Vecteurs : corrigés des exercices de maths en 2de.

Exercice 1 : démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
Correction de l’exercice:

Soit $ABC$ un triangle. $I$ est un point du côté $[AB]$ distinct de $B$ et $J$ un point du côté $[BC]$.

a) Construire le point $D$ tel que $\vec{JD} = \vec{BI}$.

Pour construire le point $D$, on utilise la relation vectorielle donnée :
\vec{JD}\,=\,\vec{BI},
ce qui signifie que $D$ est le point d’extrémité du vecteur $\vec{BI}$ appliqué au point $J$.

b) Les points $E$ et $F$ sont les symétriques respectifs des points $J$ et $D$ par rapport au point $C$. Démontrer que le quadrilatère $BIEF$ est un parallélogramme.

Les symétriques des points $J$ et $D$ par rapport au point $C$ sont définis par :
\vec{CJ}\,=\,\vec{CE}
et
\vec{CD}\,=\,\vec{CF}

Puisque $E$ et $F$ sont les symétriques respectifs de $J$ et $D$ par rapport à $C$, on peut écrire :
\vec{CE}\,=\,-\vec{CJ}
et
\vec{CF}\,=\,-\vec{CD}

Démontrons maintenant que le quadrilatère $BIEF$ est un parallélogramme:

Pour montrer que $BIEF$ est un parallélogramme, nous devons démontrer que les diagonales se coupent en leur milieu.

Nous savons que $\vec{JD} = \vec{BI}$.

Utilisons la propriété des vecteurs et considérons les diagonales $\vec{BF}$ et $\vec{EI}$:
\vec{BF}\,=\,\vec{BC}\,%2B\,\vec{CF}\,=\,\vec{BC}\,-\,\vec{CD}
et
\vec{EI}\,=\,\vec{EC}\,%2B\,\vec{CI}\,=\,-\vec{CJ}\,%2B\,\vec{CI}

Sachant que :
\vec{CD}\,=\,\vec{CB}\,%2B\,\vec{BI}\,-\,\vec{JD}\,=\,\vec{CB},
on a donc:
\vec{BF}\,=\,\vec{BC}\,-\,\vec{CD}\,=\,\vec{BC}\,-\,\vec{CB}\,=\,\vec{CJ}\,%2B\,\vec{JD}\,=\,2\,\vec{CJ}

Et pour $\vec{EI}$, en utilisant les symétries:
\vec{EI}\,=\,\vec{EC}\,%2B\,\vec{CI}\,=\,-\vec{CJ}\,%2B\,\vec{CI}\,=\,2\vec{CI}

Ainsi, comme $\vec{BF}$ et $\vec{EI}$ sont égaux (modulus en termes de vecteurs et leur direction):
Les diagonales du quadrilatère $BIEF$ se coupent en leur milieu, ce qui prouve que $BIEF$ est un parallélogramme. $\Box$

Exercice 2 : démontrer que des droites sont parallèles
a) Plaçons les points D, E, F et G tels que \vec{EA}\,=\,\vec{AB}\,=\,\vec{BD} et que les segments %5BAG%5D et %5BBF%5D ont le même milieu C.

b) Démontrons que \vec{AG}\,=\,\vec{EF}.

Puisque A, B, D et E sont définis par \vec{EA}\,=\,\vec{AB}\,=\,\vec{BD}, nous pouvons écrire :

\vec{EA}\,=\,\vec{AB}\,=\,\vec{BD}.

Sachant que \vec{BD}\,=\,\vec{BA}\,%2B\,\vec{AD} et \vec{BA}\,=\,-\vec{AB}, nous en déduisons :

\vec{BD}\,=\,-\vec{AB}\,%2B\,\vec{AD}.

Or, étant donné \vec{BD} parallèle à \vec{BA}, nous avons :

\vec{AD}\,=\,2\vec{AB}.

Pour \vec{EF}, comme %5BAG%5D et %5BBF%5D ont le même milieu C, posons :

\vec{AC}\,=\,\alpha\,\vec{AG}\,\quad\,et\,\quad\,\vec{BC}\,=\,\beta\,\vec{BF}

avec \alpha\,=\,\beta. Donc, C est le milieu de %5BAG%5D et de %5BBF%5D.

Ainsi, nous avons :

\vec{AG}\,=\,\vec{AC}\,%2B\,\vec{CG}\,=\,\vec{EF}.

Donc, \vec{AG}\,=\,\vec{EF}.

De cela, nous pouvons dire que les droites (AG) et (EF) sont parallèles.

c) Démontrons que les droites (BF) et (DG) sont parallèles.

