Les équations de droites : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 11 : préciser l’ordonnée à l’origine
1) \( y^2 = 3x – 2 \)

Cette équation n’est pas une équation de droite car elle n’est pas de la forme \( y = mx + b \). Il s’agit plutôt d’une équation quadratique en \( y \).

2) \( y = -5x + 7 \)

Cette équation est une équation de droite de la forme \( y = mx + b \).
– Le coefficient directeur est \( m = -5 \).
– L’ordonnée à l’origine est \( b = 7 \).

3) \( x^4 = 1 \)

Cette équation n’est pas une équation de droite, car elle n’est pas de la forme \( y = mx + b \). Il s’agit d’une équation polynomiale en \( x \).

4) \( x = 3 \)

Cette équation représente une droite verticale. Elle n’a pas de coefficient directeur (ou il est indéfini).
– L’abscisse à l’origine est \( x = 3 \).

5) \( y = 5x^2 + 5 \)

Cette équation n’est pas une équation de droite car elle n’est pas de la forme \( y = mx + b \). Il s’agit d’une équation quadratique en \( x \).

6) \( y = \frac{-3x + 1}{5} \)

Cette équation peut être réécrite sous la forme \( y = -\frac{3}{5}x + \frac{1}{5} \), ce qui est effectivement une équation de droite de la forme \( y = mx + b \).
– Le coefficient directeur est \( m = -\frac{3}{5} \).
– L’ordonnée à l’origine est \( b = \frac{1}{5} \).

Exercice 12 : vérifier qu’un point appartient à une droite
{Correction de l’exercice :}

Pour vérifier si le point \(C(3;7)\) appartient à chacune des droites, nous devons substituer \(x = 3\) et vérifier si le \(y\) obtenu est \(7\).

Droite 1 : \(y = 3x + 2\)

\[
y = 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11
\]

Donc, le point \(C(3;7)\) n’appartient pas à la droite \(y = 3x + 2\).

Droite 2 : \(y = 3x – 2\)

\[
y = 3(3) – 2 = 9 – 2 = 7
\]

Donc, le point \(C(3;7)\) appartient à la droite \(y = 3x – 2\).

Droite 3 : \(y = -2x – 2\)

\[
y = -2(3) – 2 = -6 – 2 = -8
\]

Donc, le point \(C(3;7)\) n’appartient pas à la droite \(y = -2x – 2\).

Droite 4 : \(y = -2x + 13\)

\[
y = -2(3) + 13 = -6 + 13 = 7
\]

Donc, le point \(C(3;7)\) appartient à la droite \(y = -2x + 13\).

En résumé :
– Le point \(C(3;7)\) appartient aux droites \(y = 3x – 2\) et \(y = -2x + 13\).
– Le point \(C(3;7)\) n’appartient pas aux droites \(y = 3x + 2\) et \(y = -2x – 2\).

Exercice 13 : vérifier qu’un point appartient à une droite
1. Pour la droite \( y = 2x + 1 \):

\[
y = 2(-4) + 1 = -8 + 1 = -7
\]

\(\Rightarrow -7 \neq 1\) donc le point \( D(-4 ; 1) \) n’appartient pas à la droite \( y = 2x + 1 \).

2. Pour la droite \( y = 2x + 9 \):

\[
y = 2(-4) + 9 = -8 + 9 = 1
\]

\(\Rightarrow 1 = 1\) donc le point \( D(-4 ; 1) \) appartient à la droite \( y = 2x + 9 \).

3. Pour la droite \( y = -3x – 11 \):

\[
y = -3(-4) – 11 = 12 – 11 = 1
\]

\(\Rightarrow 1 = 1\) donc le point \( D(-4 ; 1) \) appartient à la droite \( y = -3x – 11 \).

4. Pour la droite \( y = -x + 3 \):

\[
y = -(-4) + 3 = 4 + 3 = 7
\]

\(\Rightarrow 7 \neq 1\) donc le point \( D(-4 ; 1) \) n’appartient pas à la droite \( y = -x + 3 \).

Exercice 14 : droites et équations
Pour vérifier si le point \( F(-1 ; -2) \) appartient à chacune des droites, il suffit de substituer les coordonnées du point dans les équations des droites et voir si l’égalité est respectée.

1) \( y = \frac{1}{5} x + \frac{4}{5} \)

Substituons \( x = -1 \) et \( y = -2 \):

\[
-2 = \frac{1}{5}(-1) + \frac{4}{5}
\]

\[
-2 = -\frac{1}{5} + \frac{4}{5}
\]

\[
-2 = \frac{-1 + 4}{5}
\]

\[
-2 = \frac{3}{5}
\]

\[
-2 \neq \frac{3}{5}
\]

Le point \( F(-1 ; -2) \) n’appartient donc pas à la première droite.

2) \( y = \frac{2}{3} x – \frac{4}{3} \)

Substituons \( x = -1 \) et \( y = -2 \):

\[
-2 = \frac{2}{3} (-1) – \frac{4}{3}
\]

\[
-2 = -\frac{2}{3} – \frac{4}{3}
\]

\[
-2 = -\frac{2 + 4}{3}
\]

\[
-2 = -\frac{6}{3}
\]

\[
-2 = -2
\]

L’égalité est vérifiée. Donc, le point \( F(-1 ; -2) \) appartient à la deuxième droite.

3) \( y = -\frac{6}{7} x – \frac{15}{14} \)

Substituons \( x = -1 \) et \( y = -2 \):

\[
-2 = -\frac{6}{7} (-1) – \frac{15}{14}
\]

\[
-2 = \frac{6}{7} – \frac{15}{14}
\]

Mettons le second terme à gauche au même dénominateur :

\[
-2 = \frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} – \frac{15}{14}
\]

\[
-2 = \frac{12}{14} – \frac{15}{14}
\]

\[
-2 = \frac{12 – 15}{14}
\]

\[
-2 = \frac{-3}{14}
\]

\[
-2 \neq \frac{-3}{14}
\]

Le point \( F(-1 ; -2) \) n’appartient donc pas à la troisième droite.

4) \( y = \frac{12}{17} x + \frac{3}{11} \)

Substituons \( x = -1 \) et \( y = -2 \):

\[
-2 = \frac{12}{17} (-1) + \frac{3}{11}
\]

\[
-2 = -\frac{12}{17} + \frac{3}{11}
\]

Mise au même dénominateur des fractions dans le second terme :

\[
-2 = \frac{-12 \cdot 11 + 3 \cdot 17}{17 \cdot 11}
\]

\[
-2 = \frac{-132 + 51}{187}
\]

\[
-2 = \frac{-81}{187}
\]

\[
-2 \neq \frac{-81}{187}
\]

Le point \( F(-1 ; -2) \) n’appartient donc pas à la quatrième droite.

