Aires et périmètres de figures : corrigés des exercices en 5ème.

Exercice 1 : conversion de surfaces et tableau de conversion.
a) $2%2C6\,\%2C\,m^2\,=\,260\,\%2C\,dm^2\,=\,26000\,\%2C\,cm^2$

b) $3\,\%2C\,cm^2\,=\,0%2C3\,\%2C\,dm^2\,=\,0%2C0003\,\%2C\,m^2$

c) $0%2C574\,\%2C\,km^2\,=\,57%2C4\,\%2C\,hm^2\,=\,574000\,\%2C\,m^2$

Exercice 2 : aire de triangle et calcul d’hauteur
Pour calculer la hauteur relative à un côté donné d’un triangle, nous utilisons la formule de l’aire d’un triangle :

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

Ici, l’aire $\Delta$ du triangle est donnée en décamètres carrés (dam²). Commençons par convertir cette aire en centimètres carrés (cm²) pour que les unités soient cohérentes avec la longueur du côté. Nous savons que :

$1\,\%2C\,dam^2\,=\,100\,\%2C\,m^2\,=\,10000\,\%2C\,cm^2$

Ainsi,

$0%2C1\,\%2C\,dam^2\,=\,0%2C1\,\times \,10000\,\%2C\,cm^2\,=\,1000\,\%2C\,cm^2$

Sachant que la longueur de la base est 800 cm, nous utilisons la formule de l’aire pour trouver la hauteur :

$1000\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,800\,\times \,h$

En isolant , nous obtenons :

$1000\,=\,400h$

$h\,=\,\frac{1000}{400}$

$h\,=\,2.5\,\%2C\,cm$

La hauteur relative à ce côté est donc de cm.

Exercice 3 : problème de surfaces et conversion d’aires.
L’inscription indique que $1\,\%2C\,m^2$ de ce papier pèse 90 g.

La surface d’une feuille de format A4 est de $21\,\%2C\,cm\,\times \,29%2C7\,\%2C\,cm$ .

Convertissons ces dimensions en mètres :
$21\,\%2C\,cm\,=\,0{%2C}21\,\%2C\,m$
$29{%2C}7\,\%2C\,cm\,=\,0{%2C}297\,\%2C\,m$

La surface d’une feuille de format A4 est donc :
$0{%2C}21\,\%2C\,m\,\times \,0{%2C}297\,\%2C\,m\,=\,0{%2C}06237\,\%2C\,m^2$

Pour une feuille, le poids est alors :
$0{%2C}06237\,\%2C\,m^2\,\times \,90\,\%2C\,g%2Fm^2\,=\,5{%2C}6133\,\%2C\,g$

Pour 500 feuilles, le poids total est :
$500\,\times \,5{%2C}6133\,\%2C\,g\,=\,2806{%2C}65\,\%2C\,g$

Convertissons ce poids en kilogrammes :
$2806{%2C}65\,\%2C\,g\,=\,2{%2C}80665\,\%2C\,kg$

Donc, une ramette de 500 feuilles de format A4 de ce papier pèse environ $2{%2C}807\,\%2C\,kg$ (en arrondissant à trois décimales).

Exercice 4 : aire d’un trapeze
Pour un trapèze rectangle, l’aire se calcule avec la formule suivante :

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(B\,%2B\,b)\,\times \,h$

où:
– est la grande base,
– est la petite base,
– est la hauteur.

Dans ce cas:
– $B\,=\,54$ m,
– $b\,=\,35$ m,
– $h\,=\,30$ m.

En remplaçant les valeurs dans la formule, nous obtenons :

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(54\,%2B\,35)\,\times \,30$

Calculons la somme des bases :

$54\,%2B\,35\,=\,89\,\,m$

Puis, multiplions par la hauteur et divisons par 2 :

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,89\,\times \,30\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2670\,=\,1335\,\,m^2$

L’aire du champ est donc :

$1335\,\%2C\,m^2$

Exercice 5 : calcul de l’aire d’une piece métallique
L’aire d’un losange peut être calculée avec la formule suivante :

$A_{losange}\,=\,\frac{D\,\times \,d}{2}$

où et sont les diagonales du losange.

On observe que le losange donné a une diagonale de 42 cm (longueur de la base sur l’image) et une autre diagonale de 26 cm (hauteur du losange sur l’image).

Ainsi, l’aire du losange est :

$A_{losange}\,=\,\frac{42\,\times \,26}{2}$
$A_{losange}\,=\,\frac{1092}{2}$
$A_{losange}\,=\,546\,\,cm^2$

L’aire du trou circulaire au centre du losange se calcule avec la formule de l’aire d’un cercle :

$A_{cercle}\,=\,\pi\,r^2$

où est le rayon du cercle. Ici, le rayon est 10 cm.

Ainsi, l’aire du cercle est :

$A_{cercle}\,=\,\pi\,\times \,10^2$
$A_{cercle}\,=\,100\pi\,\,cm^2$

Pour obtenir l’aire hachurée, il faut soustraire l’aire du cercle de l’aire du losange :

$A_{hachuree}\,=\,A_{losange}\,-\,A_{cercle}$
$A_{hachuree}\,=\,546\,-\,100\pi$

L’aire hachurée est donc :

$A_{hachuree}\,\approx\,546\,-\,314.16$

En utilisant la valeur approchée de $\pi\,\approx\,3.14$ ,

$A_{hachuree}\,\approx\,546\,-\,314$
$A_{hachuree}\,\approx\,232\,\,cm^2$

Cependant, si l’on garde $\pi$ exact, l’aire hachurée est donnée par :

$A_{hachuree}\,=\,546\,-\,100\pi\,\,cm^2$

Exercice 6 : calcul de l’aire d’une figure géométrique
Soit , et respectivement les côtés du triangle . Le triangle est rectangle en car la hauteur est perpendiculaire à la base .

Tout d’abord, calculons l’aire du triangle .
La base mesure $90\,\,mm\,%2B\,16\,\,mm\,=\,106\,\,mm$ (somme des deux longueurs données) et la hauteur mesure $17\,\,mm$ .

L’aire du triangle est donnée par :
$Aire_{\triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,106\,\,mm\,\times \,17\,\,mm\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,1802\,\,mm^2\,=\,901\,\,mm^2$

Ensuite, calculons l’aire du rectangle .

Le rectangle a pour longueur (hauteur du triangle) et pour largeur (les deux longueurs sont perpendiculaires, formant un rectangle).
Ainsi, $BH\,=\,17\,\,mm$ et $BP\,=\,90\,\,mm$ .

L’aire du rectangle est donc :
$Aire_{rect}\,=\,longueur\,\times \,largeur\,=\,90\,\,mm\,\times \,17\,\,mm\,=\,1530\,\,mm^2$

Enfin, l’aire totale de la figure (triangle + rectangle) est :
$Aire_{totale}\,=\,Aire_{\triangle}\,%2B\,Aire_{rect}\,=\,901\,\,mm^2\,%2B\,1530\,\,mm^2\,=\,2431\,\,mm^2$

Ainsi, l’aire totale de la figure est :
$2431\,\,mm^2$

Exercice 7 : calcul de l’aire d’une figure
1. Calcul du rayon du cercle :
Le diamètre du cercle est égal à la longueur du rectangle. $BE\,=\,280$ cm, donc :
$R\,=\,\frac{280}{2}\,=\,140\,\,cm$

2. Calcul de l’aire du trapèze :
Les bases du trapèze sont $BE\,=\,280\,\,cm$ et $DE\,=\,150\,\,cm$ . La hauteur du trapèze est la distance entre et , soit $80\,\,cm$ .
$A_{trapeze}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(BE\,%2B\,DE)\,\times \,h\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(280\,%2B\,150)\,\times \,80\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,430\,\times \,80\,=\,17200\,\,cm^2$

3. Calcul de l’aire du rectangle :
Les dimensions du rectangle sont $BE\,=\,280\,\,cm$ et la hauteur $BC\,=\,95\,\,cm$ .
$A_{rectangle}\,=\,BE\,\times \,BC\,=\,280\,\times \,95\,=\,26600\,\,cm^2$

4. Calcul de l’aire du demi-disque :
Le rayon du cercle est $R\,=\,140\,\,cm$ .
$A_{demi-disque}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\pi\,\times \,R^2\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\pi\,\times \,140^2\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\pi\,\times \,19600\,\approx\,30787.61\,\,cm^2$

5. Calcul de l’aire totale de la figure :
L’aire totale est la somme des aires du trapèze, du rectangle et du demi-disque.
$A_{total}\,=\,A_{trapeze}\,%2B\,A_{rectangle}\,%2B\,A_{demi-disque}\,=\,17200\,%2B\,26600\,%2B\,30787.61\,\approx\,74587.61\,\,cm^2$

Exercice 8 : périmètre et aire d’une figure.
Pour calculer le périmètre et l’aire de la figure donnée, procédons en deux étapes : le calcul du périmètre et celui de l’aire.

### Calcul du périmètre

Nous observons que la figure peut être divisée en trois rectangles de dimensions égales, chacune ayant une hauteur de $1.5\,\%2C\,cm$ et une longueur de $2\,\%2C\,cm$ .

Le périmètre se calcule en additionnant la longueur des bords extérieurs de la figure.

$Perimetre\,=\,6\,\%2C\,cm\,%2B\,(1.5\,\%2C\,cm\,%2B\,1.5\,\%2C\,cm\,%2B\,1.5\,\%2C\,cm)\,%2B\,4.5\,\%2C\,cm\,%2B\,(2\,\%2C\,cm)\,%2B\,(1.5\,\%2C\,cm)\,%2B\,(2\,\%2C\,cm)\,%2B\,(1.5\,\%2C\,cm)$

Simplifions cette expression :

$Perimetre\,=\,6\,\%2C\,cm\,%2B\,4.5\,\%2C\,cm\,%2B\,4.5\,\%2C\,cm\,%2B\,3.5\,\%2C\,cm\,%2B\,3.5\,\%2C\,cm\,=\,22\,\%2C\,cm$

### Calcul de l’aire

Pour calculer l’aire, nous notons que la figure peut être divisée en trois rectangles, chacun de dimensions $2\,\%2C\,cm\,\times \,1.5\,\%2C\,cm$ .

Ainsi, l’aire se calcule comme suit :

$Aire\,=\,3\,\times \,(2\,\%2C\,cm\,\times \,1.5\,\%2C\,cm)\,=\,3\,\times \,3\,\%2C\,cm^2\,=\,9\,\%2C\,cm^2$

### Résumé

$Perimetre\,=\,22\,\%2C\,cm$
$Aire\,=\,9\,\%2C\,cm^2$

Exercice 9 : calcul du périmètre d’une figure
Pour calculer le périmètre de la figure, nous allons additionner les longueurs des différents segments qui composent le contour de la figure.

1. Les segments horizontaux en haut et en bas : chacun mesure $6\,\%2C\,cm$ .
2. Les segments verticaux à gauche et à droite : chacun mesure $3\,\%2C\,cm$ (apparent sur la grille).
3. Les demi-cercles : il y en a deux, et chacun a un rayon de $3\,\%2C\,cm$ (puisque le diamètre de 6 cm est partagé en deux pour former les demi-cercles).

Le périmètre d’un cercle complet est donné par $2\pi\,r$ .
Le périmètre d’un demi-cercle est donc $\pi\,r$ .

Pour deux demi-cercles :
$\pi\,\cdot\,3\,\%2C\,cm\,%2B\,\pi\,\cdot\,3\,\%2C\,cm\,=\,2\pi\,\cdot\,3\,\%2C\,cm\,=\,6\pi\,\%2C\,cm$

Le périmètre total de la figure est donc la somme des segments droits et des demi-cercles :

$2\,\cdot\,6\,\%2C\,cm\,%2B\,2\,\cdot\,3\,\%2C\,cm\,%2B\,6\pi\,\%2C\,cm$

$=\,12\,\%2C\,cm\,%2B\,6\,\%2C\,cm\,%2B\,6\pi\,\%2C\,cm$

$=\,18\,\%2C\,cm\,%2B\,6\pi\,\%2C\,cm$

Donc, le périmètre de la figure est :

$18\,%2B\,6\pi\,\%2C\,cm$

En utilisant LaTeX:

$P\,=\,18\,%2B\,6\pi\,\%2C\,cm$

Exercice 10 : calculs d’aires de triangles et conversions d’aires
a. $12\,\%2C\,m^2$ en :
$1\,\%2C\,m^2\,=\,100\,\%2C\,dm^2$
Donc,
$12\,\%2C\,m^2\,=\,12\,\times \,100\,\%2C\,dm^2\,=\,1200\,\%2C\,dm^2$

b. $1%2C32\,\%2C\,dm^2$ en :
$1\,\%2C\,dm^2\,=\,100\,\%2C\,cm^2$
Donc,
$1%2C32\,\%2C\,dm^2\,=\,1%2C32\,\times \,100\,\%2C\,cm^2\,=\,132\,\%2C\,cm^2$

c. $4%2C5\,\%2C\,cm^2$ en :
$1\,\%2C\,m^2\,=\,100^2\,\%2C\,cm^2\,=\,10000\,\%2C\,cm^2$
Donc,
$4%2C5\,\%2C\,cm^2\,=\,\frac{4%2C5}{10000}\,\%2C\,m^2\,=\,0%2C00045\,\%2C\,m^2$

d. $8552\,\%2C\,m^2$ en :
$1\,\%2C\,km^2\,=\,1000^2\,\%2C\,m^2\,=\,1000000\,\%2C\,m^2$
Donc,
$8552\,\%2C\,m^2\,=\,\frac{8552}{1000000}\,\%2C\,km^2\,=\,0%2C008552\,\%2C\,km^2$

Exercice 11 : calcul de hauteur connaissant l’aire
On connaît l’aire d’un triangle et la longueur de la base correspondante . On veut trouver la hauteur .

La formule de l’aire d’un triangle est la suivante :
$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,b\,\times \,h$

En remplaçant les valeurs données :
$210\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,21\,\times \,h$

En isolant :
$210\,=\,\frac{21h}{2}$

Multipliant les deux côtés de l’équation par 2 pour se débarrasser du dénominateur :
$420\,=\,21h$

En divisant les deux côtés de l’équation par 21 :
$h\,=\,\frac{420}{21}$

En simplifiant :
$h\,=\,20$

La hauteur du triangle est donc de $20\,\%2C\,cm$ .

Exercice 12 : périmètre d’un flocon
Pour construire une étoile à 8 branches équilatérales, voici les étapes à suivre :

1. Dessinez un cercle de rayon .
2. Tracez deux diamètres du cercle qui se coupent en son centre et forment un angle de 45° l’un avec l’autre. Vous obtenez ainsi 8 points d’intersection sur le cercle.
3. Reliez chaque point d’intersection au point opposé pour obtenir les 8 branches de l’étoile. Assurez-vous de suivre l’ordre des connexions correctement pour que les branches soient égales et symétriques.

En termes de coordonnées et de relations géométriques, nous pouvons généraliser (en utilisant des coordonnées polaires) :

Les points de l’étoile dans un plan cartésien où le centre du cercle est à l’origine peuvent être exprimés comme $P_k\,=\,(\,R\,\cos\,(\,\frac{2k\pi}{8}\,)%2C\,R\,\sin\,(\,\frac{2k\pi}{8}\,)\,)$ , où $k\,=\,0%2C\,1%2C\,2%2C\,...%2C\,7$ .

Pour une même longueur de branches ou côté équilatéral $L\,=\,2R\,\sin\,(\,\frac{\pi}{8}\,)$

Pour illustrer cela avec plus de précision, vous pouvez dessiner les branches en utilisant un logiciel comme GeoGebra ou tout autre outil de géométrie dynamique pour obtenir des résultats plus exacts.

S’il s’agit de représenter ceci en LaTeX, on peut utiliser des environnements de dessin tels que TikZ pour un rendu particulièrement soigné. Par exemple :

« `latex
\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\def \n {8}
\def \radius {3cm}
\def \angle {360/\n}
\foreach \s in {1,…,\n}
{
\draw[rotate=\s*\angle] (90:\radius) — (18:\radius) — (162:\radius) — cycle;
}
\end{tikzpicture}
\end{document}
« `

Ce code génère une étoile à 8 branches équilatérales en utilisant le package TikZ.

Les étapes géométriques et relationnelles précédentes aident à comprendre la construction explorée plus en détail avec un dessin à main levée ou assisté par ordinateur.

Exercice 13 : problème ouvert sur aire, socle de compétences
Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder en plusieurs étapes :

1. Calculer l’aire du grand carré.
2. Calculer l’aire des deux triangles rectangulaires dans la partie supérieure.
3. Calculer l’aire du triangle inversé dans la partie inférieure.
4. Soustraire les aires des triangles de l’aire du grand carré pour obtenir l’aire du pentagone.

1. $Aire\,du\,grand\,carre$ :

Soit la longueur de côté du grand carré, $a\,=\,4$ cm. L’aire du grand carré est donc :

$Aire_{carre}\,=\,a^2\,=\,4^2\,=\,16\,\%2C\,cm^2$

2. $Aire\,des\,deux\,triangles\,rectangulaires\,superieurs$ :

Chaque triangle a pour base la moitié de la longueur du côté du carré et pour hauteur la moitié du côté du carré.

Soit la base et la hauteur des triangles.

$b\,=\,h\,=\,\frac{a}{2}\,=\,\frac{4}{2}\,=\,2\,\%2C\,cm$

L’aire de chaque triangle est :

$Aire_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,b\,\times \,h\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2\,\times \,2\,=\,2\,\%2C\,cm^2$

Il y a deux triangles :

$Aire_{triangle\,total}\,=\,2\,\times \,2\,=\,4\,\%2C\,cm^2$

3. $Aire\,du\,triangle\,inverse\,inferieur$ :

Ce triangle est également un triangle rectangle avec une base et une hauteur égales à la diagonale d’un petit carré de côté $\frac{a}{2}$ .

La diagonal se calcule comme suit :

$d\,=\,\sqrt{(\frac{a}{2})^2\,%2B\,(\frac{a}{2})^2}\,=\,\sqrt{2\,(\frac{a}{2})^2}\,=\,\frac{a}{\sqrt{2}}\,=\,\frac{4}{\sqrt{2}}\,=\,2\sqrt{2}\,\%2C\,cm$

L’aire du triangle :

$Aire_{triangle\,inverse}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,d\,\times \,d\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(2\sqrt{2})\,\times \,(2\sqrt{2})\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,8\,=\,4\,\%2C\,cm^2$

4. $Aire\,du\,pentagone$ :

$Aire_{pentagone}\,=\,Aire_{carre}\,-\,Aire_{triangle\,total}\,-\,Aire_{triangle\,inverse}$

$Aire_{pentagone}\,=\,16\,-\,4\,-\,4\,=\,8\,\%2C\,cm^2$

Donc, l’aire du pentagone (zone grisée) est $8\,\%2C\,cm^2$ .

Exercice 14 : aire d’une portion et médiane
Soit la surface totale du triangle ABC .

La somme des aires des quatre parties doit être égale à la surface totale :

$S\,=\,3\,%2B\,7\,%2B\,7\,%2B\,3$

Calculons cette somme :

$S\,=\,20\,\,unites\,d'aire$

Nous connaissons la surface totale et les surfaces de trois des parties. Pour trouver la surface de la quatrième partie ( unités d’aire), nous devons soustraire la somme des surfaces connues de la surface totale :

$x\,=\,S\,-\,(3\,%2B\,7\,%2B\,3)$

Calculons cette valeur :

$x\,=\,20\,-\,13\,=\,7\,\,unites\,d'aire$

La surface de la quatrième partie est donc unités d’aire.

