Exercice 1 : inéquations à résoudre
1. \( 2x + 2 \geq\, 4x + 6 \)
\[
\begin{aligned}
2x + 2 \geq\, 4x + 6 \\
2x + 2 – 4x \geq\, 6 \\
-2x + 2 \geq\, 6 \\
-2x \geq\, 4 \\
x \leq\, -2
\end{aligned}
\]
Solution: \( x \leq\, -2 \)
2. \( 2(3x + 3) > 5(2x + 3) \)
\[
\begin{aligned}
6x + 6 > 10x + 15 \\
6x + 6 – 10x > 15 \\
-4x + 6 > 15 \\
-4x > 9 \\
x < -\frac{9}{4}
\end{aligned}
\]
Solution: \( x < -\frac{9}{4} \)
3. \( 3(2x – 6) < 2x + 6 \)
\[
\begin{aligned}
6x – 18 < 2x + 6 \\
6x – 18 – 2x < 6 \\
4x – 18 < 6 \\
4x < 24 \\
x < 6
\end{aligned}
\]
Solution: \( x < 6 \)
4. \( \frac{x + 3}{3} \geq\, 2 \)
\[
\begin{aligned}
x + 3 \geq\, 6 \\
x \geq\, 3
\end{aligned}
\]
Solution: \( x \geq\, 3 \)
5. \( \frac{2x – 3}{3} \leq\, -5 \)
\[
\begin{aligned}
2x – 3 \leq\, -15 \\
2x \leq\, -12 \\
x \leq\, -6
\end{aligned}
\]
Solution: \( x \leq\, -6 \)
6. \( \frac{3 – 4x}{5} > 1 \)
\[
\begin{aligned}
3 – 4x > 5 \\
-4x > 2 \\
x < -\frac{1}{2}
\end{aligned}
\]
Solution: \( x < -\frac{1}{2} \)
Exercice 2 : inéquation du premier degré
1. Justifier que \(0\) est solution de cette inéquation :
On remplace \(x\) par \(0\) dans l’inéquation :
\[x^2 + 3x \geq\, (x – 1)(x + 2)\]
\[0^2 + 3 \cdot 0 \geq\, (0 – 1)(0 + 2)\]
\[0 \geq\, (-1) \cdot 2\]
\[0 \geq\, -2\]
Cette inégalité est vraie, donc \(0\) est effectivement une solution de l’inéquation.
2. \(-\frac{1}{2}\) est-il solution de cette inéquation ?
On remplace \(x\) par \(-\frac{1}{2}\) dans l’inéquation :
\[(-\frac{1}{2})^2 + 3 \cdot (-\frac{1}{2}) \geq\, ( -\frac{1}{2} – 1 ) ( -\frac{1}{2} + 2 )\]
\[\frac{1}{4} – \frac{3}{2} \geq\, ( -\frac{3}{2} ) ( \frac{3}{2} )\]
\[\frac{1}{4} – \frac{3}{2} \geq\, -\frac{9}{4}\]
\[\frac{1 – 6}{4} \geq\, -\frac{9}{4}\]
\[-\frac{5}{4} \geq\, -\frac{9}{4}\]
Cette inégalité est vraie, donc \(-\frac{1}{2}\) est une solution de l’inéquation.
3. Après avoir développé le second membre, résolvez cette inéquation.
Développons le second membre :
\[(x – 1)(x + 2) = x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2\]
L’inéquation devient :
\[x^2 + 3x \geq\, x^2 + x – 2\]
On simplifie :
\[x^2 + 3x – x^2 – x \geq\, -2\]
\[2x \geq\, -2\]
On divise par \(2\) :
\[x \geq\, -1\]
La solution de l’inéquation est donc :
\[x \in [-1, +\infty[ \]
Exercice 3 : résolution d’inéquations
[a.] \[
\begin{array}{rcl}
2x – 7 > 2 – x \\
2x + x > 2 + 7 \\
3x > 9 \\
x > 3
\end{array}
\]
Donc, la solution est \( x > 3 \).
[b.] \[
\begin{array}{rcl}
5 + y \geq\, 7 + 3y \\
y – 3y \geq\, 7 – 5 \\
-2y \geq\, 2 \\
y \leq\, -1
\end{array}
\]
Donc, la solution est \( y \leq\, -1 \).
[c.] \[
\begin{array}{rcl}
3t + 2 \leq\, 2(1 + 3t) \\
3t + 2 \leq\, 2 + 6t \\
3t – 6t \leq\, 0 \\
-3t \leq\, 0 \\
t \geq\, 0
\end{array}
\]
Donc, la solution est \( t \geq\, 0 \).
