Exercice 1 : compléter le tableau suivant
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Inégalité} \text{Intervalle} \text{Représentation graphique} \\
\hline
2 \leq\, x \leq\, 4 x \in [2 ; 4] \begin{array}{l}
\text{—o—} \, \bullet \, \text{—o—} \, \bullet \, \text{—} \, \bullet \, \text{—o—} \, \\
\end{array} \\
\hline
0 < x \leq\, 5 x \in \, ]0 ; 5] \begin{array}{l}
\text{—–o—o—o—o—o—o—o—} \; \bullet \; \text{—o—}\\
\end{array} \\
\hline
3 \leq\, x < 7 x \in [3 ; 7[ \begin{array}{l}
\text{—o—o—o—o—o—} \; \bullet \; \text{—o—o—}\\
\end{array} \\
\hline
x \leq\, 4 x \in \, ]-\infty ; 4] \begin{array}{l}
\bullet \text{—o—o—o—o—o—o—o—}\bullet \\
\end{array} \\
\hline
3 < x x \in [3 ; +\infty[ \begin{array}{l}
\bullet \; \text{—o—o—o—o—o—o—o—o—o}\\
\end{array} \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 2 : compléter avec appartient ou n’appartient pas
1. \(2 \in ]1 ; 3[\)
2. \(0 \in [-1 ; 2]\)
3. \(\frac{1}{3} \in [0 ; 3]\)
4. \(2 \notin ]-2 ; 2[\)
5. \(\sqrt{2} \in [-3 ; 1]\)
6. \(0 \notin ]0 ; +\infty[\)
7. \(-100 \in ]-\infty ; 1[\)
8. \(\frac{1}{10} \in [0,01 ; 0,2[ \)
Exercice 3 : compléter les intervalles
1. \( x \in [7; 20] \) si et seulement si \( 7x \in [49; 140] \)
\[
x \in [7; 20] \iff 7x \in [49; 140]
\]
2. \( x \in [-1; 3] \) si et seulement si \( 7 – x \in [-1; 8] \)
\[
x \in [-1; 3] \iff 7 – x \in [4; 8]
\]
3. \( x \in [-5; 7] \) si et seulement si \( 2x + 3 \in [-7; 17] \)
\[
x \in [-5; 7] \iff 2x + 3 \in [-7; 17]
\]
4. \( x \in ( -\infty; -\frac{1}{2} ] \) si et seulement si \( -2x \in [1; +\infty [ \)
\[
x \in ( -\infty; -\frac{1}{2} ] \iff -2x \in [1; +\infty [
\]
5. \( x \in ( -\infty; 6 ] \) si et seulement si \( 3 – x \in [-\infty; 3] \)
\[
x \in ( -\infty; 6 ] \iff 3 – x \in [-3; 3]
\]
6. \( x \in [-1; 1] \) si et seulement si \( 7 + 2x \in [5; 9] \)
\[
x \in [-1; 1] \iff 7 + 2x \in [5; 9]
\]
Exercice 4 : représenter graphiquement un intervalle
Correction de l’exercice :
1. Représenter graphiquement cet ensemble.
L’ensemble des points \( M(x, y) \) tels que \( 1 < x \leq\, 4 \) et \( 5 \leq\, y \leq\, 6 \) peut être représenté sur un plan cartésien en traçant les droites \( x = 1 \), \( x = 4 \), \( y = 5 \) et \( y = 6 \), puis en hachurant la région délimitée par ces droites. Cette région est un rectangle ouvert sur la ligne \( x = 1 \).
2. Reprendre la question précédente avec l’ensemble des points \( N(x, y) \) tels que \( 1 \leq\, 2x + 1 \leq\, 4 \) et \( 5 < 2 – 5y \leq\, 6 \).
Pour trouver l’ensemble des points \( N(x, y) \), commençons par résoudre les inéquations données.
Pour \( 1 \leq\, 2x + 1 \leq\, 4 \):
\( 1 \leq\, 2x + 1 \) :
\[ 0 \leq\, 2x \]
\[ 0 \leq\, x \]
\( 2x + 1 \leq\, 4 \) :
\[ 2x \leq\, 3 \]
\[ x \leq\, \frac{3}{2} \]
On obtient donc :
\[ 0 \leq\, x \leq\, \frac{3}{2} \]
Pour \( 5 < 2 – 5y \leq\, 6 \):
\( 5 < 2 – 5y \) :
\[ -3 < -5y \]
\[ \frac{3}{5} > y \]
\[ y < \frac{3}{5} \]
\( 2 – 5y \leq\, 6 \) :
\[ -5y \leq\, 4 \]
\[ y \geq\, -\frac{4}{5} \]
On obtient donc :
\[ -\frac{4}{5} \leq\, y < \frac{3}{5} \]
L’ensemble des points \( N(x, y) \) vérifie donc :
\[ 0 \leq\, x \leq\, \frac{3}{2} \quad \text{et} \quad -\frac{4}{5} \leq\, y < \frac{3}{5} \]
Pour le représenter graphiquement, on trace les droites \( x = 0 \), \( x = \frac{3}{2} \), \( y = -\frac{4}{5} \), et \( y = \frac{3}{5} \), puis on hachure la région délimitée par ces droites qui est un rectangle avec une bordure ouverte sur la ligne \( y = \frac{3}{5} \).
