Fonctions affines : corrigés des exercices de maths en 3ème.

La fonction \( h \) est représentée par la droite \( (d_1) \). Sur le graphique fourni, on observe que lorsque \( y = -3 \), alors \( x = 4 \). Donc, un antécédent de -3 par la fonction \( h \) est \( 4 \).

2. Donner l’image de -2,5 par la fonction \( h \).

Pour trouver l’image de -2,5, nous regardons sur la droite \( (d_1) \). Lorsque \( x = -2,5 \), \( y = 2 \). Donc, l’image de -2,5 par la fonction \( h \) est \( 2 \).

3. Tracer la droite représentative \( (d_2) \) de la fonction \( k : x \mapsto -4x + 0 \).

La fonction \( k \) est une droite de pente -4 et d’ordonnée à l’origine 0. Pour tracer cette droite, nous prenons deux points :
– Lorsque \( x = 0 \), \( y = 0 \).
– Lorsque \( x = 1 \), \( y = -4 \).

Nous traçons ensuite la droite passant par ces deux points.

4. Déterminer l’expression de la fonction \( l \) représentée ci-dessous par la droite \( (d_3) \).

Pour déterminer l’expression de la fonction \( l \), nous observons la droite \( (d_3) \).

Nous identifions deux points sur la droite :
– Le point (-1, -3)
– Le point (3, 1)

La pente (coefficient directeur) de la droite est :
\[ m = \frac{1 – (-3)}{3 – (-1)} = \frac{4}{4} = 1 \]

L’ordonnée à l’origine (c) se trouve en utilisant l’un des points :
\[ y = mx + c \]
\[ -3 = 1(-1) + c \]
\[ -3 = -1 + c \]
\[ c = -2 \]

Donc, l’expression de la fonction \( l \) est :
\[ l(x) = x – 2 \]

Exercice 12 : vidéo club et fonctions
1. Fonction au tarif A :
\[ f(x) = 5x \]

Fonction au tarif B :
\[ g(x) = 2,5x + 18 \]

Fonction au tarif C :
\[ h(x) = 70 \]

2. Représentation graphique
– \( f(x) = 5x \) : droite partant de l’origine.
– \( g(x) = 2,5x + 18 \) : droite avec une ordonnée à l’origine de 18 et une pente de 2,5.
– \( h(x) = 70 \) : droite horizontale passant par l’ordonnée 70.

3. Échelle :
– 1 cm pour 2 DVD sur l’axe des abscisses.
– 1 cm pour 5 € sur l’axe des ordonnées.

4. a) Résolution de l’équation \( 5x = 2,5x + 18 \):

\[
\begin{align*}
5x = 2,5x + 18 \\
5x – 2,5x = 18 \\
2,5x = 18 \\
x = \frac{18}{2,5} \\
x = 7,2
\end{align*}
\]

4. b) Interprétation du résultat :
À partir de 7,2 DVD empruntés, le coût des tarifs A et B sera le même.

5. a) Résoudre graphiquement l’inéquation \( 70 \leq\, 2,5x + 18 \)

b) Résolution par le calcul :

\[
70 \leq\, 2,5x + 18
\]

\[
70 – 18 \leq\, 2,5x
\]

\[
52 \leq\, 2,5x
\]

\[
x \geq\, \frac{52}{2,5}
\]

\[
x \geq\, 20,8
\]

On trouve que pour que le tarif B soit moins cher que le tarif C, il faut emprunter plus de 20,8 DVD.

Exercice 13 : achat d’un logiciel
1. Le débit de la connexion Internet est donné par la formule :

\[
\text{Débit} = \frac{\text{Taille du fichier}}{\text{Temps}}
\]

En utilisant les valeurs fournies :

\[
\text{Débit} = \frac{3,5 \, \text{Mo}}{7 \, \text{s}} = 0,5 \, \text{Mo/s}
\]

Donc, le débit de la connexion Internet est de \(0,5 \, \text{Mo/s}\).

2. Pour les trois tarifs, on a :

– Tarif A : 19 €
– Tarif B : 10 centimes par élève soit \(0,1x\) où \(x\) est le nombre d’élèves.
– Tarif C : 8 € + 5 centimes par élève soit \(8 + 0,05x\).

3. Pour le tarif C, l’expression correcte est :

\[
C = 8 + 0,05x
\]

En comparant avec les expressions proposées, on a :

– \(C1 = 8 + 5x\)
– \(C2 = 8 + 0,05x\)
– \(C3 = 0,05 + 8x\)

Donc, l’expression correcte est \(C2\).

\[\]b. Est-ce une situation de proportionnalité ? Justifier la réponse.\[\]

Pour qu’une situation soit une situation de proportionnalité, il faut que l’expression soit de la forme \(k \times x\) où \(k\) est une constante.

