Nombres relatifs : corrigés des exercices de maths en 5ème.

Exercice 1 : opérations sur les nombres relatifs.
\begin{align%2A}%0D%0AA\,%26\,=\,(%2B17)\,%2B\,(-4)\,\\%0D%0A%26\,=\,17\,-\,4\,\\%0D%0A%26\,=\,13%0D%0A\end{align%2A}

\begin{align%2A}%0D%0AB\,%26\,=\,(-6)\,%2B\,(-5)\,\\%0D%0A%26\,=\,-6\,-\,5\,\\%0D%0A%26\,=\,-11%0D%0A\end{align%2A}

\begin{align%2A}%0D%0AC\,%26\,=\,(-7)\,%2B\,(%2B3)\,%2B\,(-2)\,\\%0D%0A%26\,=\,-7\,%2B\,3\,-\,2\,\\%0D%0A%26\,=\,-4\,-\,2\,\\%0D%0A%26\,=\,-6%0D%0A\end{align%2A}

\begin{align%2A}%0D%0AD\,%26\,=\,(%2B4)\,%2B\,(%2B3)\,%2B\,(%2B2)\,%2B\,(-1)\,\\%0D%0A%26\,=\,4\,%2B\,3\,%2B\,2\,-\,1\,\\%0D%0A%26\,=\,9\,-\,1\,\\%0D%0A%26\,=\,8%0D%0A\end{align%2A}

\begin{align%2A}%0D%0AE\,%26\,=\,(-7)\,%2B\,(-10)\,%2B\,(%2B5)\,%2B\,(-1)\,%2B\,(%2B2)\,\\%0D%0A%26\,=\,-7\,-\,10\,%2B\,5\,-\,1\,%2B\,2\,\\%0D%0A%26\,=\,-17\,%2B\,5\,-\,1\,%2B\,2\,\\%0D%0A%26\,=\,-12\,-\,1\,%2B\,2\,\\%0D%0A%26\,=\,-13\,%2B\,2\,\\%0D%0A%26\,=\,-11%0D%0A\end{align%2A}

\begin{align%2A}%0D%0AF\,%26\,=\,(%2B7)\,-\,(-5)\,\\%0D%0A%26\,=\,7\,%2B\,5\,\\%0D%0A%26\,=\,12%0D%0A\end{align%2A}

\begin{align%2A}%0D%0AG\,%26\,=\,(%2B12%2C3)\,-\,(%2B5%2C6)\,\\%0D%0A%26\,=\,12%2C3\,-\,5%2C6\,\\%0D%0A%26\,=\,6%2C7%0D%0A\end{align%2A}

\begin{align%2A}%0D%0AH\,%26\,=\,(%2B35%2C3)\,-\,(-4%2C5)\,\\%0D%0A%26\,=\,35%2C3\,%2B\,4%2C5\,\\%0D%0A%26\,=\,39%2C8%0D%0A\end{align%2A}

\begin{align%2A}%0D%0AI\,%26\,=\,(-13)\,-\,(%2B55)\,\\%0D%0A%26\,=\,-13\,-\,55\,\\%0D%0A%26\,=\,-68%0D%0A\end{align%2A}

\begin{align%2A}%0D%0AJ\,%26\,=\,(-25)\,-\,(-47)\,\\%0D%0A%26\,=\,-25\,%2B\,47\,\\%0D%0A%26\,=\,22%0D%0A\end{align%2A}

Exercice 2 : nombres relatifs – axe gradué.
\section*{Correction de l’exercice de mathématiques}

\subsection*{Axes gradués}
1. Pour la première droite graduée:

$A = -2$
$B = -7$
$C = -4$
$D = +6$
$E = +10$
$F = -1$
$G = +8$
$H = -8$

2. Pour la deuxième droite graduée:

$A = +10$
$B = +15$
$C = +25$
$D = +40$
$E = +45$
$F = 0$
$G = +20$
$H = +5$

3. Pour la troisième droite graduée:

$A = +300$
$B = +700$
$C = +100$
$D = +900$
$E = 0$
$F = +500$
$G = +800$
$H = +600$

\subsection*{Axe gradué (bis)}
Tracer une droite graduée et placer les points :

$A = +3500$
$B = -4000$
$C = -1500$
$D = +3000$
$E = -2500$

\subsection*{Rangement}
Ranger les nombres suivants dans l’ordre croissant:

$- \, 5,8; \quad + \, 6,4; \quad – \, 5,35; \quad + \, 6,28; \quad – \, 3,7; \quad 0$

\begin{equation}
-5,8 < -5,35 < -3,7 < 0 < 6,28 < 6,4
\end{equation}

Exercice 3 : somme de nombres relatifs.
A\,=\,(-8)\,%2B\,(%2B9)\,%2B\,(%2B4)\,%2B\,(-6)\,=\,-8\,%2B\,9\,%2B\,4\,-\,6\,=\,(-8\,%2B\,9)\,%2B\,(4\,-\,6)\,=\,1\,-\,2\,=\,-1

