La soustraction et les durées : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 11 : poser une soustraction
a. \( 16,26 – 4,35 = 11,91 \)

b. \( 182,4 – 25,63 = 156,77 \)

c. \( 28,53 – 19,6 = 8,93 \)

d. \( 214,53 – 23,82 = 190,71 \)

Exercice 12 : ordre de grandeur
a. \( 52,758 + 46.7 \)

L’ordre de grandeur de \( 52,758 \) est \( 50,000 \) (dix mille),
L’ordre de grandeur de \( 46.7 \) est \( 10 \) (dix).

Donc, l’ordre de grandeur de \( 52,758 + 46.7 \) est :
\[ 50,000 + 10 = 50,010 \]
Soit environ \( 50,000 \).

b. \( 97,367.4 + 4,692 \)

L’ordre de grandeur de \( 97,367.4 \) est \( 100,000 \) (cent mille),
L’ordre de grandeur de \( 4,692 \) est \( 5,000 \) (cinq mille).

Donc, l’ordre de grandeur de \( 97,367.4 + 4,692 \) est :
\[ 100,000 + 5,000 = 105,000 \]
Soit environ \( 100,000 \).

c. \( 10,397 – 4,754.9 \)

L’ordre de grandeur de \( 10,397 \) est \( 10,000 \) (dix mille),
L’ordre de grandeur de \( 4,754.9 \) est \( 5,000 \) (cinq mille).

Donc, l’ordre de grandeur de \( 10,397 – 4,754.9 \) est :
\[ 10,000 – 5,000 = 5,000 \]
Soit environ \( 5,000 \).

d. \( 49,021.4 – 0.0039 \)

L’ordre de grandeur de \( 49,021.4 \) est \( 50,000 \) (cinquante mille),
L’ordre de grandeur de \( 0.0039 \) est \( 0.01 \) (un centième).

Donc, l’ordre de grandeur de \( 49,021.4 – 0.0039 \) est :
\[ 50,000 – 0.01 \approx 50,000 \]

Exercice 13 : donner un ordre de grandeur
\begin{align*}
\text{1. } 2867 + 3196 = 6063 \quad \Rightarrow \quad \text{ordre de grandeur} \approx 6000 \\
\text{2. } 32578 + 9684 + 19762 = 62024 \quad \Rightarrow \quad \text{ordre de grandeur} \approx 60000 \\
\text{3. } 5012 – 1937 = 3075 \quad \Rightarrow \quad \text{ordre de grandeur} \approx 3000 \\
\text{4. } 21014 – 9957 = 11057 \quad \Rightarrow \quad \text{ordre de grandeur} \approx 10000 \\
\text{5. } 7543 + 657 + 12395 = 20595 \quad \Rightarrow \quad \text{ordre de grandeur} \approx 20000 \\
\text{6. } 450 + 859 + 7394 = 8703 \quad \Rightarrow \quad \text{ordre de grandeur} \approx 9000 \\
\text{7. } 8956 – 3584 = 5372 \quad \Rightarrow \quad \text{ordre de grandeur} \approx 5000 \\
\text{8. } 46567 – 783 = 45784 \quad \Rightarrow \quad \text{ordre de grandeur} \approx 46000 \\
\text{9. } 5003 + 609 + 453 = 6065 \quad \Rightarrow \quad \text{ordre de grandeur} \approx 6000 \\
\text{10. } 45891 + 52365 = 98256 \quad \Rightarrow \quad \text{ordre de grandeur} \approx 100000 \\
\end{align*}

Exercice 14 : devinette : somme et différence
a. Soit \( x \) le second nombre. On a l’équation suivante :
\[ 29,6 + x = 78,92 \]

Pour trouver \( x \), il suffit de résoudre l’équation :
\[ x = 78,92 – 29,6 \]
\[ x = 49,32 \]

Le second nombre est donc \( 49,32 \).

b. Soit \( x \) le second nombre. On a l’équation suivante :
\[ x – 5,68 = 43,7 \]

Pour trouver \( x \), il suffit de résoudre l’équation :
\[ x = 43,7 + 5,68 \]
\[ x = 49,38 \]

Le second nombre est donc \( 49,38 \).

c. Soit \( x \) le second nombre. On a l’équation suivante :
\[ 70,35 – x = 68,72 \]

Pour trouver \( x \), il suffit de résoudre l’équation :
\[ 70,35 – 68,72 = x \]
\[ 1,63 = x \]

Le second nombre est donc \( 1,63 \).

