Fonctions linéaires : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : fonctions linéaires

Situation\,1

Soit la fonction linéaire f\,%3A\,x\,\mapsto  \,1%2C2x.

a. Calculer f(5) ; f(-1%2C2) ; f(0) ; f(100).

f(5)\,=\,1%2C2\,\cdot\,5\,=\,6

f(-1%2C2)\,=\,1%2C2\,\cdot\,(-1%2C2)\,=\,-1%2C44

f(0)\,=\,1%2C2\,\cdot\,0\,=\,0

f(100)\,=\,1%2C2\,\cdot\,100\,=\,120

b. Calculer les nombres x dont les images sont 2400 et -45.

Pour f(x)\,=\,2400,

1%2C2x\,=\,2400\,\implies\,x\,=\,\frac{2400}{1%2C2}\,=\,2000

Pour f(x)\,=\,-45,

1%2C2x\,=\,-45\,\implies\,x\,=\,\frac{-45}{1%2C2}\,=\,-37%2C5

Situation\,2

Soit g la fonction linéaire telle que g\,%3A\,x\,\mapsto  \,0%2C4x.

a. Quel est le coefficient de la fonction g ?

Le coefficient de la fonction g est 0%2C4.

b. Calculer les images de 10 ; -5 et 1.

g(10)\,=\,0%2C4\,\cdot\,10\,=\,4

g(-5)\,=\,0%2C4\,\cdot\,(-5)\,=\,-2

g(1)\,=\,0%2C4\,\cdot\,1\,=\,0%2C4

c. Compléter les égalités suivantes :

g(10)\,=\,4

g(-5)\,=\,-2

g(1)\,=\,0%2C4

Situation\,3

On sait que 18 a pour image 23 par la fonction f et que 12 a pour image 14 par f.

Est-ce une fonction linéaire ? Pourquoi ?

On suppose f(x)\,=\,ax\,%2B\,b.

Pour x\,=\,18 : 23\,=\,18a\,%2B\,b

Pour x\,=\,12 : 14\,=\,12a\,%2B\,b

On résout le système :

\begin{cases}%0D%0A23\,=\,18a\,%2B\,b\\%0D%0A14\,=\,12a\,%2B\,b%0D%0A\end{cases}

En soustrayant la deuxième équation de la première :

23\,-\,14\,=\,18a\,-\,12a\,\implies\,9\,=\,6a\,\implies\,a\,=\,\frac{9}{6}\,=\,1%2C5

Puis en remplaçant a dans 23\,=\,18a\,%2B\,b:

23\,=\,18\,\cdot\,1%2C5\,%2B\,b\,\implies\,23\,=\,27\,%2B\,b\,\implies\,b\,=\,-4

Ainsi f(x)\,=\,1%2C5x\,-\,4, qui est une fonction affine mais pas une fonction linéaire car la constante b\,\neq\,0.

Situation\,4

Exprimer la fonction linéaire f sous la forme x\,\mapsto  \,ax.

1. Lorsque l’image de 10 est -3.

f(10)\,=\,10a\,=\,-3\,\implies\,a\,=\,\frac{-3}{10}\,=\,-0%2C3

2. Lorsque f(-100)\,=\,-46.

f(-100)\,=\,-100a\,=\,-46\,\implies\,a\,=\,\frac{-46}{-100}\,=\,0%2C46

3. Lorsque le coefficient de f est 2%2C5.

a\,=\,2%2C5

D’où f(x)\,=\,2%2C5x.

Exercice 2 : fonctions linéaires
Pour déterminer le coefficient directeur d’une fonction linéaire représentée par une droite, il suffit de calculer le taux de variation entre deux points sur cette droite. Le coefficient directeur m est donné par la formule :

m\,=\,\frac{\Delta\,y}{\Delta\,x}\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}

Voici les calculs pour chacune des fonctions linéaires représentées ci-dessus :

### Première droite :
Les points marquants sur la droite sont (0%2C\,0) et (1%2C\,1).
m\,=\,\frac{1\,-\,0}{1\,-\,0}\,=\,\frac{1}{1}\,=\,1

### Deuxième droite :
Les points marquants sur la droite sont (0%2C\,3) et (3%2C\,0).
m\,=\,\frac{0\,-\,3}{3\,-\,0}\,=\,\frac{-3}{3}\,=\,-1

### Troisième droite :
Les points marquants sur la droite sont (0%2C\,3) et (3%2C\,3).
m\,=\,\frac{3\,-\,3}{3\,-\,0}\,=\,\frac{0}{3}\,=\,0

### Quatrième droite :
Les points marquants sur la droite sont (0%2C\,3) et (3%2C\,0).
m\,=\,\frac{0\,-\,3}{3\,-\,0}\,=\,\frac{-3}{3}\,=\,-1

