Nombres relatifs : corrigés des exercices de maths en 5ème.

Exercice 11 : les nombres relatifs et calculs
\[
A = 19 + (8 – 25)
\]
\[
= 19 + (-17)
\]
\[
= 19 – 17
\]
\[
= 2
\]

\[
B = (-15 + 6) – (23 – 18)
\]
\[
= (-9) – (5)
\]
\[
= -9 – 5
\]
\[
= -14
\]

\[
C = (154 – 6) + 3 – (-9 + 7)
\]
\[
= 148 + 3 – (-2)
\]
\[
= 148 + 3 + 2
\]
\[
= 153
\]

\[
D = -13 + (5 + 8) – (-4 + 8)
\]
\[
= -13 + 13 – (4)
\]
\[
= -13 + 13 – 4
\]
\[
= 0 – 4
\]
\[
= -4
\]

Exercice 12 : quel type de nombre ?
a. Les nombres positifs sont :
\[3,5, \quad 7,2\]

b. Les nombres négatifs sont :
\[-2, \quad -4,7, \quad -12\]

c. Les entiers négatifs sont :
\[-2, \quad -12\]

d. Les nombres relatifs sont :
\[-2, \quad 3,5, \quad -4,7, \quad -12, \quad 7,2\]

Exercice 13 : abscisse et nombres relatifs
Les abscisses des points A, B, C, D et E sont les suivantes :

1. Pour la première droite numérique :
\[
\text{Point A : } A = 2
\]
\[
\text{Point B : } B = 1
\]
\[
\text{Point C : } C = 0
\]
\[
\text{Point D : } D = 3
\]
\[
\text{Point E : } E = -1
\]

2. Pour la deuxième droite numérique :
\[
\text{Point A : } A = 0
\]
\[
\text{Point B : } B = 1
\]
\[
\text{Point C : } C = 2
\]
\[
\text{Point D : } D = -1
\]
\[
\text{Point E : } E = -2
\]

3. Pour la troisième droite numérique :
\[
\text{Point A : } A = 0
\]
\[
\text{Point B : } B = -1
\]
\[
\text{Point C : } C = 1
\]
\[
\text{Point D : } D = 2
\]
\[
\text{Point E : } E = -2
\]

4. Pour la quatrième droite numérique :
\[
\text{Point A : } A = 0
\]
\[
\text{Point B : } B = -1
\]
\[
\text{Point C : } C = -2
\]
\[
\text{Point D : } D = 2
\]
\[
\text{Point E : } E = 1
\]

Exercice 14 : comparaison de nombres relatifs
« `latex

[a.] 35 > 6,15
[b.] 46 > -18
[c.] -5 > -8
[d.] -10 < 10
[e.] -0,5 < -0,08
[f.] -40,2 < -40,20

« `

Exercice 15 : recopier et compléter
a. \(-80{,}3 < 8\)

b. \(-6{,}5 < -6{,}4\)

c. \(-2{,}4 > -2{,}41\)

d. \(-9{,}04 > -9{,}4\)

e. \(15{,}7 < 15{,}84\)

f. \(7 > -12{,}8\)

Exercice 16 : opposé d’un nombre relatif
a.

L’opposé de \(6\) est \(-6\).
L’opposé de \(+0,2\) est \(-0,2\).
L’opposé de \(-1,5\) est \(+1,5\).
L’opposé de \(0\) est \(0\).
L’opposé de \(-2,75\) est \(+2,75\).
L’opposé de \(-4,7\) est \(+4,7\).

b.

Pour placer ces nombres et leurs opposés sur une droite graduée :

1. Trouvez un intervalle adéquat pour la droite graduée, par exemple de \(-7\) à \(7\).
2. Placez les nombres originaux et leurs opposés comme suit :

\[
\begin{array}{lr}
-7 \bullet \\
-6 \bullet \\
-5 \bullet (-4,7) \\
-4 \bullet \\
-3 \bullet (-2,75) \\
-2 \bullet \\
-1 \bullet (-1,5) \\
0 \bullet (0) \\
+1 \bullet (+1,5) \\
+2 \bullet \\
+3 \bullet (+2,75) \\
+4 \bullet (+4,7) \\
+5 \bullet \\
+6 \bullet \\
+7 \bullet \\
\end{array}
\]

Exercice 17 : ranger par ordre décroissant
\[
\begin{array}{l}
753 \text{ – Fondation de Rome} \\
509 \text{ – Fondation de la République} \\
52 \text{ – Victoire romaine à Alésia} \\
44 \text{ – Assassinat de Jules César} \\
27 \text{ – Auguste devient empereur} \\
395 \text{ – Partage de l’Empire romain} \\
476 \text{ – Chute de l’Empire romain d’Occident}
\end{array}
\]

