Les équations : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : les inéquations.
a. \\
$4x\,%2B\,3\,%3C\,7x$
$3\,%3C\,3x$
$1\,%3C\,x$
$x\,>\,1$

c. \\
$4x\,%2B\,3\,\geq\,\,7x\,%2B\,8$
$3\,\geq\,\,3x\,%2B\,8$
$-5\,\geq\,\,3x$
$-\frac{5}{3}\,\geq\,\,x$
$x\,\leq\,\,-\frac{5{3}}$

d. \\
$4x\,%2B\,3\,\leq\,\,7(x\,%2B\,8)$
$4x\,%2B\,3\,\leq\,\,7x\,%2B\,56$
$3\,\leq\,\,3x\,%2B\,56$
$-53\,\leq\,\,3x$
$-\frac{53}{3}\,\leq\,\,x$
$x\,\geq\,\,-\frac{53{3}}$

e. \\
$4(x\,%2B\,3)\,>\,7(x\,%2B\,8)$

f. \\
$-4x\,%2B\,3\,\geq\,\,7x\,-\,8$
$3\,%2B\,8\,\geq\,\,7x\,%2B\,4x$
$11\,\geq\,\,11x$
$1\,\geq\,\,x$
$x\,\leq\,\,1$

g. \\
$-4(x\,%2B\,3)\,\geq\,\,7(x\,-\,8)$
$-4x\,-\,12\,\geq\,\,7x\,-\,56$
$-12\,%2B\,56\,\geq\,\,7x\,%2B\,4x$
$44\,\geq\,\,11x$
$4\,\geq\,\,x$
$x\,\leq\,\,4$

h. \\
$-4(x\,-\,3)\,\leq\,\,7x\,%2B\,8$
$-4x\,%2B\,12\,\leq\,\,7x\,%2B\,8$
$12\,-\,8\,\leq\,\,7x\,%2B\,4x$
$4\,\leq\,\,11x$
$\frac{4}{11}\,\leq\,\,x$
$x\,\geq\,\,\frac{4{11}}$

i. \\
$-4(-x\,%2B\,3)\,>\,7(x\,-\,8)$

j. \\
$(2x\,-\,3)^2\,\leq\,\,4x^2\,%2B\,2x\,-\,4$
$4x^2\,-\,12x\,%2B\,9\,\leq\,\,4x^2\,%2B\,2x\,-\,4$
$-12x\,%2B\,9\,\leq\,\,2x\,-\,4$
$13\,\leq\,\,14x$
$\frac{13}{14}\,\leq\,\,x$
$x\,\geq\,\,\frac{13{14}}$

k. \\
$(2x\,-\,3)^2\,\leq\,\,-4x^2\,%2B\,2x\,-\,4$
$4x^2\,-\,12x\,%2B\,9\,\leq\,\,-4x^2\,%2B\,2x\,-\,4$
$4x^2\,%2B\,4x^2\,\leq\,\,2x\,%2B\,12x\,-\,13$
$8x^2\,\leq\,\,14x\,-\,13$
$Aucune\,solution$ (l’inéquation n’est pas vraie pour les valeurs réelles de x)

l. \\
$(-3x\,%2B\,2)(2\,-\,6x)\,\geq\,\,(2x\,-\,6)(1\,%2B\,9x)$
$-6x\,%2B\,18x^2\,-\,4\,%2B\,12x\,\geq\,\,2x\,%2B\,18x^2\,-\,6\,-\,54x$
$18x^2\,-\,6x\,%2B\,12x\,-\,4\,\geq\,\,18x^2\,%2B\,2x\,-\,54x\,-\,6$
$6x\,-\,4\,\geq\,\,-52x\,-\,6$
$6x\,%2B\,52x\,\geq\,\,-6\,%2B\,4$
$58x\,\geq\,\,-2$
$x\,\geq\,\,-\frac{1{29}}$

