Inéquations : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : inéquations à résoudre
1. $2x\,%2B\,2\,\geq\,\,4x\,%2B\,6$
$2x\,%2B\,2\,%26\geq\,\,4x\,%2B\,6\,\\%0D%0A2x\,%2B\,2\,-\,4x\,%26\geq\,\,6\,\\%0D%0A-2x\,%2B\,2\,%26\geq\,\,6\,\\%0D%0A-2x\,%26\geq\,\,4\,\\%0D%0Ax\,%26\leq\,\,-2$
Solution: $x\,\leq\,\,-2$

2. $2(3x\,%2B\,3)\,>\,5(2x\,%2B\,3)$
Solution: $x\,%3C\,-\frac{9}{4}$

3. $3(2x\,-\,6)\,%3C\,2x\,%2B\,6$
$6x\,-\,18\,%26%3C\,2x\,%2B\,6\,\\%0D%0A6x\,-\,18\,-\,2x\,%26%3C\,6\,\\%0D%0A4x\,-\,18\,%26%3C\,6\,\\%0D%0A4x\,%26%3C\,24\,\\%0D%0Ax\,%26%3C\,6$
Solution: $x\,%3C\,6$

4. $\frac{x\,%2B\,3}{3}\,\geq\,\,2$
$x\,%2B\,3\,%26\geq\,\,6\,\\%0D%0Ax\,%26\geq\,\,3$
Solution: $x\,\geq\,\,3$

5. $\frac{2x\,-\,3}{3}\,\leq\,\,-5$
$2x\,-\,3\,%26\leq\,\,-15\,\\%0D%0A2x\,%26\leq\,\,-12\,\\%0D%0Ax\,%26\leq\,\,-6$
Solution: $x\,\leq\,\,-6$

6. $\frac{3\,-\,4x}{5}\,>\,1$
Solution: $x\,%3C\,-\frac{1}{2}$

Exercice 2 : inéquation du premier degré
1. Justifier que est solution de cette inéquation :

On remplace par dans l’inéquation :
$x^2\,%2B\,3x\,\geq\,\,(x\,-\,1)(x\,%2B\,2)$

$0^2\,%2B\,3\,\cdot\,0\,\geq\,\,(0\,-\,1)(0\,%2B\,2)$

$0\,\geq\,\,(-1)\,\cdot\,2$

$0\,\geq\,\,-2$

Cette inégalité est vraie, donc est effectivement une solution de l’inéquation.

2. $-\frac{1}{2}$ est-il solution de cette inéquation ?

On remplace par $-\frac{1}{2}$ dans l’inéquation :

$(-\frac{1}{2})^2\,%2B\,3\,\cdot\,(-\frac{1}{2})\,\geq\,\,(\,-\frac{1}{2}\,-\,1\,)\,(\,-\frac{1}{2}\,%2B\,2\,)$

$\frac{1}{4}\,-\,\frac{3}{2}\,\geq\,\,(\,-\frac{3}{2}\,)\,(\,\frac{3}{2}\,)$

$\frac{1}{4}\,-\,\frac{3}{2}\,\geq\,\,-\frac{9}{4}$

$\frac{1\,-\,6}{4}\,\geq\,\,-\frac{9}{4}$

$-\frac{5}{4}\,\geq\,\,-\frac{9}{4}$

Cette inégalité est vraie, donc $-\frac{1}{2}$ est une solution de l’inéquation.

3. Après avoir développé le second membre, résolvez cette inéquation.

Développons le second membre :

$(x\,-\,1)(x\,%2B\,2)\,=\,x^2\,%2B\,2x\,-\,x\,-\,2\,=\,x^2\,%2B\,x\,-\,2$

L’inéquation devient :

$x^2\,%2B\,3x\,\geq\,\,x^2\,%2B\,x\,-\,2$

On simplifie :

$x^2\,%2B\,3x\,-\,x^2\,-\,x\,\geq\,\,-2$

$2x\,\geq\,\,-2$

On divise par :

$x\,\geq\,\,-1$

La solution de l’inéquation est donc :

$x\,\in\,%5B-1%2C\,%2B\infty%5B$

Exercice 3 : résolution d’inéquations

[a.] $\begin{array}{rcl}%0D%0A2x\,-\,7\,%26\,>\,%26\,2\,-\,x\,\\%0D%0A2x\,%2B\,x\,%26\,>\,%26\,2\,%2B\,7\,\\%0D%0A3x\,%26\,>\,%26\,9\,\\%0D%0Ax\,%26\,>\,%26\,3%0D%0A\end{array}$
Donc, la solution est $y\,\leq\,\,-1$ .

[c.] $\begin{array}{rcl}%0D%0A3t\,%2B\,2\,%26\,\leq\,\,%26\,2(1\,%2B\,3t)\,\\%0D%0A3t\,%2B\,2\,%26\,\leq\,\,%26\,2\,%2B\,6t\,\\%0D%0A3t\,-\,6t\,%26\,\leq\,\,%26\,0\,\\%0D%0A-3t\,%26\,\leq\,\,%26\,0\,\\%0D%0At\,%26\,\geq\,\,%26\,0%0D%0A\end{array}$
Donc, la solution est $t\,\geq\,\,0$ .

