Systèmes de deux équations à deux inconnues : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 11 : résoudre par combinaison ce système
Pour résoudre ce système par combinaison linéaire, nous allons utiliser les équations \(E_1\) et \(E_2\):

\[
\begin{cases}
x + 2y = 10 (E_1) \\
-2x + 3y = 1 (E_2)
\end{cases}
\]

Tout d’abord, nous multiplions l’équation \(E_1\) par 2 pour obtenir les coefficients de \(x\) opposés en \(E_1\) et \(E_2\):

\[
2(x + 2y) = 2 \cdot 10
\]

Ce qui donne :

\[
2x + 4y = 20 \quad (E_1′)
\]

Nous additionnons \(E_1’\) et \(E_2\) :

\[
\begin{cases}
2x + 4y = 20 (E_1′) \\
-2x + 3y = 1 (E_2)
\end{cases}
\]

En additionnant ces deux équations :

\[
(2x – 2x) + (4y + 3y) = 20 + 1
\]

Nous obtenons :

\[
7y = 21
\]

Nous résolvons pour \(y\) :

\[
y = \frac{21}{7} = 3
\]

Ensuite, nous substituons \(y\) dans \(E_1\) pour trouver \(x\) :

\[
x + 2 \cdot 3 = 10
\]

Ce qui donne :

\[
x + 6 = 10
\]

Et en résolvant pour \(x\) :

\[
x = 10 – 6 = 4
\]

La solution du système est donc :

\[
(x, y) = (4, 3)
\]

Exercice 12 : déterminer les coordonnées (x;y) du point d’intersection
a. Pour déterminer les coordonnées \((x ; y) \in \mathbb{R}^2\) du point d’intersection des droites \((d_1) : 3x + 4y + 4 = 0\) et \((d_2) : x + y – 1 = 0\), nous allons résoudre ce système d’équations linéaires :

\[
\{
\begin{array}{l}
3x + 4y + 4 = 0 \\
x + y – 1 = 0
\end{array}
.
\]

1. Résolvons la deuxième équation pour \( y \) :

\[
x + y – 1 = 0 \implies y = 1 – x
\]

2. Substituons \( y = 1 – x \) dans la première équation :

\[
3x + 4(1 – x) + 4 = 0
\]

3. Simplifions cette équation :

\[
3x + 4 – 4x + 4 = 0 \implies -x + 8 = 0 \implies x = 8
\]

4. Maintenant, substituons \( x = 8 \) dans \( y = 1 – x \) :

\[
y = 1 – 8 = -7
\]

Donc, les coordonnées du point d’intersection \( M \) sont \((8 ; -7)\).

b. Pour déterminer les coordonnées \((x ; y) \in \mathbb{R}^2\) du point d’intersection des droites \((d_1) : y = 3x – 8\) et \((d_2) : y = -4x + 13\), nous allons résoudre ce système d’équations linéaires :

\[
\{
\begin{array}{l}
y = 3x – 8 \\
y = -4x + 13
\end{array}
.
\]

1. Égalons les deux expressions de \( y \) :

\[
3x – 8 = -4x + 13
\]

2. Résolvons pour \( x \) :

\[
3x + 4x = 13 + 8 \implies 7x = 21 \implies x = 3
\]

3. Substituons \( x = 3 \) dans \( y = 3x – 8 \) :

\[
y = 3(3) – 8 = 9 – 8 = 1
\]

Donc, les coordonnées du point d’intersection \( M \) sont \((3 ; 1)\).

Exercice 13 : combien de couples solutions ?
\begin{solution}
Pour chaque système, nous allons déterminer le nombre de couples solutions et, dans le cas où il y a un unique couple solution, nous le donnerons.

\bigskip
{Système } \[S_1\] :
\[
\{
\begin{array}{l}
y = 5 \\
x = -4
\end{array}
.
\]
Le système \[S_1\] admet un unique couple solution. Ce couple est :
\[
(x, y) = (-4, 5)
\]

\bigskip
{Système } \[S_2\] :
\[
\{
\begin{array}{l}
-x + y = 2 \\
x = -4
\end{array}
.
\]
En substituant \( x = -4 \) dans l’équation \( -x + y = 2 \), nous obtenons :
\[
-(-4) + y = 2 \implies 4 + y = 2 \implies y = 2 – 4 \implies y = -2
\]
Le système \[S_2\] admet un unique couple solution. Ce couple est :
\[
(x, y) = (-4, -2)
\]

\bigskip
{Système } \[S_3\] :
\[
\{
\begin{array}{l}
y = 5 \\
-2y = -10
\end{array}
.
\]
La deuxième équation se simplifie en \( -2y = -10 \implies y = 5 \). Cette équation est la même que la première, donc elles sont dépendantes. Ainsi, le système admet une infinité de solutions de la forme :
\[
(x, y) = (x, 5) \quad \text{où } x \in \mathbb{R}
\]

\bigskip
{Système } \[S_4\] :
\[
\{
\begin{array}{l}
3x + 6y = 36 \\
5x – 5y = 15
\end{array}
.
\]
La première équation peut se simplifier en :
\[
x + 2y = 12
\]

La deuxième équation peut se simplifier en :
\[
x – y = 3
\]

Nous avons donc le système suivant :
\[
\{
\begin{array}{l}
x + 2y = 12 \\
x – y = 3
\end{array}
.
\]
En résolvant ce système par substitution :

Multipliant la deuxième équation par 2 et l’ajoutant à la première pour éliminer \( y \) :
\[
x + 2y + 2(x – y) = 12 + 6 \implies x + 2y + 2x – 2y = 18 \implies 3x = 18 \implies x = 6
\]
En substituant \( x = 6 \) dans \( x – y = 3 \) :
\[
6 – y = 3 \implies y = 3
\]
Le système \[S_4\] admet un unique couple solution. Ce couple est :
\[
(x, y) = (6, 3)
\]

\bigskip
{Système } \[S_5\] :
\[
\{
\begin{array}{l}
5x – 5y = 15 \\
x + 2y = 4
\end{array}
.
\]
La première équation peut se simplifier en :
\[
x – y = 3
\]

Nous avons donc le système suivant :
\[
\{
\begin{array}{l}
x – y = 3 \\
x + 2y = 4
\end{array}
.
\]
Multipliant la première équation par 2 pour éliminer \( y \) :
\[
2(x – y) + (x + 2y) = 6 + 4 \implies 2x – 2y + x + 2y = 10 \implies 3x = 10 \implies x = \frac{10}{3}
\]

En substituant \( x = \frac{10}{3} \) dans \( x – y = 3 \) :
\[
\frac{10}{3} – y = 3 \implies -y = 3 – \frac{10}{3} \implies -y = \frac{9}{3} – \frac{10}{3} \implies -y = -\frac{1}{3} \implies y = \frac{1}{3}
\]

Le système \[S_5\] admet un unique couple solution. Ce couple est :
\[
(x, y) = ( \frac{10}{3}, \frac{1}{3} )
\]

\bigskip
{Système } \[S_6\] :
\[
\{
\begin{array}{l}
-2x + 2y = 4 \\
-x + y = 2
\end{array}
.
\]
La deuxième équation peut se simplifier en :
\[
-x + y = 2 \implies y = x + 2
\]
En substituant \( y = x + 2 \) dans la première équation :
\[
-2x + 2(x + 2) = 4 \implies -2x + 2x + 4 = 4 \implies 4 = 4
\]

Les deux équations sont équivalentes, elles sont donc dépendantes. Le système admet une infinité de solutions de la forme :
\[
(x, y) = (x, x + 2) \quad \text{où } x \in \mathbb{R}
\]
\end{solution}

Exercice 14 : déterminer si les systèmes admettent zéro, un unique ou une infinité de solutions
Pour chaque système d’équations, nous allons déterminer s’il admet zéro solution, une unique solution ou une infinité de solutions.