Exercice 18 : comparaison et chimie
\[
\begin{array}{l|l}
\text{Espèce chimique} \text{Température de fusion} \\
\hline
\text{Hélium} -272,2\,^\circ\text{C} \\
\text{Dioxygène} -222,8\,^\circ\text{C} \\
\text{Chlore} -101,5\,^\circ\text{C} \\
\text{Mercure} -39\,^\circ\text{C} \\
\text{Eau} 0\,^\circ\text{C} \\
\text{Fer} 1534,9\,^\circ\text{C} \\
\end{array}
\]

Exercice 19 : coordonnées de points
Les coordonnées des points A, B, C, D et E sont :

\[A (2, 1)\]
\[B (-3, 1)\]
\[C (2, -2)\]
\[D (0, 2)\]
\[E (-2, -2)\]

Exercice 20 : problème et coordonnées
Les points d’arrêt indiqués sur la carte sont représentés par des croix rouges. On va déterminer les coordonnées de chacun de ces points sur le système de coordonnées donné.

1. \[\]Le Port\[\]: Ce point est situé à l’origine des axes, donc ses coordonnées sont (0, 0).
2. \[\]Pointe de la Galère\[\]: Ce point est situé en haut à droite sur la carte, donc ses coordonnées sont (2, 3).
3. \[\]Baie de Port Man\[\]: Ce point est situé légèrement en dessous et à droite de la Pointe de la Galère, donc ses coordonnées sont (3, 1).
4. \[\]Pointe du Nertassier\[\]: Ce point est situé vers le bas à droite de la carte, donc ses coordonnées sont (2, -2).
5. \[\]Pointe du Cognet\[\]: Ce point est situé en bas à gauche de la carte, donc ses coordonnées sont (-2, -3).

En résumé, les coordonnées des points d’arrêt sont :

\[
\begin{align*}
\text{Le Port} : (0, 0) \\
\text{Pointe de la Galère} : (2, 3) \\
\text{Baie de Port Man} : (3, 1) \\
\text{Pointe du Nertassier} : (2, -2) \\
\text{Pointe du Cognet} : (-2, -3)
\end{align*}
\]

Exercice 21 : problème ouvert
Pour résoudre le problème de géolocalisation de Louane, nous allons utiliser les coordonnées des antennes et les distances fournies.

Les coordonnées des antennes A, B, C et D sont respectivement \((30, 50)\), \((70, 20)\), \((0, 20)\) et \((80, 140)\).

Les distances correspondantes à chaque antenne sont données par le téléphone et sont respectivement \(30 \text{ km}\), \(40 \text{ km}\), \(50 \text{ km}\) et \(130 \text{ km}\).

Pour trouver les coordonnées de Louane, notons ses coordonnées \( (x, y) \). Nous allons utiliser les équations des cercles centrées sur chaque antenne avec le rayon correspondant à la distance donnée.

1. Pour l’antenne A \((30, 50)\) à \(30 \text{ km}\):

\[
(x – 30)^2 + (y – 50)^2 = 30^2
\]

2. Pour l’antenne B \((70, 20)\) à \(40 \text{ km}\):

\[
(x – 70)^2 + (y – 20)^2 = 40^2
\]

3. Pour l’antenne C \((0, 20)\) à \(50 \text{ km}\):

\[
(x – 0)^2 + (y – 20)^2 = 50^2
\]

4. Pour l’antenne D \((80, 140)\) à \(130 \text{ km}\):

\[
(x – 80)^2 + (y – 140)^2 = 130^2
\]

Nous obtenons donc le système non-linéaire suivant :

\[
\begin{cases}
(x – 30)^2 + (y – 50)^2 = 900 \\
(x – 70)^2 + (y – 20)^2 = 1600 \\
(x – 0)^2 + (y – 20)^2 = 2500 \\
(x – 80)^2 + (y – 140)^2 = 16900
\end{cases}
\]

Pour résoudre ce système d’équations, une méthode commune est de résoudre deux équations à la fois pour éliminer une variable et trouver les points d’intersections. Cependant, pour ce type de problème de géolocalisation, il est souvent plus efficace d’utiliser un logiciel de calcul ou une méthode graphique pour visualiser les points d’intersection des cercles.

En général, l’intersection des trois premiers cercles donne directement la position recherchée, et le quatrième cercle sert à vérifier la cohérence des résultats.

Exercice 22 : addition de nombres relatifs
\[\]Correction\[\]

a.
\[
18 + (-6,7) = 18 – 6,7 = 11,3
\]

b.
\[
-51,6 + (-19,3) = -51,6 – 19,3 = -70,9
\]

c.
\[
14,8 + 7,4 = 14,8 + 7,4 = 22,2
\]

d.
\[
36,25 + (-48,75) = 36,25 – 48,75 = -12,5
\]

e.
\[
-21 + (-78) = -21 – 78 = -99
\]

f.
\[
-6,75 + 6,75 = 0
\]

Exercice 23 : pyramide de nombres relatifs
Pour la pyramide a :

Les deux nombres de la rangée du milieu sont la somme des nombres situés en dessous d’eux.

\[
8 = 15 + (-7)
\]

\[
-19 = -7 + (-12)
\]

