Les équations de droites : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : déterminer l’équation de la droite
a) Déterminer l’équation de la droite (AB).

Soient $A(1%2C\,-2)$ et $B(-3%2C\,1)$ , les coordonnées des points A et B.

La pente de la droite (AB) est donnée par la formule :
$m\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{1\,-\,(-2)}{-3\,-\,1}\,=\,\frac{3}{-4}\,=\,-\frac{3}{4}$

L’équation de la droite (AB) est de la forme :
$y\,=\,mx\,%2B\,c$

Pour trouver , on utilise les coordonnées d’un des points, par exemple le point A(1, -2) :
$-2\,=\,(-\frac{3}{4}\,\cdot\,1\,)\,%2B\,c$
$-2\,=\,-\frac{3}{4}\,%2B\,c$
$c\,=\,-2\,%2B\,\frac{3}{4}$
$c\,=\,-\frac{8}{4}\,%2B\,\frac{3}{4}$
$c\,=\,-\frac{5}{4}$

Donc, l’équation de la droite (AB) est :
$y\,=\,-\frac{3}{4}x\,-\,\frac{5}{4}$

b) Vérification de l’appartenance des points à la droite (AB).

Pour chaque point $(x%2C\,y)$ , vérifions si l’équation $y\,=\,-\frac{3}{4}x\,-\,\frac{5}{4}$ est satisfaite.

1. Point C(10, -8.75)
$y\,=\,-\frac{3}{4}\,\cdot\,10\,-\,\frac{5}{4}$
$y\,=\,-\frac{30}{4}\,-\,\frac{5}{4}$
$y\,=\,-\frac{35}{4}$
$y\,=\,-8.75$

Le point $C(10%2C\,-8.75)$ appartient donc à la droite (AB).

2. Point D(-20, 13.5)
$y\,=\,-\frac{3}{4}\,\cdot\,-20\,-\,\frac{5}{4}$
$y\,=\,\frac{60}{4}\,-\,\frac{5}{4}$
$y\,=\,\frac{55}{4}$
$y\,=\,13.75$

Le point $D(-20%2C\,13.5)$ n’appartient pas à la droite (AB).

3. Point E(41, -32)
$y\,=\,-\frac{3}{4}\,\cdot\,41\,-\,\frac{5}{4}$
$y\,=\,-\frac{123}{4}\,-\,\frac{5}{4}$
$y\,=\,-\frac{128}{4}$
$y\,=\,-32$

Le point $E(41%2C\,-32)$ appartient donc à la droite (AB).

En résumé, les points C et E appartiennent à la droite (AB), tandis que le point D n’appartient pas à la droite (AB).

Exercice 2 : nature d’un triangle et équations de droites
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

Les droites (AB), (AC), (BC) sont-elles parallèles à l’un des axes ?

Pour déterminer si une droite est parallèle à l’un des axes, il faut vérifier si une des coordonnées de chaque point de la droite est constante.

Pour la droite (AB) :
– $A(-3%2C\,2)$
– $B(2%2C\,2)$

La coordonnée en est constante ( $y\,=\,2$ ), donc la droite (AB) est parallèle à l’axe des abscisses (axe des ).

Pour la droite (AC) :
– $A(-3%2C\,2)$
– $C(2%2C\,-2)$

Aucune des coordonnées n’est constante donc la droite (AC) n’est parallèle à aucun des axes.

Pour la droite (BC) :
– $B(2%2C\,2)$
– $C(2%2C\,-2)$

La coordonnée en est constante ( $x\,=\,2$ ), donc la droite (BC) est parallèle à l’axe des ordonnées (axe des ).

Déterminer les équations de (AB), (AC) et (BC).

Pour la droite (AB), comme elle est parallèle à l’axe des abscisses ( constant) :
$y\,=\,2$

Pour la droite (AC) :
– La pente est donnée par $m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}$
– Soit $A(-3%2C\,2)$ et $C(2%2C\,-2)$ , alors
$m\,=\,\frac{-2\,-\,2}{2\,-\,(-3)}\,=\,\frac{-4}{5}$
– L’équation de la droite (AC) est de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,c$
– En utilisant le point $A(-3%2C\,2)$ pour trouver :
$2\,=\,\frac{-4}{5}\,(-3)\,%2B\,c\,\implies\,2\,=\,\frac{12}{5}\,%2B\,c\,\implies\,c\,=\,2\,-\,\frac{12}{5}\,=\,\frac{10}{5}\,-\,\frac{12}{5}\,=\,-\,\frac{2}{5}$
– L’équation de la droite (AC) est donc :
$y\,=\,-\frac{4}{5}\,x\,-\,\frac{2}{5}$

Pour la droite (BC) :
Comme elle est parallèle à l’axe des ordonnées ( constant) :
$x\,=\,2$

Quelle est la nature du triangle ?

Pour déterminer la nature du triangle , il suffit de calculer les longueurs des côtés , et .

Distance :
$AB\,=\,\sqrt{(2\,-\,(-3))^2\,%2B\,(2\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{5^2\,%2B\,0}\,=\,5$

Distance :
$AC\,=\,\sqrt{(2\,-\,(-3))^2\,%2B\,(-2\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{5^2\,%2B\,(-4)^2}\,=\,\sqrt{25\,%2B\,16}\,=\,\sqrt{41}$

Distance :
$BC\,=\,\sqrt{(2\,-\,2)^2\,%2B\,(-2\,-\,2)^2}\,=\,\sqrt{0\,%2B\,(-4)^2}\,=\,4$

Puisque $AB\,\neq\,AC\,\neq\,BC$ , le triangle n’est ni isocèle ni équilatéral.

Pour vérifier si le triangle est rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore, à savoir si :
$AB^2\,%2B\,BC^2\,=\,AC^2$
$5^2\,%2B\,4^2\,=\,41\,\Rightarrow\,25\,%2B\,16\,=\,41\,\Rightarrow\,41\,=\,41$

Alors, le triangle est un triangle rectangle.

Exercice 3 : systèmes et équations de droites
a) Soient $A(-2%3B\,1)$ et . L’équation d’une droite passant par deux points $A(x_a%2C\,y_a)$ et $B(x_b%2C\,y_b)$ peut être écrite sous la forme $y\,=\,mx\,%2B\,p$ , où est le coefficient directeur et est l’ordonnée à l’origine. Le coefficient directeur est donné par la formule

$m\,=\,\frac{y_b\,-\,y_a}{x_b\,-\,x_a}$

Dans notre cas :

$m\,=\,\frac{2\,-\,1}{2\,-\,(-2)}\,=\,\frac{1}{4}$

Pour déterminer , nous utilisons les coordonnées de l’un des points (par exemple ) dans l’équation $y\,=\,mx\,%2B\,p$ .

$1\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,(-2)\,%2B\,p$
$1\,=\,-\frac{1}{2}\,%2B\,p$
$p\,=\,1\,%2B\,\frac{1}{2}$
$p\,=\,\frac{3}{2}$

Donc, l’équation de la droite (AB) est :

$y\,=\,\frac{1}{4}x\,%2B\,\frac{3}{2}$

b) Déterminer et revient à résoudre le système suivant :

$\begin{cases}%0D%0A1\,=\,-2m\,%2B\,p\,\\%0D%0A2\,=\,2m\,%2B\,p%0D%0A\end{cases}$

Ce système résume les conditions imposées par le passage de la droite par les points et .

c) Résolvons le système pour et .

$\begin{cases}%0D%0A1\,=\,-2m\,%2B\,p\,\\%0D%0A2\,=\,2m\,%2B\,p%0D%0A\end{cases}$

Soustrayons la première équation de la deuxième :

$2\,-\,1\,=\,(2m\,%2B\,p)\,-\,(-2m\,%2B\,p)$
$1\,=\,4m$
$m\,=\,\frac{1}{4}$

Ensuite, substituons la valeur de dans une des équations originales (prenons la première) :

$1\,=\,-2\,\times \,\frac{1}{4}\,%2B\,p$
$1\,=\,-\frac{1}{2}\,%2B\,p$
$p\,=\,1\,%2B\,\frac{1}{2}$
$p\,=\,\frac{3}{2}$

Ainsi, l’équation de la droite (AB) est :

$y\,=\,\frac{1}{4}x\,%2B\,\frac{3}{2}$

d) Déterminons l’équation de la droite (CD) en utilisant les mêmes étapes.

Les points $C(21%3B\,6)$ et $D(21%3B\,2)$ ont le même abscisse $x\,=\,21$ . La droite (CD) est donc une droite verticale donnée par l’équation :

$x\,=\,21$

e) Pour vérifier si le point est aligné avec et , nous substituons $x\,=\,21$ dans l’équation de la droite (AB) :

$y\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,21\,%2B\,\frac{3}{2}$
$y\,=\,\frac{21}{4}\,%2B\,\frac{3}{2}$
$y\,=\,\frac{21}{4}\,%2B\,\frac{6}{4}\,=\,\frac{27}{4}\,\approx\,6.75$

Comme $y\,=\,7\,\neq\,6.75$ , le point n’est pas sur la droite (AB).

Pour vérifier si est aligné avec et , puisque et ont le même abscisse et que a également $x\,=\,21$ , est aligné avec la droite (CD).

Donc, le point est aligné avec et , mais pas avec et . Ainsi, l’affirmation de Killian est partiellement correcte.

Exercice 4 : calculer la valeur de x et y
Soit l’expression $y\,=\,-3x\,%2B\,2$ .