\[
(S_1):
\begin{cases}
-x – 2y = 5 \\
5x + 10y = 4
\end{cases}
\]
Pour le système \( S_1 \):
1. Multiplions la première équation par \( -5 \):
\[
5x + 10y = -25
\]
2. Comparons avec la deuxième équation:
\[
5x + 10y = 4
\]
Les deux équations sont contradictoires (\( -25 \neq 4 \)), donc le système admet zéro solution.

\[
(S_2):
\begin{cases}
7x – 3y = 9 \\
-7x – 3y = 9
\end{cases}
\]
Pour le système \( S_2 \):
1. Ajoutons les deux équations:
\[
(7x – 3y) + (-7x – 3y) = 9 + 9 \implies -6y = 18 \implies y = -3
\]
2. Remplaçons \( y \) dans la première équation:
\[
7x – 3(-3) = 9 \implies 7x + 9 = 9 \implies 7x = 0 \implies x = 0
\]
Le système a une unique solution: \( (0, -3) \).

\[
(S_3):
\begin{cases}
2x – y = 1 \\
4x – 2y = 2
\end{cases}
\]
Pour le système \( S_3 \):
1. Multiplions la première équation par 2:
\[
4x – 2y = 2
\]
Les deux équations sont identiques, donc le système admet une infinité de solutions (les deux équations sont équivalentes).

\[
(S_4):
\begin{cases}
3x + 9y = -5 \\
4x – 12y = 6
\end{cases}
\]
Pour le système \( S_4 \):
1. Ramenons les équations à des formes identiques en les multipliant:
\[
\text{Multiplication par 4 de la première équation: } 12x + 36y = -20
\]
\[
\text{Multiplication par 3 de la deuxième équation: } 12x – 36y = 18
\]
2. En ajoutant les deux équations modifiées:
\[
(12x + 36y) + (12x – 36y) = -20 + 18 \implies 24x = -2 \implies x = -\frac{1}{12}
\]
Le système n’est d’ailleurs pas cohérent car il y a contradiction dans les résultantes obtenues (les résolutions au niveau de \( y \) ne sont pas synchrones).

\[
(S_5):
\begin{cases}
\frac{1}{2}x – y = 36 \\
+x + 2y = 15
\end{cases}
\]
Pour le système \( S_5 \):
1. Multiplions la première équation par 2:
\[
x – 2y = 72
\]
2. Ajoutons cette équation multipliée à la deuxième équation:
\[
\begin{cases}
x – 2y = 72 \\
x + 2y = 15
\end{cases}
\]
En ajoutant ces deux, nous avons:
\[
2x = 87 \implies x = \frac{87}{2} \implies x = 43.5
\]
\[
\text{Ensuite :}\quad 43.5 + 2y = 15 \implies 2y = -28.5 \implies y = -14.25
\]
Le système a une unique solution: \( (43.5, -14.25)\).

\[
(S_6):
\begin{cases}
7x – \frac{7}{5}y = -3 \\
5x + y = 8
\end{cases}
\]
Pour le système \( S_6 \):
1. Multiplions la première équation par 5 pour éliminer les fractions:
\[
35x – 7y = -15
\]
2. La deuxième équation devient:
\[
5x + y = 8 \Rightarrow y = 8 – 5x
\]
3. Remplaçons \( y \) dans la première équation:
\[
35x – 7(8 – 5x) = -15 \Rightarrow 35x – 56 + 35x = -15 \Rightarrow 70x = 41 \Rightarrow x = \frac{41}{70}
\]
\[
y = 8 – 5(\frac{41}{70}) = 8 – \frac{205}{70} = 8 – \frac{41}{14} = \frac{112}{14} – \frac{41}{14} = \frac{71}{14}
\]
Le système admet une unique solution : \( x = \frac{41}{70} \) et \( y = \frac{71}{14} \).

En résumé:
– \( S_1 \) : zéro solution.
– \( S_2 \) : une unique solution.
– \( S_3 \) : une infinité de solutions.
– \( S_4 \) : zéro solution.
– \( S_5 \) : une unique solution.
– \( S_6 \) : une unique solution.

Exercice 15 : résolution par substitution
Pour résoudre par substitution les systèmes suivants :

\[\]
( S_1 ) :
\begin{cases}
x + y = 5 \\
2x – 14 = 0
\end{cases}
\[\]

On résout l’équation \(2x – 14 = 0\) pour \(x\) :

\[
2x = 14 \Rightarrow x = 7
\]

On substitue \(x = 7\) dans \(x + y = 5\) :

\[
7 + y = 5 \Rightarrow y = 5 – 7 \Rightarrow y = -2
\]

La solution du système \((S_1)\) est \( (x, y) = (7, -2) \).

\[\]
( S_2 ) :
\begin{cases}
4x – 3y = 11 \\
y – 2 = 9
\end{cases}
\[\]

On résout l’équation \(y – 2 = 9\) pour \(y\) :

\[
y = 9 + 2 \Rightarrow y = 11
\]

On substitue \(y = 11\) dans \(4x – 3y = 11\) :

\[
4x – 3 \cdot 11 = 11 \Rightarrow 4x – 33 = 11 \Rightarrow 4x = 44 \Rightarrow x = 11
\]

La solution du système \((S_2)\) est \( (x, y) = (11, 11) \).

\[\]
( S_3 ) :
\begin{cases}
y = 5x + 16 \\
y = \frac{1}{3}x – \frac{8}{3}
\end{cases}
\[\]

On égalise les deux expressions de \(y\) :

\[
5x + 16 = \frac{1}{3}x – \frac{8}{3}
\]

On multiplie tout par 3 pour éliminer les fractions :

\[
15x + 48 = x – 8
\]

On regroupe les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre :

\[
15x – x = -8 – 48 \Rightarrow 14x = -56 \Rightarrow x = -4
\]

On substitue \(x = -4\) dans \(y = 5x + 16\) :

\[
y = 5(-4) + 16 \Rightarrow y = -20 + 16 \Rightarrow y = -4
\]

La solution du système \((S_3)\) est \( (x, y) = (-4, -4) \).

\[\]
( S_4 ) :
\begin{cases}
\frac{17}{5}x + y = -\frac{2}{5} \\
-\frac{5}{3}x + y = -\frac{5}{3}
\end{cases}
\[\]

On exprime \(y\) de la deuxième équation :

\[
y = \frac{5}{3}x – \frac{5}{3}
\]

On substitue dans la première équation :

\[
\frac{17}{5}x + ( \frac{5}{3}x – \frac{5}{3} ) = -\frac{2}{5}
\]

On multiplie tout par 15 pour éliminer les fractions :

\[
51x + 25x – 25 = -6 \Rightarrow 76x – 25 = -6
\]

On regroupe les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre :

\[
76x = 19 \Rightarrow x = \frac{19}{76} \Rightarrow x = \frac{1}{4}
\]

On substitue \(x = \frac{1}{4}\) dans \(y = \frac{5}{3}x – \frac{5}{3}\) :

\[
y = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{4} – \frac{5}{3} = \frac{5}{12} – \frac{20}{12} = -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4}
\]

La solution du système \((S_4)\) est \( (x, y) = ( \frac{1}{4}, -\frac{5}{4} ) \).

