Systèmes de 2 équations à 2 inconnues : corrigés en 2de.

Exercice 1 : résoudre le système
Pour résoudre ce système, nous procédons par substitution.

1. À partir de la première équation, isolons :

$x\,%2B\,y\,=\,4\,\implies\,x\,=\,4\,-\,y$

2. Remplaçons dans la seconde équation:

$2x\,%2B\,3y\,=\,7\,\implies\,2(4\,-\,y)\,%2B\,3y\,=\,7$

3. Résolvons l’équation suivante:

$8\,-\,2y\,%2B\,3y\,=\,7$

Regroupons les termes en :

$8\,%2B\,y\,=\,7$

Soustrayons 8 des deux côtés:

$y\,=\,7\,-\,8\,\implies\,y\,=\,-1$

4. Remplaçons dans l’équation $x\,=\,4\,-\,y$ pour trouver :

$x\,=\,4\,-\,(-1)\,\implies\,x\,=\,4\,%2B\,1\,\implies\,x\,=\,5$

Donc, la solution du système est:

$(x%2C\,y)\,=\,(5%2C\,-1)$

Exercice 2 : résolution de système
Pour résoudre le système :

$\begin{cases}%0D%0A5x\,%2B\,2y\,=\,4\,\\%0D%0A2x\,%2B\,3y\,=\,-5%0D%0A\end{cases}$

Commençons par isoler une variable. Nous pouvons multiplier la première équation par 3 et la deuxième équation par 2, de sorte à ce que les coefficients de soient égaux :

$3(5x\,%2B\,2y)\,=\,3\,\cdot\,4\,\implies\,15x\,%2B\,6y\,=\,12$

$2(2x\,%2B\,3y)\,=\,2\,\cdot\,(-5)\,\implies\,4x\,%2B\,6y\,=\,-10$

Soustrayons la deuxième équation de la première :

$(15x\,%2B\,6y)\,-\,(4x\,%2B\,6y)\,=\,12\,-\,(-10)$

$15x\,%2B\,6y\,-\,4x\,-\,6y\,=\,12\,%2B\,10$

$11x\,=\,22$

$x\,=\,2$

Substituons $x\,=\,2$ dans l’une des équations originales, par exemple, la première équation :

$5(2)\,%2B\,2y\,=\,4$

$10\,%2B\,2y\,=\,4$

$2y\,=\,4\,-\,10$

$2y\,=\,-6$

$y\,=\,-3$

La solution du système est donc :

$(x%2C\,y)\,=\,(2%2C\,-3)$

Exercice 3 : trouver l’ensemble solution
\begin{align*}
\text{Nous avons le système d’équations suivant :} \\
\{
\begin{array}{l}
x – 2y = 4 \\
2x + 3y = -6
\end{array}
.
\end{align*}

\text{Pour résoudre ce système, utilisons la méthode de substitution.} \\

\text{Premièrement, isolons } x \text{ dans la première équation :} \\
x – 2y = 4 \\
x = 4 + 2y \quad \text{(1)} \\

\text{Substituons l’expression de } x \text{ dans la deuxième équation :} \\
2(4 + 2y) + 3y = -6 \\
8 + 4y + 3y = -6 \\
8 + 7y = -6 \\
7y = -6 – 8 \\
7y = -14 \\
y = \frac{-14}{7} \\
y = -2 \\

\text{Substituons la valeur de } y \text{ dans (1) pour trouver } x : \\
x = 4 + 2(-2) \\
x = 4 – 4 \\
x = 0 \\

\text{Ainsi, la solution du système est :} \\
(x, y) = (0, -2)
\end{align*}

Exercice 4 : déterminer le couple solution
$\begin{cases}%0D%0A7x\,%2B\,2y\,=\,1\,\\%0D%0A2x\,%2B\,3y\,=\,5%0D%0A\end{cases}$

Pour résoudre ce système d’équations linéaires, nous pouvons utiliser la méthode de substitution ou la méthode d’élimination. Utilisons la méthode d’élimination.

Commençons par multiplier la première équation par 3 et la deuxième équation par 2 pour aligner les coefficients de :

$\begin{cases}%0D%0A3(7x\,%2B\,2y)\,=\,3\,\cdot\,1\,\\%0D%0A2(2x\,%2B\,3y)\,=\,2\,\cdot\,5%0D%0A\end{cases}$

Cela donne:

$\begin{cases}%0D%0A21x\,%2B\,6y\,=\,3\,\\%0D%0A4x\,%2B\,6y\,=\,10%0D%0A\end{cases}$

Ensuite, soustrayons la deuxième équation de la première pour éliminer :

$(21x\,%2B\,6y)\,-\,(4x\,%2B\,6y)\,=\,3\,-\,10$

Ce qui simplifie à:

$17x\,=\,-7$

En résolvant pour , nous trouvons:

$x\,=\,-\frac{7}{17}$

Maintenant que nous avons , substituons cette valeur dans l’une des équations originales pour trouver . Utilisons la première équation:

$7\,(\,-\frac{7}{17}\,)\,%2B\,2y\,=\,1$

Ce qui donne:

$-\frac{49}{17}\,%2B\,2y\,=\,1$

Pour isoler , ajoutons $\frac{49}{17}$ des deux côtés:

$2y\,=\,1\,%2B\,\frac{49}{17}$

En trouvant un dénominateur commun, cela devient:

$2y\,=\,\frac{17}{17}\,%2B\,\frac{49}{17}$

Ce qui simplifie à:

$2y\,=\,\frac{66}{17}$

En résolvant pour , nous trouvons:

$y\,=\,\frac{33}{17}$

Ainsi, la solution au système est:

$(x%2C\,y)\,=\,(\,-\frac{7}{17}%2C\,\frac{33}{17}\,)$

Exercice 5 : une infinité de solution
Pour démontrer que le système suivant admet une infinité de solutions :

$\begin{cases}%0D%0A2x\,-\,y\,=\,1\,\\%0D%0A-6x\,%2B\,3y\,=\,-3%0D%0A\end{cases}$

nous allons déterminer si les deux équations sont linéairement dépendantes, c’est-à-dire si l’une est un multiple de l’autre.

Commençons par multiplier la première équation par 3 :

$3\,\times \,(2x\,-\,y)\,=\,3\,\times \,1$

ce qui nous donne :

$6x\,-\,3y\,=\,3$

Comparons maintenant cette équation avec la seconde équation du système :

$-6x\,%2B\,3y\,=\,-3$

Pour voir plus clairement la relation entre ces deux équations, nous pouvons réécrire la deuxième équation :

$-1\,\times \,(6x\,-\,3y)\,=\,-1\,\times \,3$

ce qui donne :

$-6x\,%2B\,3y\,=\,-3$

Nous remarquons que cette équation est effectivement obtenue en multipliant la première équation (après avoir multiplié par 3) avec . Par conséquent, les deux équations sont linéairement dépendantes.

Puisque les deux équations représentent en réalité la même droite, le système admet une infinité de solutions correspondant à tous les points de cette droite.

Une manière de paramétrer ces solutions est d’exprimer en fonction de à partir de l’une des équations. Utilisons la première équation :

$2x\,-\,y\,=\,1\,\implies\,y\,=\,2x\,-\,1$

Les solutions du système peuvent alors être écrites sous la forme paramétrique :

$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,t\,\\%0D%0Ay\,=\,2t\,-\,1%0D%0A\end{cases}$

où est un paramètre réel.

Ainsi, le système admet une infinité de solutions $(x%2C\,y)$ telles que $x\,=\,t$ et $y\,=\,2t\,-\,1$ , où $t\,\in\,\mathbb{R}$ .

Exercice 6 : des lapins et des poules dans une ferme
Soit le nombre de lapins et le nombre de poules dans la ferme. On sait que:

$x\,%2B\,y\,=\,120$
$4x\,%2B\,2y\,=\,298$

Nous avons deux équations pour deux inconnues. Nous allons résoudre ce système d’équations.

D’abord, exprimons en termes de à partir de la première équation :

$y\,=\,120\,-\,x$

Substituons cette expression de dans la deuxième équation :

$4x\,%2B\,2(120\,-\,x)\,=\,298$

Développons et simplifions :

$4x\,%2B\,240\,-\,2x\,=\,298$
$2x\,%2B\,240\,=\,298$
$2x\,=\,298\,-\,240$
$2x\,=\,58$
$x\,=\,29$

Donc, il y a lapins dans la ferme. Pour trouver le nombre de poules, remplaçons par dans la première équation :

$y\,=\,120\,-\,29$
$y\,=\,91$

Ainsi, il y a poules dans la ferme.

En conclusion, il y a lapins et poules dans la ferme.

Exercice 7 : panier avec des pommes et des carottes
Soit le prix d’un kilogramme de pommes et le prix d’un kilogramme de carottes. Nous disposons des deux équations suivantes basées sur les informations fournies :

$\begin{cases}%0D%0A5x\,%2B\,2y\,=\,18%2C5\,\\%0D%0A3x\,%2B\,7y\,=\,28%2C5%0D%0A\end{cases}$

Nous allons résoudre ce système d’équations linéaires pour déterminer les valeurs de et .

Multiplier la première équation par 3 et la deuxième équation par 5 pour aligner les coefficients de :

$\begin{cases}%0D%0A15x\,%2B\,6y\,=\,55%2C5\,\\%0D%0A15x\,%2B\,35y\,=\,142%2C5%0D%0A\end{cases}$

Soustraire la première équation de la deuxième pour éliminer :

$(15x\,%2B\,35y)\,-\,(15x\,%2B\,6y)\,=\,142%2C5\,-\,55%2C5$

Cela donne :

$29y\,=\,87$

Résoudre pour :

$y\,=\,\frac{87}{29}\,=\,3$

Maintenant que nous avons , substituons cette valeur dans la première équation pour trouver :

$5x\,%2B\,2(3)\,=\,18%2C5$

Cela donne :

$5x\,%2B\,6\,=\,18%2C5$

Soustraire 6 des deux côtés :

$5x\,=\,12%2C5$

Résoudre pour :

$x\,=\,\frac{12%2C5}{5}\,=\,2%2C5$

Ainsi, le prix d’un kilogramme de pommes est € et le prix d’un kilogramme de carottes est €.

Exercice 8 : des pièces dans un porte-monnaie
Posons le nombre de pièces de 1 € et le nombre de pièces de 2 €.

Nous avons deux équations à résoudre :

1. Le nombre total de pièces est 10 :
$x\,%2B\,y\,=\,10$

2. Le montant total des pièces est 15 € :
$1x\,%2B\,2y\,=\,15$

Résolvons ce système d’équations.

