Problèmes et calculs : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 11 : problème – la boite de conserve.
a. Combien pèse chaque boîte de conserve ?

La palette entière pèse 370 kg, et la palette vide pèse 7 kg. Le poids total des boîtes de conserve est donc :

\[
370\, \text{kg} – 7\, \text{kg} = 363\, \text{kg}
\]

Si une palette contient 605 boîtes, alors le poids d’une seule boîte de conserve est :

\[
\frac{363\, \text{kg}}{605} = 0.6\, \text{kg} = 600\, \text{g}
\]

Chaque boîte de conserve pèse donc 600 g.

b. Sachant que chaque boîte contient 10 tomates d’environ 50 g chacune, combien pèse la boîte de conserve vide ?

Le poids des tomates dans une boîte est :

\[
10\, \text{tomates} \times 50\, \text{g} = 500\, \text{g}
\]

Le poids total de la boîte de conserve pleine est 600 g, comme calculé précédemment. Donc, le poids de la boîte vide est :

\[
600\, \text{g} – 500\, \text{g} = 100\, \text{g}
\]

La boîte de conserve vide pèse donc 100 g.

Exercice 12 : la division euclidienne
{Correction de l’exercice :}

1. Effectuer les divisions euclidiennes suivantes, en donnant à chaque fois l’égalité entre le dividende, le diviseur, le reste et le quotient :

\[26 : 4 = 6 \quad \mathrm{reste} \ 2 \Rightarrow 26 = 4 \times 6 + 2\]

\[30 : 7 = 4 \quad \mathrm{reste} \ 2 \Rightarrow 30 = 7 \times 4 + 2\]

\[50 : 6 = 8 \quad \mathrm{reste} \ 2 \Rightarrow 50 = 6 \times 8 + 2\]

\[49 : 7 = 7 \quad \mathrm{reste} \ 0 \Rightarrow 49 = 7 \times 7 + 0\]

2.
a) Poser et effectuer la division euclidienne suivante : 1575 par 4.

\[1575 : 4 = 393 \quad \mathrm{reste} \ 3\]

b) Écrire l’égalité entre le dividende, le diviseur, le reste et le quotient pour la division euclidienne précédente.

\[1575 = 4 \times 393 + 3\]

3. Dimitri range 2005 livres dans des cartons pouvant chacun contenir 40 livres.

\[2005 : 40 = 50 \quad \mathrm{reste} \ 5\]

Donc il aura besoin de \(\lceil 50.125 \rceil = 51\) cartons.

4. Clara distribue équitablement 79 biscuits entre 15 enfants et garde le reste.

a. Combien de biscuits reçoit chaque enfant ?

\[79 : 15 = 5 \quad \mathrm{reste} \ 4\]

Chaque enfant reçoit donc 5 biscuits.

b. Combien de biscuits pourra manger Clara ?

Clara pourra manger le reste, c’est-à-dire 4 biscuits.

5. À l’aide des critères de divisibilité, et en justifiant la réponse, dire si 1224 est divisible par 2, par 3, par 4, par 5 et par 9.

– Divisibilité par 2 : Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair. Le dernier chiffre de 1224 est 4, donc 1224 est divisible par 2.
– Divisibilité par 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. La somme des chiffres de 1224 est \(1 + 2 + 2 + 4 = 9\), et 9 est divisible par 3, donc 1224 est divisible par 3.
– Divisibilité par 4 : Un nombre est divisible par 4 si les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4. Les deux derniers chiffres de 1224 sont 24, et 24 est divisible par 4, donc 1224 est divisible par 4.
– Divisibilité par 5 : Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5. Le dernier chiffre de 1224 est 4, donc 1224 n’est pas divisible par 5.
– Divisibilité par 9 : Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. La somme des chiffres de 1224 est 9, et 9 est divisible par 9, donc 1224 est divisible par 9.