B\,=\,(-25)\,%2B\,(-75)\,%2B\,(%2B37)\,%2B\,(%2B13)\,=\,-25\,-\,75\,%2B\,37\,%2B\,13\,=\,(-25\,-\,75)\,%2B\,(37\,%2B\,13)\,=\,-100\,%2B\,50\,=\,-50

C\,=\,(-6%2C4)\,%2B\,(%2B1%2C2)\,%2B\,(-12%2C3)\,%2B\,(-8)\,=\,-6.4\,%2B\,1.2\,-\,12.3\,-\,8\,=\,(-6.4\,%2B\,1.2)\,%2B\,(-12.3\,-\,8)\,=\,-5.2\,%2B\,(-20.3)\,=\,-25.5

Exercice 4 : relatif et repère orthonormal.
1) Placer dans un repère orthogonal les points suivants :
M(-4%3B\,1)\,\\%0D%0AP(5%3B\,-3)\,\\%0D%0AZ(1%3B\,1)\,\\%0D%0AS(-3%3B\,-3)\,\\%0D%0AH(1%3B\,6)\,\\%0D%0AE(-6%3B\,-1)\,\\%0D%0AB(8%3B\,-1)\,\\%0D%0AR(1%3B\,-1)

2) Relier les points dans l’ordre suivant : R%2C\,B%2C\,P%2C\,S%2C\,E%2C\,R%2C\,H%2C\,M%2C\,Z.

3) Que représente le dessin ?
Le dessin représente un poisson. Les points reliés dans cet ordre forment le contour d’un poisson.

Exercice 5 : calculs – nombres relatifs.
A\,%26\,=\,(-6)\,%2B\,(%2B7)\,%2B\,(%2B10)\,%2B\,(-11)\,\\%0D%0A%26\,=\,-6\,%2B\,7\,%2B\,10\,-\,11\,\\%0D%0A%26\,=\,1\,%2B\,10\,-\,11\,\\%0D%0A%26\,=\,11\,-\,11\,\\%0D%0A%26\,=\,0

B\,%26\,=\,(-2)\,%2B\,(-7)\,%2B\,(%2B9)\,\\%0D%0A%26\,=\,-2\,-\,7\,%2B\,9\,\\%0D%0A%26\,=\,-9\,%2B\,9\,\\%0D%0A%26\,=\,0

C\,%26\,=\,(-3)\,%2B\,(-7)\,%2B\,(%2B3.5)\,%2B\,(%2B8)\,%2B\,(-1)\,\\%0D%0A%26\,=\,-3\,-\,7\,%2B\,3.5\,%2B\,8\,-\,1\,\\%0D%0A%26\,=\,-10\,%2B\,3.5\,%2B\,8\,-\,1\,\\%0D%0A%26\,=\,-6.5\,%2B\,8\,-\,1\,\\%0D%0A%26\,=\,1.5\,-\,1\,\\%0D%0A%26\,=\,0.5

D\,%26\,=\,(-4)\,%2B\,(%2B9)\,-\,(-2)\,\\%0D%0A%26\,=\,-4\,%2B\,9\,%2B\,2\,\\%0D%0A%26\,=\,7\,%2B\,2\,\\%0D%0A%26\,=\,9

E\,%26\,=\,(%2B8)\,-\,(-5)\,-\,(%2B12)\,%2B\,(-2)\,\\%0D%0A%26\,=\,8\,%2B\,5\,-\,12\,-\,2\,\\%0D%0A%26\,=\,13\,-\,12\,-\,2\,\\%0D%0A%26\,=\,1\,-\,2\,\\%0D%0A%26\,=\,-1

Exercice 6 : addition et soustractions de nombres relatifs.
\begin{align%2A}%0D%0AA\,%26=\,-27\,%2B\,12\,-\,(-4)\,%2B\,(-55)\,%2B\,5\,\\%0D%0A%26=\,-27\,%2B\,12\,%2B\,4\,-\,55\,%2B\,5\,\\%0D%0A%26=\,(-27\,%2B\,12)\,%2B\,4\,%2B\,(-55\,%2B\,5)\,\\%0D%0A%26=\,-15\,%2B\,4\,-\,50\,\\%0D%0A%26=\,(-15\,%2B\,4)\,-\,50\,\\%0D%0A%26=\,-11\,-\,50\,\\%0D%0A%26=\,-61%0D%0A\end{align%2A}

\begin{align%2A}%0D%0AB\,%26=\,10%2C2\,%2B\,(-33)\,-\,(%2B4%2C7)\,%2B\,8%2C9\,%2B\,(-7%2C8)\,-\,(-10%2C5)\,\\%0D%0A%26=\,10%2C2\,-\,33\,-\,4%2C7\,%2B\,8%2C9\,-\,7%2C8\,%2B\,10%2C5\,\\%0D%0A%26=\,(10%2C2\,%2B\,8%2C9\,%2B\,10%2C5)\,%2B\,(-33\,-\,4%2C7\,-\,7%2C8)\,\\%0D%0A%26=\,29%2C6\,%2B\,(-45%2C5)\,\\%0D%0A%26=\,-15%2C9%0D%0A\end{align%2A}

\begin{align%2A}%0D%0AC\,%26=\,-101\,%2B\,23%2C7\,%2B\,(-42%2C8)\,%2B\,(-32%2C9)\,%2B\,74%2C2\,\\%0D%0A%26=\,-101\,%2B\,23%2C7\,-\,42%2C8\,-\,32%2C9\,%2B\,74%2C2\,\\%0D%0A%26=\,(-101\,-\,42%2C8\,-\,32%2C9)\,%2B\,(23%2C7\,%2B\,74%2C2)\,\\%0D%0A%26=\,-176%2C7\,%2B\,97%2C9\,\\%0D%0A%26=\,-78%2C8%0D%0A\end{align%2A}

