Exercice 3 : compléter les intervalles
1. \( x \in [7; 20] \) si et seulement si \( 7x \in [49; 140] \)
\[
x \in [7; 20] \iff 7x \in [49; 140]
\]
2. \( x \in [-1; 3] \) si et seulement si \( 7 – x \in [-1; 8] \)
\[
x \in [-1; 3] \iff 7 – x \in [4; 8]
\]
3. \( x \in [-5; 7] \) si et seulement si \( 2x + 3 \in [-7; 17] \)
\[
x \in [-5; 7] \iff 2x + 3 \in [-7; 17]
\]
4. \( x \in ( -\infty; -\frac{1}{2} ] \) si et seulement si \( -2x \in [1; +\infty [ \)
\[
x \in ( -\infty; -\frac{1}{2} ] \iff -2x \in [1; +\infty [
\]
5. \( x \in ( -\infty; 6 ] \) si et seulement si \( 3 – x \in [-\infty; 3] \)
\[
x \in ( -\infty; 6 ] \iff 3 – x \in [-3; 3]
\]
6. \( x \in [-1; 1] \) si et seulement si \( 7 + 2x \in [5; 9] \)
\[
x \in [-1; 1] \iff 7 + 2x \in [5; 9]
\]
Exercice 4 : représenter graphiquement un intervalle
Correction de l’exercice :
1. Représenter graphiquement cet ensemble.
L’ensemble des points \( M(x, y) \) tels que \( 1 < x \leq\, 4 \) et \( 5 \leq\, y \leq\, 6 \) peut être représenté sur un plan cartésien en traçant les droites \( x = 1 \), \( x = 4 \), \( y = 5 \) et \( y = 6 \), puis en hachurant la région délimitée par ces droites. Cette région est un rectangle ouvert sur la ligne \( x = 1 \).
2. Reprendre la question précédente avec l’ensemble des points \( N(x, y) \) tels que \( 1 \leq\, 2x + 1 \leq\, 4 \) et \( 5 < 2 – 5y \leq\, 6 \).
Pour trouver l’ensemble des points \( N(x, y) \), commençons par résoudre les inéquations données.
On obtient donc :
\[ -\frac{4}{5} \leq\, y < \frac{3}{5} \]
L’ensemble des points \( N(x, y) \) vérifie donc :
\[ 0 \leq\, x \leq\, \frac{3}{2} \quad \text{et} \quad -\frac{4}{5} \leq\, y < \frac{3}{5} \]
Pour le représenter graphiquement, on trace les droites \( x = 0 \), \( x = \frac{3}{2} \), \( y = -\frac{4}{5} \), et \( y = \frac{3}{5} \), puis on hachure la région délimitée par ces droites qui est un rectangle avec une bordure ouverte sur la ligne \( y = \frac{3}{5} \).
Exercice 5 : programme avec Scratch et Python
1. Que fait ce programme ?
Ce programme définit une fonction \texttt{DansIntervalle(a, b, x)} qui vérifie si une valeur \( x \) se trouve entre \( a \) et \( b \) de manière stricte, c’est-à-dire \( a < x < b \).
2. Modifier ce programme pour qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle \([a ; b [\) puis à l’intervalle ]a ; b ] et enfin à l’intervalle \([ a ; b ]\).
Modification pour \([a ; b [\):
« `python
def DansIntervalle(a, b, x):
if x >= a and x < b:
return True
else:
return False
« `
Modification pour \(]a ; b ] \):
« `python
def DansIntervalle(a, b, x):
if x > a and x <= b:
return True
else:
return False
« `
Modification pour \([ a ; b ]\):
« `python
def DansIntervalle(a, b, x):
if x >= a and x <= b:
return True
else:
return False
« `
Exercice 6 : que fait ce programme ?
1. Ce programme teste si \( a < x \). S’il s’agit d’une vérité, le programme retourne « VRAI » (ou `True` en Python), sinon il retourne « FAUX » (ou `False` en Python).
2. Pour modifier ce programme afin qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle \([a ; +\infty[\), puis à l’intervalle \( ]-\infty ; a]\) et enfin à l’intervalle \( ]-\infty ; a[\):
On peut introduire trois fonctions supplémentaires dans le programme Python pour vérifier les différentes conditions d’appartenance aux intervalles. Voici les modifications :
« `python
def DansIntervalleBisA(a, x):
if a <= x:
return True
else:
return False
def DansIntervalleBisB(a, x):
if x <= a:
return True
else:
return False
def DansIntervalleBisC(a, x):
if x < a:
return True
else:
return False
« `
Explications des modifications :
– \(a \leq\, x\) pour vérifier si \( x \) appartient à \([a ; +\infty[\).