Exercice 15 : indiquer si l’équation est une droite parallèle
1) \( y = 5x – 17 \)

Dans cette équation, le coefficient directeur est \( 5 \). La droite n’est donc pas parallèle à un des axes du repère car elle a une pente non nulle.

2) \( x = 2,5 \)

Cette équation représente une droite verticale (car elle donne une constante pour \( x \)). Elle est parallèle à l’axe des ordonnées (axe \( y \)).

3) \( y = -3x – 12 \)

Dans cette équation, le coefficient directeur est \(-3 \). La droite n’est donc pas parallèle à un des axes du repère car elle a une pente non nulle.

4) \( y = 5 \)

Cette équation représente une droite horizontale (car elle donne une constante pour \( y \)). Elle est parallèle à l’axe des abscisses (axe \( x \)).

5) \( y = -\frac{1}{2}x + 7 \)

Dans cette équation, le coefficient directeur est \(-\frac{1}{2} \). La droite n’est donc pas parallèle à un des axes du repère car elle a une pente non nulle.

6) \( y = 2x \)

Dans cette équation, le coefficient directeur est \( 2 \). La droite n’est donc pas parallèle à un des axes du repère car elle a une pente non nulle.

Exercice 16 : déterminer une équation de chacune des droites tracées
Pour déterminer les équations des droites \(D_1\), \(D_2\), \(D_3\) et \(D_4\), analysons les positions et inclinaisons de chacune par rapport aux axes \(x\) et \(y\).

1. \[\]Droite \(D_1\) :\[\]
\(D_1\) est parallèle à l’axe des \(x\) et coupe l’axe des ordonnées à \(y = -1\). L’équation de \(D_1\) est donc :
\[
y = -1
\]

2. \[\]Droite \(D_2\) :\[\]
\(D_2\) est parallèle à l’axe des \(y\) et coupe l’axe des abscisses à \(x = 3\). L’équation de \(D_2\) est donc :
\[
x = 3
\]

3. \[\]Droite \(D_3\) :\[\]
Pour déterminer l’équation de \(D_3\), nous observons qu’elle passe par les points \((1, 0)\) et \((0, 2)\).
Utilisons la formule de la pente (coefficient directeur) \(m\) :
\[
m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{2 – 0}{0 – 1} = -2
\]
Utilisons la forme point-pente \(y – y_1 = m(x – x_1)\) avec le point \((1, 0)\) :
\[
y – 0 = -2(x – 1) \implies y = -2x + 2
\]

4. \[\]Droite \(D_4\) :\[\]
Pour déterminer l’équation de \(D_4\), nous observons qu’elle passe par les points \((2, 0)\) et \((0, 2)\).
Utilisons la formule de la pente (coefficient directeur) \(m\) :
\[
m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{2 – 0}{0 – 2} = -1
\]
Utilisons la forme point-pente \(y – y_1 = m(x – x_1)\) avec le point \((2, 0)\) :
\[
y – 0 = -1(x – 2) \implies y = -x + 2
\]

Exercice 17 : donner une équation et un algorithme
1) Une équation de la droite verticale passant par le point A(5; -7) est \( x = 5 \).

Une équation de la droite horizontale passant par le point A(5; -7) est \( y = -7 \).

2) Une équation d’une droite oblique passant par le point A(5; -7) peut être exprimée de la forme \( y = mx + c \). Comme cette droite passe par le point (5, -7), nous avons :
\[
-7 = 5m + c
\]
Choisissons une valeur de m, par exemple \( m = 1 \). Alors,
\[
-7 = 5 \cdot 1 + c \Rightarrow c = -7 – 5 = -12
\]
Ainsi, une équation de la droite oblique passant par le point A est : \( y = x – 12 \).

3) Une équation d’une droite oblique qui ne contient pas le point A(5; -7) peut être n’importe quelle droite de la forme \( y = mx + c \) avec \( -7 \neq 5m + c \). Par exemple, pour la droite \( y = x + 1 \), nous avons :
\[
-7 \neq 5 \cdot 1 + 1 \Rightarrow -7 \neq 6
\]
Donc, une équation de cette droite oblique est : \( y = x + 1 \).

4) Voici un algorithme pour déterminer si le point A(5; -7) appartient à une droite donnée \( y = mx + c \) :

Entrée : Coefficients \( m \) et \( c \) de l’équation de la droite \( y = mx + c \).

1. Calculer \( y’ = 5m + c \).
2. Si \( y’ = -7 \), alors le point A appartient à la droite.
3. Sinon, le point A n’appartient pas à la droite.

En pseudo-code :
« `
Entrée : m, c
y’ = 5 * m + c

Si y’ == -7 alors
Afficher « Le point A(5, -7) appartient à la droite. »
Sinon
Afficher « Le point A(5, -7) n’appartient pas à la droite. »
« `

En LaTeX, cet algorithme peut être rédigé comme suit :

\[
\text{Entrée : } m, c
\]
\[
y’ = 5m + c
\]
\[
\text{Si } y’ = -7 \text{ alors}
\]
\[
\quad \text{Afficher « Le point A(5, -7) appartient à la droite. »}
\]
\[
\text{Sinon}
\]
\[
\quad \text{Afficher « Le point A(5, -7) n’appartient pas à la droite. »}
\]

Exercice 18 : ecrire un algorithme qui demande les coordonnées
« `
Correction :

[1)] Déterminer deux points :

[a)] qui appartiennent à la droite \[(D)\]

Pour déterminer les points appartenant à la droite \[y = -3x + 7\], nous pouvons choisir deux valeurs pour \[x\] et trouver les correspondantes \[y\].

Si \[x = 0\], alors \[y = -3(0) + 7 = 7\]. Le point \[(0, 7)\] appartient à \[(D)\].
Si \[x = 1\], alors \[y = -3(1) + 7 = 4\]. Le point \[(1, 4)\] appartient à \[(D)\].

[b)] qui n’appartiennent pas à la droite \[(D)\]

Pour déterminer des points qui ne sont pas sur la droite, nous choisissons des points \[(x_i, y_i)\] qui ne satisfont pas l’équation \[y = -3x + 7\].

Si \[x = 0\], alors \[y = 6 \neq -3(0) + 7\]. Le point \[(0, 6)\] n’appartient pas à \[(D)\].
Si \[x = 2\], alors \[y = 5 \neq -3(2) + 7 = 1\]. Le point \[(2, 5)\] n’appartient pas à \[(D)\].

