Exercice 1 : opérations sur les nombres relatifs.
Exercice 2 : nombres relatifs – axe gradué.
\section*{Correction de l’exercice de mathématiques}
\subsection*{Axes gradués}
1. Pour la première droite graduée:
$A = -2$
$B = -7$
$C = -4$
$D = +6$
$E = +10$
$F = -1$
$G = +8$
$H = -8$
2. Pour la deuxième droite graduée:
$A = +10$
$B = +15$
$C = +25$
$D = +40$
$E = +45$
$F = 0$
$G = +20$
$H = +5$
3. Pour la troisième droite graduée:
$A = +300$
$B = +700$
$C = +100$
$D = +900$
$E = 0$
$F = +500$
$G = +800$
$H = +600$
\subsection*{Axe gradué (bis)}
Tracer une droite graduée et placer les points :
$A = +3500$
$B = -4000$
$C = -1500$
$D = +3000$
$E = -2500$
\subsection*{Rangement}
Ranger les nombres suivants dans l’ordre croissant:
$- \, 5,8; \quad + \, 6,4; \quad – \, 5,35; \quad + \, 6,28; \quad – \, 3,7; \quad 0$
\begin{equation}
-5,8 < -5,35 < -3,7 < 0 < 6,28 < 6,4
\end{equation}
Exercice 3 : somme de nombres relatifs.
Exercice 4 : relatif et repère orthonormal.
1) Placer dans un repère orthogonal les points suivants :
2) Relier les points dans l’ordre suivant : .
3) Que représente le dessin ?
Le dessin représente un poisson. Les points reliés dans cet ordre forment le contour d’un poisson.
Exercice 5 : calculs – nombres relatifs.
Exercice 6 : addition et soustractions de nombres relatifs.
Exercice 7 : parenthèses emboitées et nombres relatifs.
Correction de l’exercice :
Exercice 8 : comparaison de nombres relatifs
Correction :
Compléter par un nombre entier relatif :
\begin{align*}
x \leq\, -4 \\
x \geq\, 15 \\
-3 < x \\
0 > x \\
x > 3 \\
-12 \geq\, x
\end{align*}
Ranger les nombres relatifs suivants dans l’ordre décroissant :
Donner tous les nombres entiers relatifs qui vérifient :
Exercice 9 : opération sur les nombres relatifs
Calculons l’expression numérique suivante :
Commençons par regrouper les termes positifs et les termes négatifs :
Calculons les termes négatifs :
Calculons les termes positifs :
Additionnons maintenant les résultats obtenus :
Effectuons l’addition finale :
Donc,
Exercice 10 : opérations sur les nombres relatifs
Exercice 11 : les nombres relatifs et calculs
Exercice 12 : quel type de nombre ?
a. Les nombres positifs sont :
b. Les nombres négatifs sont :
c. Les entiers négatifs sont :
d. Les nombres relatifs sont :
Exercice 13 : abscisse et nombres relatifs
Les abscisses des points A, B, C, D et E sont les suivantes :
1. Pour la première droite numérique :
2. Pour la deuxième droite numérique :
3. Pour la troisième droite numérique :
4. Pour la quatrième droite numérique :
Exercice 14 : comparaison de nombres relatifs
« `latex
[a.] 35 > 6,15
[b.] 46 > -18
[c.] -5 > -8
[d.] -10 < 10
[e.] -0,5 < -0,08
[f.] -40,2 < -40,20
« `
Exercice 15 : recopier et compléter
a.
b.
c.
f. Exercice 16 : opposé d’un nombre relatif
a.
L’opposé de est
.
L’opposé de est
.
L’opposé de est
.
L’opposé de est
.
L’opposé de est
.
L’opposé de est
.
b.
Pour placer ces nombres et leurs opposés sur une droite graduée :
1. Trouvez un intervalle adéquat pour la droite graduée, par exemple de à
.
2. Placez les nombres originaux et leurs opposés comme suit :
Exercice 17 : ranger par ordre décroissant
Exercice 18 : comparaison et chimie
Exercice 19 : coordonnées de points
Les coordonnées des points A, B, C, D et E sont :
$A (2, 1)$
$B (-3, 1)$
$C (2, -2)$
$D (0, 2)$
$E (-2, -2)$
Exercice 20 : problème et coordonnées
Les points d’arrêt indiqués sur la carte sont représentés par des croix rouges. On va déterminer les coordonnées de chacun de ces points sur le système de coordonnées donné.
