Algorithmes et programmes : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : programme avec le langage Python
a) La variable x est de type entier (int).

b) Pour les valeurs fournies de x :

– Si x\,=\,3 :
y\,=\,4\,\times  \,x\,=\,4\,\times  \,3\,=\,12
y\,=\,y\,%2B\,1\,=\,12\,%2B\,1\,=\,13
y\,=\,y\,\times  \,2\,=\,13\,\times  \,2\,=\,26
Donc, pour x\,=\,3, y\,=\,26.

– Si x\,=\,-1 :
y\,=\,4\,\times  \,x\,=\,4\,\times  \,(-1)\,=\,-4
y\,=\,y\,%2B\,1\,=\,-4\,%2B\,1\,=\,-3
y\,=\,y\,\times  \,2\,=\,-3\,\times  \,2\,=\,-6
Donc, pour x\,=\,-1, y\,=\,-6.

– Si x\,=\,11 :
y\,=\,4\,\times  \,x\,=\,4\,\times  \,11\,=\,44
y\,=\,y\,%2B\,1\,=\,44\,%2B\,1\,=\,45
y\,=\,y\,\times  \,2\,=\,45\,\times  \,2\,=\,90
Donc, pour x\,=\,11, y\,=\,90.

c) Le programme définit une fonction f\,%3A\,x\,\mapsto  \,y. On a :

y\,=\,4x\,%2B\,1
y\,=\,(4x\,%2B\,1)\,\times  \,2\,=\,8x\,%2B\,2

Ainsi, la fonction f est définie par :

f(x)\,=\,8x\,%2B\,2

Exercice 2 : décrire le rôle et fonctionnement de l’algorithme
Corrigé de l’exercice :

1. Lgr (C) donne pour résultat le nombre de caractères de la chaîne C.
Lgr(%22algorithme%22)\,=\,10

2. Sch (C%2C\,a%2C\,b) donne pour résultat la sous-chaîne extraite de C à partir du caractère a ayant b caractères.
Sch(%22informatique%22%2C\,3%2C\,6)\,=\,%22format%22

Maintenant, décrivons l’algorithme :

1. Saisir une chaîne de caractères non vide C.
2. Affecter à \ell la valeur de la longueur de C, c’est-à-dire \ell\,=\,Lgr(C).
3. Affecter à C' la sous-chaîne de C commençant au premier caractère et ayant \ell\,-\,1 caractères :
C'\,=\,Sch(C%2C\,1%2C\,\ell\,-\,1)
4. Afficher C'.

Le rôle de cet algorithme est donc de supprimer le dernier caractère de la chaîne C saisie par l’utilisateur et d’afficher la chaîne résultante.

Exercice 3 : programme et magasin de reprographie
1. Compléter les lignes 1 et 2 de ce programme.

« `python
print(« Entrer N : »)
N = int(input())
if N <= 50:
Prix = N * 0.15
else:
Prix = 50 * 0.15 + (N – 50) * 0.10
print(« Prix = », Prix)
« `

2. Saisir le programme à l’ordinateur.

Pour saisir ce programme, vous pouvez utiliser un éditeur de texte comme Notepad++ ou un environnement de développement intégré (IDE) comme PyCharm, puis l’exécuter en utilisant l’interpréteur Python.

3. Contrôler son fonctionnement à l’aide d’exemples.

Nous allons vérifier le programme avec quelques exemples.

Exemple\,1\,%3A\,30\,photocopies

« `python
Entrer N :
30
Prix = 4.5
« `

Explication :
30\,\times  \,0.15\,=\,4.5

Exemple\,2\,%3A\,50\,photocopies

« `python
Entrer N :
50
Prix = 7.5
« `

Explication :
50\,\times  \,0.15\,=\,7.5

Exemple\,3\,%3A\,75\,photocopies

« `python
Entrer N :
75
Prix = 10.0
« `

Explication :
50\,\times  \,0.15\,%2B\,(75\,-\,50)\,\times  \,0.10\,=\,7.5\,%2B\,2.5\,=\,10.0

Ces exemples montrent que le programme calcule correctement le prix total en fonction du nombre de photocopies demandées.