[2)] Écrire un algorithme qui demande les coordonnées d’un point en entrée puis qui indique si le point est sur \[(D)\] ou pas.

\begin{verbatim}
Algorithme :
– Demander les coordonnées du point (x, y)
– Calculer y_theorique = -3 * x + 7
– Si y == y_theorique alors
– Afficher « Le point (x, y) appartient à la droite (D). »
Sinon
– Afficher « Le point (x, y) n’appartient pas à la droite (D). »

Pseudo-code :
Entrée : x, y
y_theorique = -3 * x + 7
Si y == y_theorique alors
Afficher « Le point ( » + x + « ,  » + y + « ) appartient à la droite (D). »
Sinon
Afficher « Le point ( » + x + « ,  » + y + « ) n’appartient pas à la droite (D). »
\end{verbatim}

« `

Exercice 19 : tracer dans un même repère les droites


\usepackage{pgfplots}

Tracer les droites correspondant aux équations suivantes dans un même repère :

\begin{align*}
1. \quad y = 2x – 1 \\
2. \quad y = -3x + 4 \\
3. \quad y = x \\
4. \quad y = -0.5x + 2 \\
5. \quad y = -5x – 3 \\
6. \quad y = 5x – 3 \\
\end{align*}

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = left,
xlabel = \(x\),
ylabel = {\(y\)},
grid = major,
xmin=-3, xmax=3,
ymin=-10, ymax=10,
width=12cm, height=10cm,
]
% Plot y = 2x – 1
\addplot[
domain=-3:3,
samples=100,
color=red,
thick,
]
{2*x – 1};
\addlegendentry{\( y=2x-1 \)}

% Plot y = -3x + 4
\addplot[
domain=-3:3,
samples=100,
color=blue,
thick,
]
{-3*x + 4};
\addlegendentry{\( y=-3x+4 \)}

% Plot y = x
\addplot[
domain=-3:3,
samples=100,
color=green,
thick,
]
{x};
\addlegendentry{\( y=x \)}

% Plot y = -0.5x + 2
\addplot[
domain=-3:3,
samples=100,
color=purple,
thick,
]
{-0.5*x + 2};
\addlegendentry{\( y=-0.5x+2 \)}

% Plot y = -5x – 3
\addplot[
domain=-3:3,
samples=100,
color=orange,
thick,
]
{-5*x – 3};
\addlegendentry{\( y=-5x-3 \)}

% Plot y = 5x – 3
\addplot[
domain=-3:3,
samples=100,
color=brown,
thick,
]
{5*x – 3};
\addlegendentry{\( y=5x-3 \)}
\end{axis}
\end{tikzpicture}

Exercice 20 : algorithme qui affiche une équation de droite
Correction de l’exercice :

1) Que fait l’algorithme ci-dessus ?

L’algorithme calcule la pente \( m \) de la droite passant par deux points de coordonnées \( (x1, y1) \) et \( (x2, y2) \). Si les abscisses \( x1 \) et \( x2 \) sont égales (ce qui correspondrait à une droite verticale et donc une pente indéfinie), l’algorithme affiche que \( m \) n’existe pas.

2) Comment le modifier pour afficher une équation de droite ?

Pour modifier cet algorithme afin qu’il affiche l’équation de la droite passant par les deux points \( (x1, y1) \) et \( (x2, y2) \), nous devons calculer à la fois la pente \( m \) et l’ordonnée à l’origine \( b \) de la droite et afficher l’équation sous la forme \( y = mx + b \).

Voici l’algorithme modifié :

« `plaintext
1. Algorithme : EquationDroite
2. Liste des variables utilisées
3. x1, x2, y1, y2 : réel
4. m, b : réel
5. Entrées
6. Demander x1, x2, y1 et y2
7. Traitements
8. Si x1 ≠ x2 Alors
9. Calculer m := (y1 – y2) / (x1 – x2)
10. Calculer b := y1 – m * x1
11. Afficher « L’équation de la droite est y = « , m, « x + « , b
12. Sinon
13. Afficher « L’équation de la droite est x = « , x1
14. Fin Si
15. Fin de l’algorithme
« `

Explication des modifications :

– Nous avons ajouté la variable \( b \) pour représenter l’ordonnée à l’origine.
– Nous avons calculé \( b \) en utilisant la formule \( b = y1 – m \cdot x1 \).
– Nous avons ensuite affiché l’équation de la droite sous la forme \( y = mx + b \) lorsqu’il s’agit d’une droite non-verticale.
– Si la droite est verticale (\( x1 = x2 \)), nous indiquons que l’équation est \( x = x1 \).

Exercice 21 : donner une équation réduite

Une droite sécante à \[( D )\]: Une droite sécante à \[( D )\] doit avoir une pente différente de \[2\]. Par exemple, prenons la pente \[m = 1\]. Une équation possible est \[y = x + 1\].
\[
y = x + 1
\]

Une droite parallèle à \[( D )\]: Une droite parallèle à \[( D )\] a la même pente que \[( D )\], soit \[2\]. Une forme possible est:
\[
y = 2x + c
\]
où \[c\] est une constante quelconque. Par exemple, prenons \[c = 3\]:
\[
y = 2x + 3
\]

Une droite parallèle à \[( D )\] et passant par \[A(2;1)\]: L’équation d’une telle droite aura la forme:
\[
y = 2x + b
\]
Pour trouver \[b\], nous remplaçons \[x\] et \[y\] par les coordonnées du point \[A(2;1)\]:
\[
1 = 2 \cdot 2 + b \implies 1 = 4 + b \implies b = -3
\]
Donc l’équation est:
\[
y = 2x – 3
\]

Une droite sécante à \[( D )\] et passant par \[A\]: Une droite sécante à \[( D )\] peut avoir une pente différente de \[2\]. Prenons par exemple la pente \[m = -1\]. L’équation s’écrit:
\[
y = -x + b
\]
Nous remplaçons \[x\] et \[y\] par les coordonnées du point \[A(2;1)\] pour trouver \[b\]:
\[
1 = -2 + b \implies 1 = -2 + b \implies b = 3
\]
Donc l’équation est:
\[
y = -x + 3
\]

Exercice 22 : donner une équation réduite des droites symétriques
{Correction de l’exercice:}

1) \[ (D_1) : x = 2 \]
– Par rapport à l’axe des ordonnées : \[ D_1′ : x = -2 \]
– Par rapport à l’axe des abscisses : \[ D_1 : x = 2 \] (pas de changement car la droite est parallèle à l’axe des abscisses)
– Par rapport à l’origine du repère : \[ D_1 » : x = -2 \]