De la première équation, nous pouvons exprimer en fonction de :
$x\,=\,10\,-\,y$

Remplaçons cette expression dans la deuxième équation :
$1(10\,-\,y)\,%2B\,2y\,=\,15$
$10\,-\,y\,%2B\,2y\,=\,15$
$10\,%2B\,y\,=\,15$
$y\,=\,15\,-\,10$
$y\,=\,5$

Maintenant que nous avons trouvé , trouvons :
$x\,=\,10\,-\,y$
$x\,=\,10\,-\,5$
$x\,=\,5$

La solution est donc :
$x\,=\,5$
$y\,=\,5$

Max a donc 5 pièces de 1 € et 5 pièces de 2 €.

Exercice 9 : système à deux inconnue plus complexe
Pour résoudre le système suivant :

$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Ax^2\,%2B\,y^2\,=\,25\,\\%0D%0A2x^2\,-\,y^2\,=\,23%0D%0A\end{array}%0D%0A.$

commençons par additionner les deux équations :

$(x^2\,%2B\,y^2)\,%2B\,(2x^2\,-\,y^2)\,=\,25\,%2B\,23$

Cela donne :

$3x^2\,=\,48$

D’où :

$x^2\,=\,\frac{48}{3}\,=\,16\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,4\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-4$

Maintenant, substituons ces valeurs de dans la première équation pour trouver .

Pour $x\,=\,4$ :

$4^2\,%2B\,y^2\,=\,25\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,16\,%2B\,y^2\,=\,25\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,y^2\,=\,9\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,y\,=\,3\,\quad\,ou\,\quad\,y\,=\,-3$

Pour $x\,=\,-4$ :

$(-4)^2\,%2B\,y^2\,=\,25\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,16\,%2B\,y^2\,=\,25\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,y^2\,=\,9\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,y\,=\,3\,\quad\,ou\,\quad\,y\,=\,-3$

Nous avons donc les solutions suivantes pour le système :

$(x%2C\,y)\,=\,(4%2C\,3)%2C\,(4%2C\,-3)%2C\,(-4%2C\,3)%2C\,(-4%2C\,-3)$

Exercice 10 : résoudre dans R² ce système par substitution
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

On a le système d’équations suivant :

$\begin{cases}%0D%0A5x\,%2B\,y\,=\,7\,\quad\,(E_1)\,\\%0D%0A-x\,%2B\,y\,=\,1\,\quad\,(E_2)%0D%0A\end{cases}$

Pour résoudre ce système par substitution, nous pouvons exprimer en fonction de à partir de (E$_2$) :

$-x\,%2B\,y\,=\,1\,\implies\,y\,=\,x\,%2B\,1$

Ensuite, nous substituons cette expression de dans (E$_1$) :

$5x\,%2B\,(x\,%2B\,1)\,=\,7$

En simplifiant, nous obtenons :

$5x\,%2B\,x\,%2B\,1\,=\,7\,\implies\,6x\,%2B\,1\,=\,7\,\implies\,6x\,=\,6\,\implies\,x\,=\,1$

En remplaçant par dans l’expression $y\,=\,x\,%2B\,1$ :

$y\,=\,1\,%2B\,1\,=\,2$

La solution du système est donc :

$(x%2C\,y)\,=\,(1%2C\,2)$

Pour vérifier notre solution, substituons $x\,=\,1$ et $y\,=\,2$ dans les deux équations :

$5\,\cdot\,1\,%2B\,2\,=\,7\,\quad\,(Verifie)$

$-1\,%2B\,2\,=\,1\,\quad\,(Verifie)$

Donc, la solution $(x%2C\,y)\,=\,(1%2C\,2)$ est correcte.

\end{document}

Exercice 11 : résoudre par combinaison ce système
Pour résoudre ce système par combinaison linéaire, nous allons utiliser les équations E_1 et E_2 :

$\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,2y\,=\,10\,%26\,(E_1)\,\\%0D%0A-2x\,%2B\,3y\,=\,1\,%26\,(E_2)%0D%0A\end{cases}$

Tout d’abord, nous multiplions l’équation E_1 par 2 pour obtenir les coefficients de opposés en E_1 et E_2 :

$2(x\,%2B\,2y)\,=\,2\,\cdot\,10$

Ce qui donne :

$2x\,%2B\,4y\,=\,20\,\quad\,(E_1')$

Nous additionnons E_1' et E_2 :

$\begin{cases}%0D%0A2x\,%2B\,4y\,=\,20\,%26\,(E_1')\,\\%0D%0A-2x\,%2B\,3y\,=\,1\,%26\,(E_2)%0D%0A\end{cases}$

En additionnant ces deux équations :

$(2x\,-\,2x)\,%2B\,(4y\,%2B\,3y)\,=\,20\,%2B\,1$

Nous obtenons :

$7y\,=\,21$

Nous résolvons pour :

$y\,=\,\frac{21}{7}\,=\,3$

Ensuite, nous substituons dans E_1 pour trouver :

$x\,%2B\,2\,\cdot\,3\,=\,10$

Ce qui donne :

$x\,%2B\,6\,=\,10$

Et en résolvant pour :

$x\,=\,10\,-\,6\,=\,4$

La solution du système est donc :

$(x%2C\,y)\,=\,(4%2C\,3)$

Exercice 12 : déterminer les coordonnées (x;y) du point d’intersection
a. Pour déterminer les coordonnées $(x\,%3B\,y)\,\in\,\mathbb{R}^2$ du point d’intersection des droites $(d_1)\,%3A\,3x\,%2B\,4y\,%2B\,4\,=\,0$ et $(d_2)\,%3A\,x\,%2B\,y\,-\,1\,=\,0$ , nous allons résoudre ce système d’équations linéaires :

$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0A3x\,%2B\,4y\,%2B\,4\,=\,0\,\\%0D%0Ax\,%2B\,y\,-\,1\,=\,0%0D%0A\end{array}%0D%0A.$

1. Résolvons la deuxième équation pour :

$x\,%2B\,y\,-\,1\,=\,0\,\implies\,y\,=\,1\,-\,x$

2. Substituons $y\,=\,1\,-\,x$ dans la première équation :

$3x\,%2B\,4(1\,-\,x)\,%2B\,4\,=\,0$

3. Simplifions cette équation :

$3x\,%2B\,4\,-\,4x\,%2B\,4\,=\,0\,\implies\,-x\,%2B\,8\,=\,0\,\implies\,x\,=\,8$

4. Maintenant, substituons $x\,=\,8$ dans $y\,=\,1\,-\,x$ :

$y\,=\,1\,-\,8\,=\,-7$

Donc, les coordonnées du point d’intersection sont $(8\,%3B\,-7)$ .

b. Pour déterminer les coordonnées $(x\,%3B\,y)\,\in\,\mathbb{R}^2$ du point d’intersection des droites $(d_1)\,%3A\,y\,=\,3x\,-\,8$ et $(d_2)\,%3A\,y\,=\,-4x\,%2B\,13$ , nous allons résoudre ce système d’équations linéaires :

$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Ay\,=\,3x\,-\,8\,\\%0D%0Ay\,=\,-4x\,%2B\,13%0D%0A\end{array}%0D%0A.$

1. Égalons les deux expressions de :

$3x\,-\,8\,=\,-4x\,%2B\,13$

2. Résolvons pour :

$3x\,%2B\,4x\,=\,13\,%2B\,8\,\implies\,7x\,=\,21\,\implies\,x\,=\,3$

3. Substituons $x\,=\,3$ dans $y\,=\,3x\,-\,8$ :

$y\,=\,3(3)\,-\,8\,=\,9\,-\,8\,=\,1$

Donc, les coordonnées du point d’intersection sont $(3\,%3B\,1)$ .

Exercice 13 : combien de couples solutions ?
\begin{solution}
Pour chaque système, nous allons déterminer le nombre de couples solutions et, dans le cas où il y a un unique couple solution, nous le donnerons.

\bigskip
Système $S_1$ :
$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Ay\,=\,5\,\\%0D%0Ax\,=\,-4%0D%0A\end{array}%0D%0A.$
Le système $S_1$ admet un unique couple solution. Ce couple est :
$(x%2C\,y)\,=\,(-4%2C\,5)$

\bigskip
Système $S_2$ :
$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0A-x\,%2B\,y\,=\,2\,\\%0D%0Ax\,=\,-4%0D%0A\end{array}%0D%0A.$
En substituant $x\,=\,-4$ dans l’équation $-x\,%2B\,y\,=\,2$ , nous obtenons :
$-(-4)\,%2B\,y\,=\,2\,\implies\,4\,%2B\,y\,=\,2\,\implies\,y\,=\,2\,-\,4\,\implies\,y\,=\,-2$
Le système $S_2$ admet un unique couple solution. Ce couple est :
$(x%2C\,y)\,=\,(-4%2C\,-2)$

\bigskip
Système $S_3$ :
$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Ay\,=\,5\,\\%0D%0A-2y\,=\,-10%0D%0A\end{array}%0D%0A.$
La deuxième équation se simplifie en $-2y\,=\,-10\,\implies\,y\,=\,5$ . Cette équation est la même que la première, donc elles sont dépendantes. Ainsi, le système admet une infinité de solutions de la forme :
$(x%2C\,y)\,=\,(x%2C\,5)\,\quad\,ou\,\,x\,\in\,\mathbb{R}$

\bigskip
Système $S_4$ :
$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0A3x\,%2B\,6y\,=\,36\,\\%0D%0A5x\,-\,5y\,=\,15%0D%0A\end{array}%0D%0A.$
La première équation peut se simplifier en :
$x\,%2B\,2y\,=\,12$

La deuxième équation peut se simplifier en :
$x\,-\,y\,=\,3$

Nous avons donc le système suivant :
$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Ax\,%2B\,2y\,=\,12\,\\%0D%0Ax\,-\,y\,=\,3%0D%0A\end{array}%0D%0A.$
En résolvant ce système par substitution :

Multipliant la deuxième équation par 2 et l’ajoutant à la première pour éliminer :
$x\,%2B\,2y\,%2B\,2(x\,-\,y)\,=\,12\,%2B\,6\,\implies\,x\,%2B\,2y\,%2B\,2x\,-\,2y\,=\,18\,\implies\,3x\,=\,18\,\implies\,x\,=\,6$
En substituant $x\,=\,6$ dans $x\,-\,y\,=\,3$ :
$6\,-\,y\,=\,3\,\implies\,y\,=\,3$
Le système $S_4$ admet un unique couple solution. Ce couple est :
$(x%2C\,y)\,=\,(6%2C\,3)$

\bigskip
Système $S_5$ :
$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0A5x\,-\,5y\,=\,15\,\\%0D%0Ax\,%2B\,2y\,=\,4%0D%0A\end{array}%0D%0A.$
La première équation peut se simplifier en :
$x\,-\,y\,=\,3$

Nous avons donc le système suivant :
$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Ax\,-\,y\,=\,3\,\\%0D%0Ax\,%2B\,2y\,=\,4%0D%0A\end{array}%0D%0A.$
Multipliant la première équation par 2 pour éliminer :
$2(x\,-\,y)\,%2B\,(x\,%2B\,2y)\,=\,6\,%2B\,4\,\implies\,2x\,-\,2y\,%2B\,x\,%2B\,2y\,=\,10\,\implies\,3x\,=\,10\,\implies\,x\,=\,\frac{10}{3}$

