Les équations : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : les inéquations.
a. \\
4x\,%2B\,3\,%3C\,7x
3\,%3C\,3x
1\,%3C\,x
x\,>\,1

c. \\
4x\,%2B\,3\,\geq\,\,7x\,%2B\,8
3\,\geq\,\,3x\,%2B\,8
-5\,\geq\,\,3x
-\frac{5}{3}\,\geq\,\,x
x\,\leq\,\,-\frac{5{3}}

d. \\
4x\,%2B\,3\,\leq\,\,7(x\,%2B\,8)
4x\,%2B\,3\,\leq\,\,7x\,%2B\,56
3\,\leq\,\,3x\,%2B\,56
-53\,\leq\,\,3x
-\frac{53}{3}\,\leq\,\,x
x\,\geq\,\,-\frac{53{3}}

e. \\
4(x\,%2B\,3)\,>\,7(x\,%2B\,8)

f. \\
-4x\,%2B\,3\,\geq\,\,7x\,-\,8
3\,%2B\,8\,\geq\,\,7x\,%2B\,4x
11\,\geq\,\,11x
1\,\geq\,\,x
x\,\leq\,\,1

g. \\
-4(x\,%2B\,3)\,\geq\,\,7(x\,-\,8)
-4x\,-\,12\,\geq\,\,7x\,-\,56
-12\,%2B\,56\,\geq\,\,7x\,%2B\,4x
44\,\geq\,\,11x
4\,\geq\,\,x
x\,\leq\,\,4

h. \\
-4(x\,-\,3)\,\leq\,\,7x\,%2B\,8
-4x\,%2B\,12\,\leq\,\,7x\,%2B\,8
12\,-\,8\,\leq\,\,7x\,%2B\,4x
4\,\leq\,\,11x
\frac{4}{11}\,\leq\,\,x
x\,\geq\,\,\frac{4{11}}

i. \\
-4(-x\,%2B\,3)\,>\,7(x\,-\,8)

j. \\
(2x\,-\,3)^2\,\leq\,\,4x^2\,%2B\,2x\,-\,4
4x^2\,-\,12x\,%2B\,9\,\leq\,\,4x^2\,%2B\,2x\,-\,4
-12x\,%2B\,9\,\leq\,\,2x\,-\,4
13\,\leq\,\,14x
\frac{13}{14}\,\leq\,\,x
x\,\geq\,\,\frac{13{14}}

k. \\
(2x\,-\,3)^2\,\leq\,\,-4x^2\,%2B\,2x\,-\,4
4x^2\,-\,12x\,%2B\,9\,\leq\,\,-4x^2\,%2B\,2x\,-\,4
4x^2\,%2B\,4x^2\,\leq\,\,2x\,%2B\,12x\,-\,13
8x^2\,\leq\,\,14x\,-\,13
Aucune\,solution (l’inéquation n’est pas vraie pour les valeurs réelles de x)

l. \\
(-3x\,%2B\,2)(2\,-\,6x)\,\geq\,\,(2x\,-\,6)(1\,%2B\,9x)
-6x\,%2B\,18x^2\,-\,4\,%2B\,12x\,\geq\,\,2x\,%2B\,18x^2\,-\,6\,-\,54x
18x^2\,-\,6x\,%2B\,12x\,-\,4\,\geq\,\,18x^2\,%2B\,2x\,-\,54x\,-\,6
6x\,-\,4\,\geq\,\,-52x\,-\,6
6x\,%2B\,52x\,\geq\,\,-6\,%2B\,4
58x\,\geq\,\,-2
x\,\geq\,\,-\frac{1{29}}

Exercice 2 : résolution d’équations
1) 5x\,%2B\,2\,=\,2x\,%2B\,6

\begin{align*}
5x + 2 = 2x + 6 \\
5x – 2x = 6 – 2 \\
3x = 4 \\
x = \frac{4}{3}
\end{align*}

2) 2(3x\,%2B\,3)\,=\,-2(x\,-\,7)

\begin{align*}
2(3x + 3) = -2(x – 7) \\
6x + 6 = -2x + 14 \\
6x + 2x = 14 – 6 \\
8x = 8 \\
x = 1
\end{align*}