1) Quelle est la valeur de si :

[a)] $x\,=\,-6$ ?
$y\,=\,-3(-6)\,%2B\,2\,=\,18\,%2B\,2\,=\,20$
[b)] $x\,=\,\frac{2}{3}$ ?
$y\,=\,-3(\frac{2}{3})\,%2B\,2\,=\,-2\,%2B\,2\,=\,0$

2) Quelle est la valeur de si :

[a)] $y\,=\,-5$ ?
$-5\,=\,-3x\,%2B\,2$
$-5\,-\,2\,=\,-3x$
$-7\,=\,-3x$
$x\,=\,\frac{7}{3}$
[b)] $y\,=\,-\frac{1}{4}$ ?
$-\frac{1}{4}\,=\,-3x\,%2B\,2$
$-\frac{1}{4}\,-\,2\,=\,-3x$
$-\frac{1}{4}\,-\,\frac{8}{4}\,=\,-3x$
$-\frac{9}{4}\,=\,-3x$
$x\,=\,\frac{3}{4}$

Exercice 5 : quel couple vérifie l’égalité ?
1) Vérifions si le couple $(-2%3B\,5)$ vérifie l’égalité $y\,=\,0%2C4x\,-\,0%2C8$ .

Pour $x\,=\,-2$ et $y\,=\,5$ :

$y\,=\,0%2C4\,\times \,(-2)\,-\,0%2C8$
$y\,=\,-0%2C8\,-\,0%2C8$
$y\,=\,-1%2C6$

Mais $y\,=\,5$ .

Donc, le couple $(-2%3B\,5)$ ne vérifie pas l’égalité.

2) Vérifions si le couple $(0%3B\,-0%2C8)$ vérifie l’égalité $y\,=\,0%2C4x\,-\,0%2C8$ .

Pour $x\,=\,0$ et $y\,=\,-0%2C8$ :

$y\,=\,0%2C4\,\times \,0\,-\,0%2C8$
$y\,=\,0\,-\,0%2C8$
$y\,=\,-0%2C8$

Donc, le couple $(0%3B\,-0%2C8)$ vérifie l’égalité.

Exercice 6 : exprimer y en fonction de x
Pour isoler dans l’équation donnée $-5y\,-\,2x\,%2B\,4\,=\,0$ , suivons les étapes suivantes :

1. Transférons les termes impliquant et les constantes de l’autre côté de l’équation :

$-5y\,=\,2x\,-\,4$

2. Divisons tous les termes de l’équation par pour isoler :

$y\,=\,\frac{2x\,-\,4}{-5}$

3. Simplifions la fraction :

$y\,=\,-\frac{2}{5}x\,%2B\,\frac{4}{5}$

Ainsi, l’expression de en fonction de est :

$y\,=\,-\frac{2}{5}x\,%2B\,\frac{4}{5}$

Exercice 7 : quelles sont les équations de droites ?
Équations de lignes droites :

1) $y\,=\,\sqrt{3}x\,-\,2$

Cette équation est de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,c$ , donc c’est une équation de droite.

2) $yx\,=\,2$

Réécrivons la sous forme explicite : $y\,=\,\frac{2}{x}$ .

Cela représente une hyperbole, donc ce n’est pas une équation de droite.

3) $x\,=\,\frac{5}{7}$

Cette équation représente une ligne verticale qui est une droite dans le plan xy.

4) $y\,=\,(x-2)^2\,-\,(x%2B6)^2$

Simplifions cette équation :

$y\,=\,(x-2)^2\,-\,(x%2B6)^2$

Utilisons l’identité de différence des carrés : $a^2\,-\,b^2\,=\,(a-b)(a%2Bb)$

$y\,=\,%5B\,(x-2)\,-\,(x%2B6)\,%5D\,%5B\,(x-2)\,%2B\,(x%2B6)\,%5D$
$y\,=\,(-8)(2x%2B4)$
$y\,=\,-8\,(2x\,%2B\,4)$
$y\,=\,-16x\,-\,32$

C’est de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,c$ , donc c’est une équation de droite.

Donc, les équations de droite sont 1), 3), et 4).

Graphique donné:

1) Ordonnée à l’origine (valeur de y lorsque x = 0) :

La droite coupe l’axe des y à $y\,=\,1$ .

2) Coefficient directeur (pente) de cette droite :

La pente est donnée par la variation de y par rapport à la variation de x.

Entre les points (0, 1) et (1, 0):

$m\,=\,\frac{{0-1}}{{1-0}}\,=\,-1$

Donc, le coefficient directeur de cette droite est .

Exercice 8 : donner les équations réduites des droites
1) La droite passe par les points (0,0) et (1,1). Nous pouvons utiliser ces points pour déterminer l’équation de la droite. La pente (ou coefficient directeur) est donnée par:

$m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}\,=\,\frac{1\,-\,0}{1\,-\,0}\,=\,1$

L’ordonnée à l’origine (ou l’intercepte) est 0 car la droite passe par l’origine. L’équation de la droite est donc:

$y\,=\,x$

2) La droite passe par les points (0,0) et (1,-1). Nous pouvons utiliser ces points pour déterminer l’équation de la droite. La pente est donnée par:

$m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}\,=\,\frac{-1\,-\,0}{1\,-\,0}\,=\,-1$

L’ordonnée à l’origine est 0 car la droite passe par l’origine. L’équation de la droite est donc:

$y\,=\,-x$

3) Pour une droite verticale passant par $x\,=\,1$ , l’équation est simplement:

$x\,=\,1$

4) Pour une droite horizontale passant par $y\,=\,-1$ , l’équation est:

$y\,=\,-1$

Exercice 9 : donner les équations réduites des droites
1) La droite passe par les points $(0%2C\,0)$ et $(1%2C\,1)$ , soit une pente de . Son équation réduite est donc :
$y\,=\,x$

2) La droite passe par les points $(0%2C\,1)$ et $(1%2C\,0)$ , soit une pente de avec une ordonnée à l’origine de . Son équation réduite est donc :
$y\,=\,-x\,%2B\,1$

3) La droite est une droite verticale qui passe par $x\,=\,1$ . Son équation réduite est donc :
$x\,=\,1$

4) La droite est une droite horizontale qui passe par $y\,=\,1$ . Son équation réduite est donc :
$y\,=\,1$

Exercice 10 : déterminer l’intersection de deux droites
1) L’équation réduite de la droite donnée par $3x\,-\,6y\,=\,2$ s’obtient en isolant :
$3x\,-\,6y\,=\,2\,\implies\,-6y\,=\,-3x\,%2B\,2\,\implies\,y\,=\,\frac{1}{2}x\,-\,\frac{1}{3}$

2) Pour vérifier si le point appartient à la droite d’équation $y\,=\,4x\,%2B\,5$ , on remplace par et on vérifie si $y\,=\,3$ :
$y\,=\,4(-2)\,%2B\,5\,=\,-8\,%2B\,5\,=\,-3$
Le point n’appartient donc pas à la droite $y\,=\,4x\,%2B\,5$ car $-3\,\neq\,3$ .

3) Pour vérifier si les droites et sont parallèles, on compare leurs coefficients directeurs. Les équations réduites des droites sont :
$(D_1)\,%3A\,y\,=\,\frac{15}{6}x\,-\,5\,\implies\,y\,=\,2.5x\,-\,5$
$(D_2)\,%3A\,y\,=\,\frac{20}{8}x\,%2B\,5\,\implies\,y\,=\,2.5x\,%2B\,5$
Les coefficients directeurs sont égaux , donc les droites et sont parallèles.

4) Pour trouver l’intersection des droites et de systèmes respectifs $5x\,-\,7\,=\,-4$ et $x\,=\,-4$ , nous résolvons ce système :
$\begin{cases}%0D%0A5x\,-\,7\,=\,-4\,\\%0D%0Ax\,=\,-4%0D%0A\end{cases}$
Remplaçons dans la première équation :
$5(-4)\,-\,7\,=\,-4\,\implies\,-20\,-\,7\,=\,-4\,\implies\,-27\,\neq\,-4$
Il n’y a donc pas de point d’intersection, et les droites sont en fait parallèles.

5) Pour déterminer le nombre de solutions des systèmes :

a)
$\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,1%2C5x\,%2B\,2%2C4\,\\%0D%0Ay\,=\,1%2C5x\,-\,8%0D%0A\end{cases}$
Pour trouver les solutions, nous égalons les deux équations :
$1%2C5x\,%2B\,2%2C4\,=\,1%2C5x\,-\,8\,\implies\,2%2C4\,\neq\,-8$
Le système a zéro solution car les droites sont parallèles avec des ordonnées à l’origine différentes.

b)
$\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,5x\,-\,1\,\\%0D%0Ay\,=\,7x\,-\,1%0D%0A\end{cases}$
Égalons les deux équations :
$5x\,-\,1\,=\,7x\,-\,1\,\implies\,-1\,=\,-1\,\,vrai%2C\,mais\,manque\,valeur\,\,x$
La solution n’a peut-être qu’une solution possible en considérant deux équations :
$2x=0\,\\\,x=0$
donc deux équations ne peuvent que une même variable , donc finale c’est \emph{ unique solution d’intersection ensemble de systeme $(x%2Cy)=0%2C\,-1)\,}%0D%0A%0D%0A%5Bexpander_maker\,id=%221%22\,more=%22Voir\,Corriges\,11\,a\,20\,...%22%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-11%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,11\,%3A\,preciser\,l'ordonnee\,a\,l'origine%3C%2Fspan>%0D%0A1)\,\(\,y^2\,=\,3x\,-\,2$ Exercice 11 : preciser l’ordonnee a l’origine
1) \( y^2 = 3x – 2″ align= »absmiddle » />

Cette équation n’est pas une équation de droite car elle n’est pas de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,b$ . Il s’agit plutôt d’une équation quadratique en .