Le nombre au sommet de la pyramide est la somme des deux nombres du milieu.

\[
-11 = 8 + (-19)
\]

La pyramide complétée a est donc :

\[
\begin{array}{ccc}
-11 \\
8 -19 \\
15 -7 -12 \\
\end{array}
\]

Pour la pyramide b :

Les deux nombres de la rangée du milieu sont la somme des nombres situés en dessous d’eux.

\[
-8,8 = -3,6 + (-5,2)
\]

\[
4,8 = -5,2 + 10
\]

\[
8,5 = 10 + (-1,5)
\]

Le nombre au sommet de la pyramide est la somme des trois nombres du milieu.

\[
4,5 = -8,8 + 4,8 + 8,5
\]

La pyramide complétée b est donc :

\[
\begin{array}{ccccc}
4,5 \\
-8,8 4,8 \\
-3,6 -5,2 10 -1,5 \\
\end{array}
\]

Exercice 24 : calculer les expressions
LaTeX:

Pour l’expression \( A \):

\[
\begin{align*}
A = 9 + (-16) + (-8) + 22 \\
= 9 – 16 – 8 + 22 \\
= (9 – 16) + (-8 + 22) \\
= -7 + 14 \\
= 7
\end{align*}
\]

Pour l’expression \( B \):

\[
\begin{align*}
B = -48 + 34 + 26 + (-12) \\
= -48 + 34 + 26 – 12 \\
= (-48 + 34) + (26 – 12) \\
= -14 + 14 \\
= 0
\end{align*}
\]

Pour l’expression \( C \):

\[
\begin{align*}
C = -7,5 + 12,3 + (-2,5) + (-5) + 12,7 \\
= -7,5 + 12,3 – 2,5 – 5 + 12,7 \\
= (-7,5 – 2,5 – 5) + (12,3 + 12,7) \\
= -15 + 25 \\
= 10
\end{align*}
\]

Les résultats finaux sont:
\[
A = 7, \quad B = 0, \quad C = 10
\]

Exercice 25 : calculer les expressions
\[
\begin{aligned}
D = -35 – (-8) + 14 – 26 \\
= -35 + 8 + 14 – 26 \\
= (-35 + 8) + (14 – 26) \\
= -27 – 12 \\
= -39
\end{aligned}
\]

\[
\begin{aligned}
E = 54 – 17 – (-11,5) – 6 + 4 \\
= 54 – 17 + 11,5 – 6 + 4 \\
= (54 – 17) + 11,5 – (6 – 4)\\
= 37 + 11,5 – 2\\
= 48,5 – 2 \\
= 46,5
\end{aligned}
\]

\[
\begin{aligned}
F = -18 + (-17) – (-16) + 15 – (-14) \\
= -18 – 17 + 16 + 15 + 14 \\
= (-18 – 17) + (16 + 15) + 14 \\
= -35 + 31 + 14 \\
= (-4) + 14 \\
= 10
\end{aligned}
\]

Exercice 26 : calculer astucieusement
Dans chaque cas, on simplifie les expressions en combinant les termes.

Pour \(G\):

\[
G = -7 + 2,5 + (-12) + (-2,5) + 6
\]

Commençons par combiner les termes positifs et les termes négatifs:

\[
G = (-7 + (-12) + (-2,5)) + (2,5 + 6)
\]

Regroupons les termes de la manière suivante:

\[
G = -7 – 12 – 2,5 + 2,5 + 6
\]

On note que \(2,5\) et \(-2,5\) se simplifient:

\[
G = -7 – 12 + 6
\]

Ce qui donne:

\[
G = -19 + 6
\]

Et finalement :

\[
G = -13
\]

Pour \(H\):

\[
H = 28 + (-6,4) + 33 + (-21,6)
\]

Commençons par combiner les termes positifs et les termes négatifs:

\[
H = (28 + 33) + (-6,4 + (-21,6))
\]

Calculons chaque groupe séparément:

\[
28 + 33 = 61
\]

\[
-6,4 – 21,6 = -28
\]

En assemblant les résultats:

\[
H = 61 – 28
\]

Ce qui donne finalement:

\[
H = 33
\]

Exercice 27 : course et nombres relatifs
a. L’altitude à l’arrivée peut être exprimée en ajoutant et en soustrayant les différentes variations d’altitude à partir de l’altitude de départ.

\[
h_{\text{arrivée}} = h_{\text{départ}} + 300 – 400 + 50 – 70 + 100 – 55 + 315
\]

b. Calculons cette altitude :

\[
h_{\text{arrivée}} = 350 + 300 – 400 + 50 – 70 + 100 – 55 + 315
\]

\[
h_{\text{arrivée}} = 350 + 300 – 400 + 50 – 70 + 100 – 55 + 315 = 590
\]

L’altitude à l’arrivée est donc de \( 590 \) mètres.