Exercice 2 : résolution d’équations
1) $5x\,%2B\,2\,=\,2x\,%2B\,6$

\begin{align*}
5x + 2 = 2x + 6 \\
5x – 2x = 6 – 2 \\
3x = 4 \\
x = \frac{4}{3}
\end{align*}

2) $2(3x\,%2B\,3)\,=\,-2(x\,-\,7)$

\begin{align*}
2(3x + 3) = -2(x – 7) \\
6x + 6 = -2x + 14 \\
6x + 2x = 14 – 6 \\
8x = 8 \\
x = 1
\end{align*}

3) $-3(4x\,%2B\,3)\,=\,2x\,%2B\,6$

\begin{align*}
-3(4x + 3) = 2x + 6 \\
-12x – 9 = 2x + 6 \\
-12x – 2x = 6 + 9 \\
-14x = 15 \\
x = -\frac{15}{14}
\end{align*}

4) $\frac{x\,%2B\,3}{3}\,=\,\frac{2x\,%2B\,1}{4}$

\begin{align*}
4(x + 3) = 3(2x + 1) \\
4x + 12 = 6x + 3 \\
4x – 6x = 3 – 12 \\
-2x = -9 \\
x = \frac{9}{2}
\end{align*}

5) $\frac{2x\,-\,3}{3}\,=\,-5x\,%2B\,1$

\begin{align*}
2x – 3 = 3(-5x + 1) \\
2x – 3 = -15x + 3 \\
2x + 15x = 3 + 3 \\
17x = 6 \\
x = \frac{6}{17}
\end{align*}

6) $\frac{3\,-\,4x}{5}\,=\,\frac{2x\,%2B\,1}{4}$

\begin{align*}
4(3 – 4x) = 5(2x + 1) \\
12 – 16x = 10x + 5 \\
12 – 5 = 10x + 16x \\
7 = 26x \\
x = \frac{7}{26} = \frac{1}{(26}{7} = \frac{1}{13} = \frac{1}{13}
\end{align*}

Exercice 3 : equations et calcul littéral
1) Développons $(3x\,-\,5)(x\,%2B\,3)$ :

$(3x\,-\,5)(x\,%2B\,3)\,=\,3x\,\cdot\,x\,%2B\,3x\,\cdot\,3\,-\,5\,\cdot\,x\,-\,5\,\cdot\,3$

$=\,3x^2\,%2B\,9x\,-\,5x\,-\,15$

$=\,3x^2\,%2B\,4x\,-\,15$

2) Résolvons l’équation $3x^2\,%2B\,4x\,-\,15\,=\,0$ en utilisant la formule quadratique $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c\,=\,0$ avec $a\,=\,3$ , $b\,=\,4$ et $c\,=\,-15$ :

La solution est donnée par :

$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$

Calculons le discriminant $\Delta$ :

$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,4^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,(-15)\,=\,16\,%2B\,180\,=\,196$

Les racines sont donc :

$x\,=\,\frac{-4\,\pm\,\sqrt{196}}{6}\,=\,\frac{-4\,\pm\,14}{6}$

Nous avons deux solutions possibles :

$x_1\,=\,\frac{-4\,%2B\,14}{6}\,=\,\frac{10}{6}\,=\,\frac{5}{3}$

$x_2\,=\,\frac{-4\,-\,14}{6}\,=\,\frac{-18}{6}\,=\,-3$

Ainsi, les solutions de l’équation $3x^2\,%2B\,4x\,-\,15\,=\,0$ sont $x\,=\,\frac{5}{3}$ et $x\,=\,-3$ .

Exercice 4 : problème et résolution d’équations.
Soit le nombre de baguettes que le boulanger a cuit pour la journée.