Exercice 5 : programme avec Scratch et Python
1. Que fait ce programme ?
Ce programme définit une fonction \texttt{DansIntervalle(a, b, x)} qui vérifie si une valeur \( x \) se trouve entre \( a \) et \( b \) de manière stricte, c’est-à-dire \( a < x < b \).
2. Modifier ce programme pour qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle \([a ; b [\) puis à l’intervalle ]a ; b ] et enfin à l’intervalle \([ a ; b ]\).
Modification pour \([a ; b [\):
« `python
def DansIntervalle(a, b, x):
if x >= a and x < b:
return True
else:
return False
« `
Modification pour \(]a ; b ] \):
« `python
def DansIntervalle(a, b, x):
if x > a and x <= b:
return True
else:
return False
« `
Modification pour \([ a ; b ]\):
« `python
def DansIntervalle(a, b, x):
if x >= a and x <= b:
return True
else:
return False
« `
Exercice 6 : que fait ce programme ?
1. Ce programme teste si \( a < x \). S’il s’agit d’une vérité, le programme retourne « VRAI » (ou `True` en Python), sinon il retourne « FAUX » (ou `False` en Python).
2. Pour modifier ce programme afin qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle \([a ; +\infty[\), puis à l’intervalle \( ]-\infty ; a]\) et enfin à l’intervalle \( ]-\infty ; a[\):
On peut introduire trois fonctions supplémentaires dans le programme Python pour vérifier les différentes conditions d’appartenance aux intervalles. Voici les modifications :
« `python
def DansIntervalleBisA(a, x):
if a <= x:
return True
else:
return False
def DansIntervalleBisB(a, x):
if x <= a:
return True
else:
return False
def DansIntervalleBisC(a, x):
if x < a:
return True
else:
return False
« `
Explications des modifications :
– \(a \leq\, x\) pour vérifier si \( x \) appartient à \([a ; +\infty[\).
– \(x \leq\, a\) pour vérifier si \( x \) appartient à \( ]-\infty ; a]\).
– \(x < a\) pour vérifier si \( x \) appartient à \( ]-\infty ; a[\).
En Scratch, ces fonctions modifiées pourraient ressembler à ceci :
Pour \([a ; +\infty[\) :
– Si \[ a \leq\, x \] alors dire « VRAI », sinon dire « FAUX »
Pour \( ]-\infty ; a]\) :
– Si \[ x \leq\, a \] alors dire « VRAI », sinon dire « FAUX »
Pour \( ]-\infty ; a[\) :
– Si \[ x < a \] alors dire « VRAI », sinon dire « FAUX »
Exercice 7 : ecrire sous forme d’intervalle
1. \( x > 3 \) ou \( x \leq\, 0 \)
Les intervalles sont \((3, +\infty)\) ou \((-\infty, 0]\).
Donc, l’ensemble auquel \(x\) appartient est \((-\infty, 0] \cup (3, +\infty)\).
2. \( x – 6 > 0 \) ou \( 5x \leq\, 5 \)
Simplifions les inéquations:
\[
x – 6 > 0 \implies x > 6
\]
\[
5x \leq\, 5 \implies x \leq\, 1
\]
Les intervalles sont \((6, +\infty)\) ou \((-\infty, 1]\).
Donc, l’ensemble auquel \(x\) appartient est \((-\infty, 1] \cup (6, +\infty)\).
3. \( x \leq\, 2 \) ou \(-4x < -20 \)
Simplifions les inéquations:
\[
x \leq\, 2
\]
\[
-4x < -20 \implies x > 5
\]
Les intervalles sont \((-\infty, 2]\) ou \((5, +\infty)\).
Donc, l’ensemble auquel \(x\) appartient est \((-\infty, 2] \cup (5, +\infty)\).
4. \( x \geq\, 3 \) ou \( 3x \geq\, 12 \)
Simplifions les inéquations:
\[
x \geq\, 3
\]
\[
3x \geq\, 12 \implies x \geq\, 4
\]
L’ensemble auquel \(x\) appartient est donc \( [3, +\infty) \).
5. \( 7x – 4 \geq\, 3 \) ou \( 1 – x > 0 \)
Simplifions les inéquations:
\[
7x – 4 \geq\, 3 \implies 7x \geq\, 7 \implies x \geq\, 1
\]
\[
1 – x > 0 \implies x < 1
\]
Les intervalles sont \([1, +\infty)\) ou \((-\infty, 1)\).