Exercice 15 : calculs de durées
{Correction :}

[a)] \[2\,\text{h}\,22\,\text{min} + 3\,\text{h}\,15\,\text{min}\]
\[
\begin{aligned}
22\,\text{min} + 15\,\text{min} = 37\,\text{min} \\
2\,\text{h} + 3\,\text{h} = 5\,\text{h} \\
\text{Résultat :} \quad 5\,\text{h}\,37\,\text{min}
\end{aligned}
\]

[b)] \[7\,\text{h}\,28\,\text{min} + 4\,\text{h}\,27\,\text{min}\]
\[
\begin{aligned}
28\,\text{min} + 27\,\text{min} = 55\,\text{min} \\
7\,\text{h} + 4\,\text{h} = 11\,\text{h} \\
\text{Résultat :} \quad 11\,\text{h}\,55\,\text{min}
\end{aligned}
\]

[c)] \[5\,\text{h}\,34\,\text{min} + 6\,\text{h}\,26\,\text{min}\]
\[
\begin{aligned}
34\,\text{min} + 26\,\text{min} = 60\,\text{min} \\
5\,\text{h} + 6\,\text{h} = 11\,\text{h} \\
60\,\text{min} = 1\,\text{h} \\
11\,\text{h} + 1\,\text{h} = 12\,\text{h} \\
\text{Résultat :} \quad 12\,\text{h}\,0\,\text{min}
\end{aligned}
\]

[d)] \[9\,\text{h}\,48\,\text{min} + 4\,\text{h}\,39\,\text{min}\]
\[
\begin{aligned}
48\,\text{min} + 39\,\text{min} = 87\,\text{min} \\
9\,\text{h} + 4\,\text{h} = 13\,\text{h} \\
87\,\text{min} = 1\,\text{h}\,27\,\text{min} \\
13\,\text{h} + 1\,\text{h} = 14\,\text{h} \\
\text{Résultat :} \quad 14\,\text{h}\,27\,\text{min}
\end{aligned}
\]

Exercice 16 : problèmes sur les multiplications
1. Anatole a acheté un foie gras de \(1,6 \, \text{kg}\). Ce foie gras coûte \(87{,}30 \, \text{euros}\) le kilogramme. Le coût total est donc :
\[
1,6 \times 87{,}30 = 139{,}68 \, \text{euros}.
\]
Donc, Anatole a payé \(139{,}68 \, \text{euros}\).

2. Le poids total du panier de Bernard est la somme des poids :
\[
1,2 \, \text{kg} + 600 \, \text{g} + 250 \, \text{g} + 1,3 \, \text{kg}.
\]
Convertissons tout en kilogrammes :
\[
1,2 \, \text{kg} + 0,6 \, \text{kg} + 0,25 \, \text{kg} + 1,3 \, \text{kg} = 3,35 \, \text{kg}.
\]
Le panier de Bernard pèse donc \(3{,}35 \, \text{kg}\).

3. Caroline fait \(1{,}4 \, \text{km}\) en vélo et \(150 \, \text{m}\) à pied. Réunissons tout en kilomètres :
\[
150 \, \text{m} = 0{,}15 \, \text{km}.
\]
La distance totale parcourue est :
\[
1{,}4 \, \text{km} + 0{,}15 \, \text{km} + 10{,}5 \, \text{km} = 12{,}05 \, \text{km}.
\]
Caroline parcourt donc \(12{,}05 \, \text{km}\) au total.

4. La lumière parcourt \(300 000 \, \text{km}\) en une seconde. En une minute (soit \(60 \, \text{s}\)), la distance parcourue est :
\[
300 000 \times 60 = 18 000 000 \, \text{km}.
\]
La lumière parcourt donc \(18 000 000 \, \text{km}\) en une minute.

5. Chaque élève consomme \(30 \, \text{g}\) de confiture par jour. Pour \(80\) élèves pendant \(10\) jours, la quantité totale de confiture nécessaire est :
\[
30 \times 80 \times 10 = 24 000 \, \text{g} = 24 \, \text{kg}.
\]
Chaque pot contient \(1 \, \text{kg}\). Donc, il faut :
\[
\frac{24 \, \text{kg}}{1 \, \text{kg/pot}} = 24 \, \text{pots}.
\]
Il faut donc prévoir \(24\) pots de confiture.

