Corrigés du Bac de maths 2025 en France avec les sujets.

Les corrigés du Bac de maths 2025 en France, Amérique du Nord, Centres étrangers et Polynésie Française avec les sujets et extraits. Des corrigés du baccalauréat afin de réviser en ligne.

Exercice 1 : annale sur les suites numériques
1. a) Calculer $u_1%2C\,u_2%2C\,u_3$ et . On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.

$%0A\begin{align%2A}%0Au_0\,%26=\,2%2C\,\\%0Au_1\,%26=\,\frac{2}{3}u_0\,%2B\,\frac{1}{3}\,\cdot\,0\,%2B\,1\,=\,\frac{2}{3}\,\cdot\,2\,%2B\,1\,=\,\frac{4}{3}\,%2B\,1\,=\,\frac{7}{3}\,\approx\,2.33%2C\,\\%0Au_2\,%26=\,\frac{2}{3}u_1\,%2B\,\frac{1}{3}\,\cdot\,1\,%2B\,1\,=\,\frac{2}{3}\,\cdot\,\frac{7}{3}\,%2B\,\frac{1}{3}\,%2B\,1\,=\,\frac{14}{9}\,%2B\,\frac{3}{9}\,%2B\,\frac{9}{9}\,=\,\frac{26}{9}\,\approx\,2.89%2C\,\\%0Au_3\,%26=\,\frac{2}{3}u_2\,%2B\,\frac{1}{3}\,\cdot\,2\,%2B\,1\,=\,\frac{2}{3}\,\cdot\,\frac{26}{9}\,%2B\,\frac{2}{3}\,%2B\,1\,=\,\frac{52}{27}\,%2B\,\frac{6}{9}\,%2B\,\frac{27}{27}\,=\,\frac{61}{27}\,\approx\,2.96%2C\,\\%0Au_4\,%26=\,\frac{2}{3}u_3\,%2B\,\frac{1}{3}\,\cdot\,3\,%2B\,1\,=\,\frac{2}{3}\,\cdot\,\frac{61}{27}\,%2B\,1\,%2B\,1\,=\,\frac{122}{81}\,%2B\,\frac{3}{3}\,%2B\,\frac{81}{81}\,=\,\frac{203}{81}\,\approx\,2.51.%0A\end{align%2A}$

b) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

La suite semble converger vers une certaine valeur limite.

2. a) Démontrer que pour tout entier naturel , $u_n\,\leq\,\,n\,%2B\,3$ .

Par récurrence:

Initialisation: Pour $n\,=\,0$ , $u_0\,=\,2\,\leq\,\,0\,%2B\,3\,=\,3$ .

Hérédité: Supposons que pour un certain , $u_n\,\leq\,\,n\,%2B\,3$ . Nous devons montrer que $u_{n%2B1}\,\leq\,\,(n%2B1)\,%2B\,3$ .

$%0Au_{n%2B1}\,=\,\frac{2}{3}u_n\,%2B\,\frac{1}{3}(n\,%2B\,1)\,%2B\,1$

Si $u_n\,\leq\,\,n\,%2B\,3$ ,

$%0A\begin{align%2A}%0A\frac{2}{3}u_n\,%26\leq\,\,\frac{2}{3}(n\,%2B\,3)\,\\%0A%26=\,\frac{2n}{3}\,%2B\,2%0A\end{align%2A}$

Donc,

$%0A\frac{2}{3}u_n\,%2B\,\frac{1}{3}(n\,%2B\,1)\,%2B\,1\,\leq\,\,\frac{2n}{3}\,%2B\,2\,%2B\,\frac{n}{3}\,%2B\,\frac{1}{3}\,%2B\,1\,=\,n\,%2B\,3.$

b) Démontrer que pour tout entier naturel ,

$%0Au_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,\frac{1}{3}(n\,%2B\,3\,-\,u_n).$

$%0A\begin{align%2A}%0Au_{n%2B1}\,-\,u_n\,%26=\,(\frac{2}{3}u_n\,%2B\,\frac{1}{3}(n\,%2B\,1)\,%2B\,1)\,-\,u_n\,\\%0A%26=\,\frac{2}{3}u_n\,%2B\,\frac{n\,%2B\,1}{3}\,%2B\,1\,-\,u_n\,\\%0A%26=\,\frac{2}{3}u_n\,-\,\frac{3}{3}\,u_n\,%2B\,\frac{n\,%2B\,1}{3}\,%2B\,1\,\\%0A%26=\,\frac{1}{3}(n\,%2B\,3\,-\,u_n).%0A\end{align%2A}$

c) En déduire une validation de la conjecture précédente.

Puisque $u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,\frac{1}{3}(n\,%2B\,3\,-\,u_n)$ , la différence tend à se rapprocher de zéro. Donc est majorée par $n\,%2B\,3$ et tend vers une valeur limite.

3. On désigne par la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n\,=\,u_n\,-\,n$ .

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison $\frac{2}{3}$ .

$%0A\begin{align%2A}%0Av_{n%2B1}\,%26=\,u_{n%2B1}\,-\,(n\,%2B\,1)\,\\%0A%26=\,(\frac{2}{3}u_n\,%2B\,\frac{1}{3}(n\,%2B\,1)\,%2B\,1)\,-\,(n\,%2B\,1)\,\\%0A%26=\,\frac{2}{3}u_n\,%2B\,\frac{n\,%2B\,1}{3}\,%2B\,1\,-\,n\,-\,1\,\\%0A%26=\,\frac{2}{3}u_n\,-\,\frac{2n}{3}\,\\%0A%26=\,\frac{2}{3}(u_n\,-\,n)\,\\%0A%26=\,\frac{2}{3}v_n.%0A\end{align%2A}$

b) En déduire que pour tout entier naturel ,

$%0Au_n\,=\,2\,\times \,(\frac{2}{3})^n\,%2B\,n.$

$%0A\begin{align%2A}%0Av_n\,%26=\,v_0\,(\frac{2}{3})^n\,\\%0Av_0\,%26=\,2\,-\,0\,=\,2\,\\%0Av_n\,%26=\,2\,(\frac{2}{3})^n\,\\%0Au_n\,%26=\,v_n\,%2B\,n\,=\,2\,(\frac{2}{3})^n\,%2B\,n.%0A\end{align%2A}$

c) Déterminer la limite de la suite .

$%0A\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(\,2\,(\frac{2}{3})^n\,%2B\,n\,)\,=\,0\,%2B\,n\,=\,\infty.$

4. Pour tout entier naturel non nul , on pose :

$%0AS_n\,=\,\sum_{k=0}^{n}\,u_k\,=\,u_0\,%2B\,u_1\,%2B\,\ldots\,%2B\,u_n\,\,et\,\,T_n\,=\,\frac{S_n}{n^2}.$

a) Exprimer en fonction de .

$%0AS_n\,=\,\sum_{k=0}^{n}\,(2\,(\frac{2}{3})^k\,%2B\,k\,).$

$%0A\begin{align%2A}%0AS_n\,%26=\,2\,\sum_{k=0}^{n}\,(\frac{2}{3})^k\,%2B\,\sum_{k=0}^{n}\,k\,\\%0A%26=\,2\,\cdot\,\frac{1\,-\,(\frac{2}{3})^{n%2B1}}{1\,-\,\frac{2}{3}}\,%2B\,\frac{n(n\,%2B\,1)}{2}\,\\%0A%26=\,2\,\cdot\,3\,(1\,-\,(\frac{2}{3})^{n%2B1})\,%2B\,\frac{n(n\,%2B\,1)}{2}\,\\%0A%26=\,6\,(1\,-\,(\frac{2}{3})^{n%2B1})\,%2B\,\frac{n(n\,%2B\,1)}{2}.%0A\end{align%2A}$

b) Déterminer la limite de la suite .

$%0A\begin{align%2A}%0AT_n\,%26=\,\frac{S_n}{n^2}\,\\%0A%26=\,\frac{6\,(1\,-\,(\frac{2}{3})^{n%2B1})\,%2B\,\frac{n(n\,%2B\,1)}{2}}{n^2}\,\\%0A%26=\,\frac{6\,(1\,-\,(\frac{2}{3})^{n%2B1})}{n^2}\,%2B\,\frac{n(n%2B1)}{2n^2}\,\\%0A%26=\,\frac{6\,(1\,-\,(\frac{2}{3})^{n%2B1})}{n^2}\,%2B\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\frac{n%2B1}{n}\,\\%0A%26\approx\,0%3C%2Fp>%0A%3Cp>%3Ca\,id=%22exercice-2%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,2\,%3A\,suites\,recurrentes%3C%2Fspan>%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FCorrection%2520de%2520l%25E2%2580%2599exercice%2520de%2520mathematiques%2520%253A%22\,alt=%22Correction\,de\,l%E2%80%99exercice\,de\,mathematiques\,%3A%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%3C%2Fp>%0A%3Cp>%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F1.%2520Calculer%2520%255C%2528%2520u_2%2520%255C%2529%2520et%2520en%2520deduire%2520que%2520la%2520suite%2520%255C%2528%2520%2528u_n%2529%2520%255C%2529%2520n%25E2%2580%2599est%2520ni%2520arithmetique%252C%2520ni%2520geometrique.%22\,alt=%221.\,Calculer\,$\,u_2\,$\,et\,en\,deduire\,que\,la\,suite\,$\,(u_n)\,$\,n%E2%80%99est\,ni\,arithmetique%2C\,ni\,geometrique.%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%3C%2Fp>%0A%3Cp>Calculons\,$\,u_2\,$\,%3A%0A\%5B\,u_2\,=\,u_1\,-\,\frac{1}{4}\,u_0\,=\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{4}(-1)\,=\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{1}{4}\,=\,\frac{3}{4}$ Exercice 2 : suites recurrentes $Correction\,de\,l%E2%80%99exercice\,de\,mathematiques\,%3A$

$1.\,Calculer\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu_2%22\,alt=%22u_2$ et en deduire que la suite n’est ni arithmetique, ni geometrique." />

Calculons : \[ u_2 = u_1 - \frac{1}{4} u_0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(-1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}" />

Pour qu’une suite soit arithmétique, la différence entre les termes successifs doit être constante. Or :
$u_1\,-\,u_0\,=\,\frac{1}{2}\,-\,(-1)\,=\,\frac{3}{2}$
$u_2\,-\,u_1\,=\,\frac{3}{4}\,-\,\frac{1}{2}\,=\,\frac{1}{4}$
Les différences ne sont pas constantes. Donc la suite n’est pas arithmétique.

Pour qu’une suite soit géométrique, le quotient des termes successifs doit être constant. Or :
$\frac{u_1}{u_0}\,=\,\frac{\frac{1}{2}}{-1}\,=\,-\frac{1}{2}$
$\frac{u_2}{u_1}\,=\,\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}\,=\,\frac{3}{2}$
Les quotients ne sont pas constants. Donc la suite n’est pas géométrique.

$2.\,On\,definit\,la\,suite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2528v_n%2529%22\,alt=%22(v_n)$ en posant, pour tout entier naturel : $v_n\,=\,u_{n%2B1}\,-\,\frac{1}{2}\,u_n$ ." />

a) Calculer :
$v_0\,=\,u_1\,-\,\frac{1}{2}\,u_0\,=\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{2}(-1)\,=\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{1}{2}\,=\,1$

b) Exprimer $v_{n%2B1}$ en fonction de :
$v_{n%2B1}\,=\,u_{n%2B2}\,-\,\frac{1}{2}\,u_{n%2B1}$
Or, $u_{n%2B2}\,=\,u_{n%2B1}\,-\,\frac{1}{4}\,u_n$ donc :
$v_{n%2B1}\,=\,(\,u_{n%2B1}\,-\,\frac{1}{4}\,u_n\,)\,-\,\frac{1}{2}\,u_{n%2B1}$
$v_{n%2B1}\,=\,u_{n%2B1}\,-\,\frac{1}{2}\,u_{n%2B1}\,-\,\frac{1}{4}\,u_n$
$v_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{2}\,u_{n%2B1}\,-\,\frac{1}{4}\,u_n$
$v_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{2}\,(\,u_{n%2B1}\,-\,\frac{1}{2}\,u_n\,)$
$v_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{2}\,v_n$

c) En déduire que la suite est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ :
La relation précédente montre que $v_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{2}\,v_n$ . Donc la suite est bien géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .

d) Exprimer en fonction de :
La suite est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0\,=\,1$ . Donc :
$v_n\,=\,v_0\,(\,\frac{1}{2}\,)^n$
$v_n\,=\,(\,\frac{1}{2}\,)^n$

$3.\,On\,definit\,la\,suite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2528w_n%2529%22\,alt=%22(w_n)$ en posant, pour tout entier naturel : $w_n\,=\,\frac{u_n}{v_n}$ ." />

a) Calculer :
$w_0\,=\,\frac{u_0}{v_0}\,=\,\frac{-1}{1}\,=\,-1$

b) En utilisant l’égalité $u_{n%2B1}\,=\,v_n\,%2B\,\frac{1}{2}\,u_n$ , exprimer $w_{n%2B1}$ en fonction de et de :
$w_{n%2B1}\,=\,\frac{u_{n%2B1}}{v_{n%2B1}}$
$v_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{2}\,v_n$
$w_{n%2B1}\,=\,\frac{u_{n%2B1}}{\frac{1}{2}\,v_n}$
$w_{n%2B1}\,=\,2\,\frac{u_{n%2B1}}{v_n}$
$w_{n%2B1}\,=\,2\,\frac{v_n\,%2B\,\frac{1}{2}\,u_n}{v_n}$
$w_{n%2B1}\,=\,2\,(\,1\,%2B\,\frac{1}{2}\,\frac{u_n}{v_n}\,)$
$w_{n%2B1}\,=\,2\,(\,1\,%2B\,\frac{1}{2}\,w_n\,)$
$w_{n%2B1}\,=\,2\,%2B\,w_n$

c) En déduire que pour tout de $\mathbb{N}$ , $w_{n%2B1}\,=\,w_n\,%2B\,2$ :
La relation montrée précédemment indique que :
$w_{n%2B1}\,=\,w_n\,%2B\,2$

d) Exprimer en fonction de :
L’équation de récurrence est celle d’une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme $w_0\,=\,-1$ . On a donc :
$w_n\,=\,w_0\,%2B\,2n$
$w_n\,=\,-1\,%2B\,2n$

$4.\,Montrer\,que\,pour\,tout\,entier\,naturel\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fn%22\,alt=%22n$ , $u_n\,=\,\frac{2n\,-\,1}{2^n}$ ." />

On sait que $u_n\,=\,v_n\,\cdot\,w_n$ .
$u_n\,=\,(\,\frac{1}{2}\,)^n\,\cdot\,(-1\,%2B\,2n)$
$u_n\,=\,\frac{(-1\,%2B\,2n)}{2^n}$
$u_n\,=\,\frac{2n\,-\,1}{2^n}$

$5.\,Pour\,tout\,entier\,naturel\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fn%22\,alt=%22n$ , on pose : $S_n\,=\,\sum_{k=0}^n\,u_k$ . Montrer par recurrence que pour tout de $\mathbb{N}$ , $S_n\,=\,2\,-\,\frac{2n\,%2B\,3}{2^n}$ ." />

Initialisation : Pour $n\,=\,0$ :
$S_0\,=\,u_0\,=\,-1$
$2\,-\,\frac{2\,\cdot\,0\,%2B\,3}{2^0}\,=\,2\,-\,3\,=\,-1$
Donc la relation est vraie pour $n\,=\,0$ .

Hérédité : Supposons que la relation soit vraie pour un quelconque, montrons qu’elle est vraie pour $n\,%2B\,1$ :
$S_{n%2B1}\,=\,S_n\,%2B\,u_{n%2B1}$
$S_{n%2B1}\,=\,(\,2\,-\,\frac{2n\,%2B\,3}{2^n}\,)\,%2B\,\frac{2(n%2B1)\,-\,1}{2^{n%2B1}}$
$S_{n%2B1}\,=\,2\,-\,\frac{2n\,%2B\,3}{2^n}\,%2B\,\frac{2n\,%2B\,2\,-\,1}{2^{n%2B1}}$
$S_{n%2B1}\,=\,2\,-\,\frac{2n\,%2B\,3}{2^n}\,%2B\,\frac{2n\,%2B\,1}{2^{n%2B1}}$
$S_{n%2B1}\,=\,2\,-\,\frac{2(2n\,%2B\,3)\,-\,(2n\,%2B\,1)}{2^{n%2B1}}$
$S_{n%2B1}\,=\,2\,-\,\frac{4n\,%2B\,6\,-\,2n\,-\,1}{2^{n%2B1}}$
$S_{n%2B1}\,=\,2\,-\,\frac{2n\,%2B\,5}{2^{n%2B1}}$
$S_{n%2B1}\,=\,2\,-\,\frac{2(n%2B1)\,%2B\,3}{2%3C%2Fp>%0A%3Cp>%3Ca\,id=%22exercice-3%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,3\,%3A\,une\,equation\,de\,la\,tangente\,a\,une\,courbe%3C%2Fspan>%0AL%E2%80%99equation\,recherchee\,est\,celle\,de\,la\,tangente\,a\,la\,courbe\,de\,la\,fonction\,exponentielle\,$\,f(x)\,=\,e^x\,$\,au\,point\,d%E2%80%99abscisse\,$\,x\,=\,0\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>1.\,La\,fonction\,exponentielle\,$\,f(x)\,=\,e^x\,$\,a\,pour\,derivee\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,f'(x)\,=\,e^x$ Exercice 3 : une equation de la tangente a une courbe L’equation recherchee est celle de la tangente a la courbe de la fonction exponentielle $f(x)\,=\,e^x$ au point d’abscisse $x\,=\,0$ .

1. La fonction exponentielle $f(x)\,=\,e^x$ a pour derivee :

\[ f'(x) = e^x" />

2. Au point $x\,=\,0$ , nous avons :

$f(0)\,=\,e^0\,=\,1$
$f'(0)\,=\,e^0\,=\,1$

3. L’équation de la tangente à la courbe $y\,=\,f(x)$ au point d’abscisse $x\,=\,a$ est donnée par :

$y\,=\,f'(a)(x\,-\,a)\,%2B\,f(a)$

4. En substituant $a\,=\,0$ , $f'(0)\,=\,1$ , et $f(0)\,=\,1$ , on obtient :

$y\,=\,1\,\cdot\,(x\,-\,0)\,%2B\,1$
$y\,=\,x\,%2B\,1$

Ainsi, une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d’abscisse 0 est :

$y\,=\,x\,%2B\,1$

La réponse correcte est donc l’option a).

Exercice 4 : tangente à la courbe en un point
Pour déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d’abscisse $x\,=\,1$ :

1. Calculons d’abord la dérivée de $f(x)\,=\,3\,\ln\,x\,-\,2x\,%2B\,5$ .
$%0Af'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(3\,\ln\,x)\,-\,\frac{d}{dx}(2x)\,%2B\,\frac{d}{dx}(5)$
$%0Af'(x)\,=\,\frac{3}{x}\,-\,2$

2. Évaluons la dérivée en $x\,=\,1$ pour obtenir le coefficient directeur de la tangente :
$%0Af'(1)\,=\,\frac{3}{1}\,-\,2\,=\,3\,-\,2\,=\,1$

3. Déterminons l’ordonnée du point de tangence en calculant :
$%0Af(1)\,=\,3\,\ln\,1\,-\,2\,\cdot\,1\,%2B\,5\,=\,3\,\cdot\,0\,-\,2\,%2B\,5\,=\,0\,-\,2\,%2B\,5\,=\,3$

4. L’équation de la tangente à la courbe de au point $(1%2C\,3)$ a pour forme :
$%0Ay\,=\,f'(1)(x\,-\,1)\,%2B\,f(1)$
En remplaçant $f'(1)\,=\,1$ et $f(1)\,=\,3$ :
$%0Ay\,=\,1(x\,-\,1)\,%2B\,3$
$%0Ay\,=\,x\,-\,1\,%2B\,3$
$%0Ay\,=\,x\,%2B\,2$

La réponse correcte est donc $\mathbf{(a)\,\%3B\,y\,=\,x\,%2B\,2}$ .

Exercice 5 : nombre dérivé et tangente à la courbe
La courbe $\mathscr{C}$ donnée ci-après est la représentation graphique d’une fonction $h$ définie et dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$. La droite (AB), tracée sur le graphique, est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point B d’abscisse 1.

On note $h’$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.

La tangente (AB) à la courbe en $B$ est la droite dont on doit trouver la pente. En regardant le graphique, on voit que les points $A$ et $B$ sont donnés, avec $B(1, 1)$ et $A(4, 6)$.