1. : Ce point est situé à l’origine des axes, donc ses coordonnées sont (0, 0).
2. : Ce point est situé en haut à droite sur la carte, donc ses coordonnées sont (2, 3).
3. : Ce point est situé légèrement en dessous et à droite de la Pointe de la Galère, donc ses coordonnées sont (3, 1).
4. : Ce point est situé vers le bas à droite de la carte, donc ses coordonnées sont (2, -2).
5. : Ce point est situé en bas à gauche de la carte, donc ses coordonnées sont (-2, -3).
En résumé, les coordonnées des points d’arrêt sont :
Exercice 21 : problème ouvert
Pour résoudre le problème de géolocalisation de Louane, nous allons utiliser les coordonnées des antennes et les distances fournies.
Les coordonnées des antennes A, B, C et D sont respectivement ,
,
et
.
Les distances correspondantes à chaque antenne sont données par le téléphone et sont respectivement ,
,
et
.
Pour trouver les coordonnées de Louane, notons ses coordonnées . Nous allons utiliser les équations des cercles centrées sur chaque antenne avec le rayon correspondant à la distance donnée.
1. Pour l’antenne A à
:
2. Pour l’antenne B à
:
3. Pour l’antenne C à
:
4. Pour l’antenne D à
:
Nous obtenons donc le système non-linéaire suivant :
Pour résoudre ce système d’équations, une méthode commune est de résoudre deux équations à la fois pour éliminer une variable et trouver les points d’intersections. Cependant, pour ce type de problème de géolocalisation, il est souvent plus efficace d’utiliser un logiciel de calcul ou une méthode graphique pour visualiser les points d’intersection des cercles.
En général, l’intersection des trois premiers cercles donne directement la position recherchée, et le quatrième cercle sert à vérifier la cohérence des résultats.
Exercice 22 : addition de nombres relatifs
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Exercice 23 : pyramide de nombres relatifs
Pour la pyramide a :
Les deux nombres de la rangée du milieu sont la somme des nombres situés en dessous d’eux.
Le nombre au sommet de la pyramide est la somme des deux nombres du milieu.
La pyramide complétée a est donc :
Pour la pyramide b :
Les deux nombres de la rangée du milieu sont la somme des nombres situés en dessous d’eux.
Le nombre au sommet de la pyramide est la somme des trois nombres du milieu.
La pyramide complétée b est donc :
Exercice 24 : calculer les expressions
LaTeX:
Pour l’expression :
Pour l’expression :
Pour l’expression :
Les résultats finaux sont:
Exercice 25 : calculer les expressions
Exercice 26 : calculer astucieusement
Dans chaque cas, on simplifie les expressions en combinant les termes.
Pour :
Commençons par combiner les termes positifs et les termes négatifs:
Regroupons les termes de la manière suivante:
On note que et
se simplifient:
Ce qui donne:
Et finalement :
Pour :
Commençons par combiner les termes positifs et les termes négatifs:
Calculons chaque groupe séparément:
En assemblant les résultats:
Ce qui donne finalement:
Exercice 27 : course et nombres relatifs
a. L’altitude à l’arrivée peut être exprimée en ajoutant et en soustrayant les différentes variations d’altitude à partir de l’altitude de départ.
b. Calculons cette altitude :
L’altitude à l’arrivée est donc de mètres.
Exercice 28 : calculer les expressions
\begin{align*}
A = 25 + (-8) + (-14) + 7 \\
= 25 – 8 – 14 + 7 \\
= 25 – 8 = 17 \\
= 17 – 14 = 3 \\
= 3 + 7 \\
= 10 \\
\\
B = -9,5 + (-20) + 17,6 + (-3,5) + 2,4 \\
= -9,5 – 20 + 17,6 – 3,5 + 2,4 \\
= -9,5 – 20 = -29,5 \\
= -29,5 + 17,6 = -11,9 \\
= -11,9 – 3,5 = -15,4 \\
= -15,4 + 2,4 = -13 \\
\\
C = -75 + 42 + 16 + (-23) \\
= -75 + 42 + 16 – 23 \\
= -75 + 42 = -33 \\
= -33 + 16 = -17 \\
= -17 – 23 \\
= -40 \\
\end{align*}
Exercice 29 : calculer les expressions
Pour calculer chaque expression, effectuons les opérations pas à pas.