– \(x \leq\, a\) pour vérifier si \( x \) appartient à \( ]-\infty ; a]\).
– \(x < a\) pour vérifier si \( x \) appartient à \( ]-\infty ; a[\).
En Scratch, ces fonctions modifiées pourraient ressembler à ceci :
Pour \([a ; +\infty[\) :
– Si \[ a \leq\, x \] alors dire « VRAI », sinon dire « FAUX »
Pour \( ]-\infty ; a]\) :
– Si \[ x \leq\, a \] alors dire « VRAI », sinon dire « FAUX »
Pour \( ]-\infty ; a[\) :
– Si \[ x < a \] alors dire « VRAI », sinon dire « FAUX »
Exercice 7 : ecrire sous forme d’intervalle
1. \( x > 3 \) ou \( x \leq\, 0 \)
Les intervalles sont \((3, +\infty)\) ou \((-\infty, 0]\).
Donc, l’ensemble auquel \(x\) appartient est \((-\infty, 0] \cup (3, +\infty)\).
2. \( x – 6 > 0 \) ou \( 5x \leq\, 5 \)
Simplifions les inéquations:
\[
x – 6 > 0 \implies x > 6
\]
\[
5x \leq\, 5 \implies x \leq\, 1
\]
Les intervalles sont \((6, +\infty)\) ou \((-\infty, 1]\).
Donc, l’ensemble auquel \(x\) appartient est \((-\infty, 1] \cup (6, +\infty)\).
3. \( x \leq\, 2 \) ou \(-4x < -20 \)
Simplifions les inéquations:
\[
x \leq\, 2
\]
\[
-4x < -20 \implies x > 5
\]
Les intervalles sont \((-\infty, 2]\) ou \((5, +\infty)\).
Donc, l’ensemble auquel \(x\) appartient est \((-\infty, 2] \cup (5, +\infty)\).
4. \( x \geq\, 3 \) ou \( 3x \geq\, 12 \)
Simplifions les inéquations:
\[
x \geq\, 3
\]
\[
3x \geq\, 12 \implies x \geq\, 4
\]
L’ensemble auquel \(x\) appartient est donc \( [3, +\infty) \).
5. \( 7x – 4 \geq\, 3 \) ou \( 1 – x > 0 \)
Simplifions les inéquations:
\[
7x – 4 \geq\, 3 \implies 7x \geq\, 7 \implies x \geq\, 1
\]
\[
1 – x > 0 \implies x < 1
\]
Les intervalles sont \([1, +\infty)\) ou \((-\infty, 1)\).
Donc, l’ensemble auquel \(x\) appartient est \((-\infty, 1) \cup [1, +\infty)\), ce qui correspond à \(\mathbb{R}\) (tout l’ensemble des réels).
6. \( 1 – x \leq\, -3 \) ou \( 2x + 1 \leq\, 7 \)
Simplifions les inéquations:
\[
1 – x \leq\, -3 \implies -x \leq\, -4 \implies x \geq\, 4
\]
\[
2x + 1 \leq\, 7 \implies 2x \leq\, 6 \implies x \leq\, 3
\]
Les intervalles sont \([4, +\infty)\) ou \((-\infty, 3]\).
Donc, l’ensemble auquel \(x\) appartient est \((-\infty, 3] \cup [4, +\infty)\).
Écrire cette condition sous forme d’intersection:
\[ \frac{1}{3} \leq\, a < 1 \]
Ensemble des réels \( a \):
\[ [\frac{1}{3}, 1) \]
4. \[3(2 – a) < 3\] et \[a – 1 \geq\, 2\]
Simplifions les conditions:
\(3(2 – a) < 3\)
\[ 6 – 3a < 3 \Rightarrow -3a < -3 \Rightarrow a > 1 \]
\(a – 1 \geq\, 2\)
\[ a \geq\, 3 \]
Écrire cette condition sous forme d’intersection:
\[ a > 1 \text{ et } a \geq\, 3 \Rightarrow a \geq\, 3 \]
Ensemble des réels \( a \):
\[ [3, +\infty) \]
Exercice 9 : quels nombres sont égaux à leur valeur absolue ?
Parmi les nombres suivants, lesquels sont égaux à leur valeur absolue ?
1. \(\displaystyle 2\)
La valeur absolue de 2 est \(|2| = 2\). Donc, ce nombre est égal à sa valeur absolue.
2. \(\displaystyle 3 – \frac{8}{3}\)
\[
3 – \frac{8}{3} = \frac{9}{3} – \frac{8}{3} = \frac{1}{3}
\]
La valeur absolue de \(\frac{1}{3}\) est \(|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}\). Donc, ce nombre est égal à sa valeur absolue.
