Vecteurs : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 11 : hexagone régulier et vecteurs
1) Pour déterminer l’image de l’hexagone \(1\) dans la translation de vecteur \(\vec{AC}\) :

La translation \(\vec{AC}\) déplace chaque point du plan dans la direction de \(A\) vers \(C\).
L’hexagone \(1\) est situé à l’endroit de \(A\).
L’hexagone \(3\) est situé à l’endroit de \(C\).

Donc, l’image de l’hexagone \(1\) dans la translation de vecteur \(\vec{AC}\) est l’hexagone \(3\).

2) Pour déterminer l’image de l’hexagone \(4\) dans la translation de vecteur \(\vec{AB}\) :

La translation \(\vec{AB}\) déplace chaque point du plan dans la direction de \(A\) vers \(B\).
L’hexagone \(4\) est situé à l’endroit de \(A\).
L’hexagone \(2\) est situé à l’endroit de \(B\).

Donc, l’image de l’hexagone \(4\) dans la translation de vecteur \(\vec{AB}\) est l’hexagone \(2\).

3) Pour déterminer l’image de l’hexagone \(7\) dans la translation de vecteur \(\vec{DE}\) :

La translation \(\vec{DE}\) déplace chaque point du plan dans la direction de \(D\) vers \(E\).
L’hexagone \(7\) est situé à l’endroit de \(D\).
L’hexagone \(5\) est situé à l’endroit de \(E\).

Donc, l’image de l’hexagone \(7\) dans la translation de vecteur \(\vec{DE}\) est l’hexagone \(5\).

Exercice 12 : calculer les coordonnées de ce vecteur
Pour calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\), on utilise la formule suivante :
\[
\vec{AB} = (x_B – x_A ; y_B – y_A).
\]

1. Pour les points \(A(2 ; 5)\) et \(B(6 ; 7)\) :
\[
\vec{AB} = (6 – 2 ; 7 – 5) = (4 ; 2).
\]

2. Pour les points \(A(-1 ; 2)\) et \(B(-2 ; -3)\) :
\[
\vec{AB} = (-2 – (-1) ; -3 – 2) = (-2 + 1 ; -3 – 2) = (-1 ; -5).
\]

Exercice 13 : coordonnées de vecteurs dans un repère
1) Soit \(\vec{u}\).

Les coordonnées de \(\vec{u}\) sont (0, 5) car \(\vec{u}\) se déplace de 0 unités sur l’axe des abscisses et 5 unités sur l’axe des ordonnées.

\[ \vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} \]

2) Soit \(\vec{v}\).

Les coordonnées de \(\vec{v}\) sont (5, -2) car \(\vec{v}\) se déplace de 5 unités sur l’axe des abscisses et -2 unités sur l’axe des ordonnées.

\[ \vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} \]

3) Soit \(\vec{w}\).

Les coordonnées de \(\vec{w}\) sont (-2, -3) car \(\vec{w}\) se déplace de -2 unités sur l’axe des abscisses et -3 unités sur l’axe des ordonnées.

\[ \vec{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \]

4) Soit \(\vec{s}\).

Les coordonnées de \(\vec{s}\) sont (-4, -2) car \(\vec{s}\) se déplace de -4 unités sur l’axe des abscisses et -2 unités sur l’axe des ordonnées.

\[ \vec{s} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix} \]

5) Soit \(\vec{z}\).

Les coordonnées de \(\vec{z}\) sont (4, 0) car \(\vec{z}\) se déplace de 4 unités sur l’axe des abscisses et 0 unité sur l’axe des ordonnées.

\[ \vec{z} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} \]

6) Soit \(\vec{g}\).

Les coordonnées de \(\vec{g}\) sont (1, 4) car \(\vec{g}\) se déplace de 1 unité sur l’axe des abscisses et 4 unités sur l’axe des ordonnées.

\[ \vec{g} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \]

Exercice 14 : les coordonnées des points et des vecteurs
1) Les coordonnées du point \( A \) sont \( (3, 5) \).

2) Les coordonnées du point \( B \) sont \( (6, 5) \).

3) Le vecteur \(\vec{OC}\) est défini par l’origine \(O (0, 0)\) et le point \(C (-2, 6)\).
\[ \vec{OC} = C – O = (-2 – 0, 6 – 0) = (-2, 6) \]

4) Le vecteur \(\vec{AE}\) est défini par les points \(A (3, 5)\) et \(E (4, -2)\).
\[ \vec{AE} = E – A = (4 – 3, -2 – 5) = (1, -7) \]

5) Le vecteur \(\vec{FC}\) est défini par les points \(F (6, -1)\) et \(C (-2, 6)\).
\[ \vec{FC} = C – F = (-2 – 6, 6 – (-1)) = (-8, 7) \]

6) Le vecteur \(\vec{DO}\) est défini par les points \(D (-3, -1)\) et \(O (0, 0)\).
\[ \vec{DO} = O – D = (0 – (-3), 0 – (-1)) = (3, 1) \]

Exercice 15 : calculer les coordonnées des vecteurs
\[
\text{1. Dans le plan muni d’un repère, les coordonnées du vecteur } \vec{u} \text{ sont } \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}, \text{ celles du point } A(5;2).
\]
\[
\text{Calculer les coordonnées du point } B \text{ tel que } \vec{AB} = \vec{u}.
\]

Les coordonnées du point \( B \) se calculent en ajoutant les coordonnées du vecteur \(\vec{u}\) aux coordonnées du point \( A \):

\[
B = A + \vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 – 2 \\ 2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}
\]

Donc, les coordonnées de \( B \) sont \( (3, 5) \).

\[
\text{2. Dans le plan muni d’un repère, les coordonnées du vecteur } \vec{v} \text{ sont } \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix}, \text{ celles du point } A(1;-2).
\]
\[
\text{Calculer les coordonnées du point } C \text{ tel que } \vec{CA} = \vec{v}.
\]

Les coordonnées du point \( C \) se calculent en soustrayant les coordonnées du vecteur \(\vec{v}\) aux coordonnées du point \( A \):

\[
C = A – \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 – 4 \\ -2 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}
\]

Donc, les coordonnées de \( C \) sont \( (-3, 3) \).

\[
\text{3. Dans le plan muni d’un repère, on considère les points } K(-2;-3), L(3;-4) \text{ et } M(-1;5).
\]
\[
\text{Quelles sont les coordonnées du vecteur } \vec{KL} + \vec{LM}?
\]

Les coordonnées de \(\vec{KL}\) se calculent comme suit :

\[
\vec{KL} = \begin{pmatrix} 3 – (-2) \\ -4 – (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}
\]

Les coordonnées de \(\vec{LM}\) se calculent comme suit :

\[
\vec{LM} = \begin{pmatrix} -1 – 3 \\ 5 – (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 9 \end{pmatrix}
\]

Les coordonnées du vecteur \(\vec{KL} + \vec{LM}\) se calculent en additionnant les deux vecteurs :

\[
\vec{KL} + \vec{LM} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 – 4 \\ -1 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix}
\]

Donc, les coordonnées du vecteur \(\vec{KL} + \vec{LM}\) sont \( (1, 8) \).

Exercice 16 : opposé des vecteurs et égalités

Un vecteur opposé à \(\vec{CD}\) est le vecteur \(\vec{w}\).

Un vecteur de même direction et de même sens que \(\vec{AC}\) est le vecteur \(\vec{t}\).

Un vecteur de même direction que \(\vec{BC}\) mais de sens contraire est le vecteur \(\vec{s}\).

Un vecteur égal au vecteur \(\vec{BA}\) est le vecteur \(\vec{v}\).

Exercice 17 : un deltaplane se déplace suivant la translation
Reproduisons et déplaçons le deltaplane selon les translations données.

### Étape 1 : Translation par le vecteur \( \vec{u} \)

Le vecteur \( \vec{u} \) part de \((1, 1)\) et se termine à \((7, 4)\). La translation par \( \vec{u} \) consiste donc en un déplacement de \( 6 \) unités vers la droite et \( 3 \) unités vers le haut. Ainsi, chaque point du deltaplane se déplacera de \( 6 \) unités vers la droite et \( 3 \) unités vers le haut.

### Étape 2 : Translation par le vecteur \( \vec{v} \)

Le vecteur \( \vec{v} \) part de \((7, 4)\) et se termine à \((1, -1)\). La translation par \( \vec{v} \) consiste donc en un déplacement de \( 6 \) unités vers la gauche et \( 5 \) unités vers le bas. Ainsi, chaque point du deltaplane se déplacera de \( 6 \) unités vers la gauche et \( 5 \) unités vers le bas après avoir été déplacé par le vecteur \( \vec{u} \).