6. Répondre par VRAI ou FAUX. Si vous répondez FAUX, justifier votre réponse.

a. L’égalité \(31 = (3 \times 9) + 4\) signifie que 9 est le quotient et 4 est le reste de la division euclidienne de 31 par 3.

FAUX, \((3 \times 9) = 27\), donc \((3 \times 9) + 4 = 27 + 4 = 31\) signifie que 3 est le quotient et 4 est le reste de la division euclidienne de 31 par 9.

b. Si le quotient de la division euclidienne d’un nombre par 8 est égal à 54, alors ce nombre est égal à \(54 \times 8\).

FAUX. Si le quotient de la division euclidienne d’un nombre par 8 est égal à 54, alors ce nombre est égal à \(54 \times 8 + \textit{le reste}\).

Exercice 13 : la division décimale, euclidienne et des problèmes
Situation 1

1) Poser la division euclidienne de 334 par 8 et écrire l’égalité entre dividende, diviseur, quotient et reste.

\[ 334 = 8 \times 41 + 6 \]

2) En montrant, s’il y en a besoin, les calculs posés, donner la valeur exacte du quotient \(334 : 8\).

\[ 334 : 8 = 41,75 \]

Situation 2

En posant les calculs, donner le résultat exact des quotients suivants :

\[ 173 : 4 = 43,25 \]

\[ 9,42 : 15 = 0,628 \]

Situation 3

1) Combien pourra-t-elle remplir de boîtes d’œufs ?

\[ 418 : 12 = 34,833 \]
Elle pourra remplir 34 boîtes d’œufs complètement.

2) Combien d’œufs lui manque-t-il pour remplir une boîte supplémentaire ?

\[ 418 \mod 12 = 10 \]
Il lui manque 2 œufs pour remplir une boîte supplémentaire.

Situation 4

J’ai acheté 2,5 m de tissu bleu ciel à 1,6 € le mètre, 3 broches à 1,8 € le lot de 3 et 4 m de tissu bleu turquoise.

L’ensemble coûte :

\[ 2,5 \times 1,6 + 1,8 + 4x = 9,20 \]

\[ 4,00 + 1,8 + 4x = 9,20 \]

\[ 4x = 9,20 – 5,8 \]

\[ 4x = 3,4 \]

\[ x = \frac{3,4}{4} = 0,85 \]

Le prix du mètre de tissu bleu turquoise est donc 0,85 €.

Exercice 14 : courses au supermarché
Reprenons les calculs effectués par la caissière et complétons le texte :

1. Prix de trois bouteilles de jus de fruits :
\[ 3 \times 2{,}65 = 7{,}95 \]

2. Deux paquets de madeleines :
\[ 2 \times 3{,}42 = 6{,}84 \]

3. Prix des pommes :
\[ 1{,}65 \times 2{,}4 = 3{,}96 \]

4. Total intermédiaire :
\[ 6{,}84 + 3{,}96 + 1{,}17 + 7{,}95 = 19{,}92 \]

5. Monnaie rendue :
\[ 20 – 19{,}92 = 0{,}08 \]

Texte complété :

Il achète deux paquets de madeleines à \(3{,}42\) l’un, \(1{,}650 \, \text{kg}\) de pommes à \(2{,}4\) le kg, six packs de bouteilles de jus de fruits à \(2{,}65\) le pack et une tablette de chocolat à \(1{,}17\). Il paye avec un billet de \(20\). On lui rend \(8\) centimes .

Exercice 15 : trois problèmes
\[\]Problème 1\[\] :
Agnès achète un pull à 54,70 €. Le commerçant lui fait une remise de 12,50 €. Combien va-t-elle payer le pull ?

Pour résoudre ce problème, l’opération correcte est :
\[ 54,70 – 12,50 \]

La réponse correcte est donc :
\[ \boxed{b. \ 54,70 – 12,50} \]

\[\]Problème 2\[\] :
Élise commande un livre sur Internet. Son prix est de 12,60 € et les frais de port sont de 3,60 €. Combien va-t-elle payer ?

