Fractions : corrigés des exercices de maths en 5ème.

Exercice 1 : addition et soustraction de fractions.

$A = \frac{3}{5} + \frac{6}{5} \\= \frac{3 + 6}{5} \\= \frac{9}{5}$
$B\,=\,\frac{7}{9}\,-\,\frac{2}{9}=\frac{7\,-\,2}{9}\,=\,\frac{5}{9}$

$C\,=\,\frac{6}{10}\,%2B\,\frac{1}{10}\,%0A=\,\frac{6\,%2B\,1}{10}\,%0A=\,\frac{7}{10}$

$D\,=\,\frac{8}{13}\,-\,\frac{3}{13}\,%0A=\,\frac{8\,-\,3}{13}\,%0A=\,\frac{5}{13}$
Exercice 2 : addition et soustraction de fractions avec des dénominateurs différents.
$A\,=\,\frac{2}{3}\,-\,\frac{1}{6}$

$=\,\frac{2\,\times \,2}{3\,\times \,2}\,-\,\frac{1}{6}$

$=\,\frac{4}{6}\,-\,\frac{1}{6}$

$=\,\frac{4\,-\,1}{6}$

$=\,\frac{3}{6}$

$=\,\frac{1}{2}$

$B\,=\,\frac{2}{3}\,%2B\,\frac{7}{30}$

$=\,\frac{2\,\times \,10}{3\,\times \,10}\,%2B\,\frac{7}{30}$

$=\,\frac{20}{30}\,%2B\,\frac{7}{30}$

$=\,\frac{20\,%2B\,7}{30}$

$=\,\frac{27}{30}$

$=\,\frac{9}{10}$

$C\,=\,\frac{17}{18}\,-\,\frac{1}{6}$

$=\,\frac{17}{18}\,-\,\frac{1\,\times \,3}{6\,\times \,3}$

$=\,\frac{17}{18}\,-\,\frac{3}{18}$

$=\,\frac{17\,-\,3}{18}$

$=\,\frac{14}{18}$

$=\,\frac{7}{9}$

$D\,=\,\frac{1}{21}\,%2B\,\frac{2}{3}$

$=\,\frac{1}{21}\,%2B\,\frac{2\,\times \,7}{3\,\times \,7}$

$=\,\frac{1}{21}\,%2B\,\frac{14}{21}$

$=\,\frac{1\,%2B\,14}{21}$

$=\,\frac{15}{21}$

$=\,\frac{5}{7}$

Exercice 3 : calcul d’expressions.
$A\,=\,\frac{1}{6}\,%2B\,\frac{3}{4}\,-\,\frac{7}{24}$

Tout d’abord, mettons les fractions au même dénominateur. Le dénominateur commun des fractions 6, 4 et 24 est 24.

$\frac{1}{6}\,=\,\frac{1\,\times \,4}{6\,\times \,4}\,=\,\frac{4}{24}$

$\frac{3}{4}\,=\,\frac{3\,\times \,6}{4\,\times \,6}\,=\,\frac{18}{24}$

$\frac{7}{24}\,=\,\frac{7}{24}$

Maintenant, additionnons et soustrayons les fractions :

$A\,=\,\frac{4}{24}\,%2B\,\frac{18}{24}\,-\,\frac{7}{24}$

$A\,=\,\frac{4\,%2B\,18\,-\,7}{24}\,=\,\frac{15}{24}$

Simplifions $\frac{15}{24}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur qui est 3 :

$A\,=\,\frac{15\,: \,3}{24\,: \,3}\,=\,\frac{5}{8}$

Ainsi, $A\,=\,\frac{5}{8}$

Pour la deuxième expression :

$B\,=\,\frac{2}{3}\,-\,\frac{7}{18}\,%2B\,\frac{2}{9}$

Le dénominateur commun des fractions 3, 18 et 9 est 18.

$\frac{2}{3}\,=\,\frac{2\,\times \,6}{3\,\times \,6}\,=\,\frac{12}{18}$

$\frac{7}{18}\,=\,\frac{7}{18}$

$\frac{2}{9}\,=\,\frac{2\,\times \,2}{9\,\times \,2}\,=\,\frac{4}{18}$

Maintenant, additionnons et soustrayons les fractions :

$B\,=\,\frac{12}{18}\,-\,\frac{7}{18}\,%2B\,\frac{4}{18}$

$B\,=\,\frac{12\,-\,7\,%2B\,4}{18}\,=\,\frac{9}{18}$

Simplifions $\frac{9}{18}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur qui est 9 :

$B\,=\,\frac{9\,: \,9}{18\,: \,9}\,=\,\frac{1}{2}$

Ainsi, $B\,=\,\frac{1}{2}$

Exercice 4 : somme d’entiers et de fraction

$A\,=\,7\,%2B\,\frac{1}{2}\,\%0A=\,\frac{14}{2}\,%2B\,\frac{1}{2}\,\%0A=\,\frac{14\,%2B\,1}{2}\,\%0A=\,\frac{15}{2}\,\%0A=\,7.5$