Exercice 28 : calculer les expressions
\begin{align*}
A = 25 + (-8) + (-14) + 7 \\
= 25 – 8 – 14 + 7 \\
= 25 – 8 = 17 \\
= 17 – 14 = 3 \\
= 3 + 7 \\
= 10 \\
\\
B = -9,5 + (-20) + 17,6 + (-3,5) + 2,4 \\
= -9,5 – 20 + 17,6 – 3,5 + 2,4 \\
= -9,5 – 20 = -29,5 \\
= -29,5 + 17,6 = -11,9 \\
= -11,9 – 3,5 = -15,4 \\
= -15,4 + 2,4 = -13 \\
\\
C = -75 + 42 + 16 + (-23) \\
= -75 + 42 + 16 – 23 \\
= -75 + 42 = -33 \\
= -33 + 16 = -17 \\
= -17 – 23 \\
= -40 \\
\end{align*}

Exercice 29 : calculer les expressions
Pour calculer chaque expression, effectuons les opérations pas à pas.

\[ D = -36 + 14 + (-7) + (-9) + 28 \]

\[ D = -36 + 14 – 7 – 9 + 28 \]

\[ D = (-36 + 14) + (-7 – 9) + 28 \]

\[ D = -22 – 16 + 28 \]

\[ D = (-22 – 16) + 28 \]

\[ D = -38 + 28 \]

\[ D = -10 \]

L’expression pour \( D \) est donc :

\[ D = -10 \]

Pour \( E \) :

\[ E = 75 + (-26) + (-84) + 12 \]

\[ E = 75 – 26 – 84 + 12 \]

\[ E = (75 – 26) – 84 + 12 \]

\[ E = 49 – 84 + 12 \]

\[ E = (49 – 84) + 12 \]

\[ E = -35 + 12 \]

\[ E = -23 \]

L’expression pour \( E \) est donc :

\[ E = -23 \]

Pour \( F \) :

\[ F = -4,6 + (-8,3) + 6,5 + 4,6 \]

\[ F = -4,6 – 8,3 + 6,5 + 4,6 \]

\[ F = (-4,6 – 8,3) + 6,5 + 4,6 \]

\[ F = -12,9 + 6,5 + 4,6 \]

\[ F = (-12,9 + 6,5) + 4,6 \]

\[ F = -6,4 + 4,6 \]

\[ F = -1,8 \]

L’expression pour \( F \) est donc :

\[ F = -1,8 \]

Exercice 30 : calculs et nombres relatifs
\( G = 7 – 11 – (-2) + (-5) – 4 \)

a. Écrire \( G \) avec uniquement des additions.

\[ G = 7 + (-11) + 2 + (-5) + (-4) \]

b. Calculer alors cette expression de la gauche vers la droite.

\[
\begin{align*}
G = 7 + (-11) + 2 + (-5) + (-4) \\
G = -4 + 2 + (-5) + (-4) \\
G = -2 + (-5) + (-4) \\
G = -7 + (-4) \\
G = -11
\end{align*}
\]

Donc, \( G = -11 \).

Exercice 31 : calculer les expressions
\[
\begin{array}{l}
\text{I} = 9 – (-14) + (-6) – 4 \\
= 9 + 14 – 6 – 4 \\
= (9 + 14) – (6 + 4) \\
= 23 – 10 \\
= 13
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\text{J} = -26 + 12 – 7 – (-15) + 8 \\
= -26 + 12 – 7 + 15 + 8 \\
= (-26 + 15) + (12 – 7) + 8 \\
= -11 + 5 + 8 \\
= -11 + 13 \\
= 2
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\text{K} = -5 – (-32) + 21 + (-17) \\
= -5 + 32 + 21 – 17 \\
= (32 – 5) + (21 – 17) \\
= 27 + 4 \\
= 31
\end{array}
\]

Exercice 32 : calculer
a.

On part de l’expression initiale :
\[ H = -5 – (-2) + (-10) – 3 \]

On utilise la règle des signes pour les soustractions des nombres négatifs :
\[ – (-2) = +2 \]

Donc, l’expression devient :
\[ H = -5 + 2 + (-10) – 3 \]

b.

Calculons l’expression de la gauche vers la droite :

1. \[ -5 + 2 = -3 \]
2. \[ -3 + (-10) = -3 – 10 = -13 \]
3. \[ -13 – 3 = -16 \]

Finalement,
\[ H = -16 \]

Exercice 33 : lire chaque phrase
a. Soustraire \(-4\) revient à ajouter \(4\).

b. Soustraire \(16\) revient à ajouter \(-16\).

c. Soustraire \(-9\) à \(7\) revient à ajouter \(9\) à \(7\).

d. Soustraire \(8\) à \(3\) revient à ajouter \(-8\) à \(3\).

Exercice 34 : problème ouvert
Corrigeons l’exercice en utilisant les règles fournies.

La grille initiale est :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
16 -8 -5 \\
\hline
4 12 -8 \\
\hline
11 10 -23 11 \\
\hline
-9 -1 30 9 \\
\hline
-13 -30 0 1 \\
\hline
6 -7 8 \\
\hline
5 -10 \\
\hline
\end{array}
\]

Nous devons utiliser les règles héritées du document 1 pour remplir les cases.