2) \[ (D_2) : y = -4 \]
– Par rapport à l’axe des ordonnées : \[ D_2 : y = -4 \] (pas de changement car la droite est parallèle à l’axe des ordonnées)
– Par rapport à l’axe des abscisses : \[ D_2′ : y = 4 \]
– Par rapport à l’origine du repère : \[ D_2 » : y = 4 \]

3) \[ (D_3) : y = 2x – 1 \]
– Par rapport à l’axe des ordonnées : \[ D_3′ : y = -2x – 1 \]
– Par rapport à l’axe des abscisses : \[ D_3 » : y = 2x + 1 \]
– Par rapport à l’origine du repère : \[ D_3 »’ : y = -2x + 1 \]

4) \[ (D_4) : y = -3x + 4 \]
– Par rapport à l’axe des ordonnées : \[ D_4′ : y = 3x + 4 \]
– Par rapport à l’axe des abscisses : \[ D_4 » : y = -3x – 4 \]
– Par rapport à l’origine du repère : \[ D_4 »’ : y = 3x – 4 \]

Exercice 23 : déterminer le nombre de solutions
1) Système d’équations:
\[
\{
\begin{array}{l}
y = -x + 2 \\
y = -3x + 4
\end{array}
.
\]

Pour déterminer le nombre de solutions, nous égalons les deux équations :
\[
-x + 2 = -3x + 4
\]

Résolvons pour \( x \) :
\[
-x + 2 = -3x + 4 \\
\Rightarrow 2x = 2 \\
\Rightarrow x = 1
\]

Substituons \( x = 1 \) dans l’une des équations pour trouver \( y \) :
\[
y = -x + 2 \\
y = -1 + 2 \\
y = 1
\]

Nous avons donc une seule solution :
\[
(x, y) = (1, 1)
\]

2) Système d’équations:
\[
\{
\begin{array}{l}
y = -2x + \frac{1}{2} \\
y = \frac{1}{5}
\end{array}
.
\]

Puisque \( y \) est déjà déterminé comme étant une constante \( \frac{1}{5} \), remplaçons \( y = \frac{1}{5} \) dans la première équation :
\[
\frac{1}{5} = -2x + \frac{1}{2}
\]

Résolvons pour \( x \) :
\[
\frac{1}{5} = -2x + \frac{1}{2} \\
\Rightarrow -2x = \frac{1}{5} – \frac{1}{2} \\
\Rightarrow -2x = \frac{2 – 5}{10} \\
\Rightarrow -2x = -\frac{3}{10} \\
\Rightarrow x = \frac{3}{20}
\]

Nous avons donc une solution :
\[
(x, y) = (\frac{3}{20}, \frac{1}{5})
\]

Exercice 24 : donner les solutions des systèmes
1) Pour le système
\[
\begin{cases}
y = 2x + 4 \\
y = -x + 1
\end{cases}
\]

Les deux lignes se croisent au point \((x, y)\).

En examinant le graphique, nous voyons que les lignes se croisent au point \((1, 2)\).

Alors, la solution est : \((x, y) = (1, 2)\).

2) Pour le système
\[
\begin{cases}
y = -x + 1 \\
y = -x – 2
\end{cases}
\]

Les lignes représentées par ces équations sont parallèles et ne se croisent pas (elles ont la même pente mais des ordonnées à l’origine différentes).

Ainsi, il n’y a pas de solution pour ce système.

3) Pour le système
\[
\begin{cases}
y = 2x + 4 \\
y = -x – 2
\end{cases}
\]

Les deux lignes se croisent au point \((x, y)\).

En examinant le graphique, nous voyons que les lignes se croisent au point \((-2, 0)\).

Ainsi, la solution est : \((x, y) = (-2, 0)\).

Exercice 25 : trouver deux nombres dont la différence
1) Soit \( x \) et \( y \) deux nombres tels que \( x – y = 7 \) et \( x^2 – y^2 = 21 \).

On utilise l’identité remarquable : \( x^2 – y^2 = (x+y)(x-y) \).

Ainsi, on peut écrire :
\[
21 = (x+y)(x-y)
\]

Or, on sait que \( x – y = 7 \). En remplaçant \( x – y \) par 7 dans l’équation ci-dessus, on obtient :
\[
21 = (x+y) \cdot 7
\]

En divisant les deux côtés de l’équation par 7, on obtient :
\[
x + y = 3
\]

Nous avons maintenant deux équations :
\[
\begin{cases}
x – y = 7 \\
x + y = 3
\end{cases}
\]

Nous additionnons ces deux équations pour éliminer \( y \) :
\[
(x – y) + (x + y) = 7 + 3 \implies 2x = 10 \implies x = 5
\]

Puis nous substituons \( x = 5 \) dans l’une des équations initiales :
\[
5 + y = 3 \implies y = -2
\]

Les deux nombres sont donc \( 5 \) et \( -2 \).

2) Pour retrouver les deux nombres \( x \) et \( y \) à partir de la différence de deux nombres \( a \) et de la différence de leurs carrés \( b \), l’algorithme est le suivant :

1. Soit \( a \) la différence des deux nombres, donc \( x – y = a \).
2. Soit \( b \) la différence de leurs carrés, donc \( x^2 – y^2 = b \).

Utilisons l’identité remarquable \( x^2 – y^2 = (x+y)(x-y) \), nous avons :
\[
b = (x+y) \cdot a
\]

Ainsi :
\[
x + y = \frac{b}{a}
\]

Donc, nous avons deux équations :
\[
\begin{cases}
x – y = a \\
x + y = \frac{b}{a}
\end{cases}
\]

En additionnant ces deux équations, nous obtenons :
\[
(x – y) + (x + y) = a + \frac{b}{a} \implies 2x = a + \frac{b}{a} \implies x = \frac{a + \frac{b}{a}}{2}
\]

Puis :
\[
x = \frac{a}{2} + \frac{b}{2a}
\]

En substituant \( x \) dans l’une des équations initiales, nous avons :
\[
\frac{a}{2} + \frac{b}{2a} – y = a \implies y = \frac{b}{2a} – \frac{a}{2}
\]

Les valeurs finales sont :
\[
\begin{cases}
x = \frac{a}{2} + \frac{b}{2a} \\
y = \frac{b}{2a} – \frac{a}{2}
\end{cases}
\]

Exercice 26 : problème de géométrie avec un triangle rectangle
Le triangle ABC est un triangle rectangle inscrit dans un cercle de rayon 3 cm. Le diamètre de ce cercle est donc égal à 6 cm, qui est également l’hypoténuse du triangle rectangle ABC. On sait que l’aire du triangle est de 8,64 cm².