Donc, l’ensemble auquel \(x\) appartient est \((-\infty, 1) \cup [1, +\infty)\), ce qui correspond à \(\mathbb{R}\) (tout l’ensemble des réels).
6. \( 1 – x \leq\, -3 \) ou \( 2x + 1 \leq\, 7 \)
Simplifions les inéquations:
\[
1 – x \leq\, -3 \implies -x \leq\, -4 \implies x \geq\, 4
\]
\[
2x + 1 \leq\, 7 \implies 2x \leq\, 6 \implies x \leq\, 3
\]
Les intervalles sont \([4, +\infty)\) ou \((-\infty, 3]\).
Donc, l’ensemble auquel \(x\) appartient est \((-\infty, 3] \cup [4, +\infty)\).
Exercice 8 : intersection d’intervalles
1. \[a < 3\] et \[a \geq\, -6\]
Écrire cette condition sous forme d’intersection:
\[ -6 \leq\, a < 3 \]
Ensemble des réels \( a \):
\[ [-6, 3) \]
2. \[a \geq\, -5\] et \[-a \geq\, -7\]
Simplifions la deuxième condition:
\[ -a \geq\, -7 \Rightarrow a \leq\, 7 \]
Écrire cette condition sous forme d’intersection:
\[ -5 \leq\, a \leq\, 7 \]
Ensemble des réels \( a \):
\[ [-5, 7] \]
3. \[2a + 1 < 3\] et \[3a – 1 \geq\, 0\]
Simplifions les conditions:
\(2a + 1 < 3\)
\[ 2a < 2 \Rightarrow a < 1 \]
\(3a – 1 \geq\, 0\)
\[ 3a \geq\, 1 \Rightarrow a \geq\, \frac{1}{3} \]
Écrire cette condition sous forme d’intersection:
\[ \frac{1}{3} \leq\, a < 1 \]
Ensemble des réels \( a \):
\[ [\frac{1}{3}, 1) \]
4. \[3(2 – a) < 3\] et \[a – 1 \geq\, 2\]
Simplifions les conditions:
\(3(2 – a) < 3\)
\[ 6 – 3a < 3 \Rightarrow -3a < -3 \Rightarrow a > 1 \]
\(a – 1 \geq\, 2\)
\[ a \geq\, 3 \]
Écrire cette condition sous forme d’intersection:
\[ a > 1 \text{ et } a \geq\, 3 \Rightarrow a \geq\, 3 \]
Ensemble des réels \( a \):
\[ [3, +\infty) \]
Exercice 9 : quels nombres sont égaux à leur valeur absolue ?
Parmi les nombres suivants, lesquels sont égaux à leur valeur absolue ?
1. \(\displaystyle 2\)
La valeur absolue de 2 est \(|2| = 2\). Donc, ce nombre est égal à sa valeur absolue.
2. \(\displaystyle 3 – \frac{8}{3}\)
\[
3 – \frac{8}{3} = \frac{9}{3} – \frac{8}{3} = \frac{1}{3}
\]
La valeur absolue de \(\frac{1}{3}\) est \(|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}\). Donc, ce nombre est égal à sa valeur absolue.
3. \(\displaystyle 25 – 9\pi\)
Puisque \(25 – 9\pi\) est un nombre négatif (\(\pi \approx 3.14\) donc \(9\pi \approx 28.26\) et \(25 – 28.26 < 0\)):
\[
|25 – 9\pi| = -(25 – 9\pi) = 9\pi – 25
\]
Donc, ce nombre n’est pas égal à sa valeur absolue.
4. \(\displaystyle \frac{1}{2} – \frac{1}{3}\)
\[
\frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{3}{6} – \frac{2}{6} = \frac{1}{6}
\]
La valeur absolue de \(\frac{1}{6}\) est \(|\frac{1}{6}| = \frac{1}{6}\). Donc, ce nombre est égal à sa valeur absolue.
5. \(\displaystyle \sqrt{2} – \sqrt{5}\)
Puisque \(\sqrt{2} \approx 1.41\) et \(\sqrt{5} \approx 2.24\), donc \(\sqrt{2} – \sqrt{5}\) est un nombre négatif:
\[
|\sqrt{2} – \sqrt{5}| = -(\sqrt{2} – \sqrt{5}) = \sqrt{5} – \sqrt{2}
\]
Donc, ce nombre n’est pas égal à sa valeur absolue.
6. \(\displaystyle -2 + 9 \times (-3)\)
\[
-2 + 9 \times (-3) = -2 + (-27) = -29
\]
La valeur absolue de \(-29\) est \(|-29| = 29\). Donc, ce nombre n’est pas égal à sa valeur absolue.
Les nombres qui sont égaux à leur valeur absolue sont les numéros: \(1\), \(2\) et \(4\).