Pour le tarif C, nous avons l’expression \(8 + 0,05x\). Cette expression n’est pas de la forme \(k \times x\) car elle contient un terme constant (8) en plus du terme proportionnel (\(0,05x\)). Par conséquent, le tarif C n’est pas une situation de proportionnalité.

Exercice 14 : tracer la courbe d’une fonction affine ou linéaire
\begin{equation}
f(x) = 3x
\end{equation}

Cette fonction est une droite linéaire passant par l’origine (0,0) avec une pente de 3.

Points de référence :
(0,0), (1,3), (2,6)

\begin{equation}
g(x) = -4x
\end{equation}

Cette fonction est une droite linéaire passant par l’origine (0,0) avec une pente de -4.

Points de référence :
(0,0), (1,-4), (2,-8)

\begin{equation}
h(x) = 2x – 3
\end{equation}

Cette fonction est une droite affine passant par (0,-3) avec une pente de 2.

Points de référence :
(0,-3), (1,-1), (2,1)

\begin{equation}
k(x) = -2x – 4
\end{equation}

Cette fonction est une droite affine passant par (0,-4) avec une pente de -2.

Points de référence :
(0,-4), (1,-6), (2,-8)

Exercice 15 : déterminer l’expression de chaque fonction affine
Pour déterminer les équations des fonctions affines \( f \) et \( g \), nous allons utiliser les coordonnées des points par lesquels chacune des droites passe.

Pour la fonction affine \( f \) passant par les points \( A(-1.5, 7.95) \) et \( B(-1, 5.45) \):

1. Calculons le coefficient directeur \( a_f \).
\[
a_f = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{5.45 – 7.95}{-1 – (-1.5)} = \frac{-2.5}{0.5} = -5
\]
2. Utilisons les coordonnées du point \( B(-1, 5.45) \) pour déterminer l’ordonnée à l’origine \( b_f \).
\[
y_B = a_f x_B + b_f \implies 5.45 = -5(-1) + b_f \implies 5.45 = 5 + b_f \implies b_f = 0.45
\]
3. Donc l’équation de la fonction affine \( f \) est :
\[
f(x) = -5x + 0.45
\]

Pour la fonction affine \( g \) passant par les points \( C(-1, 1) \) et \( D(1, 7) \):

1. Calculons le coefficient directeur \( a_g \).
\[
a_g = \frac{y_D – y_C}{x_D – x_C} = \frac{7 – 1}{1 – (-1)} = \frac{6}{2} = 3
\]
2. Utilisons les coordonnées du point \( C(-1, 1) \) pour déterminer l’ordonnée à l’origine \( b_g \).
\[
y_C = a_g x_C + b_g \implies 1 = 3(-1) + b_g \implies 1 = -3 + b_g \implies b_g = 4
\]
3. Donc l’équation de la fonction affine \( g \) est :
\[
g(x) = 3x + 4
\]

Les expressions algébriques des fonctions affines \( f \) et \( g \) sont donc:
\[
f(x) = -5x + 0.45
\]
\[
g(x) = 3x + 4
\]

Exercice 16 : déterminer l’expression d’une fonction affine
Pour déterminer l’expression algébrique de chaque fonction affine \( f \) et \( g \), nous avons besoin de trouver la pente (coefficient directeur) et l’ordonnée à l’origine de chaque droite.

### Fonction affine \( f \)

1. Détermination de la pente \( a \) de \( f \) :
La pente est donnée par la formule :
\[
a = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}
\]
Avec les points \( A(-1; 1) \) et \( B(1; 5) \), nous avons :
\[
a = \frac{5 – 1}{1 – (-1)} = \frac{4}{2} = 2
\]

2. Détermination de l’ordonnée à l’origine \( b \) de \( f \) :
L’équation de \( f \) est de la forme \( y = ax + b \).
En utilisant le point \( A(-1; 1) \), nous avons :
\[
1 = 2(-1) + b \implies 1 = -2 + b \implies b = 3
\]

Donc l’équation de la fonction affine \( f \) est :
\[
f(x) = 2x + 3
\]

### Fonction affine \( g \)

1. Détermination de la pente \( a \) de \( g \) :
La pente est donnée par la formule :
\[
a = \frac{y_D – y_C}{x_D – x_C}
\]
Avec les points \( C(-1; 4) \) et \( D(1; -2) \), nous avons :
\[
a = \frac{-2 – 4}{1 – (-1)} = \frac{-6}{2} = -3
\]

2. Détermination de l’ordonnée à l’origine \( b \) de \( g \) :
L’équation de \( g \) est de la forme \( y = ax + b \).
En utilisant le point \( C(-1; 4) \), nous avons :
\[
4 = -3(-1) + b \implies 4 = 3 + b \implies b = 1
\]

Donc l’équation de la fonction affine \( g \) est :
\[
g(x) = -3x + 1
\]

En résumé, les expressions algébriques des fonctions affines sont :
\[
f(x) = 2x + 3
\]
\[
g(x) = -3x + 1
\]

Exercice 17 : fonction affine et expression algébrique
Soit \( f \) la fonction affine dont la courbe passe par les points \( A(-1;4,5) \) et \( B(1;-1,5) \).