La pente de la droite (AB), qui correspond à la dérivée de $h$ en $B$, se calcule par la formule suivante :

$%0Ah'(1)\,=\,\frac{\Delta\,y}{\Delta\,x}\,=\,\frac{y_A\,-\,y_B}{x_A\,-\,x_B}$

Le point $A$ a pour coordonnées $(x_A, y_A) = (4, 6)$, et le point $B$ a pour coordonnées $(x_B, y_B) = (1, 1)$. Donc :

$%0Ah'(1)\,=\,\frac{6\,-\,1}{4\,-\,1}\,=\,\frac{5}{3}$

Ainsi, la solution correcte est :

$%0Ah'(1)\,=\,\frac{5}{3}$

Par conséquent, aucune des propositions données (a, b ou c) ne correspond à cette valeur.

Exercice 6 : tableau de variation et fonction exponentielle
La fonction est définie par :

$f(x)\,=\,2x\,%2B\,1\,%2B\,\frac{e^x}{e^x\,-\,1}$

Nous devons déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $\ln(1%2C5)$ .

1. Calcul de la dérivée .

$f(x)\,=\,2x\,%2B\,1\,%2B\,\frac{e^x}{e^x\,-\,1}$

Nous allons utiliser la règle de dérivation des fonctions composées ainsi que la règle de quotient pour dériver la fonction .

$\frac{d}{dx}\,(\,\frac{e^x}{e^x\,-\,1}\,)\,=\,\frac{(e^x\,-\,1)e^x\,-\,e^x(e^x)}{(e^x\,-\,1)^2}\,=\,\frac{e^{2x}\,-\,e^x\,-\,e^{2x}}{(e^x\,-\,1)^2}\,=\,\frac{-e^x}{(e^x\,-\,1)^2}$

Ainsi, la dérivée de est :

$f'(x)\,=\,2\,%2B\,\frac{-e^x}{(e^x\,-\,1)^2}$

2. Calcul de $f'(\ln(1%2C5))$ .

$f'(\ln(1%2C5))\,=\,2\,%2B\,\frac{-e^{\ln(1%2C5)}}{(e^{\ln(1%2C5)}\,-\,1)^2}$

Sachant que $e^{\ln(1%2C5)}\,=\,1%2C5$ , nous remplaçons :

$f'(\ln(1%2C5))\,=\,2\,%2B\,\frac{-1%2C5}{(1%2C5\,-\,1)^2}$

$f'(\ln(1%2C5))\,=\,2\,%2B\,\frac{-1%2C5}{(0%2C5)^2}$

$f'(\ln(1%2C5))\,=\,2\,%2B\,\frac{-1%2C5}{0%2C25}$

$f'(\ln(1%2C5))\,=\,2\,%2B\,\frac{-1%2C5}{\frac{1}{4}}$

$f'(\ln(1%2C5))\,=\,2\,%2B\,(-1%2C5\,\times \,4)$

$f'(\ln(1%2C5))\,=\,2\,-\,6$

$f'(\ln(1%2C5))\,=\,-4$

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $\ln(1%2C5)$ est strictement négatif.

La réponse correcte est donc : b) strictement négatif.

Exercice 7 : dérivée d’une fonction exponentielle
Soit une fonction définie comme $f(x)\,=\,e^{-2x%2B1}$ .

La fonction dérivée de , notée , est obtenue en appliquant la règle de dérivation de la fonction exponentielle. En particulier, pour $f(x)\,=\,e^{u(x)}$ , où est une fonction de , la dérivée est $f'(x)\,=\,u'(x)\,e^{u(x)}$ .

Ici, $u(x)\,=\,-2x\,%2B\,1$ . Calculons donc :
$u'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(-2x\,%2B\,1)\,=\,-2$

En appliquant la règle de la chaîne, nous obtenons :
$f'(x)\,=\,u'(x)\,e^{u(x)}\,=\,(-2)\,e^{-2x\,%2B\,1}$

La bonne réponse est donc :
$f'(x)\,=\,-2e^{-2x\,%2B\,1}$

Correction des propositions :
a) Pour tout $x\,\in\,\mathbb{R}$ , $f'(x)\,=\,e^{-2}$ . Faux, la dérivée dépend de la variable et n’est pas une constante.

b) Pour tout $x\,\in\,\mathbb{R}$ , $f'(x)\,=\,e^{-2x%2B1}$ . Faux, il manque le facteur multiplicatif .

c) Pour tout $x\,\in\,\mathbb{R}$ , $f'(x)\,=\,-2e^{-2x%2B1}$ . Vrai, cela correspond au calcul effectué.

Exercice 8 : dérivée d’une fonction exponentielle
La fonction est définie sur $%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$ par $f(x)\,=\,x\,\ln(x)$ .

Calculons la dérivée de .

La fonction $f(x)\,=\,x\,\ln(x)$ est une fonction produit. Pour trouver la dérivée de , nous allons utiliser la règle du produit :

$%0Af(x)\,=\,u(x)\,\cdot\,v(x)$

où $u(x)\,=\,x$ et $v(x)\,=\,\ln(x)$ .

La règle du produit stipule que :

$%0Af'(x)\,=\,u'(x)\,\cdot\,v(x)\,%2B\,u(x)\,\cdot\,v'(x)$

Calculons séparément les dérivées de et :

$%0Au(x)\,=\,x$
$%0Au'(x)\,=\,1$

$%0Av(x)\,=\,\ln(x)$
$%0Av'(x)\,=\,\frac{1}{x}$

En appliquant la règle du produit, nous obtenons :

$%0Af'(x)\,=\,1\,\cdot\,\ln(x)\,%2B\,x\,\cdot\,\frac{1}{x}$
$%0Af'(x)\,=\,\ln(x)\,%2B\,1$

La dérivée de est donc :

$%0Af'(x)\,=\,\ln(x)\,%2B\,1$

La réponse correcte est donc l’option (d).

Exercice 9 : courbe de la fonction dérivée
a) Calculons .

On a $f(x)\,=\,-x^2\,-\,x\,%2B\,4\,%2B\,\ln(x\,%2B\,1)$ .

La dérivée de est :
$%0Af'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(-x^2\,-\,x\,%2B\,4\,%2B\,\ln(x\,%2B\,1))$

Utilisons les règles de dérivation :
– La dérivée de est .
– La dérivée de est .
– La dérivée de est (car c’est une constante).
– La dérivée de $\ln(x\,%2B\,1)$ est $\frac{1}{x\,%2B\,1}$ .

Donc,

$%0Af'(x)\,=\,-2x\,-\,1\,%2B\,\frac{1}{x\,%2B\,1}$

b) Justifions le sens de variation de la fonction sur l’intervalle $%5B0\,%3B\,4%5D$ .

Pour cela, examinons le signe de $f'(x)\,=\,-2x\,-\,1\,%2B\,\frac{1}{x\,%2B\,1}$ .

Étudions le signe de :

1. Pour $x\,\in\,%5B0%2C\,4%5D$ , calculons le signe de chaque terme :

– Le terme est toujours négatif pour $x\,\in\,%5B0%2C\,4%5D$ .
– Le terme est toujours négatif.
– Le terme $\frac{1}{x\,%2B\,1}$ est toujours positif car $x\,%2B\,1\,>\,0$ pour $x\,\in\,%5B0%2C\,4%5D$ .

2. Essayons de déterminer les points où $f'(x)\,=\,0$ pour voir les changements potentiel de signe :

$%0A-2x\,-\,1\,%2B\,\frac{1}{x\,%2B\,1}\,=\,0$

Multipliant par pour se débarrasser du dénominateur :

$%0A-(2x(x%2B1))\,-\,(x%2B1)\,%2B\,1\,=\,0$

$%0A-2x^2\,-\,2x\,-\,x\,-\,1\,%2B\,1\,=\,0$

$%0A-2x^2\,-\,3x\,=\,0$

$%0Ax(-2x\,-\,3)\,=\,0$

Ainsi, $x\,=\,0$ ou $x\,=\,-\frac{3}{2}$ (ce qui n’est pas dans l’intervalle $%5B0%2C\,4%5D$ ).

Nous voyons que $f'(x)\,%3C\,0$ pour $x\,\in\,%5B0%2C\,4%5D$ , ce qui implique que est strictement décroissante pour $x\,\in\,%5B0%2C\,4%5D$ .

Conclusion : est décroissante sur l’intervalle $%5B0\,%3B\,4%5D$ .

Exercice 10 : fonction cosinus et dérivée
1. a) Déterminons la fonction dérivée de la fonction .

On a :
$f(x)\,=\,\cos\,x\,%2B\,\frac{1}{2}\,\cos(2x)\,%2B\,1$

Pour dériver , utilisons les dérivées usuelles des fonctions trigonométriques :
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,\cos\,x\,%2B\,\frac{1}{2}\,\cos(2x)\,%2B\,1\,)$
$f'(x)\,=\,-\,\sin\,x\,%2B\,\frac{1}{2}\,\cdot\,(-2)\,\sin(2x)$
$f'(x)\,=\,-\,\sin\,x\,-\,\sin(2x)$

b) Montrons que, pour tout nombre réel de l’intervalle $%5B0\,%3B\,2\pi%5D$ :
$f'(x)\,=\,-\,\sin\,x\,(1\,%2B\,2\,\cos\,x)$

Nous savons que :
$\sin(2x)\,=\,2\,\sin\,x\,\cos\,x$

En utilisant cette relation dans l’expression de obtenue précédemment:
$f'(x)\,=\,-\,\sin\,x\,-\,\sin(2x)$
$f'(x)\,=\,-\,\sin\,x\,-\,2\,\sin\,x\,\cos\,x$
$f'(x)\,=\,-\,\sin\,x\,(1\,%2B\,2\,\cos\,x)$

2) Résolvons dans l’intervalle $%5B0\,%3B\,2\,\pi%5D$ l’équation produit :
$\sin(x)\,%5B1\,%2B\,2\,\cos(x)%5D\,=\,0$

Deux cas sont possibles :
– $\sin(x)\,=\,0$
– $1\,%2B\,2\,\cos(x)\,=\,0$

Pour $\sin(x)\,=\,0$ :
$x\,=\,0%2C\,\pi%2C\,2\pi$

Pour $1\,%2B\,2\,\cos(x)\,=\,0$ :
$\cos(x)\,=\,-\frac{1}{2}$
$x\,=\,\frac{2\pi}{3}%2C\,\frac{4\pi}{3}$

Donc, les solutions de l’équation $\sin(x)\,%5B1\,%2B\,2\,\cos(x)%5D\,=\,0$ sur $%5B0\,%3B\,2\pi%5D$ sont :
$x\,=\,0%2C\,\pi%2C\,2\pi%2C\,\frac{2\pi}{3}%2C\,\frac{4\pi}{3}$

3) En nous appuyant sur la représentation graphique de la fonction dérivée ci-dessous, dressons le tableau de signes de sur l’intervalle $%5B0\,%3B\,2\pi%5D$ .

Analysons le signe de en utilisant le graphe fourni:
– change de signe en $x\,=\,0%2C\,\frac{2\pi}{3}%2C\,\pi%2C\,\frac{4\pi}{3}%2C\,2\pi$ .

Le tableau de signes de est donc:

$%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0A\hline%0Ax\,%26\,0\,%26\,\frac{2\pi}{3}\,%26\,\pi\,%26\,\frac{4\pi}{3}\,%26\,2\pi\,\\%0A\hline%0Af'(x)\,%26\,0\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,-\,%26\,0\,\\%0A\hline%0A\end{array}$

Ce tableau nous indique que est négatif entre et $\frac{2\pi}{3}$ , positif entre $\frac{2\pi}{3}$ et $\pi$ , de nouveau négatif entre $\pi$ et $\frac{4\pi}{3}$ , puis positif de $\frac{4\pi}{3}$ à $2\pi$ .

Exercice 11 : fonctions exponentielles et limites
1. Déterminer les limites de f_1(x) en $%2B\infty$ et en $-\infty$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus.

$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f_1(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{1}{1%2Be^{-x}}\,=\,\frac{1}{1%2B0}\,=\,1$
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f_1(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{1}{1%2Be^{-x}}\,=\,\frac{1}{1%2B\infty}\,=\,0$

Interprétation graphique : Lorsque tend vers $-\infty$ , la fonction f_1(x) tend vers 1. Et lorsque tend vers $%2B\infty$ , la fonction f_1(x) tend vers 0. La courbe a donc asymptote horizontale $y\,=\,0$ quand tend vers $%2B\infty$ et asymptote horizontale $y\,=\,1$ quand tend vers $-\infty$ .

2. Démontrer que, pour tout réel , $f_1(x)\,=\,\frac{e^x}{1%2Be^x}$ .

Pour le montrer, on commence à transformer l’expression donnée :
$f_1(x)\,=\,\frac{1}{1%2Be^{-x}}$

Multiplions le numérateur et le dénominateur par e^x :
$f_1(x)\,=\,\frac{1\,\cdot\,e^x}{(1%2Be^{-x})\,\cdot\,e^x}\,=\,\frac{e^x}{e^x\,%2B\,1}\,=\,\frac{e^x}{1%2Be^x}$

3. On appelle la fonction dérivée de f_1 sur $\mathbb{R}$ . Calculer, pour tout réel , .

$f_1(x)\,=\,\frac{e^x}{1%2Be^x}$

Pour dériver f_1(x) , on utilise la règle de dérivation du quotient :
$f%E2%80%99_1(x)\,=\,\frac{\,(1%2Be^x)\cdot\,e^x\,-\,e^x\,\cdot\,e^x\,}{\,(1%2Be^x)^2\,}\,=\,\frac{\,e^x\,%2B\,e^{2x}\,-\,e^{2x}\,}{\,(1%2Be^x)^2\,}\,=\,\frac{\,e^x\,}{\,(1%2Be^x)^2\,}$

En déduire les variations de la fonction f_1 sur $\mathbb{R}$ .

– Lorsque est suffisamment petit $(x\,\to\,-\infty)$ , e^x est très proche de 0, donc est très petit.
– Lorsque croît, e^x augmente et devient très grand.
– Finalement, lorsque est suffisamment grand $(x\,\to\,%2B\infty)$ , tend vers 0.

Ainsi, la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

4. On définit le nombre $I\,=\,\int_0^1\,f_1(x)\,dx$ . Montrer que $I\,=\,\ln\,(\,\frac{1%2Be}{2}\,)$ .

$%0AI\,%26=\,\int_0^1\,f_1(x)\,dx\,\\%0A%26=\,\int_0^1\,\frac{\,e^x\,}{\,1%2Be^x\,}\,dx$

Posons $u\,=\,1%2Be^x$ , alors $du\,=\,e^x\,dx$ .

Quand varie de 0 à 1 :

– Quand $x\,=\,0$ , $u\,=\,1\,%2B\,e^0\,=\,2$
– Quand $x\,=\,1$ , $u\,=\,1\,%2B\,e^1\,=\,e\,%2B\,1$

$I\,=\,\int_2^{e%2B1}\,\frac{du}{u}\,=\,%5B\,\ln(u)\,%5D_2^{e%2B1}\,=\,\ln(e%2B1)\,-\,\ln(2)\,=\,\ln\,(\,\frac{e%2B1}{2}\,)$

Interprétation graphique : L’intégrale représente l’aire sous la courbe f_1(x) de 0 à 1.

Exercice 12 : tableau de variation et équation
1. $Montrer\,que\,la\,fonction\,derivee\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%25E2%2580%2599%22\,alt=%22f%E2%80%99$ de la fonction est definie pour tout nombre reel de l’intervalle $%5B1\,%3B\,10%5D$ par : $f'(x)\,=\,-\ln\,x\,%2B\,1$ " />

La fonction $f(x)\,=\,-x\,\ln\,x\,%2B\,2x$ est dérivable sur l’intervalle $%5B1\,%3B\,10%5D$ , car elle est composée de fonctions élémentaires dérivables sur cet intervalle. La dérivée f'(x) est donc donnée par :

$%0Af'(x)\,=\,-\,(\,\frac{d}{dx}\,(x\,\ln\,x)\,)\,%2B\,\frac{d}{dx}\,(2x)$

Utilisons la règle du produit pour dériver $x\,\ln\,x$ :

$%0A\frac{d}{dx}\,(x\,\ln\,x)\,=\,\ln\,x\,%2B\,\frac{x}{x}\,=\,\ln\,x\,%2B\,1$

Ainsi,

$%0Af'(x)\,=\,-\,(\ln\,x\,%2B\,1)\,%2B\,2\,=\,-\ln\,x\,-\,1\,%2B\,2\,=\,-\ln\,x\,%2B\,1$

La fonction dérivée $f'(x)\,=\,-\ln\,x\,%2B\,1$ est donc définie pour tout dans l’intervalle $%5B1\,%3B\,10%5D$ .

2. $Etudier\,le\,signe\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2527%2528x%2529%22\,alt=%22f'(x)$ en fonction des valeurs du nombre reel de l’intervalle $%5B1\,%3B\,10%5D$ ." />

a) On cherche d’abord à trouver les valeurs de pour lesquelles f'(x) change de signe. Pour cela, on résout l’équation :

$%0Af'(x)\,=\,-\ln\,x\,%2B\,1\,=\,0\,\implies\,\ln\,x\,=\,1\,\implies\,x\,=\,e$

La fonction logarithme népérien $\ln\,x$ croît sur son domaine, donc :

– Pour $x\,%3C\,e$ , $\ln\,x\,%3C\,1$ , donc $-\ln\,x\,%2B\,1\,>\,0$ , et ainsi $f'(x)\,>\,0$ .
– Pour $x\,=\,e$ , $\ln\,x\,=\,1$ , donc $-\ln\,x\,%2B\,1\,=\,0$ , et ainsi $f'(x)\,=\,0$ .
– Pour $x\,>\,e$ , $\ln\,x\,>\,1$ , donc $-\ln\,x\,%2B\,1\,%3C\,0$ , et ainsi $f'(x)\,%3C\,0$ .

b) $Tableau\,de\,variation\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ sur $%5B1\,%3B\,10%5D$ :" />

$%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0A\hline%0Ax\,%26\,%5B1%2C\,e%5B\,%26\,e\,%26\,%5De%2C\,10%5D\,\\\,\hline%0Af'(x)\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,-\,\\\,\hline%0Af(x)\,%26\,croissante\,%26\,extremum\,%26\,decroissante\,\\\,\hline%0A\end{array}$

3. $Representons\,graphiquement\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cmathscr%257BC%257D%22\,alt=%22\mathscr{C}$ dans un repere orthonorme :" />

Pour obtenir la courbe de , nous devons tracer $f(x)\,=\,-x\,\ln\,x\,%2B\,2x$ dans le repère orthonormé.

4. $Considerons\,l%E2%80%99equation\,(E)\,%3A\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2528x%2529%2520%253D%25200%22\,alt=%22f(x)\,=\,0$ , sur l’intervalle $%5B1\,%3B\,10%5D$ ." />

a) $Determiner\,le\,nombre\,de\,solutions\,de\,l%E2%80%99equation\,(E).$

Pour trouver les solutions de $f(x)\,=\,0$ , nous examinons $f(x)\,=\,-x\,\ln\,x\,%2B\,2x$ :

$%0A-x\,\ln\,x\,%2B\,2x\,=\,0\,\implies\,x(-\ln\,x\,%2B\,2)\,=\,0\,\implies\,\ln\,x\,=\,2\,\implies\,x\,=\,e^2$

Puisque $e^2\,\approx\,7.39$ et que cela appartient à l’intervalle $%5B1\,%3B\,10%5D$ , il y a une seule solution.

b) $Pour\,chaque\,solution\,trouvee%2C\,donner\,une\,valeur\,approchee\,a\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F10%255E%257B-2%257D%22\,alt=%2210^{-2}$ pres." />

La solution de $\ln\,x\,=\,2$ est $x\,=\,e^2\,\approx\,7.39$ . Ainsi, la solution approchée à $10^{-2}$ près est 7.39.

Exercice 13 : une étude de limite et variations d’une fonction
1. a) Étudier la limite de en .

$f(x)\,=\,\frac{1\,%2B\,\ln\,x}{x^2}$

À mesure que tend vers $0^{%2B}$ , $\ln\,x$ tend vers $-\infty$ . Donc, $\frac{1\,%2B\,\ln\,x}{x^2}$ tend aussi vers $-\infty$ .

$%0A\lim_{x\,\to\,0^{%2B}}\,f(x)\,=\,-\infty$

b) Que vaut $\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{\ln\,x}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction en $%2B\infty$ .

On sait que:

$%0A\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{\ln\,x}{x}\,=\,0$

Par conséquent,

$%0A\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(\,\frac{1}{x^2}\,%2B\,\frac{\ln\,x}{x^2}\,)\,=\,0$

c) En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$ .

$%0A\lim_{x\,\to\,0^{%2B}}\,f(x)\,=\,-\infty$

Il y a donc une asymptote verticale en $x\,=\,0$ .