Exercice 16 : résolution par combinaison linéaire
### Correction du système \((S_3)\)
\[
\begin{cases}
2x – 5y = 4 \\
2x + y = -8
\end{cases}
\]

Soustrayons la seconde équation de la première :
\[
(2x – 5y) – (2x + y) = 4 – (-8)
\]
\[
2x – 5y – 2x – y = 4 + 8
\]
\[
-6y = 12
\]
\[
y = -2
\]

Remplaçons \( y \) dans la deuxième équation :
\[
2x + (-2) = -8
\]
\[
2x – 2 = -8
\]
\[
2x = -6
\]
\[
x = -3
\]

Solution : \((x, y) = (-3, -2)\)

### Correction du système \((S_4)\)
\[
\begin{cases}
6x – 7y = 14 \\
-x – 3y = 6
\end{cases}
\]

Multiplions la seconde équation par 6 :
\[
6(-x – 3y) = 6 \cdot 6
\]
\[
-6x – 18y = 36
\]

Ajoutons cette nouvelle équation à la première :
\[
(6x – 7y) + (-6x – 18y) = 14 + 36
\]
\[
-25y = 50
\]
\[
y = -2
\]

Remplaçons \( y \) dans la deuxième équation :
\[
-x – 3(-2) = 6
\]
\[
-x + 6 = 6
\]
\[
-x = 0
\]
\[
x = 0
\]

Solution : \((x, y) = (0, -2)\)

### Correction du système \((S_5)\)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}y = -1 \\
x + 4y = -2
\end{cases}
\]

Multiplions la première équation par 4 :
\[
4( \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}y ) = 4(-1)
\]
\[
x + 2y = -4
\]

Nous avons maintenant le système :
\[
\begin{cases}
x + 2y = -4 \\
x + 4y = -2
\end{cases}
\]

Soustrayons la première équation de la seconde :
\[
(x + 4y) – (x + 2y) = -2 – (-4)
\]
\[
2y = 2
\]
\[
y = 1
\]

Remplaçons \( y \) dans la première équation :
\[
x + 2(1) = -4
\]
\[
x + 2 = -4
\]
\[
x = -6
\]

Solution : \((x, y) = (-6, 1)\)

### Correction du système \((S_6)\)
\[
\begin{cases}
3x – 4y = 14 \\
9x – 2y = -38
\end{cases}
\]

Multiplions la première équation par 3 :
\[
3(3x – 4y) = 3 \cdot 14
\]
\[
9x – 12y = 42
\]

Nous avons maintenant le système :
\[
\begin{cases}
9x – 12y = 42 \\
9x – 2y = -38
\end{cases}
\]

Soustrayons la deuxième équation de la première :
\[
(9x – 12y) – (9x – 2y) = 42 – (-38)
\]
\[
-10y = 80
\]
\[
y = -8
\]

Remplaçons \( y \) dans la première équation :
\[
3x – 4(-8) = 14
\]
\[
3x + 32 = 14
\]
\[
3x = -18
\]
\[
x = -6
\]

Solution : \((x, y) = (-6, -8)\)

Exercice 17 : quatre droites et points d’intersection
Pour montrer que ces droites sont deux à deux sécantes et déterminer chaque point d’intersection, il suffit de résoudre les systèmes de deux équations formés par les droites prises deux à deux. Voici la correction :

### Intersection de \( d_1 \) et \( d_2 \)

Résolvons le système :
\[
\begin{cases}
5x + 2y – 23 = 0 \\
-2x + y + 2 = 0
\end{cases}
\]

De la deuxième équation, on peut isoler \( y \) :
\[
y = 2x – 2
\]

Remplaçons \( y \) dans la première équation :
\[
5x + 2(2x – 2) – 23 = 0
\]
\[
5x + 4x – 4 – 23 = 0
\]
\[
9x – 27 = 0
\]
\[
x = 3
\]

En substituant \( x = 3 \) dans l’équation \( y = 2x – 2 \) :
\[
y = 2(3) – 2 = 4
\]

Donc, le point d’intersection de \( d_1 \) et \( d_2 \) est \((3, 4)\).

### Intersection de \( d_1 \) et \( d_3 \)

Résolvons le système :
\[
\begin{cases}
5x + 2y – 23 = 0 \\
x + y – 10 = 0
\end{cases}
\]

De la deuxième équation, on peut isoler \( y \) :
\[
y = 10 – x
\]

Remplaçons \( y \) dans la première équation :
\[
5x + 2(10 – x) – 23 = 0
\]
\[
5x + 20 – 2x – 23 = 0
\]
\[
3x – 3 = 0
\]
\[
x = 1
\]

En substituant \( x = 1 \) dans l’équation \( y = 10 – x \) :
\[
y = 10 – 1 = 9
\]

Donc, le point d’intersection de \( d_1 \) et \( d_3 \) est \((1, 9)\).

### Intersection de \( d_1 \) et \( d_4 \)

Résolvons le système :
\[
\begin{cases}
5x + 2y – 23 = 0 \\
-x – 4y + 1 = 0
\end{cases}
\]

De la deuxième équation, on peut isoler \( x \) :
\[
x = -4y + 1
\]

Remplaçons \( x \) dans la première équation :
\[
5(-4y + 1) + 2y – 23 = 0
\]
\[
-20y + 5 + 2y – 23 = 0
\]
\[
-18y – 18 = 0
\]
\[
y = -1
\]

En substituant \( y = -1 \) dans l’équation \( x = -4y + 1 \) :
\[
x = -4(-1) + 1 = 5
\]

Donc, le point d’intersection de \( d_1 \) et \( d_4 \) est \((5, -1)\).

### Intersection de \( d_2 \) et \( d_3 \)

Résolvons le système :
\[
\begin{cases}
-2x + y + 2 = 0 \\
x + y – 10 = 0
\end{cases}
\]

De la deuxième équation, on peut isoler \( y \) :
\[
y = 10 – x
\]

Remplaçons \( y \) dans la première équation :
\[
-2x + (10 – x) + 2 = 0
\]
\[
-2x + 10 – x + 2 = 0
\]
\[
-3x + 12 = 0
\]
\[
x = 4
\]

En substituant \( x = 4 \) dans l’équation \( y = 10 – x \) :
\[
y = 10 – 4 = 6
\]

Donc, le point d’intersection de \( d_2 \) et \( d_3 \) est \((4, 6)\).

### Intersection de \( d_2 \) et \( d_4 \)

Résolvons le système :
\[
\begin{cases}
-2x + y + 2 = 0 \\
-x – 4y + 1 = 0
\end{cases}
\]

De la première équation, on peut isoler \( y \) :
\[
y = 2x – 2
\]

Remplaçons \( y \) dans la deuxième équation :
\[
-x – 4(2x – 2) + 1 = 0
\]
\[
-x – 8x + 8 + 1 = 0
\]
\[
-9x + 9 = 0
\]
\[
x = 1
\]

En substituant \( x = 1 \) dans l’équation \( y = 2x – 2 \) :
\[
y = 2(1) – 2 = 0
\]

Donc, le point d’intersection de \( d_2 \) et \( d_4 \) est \((1, 0)\).

### Intersection de \( d_3 \) et \( d_4 \)

Résolvons le système :
\[
\begin{cases}
x + y – 10 = 0 \\
-x – 4y + 1 = 0
\end{cases}
\]

De la première équation, on peut isoler \( y \) :
\[
y = 10 – x
\]

Remplaçons \( y \) dans la deuxième équation :
\[
-x – 4(10 – x) + 1 = 0
\]
\[
-x – 40 + 4x + 1 = 0
\]
\[
3x – 39 = 0
\]
\[
x = 13
\]

En substituant \( x = 13 \) dans l’équation \( y = 10 – x \) :
\[
y = 10 – 13 = -3
\]

Donc, le point d’intersection de \( d_3 \) et \( d_4 \) est \((13, -3)\).

En conclusion, ces droites sont deux à deux sécantes et les points d’intersection sont :

– \( d_1 \) et \( d_2 \) : \((3, 4)\)
– \( d_1 \) et \( d_3 \) : \((1, 9)\)
– \( d_1 \) et \( d_4 \) : \((5, -1)\)
– \( d_2 \) et \( d_3 \) : \((4, 6)\)
– \( d_2 \) et \( d_4 \) : \((1, 0)\)
– \( d_3 \) et \( d_4 \) : \((13, -3)\)

Exercice 18 : cinéma et tarifs de places
Soit \( x \) le nombre de places plein tarif vendues et \( y \) le nombre de places « carte 5 séances » vendues.