Exercice 15 : diamètre de la fusée ariane
a) Quelle est la hauteur de sa maquette à l’échelle ?

La hauteur de la fusée Ariane 5 est de 57 m. Si nous supposons que la maquette est construite à une échelle donnée .
On peut écrire la relation suivante pour la hauteur H_m de la maquette :

$H_m\,=\,\frac{H_r}{E}$

où H_r est la hauteur réelle de la fusée, soit 57 m. Si l’échelle n’est pas spécifiée, on ne peut pas donner la hauteur de la maquette sans cette information.

b) Le diamètre de la maquette est de 5.7 cm.

Si le diamètre de la maquette est de 5.7 cm, cela signifie que pour un certain facteur d’échelle , on peut écrire

$D_m\,=\,\frac{D_r}{E}$

où $D_m\,=\,5.7\,\%2C\,cm$ est le diamètre de la maquette et D_r est le diamètre réel de la fusée.

En utilisant l’échelle que nous déterminons de la hauteur:

$E\,=\,\frac{57\,\%2C\,m}{H_m}$

Le diamètre réel D_r de la fusée peut être calculé ainsi:

$D_r\,=\,D_m\,\times \,E$

Pour un calcul précis, on doit connaître l’échelle exacte de la maquette ().

Sans cette échelle, on ne peut pas calculer le diamètre réel exact de la fusée.

Exercice 16 : dimensions d’un terrain de football
Pour déterminer les dimensions réelles du terrain de football, nous aurons besoin de l’échelle utilisée. Toutefois, comme ce dernier n’est pas précisé dans l’énoncé, nous devons admettre qu’elle nous est fournie, symbolisée comme « 1:n ».

Le rectangle sur le modèle est de 23,1 cm de longueur et de 13,6 cm de largeur.

Soient L_r et l_r les dimensions réelles du terrain de football.
Nous avons :

$L_r\,=\,23%2C1\,\times \,n$
$l_r\,=\,13%2C6\,\times \,n$

Les dimensions réelles sont donc :

$\{%0D%0A\begin{array}{ll}%0D%0AL_r\,=\,23%2C1\,\times \,n\,\\%0D%0Al_r\,=\,13%2C6\,\times \,n%0D%0A\end{array}%0D%0A.$

Ainsi, pour obtenir les dimensions réelles, il nous suffit de multiplier les dimensions de la maquette par « n », l’échelle de représentation.

Exercice 17 : pour prendre un bon départ sur les formules d’aires
La figure 1 est un rectangle de dimensions 2 x 3 carreaux. Son aire est donc :
$A_1\,=\,2\,\times \,3\,=\,6\,\,carreaux$

La figure 2, composée de deux rectangles :
– Le premier rectangle a des dimensions de 3 x 1 carreau.
– Le second rectangle a des dimensions de 2 x 1 carreau.
Son aire totale est :
$A_2\,=\,3\,\times \,1\,%2B\,2\,\times \,1\,=\,3\,%2B\,2\,=\,5\,\,carreaux$

La figure 3 est un carré de dimensions 2 x 2 carreaux. Son aire est donc :
$A_3\,=\,2\,\times \,2\,=\,4\,\,carreaux$

La figure 4 est un triangle rectangle de base 4 carreaux et de hauteur 2 carreaux. Son aire est donc :
$A_4\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\,\times \,2\,=\,4\,\,carreaux$

La figure 5 est un parallélogramme. On compte 3 carreaux sur la base et 2 carreaux pour la hauteur. Son aire est donc :
$A_5\,=\,3\,\times \,2\,=\,6\,\,carreaux$

La figure 6 est un rectangle de dimensions 1 x 7 carreaux. Son aire est donc :
$A_6\,=\,1\,\times \,7\,=\,7\,\,carreaux$

L’intrus est la figure 6, car son aire (7 carreaux) est différente des autres aires calculées.

En résumé :
$A_1\,=\,6\,\,carreaux%2C\,\quad\,A_2\,=\,5\,\,carreaux%2C\,\quad\,A_3\,=\,4\,\,carreaux%2C\,\quad\,A_4\,=\,4\,\,carreaux%2C\,\quad\,A_5\,=\,6\,\,carreaux%2C\,\quad\,A_6\,=\,7\,\,carreaux$

Exercice 18 : calcul de l’aire d’un triangle
Pour Figure 1 :
La longueur est de 8 cm et la largeur est de 5 cm.
L’aire d’un rectangle est donnée par la formule :
$A\,=\,L\,\times \,l$
$A\,=\,8\,\%2C\,cm\,\times \,5\,\%2C\,cm\,=\,40\,\%2C\,cm^2$

Pour Figure 2 :
La longueur est de 9 m et la largeur est de 6,5 m.
$A\,=\,L\,\times \,l$
$A\,=\,9\,\%2C\,m\,\times \,6%2C5\,\%2C\,m\,=\,58%2C5\,\%2C\,m^2$

Pour Figure 3 :
La longueur et la largeur sont toutes deux de 5 dm, donc le rectangle est en fait un carré.
$A\,=\,L\,\times \,l$
$A\,=\,5\,\%2C\,dm\,\times \,5\,\%2C\,dm\,=\,25\,\%2C\,dm^2$

Exercice 19 : unités d’aire et conversions
\begin{align*}
1. \quad \text{Convertir } 8 \, \text{m}^2 \text{ en } \text{dm}^2 : \\
\quad 8 \, \text{m}^2 \times 100 \, \text{dm}^2/\text{m}^2 = 800 \, \text{dm}^2 \\
\text{Convertir } 145 \, \text{cm}^2 \text{ en } \text{m}^2 : \\
\quad 145 \, \text{cm}^2 \times (\frac{1 \, \text{m}^2}{10,000 \, \text{cm}^2}) = 0.0145 \, \text{m}^2 \\
\text{Convertir } 0.1 \, \text{dam}^2 \text{ en } \text{km}^2 : \\
\quad 0.1 \, \text{dam}^2 \times (\frac{1 \, \text{km}^2}{100,000 \, \text{dam}^2}) = 1 \times 10^{-6} \, \text{km}^2
\end{align*}
\begin{align*}
2. \quad \text{Convertir } 15.4 \, \text{m}^2 \text{ en } \text{dm}^2 : \\
\quad 15.4 \, \text{m}^2 \times 100 \, \text{dm}^2/\text{m}^2 = 1540 \, \text{dm}^2 \\
\text{Convertir } 154 \, \text{km}^2 \text{ en } \text{dam}^2 : \\
\quad 154 \, \text{km}^2 \times 100,000 \, \text{dam}^2/\text{km}^2 = 15,400,000 \, \text{dam}^2 \\
\text{Convertir } 0.02 \, \text{cm}^2 \text{ en } \text{mm}^2 : \\
\quad 0.02 \, \text{cm}^2 \times 100 \, \text{mm}^2/\text{cm}^2 = 2 \, \text{mm}^2
\end{align*}
\begin{align*}
3. \quad \text{Convertir } 2,024 \, \text{mm}^2 \text{ en } \text{cm}^2 : \\
\quad 2,024 \, \text{mm}^2 \times (\frac{1 \, \text{cm}^2}{100 \, \text{mm}^2}) = 20.24 \, \text{cm}^2 \\
\text{Convertir } 3.5 \, \text{dam}^2 \text{ en } \text{m}^2 : \\
\quad 3.5 \, \text{dam}^2 \times 100 \, \text{m}^2/\text{dam}^2 = 350 \, \text{m}^2 \\
\text{Convertir } 6,325 \, \text{cm}^2 \text{ en } \text{m}^2 : \\
\quad 6,325 \, \text{cm}^2 \times (\frac{1 \, \text{m}^2}{10,000 \, \text{cm}^2}) = 0.6325 \, \text{m}^2
\end{align*}
\begin{align*}
4. \quad \text{Convertir } 4.9 \, \text{km}^2 \text{ en } \text{m}^2 : \\
\quad 4.9 \, \text{km}^2 \times 1,000,000 \, \text{m}^2/\text{km}^2 = 4,900,000 \, \text{m}^2 \\
\text{Convertir } 3,060 \, \text{mm}^2 \text{ en } \text{cm}^2 : \\
\quad 3,060 \, \text{mm}^2 \times (\frac{1 \, \text{cm}^2}{100 \, \text{mm}^2}) = 30.6 \, \text{cm}^2 \\
\text{Convertir } 2.74 \, \text{dm}^2 \text{ en } \text{m}^2 : \\
\quad 2.74 \, \text{dm}^2 \times (\frac{1 \, \text{m}^2}{100 \, \text{dm}^2}) = 0.0274 \, \text{m}^2
\end{align*}
\begin{align*}
5. \quad \text{Convertir } 58,830 \, \text{cm}^2 \text{ en } \text{m}^2 : \\
\quad 58,830 \, \text{cm}^2 \times (\frac{1 \, \text{m}^2}{10,000 \, \text{cm}^2}) = 5.883 \, \text{m}^2 \\
\text{Convertir } 0.68 \, \text{cm}^2 \text{ en } \text{mm}^2 : \\
\quad 0.68 \, \text{cm}^2 \times 100 \, \text{mm}^2/\text{cm}^2 = 68 \, \text{mm}^2 \\
\text{Convertir } 46,000 \, \text{m}^2 \text{ en } \text{km}^2 : \\
\quad 46,000 \, \text{m}^2 \times (\frac{1 \, \text{km}^2}{1,000,000 \, \text{m}^2}) = 0.046 \, \text{km}^2
\end{align*}
\begin{align*}
6. \quad \text{Convertir } 1,600 \, \text{m}^2 \text{ en } \text{cm}^2 : \\
\quad 1,600 \, \text{m}^2 \times 10,000 \, \text{cm}^2/\text{m}^2 = 16,000,000 \, \text{cm}^2 \\
\text{Convertir } 172 \, \text{mm}^2 \text{ en } \text{cm}^2 : \\
\quad 172 \, \text{mm}^2 \times (\frac{1 \, \text{cm}^2}{100 \, \text{mm}^2}) = 1.72 \, \text{cm}^2 \\
\text{Convertir } 3 \, \text{m}^2 \text{ en } \text{dm}^2 : \\
\quad 3 \, \text{m}^2 \times 100 \, \text{dm}^2/\text{m}^2 = 300 \, \text{dm}^2
\end{align*}
\begin{align*}
7. \quad \text{Convertir } 7.2 \, \text{m}^2 \text{ en } \text{cm}^2 : \\
\quad 7.2 \, \text{m}^2 \times 10,000 \, \text{cm}^2/\text{m}^2 = 72,000 \, \text{cm}^2 \\
\text{Convertir } 3 \, \text{ha} \text{ en } \text{m}^2 : \\
\quad 3 \, \text{ha} \times 10,000 \, \text{m}^2/\text{ha} = 30,000 \, \text{m}^2 \\
\text{Convertir } 18 \, \text{ha} \text{ en } \text{cm}^2 : \\
\quad 18 \, \text{ha} \times 10,000 \, \text{m}^2/\text{ha} \

Exercice 20 : aire de parallélogramme
$Correction\,%3A$

$%261.\,Aire\,du\,rectangle\,ABCD\,%3A\,\\%0D%0A%26Le\,rectangle\,ABCD\,est\,constitue\,de\,3\,carreaux\,de\,largeur\,et\,4\,carreaux\,de\,hauteur.\,Comme\,chaque\,carreau\,represente\,une\,unite\,d'aire%2C\,l'aire\,du\,rectangle\,ABCD\,est\,donc\,%3A\,\\%0D%0A%26Aire_{ABCD}\,=\,3\,\times \,4\,=\,12\,\,unites\,d'aire$

$%262.\,Aire\,du\,premier\,parallelogramme\,%3A\,\\%0D%0A%26Ce\,parallelogramme\,a\,la\,meme\,base\,et\,la\,meme\,hauteur\,que\,le\,rectangle\,ABCD\,(base\,=\,4\,unites%2C\,hauteur\,=\,3\,unites).\,Donc%2C\,l'aire\,du\,parallelogramme\,est\,%3A\,\\%0D%0A%26Aire_{parallelogramme\,1}\,=\,base\,\times \,hauteur\,=\,4\,\times \,3\,=\,12\,\,unites\,d'aire$

$%263.\,Aire\,du\,deuxieme\,parallelogramme\,%3A\,\\%0D%0A%26Ce\,parallelogramme\,a\,egalement\,la\,meme\,base\,et\,la\,meme\,hauteur\,que\,le\,rectangle\,ABCD\,(base\,=\,4\,unites%2C\,hauteur\,=\,3\,unites).\,Donc%2C\,l'aire\,du\,parallelogramme\,est\,%3A\,\\%0D%0A%26Aire_{parallelogramme\,2}\,=\,base\,\times \,hauteur\,=\,4\,\times \,3\,=\,12\,\,unites\,d'aire$

$%264.\,Aire\,du\,troisieme\,parallelogramme\,%3A\,\\%0D%0A%26Ce\,parallelogramme\,a\,egalement\,la\,meme\,base\,et\,la\,meme\,hauteur\,que\,le\,rectangle\,ABCD\,(base\,=\,4\,unites%2C\,hauteur\,=\,3\,unites).\,Donc%2C\,l'aire\,du\,parallelogramme\,est\,%3A\,\\%0D%0A%26Aire_{parallelogramme\,3}\,=\,base\,\times \,hauteur\,=\,4\,\times \,3\,=\,12\,\,unites\,d'aire$

$Ainsi%2C\,l'aire\,du\,rectangle\,et\,de\,chacun\,des\,parallelogrammes\,est\,de\,12\,unites\,d'aire.$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : calcul de l’aire d’un parallélogramme
Pour calculer l’aire et le périmètre du parallélogramme, nous utiliserons les formules correspondantes.

1. $Calculer\,son\,aire$ :

L’aire d’un parallélogramme est donnée par la formule :
$A\,=\,b\,\cdot\,h$
où est la base et est la hauteur perpendiculaire à cette base.

Ici, la base est de $6\,\%2C\,cm$ et la hauteur est de $3%2C5\,\%2C\,cm$ .

$A\,=\,6\,\%2C\,cm\,\times \,3%2C5\,\%2C\,cm\,=\,21\,\%2C\,cm^2$

2. $Calculer\,son\,perimetre$ :

Le périmètre d’un parallélogramme est donné par la formule :
$P\,=\,2\,\times \,(a\,%2B\,b)$
où et sont les longueurs des côtés adjacents.

Ici, la base est de $6\,\%2C\,cm$ .

Pour trouver la longueur du côté , utilisons la hauteur. Le côté de $4\,\%2C\,cm$ est la distance verticale de l’autre côté du parallélogramme. Découlant du principe de la Pythagore appliquée à la figure :

$a\,=\,\sqrt{(6\,\%2C\,cm)^2\,%2B\,(3%2C5\,\%2C\,cm)^2}$

$a\,=\,\sqrt{36\,%2B\,12%2C25}\,=\,\sqrt{48%2C25}\,\approx\,6.95\,\%2C\,cm$

Maintenant, le périmètre est :
$P\,=\,2\,\times \,(4\,\%2C\,cm\,%2B\,6\,\%2C\,cm)\,=\,2\,\times \,10\,\%2C\,cm\,=\,20\,\%2C\,cm$

L’aire est donc $21\%2C\,cm^2$ et le périmètre est $20\%2C\,cm$ .

Exercice 22 : calculer l’aire d’une figure géométrique

Calculer l’aire du parallélogramme MNOP représenté ci-dessous.

L’aire d’un parallélogramme est donnée par la formule suivante :
$Aire\,=\,base\,\times \,hauteur$

Dans ce cas, la base est de 4 cm et la hauteur correspondante est de 3,5 cm.

$Aire\,=\,4\,\times \,3{%2C}5\,=\,14\,\\,cm^2$

Donc, l’aire du parallélogramme MNOP est de 14 cm.

Calculer (arrondir à 0,1 près).

Pour calculer la longueur , on utilise le triangle rectangle NOP . On connaît la longueur de 3,5 cm et celle de de 3,2 cm.

En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle NPO :
$NP^2\,=\,NO^2\,%2B\,OP^2$

$3%2C2^2\,=\,3%2C5^2\,%2B\,PO^2$

$10%2C24\,=\,12%2C25\,%2B\,PO^2$

$PO^2\,=\,12%2C25\,-\,10%2C24$

$PO^2\,=\,2%2C01$

$PO\,=\,\sqrt{2%2C01}\,\approx\,1%2C4$

Donc, la longueur arrondie à 0,1 près est de 1,4 cm.

Exercice 23 : aire d’une bonde d’évacuation
Pour calculer l’aire de la bonde, nous devons soustraire l’aire des six trous de l’aire totale du disque.

1. Aire du disque:
$r\,=\,1%2C6\,\%2C\,cm\,=\,16\,\%2C\,mm$
$A_{disque}\,=\,\pi\,r^2\,=\,\pi\,(16)^2\,=\,256\pi\,\%2C\,mm^2$

2. Aire de chaque trou:
$Diametre\,du\,trou\,=\,8\,\%2C\,mm$
$r_{trou}\,=\,\frac{8}{2}\,=\,4\,\%2C\,mm$
$A_{trou}\,=\,\pi\,r_{trou}^2\,=\,\pi\,(4)^2\,=\,16\pi\,\%2C\,mm^2$

3. Aire des six trous:
$A_{six\,trous}\,=\,6\,\times \,A_{trou}\,=\,6\,\times \,16\pi\,=\,96\pi\,\%2C\,mm^2$

4. Aire de la bonde après avoir retiré les trous:
$A_{final}\,=\,A_{disque}\,-\,A_{six\,trous}\,=\,256\pi\,-\,96\pi\,=\,160\pi\,\%2C\,mm^2$

5. Calcul numérique:
$A_{final}\,\approx\,160\,\times \,3%2C14\,=\,502%2C4\,\%2C\,mm^2$

L’aire de la bonde est donc:
$502\,\%2C\,mm^2$

(arrondie au mm² près).

Exercice 24 : aire d’une surface peinte
Pour calculer l’aire de la surface peinte de la moulure, nous devons déterminer la surface latérale du demi-cylindre.

Premièrement, la hauteur du demi-cylindre est de 2 mètres (ce qui est également la longueur de la moulure), et le diamètre de la base est de 1 cm (ou 0,01 mètre).

Le rayon de la base est donc :
$r\,=\,\frac{1\%2Ccm}{2}\,=\,0%2C005\%2Cm$

L’aire latérale d’un cylindre complet est donnée par la formule :
$A_{laterale}\,=\,2\,\pi\,r\,h$

Et puisque nous avons un demi-cylindre, l’aire latérale est :
$A_{laterale%2C\,demi}\,=\,\pi\,r\,h$

En substituant les valeurs données :
$A_{laterale%2C\,demi}\,=\,\pi\,\times \,0%2C005\%2Cm\,\times \,2\%2Cm\,\\%0D%0AA_{laterale%2C\,demi}\,=\,0%2C01\pi\,\%2Cm^2$

Donc, l’aire de la surface peinte du demi-cylindre est :
$0%2C01\pi\%2Cm^2$

Sachant que $\pi\,\approx\,3.14159$ , approximativement on a :
$A_{peinte}\,\approx\,0%2C01\,\times \,3%2C14159\%2Cm^2\,\\%0D%0AA_{peinte}\,\approx\,0%2C0314\%2Cm^2$

Donc, l’aire de la surface peinte est environ :
$0%2C0314\%2Cm^2$

Exercice 25 : calculer l’aire d’un pentagone
D’après la figure, on a un quadrilatère ABCD avec des points marqués , , , et ainsi que plusieurs segments ayant des longueurs marquées. Pour résoudre les problèmes typiques de ce type de figure, procédons par étapes avec les calculs habituels.

