Fonctions linéaires : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : fonctions linéaires

$Situation\,1$

Soit la fonction linéaire $f\,%3A\,x\,\mapsto \,1%2C2x$ .

a. Calculer ; ; ; .

$f(5)\,=\,1%2C2\,\cdot\,5\,=\,6$

$f(-1%2C2)\,=\,1%2C2\,\cdot\,(-1%2C2)\,=\,-1%2C44$

$f(0)\,=\,1%2C2\,\cdot\,0\,=\,0$

$f(100)\,=\,1%2C2\,\cdot\,100\,=\,120$

b. Calculer les nombres dont les images sont et .

Pour $f(x)\,=\,2400$ ,

$1%2C2x\,=\,2400\,\implies\,x\,=\,\frac{2400}{1%2C2}\,=\,2000$

Pour $f(x)\,=\,-45$ ,

$1%2C2x\,=\,-45\,\implies\,x\,=\,\frac{-45}{1%2C2}\,=\,-37%2C5$

$Situation\,2$

Soit la fonction linéaire telle que $g\,%3A\,x\,\mapsto \,0%2C4x$ .

a. Quel est le coefficient de la fonction ?

Le coefficient de la fonction est .

b. Calculer les images de ; et .

$g(10)\,=\,0%2C4\,\cdot\,10\,=\,4$

$g(-5)\,=\,0%2C4\,\cdot\,(-5)\,=\,-2$

$g(1)\,=\,0%2C4\,\cdot\,1\,=\,0%2C4$

c. Compléter les égalités suivantes :

$g(10)\,=\,4$

$g(-5)\,=\,-2$

$g(1)\,=\,0%2C4$

$Situation\,3$

On sait que a pour image par la fonction et que a pour image par .

Est-ce une fonction linéaire ? Pourquoi ?

On suppose $f(x)\,=\,ax\,%2B\,b$ .

Pour $x\,=\,18$ : $23\,=\,18a\,%2B\,b$

Pour $x\,=\,12$ : $14\,=\,12a\,%2B\,b$

On résout le système :

$\begin{cases}%0D%0A23\,=\,18a\,%2B\,b\\%0D%0A14\,=\,12a\,%2B\,b%0D%0A\end{cases}$

En soustrayant la deuxième équation de la première :

$23\,-\,14\,=\,18a\,-\,12a\,\implies\,9\,=\,6a\,\implies\,a\,=\,\frac{9}{6}\,=\,1%2C5$

Puis en remplaçant dans $23\,=\,18a\,%2B\,b$ :

$23\,=\,18\,\cdot\,1%2C5\,%2B\,b\,\implies\,23\,=\,27\,%2B\,b\,\implies\,b\,=\,-4$

Ainsi $f(x)\,=\,1%2C5x\,-\,4$ , qui est une fonction affine mais pas une fonction linéaire car la constante $b\,\neq\,0$ .

$Situation\,4$

Exprimer la fonction linéaire sous la forme $x\,\mapsto \,ax$ .

1. Lorsque l’image de est .

$f(10)\,=\,10a\,=\,-3\,\implies\,a\,=\,\frac{-3}{10}\,=\,-0%2C3$

2. Lorsque $f(-100)\,=\,-46$ .

$f(-100)\,=\,-100a\,=\,-46\,\implies\,a\,=\,\frac{-46}{-100}\,=\,0%2C46$

3. Lorsque le coefficient de est .

$a\,=\,2%2C5$

D’où $f(x)\,=\,2%2C5x$ .

Exercice 2 : fonctions linéaires
Pour déterminer le coefficient directeur d’une fonction linéaire représentée par une droite, il suffit de calculer le taux de variation entre deux points sur cette droite. Le coefficient directeur est donné par la formule :

$m\,=\,\frac{\Delta\,y}{\Delta\,x}\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}$

Voici les calculs pour chacune des fonctions linéaires représentées ci-dessus :

### Première droite :
Les points marquants sur la droite sont $(0%2C\,0)$ et $(1%2C\,1)$ .
$m\,=\,\frac{1\,-\,0}{1\,-\,0}\,=\,\frac{1}{1}\,=\,1$

### Deuxième droite :
Les points marquants sur la droite sont $(0%2C\,3)$ et $(3%2C\,0)$ .
$m\,=\,\frac{0\,-\,3}{3\,-\,0}\,=\,\frac{-3}{3}\,=\,-1$