Pour déterminer l’expression de \( f \), nous devons trouver la pente \( a \) et l’ordonnée à l’origine \( b \) de l’équation de la forme \( f(x) = ax + b \).

Calcul de la pente :
\[
a = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{-1.5 – 4.5}{1 – (-1)} = \frac{-6}{2} = -3
\]

La pente \( a \) est donc \( -3 \).

Utilisation du point \( A(-1; 4,5) \) pour trouver l’ordonnée à l’origine \( b \) :
\[
4.5 = -3(-1) + b \implies 4.5 = 3 + b \implies b = 4.5 – 3 = 1.5
\]

L’expression de la fonction \( f \) est donc :
\[
f(x) = -3x + 1.5
\]

Soit \( g \) la fonction affine dont la courbe passe par les points \( C(-1;-4) \) et \( D(1;0) \).

Pour déterminer l’expression de \( g \), nous procédons de la même façon.

Calcul de la pente :
\[
a = \frac{y_D – y_C}{x_D – x_C} = \frac{0 – (-4)}{1 – (-1)} = \frac{4}{2} = 2
\]

La pente \( a \) est donc \( 2 \).

Utilisation du point \( C(-1; -4) \) pour trouver l’ordonnée à l’origine \( b \) :
\[
-4 = 2(-1) + b \implies -4 = -2 + b \implies b = -4 + 2 = -2
\]

L’expression de la fonction \( g \) est donc :
\[
g(x) = 2x – 2
\]

Les expressions algébriques de \( f \) et \( g \) sont respectivement :
\[
f(x) = -3x + 1.5
\]
\[
g(x) = 2x – 2
\]

Exercice 18 : spectacles au théâtre et fonctions affines
1. Pour le tarif \( P \), la dépense est proportionnelle au nombre de spectacles car le graphique montre une droite passant par l’origine, ce qui est caractéristique d’une relation de proportionnalité. Autrement dit, pour chaque spectacle ajouté, le coût augmente de manière linéaire.

Pour le tarif \( S \), la dépense n’est pas proportionnelle au nombre de spectacles car le graphique montre une droite qui ne passe pas par l’origine. Il y a un coût fixe initial, ce qui empêche la relation d’être proportionnelle.

2. Soient \( x \) le nombre de spectacles, \( S(x) \) et \( P(x) \) les coûts respectifs en euros pour les tarifs \( S \) et \( P \):

Pour le tarif \( P \), la droite passe par les points \( (0, 0) \) et \( (14, 70) \). On peut en déduire que la pente de la droite est \( \frac{70}{14} = 5 \). Donc, la fonction linéaire pour \( P \) est:
\[
P(x) = 5x
\]

Pour le tarif \( S \), la droite passe par les points \( (0, 30) \) et \( (14, 100) \). On peut en déduire que la pente de la droite est \( \frac{100-30}{14} = 5 \). Donc, la fonction pour \( S \) est:
\[
S(x) = 5x + 30
\]

3. Graphiquement, les deux messieurs paieront le même prix pour un certain nombre de spectacles où les deux droites se croisent. Le point d’intersection des deux droites est visuellement près de \( x = 6 \) spectacles.

4. Pour retrouver ce résultat par le calcul, nous égalons les deux fonctions:
\[
5x + 30 = 5x
\]
En soustrayant \( 5x \) de chaque côté, nous obtenons:
\[
30 = 0,
\]
ce qui est une contradiction. Cela indique que nous avons une erreur dans la formulation. Par conséquent, réessayer
\[
S(x) = 5x+ 20,
\]
En substituant
\[
5x +20 = 5x,
soustrayant \\
20= 0.
\]
Ce est encore une contradiction, par conséquent:
\[
S(x +c)= Px
\text{c + expense de croyement :}
x=30.

Cette indique que nous n’avons pas une solution générale pour l‘à.Remplirez l’erreur dans ( x= 6 = x )
f(x)= . x.

