Problèmes et calculs : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 1 : problèmes et divisions
1.

Le prix de :

1. Une ampoule à 12 euros les 4 ?

$Prix\,d'une\,ampoule\,=\,\frac{12\,\%2C\,euros}{4}\,=\,3\,\%2C\,euros$

2. Une gomme à 52 euros les 13 ?

$Prix\,d'une\,gomme\,=\,\frac{52\,\%2C\,euros}{13}\,=\,4\,\%2C\,euros$

3. Un pinceau à 91 euros les 14 ?

$Prix\,d'un\,pinceau\,=\,\frac{91\,\%2C\,euros}{14}\,=\,6%2C50\,\%2C\,euros$

4. Un cahier à 162 euros les 27 ?

$Prix\,d'un\,cahier\,=\,\frac{162\,\%2C\,euros}{27}\,=\,6\,\%2C\,euros$

Le coût de :

1. Un rouleau de papier à 777 euros les 42 rouleaux ?

$Cout\,d'un\,rouleau\,=\,\frac{777\,\%2C\,euros}{42}\,\approx\,18%2C50\,\%2C\,euros$

2. 1 m de câble à 5 915 euros les 455 m de câble ?

$Cout\,de\,1\,m\,de\,cable\,=\,\frac{5\,915\,\%2C\,euros}{455}\,=\,13\,\%2C\,euros$

3. 1 tournevis à 7 425 euros les 675 tournevis ?

$Cout\,de\,1\,tournevis\,=\,\frac{7425\,\%2C\,euros}{675}\,=\,11\,\%2C\,euros$

4. 1 KW/h à 150 euros les 5000 KW/h ?

$Cout\,de\,1\,KW%2Fh\,=\,\frac{150\,\%2C\,euros}{5000\,\%2C\,KW%2Fh}\,=\,0%2C03\,\%2C\,euros%2FKW%2Fh$

Le prix d’un carnet :

$Prix\,d'un\,carnet\,=\,\frac{64\,\%2C\,euros}{25}\,=\,2%2C56\,\%2C\,euros$

Le collège estime qu’il a besoin de 470 carnets. Combien de lots doit-il commander ?

$Nombre\,de\,lots\,necessaires\,=\,\lceil\,\frac{470}{25}\,\rceil\,=\,19\,\%2C\,lots$

Combien y aura-t-il de carnets en trop ?

$19\,\%2C\,lots\,\times \,25\,\%2C\,carnets\,=\,475\,\%2C\,carnets$
$Carnets\,en\,trop\,=\,475\,-\,470\,=\,5\,\%2C\,carnets$

Exercice 2 : problème – calcul.
a. Vincent prend un repas complet (entrée, plat, fromage, dessert).
Combien peut-il composer de repas complets différents ?

Pour chaque composante, Vincent a plusieurs choix :

– Entrées : 3 choix
– Plats principaux : 2 choix
– Fromages : 3 choix
– Desserts : 5 choix

Le nombre total de repas complets différents est donné par le produit de toutes les combinaisons possibles :

$3\,\times \,2\,\times \,3\,\times \,5\,=\,90$

Vincent peut donc composer 90 repas complets différents.

b. Yasmina n’aime pas le fromage. Elle a donc le droit de prendre deux entrées.
Combien peut-elle composer de repas différents ?

Pour Yasmina, le repas est constitué de deux entrées, un plat principal et un dessert.

– Entrées : ${3\,\choose\,2}$ combinaisons de 2 entrées parmi les 3 disponibles
– Plats principaux : 2 choix
– Desserts : 5 choix

Le nombre de façons de choisir 2 entrées parmi 3 est :

${3\,\choose\,2}\,=\,\frac{3%21}{2%21(3-2)%21}\,=\,3$

Le nombre total de repas différents que Yasmina peut composer est donc :

$3\,\times \,2\,\times \,5\,=\,30$

Yasmina peut donc composer 30 repas différents.

Exercice 3 : problème de calcul.
Casper monte les marches par et il lui reste marches à la fin. Donc, cela signifie que s’il y a marches au total, alors $n\,\equiv\,3\,\\,(mod\,\\,4)$ .

Ensuite, lorsqu’il descend, il descend marches à la fois et cela tombe juste. Donc, le nombre total de marches est un multiple de , soit $n\,\equiv\,0\,\\,(mod\,\\,5)$ .

On doit trouver un nombre qui satisfait à la fois $n\,\equiv\,3\,\\,(mod\,\\,4)$ et $n\,\equiv\,0\,\\,(mod\,\\,5)$ , avec $100\,\leq\,\,n\,\leq\,\,120$ .

Cherchons la solution pas à pas :

1. $n\,\equiv\,3\,\\,(mod\,\\,4)$ signifie que $n\,=\,4k\,%2B\,3$ pour un certain entier .

2. Substituons dans la deuxième congruence : $4k\,%2B\,3\,\equiv\,0\,\\,(mod\,\\,5)$ .

3. Simplifions :
$4k\,%2B\,3\,\equiv\,0\,\\,(mod\,\\,5)\,\implies\,4k\,\equiv\,-3\,\\,(mod\,\\,5)\,\implies\,4k\,\equiv\,2\,\\,(mod\,\\,5).$

Sachant que $4\,\equiv\,-1\,\\,(mod\,\\,5)$ , nous avons :
$-k\,\equiv\,2\,\\,(mod\,\\,5)\,\implies\,k\,\equiv\,-2\,\\,(mod\,\\,5)\,\implies\,k\,\equiv\,3\,\\,(mod\,\\,5)\,\quad\,(car\,\\,-2\,\equiv\,3\,\\,(mod\,\\,5)).$

4. Donc, peut être écrit sous la forme $k\,=\,5m\,%2B\,3$ pour un certain entier .

5. Remplaçons dans l’équation $n\,=\,4k\,%2B\,3$ :
$n\,=\,4(5m\,%2B\,3)\,%2B\,3\,=\,20m\,%2B\,12\,%2B\,3\,=\,20m\,%2B\,15.$

6. Cherchons qui est compris entre et .

$100\,\leq\,\,20m\,%2B\,15\,\leq\,\,120.$

Résolvons pour :
$85\,\leq\,\,20m\,\leq\,\,105\,\implies\,4.25\,\leq\,\,m\,\leq\,\,5.25.$

7. Puisque doit être un entier, la seule valeur possible est $m\,=\,5$ .

8. Substituons $m\,=\,5$ dans l’équation de :
$n\,=\,20\,\times \,5\,%2B\,15\,=\,100\,%2B\,15\,=\,115.$

Donc, l’escalier du phare comporte exactement marches.