### Troisième droite :
Les points marquants sur la droite sont $(0%2C\,3)$ et $(3%2C\,3)$ .
$m\,=\,\frac{3\,-\,3}{3\,-\,0}\,=\,\frac{0}{3}\,=\,0$

### Quatrième droite :
Les points marquants sur la droite sont $(0%2C\,3)$ et $(3%2C\,0)$ .
$m\,=\,\frac{0\,-\,3}{3\,-\,0}\,=\,\frac{-3}{3}\,=\,-1$

Exercice 3 : fonctions linéaires, images et antécédents
1. Calculer , , :

$f(x)\,=\,2x$

$f(3)\,=\,2\,\cdot\,3\,=\,6$

$f(-2)\,=\,2\,\cdot\,(-2)\,=\,-4$

$f(7)\,=\,2\,\cdot\,7\,=\,14$

2. Quelles sont les images par de , , $\frac{3}{2}$ ?

$f(-1)\,=\,2\,\cdot\,(-1)\,=\,-2$

$f(6)\,=\,2\,\cdot\,6\,=\,12$

$f(\,\frac{3}{2}\,)\,=\,2\,\cdot\,\frac{3}{2}\,=\,3$

3. Trouver le nombre qui a pour image 7.

$f(x)\,=\,7$

$2x\,=\,7$

$x\,=\,\frac{7}{2}$

Le nombre qui a pour image 7 est $\frac{7}{2}$ .

Exercice 4 : pourcentages , augmentation et réductions
1. Pour l’objet A:
$Prix\,initial\,=\,65\,\,euros$
$Augmentation\,=\,5\%25$

Le montant de l’augmentation est:
$Montant\,de\,l'augmentation\,=\,65\,\times \,\frac{5}{100}\,=\,3%2C25\,\,euros$

Le nouveau prix est donc:
$Nouveau\,prix\,=\,65\,%2B\,3%2C25\,=\,68%2C25\,\,euros$

2. Pour l’objet B:
$Prix\,apres\,augmentation\,=\,88\,\,euros$
$Augmentation\,=\,10\%25$

Soit le prix avant l’augmentation. On a:
$x\,%2B\,0%2C1x\,=\,88$
$1%2C1x\,=\,88$
$x\,=\,\frac{88}{1%2C1}\,=\,80\,\,euros$

3. Pour l’objet C:
$Prix\,initial\,=\,45\,\,euros$
$Prix\,apres\,augmentation\,=\,50%2C40\,\,euros$

Le montant de l’augmentation est:
$Montant\,de\,l'augmentation\,=\,50%2C40\,-\,45\,=\,5%2C40\,\,euros$

Pour trouver le pourcentage d’augmentation:
$Pourcentage\,d'augmentation\,=\,(\,\frac{5%2C40}{45}\,)\,\times \,100\,=\,12\%25$

Ainsi, le pourcentage de cette augmentation est de:
$12\%25$

Exercice 5 : pourcentages d’augmentation et baisse
a) Soit le prix initial d’un article et son prix final après une augmentation ou une baisse. Quel est le pourcentage d’augmentation ou de baisse dans chacun des cas suivants :

(1) $y\,=\,1.4x$

Le coefficient multiplicateur est 1.4, ce qui signifie une augmentation de 40%, car $1.4\,-\,1\,=\,0.4$ ou 40%.

(2) $y\,=\,0.5x$

Le coefficient multiplicateur est 0.5, ce qui signifie une baisse de 50%, car $1\,-\,0.5\,=\,0.5$ ou 50%.

(3) $y\,=\,0.9x$

Le coefficient multiplicateur est 0.9, ce qui signifie une baisse de 10%, car $1\,-\,0.9\,=\,0.1$ ou 10%.

(4) $y\,=\,1.05x$

Le coefficient multiplicateur est 1.05, ce qui signifie une augmentation de 5%, car $1.05\,-\,1\,=\,0.05$ ou 5%.

