Vecteurs : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
Correction de l’exercice:

Soit $ABC$ un triangle. $I$ est un point du côté $[AB]$ distinct de $B$ et $J$ un point du côté $[BC]$.

a) Construire le point $D$ tel que $\vec{JD} = \vec{BI}$.

Pour construire le point $D$, on utilise la relation vectorielle donnée :
$\vec{JD}\,=\,\vec{BI}$ ,
ce qui signifie que $D$ est le point d’extrémité du vecteur $\vec{BI}$ appliqué au point $J$.

b) Les points $E$ et $F$ sont les symétriques respectifs des points $J$ et $D$ par rapport au point $C$. Démontrer que le quadrilatère $BIEF$ est un parallélogramme.

Les symétriques des points $J$ et $D$ par rapport au point $C$ sont définis par :
$\vec{CJ}\,=\,\vec{CE}$
et
$\vec{CD}\,=\,\vec{CF}$

Puisque $E$ et $F$ sont les symétriques respectifs de $J$ et $D$ par rapport à $C$, on peut écrire :
$\vec{CE}\,=\,-\vec{CJ}$
et
$\vec{CF}\,=\,-\vec{CD}$

Démontrons maintenant que le quadrilatère $BIEF$ est un parallélogramme:

Pour montrer que $BIEF$ est un parallélogramme, nous devons démontrer que les diagonales se coupent en leur milieu.

Nous savons que $\vec{JD} = \vec{BI}$.

Utilisons la propriété des vecteurs et considérons les diagonales $\vec{BF}$ et $\vec{EI}$:
$\vec{BF}\,=\,\vec{BC}\,%2B\,\vec{CF}\,=\,\vec{BC}\,-\,\vec{CD}$
et
$\vec{EI}\,=\,\vec{EC}\,%2B\,\vec{CI}\,=\,-\vec{CJ}\,%2B\,\vec{CI}$

Sachant que :
$\vec{CD}\,=\,\vec{CB}\,%2B\,\vec{BI}\,-\,\vec{JD}\,=\,\vec{CB}$ ,
on a donc:
$\vec{BF}\,=\,\vec{BC}\,-\,\vec{CD}\,=\,\vec{BC}\,-\,\vec{CB}\,=\,\vec{CJ}\,%2B\,\vec{JD}\,=\,2\,\vec{CJ}$

Et pour $\vec{EI}$, en utilisant les symétries:
$\vec{EI}\,=\,\vec{EC}\,%2B\,\vec{CI}\,=\,-\vec{CJ}\,%2B\,\vec{CI}\,=\,2\vec{CI}$

Ainsi, comme $\vec{BF}$ et $\vec{EI}$ sont égaux (modulus en termes de vecteurs et leur direction):
Les diagonales du quadrilatère $BIEF$ se coupent en leur milieu, ce qui prouve que $BIEF$ est un parallélogramme. $\Box$

Exercice 2 : démontrer que des droites sont parallèles
a) Plaçons les points , , et tels que $\vec{EA}\,=\,\vec{AB}\,=\,\vec{BD}$ et que les segments et ont le même milieu .

b) Démontrons que $\vec{AG}\,=\,\vec{EF}$ .

Puisque , , et sont définis par $\vec{EA}\,=\,\vec{AB}\,=\,\vec{BD}$ , nous pouvons écrire :

$\vec{EA}\,=\,\vec{AB}\,=\,\vec{BD}.$

Sachant que $\vec{BD}\,=\,\vec{BA}\,%2B\,\vec{AD}$ et $\vec{BA}\,=\,-\vec{AB}$ , nous en déduisons :

$\vec{BD}\,=\,-\vec{AB}\,%2B\,\vec{AD}.$

Or, étant donné $\vec{BD}$ parallèle à $\vec{BA}$ , nous avons :

$\vec{AD}\,=\,2\vec{AB}.$

Pour $\vec{EF}$ , comme et ont le même milieu , posons :

$\vec{AC}\,=\,\alpha\,\vec{AG}\,\quad\,et\,\quad\,\vec{BC}\,=\,\beta\,\vec{BF}$

avec $\alpha\,=\,\beta$ . Donc, est le milieu de et de .

Ainsi, nous avons :

$\vec{AG}\,=\,\vec{AC}\,%2B\,\vec{CG}\,=\,\vec{EF}.$

Donc, $\vec{AG}\,=\,\vec{EF}.$

De cela, nous pouvons dire que les droites (AG) et (EF) sont parallèles.

c) Démontrons que les droites (BF) et (DG) sont parallèles.

Puisque $\vec{BC}$ et $\vec{DG}$ sont définis comme ayant des segments égaux, si les points sont correctement alignés, nous avons

$\vec{BF}\,=\,\vec{DG}.$

Ainsi, les vecteurs étant égaux, les droites (BF) et (DG) sont parallèles.

d) Démontrons que les droites (AF) et (BG) sont parallèles.

De manière similaire, considérons les segments égaux :

$\vec{AF}\,=\,\vec{BG}$

car $\vec{AF}\,=\,\vec{AC}\,%2B\,\vec{CF}$ et $\vec{BG}\,=\,\vec{BC}\,%2B\,\vec{CG}$ .

Ainsi, les vecteurs étant égaux, les droites (AF) et (BG) sont parallèles.

Exercice 3 : vecteurs égaux dans un parallélogramme
Étant donné que est un parallélogramme, on a :

$\vec{AB}\,=\,\vec{DC}$ et $\vec{AD}\,=\,\vec{BC}$ .

a) Citons des vecteurs égaux de cette figure :

Puisque I est le symétrique de B par rapport à A, alors $\vec{AI}\,=\,\vec{AB}$ .

De même, puisque J est le symétrique de D par rapport à C, alors $\vec{CJ}\,=\,\vec{CD}$ .

Ainsi, nous avons :
$\vec{AI}\,=\,\vec{AB}$
$\vec{CJ}\,=\,\vec{CD}$

Or, $\vec{AB}\,=\,\vec{DC}$ , nous avons donc aussi :
$\vec{AI}\,=\,\vec{DC}$

b) Démontrons que est un parallélogramme :

Pour soit un parallélogramme, il faut montrer que les vecteurs opposés sont égaux :

$\vec{AI}\,=\,\vec{CJ}$ .

Sachant que :
$\vec{AI}\,=\,\vec{AB}\,=\,\vec{DC}$
et
$\vec{CJ}\,=\,\vec{CD}\,=\,-\vec{DC}$

Comme $\vec{DC}\,=\,-\,\vec{CD}$ , donc :
$\vec{AI}\,=\,\vec{CJ}$

Les vecteurs opposés $\vec{AI}$ et $\vec{CJ}$ sont égaux, ce qui signifie que est bien un parallélogramme.

Exercice 4 : les coordonnées du vecteur
Les coordonnées du vecteur $\vec{AD}$ peuvent être obtenues en soustrayant les coordonnées des points et .

Les coordonnées de sont $(-2%2C\,3)$ et les coordonnées de sont $(3%2C\,2)$ .

Les coordonnées du vecteur $\vec{AD}$ sont donc :

$\vec{AD}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0Ax_D\,-\,x_A\,\\%0D%0Ay_D\,-\,y_A%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A3\,-\,(-2)\,\\%0D%0A2\,-\,3%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A3\,%2B\,2\,\\%0D%0A2\,-\,3%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A5\,\\%0D%0A-1%0D%0A\end{pmatrix}$

La réponse correcte est donc $(5%2C\,-1)$ , soit la réponse a.

Exercice 5 : calculer les coordonnées du vecteur
Les coordonnées du vecteur $\vec{BA}$ peuvent être calculées en soustrayant les coordonnées du point de celles du point :

$\vec{BA}\,=\,A\,-\,B$

Les coordonnées du point sont $(3%2C\,-2)$ , et celles du point sont $(2%2C\,4)$ .

$\vec{BA}\,=\,(3\,-\,2%2C\,-2\,-\,4)\,=\,(1%2C\,-6)$

Les coordonnées du vecteur $\vec{BA}$ sont donc $(1%2C\,-6)$ .

La réponse correcte est c.

Exercice 6 : les vecteurs colinéaires
1. a. Les vecteurs $\vec{AD}$ et $\vec{GH}$ ne sont pas colinéaires car ils ne correspondent pas à des directions parallèles dans le schéma.

2. b. Les vecteurs $\vec{EF}$ et $\vec{KL}$ semblent colinéaires car ils sont tous les deux orientés verticalement vers le bas.

3. c. Les vecteurs $\vec{AD}$ et $\vec{RD}$ ne sont pas colinéaires car ils ne pointent pas dans la même direction.

4. d. Les vecteurs $\vec{MN}$ et $\vec{GH}$ ne sont pas colinéaires car ils ne correspondent pas à des directions parallèles dans le schéma.

Exercice 7 : conditions pour des vecteurs colinéaires
Pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il faut que le déterminant formé par leurs coordonnées soit nul :

$\begin{vmatrix}%0D%0A3\,%26\,4%2C5\,\\%0D%0A-2\,%26\,y\,\\%0D%0A\end{vmatrix}%0D%0A=\,0$

Calculons ce déterminant :

$3\,\cdot\,y\,-\,(-2)\,\cdot\,4%2C5\,=\,0$

$3y\,%2B\,9\,=\,0$

$3y\,=\,-9$

$y\,=\,-3$

Ainsi, pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il faut que $y\,=\,-3$ . La réponse correcte est donc l’option c. $y\,=\,-3$ .

Exercice 8 : vecteur et coordonnées
Les coordonnées des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont respectivement $\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,-5\,\\\,8\,\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,5\,\end{pmatrix}$ .

Calculons maintenant les coordonnées du vecteur $3\,\vec{u}\,-\,2\,\vec{v}$ :

$3\,\vec{u}\,=\,3\,\begin{pmatrix}\,-5\,\\\,8\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\times \,-5\,\\\,3\,\times \,8\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,-15\,\\\,24\,\end{pmatrix}$

$2\,\vec{v}\,=\,2\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,5\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\times \,3\,\\\,2\,\times \,5\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,6\,\\\,10\,\end{pmatrix}$

Ensuite, nous calculons la différence $3\,\vec{u}\,-\,2\,\vec{v}$ :

$3\,\vec{u}\,-\,2\,\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,-15\,\\\,24\,\end{pmatrix}\,-\,\begin{pmatrix}\,6\,\\\,10\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,-15\,-\,6\,\\\,24\,-\,10\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,-21\,\\\,14\,\end{pmatrix}$

La bonne réponse est donc :

d. $\begin{pmatrix}\,-21\,\\\,14\,\end{pmatrix}$

Exercice 9 : parallélogramme et égalités
Si est un parallélogramme, alors :

Un parallélogramme est une figure géométrique où les côtés opposés sont non seulement égaux en longueur mais aussi parallèles et de même direction. Étudions chaque proposition du questionnaire donné :

a. $\vec{AB}\,=\,\vec{CD}$

En effet, cette affirmation est correcte, car dans un parallélogramme, les vecteurs associés aux côtés opposés ont la même direction et la même norme. Ainsi, le vecteur allant de à est égal au vecteur allant de à .

b. $\vec{AB}\,=\,\vec{DC}$

Cette affirmation est incorrecte. Bien que $%7CAB%7C\,=\,%7CDC%7C$ en longueur, les directions de $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ sont opposées. Donc, $\vec{AB}\,=\,-\vec{DC}$ et non pas $\vec{AB}\,=\,\vec{DC}$ .

c. $\vec{AC}\,=\,\vec{BD}$

Cette affirmation est incorrecte. Les diagonales d’un parallélogramme ne sont pas nécessairement égales ni parallèles.

d. $\vec{AD}\,=\,\vec{BC}$

En effet, cette affirmation est correcte car dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux et parallèles. Le vecteur allant de à est égal au vecteur allant de à .

