Symétrie centrale : corrigés des exercices de maths en 5ème.

Exercice 11 : propriétés de la symétrie centrale
Correction de l’exercice :

1. Donner, en justifiant, chaque longueur :

a. \( B’C’ \)

Comme \( B’ \) et \( C’ \) sont les symétriques respectifs de \( B \) et \( C \) par rapport à \( A \), on a :
\[ B’C’ = BC = 5 \, \text{cm} \]

b. \( C’D’ \)

Comme \( C’ \) et \( D’ \) sont les symétriques respectifs de \( C \) et \( D \) par rapport à \( A \), on a :
\[ C’D’ = CD = 3 \, \text{cm} \]

c. \( D’A \)

Comme \( D’ \) est le symétrique de \( D \) par rapport à \( A \), on a :
\[ D’A = DA = 3 \, \text{cm} \]

d. \( BB’ \)

Comme \( B’ \) est le symétrique de \( B \) par rapport à \( A \), on a :
\[ BB’ = 2 \times AB = 2 \times 7 \, \text{cm} = 14 \, \text{cm} \]

2. Que peut-on dire des droites :

a. \( (BC) \) et \( (B’C’) \) ?

Les droites \( (BC) \) et \( (B’C’) \) sont symétriques par rapport à \( A \), donc elles sont parallèles :
\[ (BC) \parallel (B’C’) \]

b. \( (AB) \) et \( (D’A) \) ?

Les droites \( (AB) \) et \( (D’A) \) sont confondues par la symétrie centrale par rapport à \( A \) :
\[ (AB) = (D’A) \]

Exercice 12 : utiliser les propriétés de la symétrie
Les droites \( (AC) \) et \( (EG) \) sont parallèles. En effet, les quadrilatères \( ABCD \) et \( EFGH \) sont symétriques par rapport au point \( O \). Cela signifie que pour chaque point \( X \) du quadrilatère \( ABCD \), il existe un point \( X’ \) du quadrilatère \( EFGH \) tel que \( O \) est le milieu du segment \( [XX’] \).

En particulier, le point \( A \) est symétrique du point \( E \) par rapport à \( O \), et le point \( C \) est symétrique du point \( G \) par rapport à \( O \). Ainsi, les segments \( [AC] \) et \( [EG] \) sont symétriques par rapport à \( O \). Par la propriété de la symétrie centrale, deux segments symétriques par rapport à un point sont parallèles.

Donc, les droites \( (AC) \) et \( (EG) \) sont parallèles.

Exercice 13 : les propriétés de la symétrie centrale

Les triangles \( \triangle ABC \) et \( \triangle RST \) sont symétriques par rapport au point \( O \), donc ils sont congruents.
Les longueurs des côtés correspondants sont égales :
\[
\overline{AB} = \overline{RS} = 1{,}5 \ \text{cm}
\]
\[
\overline{BC} = \overline{ST} = 2 \ \text{cm}
\]
L’angle au sommet \( T \) est égal à celui au sommet \( B \), donc :
\[
\angle STR = \angle ABC = 110^\circ
\]

Exercice 14 : utilisation des propriétés de la symétrie centrale
Pour chaque figure symétrique, nous allons appliquer les propriétés de la symétrie centrale pour justifier les réponses.

1. Première figure (quadrilatères BCDE et FGHI) :

– D’après la propriété 3 (« La symétrie centrale conserve les longueurs »), les segments \(BC = FG\), \(CD = GH\), \(DE = HI\) et \(EB = IF\) sont égaux.
– On peut aussi observer que les angles sont conservés par la symétrie centrale (propriété 4). Ainsi, l’angle \( \angle BCD = \angle FGH \).

2. Deuxième figure (triangle ABC et triangle DEF) :

– La symétrie centrale conserve les longueurs (propriété 3), ce qui implique \(AB = DE\), \(BC = EF\) et \(CA = FD\).
– Les droites parallèles sont conservées (propriété 2), ce qui implique que \( \overline{AB} \parallel \overline{DE} \), \( \overline{BC} \parallel \overline{EF} \) et \( \overline{CA} \parallel \overline{FD} \).

3. Troisième figure (quadrilatères LMNO et PQRS) :

– La symétrie centrale conserve les longueurs (propriété 3), ainsi les longueurs des segments correspondants sont égales : \(LM = PQ\), \(MN = QR\), \(NO = RS\) et \(OL = SP\).
– Angles aussi sont conservés par la symétrie centrale (propriété 4), donc \( \angle LMN = \angle PQO \), \( \angle MNO = \angle QRS \), \( \angle NOL = \angle RSP \) et \( \angle OLM = \angle SPL \).