Exercice 6 : déterminer une fonction linéaire
Soit une fonction linéaire. Une fonction linéaire se définit par une équation de la forme :

$f(x)\,=\,ax\,%2B\,b$

Nous savons que :

$f(\frac{12}{5})\,=\,\frac{8}{5}$

En substituant $x\,=\,\frac{12}{5}$ dans l’équation de , nous obtenons :

$f(\frac{12}{5})\,=\,a\,(\frac{12}{5})\,%2B\,b\,=\,\frac{8}{5}$

Comme est une fonction linéaire sans terme constant (), cela signifie que $b\,=\,0$ . Nous pouvons donc simplifier l’équation en :

$a\,(\frac{12}{5})\,=\,\frac{8}{5}$

Résolvons pour :

$a\,=\,\frac{\frac{8}{5}}{\frac{12}{5}}\,=\,\frac{8}{12}\,=\,\frac{2}{3}$

Ainsi, l’expression de la fonction linéaire est :

$f(x)\,=\,\frac{2}{3}x$

Exercice 7 : fonctions linéaires et volume d’un parallélépipède
a. Exprimer les volumes du pavé bleu et du pavé vert en fonction de .

Le pavé bleu a les dimensions suivantes :
– Largeur : 4 cm
– Longueur : 3 cm
– Hauteur : cm

Le volume du pavé bleu, , est donc :
$V_1(x)\,=\,4\,\times \,3\,\times \,x\,=\,12x$

Le pavé vert a les dimensions suivantes :
– Largeur : $8\,-\,x$ cm
– Longueur : 3 cm
– Hauteur : 4 cm

Le volume du pavé vert, , est donc :
$V_2(x)\,=\,(8\,-\,x)\,\times \,3\,\times \,4\,=\,12(8\,-\,x)\,=\,96\,-\,12x$

b. Dans un tableur, construire un tableau de valeurs et les courbes représentatives de et en fonction de .

Tableau de valeurs pour allant de 0 à 8 cm :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,(cm)\,%26\,V_1(x)\,(cm^3)\,%26\,V_2(x)\,(cm^3)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A0\,%26\,0\,%26\,96\,\\%0D%0A1\,%26\,12\,%26\,84\,\\%0D%0A2\,%26\,24\,%26\,72\,\\%0D%0A3\,%26\,36\,%26\,60\,\\%0D%0A4\,%26\,48\,%26\,48\,\\%0D%0A5\,%26\,60\,%26\,36\,\\%0D%0A6\,%26\,72\,%26\,24\,\\%0D%0A7\,%26\,84\,%26\,12\,\\%0D%0A8\,%26\,96\,%26\,0\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Les courbes représentatives de et en fonction de peuvent être tracées à partir de ce tableau de valeurs. est une droite de pente positive, et est une droite de pente négative.

c. Quel(s) nombre(s) a (ont) la même image par et ?

On cherche tel que $V_1(x)\,=\,V_2(x)$ .

$12x\,=\,96\,-\,12x$

En ajoutant des deux côtés de l’équation, on obtient :

$24x\,=\,96$

En divisant par 24 des deux côtés, on obtient :

$x\,=\,4$

Donc, le nombre qui a la même image par et est $x\,=\,4$ cm.

Exercice 8 : quelles sont les fonctions linéaires
Pour chaque fonction, nous devons déterminer si elle est linéaire et, dans ce cas, donner son coefficient.

a) $f\,%3A\,x\,\mapsto \,3%2C5x$

La fonction est linéaire. Son coefficient est .

b) $g\,%3A\,x\,\mapsto \,2\,%2B\,x$

La fonction n’est pas linéaire car elle a une constante additionnelle ().

c) $h\,%3A\,x\,\mapsto \,7x^2$

La fonction n’est pas linéaire car l’exposant de est différent de 1.

d) $i\,%3A\,x\,\mapsto \,-x$

La fonction est linéaire. Son coefficient est .

e) $j\,%3A\,x\,\mapsto \,5$

La fonction n’est pas linéaire parce qu’elle est constante. Elle ne dépend pas de .

f) $k\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{5x}{3}$

La fonction est linéaire. Son coefficient est $\frac{5}{3}$ .

Exercice 9 : calcul d’image par une fonction linéaire
On considère la fonction linéaire de coefficient .

a) Pour $x\,=\,0$ :

$f(0)\,=\,-5\,\times \,0\,=\,0$

b) Pour $x\,=\,3$ :

$f(3)\,=\,-5\,\times \,3\,=\,-15$

c) Pour $x\,=\,-2$ :

$f(-2)\,=\,-5\,\times \,(-2)\,=\,10$

d) Pour $x\,=\,\frac{3}{7}$ :

$f(\,\frac{3}{7}\,)\,=\,-5\,\times \,\frac{3}{7}\,=\,-\frac{15}{7}$

e) Pour $x\,=\,-\sqrt{3}$ :