Ainsi, les affirmations correctes sont:

$a.\,\quad\,\vec{AB}\,=\,\vec{CD}$

$d.\,\quad\,\vec{AD}\,=\,\vec{BC}$

Exercice 10 : calculer les coordonnées d’un point
On sait que $\vec{AB}$ est donné par :

$\vec{AB}\,=\,(\,\begin{array}{c}%0D%0A4\,\\%0D%0A-3\,\\%0D%0A\end{array}\,)$

Si $A(-2\,%3B\,3)$ et $B(x\,%3B\,y)$ , alors :

$\vec{AB}\,=\,(\,\begin{array}{c}%0D%0Ax\,-\,(-2)\,\\%0D%0Ay\,-\,3\,\\%0D%0A\end{array}\,)\,=\,(\,\begin{array}{c}%0D%0Ax\,%2B\,2\,\\%0D%0Ay\,-\,3\,\\%0D%0A\end{array}\,)$

On sait aussi que :

$(\,\begin{array}{c}%0D%0Ax\,%2B\,2\,\\%0D%0Ay\,-\,3\,\\%0D%0A\end{array}\,)\,=\,(\,\begin{array}{c}%0D%0A4\,\\%0D%0A-3\,\\%0D%0A\end{array}\,)$

On égalise les composantes :

$\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,2\,=\,4\,\\%0D%0Ay\,-\,3\,=\,-3\,\\%0D%0A\end{cases}$

On résout chaque équation pour et :

$\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,2\,=\,4\,\\%0D%0Ax\,=\,4\,-\,2\,\\%0D%0Ax\,=\,2\,\\%0D%0A\end{cases}$

$\begin{cases}%0D%0Ay\,-\,3\,=\,-3\,\\%0D%0Ay\,=\,-3\,%2B\,3\,\\%0D%0Ay\,=\,0\,\\%0D%0A\end{cases}$

Ainsi, les coordonnées de sont :

$B(2\,%3B\,0)$

Donc, la réponse correcte est .

Exercice 11 : hexagone régulier et vecteurs
1) Pour déterminer l’image de l’hexagone dans la translation de vecteur $\vec{AC}$ :

La translation $\vec{AC}$ déplace chaque point du plan dans la direction de vers .
L’hexagone est situé à l’endroit de .
L’hexagone est situé à l’endroit de .

Donc, l’image de l’hexagone dans la translation de vecteur $\vec{AC}$ est l’hexagone .

2) Pour déterminer l’image de l’hexagone dans la translation de vecteur $\vec{AB}$ :

La translation $\vec{AB}$ déplace chaque point du plan dans la direction de vers .
L’hexagone est situé à l’endroit de .
L’hexagone est situé à l’endroit de .

Donc, l’image de l’hexagone dans la translation de vecteur $\vec{AB}$ est l’hexagone .

3) Pour déterminer l’image de l’hexagone dans la translation de vecteur $\vec{DE}$ :

La translation $\vec{DE}$ déplace chaque point du plan dans la direction de vers .
L’hexagone est situé à l’endroit de .
L’hexagone est situé à l’endroit de .

Donc, l’image de l’hexagone dans la translation de vecteur $\vec{DE}$ est l’hexagone .

Exercice 12 : calculer les coordonnées de ce vecteur
Pour calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ , on utilise la formule suivante :
$\vec{AB}\,=\,(x_B\,-\,x_A\,%3B\,y_B\,-\,y_A).$

1. Pour les points $A(2\,%3B\,5)$ et $B(6\,%3B\,7)$ :
$\vec{AB}\,=\,(6\,-\,2\,%3B\,7\,-\,5)\,=\,(4\,%3B\,2).$

2. Pour les points $A(-1\,%3B\,2)$ et $B(-2\,%3B\,-3)$ :
$\vec{AB}\,=\,(-2\,-\,(-1)\,%3B\,-3\,-\,2)\,=\,(-2\,%2B\,1\,%3B\,-3\,-\,2)\,=\,(-1\,%3B\,-5).$

Exercice 13 : coordonnées de vecteurs dans un repère
1) Soit $\vec{u}$ .

Les coordonnées de $\vec{u}$ sont (0, 5) car $\vec{u}$ se déplace de 0 unités sur l’axe des abscisses et 5 unités sur l’axe des ordonnées.

$\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,0\,\\\,5\,\end{pmatrix}$

2) Soit $\vec{v}$ .

Les coordonnées de $\vec{v}$ sont (5, -2) car $\vec{v}$ se déplace de 5 unités sur l’axe des abscisses et -2 unités sur l’axe des ordonnées.

$\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,5\,\\\,-2\,\end{pmatrix}$

3) Soit $\vec{w}$ .

Les coordonnées de $\vec{w}$ sont (-2, -3) car $\vec{w}$ se déplace de -2 unités sur l’axe des abscisses et -3 unités sur l’axe des ordonnées.

$\vec{w}\,=\,\begin{pmatrix}\,-2\,\\\,-3\,\end{pmatrix}$

4) Soit $\vec{s}$ .

Les coordonnées de $\vec{s}$ sont (-4, -2) car $\vec{s}$ se déplace de -4 unités sur l’axe des abscisses et -2 unités sur l’axe des ordonnées.

$\vec{s}\,=\,\begin{pmatrix}\,-4\,\\\,-2\,\end{pmatrix}$

5) Soit $\vec{z}$ .

Les coordonnées de $\vec{z}$ sont (4, 0) car $\vec{z}$ se déplace de 4 unités sur l’axe des abscisses et 0 unité sur l’axe des ordonnées.

$\vec{z}\,=\,\begin{pmatrix}\,4\,\\\,0\,\end{pmatrix}$

6) Soit $\vec{g}$ .

Les coordonnées de $\vec{g}$ sont (1, 4) car $\vec{g}$ se déplace de 1 unité sur l’axe des abscisses et 4 unités sur l’axe des ordonnées.

$\vec{g}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,4\,\end{pmatrix}$

Exercice 14 : les coordonnées des points et des vecteurs
1) Les coordonnées du point sont $(3%2C\,5)$ .

2) Les coordonnées du point sont $(6%2C\,5)$ .

3) Le vecteur $\vec{OC}$ est défini par l’origine $O\,(0%2C\,0)$ et le point $C\,(-2%2C\,6)$ .
$\vec{OC}\,=\,C\,-\,O\,=\,(-2\,-\,0%2C\,6\,-\,0)\,=\,(-2%2C\,6)$

4) Le vecteur $\vec{AE}$ est défini par les points $A\,(3%2C\,5)$ et $E\,(4%2C\,-2)$ .
$\vec{AE}\,=\,E\,-\,A\,=\,(4\,-\,3%2C\,-2\,-\,5)\,=\,(1%2C\,-7)$

5) Le vecteur $\vec{FC}$ est défini par les points $F\,(6%2C\,-1)$ et $C\,(-2%2C\,6)$ .
$\vec{FC}\,=\,C\,-\,F\,=\,(-2\,-\,6%2C\,6\,-\,(-1))\,=\,(-8%2C\,7)$

6) Le vecteur $\vec{DO}$ est défini par les points $D\,(-3%2C\,-1)$ et $O\,(0%2C\,0)$ .
$\vec{DO}\,=\,O\,-\,D\,=\,(0\,-\,(-3)%2C\,0\,-\,(-1))\,=\,(3%2C\,1)$

Exercice 15 : calculer les coordonnées des vecteurs
$1.\,Dans\,le\,plan\,muni\,d'un\,repere%2C\,les\,coordonnees\,du\,vecteur\,\,\vec{u}\,\,sont\,\,\begin{pmatrix}\,-2\,\\\,3\,\end{pmatrix}%2C\,\,celles\,du\,point\,\,A(5%3B2).$
$Calculer\,les\,coordonnees\,du\,point\,\,B\,\,tel\,que\,\,\vec{AB}\,=\,\vec{u}.$

Les coordonnées du point se calculent en ajoutant les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ aux coordonnées du point :

$B\,=\,A\,%2B\,\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,5\,\\\,2\,\end{pmatrix}\,%2B\,\begin{pmatrix}\,-2\,\\\,3\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,5\,-\,2\,\\\,2\,%2B\,3\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,5\,\end{pmatrix}$

Donc, les coordonnées de sont $(3%2C\,5)$ .

$2.\,Dans\,le\,plan\,muni\,d'un\,repere%2C\,les\,coordonnees\,du\,vecteur\,\,\vec{v}\,\,sont\,\,\begin{pmatrix}\,4\,\\\,-5\,\end{pmatrix}%2C\,\,celles\,du\,point\,\,A(1%3B-2).$
$Calculer\,les\,coordonnees\,du\,point\,\,C\,\,tel\,que\,\,\vec{CA}\,=\,\vec{v}.$

Les coordonnées du point se calculent en soustrayant les coordonnées du vecteur $\vec{v}$ aux coordonnées du point :

$C\,=\,A\,-\,\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,-2\,\end{pmatrix}\,-\,\begin{pmatrix}\,4\,\\\,-5\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,-\,4\,\\\,-2\,%2B\,5\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,-3\,\\\,3\,\end{pmatrix}$

Donc, les coordonnées de sont $(-3%2C\,3)$ .

$3.\,Dans\,le\,plan\,muni\,d'un\,repere%2C\,on\,considere\,les\,points\,\,K(-2%3B-3)%2C\,L(3%3B-4)\,\,et\,\,M(-1%3B5).$
$Quelles\,sont\,les\,coordonnees\,du\,vecteur\,\,\vec{KL}\,%2B\,\vec{LM}%3F$

Les coordonnées de $\vec{KL}$ se calculent comme suit :

$\vec{KL}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,-\,(-2)\,\\\,-4\,-\,(-3)\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,5\,\\\,-1\,\end{pmatrix}$

Les coordonnées de $\vec{LM}$ se calculent comme suit :

$\vec{LM}\,=\,\begin{pmatrix}\,-1\,-\,3\,\\\,5\,-\,(-4)\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,-4\,\\\,9\,\end{pmatrix}$

Les coordonnées du vecteur $\vec{KL}\,%2B\,\vec{LM}$ se calculent en additionnant les deux vecteurs :

$\vec{KL}\,%2B\,\vec{LM}\,=\,\begin{pmatrix}\,5\,\\\,-1\,\end{pmatrix}\,%2B\,\begin{pmatrix}\,-4\,\\\,9\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,5\,-\,4\,\\\,-1\,%2B\,9\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,8\,\end{pmatrix}$

Donc, les coordonnées du vecteur $\vec{KL}\,%2B\,\vec{LM}$ sont $(1%2C\,8)$ .

Exercice 16 : opposé des vecteurs et égalités

Un vecteur opposé à $\vec{CD}$ est le vecteur $\vec{w}$ .

Un vecteur de même direction et de même sens que $\vec{AC}$ est le vecteur $\vec{t}$ .

Un vecteur de même direction que $\vec{BC}$ mais de sens contraire est le vecteur $\vec{s}$ .

Un vecteur égal au vecteur $\vec{BA}$ est le vecteur $\vec{v}$ .

Exercice 17 : un deltaplane se déplace suivant la translation
Reproduisons et déplaçons le deltaplane selon les translations données.

### Étape 1 : Translation par le vecteur $\vec{u}$

Le vecteur $\vec{u}$ part de $(1%2C\,1)$ et se termine à $(7%2C\,4)$ . La translation par $\vec{u}$ consiste donc en un déplacement de unités vers la droite et unités vers le haut. Ainsi, chaque point du deltaplane se déplacera de unités vers la droite et unités vers le haut.

### Étape 2 : Translation par le vecteur $\vec{v}$

Le vecteur $\vec{v}$ part de $(7%2C\,4)$ et se termine à $(1%2C\,-1)$ . La translation par $\vec{v}$ consiste donc en un déplacement de unités vers la gauche et unités vers le bas. Ainsi, chaque point du deltaplane se déplacera de unités vers la gauche et unités vers le bas après avoir été déplacé par le vecteur $\vec{u}$ .

### Résultats des translations

– $Position\,Initiale\,%3A$
– A : $(0%2C\,0)$
– B : $(0%2C\,3)$
– C : $(2.5%2C\,1.5)$

– $Apres\,translation\,par\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257Bu%257D%22\,alt=%22\vec{u}$ : » align= »absmiddle » />
– A’ : $(0\,%2B\,6%2C\,0\,%2B\,3)\,=\,(6%2C\,3)$
– B’ : $(0\,%2B\,6%2C\,3\,%2B\,3)\,=\,(6%2C\,6)$
– C’ : $(2.5\,%2B\,6%2C\,1.5\,%2B\,3)\,=\,(8.5%2C\,4.5)$

– $Apres\,translation\,par\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257Bv%257D%22\,alt=%22\vec{v}$ (A partir des points A’, B’, et C’) : » align= »absmiddle » />
– A » : $(6\,-\,6%2C\,3\,-\,5)\,=\,(0%2C\,-2)$
– B » : $(6\,-\,6%2C\,6\,-\,5)\,=\,(0%2C\,1)$
– C » : $(8.5\,-\,6%2C\,4.5\,-\,5)\,=\,(2.5%2C\,-0.5)$

### Représentation finale dans le plan :

L’image du deltaplane dans sa position finale est représentée par les points A »(0, -2), B »(0, 1) et C »(2.5, -0.5).

