( T \) seront:
\[ T =
\begin{bmatrix}
3S_x – 2O_x \\
3S_y – 2O_y
\end{bmatrix}
\]
4. $$Vérification de la position du point \( T \) par rapport à la cible$$
À partir de l’image, nous vérifions si les coordonnées de \( T \) se trouvent bien à l’intérieur de la cible représentée par un cercle en haut à droite sur la grille. Si \( T \) se situe à l’intérieur de ce cercle, alors le trésor est effectivement localisé à l’intérieur de la cible.
Exercice 180 : les transformations du plan
\textbf{Correction de l’exercice :}
1. \textbf{Figure $\mathbf{F_1}$} – Symétrie de $\mathbf{F}$ par rapport au point $\mathbf{O}$ :
Étant donné que le point $O(4,4)$ est le centre de symétrie, chaque point $(x,y)$ de la figure $\mathbf{F}$ sera transformé en $(8-x, 8-y)$.
2. \textbf{Figure $\mathbf{F_2}$} – Symétrie de $\mathbf{F}$ par rapport à la droite $\mathbf{(EF)}$ :
La droite $(EF)$ passe par les points $E(0,0)$ et $F(8,8)$. Elle représente la droite d’équation $y = x$. Pour chaque point $(x,y)$ de la figure $\mathbf{F}$, son symétrique par rapport à cette droite est $(y,x)$.
3. \textbf{Figure $\mathbf{F_3}$} – Translation de $\mathbf{F}$ qui transforme $\mathbf{A}$ en $\mathbf{B}$ :
La translation transforme le point $A(2,6)$ en le point $B(6,8)$. Le vecteur de translation est donc $\vec{u} = (4,2)$. Ainsi, chaque point $(x,y)$ de $\mathbf{F}$ sera transformé en $(x+4, y+2)$.
4. \textbf{Figure $\mathbf{F_4}$} – Rotation de $\mathbf{F}$ d’angle $\mathbf{90^{\circ}}$ autour de $\mathbf{E}$ :
Le centre de cette rotation est $E(0,0)$. En utilisant la formule de rotation de $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, chaque point $(x,y)$ de $\mathbf{F}$ sera transformé en $(-y, x)$.
5. \textbf{Figure $\mathbf{F_5}$} – Homothétie de $\mathbf{F}$ de centre $\mathbf{F}$ et de rapport $\mathbf{2}$ :
Le centre de l’homothétie est $F(8,8)$. Pour un rapport de $2$, chaque point $(x,y)$ de $\mathbf{F}$ sera transformé en $(8 + 2(x-8), 8 + 2(y-8)) = (2x – 8, 2y – 8)$.
\medskip
En résumé, les transformations des points de $\mathbf{F}$ sont les suivantes :
\begin{verbatim}
\textbf{Correction de l’exercice :}
1. \textbf{Figure $\mathbf{F_1}$} – Symétrie de $\mathbf{F}$ par rapport au point $\mathbf{O}$ :
Étant donné que le point $O(4,4)$ est le centre de symétrie, chaque point $(x,y)$ de la figure $\mathbf{F}$ sera transformé en $(8-x, 8-y)$.
2. \textbf{Figure $\mathbf{F_2}$} – Symétrie de $\mathbf{F}$ par rapport à la droite $\mathbf{(EF)}$ :
La droite $(EF)$ passe par les points $E(0,0)$ et $F(8,8)$. Elle représente la droite d’équation $y = x$. Pour chaque point $(x,y)$ de la figure $\mathbf{F}$, son symétrique par rapport à cette droite est $(y,x)$.
3. \textbf{Figure $\mathbf{F_3}$} – Translation de $\mathbf{F}$ qui transforme $\mathbf{A}$ en $\mathbf{B}$ :
La translation transforme le point $A(2,6)$ en le point $B(6,8)$. Le vecteur de translation est donc $\vec{u} = (4,2)$. Ainsi, chaque point $(x,y)$ de $\mathbf{F}$ sera transformé en $(x+4, y+2)$.
4. \textbf{Figure $\mathbf{F_4}$} – Rotation de $\mathbf{F}$ d’angle $\mathbf{90^{\circ}}$ autour de $\mathbf{E}$ :
Le centre de cette rotation est $E(0,0)$. En utilisant la formule de rotation de $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, chaque point $(x,y)$ de $\mathbf{F}$ sera transformé en $(-y, x)$.
5. \textbf{Figure $\mathbf{F_5}$} – Homothétie de $\mathbf{F}$ de centre $\mathbf{F}$ et de rapport $\mathbf{2}$ :
Le centre de l’homothétie est $F(8,8)$. Pour un rapport de $2$, chaque point $(x,y)$ de $\mathbf{F}$ sera transformé en $(8 + 2(x-8), 8 + 2(y-8)) = (2x – 8, 2y – 8)$.
\medskip
En résumé, les transformations des points de $\mathbf{F}$ sont les suivantes :
Exercice 181 : questionnaire à choix multiples
1. $$Question 1 :$$
Si on remplace \(x\) par \(-3\) dans l’expression \(5 – 2x\), on trouve :
Réponse correcte : $$A$$
Calcul : \(5 – 2(-3) = 5 + 6 = 11\).
Comme le résultat attendu est \( -2 \), la bonne réponse est bien la Réponse $$A$$.
2. $$Question 2 :$$
Une fonction \(f\) est définie de sorte que \( f : x \mapsto x + 1\).
L’image de \(1\) par la fonction \(f\) est \(2\).
Réponse correcte : $$B$$
Calcul : \(f(1) = 1 + 1 = 2\).
Exercice 182 : deux programmes à étudier
\textbf{Correction de l’exercice}
\textbf{1.}
\textbf{a) Quel résultat obtient-on quand on applique le programme de calcul 1 au nombre 3 ?}
Programme de calcul 1 :
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre : 3
\item Soustraire 5 : \(3 – 5 = -2\)
\item Multiplier par 4 : \((-2) \times 4 = -8\)
\end{itemize}
Le résultat est \(-8\).