Exercice 10 : donner la valeur absolue
1. \(|-5| = 5\)
2. \(|-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}\)
3. \(|-\sqrt{289}| = \sqrt{289} = 17\)
4. \(3 – \frac{2}{3} \times (6-4)\)
\[3 – \frac{2}{3} \times 2\]
\[3 – \frac{4}{3}\]
\[3 = \frac{9}{3}\]
\[\frac{9}{3} – \frac{4}{3} = \frac{5}{3}\]
\[|\frac{5}{3}| = \frac{5}{3}\]
Exercice 11 : calculer les valeurs absolues
\(|10^{-7} – 10^{-3}|\)
Calculons l’expression à l’intérieur de la valeur absolue :
\[
10^{-7} = 0.0000001 \quad \text{et} \quad 10^{-3} = 0.001
\]
Ensuite,
\[
10^{-7} – 10^{-3} = 0.0000001 – 0.001 = -0.0009999
\]
La valeur absolue de \(-0.0009999\) est :
\[
|10^{-7} – 10^{-3}| = 0.0009999
\]
\(|17 – 25|\)
Calculons l’expression à l’intérieur de la valeur absolue :
\[
17 – 25 = -8
\]
La valeur absolue de \(-8\) est :
\[
|17 – 25| = 8
\]
\(|1 – \sqrt{2}|\)
Calculons l’expression à l’intérieur de la valeur absolue :
\[
\sqrt{2} \approx 1.414
\]
Ensuite,
\[
1 – \sqrt{2} \approx 1 – 1.414 = -0.414
\]
La valeur absolue de \(-0.414\) est :
\[
|1 – \sqrt{2}| \approx 0.414
\]
\(|-3 – \pi|\)
Calculons l’expression à l’intérieur de la valeur absolue :
\[
\pi \approx 3.14159
\]
Ensuite,
\[
-3 – \pi \approx -3 – 3.14159 = -6.14159
\]
La valeur absolue de \(-6.14159\) est :
\[
|-3 – \pi| \approx 6.14159
\]
Exercice 12 : donner la distance entre des nombres réels
La distance entre \(-2\) et \(-12\) est :
\[
|\,-2 – (-12)\,| = |\,-2 + 12\,| = |\,10\,| = 10
\]
La distance entre \(\frac{5}{3}\) et \(\frac{7}{6}\) est :
\[
|\, \frac{5}{3} – \frac{7}{6} \,| = |\, \frac{10}{6} – \frac{7}{6} \,| = |\, \frac{3}{6} \,| = |\, \frac{1}{2} \,| = \frac{1}{2}
\]
La distance entre \(-\pi\) et \(2\pi\) est :
\[
|\,-\pi – 2\pi\,| = |\,-3\pi\,| = 3\pi
\]
La distance entre \(-4\) et \(6\) est :
\[
|\,-4 – 6\,| = |\,-10\,| = 10
\]
Exercice 13 : inégalités et valeurs absolues
1. \(|x – 3| \leq\, 2\)
Vérifions si \(x = 2\) satisfait cette inégalité :
\[
|2 – 3| = |-1| = 1 \leq\, 2
\]
L’inégalité \(|x – 3| \leq\, 2\) est donc vérifiée par le nombre \(2\).
2. \(|x – 3| < 1\)
Vérifions si \(x = 2\) satisfait cette inégalité :
\[
|2 – 3| = |-1| = 1 < 1
\]
L’inégalité \(|x – 3| < 1\) n’est pas vérifiée par le nombre \(2\).
3. \(|x + 3| \leq\, 2\)
Vérifions si \(x = 2\) satisfait cette inégalité :
\[
|2 + 3| = |5| = 5 \leq\, 2
\]
L’inégalité \(|x + 3| \leq\, 2\) n’est pas vérifiée par le nombre \(2\).
4. \(|x – 2| < 1\)
Vérifions si \(x = 2\) satisfait cette inégalité :
\[
|2 – 2| = |0| = 0 < 1
\]
L’inégalité \(|x – 2| < 1\) est donc vérifiée par le nombre \(2\).
Exercice 14 : résoudre des équations
\[|x| = 8\]
Les solutions possibles sont :
\[ x = 8 \quad \text{ou} \quad x = -8 \]
\[|x| = -5\]
Il n’y a pas de solutions car la valeur absolue d’un nombre ne peut jamais être négative.
\[|x – 1| = 3\]
Les solutions possibles sont :
\[ x – 1 = 3 \quad \text{ou} \quad x – 1 = -3 \]
En résolvant chaque équation, on obtient :
\[ x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -2 \]
\[|2x + 1| = 4\]
Les solutions possibles sont :
\[ 2x + 1 = 4 \quad \text{ou} \quad 2x + 1 = -4 \]
En résolvant chaque équation, on obtient :
\[ 2x = 3 \quad \text{donc} \quad x = \frac{3}{2} \]
\[ 2x = -5 \quad \text{donc} \quad x = -\frac{5}{2} \]
Par conséquent, les solutions des équations sont :
\[x = 8 \quad \text{ou} \quad x = -8\]
Pas de solution
\[x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -2\]
\[x = \frac{3}{2} \quad \text{ou} \quad x = -\frac{5}{2}\]
Exercice 15 : propositions vraies ou fausses
1. Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( 1 + x^2 = |1 + x^2| \).