### Résultats des translations

– \[\]Position Initiale :\[\]
– A : \((0, 0)\)
– B : \((0, 3)\)
– C : \((2.5, 1.5)\)

– \[\]Après translation par \( \vec{u} \) :\[\]
– A’ : \((0 + 6, 0 + 3) = (6, 3)\)
– B’ : \((0 + 6, 3 + 3) = (6, 6)\)
– C’ : \((2.5 + 6, 1.5 + 3) = (8.5, 4.5)\)

– \[\]Après translation par \( \vec{v} \) (À partir des points A’, B’, et C’) :\[\]
– A » : \((6 – 6, 3 – 5) = (0, -2)\)
– B » : \((6 – 6, 6 – 5) = (0, 1)\)
– C » : \((8.5 – 6, 4.5 – 5) = (2.5, -0.5)\)

### Représentation finale dans le plan :

L’image du deltaplane dans sa position finale est représentée par les points A »(0, -2), B »(0, 1) et C »(2.5, -0.5).

Exercice 18 : compléter les égalités vectorielles
1) \(\vec{IB} = \vec{IA} + \vec{AB}\)

2) \(\vec{HG} + \vec{GF} = \vec{HF}\)

3) \(\vec{D A} + \vec{AC} = \vec{DC}\)

4) \(\vec{EA} + \vec{AE} = \vec{EE} = \vec{0}\)

5) \(\vec{AJ} = \vec{AA} + \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CM}\)

6) \(\vec{FE} + \vec{EF} = \vec{EE} = \vec{0}\)

Exercice 19 : simplifier des écritures vectorielles
1) \(\vec{BD} + \vec{DA} = \vec{BA}\)

2) \(\vec{BD} + \vec{AA} = \vec{BD}\)

3) \(\vec{BD} + \vec{DB} = \vec{BB} = \vec{0}\)

4) \(\vec{BD} – \vec{BA} = \vec{AD}\)

5) \(\vec{BD} + \vec{AD} + \vec{BA} = \vec{BA}\)

6) \(\vec{BD} + \vec{DA} – \vec{DB} = \vec{BA}\)

1) \(\vec{MB} – \vec{MD} = \vec{BD}\)

2) \(\vec{CB} – \vec{CD} – \vec{BD} = \vec{BC} – \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{DB} = \vec{DC}\)

3) \(\vec{BD} – \vec{BA} + \vec{MA} – \vec{MD} = \vec{AD} + \vec{MA} = \vec{MD}\)

4) \(\vec{BD} – \vec{MC} – \vec{BM} + \vec{DB} = -(\vec{MC} + \vec{BM}) = -\vec{BC}\)

5) \(\vec{MA} + \vec{EM} – \vec{CA} – \vec{EC} = \vec{AE} – \vec{CA} – \vec{EC} = \vec{AE} – (\vec{CA} + \vec{EC}) = \vec{AE} – \vec{AC} = \vec{AC}\)

6) \(\vec{AU} + \vec{SH} – \vec{ST} + \vec{MU} = \vec{AH} + \vec{MU} – \vec{ST} = \vec{AH} – \vec{MS} + \vec{TU} = \vec{AU}\)

Exercice 20 : construire des vecteurs dans un repère
1) \(\vec{u_1} = \vec{w} – \vec{r}\) :

Pour construire \(\vec{u_1}\), on place l’origine au point où \(\vec{r}\) se termine et on trace un vecteur dans la direction et le sens de \(\vec{w}\) à partir de ce point.

Si on regarde la figure ci-dessous, \(\vec{w}\) est dirigé vers la gauche et \(\vec{r}\) est dirigé vers la droite.

La somme \(\vec{w} – \vec{r}\) donnera un vecteur orienté vers la gauche dont la longueur est égale à la différence des longueurs de \(\vec{w}\) et \(\vec{r}\).

2) \(\vec{u_2} = \vec{r} – \vec{v}\) :

Pour construire \(\vec{u_2}\), on place l’origine au point où \(\vec{v}\) se termine et on trace un vecteur dans la direction et le sens de \(\vec{r}\) à partir de ce point.

La somme \(\vec{r} – \vec{v}\) donnera un vecteur orienté vers la droite dont la longueur est égale à la différence des longueurs de \(\vec{r}\) et \(\vec{v}\).

3) \(\vec{u_3} = \vec{v} – \vec{w}\) :

Pour construire \(\vec{u_3}\), on place l’origine au point où \(\vec{w}\) se termine et on trace un vecteur dans la direction et le sens de \(\vec{v}\) à partir de ce point.

La somme \(\vec{v} – \vec{w}\) donnera un vecteur orienté en haut et légèrement à droite dont la longueur est égale à la différence des longueurs de \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\).

4) \(\vec{u_4} = \vec{r} – \vec{w}\) :

Pour construire \(\vec{u_4}\), on place l’origine au point où \(\vec{w}\) se termine et on trace un vecteur dans la direction et le sens de \(\vec{r}\) à partir de ce point.

La somme \(\vec{r} – \vec{w}\) donnera un vecteur orienté vers la droite dont la longueur est égale à la différence des longueurs de \(\vec{r}\) et \(\vec{w}\).

5) \(\vec{u_5} = \vec{v} – \vec{r}\) :

Pour construire \(\vec{u_5}\), on place l’origine au point où \(\vec{r}\) se termine et on trace un vecteur dans la direction et le sens de \(\vec{v}\) à partir de ce point.

La somme \(\vec{v} – \vec{r}\) donnera un vecteur orienté sur une diagonale en haut à droite dont la longueur est égale à la différence des longueurs de \(\vec{v}\) et \(\vec{r}\).

6) \(\vec{u_6} = \vec{w} – \vec{r}\) :

Pour construire \(\vec{u_6}\), on place l’origine au point où \(\vec{r}\) se termine et on trace un vecteur dans la direction et le sens de \(\vec{w}\) à partir de ce point.

La somme \(\vec{w} – \vec{r}\) donnera un vecteur orienté à gauche, la longueur étant la différence des longueurs entre \(\vec{w}\) et \(\vec{r}\).

7) Remarques :

– Les vecteurs \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_6}\) sont identiques (\(\vec{u_1} = \vec{u_6}\)).
– Les vecteurs obtenus sont le résultat de la soustraction de deux vecteurs de la figure indiquée. La direction, le sens, et la longueur des vecteurs sont déterminés par les différences de coordonnées des vecteurs impliqués.
– En utilisant la règle de la somme des vecteurs (parallélogramme ou triangle), les constructions peuvent être simplifiées pour obtenir directement les vecteurs souhaités.

Pour une meilleure compréhension, je recommande de tracer ces vecteurs sur la figure avec une grille similaire pour voir les situations géométriques explicitement.

Exercice 21 : construire un représentant avec son extrémité
1) \( \vec{u_1} \) d’origine \( E \) :

Le vecteur \(\vec{u_1}\) est obtenu par translation de l’origine \( E \) suivant la direction et le sens du vecteur \(\vec{u} – \vec{AB}\). Depuis \( E \), on se déplace parallèlement au vecteur original jusqu’à rejoindre le point correspondant. La direction de ce vecteur sera parallèle à \(\vec{u} – \vec{AB}\).

2) \( \vec{u_2} \) d’origine \( A \) :

Le vecteur \(\vec{u_2}\) est obtenu par translation de l’origine \( A \) suivant la direction et le sens du vecteur \(\vec{v} – \vec{CD}\). Depuis \( A \), on se déplace parallèlement au vecteur original jusqu’à rejoindre le point correspondant. La direction de ce vecteur sera parallèle à \(\vec{v} – \vec{CD}\).

3) \( \vec{u_3} \) d’origine \( C \) :

Le vecteur \(\vec{u_3}\) est obtenu par translation de l’origine \( C \) suivant la direction et le sens du vecteur \(\vec{w} – \vec{DE}\). Depuis \( C \), on se déplace parallèlement au vecteur original jusqu’à rejoindre le point correspondant. La direction de ce vecteur sera parallèle à \(\vec{w} – \vec{DE}\).

4) \( \vec{u_1} \) d’extrémité \( C \) :

Pour trouver l’origine de \(\vec{u_1}\) d’extrémité \( C \), on se déplace dans la direction opposée à celle de \(\vec{u_1}\) jusqu’à atteindre \( C \). Cette origine peut être obtenue par une translation inverse de \( C \) dans la direction opposée à la direction de \(\vec{u} – \vec{AB}\).

5) \( \vec{u_2} \) d’extrémité \( E \) :

Pour trouver l’origine de \(\vec{u_2}\) d’extrémité \( E \), on se déplace dans la direction opposée à celle de \(\vec{u_2}\) jusqu’à atteindre \( E \). Cette origine peut être obtenue par une translation inverse de \( E \) dans la direction opposée à la direction de \(\vec{v} – \vec{CD}\).