2) $y\,=\,-5x\,%2B\,7$

Cette équation est une équation de droite de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,b$ .
– Le coefficient directeur est $m\,=\,-5$ .
– L’ordonnée à l’origine est $b\,=\,7$ .

3) $x^4\,=\,1$

Cette équation n’est pas une équation de droite, car elle n’est pas de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,b$ . Il s’agit d’une équation polynomiale en .

4) $x\,=\,3$

Cette équation représente une droite verticale. Elle n’a pas de coefficient directeur (ou il est indéfini).
– L’abscisse à l’origine est $x\,=\,3$ .

5) $y\,=\,5x^2\,%2B\,5$

Cette équation n’est pas une équation de droite car elle n’est pas de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,b$ . Il s’agit d’une équation quadratique en .

6) $y\,=\,\frac{-3x\,%2B\,1}{5}$

Cette équation peut être réécrite sous la forme $y\,=\,-\frac{3}{5}x\,%2B\,\frac{1}{5}$ , ce qui est effectivement une équation de droite de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,b$ .
– Le coefficient directeur est $m\,=\,-\frac{3}{5}$ .
– L’ordonnée à l’origine est $b\,=\,\frac{1}{5}$ .

Exercice 12 : vérifier qu’un point appartient à une droite
Correction de l’exercice :

Pour vérifier si le point appartient à chacune des droites, nous devons substituer $x\,=\,3$ et vérifier si le obtenu est .

Droite 1 : $y\,=\,3x\,%2B\,2$

$y\,=\,3(3)\,%2B\,2\,=\,9\,%2B\,2\,=\,11$

Donc, le point n’appartient pas à la droite $y\,=\,3x\,%2B\,2$ .

Droite 2 : $y\,=\,3x\,-\,2$

$y\,=\,3(3)\,-\,2\,=\,9\,-\,2\,=\,7$

Donc, le point appartient à la droite $y\,=\,3x\,-\,2$ .

Droite 3 : $y\,=\,-2x\,-\,2$

$y\,=\,-2(3)\,-\,2\,=\,-6\,-\,2\,=\,-8$

Donc, le point n’appartient pas à la droite $y\,=\,-2x\,-\,2$ .

Droite 4 : $y\,=\,-2x\,%2B\,13$

$y\,=\,-2(3)\,%2B\,13\,=\,-6\,%2B\,13\,=\,7$

Donc, le point appartient à la droite $y\,=\,-2x\,%2B\,13$ .

En résumé :
– Le point appartient aux droites $y\,=\,3x\,-\,2$ et $y\,=\,-2x\,%2B\,13$ .
– Le point n’appartient pas aux droites $y\,=\,3x\,%2B\,2$ et $y\,=\,-2x\,-\,2$ .

Exercice 13 : vérifier qu’un point appartient à une droite
1. Pour la droite $y\,=\,2x\,%2B\,1$ :

$y\,=\,2(-4)\,%2B\,1\,=\,-8\,%2B\,1\,=\,-7$

$\Rightarrow\,-7\,\neq\,1$ donc le point $D(-4\,%3B\,1)$ n’appartient pas à la droite $y\,=\,2x\,%2B\,1$ .

2. Pour la droite $y\,=\,2x\,%2B\,9$ :

$y\,=\,2(-4)\,%2B\,9\,=\,-8\,%2B\,9\,=\,1$

$\Rightarrow\,1\,=\,1$ donc le point $D(-4\,%3B\,1)$ appartient à la droite $y\,=\,2x\,%2B\,9$ .

3. Pour la droite $y\,=\,-3x\,-\,11$ :

$y\,=\,-3(-4)\,-\,11\,=\,12\,-\,11\,=\,1$

$\Rightarrow\,1\,=\,1$ donc le point $D(-4\,%3B\,1)$ appartient à la droite $y\,=\,-3x\,-\,11$ .

4. Pour la droite $y\,=\,-x\,%2B\,3$ :

$y\,=\,-(-4)\,%2B\,3\,=\,4\,%2B\,3\,=\,7$

$\Rightarrow\,7\,\neq\,1$ donc le point $D(-4\,%3B\,1)$ n’appartient pas à la droite $y\,=\,-x\,%2B\,3$ .

Exercice 14 : droites et équations
Pour vérifier si le point $F(-1\,%3B\,-2)$ appartient à chacune des droites, il suffit de substituer les coordonnées du point dans les équations des droites et voir si l’égalité est respectée.

1) $y\,=\,\frac{1}{5}\,x\,%2B\,\frac{4}{5}$

Substituons $x\,=\,-1$ et $y\,=\,-2$ :

$-2\,=\,\frac{1}{5}(-1)\,%2B\,\frac{4}{5}$

$-2\,=\,-\frac{1}{5}\,%2B\,\frac{4}{5}$

$-2\,=\,\frac{-1\,%2B\,4}{5}$

$-2\,=\,\frac{3}{5}$

$-2\,\neq\,\frac{3}{5}$

Le point $F(-1\,%3B\,-2)$ n’appartient donc pas à la première droite.

2) $y\,=\,\frac{2}{3}\,x\,-\,\frac{4}{3}$

Substituons $x\,=\,-1$ et $y\,=\,-2$ :

$-2\,=\,\frac{2}{3}\,(-1)\,-\,\frac{4}{3}$

$-2\,=\,-\frac{2}{3}\,-\,\frac{4}{3}$

$-2\,=\,-\frac{2\,%2B\,4}{3}$

$-2\,=\,-\frac{6}{3}$

$-2\,=\,-2$

L’égalité est vérifiée. Donc, le point $F(-1\,%3B\,-2)$ appartient à la deuxième droite.

3) $y\,=\,-\frac{6}{7}\,x\,-\,\frac{15}{14}$

Substituons $x\,=\,-1$ et $y\,=\,-2$ :

$-2\,=\,-\frac{6}{7}\,(-1)\,-\,\frac{15}{14}$

$-2\,=\,\frac{6}{7}\,-\,\frac{15}{14}$

Mettons le second terme à gauche au même dénominateur :

$-2\,=\,\frac{6\,\cdot\,2}{7\,\cdot\,2}\,-\,\frac{15}{14}$

$-2\,=\,\frac{12}{14}\,-\,\frac{15}{14}$

$-2\,=\,\frac{12\,-\,15}{14}$

$-2\,=\,\frac{-3}{14}$

$-2\,\neq\,\frac{-3}{14}$

Le point $F(-1\,%3B\,-2)$ n’appartient donc pas à la troisième droite.

4) $y\,=\,\frac{12}{17}\,x\,%2B\,\frac{3}{11}$

Substituons $x\,=\,-1$ et $y\,=\,-2$ :

$-2\,=\,\frac{12}{17}\,(-1)\,%2B\,\frac{3}{11}$

$-2\,=\,-\frac{12}{17}\,%2B\,\frac{3}{11}$

Mise au même dénominateur des fractions dans le second terme :

$-2\,=\,\frac{-12\,\cdot\,11\,%2B\,3\,\cdot\,17}{17\,\cdot\,11}$

$-2\,=\,\frac{-132\,%2B\,51}{187}$

$-2\,=\,\frac{-81}{187}$

$-2\,\neq\,\frac{-81}{187}$

Le point $F(-1\,%3B\,-2)$ n’appartient donc pas à la quatrième droite.

Exercice 15 : indiquer si l’équation est une droite parallèle
1) $y\,=\,5x\,-\,17$

Dans cette équation, le coefficient directeur est . La droite n’est donc pas parallèle à un des axes du repère car elle a une pente non nulle.

2) $x\,=\,2%2C5$

Cette équation représente une droite verticale (car elle donne une constante pour ). Elle est parallèle à l’axe des ordonnées (axe ).

3) $y\,=\,-3x\,-\,12$

Dans cette équation, le coefficient directeur est . La droite n’est donc pas parallèle à un des axes du repère car elle a une pente non nulle.

4) $y\,=\,5$

Cette équation représente une droite horizontale (car elle donne une constante pour ). Elle est parallèle à l’axe des abscisses (axe ).

5) $y\,=\,-\frac{1}{2}x\,%2B\,7$

Dans cette équation, le coefficient directeur est $-\frac{1}{2}$ . La droite n’est donc pas parallèle à un des axes du repère car elle a une pente non nulle.

6) $y\,=\,2x$

Dans cette équation, le coefficient directeur est . La droite n’est donc pas parallèle à un des axes du repère car elle a une pente non nulle.

Exercice 16 : déterminer une équation de chacune des droites tracées
Pour déterminer les équations des droites , , et , analysons les positions et inclinaisons de chacune par rapport aux axes et .

1. $Droite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FD_1%22\,alt=%22D_1$ : » align= »absmiddle » />
est parallèle à l’axe des et coupe l’axe des ordonnées à $y\,=\,-1$ . L’équation de est donc :
$y\,=\,-1$

2. $Droite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FD_2%22\,alt=%22D_2$ : » align= »absmiddle » />
est parallèle à l’axe des et coupe l’axe des abscisses à $x\,=\,3$ . L’équation de est donc :
$x\,=\,3$

3. $Droite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FD_3%22\,alt=%22D_3$ : » align= »absmiddle » />
Pour déterminer l’équation de , nous observons qu’elle passe par les points $(1%2C\,0)$ et $(0%2C\,2)$ .
Utilisons la formule de la pente (coefficient directeur) :
$m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}\,=\,\frac{2\,-\,0}{0\,-\,1}\,=\,-2$
Utilisons la forme point-pente $y\,-\,y_1\,=\,m(x\,-\,x_1)$ avec le point $(1%2C\,0)$ :
$y\,-\,0\,=\,-2(x\,-\,1)\,\implies\,y\,=\,-2x\,%2B\,2$

4. $Droite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FD_4%22\,alt=%22D_4$ : » align= »absmiddle » />
Pour déterminer l’équation de , nous observons qu’elle passe par les points $(2%2C\,0)$ et $(0%2C\,2)$ .
Utilisons la formule de la pente (coefficient directeur) :
$m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}\,=\,\frac{2\,-\,0}{0\,-\,2}\,=\,-1$
Utilisons la forme point-pente $y\,-\,y_1\,=\,m(x\,-\,x_1)$ avec le point $(2%2C\,0)$ :
$y\,-\,0\,=\,-1(x\,-\,2)\,\implies\,y\,=\,-x\,%2B\,2$

Exercice 17 : donner une équation et un algorithme
1) Une équation de la droite verticale passant par le point A(5; -7) est $x\,=\,5$ .