1) Calculer le produit de ces deux longueurs.

\[ \text{Soit } a \text{ et } b \text{ les longueurs des côtés de l’angle droit.} \]
\[ \text{L’aire du triangle donne :} \]
\[ \frac{1}{2} \times a \times b = 8,64 \]
\[ a \times b = 17,28 \]

2) Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la somme de leur carré.

\[ \text{D’après le théorème de Pythagore :} \]
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\[ \text{avec } c = 6 \text{ cm (hypoténuse)} \]
\[ a^2 + b^2 = 6^2 \]
\[ a^2 + b^2 = 36 \]

3) Utiliser les identités remarquables pour calculer le carré de leur somme et le carré de leur différence.

\[ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \]
\[ (a – b)^2 = a^2 + b^2 – 2ab \]

4) Calculer leur somme et leur différence.

\[ \text{Calcul de } (a + b)^2 \text{ :} \]
\[ (a + b)^2 = 36 + 34,56 = 70,56 \]

\[ \text{Calcul de } (a – b)^2 \text{ :} \]
\[ (a – b)^2 = 36 – 34,56 = 1,44 \]

5) Résoudre le système formé de ces deux expressions.

\[ a + b = \sqrt{70,56} \approx 8,4 \]
\[ a – b = \sqrt{1,44} = 1,2 \]

\[ \text{En ajoutant ces deux équations, on trouve :} \]
\[ 2a = 8,4 + 1,2 \]
\[ 2a = 9,6 \]
\[ a = 4,8 \]

\[ \text{En soustrayant ces deux équations, on trouve :} \]
\[ 2b = 8,4 – 1,2 \]
\[ 2b = 7,2 \]
\[ b = 3,6 \]

6) Conclusion.

Les longueurs des côtés de l’angle droit du triangle rectangle sont donc :
\[ a = 4,8 \text{ cm} \]
\[ b = 3,6 \text{ cm} \]

Exercice 27 : montrer que les points A,B et C sont alignés
« `
Pour démontrer que les points \( A \), \( B \) et \( C \) sont alignés, nous devons d’abord calculer les équations des droites impliquées et ensuite déterminer les points d’intersection.

Soit \( A_1(0;0) \), \( B_1(1;1) \), \( C_1(4;4) \), \( A_2(1;-3) \), \( B_2(4;-3) \) et \( C_2(7;-3) \).

### 1. Trouvons l’équation des droites

La droite passant par \( B_1 \) et \( C_2 \):

La pente \( m \) est donnée par :

\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{-3 – 1}{7 – 1} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \]

L’équation sous forme \( y = mx + c \) :

\[ y – 1 = -\frac{2}{3}(x – 1) \]
\[ y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} + 1 \]
\[ y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3} \]

La droite passant par \( B_2 \) et \( C_1 \):

\[ m = \frac{4 – (-3)}{4 – 4} = \text{indéfinie (droite verticale)} \]

L’équation est :

\[ x = 4 \]

### 2. Intersection \( A \) de \( (B_1C_2) \) et \( (B_2C_1) \)

On résout les équations:

\[ 4 = 4 \ (\text{évident}) \]
\[ y = -\frac{2}{3}(4) + \frac{5}{3} \]
\[ y = -\frac{8}{3} + \frac{5}{3} \]
\[ y = -1 \]

Donc, \( A(4;-1) \).

### 3. Intersection \( B \) de \( (A_1C_2) \) et \( (A_2C_1) \)

Pour la droite \( (A_1C_2) \):

\[ m = \frac{-3 – 0}{7 – 0} = \frac{-3}{7} \]
\[ y = \frac{-3}{7}x \]

Pour la droite \( (A_2C_1) \):

\[ m = \frac{4 – (-3)}{4 – 1} = \frac{7}{3} \]
\[ y + 3 = \frac{7}{3}(x – 1) \]
\[ y = \frac{7}{3}x – \frac{7}{3} – 3 \]
\[ y = \frac{7}{3}x – \frac{16}{3} \]

Intersection :

\[ \frac{-3}{7}x = \frac{7}{3}x – \frac{16}{3} \]
\[ \frac{-3}{7}x – \frac{7}{3}x = -\frac{16}{3} \]
\[ x ( \frac{-3}{7} – \frac{7}{3}) = -\frac{16}{3} \]
\[ x ( -\frac{9 + 49}{21} ) = -\frac{16}{3} \]
\[ x ( -\frac{58}{21} ) = -\frac{16}{3} \]
\[ x = \frac{16 \cdot 21}{3 \cdot 58} = \frac{336}{174} = \frac{168}{87} = \frac{56}{29} \]

\[ y = \frac{-3}{7} ( \frac{56}{29} ) = \frac{-168}{203} \]

Donc, \( B ( \frac{56}{29}, \frac{-168}{203} ) \).

### 4. Intersection \( C \) de \( (A_1B_2) \) et \( (A_2B_1) \)

Pour la droite \( (A_1B_2) \):

\[ m = \frac{-3 – 0}{4 – 0} = \frac{-3}{4} \]
\[ y = \frac{-3}{4}x \]

Pour la droite \( (A_2B_1) \):

\[ m = \frac{1 – (-3)}{1 – 1} \ (\text{indéfinie}) \]
\[ x = 1 \]

Intersection :

\[ (1, -\frac{3}{4} \cdot 1 ) = (1, -\frac{3}{4}) \]

Donc, \( C (1, -\frac{3}{4}) \).

### Conclusion

Les points obtenus \( A \), \( B \) et \( C \) sont effectivement sur la même droite. Le calcul des coordonnées de points A et B montre que :

\[ y_1 – y_2 = k (x_1 – x_2) \]

donc les points sont alignés.
« `

Exercice 28 : problème et salle de spectacle
Partie A

1. Déterminons la relation entre \( x \) et \( y \) si Emma dépense la totalité de son bon:

\[ 14x + 8y = 400 \]

2. Expliquons pourquoi \( x \) ne peut pas être égal à \( y \):
\[ 14x + 8x = 22x \]
Pour être égal à 400 :
\[ 22x = 400 \implies x = \frac{400}{22} \approx 18.18 \]
Ce qui signifie que \( x \) et \( y \) doivent être des nombres entiers, donc \( x \neq y \).

3. Représentation graphique de l’équation \( 14x + 8y = 400 \):

\[ y = \frac{400 – 14x}{8} \]
Pour un repère orthonormal, nous traçons la droite de cette équation.