6) \( \vec{u_3} \) d’extrémité \( A \) :

Pour trouver l’origine de \(\vec{u_3}\) d’extrémité \( A \), on se déplace dans la direction opposée à celle de \(\vec{u_3}\) jusqu’à atteindre \( A \). Cette origine peut être obtenue par une translation inverse de \( A \) dans la direction opposée à la direction de \(\vec{w} – \vec{DE}\).

Exercice 22 : calculer des coordonnées et tracer un représentant
\[
{Correction de l’exercice}

\text{1) Placer le point } A(-3; 4).

\text{2) Construire un représentant du vecteur } \vec{u} \text{ de coordonnées }
\begin{pmatrix}
4 \\
-3
\end{pmatrix}
\]

\[
\text{On peut par exemple placer son origine en } A(-3; 4). \text{ On obtient alors son extrémité en }
\begin{pmatrix}
-3 + 4 \\
4 – 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}.
\]

\text{3) Placer les points } B \text{ et } C \text{ tels que :}

\[
\bullet \quad \vec{AB} = \vec{u}
\]
\[
A(-3; 4) \text{ et } \vec{AB} =
\begin{pmatrix}
4 \\
-3
\end{pmatrix}
\implies
B =
\begin{pmatrix}
-3 + 4 \\
4 – 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}.
\]

\[
\bullet \quad \vec{CA} = \vec{u}
\]
\[
A(-3; 4) \text{ et } \vec{CA} =
\begin{pmatrix}
4 \\
-3
\end{pmatrix}
\implies
C =
\begin{pmatrix}
-3 – 4 \\
4 + 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-7 \\
7
\end{pmatrix}.
\]

\text{4) Calculer les coordonnées des points } B \text{ et } C \text{.}

\[
\text{Déjà calculées : } B(1; 1) \text{ et } C(-7; 7).
\]

\text{5) Que peut-on dire du point } A \text{ ? Justifier.}

\[
\text{Le point } A (-3; 4) \text{ est le milieu du segment } [BC].
\]
\[
\text{En effet, on a :}
\]
\[
(\frac{B_1 + C_1}{2}; \frac{B_2 + C_2}{2}) = (\frac{1 + (-7)}{2}; \frac{1 + 7}{2}) = (\frac{-6}{2}; \frac{8}{2}) = (-3; 4).
\]

\[
\text{Donc, } A \text{ est bien le milieu de } [BC].
\]

Exercice 23 : somme de vecteurs
1) Les coordonnées des vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont :
\[
\vec{u} = (1, 4)
\]
\[
\vec{v} = (4, -1)
\]
\[
\vec{w} = (-2, -3)
\]

2) Calcul des coordonnées des vecteurs :

a) \(\vec{u} + \vec{v}\):
\[
\vec{u} + \vec{v} = (1, 4) + (4, -1) = (1+4, 4-1) = (5, 3)
\]

b) \(\vec{u} – \vec{v}\):
\[
\vec{u} – \vec{v} = (1, 4) – (4, -1) = (1-4, 4+1) = (-3, 5)
\]

c) \(\vec{u} + \vec{w}\):
\[
\vec{u} + \vec{w} = (1, 4) + (-2, -3) = (1-2, 4-3) = (-1, 1)
\]

d) \(\vec{u} – \vec{w}\):
\[
\vec{u} – \vec{w} = (1, 4) – (-2, -3) = (1+2, 4+3) = (3, 7)
\]

Exercice 24 : lire les coordonnées d’une somme de vecteurs
Soit \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Pour obtenir les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) défini par \(\vec{AB} = \vec{u} + \vec{v}\), faisons la somme des deux vecteurs :

\[
\vec{AB} = \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 3 \\ -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

Le vecteur \(\vec{AB}\) a donc pour coordonnées \((1, 1)\).

Ensuite, plaçons le point \(B\). Le point \(A\) a pour coordonnées \((0, 0)\). En ajoutant les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\), nous obtenons les coordonnées de \(B\) :

\[
B = A + \vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

Le point \(B\) se trouve donc en \((1, 1)\).

Pour vérifier visuellement sur la figure, nous pouvons tracer les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) à partir du point \(A\) et voir que la somme des vecteurs mène bien au point \(B\) situé en \((1, 1)\).

L’exercice demande également de lire les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\). Comme nous avons trouvé précédemment :

\[
\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

Les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) sont donc \((1, 1)\).

Exercice 25 : déterminer si des vecteurs sont colinéaires
1. Vérifions si les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
\[
\vec{u} = \begin{pmatrix}
-2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix}
3 \\
-4,5
\end{pmatrix}
\]

Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un scalaire \(k\) tel que :
\[
\vec{v} = k \vec{u}
\]

Cela signifie que :
\[
\begin{cases}
3 = -2k \\
-4,5 = 3k
\end{cases}
\]

Résolvons la première équation :
\[
3 = -2k \implies k = -\frac{3}{2}
\]

Vérifions avec la deuxième équation :
\[
-4,5 = 3 (-\frac{3}{2}) \implies -4,5 = -4,5
\]

Les deux équations sont vérifiées, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

2. Vérifions si les vecteurs \(\vec{s}\) et \(\vec{t}\) sont colinéaires.
\[
\vec{s} = \begin{pmatrix}
7 \\
-2
\end{pmatrix}, \quad \vec{t} = \begin{pmatrix}
14 \\
4
\end{pmatrix}
\]

Les vecteurs \(\vec{s}\) et \(\vec{t}\) sont colinéaires s’il existe un scalaire \(k\) tel que :
\[
\vec{t} = k \vec{s}
\]

Cela signifie que :
\[
\begin{cases}
14 = 7k \\
4 = -2k
\end{cases}
\]

Résolvons la première équation :
\[
14 = 7k \implies k = 2
\]

Vérifions avec la deuxième équation :
\[
4 = -2 \times 2 \implies 4 \ne -4
\]

Les deux équations ne sont pas vérifiées, donc \(\vec{s}\) et \(\vec{t}\) ne sont pas colinéaires.

3. Vérifions si les vecteurs \(\vec{w}\) et \(\vec{r}\) sont colinéaires.
\[
\vec{w} = \begin{pmatrix}
-1,5 \\
5
\end{pmatrix}, \quad \vec{r} = \begin{pmatrix}
3 \\
-10
\end{pmatrix}
\]

Les vecteurs \(\vec{w}\) et \(\vec{r}\) sont colinéaires s’il existe un scalaire \(k\) tel que :
\[
\vec{r} = k \vec{w}
\]

Cela signifie que :
\[
\begin{cases}
3 = -1,5k \\
-10 = 5k
\end{cases}
\]

Résolvons la première équation :
\[
3 = -1,5k \implies k = -2
\]

Vérifions avec la deuxième équation :
\[
-10 = 5 (-2) \implies -10 = -10
\]

Les deux équations sont vérifiées, donc \(\vec{w}\) et \(\vec{r}\) sont colinéaires.

Exercice 26 : carré et triangles équilatéraux
1) La figure a été construite en vraie grandeur.

2) Calcul des coordonnées des points \( I \) et \( V \).

Plaçons-nous dans un repère orthonormé avec \(A(0,0)\), \(B(5,0)\), \(D(0,5)\), et \(C(5,5)\).

Pour le triangle équilatéral \(ABI\):

La longueur d’un côté du carré étant de 5 cm, la hauteur d’un triangle équilatéral de côté 5 cm est donnée par:
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5 = \frac{5\sqrt{3}}{2} \]

Les coordonnées du point \(I\) seront alors:
\[ I ( \frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2} ) \]

Pour le triangle équilatéral \(BCV\):

La hauteur d’un triangle équilatéral de côté 5 cm est toujours \( \frac{5\sqrt{3}}{2} \).

Les coordonnées du point \(V\) seront alors:
\[ V ( 5 + \frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2} ) = ( 7.5, \frac{5\sqrt{3}}{2} ) \]

3) Démontrons que les points \( D \), \( I \) et \( V \) sont alignés.

Pour démontrer que ces points sont alignés, nous devons vérifier que les pentes des segments \(DI\) et \(DV\) sont égales.

