Calcul littéral : corrigés des exercices de maths en 5ème.

Exercice 1 : calcul littéral
a) Soit x le prix d’une BD. Le prix d’un CD, qui est de 2 euros de plus que celui d’une BD, sera:
x\,%2B\,2

b) Le prix d’un livre, qui coûte 2 euros de plus que celui d’un CD, sera:
(x\,%2B\,2)\,%2B\,2\,=\,x\,%2B\,4

c) Paul achète 4 CDs. Le prix total de ses achats est donc:
4(x\,%2B\,2)\,=\,4x\,%2B\,8

d) Louise achète 2 BD et 2 livres. Le prix total de ses achats est donc:
2x\,%2B\,2(x\,%2B\,4)\,=\,2x\,%2B\,2x\,%2B\,8\,=\,4x\,%2B\,8

e) Comparons les montants dépensés par Paul et Louise:
Paul a dépensé 4x\,%2B\,8 euros et Louise a également dépensé 4x\,%2B\,8 euros. Donc, ils ont tous deux dépensé la même somme.

En conclusion, Paul et Louise ont dépensé tous les deux la somme suivante:
4x\,%2B\,8

Exercice 2 : simplifier les expression littérales.
A\,%26=\,13xz\,=\,13\,\cdot\,x\,\cdot\,z\,=\,13x\,\cdot\,z%2C\,\\%0D%0AB\,%26=\,4\,\times  \,5\,=\,4\,\cdot\,5%2C\,\\%0D%0AC\,%26=\,(4\,-\,x)\,\times  \,3\,=\,(4\,-\,x)\,\cdot\,3%2C\,\\%0D%0AD\,%26=\,4\,\times  \,a\,\times  \,b\,=\,4a\,\cdot\,b%2C\,\\%0D%0AE\,%26=\,a\,\times  \,b\,%2B\,7\,\times  \,x\,%2B\,5\,=\,ab\,%2B\,7x\,%2B\,5%2C\,\\%0D%0AF\,%26=\,5\,\times  \,(x\,%2B\,3)\,=\,5(x\,%2B\,3)%2C\,\\%0D%0AG\,%26=\,x\,\times  \,(y\,%2B\,2)\,=\,x(y\,%2B\,2).\,\\

Exercice 3 : calculer une expression littérale .
L’expression donnée est E\,=\,7y\,-\,3.

Pour y\,=\,0 :
E\,=\,7\,\cdot\,0\,-\,3\,=\,-3

Pour y\,=\,3 :
E\,=\,7\,\cdot\,3\,-\,3\,=\,21\,-\,3\,=\,18

Pour y\,=\,1{%2C}2 :
E\,=\,7\,\cdot\,1{%2C}2\,-\,3\,=\,8{%2C}4\,-\,3\,=\,5{%2C}4

Exercice 4 : simplifier et réduire les expressions.
Pour simplifier et réduire les expressions littérales données :

A\,=\,x\,%2B\,2x\,%2B\,7x\,%2B\,9y\,%2B\,3x\,-\,5y
A\,=\,(x\,%2B\,2x\,%2B\,7x\,%2B\,3x)\,%2B\,(9y\,-\,5y)
A\,=\,13x\,%2B\,4y

B\,=\,5\,%2B\,2x\,%2B\,4\,%2B\,7x
B\,=\,(2x\,%2B\,7x)\,%2B\,(5\,%2B\,4)
B\,=\,9x\,%2B\,9

C\,=\,3t\,%2B\,4t\,%2B\,7t\,-\,5
C\,=\,(3t\,%2B\,4t\,%2B\,7t)\,-\,5
C\,=\,14t\,-\,5

D\,=\,2x\,%2B\,3\,%2B\,4x\,%2B\,2c\,%2B\,3\,\times  \,5x\,%2B\,11x^2
D\,=\,(2x\,%2B\,4x\,%2B\,3\,\times  \,5x)\,%2B\,11x^2\,%2B\,2c\,%2B\,3
D\,=\,(2x\,%2B\,4x\,%2B\,15x)\,%2B\,11x^2\,%2B\,2c\,%2B\,3
D\,=\,21x\,%2B\,11x^2\,%2B\,2c\,%2B\,3

E\,=\,25\,%2B\,5a\,%2B\,11\,%2B\,3a\,-\,a\,%2B\,5
E\,=\,(5a\,%2B\,3a\,-\,a)\,%2B\,(25\,%2B\,11\,%2B\,5)
E\,=\,7a\,%2B\,41

F\,=\,5%2C3\,%2B\,2\,\times  \,5x\,%2B\,3%2C2\,-\,3\,\times  \,2x\,-\,1%2C6
F\,=\,(2\,\times  \,5x\,-\,3\,\times  \,2x)\,%2B\,(5%2C3\,%2B\,3%2C2\,-\,1%2C6)
F\,=\,(10x\,-\,6x)\,%2B\,(5%2C3\,%2B\,3%2C2\,-\,1%2C6)
F\,=\,4x\,%2B\,6%2C9

Exercice 5 : périmètre d’un rectangle et calcul littéral.
Soit x la largeur du rectangle et 7 la hauteur du rectangle.

