Calcul littéral : corrigés des exercices de maths en 5ème.

\[ a \times a = a^2 \]
\[ 1,5a = 1,5a \]
\[ \text{Aire totale} = a^2 + 1,5a \]

2) \( 4a + 3 \) représente le périmètre total de la figure.

\[ \text{Périmètre} = 2(a + 1,5) + 2(a) \]
\[ \text{Périmètre} = 2a + 3 + 2a = 4a + 3 \]

3) \( 2(1,5 + 2a) \) peut également représenter le périmètre total de la figure en utilisant une autre méthode, car chaque côté a pour longueur \( a \) ou \( 1,5 \).

\[ 2(1,5) + 2(2a) = 3 + 4a = 4a + 3 \]

4) \( a(1,5 + a) \) représente l’aire totale de la figure, mais sous une forme factorisée.

\[ a(1,5 + a) = a \times 1,5 + a \times a \]
\[ = 1,5a + a^2 \]

Exercice 12 : calcul de périmètre et calcul littéral
La figure donnée est une séquence de rectangles imbriqués les uns dans les autres. Pour trouver le périmètre de la figure, il faut additionner la somme des longueurs de tous les côtés externes de la figure. En décomposant le périmètre, nous avons :

– Les segments horizontaux \( a \), \( a \), et \( 2b \) en haut, \( b \), \( b \), et un segment inférieur de longueur \( a \).
– Les segments verticaux \( b \), \( 2b \), et \( a \) à droite, et \( a \), \( 2b \), et \( b \) à gauche.

Le périmètre total est donc la somme de ces segments :

\[
P = a + b + a + 2b + b + b + a + b + 2b + a + 2b + a
\]

En simplifiant, nous additionnons toutes les instances de \(a\) et de \(b\) :

\[
P = 6a + 8b
\]

La bonne réponse est donc : \( \boxed{6a + 8b} \), correspondant à l’option \( E \).

Exercice 13 : ecrire une expressions littérale
1. J’ai choisi un nombre \(x\), je lui ai ajouté sept et j’ai multiplié par deux le nombre obtenu.
Écrire en fonction de \(x\) le résultat obtenu.

\[
2(x + 7) = 2x + 14
\]

2. J’ai choisi un nombre \(a\). Je l’ai multiplié par huit et j’ai ajouté cinq au nombre obtenu.
Écrire en fonction de \(a\) le résultat obtenu.

\[
8a + 5
\]

3. Pierre a dépensé \(x\) euros. Luc a dépensé sept euros de moins que Pierre.
Donner la dépense de Luc en fonction de \(x\).

\[
x – 7
\]

4. Elise a dépensé \(y\) euros. Elise a dépensé huit euros de moins que Claire.
Donner la dépense de Claire en fonction de \(y\).

\[
y + 8
\]

Exercice 14 : clé usb et calcul littéral
1. Soit \( x \) le prix d’une clé USB en euros. Le prix d’un livre est \( x + 5 \) euros. Le prix de 3 livres est donc :
\[ 3 \times (x + 5) = 3x + 15 \text{ euros} \]

2. Le prix de 2 clés USB est \( 2 \times x = 2x \) euros et le prix de 4 livres est \( 4 \times (x + 5) = 4x + 20 \) euros. Donc, le prix total de 2 clés USB et 4 livres est :
\[ 2x + 4x + 20 = 6x + 20 \text{ euros} \]

Exercice 15 : simplifier des expressions littérales
\begin{align*}
1. \quad 3 \times x + 2 = 3x + 2 \\
2. \quad a \times a – 4 = a^2 – 4 \\
3. \quad 12 \times 8 + x = 96 + x \\
4. \quad 5 \times (x + 2) = 5x + 10
\end{align*}

Exercice 16 : substitution dans une expression littérale
Pour \( x = 1 \), effectuons les calculs suivants :

\[
A = -4x + 7
\]

En remplaçant \( x \) par 1 :

\[
A = -4(1) + 7 = -4 + 7 = 3
\]

\[
B = 3 + 4x – 6
\]

En remplaçant \( x \) par 1 :

\[
B = 3 + 4(1) – 6 = 3 + 4 – 6 = 1
\]

\[
C = 2(3x + 5)
\]

