Calcul littéral : corrigés des exercices de maths en 5ème.

Exercice 1 : calcul littéral
a) Soit le prix d’une BD. Le prix d’un CD, qui est de 2 euros de plus que celui d’une BD, sera:
$x\,%2B\,2$

b) Le prix d’un livre, qui coûte 2 euros de plus que celui d’un CD, sera:
$(x\,%2B\,2)\,%2B\,2\,=\,x\,%2B\,4$

c) Paul achète 4 CDs. Le prix total de ses achats est donc:
$4(x\,%2B\,2)\,=\,4x\,%2B\,8$

d) Louise achète 2 BD et 2 livres. Le prix total de ses achats est donc:
$2x\,%2B\,2(x\,%2B\,4)\,=\,2x\,%2B\,2x\,%2B\,8\,=\,4x\,%2B\,8$

e) Comparons les montants dépensés par Paul et Louise:
Paul a dépensé $4x\,%2B\,8$ euros et Louise a également dépensé $4x\,%2B\,8$ euros. Donc, ils ont tous deux dépensé la même somme.

En conclusion, Paul et Louise ont dépensé tous les deux la somme suivante:
$4x\,%2B\,8$

Exercice 2 : simplifier les expression littérales.
$A\,%26=\,13xz\,=\,13\,\cdot\,x\,\cdot\,z\,=\,13x\,\cdot\,z%2C\,\\%0D%0AB\,%26=\,4\,\times \,5\,=\,4\,\cdot\,5%2C\,\\%0D%0AC\,%26=\,(4\,-\,x)\,\times \,3\,=\,(4\,-\,x)\,\cdot\,3%2C\,\\%0D%0AD\,%26=\,4\,\times \,a\,\times \,b\,=\,4a\,\cdot\,b%2C\,\\%0D%0AE\,%26=\,a\,\times \,b\,%2B\,7\,\times \,x\,%2B\,5\,=\,ab\,%2B\,7x\,%2B\,5%2C\,\\%0D%0AF\,%26=\,5\,\times \,(x\,%2B\,3)\,=\,5(x\,%2B\,3)%2C\,\\%0D%0AG\,%26=\,x\,\times \,(y\,%2B\,2)\,=\,x(y\,%2B\,2).\,\\$

Exercice 3 : calculer une expression littérale .
L’expression donnée est $E\,=\,7y\,-\,3$ .

Pour $y\,=\,0$ :
$E\,=\,7\,\cdot\,0\,-\,3\,=\,-3$

Pour $y\,=\,3$ :
$E\,=\,7\,\cdot\,3\,-\,3\,=\,21\,-\,3\,=\,18$

Pour $y\,=\,1{%2C}2$ :
$E\,=\,7\,\cdot\,1{%2C}2\,-\,3\,=\,8{%2C}4\,-\,3\,=\,5{%2C}4$

Exercice 4 : simplifier et réduire les expressions.
Pour simplifier et réduire les expressions littérales données :

$A\,=\,x\,%2B\,2x\,%2B\,7x\,%2B\,9y\,%2B\,3x\,-\,5y$
$A\,=\,(x\,%2B\,2x\,%2B\,7x\,%2B\,3x)\,%2B\,(9y\,-\,5y)$
$A\,=\,13x\,%2B\,4y$

$B\,=\,5\,%2B\,2x\,%2B\,4\,%2B\,7x$
$B\,=\,(2x\,%2B\,7x)\,%2B\,(5\,%2B\,4)$
$B\,=\,9x\,%2B\,9$

$C\,=\,3t\,%2B\,4t\,%2B\,7t\,-\,5$
$C\,=\,(3t\,%2B\,4t\,%2B\,7t)\,-\,5$
$C\,=\,14t\,-\,5$

$D\,=\,2x\,%2B\,3\,%2B\,4x\,%2B\,2c\,%2B\,3\,\times \,5x\,%2B\,11x^2$
$D\,=\,(2x\,%2B\,4x\,%2B\,3\,\times \,5x)\,%2B\,11x^2\,%2B\,2c\,%2B\,3$
$D\,=\,(2x\,%2B\,4x\,%2B\,15x)\,%2B\,11x^2\,%2B\,2c\,%2B\,3$
$D\,=\,21x\,%2B\,11x^2\,%2B\,2c\,%2B\,3$

$E\,=\,25\,%2B\,5a\,%2B\,11\,%2B\,3a\,-\,a\,%2B\,5$
$E\,=\,(5a\,%2B\,3a\,-\,a)\,%2B\,(25\,%2B\,11\,%2B\,5)$
$E\,=\,7a\,%2B\,41$

$F\,=\,5%2C3\,%2B\,2\,\times \,5x\,%2B\,3%2C2\,-\,3\,\times \,2x\,-\,1%2C6$
$F\,=\,(2\,\times \,5x\,-\,3\,\times \,2x)\,%2B\,(5%2C3\,%2B\,3%2C2\,-\,1%2C6)$
$F\,=\,(10x\,-\,6x)\,%2B\,(5%2C3\,%2B\,3%2C2\,-\,1%2C6)$
$F\,=\,4x\,%2B\,6%2C9$

Exercice 5 : périmètre d’un rectangle et calcul littéral.
Soit la largeur du rectangle et la hauteur du rectangle.