6. Calculons la consommation de chaque voiture sur \(500 \, \text{km}\). Pour la voiture essence :
\[
9{,}5 \, \text{L/100km} \times 5 = 47{,}5 \, \text{L}.
\]
Pour la voiture diesel :
\[
6{,}5 \, \text{L/100km} \times 5 = 32{,}5 \, \text{L}.
\]

Calculons le coût du carburant pour chaque voiture. Pour la voiture essence :
\[
47{,}5 \, \text{L} \times 1{,}33 \, \text{euros/L} = 63{,}175 \, \text{euros}.
\]
Pour la voiture diesel :
\[
32{,}5 \, \text{L} \times 1{,}10 \, \text{euros/L} = 35{,}75 \, \text{euros}.
\]

L’économie réalisée avec le diesel est :
\[
63{,}175 – 35{,}75 = 27{,}425 \, \text{euros}.
\]
Arrondi au centime supérieur, l’économie est de \(27{,}43 \, \text{euros}\).

Exercice 17 : addition et soustraction
a.
\[
\begin{array}{r}
13,25 \\
+ \phantom{0}5,72 \\
\hline
18,97
\end{array}
\]

b.
\[
\begin{array}{r}
9,876 \\
+ 2,63 \\
\hline
12,506
\end{array}
\]

c.
\[
\begin{array}{r}
0,527 \\
+ 1,206 \\
\hline
1,733
\end{array}
\]

d.
\[
\begin{array}{r}
13,58 \\
– \phantom{0}6,1 \\
\hline
7,48
\end{array}
\]

e.
\[
\begin{array}{r}
35,61 \\
– \phantom{0}8,9 \\
\hline
26,71
\end{array}
\]

f.
\[
\begin{array}{r}
9,5 \\
– 2,64 \\
\hline
6,86
\end{array}
\]

Exercice 18 : additions et soustractions à calculer
\paragraph{Correction de l’exercice}

1/ Effectue les opérations suivantes :

(a)
\[
\begin{array}{r}
245,1 \\
+ 542,71 \\
\hline
787,81 \\
\end{array}
\]

(b)
\[
\begin{array}{r}
417,25 \\
– 4,27 \\
\hline
412,98 \\
\end{array}
\]

2/ Pose et effectue les opérations suivantes :

(a)
\[
\begin{array}{r}
54,17 \\
+ 298,33 \\
\hline
352,5 \\
\end{array}
\]

(b)
\[
\begin{array}{r}
578,2 \\
– 65,77 \\
\hline
512,43 \\
\end{array}
\]

3/ Pour chacun des quatre résultats obtenus, donne sa partie entière et son arrondi à l’unité.

(a) \[787,81\] :
* Partie entière : \[787\]
* Arrondi à l’unité : \[788\]

(b) \[412,98\] :
* Partie entière : \[412\]
* Arrondi à l’unité : \[413\]

(c) \[352,5\] :
* Partie entière : \[352\]
* Arrondi à l’unité : \[353\]

(d) \[512,43\] :
* Partie entière : \[512\]
* Arrondi à l’unité : \[512\]

Exercice 19 : entourer la durée équivalente
Pour l’exercice, nous devons convertir les durées données afin de les comparer et déterminer les équivalences.

1. \(1,5 \, \text{h}\)
\[
1,5 \, \text{h} = 1 \, \text{h} + 0,5 \, \text{h} = 1 \, \text{h} + 30 \, \text{min} = 1 \, \text{h} \, 30 \, \text{min}
\]
Parmi les réponses, \(1 \, \text{h} \, 50 \, \text{min}\), \(90 \, \text{min}\) et \(150 \, \text{min}\), \(90 \, \text{min}\) est équivalent à \(1,5 \, \text{h}\) car :
\[
90 \, \text{min} = 1 \, \text{h} \, 30 \, \text{min}
\]
La réponse correcte est donc \(\text{Réponse B}\).

2. \(\frac{3}{4} \, \text{h}\)
\[
\frac{3}{4} \, \text{h} = 0,75 \, \text{h} = 0,75 \times 60 \, \text{min} = 45 \, \text{min}
\]
Donc, la réponse correcte est \(\text{Réponse C}\).

3. \(5 \, \text{demi-heures}\)
\[
5 \, \text{demi-heures} = 5 \times \frac{1}{2} \, \text{h} = 2,5 \, \text{h}
\]
Donc, la réponse correcte est \(\text{Réponse A}\).