En substituant $x\,=\,\frac{10}{3}$ dans $x\,-\,y\,=\,3$ :
$\frac{10}{3}\,-\,y\,=\,3\,\implies\,-y\,=\,3\,-\,\frac{10}{3}\,\implies\,-y\,=\,\frac{9}{3}\,-\,\frac{10}{3}\,\implies\,-y\,=\,-\frac{1}{3}\,\implies\,y\,=\,\frac{1}{3}$

Le système $S_5$ admet un unique couple solution. Ce couple est :
$(x%2C\,y)\,=\,(\,\frac{10}{3}%2C\,\frac{1}{3}\,)$

\bigskip
Système $S_6$ :
$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0A-2x\,%2B\,2y\,=\,4\,\\%0D%0A-x\,%2B\,y\,=\,2%0D%0A\end{array}%0D%0A.$
La deuxième équation peut se simplifier en :
$-x\,%2B\,y\,=\,2\,\implies\,y\,=\,x\,%2B\,2$
En substituant $y\,=\,x\,%2B\,2$ dans la première équation :
$-2x\,%2B\,2(x\,%2B\,2)\,=\,4\,\implies\,-2x\,%2B\,2x\,%2B\,4\,=\,4\,\implies\,4\,=\,4$

Les deux équations sont équivalentes, elles sont donc dépendantes. Le système admet une infinité de solutions de la forme :
$(x%2C\,y)\,=\,(x%2C\,x\,%2B\,2)\,\quad\,ou\,\,x\,\in\,\mathbb{R}$
\end{solution}

Exercice 14 : déterminer si les systèmes admettent zéro, un unique ou une infinité de solutions
Pour chaque système d’équations, nous allons déterminer s’il admet zéro solution, une unique solution ou une infinité de solutions.

$(S_1)%3A%0D%0A\begin{cases}%0D%0A-x\,-\,2y\,=\,5\,\\%0D%0A5x\,%2B\,10y\,=\,4%0D%0A\end{cases}$
Pour le système S_1 :
1. Multiplions la première équation par :
$5x\,%2B\,10y\,=\,-25$
2. Comparons avec la deuxième équation:
$5x\,%2B\,10y\,=\,4$
Les deux équations sont contradictoires ( $-25\,\neq\,4$ ), donc le système admet zéro solution.

$(S_2)%3A%0D%0A\begin{cases}%0D%0A7x\,-\,3y\,=\,9\,\\%0D%0A-7x\,-\,3y\,=\,9%0D%0A\end{cases}$
Pour le système S_2 :
1. Ajoutons les deux équations:
$(7x\,-\,3y)\,%2B\,(-7x\,-\,3y)\,=\,9\,%2B\,9\,\implies\,-6y\,=\,18\,\implies\,y\,=\,-3$
2. Remplaçons dans la première équation:
$7x\,-\,3(-3)\,=\,9\,\implies\,7x\,%2B\,9\,=\,9\,\implies\,7x\,=\,0\,\implies\,x\,=\,0$
Le système a une unique solution: $(0%2C\,-3)$ .

$(S_3)%3A%0D%0A\begin{cases}%0D%0A2x\,-\,y\,=\,1\,\\%0D%0A4x\,-\,2y\,=\,2%0D%0A\end{cases}$
Pour le système S_3 :
1. Multiplions la première équation par 2:
$4x\,-\,2y\,=\,2$
Les deux équations sont identiques, donc le système admet une infinité de solutions (les deux équations sont équivalentes).

$(S_4)%3A%0D%0A\begin{cases}%0D%0A3x\,%2B\,9y\,=\,-5\,\\%0D%0A4x\,-\,12y\,=\,6%0D%0A\end{cases}$
Pour le système S_4 :
1. Ramenons les équations à des formes identiques en les multipliant:
$Multiplication\,par\,4\,de\,la\,premiere\,equation%3A\,\,12x\,%2B\,36y\,=\,-20$
$Multiplication\,par\,3\,de\,la\,deuxieme\,equation%3A\,\,12x\,-\,36y\,=\,18$
2. En ajoutant les deux équations modifiées:
$(12x\,%2B\,36y)\,%2B\,(12x\,-\,36y)\,=\,-20\,%2B\,18\,\implies\,24x\,=\,-2\,\implies\,x\,=\,-\frac{1}{12}$
Le système n’est d’ailleurs pas cohérent car il y a contradiction dans les résultantes obtenues (les résolutions au niveau de ne sont pas synchrones).

$(S_5)%3A%0D%0A\begin{cases}%0D%0A\frac{1}{2}x\,-\,y\,=\,36\,\\%0D%0A%2Bx\,%2B\,2y\,=\,15%0D%0A\end{cases}$
Pour le système S_5 :
1. Multiplions la première équation par 2:
$x\,-\,2y\,=\,72$
2. Ajoutons cette équation multipliée à la deuxième équation:
$\begin{cases}%0D%0Ax\,-\,2y\,=\,72\,\\%0D%0Ax\,%2B\,2y\,=\,15%0D%0A\end{cases}$
En ajoutant ces deux, nous avons:
$2x\,=\,87\,\implies\,x\,=\,\frac{87}{2}\,\implies\,x\,=\,43.5$
$Ensuite\,%3A\quad\,43.5\,%2B\,2y\,=\,15\,\implies\,2y\,=\,-28.5\,\implies\,y\,=\,-14.25$
Le système a une unique solution: $(43.5%2C\,-14.25)$ .

$(S_6)%3A%0D%0A\begin{cases}%0D%0A7x\,-\,\frac{7}{5}y\,=\,-3\,\\%0D%0A5x\,%2B\,y\,=\,8%0D%0A\end{cases}$
Pour le système S_6 :
1. Multiplions la première équation par 5 pour éliminer les fractions:
$35x\,-\,7y\,=\,-15$
2. La deuxième équation devient:
$5x\,%2B\,y\,=\,8\,\Rightarrow\,y\,=\,8\,-\,5x$
3. Remplaçons dans la première équation:
$35x\,-\,7(8\,-\,5x)\,=\,-15\,\Rightarrow\,35x\,-\,56\,%2B\,35x\,=\,-15\,\Rightarrow\,70x\,=\,41\,\Rightarrow\,x\,=\,\frac{41}{70}$
$y\,=\,8\,-\,5(\frac{41}{70})\,=\,8\,-\,\frac{205}{70}\,=\,8\,-\,\frac{41}{14}\,=\,\frac{112}{14}\,-\,\frac{41}{14}\,=\,\frac{71}{14}$
Le système admet une unique solution : $x\,=\,\frac{41}{70}$ et $y\,=\,\frac{71}{14}$ .

En résumé:
– S_1 : zéro solution.
– S_2 : une unique solution.
– S_3 : une infinité de solutions.
– S_4 : zéro solution.
– S_5 : une unique solution.
– S_6 : une unique solution.

Exercice 15 : résolution par substitution
Pour résoudre par substitution les systèmes suivants :

$(\,S_1\,)\,%3A%0D%0A\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,y\,=\,5\,\\%0D%0A2x\,-\,14\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

On résout l’équation $2x\,-\,14\,=\,0$ pour :

$2x\,=\,14\,\Rightarrow\,x\,=\,7$

On substitue $x\,=\,7$ dans $x\,%2B\,y\,=\,5$ :

$7\,%2B\,y\,=\,5\,\Rightarrow\,y\,=\,5\,-\,7\,\Rightarrow\,y\,=\,-2$

La solution du système (S_1) est $(x%2C\,y)\,=\,(7%2C\,-2)$ .

$(\,S_2\,)\,%3A%0D%0A\begin{cases}%0D%0A4x\,-\,3y\,=\,11\,\\%0D%0Ay\,-\,2\,=\,9%0D%0A\end{cases}$

On résout l’équation $y\,-\,2\,=\,9$ pour :

$y\,=\,9\,%2B\,2\,\Rightarrow\,y\,=\,11$

On substitue $y\,=\,11$ dans $4x\,-\,3y\,=\,11$ :

$4x\,-\,3\,\cdot\,11\,=\,11\,\Rightarrow\,4x\,-\,33\,=\,11\,\Rightarrow\,4x\,=\,44\,\Rightarrow\,x\,=\,11$

La solution du système (S_2) est $(x%2C\,y)\,=\,(11%2C\,11)$ .

$(\,S_3\,)\,%3A%0D%0A\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,5x\,%2B\,16\,\\%0D%0Ay\,=\,\frac{1}{3}x\,-\,\frac{8}{3}%0D%0A\end{cases}$

On égalise les deux expressions de :

$5x\,%2B\,16\,=\,\frac{1}{3}x\,-\,\frac{8}{3}$

On multiplie tout par 3 pour éliminer les fractions :

$15x\,%2B\,48\,=\,x\,-\,8$

On regroupe les termes en d’un côté et les constantes de l’autre :

$15x\,-\,x\,=\,-8\,-\,48\,\Rightarrow\,14x\,=\,-56\,\Rightarrow\,x\,=\,-4$

On substitue $x\,=\,-4$ dans $y\,=\,5x\,%2B\,16$ :

$y\,=\,5(-4)\,%2B\,16\,\Rightarrow\,y\,=\,-20\,%2B\,16\,\Rightarrow\,y\,=\,-4$

La solution du système (S_3) est $(x%2C\,y)\,=\,(-4%2C\,-4)$ .

$(\,S_4\,)\,%3A%0D%0A\begin{cases}%0D%0A\frac{17}{5}x\,%2B\,y\,=\,-\frac{2}{5}\,\\%0D%0A-\frac{5}{3}x\,%2B\,y\,=\,-\frac{5}{3}%0D%0A\end{cases}$

On exprime de la deuxième équation :

$y\,=\,\frac{5}{3}x\,-\,\frac{5}{3}$

On substitue dans la première équation :

$\frac{17}{5}x\,%2B\,(\,\frac{5}{3}x\,-\,\frac{5}{3}\,)\,=\,-\frac{2}{5}$

On multiplie tout par 15 pour éliminer les fractions :

$51x\,%2B\,25x\,-\,25\,=\,-6\,\Rightarrow\,76x\,-\,25\,=\,-6$

On regroupe les termes en d’un côté et les constantes de l’autre :

$76x\,=\,19\,\Rightarrow\,x\,=\,\frac{19}{76}\,\Rightarrow\,x\,=\,\frac{1}{4}$

On substitue $x\,=\,\frac{1}{4}$ dans $y\,=\,\frac{5}{3}x\,-\,\frac{5}{3}$ :

$y\,=\,\frac{5}{3}\,\cdot\,\frac{1}{4}\,-\,\frac{5}{3}\,=\,\frac{5}{12}\,-\,\frac{20}{12}\,=\,-\frac{15}{12}\,=\,-\frac{5}{4}$

La solution du système (S_4) est $(x%2C\,y)\,=\,(\,\frac{1}{4}%2C\,-\frac{5}{4}\,)$ .