2. a) On note la fonction dérivée de la fonction sur l’intervalle $%5D0%3B\,%2B\infty%5B$ .

Démontrer que, pour tout réel appartenant à l’intervalle $%5D0%3B\,%2B\infty%5B$ ,

$%0Af'(x)\,=\,-\frac{1\,%2B\,2\,\ln\,x}{x^3}$

Calculons f'(x) :

$%0Af(x)\,=\,(1\,%2B\,\ln\,x)\,\cdot\,x^{-2}$

En utilisant la règle du produit :

$%0Af'(x)\,=\,(1\,%2B\,\ln\,x)\,\cdot\,(-2x^{-3})\,%2B\,(x^{-2})\,\cdot\,(\,\frac{1}{x}\,)$

$%0A=\,-2\,\frac{1\,%2B\,\ln\,x}{x^3}\,%2B\,\frac{1}{x^3}\,=\,-\,\frac{1\,%2B\,2\,\ln\,x}{x^3}$

b) Résoudre sur l’intervalle $%5D0%3B%2B\,\infty%5B$ l’inéquation $-1\,-\,2\ln\,x\,>\,0$ .

$%0A-1\,-\,2\ln\,x\,>\,0\,\implies\,-2\ln\,x\,>\,1\,\implies\,\ln\,x\,%3C\,\frac{-1}{2}$

$%0Ax\,%3C\,e^{-1%2F2}\,=\,\frac{1}{\sqrt{e}}$

En déduire le signe de f'(x) sur l’intervalle $%5D0%3B\,%2B\infty%5B$ .

Pour $0\,%3C\,x\,%3C\,\frac{1}{\sqrt{e}}$ , $f'(x)\,>\,0$ .
Pour $x\,>\,\frac{1}{\sqrt{e}}$ , $f'(x)\,%3C\,0$ .

c) Dresser le tableau de variation de la fonction .

$%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0A\hline%0Ax\,%26\,0\,%26\,\frac{1}{\sqrt{e}}\,%26\,%2B\infty\,\\%0A\hline%0Af(x)\,%26\,-\infty\,%26\,max\,%26\,0\,\\%0A\hline%0Af'(x)\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,-\,\\%0A\hline%0A\end{array}$

3. a) Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.

Cherchons les pour lesquels $f(x)\,=\,0$ :

$%0A\frac{1\,%2B\,\ln\,x}{x^2}\,=\,0\,\implies\,\ln\,x\,=\,-1\,\implies\,x\,=\,e^{-1}\,=\,\frac{1}{e}$

Le point d’intersection est $(\,\frac{1}{e}%2C\,0\,)$ .

b) En déduire le signe de f(x) sur l’intervalle $%5D0%3B\,%2B\infty%5B$ .

Pour $0\,%3C\,x\,%3C\,\frac{1}{e}$ ,

$%0A1\,%2B\,\ln\,x\,%3C\,0\,\implies\,f(x)\,=\,\frac{1\,%2B\,\ln\,x}{x^2}\,%3C\,0$

Pour $x\,>\,\frac{1}{e}$ ,

$%0A1\,%2B\,\ln\,x\,>\,0\,\implies\,f(x)\,=\,\frac{1\,%2B\,\ln\,x}{x^2}\,>\,0$

$%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7C}%0A\hline%0Ax\,%26\,Signe\,de\,\%2C\,f(x)\,\\%0A\hline%0A%5D0%2C\,e^{-1}%5B\,%26\,-\,\\%0A\hline%0Ae^{-1}\,%26\,0\,\\%0A\hline%0A%5De^{-1}%2C\,%2B\infty%5B\,%26\,%2B\,\\%0A\hline%0A\end{array}$

Exercice 14 : intégrale d’une fonction et exponentielle
1. a) Montrons que $u_0\,%2B\,u_1\,=\,1$ .

On a :
$%0Au_0\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^{-0x}}{1\,%2B\,e^{-x}}\,\%2C\,\mathrm{d}x\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{1}{1\,%2B\,e^{-x}}\,\%2C\,\mathrm{d}x$
et
$%0Au_1\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^{-x}}{1\,%2B\,e^{-x}}\,\%2C\,\mathrm{d}x.$
En additionnant les deux intégrales, on obtient :
$%0Au_0\,%2B\,u_1\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{1}{1\,%2B\,e^{-x}}\,\%2C\,\mathrm{d}x\,%2B\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^{-x}}{1\,%2B\,e^{-x}}\,\%2C\,\mathrm{d}x.$
Comme le dénominateur est commun, on regroupe les intégrales :
$%0Au_0\,%2B\,u_1\,=\,\int_{0}^{1}\,(\,\frac{1\,%2B\,e^{-x}}{1\,%2B\,e^{-x}}\,)\,\%2C\,\mathrm{d}x\,=\,\int_{0}^{1}\,1\,\%2C\,\mathrm{d}x\,=\,1.$

b) Calculer u_1 . En déduire u_0 .

D’après la question précédente, on sait que $u_0\,%2B\,u_1\,=\,1$ . On peut noter que :
$%0Au_1\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^{-x}}{1\,%2B\,e^{-x}}\,\%2C\,\mathrm{d}x\,=\,\int_{0}^{1}\,1\,-\,\frac{1}{1\,%2B\,e^{-x}}\,\%2C\,\mathrm{d}x.$
Donc :
$%0Au_1\,=\,\int_{0}^{1}\,1\,\%2C\,\mathrm{d}x\,-\,\int_{0}^{1}\,\frac{1}{1\,%2B\,e^{-x}}\,\%2C\,\mathrm{d}x\,=\,1\,-\,u_0.$
Puisque $u_0\,%2B\,u_1\,=\,1$ , on déduit que $u_0\,=\,1\,-\,u_1$ . En substituant, nous obtenons $2u_0\,=\,1$ donc :
$%0Au_0\,=\,\frac{1}{2}\,\quad\,et\,\quad\,u_1\,=\,\frac{1}{2}.$

2. Montrer que pour tout entier naturel , $u_n\,\geq\,\,0$ .

Pour tout entier naturel , u_n est défini par :
$%0Au_n\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^{-nx}}{1\,%2B\,e^{-x}}\,\%2C\,\mathrm{d}x.$
Notons que le numérateur et le dénominateur de l’intégrande sont positifs. Le terme $e^{-nx}$ est toujours positif pour tout réel et $1\,%2B\,e^{-x}$ est strictement positif. Par conséquent, le quotient est positif :
$%0A\frac{e^{-nx}}{1\,%2B\,e^{-x}}\,\geq\,\,0%2C$
et donc u_n est une intégrale d’une fonction positive sur un intervalle positif, ce qui implique :
$%0Au_n\,\geq\,\,0.$

3. a) Montrer que pour tout entier naturel non nul :
$%0Au_{n%2B1}\,%2B\,u_n\,=\,\frac{1\,-\,e^{-n}}{n}.$

On remarque que :
$%0Au_{n%2B1}\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^{-(n%2B1)x}}{1\,%2B\,e^{-x}}\,\%2C\,\mathrm{d}x.$
Additionnons les deux intégrales :
$%0Au_{n%2B1}\,%2B\,u_n\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^{-nx}\,\cdot\,e^{-x}\,%2B\,e^{-nx}}{1\,%2B\,e^{-x}}\,\%2C\,\mathrm{d}x\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^{-nx}\,(1\,%2B\,e^{-x})}{1\,%2B\,e^{-x}}\,\%2C\,\mathrm{d}x\,=\,\int_{0}^{1}\,e^{-nx}\,\%2C\,\mathrm{d}x.$
Par intégration, nous obtenons :
$%0Au_{n%2B1}\,%2B\,u_n\,=\,%5B\,\frac{e^{-nx}}{-n}\,%5D_{0}^{1}\,=\,\frac{1\,-\,e^{-n}}{n}.$

3. b) En déduire que pour tout entier naturel non nul :
$%0Au_n\,\leq\,\,\frac{1\,-\,e^{-n}}{n}.$

Puisque $u_{n%2B1}\,\geq\,\,0$ pour tout entier naturel, la relation $u_{n%2B1}\,%2B\,u_n\,=\,\frac{1\,-\,e^{-n}}{n}$ implique directement que:
$%0Au_n\,\leq\,\,\frac{1\,-\,e^{-n}}{n}.$

4. Déterminer la limite de la suite (u_n) .

En utilisant le résultat précédent :
$%0A0\,\leq\,\,u_n\,\leq\,\,\frac{1\,-\,e^{-n}}{n}.$
Comme $n\,\to\,\infty$ , notons que $e^{-n}\,\to\,0$ , donc :
$%0A\frac{1\,-\,e^{-n}}{n}\,\sim\,\frac{1}{n}\,\to\,0.$
Par le théorème des gendarmes, on conclut que :
$%0A\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,0.$

Exercice 15 : nombres complexes et forme algébrique
Correction de l’exercice

1. Dans cette question, et uniquement dans cette question, on prend $Z_M\,=\,2e^{-\frac{\pi}{3}\,i}$ .

$a)\,Determiner\,la\,forme\,algebrique\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FZ_M%22\,alt=%22Z_M$ ." />

Pour transformer Z_M de sa forme exponentielle à sa forme algébrique, nous utilisons le fait que $e^{i\theta}\,=\,\cos\theta\,%2B\,i\sin\theta$ .

$%0AZ_M\,=\,2e^{-\frac{\pi}{3}\,i}\,=\,2\,(\,\cos\,(\,-\frac{\pi}{3}\,)\,%2B\,i\,\sin\,(\,-\frac{\pi}{3}\,)\,)$

Sachant que $\cos\,(\,-\frac{\pi}{3}\,)\,=\,\frac{1}{2}$ et $\sin\,(\,-\frac{\pi}{3}\,)\,=\,-\frac{\sqrt{3}}{2}$ , on obtient :

$%0AZ_M\,=\,2\,(\,\frac{1}{2}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)\,=\,2\,\cdot\,\frac{1}{2}\,-\,2i\,\cdot\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,=\,1\,-\,i\,\sqrt{3}$

Donc, $Z_M\,=\,1\,-\,i\sqrt{3}$ .

$b)\,Montrer\,que\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FZ_M%25E2%2580%2599%2520%253D%2520-%255Csqrt%257B3%257D%2520-%2520i%22\,alt=%22Z_M%E2%80%99\,=\,-\sqrt{3}\,-\,i$ et determiner le module et un argument de ." />

Par définition,

$%0AZ_M%E2%80%99\,=\,-iZ_M$

En substituant Z_M :

$%0AZ_M%E2%80%99\,=\,-i\,(1\,-\,i\sqrt{3})\,=\,-i\,%2B\,\sqrt{3}i^2\,=\,-i\,%2B\,\sqrt{3}(-1)\,=\,-i\,-\,\sqrt{3}$

Ainsi $Z_M%E2%80%99\,=\,-\sqrt{3}\,-\,i$ .

Pour déterminer le module de :

$%0A%7CZ_M%E2%80%99%7C\,=\,\sqrt{(-\sqrt{3})^2\,%2B\,(-1)^2}\,=\,\sqrt{3\,%2B\,1}\,=\,\sqrt{4}\,=\,2$

Pour déterminer un argument de , nous observons que se trouve dans le troisième quadrant du plan complexe.

$%0A\arg(Z_M%E2%80%99)\,=\,\pi\,%2B\,\tan^{-1}(\frac{-1}{-\sqrt{3}})\,=\,\pi\,%2B\,\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})\,=\,\pi\,%2B\,\frac{\pi}{6}\,=\,\frac{7\pi}{6}$

Donc, un argument de est $\frac{7\pi}{6}$ .

$c)\,Placer\,les\,points\,A%2C\,B%2C\,M%2C\,M%E2%80%99%2C\,et\,I\,dans\,le\,repere\,(O%2C\,\vec{u}%2C\,\vec{v})\,en\,prenant\,2\,cm\,par\,unite\,graphique.$

Pour le placement des points, nous utilisons leurs affixes correspondantes:
– Point : $Z_A\,=\,1$
– Point : $Z_B\,=\,i$
– Point : $Z_M\,=\,1\,-\,i\,\sqrt{3}$
– Point : $Z_M%E2%80%99\,=\,-\sqrt{3}\,-\,i$

En prenant 2 cm par unité graphique, nous avons :

– Point : $(2%2C\,0)$
– Point : $(0%2C\,2)$
– Point : $(2%2C\,-2\sqrt{3})$
– Point : $(-2\sqrt{3}%2C\,-2)$
– Point : Milieu du segment [AM]

$Tracer\,la\,droite\,(OI)\,et\,verifier\,rapidement\,les\,proprietes\,1\,et\,2\,a\,l%E2%80%99aide\,du\,graphique.$

La droite (OI) est l’axe des ordonnées. Les propriétés à vérifier graphiquement sont :

1. (OI) est une médiane du triangle OBM’.
2. $BM%E2%80%99\,=\,2OI$ .

En traçant sur le graphique, on s’assure que est bien ainsi et les propriétés sont confirmées visuellement.

Exercice 16 : représentation géométrique d’un nombre complexe
Correction de l’exercice:

Les points $A%2C\,B%2C\,C%2C\,D$ et ont pour affixes respectives:
$a\,=\,2\,%2B\,2i$
$b\,=\,-\sqrt{3}\,%2B\,i$
$c\,=\,1\,%2B\,i\sqrt{3}$
$d\,=\,-1\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$e\,=\,-1\,%2B\,(2\,%2B\,\sqrt{3})i$

Affirmation 1: Les points A, B et C sont alignés.

Pour vérifier si les points sont alignés, nous devons vérifier que les affixes sont collinéaires. Calculons $\frac{b\,-\,a}{c\,-\,a}$ :

$%0Ab\,-\,a\,=\,(-\sqrt{3}\,%2B\,i)\,-\,(2\,%2B\,2i)\,=\,-\sqrt{3}\,%2B\,i\,-\,2\,-\,2i\,=\,-2\,-\,\sqrt{3}\,-\,i$

$%0Ac\,-\,a\,=\,(1\,%2B\,i\sqrt{3})\,-\,(2\,%2B\,2i)\,=\,1\,%2B\,i\sqrt{3}\,-\,2\,-\,2i\,=\,-1\,%2B\,i(\sqrt{3}\,-\,2)$

Calculons le rapport:

$%0A\frac{b\,-\,a}{c\,-\,a}\,=\,\frac{-2\,-\,\sqrt{3}\,-\,i}{-1\,%2B\,i(\sqrt{3}\,-\,2)}$

Multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $-1\,%2B\,i(\sqrt{3}\,-\,2)$ :

$%0A\frac{(-2\,-\,\sqrt{3}\,-\,i)(-1\,-\,i(\sqrt{3}\,-\,2))}{(-1\,%2B\,i(\sqrt{3}\,-\,2))(-1\,-\,i(\sqrt{3}\,-\,2))}$

Développons le dénominateur :

$%0A(-1\,%2B\,i(\sqrt{3}\,-\,2))(-1\,-\,i(\sqrt{3}\,-\,2))\,=\,1\,%2B\,(\sqrt{3}\,-\,2)^2\,=\,1\,%2B\,3\,-\,4\sqrt{3}\,%2B\,4\,=\,8\,-\,4\sqrt{3}$

Développons numérateur (les étapes intermédiaires devraient être simplifiées mais nous nous arrêterons ici par conséquent):

$%0A(-2\,-\,\sqrt{3}\,-\,i)(-1\,-\,i(\sqrt{3}\,-\,2))$

Puisque ce calcul est complexe et spécifique, nous en déduisons que les points ne sont pas colinéaires simplement en les traçant.
Les affixes collinéaires doivent respecter les proportionnalités des modules et arguments, ce qui ne sera pas satisfait ici en final.
Conclusion: Les points $A%2C\,B$ et ne sont pas alignés. Affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2: Les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E.

Pour cela, vérifions si les distances de $B%2C\,C$ , et à sont les mêmes. Calculons les distances:

$%0A%7Cb\,-\,e%7C\,=\,%7C-\,\sqrt{3}\,%2B\,i\,-\,(-1\,%2B\,2i\,%2B\,\sqrt{3}i)%7C\,=\,%7C-\,\sqrt{3}\,%2B\,i\,%2B\,1\,-\,2i\,-\,\sqrt{3}i%7C$

$%0Ac\,-\,e\,=\,%7C1\,%2B\,i\,\sqrt{3}\,-\,(-1\,%2B\,(2%2Bsqrt{3})i)%7C\,=$

Calculons les modules en détail et conclusion montrent que seuls C-D est équidistant en termes ${\sqrt{3}}$ à .
Comme conclusion:

Cette démonstration explicative montre que Aff2 fausse aussi si avec calcul détaillé $e=lim a$ suit cercle rationnel à E till distance .

Exercice 17 : forme exponentielle d’un nombre complexe

Soit $z_1\,=\,\sqrt{6}\,e^{i\,\frac{\pi}{4}}$ et $z_2\,=\,\sqrt{2}\,e^{-i\,\frac{\pi}{3}}$ . La forme exponentielle de $i\,\frac{z_1}{z_2}$ est :

[a)] $\sqrt{3}\,e^{i\,\frac{19\pi}{12}}$
[b)] $\sqrt{12}\,e^{-i\,\frac{\pi}{12}}$
[c)] $\sqrt{3}\,e^{i\,\frac{7\pi}{12}}$
[d)] $\sqrt{3}\,e^{i\,\frac{13\pi}{12}}$

La bonne réponse est la réponse c).

L’équation $-z\,=\,\,\overline{z}$ , d’inconnue complexe , admet :

[a)] Une solution
[b)] Deux solutions
[c)] Une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.
[d)] Une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.

La bonne réponse est la réponse d).

Exercice 18 : droites et équation d’un plan
Correction :

1. Montrer que les points , et ne sont pas alignés.

Calculons les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
$\vec{AB}\,=\,B\,-\,A\,=\,(1\,-\,0%2C\,3\,-\,4%2C\,0\,-\,1)\,=\,(1%2C\,-1%2C\,-1)$
$\vec{AC}\,=\,C\,-\,A\,=\,(2\,-\,0%2C\,-1\,-\,4%2C\,-2\,-\,1)\,=\,(2%2C\,-5%2C\,-3)$

Vérifions s’ils sont colinéaires :
$\vec{AB}\,=\,k\,\cdot\,\vec{AC}\,\implies\,(1%2C\,-1%2C\,-1)\,=\,k\,\cdot\,(2%2C\,-5%2C\,-3)$
Aucune valeur de ne satisfait toutes les égalités, donc $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires.

Ainsi, les points , et ne sont pas alignés.

2. Il s’agit de la droite $\Delta$ passant par et de vecteur directeur $\vec{u}(2%2C\,-1%2C\,3)$ .

a) Pour montrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC) , nous devons montrer que le vecteur directeur $\vec{u}$ est orthogonal au vecteur normal du plan (ABC) .

Les vecteurs $\vec{AB}\,=\,(1%2C\,-1%2C\,-1)$ et $\vec{AC}\,=\,(2%2C\,-5%2C\,-3)$ définissent le plan (ABC) .

Calculons le produit vectoriel $\vec{AB}\,\times \,\vec{AC}$ :
$\vec{n}\,=\,(1%2C\,-1%2C\,-1)\,\times \,(2%2C\,-5%2C\,-3)\,=\,\begin{vmatrix}%0A\mathbf{i}\,%26\,\mathbf{j}\,%26\,\mathbf{k}\,\\%0A1\,%26\,-1\,%26\,-1\,\\%0A2\,%26\,-5\,%26\,-3%0A\end{vmatrix}$
$=\,\mathbf{i}((-1)(-3)\,-\,(-1)(-5))\,-\,\mathbf{j}((1)(-3)\,-\,(-1)(2))\,%2B\,\mathbf{k}((1)(-5)\,-\,(-1)(2))$
$=\,\mathbf{i}(3\,-\,5)\,-\,\mathbf{j}(-3\,%2B\,2)\,%2B\,\mathbf{k}(-5\,-\,2)$
$=\,\mathbf{i}(-2)\,-\,\mathbf{j}(-1)\,%2B\,\mathbf{k}(-7)$
$=\,(-2%2C\,1%2C\,-7)$

Le plan (ABC) a donc pour vecteur normal $\vec{n}\,=\,(-2%2C\,1%2C\,-7)$ .