4. \(2,3 \, \text{h}\)
\[
2,3 \, \text{h} = 2 \, \text{h} + 0,3 \, \text{h} = 2 \, \text{h} + 0,3 \times 60 \, \text{min} = 2 \, \text{h} \, 18 \, \text{min}
\]
Donc, la réponse correcte est \(\text{Réponse B}\).

5. \(4,2 \, \text{h}\)
\[
4,2 \, \text{h} = 4 \, \text{h} + 0,2 \, \text{h} = 4 \, \text{h} + 0,2 \times 60 \, \text{min} = 4 \, \text{h} \, 12 \, \text{min}
\]
Donc, la réponse correcte est \(\text{Réponse A}\).

Les réponses correctes sont donc :

1. Réponse B
2. Réponse C
3. Réponse A
4. Réponse B
5. Réponse A

Exercice 20 : convertir des durées
\[
\begin{align*}
\text{a.} \quad 100 \, \text{h} = 4 \, \text{j} \quad 4 \text{h} \quad (100 : 24 = 4 \text{ jours } + 4 \text{ heures}) \\
\text{b.} \quad 412 \, \text{h} = 17 \, \text{j} \quad 4 \text{h} \quad (412 : 24 = 17 \text{ jours } + 4 \text{ heures}) \\
\text{c.} \quad 700 \, \text{min} = 11 \, \text{h} \quad 40 \, \text{min} \quad (700 : 60 = 11 \text{ heures } + 40 \text{ minutes}) \\
\text{d.} \quad 1338 \, \text{min} = 22 \, \text{h} \quad 18 \, \text{min} \quad (1338 : 60 = 22 \text{ heures } + 18 \text{ minutes}) \\
\text{e.} \quad 875 \, \text{s} = 14 \, \text{min} \quad 35 \, \text{s} \quad (875 : 60 = 14 \text{ minutes } + 35 \text{ secondes}) \\
\text{f.} \quad 3000 \, \text{s} = 50 \, \text{min} \quad 0 \, \text{s} \quad (3000 : 60 = 50 \text{ minutes}) \\
\text{g.} \quad 13000 \, \text{s} = 216 \, \text{min} \quad 40 \, \text{s} \quad (13000 : 60 = 216 \text{ minutes } + 40 \text{ secondes}) \\
\quad = 3 \, \text{h} \quad 36 \, \text{min} \quad 40 \, \text{s} \quad (216 \text{ minutes } = 3 \text{ heures } + 36 \text{ minutes})
\end{align*}
\]

Exercice 21 : une course de relais et des athlètes
Les temps des athlètes sont donnés en minutes et en secondes. Afin de trouver la durée totale de la course, nous allons additionner les temps de chaque athlète.

Les temps sont :
– \( t_1 = 28 \text{ min } 54 \text{ s} \)
– \( t_2 = 29 \text{ min } 12 \text{ s} \)
– \( t_3 = 27 \text{ min } 58 \text{ s} \)
– \( t_4 = 28 \text{ min } 1 \text{ s} \)

Convertissons ces temps en secondes pour faciliter l’addition :
\[
t_1 = 28 \times 60 + 54 = 1680 + 54 = 1734 \text{ s}
\]
\[
t_2 = 29 \times 60 + 12 = 1740 + 12 = 1752 \text{ s}
\]
\[
t_3 = 27 \times 60 + 58 = 1620 + 58 = 1678 \text{ s}
\]
\[
t_4 = 28 \times 60 + 1 = 1680 + 1 = 1681 \text{ s}
\]

Additionnons les quatre temps en secondes :
\[
T = t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = 1734 + 1752 + 1678 + 1681 = 6845 \text{ s}
\]

Convertissons ce temps total en heures, minutes et secondes :
\[
6845 \text{ s} = 1 \text{ h } 53 \text{ min } 65 \text{ s}
\]

Puisque 65 secondes dépassent une minute, nous convertissons les secondes supplémentaires :
\[
65 \text{ s} = 1 \text{ min } 5 \text{ s}
\]

Ainsi, nous ajoutons cette minute supplémentaire aux minutes déjà calculées :
\[
1 \text{ h } 53 \text{ min } 65 \text{ s} = 1 \text{ h } 54 \text{ min } 5 \text{ s}
\]