Nous avons les deux équations suivantes :

\[
x + y = 324
\]

et

\[
12,50x + 5y = 3645
\]

Nous allons résoudre ce système d’équations.

1. Résolvons la première équation pour \( y \) :
\[
y = 324 – x
\]

2. Remplaçons \( y \) dans la deuxième équation :
\[
12,50x + 5(324 – x) = 3645
\]

3. Simplifions l’équation :
\[
12,50x + 1620 – 5x = 3645
\]
\[
7,50x + 1620 = 3645
\]

4. Isolons \( x \) :
\[
7,50x = 3645 – 1620
\]
\[
7,50x = 2025
\]
\[
x = \frac{2025}{7,50}
\]
\[
x = 270
\]

5. Utilisons \( x \) pour trouver \( y \) :
\[
y = 324 – 270
\]
\[
y = 54
\]

Nous avons donc :

\[
\boxed{270}
\] places plein tarif vendues et

\[
\boxed{54}
\] places « carte 5 séances » vendues.

Exercice 19 : charge d’un mulet
Soit \( x \) le nombre de sacs que porte le mulet et \( y \) le nombre de sacs que porte l’âne. D’après l’énoncé, nous avons deux conditions :

1. Si l’âne prend un sac du mulet, il portera deux fois plus de sacs que le mulet :
\[ y + 1 = 2 (x – 1) \]

2. Si le mulet prend un sac de l’âne, ils auront le même nombre de sacs :
\[ x + 1 = y – 1 \]

Résolvons le système d’équations :

De la deuxième condition, nous obtenons :
\[ x + 1 = y – 1 \implies x – y = -2 \implies y = x + 2 \]

Substituons \( y \) dans la première équation :
\[ y + 1 = 2 (x – 1) \]
\[ (x + 2) + 1 = 2 (x – 1) \]
\[ x + 3 = 2x – 2 \]
\[ x + 3 + 2 = 2x \]
\[ x + 5 = 2x \]
\[ 5 = x \]

Donc, en remplaçant \( x \) par 5 dans \( y = x + 2 \):
\[ y = 5 + 2 \]
\[ y = 7 \]

Le mulet porte donc 5 sacs et l’âne en porte 7.

Exercice 20 : exercice à résoudre en anglais
a. Résolvons le système d’équations (S) :

\[
\begin{cases}
5X + 4Y = 15 \\
3X + Y = 16
\end{cases}
\]

Pour éliminer \( Y \), multiplions la deuxième équation par 4 :

\[
4(3X + Y) = 4 \times 16 \implies 12X + 4Y = 64
\]

Nous avons maintenant deux équations :

\[
\begin{cases}
5X + 4Y = 15 \\
12X + 4Y = 64
\end{cases}
\]

Soustrayons la première équation de la deuxième :

\[
(12X + 4Y) – (5X + 4Y) = 64 – 15 \implies 7X = 49 \implies X = 7
\]

Substituons \( X = 7 \) dans la deuxième équation du système original :

\[
3(7) + Y = 16 \implies 21 + Y = 16 \implies Y = 16 – 21 \implies Y = -5
\]

La solution du système (S) est donc :

\[
(X, Y) = (7, -5)
\]

b. En posant \( X = \frac{1}{x} \) et \( Y = \frac{1}{y} \), les conditions d’existence de \( X \) et \( Y \) sont :

\[
x \neq 0 \quad \text{et} \quad y \neq 0
\]

Convertissons le système (S) en termes de \( x \) et \( y \) pour obtenir le système (S’) :

\[
\begin{cases}
\frac{5}{x} + \frac{4}{y} = 15 \\
\frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 16
\end{cases}
\]

Pour résoudre ce système, il est pratique de poser \( \frac{1}{x} = u \) et \( \frac{1}{y} = v \):

\[
\begin{cases}
5u + 4v = 15 \\
3u + v = 16
\end{cases}
\]

Pour éliminer \( v \), multiplions la deuxième équation par 4 :

\[
4(3u + v) = 4 \times 16 \implies 12u + 4v = 64
\]

Nous avons maintenant deux équations :

\[
\begin{cases}
5u + 4v = 15 \\
12u + 4v = 64
\end{cases}
\]

Soustrayons la première équation de la deuxième :

\[
(12u + 4v) – (5u + 4v) = 64 – 15 \implies 7u = 49 \implies u = 7
\]

Substituons \( u = 7 \) dans la deuxième équation du système original :

\[
3(7) + v = 16 \implies 21 + v = 16 \implies v = 16 – 21 \implies v = -5
\]

Puisque \( \frac{1}{x} = u \) et \( \frac{1}{y} = v \), nous avons :

\[
x = \frac{1}{u} = \frac{1}{7} \quad \text{et} \quad y = \frac{1}{v} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}
\]

La solution du système (S’) est donc :

\[
(x, y) = ( \frac{1}{7}, -\frac{1}{5} )
\]

Exercice 21 : le pivot de Gauss
La correction de l’exercice en utilisant LaTeX est la suivante :

« `latex

Voici les étapes de la méthode de résolution par le \textit{pivot de Gauss} :

{Le pivot de Gauss}

Considérons le système suivant :
\begin{equation*}
\begin{cases}
x + y – 2z = 2 \quad \text{(L}_1\text{)} \\
2x + 4y – 6z = 2 \quad \text{(L}_2\text{)} \\
3x + 8y – 8z = 10 \quad \text{(L}_3\text{)}
\end{cases}
\end{equation*}

\subsection*{Étape 1}
On conserve \(\text{(L}_1\text{)}\) qui sert de « pivot » pour éliminer \(x\) dans \(\text{(L}_2\text{)}\) et \(\text{(L}_3\text{)}\) par combinaison linéaire.

\begin{equation*}
(S) \equiv
\begin{cases}
x + y – 2z = 2 \quad \text{(L}_1\text{)}\\
0 + 2y – 2z = -2 \quad \text{(L}_2\text{)} – 2 \cdot \text{(L}_1\text{)} \\
0 + 5y – 2z = 4 \quad \text{(L}_3\text{)} – 3 \cdot \text{(L}_1\text{)}
\end{cases}
\end{equation*}

\subsection*{Étape 2}
La ligne \(\text{(L}_1\text{)}\) reste inchangée. La ligne \(\text{(L}_2\text{)}\) sert de « pivot » pour éliminer \(y\) dans \(\text{(L}_3\text{)}\).

\begin{equation*}
(S) \equiv
\begin{cases}
x + y – 2z = 2 \quad \text{(L}_1\text{)} \\
y – z = -1 \quad \text{(L}_2\text{)} \\
0 + 3z = 9 \quad \text{(L}_3\text{)} – 5 \cdot \text{(L}_2\text{)}
\end{cases}
\end{equation*}

\subsection*{Étape 3}
On résout \(\text{(L}_3\text{)}\), puis on résout le système.

\begin{equation*}
(S) \equiv
\begin{cases}
x + y – 2z = 2 \quad \text{(L}_1\text{)} \\
y – z = -1 \quad \text{(L}_2\text{)} \\
z = 3 \quad \text{(L}_3\text{)}
\end{cases}
\end{equation*}

En utilisant \(\text{(L}_3\text{)}\) dans \(\text{(L}_2\text{)}\) et ensuite dans \(\text{(L}_1\text{)}\), on obtient :

\begin{equation*}
\begin{cases}
y – 3 = -1 \quad \implies y = 2 \\
x + 2 – 6 = 2 \quad \implies x = 6
\end{cases}
\end{equation*}

Finalement l’ensemble solution est \(\{6; 2; 3\}\).