3) -3(4x\,%2B\,3)\,=\,2x\,%2B\,6

\begin{align*}
-3(4x + 3) = 2x + 6 \\
-12x – 9 = 2x + 6 \\
-12x – 2x = 6 + 9 \\
-14x = 15 \\
x = -\frac{15}{14}
\end{align*}

4) \frac{x\,%2B\,3}{3}\,=\,\frac{2x\,%2B\,1}{4}

\begin{align*}
4(x + 3) = 3(2x + 1) \\
4x + 12 = 6x + 3 \\
4x – 6x = 3 – 12 \\
-2x = -9 \\
x = \frac{9}{2}
\end{align*}

5) \frac{2x\,-\,3}{3}\,=\,-5x\,%2B\,1

\begin{align*}
2x – 3 = 3(-5x + 1) \\
2x – 3 = -15x + 3 \\
2x + 15x = 3 + 3 \\
17x = 6 \\
x = \frac{6}{17}
\end{align*}

6) \frac{3\,-\,4x}{5}\,=\,\frac{2x\,%2B\,1}{4}

\begin{align*}
4(3 – 4x) = 5(2x + 1) \\
12 – 16x = 10x + 5 \\
12 – 5 = 10x + 16x \\
7 = 26x \\
x = \frac{7}{26} = \frac{1}{(26}{7} = \frac{1}{13} = \frac{1}{13}
\end{align*}

Exercice 3 : equations et calcul littéral
1) Développons (3x\,-\,5)(x\,%2B\,3) :

(3x\,-\,5)(x\,%2B\,3)\,=\,3x\,\cdot\,x\,%2B\,3x\,\cdot\,3\,-\,5\,\cdot\,x\,-\,5\,\cdot\,3

=\,3x^2\,%2B\,9x\,-\,5x\,-\,15

=\,3x^2\,%2B\,4x\,-\,15

2) Résolvons l’équation 3x^2\,%2B\,4x\,-\,15\,=\,0 en utilisant la formule quadratique ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c\,=\,0 avec a\,=\,3, b\,=\,4 et c\,=\,-15 :

La solution est donnée par :

x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}

Calculons le discriminant \Delta :

\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,4^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,(-15)\,=\,16\,%2B\,180\,=\,196

Les racines sont donc :

x\,=\,\frac{-4\,\pm\,\sqrt{196}}{6}\,=\,\frac{-4\,\pm\,14}{6}

Nous avons deux solutions possibles :

x_1\,=\,\frac{-4\,%2B\,14}{6}\,=\,\frac{10}{6}\,=\,\frac{5}{3}

x_2\,=\,\frac{-4\,-\,14}{6}\,=\,\frac{-18}{6}\,=\,-3

Ainsi, les solutions de l’équation 3x^2\,%2B\,4x\,-\,15\,=\,0 sont x\,=\,\frac{5}{3} et x\,=\,-3.

Exercice 4 : problème et résolution d’équations.
Soit x le nombre de baguettes que le boulanger a cuit pour la journée.

Le matin, il vend les deux tiers de ses baguettes:
\frac{2}{3}x

L’après-midi, il en vend encore 90:
\frac{2}{3}x\,%2B\,90

Le soir, il lui reste 20 baguettes. Cela signifie qu’il a vendu:
x\,-\,20

Donc, nous pouvons écrire l’équation suivante:
\frac{2}{3}x\,%2B\,90\,=\,x\,-\,20

Résolvons cette équation pour x:

1. Soustrayons \frac{2}{3}x de chaque côté:
90\,=\,x\,-\,20\,-\,\frac{2}{3}x

2. Simplifions le membre de droite en combinant les termes en x:
90\,=\,\frac{1}{3}x\,-\,20

3. Ajoutons 20 de chaque côté:
110\,=\,\frac{1}{3}x

4. Multiplions chaque côté par 3 pour isoler x:
330\,=\,x

Ainsi, le boulanger a cuit 330 baguettes pour la journée.

Exercice 5 : développement,factorisation et équation de produit nul.
1. Développer et réduire A.