1. La longueur du rectangle, que nous noterons , est égale à la largeur plus fois la largeur c’est-à-dire $x\,%2B\,x\,%2B\,x\,%2B\,x$ :

$L\,=\,4x$

2. Le périmètre du rectangle est la somme des longueurs des quatre côtés. Ainsi, en fonction de :

$P\,=\,2\,\times \,largeur\,%2B\,2\,\times \,hauteur$
$P\,=\,2x\,%2B\,2\,\times \,7$
$P\,=\,2x\,%2B\,14$

3. Calcul du périmètre lorsque $x\,=\,5\%2Cm$ et $x\,=\,2\%2Cm$ :

Pour $x\,=\,5\,\%2C\,m$ :

$P\,=\,2\,\times \,5\,%2B\,14$
$P\,=\,10\,%2B\,14$
$P\,=\,24\,\%2C\,m$

Pour $x\,=\,2\,\%2C\,m$ :

$P\,=\,2\,\times \,2\,%2B\,14$
$P\,=\,4\,%2B\,14$
$P\,=\,18\,\%2C\,m$

Exercice 6 : simplifier au maximum les écritures .
\begin{align*}
A = 3 \times a \times 5 \\
= 15a \\
\\
B = 8 \times a \times b \times 3 \\
= 24ab \\
\\
C = 2 \times a + 5 \times a \\
= 7a \\
\\
D = 3 \times x – 4 \times xy \\
= 3x – 4xy \\
\\
E = 3 + 2 \times 1,5 \times \pi \\
= 3 + 3\pi \\
\end{align*}

Exercice 7 : substitution et calcul littéral.
$%26On\,nous\,demande\,de\,calculer\,\,A\,=\,2b(a\,-\,3)\,\,pour\,\,a\,=\,7\,\,et\,\,b\,=\,5.\,\\%0D%0A%26Substituons\,\,a\,\,et\,\,b\,\,dans\,l'expression\,%3A\\%0D%0A%26A\,=\,2\,\times \,5\,\times \,(7\,-\,3)\,\\%0D%0A%26A\,=\,2\,\times \,5\,\times \,4\,\\%0D%0A%26A\,=\,2\,\times \,20\,\\%0D%0A%26A\,=\,40$

Exercice 8 : distributivité et calcul mental.
a)
$37\,\times \,102\,=\,37\,\times \,(100\,%2B\,2)\,=\,37\,\times \,100\,%2B\,37\,\times \,2\,=\,3700\,%2B\,74\,=\,3774$

b)
$65\,\times \,99\,=\,65\,\times \,(100\,-\,1)\,=\,65\,\times \,100\,-\,65\,\times \,1\,=\,6500\,-\,65\,=\,6435$

Exercice 9 : calcul littéral et calcul d’aire .
Pour calculer l’aire totale du terrain, nous devons trouver l’aire du verger et l’aire de la pelouse, puis les additionner.

Aire du verger :
Le verger a une longueur de 17 mètres et une largeur de 15 mètres.
$Aire\,du\,verger\,=\,17\,\times \,15$

Aire de la pelouse :
La pelouse a une longueur de 20 mètres et une largeur de 15 mètres.
$Aire\,de\,la\,pelouse\,=\,20\,\times \,15$

Expression avec parenthèses pour l’aire totale du terrain :
$Aire\,totale\,=\,(17\,\times \,15)\,%2B\,(20\,\times \,15)$

Expression sans parenthèses pour l’aire totale du terrain :
$Aire\,totale\,=\,17\,\times \,15\,%2B\,20\,\times \,15$

Calculs :
$17\,\times \,15\,=\,255$
$20\,\times \,15\,=\,300$

Aire totale :
$Aire\,totale\,=\,255\,%2B\,300\,=\,555\,\\,m^2$

L’aire totale du terrain est donc de $555\,\\,m^2$ .

Exercice 10 : simple distributivité et développer .
\begin{align*}
\text{A} = 5(x + 2) \\
= 5 \cdot x + 5 \cdot 2 \\
= 5x + 10
\end{align*}

\begin{align*}
\text{B} = 3(4y – 3) \\
= 3 \cdot 4y – 3 \cdot 3 \\
= 12y – 9
\end{align*}

\begin{align*}
\text{C} = 7(x – 5) \\
= 7 \cdot x – 7 \cdot 5 \\
= 7x – 35
\end{align*}

\begin{align*}
\text{D} = 2(4x – 3.4) \\
= 2 \cdot 4x – 2 \cdot 3.4 \\
= 8x – 6.8
\end{align*}

Exercice 11 : géométrie et calcul littéral
L’expression $a\,\times \,a\,%2B\,1%2C5a$ représente l’aire totale de la figure.

$a\,\times \,a\,=\,a^2$
$1%2C5a\,=\,1%2C5a$
$Aire\,totale\,=\,a^2\,%2B\,1%2C5a$

2) $4a\,%2B\,3$ représente le périmètre total de la figure.

$Perimetre\,=\,2(a\,%2B\,1%2C5)\,%2B\,2(a)$
$Perimetre\,=\,2a\,%2B\,3\,%2B\,2a\,=\,4a\,%2B\,3$

3) $2(1%2C5\,%2B\,2a)$ peut également représenter le périmètre total de la figure en utilisant une autre méthode, car chaque côté a pour longueur ou 1%2C5 .