Donc, la durée totale de la course est :
\[
\boxed{1 \text{ h } 54 \text{ min } 5 \text{ s}}
\]

Exercice 22 : train pour Paris gare de Lyon
Pour calculer la durée entre les deux heures représentées par les horloges en suivant la même méthode :

1. La première horloge indique 7 h 25.
2. La deuxième horloge indique 9 h 20.

Calculons les étapes intermédiaires :

\[
7 \, \text{h} \, 25 \, \text{min} \xrightarrow{+35 \, \text{min}} 8 \, \text{h} \xrightarrow{+1 \, \text{h} \, 20 \, \text{min}} 9 \, \text{h} \, 20 \, \text{min}
\]

Ainsi, la durée totale est :

\[
35 \, \text{min} + 1 \, \text{h} \, 20 \, \text{min} = 1 \, \text{h} \, 55 \, \text{min}
\]

Les étapes de calcul détaillées sont :

\[
35 \, \text{min} + 1 \, \text{h} \, 20 \, \text{min} = 35 \, \text{min} + 80 \, \text{min} = 115 \, \text{min} = 1 \, \text{h} \, 55 \, \text{min}
\]

La durée entre 7 h 25 et 9 h 20 est donc de :

\[
1 \, \text{h} \, 55 \, \text{min}
\]

Exercice 23 : divisions et conversions de durées
a. \(1\,565\ \text{s} = 26\ \text{min}\ +\ 5\ \text{s}\)

b. \(3\,127\ \text{min} = 52\ \text{h}\ +\ 7\ \text{min}\)

c.
\begin{align*}
4\,281\ \text{s} = 71\ \text{min}\ +\ 21\ \text{s} \\
= 1\ \text{h}\ +\ 11\ \text{min}\ +\ 21\ \text{s}
\end{align*}

d.
\begin{align*}
10\,000\ \text{min} = 166\ \text{h}\ +\ 40\ \text{min} \\
= 6\ \text{j}\ +\ 22\ \text{h}\ +\ 40\ \text{min}
\end{align*}

Exercice 24 : calculer les durées suivantes
\begin{array}{rl}
\underline{\text{13h 45min 16s}}\\
+ \underline{\text{9h 39min 48s}}\\
\end{array}

On additionne les secondes:
\[16\, s + 48\, s = 64 \, s = 1\, min\, 4 \, s\]

On reporte 4 secondes et on ajoute 1 minute aux minutes.

On additionne les minutes:
\[45\, min + 39\, min + 1\, min = 85 \, min = 1 \, h\, 25 \, min\]

On reporte 25 minutes et on ajoute 1 heure aux heures.

On additionne les heures:
\[13\, h + 9\, h + 1 \, h = 23 \, h \]

Le résultat est donc :
\[ \boxed{23\, heures \, 25 \, minutes\, 4\, secondes}\]

\begin{array}{rl}
\underline{\text{13h 45min 16s}}\\
– \underline{\text{9h 39min 48s}}\\
\end{array}

On soustrait les secondes:
\[16\, s – 48\, s = -32 \, s\]
On emprunte 1 minute (60 secondes):
\[60\, s – 32\, s = 28 \, s\]
On emprunte aussi 1 minute des minutes.

On soustrait les minutes:
\[44\, min – 39\, min = 5 \, min\]

On soustrait les heures:
\[13\, h – 9\, h = 4 \, h \]

Le résultat est donc :
\[ \boxed{4\, heures \, 5\, minutes\, 28\, secondes}\]

\begin{array}{rl}
\underline{\text{7h 28min 17s}}\\
+ \underline{\text{3h 57min 63s}}\\
\end{array}

On additionne les secondes:
\[17\, s + 63\, s = 80 \, s = 1\, min\, 20 \, s\]

On reporte 20 secondes et on ajoute 1 minute aux minutes.

On additionne les minutes:
\[28\, min + 57\, min + 1\, min = 86 \, min = 1 \, h\, 26 \, min\]

On reporte 26 minutes et on ajoute 1 heure aux heures.

On additionne les heures:
\[7\, h + 3\, h + 1 \, h = 11 \, h \]

Le résultat est donc :
\[ \boxed{11\, heures \, 26 \, minutes\, 20\, secondes}\]

\begin{array}{rl}
\underline{\text{7h 28min 17s}}\\
– \underline{\text{3h 57min 63s}}\\
\end{array}

On soustrait les secondes:
\[17\, s – 63\, s = -46 \, s\]
On emprunte 1 minute (60 secondes):
\[60\, s – 46\, s = 14 \, s\]
On emprunte aussi 1 minute des minutes.