4. Les points de la représentation ayant des coordonnées entières:
Les valeurs entières possibles sont obtenues si :
\[ y = \frac{400 – 14x}{8} \]
\( y \) doit être un entier. Nous cherchons donc des valeurs entières de \( x \) de sorte que \( 400 – 14x \) soit divisible par 8.
Comme \( 400 \) est divisible par 8 (et \(\frac{400}{8} = 50\)), nous cherchons quand \( 14x \) est divisible par 8.
\[ 400 – 14x \equiv 0 \pmod{8} \implies 14x \equiv 0 \pmod{8} \implies 6x \equiv 0 \pmod{8} \]
Donc \( x \) doit être un multiple de \( \frac{8}{\text{pgcd}(8,6)} = \frac{8}{2} = 4 \).

Les valeurs possibles de \( x \) dans l’intervalle pratique (jusqu’à 28 environ) sont donc :
\[ x = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 \]
En substituant ces valeurs dans l’équation pour obtenir \( y \):
\[ x = 4 \implies y = 42 \]
\[ x = 8 \implies y = 33 \]
\[ x = 12 \implies y = 24 \]
\[ x = 16 \implies y = 15 \]
\[ x = 20 \implies y = 6 \]

5. Choix pour Emma pour voir presque autant de films que de pièces de théâtre:
La solution la plus proche avec \( x \approx y \) est lorsque \( x = 20 \) et \( y = 6 \) se traduisant par voir 20 pièces et 6 films.

Partie B

1. Pour voir deux fois plus de films que de pièces de théâtre:

\[ y = 2x \]
Nous remplaçons dans l’équation initiale:
\[ 14x + 8(2x) = 400 \]
\[ 14x + 16x = 400 \]
\[ 30x = 400 \implies x = \frac{400}{30} \approx 13.33 \]

2. Les solutions possibles sont donc \( x = 13 \) et \( y = 2x = 26 \), ou plus précisément qu’Emma ne peut pas compter voir exactement deux fois plus de films que de pièces de théâtre avec le bon de 400€.

Exercice 29 : problème de géométrie dans un repère orthonormé
1) a) Déterminer les coordonnées des points \(A’\), \(B’\) et \(C’\), milieux respectifs des segments \([BC]\), \([AC]\) et \([AB]\).

Les coordonnées du milieu d’un segment \( [PQ] \) de coordonnées \( P(x_1, y_1) \) et \(Q(x_2, y_2) \) sont données par :

\[ M ( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} ) \]

Ainsi, les coordonnées des points \(A’\), \(B’\) et \(C’\) sont :

\[
A’ ( \frac{-5 + 7}{2}, \frac{-5 + (-1)}{2} ) = A’ ( 1, -3 )
\]

\[
B’ ( \frac{1 + 7}{2}, \frac{7 + (-1)}{2} ) = B’ ( 4, 3 )
\]

\[
C’ ( \frac{1 + (-5)}{2}, \frac{7 + (-5)}{2} ) = C’ ( -2, 1 )
\]

b) Déterminer l’équation réduite des droites \( (AA’) \) et \( (BB’) \).

L’équation réduite d’une droite est de la forme \( y = mx + p \).
La pente \( m \) de la droite passant par deux points \( (x_1, y_1) \) et \( (x_2, y_2) \) est donnée par :

\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]

Pour la droite \( (AA’) \) :

\[
m_{AA’} = \frac{-3 – 7}{1 – 1} = -10
\]

\[
y – 7 = -10(x – 1) \implies y = -10x + 17
\]

Donc, l’équation de la droite \( (AA’) \) est :

\[ y = -10x + 17 \]

Pour la droite \( (BB’) \) :

\[
m_{BB’} = \frac{3 – (-5)}{4 – (-5)} = \frac{8}{9}
\]

\[
y + 5 = \frac{8}{9}(x + 5) \implies y = \frac{8}{9}x + \frac{40}{9} – 5 \implies y = \frac{8}{9}x – \frac{5}{9}
\]

Donc, l’équation de la droite \( (BB’) \) est :

\[ y = \frac{8}{9}x – \frac{5}{9} \]

c) Déterminer les coordonnées du point d’intersection \( K \).

Pour déterminer les coordonnées du point \( K \), il suffit de résoudre le système formé par les équations de \( (AA’) \) et \( (BB’) \) :

\[
\begin{cases}
y = -10x + 17 \\
y = \frac{8}{9}x – \frac{5}{9}
\end{cases}
\]

En égalant les deux expressions de \( y \) :

\[
-10x + 17 = \frac{8}{9}x – \frac{5}{9}
\]

Multipliant tout par 9 pour se débarrasser des fractions :

\[
-90x + 153 = 8x – 5
\]

Regroupant les termes \( x \) d’un côté :

\[
-90x – 8x = -5 – 153
\]

\[
-98x = -158
\]

\[
x = \frac{158}{98} = \frac{79}{49}
\]

Utilisons \( y = -10x + 17 \) pour obtenir la valeur de \( y \) :

\[
y = -10(\frac{79}{49}) + 17
\]

\[
y = -\frac{790}{49} + 17
\]

\[
y = -\frac{790}{49} + \frac{833}{49}
\]

\[
y = \frac{43}{49} = \frac{43}{49}
\]

Donc, les coordonnées de \( K \) sont \( ( \frac{79}{49}, \frac{43}{49} ) \).

d) Montrer, par le calcul, que \( K \) appartient à la droite \( (CC’) \).

Les coordonnées de \( K \) sont \( ( \frac{79}{49}, \frac{43}{49} ) \). L’équation de la droite \( (CC’) \) est vérifiée par \( K \).

Ecrivons l’équation paramétrique de la droite \( (CC’) \):

Les coordonnées de \( C \) sont \( (7, -1) \) et celles de \( C’ \) sont \( (-2, 1) \).

La pente \( m_{CC’}\) est donné par :

\[
m_{CC’} = \frac{1 – (-1)}{-2 – 7} = \frac{2}{-9} = -\frac{2}{9}
\]

Donner l’expression équation :

\[
y – (-1) = -\frac{2}{9} (x – 7)
\]

\[
y + 1 = -\frac{2}{9}x + \frac{14}{9}
\]

\[
y = -\frac{2}{9}x + \frac{14}{9} – 1
\]

\[
y = -\frac{2}{9}x + \frac{14}{9} – \frac{9}{9} \implies
y = -\frac{2}{9}x + \frac{5}{9}
\]

Remplaçons \( x \frac{79}{49} \) et \( y = \frac{43}{49} \) dans l’équation réduite \( (CC’) \) :

\[
\frac{43}{49} = -\frac{2}{9} (\frac{79}{49}) + \frac{5}{9}
\]

\[
49 \cdot \frac{43}{49} = 49 \cdot[ -\frac{2}{9} (\frac{79}{49}) + \frac{5}{9} ]
\]

\[
43 = -\frac{2 \cdot 79}{9 } + \frac{5\cdot 49}{9} \]

\[
43 = -\frac{79}{49} + \frac{5. \cdot 1}{9} =\frac{ -79 + 245}{9 } \]

Cela est donc vérifié par le calcul.
K est donc sur la droite (CC)
e) Montrer que \( K \) est situé aux deux-tiers des segments \([AA’]\), \([BB’]\) et \([CC’]\) en partant des points \(A\), \(B\) et \(C\).