Exercice 4 : algorithme qui affiche la distance
### Correction de l’Exercice

Partie\,a)

Le temps total T mis par Louise pour parcourir les 7 km est décomposé en deux parties :
t_1 est le temps pour parcourir les 5 premiers kilomètres à une vitesse de 15 km/h.
t_2 est le temps pour parcourir les 2 kilomètres restants à une vitesse de 12 km/h.

Calculons t_1 :
t_1\,=\,\frac{5}{15}\,=\,\frac{1}{3}\,\,heures\,=\,20\,\,minutes

Calculons t_2 :
t_2\,=\,\frac{2}{12}\,=\,\frac{1}{6}\,\,heures\,=\,10\,\,minutes

Le temps total T est donc :
T\,=\,t_1\,%2B\,t_2\,=\,20\,\,minutes\,%2B\,10\,\,minutes\,=\,30\,\,minutes

Donc, Louise met 30 minutes pour parcourir les 7 km.

Partie\,b)

Lorsqu’on introduit t en minutes, nous devons noter que :
– Pour 0\,\leq\,\,t\,\leq\,\,20, la vitesse est de 15 km/h.
– Pour 20\,%3C\,t\,\leq\,\,30, la vitesse est de 12 km/h.

Pour les 5 premiers kilomètres, en vitesse de 15 km/h, la distance d(t) est donnée par :
d(t)\,=\,(\,\frac{t}{60}\,)\,\times  \,15\,\quad\,pour\,\,0\,\leq\,\,t\,\leq\,\,20
ce qui se simplifie en :
d(t)\,=\,\frac{15t}{60}\,=\,\frac{t}{4}\,\quad\,pour\,\,0\,\leq\,\,t\,\leq\,\,20

Pour les 2 derniers kilomètres avec une vitesse de 12 km/h, la distance totale parcourue jusqu’à t est :
d(t)\,=\,5\,%2B\,(\,\frac{t\,-\,20}{60}\,)\,\times  \,12\,\quad\,pour\,\,20\,%3C\,t\,\leq\,\,30
ce qui se simplifie en :
d(t)\,=\,5\,%2B\,\frac{12(t\,-\,20)}{60}\,=\,5\,%2B\,\frac{t\,-\,20}{5}\,=\,5\,%2B\,\frac{t}{5}\,-\,4\,=\,1\,%2B\,\frac{t}{5}\,\quad\,pour\,\,20\,%3C\,t\,\leq\,\,30

L’algorithme pour calculer et afficher d(t) est donné ci-dessous :

« `python
def distance_parcourue(t):
# Vérification pour les conditions données
if 0 <= t <= 20:
return t / 4
elif 20 < t <= 30:
return 1 + t / 5
else:
return None # Si t est en dehors de l’intervalle permis

# Exemple d’utilisation de la fonction
t = int(input(« Entrez le temps en minutes: « ))
d = distance_parcourue(t)
if d is not None:
print(f »La distance parcourue par Louise est de {d:.2f} km. »)
else:
print(« Le temps fourni n’est pas valide. »)
« `

### Fin de la correction

Exercice 5 : simuler 100 lancers avec Python
Correction\,de\,l'exercice\,%3A

a) Expliquer le rôle de chacune des variables du programme.

– `n = 0`: Cette ligne initialise le compteur `n` qui va servir à compter le nombre de fois qu’un « Pile » est obtenu (c’est-à-dire quand `x` est inférieur ou égal à 0.5).
– `for i in range(1, 101)`: Cette boucle `for` permet d’exécuter le corps de la boucle 100 fois (de 1 à 100 inclus). Chaque itération de la boucle correspond à un lancer de pièce.
– `x = random()`: Cette ligne génère un nombre aléatoire `x` entre 0 et 1 grâce à la fonction `random()` du module `random`. Ce nombre aléatoire représente le résultat d’un lancer de pièce, où une valeur inférieure ou égale à 0.5 pourrait représenter « Pile » et une valeur supérieure à 0.5 représenterait « Face ».
– `if x <= 0.5`: Cette condition vérifie si le résultat du lancer de pièce est « Pile » (x ≤ 0.5).
– `n = n + 1`: Si la condition précédente est vraie (x ≤ 0.5), alors le compteur `n` est incrémenté de 1, indiquant qu’un « Pile » a été obtenu.
– `print(« n = », n)`: À la fin de la boucle, cette ligne affiche le nombre total de « Pile » obtenus après 100 lancers.

b) Suzy souhaite effectuer M fois la simulation. Comment doit-elle modifier son programme ?