On soustrait les minutes:
\[27\, min – 57\, min = -30 \, min\]
On emprunte 1 heure (60 minutes):
\[60\, min – 30\, min = 30 \, min\]

On soustrait les heures:
\[6\, h – 3\, h = 3 \, h\]

Le résultat est donc :
\[ \boxed{3\, heures\, 30\, minutes\, 14 \, secondes}\]

Exercice 25 : poser et effectuer les soustractions
\[
\begin{array}{r}
\underline{81} \\
– \underline{17} \\
\hline
\quad 64
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{r}
\underline{2\,756} \\
– \underline{324} \\
\hline
\quad 2\,432
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{r}
\underline{987} \\
– \underline{47} \\
\hline
\quad 940
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{r}
\underline{5\,420} \\
– \underline{317} \\
\hline
\quad 5\,103
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{r}
\underline{2\,200} \\
– \underline{212} \\
\hline
\quad 1\,988
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{r}
\underline{6\,307} \\
– \underline{417} \\
\hline
\quad 5\,890
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{r}
\underline{14\,700} \\
– \underline{8\,356} \\
\hline
\quad 6\,344
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{r}
\underline{236\,783} \\
– \underline{12\,145} \\
\hline
\quad 224\,638
\end{array}
\]

Exercice 26 : horaires de travail des agents de la DDE
Pour calculer le temps de travail total de l’agent, nous devons additionner le temps de la matinée et celui de l’après-midi.

\[\]Temps de travail le matin :\[\]

\[
12:18 – 7:42
\]

Convertissons les heures et les minutes en minutes :
\[
12 \text{h} 18 \text{min} = 12 \times 60 + 18 = 738 \text{ min}
\]
\[
7 \text{h} 42 \text{min} = 7 \times 60 + 42 = 462 \text{ min}
\]

Soustrayons pour trouver le temps de travail le matin :
\[
738 \text{ min} – 462 \text{ min} = 276 \text{ min}
\]

Convertissons cela en heures et minutes :
\[
276 \text{ min} = 4 \text{ h } 36 \text{ min}
\]

\[\]Temps de travail l’après-midi :\[\]

\[
17:23 – 13:07
\]

Convertissons les heures et les minutes en minutes :
\[
17 \text{h} 23 \text{min} = 17 \times 60 + 23 = 1043 \text{ min}
\]
\[
13 \text{h} 07 \text{min} = 13 \times 60 + 7 = 787 \text{ min}
\]

Soustrayons pour trouver le temps de travail l’après-midi :
\[
1043 \text{ min} – 787 \text{ min} = 256 \text{ min}
\]

Convertissons cela en heures et minutes :
\[
256 \text{ min} = 4 \text{ h } 16 \text{ min}
\]

\[\]Temps de travail total :\[\]

Additionnons les deux périodes de travail :
\[
4 \text{ h } 36 \text{ min} + 4 \text{ h } 16 \text{ min}
\]

Convertissons le tout en minutes :
\[
(4 \times 60 + 36) + (4 \times 60 + 16) = 276 + 256 = 532 \text{ min}
\]

Convertissons à nouveau en heures et minutes :
\[
532 \text{ min} = 8 \text{ h } 52 \text{ min}
\]

\[\]Comparaison avec la durée quotidienne de travail :\[\]

La durée quotidienne de travail d’un agent est de 7 h 42 min, ce qui correspond à :

\[
7 \text{ h } 42 \text{ min} = 7 \times 60 + 42 = 462 \text{ min}
\]

Soustrayons pour voir s’il y a des heures supplémentaires :
\[
532 \text{ min} – 462 \text{ min} = 70 \text{ min}
\]

Convertissons les minutes supplémentaires en heures et minutes :
\[
70 \text{ min} = 1 \text{ h } 10 \text{ min}
\]

L’agent aura donc fait 1 heure et 10 minutes d’heures supplémentaires durant cette journée de travail.

Exercice 27 : course contre la montre et durées
Soit \( t \) le temps en minutes que le premier coureur met pour parcourir 1 km.

