Fonctions affines : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : les fonctions affines

a. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,3x\,%2B\,7$
– Cette notation signifie que la fonction associe à chaque valeur de l’expression $3x\,%2B\,7$ .

b. $f(x)\,=\,-2x\,%2B\,3$
– Cette notation signifie que la fonction est définie par $f(x)\,=\,-2x\,%2B\,3$ , c’est-à-dire qu’à chaque valeur de , associe $-2x\,%2B\,3$ .

$Exercice\,n%C2%B0\,2\,%3A$

Parmi les fonctions données, déterminer celles qui sont affines, celles qui sont linéaires et celles qui ne sont pas affines.

– Les fonctions affines sont de la forme $f(x)\,=\,ax\,%2B\,b$ .
– Les fonctions linéaires sont un cas particulier des fonctions affines avec $b\,=\,0$ , donc de la forme $f(x)\,=\,ax$ .

Fonctions affines :
– $f\,%3A\,x\,\mapsto \,5x\,%2B\,2$
– $g\,%3A\,x\,\mapsto \,-4\,%2B\,3x$
– $i\,%3A\,x\,\mapsto \,8$ (cas particulier où $a\,=\,0$ )
– $k\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{3x}{7}$ (qui est aussi linéaire)
– $l\,%3A\,x\,\mapsto \,3\,\sqrt{x}\,%2B\,7$

Fonctions linéaires :
– $h\,%3A\,x\,\mapsto \,2x$
– $k\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{3x}{7}$

Fonctions qui ne sont pas affines :
– $j\,%3A\,x\,\mapsto \,-4x^2\,-\,4$
– $m\,%3A\,x\,\mapsto \,3\,%2B\,\frac{1}{x}$

La fonction est donnée par $f\,%3A\,x\,\mapsto \,-5x\,%2B\,2$ .

a. Calculer , et .
$f(2)\,=\,-5\,\cdot\,2\,%2B\,2\,=\,-10\,%2B\,2\,=\,-8$
$f(-3)\,=\,-5\,\cdot\,(-3)\,%2B\,2\,=\,15\,%2B\,2\,=\,17$
$f(0)\,=\,-5\,\times \,0\,%2B\,2\,=\,0\,%2B\,2\,=\,2$

b. Calculer l’image de 4.
$f(4)\,=\,-5\,\cdot\,4\,%2B\,2\,=\,-20\,%2B\,2\,=\,-18$

c. Calculer le nombre tel que $f(x)\,=\,\frac{5}{3}$ .
$-5x\,%2B\,2\,=\,\frac{5}{3}$
$-5x\,=\,\frac{5}{3}\,-\,2$
$-5x\,=\,\frac{5}{3}\,-\,\frac{6}{3}\,=\,-\frac{1}{3}$
$x\,=\,\frac{-\frac{1}{3}}{-5}\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,\frac{1}{5}\,=\,\frac{1}{15}$

Donc, $x\,=\,\frac{1}{15}$ .

Exercice 2 : problème fonction affine et linéaire.
1. $Reproduire\,et\,completer\,le\,tableau%3A$

| Nombre de cartouches achetées | 2 | 5 | 11 | 14 |
|——————————–|—-|—-|—–|—–|
| Prix à payer en magasin en euros| 30 | 75 | 165 | 210 |
| Prix à payer par Internet en euros | 90 | 90 | 150 | 180 |

2. $Expression\,du\,prix\,en\,fonction\,du\,nombre\,de\,cartouches%3A$

a. est le prix à payer pour cartouches en magasin. Étant donné que chaque cartouche coûte 15€:

$P_A(x)\,=\,15x$

b. est le prix à payer pour cartouches sur Internet avec un coût de livraison fixe de 40€ et chaque cartouche coûtant 10€:

$P_B(x)\,=\,10x\,%2B\,40$

Représentons les fonctions dans un repère:

$d%3A\,y\,=\,15x$

$d'%3A\,y\,=\,10x\,%2B\,40$

4. $Analyse\,du\,graphique%3A$

a. Pour déterminer le prix le plus avantageux pour l’achat de 6 cartouches:

Pour le magasin:
$P_A(6)\,=\,15\,\times \,6\,=\,90$ €

Pour Internet:
$P_B(6)\,=\,10\,\times \,6\,%2B\,40\,=\,100$ €

Donc, pour 6 cartouches, il est moins cher d’acheter en magasin.

b. Sonia dispose de 80 euros pour acheter des cartouches. Nous devons trouver si elle peut acheter des cartouches et combien:

En magasin:
$15x\,\leq\,\,80\,\,\Rightarrow\,\,x\,\leq\,\,\frac{80}{15}\,\approx\,5.33$
Sonia peut acheter 5 cartouches en magasin pour un total de:
$15\,\times \,5\,=\,75$

Sur Internet:
$10x\,%2B\,40\,\leq\,\,80\,\,\Rightarrow\,\,10x\,\leq\,\,40\,\,\Rightarrow\,\,x\,\leq\,\,4$
Sonia peut acheter 4 cartouches en ligne pour un total de:
$10\,\times \,4\,%2B\,40\,=\,80$ €

Donc, il est plus avantageux pour Sonia d’acheter en magasin, puisqu’elle peut obtenir une cartouche supplémentaire.

5. Nombre de cartouches pour lequel le prix sur Internet est inferieur ou égal a celui du magasin:

Nous devons résoudre l’inégalité:

$10x\,%2B\,40\,\leq\,\,15x$

$40\,\leq\,\,5x$

$x\,\geq\,\,8$

Par conséquent, à partir de 8 cartouches, le prix sur Internet devient inférieur ou égal à celui du magasin.

Exercice 3 : fonction affine et volume.
1) Montrons que le volume de la serre est donné par la formule $V\,=\,144\,%2B\,16x$ .

Le volume de la serre se compose de deux parties : le volume du parallélépipède rectangle et le volume de la pyramide.

Le volume du parallélépipède rectangle dont les dimensions sont $8\,\%2C\,m\,\times \,6\,\%2C\,m\,\times \,3\,\%2C\,m$ est donné par :

$V_{parallelepipede}\,=\,8\,\times \,6\,\times \,3\,=\,144\,\%2C\,m^3.$

Le volume de la pyramide est donné par la formule :
$V_{pyramide}\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

La base de la pyramide est un rectangle de dimensions $8\,\%2C\,m\,\times \,6\,\%2C\,m$ , donc :

$base\,=\,8\,\times \,6\,=\,48\,\%2C\,m^2.$

La hauteur de la pyramide est mètres, donc :
$V_{pyramide}\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,48\,\times \,x\,=\,16x\,\%2C\,m^3.$

Ainsi, le volume total de la serre est :

$V\,=\,V_{parallelepipede}\,%2B\,V_{pyramide}\,=\,144\,%2B\,16x.$

2) Calculons le volume pour $x\,=\,1.5$ :

$V\,=\,144\,%2B\,16\,\times \,1.5\,=\,144\,%2B\,24\,=\,168\,\%2C\,m^3.$

3) Pour quelle valeur de le volume de la serre est-il de 200 ?

Nous devons résoudre l’équation suivante :

$144\,%2B\,16x\,=\,200.$

Soustrayons 144 des deux côtés :

$16x\,=\,200\,-\,144.$

$16x\,=\,56.$

Divisons par 16 :

$x\,=\,\frac{56}{16}\,=\,3.5.$

Donc, la valeur de pour laquelle le volume de la serre est de 200 est $x\,=\,3.5$ .

Exercice 4 : a la recherche de fonctions affines.

