Intervalles et valeur absolue : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : compléter le tableau suivant
\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0AInegalite\,%26\,Intervalle\,%26\,Representation\,graphique\,\\%0D%0A\hline%0D%0A2\,\leq\,\,x\,\leq\,\,4\,%26\,x\,\in\,%5B2\,%3B\,4%5D\,%26\,\begin{array}{l}%0D%0A---o---\,\%2C\,\bullet\,\%2C\,---o---\,\%2C\,\bullet\,\%2C\,---\,\%2C\,\bullet\,\%2C\,---o---\,\%2C\,\\%0D%0A\end{array}\,\\%0D%0A\hline%0D%0A0\,%3C\,x\,\leq\,\,5\,%26\,x\,\in\,\%2C\,%5D0\,%3B\,5%5D\,%26\,\begin{array}{l}%0D%0A-----o---o---o---o---o---o---o---\,\%3B\,\bullet\,\%3B\,---o---\\%0D%0A\end{array}\,\\%0D%0A\hline%0D%0A3\,\leq\,\,x\,%3C\,7\,%26\,x\,\in\,%5B3\,%3B\,7%5B\,%26\,\begin{array}{l}%0D%0A---o---o---o---o---o---\,\%3B\,\bullet\,\%3B\,---o---o---\\%0D%0A\end{array}\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ax\,\leq\,\,4\,%26\,x\,\in\,\%2C\,%5D-\infty\,%3B\,4%5D\,%26\,\begin{array}{l}%0D%0A\bullet\,---o---o---o---o---o---o---o---\bullet\,\\%0D%0A\end{array}\,\\%0D%0A\hline%0D%0A3\,%3C\,x\,%26\,x\,\in\,%5B3\,%3B\,%2B\infty%5B\,%26\,\begin{array}{l}%0D%0A\bullet\,\%3B\,---o---o---o---o---o---o---o---o---o\\%0D%0A\end{array}\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

Exercice 2 : compléter avec appartient ou n’appartient pas
1. 2\,\in\,%5D1\,%3B\,3%5B
2. 0\,\in\,%5B-1\,%3B\,2%5D
3. \frac{1}{3}\,\in\,%5B0\,%3B\,3%5D
4. 2\,\notin\,%5D-2\,%3B\,2%5B
5. \sqrt{2}\,\in\,%5B-3\,%3B\,1%5D
6. 0\,\notin\,%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B
7. -100\,\in\,%5D-\infty\,%3B\,1%5B
8. \frac{1}{10}\,\in\,%5B0%2C01\,%3B\,0%2C2%5B

Exercice 3 : compléter les intervalles
1. x\,\in\,%5B7%3B\,20%5D si et seulement si 7x\,\in\,%5B49%3B\,140%5D
x\,\in\,%5B7%3B\,20%5D\,\iff\,7x\,\in\,%5B49%3B\,140%5D

2. x\,\in\,%5B-1%3B\,3%5D si et seulement si 7\,-\,x\,\in\,%5B-1%3B\,8%5D
x\,\in\,%5B-1%3B\,3%5D\,\iff\,7\,-\,x\,\in\,%5B4%3B\,8%5D

3. x\,\in\,%5B-5%3B\,7%5D si et seulement si 2x\,%2B\,3\,\in\,%5B-7%3B\,17%5D
x\,\in\,%5B-5%3B\,7%5D\,\iff\,2x\,%2B\,3\,\in\,%5B-7%3B\,17%5D

4. x\,\in\,(\,-\infty%3B\,-\frac{1}{2}\,%5D si et seulement si -2x\,\in\,%5B1%3B\,%2B\infty\,%5B
x\,\in\,(\,-\infty%3B\,-\frac{1}{2}\,%5D\,\iff\,-2x\,\in\,%5B1%3B\,%2B\infty\,%5B

5. x\,\in\,(\,-\infty%3B\,6\,%5D si et seulement si 3\,-\,x\,\in\,%5B-\infty%3B\,3%5D
x\,\in\,(\,-\infty%3B\,6\,%5D\,\iff\,3\,-\,x\,\in\,%5B-3%3B\,3%5D

6. x\,\in\,%5B-1%3B\,1%5D si et seulement si 7\,%2B\,2x\,\in\,%5B5%3B\,9%5D
x\,\in\,%5B-1%3B\,1%5D\,\iff\,7\,%2B\,2x\,\in\,%5B5%3B\,9%5D