Cette proposition est vraie. En effet, pour tout réel \( x \), \( x^2 \) est toujours positif ou nul, donc \( 1 + x^2 \) est toujours positif ou nul. Par conséquent, \( |1 + x^2| = 1 + x^2 \).
2. Pour tout \( k \in \mathbb{Z} \), \( |k| = -k \).
Cette proposition est fausse. En effet, \( |k| \) représente la valeur absolue de \( k \), qui est toujours positive ou nulle. Par contre, \(-k\) est positif si \( k \) est négatif, et négatif si \( k \) est positif. Par exemple, si \( k = 1 \), \( |1| = 1 \) et \(-1 = -1 \). Il est clair que \( |1| \neq -1 \).
3. Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( |(-x)^2| = -x^2 \).
Cette proposition est fausse. En effet, \( |(-x)^2| = |x^2| = x^2 \) car \( x^2 \) est toujours positif ou nul. Par contre, \(-x^2 \) est négatif ou nul pour tout \( x \neq 0 \). Il est clair que \( x^2 \neq -x^2 \) pour tout \( x \neq 0 \).
4. Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( |n^2 – n| = n^2 – n \).
Cette proposition est vraie. En effet, \( n \) étant un entier naturel, \( n^2 \) et \( n \) sont toujours positifs ou nuls. Par conséquent, \( n^2 – n \) est toujours positif ou nul pour tout \( n \geq\, 1 \). Pour \( n = 0 \), \( n^2 – n = 0 \), ce qui est aussi vrai. Donc \( |n^2 – n| = n^2 – n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
Exercice 16 : quel est le plus grand intervalle ?
\(|x – 2| \leq\, 3\)
\[
|x – 2| \leq\, 3 \quad \Rightarrow \quad -3 \leq\, x – 2 \leq\, 3
\]
En ajoutant 2 à chaque membre de l’inégalité :
\[
-3 + 2 \leq\, x – 2 + 2 \leq\, 3 + 2
\]
Nous obtenons :
\[
-1 \leq\, x \leq\, 5
\]
Donc, l’intervalle est \([-1, 5]\).
\(x \leq\, 15\)
\[
x \leq\, 15
\]
L’intervalle est \((-\infty, 15]\).
\(|x| \leq\, 1\)
\[
|x| \leq\, 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \leq\, x \leq\, 1
\]
Donc, l’intervalle est \([-1, 1]\).
\(0 \leq\, x \leq\, 2\)
\[
0 \leq\, x \leq\, 2
\]
L’intervalle est \([0, 2]\).
Exercice 17 : donner un encadrement
\[\frac{1}{7} \approx 0.142857 \Rightarrow\] À \[10^{-3}\] près, \[\frac{1}{7}\] est compris entre \[0.142\] et \[0.143\].
\[0.7586 \Rightarrow\] À \[10^{-3}\] près, \[0.7586\] est compris entre \[0.758\] et \[0.759\].
\[\sqrt{17} \approx 4.1231056256 \Rightarrow\] À \[10^{-3}\] près, \[\sqrt{17}\] est compris entre \[4.123\] et \[4.124\].
\[2.356 \times 10^{-3} = 0.002356 \Rightarrow\] À \[10^{-3}\] près, \[0.002356\] est compris entre \[0.002\] et \[0.003\].
Exercice 18 : problème de la boîte de nuit
1. \[\]Dans quel intervalle d’âge doit se situer une personne qui veut pouvoir rentrer dans les deux boîtes de nuit ?\[\]
Pour pouvoir rentrer à la boîte de nuit le Macumba, il faut avoir strictement plus de \(32\) ans, donc \( \text{âge} > 32 \).
Pour pouvoir entrer dans la boîte de nuit la Playa, il faut avoir au plus \(40\) ans, donc \( \text{âge} \leq\, 40 \).
Pour pouvoir entrer dans les deux boîtes de nuit, il faut satisfaire les deux conditions simultanément. L’intervalle d’âge correspondant est donc :
\[ 32 < \text{âge} \leq\, 40 \]
2. \[\]Dans quel ensemble doit se situer l’âge d’une personne qui veut pouvoir entrer dans l’une des deux boîtes de nuit ?\[\]
Pour entrer dans l’une des deux boîtes de nuit, il suffit que l’une des conditions soit satisfaite.
Soit l’âge doit être strictement supérieur à \(32\) ans (condition pour le Macumba), soit l’âge doit être au plus \(40\) ans (condition pour la Playa).