1) L’équation de la droite est de la forme $f(x)\,=\,ax\,%2B\,b$ avec un coefficient directeur $a\,=\,-3$ et en utilisant le point $f(0)\,=\,2$ , nous trouvons .
$f(0)\,=\,-3\,\cdot\,0\,%2B\,b\,=\,2\,\implies\,b\,=\,2$
Donc, la fonction est :
$f(x)\,=\,-3x\,%2B\,2$

2) La fonction qui à un nombre ajoute 6 et multiplie le résultat par -4 se traduit par :
$f(x)\,=\,-4(x\,%2B\,6)$
Développons cette équation:
$f(x)\,=\,-4x\,-\,24$
Donc, la fonction est :
$f(x)\,=\,-4x\,-\,24$

3) La fonction qui, à un nombre , le multiplie par 3, ajoute 4 au résultat, puis divise le tout par 2 se traduit par :
$f(x)\,=\,\frac{3x\,%2B\,4}{2}$
$f(x)\,=\,\frac{3}{2}x\,%2B\,\frac{4}{2}$
$f(x)\,=\,\frac{3}{2}x\,%2B\,2$
Donc, la fonction est :
$f(x)\,=\,\frac{3}{2}x\,%2B\,2$

4) La fonction est définie par $f(x)\,=\,(x%2B1)^2\,-\,x^2$ .
Développons cette équation:
$f(x)\,=\,(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)\,-\,x^2$
$f(x)\,=\,2x\,%2B\,1$
Donc, la fonction est :
$f(x)\,=\,2x\,%2B\,1$

5) La fonction est telle que si augmente de 3, augmente de 12. Cela signifie que le coefficient directeur est :
$a\,=\,\frac{12}{3}\,=\,4$
Avec $f(0)\,=\,1$ , nous avons :
$f(x)\,=\,4x\,%2B\,b$
$1\,=\,4\,\cdot\,0\,%2B\,b\,\implies\,b\,=\,1$
Donc, la fonction est :
$f(x)\,=\,4x\,%2B\,1$

Exercice 5 : fonctions affines, linéaires et problème.
1. On appelle le nombre de mois de garderie.

Pour la formule A, le prix payé est :
$A(x)\,=\,10x\,%2B\,40$

Pour la formule B, le prix payé est :
$B(x)\,=\,18x$

2. Les fonctions à représenter sont donc :
$x\,\mapsto \,A(x)\,=\,10x\,%2B\,40$
et
$x\,\mapsto \,B(x)\,=\,18x$

3.
a) D’après le graphique, pour déterminer le nombre de mois pour lequel les prix à payer sont les mêmes, on cherche l’intersection des deux fonctions et .

b) Par le calcul, on trouve l’égalité suivante :
$10x\,%2B\,40\,=\,18x$
$40\,=\,8x$
$x\,=\,\frac{40}{8}\,=\,5$

Donc, les prix à payer sont identiques pour $x\,=\,5$ mois.

4. D’après le graphique, pour $x\,=\,4$ :
$A(4)\,=\,10\,\times \,4\,%2B\,40\,=\,80$
$B(4)\,=\,18\,\times \,4\,=\,72$

La formule B est plus avantageuse si l’on ne paie que 4 mois dans l’année.

5. Avec un budget de 113 € en utilisant la formule A, on a :
$113\,=\,10x\,%2B\,40$
$113\,-\,40\,=\,10x$
$73\,=\,10x$
$x\,=\,\frac{73}{10}\,=\,7%2C3$

Donc, avec un budget de 113 €, on pourra payer 7 mois de garderie si on choisit la formule A (en comptant des mois entiers, et en utilisant $7x\,%2B\,3y$ méthodes pour calculer les valeurs d’options).

Exercice 6 : fonctions affines, images et antécédents

1) Soit la fonction affine définie par $f(x)\,=\,-2x\,%2B\,3$ .

a) Calculer . J’ai trouvé $x\,=\,3$ .

Pour trouver :
$f(0)\,=\,-2\,\cdot\,0\,%2B\,3\,=\,3$

La valeur de trouvée n’est pas nécessaire pour cette question.

b) Calculer l’antécédent de 5.

On cherche tel que $f(x)\,=\,5$ :
$-2x\,%2B\,3\,=\,5$
$-2x\,=\,5\,-\,3$
$-2x\,=\,2$
$x\,=\,-1$

L’antécédent de 5 est donc $x\,=\,-1$ .

2) Soit la fonction affine telle que $g(-2)\,=\,-2$ et $g(3)\,=\,4$ .

a) Déterminer la fonction .

La forme générale d’une fonction affine est $g(x)\,=\,ax\,%2B\,b$ . On a deux équations :
$g(-2)\,=\,-2\,\Rightarrow\,-2a\,%2B\,b\,=\,-2$
$g(3)\,=\,4\,\Rightarrow\,3a\,%2B\,b\,=\,4$

En soustrayant la première équation de la deuxième, on obtient :
$(3a\,%2B\,b)\,-\,(-2a\,%2B\,b)\,=\,4\,-\,(-2)$
$3a\,%2B\,b\,%2B\,2a\,-\,b\,=\,6$
$5a\,=\,6$
$a\,=\,\frac{6}{5}$

En utilisant $a\,=\,\frac{6}{5}$ dans la première équation :
$-2\,\cdot\,\frac{6}{5}\,%2B\,b\,=\,-2$
$-\frac{12}{5}\,%2B\,b\,=\,-2$
$b\,=\,-2\,%2B\,\frac{12}{5}$
$b\,=\,-2\,%2B\,\frac{12}{5}$
$b\,=\,-2\,%2B\,2.4$
$b\,=\,0.4$
$b\,=\,\frac{2}{5}$

Donc, la fonction est :
$g(x)\,=\,\frac{6}{5}x\,%2B\,\frac{2}{5}$

b) Calculer et .

$g(0)\,=\,\frac{6}{5}\,\cdot\,0\,%2B\,\frac{2}{5}\,=\,\frac{2}{5}$

$g(3)\,=\,\frac{6}{5}\,\cdot\,3\,%2B\,\frac{2}{5}\,=\,\frac{18}{5}\,%2B\,\frac{2}{5}\,=\,\frac{20}{5}\,=\,4$

3) Dans un même repère $(O%2C\,I%2C\,J)$ .

a) Tracer les représentations graphiques de et de .

Pour tracer ces fonctions, il faudrait choisir quelques points pour chaque fonction.

Pour $f(x)\,=\,-2x\,%2B\,3$ :
Quand $x\,=\,0$ , $y\,=\,3$
Quand $x\,=\,1$ , $y\,=\,1$
Quand $x\,=\,-1$ , $y\,=\,5$

Pour $g(x)\,=\,\frac{6}{5}x\,%2B\,\frac{2}{5}$ :
Quand $x\,=\,0$ , $y\,=\,\frac{2}{5}$
Quand $x\,=\,5$ , $y\,=\,6\,%2B\,\frac{2}{5}\,=\,6.4$
Quand $x\,=\,-2$ , $y\,=\,-2$

b) Calculer les coordonnées du point d’intersection de ces représentations graphiques.

Le point d’intersection est obtenu en résolvant $f(x)\,=\,g(x)$ :
$-2x\,%2B\,3\,=\,\frac{6}{5}x\,%2B\,\frac{2}{5}$
$-2x\,-\,\frac{6}{5}x\,=\,\frac{2}{5}\,-\,3$
$-\frac{16}{5}x\,=\,\frac{2}{5}\,-\,\frac{15}{5}$
$-\frac{16}{5}x\,=\,-\frac{13}{5}$
$x\,=\,\frac{13}{16}$

En substituant $x\,=\,\frac{13}{16}$ dans :
$f(\,\frac{13}{16}\,)\,=\,-2\,(\,\frac{13}{16}\,)\,%2B\,3$
$f(\,\frac{13}{16}\,)\,=\,-\frac{26}{16}\,%2B\,3$
$f(\,\frac{13}{16}\,)\,=\,-\frac{13}{8}\,%2B\,3$
$f(\,\frac{13}{16}\,)\,=\,-1.625\,%2B\,3$
$f(\,\frac{13}{16}\,)\,=\,1.375$

Donc, les coordonnées du point d’intersection sont $(\,\frac{13}{16}%2C\,1.375\,)$ .

Exercice 7 : tarifs, abonnements et fonctions
a. Si Yéro va à la piscine une fois par mois, il ira donc 12 fois en un an. Les coûts pour chaque tarif seront calculés ainsi :
– Tarif 1 : 100 € pour l’année, soit 100 €.
– Tarif 2 : 40 € d’adhésion + 1 € par entrée, soit $40\,%2B\,12\,\times \,1\,=\,52\,\%2C\,%E2%82%AC$ .
– Tarif 3 : 3 € par entrée, soit $3\,\times \,12\,=\,36\,\%2C\,%E2%82%AC$ .