Pour effectuer M fois la simulation, Suzy peut encapsuler le code original dans une nouvelle boucle qui s’exécute M fois. Voici le nouveau programme :

« ` python
from random import random

def simulation():
n = 0
for i in range(1, 101):
# pour i allant de 1 à 100
x = random()
if x <= 0.5:
n = n + 1
return n

M = 10 # Exemple: pour effectuer la simulation 10 fois
results = []

for _ in range(M):
result = simulation()
results.append(result)

print(« Résultats des simulations: », results)
« `

Dans ce programme :
– `simulation()`: Une fonction qui encapsule le code original et retourne le nombre de « Pile » après 100 lancers.
– `M = 10`: Cette ligne définit le nombre de simulations à effectuer. Vous pouvez remplacer 10 par n’importe quelle autre valeur numérique pour définir M.
– `results = []`: Une liste pour stocker les résultats des M simulations.
– `for _ in range(M)`: Une boucle pour exécuter la simulation M fois.
– La liste `results` contiendra le nombre de « Pile » obtenus pour chaque simulation.

Exercice 6 : un algorithme à étudier
a) Exécutons cet algorithme avec la valeur n\,=\,5 en entrée.

Initialement, S\,=\,0.

Pour i\,=\,1 :
S\,=\,S\,%2B\,i^2\,=\,0\,%2B\,1^2\,=\,0\,%2B\,1\,=\,1

Pour i\,=\,2 :
S\,=\,S\,%2B\,i^2\,=\,1\,%2B\,2^2\,=\,1\,%2B\,4\,=\,5

Pour i\,=\,3 :
S\,=\,S\,%2B\,i^2\,=\,5\,%2B\,3^2\,=\,5\,%2B\,9\,=\,14

Pour i\,=\,4 :
S\,=\,S\,%2B\,i^2\,=\,14\,%2B\,4^2\,=\,14\,%2B\,16\,=\,30

Pour i\,=\,5 :
S\,=\,S\,%2B\,i^2\,=\,30\,%2B\,5^2\,=\,30\,%2B\,25\,=\,55

Le résultat affiché en sortie est donc S\,=\,55.

b) De façon plus générale, cet algorithme calcule la somme des carrés des n premiers nombres entiers naturels. Plus précisément, il réalise la somme des valeurs i^2 pour i allant de 1 à n.
On peut également exprimer cette somme sous forme de série mathématique :
S\,=\,\sum_{i=1}^{n}\,i^2

Ceci correspond à la somme des carrés des premiers n entiers naturels.

Exercice 7 : un algorithme qui donne l’image par une fonction
Pour écrire l’algorithme de la fonction f en fonction de x, nous pouvons utiliser une structure conditionnelle. L’algorithme en pseudo-code est le suivant :

\begin{verbatim}
Entrée: x (un nombre réel)
Sortie: f(x)

Si x ≤ 0 alors
f(x) = x^2
Sinon si 0 < x ≤ 1 alors
f(x) = x
Sinon si 1 < x alors
f(x) = -2x + 3
\end{verbatim}

En LaTeX, l’algorithme peut également être écrit de la manière suivante :

« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

Algorithme de la fonction f en fonction de x :

\begin{verbatim}
Entrée : x (un nombre réel)
Sortie : f(x)

\begin{cases}
\text{Si } x \leq\, 0 \implies f(x) = x^2 \\
\text{Sinon si } 0 < x \leq\, 1 \implies f(x) = x \\
\text{Sinon si } 1 < x \implies f(x) = -2x + 3 \\
\end{cases}
\end{verbatim}

\end{document}
« `

Ce code LaTeX permet de générer un document affichant l’algorithme demandé.