Exercice 4 : représenter graphiquement un intervalle
Correction de l’exercice :

1. Représenter graphiquement cet ensemble.

L’ensemble des points M(x%2C\,y) tels que 1\,%3C\,x\,\leq\,\,4 et 5\,\leq\,\,y\,\leq\,\,6 peut être représenté sur un plan cartésien en traçant les droites x\,=\,1, x\,=\,4, y\,=\,5 et y\,=\,6, puis en hachurant la région délimitée par ces droites. Cette région est un rectangle ouvert sur la ligne x\,=\,1.

2. Reprendre la question précédente avec l’ensemble des points N(x%2C\,y) tels que 1\,\leq\,\,2x\,%2B\,1\,\leq\,\,4 et 5\,%3C\,2\,-\,5y\,\leq\,\,6.

Pour trouver l’ensemble des points N(x%2C\,y), commençons par résoudre les inéquations données.

Pour 1\,\leq\,\,2x\,%2B\,1\,\leq\,\,4:

1\,\leq\,\,2x\,%2B\,1 :
0\,\leq\,\,2x
0\,\leq\,\,x

2x\,%2B\,1\,\leq\,\,4 :
2x\,\leq\,\,3
x\,\leq\,\,\frac{3}{2}

On obtient donc :
0\,\leq\,\,x\,\leq\,\,\frac{3}{2}

Pour 5\,%3C\,2\,-\,5y\,\leq\,\,6:

5\,%3C\,2\,-\,5y :
-3\,%3C\,-5y
\frac{3}{5}\,>\,y

2\,-\,5y\,\leq\,\,6 :
-5y\,\leq\,\,4
y\,\geq\,\,-\frac{4}{5}

On obtient donc :
-\frac{4}{5}\,\leq\,\,y\,%3C\,\frac{3}{5}

L’ensemble des points N(x%2C\,y) vérifie donc :
0\,\leq\,\,x\,\leq\,\,\frac{3}{2}\,\quad\,et\,\quad\,-\frac{4}{5}\,\leq\,\,y\,%3C\,\frac{3}{5}

Pour le représenter graphiquement, on trace les droites x\,=\,0, x\,=\,\frac{3}{2}, y\,=\,-\frac{4}{5}, et y\,=\,\frac{3}{5}, puis on hachure la région délimitée par ces droites qui est un rectangle avec une bordure ouverte sur la ligne y\,=\,\frac{3}{5}.

Exercice 5 : programme avec Scratch et Python
1. Que fait ce programme ?

Ce programme définit une fonction \texttt{DansIntervalle(a, b, x)} qui vérifie si une valeur x se trouve entre a et b de manière stricte, c’est-à-dire a\,%3C\,x\,%3C\,b.

2. Modifier ce programme pour qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle %5Ba\,%3B\,b\,%5B puis à l’intervalle ]a ; b ] et enfin à l’intervalle %5B\,a\,%3B\,b\,%5D.

Modification pour %5Ba\,%3B\,b\,%5B:

« `python
def DansIntervalle(a, b, x):
if x >= a and x < b:
return True
else:
return False
« `

Modification pour %5Da\,%3B\,b\,%5D:

« `python
def DansIntervalle(a, b, x):
if x > a and x <= b:
return True
else:
return False
« `

Modification pour %5B\,a\,%3B\,b\,%5D:

« `python
def DansIntervalle(a, b, x):
if x >= a and x <= b:
return True
else:
return False
« `

Exercice 6 : que fait ce programme ?
1. Ce programme teste si a\,%3C\,x. S’il s’agit d’une vérité, le programme retourne « VRAI » (ou `True` en Python), sinon il retourne « FAUX » (ou `False` en Python).

2. Pour modifier ce programme afin qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle %5Ba\,%3B\,%2B\infty%5B, puis à l’intervalle %5D-\infty\,%3B\,a%5D et enfin à l’intervalle %5D-\infty\,%3B\,a%5B:

On peut introduire trois fonctions supplémentaires dans le programme Python pour vérifier les différentes conditions d’appartenance aux intervalles. Voici les modifications :

« `python
def DansIntervalleBisA(a, x):
if a <= x:
return True
else:
return False

def DansIntervalleBisB(a, x):
if x <= a:
return True
else:
return False

def DansIntervalleBisC(a, x):
if x < a:
return True
else:
return False
« `

Explications des modifications :
a\,\leq\,\,x pour vérifier si x appartient à %5Ba\,%3B\,%2B\infty%5B.
x\,\leq\,\,a pour vérifier si x appartient à %5D-\infty\,%3B\,a%5D.
x\,%3C\,a pour vérifier si x appartient à %5D-\infty\,%3B\,a%5B.