Pour résoudre ce problème, l’opération correcte est :
\[ 12,60 + 3,60 \]

La réponse correcte est donc :
\[ \boxed{b. \ 12,60 + 3,60} \]

\[\]Problème 3\[\] :
Laurent a acheté 3,2 kg d’abricots à 2,70 € le kilogramme. Combien a-t-il payé ?

Pour résoudre ce problème, l’opération correcte est :
\[ 3,2 \times 2,70 \]

La réponse correcte est donc :
\[ \boxed{b. \ 3,2 \times 2,70} \]

\[\]Problème 4\[\] :
Sophie vend un bouquet de 15 roses pour 22,50 €. Combien coûte une rose ?

Pour résoudre ce problème, l’opération correcte est :
\[ 22,50 : 15 \]

La réponse correcte est donc :
\[ \boxed{c. \ 22,50 : 15} \]

Exercice 16 : compteur de voiture
Pour déterminer la distance que Pierre a parcourue lors de ses vacances, nous calculons la différence entre les deux relevés du compteur kilométrique.

Distance parcourue :
\[
D = \text{Indication au retour} – \text{Indication au départ}
\]

En substituant les valeurs données :
\[
D = 59329,1\,\text{km} – 58257,6\,\text{km}
\]

Effectuons cette soustraction :
\[
D = 59329,1 – 58257,6 = 1071,5\,\text{km}
\]

Ainsi, Pierre a parcouru une distance de \(1071,5\,\text{km}\).

Exercice 17 : série de problèmes
a. Philippe fait une randonnée de 13,7 km. Il a parcouru 8,6 km le matin. Combien lui reste-t-il à parcourir ?
\[
13,7 – 8,6
\]

b. Un apiculteur répartit 6,3 kg de miel dans 14 pots identiques. Quelle est la contenance de chacun des pots ?
\[
\frac{6,3}{14}
\]

c. Un manteau coûte 56,80 €. Le commerçant me fait une remise de 12,40 €. Combien vais-je payer ce manteau ?
\[
56,80 – 12,40
\]

d. J’achète 10 baguettes pour un total de 8,50 €. Combien coûtent trois baguettes ?
\[
\frac{8,50}{10} \times 3
\]

e. Claire veut acheter un livre. Elle a 12,42 € mais il lui manque 3,45 € pour le payer. Quel est le prix du livre ?
\[
12,42 + 3,45
\]

Exercice 18 : au théâtre
Soit \( x \) le prix du ticket. Nous avons :

\[ 12,28 + 3,25 = x \]

En additionnant les montants, nous obtenons :

\[ x = 12,28 + 3,25 \]

Effectuons cette addition :

\[ 12,28 + 3,25 = 15,53 \]

Donc, le prix du ticket est de 15,53 €.

Exercice 19 : système anglo-saxon
a. La longueur de la diagonale d’un écran de 17 pouces est directement 17 pouces puisque la taille est déjà exprimée en pouces.

b. John mesure 5 pieds et 10 pouces. Convertissons cette taille en mètres.

Tout d’abord, convertissons les pieds en pouces :
\[ 5 \, \text{pieds} = 5 \times 12 \, \text{pouces} = 60 \, \text{pouces} \]

Ajoutons les 10 pouces :
\[ 60 \, \text{pouces} + 10 \, \text{pouces} = 70 \, \text{pouces} \]

Sachant qu’un pouce mesure 2,54 cm, convertissons les pouces en centimètres :
\[ 70 \, \text{pouces} \times 2,54 \, \text{cm/pouce} = 177,8 \, \text{cm} \]

Enfin, convertissons les centimètres en mètres :
\[ 177,8 \, \text{cm} = 1,778 \, \text{m} \]

Donc, la taille de John est de \( 1,778 \, \text{m} \).

