Problèmes et calculs : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 1 : problèmes et divisions
1.

Le prix de :

1. Une ampoule à 12 euros les 4 ?

Prix\,d'une\,ampoule\,=\,\frac{12\,\%2C\,euros}{4}\,=\,3\,\%2C\,euros

2. Une gomme à 52 euros les 13 ?

Prix\,d'une\,gomme\,=\,\frac{52\,\%2C\,euros}{13}\,=\,4\,\%2C\,euros

3. Un pinceau à 91 euros les 14 ?

Prix\,d'un\,pinceau\,=\,\frac{91\,\%2C\,euros}{14}\,=\,6%2C50\,\%2C\,euros

4. Un cahier à 162 euros les 27 ?

Prix\,d'un\,cahier\,=\,\frac{162\,\%2C\,euros}{27}\,=\,6\,\%2C\,euros

2.

Le coût de :

1. Un rouleau de papier à 777 euros les 42 rouleaux ?

Cout\,d'un\,rouleau\,=\,\frac{777\,\%2C\,euros}{42}\,\approx\,18%2C50\,\%2C\,euros

2. 1 m de câble à 5 915 euros les 455 m de câble ?

Cout\,de\,1\,m\,de\,cable\,=\,\frac{5\,915\,\%2C\,euros}{455}\,=\,13\,\%2C\,euros

3. 1 tournevis à 7 425 euros les 675 tournevis ?

Cout\,de\,1\,tournevis\,=\,\frac{7425\,\%2C\,euros}{675}\,=\,11\,\%2C\,euros

4. 1 KW/h à 150 euros les 5000 KW/h ?

Cout\,de\,1\,KW%2Fh\,=\,\frac{150\,\%2C\,euros}{5000\,\%2C\,KW%2Fh}\,=\,0%2C03\,\%2C\,euros%2FKW%2Fh

3.

Le prix d’un carnet :

Prix\,d'un\,carnet\,=\,\frac{64\,\%2C\,euros}{25}\,=\,2%2C56\,\%2C\,euros

Le collège estime qu’il a besoin de 470 carnets. Combien de lots doit-il commander ?

Nombre\,de\,lots\,necessaires\,=\,\lceil\,\frac{470}{25}\,\rceil\,=\,19\,\%2C\,lots

Combien y aura-t-il de carnets en trop ?

19\,\%2C\,lots\,\times  \,25\,\%2C\,carnets\,=\,475\,\%2C\,carnets
Carnets\,en\,trop\,=\,475\,-\,470\,=\,5\,\%2C\,carnets

Exercice 2 : problème – calcul.
a. Vincent prend un repas complet (entrée, plat, fromage, dessert).
Combien peut-il composer de repas complets différents ?

Pour chaque composante, Vincent a plusieurs choix :

– Entrées : 3 choix
– Plats principaux : 2 choix
– Fromages : 3 choix
– Desserts : 5 choix

Le nombre total de repas complets différents est donné par le produit de toutes les combinaisons possibles :

3\,\times  \,2\,\times  \,3\,\times  \,5\,=\,90

Vincent peut donc composer 90 repas complets différents.

b. Yasmina n’aime pas le fromage. Elle a donc le droit de prendre deux entrées.
Combien peut-elle composer de repas différents ?

Pour Yasmina, le repas est constitué de deux entrées, un plat principal et un dessert.

– Entrées : {3\,\choose\,2} combinaisons de 2 entrées parmi les 3 disponibles
– Plats principaux : 2 choix
– Desserts : 5 choix

Le nombre de façons de choisir 2 entrées parmi 3 est :

{3\,\choose\,2}\,=\,\frac{3%21}{2%21(3-2)%21}\,=\,3

Le nombre total de repas différents que Yasmina peut composer est donc :

3\,\times  \,2\,\times  \,5\,=\,30

Yasmina peut donc composer 30 repas différents.

Exercice 3 : problème de calcul.
Casper monte les marches 4 par 4 et il lui reste 3 marches à la fin. Donc, cela signifie que s’il y a n marches au total, alors n\,\equiv\,3\,\\,(mod\,\\,4).

Ensuite, lorsqu’il descend, il descend 5 marches à la fois et cela tombe juste. Donc, le nombre total de marches est un multiple de 5, soit n\,\equiv\,0\,\\,(mod\,\\,5).

On doit trouver un nombre n qui satisfait à la fois n\,\equiv\,3\,\\,(mod\,\\,4) et n\,\equiv\,0\,\\,(mod\,\\,5), avec 100\,\leq\,\,n\,\leq\,\,120.

Cherchons la solution pas à pas :

1. n\,\equiv\,3\,\\,(mod\,\\,4) signifie que n\,=\,4k\,%2B\,3 pour un certain entier k.