\newpage
Résoudre le système :
\(\begin{cases}
x – y + 3z = 13 \\
-x + 3y + z = -22 \\
3x + y + 8z = 20
\end{cases}\)

« `

Cette correction reprend les étapes de la méthode du pivot de Gauss décrites dans l’image fournie, et résout le système en appliquant cette méthode.

Exercice 22 : un restaurant argentin
Notons \( x \) le prix d’une empanada végétarienne et \( y \) le prix d’une empanada au bœuf.

D’après l’énoncé, nous avons le système d’équations suivant :

\[
\begin{cases}
5x + y = 11,50 \\
2x + 3y = 12,40
\end{cases}
\]

Pour résoudre ce système, nous allons utiliser la méthode de substitution ou d’élimination.

\[\]Étape 1 : Isoler une variable dans une des équations\[\]

De la première équation, isolons \( y \) :

\[
y = 11,50 – 5x
\]

\[\]Étape 2 : Remplacer \( y \) dans la deuxième équation\[\]

Remplaçons \( y \) dans la deuxième équation par \( 11,50 – 5x \) :

\[
2x + 3(11,50 – 5x) = 12,40
\]

\[\]Étape 3 : Résoudre l’équation obtenue\[\]

Développons et simplifions :

\[
2x + 34,50 – 15x = 12,40
\]

Regroupons les termes similaires :

\[
-13x + 34,50 = 12,40
\]

Soustrayons 34,50 des deux côtés :

\[
-13x = 12,40 – 34,50
\]

Calculons :

\[
-13x = -22,10
\]

Divisons par \(-13\) :

\[
x = \frac{-22,10}{-13} = 1,70
\]

\[\]Étape 4 : Trouver \( y \) à partir de la première équation\[\]

Substituons \( x \) dans \( y = 11,50 – 5x \) :

\[
y = 11,50 – 5 \times 1,70
\]

Calculons :

\[
y = 11,50 – 8,50 = 3,00
\]

Ainsi, le prix d’une empanada végétarienne est \( x = 1,70 \) euros et le prix d’une empanada au bœuf est \( y = 3,00 \) euros.

Exercice 23 : trouver les coordonnées du point d’intersection
1.a) Les coordonnées du point d’intersection des deux droites peuvent être trouvées en résolvant le système d’équations suivant :
\[
\begin{cases}
5x – 6y + 4 = 0 \\
-6x + 9y – 7 = 0
\end{cases}
\]

1.b) Pour vérifier si un point appartient aux deux droites, il suffit de vérifier s’il satisfait les deux équations simultanément.

2. On vérifie les coordonnées \((x, y)\) du point d’intersection en résolvant le système d’équations :
\[
\begin{cases}
5x – 6y + 4 = 0 \\
-6x + 9y – 7 = 0
\end{cases}
\]

3. Multiplions la première équation par 6 et la seconde équation par 5 :
\[
\begin{cases}
6(5x – 6y + 4) = 0 \\
5(-6x + 9y – 7) = 0
\end{cases}
\]
Ce qui donne :
\[
\begin{cases}
30x – 36y + 24 = 0 \\
-30x + 45y – 35 = 0
\end{cases}
\]

4. En additionnant les deux équations, nous obtenons :
\[
30x – 36y + 24 – 30x + 45y – 35 = 0 \to 9y – 11 = 0 \to y = \frac{11}{9}
\]

5. De même, nous pouvons déterminer \(x\) en multipliant la première équation par 9 et la seconde équation par 6 :
\[
\begin{cases}
9(5x – 6y + 4) = 0 \\
6(-6x + 9y – 7) = 0
\end{cases}
\]
Ce qui donne :
\[
\begin{cases}
45x – 54y + 36 = 0 \\
-36x + 54y – 42 = 0
\end{cases}
\]
En additionnant les deux équations, nous obtenons :
\[
45x – 54y + 36 – 36x + 54y – 42 = 0 \to 9x – 6 = 0 \to x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
\]

6. Les coordonnées du point d’intersection des deux droites sont \(( \frac{2}{3}, \frac{11}{9} )\). Vérifions ces coordonnées dans les deux équations originales :
\[
5x – 6y + 4 = 5( \frac{2}{3} ) – 6( \frac{11}{9} ) + 4 = \frac{10}{3} – \frac{66}{9} + 4 = 0
\]
\[
-6x + 9y – 7 = -6( \frac{2}{3} ) + 9( \frac{11}{9} ) – 7 = -4 + 11 – 7 = 0
\]

Ainsi, les coordonnées \(( \frac{2}{3}, \frac{11}{9} )\) vérifient bien les deux équations, confirmant qu’elles représentent le point d’intersection des deux droites.

Exercice 24 : substitution et résolution du système de deux équations
Pour résoudre le système par substitution, nous allons d’abord isoler \( y \) dans la deuxième équation, puis substituer cette expression dans la première équation.

Le système est donné par:

\[
\begin{cases}
4x – 3y + 1 = 0 \\
-2x + y + 3 = 0
\end{cases}
\]

1. Isolons \( y \) dans la deuxième équation :

\[
-2x + y + 3 = 0
\]
\[
y = 2x – 3
\]

2. Substituons cette valeur de \( y \) dans la première équation :

\[
4x – 3(2x – 3) + 1 = 0
\]

3. Résolvons pour \( x \) :

\[
4x – 6x + 9 + 1 = 0
\]
\[
-2x + 10 = 0
\]
\[
-2x = -10
\]
\[
x = 5
\]

4. Maintenant, substituons \( x = 5 \) dans l’expression \( y = 2x – 3 \) :

\[
y = 2(5) – 3
\]
\[
y = 10 – 3
\]
\[
y = 7
\]

Ainsi, la solution du système est:

\[
(x, y) = (5, 7)
\]

Vérifions la solution en substituant \( x = 5 \) et \( y = 7 \) dans les deux équations d’origine.

Pour la première équation :

\[
4(5) – 3(7) + 1 = 0
\]
\[
20 – 21 + 1 = 0
\]
\[
0 = 0
\]

Pour la deuxième équation :

\[
-2(5) + 7 + 3 = 0
\]
\[
-10 + 7 + 3 = 0
\]
\[
0 = 0
\]

La solution est correcte.

Exercice 25 : système et résolution par combinaison
Pour résoudre le système de l’équation donné, nous combinons les deux lignes \( L_1 \) et \( L_2 \):

\[
\begin{cases}
3x – 2y + 1 = 0 \quad (L_1) \\
-2x + 4y = 3 \quad (L_2)
\end{cases}
\]

Nous commençons par multiplier \( L_1 \) par 2 pour que les coefficients de \( y \) dans les deux équations soient les mêmes (mais opposés, pour pouvoir les combiner):

\[
2 \cdot (3x – 2y + 1) = 2 \cdot 0
\]

Cela donne:

\[
6x – 4y + 2 = 0 \quad (L_1′)
\]

Nous avons maintenant le système mis à jour:

\[
\begin{cases}
6x – 4y + 2 = 0 \quad (L_1′) \\
-2x + 4y = 3 \quad (L_2)
\end{cases}
\]

Nous additionnons \( L_1′ \) et \( L_2 \) pour éliminer \( y \):

\[
(6x – 4y + 2) + (-2x + 4y) = 0 + 3
\]

Cela simplifie à:

\[
6x – 2x – 4y + 4y + 2 = 3
\]

\[
4x + 2 = 3
\]

Nous résolvons alors pour \( x \):

\[
4x + 2 = 3
\]

\[
4x = 3 – 2
\]

\[
4x = 1
\]

\[
x = \frac{1}{4}
\]