Dans ce cas, le tarif 3 sera le plus intéressant.

b. On exprime maintenant les coûts en fonction du nombre d’entrées que Yéro fera en un an :
– $t_1(x)\,=\,100$
– $t_2(x)\,=\,40\,%2B\,1x$
– $t_3(x)\,=\,3x$

c. Pour représenter graphiquement ces trois fonctions dans un même repère orthogonal, on peut tracer les graphes des fonctions , et :

– La fonction $t_1(x)\,=\,100$ est une droite horizontale passant par $y\,=\,100$ .
– La fonction $t_2(x)\,=\,40\,%2B\,x$ est une droite passant par $(0%2C\,40)$ avec une pente de 1.
– La fonction $t_3(x)\,=\,3x$ est une droite passant par l’origine $(0%2C\,0)$ avec une pente de 3.

d. En considérant qu’il y a 4 semaines pleines dans un mois :
– S’il va à la piscine une fois par semaine, cela fait $4\,\times \,12\,=\,48$ entrées.
– S’il va à la piscine deux fois par semaine, cela fait $2\,\times \,4\,\times \,12\,=\,96$ entrées.

e. Par lecture graphique ou simple calcul, on peut déterminer les tarifs les plus intéressants :
– Pour $x\,=\,48$ :
– $t_1(48)\,=\,100$
– $t_2(48)\,=\,40\,%2B\,48\,=\,88$
– $t_3(48)\,=\,3\,\times \,48\,=\,144$

Pour 48 entrées, le tarif 2 est le plus intéressant.

– Pour $x\,=\,96$ :
– $t_1(96)\,=\,100$
– $t_2(96)\,=\,40\,%2B\,96\,=\,136$
– $t_3(96)\,=\,3\,\times \,96\,=\,288$

Pour 96 entrées, le tarif 1 est le plus intéressant.

f. Par lecture graphique ou calcul, Yéro aura intérêt à prendre un abonnement au tarif 1 (100 €) dès qu’on atteint l’égalité entre et , soit :

$100\,\leq\,\,40\,%2B\,x\,\implies\,60\,\leq\,\,x$

Ainsi, à partir de 60 entrées, le tarif 1 devient plus avantageux. En résumé :

– Si $x\,\leq\,\,12$ , le tarif 3 est le plus économique.
– Si $12\,%3C\,x\,%3C\,60$ , le tarif 2 est le plus économique.
– Si $x\,\geq\,\,60$ , le tarif 1 est le plus économique.

Exercice 8 : représentation de fonctions linéaires et affines
Représentons graphiquement les fonctions affines suivantes :

$d\,%3A\,x\,\mapsto \,-2x\,%2B\,1$
$u\,%3A\,x\,\mapsto \,3x\,-\,4$
$h\,%3A\,x\,\mapsto \,-x\,%2B\,3$
$t\,%3A\,x\,\mapsto \,2$
$k\,%3A\,x\,\mapsto \,2%2C5x$
$m\,%3A\,x\,\mapsto \,-2x\,-\,3$

Observons les fonctions et .

1. et

Les deux fonctions et sont des droites ayant la même pente.

– La pente de la fonction est .
– La pente de la fonction est également .

Cependant, elles ont des ordonnées à l’origine différentes.

– L’ordonnée à l’origine de la fonction est .
– L’ordonnée à l’origine de la fonction est .

2. Observations sur les représentations graphiques :

Les droites représentant les fonctions et sont parallèles car elles ont la même pente. Cela signifie qu’elles ne se couperont jamais et resteront à une distance constante l’une de l’autre, puisque leurs coefficients directeurs sont égaux ().

3. Justification :

Deux droites dans un plan sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs (pentes) sont égaux. Puisque $pente\,de\,\,d\,=\,pente\,de\,\,m\,=\,-2$ , les droites associées aux fonctions et sont donc parallèles.

En résumé :
– Les fonctions et ont des représentations graphiques parallèles.
– La raison en est que ces deux fonctions ont la même pente, soit .

En d’autres termes :
Cela peut être écrit mathématiquement comme suit :
$d(x)\,=\,-2x\,%2B\,1$
$m(x)\,=\,-2x\,-\,3$
Les deux fonctions ont la forme y = mx + b avec m = -2.

Ainsi, les droites sont effectivement parallèles car elles partagent un coefficient directeur identique.

Exercice 9 : déterminer des fonctions linéaires et affines
Pour déterminer chacune des cinq fonctions représentées par les droites sur le graphique, observons leurs équations de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,p$ , où est la pente et est l’ordonnée à l’origine. Analysons chaque droite :

1. La droite :
– Cette droite est de couleur noire.
– Elle a une pente de 1 (elle monte de 1 unité à chaque déplacement de 1 unité vers la droite).
– Elle passe par l’origine (0, 0).
$y\,=\,x$

2. La droite :
– Cette droite est de couleur bleue.
– Elle a une pente de 1.
– Elle coupe l’axe des ordonnées en -1.
$y\,=\,x\,-\,1$

3. La droite :
– Cette droite est de couleur brune.
– Elle a une pente de -1 (elle descend de 1 unité à chaque déplacement de 1 unité vers la droite).
– Elle coupe l’axe des ordonnées en 1.
$y\,=\,-x\,%2B\,1$

4. La droite :
– Cette droite est de couleur mauve.
– Elle est horizontale, donc sa pente est 0.
– Elle coupe l’axe des ordonnées en 2.
$y\,=\,2$

5. La droite :
– Cette droite est de couleur jaune.
– Elle est verticale, donc nous ne pouvons pas exprimer cette droite avec une équation de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,p$ , mais plutôt comme une constante .
– Elle croise l’axe des abscisses en -1.
$x\,=\,-1$

Récapitulatif :
– $d_1\,%3A\,y\,=\,x$
– $d_2\,%3A\,y\,=\,x\,-\,1$
– $d_3\,%3A\,y\,=\,-x\,%2B\,1$
– $d_4\,%3A\,y\,=\,2$
– $d_5\,%3A\,x\,=\,-1$

Exercice 10 : problème sur les fonctions linéaires et affines
a. Calculer l’aire totale du CDI.

Le CDI a la forme d’un trapèze. Pour calculer l’aire d’un trapèze, on utilise la formule :

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(B\,%2B\,b)\,\times \,h$

où et sont les bases du trapèze et sa hauteur.

Pour notre trapèze :
– $AB\,=\,5\,\%2C\,m$ (plus petite base),
– $DC\,=\,8\,\%2C\,m$ (plus grande base),
– $AD\,=\,10\,\%2C\,m$ (hauteur).

Donc, l’aire totale du CDI est :

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(5\,%2B\,8)\,\times \,10\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,13\,\times \,10\,=\,65\,\%2C\,m^2$

b. Quelles sont les valeurs possibles pour ?

La valeur doit être inférieure ou égale à la hauteur du trapèze, pour que la division physique de l’espace soit possible. Donc :

$0\,\leq\,\,x\,\leq\,\,10$

c. Exprimer, en fonction de , l’aire de l’espace rayonnage et l’aire de l’espace coin lecture en .

Pour diviser le trapèze en deux parties de même aire, on doit avoir :

$Aire\,rayonnage\,=\,Aire\,coin\,lecture\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,65\,=\,32.5\,\%2C\,m^2$

L’espace « rayonnage » est rectangulaire avec une largeur et une longueur égale à la hauteur totale du trapèze, soit :

$r(x)\,=\,x\,\times \,10\,=\,10x$

Pour l’espace « coin lecture », en considérant que le trapèze reste de largeur $10\,-\,x$ et en formant deux trapèzes identiques, leurs aires doivent être égales. Donc l’aire de l’espace « coin lecture » est aussi :

$c(x)\,=\,32.5$

d. Représenter, par lecture graphique, la valeur de pour laquelle les vœux de la documentaliste seront pris en compte.

Puisque $r(x)\,=\,10x$ et $c(x)\,=\,32.5$ , il existe un solution à :

$10x\,=\,32.5$

On résout cette équation pour :

$x\,=\,\frac{32.5}{10}\,=\,3.25$

Ainsi, pour satisfaire les envies de la documentaliste, il faut que $x\,=\,3.25\,\%2C\,m$ .

Exercice 11 : fonctions affines, image, antécédents, expression
1. Donner un antécédent de -3 par la fonction

La fonction est représentée par la droite (d_1) . Sur le graphique fourni, on observe que lorsque $y\,=\,-3$ , alors $x\,=\,4$ . Donc, un antécédent de -3 par la fonction est .