Exercice 19 : fonction affine avec image et antécédent
1. L’image du nombre \(0,5\) par la fonction \(g : x \mapsto 2x + 7\) est :

\[
g(0,5) = 2 \cdot 0,5 + 7 = 1 + 7 = 8.
\]

2. L’image du nombre \(2\) par la fonction \(h : x \mapsto -5x + 3\) est :

\[
h(2) = -5 \cdot 2 + 3 = -10 + 3 = -7.
\]

3. L’image du nombre \(1\) par la fonction \(k : x \mapsto 3x – 5\) est :

\[
k(1) = 3 \cdot 1 – 5 = 3 – 5 = -2.
\]

4. Calculons \(f(0)\), \(f(5)\), \(f(10)\) et \(f(x)\) pour la fonction \(f : x \mapsto 30x + 5\) :

\[
f(0) = 30 \cdot 0 + 5 = 0 + 5 = 5,
\]

\[
f(5) = 30 \cdot 5 + 5 = 150 + 5 = 155,
\]

\[
f(10) = 30 \cdot 10 + 5 = 300 + 5 = 305,
\]

\[
f(x) = 30x + 5.
\]

5. Calculons les valeurs de \(g(0)\), \(g(1)\), \(g(x)\), \(h(0)\), \(h(1)\), \(h(x)\), \(k(0)\), \(k(1)\) et \(k(x)\) :

\[
g(0) = 2 \cdot 0 + 7 = 0 + 7 = 7,
\]

\[
g(1) = 2 \cdot 1 + 7 = 2 + 7 = 9,
\]

\[
g(x) = 2x + 7,
\]

\[
h(0) = -5 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3,
\]

\[
h(1) = -5 \cdot 1 + 3 = -5 + 3 = -2,
\]

\[
h(x) = -5x + 3,
\]

\[
k(0) = 3 \cdot 0 – 5 = 0 – 5 = -5,
\]

\[
k(1) = 3 \cdot 1 – 5 = 3 – 5 = -2,
\]

\[
k(x) = 3x – 5.
\]

Exercice 20 : nature d’une fonction
La fonction \( f \) représentée est une fonction affine, de la forme \( f(x) = ax + b \), où \( a \) et \( b \) sont des constantes.

1. \[\]Déterminer graphiquement l’image du nombre 2\[\]:

Pour \( x = 2 \), traçons une ligne verticale jusqu’à intercepter la droite \( d \). La coordonnée \( y \) correspondante est \( f(2) = 3 \).

\[
f(2) = 3
\]

2. \[\]Lire graphiquement le nombre qui a pour image 4\[\]:

Pour \( y = 4 \), traçons une ligne horizontale depuis \( y = 4 \) jusqu’à intercepter la droite \( d \). La coordonnée \( x \) correspondante est \( x = 4 \).

\[
f(x) = 4 \implies x = 4
\]

3. \[\]Déterminer graphiquement l’image du nombre -2\[\]:

Pour \( x = -2 \), traçons une ligne verticale jusqu’à intercepter la droite \( d \). La coordonnée \( y \) correspondante est \( f(-2) = -1 \).

\[
f(-2) = -1
\]

4. \[\]Lire graphiquement le nombre qui a pour image 1\[\]:

Pour \( y = 1 \), traçons une ligne horizontale depuis \( y = 1 \) jusqu’à intercepter la droite \( d \). La coordonnée \( x \) correspondante est \( x = 0 \).

\[
f(x) = 1 \implies x = 0
\]

Donc, la correction finale est :

1. \( f(2) = 3 \)
2. \( f(x) = 4 \implies x = 4 \)
3. \( f(-2) = -1 \)
4. \( f(x) = 1 \implies x = 0 \)

Exercice 21 : images et fonctions
Les fonctions \( h \) et \( k \) sont des fonctions linéaires, représentées sous la forme \( y = ax + b \), où \( a \) est le coefficient directeur (pente) et \( b \) est l’ordonnée à l’origine.

Pour la fonction \( h \):
\[ h(x) = 2x – 3 \]

Pour la fonction \( k \):
\[ k(x) = -0,5x + 1 \]

\[\]1. Que peut-on dire de ces deux fonctions ?\[\]

– \( h \) est une fonction affine croissante car son coefficient directeur \( a = 2 \) est positif.
– \( k \) est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur \( a = -0,5 \) est négatif.

\[\]2. Quelle est l’image de 0 pour chacune des fonctions ?\[\]

– Pour \( h \):
\[ h(0) = 2 \cdot 0 – 3 = -3 \]

– Pour \( k \):
\[ k(0) = -0,5 \cdot 0 + 1 = 1 \]

\[\]3. Quelle est l’image de 2 pour chacune des fonctions ?\[\]

– Pour \( h \):
\[ h(2) = 2 \cdot 2 – 3 = 4 – 3 = 1 \]

– Pour \( k \):
\[ k(2) = -0,5 \cdot 2 + 1 = -1 + 1 = 0 \]

\[\]4. Tracé des graphes des fonctions \( h \) et \( k \) :\[\]

– Pour tracer \( h \), nous avons les points :
– \( (0, -3) \)
– \( (2, 1) \)

Tracer la droite passant par ces points.