Exercice 20 : note de restaurant
\[\]
\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
{Pizzeria VALERIO} \\
\hline
\text{Pizza Calzone} 4 \times 8,30 33,20 \\
\hline
\text{Pizza Orientale} 3 \times 9,40 28,20 \\
\hline
\text{Tagliatelles Bolognaise} 2 \times 8,50 17,00 \\
\hline
\text{Lasagnes} 3 \times 9,50 28,50 \\
\hline
\text{Fondant au chocolat} 6 \times 6,50 39,00 \\
\hline
\text{Mousse au chocolat} 4 \times 5,50 22,00 \\
\hline
\text{Tiramisu} 2 \times 6,30 12,60 \\
\hline
\text{Pichet vin 50 cL} 4 \times 4,80 19,20 \\
\hline
\text{Bière} 6 \times 3,60 21,60 \\
\hline
\text{Café} 8 \times 1,40 11,20 \\
\hline
{TOTAL} 232,50 \\
\hline
\end{array}
\[\]

Exercice 21 : série de problèmes
a. Pour trouver le prix d’un livre, on divise le montant total par le nombre de livres :

\[
\text{Prix d’un livre} = \frac{60 \, \text{€}}{24 \, \text{livres}} = 2,50 \, \text{€}
\]

b. Si l’âge de Pierre double, il aura 2 fois 24 ans :

\[
2 \times 24 = 48 \, \text{ans}
\]

À ce moment-là, Gilbert aura :

\[
60 \, \text{ans} + (48 \, \text{ans} – 24 \, \text{ans}) = 60 \, \text{ans} + 24 \, \text{ans} = 84 \, \text{ans}
\]

c. Pour trouver la masse de cerises contenue dans chaque pot, on divise la masse totale par le nombre de pots :

\[
\text{Masse par pot} = \frac{24 \, \text{kg}}{60 \, \text{pots}} = 0,4 \, \text{kg/pot}
\]

d. Pour déterminer combien de voyages Bernard doit faire, on divise le nombre total de livres par le nombre de livres qu’il peut transporter par voyage et on arrondit au nombre entier supérieur le plus proche :

\[
\text{Nombre de voyages} = \lceil \frac{60 \, \text{livres}}{24 \, \text{livres/voyage}} \rceil = \lceil 2,5 \rceil = 3 \, \text{voyages}
\]

e. Pour déterminer combien de bouquets de 24 roses on peut faire avec 60 roses, on divise le nombre total de roses par le nombre de roses par bouquet :

\[
\text{Nombre de bouquets} = \lfloor \frac{60 \, \text{roses}}{24 \, \text{roses/bouquet}} \rfloor = \lfloor 2,5 \rfloor = 2 \, \text{bouquets}
\]

Exercice 22 : caisse et achats
Soit \( S \) le montant des achats actuels qui est de 18,67 €.

Soit \( B \) le prix de la boîte de bonbons qui est de 1,35 €.

Calculons le total des achats si on ajoute la boîte de bonbons :
\[ T = S + B \]
\[ T = 18,67 + 1,35 \]
\[ T = 20,02 \]

La somme totale des achats après l’ajout de la boîte de bonbons serait de 20,02 €.

Or, la somme d’argent en possession est de 20 €.

Il est donc impossible d’ajouter la boîte de bonbons car :
\[ 20,02 > 20 \]

Conclusion : Il ne peut pas rajouter la boîte de bonbons à ses achats.