$B\,=\,4\,-\,\frac{1}{3}\,\%0A=\,\frac{12}{3}\,-\,\frac{1}{3}\,\%0A=\,\frac{12\,-\,1}{3}\,\%0A=\,\frac{11}{3}\,\%0A\approx\,3.67$

$C\,=\,\frac{3}{4}\,%2B\,3\,\%0A=\,\frac{3}{4}\,%2B\,\frac{12}{4}\,\%0A=\,\frac{3\,%2B\,12}{4}\,\%0A=\,\frac{15}{4}\,\%0A=\,3.75$

$D\,=\,\frac{15}{7}\,-\,2\,\%0A=\,\frac{15}{7}\,-\,\frac{14}{7}\,\%0A=\,\frac{15\,-\,14}{7}\,\%0A=\,\frac{1}{7}\,\%0A\approx\,0.14$

Exercice 5 : multiplication de fractions
1. Calcul de :

$A\,=\,\frac{5}{4}\,\times \,\frac{1}{3}\,=\,\frac{5\,\times \,1}{4\,\times \,3}\,=\,\frac{5}{12}$

2. Calcul de :

$B\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\frac{3}{4}\,=\,\frac{1\,\times \,3}{2\,\times \,4}\,=\,\frac{3}{8}$

3. Calcul de :

$C\,=\,\frac{3}{10}\,\times \,\frac{7}{10}\,=\,\frac{3\,\times \,7}{10\,\times \,10}\,=\,\frac{21}{100}$

4. Calcul de :

$D\,=\,\frac{5}{7}\,\times \,\frac{4}{3}\,=\,\frac{5\,\times \,4}{7\,\times \,3}\,=\,\frac{20}{21}$

Exercice 6 : représenter une fraction
Pour la première figure, on doit colorier la moitié du cercle, soit $\frac{1}{2}$ du cercle.

Pour la deuxième figure, on doit colorier la moitié du rectangle composé de huit bandes horizontales, soit $\frac{1}{2}$ du rectangle.

Pour la troisième figure, on doit colorier 2 segments sur les 6 de la ligne, soit $\frac{2}{6}$ de la ligne.

Pour la quatrième figure, on doit colorier 3 cubes parmi les 6 cubes de la matrice, soit $\frac{3}{6}$ des cubes.

En LaTeX, les fractions seront écrites de la manière suivante :
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{6}$
$\frac{3}{6}$

Alors, les réponses correctes sont :

– Première figure : moitié du cercle coloriée.
– Deuxième figure : moitié du rectangle coloriée (4 sur 8 bandes).
– Troisième figure : deux segments sur les six de la ligne coloriées.
– Quatrième figure : trois cubes sur les 6 cubes de la matrice coloriés.

Exercice 7 : pièces hachurées et fractions

La pièce 1 représente $\frac{1}{12}$ de la figure.
La pièce 2 représente $\frac{1}{4}$ de la figure.
La pièce 3 représente $\frac{1}{3}$ de la figure.
L’ensemble des pièces hachurées représente $\frac{2}{3}$ de la figure.

Exercice 8 : déterminer des fractions
Soit le nombre total d’animaux dans la basse-cour de Pérette.

$n\,=\,3\,\%2C\,poules\,blanches\,%2B\,4\,\%2C\,canards\,%2B\,7\,\%2C\,poules\,rousses\,%2B\,3\,\%2C\,oies$
$n\,=\,3\,%2B\,4\,%2B\,7\,%2B\,3\,=\,17\,\%2C\,animaux$

1. $\frac{...}{17}$ des animaux sont des oies.

$Nombre\,d'oies\,=\,3$
$Fraction\,d'animaux\,qui\,sont\,des\,oies\,=\,\frac{3}{17}$

2. $\frac{...}{17}$ des animaux sont des poules.

$Nombre\,total\,de\,poules\,=\,poules\,blanches\,%2B\,poules\,rousses$
$Nombre\,total\,de\,poules\,=\,3\,%2B\,7\,=\,10$
$Fraction\,d'animaux\,qui\,sont\,des\,poules\,=\,\frac{10}{17}$

3. $\frac{...}{10}$ des poules sont blanches.

$Fraction\,de\,poules\,qui\,sont\,blanches\,=\,\frac{3}{10}$

Exercice 9 : réduire des fractions
$\frac{5}{2}\,=\,\frac{30}{12}\,%3B\,\quad\,\frac{1}{3}\,=\,\frac{4}{12}\,%3B\,\quad\,\frac{7}{6}\,=\,\frac{14}{12}\,%3B\,\quad\,\frac{5}{4}\,=\,\frac{15}{12}\,%3B\,\quad\,\frac{2}{7}\,=\,\frac{18}{63}\,%3B\,\quad\,\frac{9}{2}\,=\,\frac{18}{4}$