Le second coureur met 2 secondes de moins par kilomètre que le premier coureur. On convertit cette différence de temps en minutes :
\[ 2 \text{ secondes} = \frac{2}{60} \text{ minutes} = \frac{1}{30} \text{ minutes} \]

Ainsi, le second coureur met :
\[ t – \frac{1}{30} \text{ minutes par kilomètre.} \]

La distance totale à parcourir est de 44 km.

Le premier coureur met donc :
\[ 44t \text{ minutes pour parcourir 44 km.} \]

Le second coureur met :
\[ 44 ( t – \frac{1}{30} ) \text{ minutes pour parcourir 44 km.} \]

On doit déterminer si le second coureur rattrapera son retard initial de 1,5 minutes sur les 44 kms.

Le retard initial entre les deux coureurs est de :
\[ 1,5 \text{ minutes} \]

Le temps que met le second coureur par rapport au premier pour chaque kilomètre est :
\[ t – ( t – \frac{1}{30} ) = \frac{1}{30} \text{ minutes par kilomètre} \]

Le temps total que mettrait le second coureur pour rattraper 1,5 minutes de retard est :
\[ 1,5 : \frac{1}{30} = 1,5 \times 30 = 45 \text{ kilomètres.} \]

Ainsi, il faudrait 45 km au second coureur pour rattraper le premier.e.

Puisque la distance totale à parcourir est de 44 km, le second coureur ne doublera pas le premier avant la fin du parcours.

Par conséquent, le second coureur ne doublera pas le premier avant la fin du parcours.

Exercice 28 : calcul de la durée d’une course en ville
Seda doit prendre son train à 19h40 et souhaite arriver à la gare 10 minutes avant le départ du train.

\[ 19:40 – 0:10 = 19:30 \]

Elle doit donc être à la gare à 19h30.

Pour aller à la gare en bus, il lui faut 45 minutes. Elle doit donc partir de la ville pour aller à la gare à :

\[ 19:30 – 0:45 = 18:45 \]

Sa course en ville prend 45 minutes. Ainsi, pour être prête à partir de la ville à 18h45, elle doit commencer sa course à :

\[ 18:45 – 0:45 = 18:00 \]

De plus, pour aller en ville, il lui faut 15 minutes. Elle doit donc partir de chez elle à :

\[ 18:00 – 0:15 = 17:45 \]

En conclusion, Seda doit partir de chez elle au plus tard à 17h45.

Exercice 29 : l’ultra-Trail du Mont-Blanc
Sachant que le gagnant a réalisé un temps de \( 73\ 097 \) secondes, nous allons convertir ce temps en heures, minutes et secondes.

Tout d’abord, convertissons les secondes en heures :
\[
73\ 097 \, \text{secondes} = \frac{73\ 097}{3600} \approx 20.3052778 \, \text{heures}
\]

Séparons la partie entière pour obtenir le nombre d’heures :
\[
20.3052778 \, \text{heures} \approx 20 \, \text{heures}
\]

Maintenant convertissons le reste (\(0.3052778\)) en minutes et secondes :
\[
0.3052778 \, \text{heures} \times 60 = 18.316668 \, \text{minutes}
\]

Séparons la partie entière pour obtenir le nombre de minutes :
\[
18.316668 \, \text{minutes} \approx 18 \, \text{minutes}
\]

Convertissons le reste (\(0.316668\)) en secondes :
\[
0.316668 \, \text{minutes} \times 60 \approx 19 \, \text{secondes}
\]

Donc, \(73\ 097 \, \text{secondes} = 20 \, \text{heures} \, 18 \, \text{minutes} \, 19 \, \text{secondes}\).

Sachant que le départ a eu lieu le 26 août 2013 à 22 h, ajoutons le temps de course :
\[
22:00:00 + 20:18:19 = 18:18:19 \, \text{(le 27 août 2013)}
\]

La réponse est :
Le gagnant de l’Ultra-Trail du Mont-Blanc en 2013 est arrivé le 27 août 2013 à 18 h 18 min 19 s.

Exercice 30 : durée d’un trajet
Séta est partie à 23h08 et est arrivée à 00h07 du jour suivant. On veut déterminer le temps de trajet.

Tout d’abord, on convertit les heures en minutes.
Le départ est à 23h08, ce qui correspond à \(23 \times 60 + 8 = 1388\) minutes.
L’arrivée est à 00h07, ce qui correspond à \(0 \times 60 + 7 = 7\) minutes du jour suivant.