1. $Calculer\,les\,longueurs\,non\,marquees\,%3A$

D’après la figure :
– $AL\,=\,3$ , $LC\,=\,6$ , et $KL\,=\,3$ : $AC\,=\,AL\,%2B\,LC\,=\,3\,%2B\,6\,=\,9$
– $BK\,=\,3$ , $KB\,=\,4$ : $BC\,=\,BK\,%2B\,KC\,=\,3\,%2B\,4\,=\,7$

2. $Verifier\,si\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FABCD%22\,alt=%22ABCD$ est un parallelogramme : » align= »absmiddle » />

Les segments marqués montrent que et sont $3%2B3\,=\,6$ et $6%2B3\,=\,9$ . Cela ne nous donne pas suffisamment d’informations directes que les côtés opposés sont égaux. Pour qu’un quadrilatère soit un parallélogramme, les côtés opposés doivent être égaux et parallèles. Nous devons chercher plus.

3. $Calculer\,les\,coordonnees\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FK%22\,alt=%22K$ et pour une potentielle verification: » align= »absmiddle » />

Supposons des coordonnées en choisissant le système cartésien avec $A\,=\,(0%2C\,0)$ , $B\,=\,(0%2C\,6)$ , $C\,=\,(4%2C\,6)$ , et $D\,=\,(4%2C\,0)$ , basée sur une simplification typique.

Cela place:
– au milieu du segment . Puisque $AC\,\perp\,BD$ , est le centre du quadrilatère;
– Coordonnées sont à mi-distance:
$K\,=\,(\,\frac{A_x%2BC_x}{2}%2C\,\frac{A_y%2BC_y}{2}\,)\,=\,(\,\frac{0%2B4}{2}%2C\,\frac{0%2B6}{2}\,)\,=\,(2%2C\,3)$

4. $Chaines\,de\,segments\,au\,point\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FK%22\,alt=%22K$ : » align= »absmiddle » />

– Les longueurs: $AH\,=\,AL\,=\,3$ , $HL\,=\,LH'\,=\,6$ , $KC\,=\,3$ , donc hiérarchie des nouveaux points peut être confirmée symétriquement (segments).

La chaîne $H\,\to\,L$ peut tester l’adhérence des valeurs et donc prouver $(H\,\to\,3'\,\%3A\,quadrilatere$ ).

Les diagonales coupées en leur centre, $H\,\to\,H'\,=\,3$ .

Par conséquent, cescripteurs montrent les divisions en segments équilibrées, directement aidants via :

$y\,=\,\frac{(H-M-H')}{Q}$

Marqueurs confirment toutes les concaténations d’équilibre via ces centres H/K : des tractions limitables prêts-déclencheurs.
___

Correctement, nous utilisons calculs d’équilibre pour prouver $quadrilatere\,H%2FQ\,(bi%2FT)\,07$ .

ECH .

Exercice 26 : calculer l’aire du pentagone PQRST
Pour calculer l’aire du pentagone PQRST , nous allons décomposer ce pentagone en figures plus simples dont nous connaissons les formules pour l’aire, ici un rectangle et deux triangles.

1. Calculons d’abord l’aire du rectangle ABCD . La longueur du rectangle est $AB\,=\,8$ cm et la largeur du rectangle est $AD\,=\,4\,%2B\,2\,=\,6$ cm.

$Aire\,du\,rectangle\,\,ABCD\,=\,AB\,\times \,AD\,=\,8\,\times \,6\,=\,48\,\%2C\,cm^2$

2. Calculons ensuite l’aire du triangle APD . La base du triangle est de cm et la hauteur est de cm.

$Aire\,du\,triangle\,\,APD\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,AD\,\times \,AP\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,6\,\times \,2\,=\,6\,\%2C\,cm^2$

3. Calculons l’aire du triangle QRS . La base du triangle est de cm et la hauteur est donnée par la distance verticale entre et , donc cm.

$Aire\,du\,triangle\,\,QRS\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,RS\,\times \,(hauteur)\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\,\times \,2\,=\,4\,\%2C\,cm^2$

4. Pour trouver l’aire du pentagone PQRST , nous devons soustraire les aires des triangles APD et QRS de l’aire totale du rectangle ABCD .

$Aire\,du\,pentagone\,\,PQRST\,=\,Aire\,du\,rectangle\,\,ABCD\,-\,Aire\,du\,triangle\,\,APD\,-\,Aire\,du\,triangle\,\,QRS$
$Aire\,du\,pentagone\,\,PQRST\,=\,48\,\%2C\,cm^2\,-\,6\,\%2C\,cm^2\,-\,4\,\%2C\,cm^2\,=\,38\,\%2C\,cm^2$

Ainsi, l’aire du pentagone PQRST est de $38\,\%2C\,cm^2$ .

Exercice 27 : calcul d’aire et de périmètre d’une figure
Calculons d’abord l’aire de la figure.

La figure peut être décomposée en un rectangle de dimensions 9 cm par 4 cm, un demi-cercle de rayon 3 cm, et un quart de cercle de rayon 2 cm.

1. Aire du rectangle:
$A_{rectangle}\,=\,longueur\,\times \,largeur\,=\,9\,\%2C\,cm\,\times \,4\,\%2C\,cm\,=\,36\,\%2C\,cm^2$

2. Aire du demi-cercle (rayon = 3 cm):
$A_{demi-cercle}\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,r^2\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,(3\,\%2C\,cm)^2\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,\times \,9\,\%2C\,cm^2\,=\,4.5\,\pi\,\%2C\,cm^2$
$A_{demi-cercle}\,\approx\,4.5\,\times \,3.14\,\%2C\,cm^2\,=\,14.13\,\%2C\,cm^2$

3. Aire du quart de cercle (rayon = 2 cm):
$A_{quart\,de\,cercle}\,=\,\frac{1}{4}\,\pi\,r^2\,=\,\frac{1}{4}\,\pi\,(2\,\%2C\,cm)^2\,=\,\frac{1}{4}\,\pi\,\times \,4\,\%2C\,cm^2\,=\,\pi\,\%2C\,cm^2$
$A_{quart\,de\,cercle}\,\approx\,3.14\,\%2C\,cm^2$

L’aire totale est donc donnée par:
$A_{total}\,=\,A_{rectangle}\,-\,A_{demi-cercle}\,%2B\,A_{quart\,de\,cercle}$
$A_{total}\,=\,36\,\%2C\,cm^2\,-\,14.13\,\%2C\,cm^2\,%2B\,3.14\,\%2C\,cm^2$
$A_{total}\,=\,25\,\%2C\,cm^2$

Passons maintenant au calcul du périmètre.

Le périmètre est constitué du périmètre du quart de cercle, du demi-cercle et de trois segments de rectangle de longueur 6 cm, 4 cm et 9 cm.

1. Périmètre du quart de cercle:
$P_{quart\,de\,cercle}\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,2\,\pi\,r\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,2\,\pi\,\times \,2\,\%2C\,cm\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,\times \,2\,\%2C\,cm\,=\,\pi\,\%2C\,cm$
$P_{quart\,de\,cercle}\,\approx\,3.14\,\%2C\,cm$

2. Périmètre du demi-cercle:
$P_{demi-cercle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2\,\pi\,r\,=\,\pi\,r\,=\,\pi\,\times \,3\,\%2C\,cm\,=\,3\,\pi\,\%2C\,cm$
$P_{demi-cercle}\,\approx\,3\,\times \,3.14\,\%2C\,cm\,=\,9.42\,\%2C\,cm$

3. Segments du rectangle:
$P_{segments}\,=\,6\,\%2C\,cm\,%2B\,4\,\%2C\,cm\,%2B\,9\,\%2C\,cm\,=\,19\,\%2C\,cm$

Le périmètre total est donc:
$P_{total}\,=\,P_{quart\,de\,cercle}\,%2B\,P_{demi-cercle}\,%2B\,P_{segments}$
$P_{total}\,=\,3.14\,\%2C\,cm\,%2B\,9.42\,\%2C\,cm\,%2B\,19\,\%2C\,cm$
$P_{total}\,=\,31.56\,\%2C\,cm$

Ainsi, l’aire de la figure est approximativement de $25\,\%2C\,cm^2$ et le périmètre est approximativement de $32\,\%2C\,cm$ .

Exercice 28 : calcul de l’aire d’un champ
Pour calculer l’aire totale du champ, nous allons diviser le champ en trois sections séparées: un trapèze, un triangle, et un demi-cercle que nous allons soustraire.

1. $Calcul\,de\,l'aire\,du\,trapeze\,%3A$

L’aire d’un trapèze est donnée par la formule :
$A_{trapeze}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(B\,%2B\,b)\,\times \,h$
où et sont les longueurs des bases et est la hauteur du trapèze.

Dans notre cas :
$B\,=\,80\,\%2C\,m%2C\,\quad\,b\,=\,50\,\%2C\,m%2C\,\quad\,h\,=\,45\,\%2C\,m$

Donc,
$A_{trapeze}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(80\,%2B\,50)\,\times \,45$
$A_{trapeze}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,130\,\times \,45$
$A_{trapeze}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,5850$
$A_{trapeze}\,=\,2925\,\%2C\,m^2$

2. $Calcul\,de\,l'aire\,du\,triangle\,%3A$

L’aire d’un triangle est donnée par la formule :
$A_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

Dans notre cas :
$base\,=\,15\,\%2C\,m%2C\,\quad\,hauteur\,=\,20\,\%2C\,m$

Donc,
$A_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,15\,\times \,20$
$A_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,300$
$A_{triangle}\,=\,150\,\%2C\,m^2$

3. $Calcul\,de\,l'aire\,du\,demi-cercle\,(a\,soustraire)\,%3A$

L’aire d’un cercle est donnée par la formule :
$A_{cercle}\,=\,\pi\,\times \,r^2$

Pour un demi-cercle, l’aire est:
$A_{demi-cercle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\pi\,\times \,r^2$

Dans notre cas, le diamètre est de 20 m, d’où le rayon:
$r\,=\,\frac{20}{2}\,=\,10\,\%2C\,m$

Donc,
$A_{demi-cercle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\pi\,\times \,10^2$
$A_{demi-cercle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\pi\,\times \,100$
$A_{demi-cercle}\,=\,50\pi\,\%2C\,m^2$

4. $Calcul\,de\,l'aire\,totale%3A$

Aire totale = Aire du trapèze + Aire du triangle – Aire du demi-cercle

$A_{total}\,=\,2925\,\%2C\,m^2\,%2B\,150\,\%2C\,m^2\,-\,50\pi\,\%2C\,m^2$
$A_{total}\,=\,3075\,\%2C\,m^2\,-\,50\pi\,\%2C\,m^2$
En évaluant $\pi\,\approx\,3.14$ :
$A_{total}\,\approx\,3075\,\%2C\,m^2\,-\,50\,\times \,3.14\,\%2C\,m^2$
$A_{total}\,\approx\,3075\,\%2C\,m^2\,-\,157\,\%2C\,m^2$
$A_{total}\,\approx\,2918\,\%2C\,m^2$

Donc, l’aire totale du champ est approximativement $2918\,\%2C\,m^2$ .

Exercice 29 : aire et périmètre d’une parcelle
Les étapes ci-dessous montrent comment trouver l’aire totale de la surface en rouge, en prenant en compte l’ombre sur la figure.

1. Calcul de l’aire du rectangle ABCD .
$Aire_{rect}\,=\,AB\,\times \,BC\,=\,20\,\times \,6\,=\,120\,\%2C\,m^2$

2. Calcul de l’aire du triangle CDE à partir de ses dimensions :
$CE\,=\,4\,\%2C\,m%2C\,\quad\,DE\,=\,3\,\%2C\,m$
$Aire_{tri}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,CE\,\times \,DE\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\,\times \,3\,=\,6\,\%2C\,m^2$

3. Addition des aires des deux parties :
$Aire\,totale\,=\,Aire_{rect}\,-\,Aire_{tri}$
$Aire\,totale\,=\,120\,-\,6\,=\,114\,\%2C\,m^2$

Exercice 30 : calculer l’aire
L’aire de la surface bleue est décomposée en deux demi-disques et la moitié d’un carré.

1. Calcul de l’aire des deux demi-disques :
Le côté du carré ABCD est de 5 cm, ce qui signifie que le diamètre de chaque demi-disque est également de 5 cm. Par conséquent, le rayon de chaque demi-disque est :

$r\,=\,\frac{5}{2}\,=\,2.5\,\%2C\,cm$

L’aire d’un disque est donnée par la formule :

$A\,=\,\pi\,r^2$

Puisque chaque demi-disque représente la moitié d’un disque entier, l’aire d’un demi-disque est :

$A_{demi-disque}\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,r^2$

L’aire des deux demi-disques combinée est donc :

$A_{deux\,demi-disques}\,=\,2\,\times \,\frac{1}{2}\,\pi\,(2.5)^2\,=\,\pi\,(2.5)^2$
$A_{deux\,demi-disques}\,=\,\pi\,\times \,6.25\,=\,6.25\pi$

2. Calcul de l’aire du carré :
L’aire du carré ABCD est :

$A_{carre}\,=\,5\,\times \,5\,=\,25\,\%2C\,cm^2$

3. Calcul de l’aire de la surface bleue :
La surface bleue consiste en l’aire combinée des deux demi-disques et la moitié de l’aire du carré :

$A_{surface\,bleue}\,=\,A_{deux\,demi-disques}\,%2B\,\frac{1}{2}\,A_{carre}$
$A_{surface\,bleue}\,=\,6.25\pi\,%2B\,\frac{25}{2}$
$A_{surface\,bleue}\,=\,6.25\pi\,%2B\,12.5$

En utilisant la valeur approchée de $\pi\,\approx\,3.14$ , nous obtenons :

$A_{surface\,bleue}\,\approx\,6.25\,\times \,3.14\,%2B\,12.5$
$A_{surface\,bleue}\,\approx\,19.625\,%2B\,12.5$
$A_{surface\,bleue}\,\approx\,32.125$

Ainsi, la valeur approchée au centième près de l’aire de la surface bleue est :

$A_{surface\,bleue}\,\approx\,32.13\,\%2C\,cm^2$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : aire de la surface orange
Pour calculer l’aire de la surface orange, nous allons d’abord déterminer l’aire du grand rectangle, puis celle du triangle inscrit, et enfin soustraire l’aire du triangle de celle du rectangle.

L’aire du rectangle se calcule avec la formule :

$Aire\,du\,rectangle\,=\,longueur\,\times \,largeur$

Nous avons :
$longueur\,=\,6\,\%2C\,cm$
$largeur\,=\,4\,\%2C\,cm$

Ainsi,
$Aire\,du\,rectangle\,=\,6\,\%2C\,cm\,\times \,4\,\%2C\,cm\,=\,24\,\%2C\,cm^2$

L’aire du triangle se calcule avec la formule :

$Aire\,du\,triangle\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

Nous avons :
$base\,=\,3\,\%2C\,cm$
$hauteur\,=\,2\,\%2C\,cm$

Ainsi,
$Aire\,du\,triangle\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,3\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,=\,3\,\%2C\,cm^2$

L’aire de la surface orange est alors obtenue en soustrayant l’aire du triangle de celle du rectangle :

$Aire\,de\,la\,surface\,orange\,=\,Aire\,du\,rectangle\,-\,Aire\,du\,triangle$

Donc,
$Aire\,de\,la\,surface\,orange\,=\,24\,\%2C\,cm^2\,-\,3\,\%2C\,cm^2\,=\,21\,\%2C\,cm^2$

Ainsi, l’aire de la surface orange est :

$21\,\%2C\,cm^2$

Exercice 32 : calculer l’aire
Pour calculer l’aire de la surface orange, nous devons additionner l’aire du carré et l’aire du triangle.

1. Calcul de l’aire du carré :
$Aire\,du\,carre\,=\,c^2\,=\,3\%2Ccm\,\times \,3\%2Ccm\,=\,9\%2Ccm^2$

2. Calcul de l’aire du triangle :
$Aire\,du\,triangle\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\%2Ccm\,\times \,3\%2Ccm\,=\,6\%2Ccm^2$

3. Addition des deux aires pour obtenir l’aire totale de la surface orange :
$Aire\,totale\,=\,9\%2Ccm^2\,%2B\,6\%2Ccm^2\,=\,15\%2Ccm^2$

Donc, l’aire de la surface orange est de $15\%2Ccm^2$ .

Exercice 33 : aire de la surface verte
Pour déterminer l’aire de la surface verte, nous allons procéder comme suit :

1. Calculer l’aire du grand rectangle.
2. Calculer l’aire totale des quatre quarts de disque (ou un disque complet).
3. Soustraire l’aire totale des quarts de disque de l’aire du rectangle.

### Étape 1 : Calcul de l’aire du grand rectangle

Le grand rectangle a une longueur de 6 m et une largeur de 4 m.

$Aire\,du\,rectangle\,=\,6\,\,m\,\times \,4\,\,m\,=\,24\,\,m^2$

### Étape 2 : Calcul de l’aire du disque

Les quatre quarts de disque forment un disque complet, dont le rayon est de 1 mètre.

$Aire\,du\,disque\,complet\,=\,\pi\,\times \,(rayon)^2\,=\,\pi\,\times \,1^2\,=\,\pi\,\,m^2$

### Étape 3 : Calcul de l’aire de la surface verte

L’aire de la surface verte est obtenue en soustrayant l’aire du disque complet de l’aire du rectangle.

$Aire\,de\,la\,surface\,verte\,=\,Aire\,du\,rectangle\,-\,Aire\,du\,disque\,complet$

En substituant les valeurs :

$Aire\,de\,la\,surface\,verte\,=\,24\,\,m^2\,-\,\pi\,\,m^2$

### Valeur approchée

Nous utilisons une valeur approchée de $\pi\,\approx\,3%2C14$ .

$Aire\,de\,la\,surface\,verte\,\approx\,24\,\,m^2\,-\,3%2C14\,\,m^2\,=\,20%2C86\,\,m^2$

Ainsi, la valeur approchée au centième près de l’aire, en m^2 , de la surface verte est :

$20%2C86\,\,m^2$

Exercice 34 : aire du disque
Le diamètre d’un disque est $d\,=\,10$ cm.

Le rayon est donné par :
$r\,=\,\frac{d}{2}\,=\,\frac{10}{2}\,=\,5\,\,cm$

L’aire d’un disque est donnée par la formule :
$A\,=\,\pi\,r^2$

En substituant la valeur de :
$A\,=\,\pi\,\times \,5^2\,=\,\pi\,\times \,25$

En utilisant la touche $\pi$ de la calculatrice, nous obtenons une valeur approchée pour $\pi$ de 3.141592653589793.

Donc :
$A\,\approx\,3.141592653589793\,\times \,25\,\approx\,78.53981633974483\,\,cm^2$

a. À l’unité près :
$A\,\approx\,79\,\,cm^2$

b. Au centième près :
$A\,\approx\,78.54\,\,cm^2$

Exercice 35 : aire d’un triangle
a.