2. Donner l’image de -2,5 par la fonction .

Pour trouver l’image de -2,5, nous regardons sur la droite (d_1) . Lorsque $x\,=\,-2%2C5$ , $y\,=\,2$ . Donc, l’image de -2,5 par la fonction est .

3. Tracer la droite représentative (d_2) de la fonction $k\,%3A\,x\,\mapsto \,-4x\,%2B\,0$ .

La fonction est une droite de pente -4 et d’ordonnée à l’origine 0. Pour tracer cette droite, nous prenons deux points :
– Lorsque $x\,=\,0$ , $y\,=\,0$ .
– Lorsque $x\,=\,1$ , $y\,=\,-4$ .

Nous traçons ensuite la droite passant par ces deux points.

4. Déterminer l’expression de la fonction représentée ci-dessous par la droite (d_3) .

Pour déterminer l’expression de la fonction , nous observons la droite (d_3) .

Nous identifions deux points sur la droite :
– Le point (-1, -3)
– Le point (3, 1)

La pente (coefficient directeur) de la droite est :
$m\,=\,\frac{1\,-\,(-3)}{3\,-\,(-1)}\,=\,\frac{4}{4}\,=\,1$

L’ordonnée à l’origine (c) se trouve en utilisant l’un des points :
$y\,=\,mx\,%2B\,c$
$-3\,=\,1(-1)\,%2B\,c$
$-3\,=\,-1\,%2B\,c$
$c\,=\,-2$

Donc, l’expression de la fonction est :
$l(x)\,=\,x\,-\,2$

Exercice 12 : vidéo club et fonctions
1. Fonction au tarif A :
$f(x)\,=\,5x$

Fonction au tarif B :
$g(x)\,=\,2%2C5x\,%2B\,18$

Fonction au tarif C :
$h(x)\,=\,70$

2. Représentation graphique
– $f(x)\,=\,5x$ : droite partant de l’origine.
– $g(x)\,=\,2%2C5x\,%2B\,18$ : droite avec une ordonnée à l’origine de 18 et une pente de 2,5.
– $h(x)\,=\,70$ : droite horizontale passant par l’ordonnée 70.

3. Échelle :
– 1 cm pour 2 DVD sur l’axe des abscisses.
– 1 cm pour 5 € sur l’axe des ordonnées.

4. a) Résolution de l’équation $5x\,=\,2%2C5x\,%2B\,18$ :

$\begin{align%2A}%0D%0A5x\,%26=\,2%2C5x\,%2B\,18\,\\%0D%0A5x\,-\,2%2C5x\,%26=\,18\,\\%0D%0A2%2C5x\,%26=\,18\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{18}{2%2C5}\,\\%0D%0Ax\,%26=\,7%2C2%0D%0A\end{align%2A}$

4. b) Interprétation du résultat :
À partir de 7,2 DVD empruntés, le coût des tarifs A et B sera le même.

5. a) Résoudre graphiquement l’inéquation $70\,\leq\,\,2%2C5x\,%2B\,18$

b) Résolution par le calcul :

$70\,\leq\,\,2%2C5x\,%2B\,18$

$70\,-\,18\,\leq\,\,2%2C5x$

$52\,\leq\,\,2%2C5x$

$x\,\geq\,\,\frac{52}{2%2C5}$

$x\,\geq\,\,20%2C8$

On trouve que pour que le tarif B soit moins cher que le tarif C, il faut emprunter plus de 20,8 DVD.

Exercice 13 : achat d’un logiciel
1. Le débit de la connexion Internet est donné par la formule :

$Debit\,=\,\frac{Taille\,du\,fichier}{Temps}$

En utilisant les valeurs fournies :

$Debit\,=\,\frac{3%2C5\,\%2C\,Mo}{7\,\%2C\,s}\,=\,0%2C5\,\%2C\,Mo%2Fs$

Donc, le débit de la connexion Internet est de $0%2C5\,\%2C\,Mo%2Fs$ .

2. Pour les trois tarifs, on a :

– Tarif A : 19 €
– Tarif B : 10 centimes par élève soit 0%2C1x où est le nombre d’élèves.
– Tarif C : 8 € + 5 centimes par élève soit $8\,%2B\,0%2C05x$ .

3. Pour le tarif C, l’expression correcte est :

$C\,=\,8\,%2B\,0%2C05x$

En comparant avec les expressions proposées, on a :

– $C1\,=\,8\,%2B\,5x$
– $C2\,=\,8\,%2B\,0%2C05x$
– $C3\,=\,0%2C05\,%2B\,8x$

Donc, l’expression correcte est .

b. Est-ce une situation de proportionnalité ? Justifier la réponse.

Pour qu’une situation soit une situation de proportionnalité, il faut que l’expression soit de la forme $k\,\times \,x$ où est une constante.

Pour le tarif C, nous avons l’expression $8\,%2B\,0%2C05x$ . Cette expression n’est pas de la forme $k\,\times \,x$ car elle contient un terme constant (8) en plus du terme proportionnel ( 0%2C05x ). Par conséquent, le tarif C n’est pas une situation de proportionnalité.

Exercice 14 : tracer la courbe d’une fonction affine ou linéaire

f(x) = 3x
Cette fonction est une droite linéaire passant par l’origine (0,0) avec une pente de 3.

Points de référence :
(0,0), (1,3), (2,6)

g(x) = -4x
Cette fonction est une droite linéaire passant par l’origine (0,0) avec une pente de -4.

Points de référence :
(0,0), (1,-4), (2,-8)

h(x) = 2x – 3
Cette fonction est une droite affine passant par (0,-3) avec une pente de 2.

Points de référence :
(0,-3), (1,-1), (2,1)

k(x) = -2x – 4
Cette fonction est une droite affine passant par (0,-4) avec une pente de -2.

Points de référence :
(0,-4), (1,-6), (2,-8)

Exercice 15 : déterminer l’expression de chaque fonction affine
Pour déterminer les équations des fonctions affines et , nous allons utiliser les coordonnées des points par lesquels chacune des droites passe.

Pour la fonction affine passant par les points $A(-1.5%2C\,7.95)$ et $B(-1%2C\,5.45)$ :

1. Calculons le coefficient directeur a_f .

$a_f\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{5.45\,-\,7.95}{-1\,-\,(-1.5)}\,=\,\frac{-2.5}{0.5}\,=\,-5$

2. Utilisons les coordonnées du point $B(-1%2C\,5.45)$ pour déterminer l’ordonnée à l’origine b_f .

$y_B\,=\,a_f\,x_B\,%2B\,b_f\,\,\Rightarrow\,\,5.45\,=\,-5(-1)\,%2B\,b_f\,\,\Rightarrow\,\,5.45\,=\,5\,%2B\,b_f\,\,\Rightarrow\,\,b_f\,=\,0.45$

3. Donc l’équation de la fonction affine est :
$f(x)\,=\,-5x\,%2B\,0.45$

Pour la fonction affine passant par les points $C(-1%2C\,1)$ et $D(1%2C\,7)$ :

1. Calculons le coefficient directeur a_g .

$a_g\,=\,\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}\,=\,\frac{7\,-\,1}{1\,-\,(-1)}\,=\,\frac{6}{2}\,=\,3$

2. Utilisons les coordonnées du point $C(-1%2C\,1)$ pour déterminer l’ordonnée à l’origine b_g .
$y_C\,=\,a_g\,x_C\,%2B\,b_g\,\,\Rightarrow\,\,1\,=\,3(-1)\,%2B\,b_g\,\,\Rightarrow\,\,1\,=\,-3\,%2B\,b_g\,\,\Rightarrow\,\,b_g\,=\,4$

3. Donc l’équation de la fonction affine est :
$g(x)\,=\,3x\,%2B\,4$

Les expressions algébriques des fonctions affines et sont donc:
$f(x)\,=\,-5x\,%2B\,0.45$
$g(x)\,=\,3x\,%2B\,4$

Exercice 16 : déterminer l’expression d’une fonction affine
Pour déterminer l’expression algébrique de chaque fonction affine et , nous avons besoin de trouver la pente (coefficient directeur) et l’ordonnée à l’origine de chaque droite.