Une équation de la droite horizontale passant par le point A(5; -7) est $y\,=\,-7$ .

2) Une équation d’une droite oblique passant par le point A(5; -7) peut être exprimée de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,c$ . Comme cette droite passe par le point (5, -7), nous avons :
$-7\,=\,5m\,%2B\,c$
Choisissons une valeur de m, par exemple $m\,=\,1$ . Alors,
$-7\,=\,5\,\cdot\,1\,%2B\,c\,\Rightarrow\,c\,=\,-7\,-\,5\,=\,-12$
Ainsi, une équation de la droite oblique passant par le point A est : $y\,=\,x\,-\,12$ .

3) Une équation d’une droite oblique qui ne contient pas le point A(5; -7) peut être n’importe quelle droite de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,c$ avec $-7\,\neq\,5m\,%2B\,c$ . Par exemple, pour la droite $y\,=\,x\,%2B\,1$ , nous avons :
$-7\,\neq\,5\,\cdot\,1\,%2B\,1\,\Rightarrow\,-7\,\neq\,6$
Donc, une équation de cette droite oblique est : $y\,=\,x\,%2B\,1$ .

4) Voici un algorithme pour déterminer si le point A(5; -7) appartient à une droite donnée $y\,=\,mx\,%2B\,c$ :

Entrée : Coefficients et de l’équation de la droite $y\,=\,mx\,%2B\,c$ .

1. Calculer $y'\,=\,5m\,%2B\,c$ .
2. Si $y'\,=\,-7$ , alors le point A appartient à la droite.
3. Sinon, le point A n’appartient pas à la droite.

En pseudo-code :
« `
Entrée : m, c
y’ = 5 * m + c

Si y’ == -7 alors
Afficher « Le point A(5, -7) appartient à la droite. »
Sinon
Afficher « Le point A(5, -7) n’appartient pas à la droite. »
« `

En LaTeX, cet algorithme peut être rédigé comme suit :

$Entree\,%3A\,\,m%2C\,c$
$y'\,=\,5m\,%2B\,c$
$Si\,\,y'\,=\,-7\,\,alors$
$\quad\,Afficher\,%22Le\,point\,A(5%2C\,-7)\,appartient\,a\,la\,droite.%22$

$\quad\,Afficher\,%22Le\,point\,A(5%2C\,-7)\,n'appartient\,pas\,a\,la\,droite.%22$

Exercice 18 : ecrire un algorithme qui demande les coordonnées
« `
Correction :

[1)] Déterminer deux points :
\begin{itemize}
[a)] qui appartiennent à la droite $(D)$

Pour déterminer les points appartenant à la droite $y = -3x + 7$, nous pouvons choisir deux valeurs pour $x$ et trouver les correspondantes $y$.
\begin{itemize}
Si $x = 0$, alors $y = -3(0) + 7 = 7$. Le point $(0, 7)$ appartient à $(D)$.
Si $x = 1$, alors $y = -3(1) + 7 = 4$. Le point $(1, 4)$ appartient à $(D)$.

[b)] qui n’appartiennent pas à la droite $(D)$

Pour déterminer des points qui ne sont pas sur la droite, nous choisissons des points $(x_i, y_i)$ qui ne satisfont pas l’équation $y = -3x + 7$.

Si $x = 0$, alors $y = 6 \neq -3(0) + 7$. Le point $(0, 6)$ n’appartient pas à $(D)$.
Si $x = 2$, alors $y = 5 \neq -3(2) + 7 = 1$. Le point $(2, 5)$ n’appartient pas à $(D)$.

\end{itemize}

[2)] Écrire un algorithme qui demande les coordonnées d’un point en entrée puis qui indique si le point est sur $(D)$ ou pas.

\begin{verbatim}
Algorithme :
– Demander les coordonnées du point (x, y)
– Calculer y_theorique = -3 * x + 7
– Si y == y_theorique alors
– Afficher « Le point (x, y) appartient à la droite (D). »
Sinon
– Afficher « Le point (x, y) n’appartient pas à la droite (D). »

Pseudo-code :
Entrée : x, y
y_theorique = -3 * x + 7
Si y == y_theorique alors
Afficher « Le point ( » + x + « , » + y + « ) appartient à la droite (D). »
Sinon
Afficher « Le point ( » + x + « , » + y + « ) n’appartient pas à la droite (D). »
\end{verbatim}

\end{itemize}
« `

Exercice 19 : tracer dans un même repère les droites
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{pgfplots}

\begin{document}

Tracer les droites correspondant aux équations suivantes dans un même repère :

\begin{align*}
1. \quad y = 2x – 1 \\
2. \quad y = -3x + 4 \\
3. \quad y = x \\
4. \quad y = -0.5x + 2 \\
5. \quad y = -5x – 3 \\
6. \quad y = 5x – 3 \\
\end{align*}

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = left,
xlabel = ,
ylabel = {},
grid = major,
xmin=-3, xmax=3,
ymin=-10, ymax=10,
width=12cm, height=10cm,
]
% Plot y = 2x – 1
\addplot[
domain=-3:3,
samples=100,
color=red,
thick,
]
{2*x – 1};
\addlegendentry{}

% Plot y = -3x + 4
\addplot[
domain=-3:3,
samples=100,
color=blue,
thick,
]
{-3*x + 4};
\addlegendentry{}

% Plot y = x
\addplot[
domain=-3:3,
samples=100,
color=green,
thick,
]
{x};
\addlegendentry{}

% Plot y = -0.5x + 2
\addplot[
domain=-3:3,
samples=100,
color=purple,
thick,
]
{-0.5*x + 2};
\addlegendentry{}

% Plot y = -5x – 3
\addplot[
domain=-3:3,
samples=100,
color=orange,
thick,
]
{-5*x – 3};
\addlegendentry{}

% Plot y = 5x – 3
\addplot[
domain=-3:3,
samples=100,
color=brown,
thick,
]
{5*x – 3};
\addlegendentry{}
\end{axis}
\end{tikzpicture}

\end{document}

Exercice 20 : algorithme qui affiche une équation de droite
Correction de l’exercice :

1) Que fait l’algorithme ci-dessus ?

L’algorithme calcule la pente de la droite passant par deux points de coordonnées $(x1%2C\,y1)$ et $(x2%2C\,y2)$ . Si les abscisses et sont égales (ce qui correspondrait à une droite verticale et donc une pente indéfinie), l’algorithme affiche que n’existe pas.

2) Comment le modifier pour afficher une équation de droite ?

Pour modifier cet algorithme afin qu’il affiche l’équation de la droite passant par les deux points $(x1%2C\,y1)$ et $(x2%2C\,y2)$ , nous devons calculer à la fois la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite et afficher l’équation sous la forme $y\,=\,mx\,%2B\,b$ .

Voici l’algorithme modifié :

« `plaintext
1. Algorithme : EquationDroite
2. Liste des variables utilisées
3. x1, x2, y1, y2 : réel
4. m, b : réel
5. Entrées
6. Demander x1, x2, y1 et y2
7. Traitements
8. Si x1 ≠ x2 Alors
9. Calculer m := (y1 – y2) / (x1 – x2)
10. Calculer b := y1 – m * x1
11. Afficher « L’équation de la droite est y = « , m, « x + « , b
12. Sinon
13. Afficher « L’équation de la droite est x = « , x1
14. Fin Si
15. Fin de l’algorithme
« `

Explication des modifications :

– Nous avons ajouté la variable pour représenter l’ordonnée à l’origine.
– Nous avons calculé en utilisant la formule $b\,=\,y1\,-\,m\,\cdot\,x1$ .
– Nous avons ensuite affiché l’équation de la droite sous la forme $y\,=\,mx\,%2B\,b$ lorsqu’il s’agit d’une droite non-verticale.
– Si la droite est verticale ( $x1\,=\,x2$ ), nous indiquons que l’équation est $x\,=\,x1$ .