Exercice 16 : résolution par combinaison linéaire
### Correction du système (S_3)
$\begin{cases}%0D%0A2x\,-\,5y\,=\,4\,\\%0D%0A2x\,%2B\,y\,=\,-8%0D%0A\end{cases}$

Soustrayons la seconde équation de la première :
$(2x\,-\,5y)\,-\,(2x\,%2B\,y)\,=\,4\,-\,(-8)$
$2x\,-\,5y\,-\,2x\,-\,y\,=\,4\,%2B\,8$
$-6y\,=\,12$
$y\,=\,-2$

Remplaçons dans la deuxième équation :
$2x\,%2B\,(-2)\,=\,-8$
$2x\,-\,2\,=\,-8$
$2x\,=\,-6$
$x\,=\,-3$

Solution : $(x%2C\,y)\,=\,(-3%2C\,-2)$

### Correction du système (S_4)
$\begin{cases}%0D%0A6x\,-\,7y\,=\,14\,\\%0D%0A-x\,-\,3y\,=\,6%0D%0A\end{cases}$

Multiplions la seconde équation par 6 :
$6(-x\,-\,3y)\,=\,6\,\cdot\,6$
$-6x\,-\,18y\,=\,36$

Ajoutons cette nouvelle équation à la première :
$(6x\,-\,7y)\,%2B\,(-6x\,-\,18y)\,=\,14\,%2B\,36$
$-25y\,=\,50$
$y\,=\,-2$

Remplaçons dans la deuxième équation :
$-x\,-\,3(-2)\,=\,6$
$-x\,%2B\,6\,=\,6$
$-x\,=\,0$
$x\,=\,0$

Solution : $(x%2C\,y)\,=\,(0%2C\,-2)$

### Correction du système (S_5)
$\begin{cases}%0D%0A\frac{1}{4}x\,%2B\,\frac{1}{2}y\,=\,-1\,\\%0D%0Ax\,%2B\,4y\,=\,-2%0D%0A\end{cases}$

Multiplions la première équation par 4 :
$4(\,\frac{1}{4}x\,%2B\,\frac{1}{2}y\,)\,=\,4(-1)$
$x\,%2B\,2y\,=\,-4$

Nous avons maintenant le système :
$\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,2y\,=\,-4\,\\%0D%0Ax\,%2B\,4y\,=\,-2%0D%0A\end{cases}$

Soustrayons la première équation de la seconde :
$(x\,%2B\,4y)\,-\,(x\,%2B\,2y)\,=\,-2\,-\,(-4)$
$2y\,=\,2$
$y\,=\,1$

Remplaçons dans la première équation :
$x\,%2B\,2(1)\,=\,-4$
$x\,%2B\,2\,=\,-4$
$x\,=\,-6$

Solution : $(x%2C\,y)\,=\,(-6%2C\,1)$

### Correction du système (S_6)
$\begin{cases}%0D%0A3x\,-\,4y\,=\,14\,\\%0D%0A9x\,-\,2y\,=\,-38%0D%0A\end{cases}$

Multiplions la première équation par 3 :
$3(3x\,-\,4y)\,=\,3\,\cdot\,14$
$9x\,-\,12y\,=\,42$

Nous avons maintenant le système :
$\begin{cases}%0D%0A9x\,-\,12y\,=\,42\,\\%0D%0A9x\,-\,2y\,=\,-38%0D%0A\end{cases}$

Soustrayons la deuxième équation de la première :
$(9x\,-\,12y)\,-\,(9x\,-\,2y)\,=\,42\,-\,(-38)$
$-10y\,=\,80$
$y\,=\,-8$

Remplaçons dans la première équation :
$3x\,-\,4(-8)\,=\,14$
$3x\,%2B\,32\,=\,14$
$3x\,=\,-18$
$x\,=\,-6$

Solution : $(x%2C\,y)\,=\,(-6%2C\,-8)$

Exercice 17 : quatre droites et points d’intersection
Pour montrer que ces droites sont deux à deux sécantes et déterminer chaque point d’intersection, il suffit de résoudre les systèmes de deux équations formés par les droites prises deux à deux. Voici la correction :

### Intersection de d_1 et d_2

Résolvons le système :
$\begin{cases}%0D%0A5x\,%2B\,2y\,-\,23\,=\,0\,\\%0D%0A-2x\,%2B\,y\,%2B\,2\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

De la deuxième équation, on peut isoler :
$y\,=\,2x\,-\,2$

Remplaçons dans la première équation :
$5x\,%2B\,2(2x\,-\,2)\,-\,23\,=\,0$
$5x\,%2B\,4x\,-\,4\,-\,23\,=\,0$
$9x\,-\,27\,=\,0$
$x\,=\,3$

En substituant $x\,=\,3$ dans l’équation $y\,=\,2x\,-\,2$ :
$y\,=\,2(3)\,-\,2\,=\,4$

Donc, le point d’intersection de d_1 et d_2 est $(3%2C\,4)$ .

### Intersection de d_1 et d_3

Résolvons le système :
$\begin{cases}%0D%0A5x\,%2B\,2y\,-\,23\,=\,0\,\\%0D%0Ax\,%2B\,y\,-\,10\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

De la deuxième équation, on peut isoler :
$y\,=\,10\,-\,x$

Remplaçons dans la première équation :
$5x\,%2B\,2(10\,-\,x)\,-\,23\,=\,0$
$5x\,%2B\,20\,-\,2x\,-\,23\,=\,0$
$3x\,-\,3\,=\,0$
$x\,=\,1$

En substituant $x\,=\,1$ dans l’équation $y\,=\,10\,-\,x$ :
$y\,=\,10\,-\,1\,=\,9$

Donc, le point d’intersection de d_1 et d_3 est $(1%2C\,9)$ .

### Intersection de d_1 et d_4

Résolvons le système :
$\begin{cases}%0D%0A5x\,%2B\,2y\,-\,23\,=\,0\,\\%0D%0A-x\,-\,4y\,%2B\,1\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

De la deuxième équation, on peut isoler :
$x\,=\,-4y\,%2B\,1$

Remplaçons dans la première équation :
$5(-4y\,%2B\,1)\,%2B\,2y\,-\,23\,=\,0$
$-20y\,%2B\,5\,%2B\,2y\,-\,23\,=\,0$
$-18y\,-\,18\,=\,0$
$y\,=\,-1$

En substituant $y\,=\,-1$ dans l’équation $x\,=\,-4y\,%2B\,1$ :
$x\,=\,-4(-1)\,%2B\,1\,=\,5$

Donc, le point d’intersection de d_1 et d_4 est $(5%2C\,-1)$ .

### Intersection de d_2 et d_3

Résolvons le système :
$\begin{cases}%0D%0A-2x\,%2B\,y\,%2B\,2\,=\,0\,\\%0D%0Ax\,%2B\,y\,-\,10\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

De la deuxième équation, on peut isoler :
$y\,=\,10\,-\,x$

Remplaçons dans la première équation :
$-2x\,%2B\,(10\,-\,x)\,%2B\,2\,=\,0$
$-2x\,%2B\,10\,-\,x\,%2B\,2\,=\,0$
$-3x\,%2B\,12\,=\,0$
$x\,=\,4$

En substituant $x\,=\,4$ dans l’équation $y\,=\,10\,-\,x$ :
$y\,=\,10\,-\,4\,=\,6$

Donc, le point d’intersection de d_2 et d_3 est $(4%2C\,6)$ .

### Intersection de d_2 et d_4

Résolvons le système :
$\begin{cases}%0D%0A-2x\,%2B\,y\,%2B\,2\,=\,0\,\\%0D%0A-x\,-\,4y\,%2B\,1\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

De la première équation, on peut isoler :
$y\,=\,2x\,-\,2$

Remplaçons dans la deuxième équation :
$-x\,-\,4(2x\,-\,2)\,%2B\,1\,=\,0$
$-x\,-\,8x\,%2B\,8\,%2B\,1\,=\,0$
$-9x\,%2B\,9\,=\,0$
$x\,=\,1$

En substituant $x\,=\,1$ dans l’équation $y\,=\,2x\,-\,2$ :
$y\,=\,2(1)\,-\,2\,=\,0$

Donc, le point d’intersection de d_2 et d_4 est $(1%2C\,0)$ .

### Intersection de d_3 et d_4

Résolvons le système :
$\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,y\,-\,10\,=\,0\,\\%0D%0A-x\,-\,4y\,%2B\,1\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

De la première équation, on peut isoler :
$y\,=\,10\,-\,x$

Remplaçons dans la deuxième équation :
$-x\,-\,4(10\,-\,x)\,%2B\,1\,=\,0$
$-x\,-\,40\,%2B\,4x\,%2B\,1\,=\,0$
$3x\,-\,39\,=\,0$
$x\,=\,13$

En substituant $x\,=\,13$ dans l’équation $y\,=\,10\,-\,x$ :
$y\,=\,10\,-\,13\,=\,-3$

Donc, le point d’intersection de d_3 et d_4 est $(13%2C\,-3)$ .

En conclusion, ces droites sont deux à deux sécantes et les points d’intersection sont :

– d_1 et d_2 : $(3%2C\,4)$
– d_1 et d_3 : $(1%2C\,9)$
– d_1 et d_4 : $(5%2C\,-1)$
– d_2 et d_3 : $(4%2C\,6)$
– d_2 et d_4 : $(1%2C\,0)$
– d_3 et d_4 : $(13%2C\,-3)$

Exercice 18 : cinéma et tarifs de places
Soit le nombre de places plein tarif vendues et le nombre de places « carte 5 séances » vendues.

Nous avons les deux équations suivantes :

$x\,%2B\,y\,=\,324$

$12%2C50x\,%2B\,5y\,=\,3645$

Nous allons résoudre ce système d’équations.

1. Résolvons la première équation pour :
$y\,=\,324\,-\,x$

2. Remplaçons dans la deuxième équation :
$12%2C50x\,%2B\,5(324\,-\,x)\,=\,3645$

3. Simplifions l’équation :
$12%2C50x\,%2B\,1620\,-\,5x\,=\,3645$
$7%2C50x\,%2B\,1620\,=\,3645$

4. Isolons :
$7%2C50x\,=\,3645\,-\,1620$
$7%2C50x\,=\,2025$
$x\,=\,\frac{2025}{7%2C50}$
$x\,=\,270$

5. Utilisons pour trouver :
$y\,=\,324\,-\,270$
$y\,=\,54$

Nous avons donc :

270 places plein tarif vendues et

places « carte 5 séances » vendues.