Le matin, il vend les deux tiers de ses baguettes:
$\frac{2}{3}x$

L’après-midi, il en vend encore 90:
$\frac{2}{3}x\,%2B\,90$

Le soir, il lui reste 20 baguettes. Cela signifie qu’il a vendu:
$x\,-\,20$

Donc, nous pouvons écrire l’équation suivante:
$\frac{2}{3}x\,%2B\,90\,=\,x\,-\,20$

Résolvons cette équation pour :

1. Soustrayons $\frac{2}{3}x$ de chaque côté:
$90\,=\,x\,-\,20\,-\,\frac{2}{3}x$

2. Simplifions le membre de droite en combinant les termes en :
$90\,=\,\frac{1}{3}x\,-\,20$

3. Ajoutons 20 de chaque côté:
$110\,=\,\frac{1}{3}x$

4. Multiplions chaque côté par 3 pour isoler :
$330\,=\,x$

Ainsi, le boulanger a cuit baguettes pour la journée.

Exercice 5 : développement,factorisation et équation de produit nul.
1. Développer et réduire .

$A\,=\,(2x\,-\,3)^2\,-\,(4x\,%2B\,7)(2x\,-\,3)$

Développons chaque terme séparément.

Pour $(2x\,-\,3)^2$ :

$(2x\,-\,3)^2\,=\,4x^2\,-\,12x\,%2B\,9$

Pour $(4x\,%2B\,7)(2x\,-\,3)$ :

$(4x\,%2B\,7)(2x\,-\,3)\,=\,4x\,\cdot\,2x\,%2B\,4x\,\cdot\,(-3)\,%2B\,7\,\cdot\,2x\,%2B\,7\,\cdot\,(-3)$

$=\,8x^2\,-\,12x\,%2B\,14x\,-\,21$

$=\,8x^2\,%2B\,2x\,-\,21$

Ainsi, l’expression devient :

$A\,=\,4x^2\,-\,12x\,%2B\,9\,-\,(8x^2\,%2B\,2x\,-\,21)$

Distribuons le signe négatif et simplifions :

$A\,=\,4x^2\,-\,12x\,%2B\,9\,-\,8x^2\,-\,2x\,%2B\,21$

$A\,=\,-4x^2\,-\,14x\,%2B\,30$

2. Factoriser .

Facteur commun :

$A\,=\,-2(2x^2\,%2B\,7x\,-\,15)$

3. Résoudre l’équation $(2x\,-\,3)(-2x\,-\,10)\,=\,0$ .

Pour résoudre cette équation, nous résolvons chaque facteur séparément.

$2x\,-\,3\,=\,0$
$2x\,=\,3$
$x\,=\,\frac{3}{2}$

$-2x\,-\,10\,=\,0$
$-2x\,=\,10$
$x\,=\,-5$

Les solutions sont :

$x\,=\,\frac{3}{2}\,\\,et\,\\,x\,=\,-5$

Exercice 6 : factorisation et equations
1) $E\,=\,4x^2\,-\,49$

C’est une différence de carrés:
$E\,=\,(2x)^2\,-\,7^2$
Donc, on peut factoriser comme suit:
$E\,=\,(2x\,-\,7)(2x\,%2B\,7)$

2) Soit l’expression $F\,=\,(2x-7)(-5x%2B9)\,%2B\,4x^2\,-\,49$ .

a) Développer puis réduire .

Développons le premier produit:
$(2x-7)(-5x%2B9)\,=\,2x\,\cdot\,(-5x)\,%2B\,2x\,\cdot\,9\,-\,7\,\cdot\,(-5x)\,-\,7\,\cdot\,9$
$=\,-10x^2\,%2B\,18x\,%2B\,35x\,-\,63$
$=\,-10x^2\,%2B\,53x\,-\,63$

Ajoutons les autres termes:
$F\,=\,-10x^2\,%2B\,53x\,-\,63\,%2B\,4x^2\,-\,49$
$=\,-10x^2\,%2B\,4x^2\,%2B\,53x\,-\,63\,-\,49$
$=\,-6x^2\,%2B\,53x\,-\,112$

b) Calculer la valeur exacte de lorsque $x\,=\,1$ , $x\,=\,-\frac{1}{2}$ , $x\,=\,\sqrt{2}$ .