[/expander_maker]

Exercice 21 : donner une équation réduite

Une droite sécante à $( D )$: Une droite sécante à $( D )$ doit avoir une pente différente de $2$. Par exemple, prenons la pente $m = 1$. Une équation possible est $y = x + 1$.
$y\,=\,x\,%2B\,1$

Une droite parallèle à $( D )$: Une droite parallèle à $( D )$ a la même pente que $( D )$, soit $2$. Une forme possible est:
$y\,=\,2x\,%2B\,c$
où $c$ est une constante quelconque. Par exemple, prenons $c = 3$:
$y\,=\,2x\,%2B\,3$

Une droite parallèle à $( D )$ et passant par $A(2;1)$: L’équation d’une telle droite aura la forme:
$y\,=\,2x\,%2B\,b$
Pour trouver $b$, nous remplaçons $x$ et $y$ par les coordonnées du point $A(2;1)$:
$1\,=\,2\,\cdot\,2\,%2B\,b\,\implies\,1\,=\,4\,%2B\,b\,\implies\,b\,=\,-3$
Donc l’équation est:
$y\,=\,2x\,-\,3$

Une droite sécante à $( D )$ et passant par $A$: Une droite sécante à $( D )$ peut avoir une pente différente de $2$. Prenons par exemple la pente $m = -1$. L’équation s’écrit:
$y\,=\,-x\,%2B\,b$
Nous remplaçons $x$ et $y$ par les coordonnées du point $A(2;1)$ pour trouver $b$:
$1\,=\,-2\,%2B\,b\,\implies\,1\,=\,-2\,%2B\,b\,\implies\,b\,=\,3$
Donc l’équation est:
$y\,=\,-x\,%2B\,3$

Exercice 22 : donner une équation réduite des droites symétriques
Correction de l’exercice:

1) $ (D_1) : x = 2 $
– Par rapport à l’axe des ordonnées : $ D_1′ : x = -2 $
– Par rapport à l’axe des abscisses : $ D_1 : x = 2 $ (pas de changement car la droite est parallèle à l’axe des abscisses)
– Par rapport à l’origine du repère : $ D_1 » : x = -2 $

2) $ (D_2) : y = -4 $
– Par rapport à l’axe des ordonnées : $ D_2 : y = -4 $ (pas de changement car la droite est parallèle à l’axe des ordonnées)
– Par rapport à l’axe des abscisses : $ D_2′ : y = 4 $
– Par rapport à l’origine du repère : $ D_2 » : y = 4 $

3) $ (D_3) : y = 2x – 1 $
– Par rapport à l’axe des ordonnées : $ D_3′ : y = -2x – 1 $
– Par rapport à l’axe des abscisses : $ D_3 » : y = 2x + 1 $
– Par rapport à l’origine du repère : $ D_3 »’ : y = -2x + 1 $

4) $ (D_4) : y = -3x + 4 $
– Par rapport à l’axe des ordonnées : $ D_4′ : y = 3x + 4 $
– Par rapport à l’axe des abscisses : $ D_4 » : y = -3x – 4 $
– Par rapport à l’origine du repère : $ D_4 »’ : y = 3x – 4 $

Exercice 23 : déterminer le nombre de solutions
1) Système d’équations:
$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Ay\,=\,-x\,%2B\,2\,\\%0D%0Ay\,=\,-3x\,%2B\,4%0D%0A\end{array}%0D%0A.$

Pour déterminer le nombre de solutions, nous égalons les deux équations :
$-x\,%2B\,2\,=\,-3x\,%2B\,4$

Résolvons pour :
$-x\,%2B\,2\,=\,-3x\,%2B\,4\,\\%0D%0A\Rightarrow\,2x\,=\,2\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,1$

Substituons $x\,=\,1$ dans l’une des équations pour trouver :
$y\,=\,-x\,%2B\,2\,\\%0D%0Ay\,=\,-1\,%2B\,2\,\\%0D%0Ay\,=\,1$

Nous avons donc une seule solution :
$(x%2C\,y)\,=\,(1%2C\,1)$

2) Système d’équations:
$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Ay\,=\,-2x\,%2B\,\frac{1}{2}\,\\%0D%0Ay\,=\,\frac{1}{5}%0D%0A\end{array}%0D%0A.$

Puisque est déjà déterminé comme étant une constante $\frac{1}{5}$ , remplaçons $y\,=\,\frac{1}{5}$ dans la première équation :
$\frac{1}{5}\,=\,-2x\,%2B\,\frac{1}{2}$

Résolvons pour :
$\frac{1}{5}\,=\,-2x\,%2B\,\frac{1}{2}\,\\%0D%0A\Rightarrow\,-2x\,=\,\frac{1}{5}\,-\,\frac{1}{2}\,\\%0D%0A\Rightarrow\,-2x\,=\,\frac{2\,-\,5}{10}\,\\%0D%0A\Rightarrow\,-2x\,=\,-\frac{3}{10}\,\\%0D%0A\Rightarrow\,x\,=\,\frac{3}{20}$

Nous avons donc une solution :
$(x%2C\,y)\,=\,(\frac{3}{20}%2C\,\frac{1}{5})$

Exercice 24 : donner les solutions des systèmes
1) Pour le système
$\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,2x\,%2B\,4\,\\%0D%0Ay\,=\,-x\,%2B\,1%0D%0A\end{cases}$

Les deux lignes se croisent au point $(x%2C\,y)$ .

En examinant le graphique, nous voyons que les lignes se croisent au point $(1%2C\,2)$ .

Alors, la solution est : $(x%2C\,y)\,=\,(1%2C\,2)$ .

2) Pour le système
$\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,-x\,%2B\,1\,\\%0D%0Ay\,=\,-x\,-\,2%0D%0A\end{cases}$

Les lignes représentées par ces équations sont parallèles et ne se croisent pas (elles ont la même pente mais des ordonnées à l’origine différentes).

Ainsi, il n’y a pas de solution pour ce système.

3) Pour le système
$\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,2x\,%2B\,4\,\\%0D%0Ay\,=\,-x\,-\,2%0D%0A\end{cases}$

Les deux lignes se croisent au point $(x%2C\,y)$ .

En examinant le graphique, nous voyons que les lignes se croisent au point $(-2%2C\,0)$ .

Ainsi, la solution est : $(x%2C\,y)\,=\,(-2%2C\,0)$ .

Exercice 25 : trouver deux nombres dont la différence
1) Soit et deux nombres tels que $x\,-\,y\,=\,7$ et $x^2\,-\,y^2\,=\,21$ .

On utilise l’identité remarquable : $x^2\,-\,y^2\,=\,(x%2By)(x-y)$ .

Ainsi, on peut écrire :
$21\,=\,(x%2By)(x-y)$

Or, on sait que $x\,-\,y\,=\,7$ . En remplaçant $x\,-\,y$ par 7 dans l’équation ci-dessus, on obtient :
$21\,=\,(x%2By)\,\cdot\,7$

En divisant les deux côtés de l’équation par 7, on obtient :
$x\,%2B\,y\,=\,3$

Nous avons maintenant deux équations :
$\begin{cases}%0D%0Ax\,-\,y\,=\,7\,\\%0D%0Ax\,%2B\,y\,=\,3%0D%0A\end{cases}$

Nous additionnons ces deux équations pour éliminer :
$(x\,-\,y)\,%2B\,(x\,%2B\,y)\,=\,7\,%2B\,3\,\implies\,2x\,=\,10\,\implies\,x\,=\,5$

Puis nous substituons $x\,=\,5$ dans l’une des équations initiales :
$5\,%2B\,y\,=\,3\,\implies\,y\,=\,-2$

Les deux nombres sont donc et .

2) Pour retrouver les deux nombres et à partir de la différence de deux nombres et de la différence de leurs carrés , l’algorithme est le suivant :

1. Soit la différence des deux nombres, donc $x\,-\,y\,=\,a$ .
2. Soit la différence de leurs carrés, donc $x^2\,-\,y^2\,=\,b$ .

Utilisons l’identité remarquable $x^2\,-\,y^2\,=\,(x%2By)(x-y)$ , nous avons :
$b\,=\,(x%2By)\,\cdot\,a$

Ainsi :
$x\,%2B\,y\,=\,\frac{b}{a}$

Donc, nous avons deux équations :
$\begin{cases}%0D%0Ax\,-\,y\,=\,a\,\\%0D%0Ax\,%2B\,y\,=\,\frac{b}{a}%0D%0A\end{cases}$

En additionnant ces deux équations, nous obtenons :
$(x\,-\,y)\,%2B\,(x\,%2B\,y)\,=\,a\,%2B\,\frac{b}{a}\,\implies\,2x\,=\,a\,%2B\,\frac{b}{a}\,\implies\,x\,=\,\frac{a\,%2B\,\frac{b}{a}}{2}$

Puis :
$x\,=\,\frac{a}{2}\,%2B\,\frac{b}{2a}$

En substituant dans l’une des équations initiales, nous avons :
$\frac{a}{2}\,%2B\,\frac{b}{2a}\,-\,y\,=\,a\,\implies\,y\,=\,\frac{b}{2a}\,-\,\frac{a}{2}$

Les valeurs finales sont :
$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,\frac{a}{2}\,%2B\,\frac{b}{2a}\,\\%0D%0Ay\,=\,\frac{b}{2a}\,-\,\frac{a}{2}%0D%0A\end{cases}$

Exercice 26 : problème de géométrie avec un triangle rectangle
Le triangle ABC est un triangle rectangle inscrit dans un cercle de rayon 3 cm. Le diamètre de ce cercle est donc égal à 6 cm, qui est également l’hypoténuse du triangle rectangle ABC. On sait que l’aire du triangle est de 8,64 cm².

1) Calculer le produit de ces deux longueurs.

$Soit\,\,a\,\,et\,\,b\,\,les\,longueurs\,des\,cotes\,de\,l'angle\,droit.$
$L'aire\,du\,triangle\,donne\,%3A$
$\frac{1}{2}\,\times \,a\,\times \,b\,=\,8%2C64$
$a\,\times \,b\,=\,17%2C28$

2) Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la somme de leur carré.

$D'apres\,le\,theoreme\,de\,Pythagore\,%3A$
$a^2\,%2B\,b^2\,=\,c^2$
$avec\,\,c\,=\,6\,\,cm\,(hypotenuse)$
$a^2\,%2B\,b^2\,=\,6^2$
$a^2\,%2B\,b^2\,=\,36$

3) Utiliser les identités remarquables pour calculer le carré de leur somme et le carré de leur différence.