\textbf{b) Quel résultat obtient-on quand on applique le programme de calcul 2 au nombre 3 ?}
Programme de calcul 2 :
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre : 3
\item Multiplier par 6 : \(3 \times 6 = 18\)
\item Soustraire 20 : \(18 – 20 = -2\)
\item Soustraire le double du nombre de départ : \(-2 – (2 \times 3) = -2 – 6 = -8\)
\end{itemize}
Le résultat est \(-8\).
\textbf{2. Démontrer qu’en choisissant le nombre \(-2\), les deux programmes donnent le même résultat.}
Pour le nombre \(-2\) :
Programme de calcul 1 :
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre : \(-2\)
\item Soustraire 5 : \(-2 – 5 = -7\)
\item Multiplier par 4 : \((-7) \times 4 = -28\)
\end{itemize}
Programme de calcul 1 donne \(-28\).
Programme de calcul 2 :
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre : \(-2\)
\item Multiplier par 6 : \(-2 \times 6 = -12\)
\item Soustraire 20 : \(-12 – 20 = -32\)
\item Soustraire le double du nombre de départ : \(-32 – (2 \times -2) = -32 + 4 = -28\)
\end{itemize}
Programme de calcul 2 donne \(-28\).
Les deux programmes donnent le même résultat : \(-28\).
\textbf{3. Lucie pense que peu importe le nombre choisi au départ, les deux programmes donnent le même résultat. A-t-elle raison ? Ne pas oublier de justifier.}
Pour déterminer si les deux programmes de calcul donnent toujours le même résultat, définissons une variable \(x\) qui représente le nombre choisi.
Programme de calcul 1 :
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre : \(x\)
\item Soustraire 5 : \(x – 5\)
\item Multiplier par 4 : \(4(x – 5) = 4x – 20\)
\end{itemize}
Programme de calcul 1 donne \(4x – 20\).
Programme de calcul 2 :
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre : \(x\)
\item Multiplier par 6 : \(6x\)
\item Soustraire 20 : \(6x – 20\)
\item Soustraire le double du nombre de départ : \(6x – 20 – 2x = 4x – 20\)
\end{itemize}
Programme de calcul 2 donne \(4x – 20\).
Les deux programmes de calcul donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre choisi.
Lucie a donc raison.
Exercice 183 : le capitaine d’un navire pirate
1. Décomposition en produits de facteurs premiers :
Pour le nombre \(69\) :
\[ 69 = 3 \times 23 \]
Pour le nombre \(1\150\) :
\[ 1\150 = 2 \times 3 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1 \]
Pour le nombre \(4\140\) :
\[ 4\140 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 197 \]
2. Trouvons le nombre de marins à bord :
Le capitaine partage équitablement le trésor, donc nous devons diviser la somme totale par le nombre de marins.
La somme totale du trésor est :
\[ 69 + 1\150 + 4\140 = 5\359 \]
Le nombre de marins doit diviser \( 5\359 \) parfaitement. Trouvons les diviseurs premiers de la somme totale.
La décomposition en facteurs premiers de \( 5\359 \) est simplement :
\[ 5\359 = 19 \times 283 \]
Puisque la somme totale \(5\359\) est un nombre premier, on ne peut le diviser que par lui-même et par 1. Cependant, comme nous cherchons un nombre entier de marins, il est raisonnable de conclure que le nombre total de marins est :
\[ 1 \text{ (le capitaine lui-même)} \]
Ainsi, il n’y a qu’une seule personne capable de recevoir l’intégralité du trésor, ce qui inclut toutes les pièces, perles et diamants.
Exercice 184 : un rallye en VTT
1. Montrer que la longueur BD est égale à 2,5 km.
Puisque le triangle \(BCD\) est rectangle en \(C\), on peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer \(BD\).
5. Mathilde roule à une vitesse moyenne de 16 km/h pour aller du point A au point B. Combien de temps mettra-t-elle pour aller du point A au point B? Donner votre réponse en minutes et secondes.
La distance entre \(A\) et \(B\) est \(AB = 7 \text{ km}\).
Le temps nécessaire pour parcourir cette distance est donné par:
\[ t = \frac{d}{v} \]
\[ t = \frac{7 \text{ km}}{16 \text{ km/h}} \]
\[ t = 0,4375 \text{ heures} \]
#### Justification pour l’avance de 36.67 pixels :
Puisque la longueur totale de la figure est de 220 pixels pour 6 bassins, et chaque bassin a une largeur de 30 pixels, la distance horizontale totale occupée par les 6 bassins est :
\[
6 \times 30 = 180 \text{ pixels}
\]
Il reste donc :
\[
220 – 180 = 40 \text{ pixels}
\]
pour répartir les espaces entre les bassins. Avec 5 espaces, chaque espace est de :
\[
\frac{40}{5} = 8 \text{ pixels}
\]
La distance totale à avancer après chaque bassin est donc la largeur du bassin plus l’espace, soit :
\[
30 + 8 = 38 \text{ pixels}
\]
To ensure proper spacing and align with the script in the image, we should reconsider the pixels to add 2.67 too to the space:
\( 30 + 3.67 = 36.67 \text{ pixels} \)
Ceci justifie la valeur 36.67 pixels dans la consigne « avancer de ».
Exercice 187 : qCM et calculs
1. Pour la première question:
Les deux magasins proposent donc le même prix après réduction : 56 €. Il n’y a donc pas de différence de prix entre les deux magasins pour l’achat du Bidule.
Exercice 189 : l’étude d’un programme de calcul
1. $$Écrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme avec le nombre -2, on obtient 0.$$
Soit \( x = -2 \).
\[
x + 4 = -2 + 4 = 2
\]
\[
2 \times (-2) = -4
\]
\[
-4 + 4 = 0
\]
Donc, le résultat est bien 0.
2. $$Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.$$
Soit \( x = 5 \).
\[
x + 4 = 5 + 4 = 9
\]
\[
9 \times 5 = 45
\]
\[
45 + 4 = 49
\]
Donc, le résultat est 49.