4. Quatrième figure (cercles concentriques de centre O) :

– Les cercles sont symétriques par rapport au point O (propriété 2), donc ils ont non seulement le même rayon, mais sont en fait identiques, ce qui correspond également à la propriété 5 (même aire et même périmètre).

En résumé :

– La première figure utilise principalement les propriétés 3 et 4 de la symétrie centrale.
– La deuxième figure utilise les propriétés 3 et 2.
– La troisième figure utilise les propriétés 3 et 4.
– La quatrième figure utilise les propriétés 2 et 5.

Exercice 15 : construire le symétrique de la figure
Pour construire le symétrique d’une figure par rapport à un point \( I \), il suffit de suivre les étapes suivantes :

1. Pour chaque point \( A \) de la figure originale, tracer la droite \( (IA) \).
2. Prolonger cette droite de telle sorte que le segment \( IA = IA’ \), où \( A’ \) est le point symétrique de \( A \) par rapport à \( I \).
3. Répéter ce processus pour tous les points essentiels de la figure.
4. Relier les points \( A’ \) obtenus pour former la figure symétrique.

Voici les détails des étapes appliquées à la figure fournie :

Les points clés de la figure initiale seront symétrisés par rapport au point \( I \). Pour chaque point \( A \), nous construisons le point \( A’ \) de l’autre côté de \( I \) à la même distance. Supposons que les points où les arcs de cercle se rencontrent et les sommets du triangle intérieur sont les points clés :

1. Tracer le symétrique des points des intersections des cercles par rapport à \( I \).
2. Tracer le symétrique des sommets du triangle intérieur par rapport à \( I \).
3. Prolonger les segments et courbes pour relier ces nouveaux points en suivant le même motif que la figure originale.

\[
\begin{array}{c}
\text{Points clés} \\
\text{Original:} (A, B, C, D,…) \\
\text{Symétrique:} (A’, B’, C’, D’,…) \\
\end{array}
\]

Relier les points \( A’ \), \( B’ \), \( C’ \), \( D’ \), etc. en suivant le même cheminement de la figure initiale :

– Arcs de cercle,
– Segments de lignes,
– Points de jonction.

Cela donnera une figure qui est le symétrique exact de la figure originale par rapport au point \( I \).

Exercice 16 : construire le symétrique en utilisant le quadrillage
Correction de l’exercice:

Pour construire le symétrique d’une figure par rapport à un point \( O \), nous devons placer chaque point de la figure d’origine de l’autre côté du point \( O \), à une distance égale.

a.
– Identifions les points clefs et leur symétrique par rapport au point \( O \):
1. Le point \( A(2,2) \) qui devient \( A'(-2,-2) \).
2. Le point \( B(3,2) \) qui devient \( B'(-3,-2) \).
3. Le point \( C(2,3) \) qui devient \( C'(-2,-3) \).
4. Le point \( D(3,3) \) qui devient \( D'(-3,-3) \).
5. Le centre du cercle situé en \( E(2,5) \) devient \( E'(-2,-5) \).

b.
– Identifions les points clefs et leur symétrique par rapport au point \( O \):
1. Le point \( A(3,6) \) qui devient \( A'(-3,-6) \).
2. Le point \( B(4,7) \) qui devient \( B'(-4,-7) \).
3. Le point \( C(5,6) \) qui devient \( C'(-5,-6) \).
4. Le point \( D(5,5) \) qui devient \( D'(-5,-5) \).
5. Le point \( E(4,4) \) qui devient \( E'(-4,-4) \).
6. Le point \( F(3,5) \) qui devient \( F'(-3,-5) \).
7. Le point \( G(3,2) \) qui devient \( G'(-3,-2) \).
8. Le point \( H(4,3) \) qui devient \( H'(-4,-3) \).
9. Le point \( I(5,2) \) qui devient \( I'(-5,-2) \).

c.
– Identifions les points clefs et leur symétrique par rapport au point \( O \):
1. Le point \( A(6,8) \) qui devient \( A'(-6,-8) \).
2. Le point \( B(7,7) \) qui devient \( B'(-7,-7) \).
3. Le point \( C(8,6) \) qui devient \( C'(-8,-6) \).
4. Le point \( D(9,5) \) qui devient \( D'(-9,-5) \).
5. Le point \( E(6,4) \) qui devient \( E'(-6,-4) \).
6. Le point \( F(5,2) \) qui devient \( F'(-5,-2) \).
7. Le point \( G(4,1) \) qui devient \( G'(-4,-1) \).
8. Le point \( H(3,2) \) qui devient \( H'(-3,-2) \).
9. Le point \( I(2,3) \) qui devient \( I'(-2,-3) \).
10. Le point \( J(1,4) \) qui devient \( J'(-1,-4) \).