Pour le triangle a, nous avons un triangle rectangle. L’aire d’un triangle rectangle est donnée par la formule :

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

Ici, la base est de 12 cm et la hauteur est de 5 cm. Donc,

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,12\,\%2C\,cm\,\times \,5\,\%2C\,cm$
$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,60\,\%2C\,cm^2$
$A\,=\,30\,\%2C\,cm^2$

Pour le triangle b, il n’est pas décrit comme un triangle rectangle, mais nous connaissons la longueur de la base et la hauteur. L’aire d’un triangle est donnée par la même formule :

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

Ici, la base est de 9,5 cm et la hauteur perpendiculaire correspondante est de 6 cm. Donc,

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,9%2C5\,\%2C\,cm\,\times \,6\,\%2C\,cm$
$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,57\,\%2C\,cm^2$
$A\,=\,28%2C5\,\%2C\,cm^2$

Ainsi, les aires des triangles sont :
1. $30\,\%2C\,cm^2$ pour le triangle a.
2. $28%2C5\,\%2C\,cm^2$ pour le triangle b.

Exercice 36 : calculer l’aire de ces triangles
Commençons par le calcul des aires de chaque triangle.

Pour le triangle ABC :
– La base mesure $100\,\\,mm\,=\,10\,\\,cm$ .
– La hauteur mesure $25%2C8\,\\,cm\,-\,1%2C5\,\\,dm\,=\,25%2C8\,\\,cm\,-\,15\,\\,cm\,=\,10%2C8\,\\,cm$ .

L’aire $A_{ABC}$ se calcule donc comme suit :
$A_{ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,10\,\\,cm\,\times \,10%2C8\,\\,cm\,=\,54\,\\,cm^2$

Pour le triangle KNL :
– La base mesure $80\,\\,mm\,=\,8\,\\,cm$ .
– La hauteur mesure $1%2C8\,\\,dm\,=\,18\,\\,cm$ .

L’aire $A_{KNL}$ se calcule donc comme suit :
$A_{KNL}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,8\,\\,cm\,\times \,18\,\\,cm\,=\,72\,\\,cm^2$

Pour le triangle DEF :
– La base mesure $120\,\\,mm\,=\,12\,\\,cm$ .
– La hauteur mesure $1%2C6\,\\,dm\,=\,16\,\\,cm$ .

L’aire $A_{DEF}$ se calcule donc comme suit :
$A_{DEF}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,12\,\\,cm\,\times \,16\,\\,cm\,=\,96\,\\,cm^2$

Rangons maintenant les aires de ces triangles par ordre croissant :
$A_{ABC}\,=\,54\,\\,cm^2%2C\,\quad\,A_{KNL}\,=\,72\,\\,cm^2%2C\,\quad\,A_{DEF}\,=\,96\,\\,cm^2$

Donc, les aires par ordre croissant sont :
$54\,\\,cm^2%2C\,\\,72\,\\,cm^2%2C\,\\,96\,\\,cm^2$

Exercice 37 : calculer l’aire du triangle ABC
1. Utilisation de la hauteur :

L’aire d’un triangle peut être calculée à l’aide de la base et de la hauteur correspondante .

Base $AB\,=\,9%2C6\,\%2C\,cm$

Hauteur $CD\,=\,36\,\%2C\,mm\,=\,3%2C6\,\%2C\,cm$

$Aire_1\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,9%2C6\,\%2C\,cm\,\times \,3%2C6\,\%2C\,cm$

$Aire_1\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,9%2C6\,\times \,3%2C6$

$Aire_1\,=\,17%2C28\,\%2C\,cm^2$

2. Utilisation de la hauteur :

Une autre façon de trouver l’aire d’un triangle est d’utiliser une autre base et la hauteur correspondante. Prenons la base et la hauteur correspondante est alors .

Base $AC\,=\,72\,\%2C\,mm\,=\,7%2C2\,\%2C\,cm$

Hauteur $CE\,=\,4%2C8\,\%2C\,cm$

$Aire_2\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,7%2C2\,\%2C\,cm\,\times \,4%2C8\,\%2C\,cm$

$Aire_2\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,7%2C2\,\times \,4%2C8$

$Aire_2\,=\,17%2C28\,\%2C\,cm^2$

En conclusion, l’aire du triangle ABC est de $17%2C28\,\%2C\,cm^2$ , que l’on utilise la hauteur par rapport à la base ou la hauteur par rapport à la base .

Exercice 38 : calculer l’aire de cette figure
Pour déterminer l’aire de la surface jaune, il faut calculer l’aire du triangle DEF et soustraire l’aire des deux demi-cercles.

1. Calcul de l’aire du triangle DEF :

La base DE est constituée de deux rayons de 2,4 cm chacun. Donc,
$DE\,=\,2\,\times \,2%2C4\,=\,4%2C8\,\%2C\,cm$

La hauteur issue de F mesure 9,6 cm. L’aire du triangle DEF est donc :
$A_{\triangle\,DEF}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4%2C8\,\times \,9%2C6$
$A_{\triangle\,DEF}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4%2C8\,\times \,9%2C6\,=\,23%2C04\,\%2C\,cm^2$

2. Calcul de l’aire des deux demi-cercles :

Le rayon de chaque demi-cercle est de 2,4 cm. L’aire d’un cercle complet est :

$A_{cercle}\,=\,\pi\,\times \,(\,2%2C4\,)^2\,=\,\pi\,\times \,5%2C76$

Puisque nous avons deux demi-cercles, leur aire totale est l’aire d’un cercle complet :

$A_{demi-cercles}\,=\,\pi\,\times \,5%2C76$
$A_{demi-cercles}\,\approx\,3%2C14\,\times \,5%2C76\,=\,18%2C10\,\%2C\,cm^2$

3. Calcul de l’aire de la surface jaune :

$A_{surface\,jaune}\,=\,A_{\triangle\,DEF}\,-\,A_{demi-cercles}$

$A_{surface\,jaune}\,=\,23%2C04\,-\,18%2C10$
$A_{surface\,jaune}\,=\,4%2C94\,\%2C\,cm^2$

En conclusion, l’aire de la surface jaune est environ $4%2C94\,\%2C\,cm^2$ .

Exercice 39 : surface de but au handballa
Pour calculer la surface de but, nous devons déterminer la surface des différentes parties qui la composent : le rectangle central et les deux quarts de disque aux extrémités.

1. Calcul de la surface du rectangle :
La longueur du rectangle est de $3\,\%2C\,m$ et la largeur est de $6\,%2B\,6\,=\,12\,\%2C\,m$ .

$A_rect\,=\,longueur\,\times \,largeur\,=\,3\,\%2C\,m\,\times \,12\,\%2C\,m\,=\,36\,\%2C\,m^2$

2. Calcul de la surface des quarts de disque :
Le rayon de chaque quart de disque est de $6\,\%2C\,m$ . La surface d’un disque entier de rayon est donnée par $\pi\,r^2$ , donc la surface d’un quart de disque est :

$A_quart\,=\,\frac{\pi\,r^2}{4}\,=\,\frac{\pi\,\times \,6^2}{4}\,=\,\frac{36\pi}{4}\,=\,9\pi\,\%2C\,m^2$

Comme il y a deux quarts de disque :

$A_2quart\,=\,2\,\times \,9\pi\,=\,18\pi\,\%2C\,m^2$

3. Surface totale de la zone de but :

$A_total\,=\,A_rect\,%2B\,A_2quart\,=\,36\,\%2C\,m^2\,%2B\,18\pi\,\%2C\,m^2$

4. Approximation en utilisant la valeur de $\pi\,\approx\,3.14159$ :

$A_total\,\approx\,36\,%2B\,18\,\times \,3.14159\,\approx\,36\,%2B\,56.54862\,\approx\,92.54862\,\%2C\,m^2$

5. Valeur approchée au centième près :

$A_total\,\approx\,92.55\,\%2C\,m^2$

Exercice 40 : calculer le périmètre
a. Calcul du périmètre du quadrilatère:

$P\,=\,4%2C3\,\%2C\,cm\,%2B\,1%2C7\,\%2C\,cm\,%2B\,3%2C7\,\%2C\,cm\,%2B\,4%2C6\,\%2C\,cm$

$P\,=\,4%2C3\,%2B\,1%2C7\,%2B\,3%2C7\,%2B\,4%2C6$

$P\,=\,14%2C3\,\%2C\,cm$

b. Calcul du périmètre du quadrilatère:

$P\,=\,4%2C3\,\%2C\,cm\,%2B\,1%2C4\,\%2C\,cm\,%2B\,5%2C2\,\%2C\,cm\,%2B\,6%2C1\,\%2C\,cm$

$P\,=\,4%2C3\,%2B\,1%2C4\,%2B\,5%2C2\,%2B\,6%2C1$

$P\,=\,17%2C0\,\%2C\,cm$

Voir Corrigés 31 à 40 ...

Exercice 41 : calcul de périmètre
Pour calculer le périmètre du polygone ABCDE, nous devons ajouter les longueurs de tous les côtés. Commençons par convertir toutes les longueurs dans une même unité, par exemple en millimètres (mm).

Les longueurs données sont :
– $AB\,=\,2\,\%2C\,cm$
– $BC\,=\,23\,\%2C\,mm$
– $CD\,=\,12\,\%2C\,mm$
– $DE\,=\,1\,\%2C\,cm$
– : non spécifiée, mais on peut supposer que la longueur indiquée pour AE couvre la même distance.

Convertissons les centimètres en millimètres :
$2\,\%2C\,cm\,=\,2\,\times \,10\,=\,20\,\%2C\,mm$
$1\,\%2C\,cm\,=\,1\,\times \,10\,=\,10\,\%2C\,mm$

Maintenant, additionnons toutes les longueurs :
$AB\,%2B\,BC\,%2B\,CD\,%2B\,DE\,%2B\,EA\,=\,20\,\%2C\,mm\,%2B\,23\,\%2C\,mm\,%2B\,12\,\%2C\,mm\,%2B\,10\,\%2C\,mm\,%2B\,20\,\%2C\,mm$

Calculons cette somme :
$20\,%2B\,23\,%2B\,12\,%2B\,10\,%2B\,20\,=\,85\,\%2C\,mm$

Ainsi, le périmètre du polygone ABCDE est :
$85\,\%2C\,mm$

Exercice 42 : dimensions d’un ring
On suppose que le ring de boxe est de forme carrée et que chaque côté du ring est entouré par trois cordes.

La longueur totale de la corde utilisée est de 73,20 m pour les trois cordes $(L_{total})$ .

Soit la longueur du côté du ring.

La longueur totale de chaque corde est égale au périmètre du carré, soit (car un carré a 4 côtés égaux).

Puisque trois cordes entourent ce carré, la longueur totale de la corde est $3\,\times \,4x$ , soit 12x .

D’où l’équation suivante :
$12x\,=\,73%2C20$

Résolvons pour :
$x\,=\,\frac{73%2C20}{12}$

Divisons 73%2C20 par :
$x\,=\,6%2C10$

Ainsi, la longueur du côté du ring carré est de 6%2C10 mètres.

Exercice 43 : longueur de ruban
Pour calculer la longueur totale de ruban nécessaire pour la lettre P, il faut additionner les longueurs des contours extérieurs et intérieurs.

1. Calcul du contour extérieur :
Le contour extérieur de la lettre P est constitué de segments droits. Nous décomposerons le tour de la lettre en segments mesurables.

– Le segment en haut : 40 cm
– Le segment vertical gauche : 20 cm
– Le segment en bas : 40 cm
– Le segment vertical droit supérieur : 20 cm
– Le petit segment horizontal droit : 20 cm
– Le segment vertical droit inférieur : 20 cm

Total du contour extérieur :
$40\,\%2C\,cm\,%2B\,20\,\%2C\,cm\,%2B\,40\,\%2C\,cm\,%2B\,20\,\%2C\,cm\,%2B\,20\,\%2C\,cm\,%2B\,20\,\%2C\,cm\,=\,160\,\%2C\,cm$

2. Calcul du contour intérieur :
Le contour intérieur est un carré dont chaque côté mesure 20 cm.

Total du contour intérieur :
$4\,\times \,20\,\%2C\,cm\,=\,80\,\%2C\,cm$

3. Longueur totale du ruban :
$160\,\%2C\,cm\,\%2C\,(contour\,exterieur)\,%2B\,80\,\%2C\,cm\,\%2C\,(contour\,interieur)\,=\,240\,\%2C\,cm$

Donc, la longueur totale de ruban nécessaire est de 240 cm.

Exercice 44 : problème de la piscine
Pour calculer la longueur de la clôture, nous devons tout d’abord déterminer les dimensions de la clôture.

La piscine mesure mètres de long et mètres de large. La clôture est placée à 3{%2C}5 mètres des bords de la piscine.

Ainsi, pour la longueur de la clôture, nous devons ajouter 3{%2C}5 mètres des deux côtés de la longueur de la piscine. Cela donne:

$9\,%2B\,2\,\times \,3{%2C}5\,=\,9\,%2B\,7\,=\,16\,\,metres$

Pour la largeur de la clôture, nous devons ajouter 3{%2C}5 mètres des deux côtés de la largeur de la piscine. Cela donne:

$5\,%2B\,2\,\times \,3{%2C}5\,=\,5\,%2B\,7\,=\,12\,\,metres$

Par conséquent, les dimensions de la clôture sont $16\,\,metres$ de long et $12\,\,metres$ de large. Pour la longueur totale de la clôture, nous devons calculer le périmètre du rectangle formé par ces dimensions:

$2\,\times \,(16\,%2B\,12)\,=\,2\,\times \,28\,=\,56\,\,metres$

Ainsi, la longueur totale de la clôture est de mètres.

Exercice 45 : aire et périmètre d’une figure
Soient O_1 et O_2 les centres des cercles de gauche et de droite.

$AB\,=\,CD\,=\,6\,\%2C\,cm%2C\,\quad\,AD\,=\,BC\,=\,4\,\%2C\,cm$

Pour trouver le rayon des cercles, nous pouvons utiliser la géométrie de la figure. Le rectangle ABCD est inscrit dans les deux cercles avec parallèle à et parallèle à .

Le diamètre des cercles est la diagonale du rectangle ABCD . Calculons cette diagonale.

La longueur de la diagonale (ou ) est donnée par le théorème de Pythagore :

$AC^2\,=\,AB^2\,%2B\,AD^2$

Donc,

$AC\,=\,\sqrt{AB^2\,%2B\,AD^2}\,=\,\sqrt{6^2\,%2B\,4^2}\,=\,\sqrt{36\,%2B\,16}\,=\,\sqrt{52}\,=\,2\sqrt{13}\,\%2C\,cm$

Le diamètre des cercles est égal à $2\sqrt{13}\,\%2C\,cm$ , donc le rayon de chaque cercle est :

$R\,=\,\frac{2\sqrt{13}}{2}\,=\,\sqrt{13}\,\%2C\,cm$

Ainsi, le rayon de chaque cercle est de $\sqrt{13}\,\%2C\,cm$ .

Exercice 46 : hauteur et aire du triangle

[a.]
\begin{itemize}
Hauteur = 2 cm
Côté (base) = 3 cm
Aire = $\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \, \text{cm}^2$

[b.]

Hauteur = 2 cm
Côté (base) = 2 cm
Aire = $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \, \text{cm}^2$

[c.]

Hauteur = 3 cm
Côté (base) = 4 cm
Aire = $\frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \, \text{cm}^2$

[d.]

Hauteur = 4 cm
Côté (base) = 3 cm
Aire = $\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \, \text{cm}^2$

[e.]

Hauteur = 2 cm
Côté (base) = 4 cm
Aire = $\frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \, \text{cm}^2$

\end{itemize}

« `latex
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Hauteur (cm)} \text{Côté (cm)} \text{Aire (\text{cm}^2)} \\
\hline
a 2 3 3 \\
\hline
b 2 2 2 \\
\hline
c 3 4 6 \\
\hline
d 4 3 6 \\
\hline
e 2 4 4 \\
\hline
\end{array}
« `

Exercice 47 : calcul de l’aire du’un triangle
Pour trouver l’aire du triangle RBC , nous utiliserons la formule de l’aire d’un triangle à partir de sa base et de sa hauteur. Remarquons que et sont perpendiculaires à et respectivement.

Nous avons :
$RB\,=\,12\,\%2C\,cm%2C\,\quad\,RC\,=\,8\,\%2C\,cm%2C\,\quad\,QC\,=\,3\,\%2C\,cm%2C\,\quad\,BQ\,=\,6\,\%2C\,cm$

On peut exprimer l’aire du triangle RBC de deux manières différentes :

1. En utilisant comme hauteur pour la base .
2. En utilisant comme hauteur pour la base .

### Méthode 1 : Hauteur et base

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,RC\,\times \,BQ$
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,8\,\%2C\,cm\,\times \,6\,\%2C\,cm$
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,48\,\%2C\,cm^2$
$Aire\,=\,24\,\%2C\,cm^2$

### Méthode 2 : Hauteur et base

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,RB\,\times \,QC$
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,12\,\%2C\,cm\,\times \,3\,\%2C\,cm$
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,36\,\%2C\,cm^2$
$Aire\,=\,18\,\%2C\,cm^2$

Il semble y avoir un conflit ici, donc nous devons vérifier notre méthode. En revérifiant les détails du schéma et les angles droits, nous devons nous rendre compte qu’il y a une erreur conceptuelle dans les étapes précédentes ou l’énoncé pourrait avoir des informations incorrectes. Il est alors crucial d’aborder l’énoncé avec une vérification visuelle plus analytique.

$En\,reverifiant\,l'aire\,correcte\,requise\,et\,les\,angles%2C\,la\,solution\,geometrique\,pourrait\,necessiter\,davantage\,de\,verifications\,de\,composants\,perpendiculaires\,bas\,et\,hauteur\,precise.\,Refaisons\,pour\,base\,association\,coherente\,et\,verifiable\,des\,formules\,et\,valeurs\,correctes.$

Exercice 48 : calcul de l’aire du parallélogramme
a.

Pour calculer l’aire du parallélogramme ABCD , nous décomposons la figure en triangles.

La hauteur du parallélogramme est de $6\,\%2C\,cm$ , et la base correspondante est $12\,\%2C\,cm$ .

L’aire d’un parallélogramme est donnée par :
$Aire\,=\,base\,\times \,hauteur$
Donc,
$Aire\,=\,12\,\%2C\,cm\,\times \,6\,\%2C\,cm\,=\,72\,\%2C\,cm^2$

Pour calculer l’aire de la quadrilatère, nous pouvons décomposer la figure en triangles et calculer l’aire de chaque triangle, puis faire la somme des aires.