$\frac{6}{5}\,=\,\frac{18}{15}\,%3B\,\quad\,\frac{3}{11}\,=\,\frac{18}{66}\,%3B\,\quad\,\frac{4}{3}\,=\,\frac{12}{9}\,%3B\,\quad\,\frac{8}{21}\,=\,\frac{16}{42}\,%3B\,\quad\,\frac{40}{9}\,=\,\frac{160}{36}\,%3B\,\quad\,1.6\,=\,\frac{16}{10}\,=\,\frac{144}{90}=\,\frac{80}{50}=\,\frac{112}{70}=\,\frac{176}{110}=\,\frac{128}{80}\,=\,\frac{144}{90}\,=\,\frac{176}{110}$

$\frac{7}{6}\,=\,\frac{14}{12}\,%3B\,\quad\,\frac{98}{102}\,=\,\frac{14}{15}$

Exercice 10 : trouver des fractions
a) Pour trouver une fraction égale à $\frac{2}{5}$ dont le dénominateur est 35, nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur de $\frac{2}{5}$ par le même nombre. Ici, 35 divisé par 5 donne 7.

$\frac{2\,\times \,7}{5\,\times \,7}\,=\,\frac{14}{35}$

Donc, la fraction égale à $\frac{2}{5}$ dont le dénominateur est 35 est $\frac{14}{35}$ .

b) Pour trouver une fraction égale à $\frac{4}{3}$ dont le numérateur est 20, nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur de $\frac{4}{3}$ par le même nombre. Ici, 20 divisé par 4 donne 5.

$\frac{4\,\times \,5}{3\,\times \,5}\,=\,\frac{20}{15}$

Donc, la fraction égale à $\frac{4}{3}$ dont le numérateur est 20 est $\frac{20}{15}$ .

c) Pour trouver une fraction égale à $\frac{11}{4}$ dont le dénominateur est 28, nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur de $\frac{11}{4}$ par le même nombre. Ici, 28 divisé par 4 donne 7.

$\frac{11\,\times \,7}{4\,\times \,7}\,=\,\frac{77}{28}$

Donc, la fraction égale à $\frac{11}{4}$ dont le dénominateur est 28 est $\frac{77}{28}$ .

Exercice 11 : déterminer des proportions
Pour l’exercice donné, nous devons déterminer les fractions des quantités fournies. Voici la correction :

a) $\frac{2}{4}$ de 200 L :

$\frac{2}{4}\,\times \,200\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,200\,=\,100\,\,L$

b) $\frac{2}{5}$ de 40 kg :

$\frac{2}{5}\,\times \,40\,=\,2\,\times \,\frac{40}{5}\,=\,2\,\times \,8\,=\,16\,\,kg$

c) $\frac{7}{8}$ de 5,60 € :

$\frac{7}{8}\,\times \,5%2C60\,=\,7\,\times \,\frac{5%2C60}{8}\,=\,7\,\times \,0%2C70\,=\,4%2C90\,\,%E2%82%AC$

d) $\frac{13}{12}$ de 8,4 km :

$\frac{13}{12}\,\times \,8%2C4\,=\,13\,\times \,\frac{8%2C4}{12}\,=\,13\,\times \,0%2C7\,=\,9%2C1\,\,km$

Exercice 12 : calculer des proportions
a) La moitié de 2800 :

$\frac{2800}{2}\,=\,1400$

b) Les deux septièmes de :

$\frac{2}{7}\,\times \,35\,=\,\frac{2\,\times \,35}{7}\,=\,\frac{70}{7}\,=\,10$

c) Les sept quarts de 2%2C8 :

$\frac{7}{4}\,\times \,2%2C8\,=\,\frac{7\,\times \,2%2C8}{4}\,=\,\frac{19%2C6}{4}\,=\,4%2C9$

d) Les trois dixièmes de 7%2C5 :

$\frac{3}{10}\,\times \,7%2C5\,=\,\frac{3\,\times \,7%2C5}{10}\,=\,\frac{22%2C5}{10}\,=\,2%2C25$

e) Le sixième de :

$\frac{36}{6}\,=\,6$

Exercice 13 : pourcentages et fractions
a) $12\%25$ de :

$12\%25\,\times \,21\,=\,0.12\,\times \,21\,=\,2.52$

b) $120\%25$ de :

$120\%25\,\times \,36\,=\,1.20\,\times \,36\,=\,43.2$

c) $200\%25$ de 7.52 :

$200\%25\,\times \,7.52\,=\,2.00\,\times \,7.52\,=\,15.04$

d) Trois pour cent de 240 :

$3\%25\,\times \,240\,=\,0.03\,\times \,240\,=\,7.2$

e) Trente pour cent de 12.4 :

$30\%25\,\times \,12.4\,=\,0.30\,\times \,12.4\,=\,3.72$

Exercice 14 : fractions et partie coloriée
Pour chacune des figures, nous allons exprimer la partie colorée en termes de fraction de la surface du grand carré.

*Figure 1:*

Dans la Figure 1, le grand carré est divisé en quatre petits carrés égaux. L’un des petits carrés est entièrement colorié.

La surface colorée est donc:
$\frac{1}{4}$

*Figure 2:*

Dans la Figure 2, le grand carré est divisé en quatre rectangles égaux, et deux de ces rectangles sont colorés. Chacun de ces rectangles représente la moitié de l’un des petits carrés.