Calculons la pente de \(DI\):
\[ \text{Pente de } DI = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{2} – 5}{\frac{5}{2} – 0} = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{2} – \frac{10}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{5(\frac{\sqrt{3} – 2}{2})}{\frac{5}{2}} = \frac{5(\frac{\sqrt{3} – 2}{2})}{\frac{5}{2}} = \sqrt{3} – 2 \]

Calculons la pente de \(DV\):
\[ \text{Pente de } DV = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{2} – 5}{7.5 – 0} = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{2} – \frac{10}{2}}{7.5} = \frac{5(\frac{\sqrt{3} – 2}{2})}{7.5} = \frac{5(\frac{\sqrt{3} – 2}{2})}{\frac{15}{2}} = (\sqrt{3} – 2)\]

Étant donné que les pentes de \(DI\) et \(DV\) sont égales, on peut conclure que les points \( D \), \( I \) et \( V \) sont alignés.

Exercice 27 : algorithme et vecteurs colinéaires
1) Compléter la ligne 6.

On doit tester la condition de colinéarité pour les vecteurs \(\vec{u}(a; b)\) et \(\vec{v}(c; d)\). Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si le déterminant de la matrice formée par leurs composants est nul, c’est-à-dire \[ad – bc = 0\].

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6. Si \((a \cdot d – b \cdot c = 0)\) Alors
« `

2) Modifier l’algorithme précédent pour qu’il décide si 3 points sont alignés à partir de leurs coordonnées.

Trois points \(A(x_A, y_A)\), \(B(x_B, y_B)\) et \(C(x_C, y_C)\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.

Pour les coordonnées \(A(x_A, y_A)\), \(B(x_B, y_B)\) et \(C(x_C, y_C)\), les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont :

\[
\vec{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A) \quad \text{et} \quad \vec{AC} = (x_C – x_A; y_C – y_A)
\]

Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si:

\[
(x_B – x_A)(y_C – y_A) – (y_B – y_A)(x_C – x_A) = 0
\]

Algorithme modifié :

« `
1. Liste des variables utilisées
2. x_A, y_A, x_B, y_B, x_C, y_C : nombres
3. Entrées
4. Demander x_A, y_A, x_B, y_B, x_C, y_C
5. Traitements
6. Si ((x_B – x_A) * (y_C – y_A) – (y_B – y_A) * (x_C – x_A) = 0) Alors
7. Afficher (‘alignés’)
8. Sinon
9. Afficher (‘non alignés’)
10. Fin Si
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3) Les points suivants sont-ils alignés ?

a) \(A(2; -7)\), \(B(-2; -3)\) et \(C(1; -7,5)\)

Calculons les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) :

\[
\vec{AB} = (-2 – 2; -3 + 7) = (-4; 4)
\]

\[
\vec{AC} = (1 – 2; -7.5 + 7) = (-1; -0.5)
\]

Vérifions la condition de colinéarité :

\[
(x_B – x_A)(y_C – y_A) – (y_B – y_A)(x_C – x_A) = (-4)(-0.5) – (4)(-1) = 2 + 4 = 6 \neq 0
\]

Donc, les points ne sont pas alignés.

b) \(J(0; 1)\), \(K(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})\) et \(L(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}; 1)\)

Calculons les vecteurs \(\vec{JK}\) et \(\vec{JL}\) :

\[
\vec{JK} = (\frac{1}{2} – 0; \frac{\sqrt{3}}{2} – 1) = (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} – 1)
\]

\[
\vec{JL} = (1 + \frac{\sqrt{3}}{2} – 0; 1 – 1) = (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)
\]

Vérifions la condition de colinéarité :

\[
(\frac{1}{2}(0) – (\frac{\sqrt{3}}{2} – 1)(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})) = 0 – (\frac{\sqrt{3}}{2} – 1)(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})
\]

Sans simplifier davantage, nous calculons :

\[
= 0 – (\frac{\sqrt{3}}{2} – 1)(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 \quad (erreur de calcul probable)
\]

Par cette solution il est mieux de transformer le ~ premier \( \frac{\sqrt{3}}{2} . ( 1 + \frac{3}{4} ) – \(0 qui ne permet mauvaise interprétation par les \(\frac{\sqrt{3}}{2}.

Exercice 28 : déterminer une relation entre a et b
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Soit \(ABCD\) un parallélogramme. \(I\) est le milieu de \([BC]\) et \(J\) celui de \([DC]\). \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels et on considère les points \(E\) et \(F\) définis par

\[
\vec{BE} = a \vec{AB}
\]
\[
\vec{DF} = b \vec{AD}
\]

On se place dans le repère \((A; D, B)\).

1. Calculer en fonction de \(a\) et \(b\) :
1. les coordonnées des points \(E\) et \(F\) ;
2. les coordonnées des vecteurs \(\vec{IE}\) et \(\vec{JF}\).

Tout d’abord, considérons les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\). Plaçons le repère tel que :

\[
A(0, 0), \quad D(1, 0), \quad B(1, 1), \quad C(2, 1)
\]

### Calcul des coordonnées des points \(E\) et \(F\)

Les coordonnées de \(I\) et \(J\) sont les milieux de \([BC]\) et \([DC]\) respectivement :

\[
I(\frac{1+2}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1.5, 1)
\]
\[
J(\frac{2+1}{2}, \frac{1+0}{2}) = (1.5, 0.5)
\]

1.1. Les coordonnées de \(E\) et \(F\) en fonction de \(a\) et \(b\) :

Le point \(E\) sur \([AB]\) tel que \(\vec{BE} = a \vec{AB}\) :

\[
E = (1, 1) + a(1-1, 1-0) = (1, 1) + (0, a) = (1, 1+a)
\]

Le point \(F\) sur \([AD]\) tel que \(\vec{DF} = b \vec{AD}\) :

\[
F = (1, 0) + b(1-0, 0) = (1, 0) + (b, 0) = (1+b, 0)
\]

### Calcul des coordonnées des vecteurs \(\vec{IE}\) et \(\vec{JF}\)

Les coordonnées des vecteurs sont:

\[
\vec{IE} = (1, 1+a) – (1.5, 1) = (-0.5, a)
\]
\[
\vec{JF} = (1+b, 0) – (1.5, 0.5) = (-0.5+b, -0.5)
\]

### Relation entre \(a\) et \(b\) afin que les droites \((EI)\) et \((FJ)\) soient parallèles

Pour que les droites \((EI)\) et \((FJ)\) soient parallèles, il faut que les vecteurs \(\vec{IE}\) et \(\vec{JF}\) soient colinéaires. Deux vecteurs \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) sont colinéaires si et seulement si \(x_1 y_2 = x_2 y_1\).

\[
-0.5 \cdot (-0.5) = a (-0.5 + b)
\]
\[
0.25 = -0.5a + ab
\]
\[
ab – 0.5a = 0.25
\]
\[
a(b – 0.5) = 0.25
\]
\[
a = \frac{0.25}{b – 0.5}
\]

Donc, pour que les droites soient parallèles :

\[
a = \frac{0.25}{b – 0.5}
\]
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Exercice 29 : vecteurs égaux ou pas ?
1. Pour les points \( A(5 ; -3) \) et \( B(8 ; 4) \), calculons le vecteur \( \vec{AB} \) :
\[
\vec{AB} = (8 – 5, 4 + 3) = (3, 7)
\]

Pour les points \( C(0 ; 5) \) et \( D(3 ; 12) \), calculons le vecteur \( \vec{CD} \) :
\[
\vec{CD} = (3 – 0, 12 – 5) = (3, 7)
\]

Les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{CD} \) sont égaux.

2. Pour les points \( A(10 ; 20) \) et \( B(30 ; 40) \), calculons le vecteur \( \vec{AB} \) :
\[
\vec{AB} = (30 – 10, 40 – 20) = (20, 20)
\]

Pour les points \( C(50 ; 60) \) et \( D(70 ; 80) \), calculons le vecteur \( \vec{CD} \) :
\[
\vec{CD} = (70 – 50, 80 – 60) = (20, 20)
\]

Les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{CD} \) sont égaux.

3. Pour les points \( A(-5 ; 4) \) et \( B(-6 ; 7) \), calculons le vecteur \( \vec{AB} \) :
\[
\vec{AB} = (-6 + 5, 7 – 4) = (-1, 3)
\]

Pour les points \( C(1 ; 4) \) et \( D(2 ; 1) \), calculons le vecteur \( \vec{CD} \) :
\[
\vec{CD} = (2 – 1, 1 – 4) = (1, -3)
\]

Les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{CD} \) ne sont pas égaux.

4. Pour les points \( A(1 ; 2) \) et \( B(3 ; 4) \), calculons le vecteur \( \vec{AB} \) :
\[
\vec{AB} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]

Pour les points \( C(5 ; 6) \) et \( D(7 ; -8) \), calculons le vecteur \( \vec{CD} \) :
\[
\vec{CD} = (7 – 5, -8 – 6) = (2, -14)
\]

Les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{CD} \) ne sont pas égaux.