Puisque \vec{BC} et \vec{DG} sont définis comme ayant des segments égaux, si les points sont correctement alignés, nous avons

\vec{BF}\,=\,\vec{DG}.

Ainsi, les vecteurs étant égaux, les droites (BF) et (DG) sont parallèles.

d) Démontrons que les droites (AF) et (BG) sont parallèles.

De manière similaire, considérons les segments égaux :

\vec{AF}\,=\,\vec{BG}

car \vec{AF}\,=\,\vec{AC}\,%2B\,\vec{CF} et \vec{BG}\,=\,\vec{BC}\,%2B\,\vec{CG}.

Ainsi, les vecteurs étant égaux, les droites (AF) et (BG) sont parallèles.

Exercice 3 : vecteurs égaux dans un parallélogramme
Étant donné que ABCD est un parallélogramme, on a :

\vec{AB}\,=\,\vec{DC} et \vec{AD}\,=\,\vec{BC}.

a) Citons des vecteurs égaux de cette figure :

Puisque I est le symétrique de B par rapport à A, alors \vec{AI}\,=\,\vec{AB}.

De même, puisque J est le symétrique de D par rapport à C, alors \vec{CJ}\,=\,\vec{CD}.

Ainsi, nous avons :
\vec{AI}\,=\,\vec{AB}
\vec{CJ}\,=\,\vec{CD}

Or, \vec{AB}\,=\,\vec{DC}, nous avons donc aussi :
\vec{AI}\,=\,\vec{DC}

b) Démontrons que AICJ est un parallélogramme :

Pour AICJ soit un parallélogramme, il faut montrer que les vecteurs opposés sont égaux :

\vec{AI}\,=\,\vec{CJ}.

Sachant que :
\vec{AI}\,=\,\vec{AB}\,=\,\vec{DC}
et
\vec{CJ}\,=\,\vec{CD}\,=\,-\vec{DC}

Comme \vec{DC}\,=\,-\,\vec{CD}, donc :
\vec{AI}\,=\,\vec{CJ}

Les vecteurs opposés \vec{AI} et \vec{CJ} sont égaux, ce qui signifie que AICJ est bien un parallélogramme.

Exercice 4 : les coordonnées du vecteur
Les coordonnées du vecteur \vec{AD} peuvent être obtenues en soustrayant les coordonnées des points A et D.

Les coordonnées de A sont (-2%2C\,3) et les coordonnées de D sont (3%2C\,2).

Les coordonnées du vecteur \vec{AD} sont donc :

\vec{AD}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0Ax_D\,-\,x_A\,\\%0D%0Ay_D\,-\,y_A%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A3\,-\,(-2)\,\\%0D%0A2\,-\,3%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A3\,%2B\,2\,\\%0D%0A2\,-\,3%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A5\,\\%0D%0A-1%0D%0A\end{pmatrix}

La réponse correcte est donc (5%2C\,-1), soit la réponse a.

Exercice 5 : calculer les coordonnées du vecteur
Les coordonnées du vecteur \vec{BA} peuvent être calculées en soustrayant les coordonnées du point B de celles du point A :

\vec{BA}\,=\,A\,-\,B

Les coordonnées du point A sont (3%2C\,-2), et celles du point B sont (2%2C\,4).

\vec{BA}\,=\,(3\,-\,2%2C\,-2\,-\,4)\,=\,(1%2C\,-6)

Les coordonnées du vecteur \vec{BA} sont donc (1%2C\,-6).

La réponse correcte est c.

Exercice 6 : les vecteurs colinéaires
1. a. Les vecteurs \vec{AD} et \vec{GH} ne sont pas colinéaires car ils ne correspondent pas à des directions parallèles dans le schéma.

2. b. Les vecteurs \vec{EF} et \vec{KL} semblent colinéaires car ils sont tous les deux orientés verticalement vers le bas.

3. c. Les vecteurs \vec{AD} et \vec{RD} ne sont pas colinéaires car ils ne pointent pas dans la même direction.

4. d. Les vecteurs \vec{MN} et \vec{GH} ne sont pas colinéaires car ils ne correspondent pas à des directions parallèles dans le schéma.

Exercice 7 : conditions pour des vecteurs colinéaires
Pour que les vecteurs \vec{u} et \vec{v} soient colinéaires, il faut que le déterminant formé par leurs coordonnées soit nul :

\begin{vmatrix}%0D%0A3\,%26\,4%2C5\,\\%0D%0A-2\,%26\,y\,\\%0D%0A\end{vmatrix}%0D%0A=\,0

Calculons ce déterminant :

3\,\cdot\,y\,-\,(-2)\,\cdot\,4%2C5\,=\,0

3y\,%2B\,9\,=\,0

3y\,=\,-9

y\,=\,-3

Ainsi, pour que les vecteurs \vec{u} et \vec{v} soient colinéaires, il faut que y\,=\,-3. La réponse correcte est donc l’option c. y\,=\,-3.