Exercice 18 : compléter les égalités vectorielles
1) $\vec{IB}\,=\,\vec{IA}\,%2B\,\vec{AB}$

2) $\vec{HG}\,%2B\,\vec{GF}\,=\,\vec{HF}$

3) $\vec{D\,A}\,%2B\,\vec{AC}\,=\,\vec{DC}$

4) $\vec{EA}\,%2B\,\vec{AE}\,=\,\vec{EE}\,=\,\vec{0}$

5) $\vec{AJ}\,=\,\vec{AA}\,%2B\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{BC}\,%2B\,\vec{CM}$

6) $\vec{FE}\,%2B\,\vec{EF}\,=\,\vec{EE}\,=\,\vec{0}$

Exercice 19 : simplifier des écritures vectorielles
1) $\vec{BD}\,%2B\,\vec{DA}\,=\,\vec{BA}$

2) $\vec{BD}\,%2B\,\vec{AA}\,=\,\vec{BD}$

3) $\vec{BD}\,%2B\,\vec{DB}\,=\,\vec{BB}\,=\,\vec{0}$

4) $\vec{BD}\,-\,\vec{BA}\,=\,\vec{AD}$

5) $\vec{BD}\,%2B\,\vec{AD}\,%2B\,\vec{BA}\,=\,\vec{BA}$

6) $\vec{BD}\,%2B\,\vec{DA}\,-\,\vec{DB}\,=\,\vec{BA}$

1) $\vec{MB}\,-\,\vec{MD}\,=\,\vec{BD}$

2) $\vec{CB}\,-\,\vec{CD}\,-\,\vec{BD}\,=\,\vec{BC}\,-\,\vec{BD}\,=\,\vec{BC}\,%2B\,\vec{DB}\,=\,\vec{DC}$

3) $\vec{BD}\,-\,\vec{BA}\,%2B\,\vec{MA}\,-\,\vec{MD}\,=\,\vec{AD}\,%2B\,\vec{MA}\,=\,\vec{MD}$

4) $\vec{BD}\,-\,\vec{MC}\,-\,\vec{BM}\,%2B\,\vec{DB}\,=\,-(\vec{MC}\,%2B\,\vec{BM})\,=\,-\vec{BC}$

5) $\vec{MA}\,%2B\,\vec{EM}\,-\,\vec{CA}\,-\,\vec{EC}\,=\,\vec{AE}\,-\,\vec{CA}\,-\,\vec{EC}\,=\,\vec{AE}\,-\,(\vec{CA}\,%2B\,\vec{EC})\,=\,\vec{AE}\,-\,\vec{AC}\,=\,\vec{AC}$

6) $\vec{AU}\,%2B\,\vec{SH}\,-\,\vec{ST}\,%2B\,\vec{MU}\,=\,\vec{AH}\,%2B\,\vec{MU}\,-\,\vec{ST}\,=\,\vec{AH}\,-\,\vec{MS}\,%2B\,\vec{TU}\,=\,\vec{AU}$

Exercice 20 : construire des vecteurs dans un repère
1) $\vec{u_1}\,=\,\vec{w}\,-\,\vec{r}$ :

Pour construire $\vec{u_1}$ , on place l’origine au point où $\vec{r}$ se termine et on trace un vecteur dans la direction et le sens de $\vec{w}$ à partir de ce point.

Si on regarde la figure ci-dessous, $\vec{w}$ est dirigé vers la gauche et $\vec{r}$ est dirigé vers la droite.

La somme $\vec{w}\,-\,\vec{r}$ donnera un vecteur orienté vers la gauche dont la longueur est égale à la différence des longueurs de $\vec{w}$ et $\vec{r}$ .

2) $\vec{u_2}\,=\,\vec{r}\,-\,\vec{v}$ :

Pour construire $\vec{u_2}$ , on place l’origine au point où $\vec{v}$ se termine et on trace un vecteur dans la direction et le sens de $\vec{r}$ à partir de ce point.

La somme $\vec{r}\,-\,\vec{v}$ donnera un vecteur orienté vers la droite dont la longueur est égale à la différence des longueurs de $\vec{r}$ et $\vec{v}$ .

3) $\vec{u_3}\,=\,\vec{v}\,-\,\vec{w}$ :

Pour construire $\vec{u_3}$ , on place l’origine au point où $\vec{w}$ se termine et on trace un vecteur dans la direction et le sens de $\vec{v}$ à partir de ce point.

La somme $\vec{v}\,-\,\vec{w}$ donnera un vecteur orienté en haut et légèrement à droite dont la longueur est égale à la différence des longueurs de $\vec{v}$ et $\vec{w}$ .

4) $\vec{u_4}\,=\,\vec{r}\,-\,\vec{w}$ :

Pour construire $\vec{u_4}$ , on place l’origine au point où $\vec{w}$ se termine et on trace un vecteur dans la direction et le sens de $\vec{r}$ à partir de ce point.

La somme $\vec{r}\,-\,\vec{w}$ donnera un vecteur orienté vers la droite dont la longueur est égale à la différence des longueurs de $\vec{r}$ et $\vec{w}$ .

5) $\vec{u_5}\,=\,\vec{v}\,-\,\vec{r}$ :

Pour construire $\vec{u_5}$ , on place l’origine au point où $\vec{r}$ se termine et on trace un vecteur dans la direction et le sens de $\vec{v}$ à partir de ce point.

La somme $\vec{v}\,-\,\vec{r}$ donnera un vecteur orienté sur une diagonale en haut à droite dont la longueur est égale à la différence des longueurs de $\vec{v}$ et $\vec{r}$ .

6) $\vec{u_6}\,=\,\vec{w}\,-\,\vec{r}$ :

Pour construire $\vec{u_6}$ , on place l’origine au point où $\vec{r}$ se termine et on trace un vecteur dans la direction et le sens de $\vec{w}$ à partir de ce point.

La somme $\vec{w}\,-\,\vec{r}$ donnera un vecteur orienté à gauche, la longueur étant la différence des longueurs entre $\vec{w}$ et $\vec{r}$ .

7) Remarques :

– Les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_6}$ sont identiques ( $\vec{u_1}\,=\,\vec{u_6}$ ).
– Les vecteurs obtenus sont le résultat de la soustraction de deux vecteurs de la figure indiquée. La direction, le sens, et la longueur des vecteurs sont déterminés par les différences de coordonnées des vecteurs impliqués.
– En utilisant la règle de la somme des vecteurs (parallélogramme ou triangle), les constructions peuvent être simplifiées pour obtenir directement les vecteurs souhaités.

Pour une meilleure compréhension, je recommande de tracer ces vecteurs sur la figure avec une grille similaire pour voir les situations géométriques explicitement.

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : construire un représentant avec son extrémité
1) $\vec{u_1}$ d’origine :

Le vecteur $\vec{u_1}$ est obtenu par translation de l’origine suivant la direction et le sens du vecteur $\vec{u}\,-\,\vec{AB}$ . Depuis , on se déplace parallèlement au vecteur original jusqu’à rejoindre le point correspondant. La direction de ce vecteur sera parallèle à $\vec{u}\,-\,\vec{AB}$ .

2) $\vec{u_2}$ d’origine :

Le vecteur $\vec{u_2}$ est obtenu par translation de l’origine suivant la direction et le sens du vecteur $\vec{v}\,-\,\vec{CD}$ . Depuis , on se déplace parallèlement au vecteur original jusqu’à rejoindre le point correspondant. La direction de ce vecteur sera parallèle à $\vec{v}\,-\,\vec{CD}$ .

3) $\vec{u_3}$ d’origine :

Le vecteur $\vec{u_3}$ est obtenu par translation de l’origine suivant la direction et le sens du vecteur $\vec{w}\,-\,\vec{DE}$ . Depuis , on se déplace parallèlement au vecteur original jusqu’à rejoindre le point correspondant. La direction de ce vecteur sera parallèle à $\vec{w}\,-\,\vec{DE}$ .

4) $\vec{u_1}$ d’extrémité :

Pour trouver l’origine de $\vec{u_1}$ d’extrémité , on se déplace dans la direction opposée à celle de $\vec{u_1}$ jusqu’à atteindre . Cette origine peut être obtenue par une translation inverse de dans la direction opposée à la direction de $\vec{u}\,-\,\vec{AB}$ .

5) $\vec{u_2}$ d’extrémité :

Pour trouver l’origine de $\vec{u_2}$ d’extrémité , on se déplace dans la direction opposée à celle de $\vec{u_2}$ jusqu’à atteindre . Cette origine peut être obtenue par une translation inverse de dans la direction opposée à la direction de $\vec{v}\,-\,\vec{CD}$ .

6) $\vec{u_3}$ d’extrémité :

Pour trouver l’origine de $\vec{u_3}$ d’extrémité , on se déplace dans la direction opposée à celle de $\vec{u_3}$ jusqu’à atteindre . Cette origine peut être obtenue par une translation inverse de dans la direction opposée à la direction de $\vec{w}\,-\,\vec{DE}$ .

Exercice 22 : calculer des coordonnées et tracer un représentant
$Correction\,de\,l'exercice%0D%0A%0D%0A1)\,Placer\,le\,point\,\,A(-3%3B\,4).%0D%0A%0D%0A2)\,Construire\,un\,representant\,du\,vecteur\,\,\vec{u}\,\,de\,coordonnees\,%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A4\,\\%0D%0A-3%0D%0A\end{pmatrix}$

$On\,peut\,par\,exemple\,placer\,son\,origine\,en\,\,A(-3%3B\,4).\,\,On\,obtient\,alors\,son\,extremite\,en\,%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-3\,%2B\,4\,\\%0D%0A4\,-\,3%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A1\,\\%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}.$

\text{3) Placer les points } B \text{ et } C \text{ tels que :}

$\bullet\,\quad\,\vec{AB}\,=\,\vec{u}$
$A(-3%3B\,4)\,\,et\,\,\vec{AB}\,=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A4\,\\%0D%0A-3%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A\implies%0D%0AB\,=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-3\,%2B\,4\,\\%0D%0A4\,-\,3%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A1\,\\%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}.$

$\bullet\,\quad\,\vec{CA}\,=\,\vec{u}$
$A(-3%3B\,4)\,\,et\,\,\vec{CA}\,=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A4\,\\%0D%0A-3%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A\implies%0D%0AC\,=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-3\,-\,4\,\\%0D%0A4\,%2B\,3%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-7\,\\%0D%0A7%0D%0A\end{pmatrix}.$

\text{4) Calculer les coordonnées des points } B \text{ et } C \text{.}

$Deja\,calculees\,%3A\,\,B(1%3B\,1)\,\,et\,\,C(-7%3B\,7).$

\text{5) Que peut-on dire du point } A \text{ ? Justifier.}

$Le\,point\,\,A\,(-3%3B\,4)\,\,est\,le\,milieu\,du\,segment\,\,%5BBC%5D.$
$En\,effet%2C\,on\,a\,%3A$
$(\frac{B_1\,%2B\,C_1}{2}%3B\,\frac{B_2\,%2B\,C_2}{2})\,=\,(\frac{1\,%2B\,(-7)}{2}%3B\,\frac{1\,%2B\,7}{2})\,=\,(\frac{-6}{2}%3B\,\frac{8}{2})\,=\,(-3%3B\,4).$

$Donc%2C\,\,A\,\,est\,bien\,le\,milieu\,de\,\,%5BBC%5D.$

Exercice 23 : somme de vecteurs
1) Les coordonnées des vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont :
$\vec{u}\,=\,(1%2C\,4)$
$\vec{v}\,=\,(4%2C\,-1)$
$\vec{w}\,=\,(-2%2C\,-3)$

2) Calcul des coordonnées des vecteurs :

a) $\vec{u}\,%2B\,\vec{v}$ :
$\vec{u}\,%2B\,\vec{v}\,=\,(1%2C\,4)\,%2B\,(4%2C\,-1)\,=\,(1%2B4%2C\,4-1)\,=\,(5%2C\,3)$

b) $\vec{u}\,-\,\vec{v}$ :
$\vec{u}\,-\,\vec{v}\,=\,(1%2C\,4)\,-\,(4%2C\,-1)\,=\,(1-4%2C\,4%2B1)\,=\,(-3%2C\,5)$

c) $\vec{u}\,%2B\,\vec{w}$ :
$\vec{u}\,%2B\,\vec{w}\,=\,(1%2C\,4)\,%2B\,(-2%2C\,-3)\,=\,(1-2%2C\,4-3)\,=\,(-1%2C\,1)$

d) $\vec{u}\,-\,\vec{w}$ :
$\vec{u}\,-\,\vec{w}\,=\,(1%2C\,4)\,-\,(-2%2C\,-3)\,=\,(1%2B2%2C\,4%2B3)\,=\,(3%2C\,7)$

Exercice 24 : lire les coordonnées d’une somme de vecteurs
Soit $\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,-2\,\\\,-1\,\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,2\,\end{pmatrix}$ . Pour obtenir les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ défini par $\vec{AB}\,=\,\vec{u}\,%2B\,\vec{v}$ , faisons la somme des deux vecteurs :

$\vec{AB}\,=\,\vec{u}\,%2B\,\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,-2\,\\\,-1\,\end{pmatrix}\,%2B\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,2\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,-2\,%2B\,3\,\\\,-1\,%2B\,2\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,1\,\end{pmatrix}$

Le vecteur $\vec{AB}$ a donc pour coordonnées $(1%2C\,1)$ .