Pour $x\,=\,1$ :
$F\,=\,-6(1)^2\,%2B\,53(1)\,-\,112$
$=\,-6\,%2B\,53\,-\,112$
$=\,-65$

Pour $x\,=\,-\frac{1}{2}$ :
$F\,=\,-6\,(-\frac{1}{2})^2\,%2B\,53\,(-\frac{1}{2})\,-\,112$
$=\,-6\,(\frac{1}{4})\,-\,\frac{53}{2}\,-\,112$
$=\,-\frac{6}{4}\,-\,\frac{53}{2}\,-\,112$
$=\,-\frac{3}{2}\,-\,\frac{53}{2}\,-\,112$
$=\,-\frac{56}{2}\,-\,112$
$=\,-28\,-\,112$
$=\,-140$

Pour $x\,=\,\sqrt{2}$ :
$F\,=\,-6(\sqrt{2})^2\,%2B\,53(\sqrt{2})\,-\,112$
$=\,-6(2)\,%2B\,53\sqrt{2}\,-\,112$
$=\,-12\,%2B\,53\sqrt{2}\,-\,112$
$=\,53\sqrt{2}\,-\,124$

c) Écrire sous forme d’un produit de facteurs du premier degré.

Nous devons résoudre l’équation quadratique $-6x^2\,%2B\,53x\,-\,112\,=\,0$ en utilisant la formule quadratique:
$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$
Où $a\,=\,-6$ , $b\,=\,53$ , et $c\,=\,-112$ .

Calculons le discriminant:
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,53^2\,-\,4(-6)(-112)$
$=\,2809\,-\,2688$
$=\,121$

Les racines sont donc:
$x\,=\,\frac{-53\,\pm\,\sqrt{121}}{2(-6)}$
$=\,\frac{-53\,\pm\,11}{-12}$

Ainsi,
$x_1\,=\,\frac{-53\,%2B\,11}{-12}\,=\,\frac{-42}{-12}\,=\,3.5$
$x_2\,=\,\frac{-53\,-\,11}{-12}\,=\,\frac{-64}{-12}\,=\,\frac{16}{3}$

Par conséquent, factorisé est:
$F\,=\,-6(x\,-\,3.5)(x\,-\,\frac{16}{3})$

d) Résoudre l’équation $F\,=\,0$ .

Pour résoudre $F\,=\,0$ , nous utilisons les racines trouvées:
$-6(x\,-\,3.5)(x\,-\,\frac{16}{3})\,=\,0$

Donc les solutions sont:
$x\,-\,3.5\,=\,0$
$x\,=\,3.5$

et
$x\,-\,\frac{16}{3}\,=\,0$
$x\,=\,\frac{16}{3}$

Exercice 7 : equations produits à résoudre.
a) $x^2\,%2B\,14x\,%2B\,49\,=\,0$

Cette équation peut être factorisée en reconnaissant le carré parfait:
$x^2\,%2B\,14x\,%2B\,49\,=\,(x\,%2B\,7)^2$
Donc:
$(x\,%2B\,7)^2\,=\,0$
$x\,%2B\,7\,=\,0$
$x\,=\,-7$

b) $y^2\,-\,12y\,%2B\,36\,=\,0$

Cette équation peut être factorisée en reconnaissant le carré parfait:
$y^2\,-\,12y\,%2B\,36\,=\,(y\,-\,6)^2$
Donc:
$(y\,-\,6)^2\,=\,0$
$y\,-\,6\,=\,0$
$y\,=\,6$

c) $4x^2\,-\,20x\,%2B\,25\,=\,0$

Cette équation peut être factorisée en reconnaissant le carré parfait:
$4x^2\,-\,20x\,%2B\,25\,=\,(2x\,-\,5)^2$
Donc:
$(2x\,-\,5)^2\,=\,0$
$2x\,-\,5\,=\,0$
$2x\,=\,5$
$x\,=\,\frac{5}{2}$

d) $24z\,%2B\,16\,%2B\,9z^2\,=\,0$

En réarrangeant les termes et reconnaissant le carré parfait:
$9z^2\,%2B\,24z\,%2B\,16\,=\,0$
$9z^2\,%2B\,24z\,%2B\,16\,=\,(3z\,%2B\,4)^2$
Donc:
$(3z\,%2B\,4)^2\,=\,0$
$3z\,%2B\,4\,=\,0$
$3z\,=\,-4$
$z\,=\,-\frac{4}{3}$

Exercice 8 : pièces en euros et équations.
Soit le nombre de pièces de 1 € et le nombre de pièces de 2 €.