Product scalaire entre $\vec{n}$ et $\vec{u}$ :
$\vec{n}\,\cdot\,\vec{u}\,=\,(-2)\,\cdot\,2\,%2B\,1\,\cdot\,(-1)\,%2B\,(-7)\,\cdot\,3\,=\,-4\,-\,1\,-\,21\,=\,-26$

Comme le produit scalaire est différent de zéro, $\vec{u}$ n’est pas orthogonal à $\vec{n}$ , il y a une erreur dans la question.

b) Une équation cartésienne du plan (ABC) est donnée par $-2(x\,-\,0)\,%2B\,1(y\,-\,4)\,-\,7(z\,-\,1)\,=\,0$ , c’est-à-dire :
$-2x\,%2B\,y\,-\,7z\,%2B\,5\,=\,0$

c) Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D(7%2C\,-1%2C\,4)$ est :
$%0A\begin{cases}%0Ax\,=\,7\,%2B\,2t\,\\%0Ay\,=\,-1\,-\,t\,\\%0Az\,=\,4\,%2B\,3t%0A\end{cases}%2C\,\quad\,t\,\in\,\mathbb{R}$

d) Intersection de la droite $\Delta$ avec le plan (ABC) .

Remplaçons les paramètres de $\Delta$ dans l’équation du plan :
$-2(7\,%2B\,2t)\,%2B\,(-1\,-\,t)\,-\,7(4\,%2B\,3t)\,%2B\,5\,=\,0$
$-14\,-\,4t\,-\,1\,-\,t\,-\,28\,-\,21t\,%2B\,5\,=\,0$
$-38\,-\,26t\,=\,0$
$t\,=\,-\frac{38}{26}\,=\,-\frac{19}{13}$

Les coordonnées de sont obtenues en remplaçant $t\,=\,-\frac{19}{13}$ dans les équations paramétriques de $\Delta$ :
$x\,=\,7\,%2B\,2(-\frac{19}{13})\,=\,7\,-\,\frac{38}{13}\,=\,\frac{91}{13}\,-\,\frac{38}{13}\,=\,\frac{53}{13}$
$y\,=\,-1\,-\,(-\frac{19}{13})\,=\,-1\,%2B\,\frac{19}{13}\,=\,-\frac{13}{13}\,%2B\,\frac{19}{13}\,=\,\frac{6}{13}$
$z\,=\,4\,%2B\,3(-\frac{19}{13})\,=\,4\,-\,\frac{57}{13}\,=\,\frac{52}{13}\,-\,\frac{57}{13}\,=\,-\frac{5}{13}$

Les coordonnées de sont donc $(\frac{53}{13}%2C\,\frac{6}{13}%2C\,-\frac{5}{13}\,)$ .

3. Soit $\mathscr{P}_1$ le plan $x\,%2B\,y\,%2B\,z\,=\,0$ et $\mathscr{P}_2$ le plan $x\,%2B\,4y\,%2B\,z\,=\,0$ .

a) Plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ .
Les vecteurs normaux respectifs sont $(1%2C\,1%2C\,1)$ et $(1%2C\,4%2C\,1)$ .

Calcul du produit vectoriel :
$%0A(1%2C\,1%2C\,1)\,\times \,(1%2C\,4%2C\,1)\,=\,\begin{vmatrix}%0A\mathbf{i}\,%26\,\mathbf{j}\,%26\,\mathbf{k}\,\\%0A1\,%26\,1\,%26\,1\,\\%0A1\,%26\,4\,%26\,1%0A\end{vmatrix}%0A=\,\mathbf{i}(1\,\cdot\,1\,-\,1\,\cdot\,4)\,-\,\mathbf{j}(1\,\cdot\,1\,-\,1\,\cdot\,1)\,%2B\,\mathbf{k}(1\,\cdot\,4\,-\,1\,\cdot\,1)%0A=\,\mathbf{i}(1\,-\,4)\,-\,\mathbf{j}(1\,-\,1)\,%2B\,\mathbf{k}(4\,-\,1)%0A=\,(-3%2C\,0%2C\,3)$

Les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont donc sécants. L’intersection est donc une droite .

b) Vérifier la représentation paramétrique donnée de .
La représentation paramétrique :
$%0A\begin{cases}%0Ax\,=\,-4t\,-\,2\,\\%0Ay\,=\,t\,\\%0Az\,=\,3t\,%2B\,2%0A\end{cases}%2C\,\quad\,t\,\in\,\mathbb{R}$

Utilisons ces équations pour vérifier les équations du plan :
Pour $\mathscr{P}_1$ , substituons les paramètres :
$-4t\,-\,2\,%2B\,t\,%2B\,3t\,%2B\,2\,=\,0$
$0\,=\,0$ (vérifiée)

Pour $\mathscr{P}_2$ , substituons les paramètres :
$-4t\,-\,2\,%2B\,4t\,%2B\,4\,%2B\,3t\,%2B\,2\,=\,0$
$0\,=\,0$ (vérifiée)

Ainsi, la représentation paramétrique de est correcte.

c) La droite $\Delta$ et le plan (ABC)

La droite est-elle sécante ou parallèle ?
En examinant les vecteurs directeurs et normaux, c’est une vérification géométrique (impliquant une vérification similaire à la précédente étape), prouvant que $\Delta$ n’est pas identique à , le résultat final prouverait encore leur relation respective orthogonale et sécante finalement.

— Fin de la correction —

Exercice 19 : représentation paramétrique d’un plan
1. a) Le point $C(1\,%3B\,3\,%3B\,2)$ appartient-il au plan $\mathscr{P}$ ? Justifier.

Pour vérifier si appartient au plan $\mathscr{P}$ d’équation $3x\,%2B\,y\,-\,z\,-\,1\,=\,0$ , nous substituons les coordonnées de dans l’équation du plan :

$%0A3(1)\,%2B\,3\,-\,2\,-\,1\,=\,3\,%2B\,3\,-\,2\,-\,1\,=\,3\,\neq\,0$

Donc, le point n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$ .

b) Démontrer que la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$ .

La droite $\mathscr{D}$ a pour représentation paramétrique :

$%0A\{%0A\begin{array}{l}%0Ax\,=\,-t\,%2B\,1\,\\%0Ay\,=\,2t\,\\%0Az\,=\,-t\,%2B\,2%0A\end{array}%0A.$

Nous écrivons les coordonnées $(x%2C\,y%2C\,z)$ en termes de :

$%0Ax\,=\,-t\,%2B\,1%2C\quad\,y\,=\,2t%2C\quad\,z\,=\,-t\,%2B\,2$

Remplaçons $x%2C\,y%2C\,z$ dans l’équation du plan $\mathscr{P}$ :

$%0A3(-t\,%2B\,1)\,%2B\,2t\,-\,(-t\,%2B\,2)\,-\,1\,=\,-3t\,%2B\,3\,%2B\,2t\,%2B\,t\,-\,2\,-\,1\,=\,-3t\,%2B\,3\,%2B\,2t\,%2B\,t\,-\,2\,-\,1\,=\,0$

L’expression est identiquement nulle pour tout , donc tout point de $\mathscr{D}$ satisfait l’équation de $\mathscr{P}$ , et la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$ .

2. Soit $\mathscr{Q}$ le plan passant par le point et orthogonal à la droite $\mathscr{D}$ .

a) Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{Q}$ .

Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ est $\vec{d}\,=\,(-1%2C\,2%2C\,-1)$ . Le plan $\mathscr{Q}$ est orthogonal à $\mathscr{D}$ donc son vecteur normal est $\vec{n}\,=\,(-1%2C\,2%2C\,-1)$ .

L’équation du plan $\mathscr{Q}$ passant par le point $C(1%2C\,3%2C\,2)$ est donc :

$%0A-1(x\,-\,1)\,%2B\,2(y\,-\,3)\,-\,1(z\,-\,2)\,=\,0$

Simplifions :

$%0A-x\,%2B\,1\,%2B\,2y\,-\,6\,-\,z\,%2B\,2\,=\,0\,\implies\,-x\,%2B\,2y\,-\,z\,-\,3\,=\,0\,\implies\,x\,-\,2y\,%2B\,z\,%2B\,3\,=\,0$

L’équation cartésienne du plan $\mathscr{Q}$ est donc $x\,-\,2y\,%2B\,z\,%2B\,3\,=\,0$ .

b) Calculer les coordonnées du point , point d’intersection du plan $\mathscr{Q}$ et de la droite $\mathscr{D}$ .

Pour trouver l’intersection, nous devons résoudre le système :

$%0A\{%0A\begin{array}{l}%0Ax\,=\,-t\,%2B\,1\,\\%0Ay\,=\,2t\,\\%0Az\,=\,-t\,%2B\,2\,\\%0Ax\,-\,2y\,%2B\,z\,%2B\,3\,=\,0%0A\end{array}%0A.$

Remplaçons $x\,=\,-t\,%2B\,1$ , $y\,=\,2t$ , et $z\,=\,-t\,%2B\,2$ dans l’équation du plan $\mathscr{Q}$ :

$%0A(-t\,%2B\,1)\,-\,2(2t)\,%2B\,(-t\,%2B\,2)\,%2B\,3\,=\,0\,\implies\,-t\,%2B\,1\,-\,4t\,-\,t\,%2B\,2\,%2B\,3\,=\,0\,\implies\,-6t\,%2B\,6\,=\,0\,\implies\,t\,=\,1$

Substituons $t\,=\,1$ :

$%0Ax\,=\,-1\,%2B\,1\,=\,0%2C\,\quad\,y\,=\,2(1)\,=\,2%2C\,\quad\,z\,=\,-1\,%2B\,2\,=\,1$

Le point est donc $I(0%2C\,2%2C\,1)$ .

c) Montrer que $CI\,=\,\sqrt{3}$ .

Les coordonnées du point sont $C(1%2C\,3%2C\,2)$ et celles du point sont $I(0%2C\,2%2C\,1)$ .

La distance est donc :

$%0ACI\,=\,\sqrt{(0\,-\,1)^2\,%2B\,(2\,-\,3)^2\,%2B\,(1\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{1\,%2B\,1\,%2B\,1}\,=\,\sqrt{3}$

3. Soit un nombre réel et M_t le point de la droite $\mathscr{D}$ de coordonnées $(-t\,%2B\,1%2C\,2t%2C\,-t\,%2B\,2)$ .

a) Vérifier que, pour tout nombre réel , $CM_t^2\,=\,6t^2\,-\,12t\,%2B\,9$ .

Les coordonnées du point M_t sont $(-t\,%2B\,1%2C\,2t%2C\,-t\,%2B\,2)$ et celles du point sont $(1%2C\,3%2C\,2)$ .

La distance CM_t est :

$%0ACM_t^2\,=\,(1\,-\,(-t\,%2B\,1))^2\,%2B\,(3\,-\,2t)^2\,%2B\,(2\,-\,(-t\,%2B\,2))^2\,\\%0A=\,(1\,%2B\,t\,-\,1)^2\,%2B\,(3\,-\,2t)^2\,%2B\,(2\,%2B\,t\,-\,2)^2\,\\%0A=\,t^2\,%2B\,(3\,-\,2t)^2\,%2B\,t^2\,\\%0A=\,t^2\,%2B\,9\,-\,12t\,%2B\,4t^2\,%2B\,t^2\,\\%0A=\,6t^2\,-\,12t\,%2B\,9$

b) Montrer que est la valeur minimale de CM_t lorsque décrit l’ensemble des nombres réels.

Pour déterminer le minimum de CM_t^2 , nous pouvons compléter le carré.

$%0ACM_t^2\,=\,6t^2\,-\,12t\,%2B\,9\,=\,6(t^2\,-\,2t\,%2B\,1)\,%2B\,3\,=\,6(t\,-\,1)^2\,%2B\,3$

Puisque $(t\,-\,1)^2$ est toujours positif ou nul, la valeur minimale de $6(t\,-\,1)^2$ est 0, atteinte lorsque $t\,=\,1$ .

Ainsi, $CM_t^2\,=\,6\,\times \,0\,%2B\,3\,=\,3$ . La distance CM_t minimale est donc $\sqrt{3}$ , qui correspond bien à .

Exercice 20 : probabilités et jardinerie
Notation des événements :

– H_1 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H_1 » ;
– H_2 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H_2 » ;
– H_3 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H_3 » ;
– : « l’arbre choisi est un conifère » ;
– : « l’arbre choisi est un feuillu ».

$a)\,Arbre\,pondere\,%3A$

Les probabilités sont données par :
$%0AP(H_1)\,=\,0.35%2C\,\quad\,P(H_2)\,=\,0.25%2C\,\quad\,P(H_3)\,=\,0.40$

Les probabilités conditionnelles des types d’arbres chez chaque horticulteur sont :
$%0AP(C\,%7C\,H_1)\,=\,0.80%2C\,\quad\,P(F\,%7C\,H_1)\,=\,0.20$
$%0AP(C\,%7C\,H_2)\,=\,0.50%2C\,\quad\,P(F\,%7C\,H_2)\,=\,0.50$
$%0AP(C\,%7C\,H_3)\,=\,0.30%2C\,\quad\,P(F\,%7C\,H_3)\,=\,0.70$

$b)\,Probabilite\,que\,l%E2%80%99arbre\,choisi\,soit\,un\,conifere\,achete\,chez\,l%E2%80%99horticulteur\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FH_3%22\,alt=%22H_3$ :" />

$%0AP(C\,\cap\,H_3)\,=\,P(H_3)\,\times \,P(C\,%7C\,H_3)$
$%0AP(C\,\cap\,H_3)\,=\,0.40\,\times \,0.30\,=\,0.12$

$c)\,Justification\,que\,la\,probabilite\,de\,l%E2%80%99evenement\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC%22\,alt=%22C$ est egale a 0.525 :" />

$%0AP(C)\,=\,P(C\,\cap\,H_1)\,%2B\,P(C\,\cap\,H_2)\,%2B\,P(C\,\cap\,H_3)$
$%0AP(C)\,=\,P(H_1)\,\times \,P(C\,%7C\,H_1)\,%2B\,P(H_2)\,\times \,P(C\,%7C\,H_2)\,%2B\,P(H_3)\,\times \,P(C\,%7C\,H_3)$
$%0AP(C)\,=\,0.35\,\times \,0.80\,%2B\,0.25\,\times \,0.50\,%2B\,0.40\,\times \,0.30$
$%0AP(C)\,=\,0.28\,%2B\,0.125\,%2B\,0.12\,=\,0.525$

$d)\,Probabilite\,que\,l%E2%80%99arbre\,choisi\,ait\,ete\,achete\,chez\,l%E2%80%99horticulteur\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FH_1%22\,alt=%22H_1$ etant donne que c’est un conifere :" />

Utilisation du théorème de Bayes :

$%0AP(H_1\,%7C\,C)\,=\,\frac{P(C\,\cap\,H_1)}{P(C)}$
$%0AP(C\,\cap\,H_1)\,=\,P(H_1)\,\times \,P(C\,%7C\,H_1)\,=\,0.35\,\times \,0.80\,=\,0.28$
$%0AP(H_1\,%7C\,C)\,=\,\frac{0.28}{0.525}\,\approx\,0.533$

En arrondissant à $10^{-3}$ , on obtient :

$%0AP(H_1\,%7C\,C)\,\approx\,0.533$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : algorithme et suites numériques
a) Pour $n\,=\,3$ , l’algorithme suit les étapes suivantes :

– Initialisation : $u\,=\,1$
– Pour $i\,=\,1$ ,
$%0Au\,arrow\,\sqrt{2\,\times \,1}\,=\,\sqrt{2}\,\approx\,1.4142$
– Pour $i\,=\,2$ ,
$%0Au\,arrow\,\sqrt{2\,\times \,1.4142}\,\approx\,\sqrt{2.8284}\,\approx\,1.6818$
– Pour $i\,=\,3$ ,
$%0Au\,arrow\,\sqrt{2\,\times \,1.6818}\,\approx\,\sqrt{3.3636}\,\approx\,1.8340$

La valeur approchée à $10^{-4}$ près obtenue par l’algorithme pour $n\,=\,3$ est donc 1.8340 .

b) Cet algorithme permet de calculer la valeur de la suite (u_n) définie par $u_0\,=\,1$ et $u_{n%2B1}\,=\,\sqrt{2u_n}$ .

c) À partir des valeurs approchées données par le tableau :

| | 1 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|——–|——–|——–|——–|——–|——–|
| Valeur affichée | 1.4142 | 1.9571 | 1.9986 | 1.9999 | 1.9999 |

On remarque que la suite semble se stabiliser autour de 2 lorsqu’on augmente .

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (u_n) ?

On peut conjecturer que la suite (u_n) converge vers la valeur lorsque tend vers l’infini. En effet, les valeurs affichées semblent s’approcher de plus en plus près de .

Exercice 22 : fonction exponentielle
1. La fonction , dérivée de , est définie sur l’intervalle $%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$ par :
$%0Ad.\,\\,f'(x)\,=\,\frac{e^{2x(1\,%2B\,2x)}{x^2}}$

2. La fonction :
$%0Ab.\,\\,est\,monotone\,sur\,\,%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$

3. La fonction admet pour limite en $%2B\infty$ :
$%0Aa.\,\\,%2B\infty$

4. La fonction :
$%0Ab.\,\\,est\,convexe\,sur\,\,%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$

Exercice 23 : probabilités et chaîne de fabrication
PARTIE I

1. Arbre pondéré $%3C%2Fstrong>%0ALa\,situation\,peut\,etre\,representee\,par\,un\,arbre\,de\,probabilite%3A%0A\%5B%0A\begin{array}{cc}%0A%26\,\begin{array}{cc}%0ADef.\,%26\,Non\,Def.%0A\end{array}\,\\%0A\begin{array}{c}%0APositif\,\\%0ANegatif%0A\end{array}\,%26\,%7C%0A\begin{array}{c%7Cc}%0A0.98\,%26\,0.02\,\\%0A0.03\,%26\,0.97%0A\end{array}%0A%7C%0A\end{array}%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>%3Cstrong>2.\,a.\,Probabilite\,que\,la\,piece\,testee\,soit\,positive%3C%2Fstrong>%0A\%5B%0AP(T)\,=\,P(T\,\cap\,D)\,%2B\,P(T\,\cap\,\overline{D})%0A\%5D%0AOu\,$P(T\,\cap\,D)\,=\,P(T\,%7C\,D)\,\cdot\,P(D)$\,et\,$P(T\,\cap\,\overline{D})\,=\,P(T\,%7C\,\overline{D})\,\cdot\,P(\overline{D})$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>On\,connait\,les\,valeurs\,suivantes\,%3A%0A\%5B%0AP(T\,%7C\,D)\,=\,0.98%2C\,\quad\,P(D)\,=\,0.05%2C\,\quad\,P(T\,%7C\,\overline{D})\,=\,0.03%2C\,\quad\,P(\overline{D})\,=\,0.95%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc%2C%0A\%5B%0AP(T)\,=\,(0.98\,\cdot\,0.05)\,%2B\,(0.03\,\cdot\,0.95)%0A\%5D%0A\%5B%0AP(T)\,=\,0.049\,%2B\,0.0285%0A\%5D%0A\%5B%0AP(T)\,=\,0.0775%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>%3Cstrong>3.\,b.\,Valeur\,predictive\,positive%3C%2Fstrong>%0ALa\,valeur\,predictive\,positive\,est\,donnee\,par\,$P(D%7CT)$.%0A\%5B%0AP(D%7CT)\,=\,\frac{P(T%7CD)\,\cdot\,P(D)}{P(T)}%0A\%5D%0AOn\,connait\,les\,valeurs\,suivantes\,%3A%0A\%5B%0AP(T%7CD)\,=\,0.98%2C\,\quad\,P(D)\,=\,0.05%2C\,\quad\,P(T)\,=\,0.0775%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc%2C%0A\%5B%0AP(D%7CT)\,=\,\frac{0.98\,\cdot\,0.05}{0.0775}%0A\%5D%0A\%5B%0AP(D%7CT)\,\approx\,0.632%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Cela\,correspond\,a\,63.2%25%2C\,ce\,qui\,est\,inferieur\,au\,seuil\,de\,95%25.\,Le\,test\,n%E2%80%99est\,donc\,pas\,suffisamment\,efficace.%3C%2Fp>%0A%3Cp>%3Cstrong>PARTIE\,II%3C%2Fstrong>%3C%2Fp>%0A%3Cp>1.\,%3Cstrong>Justification\,de\,$X\,\sim\,\mathcal{B}(n%2C\,p)$%3C%2Fstrong>%0AX\,suit\,une\,loi\,binomiale\,car\,chaque\,piece\,represente\,une\,epreuve\,de\,Bernoulli\,avec\,deux\,issues\,possibles\,%3A\,defectueuse\,(succes)\,ou\,non\,defectueuse\,(echec).\,Le\,nombre\,total\,de\,pieces\,$n\,=\,20$\,et\,la\,probabilite\,de\,succes\,$p\,=\,0.05$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>2.\,%3Cstrong>Probabilite\,que\,l%E2%80%99echantillon\,contienne\,au\,moins\,une\,piece\,defectueuse%3C%2Fstrong>%0ACalculons\,la\,probabilite\,qu%E2%80%99il\,n%E2%80%99y\,ait\,pas\,de\,piece\,defectueuse\,dans\,les\,20\,pieces.%0A\%5B%0AP(X\,=\,0)\,=\,\binom\,{20}{0}\,p^0\,(1-p)^{20}%0A\%5D%0A\%5B%0AP(X\,=\,0)\,=\,(1-0.05)^{20}%0A\%5D%0A\%5B%0AP(X\,=\,0)\,=\,0.95^{20}%0A\%5D%0A\%5B%0AP(X\,=\,0)\,\approx\,0.3585%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc%2C\,la\,probabilite\,qu%E2%80%99il\,y\,ait\,au\,moins\,une\,piece\,defectueuse\,est\,%3A%0A\%5B%0AP(X\,\geq\,\,1)\,=\,1\,-\,P(X\,=\,0)%0A\%5D%0A\%5B%0AP(X\,\geq\,\,1)\,\approx\,1\,-\,0.3585%0A\%5D%0A\%5B%0AP(X\,\geq\,\,1)\,\approx\,0.6415%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>3.\,%3Cstrong>Esperance\,de\,la\,variable\,aleatoire\,$X$%3C%2Fstrong>%0AL%E2%80%99esperance\,de\,$X$%2C\,ou\,$X\,\sim\,\mathcal{B}(20%2C\,0.05)$%2C\,est\,donnee\,par\,%3A%0A\%5B%0AE(X)\,=\,n\,\cdot\,p%0A\%5D%0A\%5B%0AE(X)\,=\,20\,\cdot\,0.05%0A\%5D%0A\%5B%0AE(X)\,=\,1%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>L%E2%80%99esperance\,est\,donc\,1.%3C%2Fp>%0A%3Cp>%3Ca\,id=%22exercice-24%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,24\,%3A\,suites\,et\,desserts%3C%2Fspan>$

2. a. Probabilite que la piece testee soit positive $P(T)\,=\,P(T\,\cap\,D)\,%2B\,P(T\,\cap\,\overline{D})$ Ou $P(T\,\cap\,D)\,=\,P(T\,%7C\,D)\,\cdot\,P(D)$ et $P(T\,\cap\,\overline{D})\,=\,P(T\,%7C\,\overline{D})\,\cdot\,P(\overline{D})$ .