Exercice 4 : problème et inéquations
1. Soit \( y \) le nombre d’entrées dans l’année. Le coût total à l’année avec la formule A est donné par :
\[ C_A = 55 + 20y \]
2. Le coût total à l’année avec la formule B est donné par :
\[ C_B = 80 + 15y \]
3. Pour trouver à partir de combien d’entrées la formule B devient plus intéressante, il faut résoudre l’inéquation \( C_B < C_A \) :
\[ 80 + 15y < 55 + 20y \]
Soustrayons \( 15y \) des deux côtés de l’inéquation :
\[ 80 < 55 + 5y \]
Soustrayons 55 des deux côtés de l’inéquation :
\[ 25 < 5y \]
Divisons les deux côtés par 5 :
\[ 5 < y \]
Donc, à partir de 6 entrées dans l’année, la formule B devient plus intéressante.
Exercice 5 : inéquation et droite graduée.
Pour résoudre l’inéquation \(-2x + 7 < 5x + 29\), nous suivons les étapes suivantes :
D’abord, on regroupe les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre :
\[
-2x + 7 < 5x + 29
\]
Ajoutons \(2x\) des deux côtés de l’inéquation :
\[
7 < 7x + 29
\]
Soustrayons \(29\) des deux côtés de l’inéquation :
\[
7 – 29 < 7x
\]
Ce qui nous donne :
\[
-22 < 7x
\]
Puis, divisons chaque côté de l’inéquation par \(7\) :
\[
– \frac{22}{7} < x
\]
D’où la solution :
\[
x > – \frac{22}{7}
\]
Pour représenter cette solution sur une droite graduée, on trace une droite et on place un point \(-\frac{22}{7}\), en faisant une parenthèse ouverte pour indiquer que ce point n’est pas inclus. Ensuite, on trace une flèche vers la droite à partir de ce point pour indiquer que toutes les valeurs supérieures à \(- \frac{22}{7}\) sont des solutions :
\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\draw[<->] (-4,0) — (4,0);
\draw (3,0) node[below] {\[x\]};
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
\draw (\x,0.1) — (\x,-0.1) node[below=3pt] {\x};
\node at (-2.666,0) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=below:{\[-\frac{22}{7}\]}] {;
\draw[dashed] (-2.666,0) — (-2.666,-0.5);
\draw[->] (-2.666,0) — (4.1,0);
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]
Exercice 6 : somme de 3 entiers consécutifs et inéquation
Soit \( n \), \( n+1 \) et \( n+2 \) les trois entiers consécutifs. La somme de ces entiers peut être exprimée par :
\[ n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3. \]
On sait que cette somme est comprise entre 12 et 27, donc :
\[ 12 \leq\, 3n + 3 \leq\, 27. \]
Pour isoler \( n \), nous devons résoudre cette double inégalité.
Première inégalité :
\[ 12 \leq\, 3n + 3 \]
\[ 12 – 3 \leq\, 3n \]
\[ 9 \leq\, 3n \]
\[ 3 \leq\, n \]
Deuxième inégalité :
\[ 3n + 3 \leq\, 27 \]
\[ 3n \leq\, 27 – 3 \]
\[ 3n \leq\, 24 \]
\[ n \leq\, 8 \]
Ainsi, nous avons :
\[ 3 \leq\, n \leq\, 8. \]
Le plus grand des trois nombres consécutifs est donc \( n+2 \). Les valeurs possibles pour le plus grand entier sont donc :
\[ (n+2) \text{ où } 3 \leq\, n \leq\, 8. \]
Cela donne :
\[ n = 3 \implies n+2 = 5, \]
\[ n = 4 \implies n+2 = 6, \]
\[ n = 5 \implies n+2 = 7, \]
\[ n = 6 \implies n+2 = 8, \]
\[ n = 7 \implies n+2 = 9, \]
\[ n = 8 \implies n+2 = 10. \]
Les valeurs possibles du plus grand des trois entiers consécutifs sont donc :
\[ 5, 6, 7, 8, 9, \text{ et } 10. \]
Exercice 7 : périmètre et inéquation
Soit \( L \) la longueur du rectangle et \( l \) sa largeur. Le périmètre \( P \) d’un rectangle est donné par la formule suivante :
\[ P = 2L + 2l \]
Il est mentionné que le périmètre est inférieur ou égal à 37 cm et que la largeur est de 5,3 cm. Nous avons donc :
\[ 2L + 2 \times 5,3 \leq\, 37 \]
Simplifions cette expression :
\[ 2L + 10,6 \leq\, 37 \]
Soustrayons 10,6 des deux côtés de l’inégalité :
\[ 2L \leq\, 37 – 10,6 \]
\[ 2L \leq\, 26,4 \]
Divisons les deux côtés de l’inégalité par 2 :
\[ L \leq\, \frac{26,4}{2} \]
\[ L \leq\, 13,2 \]
Par ailleurs, il est mentionné que la longueur doit être supérieure à la largeur. Donc :
\[ L > 5,3 \]
Nous pouvons maintenant combiner ces deux résultats :
\[ 5,3 < L \leq\, 13,2 \]
Ainsi, les valeurs possibles pour la longueur \( L \) du rectangle sont comprises entre 5,3 cm et 13,2 cm, excluant 5,3 cm et incluant 13,2 cm.
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