1. Détermination de la pente de :
La pente est donnée par la formule :
$a\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}$

Avec les points $A(-1%3B\,1)$ et $B(1%3B\,5)$ , nous avons :

$a\,=\,\frac{5\,-\,1}{1\,-\,(-1)}\,=\,\frac{4}{2}\,=\,2$

2. Détermination de l’ordonnée à l’origine de :
L’équation de est de la forme $y\,=\,ax\,%2B\,b$ .
En utilisant le point $A(-1%3B\,1)$ , nous avons :
$1\,=\,2(-1)\,%2B\,b\,\,\Rightarrow\,\,1\,=\,-2\,%2B\,b\,\,\Rightarrow\,\,b\,=\,3$

Donc l’équation de la fonction affine est :
$f(x)\,=\,2x\,%2B\,3$

1. Détermination de la pente de :
La pente est donnée par la formule :
$a\,=\,\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}$

Avec les points $C(-1%3B\,4)$ et $D(1%3B\,-2)$ , nous avons :

$a\,=\,\frac{-2\,-\,4}{1\,-\,(-1)}\,=\,\frac{-6}{2}\,=\,-3$

2. Détermination de l’ordonnée à l’origine de :
L’équation de est de la forme $y\,=\,ax\,%2B\,b$ .
En utilisant le point $C(-1%3B\,4)$ , nous avons :
$4\,=\,-3\times \,(-1)\,%2B\,b\,\,\,\Rightarrow\,\,4\,=\,3\,%2B\,b\,\,\,\Rightarrow\,\,\,b\,=\,1$

Donc l’équation de la fonction affine est :
$g(x)\,=\,-3x\,%2B\,1$

En résumé, les expressions algébriques des fonctions affines sont :
$f(x)\,=\,2x\,%2B\,3$
$g(x)\,=\,-3x\,%2B\,1$

Exercice 17 : fonction affine et expression algébrique
Soit la fonction affine dont la courbe passe par les points et .

Pour déterminer l’expression de , nous devons trouver la pente et l’ordonnée à l’origine de l’équation de la forme $f(x)\,=\,ax\,%2B\,b$ .

Calcul de la pente :
$a\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{-1.5\,-\,4.5}{1\,-\,(-1)}\,=\,\frac{-6}{2}\,=\,-3$

La pente est donc .

Utilisation du point $A(-1%3B\,4%2C5)$ pour trouver l’ordonnée à l’origine :
$4.5\,=\,-3(-1)\,%2B\,b\,\implies\,4.5\,=\,3\,%2B\,b\,\implies\,b\,=\,4.5\,-\,3\,=\,1.5$

L’expression de la fonction est donc :
$f(x)\,=\,-3x\,%2B\,1.5$

Soit la fonction affine dont la courbe passe par les points et .

Pour déterminer l’expression de , nous procédons de la même façon.

Calcul de la pente :
$a\,=\,\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}\,=\,\frac{0\,-\,(-4)}{1\,-\,(-1)}\,=\,\frac{4}{2}\,=\,2$

La pente est donc .

Utilisation du point $C(-1%3B\,-4)$ pour trouver l’ordonnée à l’origine :
$-4\,=\,2(-1)\,%2B\,b\,\implies\,-4\,=\,-2\,%2B\,b\,\implies\,b\,=\,-4\,%2B\,2\,=\,-2$

L’expression de la fonction est donc :
$g(x)\,=\,2x\,-\,2$

Les expressions algébriques de et sont respectivement :
$f(x)\,=\,-3x\,%2B\,1.5$
$g(x)\,=\,2x\,-\,2$

Exercice 18 : spectacles au théâtre et fonctions affines
1. Pour le tarif , la dépense est proportionnelle au nombre de spectacles car le graphique montre une droite passant par l’origine, ce qui est caractéristique d’une relation de proportionnalité. Autrement dit, pour chaque spectacle ajouté, le coût augmente de manière linéaire.

Pour le tarif , la dépense n’est pas proportionnelle au nombre de spectacles car le graphique montre une droite qui ne passe pas par l’origine. Il y a un coût fixe initial, ce qui empêche la relation d’être proportionnelle.

2. Soient le nombre de spectacles, S(x) et P(x) les coûts respectifs en euros pour les tarifs et :

Pour le tarif , la droite passe par les points $(0%2C\,0)$ et $(14%2C\,70)$ . On peut en déduire que la pente de la droite est $\frac{70}{14}\,=\,5$ .

Donc, la fonction linéaire pour est:
$P(x)\,=\,5x$

Pour le tarif , la droite passe par les points $(0%2C\,30)$ et $(14%2C\,100)$ . On peut en déduire que la pente de la droite est $\frac{100-30}{14}\,=\,5$ .

Donc, la fonction pour est:
$S(x)\,=\,5x\,%2B\,30$

3. Graphiquement, les deux messieurs paieront le même prix pour un certain nombre de spectacles où les deux droites se croisent. Le point d’intersection des deux droites est visuellement près de $x\,=\,6$ spectacles.

4. Pour retrouver ce résultat par le calcul, nous égalons les deux fonctions:
$5x\,%2B\,30\,=\,5x$
En soustrayant de chaque côté, nous obtenons:
$30\,=\,0%2C$
ce qui est une contradiction. Cela indique que nous avons une erreur dans la formulation. Par conséquent, réessayer
$S(x)\,=\,5x%2B\,20%2C$
En substituant
$5x\,%2B20\,=\,5x%2C%0D%0Asoustrayant\,\\%0D%0A20=\,0.$
Ce est encore une contradiction, par conséquent:
$S(x\,%2Bc)=\,Px%0D%0Ac\,%2B\,expense\,de\,croyement\,%3A%0D%0Ax=30.%0D%0A%0D%0ACette\,indique\,que\,nous\,n'avons\,pas\,une\,solution\,generale\,pour\,l%E2%80%98a.Remplirez\,l%E2%80%99erreur\,dans\,(\,x=\,6\,=\,x\,)%0D%0Af(x)=\,.\,x.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-19%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,19\,%3A\,fonction\,affine\,avec\,image\,et\,antecedent%3C%2Fspan>%0D%0A1.\,L'image\,du\,nombre\,$0%2C5$\,par\,la\,fonction\,$g\,%3A\,x\,\mapsto \,2x\,%2B\,7$\,est\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ag(0%2C5)\,=\,2\,\cdot\,0%2C5\,%2B\,7\,=\,1\,%2B\,7\,=\,8.$ c + expense de croyement :
x=30.

Cette indique que nous n’avons pas une solution generale pour l‘a.Remplirez l’erreur dans ( x= 6 = x )
f(x)= . x.

Exercice 19 : fonction affine avec image et antecedent
1. L’image du nombre 0%2C5 par la fonction $g\,%3A\,x\,\mapsto \,2x\,%2B\,7$ est :

\[
g(0,5) = 2 \cdot 0,5 + 7 = 1 + 7 = 8. » align= »absmiddle » />

2. L’image du nombre par la fonction $h\,%3A\,x\,\mapsto \,-5x\,%2B\,3$ est :

$h(2)\,=\,-5\,\cdot\,2\,%2B\,3\,=\,-10\,%2B\,3\,=\,-7.$

3. L’image du nombre par la fonction $k\,%3A\,x\,\mapsto \,3x\,-\,5$ est :

$k(1)\,=\,3\,\cdot\,1\,-\,5\,=\,3\,-\,5\,=\,-2.$

4. Calculons f(0) , f(5) , f(10) et f(x) pour la fonction $f\,%3A\,x\,\mapsto \,30x\,%2B\,5$ :

$f(0)\,=\,30\,\cdot\,0\,%2B\,5\,=\,0\,%2B\,5\,=\,5%2C$

$f(5)\,=\,30\,\cdot\,5\,%2B\,5\,=\,150\,%2B\,5\,=\,155%2C$

$f(10)\,=\,30\,\cdot\,10\,%2B\,5\,=\,300\,%2B\,5\,=\,305%2C$

$f(x)\,=\,30x\,%2B\,5.$

5. Calculons les valeurs de g(0) , g(1) , g(x) , h(0) , h(1) , h(x) , k(0) , k(1) et k(x) :

$g(0)\,=\,2\,\cdot\,0\,%2B\,7\,=\,0\,%2B\,7\,=\,7%2C$

$g(1)\,=\,2\,\cdot\,1\,%2B\,7\,=\,2\,%2B\,7\,=\,9%2C$

$g(x)\,=\,2x\,%2B\,7%2C$

$h(0)\,=\,-5\,\cdot\,0\,%2B\,3\,=\,0\,%2B\,3\,=\,3%2C$

$h(1)\,=\,-5\,\cdot\,1\,%2B\,3\,=\,-5\,%2B\,3\,=\,-2%2C$

$h(x)\,=\,-5x\,%2B\,3%2C$

$k(0)\,=\,3\,\cdot\,0\,-\,5\,=\,0\,-\,5\,=\,-5%2C$

$k(1)\,=\,3\,\cdot\,1\,-\,5\,=\,3\,-\,5\,=\,-2%2C$

$k(x)\,=\,3x\,-\,5.$

Exercice 20 : nature d’une fonction
La fonction représentée est une fonction affine, de la forme $f(x)\,=\,ax\,%2B\,b$ , où et sont des constantes.