3. \(\displaystyle 25 – 9\pi\)
Puisque \(25 – 9\pi\) est un nombre négatif (\(\pi \approx 3.14\) donc \(9\pi \approx 28.26\) et \(25 – 28.26 < 0\)):
\[
|25 – 9\pi| = -(25 – 9\pi) = 9\pi – 25
\]
Donc, ce nombre n’est pas égal à sa valeur absolue.
4. \(\displaystyle \frac{1}{2} – \frac{1}{3}\)
\[
\frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{3}{6} – \frac{2}{6} = \frac{1}{6}
\]
La valeur absolue de \(\frac{1}{6}\) est \(|\frac{1}{6}| = \frac{1}{6}\). Donc, ce nombre est égal à sa valeur absolue.
5. \(\displaystyle \sqrt{2} – \sqrt{5}\)
Puisque \(\sqrt{2} \approx 1.41\) et \(\sqrt{5} \approx 2.24\), donc \(\sqrt{2} – \sqrt{5}\) est un nombre négatif:
\[
|\sqrt{2} – \sqrt{5}| = -(\sqrt{2} – \sqrt{5}) = \sqrt{5} – \sqrt{2}
\]
Donc, ce nombre n’est pas égal à sa valeur absolue.
6. \(\displaystyle -2 + 9 \times (-3)\)
\[
-2 + 9 \times (-3) = -2 + (-27) = -29
\]
La valeur absolue de \(-29\) est \(|-29| = 29\). Donc, ce nombre n’est pas égal à sa valeur absolue.
Les nombres qui sont égaux à leur valeur absolue sont les numéros: \(1\), \(2\) et \(4\).
Vérifions si \(x = 2\) satisfait cette inégalité :
\[
|2 – 3| = |-1| = 1 \leq\, 2
\]
L’inégalité \(|x – 3| \leq\, 2\) est donc vérifiée par le nombre \(2\).
2. \(|x – 3| < 1\)
Vérifions si \(x = 2\) satisfait cette inégalité :
\[
|2 – 3| = |-1| = 1 < 1
\]
L’inégalité \(|x – 3| < 1\) n’est pas vérifiée par le nombre \(2\).
3. \(|x + 3| \leq\, 2\)
Vérifions si \(x = 2\) satisfait cette inégalité :
\[
|2 + 3| = |5| = 5 \leq\, 2
\]
L’inégalité \(|x + 3| \leq\, 2\) n’est pas vérifiée par le nombre \(2\).
4. \(|x – 2| < 1\)
Vérifions si \(x = 2\) satisfait cette inégalité :
\[
|2 – 2| = |0| = 0 < 1
\]
L’inégalité \(|x – 2| < 1\) est donc vérifiée par le nombre \(2\).
Exercice 14 : résoudre des équations
\[|x| = 8\]
Les solutions possibles sont :
\[ x = 8 \quad \text{ou} \quad x = -8 \]
\[|x| = -5\]
Il n’y a pas de solutions car la valeur absolue d’un nombre ne peut jamais être négative.
\[|x – 1| = 3\]
Les solutions possibles sont :
\[ x – 1 = 3 \quad \text{ou} \quad x – 1 = -3 \]
En résolvant chaque équation, on obtient :
\[ x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -2 \]
\[|2x + 1| = 4\]
Les solutions possibles sont :
\[ 2x + 1 = 4 \quad \text{ou} \quad 2x + 1 = -4 \]
En résolvant chaque équation, on obtient :
\[ 2x = 3 \quad \text{donc} \quad x = \frac{3}{2} \]
\[ 2x = -5 \quad \text{donc} \quad x = -\frac{5}{2} \]
Par conséquent, les solutions des équations sont :
\[x = 8 \quad \text{ou} \quad x = -8\]
Pas de solution
\[x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -2\]
\[x = \frac{3}{2} \quad \text{ou} \quad x = -\frac{5}{2}\]
Exercice 15 : propositions vraies ou fausses
1. Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( 1 + x^2 = |1 + x^2| \).
Cette proposition est vraie. En effet, pour tout réel \( x \), \( x^2 \) est toujours positif ou nul, donc \( 1 + x^2 \) est toujours positif ou nul. Par conséquent, \( |1 + x^2| = 1 + x^2 \).
2. Pour tout \( k \in \mathbb{Z} \), \( |k| = -k \).
Cette proposition est fausse. En effet, \( |k| \) représente la valeur absolue de \( k \), qui est toujours positive ou nulle. Par contre, \(-k\) est positif si \( k \) est négatif, et négatif si \( k \) est positif. Par exemple, si \( k = 1 \), \( |1| = 1 \) et \(-1 = -1 \). Il est clair que \( |1| \neq -1 \).
3. Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( |(-x)^2| = -x^2 \).