$f(-\sqrt{3})\,=\,-5\,\times \,(-\sqrt{3})\,=\,5\sqrt{3}$

Exercice 10 : gérant de magasin de vêtements
a) La fonction linéaire modélisant cette baisse de prix de 15 % est donnée par :
$f(x)\,=\,x\,-\,0.15x\,=\,0.85x$
où est le prix initial du vêtement.

b) Le nouveau prix d’un pantalon qui coûtait 70 € avant la baisse des prix est donné par :
$f(70)\,=\,0.85\,\times \,70\,=\,59.5\,\%2C\,%E2%82%AC$

c) Pour trouver l’ancien prix d’un pull qui coûte 50,12 € après la baisse, nous utilisons la fonction inverse de :
$0.85x\,=\,50.12$
Nous résolvons pour :
$x\,=\,\frac{50.12}{0.85}\,=\,58.97\,\%2C\,%E2%82%AC\,(arrondi\,a\,deux\,decimales)$

Ainsi, l’ancien prix du pull était de 58,97 €.

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Exercice 11 : expression algébrique d’une fonction linéaire
Pour déterminer les expressions algébriques des fonctions linéaires et , nous devons identifier les équations de leurs droites.

### Fonction

1. Trouvons la pente (coefficients directeur) de .
La fonction passe par les points $(0%2C\,-2)$ et $(1%2C\,3)$ .
$m_f\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}\,=\,\frac{3\,-\,(-2)}{1\,-\,0}\,=\,\frac{5}{1}\,=\,5$

2. L’équation de la droite est de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,b$ .
Sachant que $y\,=\,5x\,%2B\,b$ et passant par le point $(0%2C\,-2)$ :
$-2\,=\,5\,\times \,0\,%2B\,b\,\Rightarrow\,b\,=\,-2$

Donc, la fonction est :
$f(x)\,=\,5x\,-\,2$

### Fonction

1. Trouvons la pente (coefficients directeur) de .
La fonction passe par les points $(0%2C\,0)$ et $(1%2C\,-4)$ .
$m_g\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}\,=\,\frac{-4\,-\,0}{1\,-\,0}\,=\,\frac{-4}{1}\,=\,-4$

2. L’équation de la droite est de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,b$ .
Sachant que $y\,=\,-4x\,%2B\,b$ et passant par le point $(0%2C\,0)$ :
$0\,=\,-4\,\times \,0\,%2B\,b\,\Rightarrow\,b\,=\,0$

Donc, la fonction est :
$g(x)\,=\,-4x$

En résumé, les expressions algébriques des fonctions linéaires sont :
$f(x)\,=\,5x\,-\,2$
$g(x)\,=\,-4x$

Exercice 12 : image par une fonction linéaire
1. Soit la fonction linéaire $g\,%3A\,x\,\mapsto \,3x$ .

L’image du nombre 5 par est :
$g(5)\,=\,3\,\times \,5\,=\,15.$

2. Soit la fonction linéaire $h\,%3A\,x\,\mapsto \,6x$ .

L’image du nombre -3 par est :
$h(-3)\,=\,6\,\times \,(-3)\,=\,-18.$

3. Soit la fonction linéaire $k\,%3A\,x\,\mapsto \,-4x$ .

L’image du nombre 2 par est :
$k(2)\,=\,-4\,\times \,2\,=\,-8.$

Exercice 13 : cultivateur de produits biologiques
1. Calcul :
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0AMasse\,en\,kg\,%26\,1\,%26\,0%2C6\,%26\,1%2C3\,%26\,x\,\\%0D%0A\hline%0D%0APrix\,avant\,expedition\,en\,%E2%82%AC\,%26\,30\,\times \,1\,%26\,30\,\times \,0%2C6\,%26\,30\,\times \,1%2C3\,%26\,30\,\times \,x\,\\%0D%0A%26\,30\,%26\,18\,%26\,39\,%26\,30x\,\\%0D%0A\hline%0D%0APrix\,total\,en\,%E2%82%AC\,%26\,30\,%2B\,5\,%26\,18\,%2B\,5\,%26\,39\,%2B\,5\,%26\,30x\,%2B\,5\,\\%0D%0A%26\,35\,%26\,23\,%26\,44\,%26\,30x\,%2B\,5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

2. Le prix total est-il proportionnel à la masse ?
$Non%2C\,le\,prix\,total\,n'est\,pas\,proportionnel\,a\,la\,masse.$
Pour qu’une relation soit proportionnelle, il faut qu’on ait une relation de la forme $y\,=\,kx$ où est une constante. Dans notre cas, le prix total est donné par $P\,=\,30x\,%2B\,5$ , ce qui n’est pas de la forme $y\,=\,kx$ à cause du terme constant (+5).