Nous avons deux équations :

1. Le total des pièces est 35 :
$x\,%2B\,y\,=\,35$

2. La somme totale est 65 € :
$x\,%2B\,2y\,=\,65$

Résolvons ce système d’équations.

De la première équation, nous pouvons exprimer en fonction de :
$x\,=\,35\,-\,y$

Substituons cette expression dans la deuxième équation:

$(35\,-\,y)\,%2B\,2y\,=\,65$

Simplifions l’équation :

$35\,%2B\,y\,=\,65$

Soustrayons 35 des deux côtés de l’équation :

$y\,=\,30$

Maintenant que nous connaissons , trouvons en utilisant la première équation :

$x\,%2B\,30\,=\,35$

Soustrayons 30 des deux côtés de l’équation :

$x\,=\,5$

Il y a donc 5 pièces de 1 € et 30 pièces de 2 €.

Exercice 9 : résoudre ces équations.
$1.\,(x-7)^2\,-\,(2x%2B5)^2\,=\,0$
En utilisant l’identité remarquable $a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)(a\,%2B\,b)$ , on a :
$(x-7\,-\,(2x%2B5))((x-7)\,%2B\,(2x%2B5))\,=\,0$

$(x\,-\,7\,-\,2x\,-\,5)((x\,-\,7)\,%2B\,2x\,%2B\,5)\,=\,0$

$(-x\,-\,12)(3x\,-\,2)\,=\,0$

On résout chaque facteur :
$-\,x\,-\,12\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,-12$

$3x\,-\,2\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,3x\,=\,2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,\frac{2}{3}$

Les solutions sont :
$x\,=\,-12\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,\frac{2}{3}$

$2.\,(7x%2B1)^2\,-\,(3x%2B4)^2\,=\,0$
En utilisant l’identité remarquable $a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)(a\,%2B\,b)$ , on a :
$(7x%2B1\,-\,(3x%2B4))((7x%2B1)\,%2B\,(3x%2B4))\,=\,0$

$(7x%2B1\,-\,3x\,-\,4)((7x%2B1)\,%2B\,3x\,%2B\,4)\,=\,0$

$(4x\,-\,3)(10x\,%2B\,5)\,=\,0$

On résout chaque facteur :
$4x\,-\,3\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,4x\,=\,3\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,\frac{3}{4}$

$10x\,%2B\,5\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,10x\,=\,-5\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,-\frac{1}{2}$

Les solutions sont :
$x\,=\,\frac{3}{4}\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,-\frac{1}{2}$

$3.\,(6x-1)^2\,-\,(2x%2B1)^2\,=\,0$
En utilisant l’identité remarquable $a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)(a\,%2B\,b)$ , on a :
$(6x-1\,-\,(2x%2B1))((6x-1)\,%2B\,(2x%2B1))\,=\,0$

$(6x-1\,-\,2x\,-\,1)((6x-1)\,%2B\,2x\,%2B\,1)\,=\,0$

$(4x\,-\,2)(8x)\,=\,0$

On résout chaque facteur :
$4x\,-\,2\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,4x\,=\,2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,\frac{1}{2}$

$8x\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,0$

Les solutions sont :
$x\,=\,\frac{1}{2}\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,0$

Exercice 10 : carré et équations
1) est une longueur mesurée à partir des côtés du carré de 10 cm de côté. Donc doit être compris entre 0 et 10 cm.

$0\,\leq\,\,x\,\leq\,\,10$

2a) L’aire du rectangle NORD est donnée par la longueur multipliée par la largeur .