En remplaçant \( x \) par 1 :

\[
C = 2(3(1) + 5) = 2(3 + 5) = 2 \times 8 = 16
\]

\[
D = 5x^2 – 8x – 6
\]

En remplaçant \( x \) par 1 :

\[
D = 5(1)^2 – 8(1) – 6 = 5 \cdot 1 – 8 – 6 = 5 – 8 – 6 = -9
\]

En conclusion :

\[
A = 3
\]
\[
B = 1
\]
\[
C = 16
\]
\[
D = -9
\]

Exercice 17 : simple distributivité et calcul littéral
1. \( A = 7(x + 8) \)

\[
A = 7 \cdot x + 7 \cdot 8 = 7x + 56
\]

2. \( B = 7(x – 4) \)

\[
B = 7 \cdot x – 7 \cdot 4 = 7x – 28
\]

3. \( C = 8(x + 3) \)

\[
C = 8 \cdot x + 8 \cdot 3 = 8x + 24
\]

4. \( D = 6(y – 3) \)

\[
D = 6 \cdot y – 6 \cdot 3 = 6y – 18
\]

Exercice 18 : retrouver l’erreur
Julie a écrit :
\[ 5(x + 3) = 5x + 3. \]

Pour vérifier cette égalité, développons le membre de gauche :
\[ 5(x + 3) = 5 \cdot x + 5 \cdot 3 = 5x + 15. \]

Nous voyons que l’expression de Julie, \(5x + 3\), n’est pas correcte.

Marc a écrit :
\[ 5(x + 3) = 5x + 5 \times 3. \]

Pour vérifier cette égalité, développons le membre de gauche :
\[ 5(x + 3) = 5 \cdot x + 5 \cdot 3 = 5x + 15. \]

Nous voyons que l’expression de Marc, \(5x + 15\), est correcte.

Sonia a écrit :
\[ 5(x + 3) = 5x + 8. \]

Pour vérifier cette égalité, développons le membre de gauche :
\[ 5(x + 3) = 5 \cdot x + 5 \cdot 3 = 5x + 15. \]

Nous voyons que l’expression de Sonia, \(5x + 8\), n’est pas correcte.

Donc, c’est Marc qui a distribué correctement le 5.

Exercice 19 : quelle est la bonne expression
Pour chaque expression, il y a un seul bon développement. Voici la correction :

1. \( 8(a + 3) \)
La bonne réponse est \( 8a + 24 \).
\[
8(a + 3) = 8 \cdot a + 8 \cdot 3 = 8a + 24
\]
La bonne réponse est donc la Réponse B.

2. \( 5(x – 9) \)
La bonne réponse est \( 5x – 45 \).
\[
5(x – 9) = 5 \cdot x + 5 \cdot (-9) = 5x – 45
\]
La bonne réponse est donc la Réponse C.

3. \( \pi(4 + R) \)
La bonne réponse est \( 4\pi + \pi R \).
\[
\pi(4 + R) = \pi \cdot 4 + \pi \cdot R = 4\pi + \pi R
\]
La bonne réponse est donc la Réponse A.

Exercice 20 : calcul littéral et sciences physiques
1. La longueur du ressort lorsqu’on ne suspend pas d’objet (c’est-à-dire lorsque \( M = 0 \)) :

\[
L = 18 + 2 \times 0 = 18 \text{ cm}
\]

2. Calculer la longueur du ressort lorsqu’on suspend un objet de masse :

a. \(2 \text{ kg}\) :
\[
L = 18 + 2 \times 2 = 18 + 4 = 22 \text{ cm}
\]

b. \(1,5 \text{ kg}\) :
\[
L = 18 + 2 \times 1,5 = 18 + 3 = 21 \text{ cm}
\]

c. \(800 \text{ g} = 0,8 \text{ kg}\) :
\[
L = 18 + 2 \times 0,8 = 18 + 1,6 = 19,6 \text{ cm}
\]

Exercice 21 : rectangle et calcul littéral
a. \( E \) représente l’aire du rectangle.