3. Déterminer la fonction qui transforme la masse en prix total payé par l’acheteur. Cette fonction est-elle linéaire ?
$f(x)\,=\,30x\,%2B\,5$
Une fonction linéaire est de la forme $f(x)\,=\,ax\,%2B\,b$ avec $b\,=\,0$ . Ici, la fonction obtenue est $f(x)\,=\,30x\,%2B\,5$ .

Donc, la fonction n’est pas linéaire mais affine car elle comprend un terme constant non nul (5).

Exercice 14 : image, antécédent et courbe
Les deux fonctions et sont des fonctions linéaires de la forme $f(x)\,=\,ax$ où est la pente.

Pour $f\,%3A\,x\,\mapsto \,-2x$ , la pente est négative (), donc la fonction décroît.

Pour $g\,%3A\,x\,\mapsto \,0%2C5x$ , la pente est positive (), donc la fonction croît.

Les graphes de ces fonctions passent toutes les deux par l’origine (0,0) car $f(0)\,=\,0$ et $g(0)\,=\,0$ .

$Image\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F0%22\,alt=%220$ » align= »absmiddle » /> :

Pour :
$f(0)\,=\,-2\,\times \,0\,=\,0$

Pour :
$g(0)\,=\,0%2C5\,\times \,0\,=\,0$

Les deux fonctions passent par l’origine, donc les graphes se coupent à (0,0).

$Image\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F1%22\,alt=%221$ pour la fonction » align= »absmiddle » /> :
$f(1)\,=\,-2\,\times \,1\,=\,-2$
Le point correspondant est (1, -2).

$Image\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F2%22\,alt=%222$ pour la fonction » align= »absmiddle » /> :
$g(2)\,=\,0%2C5\,\times \,2\,=\,1$
Le point correspondant est (2, 1).

$Trace\,des\,representations\,graphiques$ :

Pour $f\,%3A\,x\,\mapsto \,-2x$ :
– Passe par les points (0, 0) et (1, -2).

Pour $g\,%3A\,x\,\mapsto \,0%2C5x$ :
– Passe par les points (0, 0) et (2, 1).

Les graphes doivent être tracés en conséquence. La droite (d1) correspondant à la fonction aura une pente décroissante de , tandis que la droite (d2) correspondant à la fonction aura une pente croissante de .

Exercice 15 : fonction linéaire et coefficient directeur
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A\cellcolor{%23DDA0DD}Fonction\,lineaire\,%26\,k\,%26\,g\,%26\,m\,%26\,l\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\cellcolor{%23DDA0DD}Coefficient\,%26\,-\frac{2}{7}\,%26\,\frac{1}{5}\,%26\,-3\,%26\,3%2C2\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 16 : tableau de valeurs
Pour compléter le tableau, nous utiliserons la fonction linéaire $f(x)\,=\,-5x$ .

Pour $x\,=\,-3$ :
$f(-3)\,=\,-5\,\times \,(-3)\,=\,15$

Pour $x\,=\,-0%2C5$ :
$f(-0%2C5)\,=\,-5\,\times \,(-0%2C5)\,=\,2%2C5$

Pour $x\,=\,5$ :
$f(5)\,=\,-5\,\times \,5\,=\,-25$

Pour $x\,=\,10$ :
$f(10)\,=\,-5\,\times \,10\,=\,-50$

Le tableau complété est donc :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-3\,%26\,-0%2C5\,%26\,5\,%26\,10\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,15\,%26\,2%2C5\,%26\,-25\,%26\,-50\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Pour répondre à la question :

Ce tableau montre des valeurs de la fonction linéaire $f(x)\,=\,-5x$ . Nous pouvons observer que pour chaque augmentation de , les valeurs de changent proportionnellement en étant multipliées par . Cela démontre que la fonction est bien linéaire et sa pente (ou coefficient directeur) est , c’est-à-dire que pour chaque unité que augmente, diminue de 5 unités.