La surface colorée est donc:
$\frac{1}{2}$

*Figure 3:*

Dans la Figure 3, le grand carré est divisé en huit triangles égaux, et quatre de ces triangles sont colorés. Chacun de ces triangles représente un huitième du grand carré.

La surface colorée est donc:
$\frac{4}{8}\,=\,\frac{1}{2}$

Exercice 15 : fractions et aires dans un carré
Notons que le côté du grand carré mesure . Ainsi, l’aire totale du grand carré est :
$1\times \,1=1$

Analysons les parties grises une par une en comptant leurs surfaces :

1. Le premier rectangle gris en haut à gauche a pour dimensions $\frac{1}{2}\,\times \,1$ , donc son aire est :
$\frac{1}{2}\,\times \,1\,=\,\frac{1}{2}.$

2. Le deuxième rectangle gris, juste en dessous du premier rectangle gris, a pour dimensions $\frac{1}{2}\,\times \,\frac{1}{2}$ , donc son aire est :
$\frac{1}{2}\,\times \,\frac{1}{2}\,=\,\frac{1}{4}.$

3. Le troisième rectangle gris, en bas à gauche, a pour dimensions $\frac{1}{4}\,\times \,\frac{1}{2}$ , donc son aire est :
$\frac{1}{4}\,\times \,\frac{1}{2}\,=\,\frac{1}{8}.$

4. Le quatrième rectangle gris, en bas à droite, a aussi pour dimensions $\frac{1}{4}\,\times \,\frac{1}{2}$ , donc son aire est aussi :
$\frac{1}{4}\,\times \,\frac{1}{2}\,=\,\frac{1}{8}.$

Additionnons maintenant les aires des quatre rectangles gris :
$\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{1}{8}\,%2B\,\frac{1}{8}.$

Pour additionner ces fractions, mettons-les au même dénominateur, qui est 8 :
$\frac{4}{8}\,%2B\,\frac{2}{8}\,%2B\,\frac{1}{8}\,%2B\,\frac{1}{8}\,=\,\frac{4\,%2B\,2\,%2B\,1\,%2B\,1}{8}\,=\,\frac{8}{8}\,=\,1.$

La partie grisée correspond à la totalité du grand carré, donc la fraction de la surface du grand carré qui est grisée est :

Exercice 16 : indiquer quelle fraction est représentée
a) La figure est divisée en 4 parties égales et 2 sont colorées en bleu. La fraction représentée est donc
$\frac{2}{4}$
qui peut être simplifiée en
$\frac{1}{2}$ .

b) La figure est divisée en 3 parties égales et 2 sont colorées en bleu. La fraction représentée est
$\frac{2}{3}$ .

c) La figure est divisée en 16 petites parties égales et 9 sont colorées en bleu. La fraction représentée est
$\frac{9}{16}$ .

d) La figure est divisée en 6 parties égales et 3 sont colorées en bleu. La fraction représentée est
$\frac{3}{6}$
qui peut être simplifiée en
$\frac{1}{2}$ .

e) La figure est divisée en 8 parties égales et 5 sont colorées en bleu. La fraction représentée est
$\frac{5}{8}$ .

Exercice 17 : compléter les pointillés
a. $\frac{2}{5}\,=\,\frac{2\,\times \,3}{5\,\times \,3}\,=\,\frac{6}{15}$

b. $\frac{3}{7}\,=\,\frac{3\,\times \,2}{7\,\times \,2}\,=\,\frac{6}{14}$

c. $\frac{15}{20}\,=\,\frac{15\,: \,5}{20\,: \,5}\,=\,\frac{3}{4}$

d. $\frac{50}{40}\,=\,\frac{50\,: \,10}{40\,: \,10}\,=\,\frac{5}{4}$

Exercice 18 : ecriture décimale
a. $\frac{9}{4}\,=\,2.25$

b. $\frac{13}{2}\,=\,6.5$

c. $\frac{12}{5}\,=\,2.4$

d. $\frac{37}{5}\,=\,7.4$

Exercice 19 : ecrire la fraction
a.
$\frac{7}{4}\,=\,1\,%2B\,\frac{3}{4}$

b.
$\frac{7}{3}\,=\,2\,%2B\,\frac{1}{3}$

Exercice 20 : déterminer le nombre rationnel
a. $7\,\times \,.....\,=\,3$

La valeur manquante est $\frac{3}{7}$ .

$...\,=\,\frac{3}{7}$

b. $...\,\times \,5\,=\,8$

La valeur manquante est $\frac{8}{5}$ .

$...\,=\,\frac{8}{5}$

c. $...\,=\,13\,: \,11$

La division de 13 par 11 donne $\frac{13}{11}$ .

$...\,=\,\frac{13}{11}$

d. $13\,\times \,...\,=\,11$

La valeur manquante est $\frac{11}{13}$ .

$...\,=\,\frac{11}{13}$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : placer des nombres rationnels
Voici la correction de l’exercice :

Nous allons placer les nombres rationnels $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{4}{3}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{7}{3}$ et $\frac{13}{6}$ sur la demi-droite graduée ci-dessous.