Il y a deux triangles dans la figure. Nous avons les dimensions suivantes pour les bases et les hauteurs des triangles :

– Pour le triangle supérieur : base de $6\,\%2C\,cm$ et hauteur de $3\,\%2C\,cm$
– Pour le triangle inférieur : base de $2.5\,\%2C\,cm$ et hauteur de $6\,\%2C\,cm$

L’aire d’un triangle est donnée par :
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

Pour le triangle supérieur :
$Aire_{\triangle\,1}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,6\,\%2C\,cm\,\times \,3\,\%2C\,cm\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,18\,\%2C\,cm^2\,=\,9\,\%2C\,cm^2$

Pour le triangle inférieur :
$Aire_{\triangle\,2}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2.5\,\%2C\,cm\,\times \,6\,\%2C\,cm\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,15\,\%2C\,cm^2\,=\,7.5\,\%2C\,cm^2$

Donc, l’aire totale de la quadrilatère est :
$Aire_{totale}\,=\,Aire_{\triangle\,1}\,%2B\,Aire_{\triangle\,2}\,=\,9\,\%2C\,cm^2\,%2B\,7.5\,\%2C\,cm^2\,=\,16.5\,\%2C\,cm^2$

Ainsi, les aires des figures sont :
$\begin{align%2A}%0D%0Aa.\,%26\,\\,Aire\,=\,72\,\%2C\,cm^2\,\\%0D%0Ab.\,%26\,\\,Aire\,=\,16.5\,\%2C\,cm^2%0D%0A\end{align%2A}$

Exercice 49 : comparaison de deux aires
L’énoncé nous demande de comparer les aires des triangles $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,BCD$ , sachant que (AD) et (BC) sont parallèles.

Nous savons que:

– est parallèle à .
– $BC\,=\,10\,\%2C\,cm$ .
– $h\,=\,AD\,=\,5\,\%2C\,cm$ (les hauteurs des deux triangles par rapport à leurs bases respectives).

Pour trouver l’aire des triangles, nous utilisons la formule de l’aire d’un triangle:
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

Pour le triangle $\triangle\,ABC$ :
$Aire_{\triangle\,ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,BC\,\times \,h\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,10\,\%2C\,cm\,\times \,5\,\%2C\,cm\,=\,25\,\%2C\,cm^2$

Pour le triangle $\triangle\,BCD$ :
– La hauteur de ce triangle est également $h\,=\,5\,\%2C\,cm$
– La base $BC\,=\,10\,\%2C\,cm$ est la même.

Donc,
$Aire_{\triangle\,BCD}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,BC\,\times \,h\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,10\,\%2C\,cm\,\times \,5\,\%2C\,cm\,=\,25\,\%2C\,cm^2$

Par conséquent, les aires des triangles $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,BCD$ sont égales et valent chacune $25\,\%2C\,cm^2$ .

La raison pour laquelle ces aires sont égales est que les deux triangles partagent la même hauteur par rapport à leur base commune et que $AD\,\parallel\,BC$ . Les bases étant égales et les hauteurs étant égales, les aires doivent être égales également.

Exercice 50 : aire et périmètre de figure
a. Calcul de l’aire et du périmètre d’un rectangle de longueur 30 m et de largeur 20 m :

– Aire :
$A\,=\,longueur\,\times \,largeur\,=\,30\,\%2C\,m\,\times \,20\,\%2C\,m\,=\,600\,\%2C\,m^2$

– Périmètre :
$P\,=\,2\,\times \,(longueur\,%2B\,largeur)\,=\,2\,\times \,(30\,\%2C\,m\,%2B\,20\,\%2C\,m)\,=\,2\,\times \,50\,\%2C\,m\,=\,100\,\%2C\,m$

b. Calcul de l’aire et du périmètre d’un carré de côté 6 cm :

– Aire :
$A\,=\,cote\,\times \,cote\,=\,6\,\%2C\,cm\,\times \,6\,\%2C\,cm\,=\,36\,\%2C\,cm^2$

– Périmètre :
$P\,=\,4\,\times \,cote\,=\,4\,\times \,6\,\%2C\,cm\,=\,24\,\%2C\,cm$

c. Calcul de l’aire et du périmètre d’un parallélogramme donné :

Pour trouver l’aire du parallélogramme, nous devons calculer l’aire des deux triangles formés par la base et la hauteur.

– Aire du triangle rectangle gauche :
$A_{gauche}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,12\,\%2C\,cm\,\times \,5\,\%2C\,cm\,=\,30\,\%2C\,cm^2$

– Aire du triangle rectangle droit :
La base du triangle droit est $13\,\%2C\,cm$ et la hauteur est la même, $5\,\%2C\,cm$ .

$A_{droit}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,13\,\%2C\,cm\,\times \,5\,\%2C\,cm\,=\,32.5\,\%2C\,cm^2$

– Aire totale du parallélogramme:
$A\,=\,A_{gauche}\,%2B\,A_{droit}\,=\,30\,\%2C\,cm^2\,%2B\,32.5\,\%2C\,cm^2\,=\,62.5\,\%2C\,cm^2$

– Périmètre du parallélogramme:
$P\,=\,2\,\times \,(cote\,long\,%2B\,cote\,court)\,=\,2\,\times \,(13\,\%2C\,cm\,%2B\,12\,\%2C\,cm)\,=\,2\,\times \,25\,\%2C\,cm\,=\,50\,\%2C\,cm$

Voir Corrigés 41 à 50 ...

Exercice 51 : tracer la hauteur et calculer l’aire
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A%26\,Base\,en\,cm\,%26\,Hauteur\,en\,cm\,%26\,Aire\,en\,cm^2\,\\%0D%0A\hline%0D%0Aa.\,%26\,5\,%26\,3\,%26\,5\,\times \,3\,=\,15\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ab.\,%26\,3\,%26\,3\,%26\,3\,\times \,3\,=\,9\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ac.\,%26\,2\,%26\,7\,%26\,2\,\times \,7\,=\,14\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ad.\,%26\,4\,%26\,4\,%26\,4\,\times \,4\,=\,16\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Pour chaque parallélogramme, l’aire est calculée en multipliant la longueur de la base par la hauteur correspondante :

– Pour le parallélogramme , la base mesure 5 cm et la hauteur 3 cm, donc l’aire est :

$Aire\,=\,Base\,\times \,Hauteur\,=\,5\,\times \,3\,=\,15\,\%2C\,cm^2$

– Pour le parallélogramme , la base mesure 3 cm et la hauteur 3 cm, donc l’aire est :

$Aire\,=\,Base\,\times \,Hauteur\,=\,3\,\times \,3\,=\,9\,\%2C\,cm^2$

– Pour le parallélogramme , la base mesure 2 cm et la hauteur 7 cm, donc l’aire est :

$Aire\,=\,Base\,\times \,Hauteur\,=\,2\,\times \,7\,=\,14\,\%2C\,cm^2$

– Pour le parallélogramme , la base mesure 4 cm et la hauteur 4 cm, donc l’aire est :

$Aire\,=\,Base\,\times \,Hauteur\,=\,4\,\times \,4\,=\,16\,\%2C\,cm^2$

Exercice 52 : aires de parallélogrammes

[a.] Base = $7\,\%2C\,cm$
\\
Hauteur = $3\,\%2C\,cm$
\\
Aire = $7\,\times \,3\,=\,21\,\%2C\,cm^2$

[b.] Base = $6%2C5\,\%2C\,cm$
\\
Hauteur = $8\,\%2C\,cm$
\\
Aire = $6%2C5\,\times \,8\,=\,52\,\%2C\,cm^2$

[c.] Base = $10\,\%2C\,cm$
\\
Hauteur = $6\,\%2C\,cm$
\\
Aire = $10\,\times \,6\,=\,60\,\%2C\,cm^2$

[d.] Base = $10%2C5\,\%2C\,cm$
\\
Hauteur = $3%2C7\,\%2C\,cm$
\\
Aire = $10%2C5\,\times \,3%2C7\,=\,38%2C85\,\%2C\,cm^2$

Exercice 53 : parallélogramme et losange
Pour le parallélogramme ABCD, on a :

$Aire\,de\,\,ABCD\,=\,AB\,\times \,h\,=\,24\,\%2C\,cm^2$
où $AB\,=\,DC\,=\,8\,\%2C\,cm$ .

Ainsi,

$8\,\times \,h\,=\,24$

D’où

$h\,=\,\frac{24}{8}\,=\,3\,\%2C\,cm$

Pour le losange EFGH, on a :

$Aire\,de\,\,EFGH\,=\,\frac{EG\,\times \,FH}{2}\,=\,20\,\%2C\,cm^2$
où $EG\,=\,10\,\%2C\,cm$ .

Ainsi,

$\frac{10\,\times \,FH}{2}\,=\,20$

D’où

$10\,\times \,FH\,=\,40$

$FH\,=\,\frac{40}{10}\,=\,4\,\%2C\,cm$

Les longueurs inconnues sont donc :

$h\,=\,3\,\%2C\,cm$
$FH\,=\,4\,\%2C\,cm$

Exercice 54 : aide à la calculatrice
a.
$6\pi\,\approx\,18%2C84955592$
Arrondi au dixième : 18,8
Arrondi au millième : 18,850

b.
$15\,%2B\,\pi\,\approx\,18%2C14159265$
Arrondi au dixième : 18,1
Arrondi au millième : 18,142

c.
$\pi\,%2B\,4\,\approx\,7%2C14159265$
Arrondi au dixième : 7,1
Arrondi au millième : 7,142

d.
$20\,-\,3\pi\,\approx\,10%2C42477796$
Arrondi au dixième : 10,4
Arrondi au millième : 10,425

Exercice 55 : aire de disques et arrondis
\begin{align*}
\text{Pour le cercle a :} \\
\text{Rayon} = 4 \text{ cm}, \\
\text{Diamètre} = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}, \\
\text{Périmètre} = 2 \pi \times 4 = 8\pi \text{ cm}, \\
\text{Aire} = \pi \times 4^2 = 16\pi \text{ cm}^2. \\
\\
\text{Pour le cercle b :} \\
\text{Rayon} = 6 \text{ cm}, \\
\text{Diamètre} = 2 \times 6 = 12 \text{ cm}, \\
\text{Périmètre} = 2 \pi \times 6 = 12\pi \text{ cm}, \\
\text{Aire} = \pi \times 6^2 = 36\pi \text{ cm}^2. \\
\\
\text{Pour le cercle c :} \\
\text{Rayon} = 3.5 \text{ cm}, \\
\text{Diamètre} = 2 \times 3.5 = 7 \text{ cm}, \\
\text{Périmètre} = 2 \pi \times 3.5 = 7\pi \text{ cm}, \\
\text{Aire} = \pi \times 3.5^2 = 12.25\pi \text{ cm}^2. \\
\\
\text{Pour le cercle d :} \\
\text{Rayon} = 5.5 \text{ cm}, \\
\text{Diamètre} = 2 \times 5.5 = 11 \text{ cm}, \\
\text{Périmètre} = 2 \pi \times 5.5 = 11\pi \text{ cm}, \\
\text{Aire} = \pi \times 5.5^2 = 30.25\pi \text{ cm}^2. \\
\\
\text{Valeur arrondie au centième près de l’aire de la figure a :} \\
16\pi \approx 50.27 \text{ cm}^2. \\
\\
\text{Valeur tronquée au dixième du périmètre de la figure b :} \\
12\pi \approx 37.6 \text{ cm}. \\
\\
\text{Valeur arrondie au centième près du périmètre de la figure c :} \\
7\pi \approx 21.99 \text{ cm}.
\end{align*}

Exercice 56 : aire et périmètre d’un disque
a. d’un disque de rayon 6 cm.

Pour un disque de rayon , l’aire est donnée par la formule :
$A\,=\,\pi\,r^2$

Le périmètre (ou circonférence) est donné par la formule :
$P\,=\,2\,\pi\,r$

En utilisant $r\,=\,6\,\%2C\,cm$ :

$A\,=\,\pi\,\times \,6^2\,=\,36\pi\,\approx\,113%2C1\,\%2C\,cm^2$

$P\,=\,2\,\pi\,\times \,6\,=\,12\pi\,\approx\,37%2C7\,\%2C\,cm$

b. d’un disque de diamètre 5,2 cm.

Pour un disque de diamètre , le rayon est donné par :
$r\,=\,\frac{d}{2}$

En utilisant $d\,=\,5%2C2\,\%2C\,cm$ :

$r\,=\,\frac{5%2C2}{2}\,=\,2%2C6\,\%2C\,cm$

Maintenant, calculons l’aire et le périmètre :

$A\,=\,\pi\,\times \,2{%2C}6^2\,=\,6{%2C}76\pi\,\approx\,21%2C2\,\%2C\,cm^2$

$P\,=\,2\,\pi\,\times \,2{%2C}6\,=\,5{%2C}2\pi\,\approx\,16%2C3\,\%2C\,cm$

Exercice 57 : aire et périmètre d’un disque
a. La circonférence d’un cercle est donnée par la formule $C\,=\,2\pi\,r$ .

Pour un cercle de rayon $r\,=\,10$ cm:
$C\,=\,2\,\pi\,\times \,10$
$C\,\approx\,2\,\times \,3.14\,\times \,10$
$C\,\approx\,62.83\,\%2C\,cm$

b. L’aire d’un disque est donnée par la formule $A\,=\,\pi\,r^2$ .

Pour un disque de diamètre $d\,=\,4$ cm, soit un rayon $r\,=\,2$ cm:
$A\,=\,\pi\,\times \,2^2$
$A\,\approx\,3.14\,\times \,4$
$A\,\approx\,12.57\,\%2C\,cm^2$

c. L’aire d’un demi-cercle est la moitié de l’aire d’un disque complet, donnée par $A\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,r^2$ .

Pour un demi-cercle de rayon $r\,=\,8.6$ cm:
$A\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,\times \,8.6^2$
$A\,\approx\,\frac{1}{2}\,\times \,3.14\,\times \,73.96$
$A\,\approx\,116.23\,\%2C\,cm^2$

d. L’aire d’un quart de disque est le quart de l’aire d’un disque complet, donnée par $A\,=\,\frac{1}{4}\,\pi\,r^2$ .

Pour un quart de disque de diamètre $d\,=\,11$ cm, soit un rayon $r\,=\,5.5$ cm:
$A\,=\,\frac{1}{4}\,\pi\,\times \,5.5^2$
$A\,\approx\,\frac{1}{4}\,\times \,3.14\,\times \,30.25$
$A\,\approx\,23.76\,\%2C\,cm^2$

Exercice 58 : arrondi d’une aire
Soit $r\,=\,2%2C5$ cm le rayon du cercle. L’aire d’un cercle est donnée par la formule :

$A_{cercle}\,=\,\pi\,r^2$

Calculons d’abord l’aire du cercle complet :

$A_{cercle}\,=\,\pi\,\times \,(2%2C5\,\,cm)^2$
$A_{cercle}\,=\,\pi\,\times \,6%2C25\,\,cm^2$
$A_{cercle}\,\approx\,3%2C14\,\times \,6%2C25\,\,cm^2$
$A_{cercle}\,\approx\,19%2C63\,\,cm^2$

a. Le secteur circulaire représente un quart du cercle. Donc, l’aire du secteur est :

$A_{a}\,=\,\frac{1}{4}\,A_{cercle}$
$A_{a}\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,19%2C63\,\,cm^2$
$A_{a}\,\approx\,4%2C91\,\,cm^2$

b. Le secteur semi-circulaire représente la moitié du cercle. Donc, l’aire du secteur est :

$A_{b}\,=\,\frac{1}{2}\,A_{cercle}$
$A_{b}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,19%2C63\,\,cm^2$
$A_{b}\,\approx\,9%2C82\,\,cm^2$

c. Le secteur circulaire représente trois-quarts du cercle. Donc, l’aire du secteur est :

$A_{c}\,=\,\frac{3}{4}\,A_{cercle}$
$A_{c}\,=\,\frac{3}{4}\,\times \,19%2C63\,\,cm^2$
$A_{c}\,\approx\,14%2C72\,\,cm^2$

Les valeurs approchées au centième de l’aire de chaque secteur sont donc :

– pour la figure a : $4%2C91\,\,cm^2$
– pour la figure b : $9%2C82\,\,cm^2$
– pour la figure c : $14%2C72\,\,cm^2$

Exercice 59 : aire et périmètre de figure
$Figure\,a\,%3A\,Aire$

La figure a est composée de deux demi-cercles et d’un rectangle. Calculons d’abord l’aire de chaque partie et ensuite la sommation de celles-ci.

1. Aire du rectangle:
$Aire_{rect}\,=\,longueur\,\times \,largeur\,=\,90\,\%2C\,m\,\times \,65\,\%2C\,m\,=\,5850\,\%2C\,m^2$

2. Aire des demi-cercles:
Le diamètre des cercles est $65\,\%2C\,m$ , donc le rayon est $\frac{65}{2}\,=\,32%2C5\,\%2C\,m$ .
$Aire_{cercle\,entier}\,=\,\pi\,r^2\,=\,\pi\,(32%2C5)^2$
$Aire_{deux\,demi-cercles}\,=\,\pi\,(32%2C5)^2$
$Aire_{deux\,demi-cercles}\,=\,\pi\,\times \,(32%2C5)^2\,=\,\pi\,\times \,1056.25\,=\,1056.25\,\pi\,\%2C\,m^2$

Aire totale de la figure a:
$Aire_{total}\,=\,Aire_{rect}\,%2B\,Aire_{deux\,demi-cercles}\,=\,5850\,\%2C\,m^2\,%2B\,1056.25\,\pi\,\%2C\,m^2$
$Aire_{total}\,=\,5850\,%2B\,1056.25\,\pi\,\%2C\,m^2$

$Figure\,b\,%3A\,Perimetre$

La figure b est composée d’un demi-cercle et d’un rectangle. Calculons le périmètre de chaque partie:

1. Périmètre du demi-cercle:
Le diamètre est $70\,\%2C\,cm$ , donc le rayon est $\frac{70}{2}\,=\,35\,\%2C\,cm$ .
$Perimetre_{demi-cercle}\,=\,\pi\,\times \,r\,=\,\pi\,\times \,35\,\%2C\,cm\,=\,35\,\pi\,\%2C\,cm$

2. Périmètre du rectangle (sans les côtés touchant le demi-cercle):
Les côtés verticaux du rectangle sont chacun $70\,\%2C\,cm$ , donc :
$Perimetre_{rectangle}\,=\,70\,\%2C\,cm\,%2B\,70\,\%2C\,cm\,=\,140\,\%2C\,cm$

Périmètre total de la figure b:
$Perimetre_{total}\,=\,Perimetre_{demi-cercle}\,%2B\,Perimetre_{rectangle}\,=\,35\,\pi\,\%2C\,cm\,%2B\,140\,\%2C\,cm$
$Perimetre_{total}\,=\,140\,%2B\,35\,\pi\,\%2C\,cm$

Exercice 60 : aire d’une partie coloriée
Pour calculer l’aire de la partie colorée, nous devons trouver l’aire du demi-cercle et l’aire du carré, puis soustraire l’aire du triangle équilatéral.

La longueur du côté du carré ABCD (qui est aussi le diamètre du demi-cercle) est de 4m.

### Aire du demi-cercle
La formule de l’aire d’un cercle est
$A\,=\,\pi\,r^2$
où est le rayon. Dans ce cas, le rayon est la moitié du diamètre, soit 2m.
L’aire du demi-cercle est donc :
$A_{demi-cercle}\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,r^2\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,(2)^2\,=\,2\pi$

### Aire du carré
L’aire du carré est :
$A_{carre}\,=\,c^2$
où est la longueur d’un côté. Ici, $c\,=\,4m$ , donc:
$A_{carre}\,=\,(4)^2\,=\,16\,\,m^2$

### Aire du triangle équilatéral
Nous savons que le triangle a une base de 4m et une hauteur de 2m. La formule de l’aire d’un triangle est :
$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$
$A_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\,\times \,2\,=\,4\,\,m^2$

### Aire totale de la partie colorée
Pour trouver l’aire de la partie colorée, nous ajoutons l’aire du demi-cercle à l’aire du carré et soustrayons l’aire du triangle :
$A_{coloree}\,=\,A_{demi-cercle}\,%2B\,A_{carre}\,-\,A_{triangle}$
$A_{coloree}\,=\,2\pi\,%2B\,16\,-\,4$
$A_{coloree}\,=\,2\pi\,%2B\,12$

En arrondissant au centième,
$A_{coloree}\,\approx\,2\,\times \,3%2C14\,%2B\,12\,=\,6%2C28\,%2B\,12\,=\,18%2C28\,\,m^2$

L’aire de la partie colorée est donc approximativement 18,28 m².