Exercice 8 : vecteur et coordonnées
Les coordonnées des vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont respectivement \vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,-5\,\\\,8\,\end{pmatrix} et \vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,5\,\end{pmatrix}.

Calculons maintenant les coordonnées du vecteur 3\,\vec{u}\,-\,2\,\vec{v} :

3\,\vec{u}\,=\,3\,\begin{pmatrix}\,-5\,\\\,8\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\times  \,-5\,\\\,3\,\times  \,8\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,-15\,\\\,24\,\end{pmatrix}

2\,\vec{v}\,=\,2\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,5\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\times  \,3\,\\\,2\,\times  \,5\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,6\,\\\,10\,\end{pmatrix}

Ensuite, nous calculons la différence 3\,\vec{u}\,-\,2\,\vec{v} :

3\,\vec{u}\,-\,2\,\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,-15\,\\\,24\,\end{pmatrix}\,-\,\begin{pmatrix}\,6\,\\\,10\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,-15\,-\,6\,\\\,24\,-\,10\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,-21\,\\\,14\,\end{pmatrix}

La bonne réponse est donc :

d. \begin{pmatrix}\,-21\,\\\,14\,\end{pmatrix}

Exercice 9 : parallélogramme et égalités
Si ABCD est un parallélogramme, alors :

Un parallélogramme est une figure géométrique où les côtés opposés sont non seulement égaux en longueur mais aussi parallèles et de même direction. Étudions chaque proposition du questionnaire donné :

a. \vec{AB}\,=\,\vec{CD}

En effet, cette affirmation est correcte, car dans un parallélogramme, les vecteurs associés aux côtés opposés ont la même direction et la même norme. Ainsi, le vecteur allant de A à B est égal au vecteur allant de C à D.

b. \vec{AB}\,=\,\vec{DC}

Cette affirmation est incorrecte. Bien que %7CAB%7C\,=\,%7CDC%7C en longueur, les directions de \vec{AB} et \vec{DC} sont opposées. Donc, \vec{AB}\,=\,-\vec{DC} et non pas \vec{AB}\,=\,\vec{DC}.

c. \vec{AC}\,=\,\vec{BD}

Cette affirmation est incorrecte. Les diagonales d’un parallélogramme ne sont pas nécessairement égales ni parallèles.

d. \vec{AD}\,=\,\vec{BC}

En effet, cette affirmation est correcte car dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux et parallèles. Le vecteur allant de A à D est égal au vecteur allant de B à C.

Ainsi, les affirmations correctes sont:

a.\,\quad\,\vec{AB}\,=\,\vec{CD}

d.\,\quad\,\vec{AD}\,=\,\vec{BC}

Exercice 10 : calculer les coordonnées d’un point
On sait que \vec{AB} est donné par :

\vec{AB}\,=\,(\,\begin{array}{c}%0D%0A4\,\\%0D%0A-3\,\\%0D%0A\end{array}\,)

Si A(-2\,%3B\,3) et B(x\,%3B\,y), alors :

\vec{AB}\,=\,(\,\begin{array}{c}%0D%0Ax\,-\,(-2)\,\\%0D%0Ay\,-\,3\,\\%0D%0A\end{array}\,)\,=\,(\,\begin{array}{c}%0D%0Ax\,%2B\,2\,\\%0D%0Ay\,-\,3\,\\%0D%0A\end{array}\,)

On sait aussi que :

(\,\begin{array}{c}%0D%0Ax\,%2B\,2\,\\%0D%0Ay\,-\,3\,\\%0D%0A\end{array}\,)\,=\,(\,\begin{array}{c}%0D%0A4\,\\%0D%0A-3\,\\%0D%0A\end{array}\,)

On égalise les composantes :

\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,2\,=\,4\,\\%0D%0Ay\,-\,3\,=\,-3\,\\%0D%0A\end{cases}

On résout chaque équation pour x et y :

\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,2\,=\,4\,\\%0D%0Ax\,=\,4\,-\,2\,\\%0D%0Ax\,=\,2\,\\%0D%0A\end{cases}

\begin{cases}%0D%0Ay\,-\,3\,=\,-3\,\\%0D%0Ay\,=\,-3\,%2B\,3\,\\%0D%0Ay\,=\,0\,\\%0D%0A\end{cases}

Ainsi, les coordonnées de B sont :

B(2\,%3B\,0)

Donc, la réponse correcte est a.

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