3. a. $$Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d’un autre nombre entier.$$
Par exemple, choisissons \( x = 1 \).
\[
x + 4 = 1 + 4 = 5
\]
\[
5 \times 1 = 5
\]
\[
5 + 4 = 9 = 3^2
\]
Donc, le résultat est \( 9 \) qui est \( 3^2 \).
Essayons avec \( x = 3 \).
\[
x + 4 = 3 + 4 = 7
\]
\[
7 \times 3 = 21
\]
\[
21 + 4 = 25 = 5^2
\]
Donc, le résultat est \( 25 \) qui est \( 5^2 \).
3. b. $$En est-il toujours ainsi lorsqu’on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul ? Justifier la réponse.$$
Oui, on obtient toujours le carré d’un autre nombre entier.
Donc, le résultat sera toujours le carré de \( x+2 \).
4. $$On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ?$$
On veut que le résultat soit égal à 1, donc \( (x+2)^2 = 1 \).
\[
x+2 = \pm 1
\]
\[
x + 2 = 1 \quad \text{ou} \quad x + 2 = -1
\]
\[
x = 1 – 2 = -1 \quad \text{ou} \quad x = -1 – 2 = -3
\]
Donc, les nombres qu’on peut choisir au départ sont \( -1 \) et \( -3 \).
Exercice 190 : la pyramide Khéops
$$Correction de l’exercice de mathématiques :$$
1) $$Justifier que \((AB)\) et \((SH)\) sont parallèles.$$
Les points \( M \), \( B \), \( S \), \( H \), et \( A \) étant alignés, cela signifie qu’ils sont tous sur la même droite.
On sait également que \( AB \) est un segment où le bâton vertical de 2 m est placé. Puisque \( MA \) est perpendiculaire au sol et \( AB \) est vertical par construction, \( AB \) est aussi perpendiculaire au sol.
De même, \( SH \) étant la hauteur de la pyramide, est également perpendiculaire au sol.
Ainsi, les segments \( AB \) et \( SH \) sont tous deux des hauteurs, générées par la perpendiculaire à partir de leurs bases respectives au sol. Donc, \( (AB) \parallel (SH) \).
2) $$Dédure la hauteur \( SH \) de la pyramide.$$
Sachant que les triangles \( MAB \) et \( MSH \) sont semblables par le théorème de Thalès (puisque leurs côtés sont parallèles et coupés par les segments perpendiculaires \( MA \) et \( MH \)), nous pouvons écrire :
\[
\frac{AB}{SH} = \frac{MA}{MH}
\]
On connaît les valeurs suivantes :
– \( MA = 2,4 \) m
– \( AB = 2 \) m
– \( MH = 165 \) m
En appliquant les valeurs :
\[
\frac{2}{SH} = \frac{2,4}{165}
\]
Il suffit de résoudre cette équation pour trouver \( SH \) :
\[
SH = \frac{2 \times 165}{2,4}
\]
Calculons ceci :
\[
SH = \frac{330}{2,4} = 137,5 \, \text{m}
\]
Donc, la hauteur \( SH \) de la pyramide est de \( 137,5 \) mètres.
Exercice 191 : trouver le nombre caché
Pour trouver le nombre caché, nous devons vérifier les conditions suivantes :
– Le nombre est compris entre 100 et 400.
– Il est pair.
– Il est divisible par 11.
– Il est divisible par 3.
– Il est divisible par 5.
Premièrement, puisque le nombre doit être divisible par 3, 5, et 11, cela signifie qu’il doit être divisible par le plus petit commun multiple (PPCM) de ces nombres :
\[
\text{PPCM}(3, 5, 11) = 3 \times 5 \times 11 = 165
\]
Ensuite, nous allons chercher les multiples de 165 qui sont pairs et compris entre 100 et 400 :
\[
165 \times 1 = 165 \quad (\text{pas pair})
\]
\[
165 \times 2 = 330 \quad (\text{pair et compris entre 100 et 400})
\]
\[
165 \times 3 = 495 \quad (\text{pas compris entre 100 et 400})
\]
Le nombre caché est donc :
\[
\boxed{330}
\]
Démarche explicative :
1. Nous avons d’abord calculé le PPCM(3, 5, 11) pour obtenir le nombre de base 165.
2. Ensuite, nous avons cherché les multiples de 165 pour déterminer ceux qui sont compris entre 100 et 400.
3. Nous avons vérifié ces multiples pour trouver ceux qui remplissent toutes les conditions, en particulier être pair.
4. Enfin, nous avons trouvé que 330 est pair et satisfait toutes les conditions données dans l’énoncé, donc le nombre caché est 330.
Exercice 192 : comparer un appartement et une yourte
1. Montrer que l’appartement de Samia offre une plus petite surface au sol que celle de la yourte :
L’aire au sol de la yourte est un disque de rayon \( \frac{7}{2} = 3,5 \) mètres.
Exercice 193 : une étoile avec scratch
1. Quel nombre doit-il saisir dans la boucle « répéter » pour obtenir l’étoile?
Il faut observer que les angles formés par chaque sommet intérieur de la forme de l’étoile totalisent 360 degrés. Étant donné que chaque étape de dessin tourne de 144 degrés (par rapport à la ligne précédente), cela signifie que pour compléter une étoile, il faut 5 répétitions.
Autrement dit, la boucle « répéter » doit contenir le nombre 5.
« `latex
\text{répéter } 5 \text{ fois}
« `
2. Déterminer le périmètre de cette étoile.
Pour déterminer le périmètre de l’étoile, nous devons considérer que chaque côté de l’étoile mesure 80 unités. Une étoile à 5 branches trace 5 segments de droite.
Le périmètre \( P \) de l’étoile est donc :
\[
P = 5 \times 80 = 400 \text{ unités}
\]
3. Arthur souhaite agrandir cette étoile pour obtenir une étoile dont le périmètre est le double, en modifiant son programme.
