Fractions : corrigés des exercices de maths en 5ème.

Exercice 1 : addition et soustraction de fractions.

A = \frac{3}{5} + \frac{6}{5} \\= \frac{3 + 6}{5} \\= \frac{9}{5}
B\,=\,\frac{7}{9}\,-\,\frac{2}{9}=\frac{7\,-\,2}{9}\,=\,\frac{5}{9}

C\,=\,\frac{6}{10}\,%2B\,\frac{1}{10}\,%0A=\,\frac{6\,%2B\,1}{10}\,%0A=\,\frac{7}{10}

D\,=\,\frac{8}{13}\,-\,\frac{3}{13}\,%0A=\,\frac{8\,-\,3}{13}\,%0A=\,\frac{5}{13}
Exercice 2 : addition et soustraction de fractions avec des dénominateurs différents.
A\,=\,\frac{2}{3}\,-\,\frac{1}{6}

=\,\frac{2\,\times  \,2}{3\,\times  \,2}\,-\,\frac{1}{6}

=\,\frac{4}{6}\,-\,\frac{1}{6}

=\,\frac{4\,-\,1}{6}

=\,\frac{3}{6}

=\,\frac{1}{2}

B\,=\,\frac{2}{3}\,%2B\,\frac{7}{30}

=\,\frac{2\,\times  \,10}{3\,\times  \,10}\,%2B\,\frac{7}{30}

=\,\frac{20}{30}\,%2B\,\frac{7}{30}

=\,\frac{20\,%2B\,7}{30}

=\,\frac{27}{30}

=\,\frac{9}{10}

C\,=\,\frac{17}{18}\,-\,\frac{1}{6}

=\,\frac{17}{18}\,-\,\frac{1\,\times  \,3}{6\,\times  \,3}

=\,\frac{17}{18}\,-\,\frac{3}{18}

=\,\frac{17\,-\,3}{18}

=\,\frac{14}{18}

=\,\frac{7}{9}

D\,=\,\frac{1}{21}\,%2B\,\frac{2}{3}

=\,\frac{1}{21}\,%2B\,\frac{2\,\times  \,7}{3\,\times  \,7}

=\,\frac{1}{21}\,%2B\,\frac{14}{21}

=\,\frac{1\,%2B\,14}{21}

=\,\frac{15}{21}

=\,\frac{5}{7}

Exercice 3 : calcul d’expressions.
A\,=\,\frac{1}{6}\,%2B\,\frac{3}{4}\,-\,\frac{7}{24}

Tout d’abord, mettons les fractions au même dénominateur. Le dénominateur commun des fractions 6, 4 et 24 est 24.

\frac{1}{6}\,=\,\frac{1\,\times  \,4}{6\,\times  \,4}\,=\,\frac{4}{24}

\frac{3}{4}\,=\,\frac{3\,\times  \,6}{4\,\times  \,6}\,=\,\frac{18}{24}

\frac{7}{24}\,=\,\frac{7}{24}

Maintenant, additionnons et soustrayons les fractions :

A\,=\,\frac{4}{24}\,%2B\,\frac{18}{24}\,-\,\frac{7}{24}

A\,=\,\frac{4\,%2B\,18\,-\,7}{24}\,=\,\frac{15}{24}

Simplifions \frac{15}{24} en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur qui est 3 :

A\,=\,\frac{15\,: \,3}{24\,: \,3}\,=\,\frac{5}{8}

Ainsi, A\,=\,\frac{5}{8}

Pour la deuxième expression :

B\,=\,\frac{2}{3}\,-\,\frac{7}{18}\,%2B\,\frac{2}{9}

Le dénominateur commun des fractions 3, 18 et 9 est 18.