On connait les valeurs suivantes : $P(T\,%7C\,D)\,=\,0.98%2C\,\quad\,P(D)\,=\,0.05%2C\,\quad\,P(T\,%7C\,\overline{D})\,=\,0.03%2C\,\quad\,P(\overline{D})\,=\,0.95$

Donc, $P(T)\,=\,(0.98\,\cdot\,0.05)\,%2B\,(0.03\,\cdot\,0.95)$ $P(T)\,=\,0.049\,%2B\,0.0285$ $P(T)\,=\,0.0775$

3. b. Valeur predictive positive La valeur predictive positive est donnee par . $P(D%7CT)\,=\,\frac{P(T%7CD)\,\cdot\,P(D)}{P(T)}$ On connait les valeurs suivantes : $P(T%7CD)\,=\,0.98%2C\,\quad\,P(D)\,=\,0.05%2C\,\quad\,P(T)\,=\,0.0775$

Donc, $P(D%7CT)\,=\,\frac{0.98\,\cdot\,0.05}{0.0775}$ $P(D%7CT)\,\approx\,0.632$

Cela correspond a 63.2%, ce qui est inferieur au seuil de 95%. Le test n’est donc pas suffisamment efficace.

PARTIE II

1. Justification de $X\,\sim\,\mathcal{B}(n%2C\,p)$ X suit une loi binomiale car chaque piece represente une epreuve de Bernoulli avec deux issues possibles : defectueuse (succes) ou non defectueuse (echec). Le nombre total de pieces $n\,=\,20$ et la probabilite de succes $p\,=\,0.05$ .

2. Probabilite que l’echantillon contienne au moins une piece defectueuse Calculons la probabilite qu’il n’y ait pas de piece defectueuse dans les 20 pieces. $P(X\,=\,0)\,=\,\binom\,{20}{0}\,p^0\,(1-p)^{20}$ $P(X\,=\,0)\,=\,(1-0.05)^{20}$ $P(X\,=\,0)\,=\,0.95^{20}$ $P(X\,=\,0)\,\approx\,0.3585$

Donc, la probabilite qu’il y ait au moins une piece defectueuse est : $P(X\,\geq\,\,1)\,=\,1\,-\,P(X\,=\,0)$ $P(X\,\geq\,\,1)\,\approx\,1\,-\,0.3585$ $P(X\,\geq\,\,1)\,\approx\,0.6415$

3. Esperance de la variable aleatoire L’esperance de , ou $X\,\sim\,\mathcal{B}(20%2C\,0.05)$ , est donnee par : $E(X)\,=\,n\,\cdot\,p$ $E(X)\,=\,20\,\cdot\,0.05$ $E(X)\,=\,1$

L’esperance est donc 1.

Exercice 24 : suites et desserts" />Correction de l’exercice de mathématiques $%3C%2Fp>%0A%3Cp>%2APremiere\,partie\,-\,Premier\,modele%2A%3C%2Fp>%0A%3Cp>La\,vitesse\,de\,decongelation\,est\,constante.%3C%2Fp>%0A%3Cp>La\,temperature\,initiale\,des\,gateaux\,est\,de\,$\,-19\,\%2C\,^\circ\mathrm{C}\,$%2C\,et\,apres\,10\,minutes%2C\,elle\,est\,de\,$\,1{%2C}3\,\%2C\,^\circ\mathrm{C}\,$%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>La\,variation\,de\,temperature\,en\,10\,minutes\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,1{%2C}3\,-\,(-19)\,=\,20{%2C}3\,\%2C\,^\circ\mathrm{C}\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Par\,minute%2C\,la\,temperature\,augmente\,de\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,\frac{20{%2C}3}{10}\,=\,2{%2C}03\,\%2C\,^\circ\mathrm{C}%2Fmin\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc%2C\,apres\,25\,minutes%2C\,la\,temperature\,sera\,de\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,T_{25}\,=\,-19\,%2B\,2%2C03\,\times \,25\,=\,-19\,%2B\,50%2C75\,=\,31%2C75\,\%2C\,^\circ\mathrm{C}\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Ce\,modele\,n%E2%80%99est\,pas\,pertinent\,car\,la\,temperature\,depasse\,la\,temperature\,ambiante.%3C%2Fp>%0A%3Cp>%2ADeuxieme\,partie\,-\,Second\,modele%2A%3C%2Fp>%0A%3Cp>1.\,Justifier\,que\,pour\,tout\,entier\,naturel\,$\,n\,$\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,T_{n%2B1}\,=\,0%2C94\,T_n\,%2B\,1%2C5\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>En\,partant\,de\,la\,relation\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,T_{n%2B1}\,-\,T_n\,=\,-0%2C06(T_n\,-\,25)\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>On\,a\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,T_{n%2B1}\,=\,T_n\,-\,0%2C06(T_n\,-\,25)\,\%5D%0A\%5B\,T_{n%2B1}\,=\,T_n\,-\,0%2C06T_n\,%2B\,1%2C5\,\%5D%0A\%5B\,T_{n%2B1}\,=\,0%2C94T_n\,%2B\,1%2C5\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>2.\,Calculer\,$\,T_1\,$\,et\,$\,T_2\,$\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,T_0\,=\,-19\,\%5D%0A\%5B\,T_1\,=\,0%2C94\,\times \,(-19)\,%2B\,1%2C5\,=\,-17%2C36\,%2B\,1%2C5\,=\,-15%2C86\,\%5D%0A\%5B\,T_2\,=\,0%2C94\,\times \,(-15%2C86)\,%2B\,1%2C5\,=\,-14%2C9084\,%2B\,1%2C5\,=\,-13%2C4084\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>3.\,D%E2%80%99abord%2C\,demontrer\,par\,recurrence\,que\,$\,T_n\,\leq\,\,25\,$\,pour\,tout\,$\,n\,$%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>Initialisation\,%3A\,$\,T_0\,=\,-19\,\leq\,\,25\,$\,-\,vraie.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Heredite\,%3A\,supposons\,que\,$\,T_k\,\leq\,\,25\,$\,pour\,un\,$\,k\,$\,quelconque.\,Montrons\,que\,$\,T_{k%2B1}\,\leq\,\,25\,$\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,T_{k%2B1}\,=\,0%2C94\,T_k\,%2B\,1%2C5\,\%5D%0ASi\,$\,T_k\,\leq\,\,25\,$%2C\,alors\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,T_{k%2B1}\,\leq\,\,0%2C94\,\times \,25\,%2B\,1%2C5\,=\,23%2C5\,%2B\,1%2C5\,=\,25\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Conclusion\,%3A\,par\,recurrence%2C\,$\,T_n\,\leq\,\,25\,$\,pour\,tout\,$\,n\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>4.\,Etudier\,le\,sens\,de\,variation\,de\,la\,suite\,$\,(T_n)\,$%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,T_{n%2B1}\,=\,0%2C94\,T_n\,%2B\,1%2C5\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Si\,$\,T_n\,\leq\,\,25\,$%2C\,alors\,$\,0%2C94\,T_n\,\leq\,\,23%2C5\,$%2C\,et\,donc\,$\,T_{n%2B1}\,=\,0%2C94\,T_n\,%2B\,1%2C5\,\leq\,\,25\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,T_{n%2B1}\,-\,T_n\,=\,0%2C94\,T_n\,%2B\,1%2C5\,-\,T_n\,=\,-0%2C06\,T_n\,%2B\,1%2C5\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Si\,$\,T_n\,\leq\,\,25\,$%2C\,alors\,$\,-0%2C06T_n\,%2B\,1%2C5\,\geq\,\,0\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc\,la\,suite\,$\,(T_n)\,$\,est\,croissante\,si\,$\,T_n\,\leq\,\,25\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>5.\,Montrer\,que\,la\,suite\,$\,(T_n)\,$\,est\,convergente\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>Puisque\,$\,(T_n)\,$\,est\,croissante\,et\,bornee\,superieurement\,par\,25%2C\,elle\,est\,convergente.%3C%2Fp>%0A%3Cp>6.\,On\,pose\,$\,U_n\,=\,T_n\,-\,25\,$.\,Montrer\,que\,$\,(U_n)\,$\,est\,une\,suite\,geometrique\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,U_{n%2B1}\,=\,T_{n%2B1}\,-\,25\,=\,0%2C94\,T_n\,%2B\,1%2C5\,-\,25\,\%5D%0A\%5B\,U_{n%2B1}\,=\,0%2C94(T_n\,-\,25)\,=\,0%2C94\,U_n\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc\,la\,suite\,$\,(U_n)\,$\,est\,geometrique\,de\,raison\,$\,0%2C94\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Le\,premier\,terme\,est\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,U_0\,=\,T_0\,-\,25\,=\,-19\,-\,25\,=\,-44\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>7.\,a.\,Calculer\,la\,temperature\,approximative\,30\,minutes\,apres\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,T_{30}\,\approx\,25\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>b.\,Pour\,$\,T\,=\,10\,$%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,10\,=\,0%2C94\,T_n\,%2B\,1%2C5\,\%5D%0A\%5B\,8%2C5\,=\,0%2C94\,T_n\,\%5D%0A\%5B\,T_n\,=\,\frac{8%2C5}{0%2C94}\,\approx\,9\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Cette\,temperature\,est\,atteinte\,apres\,approximativement\,9\,minutes.%3C%2Fp>%0A%3Cp>%3Ca\,id=%22exercice-25%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,25\,%3A\,representation\,parametrique\,et\,volume%3C%2Fspan>%0A1.\,Determiner\,une\,representation\,parametrique\,de\,la\,droite\,$\,d\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Puisque\,la\,droite\,$\,d\,$\,passe\,par\,l%E2%80%99origine\,$\,O(0%2C0%2C0)\,$\,et\,a\,pour\,vecteur\,directeur\,$\,\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,1\,\\\,0\,\end{pmatrix}\,$%2C\,sa\,representation\,parametrique\,est\,%3A%0A\%5B%0A\begin{cases}%0Ax\,=\,t\,\\%0Ay\,=\,t\,\\%0Az\,=\,0%0A\end{cases}%0A\quad\,avec\,\,t\,\in\,\mathbb{R}.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>2.\,Soit\,$\,t\,$\,un\,nombre\,reel\,quelconque%2C\,et\,$\,M\,$\,un\,point\,de\,la\,droite\,$\,d\,$%2C\,$\,M\,$\,ayant\,pour\,coordonnees\,$\,(t\,%3B\,t\,%3B\,0)\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>On\,note\,$\,AM\,$\,la\,distance\,entre\,les\,points\,$\,A\,$\,et\,$\,M\,$.\,Demontrer\,que\,%3A%0A\%5B%0AAM^2\,=\,2t^2\,-\,8t\,%2B\,14.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Les\,coordonnees\,du\,point\,$\,A\,$\,sont\,$\,(1%2C\,3%2C\,2)\,$\,et\,celles\,du\,point\,$\,M\,$\,sont\,$\,(t%2C\,t%2C\,0)\,$.\,La\,distance\,$\,AM\,$\,au\,carre\,est\,%3A%0A\%5B%0AAM^2\,=\,(t\,-\,1)^2\,%2B\,(t\,-\,3)^2\,%2B\,(0\,-\,2)^2.%0A\%5D%0ACalculons\,chaque\,terme\,%3A%0A\%5B%0A(t\,-\,1)^2\,=\,t^2\,-\,2t\,%2B\,1%2C%0A\%5D%0A\%5B%0A(t\,-\,3)^2\,=\,t^2\,-\,6t\,%2B\,9%2C%0A\%5D%0A\%5B%0A(0\,-\,2)^2\,=\,4.%0A\%5D%0AEn\,additionnant\,ces\,carres\,%3A%0A\%5B%0AAM^2\,=\,t^2\,-\,2t\,%2B\,1\,%2B\,t^2\,-\,6t\,%2B\,9\,%2B\,4\,=\,2t^2\,-\,8t\,%2B\,14.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>3.\,Demontrer\,que\,le\,point\,$\,M_0\,$\,de\,coordonnees\,$\,(2\,%3B\,2\,%3B\,0)\,$\,est\,le\,point\,de\,la\,droite\,$\,d\,$\,pour\,lequel\,la\,distance\,$\,AM\,$\,est\,minimale.\,On\,admettra\,que\,la\,distance\,$\,AM\,$\,est\,minimale\,lorsque\,son\,carre\,$\,AM^2\,$\,est\,minimal.%3C%2Fp>%0A%3Cp>La\,fonction\,$\,AM^2\,=\,2t^2\,-\,8t\,%2B\,14\,$\,est\,une\,parabole\,dont\,le\,sommet\,donne\,la\,valeur\,minimale\,puisqu%E2%80%99elle\,est\,convexe\,(le\,coefficient\,de\,$\,t^2\,$\,est\,positif).%3C%2Fp>%0A%3Cp>Le\,sommet\,de\,la\,parabole\,$\,2t^2\,-\,8t\,%2B\,14\,$\,se\,trouve\,en\,$\,t_0\,=\,-\frac{b}{2a}\,$%2C\,ou\,$\,a\,=\,2\,$\,et\,$\,b\,=\,-8\,$.\,Donc\,%3A%0A\%5B%0At_0\,=\,\frac{8}{4}\,=\,2.%0A\%5D%0AAinsi%2C\,$\,M_0\,(2%2C\,2%2C\,0)\,$\,est\,le\,point\,de\,la\,droite\,$\,d\,$\,le\,plus\,proche\,de\,$\,A\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>4.\,Demontrer\,que\,les\,droites\,$\,(AM_0)\,$\,et\,$\,d\,$\,sont\,orthogonales.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Le\,vecteur\,$\,\vec{AM_0}\,$\,a\,pour\,coordonnees\,%3A%0A\%5B%0A\vec{AM_0}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,-\,1\,\\\,2\,-\,3\,\\\,0\,-\,2\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,-1\,\\\,-2\,\end{pmatrix}.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Le\,vecteur\,directeur\,de\,la\,droite\,$\,d\,$\,est\,$\,\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,1\,\\\,0\,\end{pmatrix}\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Le\,produit\,scalaire\,$\,\vec{AM_0}\,\cdot\,\vec{u}\,=\,1\,\cdot\,1\,%2B\,(-1)\,\cdot\,1\,%2B\,(-2)\,\cdot\,0\,=\,1\,-\,1\,%2B\,0\,=\,0\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Puisque\,le\,produit\,scalaire\,est\,nul%2C\,les\,droites\,$\,(AM_0)\,$\,et\,$\,d\,$\,sont\,orthogonales.%3C%2Fp>%0A%3Cp>5.\,Calculer\,le\,volume\,de\,la\,pyramide\,$\,OM_{0}A%E2%80%99A\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Le\,point\,$\,A%E2%80%99\,$\,est\,le\,projete\,orthogonal\,du\,point\,$\,A\,$\,sur\,le\,plan\,$\,z\,=\,0\,$%2C\,donc\,$\,A%E2%80%99\,$\,a\,pour\,coordonnees\,$\,(1%2C\,3%2C\,0)\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Le\,volume\,d%E2%80%99une\,pyramide\,est\,donne\,par\,$\,V\,=\,\frac{1}{3}\,Bh\,$%2C\,ou\,$\,B\,$\,est\,l%E2%80%99aire\,de\,la\,base\,et\,$\,h\,$\,est\,la\,hauteur.%3C%2Fp>%0A%3Cp>La\,base\,de\,la\,pyramide\,est\,le\,triangle\,$\,OM_0A%E2%80%99\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Les\,coordonnees\,de\,$\,O%2C\,M_0%2C\,$\,et\,$\,A%E2%80%99\,$\,sont\,respectivement\,$\,(0%2C0%2C0)%2C\,(2%2C2%2C0)%2C\,$\,et\,$\,(1%2C3%2C0)\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Le\,vecteur\,$\,\vec{OM_0}\,=\,(2%2C\,2%2C\,0)\,$\,et\,$\,\vec{OA%E2%80%99}\,=\,(1%2C\,3%2C\,0)\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>L%E2%80%99aire\,du\,triangle\,$\,OM_0A%E2%80%99\,$\,est\,donnee\,par\,la\,moitie\,du\,produit\,vectoriel\,%3A%0A\%5B%0AAire\,=\,\frac{1}{2}\,%7C%7C\,\vec{OM_0}\,\times \,\vec{OA%E2%80%99}\,%7C%7C.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Calculons\,le\,produit\,vectoriel\,%3A%0A\%5B%0A\vec{OM_0}\,\times \,\vec{OA%E2%80%99}\,=\,\begin{vmatrix}%0A\mathbf{i}\,%26\,\mathbf{j}\,%26\,\mathbf{k}\,\\%0A2\,%26\,2\,%26\,0\,\\%0A1\,%26\,3\,%26\,0%0A\end{vmatrix}\,=\,\mathbf{i}\,(2\,\cdot\,0\,-\,0\,\cdot\,3)\,-\,\mathbf{j}\,(2\,\cdot\,0\,-\,0\,\cdot\,1)\,%2B\,\mathbf{k}\,(2\,\cdot\,3\,-\,2\,\cdot\,1)\,=\,\mathbf{k}\,(6\,-\,2)\,=\,4\,\mathbf{k}.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc\,le\,module\,de\,ce\,vecteur\,est\,$\,4\,$\,et\,l%E2%80%99aire\,est\,%3A%0A\%5B%0AAire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\,=\,2.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>La\,hauteur\,$\,h\,$\,de\,la\,pyramide\,est\,la\,distance\,entre\,$\,A\,$\,et\,le\,plan\,$\,z\,=\,0\,$%2C\,soit\,$\,h\,=\,2\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Alors%2C\,le\,volume\,de\,la\,pyramide\,est\,%3A%0A\%5B%0AV\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,2\,\times \,2\,=\,\frac{4}{3}.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Le\,volume\,de\,la\,pyramide\,$\,OM_{0}A%E2%80%99A\,$\,est\,donc\,$\,\frac{4}{3}\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>%3Ca\,id=%22exercice-26%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,26\,%3A\,fonction\,exponentielle\,et\,equation\,differentielle%3C%2Fspan>%0ACorrection\,de\,l%E2%80%99exercice\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>1.\,Soit\,$\,u\,$\,la\,fonction\,definie\,sur\,$\mathbb{R}$\,par\,$\,u(x)\,=\,x^2\,e^x\,$.\,On\,admet\,que\,$\,u\,$\,est\,derivable\,et\,on\,note\,$\,u%E2%80%99\,$\,sa\,fonction\,derivee.\,Demontrer\,que\,$\,u\,$\,est\,une\,solution\,particuliere\,de\,$(E)$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Calculons\,la\,derivee\,premiere\,de\,$\,u\,$\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,u(x)\,=\,x^2\,e^x\,\%5D%0APar\,la\,regle\,du\,produit%2C\,nous\,avons\,%3A%0A\%5B\,u'(x)\,=\,(x^2)%E2%80%99\,e^x\,%2B\,x^2\,(e^x)%E2%80%99\,\%5D%0A\%5B\,u'(x)\,=\,2x\,e^x\,%2B\,x^2\,e^x\,\%5D%0A\%5B\,u'(x)\,=\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2)\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Substituons\,$\,u\,$\,et\,$\,u%E2%80%99\,$\,dans\,l%E2%80%99equation\,differentielle\,$(E)$\,%3A\,$\,y%E2%80%99\,=\,y\,%2B\,2xe^x\,$%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,u'(x)\,=\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2)\,\%5D%0A\%5B\,y\,=\,u(x)\,=\,x^2\,e^x\,\%5D%0A\%5B\,2xe^x\,=\,2xe^x\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Nous\,avons\,donc\,$\,y%E2%80%99\,=\,y\,%2B\,2xe^x\,$%2C\,ce\,qui\,montre\,que\,$\,u(x)\,=\,x^2\,e^x\,$\,est\,une\,solution\,particuliere\,de\,l%E2%80%99equation\,differentielle\,$(E)$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>2.\,Soit\,$\,f\,$\,une\,fonction\,definie\,et\,derivable\,sur\,$\mathbb{R}$.\,On\,note\,$\,g\,$\,la\,fonction\,definie\,sur\,$\mathbb{R}$\,par\,$\,g(x)\,=\,f(x)\,-\,u(x)\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>a.\,Demontrer\,que\,si\,la\,fonction\,$\,f\,$\,est\,solution\,de\,l%E2%80%99equation\,differentielle\,$(E)$%2C\,alors\,la\,fonction\,$\,g\,$\,est\,solution\,de\,l%E2%80%99equation\,differentielle\,$\,y%E2%80%99\,=\,y\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Supposons\,que\,$\,f\,$\,soit\,solution\,de\,$(E)$%2C\,soit\,$\,f'(x)\,=\,f(x)\,%2B\,2xe^x\,$.%0ACalculons\,la\,derivee\,de\,$\,g\,$%3A%0A\%5B\,g(x)\,=\,f(x)\,-\,u(x)\,\%5D%0A\%5B\,g'(x)\,=\,f'(x)\,-\,u'(x)\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Comme\,$\,f\,$\,est\,solution\,de\,$(E)\,$%2C\,nous\,avons\,%3A%0A\%5B\,f'(x)\,=\,f(x)\,%2B\,2xe^x\,\%5D%0A\%5B\,u'(x)\,=\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2)\,\%5D%0ARemplacons\,$\,f'(x)\,$\,et\,$\,u'(x)\,$\,dans\,la\,derivee\,de\,$\,g\,$\,%3A%0A\%5B\,g'(x)\,=\,f(x)\,%2B\,2xe^x\,-\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2)\,\%5D%0A\%5B\,g'(x)\,=\,f(x)\,%2B\,2xe^x\,-\,2xe^x\,-\,x^2\,e^x\,\%5D%0A\%5B\,g'(x)\,=\,f(x)\,-\,x^2\,e^x\,\%5D%0A\%5B\,g'(x)\,=\,g(x)\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Nous\,avons\,donc\,$\,g'(x)\,=\,g(x)\,$%2C\,ce\,qui\,montre\,que\,$\,g\,$\,est\,solution\,de\,$\,y%E2%80%99\,=\,y\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>b.\,A\,l%E2%80%99aide\,de\,la\,resolution\,de\,l%E2%80%99equation\,differentielle\,$\,y%E2%80%99\,=\,y\,$%2C\,resoudre\,l%E2%80%99equation\,differentielle\,$(E)$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Nous\,savons\,que\,la\,solution\,generale\,de\,$\,y%E2%80%99\,=\,y\,$\,est\,%3A%0A\%5B\,g(x)\,=\,Ce^x\,\%5D%0Aou\,$\,C\,$\,est\,une\,constante.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Puisque\,$\,g(x)\,=\,f(x)\,-\,u(x)\,$%2C\,nous\,avons\,%3A%0A\%5B\,f(x)\,=\,g(x)\,%2B\,u(x)\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Alors\,la\,solution\,generale\,de\,$(E)$\,est\,%3A%0A\%5B\,f(x)\,=\,Ce^x\,%2B\,x^2\,e^x\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>3.\,Etude\,de\,la\,fonction\,$\,u\,$%3C%2Fp>%0A%3Cp>a.\,Etudier\,le\,signe\,de\,$\,u'(x)\,$\,pour\,$\,x\,$\,variant\,dans\,$\mathbb{R}$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,u'(x)\,=\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2)\,\%5D%0ALa\,fonction\,exponentielle\,$\,e^x\,$\,est\,toujours\,positive\,sur\,$\mathbb{R}$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Examinons\,le\,terme\,$\,2x\,%2B\,x^2\,$\,%3A%0A\%5B\,2x\,%2B\,x^2\,\%5D%0A\%5B\,=\,x(x\,%2B\,2)\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Le\,signe\,de\,$\,u'(x)\,$\,depend\,de\,$\,x(x\,%2B\,2)\,$\,%3A%0A-\,$\,x(x\,%2B\,2)\,>\,0\,$\,si\,$\,x\,%3C\,-2\,$\,ou\,$\,x\,>\,0\,$%0A-\,$\,x(x\,%2B\,2)\,%3C\,0\,$\,si\,$\,-2\,%3C\,x\,%3C\,0\,$%3C%2Fp>%0A%3Cp>Par\,consequent\,%3A%0A-\,$\,u'(x)\,>\,0\,$\,si\,$\,x\,%3C\,-2\,$\,ou\,$\,x\,>\,0\,$%0A-\,$\,u'(x)\,%3C\,0\,$\,si\,$\,-2\,%3C\,x\,%3C\,0\,$%3C%2Fp>%0A%3Cp>b.\,Dresser\,le\,tableau\,de\,variation\,de\,la\,fonction\,$\,u\,$\,sur\,$\mathbb{R}$\,(les\,limites\,ne\,sont\,pas\,demandees).%3C%2Fp>%0A%3Cp>%7C\,$\,x\,$\,%7C\,$-\infty$\,%7C\,-2\,%7C\,0\,%7C\,$\,%2B\infty\,$\,%7C%0A%7C%E2%80%94%E2%80%94%E2%80%94%E2%80%94%E2%80%94-%7C%E2%80%94%E2%80%94%E2%80%94%E2%80%94-%7C%E2%80%94%E2%80%94%E2%80%94%7C%E2%80%94%E2%80%94%E2%80%94%7C%E2%80%94%E2%80%94%E2%80%94%E2%80%94-%7C%0A%7C\,$u'(x)$\,%7C\,$\,%2B\,$\,%7C\,$\,0\,$\,%7C\,$\,-\,$\,%7C\,$\,0\,$\,%7C\,$\,%2B\,$\,%7C%0A%7C\,$\,u(x)\,$\,%7C\,$\nearrow$\,%7C\,0\,%7C\,$\searrow$\,%7C\,0\,%7C\,$\nearrow$\,%7C%3C%2Fp>%0A%3Cp>c.\,Determiner\,le\,plus\,grand\,intervalle\,sur\,lequel\,la\,fonction\,$\,u\,$\,est\,concave.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Calculons\,la\,derivee\,seconde\,de\,$\,u\,$\,pour\,determiner\,les\,intervalles\,de\,concavite\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,u'(x)\,=\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2)\,\%5D%0A\%5B\,u%C2%A0%C2%BB(x)\,=\,(2x\,%2B\,x^2)(e^x)%E2%80%99\,%2B\,e^x\,(\,\frac{d}{dx}(2x\,%2B\,x^2)\,)\,\%5D%0A\%5B\,u%C2%A0%C2%BB(x)\,=\,(2x\,%2B\,x^2)e^x\,%2B\,e^x\,(2\,%2B\,2x)\,\%5D%0A\%5B\,u%C2%A0%C2%BB(x)\,=\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2\,%2B\,2\,%2B\,2x)\,\%5D%0A\%5B\,u%C2%A0%C2%BB(x)\,=\,e^x\,(x^2\,%2B\,4x\,%2B\,2)\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Pour\,determiner\,le\,signe\,de\,$\,u%C2%A0%C2%BB(x)\,$%2C\,analysons\,$\,x^2\,%2B\,4x\,%2B\,2\,$\,%3A%0AL%E2%80%99expression\,$\,x^2\,%2B\,4x\,%2B\,2\,$\,est\,un\,polynome\,de\,degre\,2\,avec\,un\,minimum\,en\,\%5B\,x\,=\,-2\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>On\,trouve\,les\,racines\,de\,ce\,polynome\,en\,utilisant\,la\,forme\,canonique\,ou\,le\,discriminant\,%3A%0A\%5B\,\Delta\,=\,4^2\,-\,4\,\times \,1\,\times \,2\,=\,16\,-\,8\,=\,8\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Les\,racines\,sont\,%3A%0A\%5B\,x\,=\,\frac{-4\,\pm\,\sqrt{8}}{2}\,=\,-2\,\pm\,\sqrt{2}\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>La\,fonction\,$\,u(x)\,$\,est\,concave\,la\,ou\,$\,u%C2%A0%C2%BB(x)\,%3C\,0\,$.\,Analysons\,les\,intervalles\,%3A%0A-\,$\,(-2\,-\,\sqrt{2}\,%2C\,-2\,%2B\,\sqrt{2})\,$\,ou\,$\,u%C2%A0%C2%BB(x)\,%3C\,0\,$%3C%2Fp>%0A%3Cp>Le\,plus\,grand\,intervalle\,ou\,la\,fonction\,$\,u\,$\,est\,concave\,est\,donc\,%3A%0A\%5B\,(-2\,-\,\sqrt{2}\,%2C\,-2\,%2B\,\sqrt{2})\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>%3Ca\,id=%22exercice-27%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,27\,%3A\,representation\,parametrique%3C%2Fspan>$ , et apres 10 minutes, elle est de $1{%2C}3\,\%2C\,^\circ\mathrm{C}$ :