Ensuite, plaçons le point . Le point a pour coordonnées $(0%2C\,0)$ . En ajoutant les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ , nous obtenons les coordonnées de :

$B\,=\,A\,%2B\,\vec{AB}\,=\,\begin{pmatrix}\,0\,\\\,0\,\end{pmatrix}\,%2B\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,1\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,1\,\end{pmatrix}$

Le point se trouve donc en $(1%2C\,1)$ .

Pour vérifier visuellement sur la figure, nous pouvons tracer les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ à partir du point et voir que la somme des vecteurs mène bien au point situé en $(1%2C\,1)$ .

L’exercice demande également de lire les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ . Comme nous avons trouvé précédemment :

$\vec{AB}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,1\,\end{pmatrix}$

Les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont donc $(1%2C\,1)$ .

Exercice 25 : déterminer si des vecteurs sont colinéaires
1. Vérifions si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
$\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-2\,\\%0D%0A3%0D%0A\end{pmatrix}%2C\,\quad\,\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A3\,\\%0D%0A-4%2C5%0D%0A\end{pmatrix}$

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un scalaire tel que :
$\vec{v}\,=\,k\,\vec{u}$

Cela signifie que :
$\begin{cases}%0D%0A3\,=\,-2k\,\\%0D%0A-4%2C5\,=\,3k%0D%0A\end{cases}$

Résolvons la première équation :
$3\,=\,-2k\,\implies\,k\,=\,-\frac{3}{2}$

Vérifions avec la deuxième équation :
$-4%2C5\,=\,3\,(-\frac{3}{2})\,\implies\,-4%2C5\,=\,-4%2C5$

Les deux équations sont vérifiées, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

2. Vérifions si les vecteurs $\vec{s}$ et $\vec{t}$ sont colinéaires.
$\vec{s}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A7\,\\%0D%0A-2%0D%0A\end{pmatrix}%2C\,\quad\,\vec{t}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A14\,\\%0D%0A4%0D%0A\end{pmatrix}$

Les vecteurs $\vec{s}$ et $\vec{t}$ sont colinéaires s’il existe un scalaire tel que :
$\vec{t}\,=\,k\,\vec{s}$

Cela signifie que :
$\begin{cases}%0D%0A14\,=\,7k\,\\%0D%0A4\,=\,-2k%0D%0A\end{cases}$

Résolvons la première équation :
$14\,=\,7k\,\implies\,k\,=\,2$

Vérifions avec la deuxième équation :
$4\,=\,-2\,\times \,2\,\implies\,4\,\ne\,-4$

Les deux équations ne sont pas vérifiées, donc $\vec{s}$ et $\vec{t}$ ne sont pas colinéaires.

3. Vérifions si les vecteurs $\vec{w}$ et $\vec{r}$ sont colinéaires.
$\vec{w}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-1%2C5\,\\%0D%0A5%0D%0A\end{pmatrix}%2C\,\quad\,\vec{r}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A3\,\\%0D%0A-10%0D%0A\end{pmatrix}$

Les vecteurs $\vec{w}$ et $\vec{r}$ sont colinéaires s’il existe un scalaire tel que :
$\vec{r}\,=\,k\,\vec{w}$

Cela signifie que :
$\begin{cases}%0D%0A3\,=\,-1%2C5k\,\\%0D%0A-10\,=\,5k%0D%0A\end{cases}$

Résolvons la première équation :
$3\,=\,-1%2C5k\,\implies\,k\,=\,-2$

Vérifions avec la deuxième équation :
$-10\,=\,5\,(-2)\,\implies\,-10\,=\,-10$

Les deux équations sont vérifiées, donc $\vec{w}$ et $\vec{r}$ sont colinéaires.

Exercice 26 : carré et triangles équilatéraux
1) La figure a été construite en vraie grandeur.

2) Calcul des coordonnées des points et .

Plaçons-nous dans un repère orthonormé avec , , , et .

Pour le triangle équilatéral ABI :

La longueur d’un côté du carré étant de 5 cm, la hauteur d’un triangle équilatéral de côté 5 cm est donnée par:
$h\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,\times \,5\,=\,\frac{5\sqrt{3}}{2}$

Les coordonnées du point seront alors:
$I\,(\,\frac{5}{2}%2C\,\frac{5\sqrt{3}}{2}\,)$

Pour le triangle équilatéral BCV :

La hauteur d’un triangle équilatéral de côté 5 cm est toujours $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ .

Les coordonnées du point seront alors:
$V\,(\,5\,%2B\,\frac{5}{2}%2C\,\frac{5\sqrt{3}}{2}\,)\,=\,(\,7.5%2C\,\frac{5\sqrt{3}}{2}\,)$

3) Démontrons que les points , et sont alignés.

Pour démontrer que ces points sont alignés, nous devons vérifier que les pentes des segments et sont égales.

Calculons la pente de :
$Pente\,de\,\,DI\,=\,\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}\,-\,5}{\frac{5}{2}\,-\,0}\,=\,\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}\,-\,\frac{10}{2}}{\frac{5}{2}}\,=\,\frac{5(\frac{\sqrt{3}\,-\,2}{2})}{\frac{5}{2}}\,=\,\frac{5(\frac{\sqrt{3}\,-\,2}{2})}{\frac{5}{2}}\,=\,\sqrt{3}\,-\,2$

Calculons la pente de :
$Pente\,de\,\,DV\,=\,\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}\,-\,5}{7.5\,-\,0}\,=\,\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}\,-\,\frac{10}{2}}{7.5}\,=\,\frac{5(\frac{\sqrt{3}\,-\,2}{2})}{7.5}\,=\,\frac{5(\frac{\sqrt{3}\,-\,2}{2})}{\frac{15}{2}}\,=\,(\sqrt{3}\,-\,2)$

Étant donné que les pentes de et sont égales, on peut conclure que les points , et sont alignés.

Exercice 27 : algorithme et vecteurs colinéaires
1) Compléter la ligne 6.

On doit tester la condition de colinéarité pour les vecteurs $\vec{u}(a%3B\,b)$ et $\vec{v}(c%3B\,d)$ . Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si le déterminant de la matrice formée par leurs composants est nul, c’est-à-dire $ad\,-\,bc\,=\,0$ .

« `
6. Si $(a\,\cdot\,d\,-\,b\,\cdot\,c\,=\,0)$ Alors
« `

2) Modifier l’algorithme précédent pour qu’il décide si 3 points sont alignés à partir de leurs coordonnées.

Trois points $A(x_A%2C\,y_A)$ , $B(x_B%2C\,y_B)$ et $C(x_C%2C\,y_C)$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

Pour les coordonnées $A(x_A%2C\,y_A)$ , $B(x_B%2C\,y_B)$ et $C(x_C%2C\,y_C)$ , les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont :

$\vec{AB}\,=\,(x_B\,-\,x_A%3B\,y_B\,-\,y_A)\,\quad\,et\,\quad\,\vec{AC}\,=\,(x_C\,-\,x_A%3B\,y_C\,-\,y_A)$

Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si:

$(x_B\,-\,x_A)(y_C\,-\,y_A)\,-\,(y_B\,-\,y_A)(x_C\,-\,x_A)\,=\,0$

Algorithme modifié :

« `
1. Liste des variables utilisées
2. x_A, y_A, x_B, y_B, x_C, y_C : nombres
3. Entrées
4. Demander x_A, y_A, x_B, y_B, x_C, y_C
5. Traitements
6. Si ((x_B – x_A) * (y_C – y_A) – (y_B – y_A) * (x_C – x_A) = 0) Alors
7. Afficher (‘alignés’)
8. Sinon
9. Afficher (‘non alignés’)
10. Fin Si
« `

3) Les points suivants sont-ils alignés ?

a) $A(2%3B\,-7)$ , $B(-2%3B\,-3)$ et $C(1%3B\,-7%2C5)$

Calculons les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :

$\vec{AB}\,=\,(-2\,-\,2%3B\,-3\,%2B\,7)\,=\,(-4%3B\,4)$

$\vec{AC}\,=\,(1\,-\,2%3B\,-7.5\,%2B\,7)\,=\,(-1%3B\,-0.5)$

Vérifions la condition de colinéarité :

$(x_B\,-\,x_A)(y_C\,-\,y_A)\,-\,(y_B\,-\,y_A)(x_C\,-\,x_A)\,=\,(-4)(-0.5)\,-\,(4)(-1)\,=\,2\,%2B\,4\,=\,6\,\neq\,0$

Donc, les points ne sont pas alignés.

b) $J(0%3B\,1)$ , $K(\frac{1}{2}%3B\,\frac{\sqrt{3}}{2})$ et $L(1\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2}%3B\,1)$

Calculons les vecteurs $\vec{JK}$ et $\vec{JL}$ :

$\vec{JK}\,=\,(\frac{1}{2}\,-\,0%3B\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,-\,1)\,=\,(\frac{1}{2}%3B\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,-\,1)$

$\vec{JL}\,=\,(1\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,-\,0%3B\,1\,-\,1)\,=\,(1\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2}%3B\,0)$

Vérifions la condition de colinéarité :

$(\frac{1}{2}(0)\,-\,(\frac{\sqrt{3}}{2}\,-\,1)(1\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2}))\,=\,0\,-\,(\frac{\sqrt{3}}{2}\,-\,1)(1\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2})$

Sans simplifier davantage, nous calculons :

$=\,0\,-\,(\frac{\sqrt{3}}{2}\,-\,1)(1\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2})\,=\,0\,\quad\,(erreur\,de\,calcul\,probable)$

Par cette solution il est mieux de transformer le ~ premier $\frac{\sqrt{3}}{2}\,.\,(\,1\,%2B\,\frac{3}{4}\,)\,-\,\(0\,qui\,ne\,permet\,mauvaise\,interpretation\,par\,les\,\(\frac{\sqrt{3}}{2}.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-28%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,28\,%3A\,determiner\,une\,relation\,entre\,a\,et\,b%3C%2Fspan>%0D%0A%60%60%60markdown%0D%0ASoit\,\(ABCD$ Exercice 28 : determiner une relation entre a et b
« `markdown
Soit \(ABCD » align= »absmiddle » /> un parallélogramme. est le milieu de et celui de . et sont deux nombres réels et on considère les points et définis par

$\vec{BE}\,=\,a\,\vec{AB}$
$\vec{DF}\,=\,b\,\vec{AD}$

On se place dans le repère $(A%3B\,D%2C\,B)$ .

1. Calculer en fonction de et :
1. les coordonnées des points et ;
2. les coordonnées des vecteurs $\vec{IE}$ et $\vec{JF}$ .

Tout d’abord, considérons les coordonnées des points , , et . Plaçons le repère tel que :

$A(0%2C\,0)%2C\,\quad\,D(1%2C\,0)%2C\,\quad\,B(1%2C\,1)%2C\,\quad\,C(2%2C\,1)$

### Calcul des coordonnées des points et

Les coordonnées de et sont les milieux de et respectivement :

$I(\frac{1%2B2}{2}%2C\,\frac{1%2B1}{2})\,=\,(1.5%2C\,1)$
$J(\frac{2%2B1}{2}%2C\,\frac{1%2B0}{2})\,=\,(1.5%2C\,0.5)$

1.1. Les coordonnées de et en fonction de et :

Le point sur tel que $\vec{BE}\,=\,a\,\vec{AB}$ :

$E\,=\,(1%2C\,1)\,%2B\,a(1-1%2C\,1-0)\,=\,(1%2C\,1)\,%2B\,(0%2C\,a)\,=\,(1%2C\,1%2Ba)$

Le point sur tel que $\vec{DF}\,=\,b\,\vec{AD}$ :

$F\,=\,(1%2C\,0)\,%2B\,b(1-0%2C\,0)\,=\,(1%2C\,0)\,%2B\,(b%2C\,0)\,=\,(1%2Bb%2C\,0)$

### Calcul des coordonnées des vecteurs $\vec{IE}$ et $\vec{JF}$

Les coordonnées des vecteurs sont:

$\vec{IE}\,=\,(1%2C\,1%2Ba)\,-\,(1.5%2C\,1)\,=\,(-0.5%2C\,a)$
$\vec{JF}\,=\,(1%2Bb%2C\,0)\,-\,(1.5%2C\,0.5)\,=\,(-0.5%2Bb%2C\,-0.5)$

### Relation entre et afin que les droites (EI) et (FJ) soient parallèles

Pour que les droites (EI) et (FJ) soient parallèles, il faut que les vecteurs $\vec{IE}$ et $\vec{JF}$ soient colinéaires. Deux vecteurs $(x_1%2C\,y_1)$ et $(x_2%2C\,y_2)$ sont colinéaires si et seulement si $x_1\,y_2\,=\,x_2\,y_1$ .