Voir Corrigés 51 à 60 ...

Exercice 61 : calcul de l’aire d’une ensaïmada
Considérons que l’espacement entre chaque demi-cercle est constant et égal au rayon de chaque demi-cercle en question. Notons que chaque demi-cercle est en fait à une distance de 1 cm du précédent. Ainsi, pour chaque cercle de rayon $r\,=\,n\,\cdot\,1$ cm où

est le nombre de demi-cercles, nous allons accumuler progressivement la longueur de cette spirale.

Calculons la longueur totale des arcs formant la spirale jusqu’à ce que cette longueur excède 1 mètre $(100\,\,cm)$ .

Chaque demi-cercle de rayon a une longueur de $L\,=\,\pi\,\cdot\,r$ .

Ainsi, les longueurs cumulatives des arcs successifs sont :
$L_1\,=\,\pi\,\cdot\,1$
$L_2\,=\,\pi\,\cdot\,2$
$L_3\,=\,\pi\,\cdot\,3$
$\vdots$
$L_n\,=\,\pi\,\cdot\,n$

Nous voulons connaître la somme de ces longueurs pour laquelle $S\,\geq\,\,100\,\,cm$ :
$S\,=\,\pi\,\cdot\,(1\,%2B\,2\,%2B\,3\,%2B\,\ldots\,%2B\,n)$

Utilisons la formule de la somme des premiers entiers :
$\sum_{k=1}^n\,k\,=\,\frac{n(n%2B1)}{2}$

Ainsi,
$S\,=\,\pi\,\cdot\,\frac{n(n%2B1)}{2}$

Nous devons donc déterminer tel que :
$\pi\,\cdot\,\frac{n(n%2B1)}{2}\,\geq\,\,100$

Cela revient à résoudre l’inéquation suivante :
$\pi\,\cdot\,\frac{n(n%2B1)}{2}\,=\,100\,\implies\,n(n%2B1)\,=\,\frac{200}{\pi}$

Nous savons que $\pi\,\approx\,3.1416$ , donc,
$n(n%2B1)\,\approx\,\frac{200}{3.1416}\,\approx\,63.66$

En résolvant l’équation quadratique $n^2\,%2B\,n\,-\,63.66\,=\,0$ , nous obtenons les solutions :
$n\,=\,\frac{-1\,\pm\,\sqrt{1\,%2B\,4\,\cdot\,63.66}}{2}\,=\,\frac{-1\,\pm\,\sqrt{254.64}}{2}$

Approximons $\sqrt{254.64}\,\approx\,15.95$ ,

Donc,
$n\,\approx\,\frac{-1\,%2B\,15.95}{2}\,=\,7.475$

Nous arrondissons au prochain entier complet car doit être un entier, donc $n\,=\,8$ .

Par conséquent, à partir du 8ème demi-cercle, la longueur de la spirale dépasse 1 mètre.

Exercice 62 : aires des surfaces grisées
Pour toute question de géométrie, la clé est de comprendre les propriétés des figures et les formules d’aire correspondantes.

1. $Annulus\,(anneau\,circulaire)%3A$
– Rayon du grand cercle $R\,=\,3\,\%2C\,cm$
– Rayon du petit cercle $r\,=\,2\,\%2C\,cm$
– Aire du grand cercle $A_{grand}\,=\,\pi\,R^2\,=\,\pi\,(3)^2\,=\,9\pi\,\%2C\,cm^2$
– Aire du petit cercle $A_{petit}\,=\,\pi\,r^2\,=\,\pi\,(2)^2\,=\,4\pi\,\%2C\,cm^2$
– Aire de la région grisée $A_{grise}\,=\,A_{grand}\,-\,A_{petit}\,=\,9\pi\,-\,4\pi\,=\,5\pi\,\%2C\,cm^2$

2. $Triangle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FABC%22\,alt=%22ABC$ avec la hauteur : » align= »absmiddle » />
– Base $BC\,=\,60\,\%2C\,cm$
– Hauteur $DH\,=\,25\,\%2C\,cm$
– Aire du triangle $\Delta\,ABC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,BC\,\times \,DH\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,60\,\times \,25\,=\,750\,\%2C\,cm^2$

3. $Carre\,et\,cercle\,inscrit%3A$
– Côté du carré $a\,=\,7\,\%2C\,cm$
– Le cercle est inscrit dans le carré, donc le diamètre du cercle $d\,=\,a\,=\,7\,\%2C\,cm$
– Rayon du cercle $r\,=\,\frac{d}{2}\,=\,\frac{7}{2}\,=\,3.5\,\%2C\,cm$
– Aire du carré $A_{carre}\,=\,a^2\,=\,7^2\,=\,49\,\%2C\,cm^2$
– Aire du cercle $A_{cercle}\,=\,\pi\,r^2\,=\,\pi\,(3.5)^2\,=\,12.25\pi\,\%2C\,cm^2$
– Aire de la région grisée $A_{grise}\,=\,A_{carre}\,-\,A_{cercle}\,=\,49\,-\,12.25\pi\,\%2C\,cm^2$

En LaTeX, les calculs peuvent être formatés ainsi :

« `latex
1. \text{Annulus (anneau circulaire)} :
\begin{align*}
R = 3 \, \text{cm} \\
r = 2 \, \text{cm} \\
A_{\text{grand}} = \pi R^2 = \pi (3)^2 = 9\pi \, \text{cm}^2 \\
A_{\text{petit}} = \pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \, \text{cm}^2 \\
A_{\text{grisé}} = A_{\text{grand}} – A_{\text{petit}} = 9\pi – 4\pi = 5\pi \, \text{cm}^2
\end{align*}

2. \text{Triangle } \Delta ABC \text{ avec la hauteur } DH :
\begin{align*}
BC = 60 \, \text{cm} \\
DH = 25 \, \text{cm} \\
A_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times DH = \frac{1}{2} \times 60 \times 25 = 750 \, \text{cm}^2
\end{align*}

3. \text{Carré et cercle inscrit} :
\begin{align*}
a = 7 \, \text{cm} \\
d = a = 7 \, \text{cm} \\
r = \frac{d}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \, \text{cm} \\
A_{\text{carré}} = a^2 = 7^2 = 49 \, \text{cm}^2 \\
A_{\text{cercle}} = \pi r^2 = \pi (3.5)^2 = 12.25\pi \, \text{cm}^2 \\
A_{\text{grisé}} = A_{\text{carré}} – A_{\text{cercle}} = 49 – 12.25\pi \, \text{cm}^2
\end{align*}
« `

Exercice 63 : aire de la partie coloriée
i. Comparons l’aire du carré et la somme des aires des quatre demi-cercles.

L’aire du carré de côté $6\,\%2C\,cm$ est donnée par :
$A_{carre}\,=\,c^2\,=\,6^2\,=\,36\,\%2C\,cm^2$

Les demi-cercles sont construits avec un diamètre de $6\,\%2C\,cm$ , donc le rayon de chaque demi-cercle est :
$r\,=\,\frac{6}{2}\,=\,3\,\%2C\,cm$

L’aire d’un demi-cercle est donnée par :
$A_{demi-cercle}\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,r^2\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,(3)^2\,=\,\frac{9}{2}\,\pi\,\%2C\,cm^2$

La somme des aires des quatre demi-cercles est donc :
$A_{4\,demi-cercles}\,=\,4\,\times \,\frac{9}{2}\,\pi\,=\,18\,\pi\,\%2C\,cm^2$

ii. En déduire l’aire de la partie colorée.

L’aire de la partie colorée est obtenue en soustrayant l’aire des quatre demi-cercles de l’aire du carré :
$A_{coloree}\,=\,A_{carre}\,-\,A_{4\,demi-cercles}\,=\,36\,-\,18\,\pi\,\%2C\,cm^2$

Ainsi, l’aire de la partie colorée est :
$A_{coloree}\,=\,36\,-\,18\,\pi\,\%2C\,cm^2$

Exercice 64 : aire de figures composées de disque
$Correction\,de\,l'exercice\,de\,mathematiques$

$i.\,Calcul\,de\,l'aire\,de\,la\,surface\,coloree\,(figure\,de\,gauche)$

Pour le cercle de diamètre $20\,\%2C\,cm$ :

$Rayon\,=\,\frac{20\,\%2C\,cm}{2}\,=\,10\,\%2C\,cm$

$Aire_{cercle}\,=\,\pi\,\times \,(10\,\%2C\,cm)^2\,=\,100\pi\,\%2C\,cm^2$

Pour le carré de côté $14\,\%2C\,cm$ :

$Aire_{carre}\,=\,(14\,\%2C\,cm)^2\,=\,196\,\%2C\,cm^2$

L’aire de la surface colorée est donc :

$Aire_{sur\,la\,surface}\,=\,Aire_{cercle}\,-\,Aire_{carre}\,=\,100\pi\,\%2C\,cm^2\,-\,196\,\%2C\,cm^2$

En approximant $\pi$ par 3,14 :

$Aire_{sur\,la\,surface}\,\approx\,314\,\%2C\,cm^2\,-\,196\,\%2C\,cm^2\,=\,118\,\%2C\,cm^2$

$ii.\,Calcul\,de\,l'aire\,de\,la\,surface\,coloree\,(figure\,de\,droite)$

Pour le grand cercle de diamètre $12\,\%2C\,cm$ :

$Rayon\,=\,\frac{12\,\%2C\,cm}{2}\,=\,6\,\%2C\,cm$

$Aire_{grand\,cercle}\,=\,\pi\,\times \,(6\,\%2C\,cm)^2\,=\,36\pi\,\%2C\,cm^2$

Pour les petits cercles de diamètre $4\,\%2C\,cm$ (chacun) :

$Rayon\,=\,\frac{4\,\%2C\,cm}{2}\,=\,2\,\%2C\,cm$

$Aire_{petit\,cercle}\,=\,\pi\,\times \,(2\,\%2C\,cm)^2\,=\,4\pi\,\%2C\,cm^2$

Il y a cinq petits cercles :

$Aire_{5\,petits\,cercles}\,=\,5\,\times \,4\pi\,\%2C\,cm^2\,=\,20\pi\,\%2C\,cm^2$

L’aire de la surface colorée est donc :

$Aire_{sur\,la\,surface}\,=\,Aire_{grand\,cercle}\,-\,Aire_{5\,petits\,cercles}\,=\,36\pi\,\%2C\,cm^2\,-\,20\pi\,\%2C\,cm^2\,=\,16\pi\,\%2C\,cm^2$

En approximant $\pi$ par 3,14 :

$Aire_{sur\,la\,surface}\,\approx\,16\,\times \,3%2C14\,\%2C\,cm^2\,=\,50%2C24\,\%2C\,cm^2$

Ainsi, les aires des surfaces colorées sont environ $118\,\%2C\,cm^2$ pour la figure de gauche et $50%2C24\,\%2C\,cm^2$ pour la figure de droite.

Exercice 65 : calculer l’aire du parallélogramme
Aire de la première figure:

Pour la première figure, on connaît la base et la hauteur .

$Base\,=\,AB\,=\,10$
$Hauteur\,=\,AH\,=\,15$

L’aire A_1 d’un parallélogramme est donnée par :
$A_1\,=\,Base\,\times \,Hauteur$
$A_1\,=\,10\,\times \,15\,=\,150$

Il est donc possible de calculer l’aire de cette figure : $A_1\,=\,150$ .

Aire de la deuxième figure:

Pour la deuxième figure, on connaît les longueurs des côtés, mais on ne connaît pas la hauteur ou l’angle entre les côtés. Par conséquent, il est impossible de calculer l’aire de cette figure avec les données fournies.

Aire de la troisième figure:

Pour la troisième figure, on connaît les bases et et la hauteur .

$Base\,=\,AB\,=\,7$
$Hauteur\,=\,AD\,=\,18$

L’aire A_3 d’un parallélogramme est donnée par :
$A_3\,=\,Base\,\times \,Hauteur$
$A_3\,=\,7\,\times \,18\,=\,126$

Il est donc possible de calculer l’aire de cette figure : $A_3\,=\,126$ .

En résumé:

– Première figure : Aire = 150
– Deuxième figure : Aire = Impossible
– Troisième figure : Aire = 126

Exercice 66 : aire de la figure bleue
Correction de l’exercice:

i. Calcul de l’aire:

1. Aire des carrés:
Il y a 8 carrés en tout, chacun ayant une aire de $3\,\,cm\,\times \,3\,\,cm\,=\,9\,\,cm^2$ .

L’aire totale des 8 carrés est :
$8\,\times \,9\,\,cm^2\,=\,72\,\,cm^2$

2. Aire des demi-cercles:
Le diamètre des demi-cercles est 24 cm, donc le rayon est :
$r\,=\,\frac{24\,\,cm}{2}\,=\,12\,\,cm$

L’aire d’un cercle entier est :
$\pi\,\times \,(12\,\,cm)^2\,=\,144\,\pi\,\,cm^2$

L’aire totale des deux demi-cercles (qui forment un cercle entier) est donc :
$144\,\pi\,\,cm^2$

3. Aire totale de la figure :
$Aire\,=\,72\,\,cm^2\,%2B\,144\,\pi\,\,cm^2$

ii. Calcul du périmètre:

1. Périmètre des carrés:
Chaque triangle a une base de 3 cm et une hauteur de 3 cm. En raison de leur disposition, seul le périmètre extérieur des carrés contribue au périmètre total. Compte tenu de l’alignement horizontal de 8 carrés, on a :

$3\,\,cm\,(haut)\,%2B\,3\,\,cm\,(bas)=\,6\,\,cm$

2. Longueur des demi-cercles:
La circonférence d’un cercle entier est :
$Perimetre\,du\,cercle\,=\,2\,\pi\,\times \,12\,\,cm\,=\,24\,\pi\,\,cm$

La longueur des deux demi-cercles est égale à la circonférence du cercle entier :
$24\,\pi\,\,cm$

3. Périmètre total :
$Perimetre\,=\,24\,\pi\,\,cm\,%2B\,6\,\,cm$

Résultats finaux:

i. \text{Aire} = 72 \text{ cm}^2 + 144 \pi \text{ cm}^2

ii. \text{Périmètre} = 24 \pi \text{ cm} + 6 \text{ cm}

Exercice 67 : aire et périmètre de la spirale
i. Calcul de l’aire:

L’aire de la figure est la somme de l’aire du carré et de l’aire des quatre quarts de cercle.

L’aire du carré $A_{carre}$ est donnée par :
$A_{carre}\,=\,c^2$
où est le côté du carré.

Donc,
$A_{carre}\,=\,5^2\,=\,25\,\%2C\,cm^2$

L’aire totale du cercle formé par les quatre quarts de cercle $A_{cercle}$ est :
$A_{cercle}\,=\,\pi\,r^2$
où est le rayon du cercle. Ici, chaque quartier de cercle a un rayon de 5 cm.

Donc,
$A_{cercle}\,=\,\pi\,\times \,5^2\,=\,25\pi\,\%2C\,cm^2$

L’aire des quatre quarts de cercle $A_{quarts}$ :
$A_{quarts}\,=\,A_{cercle}\,-\,A_{carre}\,=\,25\pi\,-\,25$

Donc, l’aire totale de la figure est:
$A_{total}\,=\,A_{carre}\,%2B\,A_{quarts}\,=\,25\,%2B\,(25\pi\,-\,25)\,=\,25\pi\,\%2C\,cm^2$

ii. Calcul du périmètre:

Le périmètre de la figure est la somme du périmètre du carré qui se trouve à l’intérieur et des quatre arcs de cercles.

Le périmètre du carré $P_{carre}$ est :
$P_{carre}\,=\,4c$
où est le côté du carré.

Donc,
$P_{carre}\,=\,4\,\times \,5\,=\,20\,\%2C\,cm$

Cependant, ce périmètre est complètement inclus dans la figure et n’entrera pas dans le calcul du périmètre externe. Le périmètre externe est composé de 4 quarts de cercle et ce périmètre externe est un cercle complet.

Le périmètre des 4 quarts de cercles est donc:
$P_{quarts}\,=\,2\pi\,r\,=\,2\pi\,\times \,5\,=\,10\pi\,\%2C\,cm$

Donc, le périmètre total de la figure est:
$P_{total}\,=\,10\pi\,\%2C\,cm$

Exercice 68 : calculs de l’aire de triangles
Correction de l’exercice:

Pour déterminer l’aire d’un triangle, nous avons besoin de connaître la base et la hauteur correspondante.

1. $Premiere\,figure\,%3A$
– Les longueurs données sont 3, 4, 5, 6 et 9.
– Les segments 3 et 4 ne correspondent pas à la même base-hauteur donc nous ne pouvons pas calculer l’aire avec seulement ces informations.

2. $Deuxieme\,figure\,%3A$
– La base $AC\,=\,7$
– La hauteur relative à cette base $BC\,=\,4$ .
– L’aire du triangle se calcule comme suit :

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,7\,\times \,4\,=\,14$

3. $Troisieme\,figure\,%3A$
– La base $AB\,=\,8%2C5$
– La hauteur relative à cette base est $2%2B1%2C5\,=\,3%2C5$ (donc la hauteur ).

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,8%2C5\,\times \,3%2C5\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,29%2C75\,=\,14%2C875$

Exercice 69 : calcul de l’aire et périmètre de portion de disque
i. Calcul de l’aire de chaque figure.

Pour le premier secteur circulaire de rayon $R\,=\,12\,\,cm$ , l’angle est $90^\circ$ :

$Aire\,=\,\frac{\theta}{360^\circ}\,\times \,\pi\,R^2\,=\,\frac{90^\circ}{360^\circ}\,\times \,\pi\,\times \,12^2\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,\pi\,\times \,144\,=\,36\pi\,\,cm^2$

Pour le deuxième secteur circulaire de rayon $R\,=\,8\,\,cm$ , l’angle est $90^\circ$ :

$Aire\,=\,\frac{\theta}{360^\circ}\,\times \,\pi\,R^2\,=\,\frac{90^\circ}{360^\circ}\,\times \,\pi\,\times \,8^2\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,\pi\,\times \,64\,=\,16\pi\,\,cm^2$

Pour le troisième secteur circulaire de rayon $R\,=\,7\,\,cm$ , l’angle est $120^\circ$ :

$Aire\,=\,\frac{\theta}{360^\circ}\,\times \,\pi\,R^2\,=\,\frac{120^\circ}{360^\circ}\,\times \,\pi\,\times \,7^2\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,\pi\,\times \,49\,=\,\frac{49\pi}{3}\,\,cm^2$

ii. Calcul du périmètre de chaque figure.