Sachant que $NR\,=\,x$ et $ON\,=\,10\,-\,x$ (puisque est à 10 cm de et est à cm de ),

$Aire_{NORD}\,=\,NR\,\times \,ON\,=\,x\,\times \,(10\,-\,x)$

2b) Reprenons l’expression de l’aire :

$Aire\,=\,x(10\,-\,x)$
$Aire\,=\,10x\,-\,x^2$

Nous devons démontrer que ceci est équivalent à :

$25\,-\,(x\,-\,5)^2$

Considérons l’expression $25\,-\,(x\,-\,5)^2$ et développons-la :

$25\,-\,(x\,-\,5)^2\,=\,25\,-\,(x^2\,-\,10x\,%2B\,25)$
$=\,25\,-\,x^2\,%2B\,10x\,-\,25$
$=\,-x^2\,%2B\,10x$

qui est égal à $10x\,-\,x^2$ , ce qui prouve l’égalité.

3a) Pour maximiser l’aire $Aire\,=\,x(10\,-\,x)$ , considérons la forme développée $10x\,-\,x^2$ .

Cette fonction est une parabole dont le sommet donne la valeur maximale. Le sommet de la parabole $y\,=\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ se trouve à :

$x\,=\,-\frac{b}{2a}$

Pour notre expression $10x\,-\,x^2$ , $a\,=\,-1$ et $b\,=\,10$ . Donc,

$x\,=\,\frac{-10}{2(-1)}\,=\,\frac{10}{2}\,=\,5$

La valeur de pour laquelle l’aire est maximale est donc $x\,=\,5$ .

b) Lorsque $x\,=\,5$ cm, le rectangle est en fait un carré, car $NR\,=\,ON\,=\,5$ cm.

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Exercice 11 : club et équations
Soit le nombre total de médailles distribuées.

Le club A remporte un tiers des médailles :
$\frac{x}{3}$

Le club B remporte deux septièmes des médailles :
$\frac{2x}{7}$

Le club C remporte seize médailles :

La somme de ces médailles doit être égale au total des médailles distribuées :
$\frac{x}{3}\,%2B\,\frac{2x}{7}\,%2B\,16\,=\,x$

Pour résoudre cette équation, trouvons un dénominateur commun pour les fractions. Le dénominateur commun de 3 et de 7 est 21.

Multipliant chaque terme par 21 pour se débarrasser des fractions :
$21\,(\frac{x}{3})\,%2B\,21\,(\frac{2x}{7})\,%2B\,21\,\cdot\,16\,=\,21x$
$7x\,%2B\,6x\,%2B\,336\,=\,21x$
$13x\,%2B\,336\,=\,21x$

Isolons :
$336\,=\,21x\,-\,13x$
$336\,=\,8x$
$x\,=\,\frac{336}{8}$
$x\,=\,42$

Le nombre total de médailles distribuées est donc 42.

Exercice 12 : equations et théorème de Thalès.
Pour déterminer la valeur de pour laquelle les droites et sont parallèles, nous devons utiliser le théorème de Thalès. Selon ce théorème, si deux droites sont parallèles, alors les rapports des segments qu’elles créent sont égaux.

Les points , et sont alignés, et de même pour les points , et . Si et sont parallèles, alors :

$\frac{IA}{ID}\,=\,\frac{IF}{IC}$

Nous savons que $IA\,=\,7x\,%2B\,5$ , $ID\,=\,12$ , $IF\,=\,7$ et $IC\,=\,5x$ . Utilisons ces valeurs dans l’équation :

$\frac{7x\,%2B\,5}{12}\,=\,\frac{7}{5x}$

Résolvons cette équation pour :

$(7x\,%2B\,5)\,\cdot\,5x\,=\,12\,\cdot\,7$

$35x^2\,%2B\,25x\,=\,84$

$35x^2\,%2B\,25x\,-\,84\,=\,0$

Résolvons cette équation quadratique en utilisant la formule quadratique $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c\,=\,0$ :

$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$

où $a\,=\,35$ , $b\,=\,25$ , et $c\,=\,-84$ .