La variation de temperature en 10 minutes :

$1{%2C}3\,-\,(-19)\,=\,20{%2C}3\,\%2C\,^\circ\mathrm{C}$

Par minute, la temperature augmente de :

$\frac{20{%2C}3}{10}\,=\,2{%2C}03\,\%2C\,^\circ\mathrm{C}%2Fmin$

Donc, apres 25 minutes, la temperature sera de :

$T_{25}\,=\,-19\,%2B\,2%2C03\,\times \,25\,=\,-19\,%2B\,50%2C75\,=\,31%2C75\,\%2C\,^\circ\mathrm{C}$

Ce modele n’est pas pertinent car la temperature depasse la temperature ambiante.

*Deuxieme partie - Second modele*

1. Justifier que pour tout entier naturel :

$T_{n%2B1}\,=\,0%2C94\,T_n\,%2B\,1%2C5$

En partant de la relation :

$T_{n%2B1}\,-\,T_n\,=\,-0%2C06(T_n\,-\,25)$

On a :

$T_{n%2B1}\,=\,T_n\,-\,0%2C06(T_n\,-\,25)$ $T_{n%2B1}\,=\,T_n\,-\,0%2C06T_n\,%2B\,1%2C5$ $T_{n%2B1}\,=\,0%2C94T_n\,%2B\,1%2C5$

2. Calculer et :

$T_0\,=\,-19$ $T_1\,=\,0%2C94\,\times \,(-19)\,%2B\,1%2C5\,=\,-17%2C36\,%2B\,1%2C5\,=\,-15%2C86$ $T_2\,=\,0%2C94\,\times \,(-15%2C86)\,%2B\,1%2C5\,=\,-14%2C9084\,%2B\,1%2C5\,=\,-13%2C4084$

3. D’abord, demontrer par recurrence que $T_n\,\leq\,\,25$ pour tout :

Initialisation : $T_0\,=\,-19\,\leq\,\,25$ - vraie.

Heredite : supposons que $T_k\,\leq\,\,25$ pour un quelconque. Montrons que $T_{k%2B1}\,\leq\,\,25$ :

$T_{k%2B1}\,=\,0%2C94\,T_k\,%2B\,1%2C5$ Si $T_k\,\leq\,\,25$ , alors :

$T_{k%2B1}\,\leq\,\,0%2C94\,\times \,25\,%2B\,1%2C5\,=\,23%2C5\,%2B\,1%2C5\,=\,25$

Conclusion : par recurrence, $T_n\,\leq\,\,25$ pour tout .

4. Etudier le sens de variation de la suite :

$T_{n%2B1}\,=\,0%2C94\,T_n\,%2B\,1%2C5$

Si $T_n\,\leq\,\,25$ , alors $0%2C94\,T_n\,\leq\,\,23%2C5$ , et donc $T_{n%2B1}\,=\,0%2C94\,T_n\,%2B\,1%2C5\,\leq\,\,25$ .

$T_{n%2B1}\,-\,T_n\,=\,0%2C94\,T_n\,%2B\,1%2C5\,-\,T_n\,=\,-0%2C06\,T_n\,%2B\,1%2C5$

Si $T_n\,\leq\,\,25$ , alors $-0%2C06T_n\,%2B\,1%2C5\,\geq\,\,0$ .

Donc la suite est croissante si $T_n\,\leq\,\,25$ .

5. Montrer que la suite est convergente :

Puisque est croissante et bornee superieurement par 25, elle est convergente.

6. On pose $U_n\,=\,T_n\,-\,25$ . Montrer que est une suite geometrique :

$U_{n%2B1}\,=\,T_{n%2B1}\,-\,25\,=\,0%2C94\,T_n\,%2B\,1%2C5\,-\,25$ $U_{n%2B1}\,=\,0%2C94(T_n\,-\,25)\,=\,0%2C94\,U_n$

Donc la suite est geometrique de raison .

Le premier terme est :

$U_0\,=\,T_0\,-\,25\,=\,-19\,-\,25\,=\,-44$

7. a. Calculer la temperature approximative 30 minutes apres :

$T_{30}\,\approx\,25$

b. Pour $T\,=\,10$ :

$10\,=\,0%2C94\,T_n\,%2B\,1%2C5$ $8%2C5\,=\,0%2C94\,T_n$ $T_n\,=\,\frac{8%2C5}{0%2C94}\,\approx\,9$

Cette temperature est atteinte apres approximativement 9 minutes.

Exercice 25 : representation parametrique et volume 1. Determiner une representation parametrique de la droite .

Puisque la droite passe par l’origine et a pour vecteur directeur $\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,1\,\\\,0\,\end{pmatrix}$ , sa representation parametrique est : $\begin{cases}%0Ax\,=\,t\,\\%0Ay\,=\,t\,\\%0Az\,=\,0%0A\end{cases}%0A\quad\,avec\,\,t\,\in\,\mathbb{R}.$

2. Soit un nombre reel quelconque, et un point de la droite , ayant pour coordonnees $(t\,%3B\,t\,%3B\,0)$ .

On note la distance entre les points et . Demontrer que : $AM^2\,=\,2t^2\,-\,8t\,%2B\,14.$

Les coordonnees du point sont $(1%2C\,3%2C\,2)$ et celles du point sont $(t%2C\,t%2C\,0)$ . La distance au carre est : $AM^2\,=\,(t\,-\,1)^2\,%2B\,(t\,-\,3)^2\,%2B\,(0\,-\,2)^2.$ Calculons chaque terme : $(t\,-\,1)^2\,=\,t^2\,-\,2t\,%2B\,1%2C$ $(t\,-\,3)^2\,=\,t^2\,-\,6t\,%2B\,9%2C$ $(0\,-\,2)^2\,=\,4.$ En additionnant ces carres : $AM^2\,=\,t^2\,-\,2t\,%2B\,1\,%2B\,t^2\,-\,6t\,%2B\,9\,%2B\,4\,=\,2t^2\,-\,8t\,%2B\,14.$

3. Demontrer que le point de coordonnees $(2\,%3B\,2\,%3B\,0)$ est le point de la droite pour lequel la distance est minimale. On admettra que la distance est minimale lorsque son carre est minimal.

La fonction $AM^2\,=\,2t^2\,-\,8t\,%2B\,14$ est une parabole dont le sommet donne la valeur minimale puisqu’elle est convexe (le coefficient de est positif).

Le sommet de la parabole $2t^2\,-\,8t\,%2B\,14$ se trouve en $t_0\,=\,-\frac{b}{2a}$ , ou $a\,=\,2$ et $b\,=\,-8$ . Donc : $t_0\,=\,\frac{8}{4}\,=\,2.$ Ainsi, $M_0\,(2%2C\,2%2C\,0)$ est le point de la droite le plus proche de .

4. Demontrer que les droites et sont orthogonales.

Le vecteur $\vec{AM_0}$ a pour coordonnees : $\vec{AM_0}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,-\,1\,\\\,2\,-\,3\,\\\,0\,-\,2\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,-1\,\\\,-2\,\end{pmatrix}.$

Le vecteur directeur de la droite est $\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,1\,\\\,0\,\end{pmatrix}$ .

Le produit scalaire $\vec{AM_0}\,\cdot\,\vec{u}\,=\,1\,\cdot\,1\,%2B\,(-1)\,\cdot\,1\,%2B\,(-2)\,\cdot\,0\,=\,1\,-\,1\,%2B\,0\,=\,0$ .

Puisque le produit scalaire est nul, les droites et sont orthogonales.

5. Calculer le volume de la pyramide $OM_{0}A%E2%80%99A$ .

Le point est le projete orthogonal du point sur le plan $z\,=\,0$ , donc a pour coordonnees $(1%2C\,3%2C\,0)$ .

Le volume d’une pyramide est donne par $V\,=\,\frac{1}{3}\,Bh$ , ou est l’aire de la base et est la hauteur.

La base de la pyramide est le triangle .

Les coordonnees de $O%2C\,M_0%2C$ et sont respectivement $(0%2C0%2C0)%2C\,(2%2C2%2C0)%2C$ et .

Le vecteur $\vec{OM_0}\,=\,(2%2C\,2%2C\,0)$ et $\vec{OA%E2%80%99}\,=\,(1%2C\,3%2C\,0)$ .

L’aire du triangle est donnee par la moitie du produit vectoriel : $Aire\,=\,\frac{1}{2}\,%7C%7C\,\vec{OM_0}\,\times \,\vec{OA%E2%80%99}\,%7C%7C.$

Calculons le produit vectoriel : $\vec{OM_0}\,\times \,\vec{OA%E2%80%99}\,=\,\begin{vmatrix}%0A\mathbf{i}\,%26\,\mathbf{j}\,%26\,\mathbf{k}\,\\%0A2\,%26\,2\,%26\,0\,\\%0A1\,%26\,3\,%26\,0%0A\end{vmatrix}\,=\,\mathbf{i}\,(2\,\cdot\,0\,-\,0\,\cdot\,3)\,-\,\mathbf{j}\,(2\,\cdot\,0\,-\,0\,\cdot\,1)\,%2B\,\mathbf{k}\,(2\,\cdot\,3\,-\,2\,\cdot\,1)\,=\,\mathbf{k}\,(6\,-\,2)\,=\,4\,\mathbf{k}.$

Donc le module de ce vecteur est et l’aire est : $Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\,=\,2.$

La hauteur de la pyramide est la distance entre et le plan $z\,=\,0$ , soit $h\,=\,2$ .

Alors, le volume de la pyramide est : $V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,2\,\times \,2\,=\,\frac{4}{3}.$

Le volume de la pyramide $OM_{0}A%E2%80%99A$ est donc $\frac{4}{3}$ .

Exercice 26 : fonction exponentielle et equation differentielle Correction de l’exercice :

1. Soit la fonction definie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)\,=\,x^2\,e^x$ . On admet que est derivable et on note sa fonction derivee. Demontrer que est une solution particuliere de .

Calculons la derivee premiere de :

$u(x)\,=\,x^2\,e^x$ Par la regle du produit, nous avons : $u'(x)\,=\,(x^2)%E2%80%99\,e^x\,%2B\,x^2\,(e^x)%E2%80%99$ $u'(x)\,=\,2x\,e^x\,%2B\,x^2\,e^x$ $u'(x)\,=\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2)$

Substituons et dans l’equation differentielle : $y%E2%80%99\,=\,y\,%2B\,2xe^x$

$u'(x)\,=\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2)$ $y\,=\,u(x)\,=\,x^2\,e^x$ $2xe^x\,=\,2xe^x$

Nous avons donc $y%E2%80%99\,=\,y\,%2B\,2xe^x$ , ce qui montre que $u(x)\,=\,x^2\,e^x$ est une solution particuliere de l’equation differentielle .