Nous remplaçons la valeur de \( x \) dans l’une des équations originales (par exemple \( L_1 \)) pour trouver \( y \):

\[
3 (\frac{1}{4}) – 2y + 1 = 0
\]

\[
\frac{3}{4} – 2y + 1 = 0
\]

\[
\frac{3}{4} + 1 – 2y = 0
\]

\[
\frac{3}{4} + \frac{4}{4} – 2y = 0
\]

\[
\frac{7}{4} – 2y = 0
\]

\[
2y = \frac{7}{4}
\]

\[
y = \frac{7}{8}
\]

La solution du système est donc:

\[
x = \frac{1}{4}, \quad y = \frac{7}{8}
\]

Exercice 26 : café et croissants
\[
\text{Soient } x \text{ le prix d’un café et } y \text{ le prix d’un croissant.}
\]

1. Le premier achat donne l’équation :
\[
x + 3y = 7,5
\]

2. Le second achat donne l’équation :
\[
3x + 4y = 12,5
\]

Nous avons donc le système d’équations suivant :
\[
\begin{cases}
x + 3y = 7,5 \\
3x + 4y = 12,5
\end{cases}
\]

Pour résoudre ce système, commençons par isoler \( x \) dans la première équation :

\[
x = 7,5 – 3y
\]

Substituons cette expression de \( x \) dans la deuxième équation :

\[
3(7,5 – 3y) + 4y = 12,5
\]

En simplifiant :
\[
22,5 – 9y + 4y = 12,5
\]

\[
22,5 – 5y = 12,5
\]

\[
-5y = 12,5 – 22,5
\]

\[
-5y = -10
\]

\[
y = 2
\]

Maintenant, remplaçons \( y \) par 2 dans l’équation \( x = 7,5 – 3y \) :

\[
x = 7,5 – 3 \cdot 2
\]

\[
x = 7,5 – 6
\]

\[
x = 1,5
\]

Les prix d’un café et d’un croissant sont donc \( x = 1,5 \) et \( y = 2 \). La réponse correcte est donc :

b) \( x = 1,5 \) et \( y = 2 \).

Exercice 27 : système de deux équations à deux inconnues par substitution
Pour résoudre le système par substitution, commençons par isoler \( y \) dans la première équation.

\[
\begin{cases}
-2x + y – 1 = 0 \\
3x – 4y + 2 = 0
\end{cases}
\]

1. On résout la première équation pour \( y \):

\[
-2x + y – 1 = 0
\]
\[
y = 2x + 1
\]

2. On substitue cette expression de \( y \) dans la deuxième équation:

\[
3x – 4(2x + 1) + 2 = 0
\]
\[
3x – 8x – 4 + 2 = 0
\]
\[
3x – 8x – 2 = 0
\]
\[
-5x – 2 = 0
\]
\[
-5x = 2
\]
\[
x = -\frac{2}{5}
\]

3. On substitue la valeur de \( x \) dans l’expression de \( y \):

\[
y = 2(-\frac{2}{5}) + 1
\]
\[
y = -\frac{4}{5} + 1
\]
\[
y = -\frac{4}{5} + \frac{5}{5}
\]
\[
y = \frac{1}{5}
\]

La solution du système est donc:

\[
(x, y) = (-\frac{2}{5}, \frac{1}{5})
\]

Exercice 28 : deux systèmes à résoudre par substitution
\[\]Question a)\[\]
\[
\begin{cases}
-x + 3y – 4 = 0 \\
-2x + 5y – 1 = 0
\end{cases}
\]

1. Exprimons \( x \) en fonction de \( y \) à partir de la première équation :

\[
-x + 3y – 4 = 0 \implies x = 3y – 4
\]

2. Substituons \( x \) dans la deuxième équation :

\[
-2(3y – 4) + 5y – 1 = 0
\]

3. Résolvons l’équation obtenue :

\[
-6y + 8 + 5y – 1 = 0
\]

\[
-y + 7 = 0
\]

\[
y = 7
\]

4. Utilisons la valeur de \( y \) pour déterminer \( x \) :

\[
x = 3y – 4 = 3 \times 7 – 4 = 21 – 4 = 17
\]

Solution au système : \((x, y) = (17, 7)\)

\[\]Question b)\[\]
\[
\begin{cases}
3x – 2y + 1 = 0 \\
-5x – y – 2 = 0
\end{cases}
\]

1. Exprimons \( y \) en fonction de \( x \) à partir de la deuxième équation :

\[
-5x – y – 2 = 0 \implies y = -5x – 2
\]

2. Substituons \( y \) dans la première équation :

\[
3x – 2(-5x – 2) + 1 = 0
\]

3. Résolvons l’équation obtenue :

\[
3x + 10x + 4 + 1 = 0
\]

\[
13x + 5 = 0
\]

\[
13x = -5
\]

\[
x = -\frac{5}{13}
\]

4. Utilisons la valeur de \( x \) pour déterminer \( y \) :

\[
y = -5x – 2 = -5 ( -\frac{5}{13} ) – 2 = \frac{25}{13} – 2 = \frac{25}{13} – \frac{26}{13} = -\frac{1}{13}
\]

Solution au système : \((x, y) = (-\frac{5}{13}, -\frac{1}{13})\)

Exercice 29 : résolution de systèmes et substitution
a)
\[
\begin{cases}
x – 2y – 3 = 0 \\
-3x + 6y + 1 = 0
\end{cases}
\]

Commençons par isoler \(x\) dans la première équation :
\[
x = 2y + 3
\]

Substituons cette expression pour \(x\) dans la deuxième équation :
\[
-3(2y + 3) + 6y + 1 = 0
\]

Développons et simplifions :
\[
-6y – 9 + 6y + 1 = 0 \\
-8 = 0
\]

Cette équation est inconsistente, donc le système n’a pas de solution.

b)
\[
\begin{cases}
3x – y = 2 \\
-2x + 5y = 0
\end{cases}
\]

Commençons par isoler \(y\) dans la première équation :
\[
y = 3x – 2
\]

Substituons cette expression pour \(y\) dans la deuxième équation :
\[
-2x + 5(3x – 2) = 0
\]

Développons et simplifions :
\[
-2x + 15x – 10 = 0 \\
13x – 10 = 0
\]
\[
x = \frac{10}{13}
\]

Substituons \(x = \frac{10}{13}\) dans l’expression pour \(y\) :
\[
y = 3(\frac{10}{13}) – 2 \\
y = \frac{30}{13} – \frac{26}{13} \\
y = \frac{4}{13}
\]

Les solutions sont :
\[
x = \frac{10}{13}, \quad y = \frac{4}{13}
\]

Le système a pour solution :
\[
( \frac{10}{13}, \frac{4}{13} )
\]

Exercice 30 : résolution par substitution de systèmes
a)
\begin{equation}
\begin{cases}
5x – 3y = -1 \\
x – 2y + 3 = 0
\end{cases}
\end{equation}

On commence par isoler \( x \) dans la deuxième équation :
\begin{equation}
x – 2y + 3 = 0 \implies x = 2y – 3
\end{equation}

On substitue cette valeur de \( x \) dans la première équation :
\begin{equation}
5(2y – 3) – 3y = -1 \\
10y – 15 – 3y = -1
\end{equation}

On simplifie :
\begin{equation}
7y – 15 = -1 \\
7y = 14 \\
y = 2
\end{equation}

On substitue \( y = 2 \) dans \( x = 2y – 3 \) pour trouver \( x \) :
\begin{equation}
x = 2(2) – 3 \\
x = 4 – 3 \\
x = 1
\end{equation}

La solution du système est \( (x, y) = (1, 2) \).

b)
\begin{equation}
\begin{cases}
y = -2x – 1 \\
y = 3x + 4
\end{cases}
\end{equation}

On substitue \( y = 3x + 4 \) dans \( y = -2x – 1 \) :
\begin{equation}
3x + 4 = -2x – 1
\end{equation}

On résout pour \( x \) :
\begin{equation}
3x + 2x = -1 – 4 \\
5x = -5 \\
x = -1
\end{equation}

On substitue \( x = -1 \) dans \( y = 3x + 4 \) pour trouver \( y \) :
\begin{equation}
y = 3(-1) + 4 \\
y = -3 + 4 \\
y = 1
\end{equation}

La solution du système est \( (x, y) = (-1, 1) \).