Exercice 8 : algorithme qui fournit la distance entre 2 points
a) La distance AB entre les points A et B sur une droite graduée est donnée par la valeur absolue de la différence de leurs abscisses. Ainsi,

AB\,=\,%7Ca\,-\,b%7C

b) Voici l’algorithme d’une fonction distance(a%2C\,b) qui retourne la distance AB :

\begin{verbatim}
Début
Entrée : a, b (abscisses des points A et B)
Sortie : distance (distance entre A et B)

distance <- |a – b|
Retourner distance
Fin
\end{verbatim}

Exercice 9 : algorithme qui précise si un triangle est rectangle
Pour déterminer si le triangle ABC est rectangle en A, nous devons vérifier si le théorème de Pythagore est respecté, c’est-à-dire si b^2\,=\,a^2\,%2B\,c^2.

En utilisant LaTeX pour l’algorithme et la vérification, on peut fournir une fonction H(a, b, c) de la manière suivante :

« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\newcommand{\fonctionH}[3]{
\ifnum\pdfstrcmp{\outcome}{Vrai}=\numexpr#1^2+#3^2-#2^2=0 \relax
$H(#1, #2, #3) = \text{Vrai}$
\else
$H(#1, #2, #3) = \text{Faux}$
\fi
}

La fonction $H(a, b, c)$ qui détermine si le triangle ABC est rectangle en A peut s’écrire comme suit :

\begin{verbatim}
fonction H(a, b, c)
si b^2 = a^2 + c^2 alors
retourner ‘Vrai’
sinon
retourner ‘Faux’
\end{verbatim}

En LaTeX, l’équation utilisée pour la vérification est :
b^2\,=\,a^2\,%2B\,c^2

Ainsi, la vérification dans une fonction LaTeX pourrait se présenter comme suit :

Si\,\,b^2\,=\,a^2\,%2B\,c^2\,\,alors\,\quad\,H(a%2C\,b%2C\,c)\,=\,Vrai
Sinon\,\,\quad\,H(a%2C\,b%2C\,c)\,=\,Faux

\end{document}
« `

Exercice 10 : volume d’un cylindre et écrire un algorithme
a) Recopier et compléter cet algorithme.

Variables : R%2C\,h%2C\,S%2C\,V sont des nombres réels
Entrées : Saisir R%2C\,h
Traitement : Affecter à S la valeur \pi\,R^2
Traitement : Affecter à V la valeur S\,\cdot\,h
Sortie : Afficher V

b) Coder cet algorithme dans un langage de programmation.

Voici un exemple de code en Python :