Pour le premier secteur circulaire de rayon $R\,=\,12\,\,cm$ , l’angle est $90^\circ$ :

$Perimetre\,=\,2R\,%2B\,arc\,de\,cercle\,=\,2\,\times \,12\,%2B\,\frac{\theta}{360^\circ}\,\times \,2\,\pi\,R\,=\,24\,%2B\,\frac{90^\circ}{360^\circ}\,\times \,2\,\pi\,\times \,12\,=\,24\,%2B\,\frac{1}{4}\,\times \,24\pi\,=\,24\,%2B\,6\pi\,\,cm$

Pour le deuxième secteur circulaire de rayon $R\,=\,8\,\,cm$ , l’angle est $90^\circ$ :

$Perimetre\,=\,2R\,%2B\,arc\,de\,cercle\,=\,2\,\times \,8\,%2B\,\frac{\theta}{360^\circ}\,\times \,2\,\pi\,R\,=\,16\,%2B\,\frac{90^\circ}{360^\circ}\,\times \,2\,\pi\,\times \,8\,=\,16\,%2B\,\frac{1}{4}\,\times \,16\pi\,=\,16\,%2B\,4\pi\,\,cm$

Pour le troisième secteur circulaire de rayon $R\,=\,7\,\,cm$ , l’angle est $120^\circ$ :

$Perimetre\,=\,2R\,%2B\,arc\,de\,cercle\,=\,2\,\times \,7\,%2B\,\frac{\theta}{360^\circ}\,\times \,2\,\pi\,R\,=\,14\,%2B\,\frac{120^\circ}{360^\circ}\,\times \,2\,\pi\,\times \,7\,=\,14\,%2B\,\frac{1}{3}\,\times \,14\pi\,=\,14\,%2B\,\frac{14\pi}{3}\,\,cm$

Exercice 70 : calcul de l’aire de triangle
Le triangle ABC est décomposé en deux triangles, ABI et ACI, où I est le milieu de [BC].

Pour calculer l’aire du triangle ABI :
$Aire(ABI)\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,Base\,\times \,Hauteur$

Dans ce cas, la base est BI et la hauteur est la même que celle du triangle ABC , notée h_A .

Sachant que I est le milieu de [BC], la longueur BI est la moitié de la longueur BC, soit :
$BI\,=\,\frac{BC}{2}$

Ainsi,
$Aire(ABI)\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\frac{BC}{2}\,\times \,h_A\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,BC\,\times \,h_A$

Pour calculer l’aire du triangle ACI :
$Aire(ACI)\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,Base\,\times \,Hauteur$

Dans ce cas, la base est CI et la hauteur est la même que celle du triangle ABC , notée h_A .

Sachant que I est le milieu de [BC], la longueur CI est aussi la moitié de la longueur BC, soit :
$CI\,=\,\frac{BC}{2}$

Ainsi,
$Aire(ACI)\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\frac{BC}{2}\,\times \,h_A\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,BC\,\times \,h_A$

On remarque donc que :
$Aire(ABI)\,=\,Aire(ACI)\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,BC\,\times \,h_A$

En conclusion, les aires des triangles ABI et ACI sont égales.

Voir Corrigés 61 à 70 ...

Exercice 71 : construire une figure contenant des cercles
Les deux cercles ont un rayon de 5 cm et sont tangents entre eux en et , avec $BC\,=\,2.5$ cm.

1. Calcul de la distance :
$AD\,=\,AB\,%2B\,BC\,%2B\,CD$
$AD\,=\,5\,\%2C\,cm\,%2B\,2.5\,\%2C\,cm\,%2B\,5\,\%2C\,cm$
$AD\,=\,12.5\,\%2C\,cm$

2. Périmètre du chemin:
Le chemin est constitué de deux demi-cercles et du segment . Le périmètre d’un cercle complet est $2\pi\,r$ , donc celui d’un demi-cercle est $\pi\,r$ .

$Perimetre\,des\,demi-cercles\,=\,\pi\,\times \,5\,\%2C\,cm\,%2B\,\pi\,\times \,5\,\%2C\,cm$
$Perimetre\,des\,demi-cercles\,=\,10\pi\,\%2C\,cm$

Ajoutons le segment :
$Perimetre\,total\,=\,10\pi\,\%2C\,cm\,%2B\,2.5\,\%2C\,cm$

$Perimetre\,total\,\approx\,31.42\,\%2C\,cm\,%2B\,2.5\,\%2C\,cm$

$Perimetre\,total\,\approx\,33.92\,\%2C\,cm$

Donc, la distance totale parcourue le long du chemin est approximativement 33.92 cm.

Exercice 72 : aire d’une zone bleue
Pour calculer l’aire de la zone bleue, nous devons additionner les aires des deux triangles rectangles qui la composent.

Commençons par le grand triangle rectangle avec une base de $5%2C8\%2Cm$ et une hauteur de $3%2C5\%2Cm$ .

L’aire A_1 de ce triangle est donnée par :
$A_1\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,5%2C8\,\times \,3%2C5$

Calculons :
$A_1\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,5%2C8\,\times \,3%2C5\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,20%2C3\,=\,10%2C15\%2Cm^2$

Ensuite, le petit triangle rectangle avec un côté de $2%2C8\%2Cm$ et une hauteur de $5%2C2\%2Cm$ .

L’aire A_2 de ce triangle est donnée par :
$A_2\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2%2C8\,\times \,5%2C2$

Calculons :
$A_2\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2%2C8\,\times \,5%2C2\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,14%2C56\,=\,7%2C28\%2Cm^2$

Enfin, l’aire totale de la zone bleue est la somme des deux aires :
$A\,=\,A_1\,%2B\,A_2\,=\,10%2C15\,%2B\,7%2C28\,=\,17%2C43\%2C\,m^2$

L’aire de la zone bleue est donc de $17%2C43\%2C\,m^2$ .

Exercice 73 : périmètre et aire d’une plaque métallique
a. Calculer le périmètre de la plaque métallique représentée ci-dessous.

Pour calculer le périmètre de la plaque métallique, nous devons additionner la longueur de tous ses côtés. Comme la plaque a une forme rectangulaire avec un triangle rectangle enlevé, nous pouvons déduire les longueurs nécessaires.

La longueur totale du bas est $2\,\,dm\,%2B\,1.5\,\,dm\,=\,3.5\,\,dm$ .

Les longueurs des côtés sont :
$3\,\,cotes\,de\,\,2\,\,dm%2C\,1\,cote\,de\,}\,1.5\,\,dm%2C\,\,et\,l'hypotenuse\,du\,\,triangle\,\,enleve\,de\,\,2.5\,\,dm.$

Le périmètre est donc :
$P\,=\,2\,\times \,2\,\,dm\,%2B\,1.5\,\,dm\,%2B\,2.5\,\,dm\,%2B\,3\,\,dm\,=\,11\,\,dm$

b. Calculer l’aire de la plaque métallique représentée ci-dessous.

L’aire de la plaque métallique est la somme de l’aire du rectangle initial moins l’aire du triangle rectangle enlevé.

L’aire du rectangle initial est :
$A\,rectangle\,=\,2\,\times \,(2\,%2B\,1.5)\,=\,2\,\times \,3.5\,=\,7\,\,dm^2$

L’aire du triangle rectangle est :
$A\,triangle\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,1.5\,\times \,2\,=\,1.5\,\,dm^2$

Donc, l’aire de la plaque métallique est :
$A\,=\,A\,rectangle\,-\,A\,triangle=\,7\,\,dm^2\,-\,1.5\,\,dm^2\,=\,5.5\,\,dm^2$

Exercice 74 : aire d’un morceau de tissus
Pour trouver l’aire d’un trapèze, nous utilisons la formule suivante :

$A\,=\,\frac{(B\,%2B\,b)\,\times \,h}{2}$

où est la grande base, est la petite base et est la hauteur.

Dans cet exercice, la grande base est $B\,=\,5\,\%2C\,m\,%2B\,1\,\%2C\,m\,=\,6\,\%2C\,m$ , la petite base est $b\,=\,5\,\%2C\,m$ , et la hauteur est $h\,=\,3\,\%2C\,m$ .

Calculons l’aire :

$A\,=\,\frac{(6\,%2B\,5)\,\times \,3}{2}$

$A\,=\,\frac{11\,\times \,3}{2}$

$A\,=\,\frac{33}{2}$

$A\,=\,16%2C5\,\%2C\,m^2$

L’aire de ce morceau de tissu est donc de $16%2C5\,\%2C\,m^2$ .

Exercice 75 : calculer l’aire des différents triangles
Pour calculer l’aire des différents triangles, nous utiliserons la formule de base :
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

$Pour\,le\,triangle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FABC%22\,alt=%22ABC$ : » align= »absmiddle » />
– Base $AB\,=\,8\,\%2C\,cm$
– Hauteur $BC\,=\,3%2C9\,\%2C\,cm$
$Aire_{ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,8\,\%2C\,cm\,\times \,3%2C9\,\%2C\,cm\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,31%2C2\,\%2C\,cm^2\,=\,15%2C6\,\%2C\,cm^2$

$Pour\,le\,triangle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FMNO%22\,alt=%22MNO$ : » align= »absmiddle » />
– Base $MN\,=\,6%2C3\,\%2C\,cm$ (car $MH\,=\,2\,\%2C\,cm$ et $HN\,=\,4%2C3\,\%2C\,cm$ )
– Hauteur $OH\,=\,5%2C2\,\%2C\,cm$
$Aire_{MNO}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,6%2C3\,\%2C\,cm\,\times \,5%2C2\,\%2C\,cm\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,32%2C76\,\%2C\,cm^2\,=\,16%2C38\,\%2C\,cm^2$

$Pour\,le\,triangle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FDEF%22\,alt=%22DEF$ : » align= »absmiddle » />
– Base $DE\,=\,16\,\%2C\,cm$
– Hauteur $FH\,=\,15\,\%2C\,cm$
$Aire_{DEF}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,16\,\%2C\,cm\,\times \,15\,\%2C\,cm\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,240\,\%2C\,cm^2\,=\,120\,\%2C\,cm^2$

Exercice 76 : un chapeau pour carnaval
Pour résoudre cet exercice, nous devons répondre à plusieurs questions successives :

1. $Calculer\,l'aire\,du\,triangle\,representant\,le\,chapeau\,%3A$

Le chapeau est représenté par un triangle isocèle de base 25 cm et de hauteur 12 cm.

L’aire d’un triangle est donnée par la formule :
$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

En appliquant les valeurs données :
$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,25\,\%2C\,cm\,\times \,12\,\%2C\,cm$
$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,300\,\%2C\,cm^2$
$A\,=\,150\,\%2C\,cm^2$

2. $Calculer\,la\,quantite\,de\,paillettes\,necessaire\,pour\,couvrir\,cette\,aire\,%3A$

On sait que 5 g de paillettes couvrent 20 cm². Nous devons déterminer combien de grammes de paillettes sont nécessaires pour couvrir 150 cm².

$\frac{5\,\%2C\,g}{20\,\%2C\,cm^2}\,=\,x\,\%2C\,g$
$x\,=\,\frac{5\,\%2C\,g}{20\,\%2C\,cm^2}\,\times \,150\,\%2C\,cm^2$
$x\,=\,\frac{5\,\times \,150}{20}\,\%2C\,g$
$x\,=\,\frac{750}{20}\,\%2C\,g$
$x\,=\,37.5\,\%2C\,g$

3. $Calculer\,le\,nombre\,de\,tubes\,de\,paillettes\,necessaires\,%3A$

Chaque tube de paillettes contient 5 g. Pour savoir combien de tubes sont nécessaires pour obtenir 37.5 g de paillettes:

$Nombre\,de\,tubes\,=\,\frac{37.5\,\%2C\,g}{5\,\%2C\,g%2Ftube}$
$Nombre\,de\,tubes\,=\,7.5$

Puisque le nombre de tubes doit être un nombre entier, Jeanne devra donc acheter 8 tubes de paillettes pour recouvrir entièrement le devant de son chapeau.

« `latex
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

Pour résoudre cet exercice, nous devons répondre à plusieurs questions successives :

1. Calculer l’aire du triangle représentant le chapeau :

Le chapeau est représenté par un triangle isocèle de base 25 cm et de hauteur 12 cm.

L’aire d’un triangle est donnée par la formule :
$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

En appliquant les valeurs données :
$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,25\,\%2C\,cm\,\times \,12\,\%2C\,cm$
$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,300\,\%2C\,cm^2$
$A\,=\,150\,\%2C\,cm^2$

2. Calculer la quantité de paillettes nécessaire pour couvrir cette aire :

On sait que 5 g de paillettes couvrent 20 cm². Nous devons déterminer combien de grammes de paillettes sont nécessaires pour couvrir 150 cm².

3. Calculer le nombre de tubes de paillettes nécessaires :

Chaque tube de paillettes contient 5 g. Pour savoir combien de tubes sont nécessaires pour obtenir 37.5 g de paillettes:

$Nombre\,de\,tubes\,=\,\frac{37.5\,\%2C\,g}{5\,\%2C\,g%2Ftube}$
$Nombre\,de\,tubes\,=\,7.5$

Puisque le nombre de tubes doit être un nombre entier, Jeanne devra donc acheter 8 tubes de paillettes pour recouvrir entièrement le devant de son chapeau.

\end{document}
« `

Exercice 77 : un jardin carré et du grillage
1. Pour entourer un jardin carré de 24 mètres de côté, M. Paul doit calculer le périmètre du carré, puis soustraire l’ouverture de 4 mètres, et enfin multiplier par le coût du grillage par mètre.

Le périmètre d’un carré est donné par $4\,\times \,cote$ .

$P\,=\,4\,\times \,24\,=\,96\,\,metres$

En tenant compte de l’ouverture de 4 mètres :

$P_{grillage}\,=\,96\,-\,4\,=\,92\,\,metres$

Le coût total du grillage est donc :

$Cout\,=\,92\,\times \,15\,=\,1380\,\,euros$

2. Pour déterminer le prix de vente du terrain de M. Albert, nous devons tout d’abord calculer l’aire de la parcelle. La forme de la parcelle est un quadrilatère que nous pouvons diviser en deux triangles rectangles pour faciliter le calcul.

Pour le premier triangle rectangle, avec des côtés de 2,5 m et 1,2 m :

$Aire_{triangle1}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2%2C5\,\times \,1%2C2\,=\,1%2C5\,\,m^2$

Pour le second triangle rectangle, avec des côtés de 2,5 m et 3,7 m :

$Aire_{triangle2}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2%2C5\,\times \,3%2C7\,=\,4%2C625\,\,m^2$

L’aire totale de la parcelle est donc :

$Aire_{totale}\,=\,1%2C5\,%2B\,4%2C625\,=\,6%2C125\,\,m^2$

Le prix de vente du terrain au prix de 18 € le mètre carré est :

$Prix\,de\,vente\,=\,6%2C125\,\times \,18\,=\,110%2C25\,\,euros$

Exercice 78 : aire d’une couronne
Sachant que $OC\,=\,4\,\%2C\,cm$ et $OB\,=\,2\,\%2C\,cm$ , on peut calculer l’aire de l’anneau en soustrayant l’aire du petit cercle de l’aire du grand cercle.

L’aire d’un cercle est donnée par la formule :
$A\,=\,\pi\,R^2$

Pour le grand cercle de rayon $OC\,=\,4\,\%2C\,cm$ :
$A_{grand}\,=\,\pi\,\times \,(4\,\%2C\,cm)^2\,=\,\pi\,\times \,16\,=\,16\pi\,\%2C\,cm^2$

Pour le petit cercle de rayon $OB\,=\,2\,\%2C\,cm$ :
$A_{petit}\,=\,\pi\,\times \,(2\,\%2C\,cm)^2\,=\,\pi\,\times \,4\,=\,4\pi\,\%2C\,cm^2$

L’aire de l’anneau est donc :
$A_{anneau}\,=\,A_{grand}\,-\,A_{petit}\,=\,16\pi\,\%2C\,cm^2\,-\,4\pi\,\%2C\,cm^2\,=\,12\pi\,\%2C\,cm^2$

En arrondissant au centième près, sachant que $\pi\,\approx\,3.14$ :
$A_{anneau}\,\approx\,12\,\times \,3.14\,=\,37.68\,\%2C\,cm^2$

Donc, l’aire de l’anneau est approximativement $37.68\,\%2C\,cm^2$ .

Exercice 79 : aire d’une zone
Pour calculer l’aire totale de la figure composée de trois cercles, nous utiliserons la formule de l’aire d’un cercle : $A\,=\,\pi\,r^2$ .

1. Le cercle de centre et de rayon $3\,\%3B\,cm$ :
$A_1\,=\,\pi\,\times \,(3)^2\,=\,9\pi$

2. Le cercle de centre et de rayon $2\,\%3B\,cm$ :
$A_2\,=\,\pi\,\times \,(2)^2\,=\,4\pi$

3. Le cercle de centre et de rayon $4\,\%3B\,cm$ :
$A_3\,=\,\pi\,\times \,(4)^2\,=\,16\pi$

L’aire totale de la figure est donc la somme des aires des trois cercles :
$A_{total}\,=\,A_1\,%2B\,A_2\,%2B\,A_3$
$A_{total}\,=\,9\pi\,%2B\,4\pi\,%2B\,16\pi$
$A_{total}\,=\,29\pi$

En utilisant la valeur approximative de $\pi\,\approx\,3.1416$ , nous obtenons :
$A_{total}\,\approx\,29\,\times \,3.1416$
$A_{total}\,\approx\,91.1064\,\%3B\,cm^2$

En arrondissant au dixième :
$A_{total}\,\approx\,91.1\,\%3B\,cm^2$

Ainsi, l’aire totale de la figure est $91.1\,\%3B\,cm^2$ .

Exercice 80 : calculer l’aire des disques
L’aire d’un disque est calculée en utilisant la formule $A\,=\,\pi\,r^2$ , où est le rayon du disque. Pour chaque disque, nous allons appliquer cette formule.

1. $Disque\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fn%255E%257Bo%257D1%22\,alt=%22n^{o}1$ » align= »absmiddle » />
$r\,=\,2\,\%2C\,cm$
$A\,=\,\pi\,r^2\,=\,\pi\,\times \,(2)^2\,=\,4\pi\,\approx\,12%2C6\,\%2C\,cm^2$

2. $Disque\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fn%255E%257Bo%257D2%22\,alt=%22n^{o}2$ » align= »absmiddle » />
$r\,=\,2\,\%2C\,cm$
$A\,=\,\pi\,r^2\,=\,\pi\,\times \,(2)^2\,=\,4\pi\,\approx\,12%2C6\,\%2C\,cm^2$

3. $Disque\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fn%255E%257Bo%257D3%22\,alt=%22n^{o}3$ » align= »absmiddle » />
$r\,=\,1%2C4\,\%2C\,cm$
$A\,=\,\pi\,r^2\,=\,\pi\,\times \,(1%2C4)^2\,\approx\,\pi\,\times \,1%2C96\,\approx\,6%2C2\,\%2C\,cm^2$

4. $Disque\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fn%255E%257Bo%257D4%22\,alt=%22n^{o}4$ » align= »absmiddle » />
$r\,=\,4%2C5\,\%2C\,cm$
$A\,=\,\pi\,r^2\,=\,\pi\,\times \,(4%2C5)^2\,\approx\,\pi\,\times \,20%2C25\,\approx\,63%2C6\,\%2C\,cm^2$

Les aires des disques, arrondies au dixième de cm², sont donc :
– Disque $n^{o}1$ : $12%2C6\,\%2C\,cm^2$
– Disque $n^{o}2$ : $12%2C6\,\%2C\,cm^2$
– Disque $n^{o}3$ : $6%2C2\,\%2C\,cm^2$
– Disque $n^{o}4$ : $63%2C6\,\%2C\,cm^2$

Voir Corrigés 71 à 80 ...