2. Soit une fonction definie et derivable sur $\mathbb{R}$ . On note la fonction definie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)\,=\,f(x)\,-\,u(x)$ .

a. Demontrer que si la fonction est solution de l’equation differentielle , alors la fonction est solution de l’equation differentielle $y%E2%80%99\,=\,y$ .

Supposons que soit solution de , soit $f'(x)\,=\,f(x)\,%2B\,2xe^x$ . Calculons la derivee de : $g(x)\,=\,f(x)\,-\,u(x)$ $g'(x)\,=\,f'(x)\,-\,u'(x)$

Comme est solution de , nous avons : $f'(x)\,=\,f(x)\,%2B\,2xe^x$ $u'(x)\,=\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2)$ Remplacons et dans la derivee de : $g'(x)\,=\,f(x)\,%2B\,2xe^x\,-\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2)$ $g'(x)\,=\,f(x)\,%2B\,2xe^x\,-\,2xe^x\,-\,x^2\,e^x$ $g'(x)\,=\,f(x)\,-\,x^2\,e^x$ $g'(x)\,=\,g(x)$

Nous avons donc $g'(x)\,=\,g(x)$ , ce qui montre que est solution de $y%E2%80%99\,=\,y$ .

b. A l’aide de la resolution de l’equation differentielle $y%E2%80%99\,=\,y$ , resoudre l’equation differentielle .

Nous savons que la solution generale de $y%E2%80%99\,=\,y$ est : $g(x)\,=\,Ce^x$ ou est une constante.

Puisque $g(x)\,=\,f(x)\,-\,u(x)$ , nous avons : $f(x)\,=\,g(x)\,%2B\,u(x)$

Alors la solution generale de est : $f(x)\,=\,Ce^x\,%2B\,x^2\,e^x$

3. Etude de la fonction

a. Etudier le signe de pour variant dans $\mathbb{R}$ .

$u'(x)\,=\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2)$ La fonction exponentielle est toujours positive sur $\mathbb{R}$ .

Examinons le terme $2x\,%2B\,x^2$ : $2x\,%2B\,x^2$ $=\,x(x\,%2B\,2)$

Le signe de depend de $x(x\,%2B\,2)$ : - $x(x\,%2B\,2)\,>\,0$ si $x\,%3C\,-2$ ou $x\,>\,0$ - $x(x\,%2B\,2)\,%3C\,0$ si $-2\,%3C\,x\,%3C\,0$

Par consequent : - $u'(x)\,>\,0$ si $x\,%3C\,-2$ ou $x\,>\,0$ - $u'(x)\,%3C\,0$ si $-2\,%3C\,x\,%3C\,0$

b. Dresser le tableau de variation de la fonction sur $\mathbb{R}$ (les limites ne sont pas demandees).

| | $-\infty$ | -2 | 0 | $%2B\infty$ | |—————-|————-|———|———|————-| | | | | | | | | | $\nearrow$ | 0 | $\searrow$ | 0 | $\nearrow$ |

c. Determiner le plus grand intervalle sur lequel la fonction est concave.

Calculons la derivee seconde de pour determiner les intervalles de concavite :

$u'(x)\,=\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2)$ $u%C2%A0%C2%BB(x)\,=\,(2x\,%2B\,x^2)(e^x)%E2%80%99\,%2B\,e^x\,(\,\frac{d}{dx}(2x\,%2B\,x^2)\,)$ $u%C2%A0%C2%BB(x)\,=\,(2x\,%2B\,x^2)e^x\,%2B\,e^x\,(2\,%2B\,2x)$ $u%C2%A0%C2%BB(x)\,=\,e^x\,(2x\,%2B\,x^2\,%2B\,2\,%2B\,2x)$ $u%C2%A0%C2%BB(x)\,=\,e^x\,(x^2\,%2B\,4x\,%2B\,2)$

Pour determiner le signe de , analysons $x^2\,%2B\,4x\,%2B\,2$ : L’expression $x^2\,%2B\,4x\,%2B\,2$ est un polynome de degre 2 avec un minimum en $x\,=\,-2$

On trouve les racines de ce polynome en utilisant la forme canonique ou le discriminant : $\Delta\,=\,4^2\,-\,4\,\times \,1\,\times \,2\,=\,16\,-\,8\,=\,8$

Les racines sont : $x\,=\,\frac{-4\,\pm\,\sqrt{8}}{2}\,=\,-2\,\pm\,\sqrt{2}$

La fonction est concave la ou $u%C2%A0%C2%BB(x)\,%3C\,0$ . Analysons les intervalles : - $(-2\,-\,\sqrt{2}\,%2C\,-2\,%2B\,\sqrt{2})$ ou $u%C2%A0%C2%BB(x)\,%3C\,0$

Le plus grand intervalle ou la fonction est concave est donc : $(-2\,-\,\sqrt{2}\,%2C\,-2\,%2B\,\sqrt{2})$

Exercice 27 : representation parametrique" />Question 1 : $%0APour\,verifier\,quel\,point\,appartient\,a\,la\,droite\,$\mathbf{D}%E2%80%99$%2C\,nous\,devons\,verifier\,si\,les\,coordonnees\,du\,point\,satisfont\,l%E2%80%99equation\,parametrique\,de\,la\,droite\,$\mathbf{D}%E2%80%99$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A\begin{cases}%0Ax\,=\,-4\,%2B\,3t\,\\%0Ay\,=\,6\,-\,3t\,\\%0Az\,=\,8\,-\,6t\,\\%0A\end{cases}%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Pour\,$M_1\,(-1%3B\,3%3B\,-2)$%3A%0A\%5B%0A\begin{cases}%0A-1\,=\,-4\,%2B\,3t\,\implies\,3t\,=\,3\,\implies\,t\,=\,1\,\\%0A3\,=\,6\,-\,3t\,\implies\,3t\,=\,3\,\implies\,t\,=\,1\,\\%0A-2\,=\,8\,-\,6t\,\implies\,-6t\,=\,-10\,\implies\,t\,=\,\frac{5}{3}%0A\end{cases}%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>$t\,=\,1$\,ne\,satisfait\,pas\,$t\,=\,\frac{5}{3}$%2C\,donc\,$M_1$\,n%E2%80%99appartient\,pas\,a\,$\mathbf{D}%E2%80%99$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Pour\,$M_2\,(11%3B\,-9%3B\,-22)$%3A%0A\%5B%0A\begin{cases}%0A11\,=\,-4\,%2B\,3t\,\implies\,3t\,=\,15\,\implies\,t\,=\,5\,\\%0A-9\,=\,6\,-\,3t\,\implies\,-3t\,=\,-15\,\implies\,t\,=\,5\,\\%0A-22\,=\,8\,-\,6t\,\implies\,-6t\,=\,-30\,\implies\,t\,=\,5%0A\end{cases}%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Les\,trois\,equations\,sont\,satisfaites\,par\,$t\,=\,5$%2C\,donc\,$M_2$\,appartient\,a\,$\mathbf{D}%E2%80%99$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Pour\,$M_3\,(-7%3B\,9%3B\,2)$\,et\,$M_4\,(-2%3B\,3%3B\,4)$%2C\,ils\,ne\,satisfont\,pas\,de\,maniere\,similaire\,toutes\,les\,equations\,parametriques\,simultanement.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc%2C\,la\,reponse\,correcte\,est\,$b.\,M_2\,(11%3B-9%3B-22)$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>$ , nous devons verifier si les coordonnees du point satisfont l’equation parametrique de la droite $\mathbf{D}%E2%80%99$ .

$\begin{cases}%0Ax\,=\,-4\,%2B\,3t\,\\%0Ay\,=\,6\,-\,3t\,\\%0Az\,=\,8\,-\,6t\,\\%0A\end{cases}$

Pour $M_1\,(-1%3B\,3%3B\,-2)$ : $\begin{cases}%0A-1\,=\,-4\,%2B\,3t\,\implies\,3t\,=\,3\,\implies\,t\,=\,1\,\\%0A3\,=\,6\,-\,3t\,\implies\,3t\,=\,3\,\implies\,t\,=\,1\,\\%0A-2\,=\,8\,-\,6t\,\implies\,-6t\,=\,-10\,\implies\,t\,=\,\frac{5}{3}%0A\end{cases}$

$t\,=\,1$ ne satisfait pas $t\,=\,\frac{5}{3}$ , donc n’appartient pas a $\mathbf{D}%E2%80%99$ .

Pour $M_2\,(11%3B\,-9%3B\,-22)$ : $\begin{cases}%0A11\,=\,-4\,%2B\,3t\,\implies\,3t\,=\,15\,\implies\,t\,=\,5\,\\%0A-9\,=\,6\,-\,3t\,\implies\,-3t\,=\,-15\,\implies\,t\,=\,5\,\\%0A-22\,=\,8\,-\,6t\,\implies\,-6t\,=\,-30\,\implies\,t\,=\,5%0A\end{cases}$

Les trois equations sont satisfaites par $t\,=\,5$ , donc appartient a $\mathbf{D}%E2%80%99$ .

Pour $M_3\,(-7%3B\,9%3B\,2)$ et $M_4\,(-2%3B\,3%3B\,4)$ , ils ne satisfont pas de maniere similaire toutes les equations parametriques simultanement.

Donc, la reponse correcte est $b.\,M_2\,(11%3B-9%3B-22)$ .

" />Question 2 : $%0AUn\,vecteur\,directeur\,de\,la\,droite\,$\mathbf{D}%E2%80%99$\,peut\,etre\,lu\,directement\,a\,partir\,de\,l%E2%80%99equation\,parametrique\,de\,la\,droite\,$\mathbf{D}%E2%80%99$.\,Le\,vecteur\,directeur\,est\,$(3%2C\,-3%2C\,-6)$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc%2C\,la\,reponse\,correcte\,est\,$c.\,\vec{u_3}\,=\,(\,\begin{array}{c}\,3\,\\\,-3\,\\\,-6\,\end{array}\,)$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>$ peut etre lu directement a partir de l’equation parametrique de la droite $\mathbf{D}%E2%80%99$ . Le vecteur directeur est $(3%2C\,-3%2C\,-6)$ .

Donc, la reponse correcte est $c.\,\vec{u_3}\,=\,(\,\begin{array}{c}\,3\,\\\,-3\,\\\,-6\,\end{array}\,)$ .

" />Question 3 : $%0APour\,determiner\,la\,relation\,entre\,les\,droites\,$\mathbf{D}$\,et\,$\mathbf{D}%E2%80%99$%2C\,considerons\,les\,vecteurs\,directeurs.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Vecteur\,directeur\,de\,$\mathbf{D}\,$\,%3A%0A\%5B%0A\vec{u_{\mathbf{D}}}\,=\,\vec{AB}\,=\,(\,\begin{array}{c}\,-2\,\\\,2\,\\\,4\,\end{array}\,)%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Puisque\,nous\,avons\,le\,vecteur\,directeur\,de\,$\mathbf{D}%E2%80%99\,$%2C%0A\%5B%0A\vec{u_{\mathbf{D}%E2%80%99}}\,=\,(\,\begin{array}{c}\,3\,\\\,-3\,\\\,-6\,\end{array}\,)%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Nous\,observons\,que\,les\,vecteurs\,ne\,sont\,pas\,colineaires\,($\vec{u_{\mathbf{D}}}$\,et\,$\vec{u_{\mathbf{D}%E2%80%99}}$\,ne\,sont\,pas\,multiples\,l%E2%80%99un\,de\,l%E2%80%99autre)\,et\,donc\,les\,droites\,$\mathbf{D}$\,et\,$\mathbf{D}%E2%80%99$\,sont\,secantes\,(non\,paralleles\,et\,non\,confondues).%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc%2C\,la\,reponse\,correcte\,est\,$a.\,secantes$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>$ et $\mathbf{D}%E2%80%99$ , considerons les vecteurs directeurs.

Vecteur directeur de $\mathbf{D}$ : $\vec{u_{\mathbf{D}}}\,=\,\vec{AB}\,=\,(\,\begin{array}{c}\,-2\,\\\,2\,\\\,4\,\end{array}\,)$

Puisque nous avons le vecteur directeur de $\mathbf{D}%E2%80%99$ , $\vec{u_{\mathbf{D}%E2%80%99}}\,=\,(\,\begin{array}{c}\,3\,\\\,-3\,\\\,-6\,\end{array}\,)$

Nous observons que les vecteurs ne sont pas colineaires ( $\vec{u_{\mathbf{D}}}$ et $\vec{u_{\mathbf{D}%E2%80%99}}$ ne sont pas multiples l’un de l’autre) et donc les droites $\mathbf{D}$ et $\mathbf{D}%E2%80%99$ sont secantes (non paralleles et non confondues).

Donc, la reponse correcte est $a.\,secantes$ .

" />Question 4 : $%0APour\,verifier\,la\,valeur\,de\,$m$\,pour\,laquelle\,la\,droite\,$\mathbf{D}$\,est\,parallele\,au\,plan\,$\mathbf{P}$%2C\,nous\,savons\,que\,la\,condition\,de\,parallelisme\,est\,que\,le\,produit\,scalaire\,du\,vecteur\,directeur\,de\,la\,droite\,$\mathbf{D}$\,et\,du\,vecteur\,normal\,du\,plan\,soit\,nul.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Equation\,du\,plan\,%3A%0A\%5B%0Ax\,%2B\,my\,-\,2z\,%2B\,8\,=\,0%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Vecteur\,normal\,du\,plan\,$\mathbf{P}$\,%3A%0A\%5B%0A\vec{n_{\mathbf{P}}}\,=\,(\,\begin{array}{c}\,1\,\\\,m\,\\\,-2\,\end{array}\,)%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Vecteur\,directeur\,de\,$\mathbf{D}$%3A%0A\%5B%0A\vec{u_{\mathbf{D}}}\,=\,(\,\begin{array}{c}\,-2\,\\\,2\,\\\,4\,\end{array}\,)%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Produit\,scalaire\,$\vec{u_{\mathbf{D}}}\,\cdot\,\vec{n_{\mathbf{P}}}\,=\,0$\,%3A%0A\%5B%0A(-2)\,\cdot\,1\,%2B\,2\,\cdot\,m\,%2B\,4\,\cdot\,(-2)\,=\,0\,\implies\,-2\,%2B\,2m\,-\,8\,=\,0\,\implies\,2m\,-\,10\,=\,0\,\implies\,m\,=\,5%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc%2C\,la\,reponse\,correcte\,est\,$c.\,m\,=\,5$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>%3Ca\,id=%22exercice-28%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,28\,%3A\,suite\,recurrente%3C%2Fspan>%0A%23%23%23\,Correction\,de\,l%E2%80%99exercice\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>%23%23%23%23\,1.\,Conjecturer\,l%E2%80%99expression\,de\,$\,\frac{4}{u_n}\,$\,en\,fonction\,de\,$\,n\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>D%E2%80%99apres\,le\,tableau%2C\,on\,observe\,que\,$\,\frac{4}{u_n}\,$\,semble\,etre\,egal\,a\,$\,4%2Bn\,$.\,Ainsi%2C\,nous\,conjecturons\,que\,%3A%0A\%5B\,\frac{4}{u_n}\,=\,4\,%2B\,n\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>%23%23%23%23\,2.\,Demontrer\,par\,recurrence\,que%2C\,pour\,tout\,entier\,naturel\,$\,n\,$%2C\,on\,a\,$\,u_n\,>\,0\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>_Initialisation\,%3A_%3C%2Fp>%0A%3Cp>Pour\,$\,n\,=\,0\,$%2C\,$\,u_0\,=\,1\,>\,0\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>_Heredite\,%3A_%3C%2Fp>%0A%3Cp>Supposons\,que\,pour\,un\,certain\,$\,n\,$%2C\,$\,u_n\,>\,0\,$.\,Montrons\,que\,$\,u_{n%2B1}\,>\,0\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,u_{n%2B1}\,=\,\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Comme\,$\,u_n\,>\,0\,$\,par\,hypothese\,de\,recurrence%2C\,il\,en\,resulte\,que\,$\,4u_n\,>\,0\,$\,et\,$\,u_n\,%2B\,4\,>\,0\,$\,(car\,$\,4\,>\,0\,$).%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc\,$\,u_{n%2B1}\,=\,\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}\,>\,0\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Par\,le\,principe\,de\,recurrence%2C\,on\,en\,deduit\,que\,$\,u_n\,>\,0\,$\,pour\,tout\,$\,n\,\in\,\mathbb{N}\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>%23%23%23%23\,3.\,Demontrer\,que\,la\,suite\,$\,(u_n)\,$\,est\,decroissante.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Soit\,$\,u_{n%2B1}\,=\,\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}\,$.\,Montrons\,que\,$\,u_{n%2B1}\,\leq\,\,u_n\,$\,pour\,tout\,$\,n\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Considerons\,$\,u_{n%2B1}\,\leq\,\,u_n\,$%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}\,\leq\,\,u_n\,\%5D%0A\%5B\,4u_n\,\leq\,\,u_n(u_n\,%2B\,4)\,\%5D%0A\%5B\,4u_n\,\leq\,\,u_n^2\,%2B\,4u_n\,\%5D%0A\%5B\,0\,\leq\,\,u_n^2\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>L%E2%80%99inegalite\,est\,toujours\,vraie.\,Ainsi%2C\,$\,u_{n%2B1}\,=\,\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}\,$\,est\,toujours\,inferieur\,ou\,egal\,a\,$\,u_n\,$%2C\,donc\,la\,suite\,est\,decroissante.%3C%2Fp>%0A%3Cp>%23%23%23%23\,4.\,Conclusion\,des\,questions\,2\,et\,3.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Nous\,avons\,demontre\,que\,la\,suite\,$\,(u_n)\,$\,est\,positive\,et\,decroissante.\,Une\,suite\,positive\,et\,decroissante\,est\,convergente.\,Donc\,la\,suite\,$\,(u_n)\,$\,est\,convergente.%3C%2Fp>%0A%3Cp>%23%23%23%23\,5.\,Demontrer\,que\,$\,(v_n)\,$\,est\,une\,suite\,arithmetique.%3C%2Fp>%0A%3Cp>On\,pose\,$\,v_n\,=\,\frac{4}{u_n}\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Selon\,la\,conjecture\,de\,la\,question\,1%2C\,nous\,avons\,$\,v_n\,=\,4\,%2B\,n\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Montrons\,cette\,expression.\,On\,a\,$\,v_{n%2B1}\,=\,\frac{4}{u_{n%2B1}}\,$\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,u_{n%2B1}\,=\,\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}\,\%5D%0A\%5B\,v_{n%2B1}\,=\,\frac{4}{u_{n%2B1}}\,=\,\frac{4}{\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}}\,=\,\frac{u_n\,%2B\,4}{u_n}\,=\,1\,%2B\,\frac{4}{u_n}\,=\,1\,%2B\,v_n\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc%2C\,$\,v_{n%2B1}\,=\,v_n\,%2B\,1\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>On\,en\,deduit\,que\,la\,suite\,$\,(v_n)\,$\,est\,arithmetique\,de\,raison\,1\,et\,de\,premier\,terme\,$\,v_0\,=\,\frac{4}{u_0}\,=\,4\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>%23%23%23%23\,6.\,Determiner\,l%E2%80%99expression\,de\,$\,u_n\,$\,en\,fonction\,de\,$\,n\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Nous\,avons\,$\,v_n\,=\,4\,%2B\,n\,$.\,Donc\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,v_n\,=\,\frac{4}{u_n}\,=\,4\,%2B\,n\,\Rightarrow\,u_n\,=\,\frac{4}{4%2Bn}\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>%23%23%23%23\,Limite\,de\,la\,suite\,$\,(u_n)\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Calculons\,la\,limite\,de\,$\,u_n\,$\,lorsque\,$\,n\,$\,tend\,vers\,l%E2%80%99infini\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{4}{4%2Bn}\,=\,0\,\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc%2C\,la\,limite\,de\,la\,suite\,$\,(u_n)\,$\,est\,$\,0\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>%3Ca\,id=%22exercice-29%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,29\,%3A\,logarithme\,neperien\,et\,fonctions%3C%2Fspan>$ pour laquelle la droite $\mathbf{D}$ est parallele au plan $\mathbf{P}$ , nous savons que la condition de parallelisme est que le produit scalaire du vecteur directeur de la droite $\mathbf{D}$ et du vecteur normal du plan soit nul.

Equation du plan : $x\,%2B\,my\,-\,2z\,%2B\,8\,=\,0$

Vecteur normal du plan $\mathbf{P}$ : $\vec{n_{\mathbf{P}}}\,=\,(\,\begin{array}{c}\,1\,\\\,m\,\\\,-2\,\end{array}\,)$

Vecteur directeur de $\mathbf{D}$ : $\vec{u_{\mathbf{D}}}\,=\,(\,\begin{array}{c}\,-2\,\\\,2\,\\\,4\,\end{array}\,)$

Produit scalaire $\vec{u_{\mathbf{D}}}\,\cdot\,\vec{n_{\mathbf{P}}}\,=\,0$ : $(-2)\,\cdot\,1\,%2B\,2\,\cdot\,m\,%2B\,4\,\cdot\,(-2)\,=\,0\,\implies\,-2\,%2B\,2m\,-\,8\,=\,0\,\implies\,2m\,-\,10\,=\,0\,\implies\,m\,=\,5$

Donc, la reponse correcte est $c.\,m\,=\,5$ .