$2(1%2C5)\,%2B\,2(2a)\,=\,3\,%2B\,4a\,=\,4a\,%2B\,3$

4) $a(1%2C5\,%2B\,a)$ représente l’aire totale de la figure, mais sous une forme factorisée.

$a(1%2C5\,%2B\,a)\,=\,a\,\times \,1%2C5\,%2B\,a\,\times \,a$
$=\,1%2C5a\,%2B\,a^2$

Exercice 12 : calcul de périmètre et calcul littéral
La figure donnée est une séquence de rectangles imbriqués les uns dans les autres. Pour trouver le périmètre de la figure, il faut additionner la somme des longueurs de tous les côtés externes de la figure. En décomposant le périmètre, nous avons :

– Les segments horizontaux , , et en haut, , , et un segment inférieur de longueur .
– Les segments verticaux , , et à droite, et , , et à gauche.

Le périmètre total est donc la somme de ces segments :

$P\,=\,a\,%2B\,b\,%2B\,a\,%2B\,2b\,%2B\,b\,%2B\,b\,%2B\,a\,%2B\,b\,%2B\,2b\,%2B\,a\,%2B\,2b\,%2B\,a$

En simplifiant, nous additionnons toutes les instances de et de :

$P\,=\,6a\,%2B\,8b$

La bonne réponse est donc : $6a\,%2B\,8b$ , correspondant à l’option .

Exercice 13 : ecrire une expressions littérale
1. J’ai choisi un nombre , je lui ai ajouté sept et j’ai multiplié par deux le nombre obtenu.
Écrire en fonction de le résultat obtenu.

$2(x\,%2B\,7)\,=\,2x\,%2B\,14$

2. J’ai choisi un nombre . Je l’ai multiplié par huit et j’ai ajouté cinq au nombre obtenu.
Écrire en fonction de le résultat obtenu.

$8a\,%2B\,5$

3. Pierre a dépensé euros. Luc a dépensé sept euros de moins que Pierre.
Donner la dépense de Luc en fonction de .

$x\,-\,7$

4. Elise a dépensé euros. Elise a dépensé huit euros de moins que Claire.
Donner la dépense de Claire en fonction de .

$y\,%2B\,8$

Exercice 14 : clé usb et calcul littéral
1. Soit le prix d’une clé USB en euros. Le prix d’un livre est $x\,%2B\,5$ euros. Le prix de 3 livres est donc :
$3\,\times \,(x\,%2B\,5)\,=\,3x\,%2B\,15\,\,euros$

2. Le prix de 2 clés USB est $2\,\times \,x\,=\,2x$ euros et le prix de 4 livres est $4\,\times \,(x\,%2B\,5)\,=\,4x\,%2B\,20$ euros. Donc, le prix total de 2 clés USB et 4 livres est :
$2x\,%2B\,4x\,%2B\,20\,=\,6x\,%2B\,20\,\,euros$

Exercice 15 : simplifier des expressions littérales
\begin{align*}
1. \quad 3 \times x + 2 = 3x + 2 \\
2. \quad a \times a – 4 = a^2 – 4 \\
3. \quad 12 \times 8 + x = 96 + x \\
4. \quad 5 \times (x + 2) = 5x + 10
\end{align*}

Exercice 16 : substitution dans une expression littérale
Pour $x\,=\,1$ , effectuons les calculs suivants :

$A\,=\,-4x\,%2B\,7$

En remplaçant par 1 :

$A\,=\,-4(1)\,%2B\,7\,=\,-4\,%2B\,7\,=\,3$

$B\,=\,3\,%2B\,4x\,-\,6$

En remplaçant par 1 :

$B\,=\,3\,%2B\,4(1)\,-\,6\,=\,3\,%2B\,4\,-\,6\,=\,1$

$C\,=\,2(3x\,%2B\,5)$

En remplaçant par 1 :

$C\,=\,2(3(1)\,%2B\,5)\,=\,2(3\,%2B\,5)\,=\,2\,\times \,8\,=\,16$

$D\,=\,5x^2\,-\,8x\,-\,6$

En remplaçant par 1 :

$D\,=\,5(1)^2\,-\,8(1)\,-\,6\,=\,5\,\cdot\,1\,-\,8\,-\,6\,=\,5\,-\,8\,-\,6\,=\,-9$

En conclusion :

$A\,=\,3$
$B\,=\,1$
$C\,=\,16$
$D\,=\,-9$

Exercice 17 : simple distributivité et calcul littéral
1. $A\,=\,7(x\,%2B\,8)$

$A\,=\,7\,\cdot\,x\,%2B\,7\,\cdot\,8\,=\,7x\,%2B\,56$

2. $B\,=\,7(x\,-\,4)$

$B\,=\,7\,\cdot\,x\,-\,7\,\cdot\,4\,=\,7x\,-\,28$

3. $C\,=\,8(x\,%2B\,3)$

$C\,=\,8\,\cdot\,x\,%2B\,8\,\cdot\,3\,=\,8x\,%2B\,24$

4. $D\,=\,6(y\,-\,3)$

$D\,=\,6\,\cdot\,y\,-\,6\,\cdot\,3\,=\,6y\,-\,18$

Exercice 18 : retrouver l’erreur
Julie a écrit :
$5(x\,%2B\,3)\,=\,5x\,%2B\,3.$

Pour vérifier cette égalité, développons le membre de gauche :
$5(x\,%2B\,3)\,=\,5\,\cdot\,x\,%2B\,5\,\cdot\,3\,=\,5x\,%2B\,15.$

Nous voyons que l’expression de Julie, $5x\,%2B\,3$ , n’est pas correcte.