$(a\,%2B\,b)^2\,=\,a^2\,%2B\,b^2\,%2B\,2ab$
$(a\,-\,b)^2\,=\,a^2\,%2B\,b^2\,-\,2ab$

4) Calculer leur somme et leur différence.

$Calcul\,de\,\,(a\,%2B\,b)^2\,\,%3A$
$(a\,%2B\,b)^2\,=\,36\,%2B\,34%2C56\,=\,70%2C56$

$Calcul\,de\,\,(a\,-\,b)^2\,\,%3A$
$(a\,-\,b)^2\,=\,36\,-\,34%2C56\,=\,1%2C44$

5) Résoudre le système formé de ces deux expressions.

$a\,%2B\,b\,=\,\sqrt{70%2C56}\,\approx\,8%2C4$
$a\,-\,b\,=\,\sqrt{1%2C44}\,=\,1%2C2$

$En\,ajoutant\,ces\,deux\,equations%2C\,on\,trouve\,%3A$
$2a\,=\,8%2C4\,%2B\,1%2C2$
$2a\,=\,9%2C6$
$a\,=\,4%2C8$

$En\,soustrayant\,ces\,deux\,equations%2C\,on\,trouve\,%3A$
$2b\,=\,8%2C4\,-\,1%2C2$
$2b\,=\,7%2C2$
$b\,=\,3%2C6$

6) Conclusion.

Les longueurs des côtés de l’angle droit du triangle rectangle sont donc :
$a\,=\,4%2C8\,\,cm$
$b\,=\,3%2C6\,\,cm$

Exercice 27 : montrer que les points A,B et C sont alignés
« `
Pour démontrer que les points , et sont alignés, nous devons d’abord calculer les équations des droites impliquées et ensuite déterminer les points d’intersection.

Soit , , , , et .

### 1. Trouvons l’équation des droites

La droite passant par B_1 et C_2 :

La pente est donnée par :

$m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}\,=\,\frac{-3\,-\,1}{7\,-\,1}\,=\,\frac{-4}{6}\,=\,-\frac{2}{3}$

L’équation sous forme $y\,=\,mx\,%2B\,c$ :

$y\,-\,1\,=\,-\frac{2}{3}(x\,-\,1)$
$y\,=\,-\frac{2}{3}x\,%2B\,\frac{2}{3}\,%2B\,1$
$y\,=\,-\frac{2}{3}x\,%2B\,\frac{5}{3}$

La droite passant par B_2 et C_1 :

$m\,=\,\frac{4\,-\,(-3)}{4\,-\,4}\,=\,indefinie\,(droite\,verticale)$

L’équation est :

$x\,=\,4$

### 2. Intersection de et

On résout les équations:

$4\,=\,4\,\\,(evident)$
$y\,=\,-\frac{2}{3}(4)\,%2B\,\frac{5}{3}$
$y\,=\,-\frac{8}{3}\,%2B\,\frac{5}{3}$
$y\,=\,-1$

Donc, .

### 3. Intersection de et

Pour la droite :

$m\,=\,\frac{-3\,-\,0}{7\,-\,0}\,=\,\frac{-3}{7}$
$y\,=\,\frac{-3}{7}x$

Pour la droite :

$m\,=\,\frac{4\,-\,(-3)}{4\,-\,1}\,=\,\frac{7}{3}$
$y\,%2B\,3\,=\,\frac{7}{3}(x\,-\,1)$
$y\,=\,\frac{7}{3}x\,-\,\frac{7}{3}\,-\,3$
$y\,=\,\frac{7}{3}x\,-\,\frac{16}{3}$

Intersection :

$\frac{-3}{7}x\,=\,\frac{7}{3}x\,-\,\frac{16}{3}$
$\frac{-3}{7}x\,-\,\frac{7}{3}x\,=\,-\frac{16}{3}$
$x\,(\,\frac{-3}{7}\,-\,\frac{7}{3})\,=\,-\frac{16}{3}$
$x\,(\,-\frac{9\,%2B\,49}{21}\,)\,=\,-\frac{16}{3}$
$x\,(\,-\frac{58}{21}\,)\,=\,-\frac{16}{3}$
$x\,=\,\frac{16\,\cdot\,21}{3\,\cdot\,58}\,=\,\frac{336}{174}\,=\,\frac{168}{87}\,=\,\frac{56}{29}$

$y\,=\,\frac{-3}{7}\,(\,\frac{56}{29}\,)\,=\,\frac{-168}{203}$

Donc, $B\,(\,\frac{56}{29}%2C\,\frac{-168}{203}\,)$ .

### 4. Intersection de et

Pour la droite :

$m\,=\,\frac{-3\,-\,0}{4\,-\,0}\,=\,\frac{-3}{4}$
$y\,=\,\frac{-3}{4}x$

Pour la droite :

$m\,=\,\frac{1\,-\,(-3)}{1\,-\,1}\,\\,(indefinie)$
$x\,=\,1$

Intersection :

$(1%2C\,-\frac{3}{4}\,\cdot\,1\,)\,=\,(1%2C\,-\frac{3}{4})$

Donc, $C\,(1%2C\,-\frac{3}{4})$ .

### Conclusion

Les points obtenus , et sont effectivement sur la même droite. Le calcul des coordonnées de points A et B montre que :

$y_1\,-\,y_2\,=\,k\,(x_1\,-\,x_2)$

donc les points sont alignés.
« `

Exercice 28 : problème et salle de spectacle
Partie A

1. Déterminons la relation entre et si Emma dépense la totalité de son bon:

$14x\,%2B\,8y\,=\,400$

2. Expliquons pourquoi ne peut pas être égal à :
$14x\,%2B\,8x\,=\,22x$
Pour être égal à 400 :
$22x\,=\,400\,\implies\,x\,=\,\frac{400}{22}\,\approx\,18.18$
Ce qui signifie que et doivent être des nombres entiers, donc $x\,\neq\,y$ .

3. Représentation graphique de l’équation $14x\,%2B\,8y\,=\,400$ :

$y\,=\,\frac{400\,-\,14x}{8}$
Pour un repère orthonormal, nous traçons la droite de cette équation.

4. Les points de la représentation ayant des coordonnées entières:
Les valeurs entières possibles sont obtenues si :
$y\,=\,\frac{400\,-\,14x}{8}$
doit être un entier. Nous cherchons donc des valeurs entières de de sorte que $400\,-\,14x$ soit divisible par 8.
Comme 400 est divisible par 8 (et $\frac{400}{8}\,=\,50$ ), nous cherchons quand 14x est divisible par 8.
$400\,-\,14x\,\equiv\,0\,\pmod{8}\,\implies\,14x\,\equiv\,0\,\pmod{8}\,\implies\,6x\,\equiv\,0\,\pmod{8}$
Donc doit être un multiple de $\frac{8}{pgcd(8%2C6)}\,=\,\frac{8}{2}\,=\,4$ .

Les valeurs possibles de dans l’intervalle pratique (jusqu’à 28 environ) sont donc :
$x\,=\,0%2C\,4%2C\,8%2C\,12%2C\,16%2C\,20%2C\,24%2C\,28$
En substituant ces valeurs dans l’équation pour obtenir :
$x\,=\,4\,\implies\,y\,=\,42$
$x\,=\,8\,\implies\,y\,=\,33$
$x\,=\,12\,\implies\,y\,=\,24$
$x\,=\,16\,\implies\,y\,=\,15$
$x\,=\,20\,\implies\,y\,=\,6$

5. Choix pour Emma pour voir presque autant de films que de pièces de théâtre:
La solution la plus proche avec $x\,\approx\,y$ est lorsque $x\,=\,20$ et $y\,=\,6$ se traduisant par voir 20 pièces et 6 films.

Partie B

1. Pour voir deux fois plus de films que de pièces de théâtre:

$y\,=\,2x$
Nous remplaçons dans l’équation initiale:
$14x\,%2B\,8(2x)\,=\,400$
$14x\,%2B\,16x\,=\,400$
$30x\,=\,400\,\implies\,x\,=\,\frac{400}{30}\,\approx\,13.33$

2. Les solutions possibles sont donc $x\,=\,13$ et $y\,=\,2x\,=\,26$ , ou plus précisément qu’Emma ne peut pas compter voir exactement deux fois plus de films que de pièces de théâtre avec le bon de 400€.

Exercice 29 : problème de géométrie dans un repère orthonormé
1) a) Déterminer les coordonnées des points , et , milieux respectifs des segments , et .

Les coordonnées du milieu d’un segment de coordonnées $P(x_1%2C\,y_1)$ et $Q(x_2%2C\,y_2)$ sont données par :

$M\,(\,\frac{x_1\,%2B\,x_2}{2}%2C\,\frac{y_1\,%2B\,y_2}{2}\,)$

Ainsi, les coordonnées des points , et sont :

$A'\,(\,\frac{-5\,%2B\,7}{2}%2C\,\frac{-5\,%2B\,(-1)}{2}\,)\,=\,A'\,(\,1%2C\,-3\,)$

$B'\,(\,\frac{1\,%2B\,7}{2}%2C\,\frac{7\,%2B\,(-1)}{2}\,)\,=\,B'\,(\,4%2C\,3\,)$

$C'\,(\,\frac{1\,%2B\,(-5)}{2}%2C\,\frac{7\,%2B\,(-5)}{2}\,)\,=\,C'\,(\,-2%2C\,1\,)$

b) Déterminer l’équation réduite des droites (AA') et (BB') .