Exercice 4 : résoudre un problème.
1. Déborah décide de ranger ses photos de vacances: 6 paquets de 27 photos et 3 paquets de 15 photos. Pour cela, elle veut acheter un album pouvant contenir 200 photos. Est-ce suffisant ? Expliquer.

Calculons le nombre total de photos :

$6\,\times \,27\,%2B\,3\,\times \,15$

Effectuons les multiplications :

$6\,\times \,27\,=\,162$

$3\,\times \,15\,=\,45$

Ensuite, additionnons les résultats :

$162\,%2B\,45\,=\,207$

Déborah a donc 207 photos.
Un album pouvant contenir 200 photos n’est pas suffisant pour ranger toutes ses photos.

2. Calculer un ordre de grandeur du nombre de tours qu’effectue l’aiguille des secondes d’une pendule en une année de 365 jours. Calculer le résultat exact en posant les opérations.

L’aiguille des secondes effectue un tour complet toutes les 60 secondes.

En une minute :
$1\,\,tour$

En une heure (60 minutes) :
$60\,\,tours$

En une journée (24 heures) :
$60\,\times \,24\,=\,1440\,\,tours$

En une année (365 jours) :
$1440\,\times \,365\,=\,525600\,\,tours$

Donc, l’aiguille des secondes effectue tours en une année de 365 jours.

Exercice 5 : calculs – problème.
Soit le prix d’un billet pour adulte.

Claire achète deux billets adultes, donc la dépense pour les billets adultes est .

Chaque entrée enfant coûte 1,60 €, et elle achète trois billets enfants, donc la dépense pour les billets enfants est $3\,\times \,1%2C60\,=\,4%2C80$ €.

En tout, Claire paye 14 €.

On peut écrire l’équation suivante :

$2x\,%2B\,4{%2C}80\,=\,14$

Pour trouver , nous isolons dans l’équation :

$2x\,=\,14\,-\,4{%2C}80$
$2x\,=\,9{%2C}20$

Finalement, nous divisons chaque côté par 2 :

$x\,=\,\frac{9{%2C}20}{2}$
$x\,=\,4{%2C}60$

Donc, le prix d’un billet pour adulte est de 4,60 €.

Exercice 6 : problèmes – somme d’argent.
a. Chloé reçoit 25 € d’argent de poche à la fin de chaque mois. À la fin d’une année, elle aura reçu :

$25\,\%2C\,%E2%82%AC\,\times \,12\,=\,300\,\%2C\,%E2%82%AC$

b. Bastien a économisé une somme de 480 € sur une année. Il a donc reçu à la fin de chaque mois :

$\frac{480\,\%2C\,%E2%82%AC}{12}\,=\,40\,\%2C\,%E2%82%AC$

c. Quentin a économisé une somme de 182 € sur une année. Il a donc reçu à la fin de chaque semaine :

$\frac{182\,\%2C\,%E2%82%AC}{52}\,\approx\,3%2C50\,\%2C\,%E2%82%AC$

Exercice 7 : résolution de problèmes.
$a.\,Une\,bande\,de\,6\,enfants\,se\,partagent\,equitablement\,un\,sachet\,de\,114\,bonbons.$

$Combien\,de\,bonbons\,recevra\,chaque\,enfant\,%3F$

$Chaque\,enfant\,recevra\,\quad\,\frac{114}{6}\,=\,19\,\quad\,bonbons.$

$b.\,Ces\,memes\,enfants\,se\,partagent\,maintenant\,une\,bouteille\,de\,1%2C5L\,de\,soda.$

$Reste-t-il\,encore\,de\,la\,boisson\,si\,chaque\,enfant\,prend\,0%2C25L\,de\,boisson\,%3F$

$Volume\,de\,boisson\,par\,enfant\,%3A\,\quad\,6\,\times \,0{%2C}25\,=\,1{%2C}5\,\quad\,L.$

$Il\,ne\,reste\,plus\,de\,boisson\,car\,\quad\,1{%2C}5\,\%2C\,L\,-\,1{%2C}5\,\%2C\,L\,=\,0.$

$c.\,Avant\,de\,se\,separer%2C\,il\,faut\,participer\,aux\,frais\,de\,ce\,gouter\,%3A\,chaque\,enfant\,donne\,1%2C60\,\%2C\,%E2%82%AC.$

$Cela\,permet-il\,de\,rembourser\,le\,total\,des\,achats\,qui\,s'eleve\,a\,9%2C75\,\%2C\,%E2%82%AC$

$Total\,collecte\,%3A\,\quad\,6\,\times \,1{%2C}60\,=\,9{%2C}60\,\%2C\,%E2%82%AC.$

$Il\,manque\,donc\,\quad\,9{%2C}75\,-\,9{%2C}60\,=\,0{%2C}15\,\%2C\,%E2%82%AC\,\quad\,pour\,rembourser\,le\,total\,des\,achats.$

$Conclusion\,%3A\,Cela\,ne\,permet\,pas\,de\,rembourser\,la\,totalite\,des\,achats.$

Exercice 8 : problème – le libraire.
Pour déterminer le nombre de bacs nécessaires pour ranger les 13 592 livres, nous devons diviser le nombre total de livres par la capacité maximale de chaque bac. Nous aurons besoin de :

$\lceil\,\frac{13\%2C592}{250}\,\rceil$

Calculons cette division :

$\frac{13\%2C592}{250}\,=\,54.368$

Comme nous avons un résultat non entier, nous devons arrondir au nombre entier supérieur car un bac ne peut être partiellement rempli. Ainsi, le nombre de bacs nécessaire est :

$\lceil\,54.368\,\rceil\,=\,55$

Par conséquent, le libraire aura besoin de $55\,bacs$ pour ranger tous ses livres.