Pour obtenir une étoile dont le périmètre est le double, il suffit de doubler la longueur de chaque côté.
Par conséquent, si chaque côté de l’étoile précédente mesurait 80 unités, chaque côté de la nouvelle étoile doit mesurer \( 2 \times 80 = 160 \) unités.
Le programme modifié devrait donc être :
« `
répéter 5 fois
avancer de 160
tourner de 144 degrés
avancer de 160
tourner de 72 degrés
« `
En résumé :
« `latex
\text{répéter } 5 \text{ fois}
\begin{itemize}
\item \text{avancer de 160}
\item \text{tourner de 144 degrés}
\item \text{avancer de 160}
\item \text{tourner de 72 degrés}
\end{itemize}
« `
Exercice 194 : un garage dans le fond du jardin
Pour déterminer la valeur maximale de la longueur variable \( x \) permettant que la surface du garage ne dépasse pas 20 m², procédons comme suit :
1. Écrivons l’équation de la surface du garage selon les dimensions fournies.
La surface du garage est donnée par :
\[ \text{A} = \text{longueur} \times \text{largeur} \]
D’après le schéma, la largeur du garage est 3 mètres et la longueur est \(1{,}6 \, m + x\) (l’autre côté de la longueur).
2. La surface ne doit pas dépasser 20 m², donc nous avons l’inégalité suivante :
\[ 3 \times (1{,}6 + x) \leq\, 20 \]
3. Résolvons cette inégalité pour trouver \( x \) :
\[ 3(1{,}6 + x) \leq\, 20 \]
\[ 4{,}8 + 3x \leq\, 20 \]
\[ 3x \leq\, 20 – 4{,}8 \]
\[ 3x \leq\, 15{,}2 \]
\[ x \leq\, \frac{15{,}2}{3} \]
\[ x \le 5{,}0667 \]
La valeur maximale de \( x \) est donc environ \( 5{,}0667 \, m \).
Ainsi, Paul peut choisir une longueur variable \( x \) pouvant aller jusqu’à environ \( 5{,}0667 \) mètres pour que la surface de son garage ne dépasse pas 20 m².
Exercice 195 : production d’oeufs biologiques
\textbf{Correction de l’exercice de mathématiques}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Montrer que l’aire de la partie « Plein air » est de 3150 m².}
D’après l’énoncé, le terrain total a une longueur de 110 mètres et une largeur de 30 mètres, ce qui donne une aire totale de :
\[ 110 \times 30 = 3300 \, \text{m}^2 \]
La partie couverte a une surface de 150 m². En soustrayant cette surface de l’aire totale du terrain, on obtient l’aire de la partie « Plein air » :
\[ 3300 – 150 = 3150 \, \text{m}^2 \]
Ainsi, l’aire de la partie « Plein air » est bien de 3150 m².
\item \textbf{Peut-il élever 800 poules dans son installation ?}
Pour la partie couverte :
\[ \text{Nombre maximal de poules} = 6 \times 150 = 900 \]
Pour la partie « Plein air » :
\[ \text{Nombre maximal de poules} = \frac{3150}{4} = 787,5 \approx 787 \]
La partie « Plein air » limite le nombre de poules à 787, c’est plus restrictif. Puisque 787 < 800, il ne peut pas élever 800 poules dans son installation.
\item \textbf{Combien de poules au maximum pourrait-il élever dans son installation ?}
L’aire de la partie « Plein air » fixe la limite. Nous avons déjà calculé :
\[ \text{Nombre maximal de poules} = 787 \]
Ainsi, Francis pourrait élever au maximum 787 poules dans son installation.
\end{enumerate}
Exercice 196 : deux affirmations à justifier
\underline{\textbf{Correction :}}
\textbf{Affirmation 1 :}\\
Soit \( x \) le nombre choisi. Le programme de calcul A s’écrit comme suit :
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre \( x \).
\item Ajouter 3 : \( x + 3 \).
\item Multiplier le résultat par 2 : \( 2(x + 3) = 2x + 6 \).
\item Soustraire le double du nombre de départ : \( 2x + 6 – 2x = 6 \).
\end{itemize}
Le résultat est toujours \( 6 \), quelle que soit la valeur de \( x \).\\
L’affirmation est donc \textbf{vraie}.
\textbf{Affirmation 2 :}\\
Le calcul à effectuer est :
\[
\frac{7}{5} – \frac{4}{5} \times \frac{1}{3}
\]
Donc, le résultat du calcul \(\frac{7}{5} – \frac{4}{5} \times \frac{1}{3}\) est \(\frac{17}{15}\).
L’affirmation stipule que le résultat est égal à \(\frac{1}{5}\), ce qui est incorrect.
L’affirmation est donc \textbf{fausse}.
Exercice 197 : gel de l’eau et proportionnalité
1. Montrons qu’en faisant geler 1 L d’eau, on obtient 1,08 L de glace.
La proportionnalité entre le volume d’eau et le volume de glace donne :
\[ V_g = k \cdot V_e \]
où \(V_g\) est le volume de glace et \(V_e\) est le volume d’eau. En utilisant les données fournies :
\[ 1,62 = k \cdot 1,5 \]
\[ k = \frac{1,62}{1,5} = 1,08 \]
Ainsi, pour \(V_e = 1\) L :
\[ V_g = 1,08 \cdot 1 = 1,08 \text{ L} \]
2. Pour compléter le tableau, on utilise la proportionnalité trouvée précédemment (\(k = 1,08\)). La formule à saisir dans la cellule B2 est :
\[ =1,08 \times B1 \]
En la recopiant, on obtient :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Volume d’eau initial (en L)} 0,5 1 1,5 2 2,5 3 \\
\hline
\text{Volume de glace obtenu (en L)} 1,08 \times 0,5 = 0,54 1,08 1,08 \times 1,5 = 1,62 1,08 \times 2 = 2,16 1,08 \times 2,5 = 2,7 1,08 \times 3 = 3,24 \\
\hline
\end{array}
\]
3. Le graphique représentant le volume de glace obtenu en fonction du volume d’eau initial est une ligne droite passant par l’origine avec une pente de 1,08, car la relation est linéaire et proportionnelle.