En Scratch, ces fonctions modifiées pourraient ressembler à ceci :

Pour %5Ba\,%3B\,%2B\infty%5B :
– Si a\,\leq\,\,x alors dire « VRAI », sinon dire « FAUX »

Pour %5D-\infty\,%3B\,a%5D :
– Si x\,\leq\,\,a alors dire « VRAI », sinon dire « FAUX »

Pour %5D-\infty\,%3B\,a%5B :
– Si x\,%3C\,a alors dire « VRAI », sinon dire « FAUX »

Exercice 7 : ecrire sous forme d’intervalle
1. x\,>\,3%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>\,ou\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%2520%255Cleq%25200%22\,alt=%22x\,\leq\,\,0

Les intervalles sont (3%2C\,%2B\infty) ou (-\infty%2C\,0%5D.
Donc, l’ensemble auquel x appartient est (-\infty%2C\,0%5D\,\cup\,(3%2C\,%2B\infty).

2. x\,-\,6\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>\,ou\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F5x%2520%255Cleq%25205%22\,alt=%225x\,\leq\,\,5

Simplifions les inéquations:
x\,-\,6\,>\,0\,\implies\,x\,>\,6

Les intervalles sont (6%2C\,%2B\infty) ou (-\infty%2C\,1%5D.
Donc, l’ensemble auquel x appartient est (-\infty%2C\,1%5D\,\cup\,(6%2C\,%2B\infty).

3. x\,\leq\,\,2 ou -4x\,%3C\,-20

Simplifions les inéquations:
x\,\leq\,\,2
-4x\,%3C\,-20\,\implies\,x\,>\,5 ou (5%2C\,%2B\infty).
Donc, l’ensemble auquel x appartient est (-\infty%2C\,2%5D\,\cup\,(5%2C\,%2B\infty).

4. x\,\geq\,\,3 ou 3x\,\geq\,\,12

Simplifions les inéquations:
x\,\geq\,\,3
3x\,\geq\,\,12\,\implies\,x\,\geq\,\,4

L’ensemble auquel x appartient est donc %5B3%2C\,%2B\infty).

5. 7x\,-\,4\,\geq\,\,3 ou 1\,-\,x\,>\,0
1\,-\,x\,>\,0\,\implies\,x\,%3C\,1

Les intervalles sont %5B1%2C\,%2B\infty) ou (-\infty%2C\,1).
Donc, l’ensemble auquel x appartient est (-\infty%2C\,1)\,\cup\,%5B1%2C\,%2B\infty), ce qui correspond à \mathbb{R} (tout l’ensemble des réels).

6. 1\,-\,x\,\leq\,\,-3 ou 2x\,%2B\,1\,\leq\,\,7

Simplifions les inéquations:
1\,-\,x\,\leq\,\,-3\,\implies\,-x\,\leq\,\,-4\,\implies\,x\,\geq\,\,4
2x\,%2B\,1\,\leq\,\,7\,\implies\,2x\,\leq\,\,6\,\implies\,x\,\leq\,\,3

Les intervalles sont %5B4%2C\,%2B\infty) ou (-\infty%2C\,3%5D.
Donc, l’ensemble auquel x appartient est (-\infty%2C\,3%5D\,\cup\,%5B4%2C\,%2B\infty).