En effet, l’aire d’un rectangle est donnée par la formule \( L \times l \), où \( L \) est la longueur et \( l \) est la largeur. Dans ce cas, la longueur est 8 et la largeur est \( x \). Donc :
\[ E = 8 \times x \]

\( F \) représente le périmètre du rectangle.

Le périmètre d’un rectangle est donné par la formule \( 2(L + l) \). Dans ce cas, \( L = 8 \) et \( l = x \). Donc :
\[ F = 2 \times (8 + x) = 2 \times 8 + 2 \times x = 16 + 2x \]

b. Calculons les valeurs de \( E \) et \( F \) pour \( x = 3 \) :

Pour \( E \) :
\[ E = 8 \times 3 = 24 \]

Pour \( F \) :
\[ F = 2 \times 3 + 16 = 6 + 16 = 22 \]

Pour \( x = 5 \) :

Pour \( E \) :
\[ E = 8 \times 5 = 40 \]

Pour \( F \) :
\[ F = 2 \times 5 + 16 = 10 + 16 = 26 \]

Donc, pour résumer :
– Pour \( x = 3 \), \( E = 24 \) et \( F = 22 \).
– Pour \( x = 5 \), \( E = 40 \) et \( F = 26 \).

Exercice 22 : géométrie et calcul littéral
\[\]Correction de l’exercice :\[\]

a. Les expressions données permettent de calculer les dimensions de la figure composée du carré et du triangle isocèle.

– \( A = x + 8 \) : Cette expression donne la base du triangle isocèle.
– \( B = 4x \) : Cette expression donne peut-être le périmètre du carré.
– \( C = 3x + 8 \) : Cette expression donne probablement la somme de la base du triangle isocèle et de 2 fois la hauteur du triangle.

b. Calculer les valeurs de \( A \), \( B \) et \( C \) pour \( x = 5 \), puis \( x = 2,5 \).

Pour \( x = 5 \) :
\[
A = 5 + 8 = 13
\]
\[
B = 4 \times 5 = 20
\]
\[
C = 3 \times 5 + 8 = 15 + 8 = 23
\]

Pour \( x = 2,5 \) :
\[
A = 2,5 + 8 = 10,5
\]
\[
B = 4 \times 2,5 = 10
\]
\[
C = 3 \times 2,5 + 8 = 7,5 + 8 = 15,5
\]

Exercice 23 : problème du menuisier
a. La planche rectangulaire initiale a une aire de:

\[ \mathcal{A}_{initiale} = 40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} = 1200 \text{ cm}^2 \]

On découpe quatre carrés identiques, chacun ayant une aire de:

\[ \mathcal{A}_{carré} = x \times x = x^2 \]

Comme il y a quatre carrés, l’aire totale découpée est:

\[ \mathcal{A}_{découpée} = 4 \times x^2 \]

L’aire de la plaque restante est alors:

\[ \mathcal{A} = \mathcal{A}_{initiale} – \mathcal{A}_{découpée} \]
\[ \mathcal{A} = 1200 \text{ cm}^2 – 4x^2 \]

Ainsi, l’aire de la plaque restante est bien:

\[ \mathcal{A} = 1200 – 4x^2 \]

b. Calculons cette aire pour les valeurs données de \( x \):

– Pour \( x = 4 \):

\[ \mathcal{A} = 1200 – 4 \times 4^2 \]
\[ \mathcal{A} = 1200 – 4 \times 16 \]
\[ \mathcal{A} = 1200 – 64 \]
\[ \mathcal{A} = 1136 \text{ cm}^2 \]

– Pour \( x = 6 \):

\[ \mathcal{A} = 1200 – 4 \times 6^2 \]
\[ \mathcal{A} = 1200 – 4 \times 36 \]
\[ \mathcal{A} = 1200 – 144 \]
\[ \mathcal{A} = 1056 \text{ cm}^2 \]

c. Examinons si \( x = 20 \) est possible:

\[ \mathcal{A} = 1200 – 4 \times 20^2 \]
\[ \mathcal{A} = 1200 – 4 \times 400 \]
\[ \mathcal{A} = 1200 – 1600 \]
\[ \mathcal{A} = -400 \text{ cm}^2 \]

Puisque l’aire ne peut pas être négative, \( x = 20 \) n’est pas une valeur possible pour \( x \).