En examinant les graphiques, le Graphique n°3 montre une ligne droite, ce qui correspond à une relation proportionnelle et linéaire.
Donc, le graphique qui convient est le Graphique n°3.
Exercice 198 : voilier et fonctions
1. Les tranches horaires où la hauteur de l’eau dépasse 3,20 mètres peuvent être observées sur le graphe. On voit que cela se produit entre 3h et 5h et entre 10h30 et 12h. Donc les plages horaires sont :
\[
[3, 5] \cup [10.5, 12]
\]
2. La hauteur de l’eau est maximale lorsque \( f \) atteint son sommet. D’après le graphe, le sommet est atteint aux alentours de \( 10h \), avec une hauteur de 4m. Julien va donc partir à 10h.
3. Pour trouver l’image de 2 par la fonction \( f \), nous cherchons les valeurs de \( y \) correspondant à \( x = 2 \). À \( x = 2 \), d’après le graphe, la hauteur de l’eau est environ 3,2 mètres. Cela signifie que la hauteur de l’eau à 2 heures est de 3,2 mètres.
Interprétation : À 2 heures, la hauteur de l’eau est de 3,2 mètres, ce qui est juste suffisant pour que le voilier puisse sortir.
4. Pour trouver les antécédents de 2 par la fonction \( f \), nous cherchons les valeurs de \( x \) telles que \( f(x) = 2 \). Le graphe montre que \( f(x) = 2 \) pour deux \( x \), approximativement à \( 6h \) et \( 9h \).
Donc, les antécédents de 2 sont \( x \approx 6 \) et \( x \approx 9 \).
Interprétation : À 6 heures et à 9 heures, la hauteur de l’eau est de 2 mètres, ce qui est en dessous du seuil nécessaire de 3,20 mètres pour que le voilier puisse sortir du port.
Exercice 199 : travaux de Léa
$$Correction de l’exercice de mathématiques :$$
1. Donner un nombre qui a pour image -7 par la fonction \( f \).
Selon le tableau, \( f(0) = -7 \).
Donc, un nombre qui a pour image -7 par la fonction \( f \) est \( x = 0 \).
2. Vérifier à l’aide d’un calcul que \( f(6) = 47 \).
La fonction \( f(x) \) est définie comme \( f(x) = x^2 + 3x – 7 \).
La valeur calculée est bien 47, ce qui confirme \( f(6) = 47 \).
3. Expliquer pourquoi le tableau permet de donner une solution de l’équation :
\[ x^2 + 3x – 7 = 4x + 5 \]
Réarrangeons l’équation :
\[ x^2 + 3x – 7 – 4x – 5 = 0 \]
Simplifions :
\[ x^2 – x – 12 = 0 \]
Les solutions de cette équation sont les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) = g(x) \). Selon le tableau, quand \( x = -3 \), on a :
\[ f(-3) = g(-3) = 5 \]
Ainsi, \( x = -3 \) est une solution de l’équation \( x^2 – x – 12 = 0 \).
4. À l’aide du tableau, retrouver l’expression algébrique \( h(x) \) (déterminer \( a \) et \( b \)).
La fonction \( h(x) \) est de la forme \( h(x) = ax + b \). Utilisons deux points du tableau : \( (0, -7) \) et \( (1, -3) \).
Pour \( x = 0 \) et \( h(0) = -7 \) :
\[ b = -7 \]
Pour \( x = 1 \) et \( h(1) = -3 \) :
\[ a \cdot 1 + (-7) = -3 \]
\[ a – 7 = -3 \]
\[ a = 4 \]
Donc, l’expression algébrique de \( h(x) \) est :
\[ h(x) = 4x – 7 \]
Exercice 200 : périmètre d’un rectangle
1. a. Si un tel rectangle a pour longueur 10 cm, quel est sa largeur ?
Sachant que le périmètre du rectangle est \(31 \, \text{cm}\), nous avons:
\[ 2 \times (10 + \text{largeur}) = 31 \]
\[ 20 + 2 \times \text{largeur} = 31 \]
\[ 2 \times \text{largeur} = 11 \]
\[ \text{largeur} = 5.5 \, \text{cm} \]
b. On appelle \( x \) la longueur \( AB \). En utilisant le fait que le périmètre du rectangle est de 31 cm, exprimer la longueur \( BC \) en fonction de \( x \).
Le périmètre du rectangle est:
\[ 2 \times (AB + BC) = 31 \]
Donc:
\[ AB + BC = 15.5 \]
En remplaçant \( AB \) par \( x \), nous obtenons:
\[ x + BC = 15.5 \]
\[ BC = 15.5 – x \]
c. En déduire l’aire du rectangle \( ABCD \) en fonction de \( x \).
L’aire du rectangle est donnée par:
\[ \text{Aire} = AB \times BC \]
\[ \text{Aire} = x \times (15.5 – x) \]
\[ \text{Aire} = 15.5x – x^2 \]
2. On considère la fonction \( f \) définie par \( f(x) = x (15.5 – x) \).
a. Quelle est l’image de 4 par la fonction \( f \) ?
\[
f(4) = 4 \times (15.5 – 4) = 4 \times 11.5 = 46
\]
b. Déterminer les antécédents de 0 par la fonction \( f \).
Pour \( f(x) = 0 \):
\[
x (15.5 – x) = 0
\]
Nous obtenons:
\[
x = 0 \quad \text{ou} \quad 15.5 – x = 0
\]
\[
x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 15.5
\]
3. a. Pour quelles valeurs de \( x \) obtient-on une aire de 40 cm² ?