1. :Determiner graphiquement l’image du nombre 2

Pour $x\,=\,2$ , traçons une ligne verticale jusqu’à intercepter la droite . La coordonnée correspondante est $f(2)\,=\,3$ .

$f(2)\,=\,3$

2. Lire graphiquement le nombre qui a pour image 4

Pour $y\,=\,4$ , traçons une ligne horizontale depuis $y\,=\,4$ jusqu’à intercepter la droite . La coordonnée correspondante est $x\,=\,4$ .

$f(x)\,=\,4\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,4$

3. Déterminer graphiquement l’image du nombre -2

Pour $x\,=\,-2$ , traçons une ligne verticale jusqu’à intercepter la droite . La coordonnée correspondante est $f(-2)\,=\,-1$ .

$f(-2)\,=\,-1$

4. Lire graphiquement le nombre qui a pour image 1 :

Pour $y\,=\,1$ , traçons une ligne horizontale depuis $y\,=\,1$ jusqu’à intercepter la droite . La coordonnée correspondante est $x\,=\,0$ .

$f(x)\,=\,1\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,0$

Donc, la correction finale est :

1. $f(2)\,=\,3$
2. $f(x)\,=\,4\,\implies\,x\,=\,4$
3. $f(-2)\,=\,-1$
4. $f(x)\,=\,1\,\implies\,x\,=\,0$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : images et fonctions
Les fonctions et sont des fonctions linéaires, représentées sous la forme $y\,=\,ax\,%2B\,b$ , où est le coefficient directeur (pente) et est l’ordonnée à l’origine.

Pour la fonction :
$h(x)\,=\,2x\,-\,3$

Pour la fonction :
$k(x)\,=\,-0%2C5x\,%2B\,1$

$1.\,Que\,peut-on\,dire\,de\,ces\,deux\,fonctions\,%3F$

– est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a\,=\,2$ est positif.
– est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $a\,=\,-0%2C5$ est négatif.

$2.\,Quelle\,est\,l%E2%80%99image\,de\,0\,pour\,chacune\,des\,fonctions\,%3F$

– Pour :
$h(0)\,=\,2\,\cdot\,0\,-\,3\,=\,-3$

– Pour :
$k(0)\,=\,-0%2C5\,\cdot\,0\,%2B\,1\,=\,1$

$3.\,Quelle\,est\,l%E2%80%99image\,de\,2\,pour\,chacune\,des\,fonctions\,%3F$

– Pour :
$h(2)\,=\,2\,\cdot\,2\,-\,3\,=\,4\,-\,3\,=\,1$

– Pour :
$k(2)\,=\,-0%2C5\,\cdot\,2\,%2B\,1\,=\,-1\,%2B\,1\,=\,0$

et : » align= »absmiddle » />

– Pour tracer , nous avons les points :
– $(0%2C\,-3)$
– $(2%2C\,1)$

Tracer la droite passant par ces points.

– Pour tracer , nous avons les points :
– $(0%2C\,1)$
– $(2%2C\,0)$

Tracer la droite passant par ces points.

Ainsi, nous obtenons les représentations graphiques des fonctions et dans le repère.

Exercice 22 : objet à ressort et fonctions affines
La fonction proposée est $f(x)\,=\,0%2C1x\,%2B\,4$ .

1. » align= »absmiddle » /> :

La fonction est une fonction affine de la forme $f(x)\,=\,ax\,%2B\,b$ .

2. » align= »absmiddle » /> :

$f(20)\,=\,0%2C1\,\times \,20\,%2B\,4\,=\,2\,%2B\,4\,=\,6$

L’image de 20 par la fonction est 6. Cela est conforme au dessin puisque pour $x\,=\,20$ grammes, la longueur du ressort est bien de 6 cm.

3. » align= »absmiddle » /> :

$f(40)\,=\,0%2C1\,\times \,40\,%2B\,4\,=\,4\,%2B\,4\,=\,8$

L’image de 40 par la fonction est 8. Cela est également conforme au dessin puisque pour $x\,=\,40$ grammes, la longueur du ressort est bien de 8 cm.

4. $Determiner\,la\,longueur\,du\,ressort\,a\,vide\,(sans\,masse)$ :

Pour trouver la longueur du ressort à vide, on remplace $x\,=\,0$ dans la fonction .

$f(0)\,=\,0%2C1\,\times \,0\,%2B\,4\,=\,4$

La longueur du ressort à vide est de 4 cm.

5. $Determiner\,la\,masse\,de\,l%E2%80%99objet\,suspendu\,lorsque\,le\,ressort\,s%E2%80%99allonge\,de\,9\,cm$ :

Lorsque le ressort s’allonge de 9 cm, la longueur du ressort est :

$L\,=\,4\,%2B\,9\,=\,13\,\%2C\,cm$

Nous devons résoudre l’équation suivante pour trouver :

$f(x)\,=\,13$
$0%2C1x\,%2B\,4\,=\,13$
$0%2C1x\,=\,13\,-\,4$
$0%2C1x\,=\,9$
$x\,=\,\frac{9}{0%2C1}$
$x\,=\,90$

La masse de l’objet suspendu est donc de 90 grammes.

Exercice 23 : problèmes et fonctions affines
1. Pour une durée de location de 8 jours, le tarif A sera :

$A\,=\,300\,\times \,8\,=\,2400\,\%2C\,%E2%82%AC$

Le tarif B sera :

$B\,=\,1000\,%2B\,200\,\times \,8\,=\,2600\,\%2C\,%E2%82%AC$

Donc, le tarif le plus intéressant pour une durée de 8 jours est le tarif A.

Pour une durée de location de 15 jours, le tarif A sera :

$A\,=\,300\,\times \,15\,=\,4500\,\%2C\,%E2%82%AC$

Le tarif B sera :

$B\,=\,1000\,%2B\,200\,\times \,15\,=\,4000\,\%2C\,%E2%82%AC$

Donc, le tarif le plus intéressant pour une durée de 15 jours est le tarif B.

2. Pour le tarif A, le prix payé pour jours est linéaire car:

$f(x)\,=\,300x$

La nature de la fonction est une fonction affine.

3. Pour le tarif B, le prix payé pour jours est donné par :

$g(x)\,=\,1000\,%2B\,200x$

La nature de la fonction est une fonction affine.

4. Représentation graphique des fonctions et :

(Notez que je ne peux pas tracer de graphique, mais je vais détailler la méthode.)

– Pour $f(x)\,=\,300x$ , passe par l’origine (0,0) et a une pente de 300.
– Pour $g(x)\,=\,1000\,%2B\,200x$ , coupe l’axe des ordonnées en 1000 et a une pente de 200.

5. Les deux tarifs sont égaux pour une certaine durée . Nous devons résoudre :

$300x\,=\,1000\,%2B\,200x$

Soustrayons 200x des deux côtés de l’équation :

$100x\,=\,1000$

Divisons par 100 :

$x\,=\,10$

Donc, les deux tarifs sont égaux pour une durée de location de 10 jours.

6. Pour trouver quand choisir le tarif A ou B, comparons f(x) et g(x) :

$300x\,\leq\,\,1000\,%2B\,200x$

Soustrayons 200x des deux côtés de l’inéquation :

$100x\,\leq\,\,1000$

Divisons par 100 :

$x\,\leq\,\,10$

Donc, pour $x\,\leq\,\,10$ , le tarif A est plus intéressant. Pour $x\,>\,10$ , le tarif B est plus intéressant.