Exercice 24 : problèmes de motifs
a. Pour trouver le nombre de petits carrés que le motif n°6 comporte, nous pouvons observer le modèle des motifs.

Les motifs suivent un modèle dans lequel le nombre de petits carrés augmente de manière régulière. Pour motif n°1, il y a \(5\) petits carrés (\(1 + 4 \)). Pour le motif n°2, il y a \(13\) petits carrés (\(1 + 3 \times 4 \)). Pour le motif n°3, il y a \(25\) petits carrés (\(1 + 5\times 4 \)).

Observons que pour chaque motif \( n \), il y a \( (2n + 1)^2 -4n\) petits carrés.

Pour le motif n°6:

\[
(6 \times 2 + 1)^2 – 4 \times 6 = (12+1)^2 – 24 = 13^2 – 24 = 169 -24 = 145 \text{ carrés}
\]

b. En général, le nombre de petits carrés dans le motif numéro \( n \) est donné par :

\[
(2n + 1)^2 – 4n
\]

c. Pour le motif n°100, nous appliquons la formule trouvée :

\[
(2 \times 100 + 1)^2 – 4 \times 100 = (200+1)^2 – 400 = 201^2 – 400 =40401 – 400 =20001 \text{ carrés}
\]

Exercice 25 : programme de calcul
1. Calculons le nombre obtenu pour chaque nombre de départ donné :

a. Si l’on choisit 5 comme nombre de départ :
\[
5 + 4 = 9
\]
\[
9 \times 5 = 45
\]
Donc, le nombre obtenu est 45.

b. Si l’on choisit 1,2 comme nombre de départ :
\[
1,2 + 4 = 5,2
\]
\[
5,2 \times 5 = 26
\]
Donc, le nombre obtenu est 26.

c. Si l’on choisit 0 comme nombre de départ :
\[
0 + 4 = 4
\]
\[
4 \times 5 = 20
\]
Donc, le nombre obtenu est 20.

d. Si l’on choisit 3,5 comme nombre de départ :
\[
3,5 + 4 = 7,5
\]
\[
7,5 \times 5 = 37,5
\]
Donc, le nombre obtenu est 37,5.

2. Notons \( n \) le nombre choisi au départ. Exprimons le résultat obtenu en fonction de \( n \) :
\[
n + 4
\]
\[
(n + 4) \times 5
\]
Donc, le résultat obtenu en fonction de \( n \) est \( 5(n + 4) \) ou en développant \( 5n + 20 \).

Exercice 26 : problème ouvert
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la formule donnée :
\[
d = k \times (\frac{v}{3,6})^2 + v \times 3,6
\]
où :
– \( d \) est la distance d’arrêt en mètres,
– \( v \) est la vitesse en kilomètres par heure,
– \( k \) est un nombre qui dépend des conditions météorologiques (pour beau temps, \( k = 0,08 \)).

Nous devons calculer la distance d’arrêt pour Maxime et pour Leïla.

### Pour Maxime:
– Vitesse (\( v \)) = 63 km/h
– \( k \) = 0,08 (beau temps)

\[
d = 0,08 \times (\frac{63}{3,6})^2 + 63 \times 3,6
\]

Calculons les termes un par un :

\[
\frac{63}{3,6} \approx 17,5
\]

\[
( \frac{63}{3,6} )^2 = 17,5^2 = 306,25
\]

\[
0,08 \times 306,25 = 24,5
\]

\[
63 \times 3,6 = 226,8
\]

Ainsi,

\[
d = 24,5 + 226,8 = 251,3
\]

Donc, la distance d’arrêt de Maxime est de 251,3 mètres.

### Pour Leïla :
– Vitesse (\( v \)) = 45 km/h
– \( k \) = 0,08 (beau temps)

\[
d = 0,08 \times ( \frac{45}{3,6} )^2 + 45 \times 3,6
\]

Calculons les termes un par un :

\[
\frac{45}{3,6} \approx 12,5
\]

\[
( \frac{45}{3,6} )^2 = 12,5^2 = 156,25
\]

\[
0,08 \times 156,25 = 12,5
\]

\[
45 \times 3,6 = 162
\]

Ainsi,

\[
d = 12,5 + 162 = 174,5
\]

Donc, la distance d’arrêt de Leïla est de 174,5 mètres.