Exercice 17 : tableau de valeurs et fonction liénaire
$Correction\,%3A$

Pour déterminer si une fonction est linéaire, il faut vérifier si les variations des sont proportionnelles aux variations des ou . Une fonction linéaire a toujours la forme $f(x)\,=\,ax\,%2B\,b$ où est le coefficient.

Pour le tableau donné :

| | 0 | 2 | 10 |
|———|—|—|—-|
| | 0 | 5 | 25 |

Calculons la différence entre les valeurs successives de par rapport aux différences de :

$\frac{g(2)\,-\,g(0)}{2\,-\,0}\,=\,\frac{5\,-\,0}{2\,-\,0}\,=\,\frac{5}{2}\,=\,2.5$

$\frac{g(10)\,-\,g(2)}{10\,-\,2}\,=\,\frac{25\,-\,5}{10\,-\,2}\,=\,\frac{20}{8}\,=\,2.5$

Le coefficient directeur est constant et vaut . Donc, est bien une fonction linéaire avec un coefficient directeur de .

Pour le tableau donné :

| | -2 | 0 | 1 |
|———|—-|—|—|
| | 4 | 1 | -2 |

Calculons la différence entre les valeurs successives de par rapport aux différences de :

$\frac{h(0)\,-\,h(-2)}{0\,-\,(-2)}\,=\,\frac{1\,-\,4}{0\,-\,(-2)}\,=\,\frac{1\,-\,4}{2}\,=\,\frac{-3}{2}\,=\,-1.5$

$\frac{h(1)\,-\,h(0)}{1\,-\,0}\,=\,\frac{-2\,-\,1}{1\,-\,0}\,=\,\frac{-3}{1}\,=\,-3$

Les deux coefficients ne sont pas égaux ( et ). Donc, n’est pas une fonction linéaire.

Exercice 18 : géométrie et problèmes
a. Le périmètre d’un triangle équilatéral de côté est donné par la formule :
$P\,=\,3x$
Cette relation est une fonction linéaire car elle est de la forme $P(x)\,=\,3x$ , avec comme coefficient constant.

b. L’aire d’un disque de rayon est donnée par la formule :
$A\,=\,\pi\,r^2$
Cette relation n’est pas une fonction linéaire car elle est de la forme $A(r)\,=\,\pi\,r^2$ , qui est une fonction quadratique et non linéaire.

Exercice 19 : donner le coefficient directeur
a. $x\,\mapsto \,1\,%2B\,x$ n’est pas une fonction linéaire car il y a un terme constant (+1).

b. $x\,\mapsto \,4x$ est une fonction linéaire avec comme coefficient .

c. $x\,\mapsto \,1%2C8x$ est une fonction linéaire avec comme coefficient .

d. $x\,\mapsto \,x\,-\,3$ n’est pas une fonction linéaire car il y a un terme constant (-3).

e. $x\,\mapsto \,\frac{2}{3}x$ est une fonction linéaire avec comme coefficient $\frac{2}{3}$ .

f. $x\,\mapsto \,2x\,%2B\,1$ n’est pas une fonction linéaire car il y a un terme constant (+1).

Exercice 20 : programmes de calcul
Pour :
– Multiplier par 7 : ceci peut être représenté par la fonction linéaire $f(x)\,=\,7x$ .
– Ajouter 2 : ceci ajoute une constante, ce qui donne une fonction affine $f(x)\,=\,7x\,%2B\,2$ .

est représenté par une fonction affine $f(x)\,=\,7x\,%2B\,2$ et n’est donc pas linéaire.

Pour :
– Multiplier par 7 : .
– Diviser par 2 : $\frac{7x}{2}$ .

peut être représenté par la fonction linéaire $f(x)\,=\,\frac{7}{2}x$ . Le coefficient de cette fonction linéaire est donc $\frac{7}{2}$ .

Pour :
– Ajouter 4 : ceci ajoute une constante, ce qui donne une fonction affine $f(x)\,=\,x\,%2B\,4$ .

est représenté par une fonction affine $f(x)\,=\,x\,%2B\,4$ et n’est donc pas linéaire.

Pour :
– Prendre sa moitié: ceci peut être représenté par la fonction linéaire $f(x)\,=\,\frac{1}{2}x$ .

peut être représenté par la fonction linéaire $f(x)\,=\,\frac{1}{2}x$ . Le coefficient de cette fonction linéaire est donc $\frac{1}{2}$ .

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Exercice 21 : déterminer l’antécédent et l’image
La fonction est une fonction linéaire de coefficient . Donc, on peut écrire $g(x)\,=\,-2%2C4x$ .

a. Déterminer l’antécédent de par la fonction .