Marc a écrit :
$5(x\,%2B\,3)\,=\,5x\,%2B\,5\,\times \,3.$

Pour vérifier cette égalité, développons le membre de gauche :
$5(x\,%2B\,3)\,=\,5\,\cdot\,x\,%2B\,5\,\cdot\,3\,=\,5x\,%2B\,15.$

Nous voyons que l’expression de Marc, $5x\,%2B\,15$ , est correcte.

Sonia a écrit :
$5(x\,%2B\,3)\,=\,5x\,%2B\,8.$

Pour vérifier cette égalité, développons le membre de gauche :
$5(x\,%2B\,3)\,=\,5\,\cdot\,x\,%2B\,5\,\cdot\,3\,=\,5x\,%2B\,15.$

Nous voyons que l’expression de Sonia, $5x\,%2B\,8$ , n’est pas correcte.

Donc, c’est Marc qui a distribué correctement le 5.

Exercice 19 : quelle est la bonne expression
Pour chaque expression, il y a un seul bon développement. Voici la correction :

1. $8(a\,%2B\,3)$
La bonne réponse est $8a\,%2B\,24$ .
$8(a\,%2B\,3)\,=\,8\,\cdot\,a\,%2B\,8\,\cdot\,3\,=\,8a\,%2B\,24$
La bonne réponse est donc la Réponse B.

2. $5(x\,-\,9)$
La bonne réponse est $5x\,-\,45$ .
$5(x\,-\,9)\,=\,5\,\cdot\,x\,%2B\,5\,\cdot\,(-9)\,=\,5x\,-\,45$
La bonne réponse est donc la Réponse C.

3. $\pi(4\,%2B\,R)$
La bonne réponse est $4\pi\,%2B\,\pi\,R$ .
$\pi(4\,%2B\,R)\,=\,\pi\,\cdot\,4\,%2B\,\pi\,\cdot\,R\,=\,4\pi\,%2B\,\pi\,R$
La bonne réponse est donc la Réponse A.

Exercice 20 : calcul littéral et sciences physiques
1. La longueur du ressort lorsqu’on ne suspend pas d’objet (c’est-à-dire lorsque $M\,=\,0$ ) :

$L\,=\,18\,%2B\,2\,\times \,0\,=\,18\,\,cm$

2. Calculer la longueur du ressort lorsqu’on suspend un objet de masse :

a. $2\,\,kg$ :
$L\,=\,18\,%2B\,2\,\times \,2\,=\,18\,%2B\,4\,=\,22\,\,cm$

b. $1%2C5\,\,kg$ :
$L\,=\,18\,%2B\,2\,\times \,1%2C5\,=\,18\,%2B\,3\,=\,21\,\,cm$

c. $800\,\,g\,=\,0%2C8\,\,kg$ :
$L\,=\,18\,%2B\,2\,\times \,0%2C8\,=\,18\,%2B\,1%2C6\,=\,19%2C6\,\,cm$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : rectangle et calcul littéral
a. représente l’aire du rectangle.

En effet, l’aire d’un rectangle est donnée par la formule $L\,\times \,l$ , où est la longueur et est la largeur. Dans ce cas, la longueur est 8 et la largeur est . Donc :
$E\,=\,8\,\times \,x$

représente le périmètre du rectangle.

Le périmètre d’un rectangle est donné par la formule $2(L\,%2B\,l)$ . Dans ce cas, $L\,=\,8$ et $l\,=\,x$ . Donc :
$F\,=\,2\,\times \,(8\,%2B\,x)\,=\,2\,\times \,8\,%2B\,2\,\times \,x\,=\,16\,%2B\,2x$

b. Calculons les valeurs de et pour $x\,=\,3$ :

Pour :
$E\,=\,8\,\times \,3\,=\,24$

Pour :
$F\,=\,2\,\times \,3\,%2B\,16\,=\,6\,%2B\,16\,=\,22$

Pour $x\,=\,5$ :

Pour :
$E\,=\,8\,\times \,5\,=\,40$

Pour :
$F\,=\,2\,\times \,5\,%2B\,16\,=\,10\,%2B\,16\,=\,26$

Donc, pour résumer :
– Pour $x\,=\,3$ , $E\,=\,24$ et $F\,=\,22$ .
– Pour $x\,=\,5$ , $E\,=\,40$ et $F\,=\,26$ .

Exercice 22 : géométrie et calcul littéral
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

a. Les expressions données permettent de calculer les dimensions de la figure composée du carré et du triangle isocèle.

– $A\,=\,x\,%2B\,8$ : Cette expression donne la base du triangle isocèle.
– $B\,=\,4x$ : Cette expression donne peut-être le périmètre du carré.
– $C\,=\,3x\,%2B\,8$ : Cette expression donne probablement la somme de la base du triangle isocèle et de 2 fois la hauteur du triangle.

b. Calculer les valeurs de , et pour $x\,=\,5$ , puis $x\,=\,2%2C5$ .

