Exercice 1 : compléter le tableau suivant
Exercice 2 : compléter avec appartient ou n’appartient pas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Exercice 3 : compléter les intervalles
1. si et seulement si
2. si et seulement si
3. si et seulement si
4. si et seulement si
5. si et seulement si
6. si et seulement si
Exercice 4 : représenter graphiquement un intervalle
Correction de l’exercice :
1. Représenter graphiquement cet ensemble.
L’ensemble des points tels que
et
peut être représenté sur un plan cartésien en traçant les droites
,
,
et
, puis en hachurant la région délimitée par ces droites. Cette région est un rectangle ouvert sur la ligne
.
2. Reprendre la question précédente avec l’ensemble des points tels que
et
.
Pour trouver l’ensemble des points , commençons par résoudre les inéquations données.
Pour :
:
:
On obtient donc :
Pour :
:
:
On obtient donc :
L’ensemble des points vérifie donc :
Pour le représenter graphiquement, on trace les droites ,
,
, et
, puis on hachure la région délimitée par ces droites qui est un rectangle avec une bordure ouverte sur la ligne
.
Exercice 5 : programme avec Scratch et Python
1. Que fait ce programme ?
Ce programme définit une fonction \texttt{DansIntervalle(a, b, x)} qui vérifie si une valeur se trouve entre
et
de manière stricte, c’est-à-dire
.
2. Modifier ce programme pour qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle puis à l’intervalle ]a ; b ] et enfin à l’intervalle
.
Modification pour :
« `python
def DansIntervalle(a, b, x):
if x >= a and x < b:
return True
else:
return False
« `
Modification pour :
« `python
def DansIntervalle(a, b, x):
if x > a and x <= b:
return True
else:
return False
« `
Modification pour :
« `python
def DansIntervalle(a, b, x):
if x >= a and x <= b:
return True
else:
return False
« `
Exercice 6 : que fait ce programme ?
1. Ce programme teste si . S’il s’agit d’une vérité, le programme retourne « VRAI » (ou `True` en Python), sinon il retourne « FAUX » (ou `False` en Python).
2. Pour modifier ce programme afin qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle , puis à l’intervalle
et enfin à l’intervalle
:
On peut introduire trois fonctions supplémentaires dans le programme Python pour vérifier les différentes conditions d’appartenance aux intervalles. Voici les modifications :
« `python
def DansIntervalleBisA(a, x):
if a <= x:
return True
else:
return False
def DansIntervalleBisB(a, x):
if x <= a:
return True
else:
return False
def DansIntervalleBisC(a, x):
if x < a:
return True
else:
return False
« `
Explications des modifications :
– pour vérifier si
appartient à
.
– pour vérifier si
appartient à
.
– pour vérifier si
appartient à
.
En Scratch, ces fonctions modifiées pourraient ressembler à ceci :
Pour :
– Si alors dire « VRAI », sinon dire « FAUX »
Pour :
– Si alors dire « VRAI », sinon dire « FAUX »
Pour :
– Si alors dire « VRAI », sinon dire « FAUX »
Exercice 7 : ecrire sous forme d’intervalle
1.
Les intervalles sont ou
.
Donc, l’ensemble auquel appartient est
.
2.
Simplifions les inéquations:
Les intervalles sont ou
.
Donc, l’ensemble auquel appartient est
.
3. ou
Simplifions les inéquations:
ou
.
Donc, l’ensemble auquel appartient est
.
4. ou
Simplifions les inéquations:
L’ensemble auquel appartient est donc
.
5. ou
Les intervalles sont ou
.
Donc, l’ensemble auquel appartient est
, ce qui correspond à
(tout l’ensemble des réels).
6. ou
Simplifions les inéquations:
Les intervalles sont ou
.
Donc, l’ensemble auquel appartient est
.
Exercice 8 : intersection d’intervalles
1. $a < 3$ et $a \geq\, -6$
Écrire cette condition sous forme d’intersection:
Ensemble des réels :
2. $a \geq\, -5$ et $-a \geq\, -7$
Simplifions la deuxième condition:
Écrire cette condition sous forme d’intersection:
Ensemble des réels :
3. $2a + 1 < 3$ et $3a – 1 \geq\, 0$
Simplifions les conditions:
Écrire cette condition sous forme d’intersection:
Ensemble des réels :
4. $3(2 – a) < 3$ et $a – 1 \geq\, 2$
Simplifions les conditions:
Écrire cette condition sous forme d’intersection:
:
Exercice 9 : quels nombres sont égaux à leur valeur absolue ?