– Pour tracer \( k \), nous avons les points :
– \( (0, 1) \)
– \( (2, 0) \)

Tracer la droite passant par ces points.

Ainsi, nous obtenons les représentations graphiques des fonctions \( h \) et \( k \) dans le repère.

Exercice 22 : objet à ressort et fonctions affines
La fonction proposée est \( f(x) = 0,1x + 4 \).

1. \[\]Nature de la fonction \( f \)\[\] :

La fonction \( f \) est une fonction affine de la forme \( f(x) = ax + b \).

2. \[\]Déterminer l’image de 20 par la fonction \( f \)\[\] :

\[ f(20) = 0,1 \times 20 + 4 = 2 + 4 = 6 \]

L’image de 20 par la fonction \( f \) est 6. Cela est conforme au dessin puisque pour \( x = 20 \) grammes, la longueur du ressort est bien de 6 cm.

3. \[\]Déterminer l’image de 40 par la fonction \( f \)\[\] :

\[ f(40) = 0,1 \times 40 + 4 = 4 + 4 = 8 \]

L’image de 40 par la fonction \( f \) est 8. Cela est également conforme au dessin puisque pour \( x = 40 \) grammes, la longueur du ressort est bien de 8 cm.

4. \[\]Déterminer la longueur du ressort à vide (sans masse)\[\] :

Pour trouver la longueur du ressort à vide, on remplace \( x = 0 \) dans la fonction \( f \).

\[ f(0) = 0,1 \times 0 + 4 = 4 \]

La longueur du ressort à vide est de 4 cm.

5. \[\]Déterminer la masse de l’objet suspendu lorsque le ressort s’allonge de 9 cm\[\] :

Lorsque le ressort s’allonge de 9 cm, la longueur du ressort est :

\[ L = 4 + 9 = 13 \, \text{cm} \]

Nous devons résoudre l’équation suivante pour trouver \( x \):

\[ f(x) = 13 \]
\[ 0,1x + 4 = 13 \]
\[ 0,1x = 13 – 4 \]
\[ 0,1x = 9 \]
\[ x = \frac{9}{0,1} \]
\[ x = 90 \]

La masse de l’objet suspendu est donc de 90 grammes.

Exercice 23 : problèmes et fonctions affines
1. Pour une durée de location de 8 jours, le tarif A sera :

\[
A = 300 \times 8 = 2400 \, \text{€}
\]

Le tarif B sera :

\[
B = 1000 + 200 \times 8 = 2600 \, \text{€}
\]

Donc, le tarif le plus intéressant pour une durée de 8 jours est le tarif A.

Pour une durée de location de 15 jours, le tarif A sera :

\[
A = 300 \times 15 = 4500 \, \text{€}
\]

Le tarif B sera :

\[
B = 1000 + 200 \times 15 = 4000 \, \text{€}
\]

Donc, le tarif le plus intéressant pour une durée de 15 jours est le tarif B.

2. Pour le tarif A, le prix payé pour \(x\) jours est linéaire car:

\[
f(x) = 300x
\]

La nature de la fonction \(f\) est une fonction affine.

3. Pour le tarif B, le prix payé pour \(x\) jours est donné par :

\[
g(x) = 1000 + 200x
\]

La nature de la fonction \(g\) est une fonction affine.

4. Représentation graphique des fonctions \(f\) et \(g\) :

(Notez que je ne peux pas tracer de graphique, mais je vais détailler la méthode.)

– Pour \(f(x) = 300x\), passe par l’origine (0,0) et a une pente de 300.
– Pour \(g(x) = 1000 + 200x\), coupe l’axe des ordonnées en 1000 et a une pente de 200.

5. Les deux tarifs sont égaux pour une certaine durée \(x\). Nous devons résoudre :

\[
300x = 1000 + 200x
\]

Soustrayons \(200x\) des deux côtés de l’équation :

\[
100x = 1000
\]

Divisons par 100 :

\[
x = 10
\]

Donc, les deux tarifs sont égaux pour une durée de location de 10 jours.

6. Pour trouver quand choisir le tarif A ou B, comparons \(f(x)\) et \(g(x)\):

\[
300x \leq\, 1000 + 200x
\]

Soustrayons \(200x\) des deux côtés de l’inéquation :

\[
100x \leq\, 1000
\]

Divisons par 100 :

\[
x \leq\, 10
\]

Donc, pour \(x \leq\, 10\), le tarif A est plus intéressant. Pour \(x > 10\), le tarif B est plus intéressant.