Nous devons résoudre l’équation suivante pour trouver :
$g(x)\,=\,-8$
$-2%2C4x\,=\,-8$
$x\,=\,\frac{-8}{-2%2C4}$
$x\,=\,\frac{8}{2%2C4}$
$x\,=\,\frac{80}{24}\,=\,\frac{40}{12}\,=\,\frac{20}{6}\,=\,\frac{10}{3}\,\approx\,3%2C33$

L’antécédent de par la fonction est donc $\frac{10}{3}$ ou environ .

b. Calculer .

Nous devons évaluer la fonction à $x\,=\,9$ :
$g(9)\,=\,-2%2C4\,\times \,9$
$g(9)\,=\,-21%2C6$

La valeur de est donc .

Exercice 22 : compléter le tableau de valeurs
La fonction linéaire étant définie par $h(x)\,=\,-3%2C2x$ , nous allons compléter le tableau de valeurs :

Pour $x\,=\,-3$ ,
$h(-3)\,=\,-3%2C2\,\cdot\,(-3)\,=\,9%2C6$

Pour $x\,=\,-1%2C5$ ,
$h(-1%2C5)\,=\,-3%2C2\,\cdot\,(-1%2C5)\,=\,4%2C8$

Pour $x\,=\,0$ ,
$h(0)\,=\,-3%2C2\,\cdot\,0\,=\,0$

Pour $x\,=\,5$ ,
$h(5)\,=\,-3%2C2\,\cdot\,5\,=\,-16$

Le tableau complété de valeurs de la fonction est donc :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-3\,%26\,-1%2C5\,%26\,0\,%26\,5\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ah(x)\,%26\,9%2C6\,%26\,4%2C8\,%26\,0\,%26\,-16\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 23 : vente de cerises
Soit la fonction linéaire définie par $p(x)\,=\,5x$ , où est la masse de cerises en kg et le prix des cerises en €.

a. Calculer l’image de par la fonction .

$p(1%2C5)\,=\,5\,\times \,1%2C5\,=\,7%2C5$

L’image de par la fonction est . Cela signifie que 1,5 kg de cerises coûtent 7,5 €.

b. Déterminer l’antécédent de par la fonction .

Pour trouver l’antécédent de 30 par la fonction , résolvons l’équation $p(x)\,=\,30$ .

$5x\,=\,30$

$x\,=\,\frac{30}{5}\,=\,6$

L’antécédent de par la fonction est . Cela signifie que pour un prix de 30 €, la masse de cerises achetée est de 6 kg.

c. Interpréter les réponses pour la situation.

L’image de 1,5 par la fonction étant , cela signifie qu’un achat de 1,5 kg de cerises coûte 7,5 €. Par conséquent, si nous voulons acheter 6 kg de cerises, cela coûtera 30 €, car l’antécédent de 30 par la fonction est 6. Cela montre la proportionnalité directe entre le poids des cerises achetées et leur coût, avec un prix de 5 € le kilogramme.

Exercice 24 : déterminer le coefficient directeur
La fonction étant linéaire, elle s’écrit sous la forme $f(x)\,=\,ax$ où est le coefficient à déterminer.

Nous savons que $f(10)\,=\,12$ .

En utilisant cette information, nous avons :
$f(10)\,=\,a\,\cdot\,10\,=\,12$

Donc :
$a\,=\,\frac{12}{10}\,=\,1.2$

Ainsi, le coefficient de la fonction linéaire est .

L’expression de est donc :
$f(x)\,=\,1.2x$

Exercice 25 : déterminer les expressions des fonctions
\begin{align*}
\text{Puisque } f, g \text{ et } h \text{ sont des fonctions linéaires, nous savons qu’elles sont de la forme } f(x) = ax, \, g(x) = bx, \, h(x) = cx. \\
\text{Pour } f(x): \\
f(6) = 5 \implies a \cdot 6 = 5 \implies a = \frac{5}{6}. \\
\text{Donc } f(x) = \frac{5}{6} x. \\
\\
\text{Pour } g(x): \\
g(-4) = \frac{8}{7} \implies b \cdot (-4) = \frac{8}{7} \implies b = \frac{8}{7} \cdot \frac{1}{-4} = -\frac{2}{7}. \\
\text{Donc } g(x) = -\frac{2}{7} x. \\
\\
\text{Pour } h(x): \\
h(\frac{2}{3}) = 5 \implies c \cdot \frac{2}{3} = 5 \implies c = 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2}. \\
\text{Donc } h(x) = \frac{15}{2} x.
\end{align*}

En résumé, les expressions demandées sont :
\begin{align*}
f(x) = \frac{5}{6}x, \\
g(x) = -\frac{2}{7}x, \\
h(x) = \frac{15}{2}x.
\end{align*}

Exercice 26 : courbes et expressions de fonctions linéiares
Pour déterminer les expressions de , et , nous devons identifier les pentes et les ordonnées à l’origine des droites , et , respectivement.