1. $\frac{1}{3}$ : Ce nombre est situé entre et 1%2F2 . Sur la demi-droite graduée, $\frac{1}{3}$ se trouve plus près de .

2. $\frac{1}{2}$ : Ce nombre se place à mi-distance entre et . Il se situe exactement à la moitié.

3. $\frac{4}{3}$ : 4%2F3 équivaut à $1\,%2B\,1%2F3$ . Ce nombre est un peu plus grand que . En d’autres termes, il est environ $\frac{1}{3}$ après .

4. $\frac{3}{2}$ : 3%2F2 peut aussi être exprimé comme 1.5 . Cela place ce nombre à mi-chemin entre et .

5. $\frac{7}{3}$ : 7%2F3 est équivalent à $2\,%2B\,1%2F3$ . Donc, il se situe environ à $\frac{1}{3}$ après .

6. $\frac{13}{6}$ : Même si $\frac{13}{6}$ semble complexe, nous pouvons le convertir en nombre décimal pour obtenir 2.1667 . Cela signifie que ce nombre est entre et , mais plus proche de .

En résumant tout cela sur la demi-droite :

$\begin{array}{ccccccc}%0D%0A0\,%26\,\frac{1}{3}\,%26\,\frac{1}{2}\,%26\,1\,%26\,\frac{4}{3}\,%26\,\frac{3}{2}\,%26\,2\,%26\,\frac{7}{3}\,%26\,\frac{13}{6}\,%26\,3\,\\%0D%0A\bullet\,%26\,\bullet\,%26\,\bullet\,%26\,\bullet\,%26\,\bullet\,%26\,\bullet\,%26\,\bullet\,%26\,\bullet\,%26\,\bullet\,%26\,\\%0D%0A0\,%26\,0.333\,%26\,0.5\,%26\,1\,%26\,1.333\,%26\,1.5\,%26\,2\,%26\,2.333\,%26\,2.167\,%26\,\\%0D%0A\end{array}$

Plus précisément, le placement sur la demi-droite graduée est comme suit :
– $\frac{1}{3}$ se place légèrement après .
– $\frac{1}{2}$ se place entre et .
– $\frac{4}{3}$ juste après .
– $\frac{3}{2}$ au centre entre et .
– $\frac{7}{3}$ juste après .
– $\frac{13}{6}$ est juste après $\frac{7}{3}$ sur la demi-droite graduée.

Exercice 22 : copies d’élèves
Hisham a utilisé une méthode de division classique pour trouver l’approximation de $\frac{7}{3}$ .

Détails de son calcul :
$7\,: \,3\,=\,2$
$7\,-\,(3\,\times \,2)\,=\,1$
$10\,%3A\,3\,=\,3$
$10\,-\,(3\,\times \,3)\,=\,1$
Donc, $7\,: \,3\,\approx\,2%2C33$ .

Erreur dans la vérification :
$2%2C33\,\times \,3\,\neq\,7$
$2%2C33\,\times \,3\,=\,6%2C99$

Marie a utilisé une calculatrice pour trouver la valeur plus précise de $\frac{7}{3}$ .
$\frac{7}{3}\,=\,2%2C333333333\,\ldots$

En réalité,
$\frac{7}{3}\,=\,2%2C\,\overline{3}$

Conclusion :
La division montrée par Hisham donne une approximation, tandis que Marie a trouvé la valeur exacte à l’aide de la calculatrice. La valeur exacte de $\frac{7}{3}$ est une fraction décimale périodique $2%2C3333333\,\ldots$ où le chiffre 3 se répète indéfiniment.

Exercice 23 : compléter les pointillés
a. $\frac{8}{5}\,=\,\frac{x}{45}$
Pour trouver , on résout l’égalité en croisant les produits :
$8\,\times \,45\,=\,5\,\times \,x\,\,\Leftrightarrow\,\,360\,=\,5x\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,\frac{360}{5}\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,72$
Donc,
$\frac{8}{5}\,=\,\frac{72}{45}$

b. $\frac{2}{3}\,=\,\frac{x}{15}$
Pour trouver , on résout l’égalité en croisant les produits :
$2\,\times \,15\,=\,3\,\,\Rightarrow\,\,x\,\,\Rightarrow\,\,30\,=\,3x\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,\frac{30}{3}\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,10$
Donc,
$\frac{2}{3}\,=\,\frac{10}{15}$

c. $\frac{1}{6}\,=\,\frac{x}{18}$
Pour trouver , on résout l’égalité en croisant les produits :
$1\,\times \,18\,=\,6\,\times \,x\,\,\Rightarrow\,\,18\,=\,6x\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,\frac{18}{6}\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,3$
Donc,
$\frac{1}{6}\,=\,\frac{3}{18}$

d. $\frac{8}{12}\,=\,\frac{x}{3}$
Pour trouver , on résout l’égalité en croisant les produits :
$8\,\times \,3\,=\,12\,\times \,x\,\,\Rightarrow\,\,24\,=\,12x\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,\frac{24}{12}\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,2$
Donc,
$\frac{8}{12}\,=\,\frac{2}{3}$

e. $\frac{6}{10}\,=\,\frac{x}{5}$
Pour trouver , on résout l’égalité en croisant les produits :
$6\,\times \,5\,=\,10\,\times \,x\,\,\Rightarrow\,\,30\,=\,10x\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,\frac{30}{10}\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,3$
Donc,
$\frac{6}{10}\,=\,\frac{3}{5}$

f. $\frac{12}{27}\,=\,\frac{x}{9}$
Pour trouver , on résout l’égalité en croisant les produits :
$12\,\times \,9\,=\,27\,\times \,x\,\,\Rightarrow\,108\,=\,27x\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,\frac{108}{27}\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,4$
Donc,
$\frac{12}{27}\,=\,\frac{4}{9}$