L’expression pour est donc :
Pour :
L’expression pour est donc :
Pour :
L’expression pour est donc :
Exercice 30 : calculs et nombres relatifs
a. Écrire avec uniquement des additions.
b. Calculer alors cette expression de la gauche vers la droite.
Donc, .
Exercice 31 : calculer les expressions
Exercice 32 : calculer
a.
On part de l’expression initiale :
On utilise la règle des signes pour les soustractions des nombres négatifs :
Donc, l’expression devient :
b.
Calculons l’expression de la gauche vers la droite :
1.
2.
3.
Finalement,
Exercice 33 : lire chaque phrase
a. Soustraire revient à ajouter
.
b. Soustraire revient à ajouter
.
c. Soustraire à
revient à ajouter
à
.
d. Soustraire à
revient à ajouter
à
.
Exercice 34 : problème ouvert
Corrigeons l’exercice en utilisant les règles fournies.
La grille initiale est :
Nous devons utiliser les règles héritées du document 1 pour remplir les cases.
1. :
2.
Cases des colonnes en fixant a bien d’abord ,
,
, en utilisant
pour compléter a et (a+b):
Complétons une colonne et trouvons les bons (a+b):
3.
Commençons en fixant (a) et son adjoint horizontal
:
* Colonne 1, 2, avec
* $a = 16 + (-10) = 6$ et le adjoint
On doit vérifier chaque récrit en cousissant et
* $6$ (6=2), écrivons donc:
Solution complète et relative :
Final
La correcte application applique donc chaque règle et propriétés:
– Ces colonnes intègrent blancs règles mises intégrant chaque ligne.
Exercice 35 : exercice à prise d’initiative
Voici la correction de l’exercice :
Le message à décoder est:
Utilisons les indices pour le décodage fournis:
### Étape 1 : Calcul des valeurs décodées
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
### Étape 2 : Correspondance des valeurs avec la grille de décodage
Selon la grille de décodage:
1.
2.
3.
4. n’a pas de correspondance valide.
5.
6.
7.
8. n’a pas de correspondance valide.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
### Message décodé:
Le message consiste des lettres correspondantes:
Ensemble, les valeurs qui ont une correspondance décodant, fournissant, remplissant sont lettres c:
« `
MPSUJP R SPP R
« `
Exercice 36 : repère et coordonnées
Exercice 37 : repérage dans le plan
a. Les points sont placés comme suit :
–
–
–
–
–
–
b. Les coordonnées du milieu du segment
sont données par :
En remplaçant et
, on obtient :
Par conséquent, les coordonnées de sont
.
Exercice 38 : coordonnée et répérage
a. Les coordonnées du point sont
. Le point
est le symétrique de
par rapport à l’axe des abscisses, donc
a les mêmes coordonnées en
et une coordonnée
opposée à celle de
. Ainsi, les coordonnées de
sont
.
b. Le point est le symétrique de
par rapport à l’axe des ordonnées, donc
a une coordonnée
opposée à celle de
et la même coordonnée en
. Ainsi, les coordonnées de
sont
.
c. Les coordonnées des points et
montrent que pour le point
, l’abscisse est opposée à celle de
et pour le point
, l’ordonnée est la même que celle de
.
d. La position des points et
par rapport à l’origine
(
) :
– Le point se situe à 4 unités à gauche et 3 unités en dessous de l’origine
.
– Le point se situe à 4 unités à droite et 3 unités au-dessus de l’origine
.
e. Plaçons le point de coordonnées
dans le repère :
Exercice 39 : transformer la soustraction en addition
A = (+10) – (-12) = (+10) + (+12) = 22
B = (-21) – (+13) = (-21) + (-13) = -34
C = (-9) – (+14) = (-9) + (-14) = -23
D = (+12,4) – (-9,7) = (+12,4) + (+9,7) = 22,1
E = (-65) – (-78) = (-65) + (+78) = 13
F = (-17,2) – (+5,5) = (-17,2) + (-5,5) = -22,7
G = (-1,1) – (+0,2) = (-1,1) + (-0,2) = -1,3
H = (+8,4) – (-3,9) = (+8,4) + (+3,9) = 12,3
I = (+3) – (+3,5) = (+3) + (-3,5) = -0,5
J = (-0,1) – (-0,1) = (-0,1) + (+0,1) = 0
Exercice 40 : effectuer les calculs
Exercice 41 : calculer les expressions numériques
Exercice 42 : calculer mentalement
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
r.
s.
t.