Pour trouver la différence en temps entre ces deux moments, il faut considérer que l’arrivée est le lendemain. Il y a donc 60 minutes dans une heure et 24 heures dans une journée.
Ainsi, le temps total jusqu’à minuit est:

\[ 24 \times 60 = 1440 \text{ minutes} \]

De ce fait, le temps de trajet est donné par :

\[ 1440 – 1388 + 7 = 52 + 7 = 59 \text{ minutes} \]

Par conséquent, Séta a mis 59 minutes pour faire ce trajet.

Exercice 31 : heure de fin d’un match de tennis
Pour déterminer l’heure à laquelle le match s’est terminé, nous devons ajouter la durée du match (1 heure et 37 minutes) à l’heure de début (16h45).

\[
\begin{array}{c@{c@{c}
\text{Heure de début:} 16\,h\,45\,min \\
\text{Durée du match:} +\,1\,h\,37\,min \\
\hline
\text{Somme:} 17\,h\,82\,min
\end{array}
\]

Nous devons convertir les minutes en trop (82 minutes) en heures et minutes:

\[
82\, \text{min} = 1\, \text{h}\, 22\, \text{min}
\]

Ajouter 1 heure :

\[
17\,h + 1\,h = 18\,h
\]

Reste 22 minutes:

\[
18\,h\,22\,min
\]

Le match s’est donc terminé à 18h22.

Exercice 32 : calculer la durée totale d’un voyage
\[\]Correction de l’exercice de mathématiques :\[\]

(a)
Les horaires du vol indiquent un départ à 6h45 et une arrivée à 12h35.

Calculons d’abord la durée totale du vol sans tenir compte du décalage horaire:
\[
12:35 – 6:45 = 5 \text{ heures et } 50 \text{ minutes}
\]

Ensuite, ajoutons le décalage horaire de 1 heure entre Paris et Lisbonne. Comme Lisbonne est 1 heure en retard par rapport à Paris, nous devons soustraire 1 heure :
\[
5\text{ heures et } 50\text{ minutes} – 1\text{ heure} = 4\text{ heures et } 50\text{ minutes}
\]

Donc, la durée totale du voyage est de \(4\text{ heures et } 50\text{ minutes}\).

(b)
Le vol entre Lyon et Tokyo dure \(1 \text{ jour, } 2 \text{ heures et } 25 \text{ minutes}\). Le vol décolle de Lyon le jeudi 09/01/2015 à 7h55.

Calculons l’heure et le jour d’arrivée :
\[
\text{Heure de départ} : 7h55
\]
Ajoutons la durée du trajet \(1 \text{ jour, } 2 \text{ heures et } 25 \text{ minutes}\) :
\[
7h55 + 1 \text{ jour} = 7h55 \text{ du vendredi 10/01/2015}
\]
\[
7h55 + 2 \text{ heures} = 9h55 \text{ du vendredi 10/01/2015}
\]
\[
9h55 + 25 \text{ minutes} = 10h20 \text{ du vendredi 10/01/2015}
\]

Donc, l’avion atterrira à Tokyo le vendredi 10/01/2015 à 10h20 (heure locale de Tokyo).

Note : La question semble demander l’heure à Lyon quand l’avion atterrira à Tokyo, cependant elle n’inclut pas le décalage horaire entre Lyon et Tokyo. Pour une réponse précise, il serait nécessaire de connaître le fuseau horaire de Tokyo afin de convertir correctement cette heure locale à l’heure de Lyon.

Exercice 33 : un robot qui visse les boulons
Le temps total nécessaire pour visser chaque boulon peut être calculé en additionnant le temps de serrage et le temps nécessaire pour commencer à serrer le boulon suivant.

Temps total pour un boulon :
\[ 1,4~\text{s} + 2,3~\text{s} = 3,7~\text{s} \]

Pour \( 500 \) boulons, le robot aura besoin de :
\[ 500 \times 3,7~\text{s} \]

Calculons le temps total :
\[ 500 \times 3,7 = 1850~\text{s} \]

Convertissons ce temps en minutes et secondes :
\[ 1850~\text{s} = 30~\text{minutes}~et~50~\text{secondes} \]

Le robot commence à 8h00. Ajoutons \( 30 \) minutes et \( 50 \) secondes à \( 8h00 \) :
\[ 8h00 + 0h30min50s = 8h30min50s \]

Le robot ne pourra pas terminer de serrer les 500 boulons à 8h30min48s, car il lui faudra \( 2 \) secondes de plus.