\frac{2}{3}\,=\,\frac{2\,\times  \,6}{3\,\times  \,6}\,=\,\frac{12}{18}

\frac{7}{18}\,=\,\frac{7}{18}

\frac{2}{9}\,=\,\frac{2\,\times  \,2}{9\,\times  \,2}\,=\,\frac{4}{18}

Maintenant, additionnons et soustrayons les fractions :

B\,=\,\frac{12}{18}\,-\,\frac{7}{18}\,%2B\,\frac{4}{18}

B\,=\,\frac{12\,-\,7\,%2B\,4}{18}\,=\,\frac{9}{18}

Simplifions \frac{9}{18} en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur qui est 9 :

B\,=\,\frac{9\,: \,9}{18\,: \,9}\,=\,\frac{1}{2}

Ainsi, B\,=\,\frac{1}{2}

Exercice 4 : somme d’entiers et de fraction

A\,=\,7\,%2B\,\frac{1}{2}\,\%0A=\,\frac{14}{2}\,%2B\,\frac{1}{2}\,\%0A=\,\frac{14\,%2B\,1}{2}\,\%0A=\,\frac{15}{2}\,\%0A=\,7.5

B\,=\,4\,-\,\frac{1}{3}\,\%0A=\,\frac{12}{3}\,-\,\frac{1}{3}\,\%0A=\,\frac{12\,-\,1}{3}\,\%0A=\,\frac{11}{3}\,\%0A\approx\,3.67

C\,=\,\frac{3}{4}\,%2B\,3\,\%0A=\,\frac{3}{4}\,%2B\,\frac{12}{4}\,\%0A=\,\frac{3\,%2B\,12}{4}\,\%0A=\,\frac{15}{4}\,\%0A=\,3.75

D\,=\,\frac{15}{7}\,-\,2\,\%0A=\,\frac{15}{7}\,-\,\frac{14}{7}\,\%0A=\,\frac{15\,-\,14}{7}\,\%0A=\,\frac{1}{7}\,\%0A\approx\,0.14

Exercice 5 : multiplication de fractions
1. Calcul de A :

A\,=\,\frac{5}{4}\,\times  \,\frac{1}{3}\,=\,\frac{5\,\times  \,1}{4\,\times  \,3}\,=\,\frac{5}{12}

2. Calcul de B :

B\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,\frac{3}{4}\,=\,\frac{1\,\times  \,3}{2\,\times  \,4}\,=\,\frac{3}{8}

3. Calcul de C :

C\,=\,\frac{3}{10}\,\times  \,\frac{7}{10}\,=\,\frac{3\,\times  \,7}{10\,\times  \,10}\,=\,\frac{21}{100}

4. Calcul de D :

D\,=\,\frac{5}{7}\,\times  \,\frac{4}{3}\,=\,\frac{5\,\times  \,4}{7\,\times  \,3}\,=\,\frac{20}{21}

Exercice 6 : représenter une fraction
Pour la première figure, on doit colorier la moitié du cercle, soit \frac{1}{2} du cercle.

Pour la deuxième figure, on doit colorier la moitié du rectangle composé de huit bandes horizontales, soit \frac{1}{2} du rectangle.

Pour la troisième figure, on doit colorier 2 segments sur les 6 de la ligne, soit \frac{2}{6} de la ligne.

Pour la quatrième figure, on doit colorier 3 cubes parmi les 6 cubes de la matrice, soit \frac{3}{6} des cubes.

En LaTeX, les fractions seront écrites de la manière suivante :
\frac{1}{2}
\frac{1}{2}
\frac{2}{6}
\frac{3}{6}

Alors, les réponses correctes sont :

– Première figure : moitié du cercle coloriée.
– Deuxième figure : moitié du rectangle coloriée (4 sur 8 bandes).
– Troisième figure : deux segments sur les six de la ligne coloriées.
– Quatrième figure : trois cubes sur les 6 cubes de la matrice coloriés.

Exercice 7 : pièces hachurées et fractions

La pièce 1 représente \frac{1}{12} de la figure.
La pièce 2 représente \frac{1}{4} de la figure.
La pièce 3 représente \frac{1}{3} de la figure.
L’ensemble des pièces hachurées représente \frac{2}{3} de la figure.