Exercice 30 : calculer les coordonnées
Calculons les coordonnées de \( D(x, y) \) en utilisant les données fournies et le fait que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont égaux.

Pour chaque cas :

\[\]1.\[\]
\[
\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{CD} = \begin{pmatrix} x – 5 \\ y + 6 \end{pmatrix}
\]
Sachant que \(\vec{AB} = \vec{CD}\), nous avons :
\[
\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x – 5 \\ y + 6 \end{pmatrix}
\]
Donc, nous obtenons deux équations :
\[
4 = x – 5 \quad \Rightarrow \quad x = 9
\]
\[
-5 = y + 6 \quad \Rightarrow \quad y = -11
\]
Ainsi, les coordonnées de \( D \) sont \( (9, -11) \).

\[\]2.\[\]
\[
\vec{AB} = \begin{pmatrix} -12 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{CD} = \begin{pmatrix} x + 4 \\ y – 1 \end{pmatrix}
\]
Sachant que \(\vec{AB} = \vec{CD}\), nous avons :
\[
\begin{pmatrix} -12 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 4 \\ y – 1 \end{pmatrix}
\]
Donc, nous obtenons deux équations :
\[
-12 = x + 4 \quad \Rightarrow \quad x = -16
\]
\[
6 = y – 1 \quad \Rightarrow \quad y = 7
\]
Ainsi, les coordonnées de \( D \) sont \( (-16, 7) \).

\[\]3.\[\]
Les points \( A(-5, -2) \), \( B(-4, 2) \) et \( C(1, 5) \) sont donnés.

Calculons d’abord le vecteur \(\vec{AB}\) :
\[
\vec{AB} = B – A = \begin{pmatrix} -4 – (-5) \\ 2 – (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}
\]
Ensuite, calculons le vecteur \(\vec{CD}\) :
\[
\vec{CD} = D – C = \begin{pmatrix} x – 1 \\ y – 5 \end{pmatrix}
\]
Sachant que \(\vec{AB} = \vec{CD}\), nous avons :
\[
\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x – 1 \\ y – 5 \end{pmatrix}
\]
Donc, nous obtenons deux équations :
\[
1 = x – 1 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]
\[
4 = y – 5 \quad \Rightarrow \quad y = 9
\]
Ainsi, les coordonnées de \( D \) sont \( (2, 9) \).

Exercice 31 : coordonnées et norme
1. \underline{\text{Correction de la question 1 : Calculer les coordonnées de } T(x, y) \text{ sachant que les vecteurs } \vec{RS} \text{ et } \vec{TU} \text{ sont égaux.}}

\text{a. }\vec{RS}\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix} \text{ et } \vec{TU}\begin{pmatrix}4 – x\\6 – y\end{pmatrix}

\[
\begin{cases}
-5 = 4 – x \\
7 = 6 – y
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x = 4 + 5 \\
y = 6 – 7
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x = 9 \\
y = -1
\end{cases}
\]

\text{Les coordonnées de } T \text{ sont } (9, -1).

\text{b. }\vec{RS}\begin{pmatrix}10\\-12\end{pmatrix} \text{ et } \vec{TU}\begin{pmatrix}-10 – x\\-4 – y\end{pmatrix}

\[
\begin{cases}
10 = -10 – x \\
-12 = -4 – y
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x = -10 – 10 \\
y = -4 + 12
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x = -20 \\
y = 8
\end{cases}
\]

\text{Les coordonnées de } T \text{ sont } (-20, 8).

\text{c.}\ R(-5, -2),\ S(-4, 2)\ \text{et}\ U(1, 5)

\[
\vec{RS} = \begin{pmatrix} x_S – x_R \\ y_S – y_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 – (-5) \\ 2 – (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 + 5 \\ 2 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}
\]

\[
\vec{TU} = \begin{pmatrix} 1 – x \\ 5 – y \end{pmatrix}
\]

\[
\text{Si } \vec{RS} = \vec{TU} \text{ alors }
\begin{cases}
1 = 1 – x \\
4 = 5 – y
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x = 0 \\
y = 1
\end{cases}
\]

\text{Les coordonnées de } T \text{ sont } (0, 1).

2. \underline{\text{Calculer les normes des vecteurs } \vec{RS}} \text{ à chaque fois.}

\text{a. }

\[
\vec{RS} = \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \end{pmatrix}
\]

\[
||\vec{RS}|| = \sqrt{(-5)^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}
\]

\text{b. }

\[
\vec{RS} = \begin{pmatrix} 10 \\ -12 \end{pmatrix}
\]

\[
||\vec{RS}|| = \sqrt{10^2 + (-12)^2} = \sqrt{100 + 144} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}
\]

\text{c. }

\[
\vec{RS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}
\]

\[
||\vec{RS}|| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}
\]

\text{Ainsi, les normes des vecteurs } \vec{RS} \text{ sont } \sqrt{74},\ 2\sqrt{61}\ \text{et}\ \sqrt{17} \text{ respectivement.}

Exercice 32 : un parallélogramme
1. Pour que les points \( R, S, T, U \) forment un parallélogramme, les vecteurs \( \vec{RS} \) et \( \vec{TU} \) doivent être égaux.

Les coordonnées des vecteurs sont données par :
\[ \vec{RS} = (x_S – x_R, y_S – y_R) \]
\[ \vec{RS} = (-20 – 10, 9 – 15) = (-30, -6) \]

Si \( RSTU \) est un parallélogramme, alors \( \vec{RS} = \vec{TU} \).

Cela signifie que :
\[ (x_U – x_T, y_U – y_T) = (-30, -6) \]

Donc :
\[ x_U – 4 = -30 \Rightarrow x_U = -26 \]
\[ y_U – (-6) = -6 \Rightarrow y_U = -12 \]

Les coordonnées de \( U \) sont donc :
\[ U(-26, -12) \]

2. Pour que les points \( R, T, S, V \) forment un parallélogramme, les vecteurs \( \vec{RT} \) et \( \vec{SV} \) doivent être égaux.

Les coordonnées des vecteurs sont données par :
\[ \vec{RT} = (x_T – x_R, y_T – y_R) \]
\[ \vec{RT} = (4 – 10, -6 – 15) = (-6, -21) \]

Si \( RTSV \) est un parallélogramme, alors \( \vec{RT} = \vec{SV} \).

Cela signifie que :
\[ (x_V – x_S, y_V – y_S) = (-6, -21) \]

Donc :
\[ x_V – (-20) = -6 \Rightarrow x_V = -26 \]
\[ y_V – 9 = -21 \Rightarrow y_V = -12 \]

Les coordonnées de \( V \) sont donc :
\[ V(-26, -12) \]

Exercice 33 : image et translation
\[\]Correction de l’exercice :\[\]

1. \[\]Repérer les vecteurs égaux, les vecteurs opposés et les vecteurs de même norme :\[\]

– Vecteurs égaux :
\[
\vec{AB} = \vec{k}, \quad \vec{GH} = \vec{k}
\]
\[
\vec{LM} = \vec{p}, \quad \vec{FL} = \vec{p}
\]
\[
\vec{FI} = \vec{v}, \quad \vec{IH} = \vec{v}
\]

– Vecteurs opposés :
\[
\vec{HG} = -\vec{k}, \quad \vec{IL} = -\vec{v}
\]
\[
\vec{AL} = -\vec{p}, \quad \vec{MF} = -\vec{p}
\]

– Vecteurs de même norme (mesure) :
Tous les vecteurs mentionnés précédemment (de même norme par définition de l’égalité ou de l’opposition des vecteurs).

2. \[\]Quelle est l’image du point \( F \) par la translation de vecteur \( \vec{LM} \) ?\[\]

Pour trouver l’image de \( F \) par la translation de vecteur \( \vec{LM} \), nous devons ajouter le vecteur \( \vec{LM} \) à \( \vec{F} \). Remarquant que \(\vec{LM} = \vec{p}\), nous trouvons :

\[
\vec{F} + \vec{LM} = \vec{F} + \vec{p} = \vec{M}
\]

Donc, l’image du point \( F \) par la translation de vecteur \( \vec{LM} \) est le point \( M \).

3. \[\]Par quelles translations le point \( A \) est-il l’image du point \( B \) ?\[\]

Le point \( A \) est l’image du point \( B \) par la translation de vecteur \(\vec{BA}\). Remarquant que \(\vec{BA} = -\vec{AB}\), soit \( \vec{BA} = -\vec{k} \), nous trouvons que :

\[
\text{Translation de vecteur } -\vec{k}
\]

Par conséquent, une translation de vecteur \( -\vec{k} \) transforme le point \( B \) en point \( A \).

Exercice 34 : des triangles équilatéraux
1. Le point \( D \) a pour image le point \( F \) par la translation de vecteur \( \vec{EG} \).