Il faut donc faire l’union des deux ensembles d’âges :
\[ (\text{âge} > 32) \cup (\text{âge} \leq\, 40) \]
Cette union couvre l’ensemble des âges possibles sauf l’intervalle qui ne satisfait aucune des conditions, c’est-à-dire les âges inférieurs ou égaux à \(32\).
Ainsi, tous les âges supérieurs à \(32\) sont admissibles, y compris ceux au-dessus de \(40\). L’ensemble des âges possibles peut donc être représenté par :
\[ \text{âge} \in (32, \infty) \]
Exercice 19 : problème de l’Insee
Les revenus du foyer de M. et Mme Martin s’élèvent à :
\[2\,731 \,€ + 2\,732 \,€ = 5\,463 \,€.\]
L’intervalle donné pour appartenir à la classe moyenne est \([3\,253 \,€ ; 5\,609 \,€]\).
\[3\,253 \,€ \leq\, 5\,463 \,€ \leq\, 5\,609 \,€.\]
Ainsi, les revenus de la famille Martin se situent bien dans l’intervalle de la classe moyenne selon l’INSEE. Par conséquent, la famille appartient à la classe moyenne.
Exercice 20 : résoudre dans R les équations et inéquations
a. \(|-3x| = 7\)
\[
|-3x| = 7 \implies 3x = 7 \text{ ou } 3x = -7
\]
\[
3x = 7 \implies x = \frac{7}{3}
\]
\[
3x = -7 \implies x = -\frac{7}{3}
\]
Donc les solutions sont:
\[
x = \frac{7}{3} \text{ ou } x = -\frac{7}{3}
\]
b. \(|\frac{5}{2}x| < -15\)
\[
|\frac{5}{2}x| < -15
\]
L’inégalité \(|\frac{5}{2}x| < -15\) est impossible car une valeur absolue est toujours positive ou nulle. Donc, il n’y a pas de solution.
c. \(|x – 4| = |x + 6|\)
\[
|x – 4| = |x + 6| \implies x – 4 = x + 6 \text{ ou } x – 4 = -(x + 6)
\]
Pour la première équation:
\[
x – 4 = x + 6 \implies -4 = 6
\]
Ce qui est impossible, donc pas de solution de ce côté.
Pour la deuxième équation:
\[
x – 4 = -x – 6 \implies 2x = -2 \implies x = -1
\]
Donc la solution est:
\[
x = -1
\]
d. \(|x – 5| \leq\, 6\)
\[
|x – 5| \leq\, 6 \implies -6 \leq\, x – 5 \leq\, 6
\]
En ajoutant 5 partout:
\[
-6 + 5 \leq\, x \leq\, 6 + 5 \implies -1 \leq\, x \leq\, 11
\]
Donc la solution est:
\[
-1 \leq\, x \leq\, 11
\]
e. \(|x + 10| \geq\, 3\)
\[
|x + 10| \geq\, 3 \implies x + 10 \geq\, 3 \text{ ou } x + 10 \leq\, -3
\]
Pour la première inégalité:
\[
x + 10 \geq\, 3 \implies x \geq\, -7
\]
Pour la deuxième inégalité:
\[
x + 10 \leq\, -3 \implies x \leq\, -13
\]
Donc les solutions sont:
\[
x \geq\, -7 \text{ ou } x \leq\, -13
\]
Exercice 21 : donner chaque intervalle sous forme d’une inégalité
{Correction de l’exercice :}
a. \[
[ \frac{5}{4} ; +\infty [ \Rightarrow x \geq\, \frac{5}{4}
\]
b. \[
]-\infty ; -4] \Rightarrow x \leq\, -4
\]
c. \[
]-\infty ; 0[ \Rightarrow x < 0
\]
d. \[
[-1 ; +\infty [ \Rightarrow x \geq\, -1
\]
Exercice 22 : ecrire sous forme d’un intervalle l’ensemble des réels x
a. \( 1 \leq\, x \leq\, 7 \)
En notation d’intervalle : \([1, 7]\)
b. \( 0 < x < 2 \)
En notation d’intervalle : \(]0, 2[\)
c. \( -1 < x \leq\, 4 \)
En notation d’intervalle : \( ]-1, 4] \)
d. \( 7 \leq\, x < 8 \)
En notation d’intervalle : \([7, 8[\)
Exercice 23 : donner ces ensembles sous forme d’intervalle
a. \( x > 4 \) : \((4, +\infty)\)
b. \( x \leq\, -1 \) : \((-\infty, -1]\)