1. $Pour\,la\,droite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2528d_1%2529%22\,alt=%22(d_1)$ » align= »absmiddle » /> :
– La droite passe par les points et .
– La pente est donnée par $m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}\,=\,\frac{3\,-\,0}{1\,-\,0}\,=\,3$ .
– Comme la droite passe par l’origine, l’ordonnée à l’origine est .
– Ainsi, la fonction correspondant à la droite est :
$f(x)\,=\,3x$

2. $Pour\,la\,droite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2528d_2%2529%22\,alt=%22(d_2)$ » align= »absmiddle » /> :
– La droite passe par les points et .
– La pente est donnée par $m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}\,=\,\frac{0\,-\,2}{2\,-\,0}\,=\,-1$ .
– L’ordonnée à l’origine est .
– Ainsi, la fonction correspondant à la droite est :
$g(x)\,=\,-x\,%2B\,2$

3. $Pour\,la\,droite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2528d_3%2529%22\,alt=%22(d_3)$ » align= »absmiddle » /> :
– La droite passe par les points et .
– La pente est donnée par $m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}\,=\,\frac{1\,-\,0}{3\,-\,0}\,=\,\frac{1}{3}$ .
– Comme la droite passe par l’origine, l’ordonnée à l’origine est .
– Ainsi, la fonction correspondant à la droite est :
$h(x)\,=\,\frac{1}{3}x$

Nous avons donc les expressions suivantes pour les fonctions linéaires :
$f(x)\,%26\,=\,3x%2C\,\\%0D%0Ag(x)\,%26\,=\,-x\,%2B\,2%2C\,\\%0D%0Ah(x)\,%26\,=\,\frac{1}{3}x.$

Exercice 27 : fonctions linéaires et variations en pourcentage
1. $Calcul\,du\,pourcentage\,de\,variation\,%3A$

a. Le prix d’un pantalon passe de 87,50 € à 67,50 €.
$Pourcentage\,de\,variation\,=\,\frac{Valeur\,finale\,-\,Valeur\,initiale}{Valeur\,initiale}\,\times \,100$
$=\,\frac{67%2C50\,-\,87%2C50}{87%2C50}\,\times \,100\,\approx\,-22%2C86\,\%25\,\approx\,-23\%25$

b. Le prix d’un thermomix passe de 1 037 € à 789,60 €.
$Pourcentage\,de\,variation\,=\,\frac{789%2C60\,-\,1\,037}{1\,037}\,\times \,100$
$=\,\frac{-247%2C40}{1\,037}\,\times \,100\,\approx\,-23%2C85\%25\,\approx\,-24\%25$

c. Le prix d’une tonne de blé passe de 340 € à 351,25 €.
$Pourcentage\,de\,variation\,=\,\frac{351%2C25\,-\,340}{340}\,\times \,100$
$=\,\frac{11%2C25}{340}\,\times \,100\,\approx\,3%2C31\%25\,\approx\,3\%25$

2. $Expression\,de\,la\,fonction\,lineaire\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ pour chaque situation : » align= »absmiddle » />

a. Pour le pantalon :
$f(x)\,=\,-0{%2C}229\,\cdot\,x\,%2B\,87{%2C}50$
où $87{%2C}50(1\,-\,0{%2C}229)\,=\,67{%2C}50$ .

b. Pour le thermomix :
$f(x)\,=\,-0{%2C}24\,\cdot\,x\,%2B\,1{%2C}037$
où $1{%2C}037(1\,-\,0{%2C}24)\,=\,789{%2C}60$ .

c. Pour la tonne de blé :
$f(x)\,=\,0{%2C}033\,\cdot\,x\,%2B\,340$
où $340(1\,%2B\,0{%2C}033)\,=\,351{%2C}25$ .

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