$-0.5\,\cdot\,(-0.5)\,=\,a\,(-0.5\,%2B\,b)$
$0.25\,=\,-0.5a\,%2B\,ab$
$ab\,-\,0.5a\,=\,0.25$
$a(b\,-\,0.5)\,=\,0.25$
$a\,=\,\frac{0.25}{b\,-\,0.5}$

Donc, pour que les droites soient parallèles :

$a\,=\,\frac{0.25}{b\,-\,0.5}$
« `

Exercice 29 : vecteurs égaux ou pas ?
1. Pour les points $A(5\,%3B\,-3)$ et $B(8\,%3B\,4)$ , calculons le vecteur $\vec{AB}$ :
$\vec{AB}\,=\,(8\,-\,5%2C\,4\,%2B\,3)\,=\,(3%2C\,7)$

Pour les points $C(0\,%3B\,5)$ et $D(3\,%3B\,12)$ , calculons le vecteur $\vec{CD}$ :
$\vec{CD}\,=\,(3\,-\,0%2C\,12\,-\,5)\,=\,(3%2C\,7)$

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux.

2. Pour les points $A(10\,%3B\,20)$ et $B(30\,%3B\,40)$ , calculons le vecteur $\vec{AB}$ :
$\vec{AB}\,=\,(30\,-\,10%2C\,40\,-\,20)\,=\,(20%2C\,20)$

Pour les points $C(50\,%3B\,60)$ et $D(70\,%3B\,80)$ , calculons le vecteur $\vec{CD}$ :
$\vec{CD}\,=\,(70\,-\,50%2C\,80\,-\,60)\,=\,(20%2C\,20)$

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux.

3. Pour les points $A(-5\,%3B\,4)$ et $B(-6\,%3B\,7)$ , calculons le vecteur $\vec{AB}$ :
$\vec{AB}\,=\,(-6\,%2B\,5%2C\,7\,-\,4)\,=\,(-1%2C\,3)$

Pour les points $C(1\,%3B\,4)$ et $D(2\,%3B\,1)$ , calculons le vecteur $\vec{CD}$ :
$\vec{CD}\,=\,(2\,-\,1%2C\,1\,-\,4)\,=\,(1%2C\,-3)$

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ne sont pas égaux.

4. Pour les points $A(1\,%3B\,2)$ et $B(3\,%3B\,4)$ , calculons le vecteur $\vec{AB}$ :
$\vec{AB}\,=\,(3\,-\,1%2C\,4\,-\,2)\,=\,(2%2C\,2)$

Pour les points $C(5\,%3B\,6)$ et $D(7\,%3B\,-8)$ , calculons le vecteur $\vec{CD}$ :
$\vec{CD}\,=\,(7\,-\,5%2C\,-8\,-\,6)\,=\,(2%2C\,-14)$

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ne sont pas égaux.

Exercice 30 : calculer les coordonnées
Calculons les coordonnées de $D(x%2C\,y)$ en utilisant les données fournies et le fait que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux.

Pour chaque cas :

$\vec{AB}\,=\,\begin{pmatrix}\,4\,\\\,-5\,\end{pmatrix}\,\quad\,et\,\quad\,\vec{CD}\,=\,\begin{pmatrix}\,x\,-\,5\,\\\,y\,%2B\,6\,\end{pmatrix}$
Sachant que $\vec{AB}\,=\,\vec{CD}$ , nous avons :
$\begin{pmatrix}\,4\,\\\,-5\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,x\,-\,5\,\\\,y\,%2B\,6\,\end{pmatrix}$
Donc, nous obtenons deux équations :
$4\,=\,x\,-\,5\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,9$
$-5\,=\,y\,%2B\,6\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,y\,=\,-11$
Ainsi, les coordonnées de sont $(9%2C\,-11)$ .

$\vec{AB}\,=\,\begin{pmatrix}\,-12\,\\\,6\,\end{pmatrix}\,\quad\,et\,\quad\,\vec{CD}\,=\,\begin{pmatrix}\,x\,%2B\,4\,\\\,y\,-\,1\,\end{pmatrix}$
Sachant que $\vec{AB}\,=\,\vec{CD}$ , nous avons :
$\begin{pmatrix}\,-12\,\\\,6\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,x\,%2B\,4\,\\\,y\,-\,1\,\end{pmatrix}$
Donc, nous obtenons deux équations :
$-12\,=\,x\,%2B\,4\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,-16$
$6\,=\,y\,-\,1\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,y\,=\,7$
Ainsi, les coordonnées de sont $(-16%2C\,7)$ .

Les points $A(-5%2C\,-2)$ , $B(-4%2C\,2)$ et $C(1%2C\,5)$ sont donnés.

Calculons d’abord le vecteur $\vec{AB}$ :
$\vec{AB}\,=\,B\,-\,A\,=\,\begin{pmatrix}\,-4\,-\,(-5)\,\\\,2\,-\,(-2)\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,4\,\end{pmatrix}$
Ensuite, calculons le vecteur $\vec{CD}$ :
$\vec{CD}\,=\,D\,-\,C\,=\,\begin{pmatrix}\,x\,-\,1\,\\\,y\,-\,5\,\end{pmatrix}$
Sachant que $\vec{AB}\,=\,\vec{CD}$ , nous avons :
$\begin{pmatrix}\,1\,\\\,4\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,x\,-\,1\,\\\,y\,-\,5\,\end{pmatrix}$
Donc, nous obtenons deux équations :
$1\,=\,x\,-\,1\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,2$
$4\,=\,y\,-\,5\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,y\,=\,9$
Ainsi, les coordonnées de sont $(2%2C\,9)$ .

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : coordonnées et norme
1. \underline{\text{Correction de la question 1 : Calculer les coordonnées de } T(x, y) \text{ sachant que les vecteurs } \vec{RS} \text{ et } \vec{TU} \text{ sont égaux.}}

\text{a. }\vec{RS}\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix} \text{ et } \vec{TU}\begin{pmatrix}4 – x\\6 – y\end{pmatrix}

$\begin{cases}%0D%0A-5\,=\,4\,-\,x\,\\%0D%0A7\,=\,6\,-\,y%0D%0A\end{cases}$

$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,4\,%2B\,5\,\\%0D%0Ay\,=\,6\,-\,7%0D%0A\end{cases}$

$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,9\,\\%0D%0Ay\,=\,-1%0D%0A\end{cases}$

\text{Les coordonnées de } T \text{ sont } (9, -1).

\text{b. }\vec{RS}\begin{pmatrix}10\\-12\end{pmatrix} \text{ et } \vec{TU}\begin{pmatrix}-10 – x\\-4 – y\end{pmatrix}

$\begin{cases}%0D%0A10\,=\,-10\,-\,x\,\\%0D%0A-12\,=\,-4\,-\,y%0D%0A\end{cases}$

$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,-10\,-\,10\,\\%0D%0Ay\,=\,-4\,%2B\,12%0D%0A\end{cases}$

$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,-20\,\\%0D%0Ay\,=\,8%0D%0A\end{cases}$

\text{Les coordonnées de } T \text{ sont } (-20, 8).

\text{c.}\ R(-5, -2),\ S(-4, 2)\ \text{et}\ U(1, 5)

$\vec{RS}\,=\,\begin{pmatrix}\,x_S\,-\,x_R\,\\\,y_S\,-\,y_R\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,-4\,-\,(-5)\,\\\,2\,-\,(-2)\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,-4\,%2B\,5\,\\\,2\,%2B\,2\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,4\,\end{pmatrix}$

$\vec{TU}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,-\,x\,\\\,5\,-\,y\,\end{pmatrix}$

$Si\,\,\vec{RS}\,=\,\vec{TU}\,\,alors\,%0D%0A\begin{cases}%0D%0A1\,=\,1\,-\,x\,\\%0D%0A4\,=\,5\,-\,y%0D%0A\end{cases}$

$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,0\,\\%0D%0Ay\,=\,1%0D%0A\end{cases}$

\text{Les coordonnées de } T \text{ sont } (0, 1).

2. \underline{\text{Calculer les normes des vecteurs } \vec{RS}} \text{ à chaque fois.}

\text{a. }

$\vec{RS}\,=\,\begin{pmatrix}\,-5\,\\\,7\,\end{pmatrix}$

$%7C%7C\vec{RS}%7C%7C\,=\,\sqrt{(-5)^2\,%2B\,7^2}\,=\,\sqrt{25\,%2B\,49}\,=\,\sqrt{74}$

\text{b. }

$\vec{RS}\,=\,\begin{pmatrix}\,10\,\\\,-12\,\end{pmatrix}$

$%7C%7C\vec{RS}%7C%7C\,=\,\sqrt{10^2\,%2B\,(-12)^2}\,=\,\sqrt{100\,%2B\,144}\,=\,\sqrt{244}\,=\,2\sqrt{61}$

\text{c. }

$\vec{RS}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,4\,\end{pmatrix}$

$%7C%7C\vec{RS}%7C%7C\,=\,\sqrt{1^2\,%2B\,4^2}\,=\,\sqrt{1\,%2B\,16}\,=\,\sqrt{17}$

\text{Ainsi, les normes des vecteurs } \vec{RS} \text{ sont } \sqrt{74},\ 2\sqrt{61}\ \text{et}\ \sqrt{17} \text{ respectivement.}

Exercice 32 : un parallélogramme
1. Pour que les points $R%2C\,S%2C\,T%2C\,U$ forment un parallélogramme, les vecteurs $\vec{RS}$ et $\vec{TU}$ doivent être égaux.

Les coordonnées des vecteurs sont données par :
$\vec{RS}\,=\,(x_S\,-\,x_R%2C\,y_S\,-\,y_R)$
$\vec{RS}\,=\,(-20\,-\,10%2C\,9\,-\,15)\,=\,(-30%2C\,-6)$

Si RSTU est un parallélogramme, alors $\vec{RS}\,=\,\vec{TU}$ .

Cela signifie que :
$(x_U\,-\,x_T%2C\,y_U\,-\,y_T)\,=\,(-30%2C\,-6)$

Donc :
$x_U\,-\,4\,=\,-30\,\Rightarrow\,x_U\,=\,-26$
$y_U\,-\,(-6)\,=\,-6\,\Rightarrow\,y_U\,=\,-12$

Les coordonnées de sont donc :
$U(-26%2C\,-12)$

2. Pour que les points $R%2C\,T%2C\,S%2C\,V$ forment un parallélogramme, les vecteurs $\vec{RT}$ et $\vec{SV}$ doivent être égaux.

Les coordonnées des vecteurs sont données par :
$\vec{RT}\,=\,(x_T\,-\,x_R%2C\,y_T\,-\,y_R)$
$\vec{RT}\,=\,(4\,-\,10%2C\,-6\,-\,15)\,=\,(-6%2C\,-21)$

Si RTSV est un parallélogramme, alors $\vec{RT}\,=\,\vec{SV}$ .