Parmi les nombres suivants, lesquels sont égaux à leur valeur absolue ?
1.
La valeur absolue de 2 est . Donc, ce nombre est égal à sa valeur absolue.
2.
La valeur absolue de est
. Donc, ce nombre est égal à sa valeur absolue.
3.
Puisque est un nombre négatif (
donc
et
):
Donc, ce nombre n’est pas égal à sa valeur absolue.
4.
La valeur absolue de est
. Donc, ce nombre est égal à sa valeur absolue.
5.
Puisque et
, donc
est un nombre négatif:
Donc, ce nombre n’est pas égal à sa valeur absolue.
6.
La valeur absolue de est
. Donc, ce nombre n’est pas égal à sa valeur absolue.
Les nombres qui sont égaux à leur valeur absolue sont les numéros: ,
et
.
Exercice 10 : donner la valeur absolue
1.
2.
3.
4.
Exercice 11 : calculer les valeurs absolues
Calculons l’expression à l’intérieur de la valeur absolue :
Ensuite,
La valeur absolue de est :
Calculons l’expression à l’intérieur de la valeur absolue :
La valeur absolue de est :
Calculons l’expression à l’intérieur de la valeur absolue :
Ensuite,
La valeur absolue de est :
Calculons l’expression à l’intérieur de la valeur absolue :
Ensuite,
La valeur absolue de est :
Exercice 12 : donner la distance entre des nombres réels
La distance entre et
est :
La distance entre et
est :
La distance entre et
est :
La distance entre et
est :
Exercice 13 : inégalités et valeurs absolues
1.
Vérifions si satisfait cette inégalité :
L’inégalité est donc vérifiée par le nombre
.
2.
Vérifions si satisfait cette inégalité :
L’inégalité n’est pas vérifiée par le nombre
.
3.
Vérifions si satisfait cette inégalité :
L’inégalité n’est pas vérifiée par le nombre
.
4.
Vérifions si satisfait cette inégalité :
L’inégalité est donc vérifiée par le nombre
.
Exercice 14 : résoudre des équations
$|x| = 8$
Les solutions possibles sont :
$|x| = -5$
Il n’y a pas de solutions car la valeur absolue d’un nombre ne peut jamais être négative.
$|x – 1| = 3$
Les solutions possibles sont :
En résolvant chaque équation, on obtient :
$|2x + 1| = 4$
Les solutions possibles sont :
En résolvant chaque équation, on obtient :
Par conséquent, les solutions des équations sont :
$x = 8 \quad \text{ou} \quad x = -8$
Pas de solution
$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -2$
$x = \frac{3}{2} \quad \text{ou} \quad x = -\frac{5}{2}$
Exercice 15 : propositions vraies ou fausses
1. Pour tout ,
.
Cette proposition est vraie. En effet, pour tout réel ,
est toujours positif ou nul, donc
est toujours positif ou nul. Par conséquent,
.
2. Pour tout ,
.
Cette proposition est fausse. En effet, représente la valeur absolue de
, qui est toujours positive ou nulle. Par contre,
est positif si
est négatif, et négatif si
est positif. Par exemple, si
,
et
. Il est clair que
.
3. Pour tout ,
.
Cette proposition est fausse. En effet, car
est toujours positif ou nul. Par contre,
est négatif ou nul pour tout
. Il est clair que
pour tout
.
4. Pour tout ,
.
Cette proposition est vraie. En effet, étant un entier naturel,
et
sont toujours positifs ou nuls. Par conséquent,
est toujours positif ou nul pour tout
. Pour
,
, ce qui est aussi vrai. Donc
pour tout
.
Exercice 16 : quel est le plus grand intervalle ?
En ajoutant 2 à chaque membre de l’inégalité :
Nous obtenons :
Donc, l’intervalle est .
L’intervalle est .
Donc, l’intervalle est .
L’intervalle est .
Exercice 17 : donner un encadrement
$\frac{1}{7} \approx 0.142857 \Rightarrow$ À $10^{-3}$ près, $\frac{1}{7}$ est compris entre $0.142$ et $0.143$.
$0.7586 \Rightarrow$ À $10^{-3}$ près, $0.7586$ est compris entre $0.758$ et $0.759$.
$\sqrt{17} \approx 4.1231056256 \Rightarrow$ À $10^{-3}$ près, $\sqrt{17}$ est compris entre $4.123$ et $4.124$.