Exercice 9 : problème- l’usine.
Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer combien de camions peuvent être chargés à pleine capacité (7 voitures) chaque jour.

D’abord, divisons le nombre total de voitures fabriquées par jour par la capacité de chaque camion:

$Nombre\,de\,camions\,=\,\frac{Nombre\,total\,de\,voitures}{Capacite\,d'un\,camion}$

$Nombre\,de\,camions\,=\,\frac{302}{7}$

Nous faisons la division:

$\frac{302}{7}\,\approx\,43%2C14$

Puisque nous cherchons le nombre de camions chargés à bloc, nous prenons la partie entière de cette division:

$\lfloor\,43%2C14\,\rfloor\,=\,43$

Cela signifie que 43 camions peuvent partir chaque jour avec une charge complète de 7 voitures.

Exercice 10 : problème – le fleuriste.
On commence par déterminer le nombre de bouquets que le fleuriste peut composer avec 200 roses. Chaque bouquet contient 12 roses.

$Nombre\,de\,bouquets\,=\,\lfloor\,\frac{200}{12}\,\rfloor\,=\,16$

Ensuite, on calcule le nombre de roses restantes après avoir composé les 16 bouquets :

$Roses\,restantes\,=\,200\,-\,(16\,\times \,12)\,=\,200\,-\,192\,=\,8$

Le fleuriste vend chaque bouquet de 12 roses pour 13 €.

$Revenu\,des\,bouquets\,=\,16\,\times \,13\,=\,208\,\%2C\,%E2%82%AC$

Les 8 roses restantes sont vendues à l’unité pour 1,5 € la rose.

$Revenu\,des\,roses\,restantes\,=\,8\,\times \,1{%2C}5\,=\,12\,\%2C\,%E2%82%AC$

Le revenu total de la vente de toutes les roses est donc la somme du revenu des bouquets et du revenu des roses restantes :

$Revenu\,total\,=\,208\,%2B\,12\,=\,220\,\%2C\,%E2%82%AC$

Ainsi, la vente de toutes ces fleurs rapportera 220 €.

Exercice 11 : problème – la boite de conserve.
a. Combien pèse chaque boîte de conserve ?

La palette entière pèse 370 kg, et la palette vide pèse 7 kg. Le poids total des boîtes de conserve est donc :

$370\%2C\,kg\,-\,7\%2C\,kg\,=\,363\%2C\,kg$

Si une palette contient 605 boîtes, alors le poids d’une seule boîte de conserve est :

$\frac{363\%2C\,kg}{605}\,=\,0.6\%2C\,kg\,=\,600\%2C\,g$

Chaque boîte de conserve pèse donc 600 g.

b. Sachant que chaque boîte contient 10 tomates d’environ 50 g chacune, combien pèse la boîte de conserve vide ?

Le poids des tomates dans une boîte est :

$10\%2C\,tomates\,\times \,50\%2C\,g\,=\,500\%2C\,g$

Le poids total de la boîte de conserve pleine est 600 g, comme calculé précédemment. Donc, le poids de la boîte vide est :

$600\%2C\,g\,-\,500\%2C\,g\,=\,100\%2C\,g$

La boîte de conserve vide pèse donc 100 g.

Exercice 12 : la division euclidienne
Correction de l’exercice :

1. Effectuer les divisions euclidiennes suivantes, en donnant à chaque fois l’égalité entre le dividende, le diviseur, le reste et le quotient :

$26\,: \,4\,=\,6\,\quad\,\mathrm{reste}\,\\,2\,\Rightarrow\,26\,=\,4\,\times \,6\,%2B\,2$

$30\,: \,7\,=\,4\,\quad\,\mathrm{reste}\,\\,2\,\Rightarrow\,30\,=\,7\,\times \,4\,%2B\,2$

$50\,: \,6\,=\,8\,\quad\,\mathrm{reste}\,\\,2\,\Rightarrow\,50\,=\,6\,\times \,8\,%2B\,2$

$49\,: \,7\,=\,7\,\quad\,\mathrm{reste}\,\\,0\,\Rightarrow\,49\,=\,7\,\times \,7\,%2B\,0$

2.
a) Poser et effectuer la division euclidienne suivante : 1575 par 4.

$1575\,: \,4\,=\,393\,\quad\,\mathrm{reste}\,\\,3$

b) Écrire l’égalité entre le dividende, le diviseur, le reste et le quotient pour la division euclidienne précédente.

$1575\,=\,4\,\times \,393\,%2B\,3$

3. Dimitri range 2005 livres dans des cartons pouvant chacun contenir 40 livres.

$2005\,: \,40\,=\,50\,\quad\,\mathrm{reste}\,\\,5$

Donc il aura besoin de $\lceil\,50.125\,\rceil\,=\,51$ cartons.

4. Clara distribue équitablement 79 biscuits entre 15 enfants et garde le reste.

a. Combien de biscuits reçoit chaque enfant ?

$79\,: \,15\,=\,5\,\quad\,\mathrm{reste}\,\\,4$

Chaque enfant reçoit donc 5 biscuits.

b. Combien de biscuits pourra manger Clara ?

Clara pourra manger le reste, c’est-à-dire 4 biscuits.

5. À l’aide des critères de divisibilité, et en justifiant la réponse, dire si 1224 est divisible par 2, par 3, par 4, par 5 et par 9.

– Divisibilité par 2 : Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair. Le dernier chiffre de 1224 est 4, donc 1224 est divisible par 2.
– Divisibilité par 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. La somme des chiffres de 1224 est $1\,%2B\,2\,%2B\,2\,%2B\,4\,=\,9$ , et 9 est divisible par 3, donc 1224 est divisible par 3.
– Divisibilité par 4 : Un nombre est divisible par 4 si les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4. Les deux derniers chiffres de 1224 sont 24, et 24 est divisible par 4, donc 1224 est divisible par 4.
– Divisibilité par 5 : Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5. Le dernier chiffre de 1224 est 4, donc 1224 n’est pas divisible par 5.
– Divisibilité par 9 : Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. La somme des chiffres de 1224 est 9, et 9 est divisible par 9, donc 1224 est divisible par 9.