Cela signifie que :
$(x_V\,-\,x_S%2C\,y_V\,-\,y_S)\,=\,(-6%2C\,-21)$

Donc :
$x_V\,-\,(-20)\,=\,-6\,\Rightarrow\,x_V\,=\,-26$
$y_V\,-\,9\,=\,-21\,\Rightarrow\,y_V\,=\,-12$

Les coordonnées de sont donc :
$V(-26%2C\,-12)$

Exercice 33 : image et translation
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

1. $Reperer\,les\,vecteurs\,egaux%2C\,les\,vecteurs\,opposes\,et\,les\,vecteurs\,de\,meme\,norme\,%3A$

– Vecteurs égaux :
$\vec{AB}\,=\,\vec{k}%2C\,\quad\,\vec{GH}\,=\,\vec{k}$
$\vec{LM}\,=\,\vec{p}%2C\,\quad\,\vec{FL}\,=\,\vec{p}$
$\vec{FI}\,=\,\vec{v}%2C\,\quad\,\vec{IH}\,=\,\vec{v}$

– Vecteurs opposés :
$\vec{HG}\,=\,-\vec{k}%2C\,\quad\,\vec{IL}\,=\,-\vec{v}$
$\vec{AL}\,=\,-\vec{p}%2C\,\quad\,\vec{MF}\,=\,-\vec{p}$

– Vecteurs de même norme (mesure) :
Tous les vecteurs mentionnés précédemment (de même norme par définition de l’égalité ou de l’opposition des vecteurs).

2. $Quelle\,est\,l%E2%80%99image\,du\,point\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FF%22\,alt=%22F$ par la translation de vecteur $\vec{LM}$ ? » align= »absmiddle » />

Pour trouver l’image de par la translation de vecteur $\vec{LM}$ , nous devons ajouter le vecteur $\vec{LM}$ à $\vec{F}$ . Remarquant que $\vec{LM}\,=\,\vec{p}$ , nous trouvons :

$\vec{F}\,%2B\,\vec{LM}\,=\,\vec{F}\,%2B\,\vec{p}\,=\,\vec{M}$

Donc, l’image du point par la translation de vecteur $\vec{LM}$ est le point .

3. $Par\,quelles\,translations\,le\,point\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FA%22\,alt=%22A$ est-il l’image du point ? » align= »absmiddle » />

Le point est l’image du point par la translation de vecteur $\vec{BA}$ . Remarquant que $\vec{BA}\,=\,-\vec{AB}$ , soit $\vec{BA}\,=\,-\vec{k}$ , nous trouvons que :

$Translation\,de\,vecteur\,\,-\vec{k}$

Par conséquent, une translation de vecteur $-\vec{k}$ transforme le point en point .

Exercice 34 : des triangles équilatéraux
1. Le point a pour image le point par la translation de vecteur $\vec{EG}$ .

2. $\vec{KL}\,=\,\vec{JI}$ signifie que est l’image de par la translation de vecteur $\vec{IL}$ .

Exercice 35 : translation et parallélogramme
Reproduire la figure et construire le point , image de par la translation de vecteur $\vec{BC}$ .

Construire le point , image de par la translation de vecteur $\vec{I'I}$ .

est le milieu de . Donc, est obtenu en translatant selon $\vec{BC}$ . Cela signifie :
$\vec{II'}\,=\,\vec{BC}$
$I'\,\,est\,tel\,que\,\,\vec{BI'}\,=\,\vec{BI}\,%2B\,\vec{BC}$

est le point obtenu par la translation de selon $\vec{I'I}$ .
$\vec{A'I}\,=\,\vec{AI}\,%2B\,\vec{I'I}$
Puisque $\vec{I'I}\,=\,-\vec{BC}$ (la translation inverse),
$\vec{A'I}\,=\,\vec{AI}\,-\,\vec{BC}$

Montrons que A'BCA est un parallélogramme. Pour cela, nous devons montrer que deux paires de côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

$Puisque\,\,\vec{A'B}\,=\,\vec{A'I}\,%2B\,\vec{IB}%2C$
$et\,\,\vec{IC}\,=\,\vec{I'C}\,%2B\,\vec{CI}%2C$
$si\,nous\,montrons\,que\,\,\vec{A'I}\,=\,\vec{IC}%2C$
alors A'B et sont des vecteurs opposés. De plus, $\vec{A'I}\,=\,-\vec{BC}$ .

En déduire que $\vec{A'I}\,=\,\vec{IC}$ .

Comme A'BCA est un parallélogramme, les vecteurs opposés sont égaux :
$\vec{A'I}\,=\,\vec{IC}$

Ainsi, $\vec{A'I}\,=\,\vec{IC}$ est vérifié.

Exercice 36 : somme de vecteurs
1. Les figures sont reproduites dans l’énoncé.

2. Traçons maintenant les vecteurs demandés.

$Vecteur\,%24\vec{AB}\,%2B\,\vec{BC}%24%3A$

$\vec{AB}\,%2B\,\vec{BC}\,=\,\vec{AC}$

$Vecteur\,%24\vec{w}\,%2B\,\vec{a}%24%3A$

$\vec{w}\,%2B\,\vec{a}$
Partant du point d’origine de $\vec{w}$ jusqu’à son extrémité, puis ajoutant le vecteur $\vec{a}$.

$Vecteur\,%24\vec{b}\,%2B\,\vec{c}%24%3A$

$\vec{b}\,%2B\,\vec{c}$
Partant du point d’origine de $\vec{b}$ jusqu’à son extrémité, puis ajoutant le vecteur $\vec{c}$.

$Vecteur\,%24\vec{JK}\,%2B\,\vec{KL}%24%3A$

$\vec{JK}\,%2B\,\vec{KL}\,=\,\vec{JL}$

3. Plaçons les points , , et tels que:

$a.\,%24\vec{MR}\,=\,\vec{w}\,%2B\,\vec{a}$ $

Le point est tel que le vecteur $\vec{MR}\,=\,\vec{w}\,%2B\,\vec{a}$ .

$b.\,%24\vec{NS}\,=\,\vec{b}\,%2B\,\vec{c}$ $

Le point est tel que le vecteur $\vec{NS}\,=\,\vec{b}\,%2B\,\vec{c}$ .

$c.\,%24\vec{NT}\,=\,\vec{JK}\,%2B\,\vec{KL}$ $

Le point est tel que le vecteur $\vec{NT}\,=\,\vec{JL}$ .

Exercice 37 : tracer la somme de vecteurs

[a.] $\vec{AP}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{AC}$

En utilisant la règle de parallélogramme pour la somme des vecteurs, on trouve que le vecteur $\vec{AP}$ part du point et arrive au point .

[b.] $\vec{DR}\,=\,\vec{DE}\,%2B\,\vec{DF}$

Le vecteur $\vec{DE}$ va de à et le vecteur $\vec{DF}$ va de à . En traçant ces vecteurs et en appliquant la règle de parallélogramme, on trouve que $\vec{DR}$ part de et arrive au point .

[c.] $\vec{JT}\,=\,\vec{JK}\,%2B\,\vec{JL}$

Le vecteur $\vec{JK}$ va de à et le vecteur $\vec{JL}$ va de à . En utilisant la règle de parallélogramme pour la somme des vecteurs, $\vec{JT}$ part de et arrive au point .

[d.] $\vec{GW}\,=\,\vec{GH}\,%2B\,\vec{GM}$

Le vecteur $\vec{GH}$ va de à et le vecteur $\vec{GM}$ va de à . En appliquant la règle de parallélogramme, le vecteur $\vec{GW}$ part de et arrive au point .

[e.] $\vec{GX}\,=\,\vec{GM}\,%2B\,\vec{GI}$

Le vecteur $\vec{GM}$ va de à et le vecteur $\vec{GI}$ va de à . En traçant ces vecteurs et en appliquant la règle de parallélogramme, $\vec{GX}$ part de et arrive au point .

[f.] $\vec{GZ}\,=\,\vec{GI}\,%2B\,\vec{GH}$

Le vecteur $\vec{GI}$ va de à et le vecteur $\vec{GH}$ va de à . En traçant ces vecteurs et en appliquant la règle de parallélogramme, $\vec{GZ}$ part de et arrive au point .

Exercice 38 : représenter des vecteurs

[a.] La somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :
$\vec{a}\,=\,\vec{u}\,%2B\,\vec{v}$
Pour obtenir $\vec{a}$, partez de l’origine du vecteur $\vec{u}$ et ajoutez le vecteur $\vec{v}$.

[b.] La somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ :
$\vec{b}\,=\,\vec{u}\,%2B\,\vec{w}$
Pour obtenir $\vec{b}$, partez de l’origine du vecteur $\vec{u}$ et ajoutez le vecteur $\vec{w}$.

[c.] La somme des vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{w}$ :
$\vec{c}\,=\,\vec{v}\,%2B\,\vec{w}$
Pour obtenir $\vec{c}$, partez de l’origine du vecteur $\vec{v}$ et ajoutez le vecteur $\vec{w}$.

[a.] La somme des vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{v_1}$ :
$\vec{a_1}\,=\,\vec{u_1}\,%2B\,\vec{v_1}$
Pour obtenir $\vec{a_1}$, partez de l’origine du vecteur $\vec{u_1}$ et ajoutez le vecteur $\vec{v_1}$.

[b.] La somme des vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{w_1}$ :
$\vec{b_1}\,=\,\vec{u_1}\,%2B\,\vec{w_1}$
Pour obtenir $\vec{b_1}$, partez de l’origine du vecteur $\vec{u_1}$ et ajoutez le vecteur $\vec{w_1}$.

[c.] La somme des vecteurs $\vec{v_1}$ et $\vec{w_1}$ :
$\vec{c_1}\,=\,\vec{v_1}\,%2B\,\vec{w_1}$
Pour obtenir $\vec{c_1}$, partez de l’origine du vecteur $\vec{v_1}$ et ajoutez le vecteur $\vec{w_1}$.

Exercice 39 : calculer la valeur de x et de y
1. $\vec{u}(\begin{array}{c}-3\\5\end{array})$ et $\vec{v}(\begin{array}{c}x-6\\y%2B9\end{array})$

$k\,\cdot\,(\begin{array}{c}-3\\5\end{array})\,=\,(\begin{array}{c}x-6\\y%2B9\end{array})$

En posant $-3k\,=\,x\,-\,6$ et $5k\,=\,y\,%2B\,9$ , nous obtenons :

$k\,=\,\frac{x-6}{-3}\,=\,\frac{6-x}{3}\,\quad\,et\,\quad\,k\,=\,\frac{y%2B9}{5}$

En égalant les deux expressions pour :

$\frac{6-x}{3}\,=\,\frac{y%2B9}{5}$

En multipliant par 15 (le PGCD de 3 et 5) :

$15\,\cdot\,\frac{6-x}{3}\,=\,15\,\cdot\,\frac{y%2B9}{5}$

$5(6-x)\,=\,3(y%2B9)$

$30\,-\,5x\,=\,3y\,%2B\,27$

$3\,=\,5x\,%2B\,3y$

Nous avons donc le système :

$\begin{cases}%0D%0A3\,=\,5x\,%2B\,3y\,\\%0D%0Ak\,=\,\frac{x-6}{-3}%0D%0A\end{cases}$

En posant $k\,=\,\frac{y%2B9}{5}$ :

$\frac{x-6}{-3}\,=\,\frac{y%2B9}{5}$

$\frac{6-x}{3}\,=\,\frac{y%2B9}{5}$

Résolution du système :

$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,6\,-\,3\,k\,\\%0D%0Ay\,=\,5\,k\,-\,9%0D%0A\end{cases}$

On trouve $k\,=\,\frac{6\,%2B\,5}{-12}$ ce qui permet aux valeurs de :

$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,6\,-\,3(-1)\,=\,9\,\\%0D%0Ay\,=\,13\,-\,9\,=\,4%0D%0A\end{cases}$

2. $\vec{u}(\begin{array}{c}11\\-13\end{array})$ et $\vec{v}(\begin{array}{c}2x%2B5\\3-2y\end{array})$ :

$k\,\cdot\,(\begin{array}{c}11\\-13\end{array})\,=\,(\begin{array}{c}2x%2B5\\3-2y\end{array})$

En posant $11k\,=\,2x\,%2B\,5$ et $-13k\,=\,3\,-\,2y$ , nous obtenons :

$k\,=\,\frac{2x%2B5}{11}\,\quad\,et\,\quad\,k\,=\,\frac{3-2y}{-13}$

En égalant les deux expressions pour :

$\frac{2x%2B5}{11}\,=\,\frac{3-2y}{-13}$

En multipliant par (le LCMM de 11 et -13) :

$-143\,\cdot\,\frac{2x%2B5}{11}\,=\,-143\,\cdot\,\frac{3-2y}{-13}$

$-13(2x%2B5)\,=\,11(3-2y)$

$-26x\,-\,65\,=\,33\,-\,22y$

$-26x\,%2B\,22y\,=\,98$

$\begin{cases}%0D%0A-26x\,%2B\,22\,y\,=\,98\\%0D%0A11k\,=\,2x\,%2B\,5%0D%0A\end{cases}$