« `python
import math

# Entrée des valeurs
R = float(input(« Saisir le rayon R en cm : « ))
h = float(input(« Saisir la hauteur h en cm : « ))

# Calcul de l’aire de la base
S = math.pi * R 2%0D%0A%0D%0A%23\,Calcul\,du\,volume%0D%0AV\,=\,S\,%2A\,h%0D%0A%0D%0A%23\,Affichage\,du\,volume%0D%0Aprint(%22Le\,volume\,du\,cylindre\,est\,de%22%2C\,V%2C\,%22cm^3%22)%0D%0A%60%60%60%0D%0A%0D%0Ac)\,Controler\,le\,programme\,avec\,des\,exemples.%0D%0A%0D%0AExemple\,1\,%3A%0D%0A-\,R\,=\,3\,cm%0D%0A-\,h\,=\,5\,cm%0D%0A%0D%0ACalculs\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0AS\,=\,\pi\,\cdot\,R^2\,=\,\pi\,\cdot\,3^2\,=\,9\pi\,\approx\,28.27\,\%2C\,cm^2%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0AV\,=\,S\,\cdot\,h\,=\,28.27\,\cdot\,5\,=\,141.35\,\%2C\,cm^3%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AExemple\,2\,%3A%0D%0A-\,R\,=\,2\,cm%0D%0A-\,h\,=\,10\,cm%0D%0A%0D%0ACalculs\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0AS\,=\,\pi\,\cdot\,R^2\,=\,\pi\,\cdot\,2^2\,=\,4\pi\,\approx\,12.57\,\%2C\,cm^2%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0AV\,=\,S\,\cdot\,h\,=\,12.57\,\cdot\,10\,=\,125.7\,\%2C\,cm^3%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ALe\,programme\,devrait\,afficher\,les\,volumes\,\(141.35\,\%2C\,cm^3\)\,pour\,le\,premier\,exemple\,et\,\(125.7\,\%2C\,cm^3\)\,pour\,le\,deuxieme\,exemple.%0D%0A%0D%0A%5Bexpander_maker\,id=%221%22\,more=%22Voir\,Corriges\,11\,a\,20\,...%22%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-11%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,11\,%3A\,un\,programme\,ecrit\,en\,Python%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,Le\,type\,de\,la\,variable\,\(\,x\,\)\,est\,un\,entier\,(int).%0D%0A%0D%0Ab)\,Pour\,chaque\,valeur\,de\,\(\,x\,\)\,%3A%0D%0A%0D%0A-\,Si\,\(\,x\,=\,1\,\)\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,=\,x^2\,\implies\,y\,=\,1^2\,=\,1%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,=\,-y\,%2B\,3\,\times  \,x\,\implies\,y\,=\,-1\,%2B\,3\,\times  \,1\,=\,2%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,=\,y\,%2B\,4\,\implies\,y\,=\,2\,%2B\,4\,=\,6%0D%0A\%5D%0D%0ADonc%2C\,lorsque\,\(\,x\,=\,1\,\)%2C\,\(\,y\,=\,6\,\).%0D%0A%0D%0A-\,Si\,\(\,x\,=\,-2\,\)\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,=\,x^2\,\implies\,y\,=\,(-2)^2\,=\,4%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,=\,-y\,%2B\,3\,\times  \,x\,\implies\,y\,=\,-4\,%2B\,3\,\times  \,(-2)\,=\,-4\,-\,6\,=\,-10%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,=\,y\,%2B\,4\,\implies\,y\,=\,-10\,%2B\,4\,=\,-6%0D%0A\%5D%0D%0ADonc%2C\,lorsque\,\(\,x\,=\,-2\,\)%2C\,\(\,y\,=\,-6\,\).