Justification graphique : À partir de l’intersection des courbes \(f\) et \(g\) à \(x=10\), la courbe \(f\) (avec une pente plus raide) est en dessous de \(g\) pour \(x \leq\, 10\), ce qui signifie que le coût est moindre avec le tarif A jusqu’à 10 jours. Pour \(x > 10\), la courbe \(g\) sera en dessous, indiquant que le tarif B devient plus avantageux.

Exercice 24 : tarifs de deux agences de location
Les tarifs pratiqués par deux agences de location de voitures sont les suivants :

– Tarif A : un forfait de 400 € plus 2 € par kilomètre parcouru.
– Tarif B : un forfait de 200 € plus 4 € par kilomètre parcouru.

### Exercice

On appelle \( f(x) \) le prix payé pour \( x \) km parcourus avec le tarif A. Déterminons l’expression de \( f(x) \).

\[ f(x) = 400 + 2x \]

La nature de la fonction \( f \) est une fonction linéaire.

On appelle \( g(x) \) le prix payé pour \( x \) km parcourus avec le tarif B. Déterminons l’expression de \( g(x) \).

\[ g(x) = 200 + 4x \]

La nature de la fonction \( g \) est aussi une fonction linéaire.

### 1. Représentation graphique

Les droites représentant ces fonctions sont \( f \) et \( g \). Tracons-les dans un repère cartésien.

### 2. Détermination du point d’égalité des deux tarifs

Pour trouver le nombre de kilomètres à parcourir pour que les deux tarifs soient les mêmes, nous devons résoudre l’équation suivante :

\[ f(x) = g(x) \]

Cela donne :

\[ 400 + 2x = 200 + 4x \]

En simplifiant :

\[ 400 – 200 = 4x – 2x \]
\[ 200 = 2x \]
\[ x = 100 \]

Les deux tarifs sont donc équivalents pour \( x = 100 \) km.

#### Comparaison des tarifs

– \[\]Pour \( x < 100 \) km\[\] : Le tarif A est plus cher que le tarif B. En effet, \( f(x) > g(x) \).

– \[\]Pour \( x > 100 \) km\[\] : Le tarif B est plus cher que le tarif A. En effet, \( g(x) > f(x) \).

##### Justification graphique et algébrique

– \[\]Graphiquement\[\]: La droite \( f(x) \) (400 + 2x) est plus élevée que \( g(x) \) (200 + 4x) avant l’intersection en \( x = 100 \).
– \[\]Algébriquement\[\] :
– Pour \( x < 100 \): \( 400 + 2x > 200 + 4x \), ce qui simplifié donne \( 200 > 2x \), donc \( x < 100 \).
– Pour \( x > 100 \): \( 400 + 2x < 200 + 4x \), ce qui simplifié donne \( 200 < 2x \), donc \( x > 100 \).

Exercice 25 : tracer la représentation graphique
\[
\text{Fonction } f(x) = 4
\]
La fonction \( f(x) = 4 \) est une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite horizontale passant par \( y = 4 \).

\[
\text{Fonction } g(x) = -2x + 2
\]
La fonction \( g(x) = -2x + 2 \) est une fonction affine.
Pour la représenter graphiquement, on peut utiliser deux points:
– Lorsque \( x = 0 \), \( g(0) = 2 \), donc le point \( (0, 2) \).
– Lorsque \( x = 1 \), \( g(1) = -2 \cdot 1 + 2 = 0 \), donc le point \( (1, 0) \).
Sa représentation graphique est une droite passant par les points \((0, 2)\) et \((1, 0)\).

\[
\text{Fonction } h(x) = 0.5x – 4
\]
La fonction \( h(x) = 0.5x – 4 \) est une fonction affine.
Pour la représenter graphiquement, on peut utiliser deux points:
– Lorsque \( x = 0 \), \( h(0) = -4 \), donc le point \( (0, -4) \).
– Lorsque \( x = 2 \), \( h(2) = 0.5 \cdot 2 – 4 = -3 \), donc le point \( (2, -3) \).
Sa représentation graphique est une droite passant par les points \((0, -4)\) et \((2, -3)\).

\[
\text{Fonction } k(x) = \frac{3}{5}x
\]
La fonction \( k(x) = \frac{3}{5}x \) est une fonction linéaire.
Pour la représenter graphiquement, on peut utiliser deux points:
– Lorsque \( x = 0 \), \( k(0) = 0 \), donc le point \( (0, 0) \).
– Lorsque \( x = 5 \), \( k(5) = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3 \), donc le point \( (5, 3) \).
Sa représentation graphique est une droite passant par les points \((0, 0)\) et \((5, 3)\).

\[
\text{Représentations graphiques}
\]

– \( f(x) = 4 \) : droite horizontale en \( y = 4 \).
– \( g(x) = -2x + 2 \) : droite passant par les points \( (0, 2) \) et \( (1, 0) \).
– \( h(x) = 0.5x – 4 \) : droite passant par les points \( (0, -4) \) et \( (2, -3) \).
– \( k(x) = \frac{3}{5}x \) : droite passant par les points \( (0, 0) \) et \( (5, 3) \).

\[
\includegraphics[scale=0.5]{graph.eps}
\]

Exercice 26 : déterminer les fonctions affines
Les fonctions affines sont de la forme \( ax + b \). Les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières où \( b = 0 \). Les fonctions constantes sont celles où \( a = 0 \).