En mettant $2x\,=\,25\,-\,5$

3. $\vec{u}(\begin{array}{c}-3x\,-\,2\\5\end{array})$ et $\vec{v}(\begin{array}{c}5x\,-\,10\\5\end{array})$ :

$k\,\cdot\,(\begin{array}{c}-3x\,-\,2\\5\end{array})\,=\,(\begin{array}{c}5x\,-\,10\\5\end{array})$

En posant $k\,\cdot\,(-3x\,-2)\,=\,5x\,-\,10$ et $k\,\cdot\,5\,=\,5$ , nous obtenons :

Pour la deuxième composante :

$k\,=\,\frac{5}{5}\,=\,1$

En utilisant cette valeur de dans la première composante :

$\begin{cases}%0D%0A(-3x\,-\,2)\,\cdot\,1\,=\,5x\,-\,10\,\\%0D%0Ak\,=\,1\,\\%0D%0A\end{cases}%0D%0A\\%0D%0A-3x\,-\,2\,=\,5x\,-\,10\,\\%0D%0A-2\,=\,5x\,%2B\,3x%0D%0A8x\,=\,-8\,\\%0D%0Ax\,=\,-1$

Nous substituons $x\,=\,-1$ :

$y\,=\,1$

Les valeurs de :

$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,-1\\%0D%0Ay\,=\,1\,\end{cases}%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-40%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,40\,%3A\,coordonnees\,d'un\,vecteur\,somme%3C%2Fspan>%0D%0A1.\,Calculer\,les\,coordonnees\,des\,vecteurs\,%24\vec{u}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{BC}%24%2C\,%24\vec{v}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{AC}%24\,et\,%24\vec{w}\,=\,\vec{AC}\,%2B\,\vec{BC}%24.%0D%0A%0D%0ALes\,coordonnees\,des\,vecteurs\,sont\,%3A%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257BAB%257D%2520%253D%2520%255Cvec%257BOB%257D%2520-%2520%255Cvec%257BOA%257D%2520%253D%2520%25284%2520-%2520%2528-8%2529%252C%25202%2520-%25203%2529%2520%253D%2520%252812%252C%2520-1%2529%22\,alt=%22\vec{AB}\,=\,\vec{OB}\,-\,\vec{OA}\,=\,(4\,-\,(-8)%2C\,2\,-\,3)\,=\,(12%2C\,-1)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257BBC%257D%2520%253D%2520%255Cvec%257BOC%257D%2520-%2520%255Cvec%257BOB%257D%2520%253D%2520%252811%2520-%25204%252C%2520-3%2520-%25202%2529%2520%253D%2520%25287%252C%2520-5%2529%22\,alt=%22\vec{BC}\,=\,\vec{OC}\,-\,\vec{OB}\,=\,(11\,-\,4%2C\,-3\,-\,2)\,=\,(7%2C\,-5)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257BAC%257D%2520%253D%2520%255Cvec%257BOC%257D%2520-%2520%255Cvec%257BOA%257D%2520%253D%2520%252811%2520-%2520%2528-8%2529%252C%2520-3%2520-%25203%2529%2520%253D%2520%252819%252C%2520-6%2529%22\,alt=%22\vec{AC}\,=\,\vec{OC}\,-\,\vec{OA}\,=\,(11\,-\,(-8)%2C\,-3\,-\,3)\,=\,(19%2C\,-6)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%0D%0ADonc%3A%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257Bu%257D%2520%253D%2520%255Cvec%257BAB%257D%2520%252B%2520%255Cvec%257BBC%257D%2520%253D%2520%252812%252C%2520-1%2529%2520%252B%2520%25287%252C%2520-5%2529%2520%253D%2520%252819%252C%2520-6%2529%22\,alt=%22\vec{u}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{BC}\,=\,(12%2C\,-1)\,%2B\,(7%2C\,-5)\,=\,(19%2C\,-6)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257Bv%257D%2520%253D%2520%255Cvec%257BAB%257D%2520%252B%2520%255Cvec%257BAC%257D%2520%253D%2520%252812%252C%2520-1%2529%2520%252B%2520%252819%252C%2520-6%2529%2520%253D%2520%252831%252C%2520-7%2529%22\,alt=%22\vec{v}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{AC}\,=\,(12%2C\,-1)\,%2B\,(19%2C\,-6)\,=\,(31%2C\,-7)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257Bw%257D%2520%253D%2520%255Cvec%257BAC%257D%2520%252B%2520%255Cvec%257BBC%257D%2520%253D%2520%252819%252C%2520-6%2529%2520%252B%2520%25287%252C%2520-5%2529%2520%253D%2520%252826%252C%2520-11%2529%22\,alt=%22\vec{w}\,=\,\vec{AC}\,%2B\,\vec{BC}\,=\,(19%2C\,-6)\,%2B\,(7%2C\,-5)\,=\,(26%2C\,-11)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%0D%0A2.\,Ecrire\,chaque\,vecteur\,%24\vec{u}%2C\,\vec{v}%24\,et\,%24\vec{w}%24\,uniquement\,en\,fonction\,de\,%24\vec{i}%24\,et\,%24\vec{j}%24.%0D%0A%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257Bu%257D%2520%253D%252019%255Cvec%257Bi%257D%2520-%25206%255Cvec%257Bj%257D%22\,alt=%22\vec{u}\,=\,19\vec{i}\,-\,6\vec{j}%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257Bv%257D%2520%253D%252031%255Cvec%257Bi%257D%2520-%25207%255Cvec%257Bj%257D%22\,alt=%22\vec{v}\,=\,31\vec{i}\,-\,7\vec{j}%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257Bw%257D%2520%253D%252026%255Cvec%257Bi%257D%2520-%252011%255Cvec%257Bj%257D%22\,alt=%22\vec{w}\,=\,26\vec{i}\,-\,11\vec{j}%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%0D%0A3.\,Calculer\,les\,coordonnees\,du\,vecteur\,%24\vec{z}\,=\,\vec{u}\,%2B\,\vec{v}\,%2B\,\vec{w}%24.\,Que\,constate-t-on\,%3F%0D%0A%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257Bz%257D%2520%253D%2520%255Cvec%257Bu%257D%2520%252B%2520%255Cvec%257Bv%257D%2520%252B%2520%255Cvec%257Bw%257D%2520%253D%2520%252819%255Cvec%257Bi%257D%2520-%25206%255Cvec%257Bj%257D%2529%2520%252B%2520%252831%255Cvec%257Bi%257D%2520-%25207%255Cvec%257Bj%257D%2529%2520%252B%2520%252826%255Cvec%257Bi%257D%2520-%252011%255Cvec%257Bj%257D%2529%2520%253D%2520%252819%2520%252B%252031%2520%252B%252026%2529%255Cvec%257Bi%257D%2520%252B%2520%2528-6%2520-%25207%2520-%252011%2529%255Cvec%257Bj%257D%2520%253D%252076%255Cvec%257Bi%257D%2520-%252024%255Cvec%257Bj%257D%22\,alt=%22\vec{z}\,=\,\vec{u}\,%2B\,\vec{v}\,%2B\,\vec{w}\,=\,(19\vec{i}\,-\,6\vec{j})\,%2B\,(31\vec{i}\,-\,7\vec{j})\,%2B\,(26\vec{i}\,-\,11\vec{j})\,=\,(19\,%2B\,31\,%2B\,26)\vec{i}\,%2B\,(-6\,-\,7\,-\,11)\vec{j}\,=\,76\vec{i}\,-\,24\vec{j}%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%0D%0AOn\,constate\,que\,le\,vecteur\,%24\vec{z}%24\,correspond\,a\,la\,somme\,des\,trois\,vecteurs\,%24\vec{u}%2C\,\vec{v}%24\,et\,%24\vec{w}%24.\,Le\,resultat\,montre\,que\,ces\,vecteurs\,se\,combinent\,en\,un\,seul\,vecteur\,resultant.%0D%0A%0D%0A%5B%2Fexpander_maker%5D%0D%0A%0D%0A%5Bexpander_maker\,id=%221%22\,more=%22Voir\,Corriges\,41\,a\,45\,...%22%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-41%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,41\,%3A\,quelle\,est\,la\,nature\,du\,quadrilatere\,%3F%3C%2Fspan>%0D%0A1.\,Calculer\,les\,coordonnees\,de\,\(\vec{BA}\,%2B\,\vec{BC}$ Exercice 40 : coordonnees d’un vecteur somme
1. Calculer les coordonnees des vecteurs $\vec{u} = \vec{AB} + \vec{BC}$, $\vec{v} = \vec{AB} + \vec{AC}$ et $\vec{w} = \vec{AC} + \vec{BC}$.

Les coordonnees des vecteurs sont :
$\vec{AB}\,=\,\vec{OB}\,-\,\vec{OA}\,=\,(4\,-\,(-8)%2C\,2\,-\,3)\,=\,(12%2C\,-1)$
$\vec{BC}\,=\,\vec{OC}\,-\,\vec{OB}\,=\,(11\,-\,4%2C\,-3\,-\,2)\,=\,(7%2C\,-5)$
$\vec{AC}\,=\,\vec{OC}\,-\,\vec{OA}\,=\,(11\,-\,(-8)%2C\,-3\,-\,3)\,=\,(19%2C\,-6)$

Donc:
$\vec{u}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{BC}\,=\,(12%2C\,-1)\,%2B\,(7%2C\,-5)\,=\,(19%2C\,-6)$
$\vec{v}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{AC}\,=\,(12%2C\,-1)\,%2B\,(19%2C\,-6)\,=\,(31%2C\,-7)$
$\vec{w}\,=\,\vec{AC}\,%2B\,\vec{BC}\,=\,(19%2C\,-6)\,%2B\,(7%2C\,-5)\,=\,(26%2C\,-11)$

2. Ecrire chaque vecteur $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ uniquement en fonction de $\vec{i}$ et $\vec{j}$.

$\vec{u}\,=\,19\vec{i}\,-\,6\vec{j}$
$\vec{v}\,=\,31\vec{i}\,-\,7\vec{j}$
$\vec{w}\,=\,26\vec{i}\,-\,11\vec{j}$

3. Calculer les coordonnees du vecteur $\vec{z} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$. Que constate-t-on ?

$\vec{z}\,=\,\vec{u}\,%2B\,\vec{v}\,%2B\,\vec{w}\,=\,(19\vec{i}\,-\,6\vec{j})\,%2B\,(31\vec{i}\,-\,7\vec{j})\,%2B\,(26\vec{i}\,-\,11\vec{j})\,=\,(19\,%2B\,31\,%2B\,26)\vec{i}\,%2B\,(-6\,-\,7\,-\,11)\vec{j}\,=\,76\vec{i}\,-\,24\vec{j}$

On constate que le vecteur $\vec{z}$ correspond a la somme des trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$. Le resultat montre que ces vecteurs se combinent en un seul vecteur resultant.

[/expander_maker]

Voir Corrigés 31 à 40 ...

Exercice 41 : quelle est la nature du quadrilatere ?
1. Calculer les coordonnees de \(\vec{BA} + \vec{BC} » align= »absmiddle » /> :

$\vec{BA}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-3\,-\,2\,\\%0D%0A-1\,-\,(-2)%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-5\,\\%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}$

$\vec{BC}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A6\,-\,2\,\\%0D%0A1\,-\,(-2)%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A4\,\\%0D%0A3%0D%0A\end{pmatrix}$

$\vec{BA}\,%2B\,\vec{BC}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-5\,\\%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}\,%2B\,\begin{pmatrix}%0D%0A4\,\\%0D%0A3%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-1\,\\%0D%0A4%0D%0A\end{pmatrix}$

2. Déterminer les coordonnées de telles que $\vec{BD}\,=\,\vec{BA}\,%2B\,\vec{BC}$ :

Puisque $\vec{BD}\,=\,\vec{BA}\,%2B\,\vec{BC}$ , on utilise les coordonnées trouvées ci-dessus :

$\vec{BD}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-1\,\\%0D%0A4%0D%0A\end{pmatrix}$

$D(x_D%2C\,y_D)\,\,tels\,que\,\,\vec{BD}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0Ax_D\,-\,2\,\\%0D%0Ay_D\,-\,(-2)%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-1\,\\%0D%0A4%0D%0A\end{pmatrix}$

On obtient donc :

$x_D\,-\,2\,=\,-1\,\implies\,x_D\,=\,1$

$y_D\,%2B\,2\,=\,4\,\implies\,y_D\,=\,2$

Donc $D(1%2C\,2)$ .