Les symétriques des figures devraient être tracés sur le même repère en utilisant les points calculés ci-dessus. Assurez-vous que chaque point est correctement localisé et connectez-les pour obtenir la figure complète.

En utilisant LaTeX pour représenter les équations mathématiques des transformations :

\[
\begin{aligned}
\text{Symétrie par rapport à l’origine :} \\
\text{Si } (x, y) \text{ est un point sur la figure, alors son symétrique est } (-x, -y). \\
\end{aligned}
\]

Ainsi, chaque point de la figure est simplement transformé en son opposé par rapport à l’origine.

Exercice 17 : construire le symétrique de la tête
Pour construire la symétrique de cette figure par rapport au point \(O \) en utilisant uniquement le compas, voici les étapes suivies :

1. Placer la pointe sèche du compas sur les deux extrémités du segment du grand cercle et tracer des arcs de cercle intermédiaires.
2. Reproduire cette opération pour obtenir l’intersection.
3. Reproduire l’opération sur l’autre côté du grand cercle.
4. Reproduire l’opération pour le diamètre du cercle, obtention de l’intersection du cercle de taille moyenne.
5. Placer la pointe sèche de O vers l’autre cercle en intersection à la même longueur.
6. Reproduire les cercles secondaires et intersection vers celle alignée à la première.
7. Les points du des segments intérieurs deux yeux se prolongent vers l’autre intersection pour l’équivalence.

Ces étapes permettent de dessiner le symétrique de la figure initiale en utilisant seulement un compas.

Exercice 18 : quel est le point symétrique ?
| Point | B | L | A | N | C |
|————-|—|—|—|—|—|
| Symétrique | G | R | P | U | E |

En utilisant LaTeX :

« `latex
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Point} B L A N C \\
\hline
\text{Symétrique} G R P U E \\
\hline
\end{array}
« `

Exercice 19 : tracer le symétrique de cette figure
Pour reproduire la figure et tracer la symétrique par rapport au point \( E \), suivez les étapes suivantes:

1. Reproduire la figure donnée en veillant aux longueurs et angles des segments.

2. Tracer la symétrique de chaque point et segment par rapport au point \( E \).

Expliquons chaque étape en détail:

### Étape 1: Reproduire la figure

– Tracer le segment \( AD \) de longueur \( 4 \, \text{cm} \).
– Tracer le segment \( DE \) de longueur \( 5 \, \text{cm} \).
– Tracer le segment \( AE \) pour compléter le triangle \( ADE \).
– Tracer le segment \( BC \) de longueur \( 4 \, \text{cm} \) parallèle à \( AD \).
– Connecter \( B \) et \( D \), et \( C \) et \( E \) pour former les segments.
– Dessiner l’arc (d) passant par \( C \).

### Étape 2: Tracer la symétrique

Pour chaque point \( X \) de la figure, tracer son symétrique \( X’ \) par rapport à \( E \). Cela signifie que \( E \) est le milieu du segment \( XX’ \).

– Le symétrique de \( A \), noté \( A’ \), est tel que \( E \) est le milieu de \( AA’ \).
– Le symétrique de \( B \), noté \( B’ \), est tel que \( E \) est le milieu de \( BB’ \).
– Le symétrique de \( C \), noté \( C’ \), est tel que \( E \) est le milieu de \( CC’ \).
– Le symétrique de \( D \), noté \( D’ \), est tel que \( E \) est le milieu de \( DD’ \).

Tracer les segments entre ces points pour obtenir l’image de la figure initiale après symétrie.

### Solution en LaTeX pour reproduire la figure:

\[
\text{Soit } A(0, 4), B(-a, a), C(b+c, 1), D(c, 0), E(e, f)
\]

1. Reproduire la figure en utilisant les coordonnées.

\[
\begin{array}{ll}
A = (0, 4) \\
B = (-a, a) \\
C = (b+c, 1) \\
D = (c, 0) \\
E = (e, f)
\end{array}
\]

2. Symétrique par rapport à \( E \):

Les nouvelles coordonnées sont :

\[
\begin{cases}
A’ = (2e – 0, 2f – 4) \\
B’ = (2e + a, 2f – a) \\
C’ = (2e – (b+c), 2f – 1) \\
D’ = (2e – c, 2f) \\
\end{cases}
\]

3. Tracer les nouveaux segments connectant \( A’ \), \( B’ \), \( C’ \), \( D’ \), et \( E \).

Ceci complète la symétrie de la figure initiale par rapport au point \( E \).