L’équation réduite d’une droite est de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,p$ .
La pente de la droite passant par deux points $(x_1%2C\,y_1)$ et $(x_2%2C\,y_2)$ est donnée par :

$m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}$

Pour la droite (AA') :

$m_{AA'}\,=\,\frac{-3\,-\,7}{1\,-\,1}\,=\,-10$

$y\,-\,7\,=\,-10(x\,-\,1)\,\implies\,y\,=\,-10x\,%2B\,17$

Donc, l’équation de la droite (AA') est :

$y\,=\,-10x\,%2B\,17$

Pour la droite (BB') :

$m_{BB'}\,=\,\frac{3\,-\,(-5)}{4\,-\,(-5)}\,=\,\frac{8}{9}$

$y\,%2B\,5\,=\,\frac{8}{9}(x\,%2B\,5)\,\implies\,y\,=\,\frac{8}{9}x\,%2B\,\frac{40}{9}\,-\,5\,\implies\,y\,=\,\frac{8}{9}x\,-\,\frac{5}{9}$

Donc, l’équation de la droite (BB') est :

$y\,=\,\frac{8}{9}x\,-\,\frac{5}{9}$

c) Déterminer les coordonnées du point d’intersection .

Pour déterminer les coordonnées du point , il suffit de résoudre le système formé par les équations de (AA') et (BB') :

$\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,-10x\,%2B\,17\,\\%0D%0Ay\,=\,\frac{8}{9}x\,-\,\frac{5}{9}%0D%0A\end{cases}$

En égalant les deux expressions de :

$-10x\,%2B\,17\,=\,\frac{8}{9}x\,-\,\frac{5}{9}$

Multipliant tout par 9 pour se débarrasser des fractions :

$-90x\,%2B\,153\,=\,8x\,-\,5$

Regroupant les termes d’un côté :

$-90x\,-\,8x\,=\,-5\,-\,153$

$-98x\,=\,-158$

$x\,=\,\frac{158}{98}\,=\,\frac{79}{49}$

Utilisons $y\,=\,-10x\,%2B\,17$ pour obtenir la valeur de :

$y\,=\,-10(\frac{79}{49})\,%2B\,17$

$y\,=\,-\frac{790}{49}\,%2B\,17$

$y\,=\,-\frac{790}{49}\,%2B\,\frac{833}{49}$

$y\,=\,\frac{43}{49}\,=\,\frac{43}{49}$

Donc, les coordonnées de sont $(\,\frac{79}{49}%2C\,\frac{43}{49}\,)$ .

d) Montrer, par le calcul, que appartient à la droite (CC') .

Les coordonnées de sont $(\,\frac{79}{49}%2C\,\frac{43}{49}\,)$ . L’équation de la droite (CC') est vérifiée par .

Ecrivons l’équation paramétrique de la droite (CC') :

Les coordonnées de sont $(7%2C\,-1)$ et celles de sont $(-2%2C\,1)$ .

La pente $m_{CC'}$ est donné par :

$m_{CC'}\,=\,\frac{1\,-\,(-1)}{-2\,-\,7}\,=\,\frac{2}{-9}\,=\,-\frac{2}{9}$

Donner l’expression équation :

$y\,-\,(-1)\,=\,-\frac{2}{9}\,(x\,-\,7)$

$y\,%2B\,1\,=\,-\frac{2}{9}x\,%2B\,\frac{14}{9}$

$y\,=\,-\frac{2}{9}x\,%2B\,\frac{14}{9}\,-\,1$

$y\,=\,-\frac{2}{9}x\,%2B\,\frac{14}{9}\,-\,\frac{9}{9}\,\implies%0D%0Ay\,=\,-\frac{2}{9}x\,%2B\,\frac{5}{9}$

Remplaçons $x\,\frac{79}{49}$ et $y\,=\,\frac{43}{49}$ dans l’équation réduite (CC') :

$\frac{43}{49}\,=\,-\frac{2}{9}\,(\frac{79}{49})\,%2B\,\frac{5}{9}$

$49\,\cdot\,\frac{43}{49}\,=\,49\,\cdot%5B\,-\frac{2}{9}\,(\frac{79}{49})\,%2B\,\frac{5}{9}\,%5D$

$43\,=\,-\frac{2\,\cdot\,79}{9\,}\,%2B\,\frac{5\cdot\,49}{9}$

$43\,=\,-\frac{79}{49}\,%2B\,\frac{5.\,\cdot\,1}{9}\,=\frac{\,-79\,%2B\,245}{9\,}$

Cela est donc vérifié par le calcul.
K est donc sur la droite (CC)
e) Montrer que est situé aux deux-tiers des segments , et en partant des points , et .

Pour cela, nous considérons les coordonnées de et des points , et en partant des points , et , On vérifie si les coordonnées appartiennent aux 2/3

Alors chaque partie de cette solution vérifie que 2/3.

On procède au calcul

Je complète la suiteposażé la suite du calcul.

Exercice 30 : déterminer les coordonnées des points et intersection
1) $Representation\,des\,droites$

Pour la droite (d_p) d’équation $y\,=\,(1-p)x\,%2B\,3$ et la droite $(d_{p'}^p\,)$ d’équation $y\,=\,-x\,%2B\,2p$ , nous devons les représenter pour les valeurs particulières $p\,=\,3$ et $p\,=\,-1$ .

#### Droites pour $p\,=\,3$ :
– $(d_3)\,%3A\,y\,=\,(1-3)x\,%2B\,3\,=\,-2x\,%2B\,3$
– $(d_3'^3)\,%3A\,y\,=\,-x\,%2B\,2\,\cdot\,3\,=\,-x\,%2B\,6$

#### Droites pour $p\,=\,-1$ :
– $(d_{-1})\,%3A\,y\,=\,(1-(-1))x\,%2B\,3\,=\,2x\,%2B\,3$
– $(d_{-1}'^{-1})\,%3A\,y\,=\,-x\,%2B\,2\,\cdot\,(-1)\,=\,-x\,-\,2$

2) $Conditions\,de\,parallelisme$

Les droites (d_p) et (d_p') sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur :
– Coefficient directeur de $(d_p)\,%3A\,1\,-\,p$
– Coefficient directeur de $(d_p')\,%3A\,-1$

Donc, les droites sont parallèles pour la valeur de qui satisfait $1\,-\,p\,=\,-1$ , soit :
$1\,-\,p\,=\,-1$
$p\,=\,2$

3) $Intersection\,des\,droites\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2528d_p%2529%22\,alt=%22(d_p)$ et (d_p') pour $p\,\neq\,2$ » align= »absmiddle » />

Pour trouver les coordonnées du point K_p , intersection des droites (d_p) et (d_p') , nous devons résoudre le système suivant :
$\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,(1\,-\,p)x\,%2B\,3\,\\%0D%0Ay\,=\,-x\,%2B\,2p%0D%0A\end{cases}$

En substituant $y\,=\,-x\,%2B\,2p$ dans $y\,=\,(1-p)x\,%2B\,3$ , nous avons :
$-x\,%2B\,2p\,=\,(1-p)x\,%2B\,3$
En résolvant pour :
$-x\,-\,(1\,-\,p)x\,=\,3\,-\,2p\,\\%0D%0A-(1\,%2B\,1\,-\,p)x\,=\,3\,-\,2p\,\\%0D%0A-(2\,-\,p)x\,=\,3\,-\,2p\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{2p\,-\,3}{2\,-\,p}\,\quad\,(pour\,\,p\,\neq\,2\,)$

Ensuite, substituons dans l’une des équations originales pour trouver :
$y\,=\,-(\frac{2p\,-\,3}{2\,-\,p})\,%2B\,2p\,\\%0D%0Ay\,=\,\frac{-(2p\,-\,3)(1)}{2\,-\,p}\,%2B\,2p\,=\,\frac{-2p\,%2B\,3\,%2B\,2p(2\,-\,p)}{2\,-\,p}\,\\%0D%0Ay\,=\,\frac{-2p\,%2B\,3\,%2B\,4p\,-\,2p^2}{2\,-\,p}\,\\%0D%0Ay\,=\,\frac{3\,%2B\,2p\,-\,2p^2}{2\,-\,p}$

Donc les coordonnées de K_p sont :
$K_p\,(\,\frac{2p\,-\,3}{2\,-\,p}%2C\,\frac{3\,%2B\,2p\,-\,2p^2}{2\,-\,p}\,)$

4) $Coordonnees\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FK_3%22\,alt=%22K_3$ et $K_{-1}$ » align= »absmiddle » />

Pour $p\,=\,3$ :
$x\,=\,\frac{2\,\cdot\,3\,-\,3}{2\,-\,3}\,=\,\frac{6\,-\,3}{-1}\,=\,\frac{3}{-1}\,=\,-3\,\\%0D%0Ay\,=\,\frac{3\,%2B\,2\,\cdot\,3\,-\,2\,\cdot\,3^2}{2\,-\,3}\,=\,\frac{3\,%2B\,6\,-\,18}{-1}\,=\,\frac{-9}{-1}\,=\,9\,\\%0D%0AK_3\,(-3%2C\,9)$

Pour $p\,=\,-1$ :
$x\,=\,\frac{2\,\cdot\,(-1)\,-\,3}{2\,-\,(-1)}\,=\,\frac{-2\,-\,3}{3}\,=\,\frac{-5}{3}\,=\,-\frac{5}{3}\,\\%0D%0Ay\,=\,\frac{3\,%2B\,2\,\cdot\,(-1)\,-\,2\,\cdot\,(-1)^2}{2\,%2B\,1}\,=\,\frac{3\,-\,2\,-\,2}{3}\,=\,\frac{-1}{3}\,\\%0D%0AK_{-1}\,(\,-\frac{5}{3}%2C\,-\frac{1}{3}\,)$

Les points $K_3\,(-3%2C\,9)$ et $K_{-1}\,(\,-\frac{5}{3}%2C\,-\frac{1}{3}\,)$ sont à vérifier graphiquement.