Exercice 23 : au supermarché
La somme des achats, à l’exception du rôti, est donnée par :
\[ 2,56 \,€ + (3 \times 1,87 \,€) \]

Calculons cette somme:
\[ 2,56 \,€ + (3 \times 1,87 \,€) = 2,56 \,€ + 5,61 \,€ = 8,17 \,€ \]

Le montant total payé est de 20 € et le caissier rend 2,08 €. Donc, le coût total des achats est:
\[ 20 \,€ – 2,08 \,€ = 17,92 \,€ \]

Le coût du rôti est inclus dans la somme totale des achats qui est de 17,92 €. On peut donc écrire:
\[ 15 \,€/kg \times x \, \text{kg} + 8,17 \,€ = 17,92 \,€ \]

En isolant la masse du rôti \( x \), on obtient:
\[ 15 \times x + 8,17 = 17,92 \]
\[ 15 \times x = 17,92 – 8,17 \]
\[ 15 \times x = 9,75 \]
\[ x = \frac{9,75}{15} \]
\[ x = 0,65 \]

Ainsi, la masse du rôti est de \( 0,65 \) kg.

Exercice 24 : supprimer les données inutiles
\[\]Correction de l’exercice :\[\]

a. Victor part se promener en vélo à 14 h 00. Il roule pendant 5,2 km, s’arrête 30 minutes pour réparer sa roue, puis roule encore 3,5 km et arrive chez son ami à 15 h 10 min. Combien de kilomètres a-t-il parcourus ?

Les données inutiles sont :
– L’heure de départ (14 h 00) et l’heure d’arrivée (15 h 10 min).

Distance parcourue :
\[ 5,2 \ \text{km} + 3,5 \ \text{km} = 8,7 \ \text{km} \]

Réponse : Victor a parcouru \(8,7 \ \text{km}\).

—

b. Vincent habite à 200 m de la boulangerie. Il achète une baguette à 0,85 € et trois gâteaux à 2,25 € pièce. Il a 13,84 € dans son porte-monnaie. Combien paie-t-il ?

Les données inutiles sont :
– La distance entre chez Vincent et la boulangerie (200 m).
– La somme d’argent qu’il a dans son porte-monnaie (13,84 €).

Montant total des achats :
\[ \text{Baguette} : 0,85 \ € \]
\[ \text{Gâteaux} : 3 \times 2,25 \ € = 6,75 \ € \]

\[ \text{Total} : 0,85 \ € + 6,75 \ € = 7,60 \ € \]

Réponse : Vincent paie \(7,60 \ \text{€}\).

Exercice 25 : trouver la bonne expression
Problème 1 : Agnès achète un pull à 54,70 €, le commerçant lui fait une remise de 12,50 €. Combien va-t-elle payer le pull ?
La bonne réponse est \(\mathbf{b}\) : \(54,70 – 12,50\).

\[ 54,70 – 12,50 = 42,20 \]

Problème 2 : Élise commande un livre sur Internet. Son prix est de 12,60 € et les frais de port sont de 3,60 €. Combien va-t-elle payer ?
La bonne réponse est \(\mathbf{a}\) : \(12,60 + 3,60\).

\[ 12,60 + 3,60 = 16,20 \]

Problème 3 : Laurent a acheté 3,2 kg d’abricots à 2,70 € le kilogramme. Combien a-t-il payé ?
La bonne réponse est \(\mathbf{c}\) : \(3,2 \times 2,70\).

\[ 3,2 \times 2,70 = 8,64 \]

Problème 4 : Sophie vend un bouquet de 15 roses pour 22,50 €. Combien coûte une rose ?
La bonne réponse est \(\mathbf{c}\) : \(22,50 : 15\).

\[ 22,50 : 15 = 1,50 \]

Exercice 26 : résoudre des problèmes
a.
\[ \text{Distance restante à parcourir} = 13{,}7 \, \text{km} – 8{,}6 \, \text{km} \]

b.
\[ \text{Contenance de chaque pot} = \frac{6{,}3 \, \text{kg}}{14} \]

c.
\[ \text{Prix après remise} = 56{,}80 \, \text{€} – 12{,}40 \, \text{€} \]

d.
\[ \text{Prix de trois baguettes} = \frac{8{,}50 \, \text{€}}{10} \times 3 \]

e.
\[ \text{Prix du livre} = 12{,}42 \, \text{€} + 3{,}45 \, \text{€} \]

Exercice 27 : dépôt d’argent sur un livret
Antoine avait initialement \(832,28 \, \text{€}\) sur son livret d’épargne. Pour son anniversaire, ses parents y ont ajouté \(75 \, \text{€}\).