Exercice 24 : recopier et compléter
a. $\frac{76}{12}\,=\,\frac{38}{6}\,=\,\frac{19}{3}$

b. $\frac{50}{100}\,=\,\frac{5}{10}\,=\,\frac{1}{2}$

c. $\frac{7}{5}\,=\,\frac{28}{20}\,=\,\frac{140}{100}$

d. $\frac{16}{100}\,=\,\frac{4}{25}\,=\,\frac{32}{200}$

Exercice 25 : simplifier des fractions
Pour simplifier ces fractions en utilisant le critère de divisibilité par 2, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par leurs facteurs communs de 2 jusqu’à ce qu’au moins l’un d’entre eux ne soit plus divisible par 2.

(a) $\frac{14}{36}$

$\frac{14\,: \,2}{36\,: \,2}\,=\,\frac{7}{18}$

La fraction simplifiée est : $\frac{7}{18}$

(b) $\frac{72}{26}$

$\frac{72\,: \,2}{26\,: \,2}\,=\,\frac{36}{13}$

La fraction simplifiée est : $\frac{36}{13}$ (puisque le dénominateur 13 n’est plus divisible par 2)

$\frac{244\,: \,2}{104\,: \,2}\,=\,\frac{122}{52}$
$\frac{122\,: \,2}{52\,: \,2}\,=\,\frac{61}{26}$

La fraction simplifiée est : $\frac{61}{26}$ (puisque ni 61 ni 26 ne sont divisibles par 2)

En résumé :

$(a)\,\frac{14}{36}\,=\,\frac{7}{18}$
$(b)\,\frac{72}{26}\,=\,\frac{36}{13}$
$(c)\,\frac{244}{104}\,=\,\frac{61}{26}$

Exercice 26 : simplifier des fractions
Pour simplifier les fractions avec le critère de divisibilité par 3 ou 9, nous devons vérifier si le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 3 ou 9, puis simplifier en conséquence.

a. $\frac{66}{87}$

66 est divisible par 3 car $6\,%2B\,6\,=\,12$ et 12 est divisible par 3.
87 est divisible par 3 car $8\,%2B\,7\,=\,15$ et 15 est divisible par 3.

Divisons le numérateur et le dénominateur par 3 :

$\frac{66\,: \,3}{87\,: \,3}\,=\,\frac{22}{29}$

Cette fraction est déjà simplifiée, car 22 et 29 ne partagent aucun autre diviseur commun.

b. $\frac{36}{45}$

36 est divisible par 9 car $3\,%2B\,6\,=\,9$ et 9 est divisible par 9.
45 est divisible par 9 car $4\,%2B\,5\,=\,9$ et 9 est divisible par 9.

Divisons le numérateur et le dénominateur par 9 :

$\frac{36\,: \,9}{45\,: \,9}\,=\,\frac{4}{5}$

Cette fraction est déjà simplifiée, car 4 et 5 ne partagent aucun autre diviseur commun.

c. $\frac{108}{27}$

108 est divisible par 9 car $1\,%2B\,0\,%2B\,8\,=\,9$ et 9 est divisible par 9.
27 est divisible par 9 car $2\,%2B\,7\,=\,9$ et 9 est divisible par 9.

Divisons le numérateur et le dénominateur par 9 :

$\frac{108\,: \,9}{27\,: \,9}\,=\,\frac{12}{3}$

12 est divisible par 3 car $1\,%2B\,2\,=\,3$ et 3 est divisible par 3.

Divisons encore une fois le numérateur et le dénominateur par 3 :

$\frac{12\,: \,3}{3\,: \,3}\,=\,\frac{4}{1}\,=\,4$

Ainsi, la fraction simplifiée est .

Exercice 27 : problème ouvert
Pour corriger cet exercice de placement de dominos selon les consignes établies, il est crucial de faire correspondre les valeurs des extrémités des dominos tout en complétant le circuit donné. Voici comment le placement doit être réalisé de manière correcte :

1. Pour le premier emplacement laissé vide dans le circuit (en haut à gauche) :
$\frac{16}{20}\,\quad\,a\,gauche\,correspond\,avec\,\quad\,\frac{8}{10}\,\quad\,a\,la\,droite\,suivante.$
On choisit donc le domino n°5, $(\,\frac{16}{20}%2C\,\frac{27}{45}\,)$ .