1. \[\]La case centrale « 0 »\[\] :

\[
0 = (-23) + 10 + 9 + 4
\]

2. \[\]Compléter les cases blanches sur la base de a et b :\[\]

Cases des colonnes en fixant a bien d’abord \(16\), \(4\), \(11\), en utilisant \(a \text{ et } b\) pour compléter a et (a+b):

\[
17 = a + b
\]

Complétons une colonne et trouvons les bons (a+b):

\[
4 + b = 10 \quad \Longrightarrow b = 6
\]

3. \[\]Récupérons les valeurs d’un, en détachant chaque ligne et chaque colonne:\[\]

Commençons en fixant \(16\) (a) et son adjoint horizontal \(16 + 10\):

* Colonne 1, 2, avec
* \[a = 16 + (-10) = 6\] et le adjoint \(10\)

On doit vérifier chaque récrit en cousissant \(b\) et \((a+b).\)

* \[6\] (6=2), écrivons donc:

Solution complète et relative :

Final \[\]Grid\[\]

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 16 21 14 9 -8 -5 \\
\hline
4 5 12 14 -5 -8 -4 \\
\hline
11 15 12 10 -23 -12 11 \\
\hline
-9 17 -1 30 -4 9 1 \\
\hline
-13 -12 -9 -29 0 -11 1 \\
\hline
\[\ldots\] 7 -12 4 -7 8 -10 \\
\hline
5 0 7 -3 11 \[\ldots\] -10 \\
\hline
\end{array}
\]

La correcte application applique donc chaque règle et propriétés:

– Ces colonnes intègrent blancs règles mises intégrant chaque ligne.

Exercice 35 : exercice à prise d’initiative
Voici la correction de l’exercice :

Le message à décoder est:
\[
-8 \triangle (-4) \triangledown (-3), -2 \triangle 7, -3 \triangledown 7, 4 \triangle -2, 3 \triangle 16, -12 \triangle (-2) \triangledown 5, 5 \triangle -2, 3 \triangle 6, 6 \enspace 2 \triangle (-7), 0 \triangledown (-10), -15 \triangledown (-5), -2 \triangle 0, -3
\]

Utilisons les indices pour le décodage fournis:

### Étape 1 : Calcul des valeurs décodées

1. \(-8 \triangle (-4) = -8 + (-4) – (-4) = -8\)
2. \(-8 \triangledown (-3) = -8 – (-3) – (-3) = -8 + 3 = -5\)
3. \(-2 \triangle 7 = -2 + 7 – 7 = -2\)
4. \(-3 \triangledown 7 = -3 – 7 – 7 = -17\)
5. \(4 \triangle -2 = 4 + (-2) – (-2) = 4\)
6. \(3 \triangle 16 = 3 + 16 – 16 = 3\)
7. \(-12 \triangle (-2) = -12 + (-2) – (-2) = -12\)
8. \(-12 \triangledown 5 = -12 – 5 – 5 = -22\)
9. \(5 \triangle -2 = 5 + (-2) – (-2) = 5\)
10. \(3 \triangle 6 = 3 + 6 – 6 = 3\)
11. \(6\)
12. \(2 \triangle (-7) = 2 + (-7) – (-7) = 2\)
13. \(0 \triangledown (-10) = 0 – (-10) – (-10) = 20\)
14. \(-15 \triangledown (-5) = -15 – (-5) – (-5) = -5\)
15. \(-2 \triangle 0 = -2 + 0 – 0 = -2\)
16. \(-3\)

### Étape 2 : Correspondance des valeurs avec la grille de décodage

Selon la grille de décodage:
1. \[(-8) \to M\]
2. \[(-5) \to P\]
3. \[(-2) \to S\]
4. \[-17 \] n’a pas de correspondance valide.
5. \[4 \to T\]
6. \[3 \to U\]
7. \[(-12) \to J\]
8. \[-22 \] n’a pas de correspondance valide.
9. \[5 \to P\]
10. \[3 \to U\]
11. \[6 \to R\]
12. \[2 \to \text{W espace}\]
13. \[20 \to espace\]
14. \[(-5) \to P\]
15. \[(-2) \to S\]
16. \[(-3) \to R\]

### Message décodé:

Le message consiste des lettres correspondantes:
\[ « MP S \[<-1\] TUJ \[<-10\] P UR W espace espace PP SR » \]

Ensemble, les valeurs qui ont une correspondance décodant, fournissant, remplissant sont lettres c:
« `
MPSUJP R SPP R
« `

Exercice 36 : repère et coordonnées
\[
\begin{array}{l l}
\text{A}(5 ; 3) \text{B}(-2 ; 3) \\
\text{C}(-3 ; -4) \text{D}(1 ; 5) \\
\text{E}(2 ; -2) \text{F}(-3 ; 1) \\
\text{G}(1 ; -3) \text{H}(4 ; 1) \\
\end{array}
\]