Pour $x\,=\,5$ :
$A\,=\,5\,%2B\,8\,=\,13$
$B\,=\,4\,\times \,5\,=\,20$
$C\,=\,3\,\times \,5\,%2B\,8\,=\,15\,%2B\,8\,=\,23$

Pour $x\,=\,2%2C5$ :
$A\,=\,2%2C5\,%2B\,8\,=\,10%2C5$
$B\,=\,4\,\times \,2%2C5\,=\,10$
$C\,=\,3\,\times \,2%2C5\,%2B\,8\,=\,7%2C5\,%2B\,8\,=\,15%2C5$

Exercice 23 : problème du menuisier
a. La planche rectangulaire initiale a une aire de:

$\mathcal{A}_{initiale}\,=\,40\,\,cm\,\times \,30\,\,cm\,=\,1200\,\,cm^2$

On découpe quatre carrés identiques, chacun ayant une aire de:

$\mathcal{A}_{carre}\,=\,x\,\times \,x\,=\,x^2$

Comme il y a quatre carrés, l’aire totale découpée est:

$\mathcal{A}_{decoupee}\,=\,4\,\times \,x^2$

L’aire de la plaque restante est alors:

$\mathcal{A}\,=\,\mathcal{A}_{initiale}\,-\,\mathcal{A}_{decoupee}$
$\mathcal{A}\,=\,1200\,\,cm^2\,-\,4x^2$

Ainsi, l’aire de la plaque restante est bien:

$\mathcal{A}\,=\,1200\,-\,4x^2$

b. Calculons cette aire pour les valeurs données de :

– Pour $x\,=\,4$ :

$\mathcal{A}\,=\,1200\,-\,4\,\times \,4^2$
$\mathcal{A}\,=\,1200\,-\,4\,\times \,16$
$\mathcal{A}\,=\,1200\,-\,64$
$\mathcal{A}\,=\,1136\,\,cm^2$

– Pour $x\,=\,6$ :

$\mathcal{A}\,=\,1200\,-\,4\,\times \,6^2$
$\mathcal{A}\,=\,1200\,-\,4\,\times \,36$
$\mathcal{A}\,=\,1200\,-\,144$
$\mathcal{A}\,=\,1056\,\,cm^2$

c. Examinons si $x\,=\,20$ est possible:

$\mathcal{A}\,=\,1200\,-\,4\,\times \,20^2$
$\mathcal{A}\,=\,1200\,-\,4\,\times \,400$
$\mathcal{A}\,=\,1200\,-\,1600$
$\mathcal{A}\,=\,-400\,\,cm^2$

Puisque l’aire ne peut pas être négative, $x\,=\,20$ n’est pas une valeur possible pour .

Exercice 24 : problèmes de motifs
a. Pour trouver le nombre de petits carrés que le motif n°6 comporte, nous pouvons observer le modèle des motifs.

Les motifs suivent un modèle dans lequel le nombre de petits carrés augmente de manière régulière. Pour motif n°1, il y a petits carrés ( $1\,%2B\,4$ ). Pour le motif n°2, il y a petits carrés ( $1\,%2B\,3\,\times \,4$ ). Pour le motif n°3, il y a petits carrés ( $1\,%2B\,5\times 4$ ).

Observons que pour chaque motif , il y a $(2n\,%2B\,1)^2\,-4n$ petits carrés.

Pour le motif n°6:

$(6\,\times \,2\,%2B\,1)^2\,-\,4\,\times \,6\,=\,(12%2B1)^2\,-\,24\,=\,13^2\,-\,24\,=\,169\,-24\,=\,145\,\,carres$

b. En général, le nombre de petits carrés dans le motif numéro est donné par :

$(2n\,%2B\,1)^2\,-\,4n$

c. Pour le motif n°100, nous appliquons la formule trouvée :

$(2\,\times \,100\,%2B\,1)^2\,-\,4\,\times \,100\,=\,(200%2B1)^2\,-\,400\,=\,201^2\,-\,400\,=40401\,-\,400\,=20001\,\,carres$

Exercice 25 : programme de calcul
1. Calculons le nombre obtenu pour chaque nombre de départ donné :

a. Si l’on choisit 5 comme nombre de départ :
$5\,%2B\,4\,=\,9$
$9\,\times \,5\,=\,45$
Donc, le nombre obtenu est 45.

b. Si l’on choisit 1,2 comme nombre de départ :
$1%2C2\,%2B\,4\,=\,5%2C2$
$5%2C2\,\times \,5\,=\,26$
Donc, le nombre obtenu est 26.

c. Si l’on choisit 0 comme nombre de départ :
$0\,%2B\,4\,=\,4$
$4\,\times \,5\,=\,20$
Donc, le nombre obtenu est 20.

d. Si l’on choisit 3,5 comme nombre de départ :
$3%2C5\,%2B\,4\,=\,7%2C5$
$7%2C5\,\times \,5\,=\,37%2C5$
Donc, le nombre obtenu est 37,5.

2. Notons le nombre choisi au départ. Exprimons le résultat obtenu en fonction de :
$n\,%2B\,4$
$(n\,%2B\,4)\,\times \,5$
Donc, le résultat obtenu en fonction de est $5(n\,%2B\,4)$ ou en développant $5n\,%2B\,20$ .

Exercice 26 : problème ouvert
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la formule donnée :
$d\,=\,k\,\times \,(\frac{v}{3%2C6})^2\,%2B\,v\,\times \,3%2C6$
où :
– est la distance d’arrêt en mètres,
– est la vitesse en kilomètres par heure,
– est un nombre qui dépend des conditions météorologiques (pour beau temps, $k\,=\,0%2C08$ ).