Exercice 4 : problème et inéquations
1. Soit le nombre d’entrées dans l’année. Le coût total à l’année avec la formule A est donné par :

$C_A\,=\,55\,%2B\,20y$

2. Le coût total à l’année avec la formule B est donné par :

$C_B\,=\,80\,%2B\,15y$

3. Pour trouver à partir de combien d’entrées la formule B devient plus intéressante, il faut résoudre l’inéquation $C_B\,%3C\,C_A$ :

$80\,%2B\,15y\,%3C\,55\,%2B\,20y$

Soustrayons des deux côtés de l’inéquation :

$80\,%3C\,55\,%2B\,5y$

Soustrayons 55 des deux côtés de l’inéquation :

$25\,%3C\,5y$

Divisons les deux côtés par 5 :

$5\,%3C\,y$

Donc, à partir de 6 entrées dans l’année, la formule B devient plus intéressante.

Exercice 5 : inéquation et droite graduée.
Pour résoudre l’inéquation $-2x\,%2B\,7\,%3C\,5x\,%2B\,29$ , nous suivons les étapes suivantes :

D’abord, on regroupe les termes en d’un côté et les constantes de l’autre :

$-2x\,%2B\,7\,%3C\,5x\,%2B\,29$

Ajoutons des deux côtés de l’inéquation :

$7\,%3C\,7x\,%2B\,29$

Soustrayons des deux côtés de l’inéquation :

$7\,-\,29\,%3C\,7x$

Ce qui nous donne :

$-22\,%3C\,7x$

Puis, divisons chaque côté de l’inéquation par :

$-\,\frac{22}{7}\,%3C\,x$

D’où la solution :

$x\,>\,-\,\frac{22}{7}$ , en faisant une parenthèse ouverte pour indiquer que ce point n’est pas inclus. Ensuite, on trace une flèche vers la droite à partir de ce point pour indiquer que toutes les valeurs supérieures à $-\,\frac{22}{7}$ sont des solutions :

$\begin{array}{c}%0D%0A\begin{tikzpicture}%0D%0A\draw%5B%3C->%5D\,(-4%2C0)\,--\,(4%2C0)%3B%0D%0A\draw\,(3%2C0)\,node%5Bbelow%5D\,{%24x%24}%3B%0D%0A\foreach\,\x\,in\,{-4%2C-3%2C-2%2C-1%2C0%2C1%2C2%2C3%2C4}%0D%0A\draw\,(\x%2C0.1)\,--\,(\x%2C-0.1)\,node%5Bbelow=3pt%5D\,{\x}%3B%0D%0A\node\,at\,(-2.666%2C0)\,%5Bcircle%2Cfill%2Cinner\,sep=1.5pt%2Clabel=below%3A{%24-\frac{22}{7}%24}%5D\,{%3B%0D%0A\draw%5Bdashed%5D\,(-2.666%2C0)\,--\,(-2.666%2C-0.5)%3B%0D%0A\draw%5B->%5D\,(-2.666%2C0)\,--\,(4.1%2C0)%3B%0D%0A\end{tikzpicture}%0D%0A\end{array}$ Exercice 6 : somme de 3 entiers consécutifs et inéquation
Soit , et les trois entiers consécutifs. La somme de ces entiers peut être exprimée par :
$n\,%2B\,(n%2B1)\,%2B\,(n%2B2)\,=\,3n\,%2B\,3.$

On sait que cette somme est comprise entre 12 et 27, donc :
$12\,\leq\,\,3n\,%2B\,3\,\leq\,\,27.$

Pour isoler , nous devons résoudre cette double inégalité.

Première inégalité :
$12\,\leq\,\,3n\,%2B\,3$
$12\,-\,3\,\leq\,\,3n$
$9\,\leq\,\,3n$
$3\,\leq\,\,n$

Deuxième inégalité :
$3n\,%2B\,3\,\leq\,\,27$
$3n\,\leq\,\,27\,-\,3$
$3n\,\leq\,\,24$
$n\,\leq\,\,8$

Ainsi, nous avons :
$3\,\leq\,\,n\,\leq\,\,8.$

Le plus grand des trois nombres consécutifs est donc . Les valeurs possibles pour le plus grand entier sont donc :
$(n%2B2)\,\,ou\,\,3\,\leq\,\,n\,\leq\,\,8.$

Cela donne :
$n\,=\,3\,\implies\,n%2B2\,=\,5%2C$
$n\,=\,4\,\implies\,n%2B2\,=\,6%2C$
$n\,=\,5\,\implies\,n%2B2\,=\,7%2C$
$n\,=\,6\,\implies\,n%2B2\,=\,8%2C$
$n\,=\,7\,\implies\,n%2B2\,=\,9%2C$
$n\,=\,8\,\implies\,n%2B2\,=\,10.$