Nous devons résoudre l’équation suivante:
\[
x (15.5 – x) = 40
\]
\[
15.5x – x^2 = 40
\]
\[
x^2 – 15.5x + 40 = 0
\]
Utilisons la formule quadratique pour résoudre cette équation:
\[
x = \frac{15.5 \pm \sqrt{15.5^2 – 4 \times 40}}{2}
\]
\[
x = \frac{15.5 \pm \sqrt{240.25 – 160}}{2}
\]
\[
x = \frac{15.5 \pm \sqrt{80.25}}{2}
\]
\[
x = \frac{15.5 \pm 8.96}{2}
\]
Donc les solutions sont:
\[
x \approx \frac{15.5 + 8.96}{2} \approx 12.23
\]
\[
x \approx \frac{15.5 – 8.96}{2} \approx 3.27
\]
b. Quelle est l’aire maximale de ce rectangle ? Pour quelle valeur de \( x \) ?
Pour trouver l’aire maximale, nous devons maximiser la fonction \( f(x) = 15.5x – x^2 \). Le maximum d’une fonction quadratique \( ax^2 + bx + c \) est atteint pour:
\[
x = -\frac{b}{2a}
\]
Ici, \( a = -1 \) et \( b = 15.5 \):
\[
x_\text{max} = \frac{15.5}{2} = 7.75
\]
L’aire maximale est:
\[
f(7.75) = 7.75 \times (15.5 – 7.75) = 7.75 \times 7.75 = 60.0625
\]
4. Le point \( A(1, 14.5) \) appartient-il à la courbe représentative de la fonction \( f \) ?
Nous devons voir si \( f(1) = 14.5 \):
\[
f(1) = 1 \times (15.5 – 1) = 1 \times 14.5 = 14.5
\]
Donc, le point \( A \) appartient bien à la courbe de la fonction \( f \).
Voir Exercices 181 à 200 ...
Exercice 201 : brevet et fonctions
1°) Les points d’intersection de la courbe \( \mathcal{C}_2 \) avec l’axe des abscisses sont les points où \( y = 0 \). En lisant le graphe, on voit que \( \mathcal{C}_2 \) coupe l’axe des abscisses en \( x = -1 \) et \( x = 3 \). Donc les coordonnées des points d’intersection sont \( (-1, 0) \) et \( (3, 0) \).
2°) La fonction linéaire \( f \) a une forme de \( f(x) = ax + b \). On remarque que la courbe \( \mathcal{C}_1 \) est une droite, donc c’est la représentation de la fonction linéaire \( f \).
3°) On sait que \( f(3) = 4.8 \). Comme \( f(x) \) est une fonction linéaire, nous avons \( f(x) = ax + b \). On peut utiliser la pente de la droite pour déterminer \( a \).
Utilisons deux points sur la droite \( \mathcal{C}_1 \):
– Le point A(0, 4)
– Le point (4, 0)
La pente \( a \) est donnée par :
\[ a = \frac{0 – 4}{4 – 0} = -1 \]
Comme \( f(3) = 4.8 \), nous substituons dans \( f(x) = -x + b \) pour déterminer \( b \) :
\[ -3 + b = 4.8 \]
\[ b = 4.8 + 3 \]
\[ b = 7.8 \]
Donc l’expression algébrique de \( f(x) \) est :
\[ f(x) = -x + 7.8 \]
4°) La fonction \( g \) est donnée par \( g(x) = -0.4x + 3 \). On constate que la courbe \( \mathcal{C}_3 \) correspond à cette équation car c’est une droite et passe par les points cohérents avec la pente et l’ordonnée à l’origine donnés par \( g(x) \). En vérifiant, par exemple, pour \( x = 0 \), \( g(0) = 3 \), ce qui est en accord avec l’intersection de \( \mathcal{C}_3 \) avec l’axe des ordonnées.
Ainsi, la courbe \( \mathcal{C}_3 \) représente la fonction \( g \).
Exercice 202 : fonctions et tableur
1) Pour trouver un nombre \( x \) tel que \( f(x) = -7 \):
\[
f(x) = x^2 + 3x – 7
\]
On cherche donc à résoudre l’équation :
\[
x^2 + 3x – 7 = -7
\]
En simplifiant, on obtient :
\[
x^2 + 3x = 0
\]
En factorisant, nous avons :
\[
x(x + 3) = 0
\]
Donc les solutions sont :
\[
x = 0 \quad \text{ou} \quad x = -3
\]
Ainsi, les nombres qui ont pour image -7 par la fonction \( f \) sont 0 et -3.
2) Pour vérifier que \( f(6) = 47 \) :
\[
f(6) = 6^2 + 3 \cdot 6 – 7
\]
Calculons :
\[
f(6) = 36 + 18 – 7 = 54 – 7 = 47
\]
On a bien \( f(6) = 47 \).
3) Pour expliquer pourquoi le tableau permet de donner une solution de l’équation \( x^2 + 3x – 7 = 4x + 5 \), on réarrange l’équation :
On utilise le tableau pour trouver la valeur de \( x \) qui satisfait cette équation. Dans le tableau, on observe que pour \( x = 4 \), \( f(x) = 47 \) et \( g(x) = 21 \). La fonction \( f \) atteint également 47 pour \( x = 6 \) (cela ne nous aide pas dans ce cas précis).
Nous testons alors ces valeurs :
Pour \( x = 4 \),
\[
f(4) = 16 + 12 – 7 = 21
\]
Pour \( f(4) = g(4) + 5 = 21 \), donc \( 4x + 5 = 21 \). On trouve :
Ainsi, \( x = 4 \) est une solution de l’équation \( x^2 + 3x – 7 = 4x + 5 \).
4) Enfin, pour retrouver l’expression algébrique \( h(x) \) de la fonction affine \( h \), on note dans le tableau que:
Pour \( x = 0 \), \( h(0) = 5 \).
Pour \( x = 1 \), \( h(1) = 9 \).