Exercice 43 : placer des points dans un repère
[a.] A(4 ; 5) : Le point A se trouve dans le premier quadrant, 4 unités à droite de l’origine (axe des x) et 5 unités au-dessus de l’origine (axe des y).
[b.] B(-1 ; -3) : Le point B se trouve dans le troisième quadrant, 1 unité à gauche de l’origine (axe des x) et 3 unités en dessous de l’origine (axe des y).
[c.] C(2 ; -0,5) : Le point C se trouve dans le quatrième quadrant, 2 unités à droite de l’origine (axe des x) et 0,5 unité en dessous de l’origine (axe des y).
[d.] D(0 ; -5) : Le point D se trouve sur l’axe des y, 0 unité sur l’axe des x (origine) et 5 unités en dessous de l’origine (axe des y).
[e.] E(3 ; 0) : Le point E se trouve sur l’axe des x, 3 unités à droite de l’origine (axe des x) et 0 unité sur l’axe des y.
[f.] F(-2,5 ; 2,5) : Le point F se trouve dans le deuxième quadrant, 2,5 unités à gauche de l’origine (axe des x) et 2,5 unités au-dessus de l’origine (axe des y).
Exercice 44 : comparer deux relatifs
a.
c.
f.
g. Exercice 45 : ranger dans l’ordre croissants ces nombres relatifs
Correction:
a.
b.
c.
Exercice 46 : compléter les égalités
[a.]
[b.]
[c.]
[d.]
[e.]
[f.]
Exercice 47 : compléter la chaîne
Soit le nombre en bas à gauche.
1. Équation de transition en bas à gauche :
Donc, .
2. Nombre en haut à gauche :
Donc, le nombre en haut à gauche est .
3. Nombre en haut à droite :
Donc, le nombre en haut à droite est .
4. Nombre en bas à droite :
Donc, le nombre en bas à droite est .
En résumé, la chaîne complète est :
Exercice 48 : effectuer les calculs suivants
a.
b.
c.
d.
Exercice 49 : calculs et vocabulaire des opérations
[a.] La différence entre 6 et la différence entre et
.
[b.] La somme du produit de 5 par 3 et de l’opposé de 16.
[c.] La somme de et de la différence entre 7 et l’opposé de
.
[d.] La différence entre l’opposé de 6 et l’opposé de .
Exercice 50 : comparer ces nombres relatifs
\begin{align*}
5,03 < 5,65 \\
-2,5 < +12,6 \\
6,234 > 6,21 \\
-7,25 < -1,33 \\
-12,7 > -15,9 \\
4,507 > 4,4256 \\
18,25 > 7,89 \\
-7,86 > -7,92 \\
4,327 < 4,427 \\
-12,35 < -6 \\
-0,016 < -0,02 \\
12,456 < 12,546 \\
\end{align*}
Exercice 51 : encadrer entre deux entiers relatifs
\begin{align*}
5 < 5,32 < 6 \\
-6 < -5,6 < -5 \\
12 < 12,645 < 13 \\
-1 < -0,058 < 0 \\
-5 < -4,589 < -4 \\
8 < 8,76 < 9 \\
-5 < -4,78 < -4 \\
-2 < -1,98 < -1 \\
19 < 19,87 < 20 \\
-4 < -\pi < -3
\end{align*}
Exercice 52 : compléter par le signe <,> ou =
Exercice 53 : ordre croissant et ordre décroissant
a. ordonnez les nombres suivants dans l’ordre croissant :
-7, -6,01, -5,7, 2,5, 5,8, 7,8
b. ordonnez les nombres suivants dans l’ordre décroissant :
0,21, 0,12, -0,12, -0,2, -1,02, -1,2
Exercice 54 : encadrer avec des entiers consécutifs
[a.]
[b.]
[c.]
[d.]
Exercice 55 : classer des nombres relatifs
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Nombres inférieurs à $-3$ Nombres compris entre $-3$ et $-2$ Nombres supérieurs à $-2$ \\
\hline
$-4$ $-3,5$ $-1,1$ \\
$-2,4$ $-1,8$ \\
$-2,01$ $2,01$ \\
\hline
\end{tabular}
Exercice 56 : classer des événements du plus ancien au plus récent
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