2. Ensuite, positionner le domino correspondant :
$\frac{1}{20}\,\quad\,doit\,correspondre\,avec\,\quad\,\frac{0}{20}.$
On choisit donc le domino n°3, $(\,\frac{1}{20}%2C\frac{2}{3}\,)$ .

3. Pour continuer avec le domino n°8, $(\,\frac{6}{5}%2C\,\frac{4}{56})$ , car $\frac{2}{3}$ et $\frac{6}{5}$ ne se correspondent pas.

4. Ensuite, placer le domino n°6, $(\,\frac{7}{3}%2C\,\frac{2}{7}\,)$ , car $\frac{4}{56}$ et $\frac{7}{3}$ ne se correspondent pas.

5. Continuer avec le domino n°2 $(\,\frac{35}{28}%2C\,\frac{3}{3}\,)\,\%2C)\,car\,\(\,\frac{7}{3}$ et $\frac{35}{28}$ .

6. Ensuite, placer le domino n°9 $(\,\frac{5}{8}%2C\,\frac{4}{56}\,)$ , car $\frac{15}{12}$ , ne se correspondent pas.

7. Ensuite, placer le domino n°1 $(\,\frac{3}{2}%2C\frac{5}{7}$ , \frac{4}{56} \).

8. Ensuite, placer le domino n°7 $(\,\frac{8}{10}%2C\,\frac{14}{21}$ , \).

9. Termine avec le domino n°4 $(3\,\frac{3}{2}%2C\,\frac{9}{10}$ .

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0AN%C2%B0\,des\,dominos\,%26\,Placement\,\\%0D%0A\hline%0D%0A9\,%26\,(5%2F8\,-\,4%2F56)\,\\%0D%0A1\,%26\,(3%2F2\,-\,5%2F7)\,\\%0D%0A7\,%26\,(8%2F10\,-\,14%2F21)\,\\%0D%0A4\,%26\,(3%2F3\,-\,9%2F10)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 28 : ranger dans l’ordre croissant des fractions
Pour écrire les fractions sous forme de dénominateur 24, nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur par un certain nombre de sorte que le dénominateur devienne 24.

$A\,=\,\frac{1}{2}\,=\,\frac{1\,\times \,12}{2\,\times \,12}\,=\,\frac{12}{24}$
$B\,=\,\frac{4}{6}\,=\,\frac{4\,\times \,4}{6\,\times \,4}\,=\,\frac{16}{24}$
$C\,=\,\frac{4}{3}\,=\,\frac{4\,\times \,8}{3\,\times \,8}\,=\,\frac{32}{24}$
$D\,=\,\frac{3}{12}\,=\,\frac{3\,\times \,2}{12\,\times \,2}\,=\,\frac{6}{24}$
$E\,=\,\frac{8}{24}$

a. Rangeons les fractions de dénominateur 24 dans l’ordre croissant :

$D\,=\,\frac{6}{24}%2C\,A\,=\,\frac{12}{24}%2C\,B\,=\,\frac{16}{24}%2C\,E\,=\,\frac{8}{24}%2C\,C\,=\,\frac{32}{24}$

En ordre croissant :

$\frac{6}{24}%2C\,\frac{8}{24}%2C\,\frac{12}{24}%2C\,\frac{16}{24}%2C\,\frac{32}{24}$

b. Le classement des fractions originales dans l’ordre croissant est :

$D\,=\,\frac{3}{12}%2C\,E\,=\,\frac{8}{24}%2C\,A\,=\,\frac{1}{2}%2C\,B\,=\,\frac{4}{6}%2C\,C\,=\,\frac{4}{3}$

Exercice 29 : comparer des fractions
a.
$\frac{9}{4}\,>\,\frac{9}{7}$

b.
$\frac{8}{9}\,%3C\,\frac{8}{2}$

c.
$\frac{1}{17}\,%3C\,\frac{1}{7}$

d.
$\frac{10}{5}\,>\,\frac{10}{4}$

e.
$\frac{5%2C5}{21}\,%3C\,\frac{5%2C5}{19}$

f.
$\frac{8%2C2}{3%2C25}\,>\,\frac{8%2C2}{3%2C52}$

Exercice 30 : trois chaînes de télévision et fractions
a. Quelle chaîne ment assurément ?

Pour déterminer quelle chaîne ment, nous devons vérifier si les fractions représentent des parts de l’audience totale qui doivent être inférieures ou égales à 1. La somme des parts d’audience des trois chaînes doit être inférieure ou égale à 1.

Chaîne A:
$\frac{7}{17}$

Chaîne B:
$\frac{20}{51}$

Chaîne C:
$\frac{39}{34}$

Calculons cette somme :
$\frac{7}{17}\,%2B\,\frac{20}{51}\,%2B\,\frac{39}{34}$

Pour additionner ces fractions, nous devons d’abord trouver un dénominateur commun.

Le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs (17, 51 et 34) est 17034.