Exercice 20 : utilisation des propriétés de la symétrie centrale
\[\]Correction de l’exercice :\[\]

1. Quelle est la longueur du segment [A’B’]? Justifier.

Le point A’ est le symétrique du point A et le point B’ est le symétrique du point B. Puisque la symétrie conserve les distances, la longueur du segment [A’B’] est égale à la longueur du segment [AB].

Sachant que le segment [AB] mesure 3 cm, on a :
\[ [A’B’] = 3 \, \text{cm} \]

2. Quelle est la mesure de l’angle \(A’B’C’\)? Justifier.

La symétrie par rapport à O conserve les mesures des angles. Donc, l’angle \(A’B’C’\) est égal à l’angle \(ABC\).

Sachant que l’angle \(\angle ABC = 70^\circ \), on a :
\[ \angle A’B’C’ = 70^\circ \]

Exercice 21 : démonstration et symétrie centrale
La figure \(A’B’E’C’D’\) est le symétrique de la figure \(ABCDE\).

1. Quelle est la longueur du segment \([C’D’]\) ?
Justification :
Comme \(A’B’E’C’D’\) est le symétrique de \(ABCDE\), les longueurs des segments correspondants sont équivalentes. Par conséquent,
\[
[C’D’] = [CD].
\]
D’après l’image,
\[
[CD] = 5\, \text{cm}.
\]
Donc,
\[
[C’D’] = 5\, \text{cm}.
\]

2. Quelle est la mesure de l’angle \(B’A’D’\) ?
Justification :
Ayant \(A’B’E’C’D’\) comme symétrique de \(ABCDE\), on sait que les angles correspondants sont également égaux. En particulier, l’angle \(B’A’D’\) est symétrique à l’angle \(BAD\). Puisque l’angle donné \(BAD = 49^\circ\),
\[
\angle B’A’D’ = \angle BAD.
\]
Donc,
\[
\angle B’A’D’ = 49^\circ.
\]

Exercice 22 : thalès et calcul d’une longueur
Étant donné que les droites \((OT)\) et \((PU)\) sont parallèles, on peut utiliser le théorème de Thalès pour trouver la longueur du segment \([OT]\).

Selon le théorème de Thalès, si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite les coupe en leur formant deux triangles semblables, alors on a les rapports de longueur suivants :

\[
\frac{OE}{EU} = \frac{OT}{TP}
\]

En notant les longueurs \(OE = 1.5\), \(EU = 1\), et \(TP = 2\), nous savons que les segments \([OT]\) et \([PU]\) sont parallèles et que \(OT\) et \(PU\) doivent donc correspondre proportionnellement.

Les droites \((OT)\) et \((PU)\) divisent les côtés opposés du triangle en longueurs proportionnelles :

\[
\frac{OE}{EU} = \frac{OT}{TP}
\]

En substituant les valeurs données :

\[
\frac{1.5}{1} = \frac{OT}{2}
\]

Pour trouver \(OT\), nous résolvons l’équation :

\[
\frac{1.5}{1} = \frac{OT}{2}
\]

En multipliant les deux côtés par 2 :

\[
2 \times \frac{1.5}{1} = OT
\]

\[
OT = 3
\]

Donc, la longueur du segment \([OT]\) est de 3 unités.

Exercice 23 : figure composée d’un rectangle et d’un demi-cercle
Pour compléter la figure afin que \( O \) soit le centre de symétrie, suivez les étapes suivantes :

1. \[\]Dessiner le rectangle \(ABCD\) :\[\]
– La longueur \(AB\) mesure 4 cm.
– La longueur \(AD\) mesure 6 cm.

2. \[\]Ajouter le demi-cercle :\[\]
– La base du demi-cercle est \(CD\) de longueur \(6 \, cm\). Ainsi, le rayon du demi-cercle est de \(3 \, cm\), et le centre du demi-cercle est le point \(O\).

3. \[\]Construire le triangle équilatéral \(BGF\) :\[\]
– L’un des côtés, \(BG\), mesure \(4 \, cm\) (même longueur que \(AB\)).
– Comme \(BGF\) est un triangle équilatéral, chaque côté mesure \(4 \, cm\).
– Placer le point \(F\) tel que \(FB = FG = 4 \, cm\).

4. \[\]Vérification de la symétrie autour de \(O\) :\[\]
– Le triangle \(BGF\) doit se refléter parfaitement au-delà de \(O\).