Exercice 19 : charge d’un mulet
Soit le nombre de sacs que porte le mulet et le nombre de sacs que porte l’âne. D’après l’énoncé, nous avons deux conditions :

1. Si l’âne prend un sac du mulet, il portera deux fois plus de sacs que le mulet :
$y\,%2B\,1\,=\,2\,(x\,-\,1)$

2. Si le mulet prend un sac de l’âne, ils auront le même nombre de sacs :
$x\,%2B\,1\,=\,y\,-\,1$

Résolvons le système d’équations :

De la deuxième condition, nous obtenons :
$x\,%2B\,1\,=\,y\,-\,1\,\implies\,x\,-\,y\,=\,-2\,\implies\,y\,=\,x\,%2B\,2$

Substituons dans la première équation :
$y\,%2B\,1\,=\,2\,(x\,-\,1)$
$(x\,%2B\,2)\,%2B\,1\,=\,2\,(x\,-\,1)$
$x\,%2B\,3\,=\,2x\,-\,2$
$x\,%2B\,3\,%2B\,2\,=\,2x$
$x\,%2B\,5\,=\,2x$
$5\,=\,x$

Donc, en remplaçant par 5 dans $y\,=\,x\,%2B\,2$ :
$y\,=\,5\,%2B\,2$
$y\,=\,7$

Le mulet porte donc 5 sacs et l’âne en porte 7.

Exercice 20 : exercice à résoudre en anglais
a. Résolvons le système d’équations (S) :

$\begin{cases}%0D%0A5X\,%2B\,4Y\,=\,15\,\\%0D%0A3X\,%2B\,Y\,=\,16%0D%0A\end{cases}$

Pour éliminer , multiplions la deuxième équation par 4 :

$4(3X\,%2B\,Y)\,=\,4\,\times \,16\,\implies\,12X\,%2B\,4Y\,=\,64$

Nous avons maintenant deux équations :

$\begin{cases}%0D%0A5X\,%2B\,4Y\,=\,15\,\\%0D%0A12X\,%2B\,4Y\,=\,64%0D%0A\end{cases}$

Soustrayons la première équation de la deuxième :

$(12X\,%2B\,4Y)\,-\,(5X\,%2B\,4Y)\,=\,64\,-\,15\,\implies\,7X\,=\,49\,\implies\,X\,=\,7$

Substituons $X\,=\,7$ dans la deuxième équation du système original :

$3(7)\,%2B\,Y\,=\,16\,\implies\,21\,%2B\,Y\,=\,16\,\implies\,Y\,=\,16\,-\,21\,\implies\,Y\,=\,-5$

La solution du système (S) est donc :

$(X%2C\,Y)\,=\,(7%2C\,-5)$

b. En posant $X\,=\,\frac{1}{x}$ et $Y\,=\,\frac{1}{y}$ , les conditions d’existence de et sont :

$x\,\neq\,0\,\quad\,et\,\quad\,y\,\neq\,0$

Convertissons le système (S) en termes de et pour obtenir le système (S’) :

$\begin{cases}%0D%0A\frac{5}{x}\,%2B\,\frac{4}{y}\,=\,15\,\\%0D%0A\frac{3}{x}\,%2B\,\frac{1}{y}\,=\,16%0D%0A\end{cases}$

Pour résoudre ce système, il est pratique de poser $\frac{1}{x}\,=\,u$ et $\frac{1}{y}\,=\,v$ :

$\begin{cases}%0D%0A5u\,%2B\,4v\,=\,15\,\\%0D%0A3u\,%2B\,v\,=\,16%0D%0A\end{cases}$

Pour éliminer , multiplions la deuxième équation par 4 :

$4(3u\,%2B\,v)\,=\,4\,\times \,16\,\implies\,12u\,%2B\,4v\,=\,64$

Nous avons maintenant deux équations :

$\begin{cases}%0D%0A5u\,%2B\,4v\,=\,15\,\\%0D%0A12u\,%2B\,4v\,=\,64%0D%0A\end{cases}$

Soustrayons la première équation de la deuxième :

$(12u\,%2B\,4v)\,-\,(5u\,%2B\,4v)\,=\,64\,-\,15\,\implies\,7u\,=\,49\,\implies\,u\,=\,7$

Substituons $u\,=\,7$ dans la deuxième équation du système original :

$3(7)\,%2B\,v\,=\,16\,\implies\,21\,%2B\,v\,=\,16\,\implies\,v\,=\,16\,-\,21\,\implies\,v\,=\,-5$

Puisque $\frac{1}{x}\,=\,u$ et $\frac{1}{y}\,=\,v$ , nous avons :

$x\,=\,\frac{1}{u}\,=\,\frac{1}{7}\,\quad\,et\,\quad\,y\,=\,\frac{1}{v}\,=\,\frac{1}{-5}\,=\,-\frac{1}{5}$

La solution du système (S’) est donc :

$(x%2C\,y)\,=\,(\,\frac{1}{7}%2C\,-\frac{1}{5}\,)$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : le pivot de Gauss
La correction de l’exercice en utilisant LaTeX est la suivante :

« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

Voici les étapes de la méthode de résolution par le \textit{pivot de Gauss} :

\section*{Le pivot de Gauss}

Considérons le système suivant :
\begin{equation*}
\begin{cases}
x + y – 2z = 2 \quad \text{(L}_1\text{)} \\
2x + 4y – 6z = 2 \quad \text{(L}_2\text{)} \\
3x + 8y – 8z = 10 \quad \text{(L}_3\text{)}
\end{cases}
\end{equation*}

\subsection*{Étape 1}
On conserve (L_1) qui sert de « pivot » pour éliminer dans (L_2) et (L_3) par combinaison linéaire.

\begin{equation*}
(S) \equiv
\begin{cases}
x + y – 2z = 2 \quad \text{(L}_1\text{)}\\
0 + 2y – 2z = -2 \quad \text{(L}_2\text{)} – 2 \cdot \text{(L}_1\text{)} \\
0 + 5y – 2z = 4 \quad \text{(L}_3\text{)} – 3 \cdot \text{(L}_1\text{)}
\end{cases}
\end{equation*}

\subsection*{Étape 2}
La ligne (L_1) reste inchangée. La ligne (L_2) sert de « pivot » pour éliminer dans (L_3) .

\begin{equation*}
(S) \equiv
\begin{cases}
x + y – 2z = 2 \quad \text{(L}_1\text{)} \\
y – z = -1 \quad \text{(L}_2\text{)} \\
0 + 3z = 9 \quad \text{(L}_3\text{)} – 5 \cdot \text{(L}_2\text{)}
\end{cases}
\end{equation*}

\subsection*{Étape 3}
On résout (L_3) , puis on résout le système.

\begin{equation*}
(S) \equiv
\begin{cases}
x + y – 2z = 2 \quad \text{(L}_1\text{)} \\
y – z = -1 \quad \text{(L}_2\text{)} \\
z = 3 \quad \text{(L}_3\text{)}
\end{cases}
\end{equation*}

En utilisant (L_3) dans (L_2) et ensuite dans (L_1) , on obtient :

\begin{equation*}
\begin{cases}
y – 3 = -1 \quad \implies y = 2 \\
x + 2 – 6 = 2 \quad \implies x = 6
\end{cases}
\end{equation*}

Finalement l’ensemble solution est $\{6%3B\,2%3B\,3\}$ .

\newpage
Résoudre le système :
$\begin{cases}%0D%0Ax\,-\,y\,%2B\,3z\,=\,13\,\\%0D%0A-x\,%2B\,3y\,%2B\,z\,=\,-22\,\\%0D%0A3x\,%2B\,y\,%2B\,8z\,=\,20%0D%0A\end{cases}$

\end{document}
« `

Cette correction reprend les étapes de la méthode du pivot de Gauss décrites dans l’image fournie, et résout le système en appliquant cette méthode.

Exercice 22 : un restaurant argentin
Notons le prix d’une empanada végétarienne et le prix d’une empanada au bœuf.

D’après l’énoncé, nous avons le système d’équations suivant :

$\begin{cases}%0D%0A5x\,%2B\,y\,=\,11%2C50\,\\%0D%0A2x\,%2B\,3y\,=\,12%2C40%0D%0A\end{cases}$

Pour résoudre ce système, nous allons utiliser la méthode de substitution ou d’élimination.

$Etape\,1\,%3A\,Isoler\,une\,variable\,dans\,une\,des\,equations$

De la première équation, isolons :

$y\,=\,11%2C50\,-\,5x$

$Etape\,2\,%3A\,Remplacer\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fy%22\,alt=%22y$ dans la deuxieme equation » align= »absmiddle » />

Remplaçons dans la deuxième équation par $11%2C50\,-\,5x$ :

$2x\,%2B\,3(11%2C50\,-\,5x)\,=\,12%2C40$

$Etape\,3\,%3A\,Resoudre\,l'equation\,obtenue$

Développons et simplifions :

$2x\,%2B\,34%2C50\,-\,15x\,=\,12%2C40$

Regroupons les termes similaires :

$-13x\,%2B\,34%2C50\,=\,12%2C40$

Soustrayons 34,50 des deux côtés :

$-13x\,=\,12%2C40\,-\,34%2C50$

Calculons :

$-13x\,=\,-22%2C10$

Divisons par :

$x\,=\,\frac{-22%2C10}{-13}\,=\,1%2C70$

$Etape\,4\,%3A\,Trouver\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fy%22\,alt=%22y$ a partir de la premiere equation » align= »absmiddle » />

Substituons dans $y\,=\,11%2C50\,-\,5x$ :

$y\,=\,11%2C50\,-\,5\,\times \,1%2C70$

Calculons :

$y\,=\,11%2C50\,-\,8%2C50\,=\,3%2C00$

Ainsi, le prix d’une empanada végétarienne est $x\,=\,1%2C70$ euros et le prix d’une empanada au bœuf est $y\,=\,3%2C00$ euros.

Exercice 23 : trouver les coordonnées du point d’intersection
1.a) Les coordonnées du point d’intersection des deux droites peuvent être trouvées en résolvant le système d’équations suivant :
$\begin{cases}%0D%0A5x\,-\,6y\,%2B\,4\,=\,0\,\\%0D%0A-6x\,%2B\,9y\,-\,7\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

1.b) Pour vérifier si un point appartient aux deux droites, il suffit de vérifier s’il satisfait les deux équations simultanément.