Nous devons donc calculer le nouveau solde de son livret d’épargne en additionnant les deux montants :

\[
832,28 \, \text{€} + 75 \, \text{€}
\]

En effectuant l’addition :

\[
832,28 + 75 = 907,28
\]

Antoine a maintenant \(907,28 \, \text{€}\) sur son livret d’épargne.

Exercice 28 : le pouce et le pied anglo-saxon
\begin{flushleft}
{Correction de l’exercice :}

Dans le système de mesure anglo-saxon, un pouce mesure \(2{,}54 \, \text{cm}\) et \(1 \, \text{pied}\) vaut \(12 \, \text{pouces}\).

{a. La taille d’un écran d’ordinateur est donnée par la longueur de sa diagonale et est exprimée en pouces. Quelle est la longueur de la diagonale d’un écran de \(17 \, \text{pouces}\) ?}

La longueur de la diagonale d’un écran de \(17 \, \text{pouces}\) est simplement \(17 \, \text{pouces}\).

Pour convertir cette longueur en centimètres :
\[
17 \, \text{pouces} \times 2{,}54 \, \text{cm/pouce} = 43{,}18 \, \text{cm}
\]

{La longueur de la diagonale d’un écran de 17 pouces est de 43,18 cm.}

{b. John mesure 5 pieds et 10 pouces. Quelle est sa taille en mètres ?}

1 pied = 12 pouces, donc :
\[
5 \, \text{pieds} \times 12 \, \text{pouces/foot} = 60 \, \text{pouces}
\]
Ajoutant les 10 pouces supplémentaires :
\[
60 \, \text{pouces} + 10 \, \text{pouces} = 70 \, \text{pouces}
\]

Pour convertir les pouces en centimètres :
\[
70 \, \text{pouces} \times 2{,}54 \, \text{cm/pouce} = 177{,}8 \, \text{cm}
\]

Enfin, pour convertir les centimètres en mètres :
\[
177{,}8 \, \text{cm} \times 0{,}01 \, \text{m/cm} = 1{,}778 \, \text{m}
\]

{La taille de John est de 1,778 mètres.}
\end{flushleft}

Exercice 29 : facture du repas dans une pizzeria
\begin{align*}
\text{Pizza Calzone} : 4 \times 8,30 = 4 \times 8,30 = 33,20 \\
\text{Pizza Orientale} : 3 \times 9,40 = 28,20 \\
\text{Tagliatelles Bolognaise} : 2 \times 8,50 = 17,00 \\
\text{Lasagnes} : 3 \times 9,50 = 28,50 \\
\text{Fondant au chocolat} : 6 \times 6,50 = 39,00 \\
\text{Mousse au chocolat} : 4 \times 5,50 = 22,00 \\
\text{Tiramisu} : 2 \times 6,30 = 12,60 \\
\text{Pichet vin 50 cL} : 4 \times 4,80 = 19,20 \\
\text{Bière} : 6 \times 3,60 = 21,60 \\
\text{Café} : 8 \times 1,40 = 11,20 \\
\text{TOTAL} : 33,20 + 28,20 + 17,00 + 28,50 + 39,00 + 22,00 + 12,60 + 19,20 + 21,60 + 11,20 \\
= 232,50
\end{align*}

Exercice 30 : résoudre différents problèmes
a. Bernadette a acheté 24 livres identiques pour 60 €. Quel est le prix d’un livre ?

Le prix d’un livre se calcule en divisant le prix total par le nombre de livres :
\[ \text{Prix d’un livre} = \frac{60 \, \text{€}}{24} = 2.5 \, \text{€} \]

—

b. Pierre a 24 ans et Gilbert 60 ans. Quel sera l’âge de Gilbert lorsque l’âge de Pierre aura doublé ?