A\,=\,(2x\,-\,3)^2\,-\,(4x\,%2B\,7)(2x\,-\,3)

Développons chaque terme séparément.

Pour (2x\,-\,3)^2 :

(2x\,-\,3)^2\,=\,4x^2\,-\,12x\,%2B\,9

Pour (4x\,%2B\,7)(2x\,-\,3) :

(4x\,%2B\,7)(2x\,-\,3)\,=\,4x\,\cdot\,2x\,%2B\,4x\,\cdot\,(-3)\,%2B\,7\,\cdot\,2x\,%2B\,7\,\cdot\,(-3)

=\,8x^2\,-\,12x\,%2B\,14x\,-\,21

=\,8x^2\,%2B\,2x\,-\,21

Ainsi, l’expression devient :

A\,=\,4x^2\,-\,12x\,%2B\,9\,-\,(8x^2\,%2B\,2x\,-\,21)

Distribuons le signe négatif et simplifions :

A\,=\,4x^2\,-\,12x\,%2B\,9\,-\,8x^2\,-\,2x\,%2B\,21

A\,=\,-4x^2\,-\,14x\,%2B\,30

2. Factoriser A.

Facteur commun :

A\,=\,-2(2x^2\,%2B\,7x\,-\,15)

3. Résoudre l’équation (2x\,-\,3)(-2x\,-\,10)\,=\,0.

Pour résoudre cette équation, nous résolvons chaque facteur séparément.

2x\,-\,3\,=\,0
2x\,=\,3
x\,=\,\frac{3}{2}

et

-2x\,-\,10\,=\,0
-2x\,=\,10
x\,=\,-5

Les solutions sont :

x\,=\,\frac{3}{2}\,\\,et\,\\,x\,=\,-5

Exercice 6 : factorisation et equations
1) E\,=\,4x^2\,-\,49

C’est une différence de carrés:
E\,=\,(2x)^2\,-\,7^2
Donc, on peut factoriser E comme suit:
E\,=\,(2x\,-\,7)(2x\,%2B\,7)

2) Soit l’expression F\,=\,(2x-7)(-5x%2B9)\,%2B\,4x^2\,-\,49.

a) Développer puis réduire F.

Développons le premier produit:
(2x-7)(-5x%2B9)\,=\,2x\,\cdot\,(-5x)\,%2B\,2x\,\cdot\,9\,-\,7\,\cdot\,(-5x)\,-\,7\,\cdot\,9
=\,-10x^2\,%2B\,18x\,%2B\,35x\,-\,63
=\,-10x^2\,%2B\,53x\,-\,63

Ajoutons les autres termes:
F\,=\,-10x^2\,%2B\,53x\,-\,63\,%2B\,4x^2\,-\,49
=\,-10x^2\,%2B\,4x^2\,%2B\,53x\,-\,63\,-\,49
=\,-6x^2\,%2B\,53x\,-\,112

b) Calculer la valeur exacte de F lorsque x\,=\,1, x\,=\,-\frac{1}{2}, x\,=\,\sqrt{2}.

Pour x\,=\,1:
F\,=\,-6(1)^2\,%2B\,53(1)\,-\,112
=\,-6\,%2B\,53\,-\,112
=\,-65

Pour x\,=\,-\frac{1}{2}:
F\,=\,-6\,(-\frac{1}{2})^2\,%2B\,53\,(-\frac{1}{2})\,-\,112
=\,-6\,(\frac{1}{4})\,-\,\frac{53}{2}\,-\,112
=\,-\frac{6}{4}\,-\,\frac{53}{2}\,-\,112
=\,-\frac{3}{2}\,-\,\frac{53}{2}\,-\,112
=\,-\frac{56}{2}\,-\,112
=\,-28\,-\,112
=\,-140

Pour x\,=\,\sqrt{2}:
F\,=\,-6(\sqrt{2})^2\,%2B\,53(\sqrt{2})\,-\,112
=\,-6(2)\,%2B\,53\sqrt{2}\,-\,112
=\,-12\,%2B\,53\sqrt{2}\,-\,112
=\,53\sqrt{2}\,-\,124

c) Écrire F sous forme d’un produit de facteurs du premier degré.