6. Répondre par VRAI ou FAUX. Si vous répondez FAUX, justifier votre réponse.

a. L’égalité $31\,=\,(3\,\times \,9)\,%2B\,4$ signifie que 9 est le quotient et 4 est le reste de la division euclidienne de 31 par 3.

FAUX, $(3\,\times \,9)\,=\,27$ , donc $(3\,\times \,9)\,%2B\,4\,=\,27\,%2B\,4\,=\,31$ signifie que 3 est le quotient et 4 est le reste de la division euclidienne de 31 par 9.

b. Si le quotient de la division euclidienne d’un nombre par 8 est égal à 54, alors ce nombre est égal à $54\,\times \,8$ .

FAUX. Si le quotient de la division euclidienne d’un nombre par 8 est égal à 54, alors ce nombre est égal à $54\,\times \,8\,%2B\,\textit{le\,reste}$ .

Exercice 13 : la division décimale, euclidienne et des problèmes
Situation 1

1) Poser la division euclidienne de 334 par 8 et écrire l’égalité entre dividende, diviseur, quotient et reste.

$334\,=\,8\,\times \,41\,%2B\,6$

2) En montrant, s’il y en a besoin, les calculs posés, donner la valeur exacte du quotient $334\,: \,8$ .

$334\,: \,8\,=\,41%2C75$

Situation 2

En posant les calculs, donner le résultat exact des quotients suivants :

$173\,: \,4\,=\,43%2C25$

$9%2C42\,: \,15\,=\,0%2C628$

Situation 3

1) Combien pourra-t-elle remplir de boîtes d’œufs ?

$418\,: \,12\,=\,34%2C833$
Elle pourra remplir 34 boîtes d’œufs complètement.

2) Combien d’œufs lui manque-t-il pour remplir une boîte supplémentaire ?

$418\,\mod\,12\,=\,10$
Il lui manque 2 œufs pour remplir une boîte supplémentaire.

Situation 4

J’ai acheté 2,5 m de tissu bleu ciel à 1,6 € le mètre, 3 broches à 1,8 € le lot de 3 et 4 m de tissu bleu turquoise.

L’ensemble coûte :

$2%2C5\,\times \,1%2C6\,%2B\,1%2C8\,%2B\,4x\,=\,9%2C20$

$4%2C00\,%2B\,1%2C8\,%2B\,4x\,=\,9%2C20$

$4x\,=\,9%2C20\,-\,5%2C8$

$4x\,=\,3%2C4$

$x\,=\,\frac{3%2C4}{4}\,=\,0%2C85$

Le prix du mètre de tissu bleu turquoise est donc 0,85 €.

Exercice 14 : courses au supermarché
Reprenons les calculs effectués par la caissière et complétons le texte :

1. Prix de trois bouteilles de jus de fruits :
$3\,\times \,2{%2C}65\,=\,7{%2C}95$

2. Deux paquets de madeleines :
$2\,\times \,3{%2C}42\,=\,6{%2C}84$

3. Prix des pommes :
$1{%2C}65\,\times \,2{%2C}4\,=\,3{%2C}96$

4. Total intermédiaire :
$6{%2C}84\,%2B\,3{%2C}96\,%2B\,1{%2C}17\,%2B\,7{%2C}95\,=\,19{%2C}92$

5. Monnaie rendue :
$20\,-\,19{%2C}92\,=\,0{%2C}08$

Texte complété :

Il achète deux paquets de madeleines à l’un, $1{%2C}650\,\%2C\,kg$ de pommes à 2{%2C}4 le kg, six packs de bouteilles de jus de fruits à le pack et une tablette de chocolat à . Il paye avec un billet de . On lui rend centimes .

Exercice 15 : trois problèmes
$Probleme\,1$ :
Agnès achète un pull à 54,70 €. Le commerçant lui fait une remise de 12,50 €. Combien va-t-elle payer le pull ?

Pour résoudre ce problème, l’opération correcte est :
$54%2C70\,-\,12%2C50$

La réponse correcte est donc :
$b.\,\\,54%2C70\,-\,12%2C50$

$Probleme\,2$ :
Élise commande un livre sur Internet. Son prix est de 12,60 € et les frais de port sont de 3,60 €. Combien va-t-elle payer ?

Pour résoudre ce problème, l’opération correcte est :
$12%2C60\,%2B\,3%2C60$

La réponse correcte est donc :
$b.\,\\,12%2C60\,%2B\,3%2C60$

$Probleme\,3$ :
Laurent a acheté 3,2 kg d’abricots à 2,70 € le kilogramme. Combien a-t-il payé ?

Pour résoudre ce problème, l’opération correcte est :
$3%2C2\,\times \,2%2C70$

La réponse correcte est donc :
$b.\,\\,3%2C2\,\times \,2%2C70$

$Probleme\,4$ :
Sophie vend un bouquet de 15 roses pour 22,50 €. Combien coûte une rose ?

Pour résoudre ce problème, l’opération correcte est :
$22%2C50\,: \,15$

La réponse correcte est donc :
$c.\,\\,22%2C50\,: \,15$

Exercice 16 : compteur de voiture
Pour déterminer la distance que Pierre a parcourue lors de ses vacances, nous calculons la différence entre les deux relevés du compteur kilométrique.

Distance parcourue :
$D\,=\,Indication\,au\,retour\,-\,Indication\,au\,depart$

En substituant les valeurs données :
$D\,=\,59329%2C1\%2Ckm\,-\,58257%2C6\%2Ckm$

Effectuons cette soustraction :
$D\,=\,59329%2C1\,-\,58257%2C6\,=\,1071%2C5\%2Ckm$

Ainsi, Pierre a parcouru une distance de $1071%2C5\%2Ckm$ .