Nous devons calculer la distance d’arrêt pour Maxime et pour Leïla.

### Pour Maxime:
– Vitesse () = 63 km/h
– = 0,08 (beau temps)

$d\,=\,0%2C08\,\times \,(\frac{63}{3%2C6})^2\,%2B\,63\,\times \,3%2C6$

Calculons les termes un par un :

$\frac{63}{3%2C6}\,\approx\,17%2C5$

$(\,\frac{63}{3%2C6}\,)^2\,=\,17%2C5^2\,=\,306%2C25$

$0%2C08\,\times \,306%2C25\,=\,24%2C5$

$63\,\times \,3%2C6\,=\,226%2C8$

Ainsi,

$d\,=\,24%2C5\,%2B\,226%2C8\,=\,251%2C3$

Donc, la distance d’arrêt de Maxime est de 251,3 mètres.

### Pour Leïla :
– Vitesse () = 45 km/h
– = 0,08 (beau temps)

$d\,=\,0%2C08\,\times \,(\,\frac{45}{3%2C6}\,)^2\,%2B\,45\,\times \,3%2C6$

Calculons les termes un par un :

$\frac{45}{3%2C6}\,\approx\,12%2C5$

$(\,\frac{45}{3%2C6}\,)^2\,=\,12%2C5^2\,=\,156%2C25$

$0%2C08\,\times \,156%2C25\,=\,12%2C5$

$45\,\times \,3%2C6\,=\,162$

Ainsi,

$d\,=\,12%2C5\,%2B\,162\,=\,174%2C5$

Donc, la distance d’arrêt de Leïla est de 174,5 mètres.

### Conclusion :
Maxime parcourra 251,3 mètres avant de s’arrêter, tandis que Leïla parcourra 174,5 mètres. En tenant compte de ces distances, ni Maxime ni Leïla ne pourront s’arrêter à temps avant d’atteindre l’obstacle situé à 10 mètres.

Exercice 27 : programme de calcul
Programme 1 :
– Choisir un nombre .
– Ajouter 4 : $n\,%2B\,4$ .
– Multiplier par 3 : $3\,\times \,(n\,%2B\,4)\,=\,3n\,%2B\,12$ .

Programme 2 :
– Choisir un nombre .
– Multiplier par 3 : .
– Ajouter 4 : $3n\,%2B\,4$ .

Expressions littérales correspondantes :
– Programme 1 : $3\,\times \,(n\,%2B\,4)\,=\,3n\,%2B\,12$ .
– Programme 2 : $3n\,%2B\,4$ .

Exercice 28 : calcul mental
a. $13\,\times \,11$

$13\,\times \,11\,=\,13\,\times \,(10\,%2B\,1)\,=\,13\,\times \,10\,%2B\,13\,\times \,1\,=\,130\,%2B\,13\,=\,143$

b. $19\,\times \,11$

$19\,\times \,11\,=\,19\,\times \,(10\,%2B\,1)\,=\,19\,\times \,10\,%2B\,19\,\times \,1\,=\,190\,%2B\,19\,=\,209$

c. $15\,\times \,21$

$15\,\times \,21\,=\,15\,\times \,(20\,%2B\,1)\,=\,15\,\times \,20\,%2B\,15\,\times \,1\,=\,300\,%2B\,15\,=\,315$

d. $12\,\times \,31$

$12\,\times \,31\,=\,12\,\times \,(30\,%2B\,1)\,=\,12\,\times \,30\,%2B\,12\,\times \,1\,=\,360\,%2B\,12\,=\,372$

e. $43\,\times \,101$

$43\,\times \,101\,=\,43\,\times \,(100\,%2B\,1)\,=\,43\,\times \,100\,%2B\,43\,\times \,1\,=\,4300\,%2B\,43\,=\,4343$

f. $16\,\times \,1001$

$16\,\times \,1001\,=\,16\,\times \,(1000\,%2B\,1)\,=\,16\,\times \,1000\,%2B\,16\,\times \,1\,=\,16000\,%2B\,16\,=\,16016$

Exercice 29 : calcul mental
$a.\,\\,25\,\times \,9$
$25\,\times \,9\,=\,225$

$b.\,\\,16\,\times \,9$
$16\,\times \,9\,=\,144$

$c.\,\\,9\,\times \,45$
$9\,\times \,45\,=\,405$

$d.\,\\,17\,\times \,19$
$17\,\times \,19\,=\,(17\,\times \,20)\,-\,(17\,\times \,1)\,=\,340\,-\,17\,=\,323$

$e.\,\\,35\,\times \,99$
$35\,\times \,99\,=\,35\,\times \,(100\,-\,1)\,=\,(35\,\times \,100)\,-\,(35\,\times \,1)\,=\,3500\,-\,35\,=\,3465$

$f.\,\\,14\,\times \,999$
$14\,\times \,999\,=\,14\,\times \,(1000\,-\,1)\,=\,(14\,\times \,1000)\,-\,(14\,\times \,1)\,=\,14000\,-\,14\,=\,13986$