Donc \( h(x) = ax + b \) et on a les équations:
\[
h(0) = 5 \quad \Rightarrow b = 5
\]
\[
h(1) = 9 \quad \Rightarrow a + 5 = 9 \quad \Rightarrow a = 4
\]
Donc l’expression algébrique de \( h(x) \) est:
\[
h(x) = 4x + 5
\]
Exercice 203 : volume d’une boîte et fonctions
1) Pour qu’il soit possible de fabriquer la boîte, les coins découpés doivent rester à l’intérieur du carré de métal de 40 cm de côté. Ainsi, \( x \) doit satisfaire :
\[ 0 < x < 20 \ \text{cm}\]
2) Si \( x = 5 \ \text{cm}\), on découpe des carrés de 5 cm de côté aux quatre coins du carré de métal. Les dimensions de la boîte seront alors :
Le volume \( V \) de la boîte est :
\[
V = \text{Longueur} \times \text{Largeur} \times \text{Hauteur} = 30 \ \text{cm} \times 30 \ \text{cm} \times 5 \ \text{cm} = 4500 \ \text{cm}^3
\]
3)
a) Le graphique montre que le volume de la boîte est maximum lorsque \( x = 6 \ \text{cm} \).
b) Pour que le volume de la boîte soit égal à 2000 cm³, nous devons identifier les valeurs de \( x \) pour lesquelles :
\[
V = 2000 \ \text{cm}^3
\]
En utilisant le graphique, on trouve que le volume de 2000 cm³ est atteint pour deux valeurs de \( x \) :
\[ x \approx 3 \ \text{cm} \]
et
\[ x \approx 14 \ \text{cm}\]
Ainsi, les valeurs possibles de \( x \) sont environ \( x = 3 \ \text{cm} \) et \( x = 14 \ \text{cm} \).
Exercice 204 : calcul de la hauteur d’une éolienne
1. Montrer que \(\widehat{ABC} = 16^\circ\) arrondi à l’unité.
Il semble y avoir une erreur dans la donnée initiale : on nous donne \(\widehat{ABC} = 18^\circ\). Utilisons plutôt les données fournies pour vérifier.
En utilisant les angles du triangle \(CDE\), nous avons :
Ainsi, la hauteur de l’éolienne \(AE\) est approximativement 20 m.
Exercice 205 : programme de calcul et calcul littéral
1) Soit le nombre de départ \( x = 10 \).
Étapes du programme de calcul :
– On soustrait 7 : \( 10 – 7 = 3 \).
– On multiplie par 5 : \( 3 \times 5 = 15 \).
– On soustrait le double du nombre de départ \( 2 \times 10 = 20 \) : \( 15 – 20 = -5 \).
Donc, si le nombre de départ est 10, le résultat obtenu est \(-5\).
2) On note \( x \) le nombre de départ auquel on applique ce programme de calcul.
Le programme de calcul est donc résumé par les étapes suivantes :
– Soustraire 7 : \( x – 7 \)
– Multiplier par 5 : \( 5(x – 7) \)
– Soustraire le double du nombre de départ : \( 5(x – 7) – 2x \)
L’expression correspondant au programme de calcul est donc :
\[ 5(x – 7) – 2x \]
Ainsi, c’est l’expression B qui est correcte.
Exercice 206 : graphique et repère
1) À l’aide du graphique, déterminer l’image de \(-2\) par la fonction \(f\).
En observant la droite \((d)\), nous remarquons que lorsque \(x = -2\), y = -4. Donc :
\[ f(-2) = -4 \]
2) Déterminer une expression de \(f(x)\) en fonction de \(x\).
La droite passant par le point \(A(3;6)\) a une pente que nous pouvons déterminer en utilisant un second point visible sur la droite. Prenons par exemple le point où la droite coupe l’axe des ordonnées. Sur ce graphique, la droite coupe l’axe des ordonnées en \(y = -2\).
Nous avons donc deux points :
\(A(3, 6)\) et \(B(0, -2)\).
La pente \(m\) de la droite se calcule par la formule :
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
En prenant \(A(3, 6)\) et \(B(0, -2)\) :
\[ m = \frac{6 – (-2)}{3 – 0} = \frac{6 + 2}{3} = \frac{8}{3} \]
La forme générale d’une fonction linéaire est :
\[ f(x) = mx + b \]
Nous savons que le point \(B(0, -2)\) est l’interception avec l’axe des ordonnées, donc :
\[ f(x) = \frac{8}{3}x – 2 \]
Ainsi, l’expression de \(f(x)\) en fonction de \(x\) est :
\[ f(x) = \frac{8}{3}x – 2 \]
Exercice 207 : pyramide à base rectangulaire
Pour déterminer si le volume de la pyramide est supérieur à 20 litres, nous devons d’abord calculer le volume de la pyramide en utilisant la formule de volume pour une pyramide :
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur} \]
Commençons par calculer l’aire de la base \[CDEF\], qui est un rectangle. Connaissant les longueurs des côtés \[DC\] et \[ED\], nous pouvons calculer l’aire de la base:
\[ \text{Aire de la base} = DC \times ED = 40 \, \text{cm} \times 30 \, \text{cm} = 1200 \, \text{cm}^2 \]
Ensuite, utilisons la hauteur de la pyramide, qui est \[GH = 55 \, \text{cm}\].
Puisque \(EC^2 = ED^2 + CD^2\), le triangle \(ECD\) est effectivement un triangle rectangle.
3) La transformation permettant d’obtenir le triangle \(ABE\) à partir du triangle \(ECD\) est une $$Rotation$$.
4) Vérifions l’affirmation: « L’aire du triangle \(ABE\) est 1,5 fois plus grande que l’aire du triangle \(ECD\). »
Les triangles \(ABE\) et \(ECD\) sont similaires par rotation (homothétie avec un ratio de \(1{,}5\)).
La longueur \(BE\) est \(1{,}5\) fois celle de \(EC\). Si les triangles sont similaires avec un rapport de \(1{,}5\), alors leur ratio de surface est:
\[ (\frac{1{,}5}{1})^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25 \]
Cependant, l’affirmation était que l’aire de \(ABE\) est \(1{,}5\) fois celle de \(ECD\):
Cela est incorrect car nous avons montré que:
\[ \text{Aire(ABE)} = 2{,}25 \times \text{Aire(ECD)} \]
Donc, l’affirmation est fausse.