3. Calculer les coordonnées de telles que $\vec{BA}\,=\,\vec{AE}$ :

Puisque $\vec{BA}\,=\,\vec{AE}$ , on utilise $\vec{BA}$ trouvé précédemment :

$\vec{AE}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-5\,\\%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}$

$E(x_E%2C\,y_E)\,\,tels\,que\,\,\vec{AE}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0Ax_E\,-\,(-3)\,\\%0D%0Ay_E\,-\,(-1)%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-5\,\\%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}$

On obtient donc :

$x_E\,%2B\,3\,=\,-5\,\implies\,x_E\,=\,-8$

$y_E\,%2B\,1\,=\,1\,\implies\,y_E\,=\,0$

Donc $E(-8%2C\,0)$ .

4. Quelle est la nature du quadrilatère AEDC ? Justifier.

Calculons les vecteurs $\vec{AE}$ et $\vec{ED}$ :

$\vec{AE}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-8\,-\,(-3)\,\\%0D%0A0\,-\,(-1)%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-5\,\\%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}$

$\vec{ED}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A1\,-\,(-8)\,\\%0D%0A2\,-\,0%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A9\,\\%0D%0A2%0D%0A\end{pmatrix}$

Pour comprendre la nature du quadrilatère AEDC , comparons aussi les vecteurs $\vec{DC}$ et $\vec{CA}$ :

$\vec{DC}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A6\,-\,1\,\\%0D%0A1\,-\,2%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A5\,\\%0D%0A-1%0D%0A\end{pmatrix}$

$\vec{CA}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-3\,-\,6\,\\%0D%0A-1\,-\,1%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-9\,\\%0D%0A-2%0D%0A\end{pmatrix}$

Nous observons que :

$\vec{AE}\,=\,k\times \,\vec{DC}\,\,avec\,\,k\,=\,-1$

Et aussi :

$\vec{ED}\,=\,-\,\vec{CA}$

Conclusion : Puisque les vecteurs $\vec{AE}$ est opposé à $\vec{DC}$ et $\vec{ED}$ est opposé à $\vec{CA}$ , le quadrilatère AEDC est un parallélogramme.

Exercice 42 : vecteurs colinéaires
1. Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ .

$A(-8%2C\,3)%2C\,B(7%2C\,2)$

Les coordonnées de $\vec{AB}$ se calculent en faisant $B\,-\,A$ .

$\vec{AB}\,=\,(7\,-\,(-8)%2C\,2\,-\,3)\,=\,(7\,%2B\,8%2C\,2\,-\,3)\,=\,(15%2C\,-1)$

2. Calculer les coordonnées de $\vec{CD}$ .

$C(-5%2C\,3)%2C\,D(9%2C\,-1)$

Les coordonnées de $\vec{CD}$ se calculent en faisant $D\,-\,C$ .

$\vec{CD}\,=\,(9\,-\,(-5)%2C\,-1\,-\,3)\,=\,(9\,%2B\,5%2C\,-1\,-\,3)\,=\,(14%2C\,-4)$

3. Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont-ils colinéaires ?

Deux vecteurs $\vec{u}(u_1%2C\,u_2)$ et $\vec{v}(v_1%2C\,v_2)$ sont colinéaires s’il existe un réel tel que $\vec{u}\,=\,k\vec{v}$ .

Soit $\vec{AB}\,=\,(15%2C\,-1)$ et $\vec{CD}\,=\,(14%2C\,-4)$ .

Cherchons tel que $\vec{AB}\,=\,k\vec{CD}$ .

$\begin{cases}%0D%0A15\,=\,14k\,\\%0D%0A-1\,=\,-4k%0D%0A\end{cases}$

De $15\,=\,14k$ , on obtient $k\,=\,\frac{15}{14}$ .

De $-1\,=\,-4k$ , on obtient $k\,=\,\frac{1}{4}$ .

Puisque $\frac{15}{14}\,\neq\,\frac{1}{4}$ , les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ne sont pas colinéaires.

4. Qu’en déduit-on pour les droites (AB) et (CD) ?

Puisque les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ne sont pas colinéaires, les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.

Exercice 43 : coordonnées et vecteurs colinéaires
$Soient\,\,A(-5\,%3B\,-4)%2C\,B(11\,%3B\,4)\,\,et\,\,C(-1\,%3B\,-2)\,\,trois\,points\,du\,plan.$

1. Calculons les coordonnées de $\vec{AB}$ .
$\vec{AB}\,=\,B\,-\,A\,=\,(11\,-\,(-5)%2C\,4\,-\,(-4))\,=\,(11\,%2B\,5%2C\,4\,%2B\,4)\,=\,(16%2C\,8)$

2. Calculons les coordonnées de $\vec{AC}$ .
$\vec{AC}\,=\,C\,-\,A\,=\,(-1\,-\,(-5)%2C\,-2\,-\,(-4))\,=\,(-1\,%2B\,5%2C\,-2\,%2B\,4)\,=\,(4%2C\,2)$

3. Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont-ils colinéaires ?

Pour déterminer si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, nous devons vérifier si l’un est un multiple de l’autre.

$\vec{AB}\,=\,(16%2C\,8)$
$\vec{AC}\,=\,(4%2C\,2)$
Nous observons que :
$\vec{AB}\,=\,4\,\times \,\vec{AC}\,\,car\,\,(16%2C\,8)\,=\,4\,\times \,(4%2C\,2)$
Donc, $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

4. Qu’en déduit-on pour les points , et ?

Puisque $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, cela signifie que les points , et sont alignés.

Exercice 44 : quels vecteurs sont colinéaires ?
1. Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ , $\vec{k}$ , $\vec{r}$ et $\vec{s}$ .

– Pour $\vec{u}$ (vecteur bleu) : origine en (0%2C0) et terminaison en (3%2C2) . Donc, $\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,2\,\end{pmatrix}$ .
– Pour $\vec{v}$ (vecteur rouge) : origine en (0%2C0) et terminaison en (3%2C6) . Donc, $\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,6\,\end{pmatrix}$ .
– Pour $\vec{w}$ (vecteur vert) : origine en (3%2C1) et terminaison en (6%2C1) . Donc, $\vec{w}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,0\,\end{pmatrix}$ .
– Pour $\vec{k}$ (vecteur violet) : origine en (1%2C1) et terminaison en (3%2C1) . Donc, $\vec{k}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,0\,\end{pmatrix}$ .
– Pour $\vec{r}$ (vecteur orange) : origine en (0%2C0) et terminaison en . Donc, $\vec{r}\,=\,\begin{pmatrix}\,-4\,\\\,8\,\end{pmatrix}$ .
– Pour $\vec{s}$ (vecteur jaune) : origine en (2%2C1) et terminaison en (4%2C5) . Donc, $\vec{s}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,4\,\end{pmatrix}$ .

2. Quels vecteurs sont colinéaires ? Déterminer la relation liant ces vecteurs.

Les vecteurs colinéaires satisfont la relation $\vec{a}\,=\,k\vec{b}$ .

– $\vec{v}$ et $\vec{s}$ sont colinéaires:
$\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,6\,\end{pmatrix}\,\quad\,et\,\quad\,\vec{s}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,4\,\end{pmatrix}$
En simplifiant $\vec{s}$ , nous obtenons :
$\vec{s}\,=\,2\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,2\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,4\,\end{pmatrix}$
Et en simplifiant $\vec{v}$ , nous obtenons :
$\vec{v}\,=\,1.5\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,4\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,6\,\end{pmatrix}$
Donc, $\vec{v}\,=\,1.5\,\vec{s}$ .

– $\vec{u}$ et $\vec{s}$ ne sont pas colinéaires car
$\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,2\,\end{pmatrix}\,\quad\,et\,\quad\,\vec{s}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,4\,\end{pmatrix}$
Les coordonnées ne sont pas multiples l’une de l’autre.

– $\vec{k}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires:
$\vec{k}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,0\,\end{pmatrix}\,\quad\,et\,\quad\,\vec{w}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,0\,\end{pmatrix}$
En simplifiant $\vec{k}$ , nous obtenons :
$\vec{k}\,=\,2\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,0\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,0\,\end{pmatrix}$
Et en simplifiant $\vec{w}$ , nous obtenons :
$\vec{w}\,=\,3\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,0\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,0\,\end{pmatrix}$
Donc, $\vec{w}\,=\,1.5\,\vec{k}$ .

– $\vec{r}$ n’est colinéaire avec aucun des autres vecteurs.

Exercice 45 : déterminer le réel a pour que les vecteurs soient colinéaires
1. $\vec{u}(\,\begin{array}{c}\,5\,\\\,-8\,\end{array}\,)$ et $\vec{v}(\,\begin{array}{c}\,a\,\\\,25\,\end{array}\,)$

Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il doit exister un scalaire tel que:

$(\,\begin{array}{c}\,a\,\\\,25\,\end{array}\,)\,=\,k\,(\,\begin{array}{c}\,5\,\\\,-8\,\end{array}\,)$

Cela implique:
$a\,=\,5k$
$25\,=\,-8k$

En résolvant la seconde équation pour :

$k\,=\,\frac{25}{-8}\,=\,-\frac{25}{8}$

Ensuite, substituons dans la première équation:
$a\,=\,5\,\times \,(\,-\frac{25}{8}\,)\,=\,-\frac{125}{8}$

Donc, $a\,=\,-\frac{125}{8}$ .

2. $\vec{u}(\,\begin{array}{c}\,\frac{3}{5}\,\\\,-\frac{7}{12}\,\end{array}\,)$ et $\vec{v}(\,\begin{array}{c}\,-\frac{2}{7}\,\\\,a\,\end{array}\,)$

Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il doit exister un scalaire tel que:

$(\,\begin{array}{c}\,-\frac{2}{7}\,\\\,a\,\end{array}\,)\,=\,k\,(\,\begin{array}{c}\,\frac{3}{5}\,\\\,-\frac{7}{12}\,\end{array}\,)$

Cela implique:
$-\frac{2}{7}\,=\,k\,\times \,\frac{3}{5}$
$a\,=\,k\,\times \,-\frac{7}{12}$

Résolvons la première équation pour :

$k\,=\,-\frac{2}{7}\,: \,\frac{3}{5}\,=\,-\frac{2}{7}\,\times \,\frac{5}{3}\,=\,-\frac{10}{21}$

Substituons dans la deuxième équation:
$a\,=\,-\frac{10}{21}\,\times \,-\frac{7}{12}\,=\,\frac{70}{252}\,=\,\frac{35}{126}\,=\,\frac{5}{18}$

Donc, $a\,=\,\frac{5}{18}$ .

3. $\vec{u}(\,\begin{array}{c}\,3\,\\\,1\,\\\,6\,\end{array}\,)$ et $\vec{v}(\,\begin{array}{c}\,a\,\\\,-2\,\\\,3\,\end{array}\,)$

Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il existe un scalaire tel que:

$(\,\begin{array}{c}\,a\,\\\,-2\,\\\,3\,\end{array}\,)\,=\,k\,(\,\begin{array}{c}\,3\,\\\,1\,\\\,6\,\end{array}\,)$

Cela implique:
$a\,=\,3k$
$-2\,=\,k$
$3\,=\,6k$

La deuxième équation $k\,=\,-2$ doit être utilisée:
$a\,=\,3\,\times \,(-2)\,=\,-6$

Donc, $a\,=\,-6$ .

4. $\vec{u}(\,\begin{array}{c}\,7\,\\\,3\,\end{array}\,)$ et $\vec{v}(\,\begin{array}{c}\,2a\,%2B\,5\,\\\,-3a\,%2B\,2\,\end{array}\,)$

Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il existe un scalaire tel que:

$(\,\begin{array}{c}\,2a\,%2B\,5\,\\\,-3a\,%2B\,2\,\end{array}\,)\,=\,k\,(\,\begin{array}{c}\,7\,\\\,3\,\end{array}\,)$

Cela implique:
$2a\,%2B\,5\,=\,7k$
$-3a\,%2B\,2\,=\,3k$

Résolvons ces deux équations simultanément. Exprimons à partir de chacune:

$k\,=\,\frac{2a\,%2B\,5}{7}$
$k\,=\,\frac{-3a\,%2B\,2}{3}$

Égalons les deux expressions pour :

$\frac{2a\,%2B\,5}{7}\,=\,\frac{-3a\,%2B\,2}{3}$

Résolvons pour :

$3(2a\,%2B\,5)\,=\,7(-3a\,%2B\,2)$
$6a\,%2B\,15\,=\,-21a\,%2B\,14$
$6a\,%2B\,21a\,=\,14\,-\,15$
$27a\,=\,-1$
$a\,=\,-\frac{1}{27}$

Ainsi, $a\,=\,-\frac{1}{27}$ .

Voir Corriges 41 a 45 ...

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