%0D%0A%0D%0A-\,Si\,\(\,x\,=\,12\,\)\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,=\,x^2\,\implies\,y\,=\,12^2\,=\,144%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,=\,-y\,%2B\,3\,\times  \,x\,\implies\,y\,=\,-144\,%2B\,3\,\times  \,12\,=\,-144\,%2B\,36\,=\,-108%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,=\,y\,%2B\,4\,\implies\,y\,=\,-108\,%2B\,4\,=\,-104%0D%0A\%5D%0D%0ADonc%2C\,lorsque\,\(\,x\,=\,12\,\)%2C\,\(\,y\,=\,-104\,\).%0D%0A%0D%0Ac)\,Le\,programme\,definit\,une\,fonction\,\(\,f\,%3A\,x\,\mapsto  \,y\,\).%0D%0A%0D%0AExprimons\,\(\,y\,\)\,en\,fonction\,de\,\(\,x\,\)\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,=\,x^2%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,arrow\,-y\,%2B\,3x\,\implies\,y\,=\,-x^2\,%2B\,3x%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,arrow\,y\,%2B\,4\,\implies\,y\,=\,-x^2\,%2B\,3x\,%2B\,4%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,la\,fonction\,definie\,par\,le\,programme\,est%0D%0A\%5B%0D%0Af(x)\,=\,-x^2\,%2B\,3x\,%2B\,4.%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-12%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,12\,%3A\,location\,d'une\,voiture\,et\,programmer\,un\,algorithme%3C%2Fspan>%0D%0A%23%23%23\,Correction\,de\,l'exercice\,de\,mathematiques%3A%0D%0A%0D%0A%23%23%23\,a)\,Recopier\,et\,completer\,cet\,algorithme.%0D%0A%0D%0AL'algorithme\,complete\,est\,le\,suivant\,%3A%0D%0A%0D%0A%60%60%60%0D%0AVariables\,%3A\,x\,est\,un\,nombre\,entier\,naturel%0D%0Am\,est\,un\,nombre\,reel%0D%0AEntree\,%3A\,Saisir\,x%0D%0ATraitement\,%3A%0D%0ASi\,x\,%E2%89%A4\,100\,alors%0D%0AAffecter\,a\,m\,la\,valeur\,50\,%2B\,0.25\,%2A\,x%0D%0Asinon%0D%0AAffecter\,a\,m\,la\,valeur\,50\,%2B\,0.25\,%2A\,100\,%2B\,0.35\,%2A\,(x\,-\,100)%0D%0AFin\,Si%0D%0ASortie\,%3A\,Afficher\,m%0D%0A%60%60%60%0D%0A%0D%0AExplication\,%3A%0D%0A-\,Lorsque\,le\,nombre\,de\,kilometres\,parcourus\,\(\,x\,\)\,est\,inferieur\,ou\,egal\,a\,100%2C\,le\,cout\,total\,\(\,m\,\)\,est\,donne\,par\,\(\,50\,%2B\,0.25\,\times  \,x\,\).%0D%0A-\,Lorsque\,\(\,x\,\)\,est\,superieur\,a\,100%2C\,le\,cout\,total\,\(\,m\,\)\,est\,donne\,par\,\(\,50\,%2B\,0.25\,\times  \,100\,%2B\,0.35\,\times  \,(x\,-\,100)\,\).%0D%0A%0D%0A%23%23%23\,b)\,Coder\,cet\,algorithme\,dans\,un\,langage\,de\,programmation.%0D%0A%0D%0AVoici\,une\,implementation\,possible\,en\,Python\,%3A%0D%0A%0D%0A%60%60%60python%0D%0A%23\,Entree\,%3A\,Saisir\,x%0D%0Ax\,=\,int(input(%22Saisir\,le\,nombre\,de\,kilometres\,parcourus\,%3A\,%22))%0D%0A%0D%0A%23\,Traitement%0D%0Aif\,x\,%3C=\,100%3A%0D%0Am\,=\,50\,%2B\,0.25\,%2A\,x%0D%0Aelse%3A%0D%0Am\,=\,50\,%2B\,0.25\,%2A\,100\,%2B\,0.35\,%2A\,(x\,-\,100)%0D%0A%0D%0A%23\,Sortie\,%3A\,Afficher\,m%0D%0Aprint(%22Le\,montant\,de\,la\,location\,est\,de\,%3A%22%2C\,m%2C\,%22%E2%82%AC%22)%0D%0A%60%60%60%0D%0A%0D%0A%23%23%23\,c)\,Tester\,le\,programme\,obtenu\,avec\,differentes\,valeurs\,de\,x.