c. \( x \geq\, \frac{7}{2} \) : \([\frac{7}{2}, +\infty)\)
d. \( x < \sqrt{3} \) : \((-\infty, \sqrt{3})\)
Exercice 24 : compléter les expressions
a. \(-3 \notin ]-3 ; 1]\)
b. \(5 \in [1 ; 5]\)
c. \(-\pi \notin [-3 ; -2]\)
d. \(-\frac{5}{6} \in [-2 ; 0]\)
Exercice 25 : déterminer les intersections d’intervalles
\[
I = [-2, 4], \quad J = [-5, 2[, \quad K = [-3, 5[
\]
\[
L = I \cap J = [-2, 2[
\]
L’intervalle \( L \) comprend les éléments de \( I \) et \( J \) en commun :
\[
L : [-2,2[
\]
\[
M = I \cup J = [-5, 4]
\]
L’intervalle \( M \) rassemble tous les éléments de \( I \) et \( J \) :
\[
M : [-5,4]
\]
\[
N = K \cap I = [-2, 4[
\]
L’intervalle \( N \) comprend les éléments de \( K \) et \( I \) en commun :
\[
N : [-2,4[
\]
\[
P = I \cap J \cap K = [-2, 2[
\]
L’intervalle \( P \) comprend les éléments communs aux trois intervalles \( I \), \( J \) et \( K \) :
\[
P : [-2,2[
\]
Exercice 26 : intersections d’intervalles
Déterminer :
\(] -11 ; 8 ] \cap [ -11 ; 1{,}5 ]\)
\[
= [ -11 ; 1{,}5 ]
\]
\(] -7 ; -3 [ \cap ] -2 ; -1 ]\)
\[
= \emptyset
\]
Déterminer :
\([ 15 ; 37 [ \cup ] -1 ; 17 [\)
\[
= ] -1 ; 37 [
\]
\(] -5 ; 2 ] \cup [ 3 ; 7 [ \)
\[
= ] -5 ; 2 ] \cup [ 3 ; 7 [
\]
Exercice 27 : union et intersection d’intervalles
Cas 1 :
\[ I = [-4; 2] \]
\[ J = [-1; 6] \]
\[ I \cap J = [-1; 2] \]
\[ I \cup J = [-4; 6] \]
Cas 2 :
\[ I = ]-\infty; 3] \]
\[ J = [-2; +\infty[ \]
\[ I \cap J = [-2; 3] \]
\[ I \cup J = ]-\infty; +\infty[ \]
Cas 3 :
\[ I = ]-\infty; 7] \]
\[ J = ]-\infty; 4] \]
\[ I \cap J = ]-\infty; 4] \]
\[ I \cup J = ]-\infty; 7] \]
Cas 4 :
\[ I = ]-\infty; -1] \]
\[ J = [-1; +\infty[ \]
\[ I \cap J = \{-1\} \]
\[ I \cup J = ]-\infty; +\infty[ \]
Cas 5 :
\[ I = [3; +\infty[ \]
\[ J = ]-5; +\infty[ \]
\[ I \cap J = [3; +\infty[ \]
\[ I \cup J = ]-5; +\infty[ \]
Exercice 28 : calculer ces valeurs absolues
a. \(|1 – \sqrt{2}|\)
\[
1 – \sqrt{2} \approx 1 – 1.414 \approx -0.414
\]
La valeur absolue de \(-0.414\) est \(0.414\).
\[
|1 – \sqrt{2}| = \sqrt{2} – 1
\]
b. \(|\sqrt{3} – \sqrt{2}|\)
\[
\sqrt{3} – \sqrt{2} \approx 1.732 – 1.414 = 0.318
\]
La valeur absolue de \(0.318\) est \(0.318\).
\[
|\sqrt{3} – \sqrt{2}| = \sqrt{3} – \sqrt{2}
\]
c. \(|\pi – 4|\)
\[
\pi \approx 3.141
\]
\[
3.141 – 4 = -0.859
\]
La valeur absolue de \(-0.859\) est \(0.859\).
\[
|\pi – 4| = 4 – \pi
\]
d. \(|\pi| – |\pi|\)
\[
|\pi| = \pi
\]
Donc,
\[
|\pi| – |\pi| = \pi – \pi = 0
\]
La valeur est donc \(0\).
Exercice 29 : somme, différence et produit de valeurs absolues
\[\]Correction de l’exercice:\[\]
{a.} \(|-5| \times | -6|\)
Calculons les valeurs absolues:
\[
|-5| = 5 \quad \text{et} \quad |-6| = 6
\]
Ensuite, multiplions-les:
\[
5 \times 6 = 30
\]
Donc, la réponse est \(30\).
\vspace{0.4cm}
{b.} \(|-5 + 3| + | -7 + 4|\)
Calculons d’abord les valeurs à l’intérieur des valeurs absolues:
\[
-5 + 3 = -2 \quad \text{et} \quad -7 + 4 = -3
\]
Ensuite, prenons les valeurs absolues:
\[
|-2| = 2 \quad \text{et} \quad |-3| = 3
\]
Additionnons ces résultats:
\[
2 + 3 = 5
\]
Donc, la réponse est \(5\).