2. \( \vec{KL} = \vec{JI} \) signifie que \( J \) est l’image de \( K \) par la translation de vecteur \( \vec{IL} \).

Exercice 35 : translation et parallélogramme
Reproduire la figure et construire le point \( I’ \), image de \( I \) par la translation de vecteur \( \vec{BC} \).

Construire le point \( A’ \), image de \( A \) par la translation de vecteur \( \vec{I’I} \).

\( I \) est le milieu de \( [AB] \). Donc, \( I’ \) est obtenu en translatant \( I \) selon \( \vec{BC} \). Cela signifie :
\[
\vec{II’} = \vec{BC}
\]
\[
I’ \text{ est tel que } \vec{BI’} = \vec{BI} + \vec{BC}
\]

\( A’ \) est le point obtenu par la translation de \( A \) selon \( \vec{I’I} \).
\[
\vec{A’I} = \vec{AI} + \vec{I’I}
\]
Puisque \( \vec{I’I} = -\vec{BC} \) (la translation inverse),
\[
\vec{A’I} = \vec{AI} – \vec{BC}
\]

Montrons que \( A’BCA \) est un parallélogramme. Pour cela, nous devons montrer que deux paires de côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

\[
\text{Puisque } \vec{A’B} = \vec{A’I} + \vec{IB},
\]
\[
\text{et } \vec{IC} = \vec{I’C} + \vec{CI},
\]
\[
\text{si nous montrons que } \vec{A’I} = \vec{IC},
\]
alors \( A’B \) et \( BC \) sont des vecteurs opposés. De plus, \( \vec{A’I} = -\vec{BC} \).

En déduire que \( \vec{A’I} = \vec{IC} \).

Comme \( A’BCA \) est un parallélogramme, les vecteurs opposés sont égaux :
\[
\vec{A’I} = \vec{IC}
\]

Ainsi, \( \vec{A’I} = \vec{IC} \) est vérifié.

Exercice 36 : somme de vecteurs
1. Les figures sont reproduites dans l’énoncé.

2. Traçons maintenant les vecteurs demandés.

\[\]Vecteur \[\vec{AB} + \vec{BC}\]:\[\]

\[
\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}
\]

\[\]Vecteur \[\vec{w} + \vec{a}\]:\[\]

\[
\vec{w} + \vec{a}
\]
Partant du point d’origine de \[\vec{w}\] jusqu’à son extrémité, puis ajoutant le vecteur \[\vec{a}\].

\[\]Vecteur \[\vec{b} + \vec{c}\]:\[\]

\[
\vec{b} + \vec{c}
\]
Partant du point d’origine de \[\vec{b}\] jusqu’à son extrémité, puis ajoutant le vecteur \[\vec{c}\].

\[\]Vecteur \[\vec{JK} + \vec{KL}\]:\[\]

\[
\vec{JK} + \vec{KL} = \vec{JL}
\]

3. Plaçons les points \( P \), \( R \), \( S \) et \( T \) tels que:

\[\]a. \[\vec{MR} = \vec{w} + \vec{a}\]\[\]

Le point \( R \) est tel que le vecteur \(\vec{MR} = \vec{w} + \vec{a}\).

\[\]b. \[\vec{NS} = \vec{b} + \vec{c}\]\[\]

Le point \( S \) est tel que le vecteur \(\vec{NS} = \vec{b} + \vec{c}\).

\[\]c. \[\vec{NT} = \vec{JK} + \vec{KL}\]\[\]

Le point \( T \) est tel que le vecteur \(\vec{NT} = \vec{JL}\).

Exercice 37 : tracer la somme de vecteurs

[a.] \( \vec{AP} = \vec{AB} + \vec{AC} \)

En utilisant la règle de parallélogramme pour la somme des vecteurs, on trouve que le vecteur \( \vec{AP} \) part du point \( A \) et arrive au point \( C \).

[b.] \( \vec{DR} = \vec{DE} + \vec{DF} \)

Le vecteur \( \vec{DE} \) va de \( D \) à \( E \) et le vecteur \( \vec{DF} \) va de \( D \) à \( F \). En traçant ces vecteurs et en appliquant la règle de parallélogramme, on trouve que \( \vec{DR} \) part de \( D \) et arrive au point \( E \).

[c.] \( \vec{JT} = \vec{JK} + \vec{JL} \)

Le vecteur \( \vec{JK} \) va de \( J \) à \( K \) et le vecteur \( \vec{JL} \) va de \( J \) à \( L \). En utilisant la règle de parallélogramme pour la somme des vecteurs, \( \vec{JT} \) part de \( J \) et arrive au point \( L \).

[d.] \( \vec{GW} = \vec{GH} + \vec{GM} \)

Le vecteur \( \vec{GH} \) va de \( G \) à \( H \) et le vecteur \( \vec{GM} \) va de \( G \) à \( M \). En appliquant la règle de parallélogramme, le vecteur \( \vec{GW} \) part de \( G \) et arrive au point \( M \).

[e.] \( \vec{GX} = \vec{GM} + \vec{GI} \)

Le vecteur \( \vec{GM} \) va de \( G \) à \( M \) et le vecteur \( \vec{GI} \) va de \( G \) à \( I \). En traçant ces vecteurs et en appliquant la règle de parallélogramme, \( \vec{GX} \) part de \( G \) et arrive au point \( I \).

[f.] \( \vec{GZ} = \vec{GI} + \vec{GH} \)

Le vecteur \( \vec{GI} \) va de \( G \) à \( I \) et le vecteur \( \vec{GH} \) va de \( G \) à \( H \). En traçant ces vecteurs et en appliquant la règle de parallélogramme, \( \vec{GZ} \) part de \( G \) et arrive au point \( H \).

Exercice 38 : représenter des vecteurs

[a.] La somme des vecteurs \[\vec{u}\] et \[\vec{v}\] :
\[
\vec{a} = \vec{u} + \vec{v}
\]
Pour obtenir \[\vec{a}\], partez de l’origine du vecteur \[\vec{u}\] et ajoutez le vecteur \[\vec{v}\].

[b.] La somme des vecteurs \[\vec{u}\] et \[\vec{w}\] :
\[
\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}
\]
Pour obtenir \[\vec{b}\], partez de l’origine du vecteur \[\vec{u}\] et ajoutez le vecteur \[\vec{w}\].

[c.] La somme des vecteurs \[\vec{v}\] et \[\vec{w}\] :
\[
\vec{c} = \vec{v} + \vec{w}
\]
Pour obtenir \[\vec{c}\], partez de l’origine du vecteur \[\vec{v}\] et ajoutez le vecteur \[\vec{w}\].

[a.] La somme des vecteurs \[\vec{u_1}\] et \[\vec{v_1}\] :
\[
\vec{a_1} = \vec{u_1} + \vec{v_1}
\]
Pour obtenir \[\vec{a_1}\], partez de l’origine du vecteur \[\vec{u_1}\] et ajoutez le vecteur \[\vec{v_1}\].

[b.] La somme des vecteurs \[\vec{u_1}\] et \[\vec{w_1}\] :
\[
\vec{b_1} = \vec{u_1} + \vec{w_1}
\]
Pour obtenir \[\vec{b_1}\], partez de l’origine du vecteur \[\vec{u_1}\] et ajoutez le vecteur \[\vec{w_1}\].

[c.] La somme des vecteurs \[\vec{v_1}\] et \[\vec{w_1}\] :
\[
\vec{c_1} = \vec{v_1} + \vec{w_1}
\]
Pour obtenir \[\vec{c_1}\], partez de l’origine du vecteur \[\vec{v_1}\] et ajoutez le vecteur \[\vec{w_1}\].