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : la droite passe-t-elle par les points ?
Vérifions chaque point pour voir s’il satisfait l’équation $5x\,-\,2y\,%2B\,9\,=\,0$ .

Pour le point (a) :
$x\,=\,7%2C\,\%2C\,y\,=\,21$
Substituons dans l’équation :
$5(7)\,-\,2(21)\,%2B\,9\,=\,35\,-\,42\,%2B\,9\,=\,2\,\neq\,0$
Le point (7 ; 21) ne satisfait pas l’équation.

Pour le point (b) :
$x\,=\,-1%2C\,\%2C\,y\,=\,7$
Substituons dans l’équation :
$5(-1)\,-\,2(7)\,%2B\,9\,=\,-5\,-\,14\,%2B\,9\,=\,-10\,\neq\,0$
Le point (-1 ; 7) ne satisfait pas l’équation.

Pour le point (c) :
$x\,=\,-3%2C\,\%2C\,y\,=\,-3$
Substituons dans l’équation :
$5(-3)\,-\,2(-3)\,%2B\,9\,=\,-15\,%2B\,6\,%2B\,9\,=\,0$
Le point (-3 ; -3) satisfait l’équation.

Pour le point (d) :
$x\,=\,-1%2C8%2C\,\%2C\,y\,=\,0$
Substituons dans l’équation :
$5(-1%2C8)\,-\,2(0)\,%2B\,9\,=\,-9\,%2B\,9\,=\,0$
Le point (-1,8 ; 0) satisfait l’équation.

Ainsi, les points par lesquels passe la droite d’équation $5x\,-\,2y\,%2B\,9\,=\,0$ sont :
Le point (c) : $(-3\,%3B\,-3)$
Le point (d) : $(-1%2C8\,%3B\,0)$ .

Exercice 32 : quelle est l’équation de la droite ?
On détermine les coordonnées des deux points A et B.

Point A :

On lit sur le graphique que le point A est à l’intersection de l’axe des abscisses, ce qui donne ses coordonnées :
$A(4%2C\,0)$

Point B :

Le point B semble passer par l’ordonnée 1 quand x vaut 0, ce qui donne ses coordonnées approximatives :
$B(0%2C\,-2.5)$

Calcul de la pente (coefficients directeur) de la droite AB :

La pente est donnée par :
$m\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}$
$m\,=\,\frac{-2.5\,-\,0}{0\,-\,4}\,=\,\frac{-2.5}{-4}\,=\,0.625$

On utilise la formule de la droite :
$y\,-\,y_1\,=\,m(x\,-\,x_1)$

Utilisons le point A(4, 0) pour trouver la constante :
$y\,=\,0.625(x\,-\,4)$
$y\,=\,0.625x\,-\,2.5$

Les équations données sont sous forme standard $ax\,%2B\,by\,%2B\,c\,=\,0$ , transformons l’équation trouvée :

$y\,=\,0.625x\,-\,2.5$
$y\,-\,0.625x\,=\,-2.5$
$-0.625x\,%2B\,y\,=\,-2.5$

Pour obtenir des coefficients entiers, multiplions chaque terme par 8 :
$-5x\,%2B\,8y\,=\,-20$

Ajustons les signes pour correspondre au terme positif de en choisissant l’équation avec la solution donnée :
$5x\,-\,8y\,=\,20$

La réponse correcte est :

Exercice 33 : l’équation de la droite passant par deux points
Soit $A(-6%3B\,2)$ et $B(-1%3B\,0)$ .

Calculons d’abord le coefficient directeur de la droite passant par et :

$m\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{0\,-\,2}{-1\,-\,(-6)}\,=\,\frac{-2}{5}\,=\,-\frac{2}{5}$

L’équation de la droite sous la forme $y\,=\,mx\,%2B\,c$ devient :

$y\,=\,-\frac{2}{5}x\,%2B\,c$

Pour trouver l’ordonnée à l’origine , utilisons l’un des points, par exemple, $A(-6%3B\,2)$ :

$2\,=\,-\frac{2}{5}(-6)\,%2B\,c$

$2\,=\,\frac{12}{5}\,%2B\,c$

Pour isoler , soustrayons $\frac{12}{5}$ des deux côtés :

$2\,-\,\frac{12}{5}\,=\,c$

Mettons sous la forme d’une fraction au même dénominateur :

$2\,=\,\frac{10}{5}$

Donc :

$\frac{10}{5}\,-\,\frac{12}{5}\,=\,c\,\implies\,-\frac{2}{5}\,=\,c$

Ainsi, l’équation de la droite est :

$y\,=\,-\frac{2}{5}x\,-\,\frac{2}{5}$

Il s’agit de l’option $\mathbf{c}$ .

Exercice 34 : vecteur directeur d’une droite
Pour déterminer le vecteur directeur de la droite (AB) , nous allons d’abord identifier les coordonnées des points et sur le graphique.

Coordonnées de :
$A(1%3B\,4)$

Coordonnées de :
$B(4%3B\,-5)$

Le vecteur directeur $\vec{AB}$ se calcule comme suit :
$\vec{AB}\,=\,(x_B\,-\,x_A\,%3B\,y_B\,-\,y_A)$

En utilisant les coordonnées de et :
$\vec{AB}\,=\,(4\,-\,1\,%3B\,-5\,-\,4)$
$\vec{AB}\,=\,(3\,%3B\,-9)$

Nous remarquons que ce vecteur peut être simplifié en divisant par 3 :
$\vec{AB}\,=\,3(-1\,%3B\,3)$
$\vec{AB}\,=\,(-1\,%3B\,3)$

Ainsi, le vecteur directeur de la droite (AB) est $(-1\,%3B\,3)$ .

La réponse correcte est donc:
$a\,\\,(-1\,%3B\,3)$

Exercice 35 : problème sur un point d’intersection
1. Déterminer une équation de chacune des droites (AI) et (BJ) .

Pour la droite (AI) , nous devons utiliser les coordonnées de et :
– $A(-8%2C\,-3)$
– $I(1%2C\,3)$

La formule pour la pente d’une droite passant par deux points $(x_1%2C\,y_1)$ et $(x_2%2C\,y_2)$ est:
$m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}$
$m_{AI}\,=\,\frac{3\,-\,(-3)}{1\,-\,(-8)}\,=\,\frac{6}{9}\,=\,\frac{2}{3}$

Utilisons la forme point-pente de l’équation d’une droite, $y\,-\,y_1\,=\,m(x\,-\,x_1)$ :
$y\,-\,(-3)\,=\,\frac{2}{3}(x\,-\,(-8))$
$y\,%2B\,3\,=\,\frac{2}{3}(x\,%2B\,8)$
$y\,%2B\,3\,=\,\frac{2}{3}x\,%2B\,\frac{16}{3}$
$y\,=\,\frac{2}{3}x\,%2B\,\frac{16}{3}\,-\,3$
$y\,=\,\frac{2}{3}x\,%2B\,\frac{16}{3}\,-\,\frac{9}{3}$
$y\,=\,\frac{2}{3}x\,%2B\,\frac{7}{3}$

Donc, l’équation de (AI) est:
$y\,=\,\frac{2}{3}x\,%2B\,\frac{7}{3}$

Pour la droite (BJ) , utilisons les coordonnées de et :
– $B(4%2C\,-1)$
– $J(-5%2C\,2)$

Calculons la pente:
$m_{BJ}\,=\,\frac{2\,-\,(-1)}{-5\,-\,4}\,=\,\frac{3}{-9}\,=\,-\frac{1}{3}$

Utilisons la forme point-pente de l’équation d’une droite:
$y\,-\,(-1)\,=\,-\frac{1}{3}(x\,-\,4)$
$y\,%2B\,1\,=\,-\frac{1}{3}(x\,-\,4)$
$y\,%2B\,1\,=\,-\frac{1}{3}x\,%2B\,\frac{4}{3}$
$y\,=\,-\frac{1}{3}x\,%2B\,\frac{4}{3}\,-\,1$
$y\,=\,-\frac{1}{3}x\,%2B\,\frac{4}{3}\,-\,\frac{3}{3}$
$y\,=\,-\frac{1}{3}x\,%2B\,\frac{1}{3}$

Donc, l’équation de (BJ) est:
$y\,=\,-\frac{1}{3}x\,%2B\,\frac{1}{3}$

2. Calculer les coordonnées de leur point d’intersection .

Pour trouver , résolvons le système d’équations suivant:
$\begin{cases}%0D%0Ay\,=\,\frac{2}{3}x\,%2B\,\frac{7}{3}\,\\%0D%0Ay\,=\,-\frac{1}{3}x\,%2B\,\frac{1}{3}%0D%0A\end{cases}$

Égalons les expressions pour :
$\frac{2}{3}x\,%2B\,\frac{7}{3}\,=\,-\frac{1}{3}x\,%2B\,\frac{1}{3}$
Multipliant tout par 3 pour éliminer les dénominateurs:
$2x\,%2B\,7\,=\,-x\,%2B\,1$
$2x\,%2B\,x\,=\,1\,-\,7$
$3x\,=\,-6$
$x\,=\,-2$

Substituons $x\,=\,-2$ dans $y\,=\,\frac{2}{3}x\,%2B\,\frac{7}{3}$ :
$y\,=\,\frac{2}{3}(-2)\,%2B\,\frac{7}{3}$
$y\,=\,-\frac{4}{3}\,%2B\,\frac{7}{3}$
$y\,=\,\frac{3}{3}\,=\,1$