Exercice 17 : série de problèmes
a. Philippe fait une randonnée de 13,7 km. Il a parcouru 8,6 km le matin. Combien lui reste-t-il à parcourir ?
$13%2C7\,-\,8%2C6$

b. Un apiculteur répartit 6,3 kg de miel dans 14 pots identiques. Quelle est la contenance de chacun des pots ?
$\frac{6%2C3}{14}$

c. Un manteau coûte 56,80 €. Le commerçant me fait une remise de 12,40 €. Combien vais-je payer ce manteau ?
$56%2C80\,-\,12%2C40$

d. J’achète 10 baguettes pour un total de 8,50 €. Combien coûtent trois baguettes ?
$\frac{8%2C50}{10}\,\times \,3$

e. Claire veut acheter un livre. Elle a 12,42 € mais il lui manque 3,45 € pour le payer. Quel est le prix du livre ?
$12%2C42\,%2B\,3%2C45$

Exercice 18 : au théâtre
Soit le prix du ticket. Nous avons :

$12%2C28\,%2B\,3%2C25\,=\,x$

En additionnant les montants, nous obtenons :

$x\,=\,12%2C28\,%2B\,3%2C25$

Effectuons cette addition :

$12%2C28\,%2B\,3%2C25\,=\,15%2C53$

Donc, le prix du ticket est de 15,53 €.

Exercice 19 : système anglo-saxon
a. La longueur de la diagonale d’un écran de 17 pouces est directement 17 pouces puisque la taille est déjà exprimée en pouces.

b. John mesure 5 pieds et 10 pouces. Convertissons cette taille en mètres.

Tout d’abord, convertissons les pieds en pouces :
$5\,\%2C\,pieds\,=\,5\,\times \,12\,\%2C\,pouces\,=\,60\,\%2C\,pouces$

Ajoutons les 10 pouces :
$60\,\%2C\,pouces\,%2B\,10\,\%2C\,pouces\,=\,70\,\%2C\,pouces$

Sachant qu’un pouce mesure 2,54 cm, convertissons les pouces en centimètres :
$70\,\%2C\,pouces\,\times \,2%2C54\,\%2C\,cm%2Fpouce\,=\,177%2C8\,\%2C\,cm$

Enfin, convertissons les centimètres en mètres :
$177%2C8\,\%2C\,cm\,=\,1%2C778\,\%2C\,m$

Donc, la taille de John est de $1%2C778\,\%2C\,m$ .

Exercice 20 : note de restaurant
$\begin{array}{%7Cl%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0APizzeria\,VALERIO\,%26\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0APizza\,Calzone\,%26\,4\,\times \,8%2C30\,%26\,33%2C20\,\\%0D%0A\hline%0D%0APizza\,Orientale\,%26\,3\,\times \,9%2C40\,%26\,28%2C20\,\\%0D%0A\hline%0D%0ATagliatelles\,Bolognaise\,%26\,2\,\times \,8%2C50\,%26\,17%2C00\,\\%0D%0A\hline%0D%0ALasagnes\,%26\,3\,\times \,9%2C50\,%26\,28%2C50\,\\%0D%0A\hline%0D%0AFondant\,au\,chocolat\,%26\,6\,\times \,6%2C50\,%26\,39%2C00\,\\%0D%0A\hline%0D%0AMousse\,au\,chocolat\,%26\,4\,\times \,5%2C50\,%26\,22%2C00\,\\%0D%0A\hline%0D%0ATiramisu\,%26\,2\,\times \,6%2C30\,%26\,12%2C60\,\\%0D%0A\hline%0D%0APichet\,vin\,50\,cL\,%26\,4\,\times \,4%2C80\,%26\,19%2C20\,\\%0D%0A\hline%0D%0ABiere\,%26\,6\,\times \,3%2C60\,%26\,21%2C60\,\\%0D%0A\hline%0D%0ACafe\,%26\,8\,\times \,1%2C40\,%26\,11%2C20\,\\%0D%0A\hline%0D%0ATOTAL\,%26\,%26\,232%2C50\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : série de problèmes
a. Pour trouver le prix d’un livre, on divise le montant total par le nombre de livres :

$Prix\,d'un\,livre\,=\,\frac{60\,\%2C\,%E2%82%AC}{24\,\%2C\,livres}\,=\,2%2C50\,\%2C\,%E2%82%AC$

b. Si l’âge de Pierre double, il aura 2 fois 24 ans :

$2\,\times \,24\,=\,48\,\%2C\,ans$

À ce moment-là, Gilbert aura :

$60\,\%2C\,ans\,%2B\,(48\,\%2C\,ans\,-\,24\,\%2C\,ans)\,=\,60\,\%2C\,ans\,%2B\,24\,\%2C\,ans\,=\,84\,\%2C\,ans$

c. Pour trouver la masse de cerises contenue dans chaque pot, on divise la masse totale par le nombre de pots :

$Masse\,par\,pot\,=\,\frac{24\,\%2C\,kg}{60\,\%2C\,pots}\,=\,0%2C4\,\%2C\,kg%2Fpot$

d. Pour déterminer combien de voyages Bernard doit faire, on divise le nombre total de livres par le nombre de livres qu’il peut transporter par voyage et on arrondit au nombre entier supérieur le plus proche :

$Nombre\,de\,voyages\,=\,\lceil\,\frac{60\,\%2C\,livres}{24\,\%2C\,livres%2Fvoyage}\,\rceil\,=\,\lceil\,2%2C5\,\rceil\,=\,3\,\%2C\,voyages$

e. Pour déterminer combien de bouquets de 24 roses on peut faire avec 60 roses, on divise le nombre total de roses par le nombre de roses par bouquet :

$Nombre\,de\,bouquets\,=\,\lfloor\,\frac{60\,\%2C\,roses}{24\,\%2C\,roses%2Fbouquet}\,\rfloor\,=\,\lfloor\,2%2C5\,\rfloor\,=\,2\,\%2C\,bouquets$

Exercice 22 : caisse et achats
Soit le montant des achats actuels qui est de 18,67 €.

Soit le prix de la boîte de bonbons qui est de 1,35 €.

Calculons le total des achats si on ajoute la boîte de bonbons :
$T\,=\,S\,%2B\,B$
$T\,=\,18%2C67\,%2B\,1%2C35$
$T\,=\,20%2C02$

La somme totale des achats après l’ajout de la boîte de bonbons serait de 20,02 €.

Or, la somme d’argent en possession est de 20 €.