Nous devons résoudre l’équation quadratique -6x^2\,%2B\,53x\,-\,112\,=\,0 en utilisant la formule quadratique:
x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}
a\,=\,-6, b\,=\,53, et c\,=\,-112.

Calculons le discriminant:
\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,53^2\,-\,4(-6)(-112)
=\,2809\,-\,2688
=\,121

Les racines sont donc:
x\,=\,\frac{-53\,\pm\,\sqrt{121}}{2(-6)}
=\,\frac{-53\,\pm\,11}{-12}

Ainsi,
x_1\,=\,\frac{-53\,%2B\,11}{-12}\,=\,\frac{-42}{-12}\,=\,3.5
x_2\,=\,\frac{-53\,-\,11}{-12}\,=\,\frac{-64}{-12}\,=\,\frac{16}{3}

Par conséquent, F factorisé est:
F\,=\,-6(x\,-\,3.5)(x\,-\,\frac{16}{3})

d) Résoudre l’équation F\,=\,0.

Pour résoudre F\,=\,0, nous utilisons les racines trouvées:
-6(x\,-\,3.5)(x\,-\,\frac{16}{3})\,=\,0

Donc les solutions sont:
x\,-\,3.5\,=\,0
x\,=\,3.5

et
x\,-\,\frac{16}{3}\,=\,0
x\,=\,\frac{16}{3}

Exercice 7 : equations produits à résoudre.
a) x^2\,%2B\,14x\,%2B\,49\,=\,0

Cette équation peut être factorisée en reconnaissant le carré parfait:
x^2\,%2B\,14x\,%2B\,49\,=\,(x\,%2B\,7)^2
Donc:
(x\,%2B\,7)^2\,=\,0
x\,%2B\,7\,=\,0
x\,=\,-7

b) y^2\,-\,12y\,%2B\,36\,=\,0

Cette équation peut être factorisée en reconnaissant le carré parfait:
y^2\,-\,12y\,%2B\,36\,=\,(y\,-\,6)^2
Donc:
(y\,-\,6)^2\,=\,0
y\,-\,6\,=\,0
y\,=\,6

c) 4x^2\,-\,20x\,%2B\,25\,=\,0

Cette équation peut être factorisée en reconnaissant le carré parfait:
4x^2\,-\,20x\,%2B\,25\,=\,(2x\,-\,5)^2
Donc:
(2x\,-\,5)^2\,=\,0
2x\,-\,5\,=\,0
2x\,=\,5
x\,=\,\frac{5}{2}

d) 24z\,%2B\,16\,%2B\,9z^2\,=\,0

En réarrangeant les termes et reconnaissant le carré parfait:
9z^2\,%2B\,24z\,%2B\,16\,=\,0
9z^2\,%2B\,24z\,%2B\,16\,=\,(3z\,%2B\,4)^2
Donc:
(3z\,%2B\,4)^2\,=\,0
3z\,%2B\,4\,=\,0
3z\,=\,-4
z\,=\,-\frac{4}{3}

Exercice 8 : pièces en euros et équations.
Soit x le nombre de pièces de 1 € et y le nombre de pièces de 2 €.

Nous avons deux équations :

1. Le total des pièces est 35 :
x\,%2B\,y\,=\,35

2. La somme totale est 65 € :
x\,%2B\,2y\,=\,65

Résolvons ce système d’équations.

De la première équation, nous pouvons exprimer x en fonction de y :
x\,=\,35\,-\,y

Substituons cette expression dans la deuxième équation:

(35\,-\,y)\,%2B\,2y\,=\,65

Simplifions l’équation :

35\,%2B\,y\,=\,65

Soustrayons 35 des deux côtés de l’équation :

y\,=\,30

Maintenant que nous connaissons y, trouvons x en utilisant la première équation :

x\,%2B\,30\,=\,35

Soustrayons 30 des deux côtés de l’équation :

x\,=\,5

Il y a donc 5 pièces de 1 € et 30 pièces de 2 €.