Exercice 31 : résoudre par substitution ces deux systèmes
a) Système :

\[
\begin{cases}
y = \frac{2}{3}x – 1 \\
y = -\frac{3}{4}x + 2
\end{cases}
\]

Utilisons la substitution. Égalons les deux expressions de \( y \) :

\[
\frac{2}{3}x – 1 = -\frac{3}{4}x + 2
\]

Multipliant toute l’équation par 12 (le PPCM de 3 et 4) pour éliminer les fractions :

\[
12 (\frac{2}{3}x – 1) = 12 (-\frac{3}{4}x + 2)
\]

\[
8x – 12 = -9x + 24
\]

Ajoutons \( 9x \) des deux côtés :

\[
8x + 9x – 12 = 24
\]

\[
17x – 12 = 24
\]

Ajoutons 12 des deux côtés :

\[
17x = 36
\]

Divisons par 17 :

\[
x = \frac{36}{17}
\]

Substituons \( x = \frac{36}{17} \) dans \( y = \frac{2}{3}x – 1 \) :

\[
y = \frac{2}{3} (\frac{36}{17}) – 1
\]

\[
y = \frac{72}{51} – 1
\]

\[
y = \frac{72}{51} – \frac{51}{51}
\]

\[
y = \frac{21}{51}
\]

\[
y = \frac{7}{17}
\]

La solution est :

\[
( x, y ) = ( \frac{36}{17}, \frac{7}{17} )
\]

b) Système :

\[
\begin{cases}
2,4x + y – 1,5 = 0 \\
-4,2x – 2y + 2,5 = 0
\end{cases}
\]

Isolons \( y \) dans la première équation :

\[
y = 1,5 – 2,4x
\]

Substituons cette expression dans la deuxième équation :

\[
-4,2x – 2(1,5 – 2,4x) + 2,5 = 0
\]

\[
-4,2x – 3 + 4,8x + 2,5 = 0
\]

\[
0,6x – 0,5 = 0
\]

Ajoutons 0,5 des deux côtés :

\[
0,6x = 0,5
\]

Divisons par 0,6 :

\[
x = \frac{0,5}{0,6}
\]

\[
x = \frac{5}{6}
\]

Substituons \( x = \frac{5}{6} \) dans \( y = 1,5 – 2,4x \) :

\[
y = 1,5 – 2,4(\frac{5}{6})
\]

\[
y = 1,5 – 2
\]

\[
y = -0,5
\]

La solution est :

\[
( x, y ) = (\frac{5}{6}, -0,5 )
\]

Exercice 32 : résoudre par la méthode par combinaison
Pour résoudre le système suivant par combinaison :

\[
\begin{cases}
-2x + 3y – 1 = 0 \\
3x – 4y + 2 = 0 \\
\end{cases}
\]

1. Nous commençons par réécrire les équations sous une forme plus standard :

\[
\begin{cases}
-2x + 3y = 1 \\
3x – 4y = -2 \\
\end{cases}
\]

2. Multipliant la première équation par 3 et la deuxième équation par 2 pour rendre les coefficients de \( x \) égaux :

\[
\begin{cases}
-6x + 9y = 3 \\
6x – 8y = -4 \\
\end{cases}
\]

3. Nous ajoutons maintenant les deux équations pour éliminer \( x \) :

\[
(-6x + 9y) + (6x – 8y) = 3 + (-4)
\]

Ce qui simplifie à :

\[
y = -1
\]

Nous avons trouvé \( y = -1 \).

4. Nous remplaçons maintenant \( y \) dans l’une des équations originales pour trouver \( x \). Utilisons la première équation :

\[
-2x + 3(-1) = 1
\]

Ce qui donne :

\[
-2x – 3 = 1
\]

En ajoutant 3 des deux côtés :

\[
-2x = 4
\]

En divisant par -2 :

\[
x = -2
\]

5. La solution du système est donc :

\[
(x, y) = (-2, -1)
\]

Exercice 33 : méthode par combinaison linéaire
Pour le système a) :

\[
\begin{cases}
-2x + 5y – 1 = 0 \quad (1)\\
3x – 4y + 2 = 0 \quad (2)
\end{cases}
\]

Nous allons d’abord simplifier les équations.

De (1), nous obtenons :
\[
-2x + 5y = 1 \quad (1′)
\]

De (2), nous obtenons :
\[
3x – 4y = -2 \quad (2′)
\]

Pour éliminer \( x \), multiplions (1′) par 3 et (2′) par 2 :

Multipliée par 3 :
\[
-6x + 15y = 3 \quad (3)
\]

Multipliée par 2 :
\[
6x – 8y = -4 \quad (4)
\]

Additionnons les deux équations (3) et (4) :
\[
-6x + 15y + 6x – 8y = 3 – 4
\]

Ce qui donne :
\[
7y = -1
\]

D’où :
\[
y = -\frac{1}{7}
\]

Remplaçons \( y \) dans (1′) pour trouver \( x \) :
\[
-2x + 5 ( -\frac{1}{7} ) = 1
\]

Ce qui donne :
\[
-2x – \frac{5}{7} = 1
\]

En multipliant toute l’équation par 7 pour éliminer le dénominateur :
\[
-14x – 5 = 7
\]

D’où :
\[
-14x = 12
\]

\[
x = -\frac{12}{14} = -\frac{6}{7}
\]

Donc, la solution du système a) est :
\[
( x, y ) = ( -\frac{6}{7}, -\frac{1}{7} )
\]

Pour le système b) :

\[
\begin{cases}
-4x + 7y – 1 = 0 \quad (1)\\
3x – 4y + 2 = 0 \quad (2)
\end{cases}
\]

Nous allons d’abord simplifier les équations.

De (1), nous obtenons :
\[
-4x + 7y = 1 \quad (1′)
\]

De (2), nous obtenons :
\[
3x – 4y = -2 \quad (2′)
\]

Pour éliminer \( x \), multiplions (1′) par 3 et (2′) par 4 :

Multipliée par 3 :
\[
-12x + 21y = 3 \quad (3)
\]

Multipliée par 4 :
\[
12x – 16y = -8 \quad (4)
\]

Additionnons les deux équations (3) et (4) :
\[
-12x + 21y + 12x – 16y = 3 – 8
\]

Ce qui donne :
\[
5y = -5
\]

D’où :
\[
y = -1
\]

Remplaçons \( y \) dans (1′) pour trouver \( x \) :
\[
-4x + 7 ( -1 ) = 1
\]

Ce qui donne :
\[
-4x – 7 = 1
\]

D’où :
\[
-4x = 8
\]

\[
x = -2
\]

Donc, la solution du système b) est :
\[
( x, y ) = ( -2, -1 )
\]

Exercice 34 : résoudre par la méthode la plus adapatée
{Correction des systèmes d’équations}

{a) Système:}
\[
\begin{cases}
-3x + 4y = 1 \\
2x – 5y = -2
\end{cases}
\]

Pour résoudre ce système, utilisons la méthode de substitution. On commence par isoler \( x \) de la première équation:

\[
-3x + 4y = 1 \implies x = \frac{4y – 1}{3}
\]

Substituons \( x \) dans la deuxième équation :

\[
2(\frac{4y – 1}{3}) – 5y = -2
\]

Résolvons cette équation:

\[
\frac{8y – 2}{3} – 5y = -2
\]

Multiplions par 3 pour éliminer le dénominateur :

\[
8y – 2 – 15y = -6 \implies -7y – 2 = -6 \implies -7y = -4 \implies y = \frac{4}{7}
\]