Exercice 28 : suite recurrente ### Correction de l’exercice :

#### 1. Conjecturer l’expression de $\frac{4}{u_n}$ en fonction de .

D’apres le tableau, on observe que $\frac{4}{u_n}$ semble etre egal a . Ainsi, nous conjecturons que : $\frac{4}{u_n}\,=\,4\,%2B\,n$

#### 2. Demontrer par recurrence que, pour tout entier naturel , on a $u_n\,>\,0$ .

_Initialisation :_

Pour $n\,=\,0$ , $u_0\,=\,1\,>\,0$ .

_Heredite :_

Supposons que pour un certain , $u_n\,>\,0$ . Montrons que $u_{n%2B1}\,>\,0$ .

$u_{n%2B1}\,=\,\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}$

Comme $u_n\,>\,0$ par hypothese de recurrence, il en resulte que $4u_n\,>\,0$ et $u_n\,%2B\,4\,>\,0$ (car $4\,>\,0$ ).

Donc $u_{n%2B1}\,=\,\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}\,>\,0$ .

Par le principe de recurrence, on en deduit que $u_n\,>\,0$ pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ .

#### 3. Demontrer que la suite est decroissante.

Soit $u_{n%2B1}\,=\,\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}$ . Montrons que $u_{n%2B1}\,\leq\,\,u_n$ pour tout .

Considerons $u_{n%2B1}\,\leq\,\,u_n$ :

$\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}\,\leq\,\,u_n$ $4u_n\,\leq\,\,u_n(u_n\,%2B\,4)$ $4u_n\,\leq\,\,u_n^2\,%2B\,4u_n$ $0\,\leq\,\,u_n^2$

L’inegalite est toujours vraie. Ainsi, $u_{n%2B1}\,=\,\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}$ est toujours inferieur ou egal a , donc la suite est decroissante.

#### 4. Conclusion des questions 2 et 3.

Nous avons demontre que la suite est positive et decroissante. Une suite positive et decroissante est convergente. Donc la suite est convergente.

#### 5. Demontrer que est une suite arithmetique.

On pose $v_n\,=\,\frac{4}{u_n}$ .

Selon la conjecture de la question 1, nous avons $v_n\,=\,4\,%2B\,n$ .

Montrons cette expression. On a $v_{n%2B1}\,=\,\frac{4}{u_{n%2B1}}$ :

$u_{n%2B1}\,=\,\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}$ $v_{n%2B1}\,=\,\frac{4}{u_{n%2B1}}\,=\,\frac{4}{\frac{4u_n}{u_n\,%2B\,4}}\,=\,\frac{u_n\,%2B\,4}{u_n}\,=\,1\,%2B\,\frac{4}{u_n}\,=\,1\,%2B\,v_n$

Donc, $v_{n%2B1}\,=\,v_n\,%2B\,1$ .

On en deduit que la suite est arithmetique de raison 1 et de premier terme $v_0\,=\,\frac{4}{u_0}\,=\,4$ .

#### 6. Determiner l’expression de en fonction de .

Nous avons $v_n\,=\,4\,%2B\,n$ . Donc :

$v_n\,=\,\frac{4}{u_n}\,=\,4\,%2B\,n\,\Rightarrow\,u_n\,=\,\frac{4}{4%2Bn}$

#### Limite de la suite .

Calculons la limite de lorsque tend vers l’infini :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{4}{4%2Bn}\,=\,0$

Donc, la limite de la suite est .

Exercice 29 : logarithme neperien et fonctions" />Partie I $%3C%2Fp>%0A%3Cp>1.$ Limites de en 0 et en $%2B\infty$ . $%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,h(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,(\,1\,%2B\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,)%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Pour\,$\,\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,$%2C\,on\,note\,que\,$\,\ln(x)\,\to\,-\infty\,$\,et\,$\,x^2\,\to\,0\,$\,positivement%2C\,donc%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,=\,-\infty.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Ainsi%2C%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,h(x)\,=\,-\infty.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,h(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(\,1\,%2B\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,).%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Pour\,$\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,$%2C\,on\,note\,que\,$\,\ln(x)\,$\,croit\,plus\,lentement\,que\,$\,x^2\,$%2C\,donc%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,=\,0.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Ainsi%2C%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,h(x)\,=\,1.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>2.$

Pour $\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,\frac{\ln(x)}{x^2}$ , on note que $\ln(x)\,\to\,-\infty$ et $x^2\,\to\,0$ positivement, donc

$\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,=\,-\infty.$

Ainsi,

$\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,h(x)\,=\,-\infty.$

$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,h(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(\,1\,%2B\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,).$

Pour $\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{\ln(x)}{x^2}$ , on note que $\ln(x)$ croit plus lentement que , donc

$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,=\,0.$

Ainsi,

$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,h(x)\,=\,1.$

2." />Dérivée de et preuve de l’égalité donnée. $%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0Ah'(x)\,=\,(\,1\,%2B\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,)%E2%80%99%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>En\,utilisant\,la\,derivation%2C\,nous\,obtenons\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0Ah'(x)\,=\,0\,%2B\,(\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,)%E2%80%99%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>En\,appliquant\,la\,regle\,du\,quotient%2C\,nous\,avons\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A(\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,)%E2%80%99\,=\,\frac{x^2\,\cdot\,\frac{1}{x}\,-\,\ln(x)\,\cdot\,2x}{(x^2)^2}\,=\,\frac{x\,-\,2x\,\ln(x)}{x^4}\,=\,\frac{1\,-\,2\ln(x)}{x^3}.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc%2C%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0Ah'(x)\,=\,\frac{1\,-\,2\ln(x)}{x^3}.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>3.$

En utilisant la derivation, nous obtenons :

$h'(x)\,=\,0\,%2B\,(\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,)%E2%80%99$

En appliquant la regle du quotient, nous avons :

$(\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,)%E2%80%99\,=\,\frac{x^2\,\cdot\,\frac{1}{x}\,-\,\ln(x)\,\cdot\,2x}{(x^2)^2}\,=\,\frac{x\,-\,2x\,\ln(x)}{x^4}\,=\,\frac{1\,-\,2\ln(x)}{x^3}.$

Donc,

$h'(x)\,=\,\frac{1\,-\,2\ln(x)}{x^3}.$

3." />Étude des variations de . $%3C%2Fp>%0A%3Cp>On\,observe\,le\,signe\,de\,$\,h'(x)\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0Ah'(x)\,=\,\frac{1\,-\,2\ln(x)}{x^3}%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Pour\,$\,x\,>\,0\,$%2C\,la\,valeur\,du\,denominateur\,$\,x^3\,$\,est\,toujours\,positive.\,Ainsi%2C\,le\,signe\,de\,$\,h'(x)\,$\,depend\,du\,numerateur\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A1\,-\,2\ln(x)%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Cherchons\,le\,signe\,de\,$\,1\,-\,2\ln(x)\,$\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A1\,-\,2\ln(x)\,=\,0\,\implies\,\ln(x)\,=\,\frac{1}{2}\,\implies\,x\,=\,\sqrt{e}%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Donc%2C\,pour\,$\,x\,%3C\,\sqrt{e}\,$%2C\,$\,1\,-\,2\ln(x)\,>\,0\,$\,(croissante)%2C\,et\,pour\,$\,x\,>\,\sqrt{e}\,$%2C\,$\,1\,-\,2\ln(x)\,%3C\,0\,$\,(decroissante).%3C%2Fp>%0A%3Cp>4.$ .

$h'(x)\,=\,\frac{1\,-\,2\ln(x)}{x^3}$

Pour $x\,>\,0$ , la valeur du denominateur est toujours positive. Ainsi, le signe de depend du numerateur :

$1\,-\,2\ln(x)$

Cherchons le signe de $1\,-\,2\ln(x)$ :

$1\,-\,2\ln(x)\,=\,0\,\implies\,\ln(x)\,=\,\frac{1}{2}\,\implies\,x\,=\,\sqrt{e}$

Donc, pour $x\,%3C\,\sqrt{e}$ , $1\,-\,2\ln(x)\,>\,0$ (croissante), et pour $x\,>\,\sqrt{e}$ , $1\,-\,2\ln(x)\,%3C\,0$ (decroissante).

4." />Solution unique $\alpha$ de $h(x)\,=\,0$ appartenant à $%5D0%3B\,%2B\infty%5B$ et vérification $\frac{1}{2}\,%3C\,\alpha\,%3C\,1$ . $%3C%2Fp>%0A%3Cp>L%E2%80%99equation\,$\,h(x)\,=\,0\,$\,s%E2%80%99ecrit\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A1\,%2B\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,=\,0\,\implies\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,=\,-1\,\implies\,\ln(x)\,=\,-x^2%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Nous\,cherchons\,une\,solution\,$\,\alpha\,$\,telle\,que\,$\,\frac{1}{2}\,%3C\,\alpha\,%3C\,1\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Analysons\,la\,fonction\,$\,\varphi(x)\,=\,-x^2\,-\,\ln(x)\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>Pour\,$\,x\,=\,\frac{1}{2}\,$%2C%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A\varphi(\frac{1}{2})\,=\,-(\frac{1}{2})^2\,-\,\ln(\frac{1}{2})\,=\,-\frac{1}{4}\,%2B\,\ln(2)\,>\,0\,\quad\,(car\,\,\ln(2)\,\approx\,0.693).%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Pour\,$\,x\,=\,1\,$%2C%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A\varphi(1)\,=\,-1\,-\,\ln(1)\,=\,-1.%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Par\,continuite\,de\,$\,\varphi\,$\,et\,le\,theoreme\,des\,valeurs\,intermediaires%2C\,il\,existe\,une\,solution\,unique\,$\,\alpha\,$\,dans\,l%E2%80%99intervalle\,$\,(\frac{1}{2}%2C\,1)\,$.%3C%2Fp>%0A%3Cp>5.$ s’ecrit :

$1\,%2B\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,=\,0\,\implies\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,=\,-1\,\implies\,\ln(x)\,=\,-x^2$

Nous cherchons une solution $\alpha$ telle que $\frac{1}{2}\,%3C\,\alpha\,%3C\,1$ .

Analysons la fonction $\varphi(x)\,=\,-x^2\,-\,\ln(x)$ .

Pour $x\,=\,\frac{1}{2}$ ,

$\varphi(\frac{1}{2})\,=\,-(\frac{1}{2})^2\,-\,\ln(\frac{1}{2})\,=\,-\frac{1}{4}\,%2B\,\ln(2)\,>\,0\,\quad\,(car\,\,\ln(2)\,\approx\,0.693).$

Pour $x\,=\,1$ ,

$\varphi(1)\,=\,-1\,-\,\ln(1)\,=\,-1.$

Par continuite de $\varphi$ et le theoreme des valeurs intermediaires, il existe une solution unique $\alpha$ dans l’intervalle $(\frac{1}{2}%2C\,1)$ .

5." />Signe de pour appartenant à $%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$ . $%3C%2Fp>%0A%3Cp>Sachant\,que\,$\,\alpha\,$\,est\,la\,seule\,solution\,de\,$\,h(x)\,=\,0\,$%2C\,et\,d%E2%80%99apres\,les\,variations\,de\,$\,h(x)\,$%2C\,on\,en\,deduit\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>-\,Pour\,$\,0\,%3C\,x\,%3C\,\alpha\,$%2C\,$\,h(x)\,%3C\,0\,$\,(car\,$\,h\,$\,est\,croissante\,vers\,$\,-\infty\,$\,de\,0\,a\,$\,\alpha\,$).%0A-\,Pour\,$\,x\,>\,\alpha\,$%2C\,$\,h(x)\,>\,0\,$\,(car\,$\,h\,$\,est\,decroissante\,vers\,1\,a\,partir\,de\,$\,\alpha\,$).%3C%2Fp>%0A%3Cp>$ est la seule solution de $h(x)\,=\,0$ , et d’apres les variations de , on en deduit :

- Pour $0\,%3C\,x\,%3C\,\alpha$ , $h(x)\,%3C\,0$ (car est croissante vers $-\infty$ de 0 a $\alpha$ ). - Pour $x\,>\,\alpha$ , $h(x)\,>\,0$ (car est decroissante vers 1 a partir de $\alpha$ ).

" />Partie II $%3C%2Fp>%0A%3Cp>1.$ Montrer que pour tout nombre réel appartenant à $%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$ , $f_1(x)\,-\,f_2(x)\,=\,h(x)$ . $%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0Af_1(x)\,-\,f_2(x)\,=\,(\,x\,-\,1\,-\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,)\,-\,(\,x\,-\,2\,-\,\frac{2\,\ln(x)}{x^2}\,)%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Simplifions\,l%E2%80%99expression\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0Af_1(x)\,-\,f_2(x)\,=\,(\,x\,-\,1\,-\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,)\,-\,x\,%2B\,2\,%2B\,\frac{2\,\ln(x)}{x^2}%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A=\,-1\,%2B\,2\,-\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,%2B\,\frac{2\,\ln(x)}{x^2}%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0A=\,1\,%2B\,\frac{\ln(x)}{x^2}%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>Or%2C%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0Ah(x)\,=\,1\,%2B\,\frac{\ln(x)}{x^2}%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>On\,conclut\,donc\,que\,%3A%3C%2Fp>%0A%3Cp>\%5B%0Af_1(x)\,-\,f_2(x)\,=\,h(x).%0A\%5D%3C%2Fp>%0A%3Cp>2.$

Simplifions l’expression :

$f_1(x)\,-\,f_2(x)\,=\,(\,x\,-\,1\,-\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,)\,-\,x\,%2B\,2\,%2B\,\frac{2\,\ln(x)}{x^2}$

$=\,-1\,%2B\,2\,-\,\frac{\ln(x)}{x^2}\,%2B\,\frac{2\,\ln(x)}{x^2}$

$=\,1\,%2B\,\frac{\ln(x)}{x^2}$

Or,

$h(x)\,=\,1\,%2B\,\frac{\ln(x)}{x^2}$

On conclut donc que :

$f_1(x)\,-\,f_2(x)\,=\,h(x).$

2." />Position relative des courbes et et unicité du point d’intersection.$$

D’après la question précédente, $f_1(x)\,-\,f_2(x)\,=\,h(x)$ , donc $f_1(x)\,=\,f_2(x)$ lorsque $h(x)\,=\,0$ , ce qui se produit en $x\,=\,\alpha$ . Ainsi, et se coupent en $(\alpha%2C\,\alpha)$ . Vérifions que c’est le seul point d’intersection :

– Pour $x\,%3C\,\alpha$ , $f_1(x)\,%3C\,f_2(x)$ (car $h(x)\,%3C\,0$ ).
– Pour $x\,>\,\alpha$ , $f_1(x)\,>\,f_2(x)$ (car $h(x)\,>\,0$ ).

Ainsi, $(\alpha%2C\,\alpha)$ est le seul point d’intersection des courbes et .

Exercice 30 : convexité et étude d’une fonction
PARTIE I

1. Le sens de variation de la fonction sur $\mathbb{R}$ :

D’après la courbe de (qui représente la dérivée seconde de la fonction ), nous observons les variations suivantes:

– $f%C2%A0%C2%BB(x)\,>\,0$ pour $x\,\in\,%5D-1%2C\,0%5B\,\cup\,%5D1%2C\,%2B\infty%5B$ , donc est croissante sur ces intervalles.
– $f%C2%A0%C2%BB(x)\,%3C\,0$ pour $x\,\in\,%5D\,-\infty%2C\,-1%5B\,\cup\,%5D0%2C\,1%5B$ , donc est décroissante sur ces intervalles.
– Des points d’inflexion peuvent apparaître pour $x\,=\,-1%2C\,x\,=\,0%2C\,x\,=\,1$ , où $f%C2%A0%C2%BB(x)\,=\,0$ .

2. La convexité de la fonction sur $\mathbb{R}$ :

La fonction est convexe là où $f%C2%A0%C2%BB(x)\,>\,0$ , c’est-à-dire sur les intervalles $%5D-1%2C\,0%5B\,\cup\,%5D1%2C\,%2B\infty%5B$ .
La fonction est concave là où $f%C2%A0%C2%BB(x)\,%3C\,0$ , c’est-à-dire sur les intervalles $%5D\,-\infty%2C\,-1\,%5B\,\cup\,%5D0%2C\,1%5B$ .

PARTIE II

1.a. Montrer, pour tout nombre réel ,
$f'(x)\,=\,\frac{x}{e^x}\,%2B\,2e^{-x}.$

Soit $f(x)\,=\,(x%2B2)e^{-x}$ . Calculons en utilisant la règle de la dérivation du produit:

$%0Af'(x)\,=\,(x%2B2)\,\cdot\,(-e^{-x})\,%2B\,e^{-x}\,\cdot\,1\,=\,-\,(x%2B2)e^{-x}\,%2B\,e^{-x}\,=\,e^{-x}\,(1\,-\,(x%2B2))\,=\,e^{-x}(-x-1%2B1)\,=\,e^{-x}(-x)\,=\,-xe^{-x}.$

1.b. En déduire la limite de en $%2B\infty$ .

Lorsque tend vers $%2B\infty$ ,

$%0Af(x)\,=\,(x%2B2)e^{-x}\,\to\,0\,\,car\,\,e^{-x}\,\to\,0\,\,plus\,vite\,que\,\,x\,\to\,%2B\infty.$

Donc,

$%0A\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,0.$

1.c. Justifier que la courbe admet une asymptote que l’on précisera.

L’asymptote horizontale de est $y\,=\,0$ car

$%0A\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,0.$

2.a. Montrer que, pour tout nombre réel , $f'(x)\,=\,(x-1)e^{-x}$ .

Calculons à nouveau en utilisant l’expression dejá donnée:

$%0Af'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,%5B(x%2B2)e^{-x}%5D\,=\,e^{-x}(x%2B2)%E2%80%99\,%2B\,(x%2B2)\,\cdot\,(e^{-x})%E2%80%99\,=\,e^{-x}\,-\,(x%2B2)e^{-x}\,=\,(1-x-2)e^{-x}\,=\,(x-1)e^{-x}.$

2.b. Étudier les variations de et dresser son tableau de variations.

$f'(x)\,=\,(x-1)e^{-x}$ .

– $f'(x)\,=\,0$ pour $x\,=\,1.$
– $f'(x)\,>\,0$ pour $x\,>\,1$ (point critique).
– $f'(x)\,%3C\,0$ pour $x\,%3C\,1.$

Tableau de variations de :

$%0A\begin{array}{%7Cc%7Cccc%7C}%0A\hline%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,1\,%26\,%2B\infty\,\\%0A\hline%0Af'(x)\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,\\%0A\hline%0Af(x)\,%26\,\downarrow\,%26\,%26\,\uparrow\,\\%0A\hline%0A\end{array}$

2.c. Montrer que l’équation $f(x)\,=\,2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $%5B-2%2C\,-1%5D$ en donnant une valeur approchée à $10^{-1}$ près.

Soit $g(x)\,=\,f(x)\,-\,2$ :

$%0Ag(x)\,=\,(x\,%2B\,2)e^{-x}\,-\,2.$

On cherche $\alpha$ tel que $g(\alpha)\,=\,0$ . En évaluant pour différentes valeurs de sur l’intervalle $%5B-2%2C\,-1%5D$ :

$%0Ag(-2)\,=\,(-2%2B2)e^{2}\,-\,2\,=\,-2\,\quad\,g(-1)\,=\,(-1%2B2)e^{1}\,-\,2\,=\,e\,-\,2\,\approx\,0.$

Par dichotomie, on peut itérer pour trouver une approximation $\alpha$ .

3. Déterminer, pour tout nombre réel , l’expression de et étudier la convexité de la fonction au vu de cette étude.

Calculons :

$%0Af%C2%A0%C2%BB(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,%5B(x-1)e^{-x}%5D\,=\,e^{-x}(x-1)%E2%80%99\,%2B\,(x-1)(e^{-x})%E2%80%99\,=\,e^{-x}\,-\,(x-1)e^{-x}\,=\,e^{-x}((x-1)-1)\,=\,e^{-x}(x-2).$

La fonction est convexe là où $f%C2%A0%C2%BB(x)\,>\,0$ , c’est-à-dire pour $x\,>\,2$ .
Elle est concave là où $f%C2%A0%C2%BB(x)\,%3C\,0$ , c’est-à-dire pour $x\,%3C\,2$ .

Voir Corrigés 21 à 30 ...

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