### Conclusion :
Maxime parcourra 251,3 mètres avant de s’arrêter, tandis que Leïla parcourra 174,5 mètres. En tenant compte de ces distances, ni Maxime ni Leïla ne pourront s’arrêter à temps avant d’atteindre l’obstacle situé à 10 mètres.

Exercice 27 : programme de calcul
Programme 1 :
– Choisir un nombre \( n \).
– Ajouter 4 : \( n + 4 \).
– Multiplier par 3 : \( 3 \times (n + 4) = 3n + 12 \).

Programme 2 :
– Choisir un nombre \( n \).
– Multiplier par 3 : \( 3n \).
– Ajouter 4 : \( 3n + 4 \).

Expressions littérales correspondantes :
– Programme 1 : \( 3 \times (n + 4) = 3n + 12 \).
– Programme 2 : \( 3n + 4 \).

Exercice 28 : calcul mental
a. \( 13 \times 11 \)

\[
13 \times 11 = 13 \times (10 + 1) = 13 \times 10 + 13 \times 1 = 130 + 13 = 143
\]

b. \( 19 \times 11 \)

\[
19 \times 11 = 19 \times (10 + 1) = 19 \times 10 + 19 \times 1 = 190 + 19 = 209
\]

c. \( 15 \times 21 \)

\[
15 \times 21 = 15 \times (20 + 1) = 15 \times 20 + 15 \times 1 = 300 + 15 = 315
\]

d. \( 12 \times 31 \)

\[
12 \times 31 = 12 \times (30 + 1) = 12 \times 30 + 12 \times 1 = 360 + 12 = 372
\]

e. \( 43 \times 101 \)

\[
43 \times 101 = 43 \times (100 + 1) = 43 \times 100 + 43 \times 1 = 4300 + 43 = 4343
\]

f. \( 16 \times 1001 \)

\[
16 \times 1001 = 16 \times (1000 + 1) = 16 \times 1000 + 16 \times 1 = 16000 + 16 = 16016
\]

Exercice 29 : calcul mental
\( \text{a.} \ 25 \times 9 \)
\[
25 \times 9 = 225
\]

\( \text{b.} \ 16 \times 9 \)
\[
16 \times 9 = 144
\]

\( \text{c.} \ 9 \times 45 \)
\[
9 \times 45 = 405
\]

\( \text{d.} \ 17 \times 19 \)
\[
17 \times 19 = (17 \times 20) – (17 \times 1) = 340 – 17 = 323
\]

\( \text{e.} \ 35 \times 99 \)
\[
35 \times 99 = 35 \times (100 – 1) = (35 \times 100) – (35 \times 1) = 3500 – 35 = 3465
\]

\( \text{f.} \ 14 \times 999 \)
\[
14 \times 999 = 14 \times (1000 – 1) = (14 \times 1000) – (14 \times 1) = 14000 – 14 = 13986
\]

Exercice 30 : calcul mental
Pour \( a = 4 \):

a. \( 5 \times a + 8 \)

\[ 5 \times 4 + 8 = 20 + 8 = 28 \]

b. \( 10 – 2 \times a \)

\[ 10 – 2 \times 4 = 10 – 8 = 2 \]

c. \( 4 \times (a + 2) \)

\[ 4 \times (4 + 2) = 4 \times 6 = 24 \]

Exercice 31 : test d’égalité
a. \(8 \times x + 5 = 37\)
\[
8 \times 4 + 5 = 32 + 5 = 37
\]
L’égalité est vraie pour \( x = 4 \).

b. \(6 \times x – 3 = 7 \times x\)
\[
6 \times 4 – 3 = 24 – 3 = 21
\]
\[
7 \times 4 = 28
\]
L’égalité est fausse pour \( x = 4 \).

c. \(2 \times (x + 3) = 18 – x\)
\[
2 \times (4 + 3) = 2 \times 7 = 14
\]
\[
18 – 4 = 14
\]
L’égalité est vraie pour \( x = 4 \).

d. \(9 + 3 \times x = 5 \times x + 1\)
\[
9 + 3 \times 4 = 9 + 12 = 21
\]
\[
5 \times 4 + 1 = 20 + 1 = 21
\]
L’égalité est vraie pour \( x = 4 \).