%0D%0A%0D%0A%23%23%23%23\,Test\,1\,%3A%0D%0Ax\,=\,50%0D%0A%0D%0ACalcul\,a\,effectuer%3A%0D%0A\%5B%0D%0Am\,=\,50\,%2B\,0.25\,\times  \,50\,=\,50\,%2B\,12.5\,=\,62.5%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%23%23%23%23\,Test\,2\,%3A%0D%0Ax\,=\,100%0D%0A%0D%0ACalcul\,a\,effectuer%3A%0D%0A\%5B%0D%0Am\,=\,50\,%2B\,0.25\,\times  \,100\,=\,50\,%2B\,25\,=\,75%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%23%23%23%23\,Test\,3\,%3A%0D%0Ax\,=\,150%0D%0A%0D%0ACalcul\,a\,effectuer%3A%0D%0A\%5B%0D%0Am\,=\,50\,%2B\,0.25\,\times  \,100\,%2B\,0.35\,\times  \,(150\,-\,100)\,=\,50\,%2B\,25\,%2B\,17.5\,=\,92.5%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%23%23%23\,Code\,pour\,les\,tests\,en\,Python\,%3A%0D%0A%60%60%60python%0D%0A%23\,Test\,1%0D%0Ax\,=\,50%0D%0Aif\,x\,%3C=\,100%3A%0D%0Am\,=\,50\,%2B\,0.25\,%2A\,x%0D%0Aelse%3A%0D%0Am\,=\,50\,%2B\,0.25\,%2A\,100\,%2B\,0.35\,%2A\,(x\,-\,100)%0D%0Aprint(%22Test\,1\,%3A\,Pour\,x\,=\,50%2C\,m\,=%22%2C\,m)%0D%0A%0D%0A%23\,Test\,2%0D%0Ax\,=\,100%0D%0Aif\,x\,%3C=\,100%3A%0D%0Am\,=\,50\,%2B\,0.25\,%2A\,x%0D%0Aelse%3A%0D%0Am\,=\,50\,%2B\,0.25\,%2A\,100\,%2B\,0.35\,%2A\,(x\,-\,100)%0D%0Aprint(%22Test\,2\,%3A\,Pour\,x\,=\,100%2C\,m\,=%22%2C\,m)%0D%0A%0D%0A%23\,Test\,3%0D%0Ax\,=\,150%0D%0Aif\,x\,%3C=\,100%3A%0D%0Am\,=\,50\,%2B\,0.25\,%2A\,x%0D%0Aelse%3A%0D%0Am\,=\,50\,%2B\,0.25\,%2A\,100\,%2B\,0.35\,%2A\,(x\,-\,100)%0D%0Aprint(%22Test\,3\,%3A\,Pour\,x\,=\,150%2C\,m\,=%22%2C\,m)%0D%0A%60%60%60%0D%0A%0D%0ALes\,resultats\,attendus\,sont\,%3A%0D%0A-\,Test\,1\,%3A\,Pour\,x\,=\,50%2C\,m\,=\,62.5\,%E2%82%AC%0D%0A-\,Test\,2\,%3A\,Pour\,x\,=\,100%2C\,m\,=\,75\,%E2%82%AC%0D%0A-\,Test\,3\,%3A\,Pour\,x\,=\,150%2C\,m\,=\,92.5\,%E2%82%AC%0D%0A%0D%0AAinsi%2C\,le\,programme\,se\,comporte\,correctement\,pour\,les\,differentes\,valeurs\,de\,\(\,x\,\).%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-13%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,13\,%3A\,simuler\,un\,lancer\,de\,de\,et\,ecrire\,un\,programme%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,La\,valeur\,de\,la\,variable\,\(\,S\,\)\,affichee\,a\,la\,fin\,du\,programme\,represente\,la\,somme\,des\,resultats\,de\,10\,lancers\,d'un\,de\,equilibre\,dont\,les\,faces\,sont\,numerotees\,de\,1\,a\,6.\,A\,chaque\,iteration\,de\,la\,boucle\,pour%2C\,un\,nouveau\,lancer\,de\,de\,est\,genere\,aleatoirement\,(avec\,\(\,ALGOBOX\_ALEA\_ENT(1%2C\,6)\,\))\,et\,cette\,valeur\,est\,ajoutee\,a\,\(\,S\,\).%0D%0A%0D%0Ab)\,La\,valeur\,maximale\,de\,\(\,S\,\)\,se\,produit\,lorsque\,chaque\,lancer\,de\,de\,donne\,le\,resultat\,le\,plus\,eleve\,possible%2C\,soit\,6.\,Ainsi%2C\,pour\,10\,lancers%2C\,la\,valeur\,maximale\,de\,\(\,S\,\)\,est\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AS_{max}\,=\,10\,\times  \,6\,=\,60%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,la\,plus\,grande\,valeur\,de\,\(\,S\,\)\,que\,le\,programme\,peut\,afficher\,est\,60.