Il est donc impossible d’ajouter la boîte de bonbons car :
$20%2C02\,>\,20$ Exercice 23 : au supermarché
La somme des achats, à l’exception du rôti, est donnée par :
$2%2C56\,\%2C%E2%82%AC\,%2B\,(3\,\times \,1%2C87\,\%2C%E2%82%AC)$

Calculons cette somme:
$2%2C56\,\%2C%E2%82%AC\,%2B\,(3\,\times \,1%2C87\,\%2C%E2%82%AC)\,=\,2%2C56\,\%2C%E2%82%AC\,%2B\,5%2C61\,\%2C%E2%82%AC\,=\,8%2C17\,\%2C%E2%82%AC$

Le montant total payé est de 20 € et le caissier rend 2,08 €. Donc, le coût total des achats est:
$20\,\%2C%E2%82%AC\,-\,2%2C08\,\%2C%E2%82%AC\,=\,17%2C92\,\%2C%E2%82%AC$

Le coût du rôti est inclus dans la somme totale des achats qui est de 17,92 €. On peut donc écrire:
$15\,\%2C%E2%82%AC%2Fkg\,\times \,x\,\%2C\,kg\,%2B\,8%2C17\,\%2C%E2%82%AC\,=\,17%2C92\,\%2C%E2%82%AC$

En isolant la masse du rôti , on obtient:
$15\,\times \,x\,%2B\,8%2C17\,=\,17%2C92$
$15\,\times \,x\,=\,17%2C92\,-\,8%2C17$
$15\,\times \,x\,=\,9%2C75$
$x\,=\,\frac{9%2C75}{15}$
$x\,=\,0%2C65$

Ainsi, la masse du rôti est de 0%2C65 kg.

Exercice 24 : supprimer les données inutiles
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

a. Victor part se promener en vélo à 14 h 00. Il roule pendant 5,2 km, s’arrête 30 minutes pour réparer sa roue, puis roule encore 3,5 km et arrive chez son ami à 15 h 10 min. Combien de kilomètres a-t-il parcourus ?

Les données inutiles sont :
– L’heure de départ (14 h 00) et l’heure d’arrivée (15 h 10 min).

Distance parcourue :
$5%2C2\,\\,km\,%2B\,3%2C5\,\\,km\,=\,8%2C7\,\\,km$

Réponse : Victor a parcouru $8%2C7\,\\,km$ .

—

b. Vincent habite à 200 m de la boulangerie. Il achète une baguette à 0,85 € et trois gâteaux à 2,25 € pièce. Il a 13,84 € dans son porte-monnaie. Combien paie-t-il ?

Les données inutiles sont :
– La distance entre chez Vincent et la boulangerie (200 m).
– La somme d’argent qu’il a dans son porte-monnaie (13,84 €).

Montant total des achats :
$Baguette\,%3A\,0%2C85\,\\,%E2%82%AC$
$Gateaux\,%3A\,3\,\times \,2%2C25\,\\,%E2%82%AC\,=\,6%2C75\,\\,%E2%82%AC$

$Total\,%3A\,0%2C85\,\\,%E2%82%AC\,%2B\,6%2C75\,\\,%E2%82%AC\,=\,7%2C60\,\\,%E2%82%AC$

Réponse : Vincent paie $7%2C60\,\\,%E2%82%AC$ .

Exercice 25 : trouver la bonne expression
Problème 1 : Agnès achète un pull à 54,70 €, le commerçant lui fait une remise de 12,50 €. Combien va-t-elle payer le pull ?
La bonne réponse est $\mathbf{b}$ : $54%2C70\,-\,12%2C50$ .

$54%2C70\,-\,12%2C50\,=\,42%2C20$

Problème 2 : Élise commande un livre sur Internet. Son prix est de 12,60 € et les frais de port sont de 3,60 €. Combien va-t-elle payer ?
La bonne réponse est $\mathbf{a}$ : $12%2C60\,%2B\,3%2C60$ .

$12%2C60\,%2B\,3%2C60\,=\,16%2C20$

Problème 3 : Laurent a acheté 3,2 kg d’abricots à 2,70 € le kilogramme. Combien a-t-il payé ?
La bonne réponse est $\mathbf{c}$ : $3%2C2\,\times \,2%2C70$ .

$3%2C2\,\times \,2%2C70\,=\,8%2C64$

Problème 4 : Sophie vend un bouquet de 15 roses pour 22,50 €. Combien coûte une rose ?
La bonne réponse est $\mathbf{c}$ : $22%2C50\,: \,15$ .

$22%2C50\,: \,15\,=\,1%2C50$

Exercice 26 : résoudre des problèmes
a.
$Distance\,restante\,a\,parcourir\,=\,13{%2C}7\,\%2C\,km\,-\,8{%2C}6\,\%2C\,km$

b.
$Contenance\,de\,chaque\,pot\,=\,\frac{6{%2C}3\,\%2C\,kg}{14}$

c.
$Prix\,apres\,remise\,=\,56{%2C}80\,\%2C\,%E2%82%AC\,-\,12{%2C}40\,\%2C\,%E2%82%AC$

d.
$Prix\,de\,trois\,baguettes\,=\,\frac{8{%2C}50\,\%2C\,%E2%82%AC}{10}\,\times \,3$

e.
$Prix\,du\,livre\,=\,12{%2C}42\,\%2C\,%E2%82%AC\,%2B\,3{%2C}45\,\%2C\,%E2%82%AC$

Exercice 27 : dépôt d’argent sur un livret
Antoine avait initialement $832%2C28\,\%2C\,%E2%82%AC$ sur son livret d’épargne. Pour son anniversaire, ses parents y ont ajouté $75\,\%2C\,%E2%82%AC$ .

Nous devons donc calculer le nouveau solde de son livret d’épargne en additionnant les deux montants :

$832%2C28\,\%2C\,%E2%82%AC\,%2B\,75\,\%2C\,%E2%82%AC$

En effectuant l’addition :

$832%2C28\,%2B\,75\,=\,907%2C28$

Antoine a maintenant $907%2C28\,\%2C\,%E2%82%AC$ sur son livret d’épargne.