Exercice 32 : calculer mentalement

[a.] \( n \times (n + 5) \)

En remplaçant \( n \) par 3 :
\[
3 \times (3 + 5) = 3 \times 8 = 24
\]

[b.] \( n \times (10 – n) \)

En remplaçant \( n \) par 3 :
\[
3 \times (10 – 3) = 3 \times 7 = 21
\]

[c.] \( n^2 \)

En remplaçant \( n \) par 3 :
\[
3^2 = 9
\]

[d.] \( n^3 \)

En remplaçant \( n \) par 3 :
\[
3^3 = 27
\]

[e.] \( 3 \times n^2 \)

En remplaçant \( n \) par 3 :
\[
3 \times 3^2 = 3 \times 9 = 27
\]

[f.] \( 5 + n^2 \)

En remplaçant \( n \) par 3 :
\[
5 + 3^2 = 5 + 9 = 14
\]

[g.] \( 2 \times n + 4 \times n^2 \)

En remplaçant \( n \) par 3 :
\[
2 \times 3 + 4 \times 3^2 = 2 \times 3 + 4 \times 9 = 6 + 36 = 42
\]

Exercice 33 : vérifier une égalité
Pour vérifier si l’égalité \( 3 \times x – 5 = x + 3 \) est vraie pour chacune des valeurs données:

\[\]a. \( x = 2 \)\[\]

\[
\begin{align*}
3 \times 2 – 5 = 2 + 3 \\
6 – 5 = 5 \\
1 \neq 5
\end{align*}
\]

L’égalité n’est pas vraie pour \( x = 2 \).

\[\]b. \( x = 4 \)\[\]

\[
\begin{align*}
3 \times 4 – 5 = 4 + 3 \\
12 – 5 = 7 \\
7 = 7
\end{align*}
\]

L’égalité est vraie pour \( x = 4 \).

\[\]c. \( x = 10 \)\[\]

\[
\begin{align*}
3 \times 10 – 5 = 10 + 3 \\
30 – 5 = 13 \\
25 \neq 13
\end{align*}
\]

L’égalité n’est pas vraie pour \( x = 10 \).

Donc, l’égalité \( 3 \times x – 5 = x + 3 \) est vraie uniquement pour \( x = 4 \).

Exercice 34 : substitutions
a. Pour \( x = 5 \):

\[
C = 3 \times (5 + 2) = 3 \times 7 = 21
\]

\[
D = 2 + 5 \times 5 = 2 + 25 = 27
\]

Donc, pour \( x = 5 \), \( C = 21 \) et \( D = 27 \).

b. Pour \( x = 1,5 \):

\[
C = 3 \times (1,5 + 2) = 3 \times 3,5 = 10,5
\]

\[
D = 2 + 5 \times 1,5 = 2 + 7,5 = 9,5
\]

Donc, pour \( x = 1,5 \), \( C = 10,5 \) et \( D = 9,5 \).

c. Pour \( x = 8 \):

\[
C = 3 \times (8 + 2) = 3 \times 10 = 30
\]

\[
D = 2 + 5 \times 8 = 2 + 40 = 42
\]

Donc, pour \( x = 8 \), \( C = 30 \) et \( D = 42 \).

d. Pour \( x = 0 \):

\[
C = 3 \times (0 + 2) = 3 \times 2 = 6
\]

\[
D = 2 + 5 \times 0 = 2 + 0 = 2
\]

Donc, pour \( x = 0 \), \( C = 6 \) et \( D = 2 \).

Exercice 35 : compléter les pointillés
a.
\[
\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}
\]

b.
\[
\frac{10}{25} = \frac{10 : 5}{25 : 5} = \frac{2}{5}
\]

c.
\[
\frac{9}{12} = \frac{9 : 3}{12 : 3} = \frac{3}{4}
\]

d.
\[
\frac{42}{14} = \frac{42 : 14}{14 : 14} = \frac{3}{1} = 3
\]

Exercice 36 : nombre de carrés bleus à chaque étape
Pour déterminer le nombre \( N \) de carrés bleus à l’étape \( n \), nous devons observer la construction des figures.