L’âge de Pierre doublé sera :
\[ 2 \times 24 = 48 \, \text{ans} \]

À ce moment, Gilbert aura :
\[ 60 + (48 – 24) = 84 \, \text{ans} \]

—

c. Avec 24 kg de cerises, Brigitte fait 60 pots de confiture. Quelle masse de cerises contient chaque pot ?

La masse de cerises par pot se calcule en divisant la masse totale de cerises par le nombre de pots :
\[ \text{Masse de cerises par pot} = \frac{24 \, \text{kg}}{60} = 0.4 \, \text{kg} \]

—

d. Bernard veut déménager ses 60 livres. À chaque voyage, il peut transporter 24 livres. Combien de voyages doit-il faire au minimum ?

Le nombre de voyages au minimum se calcule en divisant le nombre total de livres par le nombre de livres transportés par voyage et en arrondissant au nombre entier supérieur :
\[ \text{Nombre de voyages} = \lceil \frac{60}{24} \rceil = \lceil 2.5 \rceil = 3 \, \text{voyages} \]

—

e. Combien peut-on faire de bouquets de 24 roses avec 60 roses ?

Le nombre maximum de bouquets se calcule en divisant le nombre total de roses par le nombre de roses par bouquet :
\[ \text{Nombre de bouquets} = \lfloor \frac{60}{24} \rfloor = \lfloor 2.5 \rfloor = 2 \, \text{bouquets} \]

Exercice 31 : calculer la masse de rôti
On détermine d’abord le montant total des dépenses.

Le pack de 6 bouteilles de lait coûte \( 2{,}56 \, \text{€} \).

Le coût total des 3 paquets de gâteaux est de:
\[ 3 \times 1{,}87 \, \text{€} = 5{,}61 \, \text{€} \]

Soit le coût du rôti \( R \) en euros. Ainsi, le montant total des achats est:
\[ R + 2{,}56 \, \text{€} + 5{,}61 \, \text{€} \]

Le montant rendu est \( 20 \, \text{€} – 2{,}08 \, \text{€} = 17{,}92 \, \text{€} \).

Donc:
\[ R + 2{,}56 \, \text{€} + 5{,}61 \, \text{€} = 17{,}92 \, \text{€} \]

Résolvons pour \( R \):
\[ R = 17{,}92 \, \text{€} – 2{,}56 \, \text{€} – 5{,}61 \, \text{€} \]
\[ R = 17{,}92 \, \text{€} – 8{,}17 \, \text{€} \]
\[ R = 9{,}75 \, \text{€} \]

La masse du rôti est donc:
\[ \frac{9{,}75 \, \text{€}}{15 \, \text{€/kg}} = 0{,}65 \, \text{kg} \]

Ainsi, la masse du rôti est de \( 0{,}65 \, \text{kg} \).

Exercice 32 : la fourgonnette d’un viticulteur
a. Quelle est la masse de la fourgonnette à vide ?

La masse totale de la fourgonnette chargée est de 1852,7 kg. Pour déterminer la masse de la fourgonnette à vide, nous devons soustraire la masse des 32 caisses contenant du raisin (432 kg) de la masse totale.

\[
\text{Masse de la fourgonnette à vide} = 1852,7\,\text{kg} – 432\,\text{kg} = 1420,7\,\text{kg}
\]

b. Combien pèse chaque caisse remplie de raisins ?

La masse totale de 32 caisses est de 432 kg. Pour obtenir la masse d’une caisse, nous divisons cette masse totale par le nombre de caisses.

\[
\text{Masse d’une caisse} = \frac{432\,\text{kg}}{32} = 13,5\,\text{kg}
\]

c. Ces 32 caisses contiennent 384 kg de raisins. 1 kg de raisins est vendu 1,65 € à la coopérative. Combien a rapporté la vente de ces 32 caisses au viticulteur ?