Exercice 7 : parenthèses emboitées et nombres relatifs.
Correction de l’exercice :

A\,=\,(5\,-\,7)\,%2B\,(-9)
=\,-2\,%2B\,(-9)\,=\,-2\,-\,9\,=\,-11

B\,=\,%5B(-4)\,%2B\,(5\,-\,3)%5D\,-\,(7\,%2B\,8)
=\,%5B-4\,%2B\,2%5D\,-\,15\,=\,-2\,-\,15\,=\,-17

C\,=\,%5B(8\,-\,9)\,-\,3%5D\,-\,(8\,%2B\,4)
=\,%5B-1\,-\,3%5D\,-\,12\,=\,-4\,-\,12\,=\,-16

D\,=\,%5B(1\,-\,3)\,%2B\,7%5D\,-\,2\,%2B\,(7\,-\,8)
=\,%5B-2\,%2B\,7%5D\,-\,2\,%2B\,(-1)\,=\,5\,-\,2\,-\,1\,=\,2

Exercice 8 : comparaison de nombres relatifs
Correction :

Compléter par un nombre entier relatif :
\begin{align*}
x \leq\, -4 \\
x \geq\, 15 \\
-3 < x \\
0 > x \\
x > 3 \\
-12 \geq\, x
\end{align*}

Ranger les nombres relatifs suivants dans l’ordre décroissant :
16%2C\,4%2C\,2%2C\,1%2C\,0%2C\,-2%2C\,-4%2C\,-5%2C\,-25.

Donner tous les nombres entiers relatifs qui vérifient -2%2C9\,%3C\,a\,%3C\,2%2C1 :
a\,=\,-2%2C\,-1%2C\,0%2C\,1%2C\,2.

Exercice 9 : opération sur les nombres relatifs
Calculons l’expression numérique suivante :

A\,=\,-7\,%2B\,9\,%2B\,(%2B4)\,%2B\,(-2)\,%2B\,(-9)

Commençons par regrouper les termes positifs et les termes négatifs :

A\,=\,(-7\,%2B\,(-2)\,%2B\,(-9))\,%2B\,(9\,%2B\,4)

Calculons les termes négatifs :

-7\,%2B\,(-2)\,=\,-9
-9\,%2B\,(-9)\,=\,-18

Calculons les termes positifs :

9\,%2B\,4\,=\,13

Additionnons maintenant les résultats obtenus :

A\,=\,-18\,%2B\,13

Effectuons l’addition finale :

A\,=\,-5

Donc,

A\,=\,-5

Exercice 10 : opérations sur les nombres relatifs
A.\,\quad\,A\,=\,(-5)\,%2B\,(%2B7)\,-\,(-3)\,%2B\,(%2B11)

A\,=\,-5\,%2B\,7\,%2B\,3\,%2B\,11

A\,=\,16

B.\,\quad\,B\,=\,(-2)\,%2B\,(-1)\,-\,(%2B4)\,%2B\,(-3)\,-\,(-8)

B\,=\,-2\,-\,1\,-\,4\,-\,3\,%2B\,8

B\,=\,-10\,%2B\,8

B\,=\,-2

C.\,\quad\,C\,=\,(-28)\,-\,(-32)\,%2B\,(-25)\,%2B\,(%2B28)\,%2B\,(-32)

C\,=\,-28\,%2B\,32\,-\,25\,%2B\,28\,-\,32

C\,=\,-25\,-25

C\,=\,-50

D.\,\quad\,D\,=\,(-25)\,-\,(-36)\,%2B\,(%2B12)\,-\,(%2B13)\,-\,(-10)

D\,=\,-25\,%2B\,36\,%2B\,12\,-\,13\,%2B\,10

D\,=\,23\,%2B\,10

D\,=\,33

E.\,\quad\,E\,=\,15\,%2B\,7\,-\,12\,%2B\,18

E\,=\,22\,%2B\,18

E\,=\,40

F.\,\quad\,F\,=\,-9\,%2B\,3\,-\,4\,%2B\,7

F\,=\,-6\,-\,4\,%2B\,7

F\,=\,-10\,%2B\,7

F\,=\,-3

G.\,\quad\,G\,=\,18\,%2B\,12\,-\,9\,%2B\,11\,-\,15\,%2B\,10

G\,=\,30\,-\,9\,%2B\,11\,-\,15\,%2B\,10

G\,=\,21\,%2B\,11\,-\,15\,%2B\,10

G\,=\,32\,-\,15

G\,=\,17

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