2. Substituons n dans la deuxième congruence : 4k\,%2B\,3\,\equiv\,0\,\\,(mod\,\\,5).

3. Simplifions :
4k\,%2B\,3\,\equiv\,0\,\\,(mod\,\\,5)\,\implies\,4k\,\equiv\,-3\,\\,(mod\,\\,5)\,\implies\,4k\,\equiv\,2\,\\,(mod\,\\,5).

Sachant que 4\,\equiv\,-1\,\\,(mod\,\\,5), nous avons :
-k\,\equiv\,2\,\\,(mod\,\\,5)\,\implies\,k\,\equiv\,-2\,\\,(mod\,\\,5)\,\implies\,k\,\equiv\,3\,\\,(mod\,\\,5)\,\quad\,(car\,\\,-2\,\equiv\,3\,\\,(mod\,\\,5)).

4. Donc, k peut être écrit sous la forme k\,=\,5m\,%2B\,3 pour un certain entier m.

5. Remplaçons k dans l’équation n\,=\,4k\,%2B\,3 :
n\,=\,4(5m\,%2B\,3)\,%2B\,3\,=\,20m\,%2B\,12\,%2B\,3\,=\,20m\,%2B\,15.

6. Cherchons n qui est compris entre 100 et 120.

100\,\leq\,\,20m\,%2B\,15\,\leq\,\,120.

Résolvons pour m :
85\,\leq\,\,20m\,\leq\,\,105\,\implies\,4.25\,\leq\,\,m\,\leq\,\,5.25.

7. Puisque m doit être un entier, la seule valeur possible est m\,=\,5.

8. Substituons m\,=\,5 dans l’équation de n :
n\,=\,20\,\times  \,5\,%2B\,15\,=\,100\,%2B\,15\,=\,115.

Donc, l’escalier du phare comporte exactement 115 marches.

Exercice 4 : résoudre un problème.
1. Déborah décide de ranger ses photos de vacances: 6 paquets de 27 photos et 3 paquets de 15 photos. Pour cela, elle veut acheter un album pouvant contenir 200 photos. Est-ce suffisant ? Expliquer.

Calculons le nombre total de photos :

6\,\times  \,27\,%2B\,3\,\times  \,15

Effectuons les multiplications :

6\,\times  \,27\,=\,162

3\,\times  \,15\,=\,45

Ensuite, additionnons les résultats :

162\,%2B\,45\,=\,207

Déborah a donc 207 photos.
Un album pouvant contenir 200 photos n’est pas suffisant pour ranger toutes ses photos.

2. Calculer un ordre de grandeur du nombre de tours qu’effectue l’aiguille des secondes d’une pendule en une année de 365 jours. Calculer le résultat exact en posant les opérations.

L’aiguille des secondes effectue un tour complet toutes les 60 secondes.

En une minute :
1\,\,tour

En une heure (60 minutes) :
60\,\,tours

En une journée (24 heures) :
60\,\times  \,24\,=\,1440\,\,tours

En une année (365 jours) :
1440\,\times  \,365\,=\,525600\,\,tours

Donc, l’aiguille des secondes effectue 525600 tours en une année de 365 jours.

Exercice 5 : calculs – problème.
Soit x le prix d’un billet pour adulte.

Claire achète deux billets adultes, donc la dépense pour les billets adultes est 2x.

Chaque entrée enfant coûte 1,60 €, et elle achète trois billets enfants, donc la dépense pour les billets enfants est 3\,\times  \,1%2C60\,=\,4%2C80 €.

En tout, Claire paye 14 €.

On peut écrire l’équation suivante :

2x\,%2B\,4{%2C}80\,=\,14

Pour trouver x, nous isolons x dans l’équation :

2x\,=\,14\,-\,4{%2C}80
2x\,=\,9{%2C}20

Finalement, nous divisons chaque côté par 2 :

x\,=\,\frac{9{%2C}20}{2}
x\,=\,4{%2C}60

Donc, le prix d’un billet pour adulte est de 4,60 €.

Exercice 6 : problèmes – somme d’argent.
a. Chloé reçoit 25 € d’argent de poche à la fin de chaque mois. À la fin d’une année, elle aura reçu :

25\,\%2C\,%E2%82%AC\,\times  \,12\,=\,300\,\%2C\,%E2%82%AC

b. Bastien a économisé une somme de 480 € sur une année. Il a donc reçu à la fin de chaque mois :

\frac{480\,\%2C\,%E2%82%AC}{12}\,=\,40\,\%2C\,%E2%82%AC

c. Quentin a économisé une somme de 182 € sur une année. Il a donc reçu à la fin de chaque semaine :

\frac{182\,\%2C\,%E2%82%AC}{52}\,\approx\,3%2C50\,\%2C\,%E2%82%AC

Exercice 7 : résolution de problèmes.
a.\,Une\,bande\,de\,6\,enfants\,se\,partagent\,equitablement\,un\,sachet\,de\,114\,bonbons.