Exercice 28 : le pouce et le pied anglo-saxon
\begin{flushleft}
Correction de l’exercice :

Dans le système de mesure anglo-saxon, un pouce mesure $2{%2C}54\,\%2C\,cm$ et $1\,\%2C\,pied$ vaut $12\,\%2C\,pouces$ .

a. La taille d’un écran d’ordinateur est donnée par la longueur de sa diagonale et est exprimée en pouces. Quelle est la longueur de la diagonale d’un écran de $17\,\%2C\,\text{pouces$ ?}

La longueur de la diagonale d’un écran de $17\,\%2C\,pouces$ est simplement $17\,\%2C\,pouces$ .

Pour convertir cette longueur en centimètres :
$17\,\%2C\,pouces\,\times \,2{%2C}54\,\%2C\,cm%2Fpouce\,=\,43{%2C}18\,\%2C\,cm$

La longueur de la diagonale d’un écran de 17 pouces est de 43,18 cm.

b. John mesure 5 pieds et 10 pouces. Quelle est sa taille en mètres ?

1 pied = 12 pouces, donc :
$5\,\%2C\,pieds\,\times \,12\,\%2C\,pouces%2Ffoot\,=\,60\,\%2C\,pouces$
Ajoutant les 10 pouces supplémentaires :
$60\,\%2C\,pouces\,%2B\,10\,\%2C\,pouces\,=\,70\,\%2C\,pouces$

Pour convertir les pouces en centimètres :
$70\,\%2C\,pouces\,\times \,2{%2C}54\,\%2C\,cm%2Fpouce\,=\,177{%2C}8\,\%2C\,cm$

Enfin, pour convertir les centimètres en mètres :
$177{%2C}8\,\%2C\,cm\,\times \,0{%2C}01\,\%2C\,m%2Fcm\,=\,1{%2C}778\,\%2C\,m$

La taille de John est de 1,778 mètres.
\end{flushleft}

Exercice 29 : facture du repas dans une pizzeria
\begin{align*}
\text{Pizza Calzone} : 4 \times 8,30 = 4 \times 8,30 = 33,20 \\
\text{Pizza Orientale} : 3 \times 9,40 = 28,20 \\
\text{Tagliatelles Bolognaise} : 2 \times 8,50 = 17,00 \\
\text{Lasagnes} : 3 \times 9,50 = 28,50 \\
\text{Fondant au chocolat} : 6 \times 6,50 = 39,00 \\
\text{Mousse au chocolat} : 4 \times 5,50 = 22,00 \\
\text{Tiramisu} : 2 \times 6,30 = 12,60 \\
\text{Pichet vin 50 cL} : 4 \times 4,80 = 19,20 \\
\text{Bière} : 6 \times 3,60 = 21,60 \\
\text{Café} : 8 \times 1,40 = 11,20 \\
\text{TOTAL} : 33,20 + 28,20 + 17,00 + 28,50 + 39,00 + 22,00 + 12,60 + 19,20 + 21,60 + 11,20 \\
= 232,50
\end{align*}

Exercice 30 : résoudre différents problèmes
a. Bernadette a acheté 24 livres identiques pour 60 €. Quel est le prix d’un livre ?

Le prix d’un livre se calcule en divisant le prix total par le nombre de livres :
$Prix\,d'un\,livre\,=\,\frac{60\,\%2C\,%E2%82%AC}{24}\,=\,2.5\,\%2C\,%E2%82%AC$

—

b. Pierre a 24 ans et Gilbert 60 ans. Quel sera l’âge de Gilbert lorsque l’âge de Pierre aura doublé ?

L’âge de Pierre doublé sera :
$2\,\times \,24\,=\,48\,\%2C\,ans$

À ce moment, Gilbert aura :
$60\,%2B\,(48\,-\,24)\,=\,84\,\%2C\,ans$

—

c. Avec 24 kg de cerises, Brigitte fait 60 pots de confiture. Quelle masse de cerises contient chaque pot ?

La masse de cerises par pot se calcule en divisant la masse totale de cerises par le nombre de pots :
$Masse\,de\,cerises\,par\,pot\,=\,\frac{24\,\%2C\,kg}{60}\,=\,0.4\,\%2C\,kg$

—

d. Bernard veut déménager ses 60 livres. À chaque voyage, il peut transporter 24 livres. Combien de voyages doit-il faire au minimum ?

Le nombre de voyages au minimum se calcule en divisant le nombre total de livres par le nombre de livres transportés par voyage et en arrondissant au nombre entier supérieur :
$Nombre\,de\,voyages\,=\,\lceil\,\frac{60}{24}\,\rceil\,=\,\lceil\,2.5\,\rceil\,=\,3\,\%2C\,voyages$

—

e. Combien peut-on faire de bouquets de 24 roses avec 60 roses ?

Le nombre maximum de bouquets se calcule en divisant le nombre total de roses par le nombre de roses par bouquet :
$Nombre\,de\,bouquets\,=\,\lfloor\,\frac{60}{24}\,\rfloor\,=\,\lfloor\,2.5\,\rfloor\,=\,2\,\%2C\,bouquets$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : calculer la masse de rôti
On détermine d’abord le montant total des dépenses.

Le pack de 6 bouteilles de lait coûte $2{%2C}56\,\%2C\,%E2%82%AC$ .

Le coût total des 3 paquets de gâteaux est de:
$3\,\times \,1{%2C}87\,\%2C\,%E2%82%AC\,=\,5{%2C}61\,\%2C\,%E2%82%AC$

Soit le coût du rôti en euros. Ainsi, le montant total des achats est:
$R\,%2B\,2{%2C}56\,\%2C\,%E2%82%AC\,%2B\,5{%2C}61\,\%2C\,%E2%82%AC$

Le montant rendu est $20\,\%2C\,%E2%82%AC\,-\,2{%2C}08\,\%2C\,%E2%82%AC\,=\,17{%2C}92\,\%2C\,%E2%82%AC$ .

Donc:
$R\,%2B\,2{%2C}56\,\%2C\,%E2%82%AC\,%2B\,5{%2C}61\,\%2C\,%E2%82%AC\,=\,17{%2C}92\,\%2C\,%E2%82%AC$

Résolvons pour :
$R\,=\,17{%2C}92\,\%2C\,%E2%82%AC\,-\,2{%2C}56\,\%2C\,%E2%82%AC\,-\,5{%2C}61\,\%2C\,%E2%82%AC$
$R\,=\,17{%2C}92\,\%2C\,%E2%82%AC\,-\,8{%2C}17\,\%2C\,%E2%82%AC$
$R\,=\,9{%2C}75\,\%2C\,%E2%82%AC$

La masse du rôti est donc:
$\frac{9{%2C}75\,\%2C\,%E2%82%AC}{15\,\%2C\,%E2%82%AC%2Fkg}\,=\,0{%2C}65\,\%2C\,kg$

Ainsi, la masse du rôti est de $0{%2C}65\,\%2C\,kg$ .