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-14%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,14\,%3A\,un\,programme\,ecrit\,avec\,le\,langage\,Python%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,On\,saisit\,\(\,n\,=\,4\,\)%2C\,quelle\,valeur\,le\,programme\,affiche-t-il\,en\,sortie\,%3F%0D%0A%0D%0APour\,\(\,n\,=\,4\,\)%2C\,le\,programme\,execute\,les\,operations\,suivantes\,%3A%0D%0A%0D%0A1.\,Initialisation\,de\,\(\,S\,\)\,a\,0.%0D%0A2.\,Boucle\,de\,\(\,j\,\)\,de\,1\,a\,\(\,n%2B1\,\)\,(donc\,de\,1\,a\,5).%0D%0A%0D%0A-\,Pour\,\(\,j\,=\,1\,\)\,%3A\,\(\,S\,=\,S\,%2B\,2\,\times  \,j\,=\,0\,%2B\,2\,\times  \,1\,=\,2\,\).%0D%0A-\,Pour\,\(\,j\,=\,2\,\)\,%3A\,\(\,S\,=\,S\,%2B\,2\,\times  \,j\,=\,2\,%2B\,2\,\times  \,2\,=\,6\,\).%0D%0A-\,Pour\,\(\,j\,=\,3\,\)\,%3A\,\(\,S\,=\,S\,%2B\,2\,\times  \,j\,=\,6\,%2B\,2\,\times  \,3\,=\,12\,\).%0D%0A-\,Pour\,\(\,j\,=\,4\,\)\,%3A\,\(\,S\,=\,S\,%2B\,2\,\times  \,j\,=\,12\,%2B\,2\,\times  \,4\,=\,20\,\).%0D%0A%0D%0AFinalement%2C\,\(\,S\,=\,20\,\).%0D%0A%0D%0Ab)\,De\,facon\,plus\,generale%2C\,expliquer\,le\,calcul\,effectue\,par\,ce\,programme.%0D%0A%0D%0ALe\,programme\,calcule\,la\,somme\,des\,\(\,n\,\)\,premiers\,entiers\,pairs\,a\,partir\,du\,premier\,entier\,(2)\,jusqu'a\,\(\,2n\,\).\,Cela\,se\,decrit\,par\,la\,formule\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,S\,=\,\sum_{j=1}^{n}\,2j\,\%5D%0D%0A%0D%0AOn\,observe\,que\,cette\,somme\,peut\,etre\,simplifiee\,en\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,S\,=\,2\,\sum_{j=1}^{n}\,j\,\%5D%0D%0A%0D%0AEt\,la\,somme\,des\,entiers\,de\,1\,a\,\(\,n\,\)\,est\,donnee\,par\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,\sum_{j=1}^{n}\,j\,=\,\frac{n\,(n\,%2B\,1)}{2}\,\%5D%0D%0A%0D%0AEn\,substitution%2C%0D%0A%0D%0A\%5B\,S\,=\,2\,\times  \,\frac{n\,(n\,%2B\,1)}{2}\,=\,n\,(n\,%2B\,1)\,\%5D%0D%0A%0D%0AAinsi%2C\,pour\,une\,valeur\,donnee\,de\,\(\,n\,\)%2C\,la\,valeur\,finale\,de\,\(\,S\,\)\,que\,le\,programme\,affiche\,est\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,S\,=\,n\,(n\,%2B\,1)\,\%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-15%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,15\,%3A\,donner\,un\,programme\,qui\,fournit\,les\,100\,premiers\,entiers%3C%2Fspan>
V\,=\,S\,\cdot\,h\,=\,28.27\,\cdot\,5\,=\,141.35\,\%2C\,cm^3

Exemple 2 :
– R = 2 cm
– h = 10 cm

Calculs :
S\,=\,\pi\,\cdot\,R^2\,=\,\pi\,\cdot\,2^2\,=\,4\pi\,\approx\,12.57\,\%2C\,cm^2
V\,=\,S\,\cdot\,h\,=\,12.57\,\cdot\,10\,=\,125.7\,\%2C\,cm^3

Le programme devrait afficher les volumes 141.35\,\%2C\,cm^3 pour le premier exemple et 125.7\,\%2C\,cm^3 pour le deuxieme exemple.

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Voir Corriges 21 a 31 ...

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