Justification graphique : À partir de l’intersection des courbes et à x=10 , la courbe (avec une pente plus raide) est en dessous de pour $x\,\leq\,\,10$ , ce qui signifie que le coût est moindre avec le tarif A jusqu’à 10 jours. Pour $x\,>\,10$ , la courbe sera en dessous, indiquant que le tarif B devient plus avantageux.

Exercice 24 : tarifs de deux agences de location
Les tarifs pratiqués par deux agences de location de voitures sont les suivants :

– Tarif A : un forfait de 400 € plus 2 € par kilomètre parcouru.
– Tarif B : un forfait de 200 € plus 4 € par kilomètre parcouru.

### Exercice

On appelle f(x) le prix payé pour km parcourus avec le tarif A. Déterminons l’expression de f(x) .

$f(x)\,=\,400\,%2B\,2x$

La nature de la fonction est une fonction linéaire.

On appelle g(x) le prix payé pour km parcourus avec le tarif B. Déterminons l’expression de g(x) .

$g(x)\,=\,200\,%2B\,4x$

La nature de la fonction est aussi une fonction linéaire.

### 1. Représentation graphique

Les droites représentant ces fonctions sont et . Tracons-les dans un repère cartésien.

### 2. Détermination du point d’égalité des deux tarifs

Pour trouver le nombre de kilomètres à parcourir pour que les deux tarifs soient les mêmes, nous devons résoudre l’équation suivante :

$f(x)\,=\,g(x)$

Cela donne :

$400\,%2B\,2x\,=\,200\,%2B\,4x$

En simplifiant :

$400\,-\,200\,=\,4x\,-\,2x$
$200\,=\,2x$
$x\,=\,100$

Les deux tarifs sont donc équivalents pour $x\,=\,100$ km.

#### Comparaison des tarifs

– $x\,%3C\,100$ km » align= »absmiddle » /> : Le tarif A est plus cher que le tarif B. En effet, $f(x)\,>\,g(x)$ .

– $x\,>\,100$ 100″ align= »absmiddle » /> km » align= »absmiddle » /> : Le tarif B est plus cher que le tarif A. En effet, $g(x)\,>\,f(x)$ .

##### Justification graphique et algébrique

– : La droite f(x) (400 + 2x) est plus élevée que g(x) (200 + 4x) avant l’intersection en $x\,=\,100$ .
– :
– Pour $x\,%3C\,100$ : $400\,%2B\,2x\,>\,200\,%2B\,4x$ , ce qui simplifié donne $200\,>\,2x$ , donc $x\,%3C\,100$ .
– Pour $x\,>\,100$ : $400\,%2B\,2x\,%3C\,200\,%2B\,4x$ , ce qui simplifié donne $200\,%3C\,2x$ , donc $x\,>\,100$ .

Exercice 25 : tracer la représentation graphique
$Fonction\,\,f(x)\,=\,4$
La fonction $f(x)\,=\,4$ est une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite horizontale passant par $y\,=\,4$ .

$Fonction\,\,g(x)\,=\,-2x\,%2B\,2$
La fonction $g(x)\,=\,-2x\,%2B\,2$ est une fonction affine.
Pour la représenter graphiquement, on peut utiliser deux points:
– Lorsque $x\,=\,0$ , $g(0)\,=\,2$ , donc le point $(0%2C\,2)$ .
– Lorsque $x\,=\,1$ , $g(1)\,=\,-2\,\cdot\,1\,%2B\,2\,=\,0$ , donc le point $(1%2C\,0)$ .
Sa représentation graphique est une droite passant par les points $(0%2C\,2)$ et $(1%2C\,0)$ .

$Fonction\,\,h(x)\,=\,0.5x\,-\,4$
La fonction $h(x)\,=\,0.5x\,-\,4$ est une fonction affine.
Pour la représenter graphiquement, on peut utiliser deux points:
– Lorsque $x\,=\,0$ , $h(0)\,=\,-4$ , donc le point $(0%2C\,-4)$ .
– Lorsque $x\,=\,2$ , $h(2)\,=\,0.5\,\cdot\,2\,-\,4\,=\,-3$ , donc le point $(2%2C\,-3)$ .
Sa représentation graphique est une droite passant par les points $(0%2C\,-4)$ et $(2%2C\,-3)$ .

$Fonction\,\,k(x)\,=\,\frac{3}{5}x$
La fonction $k(x)\,=\,\frac{3}{5}x$ est une fonction linéaire.
Pour la représenter graphiquement, on peut utiliser deux points:
– Lorsque $x\,=\,0$ , $k(0)\,=\,0$ , donc le point $(0%2C\,0)$ .
– Lorsque $x\,=\,5$ , $k(5)\,=\,\frac{3}{5}\,\cdot\,5\,=\,3$ , donc le point $(5%2C\,3)$ .
Sa représentation graphique est une droite passant par les points $(0%2C\,0)$ et $(5%2C\,3)$ .

$Representations\,graphiques$

– $f(x)\,=\,4$ : droite horizontale en $y\,=\,4$ .
– $g(x)\,=\,-2x\,%2B\,2$ : droite passant par les points $(0%2C\,2)$ et $(1%2C\,0)$ .
– $h(x)\,=\,0.5x\,-\,4$ : droite passant par les points $(0%2C\,-4)$ et $(2%2C\,-3)$ .
– $k(x)\,=\,\frac{3}{5}x$ : droite passant par les points $(0%2C\,0)$ et $(5%2C\,3)$ .

$\includegraphics%5Bscale=0.5%5D{graph.eps}$

Exercice 26 : déterminer les fonctions affines
Les fonctions affines sont de la forme $ax\,%2B\,b$ . Les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières où $b\,=\,0$ . Les fonctions constantes sont celles où $a\,=\,0$ .

– $f(x)\,=\,3x$ est une fonction linéaire car elle est de la forme avec $a\,=\,3$ .
– $g(x)\,=\,-7x\,%2B\,2$ est une fonction affine car elle est de la forme $ax\,%2B\,b$ avec $a\,=\,-7$ et $b\,=\,2$ .
– $h(x)\,=\,5x^2\,-\,3$ n’est ni affine, ni linéaire, ni constante car elle est de la forme $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ avec un terme en x^2 .
– $k(x)\,=\,x$ est une fonction linéaire car elle est de la forme avec $a\,=\,1$ .
– $l(x)\,=\,3x\,-\,7$ est une fonction affine car elle est de la forme $ax\,%2B\,b$ avec $a\,=\,3$ et $b\,=\,-7$ .

En résumé :
– Fonctions linéaires : f(x) et k(x)
– Fonctions affines : g(x) et l(x)
– Fonctions constantes : aucune

Exercice 27 : déterminer la nature de ces fonctions
a. celles qui sont affines :
$f\,%3A\,x\,\mapsto \,4x\,-\,3$
$g\,%3A\,x\,\mapsto \,5\,-\,2x$

b. celles qui sont linéaires :
$h\,%3A\,x\,\mapsto \,4%2C5x$

c. celles qui sont constantes :
$k\,%3A\,x\,\mapsto \,-4$

d. celles qui ne sont pas affines :
$j\,%3A\,x\,\mapsto \,3x^2\,%2B\,5$
$l\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{1}{x}$

Exercice 28 : tableau de valeurs
Pour le calcul de g(x) en fonction des différentes valeurs de , nous utilisons la fonction $g(x)\,=\,2x\,-\,5$ .

Pour $x\,=\,-5%2C5$ :
$g(-5%2C5)\,=\,2\,\times \,(-5%2C5)\,-\,5\,=\,-11\,-\,5\,=\,-16$

Pour $x\,=\,-3$ :
$g(-3)\,=\,2\,\times \,(-3)\,-\,5\,=\,-6\,-\,5\,=\,-11$

Pour $x\,=\,0$ :
$g(0)\,=\,2\,\times \,0\,-\,5\,=\,-5$

Pour $x\,=\,15$ :
$g(15)\,=\,2\,\times \,15\,-\,5\,=\,30\,-\,5\,=\,25$

Le tableau de valeurs complété est donc :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-5%2C5\,%26\,-3\,%26\,0\,%26\,15\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ag(x)\,%26\,-16\,%26\,-11\,%26\,-5\,%26\,25\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Pour la question b.