Exercice 32 : la fourgonnette d’un viticulteur
a. Quelle est la masse de la fourgonnette à vide ?

La masse totale de la fourgonnette chargée est de 1852,7 kg. Pour déterminer la masse de la fourgonnette à vide, nous devons soustraire la masse des 32 caisses contenant du raisin (432 kg) de la masse totale.

$Masse\,de\,la\,fourgonnette\,a\,vide\,=\,1852%2C7\%2Ckg\,-\,432\%2Ckg\,=\,1420%2C7\%2Ckg$

b. Combien pèse chaque caisse remplie de raisins ?

La masse totale de 32 caisses est de 432 kg. Pour obtenir la masse d’une caisse, nous divisons cette masse totale par le nombre de caisses.

$Masse\,d'une\,caisse\,=\,\frac{432\%2Ckg}{32}\,=\,13%2C5\%2Ckg$

c. Ces 32 caisses contiennent 384 kg de raisins. 1 kg de raisins est vendu 1,65 € à la coopérative. Combien a rapporté la vente de ces 32 caisses au viticulteur ?

Pour déterminer le rapport total de la vente de 384 kg de raisins, nous multiplions la masse totale de raisins par le prix de vente par kilogramme.

$Recette\,totale\,=\,384\%2Ckg\,\times \,1%2C65\%2C%E2%82%AC%2Fkg\,=\,633%2C6\%2C%E2%82%AC$

d. Les deux jours suivants, le viticulteur a récolté respectivement 437,6 kg et 658,3 kg de raisins. Quelle quantité de raisins a-t-il récoltée pendant ces trois jours ?

La quantité totale de raisins récoltée pendant les trois jours est la somme des 384 kg récoltés initialement et des quantités récoltées les deux jours suivants.

$Quantite\,totale\,de\,raisins\,=\,384\%2Ckg\,%2B\,437%2C6\%2Ckg\,%2B\,658%2C3\%2Ckg\,=\,1479%2C9\%2Ckg$

Exercice 33 : les tarifs d’un parc animalier
a. Une famille composée de deux adultes et de deux enfants âgés respectivement de 3 et 8 ans paiera:
$2\,\times \,7{%2C}20\,%2B\,1\,\times \,3{%2C}80\,%2B\,1\,\times \,0\,=\,2\,\times \,7{%2C}20\,%2B\,3{%2C}80\,=\,14{%2C}40\,%2B\,3{%2C}80\,=\,18{%2C}20\,\%2C\,%E2%82%AC$

b. Un groupe de 52 adultes souhaite visiter le parc. Parmi ces personnes, trois sont handicapées et 25 ont plus de 60 ans. Le total est alors:
$49\,\%2C\,(adultes)\,-\,(3\,\%2C\,(handicapees)\,%2B\,25\,\%2C\,(seniors))\,=\,24\,\%2C\,(adultes)$
Prix total:
$(24\,\times \,7{%2C}20)\,%2B\,(3\,\times \,3{%2C}60)\,%2B\,(25\,\times \,5{%2C}70)\,=\,172{%2C}80\,%2B\,10{%2C}80\,%2B\,142{%2C}50\,=\,326{%2C}10\,\%2C\,%E2%82%AC$
La somme de 300 € ne suffira donc pas pour couvrir le coût de la visite de ce groupe.

c. Un groupe classe de 28 élèves de 6e visite le parc animalier. Trois professeurs accompagnent les élèves. Un adulte par groupe peut entrer gratuitement. Le coût total de la visite est de 84{,}40 \, €.
Décomposons ce coût :
$28\,\%2C\,eleves\,%2B\,3\,\%2C\,professeurs\,-\,3\,\%2C\,professeurs\,gratuits\,=\,28\,\%2C\,eleves\,payant$
Donc, le prix par élève est :
$\frac{84%2C40}{28}\,=\,3{%2C}0\,\%2C\,%E2%82%AC$

Exercice 34 : division décimale
Correction de l’exercice de mathématiques :

a. Effectuer la division décimale de 6,36 par 12 :
$\frac{6%2C36}{12}\,=\,0%2C53$

b. Effectuer la division décimale de 128,6 par 51. Arrêter le quotient au dixième :
$\frac{128%2C6}{51}\,\approx\,2%2C5$

c. Effectuer la division décimale de 752,2 par 15. Arrêter le quotient au centième :
$\frac{752%2C2}{15}\,\approx\,50%2C15$

d. Effectuer la division décimale de 11 par 7. Arrêter le quotient au centième :
$\frac{11}{7}\,\approx\,1%2C57$

Exercice 35 : problèmes sur la division décimale

Pierre achète 15 m de fil électrique pour 10,35 €. Quel est le prix d’un mètre de ce fil électrique ?

Pour trouver le prix d’un mètre de fil électrique, on divise le coût total par la longueur totale du fil.

$Prix\,d'un\,metre\,de\,fil\,=\,\frac{10%2C35\,\%2C\,%E2%82%AC}{15\,\%2C\,m}\,=\,0%2C69\,\%2C\,%E2%82%AC%2Fm$

Le prix d’un mètre de fil électrique est donc 0,69 €.

Un lot de 7 boîtes de petits pois coûte 3,60 €. Combien coûte une boîte de petits pois ?

Pour déterminer le prix d’une boîte de petits pois, on divise le prix total par le nombre de boîtes.

$Prix\,d'une\,boite\,de\,petits\,pois\,=\,\frac{3%2C60\,\%2C\,%E2%82%AC}{7}\,\approx\,0%2C514\,\%2C\,%E2%82%AC$

Le prix d’une boîte de petits pois est donc environ 0,514 €.

Voir Corrigés 31 à 35 ...

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