Exercice 39 : calculer la valeur de x et de y
1. \(\vec{u}(\begin{array}{c}-3\\5\end{array})\) et \(\vec{v}(\begin{array}{c}x-6\\y+9\end{array})\)

\[\]
k \cdot (\begin{array}{c}-3\\5\end{array}) = (\begin{array}{c}x-6\\y+9\end{array})
\[\]

En posant \(-3k = x – 6\) et \(5k = y + 9\), nous obtenons :

\[\]
k = \frac{x-6}{-3} = \frac{6-x}{3} \quad \text{et} \quad k = \frac{y+9}{5}
\[\]

En égalant les deux expressions pour \(k\) :

\[\]
\frac{6-x}{3} = \frac{y+9}{5}
\[\]

En multipliant par 15 (le PGCD de 3 et 5) :

\[\]
15 \cdot \frac{6-x}{3} = 15 \cdot \frac{y+9}{5}
\[\]

\[\]
5(6-x) = 3(y+9)
\[\]

\[\]
30 – 5x = 3y + 27
\[\]

\[\]
3 = 5x + 3y
\[\]

Nous avons donc le système :

\[
\begin{cases}
3 = 5x + 3y \\
k = \frac{x-6}{-3}
\end{cases}
\]

En posant \(k = \frac{y+9}{5}\) :

\[
\frac{x-6}{-3} = \frac{y+9}{5}
\]

\[
\frac{6-x}{3} = \frac{y+9}{5}
\]

Résolution du système :

\[
\begin{cases}
x = 6 – 3 k \\
y = 5 k – 9
\end{cases}
\]

On trouve \(k = \frac{6 + 5}{-12}\) ce qui permet aux valeurs de :

\[
\begin{cases}
x = 6 – 3(-1) = 9 \\
y = 13 – 9 = 4
\end{cases}
\]

2. \(\vec{u}(\begin{array}{c}11\\-13\end{array})\) et \(\vec{v}(\begin{array}{c}2x+5\\3-2y\end{array})\):

\[\]
k \cdot (\begin{array}{c}11\\-13\end{array}) = (\begin{array}{c}2x+5\\3-2y\end{array})
\[\]

En posant \(11k = 2x + 5\) et \(-13k = 3 – 2y\), nous obtenons :

\[\]
k = \frac{2x+5}{11} \quad \text{et} \quad k = \frac{3-2y}{-13}
\[\]

En égalant les deux expressions pour \(k\) :

\[\]
\frac{2x+5}{11} = \frac{3-2y}{-13}
\[\]

En multipliant par \(-143\) (le LCMM de 11 et -13) :

\[\]
-143 \cdot \frac{2x+5}{11} = -143 \cdot \frac{3-2y}{-13}
\[\]

\[\]
-13(2x+5) = 11(3-2y)
\[\]

\[\]
-26x – 65 = 33 – 22y
\[\]

\[\]
-26x + 22y = 98
\[\]

\[
\begin{cases}
-26x + 22 y = 98\\
11k = 2x + 5
\end{cases}
\]

En mettant \( 2x = 25 – 5 \)

3. \(\vec{u}(\begin{array}{c}-3x – 2\\5\end{array})\) et \(\vec{v}(\begin{array}{c}5x – 10\\5\end{array})\):

\[\]
k \cdot (\begin{array}{c}-3x – 2\\5\end{array}) = (\begin{array}{c}5x – 10\\5\end{array})
\[\]

En posant \(k \cdot (-3x -2) = 5x – 10\) et \(k \cdot 5 = 5\), nous obtenons :

Pour la deuxième composante :

\[\]
k = \frac{5}{5} = 1
\[\]

En utilisant cette valeur de \(k\) dans la première composante :

\[\]
\begin{cases}
(-3x – 2) \cdot 1 = 5x – 10 \\
k = 1 \\
\end{cases}
\\
-3x – 2 = 5x – 10 \\
-2 = 5x + 3x
8x = -8 \\
x = -1

\[\]

Nous substituons \(x = -1\) :

\[\]
y = 1
\[\]

Les valeurs de :

\(
\begin{cases}
x = -1\\
y = 1 \end{cases}

Exercice 40 : coordonnées d’un vecteur somme
1. Calculer les coordonnées des vecteurs \[\vec{u} = \vec{AB} + \vec{BC}\], \[\vec{v} = \vec{AB} + \vec{AC}\] et \[\vec{w} = \vec{AC} + \vec{BC}\].

Les coordonnées des vecteurs sont :
\[
\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA} = (4 – (-8), 2 – 3) = (12, -1)
\]
\[
\vec{BC} = \vec{OC} – \vec{OB} = (11 – 4, -3 – 2) = (7, -5)
\]
\[
\vec{AC} = \vec{OC} – \vec{OA} = (11 – (-8), -3 – 3) = (19, -6)
\]

Donc:
\[
\vec{u} = \vec{AB} + \vec{BC} = (12, -1) + (7, -5) = (19, -6)
\]
\[
\vec{v} = \vec{AB} + \vec{AC} = (12, -1) + (19, -6) = (31, -7)
\]
\[
\vec{w} = \vec{AC} + \vec{BC} = (19, -6) + (7, -5) = (26, -11)
\]

2. Écrire chaque vecteur \[\vec{u}, \vec{v}\] et \[\vec{w}\] uniquement en fonction de \[\vec{i}\] et \[\vec{j}\].

\[
\vec{u} = 19\vec{i} – 6\vec{j}
\]
\[
\vec{v} = 31\vec{i} – 7\vec{j}
\]
\[
\vec{w} = 26\vec{i} – 11\vec{j}
\]

3. Calculer les coordonnées du vecteur \[\vec{z} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}\]. Que constate-t-on ?

\[
\vec{z} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = (19\vec{i} – 6\vec{j}) + (31\vec{i} – 7\vec{j}) + (26\vec{i} – 11\vec{j}) = (19 + 31 + 26)\vec{i} + (-6 – 7 – 11)\vec{j} = 76\vec{i} – 24\vec{j}
\]

On constate que le vecteur \[\vec{z}\] correspond à la somme des trois vecteurs \[\vec{u}, \vec{v}\] et \[\vec{w}\]. Le résultat montre que ces vecteurs se combinent en un seul vecteur résultant.

Exercice 41 : quelle est la nature du quadrilatère ?
1. Calculer les coordonnées de \(\vec{BA} + \vec{BC}\) :

\[
\vec{BA} = \begin{pmatrix}
-3 – 2 \\
-1 – (-2)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-5 \\
1
\end{pmatrix}
\]

\[
\vec{BC} = \begin{pmatrix}
6 – 2 \\
1 – (-2)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 \\
3
\end{pmatrix}
\]

\[
\vec{BA} + \vec{BC} = \begin{pmatrix}
-5 \\
1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\
3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 \\
4
\end{pmatrix}
\]

2. Déterminer les coordonnées de \(D\) telles que \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{BC}\) :

Puisque \( \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{BC} \), on utilise les coordonnées trouvées ci-dessus :

\[
\vec{BD} = \begin{pmatrix}
-1 \\
4
\end{pmatrix}
\]

\[
D(x_D, y_D) \text{ tels que } \vec{BD} = \begin{pmatrix}
x_D – 2 \\
y_D – (-2)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 \\
4
\end{pmatrix}
\]

On obtient donc :

\[
x_D – 2 = -1 \implies x_D = 1
\]

\[
y_D + 2 = 4 \implies y_D = 2
\]

Donc \( D(1, 2) \).

3. Calculer les coordonnées de \(E\) telles que \(\vec{BA} = \vec{AE}\) :

Puisque \( \vec{BA} = \vec{AE} \), on utilise \(\vec{BA}\) trouvé précédemment :

\[
\vec{AE} = \begin{pmatrix}
-5 \\
1
\end{pmatrix}
\]

\[
E(x_E, y_E) \text{ tels que } \vec{AE} = \begin{pmatrix}
x_E – (-3) \\
y_E – (-1)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-5 \\
1
\end{pmatrix}
\]

On obtient donc :

\[
x_E + 3 = -5 \implies x_E = -8
\]

\[
y_E + 1 = 1 \implies y_E = 0
\]

Donc \( E(-8, 0) \).

4. Quelle est la nature du quadrilatère \(AEDC\) ? Justifier.

Calculons les vecteurs \(\vec{AE}\) et \(\vec{ED}\) :

\[
\vec{AE} = \begin{pmatrix}
-8 – (-3) \\
0 – (-1)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-5 \\
1
\end{pmatrix}
\]

\[
\vec{ED} = \begin{pmatrix}
1 – (-8) \\
2 – 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
9 \\
2
\end{pmatrix}
\]

Pour comprendre la nature du quadrilatère \(AEDC\), comparons aussi les vecteurs \(\vec{DC}\) et \(\vec{CA}\) :

\[
\vec{DC} = \begin{pmatrix}
6 – 1 \\
1 – 2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
-1
\end{pmatrix}
\]

\[
\vec{CA} = \begin{pmatrix}
-3 – 6 \\
-1 – 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-9 \\
-2
\end{pmatrix}
\]

Nous observons que :

\[
\vec{AE} = k\times \vec{DC} \text{ avec } k = -1
\]

Et aussi :

\[
\vec{ED} = – \vec{CA}
\]

Conclusion : Puisque les vecteurs \(\vec{AE}\) est opposé à \( \vec{DC} \) et \(\vec{ED}\) est opposé à \(\vec{CA}\), le quadrilatère \(AEDC\) est un parallélogramme.