Exercice 30 : calcul mental
Pour $a\,=\,4$ :

a. $5\,\times \,a\,%2B\,8$

$5\,\times \,4\,%2B\,8\,=\,20\,%2B\,8\,=\,28$

b. $10\,-\,2\,\times \,a$

$10\,-\,2\,\times \,4\,=\,10\,-\,8\,=\,2$

c. $4\,\times \,(a\,%2B\,2)$

$4\,\times \,(4\,%2B\,2)\,=\,4\,\times \,6\,=\,24$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : test d’égalité
a. $8\,\times \,x\,%2B\,5\,=\,37$
$8\,\times \,4\,%2B\,5\,=\,32\,%2B\,5\,=\,37$
L’égalité est vraie pour $x\,=\,4$ .

b. $6\,\times \,x\,-\,3\,=\,7\,\times \,x$
$6\,\times \,4\,-\,3\,=\,24\,-\,3\,=\,21$
$7\,\times \,4\,=\,28$
L’égalité est fausse pour $x\,=\,4$ .

c. $2\,\times \,(x\,%2B\,3)\,=\,18\,-\,x$
$2\,\times \,(4\,%2B\,3)\,=\,2\,\times \,7\,=\,14$
$18\,-\,4\,=\,14$
L’égalité est vraie pour $x\,=\,4$ .

d. $9\,%2B\,3\,\times \,x\,=\,5\,\times \,x\,%2B\,1$
$9\,%2B\,3\,\times \,4\,=\,9\,%2B\,12\,=\,21$
$5\,\times \,4\,%2B\,1\,=\,20\,%2B\,1\,=\,21$
L’égalité est vraie pour $x\,=\,4$ .

Exercice 32 : calculer mentalement

[a.] $n\,\times \,(n\,%2B\,5)$

En remplaçant par 3 :
$3\,\times \,(3\,%2B\,5)\,=\,3\,\times \,8\,=\,24$

[b.] $n\,\times \,(10\,-\,n)$

En remplaçant par 3 :
$3\,\times \,(10\,-\,3)\,=\,3\,\times \,7\,=\,21$

[c.] n^2

En remplaçant par 3 :
$3^2\,=\,9$

[d.] n^3

En remplaçant par 3 :
$3^3\,=\,27$

[e.] $3\,\times \,n^2$

En remplaçant par 3 :
$3\,\times \,3^2\,=\,3\,\times \,9\,=\,27$

[f.] $5\,%2B\,n^2$

En remplaçant par 3 :
$5\,%2B\,3^2\,=\,5\,%2B\,9\,=\,14$

[g.] $2\,\times \,n\,%2B\,4\,\times \,n^2$

En remplaçant par 3 :
$2\,\times \,3\,%2B\,4\,\times \,3^2\,=\,2\,\times \,3\,%2B\,4\,\times \,9\,=\,6\,%2B\,36\,=\,42$

Exercice 33 : vérifier une égalité
Pour vérifier si l’égalité $3\,\times \,x\,-\,5\,=\,x\,%2B\,3$ est vraie pour chacune des valeurs données:

$a.\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%2520%253D%25202%22\,alt=%22x\,=\,2$ » align= »absmiddle » />

$\begin{align%2A}%0D%0A3\,\times \,2\,-\,5\,%26=\,2\,%2B\,3\,\\%0D%0A6\,-\,5\,%26=\,5\,\\%0D%0A1\,%26\neq\,5%0D%0A\end{align%2A}$

L’égalité n’est pas vraie pour $x\,=\,2$ .

$b.\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%2520%253D%25204%22\,alt=%22x\,=\,4$ » align= »absmiddle » />

$\begin{align%2A}%0D%0A3\,\times \,4\,-\,5\,%26=\,4\,%2B\,3\,\\%0D%0A12\,-\,5\,%26=\,7\,\\%0D%0A7\,%26=\,7%0D%0A\end{align%2A}$

L’égalité est vraie pour $x\,=\,4$ .

$c.\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%2520%253D%252010%22\,alt=%22x\,=\,10$ » align= »absmiddle » />

$\begin{align%2A}%0D%0A3\,\times \,10\,-\,5\,%26=\,10\,%2B\,3\,\\%0D%0A30\,-\,5\,%26=\,13\,\\%0D%0A25\,%26\neq\,13%0D%0A\end{align%2A}$

L’égalité n’est pas vraie pour $x\,=\,10$ .

Donc, l’égalité $3\,\times \,x\,-\,5\,=\,x\,%2B\,3$ est vraie uniquement pour $x\,=\,4$ .

Exercice 34 : substitutions
a. Pour $x\,=\,5$ :

$C\,=\,3\,\times \,(5\,%2B\,2)\,=\,3\,\times \,7\,=\,21$

$D\,=\,2\,%2B\,5\,\times \,5\,=\,2\,%2B\,25\,=\,27$

Donc, pour $x\,=\,5$ , $C\,=\,21$ et $D\,=\,27$ .

b. Pour $x\,=\,1%2C5$ :

$C\,=\,3\,\times \,(1%2C5\,%2B\,2)\,=\,3\,\times \,3%2C5\,=\,10%2C5$

$D\,=\,2\,%2B\,5\,\times \,1%2C5\,=\,2\,%2B\,7%2C5\,=\,9%2C5$

Donc, pour $x\,=\,1%2C5$ , $C\,=\,10%2C5$ et $D\,=\,9%2C5$ .

c. Pour $x\,=\,8$ :

$C\,=\,3\,\times \,(8\,%2B\,2)\,=\,3\,\times \,10\,=\,30$

$D\,=\,2\,%2B\,5\,\times \,8\,=\,2\,%2B\,40\,=\,42$

Donc, pour $x\,=\,8$ , $C\,=\,30$ et $D\,=\,42$ .

d. Pour $x\,=\,0$ :

$C\,=\,3\,\times \,(0\,%2B\,2)\,=\,3\,\times \,2\,=\,6$

$D\,=\,2\,%2B\,5\,\times \,0\,=\,2\,%2B\,0\,=\,2$

Donc, pour $x\,=\,0$ , $C\,=\,6$ et $D\,=\,2$ .