\vspace{0.4cm}
{c.} \(|11 – 19| – | -14 + 1|\)
Calculons d’abord les valeurs à l’intérieur des valeurs absolues:
\[
11 – 19 = -8 \quad \text{et} \quad -14 + 1 = -13
\]
Ensuite, prenons les valeurs absolues:
\[
|-8| = 8 \quad \text{et} \quad |-13| = 13
\]
Soustrayons ces résultats:
\[
8 – 13 = -5
\]
Donc, la réponse est \(-5\).
Exercice 30 : axe gradué et valeur absolue
Pour l’exercice donné, répondons d’abord aux questions sur l’axe gradué.
### Premier axe gradué
Les points sont \(C = -3\), \(B = 1\), et \(A = 4\).
a. \(AB = |4 – 1| = 3\)
b. \(AC = |4 – (-3)| = |4 + 3| = 7\)
c. \(BC = |1 – (-3)| = |1 + 3| = 4\)
d. \(CC = |-3 – (-3)| = |-3 + 3| = 0\)
### Deuxième axe gradué
Les points sont \(C = -8\), \(B = -3\), et \(A = 1\).
a. \(AB = |1 – (-3)| = |1 + 3| = 4\)
b. \(AC = |1 – (-8)| = |1 + 8| = 9\)
c. \(BC = |-3 – (-8)| = |-3 + 8| = 5\)
### Questions Flash
a. \(d(3; 4) = |3 – 4| = 1\)
b. \(d(-3; 4) = |-3 – 4| = |-7| = 7\)
c. \(d(0; -5) = |0 – (-5)| = |0 + 5| = 5\)
d. \(d(-7; -6) = |-7 – (-6)| = |-7 + 6| = 1\)
e. \(d(-5; -5) = |-5 – (-5)| = |-5 + 5| = 0\)
f. \(d(-5; 2) = |-5 – 2| = |-7| = 7\)
Exercice 31 : inéquations et valeurs absolues
Pour chaque inéquation \(|x – a| \leq\, b\) ou \(|x – a| \geq\, b\), nous utilisons les propriétés des valeurs absolues:
– Pour \(|x – a| \leq\, b\): \( a – b \leq\, x \leq\, a + b \)
– Pour \(|x – a| \geq\, b\) : \( x \leq\, a – b \) ou \( x \geq\, a + b \)
####1.
a. \(|x – 1| \geq\, 2\)
\[\]x \leq\, 1 – 2 \text{ ou } x \geq\, 1 + 2 \[\]
\[\]x \leq\, -1 \text{ ou } x \geq\, 3 \[\]
b. \(|x + 3| \geq\, 4\)
\[\]x+3 \leq\, -4 \text{ ou } x+3 \geq\, 4 \[\]
\[\]x \leq\, -7 \text{ ou } x \geq\, 1 \[\]
c. \(|x – 2| \leq\, 5\)
\[\]-5 \leq\, x-2 \leq\, 5\[\]
\[\]-3 \leq\, x \leq\, 7\[\]
d. \(|x – 5| \leq\, 1\)
\[\]-1 \leq\, x- 5 \leq\, 1\[\]
\[\]4 \leq\, x \leq\, 6\[\]
####2.
a. \(|x – 4| \leq\, 7\)
\[\]-7 \leq\, x – 4 \leq\, 7\[\]
\[\]-3 \leq\, x \leq\, 11\[\]
b. \(|x – 1/2| \leq\, 3\)
\[\]-3 \leq\, x – \frac{1}{2} \leq\, 3\[\]
\[\]-2.5 \leq\, x \leq\, 3.5\[\]
c. \(|x + 1.5| + 2.5 < 6\)
\[\]|x + 1.5| < 3.5\[\]
\[\]-3.5 < x + 1.5 < 3.5\[\]
\[\]-5 < x < 2\[\]
d. \(|x – \pi| < 5\)
\[\] – 5 < x- \pi < 5 \[\]
\[\] \pi – 5 < x < \pi + 5 \[\]
####3.
a. \(|x-2| \geq\, \sqrt{3}\)
\[\]x-2 \leq\, – \sqrt{3} \text{ ou } x – 2 \geq\, \sqrt{3} \[\]
\[\] x \leq\, 2 – \sqrt{3} \text{ ou } x \geq\, 2 + \sqrt{3} \[\]
b. \(|x-\sqrt{3}| < \sqrt{3}\)
\[\] – \sqrt{3} < x – \sqrt{3} < \sqrt{3} \[\]
\[\] 0 < x < 2\sqrt{3} \[\]
####4.
a. \(|x +\sqrt{3}| < \sqrt{3}\)
\[\]- \sqrt{3} < x + \sqrt{3} < \sqrt{3}\[\]
\[\] – 2 \sqrt{3} < x < 0 \[\]
b. \(|x + \pi| < 5\)
\[\] – 5 < x + \pi < 5\[\]
\[\] – 5 – \pi < x < 5 – \pi \[\]
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