On note que le nombre de carrés augmente de manière structurée :

– À l’étape 1, il y a 1 carré.
– À l’étape 2, il y a 3 carrés.
– À l’étape 3, il y a 6 carrés.
– À l’étape 4, il y a 10 carrés.
– À l’étape 5, il y a 15 carrés.

Nous observons que ces nombres correspondent à la somme des \( n \) premiers entiers naturels. La formule pour la somme des \( n \) premiers entiers est donnée par :

\[ S_n = \frac{n(n+1)}{2} \]

En appliquant cette formule, nous pouvons trouver le nombre \( N \) de carrés bleus à l’étape \( n \) :

\[ N = \frac{n(n+1)}{2} \]

Pour vérifier, nous appliquerons cette formule aux premières étapes :
– Pour \( n = 1 \) :
\[ N = \frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \times 2}{2} = 1 \]
– Pour \( n = 2 \) :
\[ N = \frac{2(2+1)}{2} = \frac{2 \times 3}{2} = 3 \]
– Pour \( n = 3 \) :
\[ N = \frac{3(3+1)}{2} = \frac{3 \times 4}{2} = 6 \]
– Pour \( n = 4 \) :
\[ N = \frac{4(4+1)}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = 10 \]
– Pour \( n = 5 \) :
\[ N = \frac{5(5+1)}{2} = \frac{5 \times 6}{2} = 15 \]

Ainsi, la formule \( N = \frac{n(n+1)}{2} \) est correcte pour déterminer le nombre de carrés bleus à l’étape \( n \).

Exercice 37 : marie et le programme de calcul
Soit \( x \) le nombre choisi. Suivons le programme de calcul étape par étape:

1. Choisir un nombre \( x \).
2. Ajouter 4 :
\[
x + 4
\]
3. Multiplier par 7 :
\[
7(x + 4) = 7x + 28
\]
4. Ajouter le triple du nombre choisi au départ :
\[
7x + 28 + 3x = 10x + 28
\]
5. Soustraire 28 :
\[
10x + 28 – 28 = 10x
\]

La dernière expression \( 10x \) est toujours un multiple de 10, quel que soit \( x \). Donc, Marie a raison. En choisissant n’importe quel nombre \( x \) au départ, le résultat final sera toujours un multiple de 10.

Exercice 38 : deux programmes de calcul
1. \[\]Correction de l’exercice :\[\]

Pour comparer les deux programmes, appliquons chacun d’eux à un nombre quelconque \( x \).

\[\]Programme 1 :\[\]
\[
x \longrightarrow x + 7 \longrightarrow (x + 7) \times 8 = 8x + 56
\]

\[\]Programme 2 :\[\]
\[
x \longrightarrow x \times 8 \longrightarrow 8x + 56
\]

Nous remarquons que, dans les deux programmes, le résultat final est \( 8x + 56 \).

2. \[\]Remarque :\[\]

Pour tout nombre \( x \) choisi, les deux programmes aboutissent au même résultat final :
\[
8x + 56
\]

3. \[\]Justification de la remarque pour tous les nombres :\[\]

En examinant les étapes de chaque programme, nous voyons que, pour un nombre \( x \) donné, on obtient toujours \( 8x + 56 \), que ce soit par l’ajout de 7 suivi de la multiplication par 8 dans le Programme 1, ou par la multiplication par 8 suivi de l’ajout de 56 dans le Programme 2.

\[\]Démonstration :\[\]
\[
\text{Programme 1 :} \quad x \to x + 7 \to 8(x + 7) = 8x + 56
\]
\[
\text{Programme 2 :} \quad x \to 8x \to 8x + 56
\]

Pour tout \( x \) réel, les deux expressions \( 8(x + 7) \) et \( 8x + 56 \) sont équivalentes :
\[
8(x + 7) = 8x + 56
\]

Donc, peu importe le nombre \( x \) choisi, les résultats des deux programmes seront toujours égaux.