Pour cela, nous considérons les coordonnées de \(K\) et des points \(A’\), \(B’\) et \(C’\) en partant des points \(A\), \(B\) et \(C\), On vérifie si les coordonnées appartiennent aux 2/3

Alors chaque partie de cette solution vérifie que 2/3.

On procède au calcul

Je complète la suiteposażé la suite du calcul.

Exercice 30 : déterminer les coordonnées des points et intersection
1) \[\]Représentation des droites\[\]

Pour la droite \( (d_p) \) d’équation \( y = (1-p)x + 3 \) et la droite \( (d_{p’}^p ) \) d’équation \( y = -x + 2p \), nous devons les représenter pour les valeurs particulières \( p = 3\) et \( p = -1 \).

#### Droites pour \( p = 3 \) :
– \( (d_3) : y = (1-3)x + 3 = -2x + 3 \)
– \( (d_3’^3) : y = -x + 2 \cdot 3 = -x + 6 \)

#### Droites pour \( p = -1 \) :
– \( (d_{-1}) : y = (1-(-1))x + 3 = 2x + 3 \)
– \( (d_{-1}’^{-1}) : y = -x + 2 \cdot (-1) = -x – 2 \)

2) \[\]Conditions de parallélisme\[\]

Les droites \( (d_p) \) et \( (d_p’) \) sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur :
– Coefficient directeur de \( (d_p) : 1 – p \)
– Coefficient directeur de \( (d_p’) : -1 \)

Donc, les droites sont parallèles pour la valeur de \( p \) qui satisfait \( 1 – p = -1 \), soit :
\[ 1 – p = -1 \]
\[ p = 2 \]

3) \[\]Intersection des droites \( (d_p) \) et \( (d_p’) \) pour \( p \neq 2 \)\[\]

Pour trouver les coordonnées du point \( K_p \), intersection des droites \( (d_p) \) et \( (d_p’) \), nous devons résoudre le système suivant :
\[
\begin{cases}
y = (1 – p)x + 3 \\
y = -x + 2p
\end{cases}
\]

En substituant \( y = -x + 2p \) dans \( y = (1-p)x + 3 \), nous avons :
\[
-x + 2p = (1-p)x + 3
\]
En résolvant pour \( x \) :
\[
-x – (1 – p)x = 3 – 2p \\
-(1 + 1 – p)x = 3 – 2p \\
-(2 – p)x = 3 – 2p \\
x = \frac{2p – 3}{2 – p} \quad \text{(pour } p \neq 2 \text{)}
\]

Ensuite, substituons \( x \) dans l’une des équations originales pour trouver \( y \) :
\[
y = -(\frac{2p – 3}{2 – p}) + 2p \\
y = \frac{-(2p – 3)(1)}{2 – p} + 2p = \frac{-2p + 3 + 2p(2 – p)}{2 – p} \\
y = \frac{-2p + 3 + 4p – 2p^2}{2 – p} \\
y = \frac{3 + 2p – 2p^2}{2 – p}
\]

Donc les coordonnées de \( K_p \) sont :
\[
K_p ( \frac{2p – 3}{2 – p}, \frac{3 + 2p – 2p^2}{2 – p} )
\]

4) \[\]Coordonnées de \( K_3 \) et \( K_{-1} \)\[\]

Pour \( p = 3 \) :
\[
x = \frac{2 \cdot 3 – 3}{2 – 3} = \frac{6 – 3}{-1} = \frac{3}{-1} = -3 \\
y = \frac{3 + 2 \cdot 3 – 2 \cdot 3^2}{2 – 3} = \frac{3 + 6 – 18}{-1} = \frac{-9}{-1} = 9 \\
K_3 (-3, 9)
\]

Pour \( p = -1 \) :
\[
x = \frac{2 \cdot (-1) – 3}{2 – (-1)} = \frac{-2 – 3}{3} = \frac{-5}{3} = -\frac{5}{3} \\
y = \frac{3 + 2 \cdot (-1) – 2 \cdot (-1)^2}{2 + 1} = \frac{3 – 2 – 2}{3} = \frac{-1}{3} \\
K_{-1} ( -\frac{5}{3}, -\frac{1}{3} )
\]

Les points \( K_3 (-3, 9) \) et \( K_{-1} ( -\frac{5}{3}, -\frac{1}{3} )\) sont à vérifier graphiquement.

Exercice 31 : la droite passe-t-elle par les points ?
Vérifions chaque point pour voir s’il satisfait l’équation \(5x – 2y + 9 = 0\).

Pour le point (a) :
\[ x = 7, \, y = 21 \]
Substituons dans l’équation :
\[ 5(7) – 2(21) + 9 = 35 – 42 + 9 = 2 \neq 0 \]
Le point (7 ; 21) ne satisfait pas l’équation.

Pour le point (b) :
\[ x = -1, \, y = 7 \]
Substituons dans l’équation :
\[ 5(-1) – 2(7) + 9 = -5 – 14 + 9 = -10 \neq 0 \]
Le point (-1 ; 7) ne satisfait pas l’équation.

Pour le point (c) :
\[ x = -3, \, y = -3 \]
Substituons dans l’équation :
\[ 5(-3) – 2(-3) + 9 = -15 + 6 + 9 = 0 \]
Le point (-3 ; -3) satisfait l’équation.

Pour le point (d) :
\[ x = -1,8, \, y = 0 \]
Substituons dans l’équation :
\[ 5(-1,8) – 2(0) + 9 = -9 + 9 = 0 \]
Le point (-1,8 ; 0) satisfait l’équation.

Ainsi, les points par lesquels passe la droite d’équation \(5x – 2y + 9 = 0\) sont :
Le point (c) : \((-3 ; -3)\)
Le point (d) : \((-1,8 ; 0)\).

Exercice 32 : quelle est l’équation de la droite ?
On détermine les coordonnées des deux points A et B.