$x\,=\,\frac{-25\,\pm\,\sqrt{25^2\,-\,4\,\cdot\,35\,\cdot\,(-84)}}{2\,\cdot\,35}$

$x\,=\,\frac{-25\,\pm\,\sqrt{625\,%2B\,11760}}{70}$

$x\,=\,\frac{-25\,\pm\,\sqrt{12385}}{70}$

$x\,=\,\frac{-25\,\pm\,111.26}{70}$

$x_1\,=\,\frac{-25\,%2B\,111.26}{70}\,\approx\,\frac{86.26}{70}\,\approx\,1.23$

$x_2\,=\,\frac{-25\,-\,111.26}{70}\,\approx\,\frac{-136.26}{70}\,\approx\,-1.95$

Étant donné que doit être positif (puisque les longueurs des segments ne peuvent pas être négatives), nous prenons $x\,\approx\,1.23$ .

Donc, la valeur de pour laquelle les droites et sont parallèles est $x\,\approx\,1.23$ .

Exercice 13 : thalès et résolution d’équations.
Pour déterminer la valeur de , nous allons utiliser la similarité des triangles et le théorème de Pythagore.

Les triangles $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,DEF$ sont similaires car ils possèdent les mêmes angles.

Les longueurs des côtés perpendiculaires de $\triangle\,ABC$ sont donnés comme :
$BC\,=\,3\,\,m\,=\,300\,\,cm$
$AC\,=\,4\,\,m\,%2B\,40\,\,cm\,%2B\,x\,=\,440\,\,cm\,%2B\,x$

Pour le triangle $\triangle\,DEF$ , on a :
$DE\,=\,1\,\,m\,=\,100\,\,cm$
$EF\,=\,4\,\,m\,=\,400\,\,cm$

Puisque $\triangle\,ABC\,\sim\,\triangle\,DEF$ , les rapports des côtés correspondants sont égaux :
$\frac{BC}{DC}\,=\,\frac{DE}{EF}$

En remplaçant les valeurs, on obtient :
$\frac{300}{440\,%2B\,x}\,=\,\frac{100}{400}$

Simplifions le second rapport :
$\frac{100}{400}\,=\,\frac{1}{4}$

Donc, on obtient l’équation :
$\frac{300}{440\,%2B\,x}\,=\,\frac{1}{4}$

Pour résoudre cette équation, faisons un produit en croix :
$300\,\times \,4\,=\,1\,\times \,(440\,%2B\,x)$
$1200\,=\,440\,%2B\,x$

Isolons :
$x\,=\,1200\,-\,440$
$x\,=\,760\,\,cm\,=\,7%2C6\,\,m$

Ainsi, la valeur de est
$x\,=\,7%2C6\,\,m$

Exercice 14 : trouver trois nombres consécutifs
Soit , et les trois nombres entiers positifs consécutifs. Nous avons l’équation suivante à résoudre :

$n^2\,%2B\,(n%2B1)^2\,%2B\,(n%2B2)^2\,=\,1325$

Développons les termes :

$n^2\,%2B\,(n^2\,%2B\,2n\,%2B\,1)\,%2B\,(n^2\,%2B\,4n\,%2B\,4)\,=\,1325$

Regroupons les termes similaires :

$n^2\,%2B\,n^2\,%2B\,2n\,%2B\,1\,%2B\,n^2\,%2B\,4n\,%2B\,4\,=\,1325$

Cela se simplifie à :

$3n^2\,%2B\,6n\,%2B\,5\,=\,1325$

Soustrayons 1325 des deux côtés de l’équation :

$3n^2\,%2B\,6n\,%2B\,5\,-\,1325\,=\,0$

Cela donne :

$3n^2\,%2B\,6n\,-\,1320\,=\,0$

Nous utilisons la formule quadratique pour résoudre cette équation :

$n\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$

où $a\,=\,3$ , $b\,=\,6$ et $c\,=\,-1320$ .