Exercice 3 : fonctions linéaires, images et antécédents
1. Calculer f(3), f(-2), f(7):

f(x)\,=\,2x

f(3)\,=\,2\,\cdot\,3\,=\,6

f(-2)\,=\,2\,\cdot\,(-2)\,=\,-4

f(7)\,=\,2\,\cdot\,7\,=\,14

2. Quelles sont les images par f de -1, 6, \frac{3}{2} ?

f(-1)\,=\,2\,\cdot\,(-1)\,=\,-2

f(6)\,=\,2\,\cdot\,6\,=\,12

f(\,\frac{3}{2}\,)\,=\,2\,\cdot\,\frac{3}{2}\,=\,3

3. Trouver le nombre qui a pour image 7.

f(x)\,=\,7

2x\,=\,7

x\,=\,\frac{7}{2}

Le nombre qui a pour image 7 est \frac{7}{2}.

Exercice 4 : pourcentages , augmentation et réductions
1. Pour l’objet A:
Prix\,initial\,=\,65\,\,euros
Augmentation\,=\,5\%25

Le montant de l’augmentation est:
Montant\,de\,l'augmentation\,=\,65\,\times  \,\frac{5}{100}\,=\,3%2C25\,\,euros

Le nouveau prix est donc:
Nouveau\,prix\,=\,65\,%2B\,3%2C25\,=\,68%2C25\,\,euros

2. Pour l’objet B:
Prix\,apres\,augmentation\,=\,88\,\,euros
Augmentation\,=\,10\%25

Soit x le prix avant l’augmentation. On a:
x\,%2B\,0%2C1x\,=\,88
1%2C1x\,=\,88
x\,=\,\frac{88}{1%2C1}\,=\,80\,\,euros

3. Pour l’objet C:
Prix\,initial\,=\,45\,\,euros
Prix\,apres\,augmentation\,=\,50%2C40\,\,euros

Le montant de l’augmentation est:
Montant\,de\,l'augmentation\,=\,50%2C40\,-\,45\,=\,5%2C40\,\,euros

Pour trouver le pourcentage d’augmentation:
Pourcentage\,d'augmentation\,=\,(\,\frac{5%2C40}{45}\,)\,\times  \,100\,=\,12\%25

Ainsi, le pourcentage de cette augmentation est de:
12\%25

Exercice 5 : pourcentages d’augmentation et baisse
a) Soit x le prix initial d’un article et y son prix final après une augmentation ou une baisse. Quel est le pourcentage d’augmentation ou de baisse dans chacun des cas suivants :

(1) y\,=\,1.4x

Le coefficient multiplicateur est 1.4, ce qui signifie une augmentation de 40%, car 1.4\,-\,1\,=\,0.4 ou 40%.

(2) y\,=\,0.5x

Le coefficient multiplicateur est 0.5, ce qui signifie une baisse de 50%, car 1\,-\,0.5\,=\,0.5 ou 50%.

(3) y\,=\,0.9x

Le coefficient multiplicateur est 0.9, ce qui signifie une baisse de 10%, car 1\,-\,0.9\,=\,0.1 ou 10%.

(4) y\,=\,1.05x

Le coefficient multiplicateur est 1.05, ce qui signifie une augmentation de 5%, car 1.05\,-\,1\,=\,0.05 ou 5%.

Exercice 6 : déterminer une fonction linéaire
Soit f une fonction linéaire. Une fonction linéaire se définit par une équation de la forme :

f(x)\,=\,ax\,%2B\,b

Nous savons que :

f(\frac{12}{5})\,=\,\frac{8}{5}

En substituant x\,=\,\frac{12}{5} dans l’équation de f(x), nous obtenons :

f(\frac{12}{5})\,=\,a\,(\frac{12}{5})\,%2B\,b\,=\,\frac{8}{5}

Comme f est une fonction linéaire sans terme constant (b), cela signifie que b\,=\,0. Nous pouvons donc simplifier l’équation en :

a\,(\frac{12}{5})\,=\,\frac{8}{5}

Résolvons pour a :

a\,=\,\frac{\frac{8}{5}}{\frac{12}{5}}\,=\,\frac{8}{12}\,=\,\frac{2}{3}

Ainsi, l’expression de la fonction linéaire f(x) est :

f(x)\,=\,\frac{2}{3}x

Exercice 7 : fonctions linéaires et volume d’un parallélépipède
a. Exprimer les volumes V_1(x) du pavé bleu et V_2(x) du pavé vert en fonction de x.