Combien\,de\,bonbons\,recevra\,chaque\,enfant\,%3F

Chaque\,enfant\,recevra\,\quad\,\frac{114}{6}\,=\,19\,\quad\,bonbons.

b.\,Ces\,memes\,enfants\,se\,partagent\,maintenant\,une\,bouteille\,de\,1%2C5L\,de\,soda.

Reste-t-il\,encore\,de\,la\,boisson\,si\,chaque\,enfant\,prend\,0%2C25L\,de\,boisson\,%3F

Volume\,de\,boisson\,par\,enfant\,%3A\,\quad\,6\,\times  \,0{%2C}25\,=\,1{%2C}5\,\quad\,L.

Il\,ne\,reste\,plus\,de\,boisson\,car\,\quad\,1{%2C}5\,\%2C\,L\,-\,1{%2C}5\,\%2C\,L\,=\,0.

c.\,Avant\,de\,se\,separer%2C\,il\,faut\,participer\,aux\,frais\,de\,ce\,gouter\,%3A\,chaque\,enfant\,donne\,1%2C60\,\%2C\,%E2%82%AC.

Cela\,permet-il\,de\,rembourser\,le\,total\,des\,achats\,qui\,s'eleve\,a\,9%2C75\,\%2C\,%E2%82%AC

Total\,collecte\,%3A\,\quad\,6\,\times  \,1{%2C}60\,=\,9{%2C}60\,\%2C\,%E2%82%AC.

Il\,manque\,donc\,\quad\,9{%2C}75\,-\,9{%2C}60\,=\,0{%2C}15\,\%2C\,%E2%82%AC\,\quad\,pour\,rembourser\,le\,total\,des\,achats.

Conclusion\,%3A\,Cela\,ne\,permet\,pas\,de\,rembourser\,la\,totalite\,des\,achats.

Exercice 8 : problème – le libraire.
Pour déterminer le nombre de bacs nécessaires pour ranger les 13 592 livres, nous devons diviser le nombre total de livres par la capacité maximale de chaque bac. Nous aurons besoin de :

\lceil\,\frac{13\%2C592}{250}\,\rceil

Calculons cette division :

\frac{13\%2C592}{250}\,=\,54.368

Comme nous avons un résultat non entier, nous devons arrondir au nombre entier supérieur car un bac ne peut être partiellement rempli. Ainsi, le nombre de bacs nécessaire est :

\lceil\,54.368\,\rceil\,=\,55

Par conséquent, le libraire aura besoin de 55\,bacs pour ranger tous ses livres.

Exercice 9 : problème- l’usine.
Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer combien de camions peuvent être chargés à pleine capacité (7 voitures) chaque jour.

D’abord, divisons le nombre total de voitures fabriquées par jour par la capacité de chaque camion:

Nombre\,de\,camions\,=\,\frac{Nombre\,total\,de\,voitures}{Capacite\,d'un\,camion}

Nombre\,de\,camions\,=\,\frac{302}{7}

Nous faisons la division:

\frac{302}{7}\,\approx\,43%2C14

Puisque nous cherchons le nombre de camions chargés à bloc, nous prenons la partie entière de cette division:

\lfloor\,43%2C14\,\rfloor\,=\,43

Cela signifie que 43 camions peuvent partir chaque jour avec une charge complète de 7 voitures.

Exercice 10 : problème – le fleuriste.
On commence par déterminer le nombre de bouquets que le fleuriste peut composer avec 200 roses. Chaque bouquet contient 12 roses.

Nombre\,de\,bouquets\,=\,\lfloor\,\frac{200}{12}\,\rfloor\,=\,16

Ensuite, on calcule le nombre de roses restantes après avoir composé les 16 bouquets :

Roses\,restantes\,=\,200\,-\,(16\,\times  \,12)\,=\,200\,-\,192\,=\,8

Le fleuriste vend chaque bouquet de 12 roses pour 13 €.

Revenu\,des\,bouquets\,=\,16\,\times  \,13\,=\,208\,\%2C\,%E2%82%AC

Les 8 roses restantes sont vendues à l’unité pour 1,5 € la rose.

Revenu\,des\,roses\,restantes\,=\,8\,\times  \,1{%2C}5\,=\,12\,\%2C\,%E2%82%AC

Le revenu total de la vente de toutes les roses est donc la somme du revenu des bouquets et du revenu des roses restantes :

Revenu\,total\,=\,208\,%2B\,12\,=\,220\,\%2C\,%E2%82%AC

Ainsi, la vente de toutes ces fleurs rapportera 220 €.

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