Substituons \( y = \frac{4}{7} \) dans \( x = \frac{4y – 1}{3} \) :

\[
x = \frac{4(\frac{4}{7}) – 1}{3} = \frac{\frac{16}{7} – 1}{3} = \frac{\frac{9}{7}}{3} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}
\]

Donc, la solution du système est:

\[
( x, y ) = ( \frac{3}{7}, \frac{4}{7} )
\]

{b) Système:}
\[
\begin{cases}
4x – 3y = -2 \\
2x – 5y = 3
\end{cases}
\]

Pour résoudre ce système, utilisons la méthode de substitution. Isolons \( x \) de la première équation :

\[
4x – 3y = -2 \implies x = \frac{3y – 2}{4}
\]

Substituons \( x \) dans la deuxième équation :

\[
2(\frac{3y – 2}{4}) – 5y = 3
\]

Résolvons cette équation:

\[
\frac{6y – 4}{4} – 5y = 3 \implies \frac{6y – 4}{4} – 5y = 3
\]

Multiplions par 4 pour éliminer le dénominateur :

\[
6y – 4 – 20y = 12 \implies -14y – 4 = 12 \implies -14y = 16 \implies y = -\frac{8}{7}
\]

Substituons \( y = -\frac{8}{7} \) dans \( x = \frac{3y – 2}{4} \) :

\[
x = \frac{3(-\frac{8}{7}) – 2}{4} \implies x = \frac{-\frac{24}{7} – 2}{4} = \frac{-\frac{24}{7} – \frac{14}{7}}{4} = \frac{-\frac{38}{7}}{4} = \frac{-38}{28} = -\frac{19}{14}.
\]

Donc, la solution du système est:

\[
( x, y ) = ( -\frac{19}{14}, -\frac{8}{7} )
\]

{c) Système:}
\[
\begin{cases}
-3x + y = -1 \\
2x – 3y = -2
\end{cases}
\]

Pour résoudre ce système, utilisons la méthode de substitution. Isolons \( y \) de la première équation :

\[
-3x + y = -1 \implies y = 3x – 1
\]

Substituons \( y = 3x – 1 \) dans la deuxième équation :

\[
2x – 3(3x – 1) = -2
\]

Résolvons cette équation :

\[
2x – 9x + 3 = -2 \implies -7x + 3 = -2 \implies -7x = -5 \implies x = \frac{5}{7}
\]

Substituons \( x = \frac{5}{7} \) dans \( y = 3x – 1 \) :

\[
y = 3(\frac{5}{7}) – 1 \implies y = \frac{15}{7} – 1 = \frac{15}{7} – \frac{7}{7} = \frac{8}{7}
\]

Donc, la solution du système est:

\[
( x, y ) = ( \frac{5}{7}, \frac{8}{7} )
\]

{d) Système:}
\[
\begin{cases}
-3x + 2y = 1 \\
3x – 2y = -2
\end{cases}
\]

Pour ce système, remarquons que les coefficients des équations sont simplement les opposés l’un de l’autre. Additionnons les deux équations :

\[
(-3x + 2y) + (3x – 2y) = 1 + (-2) \implies 0 = -1
\]

Cela conduit à une contradiction, ce qui implique que le système n’a pas de solution.

Donc, le système n’a pas de solution.

\[
\text{Pas de solution}
\]

Exercice 35 : représentations graphiques et systèmes
a) \(\begin{cases}
y = 2x + 4 \\
y = -x + 1
\end{cases}\)

Pour trouver la solution, cherchons le point d’intersection des droites \(d_1\) et \(d_2\). Graphiquement, nous observons que les droites \(y = 2x + 4\) (droite orange) et \(y = -x + 1\) (droite verte) se croisent au point \((-1, 2)\).

Donc, la solution du système est \((x, y) = (-1, 2)\).

b) \(\begin{cases}
y = -x – 2 \\
y = -x + 1
\end{cases}\)

Les équations \(y = -x – 2\) (droite verte) et \(y = -x + 1\) (droite rose) représentent des droites parallèles. Les droites parallèles n’ont pas de point d’intersection.

Donc, il n’y a pas de solution pour ce système.

c) \(\begin{cases}
y = 2x + 4 \\
y = -x – 2
\end{cases}\)

Pour trouver la solution, cherchons le point d’intersection des droites \(d_1\) et \(d_B\). Graphiquement, nous observons que les droites \(y = 2x + 4\) (droite orange) et \(y = -x – 2\) (droite verte) se croisent au point \((-2, 0)\).

Donc, la solution du système est \((x, y) = (-2, 0)\).

Exercice 36 : a l’aide des représentations graphiques, résoudre ces systèmes
\paragraph{Correction de l’exercice}

[a)]
\[
\begin{cases}
y = -2x + 3 \\
y = 3x – 2
\end{cases}
\]
La solution graphique du système correspond au point d’intersection des deux droites \(d_1\) et \(d_2\).

En observant la représentation graphique, on remarque que les droites \(d_1\) et \(d_2\) se coupent au point \((1, 1)\).

Donc, la solution du système est :
\[
(x, y) = (1, 1)
\]

[b)]
\[
\begin{cases}
y = 3x – 2 \\
x = 3
\end{cases}
\]
La solution graphique du système correspond au point d’intersection de la droite \(d_2\) avec la verticale passant par \(x = 3\).

En observant la représentation graphique, on remarque que la droite \(d_2\) coupe la droite \(d_3\) au point \((3, 7)\).

Donc, la solution du système est :
\[
(x, y) = (3, 7)
\]

[c)]
\[
\begin{cases}
y = -2x + 3 \\
x = 3
\end{cases}
\]
La solution graphique du système correspond au point d’intersection de la droite \(d_1\) avec la verticale passant par \(x = 3\).

En observant la représentation graphique, on remarque que la droite \(d_1\) coupe la droite \(d_3\) au point \((3, -3)\).

Donc, la solution du système est :
\[
(x, y) = (3, -3)
\]

Exercice 37 : déterminer des équations de droites et intersection
a) Les équations des deux droites:

Pour déterminer les équations des droites, nous utiliserons la forme générale de la droite : \( y = mx + b \), où \( m \) est la pente et \( b \) est l’ordonnée à l’origine.

Pour la droite \( d_1 \):

– Nous voyons que \( d_1 \) passe par les points \((0, 0)\) et \((4, 2)\).

La pente \( m_1 \) est donnée par :
\[ m_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{2 – 0}{4 – 0} = \frac{1}{2} \]

L’ordonnée à l’origine \( b_1 \) est 0 car \( d_1 \) passe par l’origine.

Donc, l’équation de \( d_1 \) est :
\[ y = \frac{1}{2}x \]

Pour la droite \( d_2 \):

– Nous voyons que \( d_2 \) passe par les points \((0, 3)\) et \((2, 4)\).

La pente \( m_2 \) est donnée par :
\[ m_2 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{4 – 3}{2 – 0} = \frac{1}{2} \]

L’ordonnée à l’origine \( b_2 \) est 3.

Donc, l’équation de \( d_2 \) est :
\[ y = \frac{1}{2}x + 3 \]

b) Calculer les coordonnées du point d’intersection :

Pour trouver le point d’intersection des droites \( d_1 \) et \( d_2 \), nous devons résoudre le système d’équations suivant :
\[
\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x + 3
\]

En résolvant l’équation :
\[
\frac{1}{2}x – \frac{1}{2}x = 3
\]
\[
0 \neq 3
\]

L’équation est une contradiction, ce qui signifie que ces deux droites sont parallèles et ne se coupent pas. Par conséquent, il n’y a pas de point d’intersection.

Ainsi :
\[ \text{Il n’y a pas de point d’intersection car les droites } d_1 \text{ et } d_2 \text{ sont parallèles.} \]