Le pavé bleu a les dimensions suivantes :
– Largeur : 4 cm
– Longueur : 3 cm
– Hauteur : x cm

Le volume du pavé bleu, V_1(x), est donc :
V_1(x)\,=\,4\,\times  \,3\,\times  \,x\,=\,12x

Le pavé vert a les dimensions suivantes :
– Largeur : 8\,-\,x cm
– Longueur : 3 cm
– Hauteur : 4 cm

Le volume du pavé vert, V_2(x), est donc :
V_2(x)\,=\,(8\,-\,x)\,\times  \,3\,\times  \,4\,=\,12(8\,-\,x)\,=\,96\,-\,12x

b. Dans un tableur, construire un tableau de valeurs et les courbes représentatives de V_1 et V_2 en fonction de x.

Tableau de valeurs pour x allant de 0 à 8 cm :

\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,(cm)\,%26\,V_1(x)\,(cm^3)\,%26\,V_2(x)\,(cm^3)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A0\,%26\,0\,%26\,96\,\\%0D%0A1\,%26\,12\,%26\,84\,\\%0D%0A2\,%26\,24\,%26\,72\,\\%0D%0A3\,%26\,36\,%26\,60\,\\%0D%0A4\,%26\,48\,%26\,48\,\\%0D%0A5\,%26\,60\,%26\,36\,\\%0D%0A6\,%26\,72\,%26\,24\,\\%0D%0A7\,%26\,84\,%26\,12\,\\%0D%0A8\,%26\,96\,%26\,0\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

Les courbes représentatives de V_1 et V_2 en fonction de x peuvent être tracées à partir de ce tableau de valeurs. V_1 est une droite de pente positive, et V_2 est une droite de pente négative.

c. Quel(s) nombre(s) a (ont) la même image par V_1 et V_2 ?

On cherche x tel que V_1(x)\,=\,V_2(x).

12x\,=\,96\,-\,12x

En ajoutant 12x des deux côtés de l’équation, on obtient :

24x\,=\,96

En divisant par 24 des deux côtés, on obtient :

x\,=\,4

Donc, le nombre qui a la même image par V_1 et V_2 est x\,=\,4 cm.

Exercice 8 : quelles sont les fonctions linéaires
Pour chaque fonction, nous devons déterminer si elle est linéaire et, dans ce cas, donner son coefficient.

a) f\,%3A\,x\,\mapsto  \,3%2C5x

La fonction est linéaire. Son coefficient est 3%2C5.

b) g\,%3A\,x\,\mapsto  \,2\,%2B\,x

La fonction n’est pas linéaire car elle a une constante additionnelle (2).

c) h\,%3A\,x\,\mapsto  \,7x^2

La fonction n’est pas linéaire car l’exposant de x est différent de 1.

d) i\,%3A\,x\,\mapsto  \,-x

La fonction est linéaire. Son coefficient est -1.

e) j\,%3A\,x\,\mapsto  \,5

La fonction n’est pas linéaire parce qu’elle est constante. Elle ne dépend pas de x.

f) k\,%3A\,x\,\mapsto  \,\frac{5x}{3}

La fonction est linéaire. Son coefficient est \frac{5}{3}.

Exercice 9 : calcul d’image par une fonction linéaire
On considère la fonction linéaire f de coefficient -5.

a) Pour x\,=\,0:

f(0)\,=\,-5\,\times  \,0\,=\,0

b) Pour x\,=\,3:

f(3)\,=\,-5\,\times  \,3\,=\,-15

c) Pour x\,=\,-2:

f(-2)\,=\,-5\,\times  \,(-2)\,=\,10

d) Pour x\,=\,\frac{3}{7}:

f(\,\frac{3}{7}\,)\,=\,-5\,\times  \,\frac{3}{7}\,=\,-\frac{15}{7}

e) Pour x\,=\,-\sqrt{3}:

f(-\sqrt{3})\,=\,-5\,\times  \,(-\sqrt{3})\,=\,5\sqrt{3}

Exercice 10 : gérant de magasin de vêtements
a) La fonction linéaire modélisant cette baisse de prix de 15 % est donnée par :
f(x)\,=\,x\,-\,0.15x\,=\,0.85x
x est le prix initial du vêtement.

b) Le nouveau prix d’un pantalon qui coûtait 70 € avant la baisse des prix est donné par :
f(70)\,=\,0.85\,\times  \,70\,=\,59.5\,\%2C\,%E2%82%AC

c) Pour trouver l’ancien prix x d’un pull qui coûte 50,12 € après la baisse, nous utilisons la fonction inverse de f :
0.85x\,=\,50.12
Nous résolvons pour x :
x\,=\,\frac{50.12}{0.85}\,=\,58.97\,\%2C\,%E2%82%AC\,(arrondi\,a\,deux\,decimales)

Ainsi, l’ancien prix du pull était de 58,97 €.

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