Pour déterminer le rapport total de la vente de 384 kg de raisins, nous multiplions la masse totale de raisins par le prix de vente par kilogramme.

\[
\text{Recette totale} = 384\,\text{kg} \times 1,65\,\text{€/kg} = 633,6\,€
\]

d. Les deux jours suivants, le viticulteur a récolté respectivement 437,6 kg et 658,3 kg de raisins. Quelle quantité de raisins a-t-il récoltée pendant ces trois jours ?

La quantité totale de raisins récoltée pendant les trois jours est la somme des 384 kg récoltés initialement et des quantités récoltées les deux jours suivants.

\[
\text{Quantité totale de raisins} = 384\,\text{kg} + 437,6\,\text{kg} + 658,3\,\text{kg} = 1479,9\,\text{kg}
\]

Exercice 33 : les tarifs d’un parc animalier
a. Une famille composée de deux adultes et de deux enfants âgés respectivement de 3 et 8 ans paiera:
\[
2 \times 7{,}20 + 1 \times 3{,}80 + 1 \times 0 = 2 \times 7{,}20 + 3{,}80 = 14{,}40 + 3{,}80 = 18{,}20 \, \text{€}
\]

b. Un groupe de 52 adultes souhaite visiter le parc. Parmi ces personnes, trois sont handicapées et 25 ont plus de 60 ans. Le total est alors:
\[
49 \, (\text{adultes}) – (3 \, (\text{handicapées}) + 25 \, (\text{seniors})) = 24 \, (\text{adultes})
\]
Prix total:
\[
(24 \times 7{,}20) + (3 \times 3{,}60) + (25 \times 5{,}70) = 172{,}80 + 10{,}80 + 142{,}50 = 326{,}10 \, \text{€}
\]
La somme de 300 € ne suffira donc pas pour couvrir le coût de la visite de ce groupe.

c. Un groupe classe de 28 élèves de 6e visite le parc animalier. Trois professeurs accompagnent les élèves. Un adulte par groupe peut entrer gratuitement. Le coût total de la visite est de 84{,}40 \, €.
Décomposons ce coût :
\[
28 \, \text{élèves} + 3 \, \text{professeurs} – 3 \, \text{professeurs gratuits} = 28 \, \text{élèves payant} \]
Donc, le prix par élève est :
\[
\frac{84,40}{28} = 3{,}0 \, €
\]

Exercice 34 : division décimale
Correction de l’exercice de mathématiques :

a. Effectuer la division décimale de 6,36 par 12 :
\[ \frac{6,36}{12} = 0,53 \]

b. Effectuer la division décimale de 128,6 par 51. Arrêter le quotient au dixième :
\[ \frac{128,6}{51} \approx 2,5 \]

c. Effectuer la division décimale de 752,2 par 15. Arrêter le quotient au centième :
\[ \frac{752,2}{15} \approx 50,15 \]

d. Effectuer la division décimale de 11 par 7. Arrêter le quotient au centième :
\[ \frac{11}{7} \approx 1,57 \]

Exercice 35 : problèmes sur la division décimale

Pierre achète 15 m de fil électrique pour 10,35 €. Quel est le prix d’un mètre de ce fil électrique ?

Pour trouver le prix d’un mètre de fil électrique, on divise le coût total par la longueur totale du fil.

\[
\text{Prix d’un mètre de fil} = \frac{10,35 \, \text{€}}{15 \, \text{m}} = 0,69 \, \text{€/m}
\]

Le prix d’un mètre de fil électrique est donc 0,69 €.

Un lot de 7 boîtes de petits pois coûte 3,60 €. Combien coûte une boîte de petits pois ?

Pour déterminer le prix d’une boîte de petits pois, on divise le prix total par le nombre de boîtes.

\[
\text{Prix d’une boîte de petits pois} = \frac{3,60 \, \text{€}}{7} \approx 0,514 \, \text{€}
\]

Le prix d’une boîte de petits pois est donc environ 0,514 €.