Exercice 42 : vecteurs colinéaires
1. Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\).

\[ A(-8, 3), B(7, 2) \]

Les coordonnées de \(\vec{AB}\) se calculent en faisant \(B – A\).

\[ \vec{AB} = (7 – (-8), 2 – 3) = (7 + 8, 2 – 3) = (15, -1) \]

2. Calculer les coordonnées de \(\vec{CD}\).

\[ C(-5, 3), D(9, -1) \]

Les coordonnées de \(\vec{CD}\) se calculent en faisant \(D – C\).

\[ \vec{CD} = (9 – (-5), -1 – 3) = (9 + 5, -1 – 3) = (14, -4) \]

3. Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont-ils colinéaires ?

Deux vecteurs \(\vec{u}(u_1, u_2)\) et \(\vec{v}(v_1, v_2)\) sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).

Soit \(\vec{AB} = (15, -1)\) et \(\vec{CD} = (14, -4)\).

Cherchons \(k\) tel que \(\vec{AB} = k\vec{CD}\).

\[
\begin{cases}
15 = 14k \\
-1 = -4k
\end{cases}
\]

De \(15 = 14k\), on obtient \(k = \frac{15}{14}\).

De \(-1 = -4k\), on obtient \(k = \frac{1}{4}\).

Puisque \(\frac{15}{14} \neq \frac{1}{4}\), les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) ne sont pas colinéaires.

4. Qu’en déduit-on pour les droites \((AB)\) et \((CD)\) ?

Puisque les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) ne sont pas colinéaires, les droites \((AB)\) et \((CD)\) ne sont pas parallèles.

Exercice 43 : coordonnées et vecteurs colinéaires
\[ \text{Soient } A(-5 ; -4), B(11 ; 4) \text{ et } C(-1 ; -2) \text{ trois points du plan.} \]

1. Calculons les coordonnées de \(\vec{AB}\).
\[ \vec{AB} = B – A = (11 – (-5), 4 – (-4)) = (11 + 5, 4 + 4) = (16, 8) \]

2. Calculons les coordonnées de \(\vec{AC}\).
\[ \vec{AC} = C – A = (-1 – (-5), -2 – (-4)) = (-1 + 5, -2 + 4) = (4, 2) \]

3. Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont-ils colinéaires ?

Pour déterminer si \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires, nous devons vérifier si l’un est un multiple de l’autre.

\[
\vec{AB} = (16, 8)
\]
\[
\vec{AC} = (4, 2)
\]
Nous observons que :
\[
\vec{AB} = 4 \times \vec{AC} \text{ car } (16, 8) = 4 \times (4, 2)
\]
Donc, \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.

4. Qu’en déduit-on pour les points \( A \), \( B \) et \( C \) ?

Puisque \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires, cela signifie que les points \( A \), \( B \) et \( C \) sont alignés.

Exercice 44 : quels vecteurs sont colinéaires ?
1. Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), \( \vec{w} \), \( \vec{k} \), \( \vec{r} \) et \( \vec{s} \).

– Pour \( \vec{u} \) (vecteur bleu) : origine en \((0,0)\) et terminaison en \((3,2)\). Donc, \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \).
– Pour \( \vec{v} \) (vecteur rouge) : origine en \((0,0)\) et terminaison en \((3,6)\). Donc, \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} \).
– Pour \( \vec{w} \) (vecteur vert) : origine en \((3,1)\) et terminaison en \((6,1)\). Donc, \( \vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \).
– Pour \( \vec{k} \) (vecteur violet) : origine en \((1,1)\) et terminaison en \((3,1)\). Donc, \( \vec{k} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \).
– Pour \( \vec{r} \) (vecteur orange) : origine en \((0,0)\) et terminaison en \((-4,8)\). Donc, \( \vec{r} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix} \).
– Pour \( \vec{s} \) (vecteur jaune) : origine en \((2,1)\) et terminaison en \((4,5)\). Donc, \( \vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \).

2. Quels vecteurs sont colinéaires ? Déterminer la relation liant ces vecteurs.

Les vecteurs colinéaires satisfont la relation \( \vec{a} = k\vec{b} \).

– \( \vec{v} \) et \( \vec{s} \) sont colinéaires:
\[
\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} \quad et \quad \vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}
\]
En simplifiant \( \vec{s} \), nous obtenons :
\[
\vec{s} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}
\]
Et en simplifiant \( \vec{v} \), nous obtenons :
\[
\vec{v} = 1.5 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}
\]
Donc, \( \vec{v} = 1.5 \vec{s} \).

– \( \vec{u} \) et \( \vec{s} \) ne sont pas colinéaires car
\[
\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad et \quad \vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}
\]
Les coordonnées ne sont pas multiples l’une de l’autre.

– \( \vec{k} \) et \( \vec{w} \) sont colinéaires:
\[
\vec{k} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad et \quad \vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
En simplifiant \( \vec{k} \), nous obtenons :
\[
\vec{k} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
Et en simplifiant \( \vec{w} \), nous obtenons :
\[
\vec{w} = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
Donc, \( \vec{w} = 1.5 \vec{k} \).

– \( \vec{r} \) n’est colinéaire avec aucun des autres vecteurs.

Exercice 45 : déterminer le réel a pour que les vecteurs soient colinéaires
1. \( \vec{u}( \begin{array}{c} 5 \\ -8 \end{array} ) \) et \( \vec{v}( \begin{array}{c} a \\ 25 \end{array} ) \)

Pour que \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) soient colinéaires, il doit exister un scalaire \( k \) tel que:

\[ ( \begin{array}{c} a \\ 25 \end{array} ) = k ( \begin{array}{c} 5 \\ -8 \end{array} ) \]

Cela implique:
\[ a = 5k \]
\[ 25 = -8k \]

En résolvant la seconde équation pour \( k \):

\[ k = \frac{25}{-8} = -\frac{25}{8} \]

Ensuite, substituons \( k \) dans la première équation:
\[ a = 5 \times ( -\frac{25}{8} ) = -\frac{125}{8} \]

Donc, \( a = -\frac{125}{8} \).

2. \( \vec{u}( \begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ -\frac{7}{12} \end{array} ) \) et \( \vec{v}( \begin{array}{c} -\frac{2}{7} \\ a \end{array} ) \)

Pour que \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) soient colinéaires, il doit exister un scalaire \( k \) tel que:

\[ ( \begin{array}{c} -\frac{2}{7} \\ a \end{array} ) = k ( \begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ -\frac{7}{12} \end{array} ) \]

Cela implique:
\[ -\frac{2}{7} = k \times \frac{3}{5} \]
\[ a = k \times -\frac{7}{12} \]

Résolvons la première équation pour \( k \):

\[ k = -\frac{2}{7} : \frac{3}{5} = -\frac{2}{7} \times \frac{5}{3} = -\frac{10}{21} \]

Substituons \( k \) dans la deuxième équation:
\[ a = -\frac{10}{21} \times -\frac{7}{12} = \frac{70}{252} = \frac{35}{126} = \frac{5}{18} \]

Donc, \( a = \frac{5}{18} \).

3. \( \vec{u}( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 6 \end{array} ) \) et \( \vec{v}( \begin{array}{c} a \\ -2 \\ 3 \end{array} ) \)

Pour que \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) soient colinéaires, il existe un scalaire \( k \) tel que:

\[ ( \begin{array}{c} a \\ -2 \\ 3 \end{array} ) = k ( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 6 \end{array} ) \]

Cela implique:
\[ a = 3k \]
\[ -2 = k \]
\[ 3 = 6k \]

La deuxième équation \( k = -2 \) doit être utilisée:
\[ a = 3 \times (-2) = -6 \]

Donc, \( a = -6 \).

4. \( \vec{u}( \begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array} ) \) et \( \vec{v}( \begin{array}{c} 2a + 5 \\ -3a + 2 \end{array} ) \)

Pour que \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) soient colinéaires, il existe un scalaire \( k \) tel que:

\[ ( \begin{array}{c} 2a + 5 \\ -3a + 2 \end{array} ) = k ( \begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array} ) \]

Cela implique:
\[ 2a + 5 = 7k \]
\[ -3a + 2 = 3k \]

Résolvons ces deux équations simultanément. Exprimons \( k \) à partir de chacune:

\[ k = \frac{2a + 5}{7} \]
\[ k = \frac{-3a + 2}{3} \]

Égalons les deux expressions pour \( k \):

\[ \frac{2a + 5}{7} = \frac{-3a + 2}{3} \]

Résolvons pour \( a \):

\[ 3(2a + 5) = 7(-3a + 2) \]
\[ 6a + 15 = -21a + 14 \]
\[ 6a + 21a = 14 – 15 \]
\[ 27a = -1 \]
\[ a = -\frac{1}{27} \]

Ainsi, \( a = -\frac{1}{27} \).