Exercice 35 : compléter les pointillés
a.
$\frac{6}{8}\,=\,\frac{6\,: \,2}{8\,: \,2}\,=\,\frac{3}{4}$

b.
$\frac{10}{25}\,=\,\frac{10\,: \,5}{25\,: \,5}\,=\,\frac{2}{5}$

c.
$\frac{9}{12}\,=\,\frac{9\,: \,3}{12\,: \,3}\,=\,\frac{3}{4}$

d.
$\frac{42}{14}\,=\,\frac{42\,: \,14}{14\,: \,14}\,=\,\frac{3}{1}\,=\,3$

Exercice 36 : nombre de carrés bleus à chaque étape
Pour déterminer le nombre de carrés bleus à l’étape , nous devons observer la construction des figures.

On note que le nombre de carrés augmente de manière structurée :

– À l’étape 1, il y a 1 carré.
– À l’étape 2, il y a 3 carrés.
– À l’étape 3, il y a 6 carrés.
– À l’étape 4, il y a 10 carrés.
– À l’étape 5, il y a 15 carrés.

Nous observons que ces nombres correspondent à la somme des premiers entiers naturels. La formule pour la somme des premiers entiers est donnée par :

$S_n\,=\,\frac{n(n%2B1)}{2}$

En appliquant cette formule, nous pouvons trouver le nombre de carrés bleus à l’étape :

$N\,=\,\frac{n(n%2B1)}{2}$

Pour vérifier, nous appliquerons cette formule aux premières étapes :
– Pour $n\,=\,1$ :
$N\,=\,\frac{1(1%2B1)}{2}\,=\,\frac{1\,\times \,2}{2}\,=\,1$
– Pour $n\,=\,2$ :
$N\,=\,\frac{2(2%2B1)}{2}\,=\,\frac{2\,\times \,3}{2}\,=\,3$
– Pour $n\,=\,3$ :
$N\,=\,\frac{3(3%2B1)}{2}\,=\,\frac{3\,\times \,4}{2}\,=\,6$
– Pour $n\,=\,4$ :
$N\,=\,\frac{4(4%2B1)}{2}\,=\,\frac{4\,\times \,5}{2}\,=\,10$
– Pour $n\,=\,5$ :
$N\,=\,\frac{5(5%2B1)}{2}\,=\,\frac{5\,\times \,6}{2}\,=\,15$

Ainsi, la formule $N\,=\,\frac{n(n%2B1)}{2}$ est correcte pour déterminer le nombre de carrés bleus à l’étape .

Exercice 37 : marie et le programme de calcul
Soit le nombre choisi. Suivons le programme de calcul étape par étape:

1. Choisir un nombre .
2. Ajouter 4 :
$x\,%2B\,4$
3. Multiplier par 7 :
$7(x\,%2B\,4)\,=\,7x\,%2B\,28$
4. Ajouter le triple du nombre choisi au départ :
$7x\,%2B\,28\,%2B\,3x\,=\,10x\,%2B\,28$
5. Soustraire 28 :
$10x\,%2B\,28\,-\,28\,=\,10x$

La dernière expression 10x est toujours un multiple de 10, quel que soit . Donc, Marie a raison. En choisissant n’importe quel nombre au départ, le résultat final sera toujours un multiple de 10.

Exercice 38 : deux programmes de calcul
1. $Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

Pour comparer les deux programmes, appliquons chacun d’eux à un nombre quelconque .

$Programme\,1\,%3A$
$x\,\longrightarrow\,x\,%2B\,7\,\longrightarrow\,(x\,%2B\,7)\,\times \,8\,=\,8x\,%2B\,56$

$Programme\,2\,%3A$
$x\,\longrightarrow\,x\,\times \,8\,\longrightarrow\,8x\,%2B\,56$

Nous remarquons que, dans les deux programmes, le résultat final est $8x\,%2B\,56$ .

2. $Remarque\,%3A$

Pour tout nombre choisi, les deux programmes aboutissent au même résultat final :
$8x\,%2B\,56$

3. $Justification\,de\,la\,remarque\,pour\,tous\,les\,nombres\,%3A$

En examinant les étapes de chaque programme, nous voyons que, pour un nombre donné, on obtient toujours $8x\,%2B\,56$ , que ce soit par l’ajout de 7 suivi de la multiplication par 8 dans le Programme 1, ou par la multiplication par 8 suivi de l’ajout de 56 dans le Programme 2.

$Demonstration\,%3A$
$Programme\,1\,%3A\,\quad\,x\,\to\,x\,%2B\,7\,\to\,8(x\,%2B\,7)\,=\,8x\,%2B\,56$
$Programme\,2\,%3A\,\quad\,x\,\to\,8x\,\to\,8x\,%2B\,56$