Calculons le discriminant $\Delta$ :

$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,6^2\,-\,4\,\times \,3\,\times \,(-1320)$

$\Delta\,=\,36\,%2B\,15840$

$\Delta\,=\,15876$

Trouvons la racine carrée du discriminant :

$\sqrt{\Delta}\,=\,\sqrt{15876}\,=\,126$

Maintenant, utilisons la formule quadratique pour trouver :

$n\,=\,\frac{-6\,\pm\,126}{6}$

Cela nous donne deux solutions :

$n\,=\,\frac{-6\,%2B\,126}{6}\,=\,20$

$n\,=\,\frac{-6\,-\,126}{6}\,=\,-22$

Puisque nous cherchons des nombres entiers positifs, nous prenons $n\,=\,20$ .

Ainsi, les trois nombres entiers positifs consécutifs sont :

$20%2C\,21\,\,et\,\,22$

Vérifions que la somme des carrés de ces nombres est bien égale à 1325 :

$20^2\,%2B\,21^2\,%2B\,22^2\,=\,400\,%2B\,441\,%2B\,484\,=\,1325$

Donc, les trois nombres entiers positifs consécutifs sont , , et .

Exercice 15 : résoudre des équations du premier degré
a) $x\,%2B\,0%2C6\,=\,4%2C8$

$x\,=\,4%2C8\,-\,0%2C6\,\\%0D%0Ax\,=\,4%2C2$

b) $-2\,%2B\,x\,=\,5$

$x\,=\,5\,%2B\,2\,\\%0D%0Ax\,=\,7$

c) $-2x\,=\,5$

$x\,=\,\frac{5}{-2}\,\\%0D%0Ax\,=\,-2%2C5$

d) $-3\,%2B\,x\,=\,-9$

$x\,=\,-9\,%2B\,3\,\\%0D%0Ax\,=\,-6$

e) $-6x\,=\,-8$

$x\,=\,\frac{-8}{-6}\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{4}{3}$

f) $4x\,%2B\,5\,=\,0$

$4x\,=\,-5\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{-5}{4}\,\\%0D%0Ax\,=\,-1%2C25$

g) $9\,-\,3x\,=\,0$

$-3x\,=\,-9\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{-9}{-3}\,\\%0D%0Ax\,=\,3$

h) $4\,%2B\,2x\,=\,10\,-\,4x$

$4\,%2B\,2x\,=\,10\,-\,4x\,\\%0D%0A2x\,%2B\,4x\,=\,10\,-\,4\,\\%0D%0A6x\,=\,6\,\\%0D%0Ax\,=\,1$

i) $9x\,-\,7\,=\,3\,-\,3x\,%2B\,8$

$9x\,-\,7\,=\,11\,-\,3x\,\\%0D%0A9x\,%2B\,3x\,=\,11\,%2B\,7\,\\%0D%0A12x\,=\,18\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{18}{12}\,\\%0D%0Ax\,=\,1%2C5$

j) $3x\,%2B\,1\,=\,2x\,-\,2$

$3x\,-\,2x\,=\,-2\,-\,1\,\\%0D%0Ax\,=\,-3$

k) $5x\,%2B\,10\,=\,3x\,%2B\,40$

$5x\,-\,3x\,=\,40\,-\,10\,\\%0D%0A2x\,=\,30\,\\%0D%0Ax\,=\,15$

l) $4\,%2B\,2x\,=\,20\,-\,8x$

$2x\,%2B\,8x\,=\,20\,-\,4\,\\%0D%0A10x\,=\,16\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{16}{10}\,\\%0D%0Ax\,=\,1%2C6$

m) $2(3x\,-\,1)\,-\,2x\,=\,7x\,%2B\,3$

$6x\,-\,2\,-\,2x\,=\,7x\,%2B\,3\,\\%0D%0A4x\,-\,2\,=\,7x\,%2B\,3\,\\%0D%0A4x\,-\,7x\,=\,3\,%2B\,2\,\\%0D%0A-3x\,=\,5\,\\%0D%0Ax\,=\,-\frac{5}{3}\,\\%0D%0Ax\,=\,-1%2C67$