1. La longueur du rectangle, que nous noterons L, est égale à la largeur plus 3 fois la largeur c’est-à-dire x\,%2B\,x\,%2B\,x\,%2B\,x:

L\,=\,4x

2. Le périmètre P du rectangle est la somme des longueurs des quatre côtés. Ainsi, en fonction de x:

P\,=\,2\,\times  \,largeur\,%2B\,2\,\times  \,hauteur
P\,=\,2x\,%2B\,2\,\times  \,7
P\,=\,2x\,%2B\,14

3. Calcul du périmètre lorsque x\,=\,5\%2Cm et x\,=\,2\%2Cm:

Pour x\,=\,5\,\%2C\,m:

P\,=\,2\,\times  \,5\,%2B\,14
P\,=\,10\,%2B\,14
P\,=\,24\,\%2C\,m

Pour x\,=\,2\,\%2C\,m:

P\,=\,2\,\times  \,2\,%2B\,14
P\,=\,4\,%2B\,14
P\,=\,18\,\%2C\,m

Exercice 6 : simplifier au maximum les écritures .
\begin{align*}
A = 3 \times a \times 5 \\
= 15a \\
\\
B = 8 \times a \times b \times 3 \\
= 24ab \\
\\
C = 2 \times a + 5 \times a \\
= 7a \\
\\
D = 3 \times x – 4 \times xy \\
= 3x – 4xy \\
\\
E = 3 + 2 \times 1,5 \times \pi \\
= 3 + 3\pi \\
\end{align*}

Exercice 7 : substitution et calcul littéral.
%26On\,nous\,demande\,de\,calculer\,\,A\,=\,2b(a\,-\,3)\,\,pour\,\,a\,=\,7\,\,et\,\,b\,=\,5.\,\\%0D%0A%26Substituons\,\,a\,\,et\,\,b\,\,dans\,l'expression\,%3A\\%0D%0A%26A\,=\,2\,\times  \,5\,\times  \,(7\,-\,3)\,\\%0D%0A%26A\,=\,2\,\times  \,5\,\times  \,4\,\\%0D%0A%26A\,=\,2\,\times  \,20\,\\%0D%0A%26A\,=\,40

Exercice 8 : distributivité et calcul mental.
a)
37\,\times  \,102\,=\,37\,\times  \,(100\,%2B\,2)\,=\,37\,\times  \,100\,%2B\,37\,\times  \,2\,=\,3700\,%2B\,74\,=\,3774

b)
65\,\times  \,99\,=\,65\,\times  \,(100\,-\,1)\,=\,65\,\times  \,100\,-\,65\,\times  \,1\,=\,6500\,-\,65\,=\,6435

Exercice 9 : calcul littéral et calcul d’aire .
Pour calculer l’aire totale du terrain, nous devons trouver l’aire du verger et l’aire de la pelouse, puis les additionner.

Aire du verger :
Le verger a une longueur de 17 mètres et une largeur de 15 mètres.
Aire\,du\,verger\,=\,17\,\times  \,15

Aire de la pelouse :
La pelouse a une longueur de 20 mètres et une largeur de 15 mètres.
Aire\,de\,la\,pelouse\,=\,20\,\times  \,15

Expression avec parenthèses pour l’aire totale du terrain :
Aire\,totale\,=\,(17\,\times  \,15)\,%2B\,(20\,\times  \,15)

Expression sans parenthèses pour l’aire totale du terrain :
Aire\,totale\,=\,17\,\times  \,15\,%2B\,20\,\times  \,15

Calculs :
17\,\times  \,15\,=\,255
20\,\times  \,15\,=\,300

Aire totale :
Aire\,totale\,=\,255\,%2B\,300\,=\,555\,\\,m^2

L’aire totale du terrain est donc de 555\,\\,m^2.

Exercice 10 : simple distributivité et développer .
\begin{align*}
\text{A} = 5(x + 2) \\
= 5 \cdot x + 5 \cdot 2 \\
= 5x + 10
\end{align*}

\begin{align*}
\text{B} = 3(4y – 3) \\
= 3 \cdot 4y – 3 \cdot 3 \\
= 12y – 9
\end{align*}

\begin{align*}
\text{C} = 7(x – 5) \\
= 7 \cdot x – 7 \cdot 5 \\
= 7x – 35
\end{align*}

\begin{align*}
\text{D} = 2(4x – 3.4) \\
= 2 \cdot 4x – 2 \cdot 3.4 \\
= 8x – 6.8
\end{align*}

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