Exercice 37 : repérage dans le plan
a. Les points sont placés comme suit :

– \( A(-2; 1) \)
– \( B(-4; 3) \)
– \( C(5; -3) \)
– \( D(-5; 0) \)
– \( E(0; -2) \)
– \( F(6; 1) \)

b. Les coordonnées du milieu \( T \) du segment \( [BF] \) sont données par :

\[
T ( \frac{x_B + x_F}{2} ; \frac{y_B + y_F}{2} )
\]

En remplaçant \( B(-4; 3) \) et \( F(6; 1) \), on obtient :

\[
T ( \frac{-4 + 6}{2} ; \frac{3 + 1}{2} ) = T ( \frac{2}{2} ; \frac{4}{2} ) = T(1 ; 2)
\]

Par conséquent, les coordonnées de \( T \) sont \( T(1 ; 2) \).

Exercice 38 : coordonnée et répérage
a. Les coordonnées du point \( M \) sont \((-4; 3)\). Le point \( A \) est le symétrique de \( M \) par rapport à l’axe des abscisses, donc \( A \) a les mêmes coordonnées en \( x \) et une coordonnée \( y \) opposée à celle de \( M \). Ainsi, les coordonnées de \( A \) sont \((-4; -3)\).

\[ A(-4 ; -3) \]

b. Le point \( B \) est le symétrique de \( M \) par rapport à l’axe des ordonnées, donc \( B \) a une coordonnée \( x \) opposée à celle de \( M \) et la même coordonnée en \( y \). Ainsi, les coordonnées de \( B \) sont \((4; 3)\).

\[ B(4 ; 3) \]

c. Les coordonnées des points \( A \) et \( B \) montrent que pour le point \( A \), l’abscisse est opposée à celle de \( B \) et pour le point \( B \), l’ordonnée est la même que celle de \( M \).

d. La position des points \( A \) et \( B \) par rapport à l’origine \( O \) (\(0,0\)) :

– Le point \( A(-4; -3) \) se situe à 4 unités à gauche et 3 unités en dessous de l’origine \( O \).
– Le point \( B(4; 3) \) se situe à 4 unités à droite et 3 unités au-dessus de l’origine \( O \).

e. Plaçons le point \( C \) de coordonnées \( (1,5; 2) \) dans le repère :

\[ C(1,5 ; 2) \]

Exercice 39 : transformer la soustraction en addition
A = (+10) – (-12) = (+10) + (+12) = 22

B = (-21) – (+13) = (-21) + (-13) = -34

C = (-9) – (+14) = (-9) + (-14) = -23

D = (+12,4) – (-9,7) = (+12,4) + (+9,7) = 22,1

E = (-65) – (-78) = (-65) + (+78) = 13

F = (-17,2) – (+5,5) = (-17,2) + (-5,5) = -22,7

G = (-1,1) – (+0,2) = (-1,1) + (-0,2) = -1,3

H = (+8,4) – (-3,9) = (+8,4) + (+3,9) = 12,3

I = (+3) – (+3,5) = (+3) + (-3,5) = -0,5

J = (-0,1) – (-0,1) = (-0,1) + (+0,1) = 0

Exercice 40 : effectuer les calculs
\[
\begin{aligned}
A = (-12) – (+15) \\
A = (-12) + (-15) \\
A = -12 – 15 \\
A = -27 \\
\\
B = (-45) – (-41) \\
B = (-45) + 41 \\
B = -45 + 41 \\
B = -4 \\
\\
C = (+32) – (+27) \\
C = (+32) + (-27) \\
C = 32 – 27 \\
C = 5 \\
\\
D = (-2,6) – (+2,7) \\
D = (-2,6) + (-2,7) \\
D = -2,6 – 2,7 \\
D = -5,3 \\
\\
E = (-1,4) – (-2,3) \\
E = (-1,4) + 2,3 \\
E = -1,4 + 2,3 \\
E = 0,9 \\
\\
F = (-3,7) – (+5,7) \\
F = (-3,7) + (-5,7) \\
F = -3,7 – 5,7 \\
F = -9,4 \\
\end{aligned}
\]

Exercice 41 : calculer les expressions numériques
\[
A = (+12) + (-11) + (+25) + (-17) \\
A = 12 – 11 + 25 – 17 \\
A = 1 + 25 – 17 \\
A = 26 – 17 \\
A = 9
\]

\[
B = (-2,1) + (-9) + (+6,4) + (-8,3) \\
B = (-2,1) – 9 + 6,4 – 8,3 \\
B = -11,1 + 6,4 – 8,3 \\
B = -4,7 – 8,3 \\
B = -13
\]

\[
C = (+14) + (-7) + (+2) + (-3,75) + (-5,25) \\
C = 14 – 7 + 2 – 3,75 – 5,25 \\
C = 7 + 2 – 3,75 – 5,25 \\
C = 9 – 3,75 – 5,25 \\
C = 5,25 – 5,25 \\
C = 0
\]

\[
D = (-31) + (+13) + (+8) + (-19) + (-17) + (+59) \\
D = -31 + 13 + 8 – 19 – 17 + 59 \\
D = -18 + 8 – 19 – 17 + 59 \\
D = -10 – 19 – 17 + 59 \\
D = -29 – 17 + 59 \\
D = -46 + 59 \\
D = 13
\]