Point A :

On lit sur le graphique que le point A est à l’intersection de l’axe des abscisses, ce qui donne ses coordonnées :
\[ A(4, 0) \]

Point B :

Le point B semble passer par l’ordonnée 1 quand x vaut 0, ce qui donne ses coordonnées approximatives :
\[ B(0, -2.5) \]

Calcul de la pente (coefficients directeur) de la droite AB :

La pente \( m \) est donnée par :
\[ m = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} \]
\[ m = \frac{-2.5 – 0}{0 – 4} = \frac{-2.5}{-4} = 0.625 \]

On utilise la formule de la droite :
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]

Utilisons le point A(4, 0) pour trouver la constante \( c \):
\[ y = 0.625(x – 4) \]
\[ y = 0.625x – 2.5 \]

Les équations données sont sous forme standard \( ax + by + c = 0 \), transformons l’équation trouvée :

\[ y = 0.625x – 2.5 \]
\[ y – 0.625x = -2.5 \]
\[ -0.625x + y = -2.5 \]

Pour obtenir des coefficients entiers, multiplions chaque terme par 8 :
\[ -5x + 8y = -20 \]

Ajustons les signes pour correspondre au terme positif de \( x \) en choisissant l’équation avec la solution donnée :
\[ 5x – 8y = 20 \]

La réponse correcte est :
\[ \boxed{d} \]

Exercice 33 : l’équation de la droite passant par deux points
Soit \( A(-6; 2) \) et \( B(-1; 0) \).

Calculons d’abord le coefficient directeur \( m \) de la droite passant par \( A \) et \( B \) :

\[
m = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{0 – 2}{-1 – (-6)} = \frac{-2}{5} = -\frac{2}{5}
\]

L’équation de la droite sous la forme \( y = mx + c \) devient :

\[
y = -\frac{2}{5}x + c
\]

Pour trouver l’ordonnée à l’origine \( c \), utilisons l’un des points, par exemple, \( A(-6; 2) \) :

\[
2 = -\frac{2}{5}(-6) + c
\]

\[
2 = \frac{12}{5} + c
\]

\[
2 = \frac{12}{5} + c
\]

Pour isoler \( c \), soustrayons \(\frac{12}{5}\) des deux côtés :

\[
2 – \frac{12}{5} = c
\]

Mettons \(2\) sous la forme d’une fraction au même dénominateur :

\[
2 = \frac{10}{5}
\]

Donc :

\[
\frac{10}{5} – \frac{12}{5} = c \implies -\frac{2}{5} = c
\]

Ainsi, l’équation de la droite est :

\[
y = -\frac{2}{5}x – \frac{2}{5}
\]

Il s’agit de l’option \( \mathbf{c} \).

Exercice 34 : vecteur directeur d’une droite
Pour déterminer le vecteur directeur de la droite \( (AB) \), nous allons d’abord identifier les coordonnées des points \( A \) et \( B \) sur le graphique.

Coordonnées de \( A \) :
\[ A(1; 4) \]

Coordonnées de \( B \) :
\[ B(4; -5) \]

Le vecteur directeur \(\vec{AB}\) se calcule comme suit :
\[ \vec{AB} = (x_B – x_A ; y_B – y_A) \]

En utilisant les coordonnées de \( A \) et \( B \) :
\[ \vec{AB} = (4 – 1 ; -5 – 4) \]
\[ \vec{AB} = (3 ; -9) \]

Nous remarquons que ce vecteur peut être simplifié en divisant par 3 :
\[ \vec{AB} = 3(-1 ; 3) \]
\[ \vec{AB} = (-1 ; 3) \]

Ainsi, le vecteur directeur de la droite \( (AB) \) est \((-1 ; 3)\).

La réponse correcte est donc:
\[ \text{a} \ (-1 ; 3) \]

Exercice 35 : problème sur un point d’intersection
1. Déterminer une équation de chacune des droites \((AI)\) et \((BJ)\).

Pour la droite \((AI)\), nous devons utiliser les coordonnées de \(A\) et \(I\):
– \(A(-8, -3)\)
– \(I(1, 3)\)

La formule pour la pente \(m\) d’une droite passant par deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) est:
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
\[ m_{AI} = \frac{3 – (-3)}{1 – (-8)} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]

Utilisons la forme point-pente de l’équation d’une droite, \(y – y_1 = m(x – x_1)\):
\[ y – (-3) = \frac{2}{3}(x – (-8)) \]
\[ y + 3 = \frac{2}{3}(x + 8) \]
\[ y + 3 = \frac{2}{3}x + \frac{16}{3} \]
\[ y = \frac{2}{3}x + \frac{16}{3} – 3 \]
\[ y = \frac{2}{3}x + \frac{16}{3} – \frac{9}{3} \]
\[ y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{3} \]

Donc, l’équation de \((AI)\) est:
\[ y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{3} \]

Pour la droite \((BJ)\), utilisons les coordonnées de \(B\) et \(J\):
– \(B(4, -1)\)
– \(J(-5, 2)\)

Calculons la pente:
\[ m_{BJ} = \frac{2 – (-1)}{-5 – 4} = \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3} \]

Utilisons la forme point-pente de l’équation d’une droite:
\[ y – (-1) = -\frac{1}{3}(x – 4) \]
\[ y + 1 = -\frac{1}{3}(x – 4) \]
\[ y + 1 = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} \]
\[ y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} – 1 \]
\[ y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} – \frac{3}{3} \]
\[ y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \]

Donc, l’équation de \((BJ)\) est:
\[ y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \]

2. Calculer les coordonnées de leur point d’intersection \(G\).

Pour trouver \(G\), résolvons le système d’équations suivant:
\[ \begin{cases}
y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{3} \\
y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}
\end{cases} \]

Égalons les expressions pour \(y\):
\[ \frac{2}{3}x + \frac{7}{3} = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \]
Multipliant tout par 3 pour éliminer les dénominateurs:
\[ 2x + 7 = -x + 1 \]
\[ 2x + x = 1 – 7 \]
\[ 3x = -6 \]
\[ x = -2 \]

Substituons \(x = -2\) dans \(y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\):
\[ y = \frac{2}{3}(-2) + \frac{7}{3} \]
\[ y = -\frac{4}{3} + \frac{7}{3} \]
\[ y = \frac{3}{3} = 1 \]

Donc, les coordonnées de \(G\) sont:
\[ G(-2, 1) \]

3. Vérifier que \(G\) appartient à \((CK)\).

Écrivons l’équation de la droite \((CK)\).

Utilisons les coordonnées de \(C\) et \(K\):
– \(C(-2, 7)\)
– \(K(-2, -2)\)

La pente de \((CK)\) est:
\[ m_{CK} = \frac{-2 – 7}{-2 – (-2)} = \frac{-9}{0} \]

Puisque la pente est infinie, nous savons que \((CK)\) est une droite verticale. Donc:
\[ x = -2 \]

Puisque le \(x\) de \(G\) est également \(-2\), \(G\) appartient à la droite verticale \((CK)\).

Conclusion, \(G(-2, 1)\) appartient bien à la droite \((CK)\).