5. \[\]Compléter la construction selon cette symétrie :\[\]
– Reproduire les segments et les figures de l’autre côté de \(O\).

\[
\begin{tikzpicture}
% Rectangle
\draw (0,0) rectangle (6,4);

% Demi-cercle
\draw (6,0) arc[start angle=0,end angle=180,radius=3];

% Triangle équilatéral BGF
\draw (0,0) — (4,0) — (2,3.464) — cycle; % Apex of the triangle

% Point O and symmetry
\draw[dashed] (3,0) circle (1);
\path (3,0) node[circle,draw,inner sep=1pt,fill=red] {;
\end{tikzpicture}
\]

La construction montre la complétion de la figure nécessaire pour assurer qu’O soit bien le centre de symétrie.

Exercice 24 : compléter la figure pour que le point C soit le centre de symétrie
\[\]Correction de l’exercice de mathématiques:\[\]

a. La figure initiale est constituée d’un demi-cercle et d’un quart de cercle, tous deux de rayon \( R = 6 \) cm.

b. Pour que le point \( C \) soit le centre de symétrie de la figure, il faut compléter la figure de manière symétrique par rapport au point \( C \). Cela signifie que nous devons ajouter un quart de cercle et un demi-cercle symétriques aux premiers.

c. Calcul de l’aire de la figure obtenue :

1. Aire du demi-cercle :
\[
\text{Aire du demi-cercle} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (6)^2 = 18\pi \ \text{cm}^2
\]

2. Aire du quart de cercle :
\[
\text{Aire du quart de cercle} = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (6)^2 = 9\pi \ \text{cm}^2
\]

3. La figure ayant été doublée pour obtenir la symétrie :
\[
\text{Aire totale} = 2 \times (\text{Aire du demi-cercle} + \text{Aire du quart de cercle})
\]
\[
\text{Aire totale} = 2 \times (18\pi + 9\pi) = 2 \times 27\pi = 54\pi \ \text{cm}^2
\]

En arrondissant au dixième près :
\[
54\pi \approx 54 \times 3.1416 \approx 169.6 \ \text{cm}^2
\]

Ainsi, la valeur approchée au dixième près de l’aire de la figure obtenue est \(169.6 \ \text{cm}^2\).

Exercice 25 : panneaux et centre de symétrie
### Correction de l’exercice sur la signalisation routière

\[\]a. Les 5 grandes familles de panneaux de la signalisation routière sont :\[\]
1. Les panneaux de danger
2. Les panneaux de régulation (ou d’interdiction)
3. Les panneaux d’indication
4. Les panneaux de direction
5. Les panneaux temporaires

\[\]b. La forme, la couleur de la bordure, celle du fond et celle du dessin pour chaque famille de panneaux :\[\]
1. Panneaux de danger :
– Forme : Triangulaire
– Bordure : Rouge
– Fond : Blanc
– Dessin : Noir
2. Panneaux de régulation (ou d’interdiction) :
– Forme : Rond
– Bordure : Rouge
– Fond : Blanc ou bleu selon les cas
– Dessin : Noir ou blanc selon les cas
3. Panneaux d’indication :
– Forme : Carrée ou rectangulaire
– Bordure : Bleu
– Fond : Bleu ou blanc selon les cas
– Dessin : Blanc ou noir selon les cas
4. Panneaux de direction :
– Forme : Rectangulaire ou en forme de flèche
– Bordure : Variable (souvent bleue ou verte selon le type de route)
– Fond : Variable (souvent bleue ou verte selon le type de route)
– Dessin : Blanc (texte ou pictogramme)
5. Panneaux temporaires :
– Forme : Variable (souvent les mêmes que les panneaux standard)
– Bordure : Jaune
– Fond : Jaune
– Dessin : Noir

\[\]c. Indiquer la famille et la signification de chacun des panneaux ci-dessous :\[\]

1. 
– Famille : Panneaux de régulation (ou d’interdiction)
– Signification : Interdiction de tourner à gauche
2. 
– Famille : Panneaux de danger
– Signification : Présence d’un aérodrome
3. 
– Famille : Panneaux de danger
– Signification : Chaussée déformée
4. 
– Famille : Panneaux d’indication
– Signification : Poste de secours ou hôpital

\[\]d. Symétrie et centre des panneaux :\[\]

1. Panneau d’interdiction de tourner à gauche :
– Symétrie : Aucun axe de symétrie, pas de centre de symétrie.

2. Panneau de présence d’aérodrome :
– Symétrie : Axe de symétrie vertical.

3. Panneau de chaussée déformée :
– Symétrie : Axe de symétrie vertical.

4. Panneau de poste de secours ou hôpital :
– Symétrie : Centre de symétrie, axe de symétrie vertical et horizontal.

Exercice 26 : construire la symétrique de la droite par rapport au point O
1. Construire la figure en vraie grandeur :

– Tracez d’abord un segment \( \overline{ON} \) de 6 cm.
– Tracez ensuite un segment perpendiculaire à \( \overline{ON} \) en \( O \) et placez le point \( M \) à 4 cm de \( O \).
– Reliez les points \( M \) et \( N \).