2. On vérifie les coordonnées $(x%2C\,y)$ du point d’intersection en résolvant le système d’équations :
$\begin{cases}%0D%0A5x\,-\,6y\,%2B\,4\,=\,0\,\\%0D%0A-6x\,%2B\,9y\,-\,7\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

3. Multiplions la première équation par 6 et la seconde équation par 5 :
$\begin{cases}%0D%0A6(5x\,-\,6y\,%2B\,4)\,=\,0\,\\%0D%0A5(-6x\,%2B\,9y\,-\,7)\,=\,0%0D%0A\end{cases}$
Ce qui donne :
$\begin{cases}%0D%0A30x\,-\,36y\,%2B\,24\,=\,0\,\\%0D%0A-30x\,%2B\,45y\,-\,35\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

4. En additionnant les deux équations, nous obtenons :
$30x\,-\,36y\,%2B\,24\,-\,30x\,%2B\,45y\,-\,35\,=\,0\,\to\,9y\,-\,11\,=\,0\,\to\,y\,=\,\frac{11}{9}$

5. De même, nous pouvons déterminer en multipliant la première équation par 9 et la seconde équation par 6 :
$\begin{cases}%0D%0A9(5x\,-\,6y\,%2B\,4)\,=\,0\,\\%0D%0A6(-6x\,%2B\,9y\,-\,7)\,=\,0%0D%0A\end{cases}$
Ce qui donne :
$\begin{cases}%0D%0A45x\,-\,54y\,%2B\,36\,=\,0\,\\%0D%0A-36x\,%2B\,54y\,-\,42\,=\,0%0D%0A\end{cases}$
En additionnant les deux équations, nous obtenons :
$45x\,-\,54y\,%2B\,36\,-\,36x\,%2B\,54y\,-\,42\,=\,0\,\to\,9x\,-\,6\,=\,0\,\to\,x\,=\,\frac{6}{9}\,=\,\frac{2}{3}$

6. Les coordonnées du point d’intersection des deux droites sont $(\,\frac{2}{3}%2C\,\frac{11}{9}\,)$ . Vérifions ces coordonnées dans les deux équations originales :
$5x\,-\,6y\,%2B\,4\,=\,5(\,\frac{2}{3}\,)\,-\,6(\,\frac{11}{9}\,)\,%2B\,4\,=\,\frac{10}{3}\,-\,\frac{66}{9}\,%2B\,4\,=\,0$
$-6x\,%2B\,9y\,-\,7\,=\,-6(\,\frac{2}{3}\,)\,%2B\,9(\,\frac{11}{9}\,)\,-\,7\,=\,-4\,%2B\,11\,-\,7\,=\,0$

Ainsi, les coordonnées $(\,\frac{2}{3}%2C\,\frac{11}{9}\,)$ vérifient bien les deux équations, confirmant qu’elles représentent le point d’intersection des deux droites.

Exercice 24 : substitution et résolution du système de deux équations
Pour résoudre le système par substitution, nous allons d’abord isoler dans la deuxième équation, puis substituer cette expression dans la première équation.

Le système est donné par:

$\begin{cases}%0D%0A4x\,-\,3y\,%2B\,1\,=\,0\,\\%0D%0A-2x\,%2B\,y\,%2B\,3\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

1. Isolons dans la deuxième équation :

$-2x\,%2B\,y\,%2B\,3\,=\,0$
$y\,=\,2x\,-\,3$

2. Substituons cette valeur de dans la première équation :

$4x\,-\,3(2x\,-\,3)\,%2B\,1\,=\,0$

3. Résolvons pour :

$4x\,-\,6x\,%2B\,9\,%2B\,1\,=\,0$
$-2x\,%2B\,10\,=\,0$
$-2x\,=\,-10$
$x\,=\,5$

4. Maintenant, substituons $x\,=\,5$ dans l’expression $y\,=\,2x\,-\,3$ :

$y\,=\,2(5)\,-\,3$
$y\,=\,10\,-\,3$
$y\,=\,7$

Ainsi, la solution du système est:

$(x%2C\,y)\,=\,(5%2C\,7)$

Vérifions la solution en substituant $x\,=\,5$ et $y\,=\,7$ dans les deux équations d’origine.

Pour la première équation :

$4(5)\,-\,3(7)\,%2B\,1\,=\,0$
$20\,-\,21\,%2B\,1\,=\,0$
$0\,=\,0$

Pour la deuxième équation :

$-2(5)\,%2B\,7\,%2B\,3\,=\,0$
$-10\,%2B\,7\,%2B\,3\,=\,0$
$0\,=\,0$

La solution est correcte.

Exercice 25 : système et résolution par combinaison
Pour résoudre le système de l’équation donné, nous combinons les deux lignes L_1 et L_2 :

$\begin{cases}%0D%0A3x\,-\,2y\,%2B\,1\,=\,0\,\quad\,(L_1)\,\\%0D%0A-2x\,%2B\,4y\,=\,3\,\quad\,(L_2)%0D%0A\end{cases}$

Nous commençons par multiplier L_1 par 2 pour que les coefficients de dans les deux équations soient les mêmes (mais opposés, pour pouvoir les combiner):

$2\,\cdot\,(3x\,-\,2y\,%2B\,1)\,=\,2\,\cdot\,0$

Cela donne:

$6x\,-\,4y\,%2B\,2\,=\,0\,\quad\,(L_1')$

Nous avons maintenant le système mis à jour:

$\begin{cases}%0D%0A6x\,-\,4y\,%2B\,2\,=\,0\,\quad\,(L_1')\,\\%0D%0A-2x\,%2B\,4y\,=\,3\,\quad\,(L_2)%0D%0A\end{cases}$

Nous additionnons L_1' et L_2 pour éliminer :

$(6x\,-\,4y\,%2B\,2)\,%2B\,(-2x\,%2B\,4y)\,=\,0\,%2B\,3$

Cela simplifie à:

$6x\,-\,2x\,-\,4y\,%2B\,4y\,%2B\,2\,=\,3$

$4x\,%2B\,2\,=\,3$

Nous résolvons alors pour :

$4x\,%2B\,2\,=\,3$

$4x\,=\,3\,-\,2$

$4x\,=\,1$

$x\,=\,\frac{1}{4}$

Nous remplaçons la valeur de dans l’une des équations originales (par exemple L_1 ) pour trouver :

$3\,(\frac{1}{4})\,-\,2y\,%2B\,1\,=\,0$

$\frac{3}{4}\,-\,2y\,%2B\,1\,=\,0$

$\frac{3}{4}\,%2B\,1\,-\,2y\,=\,0$

$\frac{3}{4}\,%2B\,\frac{4}{4}\,-\,2y\,=\,0$

$\frac{7}{4}\,-\,2y\,=\,0$

$2y\,=\,\frac{7}{4}$

$y\,=\,\frac{7}{8}$

La solution du système est donc:

$x\,=\,\frac{1}{4}%2C\,\quad\,y\,=\,\frac{7}{8}$

Exercice 26 : café et croissants
$Soient\,\,x\,\,le\,prix\,d'un\,cafe\,et\,\,y\,\,le\,prix\,d'un\,croissant.$

1. Le premier achat donne l’équation :
$x\,%2B\,3y\,=\,7%2C5$

2. Le second achat donne l’équation :
$3x\,%2B\,4y\,=\,12%2C5$

Nous avons donc le système d’équations suivant :
$\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,3y\,=\,7%2C5\,\\%0D%0A3x\,%2B\,4y\,=\,12%2C5%0D%0A\end{cases}$

Pour résoudre ce système, commençons par isoler dans la première équation :

$x\,=\,7%2C5\,-\,3y$

Substituons cette expression de dans la deuxième équation :

$3(7%2C5\,-\,3y)\,%2B\,4y\,=\,12%2C5$

En simplifiant :
$22%2C5\,-\,9y\,%2B\,4y\,=\,12%2C5$

$22%2C5\,-\,5y\,=\,12%2C5$

$-5y\,=\,12%2C5\,-\,22%2C5$

$-5y\,=\,-10$

$y\,=\,2$

Maintenant, remplaçons par 2 dans l’équation $x\,=\,7%2C5\,-\,3y$ :

$x\,=\,7%2C5\,-\,3\,\cdot\,2$

$x\,=\,7%2C5\,-\,6$

$x\,=\,1%2C5$

Les prix d’un café et d’un croissant sont donc $x\,=\,1%2C5$ et $y\,=\,2$ . La réponse correcte est donc :

b) $x\,=\,1%2C5$ et $y\,=\,2$ .

Exercice 27 : système de deux équations à deux inconnues par substitution
Pour résoudre le système par substitution, commençons par isoler dans la première équation.

$\begin{cases}%0D%0A-2x\,%2B\,y\,-\,1\,=\,0\,\\%0D%0A3x\,-\,4y\,%2B\,2\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

1. On résout la première équation pour :

$-2x\,%2B\,y\,-\,1\,=\,0$
$y\,=\,2x\,%2B\,1$

2. On substitue cette expression de dans la deuxième équation:

$3x\,-\,4(2x\,%2B\,1)\,%2B\,2\,=\,0$
$3x\,-\,8x\,-\,4\,%2B\,2\,=\,0$
$3x\,-\,8x\,-\,2\,=\,0$
$-5x\,-\,2\,=\,0$
$-5x\,=\,2$
$x\,=\,-\frac{2}{5}$

3. On substitue la valeur de dans l’expression de :

$y\,=\,2(-\frac{2}{5})\,%2B\,1$
$y\,=\,-\frac{4}{5}\,%2B\,1$
$y\,=\,-\frac{4}{5}\,%2B\,\frac{5}{5}$
$y\,=\,\frac{1}{5}$

La solution du système est donc:

$(x%2C\,y)\,=\,(-\frac{2}{5}%2C\,\frac{1}{5})$

Exercice 28 : deux systèmes à résoudre par substitution
$Question\,a)$
$\begin{cases}%0D%0A-x\,%2B\,3y\,-\,4\,=\,0\,\\%0D%0A-2x\,%2B\,5y\,-\,1\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

1. Exprimons en fonction de à partir de la première équation :

$-x\,%2B\,3y\,-\,4\,=\,0\,\implies\,x\,=\,3y\,-\,4$

2. Substituons dans la deuxième équation :

$-2(3y\,-\,4)\,%2B\,5y\,-\,1\,=\,0$

3. Résolvons l’équation obtenue :

$-6y\,%2B\,8\,%2B\,5y\,-\,1\,=\,0$

$-y\,%2B\,7\,=\,0$

$y\,=\,7$

4. Utilisons la valeur de pour déterminer :

$x\,=\,3y\,-\,4\,=\,3\,\times \,7\,-\,4\,=\,21\,-\,4\,=\,17$

Solution au système : $(x%2C\,y)\,=\,(17%2C\,7)$

$Question\,b)$
$\begin{cases}%0D%0A3x\,-\,2y\,%2B\,1\,=\,0\,\\%0D%0A-5x\,-\,y\,-\,2\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

1. Exprimons en fonction de à partir de la deuxième équation :

$-5x\,-\,y\,-\,2\,=\,0\,\implies\,y\,=\,-5x\,-\,2$

2. Substituons dans la première équation :

$3x\,-\,2(-5x\,-\,2)\,%2B\,1\,=\,0$

3. Résolvons l’équation obtenue :

$3x\,%2B\,10x\,%2B\,4\,%2B\,1\,=\,0$

$13x\,%2B\,5\,=\,0$

$13x\,=\,-5$

$x\,=\,-\frac{5}{13}$

4. Utilisons la valeur de pour déterminer :

$y\,=\,-5x\,-\,2\,=\,-5\,(\,-\frac{5}{13}\,)\,-\,2\,=\,\frac{25}{13}\,-\,2\,=\,\frac{25}{13}\,-\,\frac{26}{13}\,=\,-\frac{1}{13}$