Exercice 9 : résoudre ces équations.
1.\,(x-7)^2\,-\,(2x%2B5)^2\,=\,0
En utilisant l’identité remarquable a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)(a\,%2B\,b), on a :
(x-7\,-\,(2x%2B5))((x-7)\,%2B\,(2x%2B5))\,=\,0

(x\,-\,7\,-\,2x\,-\,5)((x\,-\,7)\,%2B\,2x\,%2B\,5)\,=\,0

(-x\,-\,12)(3x\,-\,2)\,=\,0

On résout chaque facteur :
-\,x\,-\,12\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,-12

3x\,-\,2\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,3x\,=\,2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,\frac{2}{3}

Les solutions sont :
x\,=\,-12\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,\frac{2}{3}

2.\,(7x%2B1)^2\,-\,(3x%2B4)^2\,=\,0
En utilisant l’identité remarquable a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)(a\,%2B\,b), on a :
(7x%2B1\,-\,(3x%2B4))((7x%2B1)\,%2B\,(3x%2B4))\,=\,0

(7x%2B1\,-\,3x\,-\,4)((7x%2B1)\,%2B\,3x\,%2B\,4)\,=\,0

(4x\,-\,3)(10x\,%2B\,5)\,=\,0

On résout chaque facteur :
4x\,-\,3\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,4x\,=\,3\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,\frac{3}{4}

10x\,%2B\,5\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,10x\,=\,-5\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,-\frac{1}{2}

Les solutions sont :
x\,=\,\frac{3}{4}\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,-\frac{1}{2}

3.\,(6x-1)^2\,-\,(2x%2B1)^2\,=\,0
En utilisant l’identité remarquable a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)(a\,%2B\,b), on a :
(6x-1\,-\,(2x%2B1))((6x-1)\,%2B\,(2x%2B1))\,=\,0

(6x-1\,-\,2x\,-\,1)((6x-1)\,%2B\,2x\,%2B\,1)\,=\,0

(4x\,-\,2)(8x)\,=\,0

On résout chaque facteur :
4x\,-\,2\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,4x\,=\,2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,\frac{1}{2}

8x\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,0

Les solutions sont :
x\,=\,\frac{1}{2}\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,0

Exercice 10 : carré et équations
1) x est une longueur mesurée à partir des côtés du carré de 10 cm de côté. Donc x doit être compris entre 0 et 10 cm.

0\,\leq\,\,x\,\leq\,\,10

2a) L’aire du rectangle NORD est donnée par la longueur NR multipliée par la largeur ON.

Sachant que NR\,=\,x et ON\,=\,10\,-\,x (puisque D est à 10 cm de A et N est à x cm de D),

Aire_{NORD}\,=\,NR\,\times  \,ON\,=\,x\,\times  \,(10\,-\,x)

2b) Reprenons l’expression de l’aire :

Aire\,=\,x(10\,-\,x)
Aire\,=\,10x\,-\,x^2

Nous devons démontrer que ceci est équivalent à :

25\,-\,(x\,-\,5)^2

Considérons l’expression 25\,-\,(x\,-\,5)^2 et développons-la :

25\,-\,(x\,-\,5)^2\,=\,25\,-\,(x^2\,-\,10x\,%2B\,25)
=\,25\,-\,x^2\,%2B\,10x\,-\,25
=\,-x^2\,%2B\,10x

qui est égal à 10x\,-\,x^2, ce qui prouve l’égalité.

3a) Pour maximiser l’aire Aire\,=\,x(10\,-\,x), considérons la forme développée 10x\,-\,x^2.

Cette fonction est une parabole dont le sommet donne la valeur maximale. Le sommet de la parabole y\,=\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c se trouve à :

x\,=\,-\frac{b}{2a}

Pour notre expression 10x\,-\,x^2, a\,=\,-1 et b\,=\,10. Donc,

x\,=\,\frac{-10}{2(-1)}\,=\,\frac{10}{2}\,=\,5

La valeur de x pour laquelle l’aire NORD est maximale est donc x\,=\,5.

b) Lorsque x\,=\,5 cm, le rectangle NORD est en fait un carré, car NR\,=\,ON\,=\,5 cm.

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