2. Trouver la symétrique de la droite \( \overline{MN} \) par rapport au point \( O \) :

– La symétrie centrale par rapport au point \( O \) consiste à trouver pour chaque point \( A \) son symétrique \( A’ \) tel que \( O \) est le milieu du segment \( \overline{AA’} \).
– \( O \) étant immobile, nous avons :
– Pour \( N arrow N’ \), puisque \( O \) est le milieu de \( \overline{NN’} \), \( N’ \) doit être à 6 cm de \( O \) sur la droite \( \overline{NO} \) prolongée. Donc, \( N’ \) est tel que \( \overline{ON’} = 6 \, \text{cm} \).
– Pour \( M arrow M’ \), \( M’ \) doit être à 4 cm de \( O \) aussi sur la droite \( \overline{MO} \) prolongée. Donc, \( M’ \) est tel que \( \overline{OM’} = 4 \, \text{cm} \).

– Tracez les segments \( \overline{OM’} \) et \( \overline{ON’} \) de longueurs respectives 4 cm et 6 cm opposés à ceux de \( \overline{OM} \) et \( \overline{ON} \).
– Reliez \( M’ \) et \( N’ \) pour obtenir la symétrique de \( \overline{MN} \).

Ainsi, vous obtenez les points \( M’ \) et \( N’ \), et le triangle formé par \( O, M’, N’ \) sera la symétrique du triangle \( O, M, N \) par rapport au point \( O \).

Exercice 27 : construire le symétrique d’une droite et d’un cercle
Les points A, B, et C possèdent pour symétriques respectifs \(\text{A}’\), \(\text{B}’\) et \(\text{C}’\) par rapport au centre \(O\).

Pour construire les symétriques des points A, B et C par rapport à O :

– La symétrique de \(A\) par rapport à \(O\), notée \(\text{A}’\), est située sur la droite passant par \(O\) et \(A\), à une distance égale à \(\vert OA \vert\) mais de l’autre côté du centre \(O\).
– De même, la symétrique de \(B\) par rapport à \(O\), notée \(\text{B}’\), est située sur la droite passant par O et \(B\), à une distance égale à \(\vert OB \vert\) mais de l’autre côté du centre \(O\).
– Enfin, la symétrique de \(C\) par rapport à \(O\), notée \(\text{C}’\), est située sur la droite passant par \(O\) et \(C\), à une distance égale à \(\vert OC \vert\) mais de l’autre côté du centre \(O\).

En utilisant ces règles géométriques, nous obtenons les points symétriques \(\text{A}’\), \(\text{B}’\) et \(\text{C}’\), qui respectent les propriétés de symétrie par rapport au point \(O\).

\[\]Résumé en notation mathématique LaTeX:\[\]

\[
\text{Si } D \text{ est le point symétrique de } A \text{ par rapport à } O,
\text{ alors } OD = OA \text{ et } O \text{ est le milieu de } \overline{AD}
\]

\[
\text{De la même manière, nous avons:}
\]

\[
\begin{cases}
\text{Si } E \text{ est le point symétrique de } B \text{ par rapport à } O,
\text{ alors } OE = OB \text{ et } O \text{ est le milieu de } \overline{BE}
\\
\\
\text{Si } F \text{ est le point symétrique de } C \text{ par rapport à } O,
\text{ alors } OF = OC \text{ et } O \text{ est le milieu de } \overline{CF}
\end{cases}
\]

\[\]Construction Géométrique:\[\]
1. Tracer la droite passant par \(A\) et \(O\) puis reporter la distance \(OA\) de l’autre côté de \(O\) pour obtenir le point \(\text{A}’\).
2. Tracer la droite passant par \(B\) et \(O\) puis reporter la distance \(OB\) de l’autre côté de \(O\) pour obtenir le point \(\text{B}’\).
3. Tracer la droite passant par \(C\) et \(O\) puis reporter la distance \(OC\) de l’autre côté de \(O\) pour obtenir le point \(\text{C}’\).

Les symétriques \(\text{A}’\), \(\text{B}’\), et \(\text{C}’\) sont alors obtenus ainsi.

Exercice 28 : symétrie centrale et longueurs
### Correction de l’exercice

Pour répondre aux questions de l’exercice, nous allons tout d’abord réaliser les constructions symétriques demandées.