Solution au système : $(x%2C\,y)\,=\,(-\frac{5}{13}%2C\,-\frac{1}{13})$

Exercice 29 : résolution de systèmes et substitution
a)
$\begin{cases}%0D%0Ax\,-\,2y\,-\,3\,=\,0\,\\%0D%0A-3x\,%2B\,6y\,%2B\,1\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

Commençons par isoler dans la première équation :
$x\,=\,2y\,%2B\,3$

Substituons cette expression pour dans la deuxième équation :
$-3(2y\,%2B\,3)\,%2B\,6y\,%2B\,1\,=\,0$

Développons et simplifions :
$-6y\,-\,9\,%2B\,6y\,%2B\,1\,=\,0\,\\%0D%0A-8\,=\,0$

Cette équation est inconsistente, donc le système n’a pas de solution.

b)
$\begin{cases}%0D%0A3x\,-\,y\,=\,2\,\\%0D%0A-2x\,%2B\,5y\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

Commençons par isoler dans la première équation :
$y\,=\,3x\,-\,2$

Substituons cette expression pour dans la deuxième équation :
$-2x\,%2B\,5(3x\,-\,2)\,=\,0$

Développons et simplifions :
$-2x\,%2B\,15x\,-\,10\,=\,0\,\\%0D%0A13x\,-\,10\,=\,0$
$x\,=\,\frac{10}{13}$

Substituons $x\,=\,\frac{10}{13}$ dans l’expression pour :
$y\,=\,3(\frac{10}{13})\,-\,2\,\\%0D%0Ay\,=\,\frac{30}{13}\,-\,\frac{26}{13}\,\\%0D%0Ay\,=\,\frac{4}{13}$

Les solutions sont :
$x\,=\,\frac{10}{13}%2C\,\quad\,y\,=\,\frac{4}{13}$

Le système a pour solution :
$(\,\frac{10}{13}%2C\,\frac{4}{13}\,)$

Exercice 30 : résolution par substitution de systèmes
a)
\begin{equation}
\begin{cases}
5x – 3y = -1 \\
x – 2y + 3 = 0
\end{cases}
\end{equation}

On commence par isoler dans la deuxième équation :
\begin{equation}
x – 2y + 3 = 0 \implies x = 2y – 3
\end{equation}

On substitue cette valeur de dans la première équation :
\begin{equation}
5(2y – 3) – 3y = -1 \\
10y – 15 – 3y = -1
\end{equation}

On simplifie :
\begin{equation}
7y – 15 = -1 \\
7y = 14 \\
y = 2
\end{equation}

On substitue $y\,=\,2$ dans $x\,=\,2y\,-\,3$ pour trouver :
\begin{equation}
x = 2(2) – 3 \\
x = 4 – 3 \\
x = 1
\end{equation}

La solution du système est $(x%2C\,y)\,=\,(1%2C\,2)$ .

b)
\begin{equation}
\begin{cases}
y = -2x – 1 \\
y = 3x + 4
\end{cases}
\end{equation}

On substitue $y\,=\,3x\,%2B\,4$ dans $y\,=\,-2x\,-\,1$ :
\begin{equation}
3x + 4 = -2x – 1
\end{equation}

On résout pour :
\begin{equation}
3x + 2x = -1 – 4 \\
5x = -5 \\
x = -1
\end{equation}

On substitue $x\,=\,-1$ dans $y\,=\,3x\,%2B\,4$ pour trouver :
\begin{equation}
y = 3(-1) + 4 \\
y = -3 + 4 \\
y = 1
\end{equation}

La solution du système est $(x%2C\,y)\,=\,(-1%2C\,1)$ .

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : résoudre par substitution ces deux systèmes
a) Système :

$\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,\frac{2}{3}x\,-\,1\,\\%0D%0Ay\,=\,-\frac{3}{4}x\,%2B\,2%0D%0A\end{cases}$

Utilisons la substitution. Égalons les deux expressions de :

$\frac{2}{3}x\,-\,1\,=\,-\frac{3}{4}x\,%2B\,2$

Multipliant toute l’équation par 12 (le PPCM de 3 et 4) pour éliminer les fractions :

$12\,(\frac{2}{3}x\,-\,1)\,=\,12\,(-\frac{3}{4}x\,%2B\,2)$

$8x\,-\,12\,=\,-9x\,%2B\,24$

Ajoutons des deux côtés :

$8x\,%2B\,9x\,-\,12\,=\,24$

$17x\,-\,12\,=\,24$

Ajoutons 12 des deux côtés :

$17x\,=\,36$

Divisons par 17 :

$x\,=\,\frac{36}{17}$

Substituons $x\,=\,\frac{36}{17}$ dans $y\,=\,\frac{2}{3}x\,-\,1$ :

$y\,=\,\frac{2}{3}\,(\frac{36}{17})\,-\,1$

$y\,=\,\frac{72}{51}\,-\,1$

$y\,=\,\frac{72}{51}\,-\,\frac{51}{51}$

$y\,=\,\frac{21}{51}$

$y\,=\,\frac{7}{17}$

La solution est :

$(\,x%2C\,y\,)\,=\,(\,\frac{36}{17}%2C\,\frac{7}{17}\,)$

b) Système :

$\begin{cases}%0D%0A2%2C4x\,%2B\,y\,-\,1%2C5\,=\,0\,\\%0D%0A-4%2C2x\,-\,2y\,%2B\,2%2C5\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

Isolons dans la première équation :

$y\,=\,1%2C5\,-\,2%2C4x$

Substituons cette expression dans la deuxième équation :

$-4%2C2x\,-\,2(1%2C5\,-\,2%2C4x)\,%2B\,2%2C5\,=\,0$

$-4%2C2x\,-\,3\,%2B\,4%2C8x\,%2B\,2%2C5\,=\,0$

$0%2C6x\,-\,0%2C5\,=\,0$

Ajoutons 0,5 des deux côtés :

$0%2C6x\,=\,0%2C5$

Divisons par 0,6 :

$x\,=\,\frac{0%2C5}{0%2C6}$

$x\,=\,\frac{5}{6}$

Substituons $x\,=\,\frac{5}{6}$ dans $y\,=\,1%2C5\,-\,2%2C4x$ :

$y\,=\,1%2C5\,-\,2%2C4(\frac{5}{6})$

$y\,=\,1%2C5\,-\,2$

$y\,=\,-0%2C5$

La solution est :

$(\,x%2C\,y\,)\,=\,(\frac{5}{6}%2C\,-0%2C5\,)$

Exercice 32 : résoudre par la méthode par combinaison
Pour résoudre le système suivant par combinaison :

$\begin{cases}%0D%0A-2x\,%2B\,3y\,-\,1\,=\,0\,\\%0D%0A3x\,-\,4y\,%2B\,2\,=\,0\,\\%0D%0A\end{cases}$

1. Nous commençons par réécrire les équations sous une forme plus standard :

$\begin{cases}%0D%0A-2x\,%2B\,3y\,=\,1\,\\%0D%0A3x\,-\,4y\,=\,-2\,\\%0D%0A\end{cases}$

2. Multipliant la première équation par 3 et la deuxième équation par 2 pour rendre les coefficients de égaux :

$\begin{cases}%0D%0A-6x\,%2B\,9y\,=\,3\,\\%0D%0A6x\,-\,8y\,=\,-4\,\\%0D%0A\end{cases}$

3. Nous ajoutons maintenant les deux équations pour éliminer :

$(-6x\,%2B\,9y)\,%2B\,(6x\,-\,8y)\,=\,3\,%2B\,(-4)$

Ce qui simplifie à :

$y\,=\,-1$

Nous avons trouvé $y\,=\,-1$ .

4. Nous remplaçons maintenant dans l’une des équations originales pour trouver . Utilisons la première équation :

$-2x\,%2B\,3(-1)\,=\,1$

Ce qui donne :

$-2x\,-\,3\,=\,1$

En ajoutant 3 des deux côtés :

$-2x\,=\,4$

En divisant par -2 :

$x\,=\,-2$

5. La solution du système est donc :

$(x%2C\,y)\,=\,(-2%2C\,-1)$

Exercice 33 : méthode par combinaison linéaire
Pour le système a) :

$\begin{cases}%0D%0A-2x\,%2B\,5y\,-\,1\,=\,0\,\quad\,(1)\\%0D%0A3x\,-\,4y\,%2B\,2\,=\,0\,\quad\,(2)%0D%0A\end{cases}$

Nous allons d’abord simplifier les équations.

De (1), nous obtenons :
$-2x\,%2B\,5y\,=\,1\,\quad\,(1')$

De (2), nous obtenons :
$3x\,-\,4y\,=\,-2\,\quad\,(2')$

Pour éliminer , multiplions (1′) par 3 et (2′) par 2 :

Multipliée par 3 :
$-6x\,%2B\,15y\,=\,3\,\quad\,(3)$

Multipliée par 2 :
$6x\,-\,8y\,=\,-4\,\quad\,(4)$

Additionnons les deux équations (3) et (4) :
$-6x\,%2B\,15y\,%2B\,6x\,-\,8y\,=\,3\,-\,4$

Ce qui donne :
$7y\,=\,-1$

D’où :
$y\,=\,-\frac{1}{7}$

Remplaçons dans (1′) pour trouver :
$-2x\,%2B\,5\,(\,-\frac{1}{7}\,)\,=\,1$

Ce qui donne :
$-2x\,-\,\frac{5}{7}\,=\,1$

En multipliant toute l’équation par 7 pour éliminer le dénominateur :
$-14x\,-\,5\,=\,7$

D’où :
$-14x\,=\,12$

$x\,=\,-\frac{12}{14}\,=\,-\frac{6}{7}$

Donc, la solution du système a) est :
$(\,x%2C\,y\,)\,=\,(\,-\frac{6}{7}%2C\,-\frac{1}{7}\,)$

Pour le système b) :

$\begin{cases}%0D%0A-4x\,%2B\,7y\,-\,1\,=\,0\,\quad\,(1)\\%0D%0A3x\,-\,4y\,%2B\,2\,=\,0\,\quad\,(2)%0D%0A\end{cases}$

Nous allons d’abord simplifier les équations.