Exercice 8 : intersection d’intervalles
1. $a < 3$ et $a \geq\, -6$

Écrire cette condition sous forme d’intersection:
-6\,\leq\,\,a\,%3C\,3

Ensemble des réels a:
%5B-6%2C\,3)

2. $a \geq\, -5$ et $-a \geq\, -7$

Simplifions la deuxième condition:
-a\,\geq\,\,-7\,\Rightarrow\,a\,\leq\,\,7

Écrire cette condition sous forme d’intersection:
-5\,\leq\,\,a\,\leq\,\,7

Ensemble des réels a:
%5B-5%2C\,7%5D

3. $2a + 1 < 3$ et $3a – 1 \geq\, 0$

Simplifions les conditions:

2a\,%2B\,1\,%3C\,3
2a\,%3C\,2\,\Rightarrow\,a\,%3C\,1

3a\,-\,1\,\geq\,\,0
3a\,\geq\,\,1\,\Rightarrow\,a\,\geq\,\,\frac{1}{3}

Écrire cette condition sous forme d’intersection:
\frac{1}{3}\,\leq\,\,a\,%3C\,1

Ensemble des réels a:
%5B\frac{1}{3}%2C\,1)

4. $3(2 – a) < 3$ et $a – 1 \geq\, 2$

Simplifions les conditions:

3(2\,-\,a)\,%3C\,3
6\,-\,3a\,%3C\,3\,\Rightarrow\,-3a\,%3C\,-3\,\Rightarrow\,a\,>\,1
a\,\geq\,\,3

Écrire cette condition sous forme d’intersection:
a\,>\,1\,\,et\,\,a\,\geq\,\,3\,\Rightarrow\,a\,\geq\,\,3:
%5B3%2C\,%2B\infty)

Exercice 9 : quels nombres sont égaux à leur valeur absolue ?
Parmi les nombres suivants, lesquels sont égaux à leur valeur absolue ?

1. \displaystyle\,2

La valeur absolue de 2 est %7C2%7C\,=\,2. Donc, ce nombre est égal à sa valeur absolue.

2. \displaystyle\,3\,-\,\frac{8}{3}

3\,-\,\frac{8}{3}\,=\,\frac{9}{3}\,-\,\frac{8}{3}\,=\,\frac{1}{3}
La valeur absolue de \frac{1}{3} est %7C\frac{1}{3}%7C\,=\,\frac{1}{3}. Donc, ce nombre est égal à sa valeur absolue.

3. \displaystyle\,25\,-\,9\pi

Puisque 25\,-\,9\pi est un nombre négatif (\pi\,\approx\,3.14 donc 9\pi\,\approx\,28.26 et 25\,-\,28.26\,%3C\,0):
%7C25\,-\,9\pi%7C\,=\,-(25\,-\,9\pi)\,=\,9\pi\,-\,25
Donc, ce nombre n’est pas égal à sa valeur absolue.

4. \displaystyle\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{3}

\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{3}\,=\,\frac{3}{6}\,-\,\frac{2}{6}\,=\,\frac{1}{6}
La valeur absolue de \frac{1}{6} est %7C\frac{1}{6}%7C\,=\,\frac{1}{6}. Donc, ce nombre est égal à sa valeur absolue.

5. \displaystyle\,\sqrt{2}\,-\,\sqrt{5}

Puisque \sqrt{2}\,\approx\,1.41 et \sqrt{5}\,\approx\,2.24, donc \sqrt{2}\,-\,\sqrt{5} est un nombre négatif:
%7C\sqrt{2}\,-\,\sqrt{5}%7C\,=\,-(\sqrt{2}\,-\,\sqrt{5})\,=\,\sqrt{5}\,-\,\sqrt{2}
Donc, ce nombre n’est pas égal à sa valeur absolue.

6. \displaystyle\,-2\,%2B\,9\,\times  \,(-3)

-2\,%2B\,9\,\times  \,(-3)\,=\,-2\,%2B\,(-27)\,=\,-29
La valeur absolue de -29 est %7C-29%7C\,=\,29. Donc, ce nombre n’est pas égal à sa valeur absolue.

Les nombres qui sont égaux à leur valeur absolue sont les numéros: 1, 2 et 4.

Exercice 10 : donner la valeur absolue
1. %7C-5%7C\,=\,5

2. %7C-\frac{2}{3}%7C\,=\,\frac{2}{3}

3. %7C-\sqrt{289}%7C\,=\,\sqrt{289}\,=\,17

4. 3\,-\,\frac{2}{3}\,\times  \,(6-4)
3\,-\,\frac{2}{3}\,\times  \,2
3\,-\,\frac{4}{3}
3\,=\,\frac{9}{3}
\frac{9}{3}\,-\,\frac{4}{3}\,=\,\frac{5}{3}
%7C\frac{5}{3}%7C\,=\,\frac{5}{3}

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