Exercice 81 : calculer l’aire de la partie coloriée
La partie colorée est une figure géométrique composée d’un rectangle et de deux demi-cercles.

1. $Calcul\,de\,l'aire\,du\,rectangle\,%3A$

La longueur du rectangle est de $6%2C5\,\%2C\,m$ et la largeur est de $2\,\%2C\,m$ .

$Aire\,du\,rectangle\,=\,longueur\,\times \,largeur$

$Aire\,du\,rectangle\,=\,6%2C5\,\times \,2\,=\,13\,\%2C\,m^2$

2. $Calcul\,de\,l'aire\,des\,deux\,demi-cercles\,%3A$

Le diamètre des demi-cercles est égal à la largeur du rectangle, c’est-à-dire $2\,\%2C\,m$ .
Le rayon est donc :

$r\,=\,\frac{2}{2}\,=\,1\,\%2C\,m$

La somme des aires de deux demi-cercles équivaut à l’aire d’un cercle entier de rayon $1\,\%2C\,m$ .

$Aire\,du\,cercle\,=\,\pi\,\times \,r^2$

$Aire\,des\,deux\,demi-cercles\,=\,\pi\,\times \,1^2\,=\,\pi\,\%2C\,m^2$

3. $Calcul\,de\,l'aire\,totale\,de\,la\,partie\,coloree\,%3A$

$Aire\,totale\,=\,Aire\,du\,rectangle\,%2B\,Aire\,des\,deux\,demi-cercles$

$Aire\,totale\,=\,13\,%2B\,\pi\,\%2C\,m^2$

En substituant la valeur approximative de $\pi$ ( $\pi\,\approx\,3%2C14$ ) :

$Aire\,totale\,\approx\,13\,%2B\,3%2C14\,=\,16%2C14\,\%2C\,m^2$

Ainsi, l’aire de la partie colorée est d’environ $16%2C14\,\%2C\,m^2$ .

Exercice 82 : calculer l’aire de la zone coloriée
L’aire de la partie colorée dans la figure donnée peut être trouvée en soustrayant l’aire des quatre quarts de cercles de l’aire totale du carré.

1. Calcul de l’aire totale du carré:
Le côté du carré est de 8 unités.
$Aire\,du\,carre\,=\,8\,\times \,8\,=\,64$

2. Calcul de l’aire d’un quart de cercle:
Le diamètre du cercle est égal à la largeur du rectangle, soit 4 unités. Donc, le rayon du cercle est de 2 unités.
L’aire d’un cercle entier est donnée par $\pi\,r^2$ .
$Aire\,d'un\,cercle\,entier\,=\,\pi\,\times \,2^2\,=\,4\pi$
L’aire d’un quart de cercle est:
$Aire\,d'un\,quart\,de\,cercle\,=\,\frac{4\pi}{4}\,=\,\pi$

3. Calcul de l’aire de quatre quarts de cercles:
$Aire\,de\,quatre\,quarts\,de\,cercles\,=\,4\,\times \,\pi\,=\,4\pi$

4. Calcul de l’aire de la partie colorée:
$Aire\,de\,la\,partie\,coloree\,=\,Aire\,du\,carre\,-\,Aire\,de\,quatre\,quarts\,de\,cercles$
$Aire\,de\,la\,partie\,coloree\,=\,64\,-\,4\pi$

L’aire de la partie colorée est donc donnée par:
$64\,-\,4\pi$

Exercice 83 : calculer le périmètre de ces cercles
Pour calculer la longueur (ou circonférence) d’un cercle, on utilise la formule suivante :

$C\,=\,2\,\pi\,r$

où est la circonférence et est le rayon du cercle. Dans cet exercice, il faut d’abord déterminer le rayon à partir du diamètre (ou rayon direct si donné), puis appliquer la formule. Nous allons ensuite donner la valeur exacte et une valeur approchée au centième près.

### Cercle n°1

Diamètre : $2\,\%2C\,cm$

Rayon :
$r\,=\,\frac{2}{2}\,=\,1\,\%2C\,cm$

Circonférence exacte :
$C\,=\,2\,\pi\,\times \,1\,=\,2\pi\,\%2C\,cm$

Valeur approchée au centième près :
$C\,\approx\,2\,\times \,3.14\,=\,6.28\,\%2C\,cm$

### Cercle n°2

Diamètre : $2\,\%2C\,cm$

Rayon :
$r\,=\,\frac{2}{2}\,=\,1\,\%2C\,cm$

Circonférence exacte :
$C\,=\,2\,\pi\,\times \,1\,=\,2\pi\,\%2C\,cm$

Valeur approchée au centième près :
$C\,\approx\,2\,\times \,3.14\,=\,6.28\,\%2C\,cm$

### Cercle n°3

Diamètre : $1.4\,\%2C\,cm$

Rayon :
$r\,=\,\frac{1.4}{2}\,=\,0.7\,\%2C\,cm$

Circonférence exacte :
$C\,=\,2\,\pi\,\times \,0.7\,=\,1.4\pi\,\%2C\,cm$

Valeur approchée au centième près :
$C\,\approx\,1.4\,\times \,3.14\,=\,4.40\,\%2C\,cm$

### Cercle n°4

Diamètre : $4.5\,\%2C\,cm$

Rayon :
$r\,=\,\frac{4.5}{2}\,=\,2.25\,\%2C\,cm$

Circonférence exacte :
$C\,=\,2\,\pi\,\times \,2.25\,=\,4.5\pi\,\%2C\,cm$

Valeur approchée au centième près :
$C\,\approx\,4.5\,\times \,3.14\,=\,14.13\,\%2C\,cm$

### Résumé des valeurs

– Cercle n°1 : $2\pi\,\%2C\,cm\,\approx\,6.28\,\%2C\,cm$
– Cercle n°2 : $2\pi\,\%2C\,cm\,\approx\,6.28\,\%2C\,cm$
– Cercle n°3 : $1.4\pi\,\%2C\,cm\,\approx\,4.40\,\%2C\,cm$
– Cercle n°4 : $4.5\pi\,\%2C\,cm\,\approx\,14.13\,\%2C\,cm$

Exercice 84 : convertir des surfaces

1. Recopie et complète.

[a)] $4 \ \text{dam}^2 = 4 \times 100 = 400 \ \text{m}^2$
[b)] $15 \ \text{hm}^2 = 15 \times 10^4 = 1\ 500\ 000 \ \text{m}^2$
[c)] $5,1 \ \text{cm}^2 = 5,1 \times 10^{-2} = 0,051\ \text{mm}^2$
[d)] $350 \ \text{mm}^2 = 350 \times 10^{-2} = 3,50 \ \text{cm}^2$
[e)] $5,2 \ \text{km}^2 = 5,2 \times 10^6 = 5\ 200\ 000 \ \text{m}^2$
[f)] $0,7 \ \text{m}^2 = 0,7 \times 10^{-2} = 7 \ \text{dm}^2$
[g)] $320 \ \text{a} = 320 \times 10^2 = 32\ 000 \ \text{m}^2$
[h)] $2,5 \ \text{ha} = 2,5 \times 10^4 = 25\ 000 \ \text{m}^2$ \newline
[i)] $15 \ 300 \ \text{mm}^2 = 15\ 300 \times 10^{-2} = 153 \ \text{cm}^2 = 153 \times 10^{-2} = 1,53 \ \text{m}^2$

2. Convertis les aires suivantes en m$^2$.

[a)] $2 \ \text{km}^2 = 2 \times 10^6 = 2\ 000\ 000 \ \text{m}^2$
[b)] $37\ 000 \ \text{dm}^2 = 3700 \ \text{m}^2$
[c)] $45\ 300 \ \text{mm}^2 = 45,3 \ \text{cm}^2 = 0,0453 \ \text{m}^2$
[d)] $153,7 \ \text{dam}^2 = 153,7 \times 10^2 = 15\ 370 \ \text{m}^2$
[e)] $28,9 \ \text{cm}^2 = 28,9 \times 10^{-4} = 0,00289 \ \text{m}^2$
[f)] $300,8 \ \text{hm}^2 = 30\ 080\ 000 \ \text{m}^2$
[g)] $52 \ \text{a} = 5200 \ \text{m}^2$
[h)] $0,05 \ \text{ha} = 500 \ \text{m}^2$
[i)] $200 \ \text{ha} = 200 \times 10^4 = 2\ 000\ 000 \ \text{m}^2$

3. Convertis les aires suivantes en cm$^2$.

[a)] $15 \ \text{mm}^2 = 0,150 \ \text{cm}^2$
[b)] $28 \ \text{dm}^2 = 2\ 800 \ \text{cm}^2$
[c)] $17\ 300 \ \text{m}^2 = 173 \times 10^4 = 1730\ 000\ \text{cm}^2$
[d)] $73,1 \ \text{m}^2 = 73,1 \times 10^4 = 731\ 000\ \text{cm}^2$
[e)] $0,004 \ \text{m}^2 = 400\ \text{cm}^2$
[f)] $27\ 008 \ \text{dam}^2 = 2708 \times 10^6 = 2708\ 000 000 \ \text{cm}^2$
[g)] $0,08 \ \text{mm}^2 = 0,008 \text{cm}^2$
[h)] $13 \ \text{a} = 13 \times 10^4 = 13\ 000 \ \text{cm}^2$
[i)] $0,0105 \ \text{a} =1\ 05\ \text{m}^2 = 1050 \ \text{cm}^2$

Exercice 85 : aire et disques imbriqués
Les plus petits disques ont un rayon $r\,=\,1\,\,cm$ .

Nous avons un grand disque et plusieurs petits disques à l’intérieur. Notons :
– le rayon du grand disque.
– le rayon des petits disques, soit 1 cm.

Calculons d’abord l’aire du grand disque :
$A_{grand\,disque}\,=\,\pi\,R^2$

Il y a sept petits disques de rayon 1 cm placés côte à côte. Les trois disques du milieu touchent le bord du grand disque, cela signifie que le diamètre du grand disque est égal à 6 fois le rayon d’un petit disque :
$2R\,=\,2r\,\times \,3\,=\,6\,\implies\,R\,=\,3\,\,cm$
$A_{grand\,disque}\,=\,\pi\,\times \,3^2\,=\,9\pi\,\,cm^2$

Calculons maintenant l’aire totale de tous les petits disques :
$A_{petits\,disques}\,=\,7\,\times \,(\pi\,\times \,1^2)\,=\,7\,\pi\,\,cm^2$

L’aire de la zone violette est donc la différence entre l’aire du grand disque et la somme des aires des petits disques :
$A_{zone\,violette}\,=\,A_{grand\,disque}\,-\,A_{petits\,disques}\,=\,9\pi\,-\,7\pi\,=\,2\pi\,\,cm^2$

En arrondissant au dixième de cm² :
$2\pi\,\approx\,6%2C3\,\,cm^2$

L’aire de la zone violette est donc $\approx\,6%2C3\,\,cm^2$ .

Exercice 86 : aires de secteurs angulaires
Pour calculer l’aire d’un secteur angulaire d’un cercle, on utilise la formule suivante :

$A\,=\,\pi\,r^2\,\times \,\frac{\theta}{360^\circ}$

où est l’aire du secteur, est le rayon du cercle, et $\theta$ est l’angle du secteur en degrés.

1. Pour le premier secteur avec un rayon de 6 cm et un angle de 40° :

$A_1\,=\,\pi\,\times \,6^2\,\times \,\frac{40}{360}$

Calculons ceci étape par étape :

$A_1\,=\,\pi\,\times \,36\,\times \,\frac{40}{360}$

$A_1\,=\,\pi\,\times \,36\,\times \,\frac{1}{9}$

$A_1\,=\,4\pi$

En utilisant $\pi\,\approx\,3.14$ :

$A_1\,\approx\,4\,\times \,3.14\,=\,12.56\,\%2C\,cm^2$

Arrondi au dixième :

$A_1\,\approx\,12.6\,\%2C\,cm^2$

2. Pour le deuxième secteur avec un rayon de 7 cm et un angle de 110° :

$A_2\,=\,\pi\,\times \,7^2\,\times \,\frac{110}{360}$

Calculons ceci étape par étape :

$A_2\,=\,\pi\,\times \,49\,\times \,\frac{110}{360}$

$A_2\,=\,49\pi\,\times \,\frac{11}{36}$

Simplifions :

$A_2\,\approx\,49\,\times \,3.14\,\times \,\frac{11}{36}$

$A_2\,\approx\,150.86\,\times \,\frac{11}{36}$

$A_2\,\approx\,150.86\,\times \,0.3056$

$A_2\,\approx\,46.13\%2C\,cm^2$

Arrondi au dixième :

$A_2\,\approx\,46.1\,\%2C\,cm^2$

3. Pour le troisième secteur avec un rayon de 4 cm et un angle de 115° :

$A_3\,=\,\pi\,\times \,4^2\,\times \,\frac{115}{360}$

Calculons ceci étape par étape :

$A_3\,=\,\pi\,\times \,16\,\times \,\frac{115}{360}$

$A_3\,=\,16\pi\,\times \,\frac{115}{360}$

Simplifions :

$A_3\,\approx\,16\,\times \,3.14\,\times \,\frac{115}{360}$

$A_3\,\approx\,50.24\,\times \,\frac{115}{360}$

$A_3\,\approx\,50.24\,\times \,0.3194$

$A_3\,\approx\,16.04\%2C\,cm^2$

Arrondi au dixième :

$A_3\,\approx\,16.0\,\%2C\,cm^2$

Les aires des trois secteurs sont donc approximativement :

$A_1\,\approx\,12.6\,\%2C\,cm^2$

$A_2\,\approx\,46.1\,\%2C\,cm^2$

$A_3\,\approx\,16.0\,\%2C\,cm^2$

Exercice 87 : calculer l’aire de ces figures
Pour la figure de gauche (le cercle de rayon $r\,=\,3\,\%2C\,cm$ ) :

L’aire d’un cercle est donnée par la formule :
$A\,=\,\pi\,r^2$
$r\,=\,\frac{3}{2}\,=\,1.5\,\%2C\,cm$
Donc :
$A\,=\,\pi\,\times \,(1.5)^2$
$A\,=\,\pi\,\times \,2.25$
$A\,\approx\,3.14\,\times \,2.25$
$A\,\approx\,7.07\,\%2C\,cm^2$

Pour la figure de droite (les deux cercles de rayons $r_1\,=\,4\,\%2C\,cm$ et $r_2\,=\,2\,\%2C\,cm$ ) :

L’aire totale est la somme des aires des deux cercles :
$A\,=\,\pi\,r_1^2\,%2B\,\pi\,r_2^2$
Pour le grand cercle :
$A_1\,=\,\pi\,(4)^2$
$A_1\,=\,\pi\,\times \,16$
$A_1\,\approx\,3.14\,\times \,16$
$A_1\,\approx\,50.24\,\%2C\,cm^2$

Pour le petit cercle :
$A_2\,=\,\pi\,(2)^2$
$A_2\,=\,\pi\,\times \,4$
$A_2\,\approx\,3.14\,\times \,4$
$A_2\,\approx\,12.56\,\%2C\,cm^2$

Donc, l’aire totale est :
$A\,=\,A_1\,%2B\,A_2$
$A\,=\,50.24\,%2B\,12.56$
$A\,\approx\,62.80\,\%2C\,cm^2$

Exercice 88 : périmètre et aires de figures
b. Pour déterminer le périmètre des deux figures, nous allons utiliser des approximations et des formules standards pour simplifier les calculs.

1. $Perimetre\,de\,la\,premiere\,figure\,(figure\,orange)\,%3A$

La première figure semble être composée de deux demi-cercles et d’un rectangle au milieu.

Le diamètre de chaque demi-cercle est de $\frac{10}{3}\,\%2C\,cm$ donc le rayon de chaque demi-cercle est :
$r\,=\,\frac{10}{6}\,=\,\frac{5}{3}\,\%2C\,cm$

Le périmètre d’un cercle complet est :
$2\pi\,r$

Donc le périmètre total des deux demi-cercles (équivalent à un cercle complet) est :
$2\pi\,(\frac{5}{3})\,=\,\frac{10\pi}{3}$

Le périmètre total de la figure orange est la somme du périmètre des demi-cercles et de la longueur des segments horizontaux du rectangle (qui forme la partie inférieure de la figure) :
$2(\frac{10}{3})\,%2B\,\frac{10\pi}{3}\,=\,\frac{20}{3}\,%2B\,\frac{10\pi}{3}\,\approx\,\frac{20\,%2B\,10\pi}{3}$

2. $Perimetre\,de\,la\,deuxieme\,figure\,(figure\,verte)\,%3A$

La deuxième figure consiste de deux arcs de cercle (chaque équivalent à un quart de cercle) et d’un carré au milieu de ces arcs.

Le rayon de chaque quart de cercle est $6\,\%2C\,cm$ , donc le périmètre total des deux quarts de cercle (équivalent à un demi cercle) est :
$2(\frac{1}{4}\times \,2\pi\,r)=\,\frac{\pi\,r}{2}=\,\frac{\pi\,(6)}{2}\,=\,3\pi$

Le périmètre total de la figure verte est donc la somme des longueurs du carré et des deux arcs de cercle :
$4(6)\,%2B\,3\pi\,=\,24\,%2B\,3\pi$

Comparons les deux périmètres:
$\frac{20\,%2B\,10\pi}{3}\,\approx\,\frac{20\,%2B\,31.4}{3}\,\approx\,17.8\,\%2C\,cm$
$24\,%2B\,3\pi\,\approx\,24\,%2B\,9.4\,=\,33.4\,\%2C\,cm$

La figure verte (b) a le plus grand périmètre.

c. Pour calculer les aires des deux figures :

1. $Aire\,de\,la\,premiere\,figure\,(figure\,orange)\,%3A$

L’aire de chaque demi-cercle est :
$\frac{1}{2}\pi\,r^2$

Donc l’aire totale des deux demi-cercles est :
$\pi\,(\frac{5}{3})^2\,=%0D%0A\pi\,(\frac{25}{9})\,=\,\frac{25\pi}{9}$

L’aire du rectangle au milieu est:
$(\,\frac{10}{3}\,\times \,\frac{10}{3})=\,(\frac{100}{9})$

L’aire de la figure orange est la somme des aires des deux demi-cercles et du rectangle:
$(\frac{25\pi}{9})\,%2B\,(\frac{100}{9})\,=\,\frac{25\,\pi\,%2B\,100}{9}$

2. $Aire\,de\,la\,deuxieme\,figure\,(figure\,verte)\,%3A$

L’aire de chaque quart de cercle est :
$\frac{1}{4}\pi\,r^2$

Donc l’aire totale des deux quarts de cercle (équivalent à un demi-cercle) est :
$\frac{1}{2}\pi\,r^2\,=\,\frac{1}{2}\pi\,(6)^2\,=\,18\pi$

L’aire du carré au centre est:
$6\,\times \,6\,=\,36$

L’aire totale de la figure verte est:
$18\pi\,%2B\,36$

Comparons les deux aires:
$\frac{25\pi\,%2B\,100}{9}\,\approx\,\frac{25\,(3.14)\,%2B\,100}{9}\,=\,\frac{178.5}{9}\approx\,19.83$
$18\,\pi\,%2B\,36\,\approx\,(18\,\cdot\,3.14)\,%2B\,36\,\approx\,56.52\,%2B\,36\,=\,92.5$