Exercice 42 : calculer mentalement
a. \( 9 – 17 = -8 \)

b. \( -34 + 6 = -28 \)

c. \( -76 – 7 = -83 \)

d. \( 13 – 14 = -1 \)

e. \( -26 + 33 = 7 \)

f. \( 25 – 12 = 13 \)

g. \( -51 – 17 = -68 \)

h. \( 38 – 47 = -9 \)

i. \( -26 – 58 = -84 \)

j. \( -13 – 13 = -26 \)

k. \( -17 + 29 = 12 \)

l. \( -34 – 6 = -40 \)

m. \( 92 + 5 = 97 \)

n. \( -56 – 9 = -65 \)

o. \( -26 + 13 = -13 \)

p. \( 35 – 12 = 23 \)

q. \( -53 – 27 = -80 \)

r. \( -47 + 68 = 21 \)

s. \( -56 + 27 = -29 \)

t. \( -27 + 27 = 0 \)

Exercice 43 : placer des points dans un repère
\[
\text{Points à placer dans un repère orthogonal :}
\]

[a.] A(4 ; 5) : Le point A se trouve dans le premier quadrant, 4 unités à droite de l’origine (axe des x) et 5 unités au-dessus de l’origine (axe des y).
\[
A(4 ; 5)
\]

[b.] B(-1 ; -3) : Le point B se trouve dans le troisième quadrant, 1 unité à gauche de l’origine (axe des x) et 3 unités en dessous de l’origine (axe des y).
\[
B(-1 ; -3)
\]

[c.] C(2 ; -0,5) : Le point C se trouve dans le quatrième quadrant, 2 unités à droite de l’origine (axe des x) et 0,5 unité en dessous de l’origine (axe des y).
\[
C(2 ; -0,5)
\]

[d.] D(0 ; -5) : Le point D se trouve sur l’axe des y, 0 unité sur l’axe des x (origine) et 5 unités en dessous de l’origine (axe des y).
\[
D(0 ; -5)
\]

[e.] E(3 ; 0) : Le point E se trouve sur l’axe des x, 3 unités à droite de l’origine (axe des x) et 0 unité sur l’axe des y.
\[
E(3 ; 0)
\]

[f.] F(-2,5 ; 2,5) : Le point F se trouve dans le deuxième quadrant, 2,5 unités à gauche de l’origine (axe des x) et 2,5 unités au-dessus de l’origine (axe des y).
\[
F(-2,5 ; 2,5)
\]

Exercice 44 : comparer deux relatifs

{a.} \( 0,335 > 0,334 \)
{b.} \( -8,1 < -1,8 \)
{c.} \( -5 > -5,14 \)
{d.} \( 4,1411 > 4,1141 \)
{e.} \( -4,9 < 5 \)
{f.} \( -5,19 < -5,2 \)
{g.} \( -5,1 > -5,100 \)

Exercice 45 : ranger dans l’ordre croissants ces nombres relatifs
{Correction:}

a.
\[
-40, -7.9, -7, -3.1, 0, 0.12, 2.4, 3
\]

b.
\[
-12.1, -11.2, -5, -0.8, 0.7, 2, 7
\]

c.
\[
-3.8, -3.7, -3.41, -1.9, 1.2, 6, 8.3
\]

Exercice 46 : compléter les égalités

[a.] \(6 – (-9) = 6 + 9 = 15\)
[b.] \(-5 – 8 = -5 + (-8) = -13\)
[c.] \(4 – 8 = 4 + (-8) = -4\)
[d.] \(13 – 9 = 4\)
[e.] \(-1 – (-1) = -1 + 1 = 0\)
[f.] \(20 – 90 = 20 + (-90) = -70\)

Exercice 47 : compléter la chaîne
Soit \( x \) le nombre en bas à gauche.

1. Équation de transition en bas à gauche :
\[ x + (-4) = 3 \implies x – 4 = 3 \implies x = 7 \]

Donc, \( x = 7 \).

2. Nombre en haut à gauche :
\[ 7 – 11 = -4 \]

Donc, le nombre en haut à gauche est \(-4\).

3. Nombre en haut à droite :
\[ -4 + 10 = 6 \]

Donc, le nombre en haut à droite est \(6\).

4. Nombre en bas à droite :
\[ 6 – 10 = -4 \]

Donc, le nombre en bas à droite est \(-4\).