De (1), nous obtenons :
$-4x\,%2B\,7y\,=\,1\,\quad\,(1')$

De (2), nous obtenons :
$3x\,-\,4y\,=\,-2\,\quad\,(2')$

Pour éliminer , multiplions (1′) par 3 et (2′) par 4 :

Multipliée par 3 :
$-12x\,%2B\,21y\,=\,3\,\quad\,(3)$

Multipliée par 4 :
$12x\,-\,16y\,=\,-8\,\quad\,(4)$

Additionnons les deux équations (3) et (4) :
$-12x\,%2B\,21y\,%2B\,12x\,-\,16y\,=\,3\,-\,8$

Ce qui donne :
$5y\,=\,-5$

D’où :
$y\,=\,-1$

Remplaçons dans (1′) pour trouver :
$-4x\,%2B\,7\,(\,-1\,)\,=\,1$

Ce qui donne :
$-4x\,-\,7\,=\,1$

D’où :
$-4x\,=\,8$

$x\,=\,-2$

Donc, la solution du système b) est :
$(\,x%2C\,y\,)\,=\,(\,-2%2C\,-1\,)$

Exercice 34 : résoudre par la méthode la plus adapatée
Correction des systèmes d’équations

a) Système:
$\begin{cases}%0D%0A-3x\,%2B\,4y\,=\,1\,\\%0D%0A2x\,-\,5y\,=\,-2%0D%0A\end{cases}$

Pour résoudre ce système, utilisons la méthode de substitution. On commence par isoler de la première équation:

$-3x\,%2B\,4y\,=\,1\,\implies\,x\,=\,\frac{4y\,-\,1}{3}$

Substituons dans la deuxième équation :

$2(\frac{4y\,-\,1}{3})\,-\,5y\,=\,-2$

Résolvons cette équation:

$\frac{8y\,-\,2}{3}\,-\,5y\,=\,-2$

Multiplions par 3 pour éliminer le dénominateur :

$8y\,-\,2\,-\,15y\,=\,-6\,\implies\,-7y\,-\,2\,=\,-6\,\implies\,-7y\,=\,-4\,\implies\,y\,=\,\frac{4}{7}$

Substituons $y\,=\,\frac{4}{7}$ dans $x\,=\,\frac{4y\,-\,1}{3}$ :

$x\,=\,\frac{4(\frac{4}{7})\,-\,1}{3}\,=\,\frac{\frac{16}{7}\,-\,1}{3}\,=\,\frac{\frac{9}{7}}{3}\,=\,\frac{9}{21}\,=\,\frac{3}{7}$

Donc, la solution du système est:

$(\,x%2C\,y\,)\,=\,(\,\frac{3}{7}%2C\,\frac{4}{7}\,)$

b) Système:
$\begin{cases}%0D%0A4x\,-\,3y\,=\,-2\,\\%0D%0A2x\,-\,5y\,=\,3%0D%0A\end{cases}$

Pour résoudre ce système, utilisons la méthode de substitution. Isolons de la première équation :

$4x\,-\,3y\,=\,-2\,\implies\,x\,=\,\frac{3y\,-\,2}{4}$

Substituons dans la deuxième équation :

$2(\frac{3y\,-\,2}{4})\,-\,5y\,=\,3$

Résolvons cette équation:

$\frac{6y\,-\,4}{4}\,-\,5y\,=\,3\,\implies\,\frac{6y\,-\,4}{4}\,-\,5y\,=\,3$

Multiplions par 4 pour éliminer le dénominateur :

$6y\,-\,4\,-\,20y\,=\,12\,\implies\,-14y\,-\,4\,=\,12\,\implies\,-14y\,=\,16\,\implies\,y\,=\,-\frac{8}{7}$

Substituons $y\,=\,-\frac{8}{7}$ dans $x\,=\,\frac{3y\,-\,2}{4}$ :

$x\,=\,\frac{3(-\frac{8}{7})\,-\,2}{4}\,\implies\,x\,=\,\frac{-\frac{24}{7}\,-\,2}{4}\,=\,\frac{-\frac{24}{7}\,-\,\frac{14}{7}}{4}\,=\,\frac{-\frac{38}{7}}{4}\,=\,\frac{-38}{28}\,=\,-\frac{19}{14}.$

Donc, la solution du système est:

$(\,x%2C\,y\,)\,=\,(\,-\frac{19}{14}%2C\,-\frac{8}{7}\,)$

c) Système:
$\begin{cases}%0D%0A-3x\,%2B\,y\,=\,-1\,\\%0D%0A2x\,-\,3y\,=\,-2%0D%0A\end{cases}$

Pour résoudre ce système, utilisons la méthode de substitution. Isolons de la première équation :

$-3x\,%2B\,y\,=\,-1\,\implies\,y\,=\,3x\,-\,1$

Substituons $y\,=\,3x\,-\,1$ dans la deuxième équation :

$2x\,-\,3(3x\,-\,1)\,=\,-2$

Résolvons cette équation :

$2x\,-\,9x\,%2B\,3\,=\,-2\,\implies\,-7x\,%2B\,3\,=\,-2\,\implies\,-7x\,=\,-5\,\implies\,x\,=\,\frac{5}{7}$

Substituons $x\,=\,\frac{5}{7}$ dans $y\,=\,3x\,-\,1$ :

$y\,=\,3(\frac{5}{7})\,-\,1\,\implies\,y\,=\,\frac{15}{7}\,-\,1\,=\,\frac{15}{7}\,-\,\frac{7}{7}\,=\,\frac{8}{7}$

Donc, la solution du système est:

$(\,x%2C\,y\,)\,=\,(\,\frac{5}{7}%2C\,\frac{8}{7}\,)$

d) Système:
$\begin{cases}%0D%0A-3x\,%2B\,2y\,=\,1\,\\%0D%0A3x\,-\,2y\,=\,-2%0D%0A\end{cases}$

Pour ce système, remarquons que les coefficients des équations sont simplement les opposés l’un de l’autre. Additionnons les deux équations :

$(-3x\,%2B\,2y)\,%2B\,(3x\,-\,2y)\,=\,1\,%2B\,(-2)\,\implies\,0\,=\,-1$

Cela conduit à une contradiction, ce qui implique que le système n’a pas de solution.

Donc, le système n’a pas de solution.

$Pas\,de\,solution$

Exercice 35 : représentations graphiques et systèmes
a) $\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,2x\,%2B\,4\,\\%0D%0Ay\,=\,-x\,%2B\,1%0D%0A\end{cases}$

Pour trouver la solution, cherchons le point d’intersection des droites d_1 et d_2 . Graphiquement, nous observons que les droites $y\,=\,2x\,%2B\,4$ (droite orange) et $y\,=\,-x\,%2B\,1$ (droite verte) se croisent au point $(-1%2C\,2)$ .

Donc, la solution du système est $(x%2C\,y)\,=\,(-1%2C\,2)$ .

b) $\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,-x\,-\,2\,\\%0D%0Ay\,=\,-x\,%2B\,1%0D%0A\end{cases}$

Les équations $y\,=\,-x\,-\,2$ (droite verte) et $y\,=\,-x\,%2B\,1$ (droite rose) représentent des droites parallèles. Les droites parallèles n’ont pas de point d’intersection.

Donc, il n’y a pas de solution pour ce système.

c) $\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,2x\,%2B\,4\,\\%0D%0Ay\,=\,-x\,-\,2%0D%0A\end{cases}$

Pour trouver la solution, cherchons le point d’intersection des droites d_1 et d_B . Graphiquement, nous observons que les droites $y\,=\,2x\,%2B\,4$ (droite orange) et $y\,=\,-x\,-\,2$ (droite verte) se croisent au point $(-2%2C\,0)$ .

Donc, la solution du système est $(x%2C\,y)\,=\,(-2%2C\,0)$ .

Exercice 36 : a l’aide des représentations graphiques, résoudre ces systèmes
\paragraph{Correction de l’exercice}

[a)]
$\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,-2x\,%2B\,3\,\\%0D%0Ay\,=\,3x\,-\,2%0D%0A\end{cases}$
La solution graphique du système correspond au point d’intersection des deux droites d_1 et d_2 .

En observant la représentation graphique, on remarque que les droites d_1 et d_2 se coupent au point $(1%2C\,1)$ .

Donc, la solution du système est :
$(x%2C\,y)\,=\,(1%2C\,1)$

[b)]
$\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,3x\,-\,2\,\\%0D%0Ax\,=\,3%0D%0A\end{cases}$
La solution graphique du système correspond au point d’intersection de la droite d_2 avec la verticale passant par $x\,=\,3$ .

En observant la représentation graphique, on remarque que la droite d_2 coupe la droite d_3 au point $(3%2C\,7)$ .

Donc, la solution du système est :
$(x%2C\,y)\,=\,(3%2C\,7)$

[c)]
$\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,-2x\,%2B\,3\,\\%0D%0Ax\,=\,3%0D%0A\end{cases}$
La solution graphique du système correspond au point d’intersection de la droite d_1 avec la verticale passant par $x\,=\,3$ .

En observant la représentation graphique, on remarque que la droite d_1 coupe la droite d_3 au point $(3%2C\,-3)$ .

Donc, la solution du système est :
$(x%2C\,y)\,=\,(3%2C\,-3)$

Exercice 37 : déterminer des équations de droites et intersection
a) Les équations des deux droites:

Pour déterminer les équations des droites, nous utiliserons la forme générale de la droite : $y\,=\,mx\,%2B\,b$ , où est la pente et est l’ordonnée à l’origine.

Pour la droite d_1 :

– Nous voyons que d_1 passe par les points $(0%2C\,0)$ et $(4%2C\,2)$ .

La pente m_1 est donnée par :
$m_1\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}\,=\,\frac{2\,-\,0}{4\,-\,0}\,=\,\frac{1}{2}$

L’ordonnée à l’origine b_1 est 0 car d_1 passe par l’origine.

Donc, l’équation de d_1 est :
$y\,=\,\frac{1}{2}x$

Pour la droite d_2 :

– Nous voyons que d_2 passe par les points $(0%2C\,3)$ et $(2%2C\,4)$ .

La pente m_2 est donnée par :
$m_2\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}\,=\,\frac{4\,-\,3}{2\,-\,0}\,=\,\frac{1}{2}$

L’ordonnée à l’origine b_2 est 3.

Donc, l’équation de d_2 est :
$y\,=\,\frac{1}{2}x\,%2B\,3$

b) Calculer les coordonnées du point d’intersection :

Pour trouver le point d’intersection des droites d_1 et d_2 , nous devons résoudre le système d’équations suivant :
$\frac{1}{2}x\,=\,\frac{1}{2}x\,%2B\,3$

En résolvant l’équation :
$\frac{1}{2}x\,-\,\frac{1}{2}x\,=\,3$
$0\,\neq\,3$

L’équation est une contradiction, ce qui signifie que ces deux droites sont parallèles et ne se coupent pas. Par conséquent, il n’y a pas de point d’intersection.

Ainsi :
$Il\,n'y\,a\,pas\,de\,point\,d'intersection\,car\,les\,droites\,\,d_1\,\,et\,\,d_2\,\,sont\,paralleles.$