$2.356 \times 10^{-3} = 0.002356 \Rightarrow$ À $10^{-3}$ près, $0.002356$ est compris entre $0.002$ et $0.003$.
Exercice 18 : problème de la boîte de nuit
1.
Pour pouvoir rentrer à la boîte de nuit le Macumba, il faut avoir strictement plus de ans, donc
ans, donc
.
Pour pouvoir entrer dans les deux boîtes de nuit, il faut satisfaire les deux conditions simultanément. L’intervalle d’âge correspondant est donc :
2.
Pour entrer dans l’une des deux boîtes de nuit, il suffit que l’une des conditions soit satisfaite.
Soit l’âge doit être strictement supérieur à ans (condition pour le Macumba), soit l’âge doit être au plus
ans (condition pour la Playa).
Il faut donc faire l’union des deux ensembles d’âges :
.
Ainsi, tous les âges supérieurs à sont admissibles, y compris ceux au-dessus de
. L’ensemble des âges possibles peut donc être représenté par :
Exercice 19 : problème de l’Insee
Les revenus du foyer de M. et Mme Martin s’élèvent à :
L’intervalle donné pour appartenir à la classe moyenne est .
Ainsi, les revenus de la famille Martin se situent bien dans l’intervalle de la classe moyenne selon l’INSEE. Par conséquent, la famille appartient à la classe moyenne.
Exercice 20 : résoudre dans R les équations et inéquations
a.
Donc les solutions sont:
b.
L’inégalité est impossible car une valeur absolue est toujours positive ou nulle. Donc, il n’y a pas de solution.
c.
Pour la première équation:
Ce qui est impossible, donc pas de solution de ce côté.
Pour la deuxième équation:
Donc la solution est:
d.
En ajoutant 5 partout:
Donc la solution est:
e.
Pour la première inégalité:
Pour la deuxième inégalité:
Donc les solutions sont:
Exercice 21 : donner chaque intervalle sous forme d’une inégalité
Correction de l’exercice :
a.
b.
c.
d.
Exercice 22 : ecrire sous forme d’un intervalle l’ensemble des réels x
a.
En notation d’intervalle :
b.
En notation d’intervalle :
c.
En notation d’intervalle :
d.
En notation d’intervalle :
Exercice 23 : donner ces ensembles sous forme d’intervalle
a.
b. :
c. :
d. :
Exercice 24 : compléter les expressions
a.
b.
c.
d.
Exercice 25 : déterminer les intersections d’intervalles
L’intervalle comprend les éléments de
et
en commun :
L’intervalle rassemble tous les éléments de
et
:
L’intervalle comprend les éléments de
et
en commun :
L’intervalle comprend les éléments communs aux trois intervalles
,
et
:
Exercice 26 : intersections d’intervalles
Déterminer :
Déterminer :
Exercice 27 : union et intersection d’intervalles
Cas 1 :
Cas 2 :
Cas 3 :
Cas 4 :
Cas 5 :
Exercice 28 : calculer ces valeurs absolues
a.
La valeur absolue de est
.
b.
La valeur absolue de est
.
c.
La valeur absolue de est
.
d.
Donc,
La valeur est donc .
Exercice 29 : somme, différence et produit de valeurs absolues
a.
Calculons les valeurs absolues:
Ensuite, multiplions-les:
Donc, la réponse est .
\vspace{0.4cm}
b.
Calculons d’abord les valeurs à l’intérieur des valeurs absolues:
Ensuite, prenons les valeurs absolues:
Additionnons ces résultats:
Donc, la réponse est .
\vspace{0.4cm}
c.
Calculons d’abord les valeurs à l’intérieur des valeurs absolues:
Ensuite, prenons les valeurs absolues:
Soustrayons ces résultats:
Donc, la réponse est .
Exercice 30 : axe gradué et valeur absolue
Pour l’exercice donné, répondons d’abord aux questions sur l’axe gradué.
### Premier axe gradué
Les points sont ,
, et
.
a.
b.
c.
d.
### Deuxième axe gradué
Les points sont ,
, et
.
a.
b.
c.
### Questions Flash
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Exercice 31 : inéquations et valeurs absolues
Pour chaque inéquation ou
, nous utilisons les propriétés des valeurs absolues:
– Pour :
– Pour :
ou
####1.
a.
b.
c.
d.
####2.
a.
b.
c.
d.
####3.
a.
b.
####4.
a.
b.
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