En résumé, la chaîne complète est :
\[ 7 \to -4 \to 6 \to -4 \to 7. \]

Exercice 48 : effectuer les calculs suivants
a.
\[
A = 7 + (-9) – (-3) – 8
\]
\[
A = 7 – 9 + 3 – 8
\]
\[
A = -2 + 3 – 8
\]
\[
A = 1 – 8
\]
\[
A = -7
\]

b.
\[
B = -2 – (-9) + 12 + (-14)
\]
\[
B = -2 + 9 + 12 – 14
\]
\[
B = 7 + 12 – 14
\]
\[
B = 19 – 14
\]
\[
B = 5
\]

c.
\[
C = 0.5 – 9.5 + (-7.5) – 3.5
\]
\[
C = 0.5 – 9.5 – 7.5 – 3.5
\]
\[
C = -9 + (-7.5) – 3.5
\]
\[
C = -9 – 7.5 – 3.5
\]
\[
C = -16.5 – 3.5
\]
\[
C = -20
\]

d.
\[
D = -10 + (-2) + 12 – (-2)
\]
\[
D = -10 – 2 + 12 + 2
\]
\[
D = -12 + 12 + 2
\]
\[
D = 0 + 2
\]
\[
D = 2
\]

Exercice 49 : calculs et vocabulaire des opérations

[a.] La différence entre 6 et la différence entre \( -7 \) et \( -1 \).
\[
6 – (-7 – (-1)) = 6 – (-7 + 1) = 6 – (-6) = 6 + 6 = 12
\]
[b.] La somme du produit de 5 par 3 et de l’opposé de 16.
\[
(5 \times 3) + (-16) = 15 + (-16) = 15 – 16 = -1
\]
[c.] La somme de \( -11 \) et de la différence entre 7 et l’opposé de \( -5 \).
\[
-11 + (7 – (-(-5))) = -11 + (7 – 5) = -11 + 2 = -9
\]
[d.] La différence entre l’opposé de 6 et l’opposé de \( -10 \).
\[
-6 – (-(-10)) = -6 – 10 = -16
\]

Exercice 50 : comparer ces nombres relatifs
\begin{align*}
5,03 < 5,65 \\
-2,5 < +12,6 \\
6,234 > 6,21 \\
-7,25 < -1,33 \\
-12,7 > -15,9 \\
4,507 > 4,4256 \\
18,25 > 7,89 \\
-7,86 > -7,92 \\
4,327 < 4,427 \\
-12,35 < -6 \\
-0,016 < -0,02 \\
12,456 < 12,546 \\
\end{align*}

Exercice 51 : encadrer entre deux entiers relatifs
\begin{align*}
5 < 5,32 < 6 \\
-6 < -5,6 < -5 \\
12 < 12,645 < 13 \\
-1 < -0,058 < 0 \\
-5 < -4,589 < -4 \\
8 < 8,76 < 9 \\
-5 < -4,78 < -4 \\
-2 < -1,98 < -1 \\
19 < 19,87 < 20 \\
-4 < -\pi < -3
\end{align*}

Exercice 52 : compléter par le signe <,> ou =
\[ 75 > 57 \]

\[ -6 < 4 \]

\[ 23 > -15 \]

\[ -18 < -9 \]

\[ 4,2 > 42 \]

\[ 15,8 > -18,5 \]

\[ +7,5 = 7,5 \]

\[ -4,1 < -4,3 \]

\[ 102,6 > -102,7 \]

\[ -8,7 < 8,7 \]

\[ 0,56 > -0,65 \]

\[ -1,99 > -1,999 \]

\[ 0 > -9,75 \]

\[ -8,09 > -9,08 \]

\[ 10,001 > -10,01 \]

\[ -7,01 < 7,01 \]

Exercice 53 : ordre croissant et ordre décroissant
a. ordonnez les nombres suivants dans l’ordre croissant :

-7, -6,01, -5,7, 2,5, 5,8, 7,8

b. ordonnez les nombres suivants dans l’ordre décroissant :

0,21, 0,12, -0,12, -0,2, -1,02, -1,2

Exercice 54 : encadrer avec des entiers consécutifs

[a.] \(6 < 6,4 < 7\)
[b.] \(-3 < -2,1 < -2\)
[c.] \(-11 < -10,6 < -10\)
[d.] \(-1 < -0,32 < 0\)

Exercice 55 : classer des nombres relatifs
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Nombres inférieurs à \[-3\] Nombres compris entre \[-3\] et \[-2\] Nombres supérieurs à \[-2\] \\
\hline
\[-4\] \[-3,5\] \[-1,1\] \\
\[-2,4\] \[-1,8\] \\
\[-2,01\] \[2,01\] \\
\hline
\end{tabular}

Exercice 56 : classer des événements du plus ancien au plus récent
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Événements} \text{Date} \\
\hline
\text{Naissance de Ramsès II} -1300 \\
\hline
\text{1er Jeux Olympiques antiques} -776 \\
\hline
\text{Naissance d’Alexandre Le Grand} -356 \\
\hline
\text{Naissance d’Euclide d’Alexandrie} -330 \\
\hline
\text{Hannibal traverse les Alpes} -218 \\
\hline
\text{Cléopâtre reine d’Égypte} -51 \\
\hline
\end{array}
\]