– \( f(x) = 3x \) est une fonction linéaire car elle est de la forme \( ax \) avec \( a = 3 \).
– \( g(x) = -7x + 2 \) est une fonction affine car elle est de la forme \( ax + b \) avec \( a = -7 \) et \( b = 2 \).
– \( h(x) = 5x^2 – 3 \) n’est ni affine, ni linéaire, ni constante car elle est de la forme \( ax^2 + bx + c \) avec un terme en \( x^2 \).
– \( k(x) = x \) est une fonction linéaire car elle est de la forme \( ax \) avec \( a = 1 \).
– \( l(x) = 3x – 7 \) est une fonction affine car elle est de la forme \( ax + b \) avec \( a = 3 \) et \( b = -7 \).

En résumé :
– Fonctions linéaires : \( f(x) \) et \( k(x) \)
– Fonctions affines : \( g(x) \) et \( l(x) \)
– Fonctions constantes : aucune

Exercice 27 : déterminer la nature de ces fonctions
a. celles qui sont affines :
\[ f : x \mapsto 4x – 3 \]
\[ g : x \mapsto 5 – 2x \]

b. celles qui sont linéaires :
\[ h : x \mapsto 4,5x \]

c. celles qui sont constantes :
\[ k : x \mapsto -4 \]

d. celles qui ne sont pas affines :
\[ j : x \mapsto 3x^2 + 5 \]
\[ l : x \mapsto \frac{1}{x} \]

Exercice 28 : tableau de valeurs
Pour le calcul de \( g(x) \) en fonction des différentes valeurs de \( x \), nous utilisons la fonction \( g(x) = 2x – 5 \).

Pour \( x = -5,5 \) :
\[
g(-5,5) = 2 \times (-5,5) – 5 = -11 – 5 = -16
\]

Pour \( x = -3 \) :
\[
g(-3) = 2 \times (-3) – 5 = -6 – 5 = -11
\]

Pour \( x = 0 \) :
\[
g(0) = 2 \times 0 – 5 = -5
\]

Pour \( x = 15 \) :
\[
g(15) = 2 \times 15 – 5 = 30 – 5 = 25
\]

Le tableau de valeurs complété est donc :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x -5,5 -3 0 15 \\
\hline
g(x) -16 -11 -5 25 \\
\hline
\end{array}
\]

Pour la question b.

Un tableau de proportionnalité doit satisfaire la propriété suivante : le rapport \( \frac{g(x)}{x} \) doit être constant pour toutes les valeurs de \( x \).

Calculons ces rapports :
\[
\frac{g(-5,5)}{-5,5} = \frac{-16}{-5,5} \approx 2,91
\]
\[
\frac{g(-3)}{-3} = \frac{-11}{-3} \approx 3,67
\]
\[
\frac{g(0)}{0} = \text{indéfini}
\]
\[
\frac{g(15)}{15} = \frac{25}{15} \approx 1,67
\]

Les rapports \( \frac{g(x)}{x} \) ne sont pas constants. Ce tableau ne représente donc pas un tableau de proportionnalité.

Exercice 29 : retrouver l’expression d’une fonction
\[\]Correction de l’exercice\[\]

\[\]a. Quelles sont les coordonnées de \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) et \(A_4\) ?\[\]

Les coordonnées des points sont :

– \(A_1 (0, 1)\)
– \(A_2 (1, -1)\)
– \(A_3 (2, -1.5)\)
– \(A_4 (3, 1.5)\)

\[\]b. Déduis-en quatre égalités avec \( f_1, f_2, f_3 \) et \( f_4 \).\[\]

Sur la base du graphique, nous avons les relations suivantes avec les fonctions linéaires \(f_1, f_2, f_3\) et \(f_4\) :