#### a. Construction des symétriques

1. \[\]Symétrique du segment [AB] par rapport au point O :\[\]

Soit \( O \) le point de symétrie. Le symétrique de \( A \) par rapport à \( O \) est noté \( A’ \) tel que \( O \) soit le milieu du segment \( [AA’] \). De même pour le point \( B \), on obtient le point \( B’ \).

\[
\text{Ainsi, les coordonnées de } A’ \text{ et } B’ \text{ sont obtenues en respectant la symétrie centrale par rapport à } O.
\]

2. \[\]Symétrique du segment [CD] par rapport au point O :\[\]

De la même manière, le symétrique de \( C \) par rapport à \( O \) est noté \( C’ \) et le symétrique de \( D \) est noté \( D’ \).

\[
\text{Les points symétriques se trouvent de la même façon : } O \text{ est le milieu des segments } [CC’] \text{ et } [DD’].
\]

#### b. Longueur des segments symétriques

Les longueurs des segments symétriques \( [A’B’] \) et \( [C’D’] \) sont égales aux longueurs initiales des segments \( [AB] \) et \( [CD] \) respectivement, car la symétrie centrale conserve les distances.

\[
\text{Longueur de } [A’B’] = \text{Longueur de } [AB] = 3 \, \text{cm}
\]
\[
\text{Longueur de } [C’D’] = \text{Longueur de } [CD] = 4 \, \text{cm}
\]

Ainsi, les longueurs des segments demandées sont :
\[
A’B’ = 3 \, \text{cm}
\]
\[
C’D’ = 4 \, \text{cm}
\]

Exercice 29 : longueurs, angles et symétrie centrale
a. La longueur \( E’G’ \) :

Les points \( E’, F’ \) et \( G’ \) sont les points symétriques respectifs des points \( E, F \) et \( G \) par rapport au point \( O \). Cela signifie que le triangle \( E’F’G’ \) est identique au triangle \( EFG \) en taille et en forme, mais inversé.

Puisque \( G \) est à \( 1,5 \, \text{cm} \) de \( E \) et que la symétrie ne change pas cette mesure, \( E’G’ \) est également égal à \( EG \).

\[ E’G’ = EG = 1,5 \, \text{cm} \]

b. La mesure de chacun des angles du triangle \( E’F’G’ \) :

Le triangle \( E’F’G’ \) conserve les mêmes angles que le triangle \( EFG \) car la symétrie centrale ne modifie pas les angles.

– \(\angle GEF = 35^\circ\)
– \(\angle FGE = 90^\circ\) (puisque c’est un triangle rectangle)

Pour trouver l’angle \(\angle EGF\), nous utilisons la somme des angles dans un triangle :

\[
\angle EGF = 180^\circ – \angle GEF – \angle FGE = 180^\circ – 35^\circ – 90^\circ = 55^\circ
\]

Ainsi, les angles du triangle \( E’F’G’ \) sont :
– \(\angle E’G’F’ = 35^\circ\)
– \(\angle G’F’E’ = 90^\circ\)
– \(\angle F’G’E’ = 55^\circ\)

Exercice 30 : sur quelle(s) figure(s) y-a-t-il une erreur ?
La symétrie centrale par rapport à un point \( O \) implique que chaque point de la figure et son symétrique sont de part et d’autre de \( O \) et à égale distance de celui-ci. Voici la correction de chaque figure :

\[\]a.\[\] Les deux bonhommes sont à gauche de \( O \). Comme ils ne sont pas de part et d’autre du point \( O \), il y a une erreur dans cette figure.

\[\]b.\[\] Le bonhomme symétrique est en bas et à gauche du point \( O \), ce qui respecte le principe de la symétrie centrale (inversion complète par rapport à \( O \)). Pas d’erreur.

\[\]c.\[\] Les deux bonhommes sont à droite de \( O \). Comme ils ne sont pas de part et d’autre du point \( O \), il y a une erreur dans cette figure.

La ou les figures où les élèves ont commis une erreur sont les figures \( a \) et \( c \).

Exercice 31 : symétrie d’un rectangle par rapport à un point O
{a. Construction du rectangle EFGH :}

1. Tracez un segment \(EH\) de longueur 4 cm.
\[ EH = 4 \, \text{cm} \]

2. À partir du point \(E\), tracez un segment \(EF\) perpendiculaire à \(EH\) de longueur 6 cm.
\[ EF = 6 \, \text{cm} \]

3. À partir du point \(F\), tracez un segment \(FG\) perpendiculaire à \(EF\) de longueur 4 cm.
\[ FG = 4 \, \text{cm} \]

4. Reliez le point \(G\) au point \(H\) pour compléter le rectangle.
\[ GH = 6 \, \text{cm} \]

Ainsi, le rectangle \(EFGH\) est construit avec \(EH = 4 \, \text{cm}\) et \(EF = 6 \, \text{cm}\).