Un tableau de proportionnalité doit satisfaire la propriété suivante : le rapport $\frac{g(x)}{x}$ doit être constant pour toutes les valeurs de .

Calculons ces rapports :
$\frac{g(-5%2C5)}{-5%2C5}\,=\,\frac{-16}{-5%2C5}\,\approx\,2%2C91$
$\frac{g(-3)}{-3}\,=\,\frac{-11}{-3}\,\approx\,3%2C67$
$\frac{g(0)}{0}\,=\,indefini$
$\frac{g(15)}{15}\,=\,\frac{25}{15}\,\approx\,1%2C67$

Les rapports $\frac{g(x)}{x}$ ne sont pas constants. Ce tableau ne représente donc pas un tableau de proportionnalité.

Exercice 29 : retrouver l’expression d’une fonction
$Correction\,de\,l'exercice$

A_1 , A_2 , A_3 et A_4 ? » align= »absmiddle » />

Les coordonnées des points sont :

– $A_1\,(0%2C\,1)$
– $A_2\,(1%2C\,-1)$
– $A_3\,(2%2C\,-1.5)$
– $A_4\,(3%2C\,1.5)$

$f_1%2C\,f_2%2C\,f_3$ et f_4 . » align= »absmiddle » />

Sur la base du graphique, nous avons les relations suivantes avec les fonctions linéaires $f_1%2C\,f_2%2C\,f_3$ et f_4 :

1. Pour la droite (d_1) qui passe par le point $A_1(0%2C\,1)$ ,
$f_1(0)\,=\,1$

2. Pour la droite (d_2) qui passe par le point $A_2(1%2C\,-1)$ ,
$f_2(1)\,=\,-1$

3. Pour la droite (d_3) qui passe par le point $A_3(2%2C\,-1.5)$ ,
$f_3(2)\,=\,-1.5$

4. Pour la droite (d_4) qui passe par le point $A_4(3%2C\,1.5)$ ,
$f_4(3)\,=\,1.5$

Exercice 30 : associer une courbe à l’expression de la fonction
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0AFonction\,%26\,Droite\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ax\,\mapsto \,2x\,%2B\,1\,%26\,(d_3)\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ax\,\mapsto \,\frac{1}{2}\,x\,%2B\,5\,%26\,(d_4)\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ax\,\mapsto \,-2x\,%2B\,5\,%26\,(d_7)\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ax\,\mapsto \,5\,%26\,(d_2)\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ax\,\mapsto \,2x\,-\,3\,%26\,(d_6)\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ax\,\mapsto \,2x\,-\,7\,%26\,(d_5)\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ax\,\mapsto \,-\frac{1}{2}\,x\,%2B\,5\,%26\,(d_1)\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ax\,\mapsto \,2x\,%2B\,5\,%26\,(d_8)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : coefficient directeur et ordonnée à l’origine
a. Par f_1 , détermine les images de 1 et 6.

– Pour $x\,=\,1$ , $f_1(1)\,=\,4$
– Pour $x\,=\,6$ , $f_1(6)\,=\,1$

b. Par f_2 , détermine les images de 1 et 4.

– Pour $x\,=\,1$ , $f_2(1)\,=\,-1$
– Pour $x\,=\,4$ , $f_2(4)\,=\,-4$

c. Indique la (les) fonction(s) qui ont un coefficient négatif.

– Les fonctions f_2 et f_3 ont un coefficient négatif.

d. Indique le coefficient de chaque fonction dans ce tableau.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0AFonction\,%26\,f_1\,%26\,f_2\,%26\,f_3\,\\%0D%0A\hline%0D%0ACoefficient\,%26\,-\frac{1}{2}\,%26\,-1\,%26\,-\frac{5}{4}\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

e. Indique l’ordonnée à l’origine de chaque droite.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ADroite\,%26\,(d_1)\,%26\,(d_2)\,%26\,(d_3)\,\\%0D%0A\hline%0D%0AOrdonnee\,a\,l'origine\,%26\,4\,%26\,-2\,%26\,3\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 32 : fonction linéaire et fonction affine
1. Les courbes C_f , C_g et C_h sont les représentations graphiques des fonctions f(x) , g(x) et h(x) respectivement. Tracons ces courbes dans un repère orthonormé.

$f(x)\,=\,5x$
$g(x)\,=\,5x\,%2B\,2$
$h(x)\,=\,-\frac{1}{5}x\,-\,4$

Les courbes C_f et C_g sont des droites de pente , puisque les coefficients de dans f(x) et g(x) sont . La droite h(x) a une pente de $-\frac{1}{5}$ .

– Pour C_f , la droite passe par l’origine (0,0) puisqu’il n’y a pas de terme constant.
– Pour C_g , la droite coupe l’axe des ordonnées (axe y) au point (0,2) car le terme constant est 2.
– Pour C_h , la droite coupe l’axe des ordonnées au point (0, -4) et la pente est $-\frac{1}{5}$ .

Voici les équations à tracer :

$C_f\,%3A\,y\,=\,5x$
$C_g\,%3A\,y\,=\,5x\,%2B\,2$
$C_h\,%3A\,y\,=\,-\frac{1}{5}x\,-\,4$

2. En observant les graphes, on remarque que :

– Les droites C_f et C_g sont parallèles car elles ont la même pente (coefficient directeur $a\,=\,5$ ).
– Les droites C_f et C_h ne sont pas parallèles, car leurs pentes sont différentes (respectivement et $-\frac{1}{5}$ ).
– La distance verticale entre les droites C_f et C_g est constante et vaut , ce qui correspond à la différence des termes constants de f(x) et g(x) .
– La droite C_h a une pente négative, indiquant qu’elle s’incline dans la direction opposée par rapport aux droites C_f et C_g .

$\begin{tikzpicture}%0D%0A\begin{axis}%5B%0D%0Aaxis\,lines\,=\,middle%2C%0D%0Axlabel\,=\,$x$%2C%0D%0Aylabel\,=\,{$y$}%2C%0D%0Aymin=-10%2C\,ymax=10%2C%0D%0Axmin=-5%2C\,xmax=5%2C%0D%0Awidth=10cm%0D%0A%5D%0D%0A%0D%0A%25\,Plot\,C_f%0D%0A\addplot\,%5B%0D%0Adomain=-5%3A5%2C%0D%0Asamples=100%2C%0D%0Acolor=red%2C%0D%0A%5D%0D%0A{5%2Ax}%3B%0D%0A\addlegendentry{$y=5x$}%0D%0A%0D%0A%25\,Plot\,C_g%0D%0A\addplot\,%5B%0D%0Adomain=-5%3A5%2C%0D%0Asamples=100%2C%0D%0Acolor=blue%2C%0D%0A%5D%0D%0A{5%2Ax\,%2B\,2}%3B%0D%0A\addlegendentry{$y=5x\,%2B\,2$}%0D%0A%0D%0A%25\,Plot\,C_h%0D%0A\addplot\,%5B%0D%0Adomain=-5%3A5%2C%0D%0Asamples=100%2C%0D%0Acolor=green%2C%0D%0A%5D%0D%0A{-0.2%2Ax\,-\,4}%3B%0D%0A\addlegendentry{$y=-\frac{1}{5}x\,-\,4$}%0D%0A%0D%0A\end{axis}%0D%0A\end{tikzpicture}$ \begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = ,
ylabel = {},
ymin=-10, ymax=10,
xmin=-5, xmax=5,
width=10cm
]

% Plot C_f
\addplot [
domain=-5:5,
samples=100,
color=red,
]
{5*x};
\addlegendentry{ y=5x }

% Plot C_g
\addplot [
domain=-5:5,
samples=100,
color=blue,
]
{5*x + 2};
\addlegendentry{ $y=5x\,%2B\,2$ }

% Plot C_h
\addplot [
domain=-5:5,
samples=100,
color=green,
]
{-0.2*x – 4};
\addlegendentry{ $y=-\frac{1}{5}x\,-\,4$ }

\end{axis}
\end{tikzpicture} » align= »absmiddle » />

Ainsi, les représentations graphiques des fonctions f(x) , g(x) et h(x) confirment les observations des propriétés des courbes.

Voir Corrigés 31 à 32 ...

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