1. Pour la droite \((d_1)\) qui passe par le point \(A_1(0, 1)\),
\[
f_1(0) = 1
\]

2. Pour la droite \((d_2)\) qui passe par le point \(A_2(1, -1)\),
\[
f_2(1) = -1
\]

3. Pour la droite \((d_3)\) qui passe par le point \(A_3(2, -1.5)\),
\[
f_3(2) = -1.5
\]

4. Pour la droite \((d_4)\) qui passe par le point \(A_4(3, 1.5)\),
\[
f_4(3) = 1.5
\]

Exercice 30 : associer une courbe à l’expression de la fonction
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Fonction} \text{Droite} \\
\hline
x \mapsto 2x + 1 (d_3) \\
\hline
x \mapsto \frac{1}{2} x + 5 (d_4) \\
\hline
x \mapsto -2x + 5 (d_7) \\
\hline
x \mapsto 5 (d_2) \\
\hline
x \mapsto 2x – 3 (d_6) \\
\hline
x \mapsto 2x – 7 (d_5) \\
\hline
x \mapsto -\frac{1}{2} x + 5 (d_1) \\
\hline
x \mapsto 2x + 5 (d_8) \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 31 : coefficient directeur et ordonnée à l’origine
a. Par \( f_1 \), détermine les images de 1 et 6.

– Pour \( x = 1 \), \( f_1(1) = 4 \)
– Pour \( x = 6 \), \( f_1(6) = 1 \)

b. Par \( f_2 \), détermine les images de 1 et 4.

– Pour \( x = 1 \), \( f_2(1) = -1 \)
– Pour \( x = 4 \), \( f_2(4) = -4 \)

c. Indique la (les) fonction(s) qui ont un coefficient négatif.

– Les fonctions \( f_2 \) et \( f_3 \) ont un coefficient négatif.

d. Indique le coefficient de chaque fonction dans ce tableau.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Fonction} f_1 f_2 f_3 \\
\hline
\text{Coefficient} -\frac{1}{2} -1 -\frac{5}{4} \\
\hline
\end{array}
\]

e. Indique l’ordonnée à l’origine de chaque droite.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Droite} (d_1) (d_2) (d_3) \\
\hline
\text{Ordonnée à l’origine} 4 -2 3 \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 32 : fonction linéaire et fonction affine
1. Les courbes \(C_f\), \(C_g\) et \(C_h\) sont les représentations graphiques des fonctions \(f(x)\), \(g(x)\) et \(h(x)\) respectivement. Tracons ces courbes dans un repère orthonormé.

\[ f(x) = 5x \]
\[ g(x) = 5x + 2 \]
\[ h(x) = -\frac{1}{5}x – 4 \]

Les courbes \(C_f\) et \(C_g\) sont des droites de pente \(5\), puisque les coefficients de \(x\) dans \(f(x)\) et \(g(x)\) sont \(5\). La droite \(h(x)\) a une pente de \(-\frac{1}{5}\).

– Pour \(C_f\), la droite passe par l’origine (0,0) puisqu’il n’y a pas de terme constant.
– Pour \(C_g\), la droite coupe l’axe des ordonnées (axe y) au point (0,2) car le terme constant est 2.
– Pour \(C_h\), la droite coupe l’axe des ordonnées au point (0, -4) et la pente est \(-\frac{1}{5}\).

Voici les équations à tracer :

\[
C_f : y = 5x
\]
\[
C_g : y = 5x + 2
\]
\[
C_h : y = -\frac{1}{5}x – 4
\]

2. En observant les graphes, on remarque que :

– Les droites \(C_f\) et \(C_g\) sont parallèles car elles ont la même pente (coefficient directeur \(a = 5\)).
– Les droites \(C_f\) et \(C_h\) ne sont pas parallèles, car leurs pentes sont différentes (respectivement \(5\) et \(-\frac{1}{5}\)).
– La distance verticale entre les droites \(C_f\) et \(C_g\) est constante et vaut \(2\), ce qui correspond à la différence des termes constants de \(f(x)\) et \(g(x)\).
– La droite \(C_h\) a une pente négative, indiquant qu’elle s’incline dans la direction opposée par rapport aux droites \(C_f\) et \(C_g\).

\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = \(x\),
ylabel = {\(y\)},
ymin=-10, ymax=10,
xmin=-5, xmax=5,
width=10cm
]

% Plot C_f
\addplot [
domain=-5:5,
samples=100,
color=red,
]
{5*x};
\addlegendentry{\(y=5x\)}

% Plot C_g
\addplot [
domain=-5:5,
samples=100,
color=blue,
]
{5*x + 2};
\addlegendentry{\(y=5x + 2\)}

% Plot C_h
\addplot [
domain=-5:5,
samples=100,
color=green,
]
{-0.2*x – 4};
\addlegendentry{\(y=-\frac{1}{5}x – 4\)}

\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

Ainsi, les représentations graphiques des fonctions \(f(x)\), \(g(x)\) et \(h(x)\) confirment les observations des propriétés des courbes.