Cette proposition est fausse. En effet, \( |(-x)^2| = |x^2| = x^2 \) car \( x^2 \) est toujours positif ou nul. Par contre, \(-x^2 \) est négatif ou nul pour tout \( x \neq 0 \). Il est clair que \( x^2 \neq -x^2 \) pour tout \( x \neq 0 \).
4. Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( |n^2 – n| = n^2 – n \).
Cette proposition est vraie. En effet, \( n \) étant un entier naturel, \( n^2 \) et \( n \) sont toujours positifs ou nuls. Par conséquent, \( n^2 – n \) est toujours positif ou nul pour tout \( n \geq\, 1 \). Pour \( n = 0 \), \( n^2 – n = 0 \), ce qui est aussi vrai. Donc \( |n^2 – n| = n^2 – n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
Exercice 16 : quel est le plus grand intervalle ?
\(|x – 2| \leq\, 3\)
\[
|x – 2| \leq\, 3 \quad \Rightarrow \quad -3 \leq\, x – 2 \leq\, 3
\]
En ajoutant 2 à chaque membre de l’inégalité :
\[
-3 + 2 \leq\, x – 2 + 2 \leq\, 3 + 2
\]
Nous obtenons :
\[
-1 \leq\, x \leq\, 5
\]
Donc, l’intervalle est \([-1, 5]\).
\(x \leq\, 15\)
\[
x \leq\, 15
\]
L’intervalle est \((-\infty, 15]\).
\(0 \leq\, x \leq\, 2\)
\[
0 \leq\, x \leq\, 2
\]
L’intervalle est \([0, 2]\).
Exercice 17 : donner un encadrement
\[\frac{1}{7} \approx 0.142857 \Rightarrow\] À \[10^{-3}\] près, \[\frac{1}{7}\] est compris entre \[0.142\] et \[0.143\].
\[0.7586 \Rightarrow\] À \[10^{-3}\] près, \[0.7586\] est compris entre \[0.758\] et \[0.759\].
\[\sqrt{17} \approx 4.1231056256 \Rightarrow\] À \[10^{-3}\] près, \[\sqrt{17}\] est compris entre \[4.123\] et \[4.124\].
\[2.356 \times 10^{-3} = 0.002356 \Rightarrow\] À \[10^{-3}\] près, \[0.002356\] est compris entre \[0.002\] et \[0.003\].
Exercice 18 : problème de la boîte de nuit
1. \[\]Dans quel intervalle d’âge doit se situer une personne qui veut pouvoir rentrer dans les deux boîtes de nuit ?\[\]
Pour pouvoir rentrer à la boîte de nuit le Macumba, il faut avoir strictement plus de \(32\) ans, donc \( \text{âge} > 32 \).
Pour pouvoir entrer dans la boîte de nuit la Playa, il faut avoir au plus \(40\) ans, donc \( \text{âge} \leq\, 40 \).
Pour pouvoir entrer dans les deux boîtes de nuit, il faut satisfaire les deux conditions simultanément. L’intervalle d’âge correspondant est donc :
\[ 32 < \text{âge} \leq\, 40 \]
2. \[\]Dans quel ensemble doit se situer l’âge d’une personne qui veut pouvoir entrer dans l’une des deux boîtes de nuit ?\[\]
Pour entrer dans l’une des deux boîtes de nuit, il suffit que l’une des conditions soit satisfaite.
Soit l’âge doit être strictement supérieur à \(32\) ans (condition pour le Macumba), soit l’âge doit être au plus \(40\) ans (condition pour la Playa).
Il faut donc faire l’union des deux ensembles d’âges :
\[ (\text{âge} > 32) \cup (\text{âge} \leq\, 40) \]
Cette union couvre l’ensemble des âges possibles sauf l’intervalle qui ne satisfait aucune des conditions, c’est-à-dire les âges inférieurs ou égaux à \(32\).
Ainsi, tous les âges supérieurs à \(32\) sont admissibles, y compris ceux au-dessus de \(40\). L’ensemble des âges possibles peut donc être représenté par :
\[ \text{âge} \in (32, \infty) \]
Exercice 19 : problème de l’Insee
Les revenus du foyer de M. et Mme Martin s’élèvent à :
\[2\,731 \,€ + 2\,732 \,€ = 5\,463 \,€.\]
L’intervalle donné pour appartenir à la classe moyenne est \([3\,253 \,€ ; 5\,609 \,€]\).
Ainsi, les revenus de la famille Martin se situent bien dans l’intervalle de la classe moyenne selon l’INSEE. Par conséquent, la famille appartient à la classe moyenne.
Exercice 20 : résoudre dans R les équations et inéquations
a. \(|-3x| = 7\)