Exercice 8 : déterminer des fractions
Soit n le nombre total d’animaux dans la basse-cour de Pérette.

n\,=\,3\,\%2C\,poules\,blanches\,%2B\,4\,\%2C\,canards\,%2B\,7\,\%2C\,poules\,rousses\,%2B\,3\,\%2C\,oies
n\,=\,3\,%2B\,4\,%2B\,7\,%2B\,3\,=\,17\,\%2C\,animaux

1. \frac{...}{17} des animaux sont des oies.

Nombre\,d'oies\,=\,3
Fraction\,d'animaux\,qui\,sont\,des\,oies\,=\,\frac{3}{17}

2. \frac{...}{17} des animaux sont des poules.

Nombre\,total\,de\,poules\,=\,poules\,blanches\,%2B\,poules\,rousses
Nombre\,total\,de\,poules\,=\,3\,%2B\,7\,=\,10
Fraction\,d'animaux\,qui\,sont\,des\,poules\,=\,\frac{10}{17}

3. \frac{...}{10} des poules sont blanches.

Fraction\,de\,poules\,qui\,sont\,blanches\,=\,\frac{3}{10}

Exercice 9 : réduire des fractions
\frac{5}{2}\,=\,\frac{30}{12}\,%3B\,\quad\,\frac{1}{3}\,=\,\frac{4}{12}\,%3B\,\quad\,\frac{7}{6}\,=\,\frac{14}{12}\,%3B\,\quad\,\frac{5}{4}\,=\,\frac{15}{12}\,%3B\,\quad\,\frac{2}{7}\,=\,\frac{18}{63}\,%3B\,\quad\,\frac{9}{2}\,=\,\frac{18}{4}

\frac{6}{5}\,=\,\frac{18}{15}\,%3B\,\quad\,\frac{3}{11}\,=\,\frac{18}{66}\,%3B\,\quad\,\frac{4}{3}\,=\,\frac{12}{9}\,%3B\,\quad\,\frac{8}{21}\,=\,\frac{16}{42}\,%3B\,\quad\,\frac{40}{9}\,=\,\frac{160}{36}\,%3B\,\quad\,1.6\,=\,\frac{16}{10}\,=\,\frac{144}{90}=\,\frac{80}{50}=\,\frac{112}{70}=\,\frac{176}{110}=\,\frac{128}{80}\,=\,\frac{144}{90}\,=\,\frac{176}{110}

\frac{7}{6}\,=\,\frac{14}{12}\,%3B\,\quad\,\frac{98}{102}\,=\,\frac{14}{15}

Exercice 10 : trouver des fractions
a) Pour trouver une fraction égale à \frac{2}{5} dont le dénominateur est 35, nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur de \frac{2}{5} par le même nombre. Ici, 35 divisé par 5 donne 7.

\frac{2\,\times  \,7}{5\,\times  \,7}\,=\,\frac{14}{35}

Donc, la fraction égale à \frac{2}{5} dont le dénominateur est 35 est \frac{14}{35}.

b) Pour trouver une fraction égale à \frac{4}{3} dont le numérateur est 20, nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur de \frac{4}{3} par le même nombre. Ici, 20 divisé par 4 donne 5.

\frac{4\,\times  \,5}{3\,\times  \,5}\,=\,\frac{20}{15}

Donc, la fraction égale à \frac{4}{3} dont le numérateur est 20 est \frac{20}{15}.

c) Pour trouver une fraction égale à \frac{11}{4} dont le dénominateur est 28, nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur de \frac{11}{4} par le même nombre. Ici, 28 divisé par 4 donne 7.

\frac{11\,\times  \,7}{4\,\times  \,7}\,=\,\frac{77}{28}

Donc, la fraction égale à \frac{11}{4} dont le dénominateur est 28 est \frac{77}{28}.

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