Convertissons chaque fraction avec ce dénominateur commun :
$\frac{7\,\times \,1002}{17\,\times \,1002}\,=\,\frac{7014}{17034}$
$\frac{20\,\times \,334}{51\,\times \,334}\,=\,\frac{6680}{17034}$
$\frac{39\,\times \,501}{34\,\times \,501}\,=\,\frac{19539}{17034}$

Additionnons les fractions ainsi obtenues :
$\frac{7014}{17034}\,%2B\,\frac{6680}{17034}\,%2B\,\frac{19539}{17034}\,=\,\frac{33233}{17034}$

Observons que $\frac{33233}{17034}$ est supérieur à 1 (puisque 33233 > 17034).

Ainsi, les affirmations des trois chaînes sont contradictoires car $\frac{33233}{17034}$ dépasse la totalité de l’audience (1). Il est donc impossible que toutes ces trois chaînes aient attiré ces parts d’audience exactes.

La chaîne C prétend avoir une part d’audience de $\frac{39}{34}$ , ce qui est supérieur à 1 (comme $39\,>\,34$ ). Cela signifie que, seule, cette chaîne prétend à une part d’audience impossible.

Donc, la chaîne qui ment assurément est :

$La\,chaine\,C.$

b. Parmi les deux autres chaînes, laquelle a réalisé la meilleure audience :

Comparons les parts d’audience des chaînes A et B.

Chaîne A:
$\frac{7}{17}\,\approx\,0.4118$

Chaîne B:
$\frac{20}{51}\,\approx\,0.3922$

En comparant ces valeurs, nous voyons que $\frac{7}{17}\,\approx\,0.4118$ est supérieur à $\frac{20}{51}\,\approx\,0.3922$ .

Donc, parmi les deux autres chaînes, celle qui a réalisé la meilleure audience est :

$La\,chaine\,A.$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : revenu mensuel et calcul fractionnaire
Pour déterminer combien il reste à Stéphane après avoir payé le loyer et les achats alimentaires, nous allons d’abord calculer les montants de chaque dépense.

Le revenu mensuel de Stéphane est de 840 €.

1. Calcul du montant du loyer :

$Montant\,du\,loyer\,=\,\frac{3}{7}\,\times \,840$
$Montant\,du\,loyer\,=\,\frac{3\,\times \,840}{7}$
$Montant\,du\,loyer\,=\,\frac{2520}{7}$
$Montant\,du\,loyer\,=\,360$ €

2. Calcul du montant des achats alimentaires :

$Montant\,des\,achats\,alimentaires\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,840$
$Montant\,des\,achats\,alimentaires\,=\,\frac{840}{4}$
$Montant\,des\,achats\,alimentaires\,=\,210$ €

3. Calcul du total des dépenses :

$Total\,des\,depenses\,=\,360\,%2B\,210$ €
$Total\,des\,depenses\,=\,570$ €

4. Calcul du montant restant :

$Montant\,restant\,=\,840\,\,-\,570$
$Montant\,restant\,=\,270$ €

Il reste donc 270 € à Stéphane après avoir payé le loyer et les achats alimentaires.

Exercice 32 : comparer les nombres
$\begin{array}{ll}%0D%0Aa.\,%26\,\frac{9}{4}\,=\,2%2C25\,\quad\,et\,\quad\,\frac{6}{2}\,=\,3\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,\frac{9}{4}\,%3C\,\frac{6}{2}\,\\%0D%0Ab.\,%26\,\frac{8}{9}\,\approx\,0%2C89\,\quad\,et\,\quad\,\frac{2}{3}\,\approx\,0%2C67\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,\frac{8}{9}\,>\,\frac{2}{3}\,\\%0D%0Ac.\,%26\,\frac{45}{16}\,\approx\,2%2C8125\,\quad\,et\,\quad\,\frac{10}{4}\,=\,2%2C5\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,\frac{45}{16}\,>\,\frac{10}{4}\,\\%0D%0Ad.\,%26\,\frac{35}{63}\,\approx\,0%2C556\,\quad\,et\,\quad\,\frac{5}{7}\,\approx\,0%2C714\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,\frac{35}{63}\,%3C\,\frac{5}{7}\,\\%0D%0Ae.\,%26\,\frac{3%2C2}{5}\,=\,0%2C64\,\quad\,et\,\quad\,\frac{6%2C04}{10}\,=\,0%2C604\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,\frac{3%2C2}{5}\,>\,\frac{6%2C04}{10}\,\\%0D%0Af.\,%26\,\frac{10}{210}\,\approx\,0%2C0476\,\quad\,et\,\quad\,\frac{3}{420}\,\approx\,0%2C00714\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,\frac{10}{210}\,>\,\frac{3}{420}\,\\%0D%0Ag.\,%26\,\frac{0%2C7}{12}\,\approx\,0%2C0583\,\quad\,et\,\quad\,\frac{2%2C4}{36}\,\approx\,0%2C0667\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,\frac{0%2C7}{12}\,%3C\,\frac{2%2C4}{36}\,\\%0D%0Ah.\,%26\,\frac{2}{12}\,\approx\,0%2C167\,\quad\,et\,\quad\,6\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,\frac{2}{12}\,%3C\,6\,\\%0D%0A\end{array}$