{b. Construction du symétrique \(E’F’G’H’\) :}

1. Placez un point \(O\) à l’extérieur du rectangle.

2. Pour chaque sommet du rectangle \(E, F, G, H\), trouvez les points symétriques respectifs \(E’, F’, G’, H’\) par rapport à \(O\). Pour cela, utilisez la propriété géométrique que le point symétrique d’un point \(M\) par rapport à \(O\) est tel que :
\[ O \text{ est le milieu de } [MM’] \]

3. Par exemple, pour trouver \(E’\):
– Tracez le segment \(OE\).
– Prolongez ce segment au-delà de \(O\) de la même longueur, puis placez le point \(E’\) de telle sorte que \(O\) soit le milieu de \(EE’\).

4. Répétez cette procédure pour les points \(F, G, H\) afin de déterminer \(F’, G’, H’\).

5. Reliez les points \(E’, F’, G’, H’\) pour obtenir le rectangle symétrique \(E’F’G’H’\).

En suivant ces étapes, vous obtiendrez le rectangle \(E’F’G’H’\), symétrique du rectangle \(EFGH\) par rapport au point \(O\).

Exercice 32 : symétrie d’un triangle équilatéral par rapport à un point O
### Correction de l’exercice :

a. Construction d’un triangle équilatéral ABC de côté 3 cm :

1. À l’aide d’une règle, tracez un segment \[ AB \] de 3 cm.
2. Avec un compas, tracez un cercle de centre A et de rayon 3 cm.
3. Avec le même compas, tracez un cercle de centre B et de rayon 3 cm.
4. Les cercles se coupent en deux points. Choisissez l’un des points d’intersection et notez-le C.
5. Reliez les points A, B et C pour former le triangle \(\Delta ABC\).

b. Placement du point O et construction du triangle symétrique A’B’C’ de \(\Delta ABC\) par rapport à O :

1. Placez un point \(O\) à l’extérieur du triangle \(\Delta ABC\).
2. Pour obtenir les points \(A’, B’, C’\), nous allons réaliser la symétrie de chaque point A, B, C par rapport à O :

– Symétrie de \(A\) par rapport à \(O\) :
– Tracez la droite \(AO\).
– Prolongez-la de la même distance de OA de l’autre côté de \(O\).
– Marquez ce point comme \(A’\).

– Symétrie de \(B\) par rapport à \(O\) :
– Tracez la droite \(BO\).
– Prolongez-la de la même distance de \(OB\) de l’autre côté de \(O\).
– Marquez ce point comme \(B’\).

– Symétrie de \(C\) par rapport à \(O\) :
– Tracez la droite \(CO\).
– Prolongez-la de la même distance de \(OC\) de l’autre côté de \(O\).
– Marquez ce point comme \(C’\).

3. Reliez les points \(A’\), \(B’\) et \(C’\) pour former le triangle \(\Delta A’B’C’\).

### Visualisation avec LaTeX :

« `latex

\usepackage{tikz}

% a. Construction du triangle équilatéral
\begin{tikzpicture}
% Côté du triangle équilatéral
\draw (0,0) — (3,0) — (1.5,2.598) — cycle;
% Noms des sommets
\node[below] at (0,0) {A};
\node[below] at (3,0) {B};
\node[above] at (1.5,2.598) {C};
\end{tikzpicture}

\vspace{1cm}

% b. Symétrie du triangle par rapport au point O
\begin{tikzpicture}
% Triangle initial ABC
\draw[dashed] (0,0) — (3,0) — (1.5,2.598) — cycle;
% Noms des sommets
\node[below] at (0,0) {A};
\node[below] at (3,0) {B};
\node[above] at (1.5,2.598) {C};
% Point O
\fill (4,1) circle (2pt);
\node[right] at (4,1) {O};
% Symétrie des points A, B, C par rapport à O
\draw[dashed] (0,0) — (4,1) — (8,2);
\draw[dashed] (3,0) — (4,1) — (5,2);
\draw[dashed] (1.5,2.598) — (4,1) — (6.5,-1.598);
% Sommets du triangle symétrique
\fill (8,2) circle (2pt);
\node[right] at (8,2) {A’};
\fill (5,2) circle (2pt);
\node[right] at (5,2) {B’};
\fill (6.5,-1.598) circle (2pt);
\node[right] at (6.5,-1.598) {C’};
% Triangle symétrique A’B’C’
\draw (8,2) — (5,2) — (6.5,-1.598) — cycle;
\end{tikzpicture}