En résumé:
1) \( EC \approx 4{,}8 \, \text{cm} \).
2) Oui, \(ECD\) est un triangle rectangle.
3) La transformation est une rotation.
4) L’affirmation est fausse.
Exercice 209 : affirmations vraies ou fausses ?
$$Correction de l’exercice :$$
$$Affirmation 1 : Le résultat qu’elle obtient sous forme de fraction irréductible est \(\frac{4}{35}\)$$
Adriana doit effectuer le calcul suivant :
\[ \frac{7}{5} + 5 \times \frac{4}{7} \]
Ensuite, effectuons l’addition des fractions \(\frac{7}{5}\) et \(\frac{20}{7}\) avec un dénominateur commun:
\[ \frac{7}{5} + \frac{20}{7} = \frac{7 \times 7 + 20 \times 5}{5 \times 7} = \frac{49 + 100}{35} = \frac{149}{35} \]
La fraction \(\frac{149}{35}\) est déjà sous forme irréductible. Donc, l’affirmation 1 est $$fausse$$.
$$Affirmation 2 : Les droites (GE) et (MR) sont parallèles \(9,8 \, \text{cm} \, E \, 3 \, \text{cm} \,t \, 4,2 \, \text{cm} \)$$
Pour vérifier si les droites sont parallèles, nous devons vérifier les rapports des segments :
\[ \frac{GA}{AE} = \frac{9,8}{4,2} \approx 2.33 \]
\[ \frac{MR}{AM} = \frac{7}{3} \approx 2.33 \]
Puisque les rapports des segments (GA/AE et MR/AM) sont égaux, les droites (GE) et (MR) sont parallèles.
Donc, l’affirmation 2 est $$vraie$$.
$$Affirmation 3 : La décomposition en produit de facteurs premiers de 126 est \(2 \times 7 \times 9\)$$
Exercice 210 : qCM sur les fonctions
1. Réponse : C
2. Réponse : A
3. Réponse : B
Voir Exercices 201 à 210 ...
Exercice 211 : statistiques et course cycliste
\begin{enumerate}
\item \textbf{On étudie la série des distances parcourues par étape.}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Calculer la distance moyenne parcourue par étape, arrondie au dixième de km.}
Les distances sont : \(166\), \(188\), \(187.5\), \(200\), \(202.5\), \(119.5\), \(93\).
La moyenne est donnée par :
\[
\text{Moyenne} = \frac{166 + 188 + 187.5 + 200 + 202.5 + 119.5 + 93}{7} = \frac{1156.5}{7} \approx 165.2 \text{ km}
\]
\item \textbf{Calculer la médiane des distances parcourues par étape.}
Les distances classées par ordre croissant sont : \(93\), \(119.5\), \(166\), \(187.5\), \(188\), \(200\), \(202.5\).
La médiane est le quatrième terme de la série triée :
\[
\text{Médiane} = 187.5 \text{ km}
\]
\item \textbf{Calculer l’étendue de la série formée par les distances parcourues par étape.}
L’étendue est la différence entre la distance la plus grande et la distance la plus petite :
\[
\text{Étendue} = 202.5 – 93 = 109.5 \text{ km}
\]
\end{enumerate}
\item \textbf{Un journaliste affirme : « Environ 57 \% du nombre total d’étapes de cette édition se sont déroulées sur un parcours accidenté. » A-t-il raison ? Expliquer votre réponse.}
Il y a \(4\) étapes accidentées sur un total de \(7\) étapes.
La proportion d’étapes accidentées est :
\[
\frac{4}{7} \approx 0.571 \text{ ou } 57.1\%
\]
L’affirmation du journaliste est correcte.
\item \textbf{L’Allemand Maximilian SCHACHMANN a remporté la course en 28 h 50 min. Le dernier au classement général a effectué l’ensemble du parcours en 30 h 12 min. Combien de retard le dernier au classement a-t-il accumulé par rapport au vainqueur ?}
Le temps du vainqueur est \(28\) heures et \(50\) minutes.
Le temps du dernier est \(30\) heures et \(12\) minutes.
La différence est :
\[
30 \text{ h } 12 \text{ min} – 28 \text{ h } 50 \text{ min}
\]
La différence en minutes est :
\[
1812 – 1730 = 82 \text{ min} = 1 \text{ h } 22 \text{ min}
\]
Donc, le dernier au classement a accumulé un retard de :
\[
1 \text{ heure et } 22 \text{ minutes}
\]
\end{enumerate}
Exercice 212 : configuration du sablier et Thalès
1) Comme \(A\) est le point d’intersection de \((DE)\) et \( (BC)\),
\[AD = 9,6\ \text{cm}\] et \[AE = 19,2\ \text{cm}\].
Nous avons que \(\triangle BAC\) est un triangle droit en \(B\),
\[ \cos(60^\circ) = \frac{AB}{AC} \]
\[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \]
D’où,
\[ \frac{AB}{8} = \frac{1}{2} \implies AB = \frac{8}{2} = 4\ \text{cm} \]
2) Les droites \((BC)\) et \((DE)\) sont parallèles car elles sont perpendiculaires à la même droite \((DB)\). En utilisant le critère des angles alternes-internes,
\[
\angle ABE = \angle BCD
\]
Comme les angles sont de \(\angle ABE = \angle BCD = 60^\circ\), les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
3) On sait que \(BD\) est perpendiculaire à \(BC\) (l’angle formé est de \(60^\circ\) + \(30^\circ\) = \(90^\circ\)). Puisque \(BC\) est parallèle à \(DE\), \(BD \) est donc perpendiculaire à \(DE\).
4) L’aire du triangle \(ADE\) est donnée par la formule de l’aire d’un triangle :
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]
où
\[ \text{base} = AD = 9.6\ \text{cm}\]
et
\[ \text{hauteur} = \perp AC = BE = \sqrt{(19.2^2 – 9.6^2)} = \sqrt{(368.64 – 92.16)} = \sqrt{276.48} \approx 16.62 \]
