Exercice 1 : statistiques
1. Pour représenter cette distribution de fréquences par un diagramme circulaire, nous devons convertir chaque pourcentage en angle. La formule pour convertir un pourcentage en angle est :
\[ \text{angle} = ( \frac{\text{pourcentage}}{100} ) \times 360 \]
Calcul des angles pour chaque catégorie :
\[
\begin{align*}
\text{Résidence principales} : ( \frac{83,2}{100} ) \times 360 = 299,52^\circ \\
\text{Logements vacants} : ( \frac{6,8}{100} ) \times 360 = 24,48^\circ \\
\text{Logements occasionnels} : ( \frac{1}{100} ) \times 360 = 3,6^\circ \\
\text{Résidences secondaires} : ( \frac{9}{100} ) \times 360 = 32,4^\circ \\
\end{align*}
\]
Avec ces angles, vous pouvez maintenant tracer un diagramme circulaire.
2. Calcul du nombre de logements de chaque catégorie en arrondissant au millier.
La formule pour convertir un pourcentage en nombre est :
\[ \text{nombre} = ( \frac{\text{pourcentage}}{100} ) \times \text{total des logements} \]
Calcul du nombre de logements pour chaque catégorie (en arrondissant au millier) :
\[
\begin{align*}
\text{Résidence principales} : ( \frac{83,2}{100} ) \times 29\,495\,000 \approx 24\,539\,640 \approx 24\,540\,000 \\
\text{Logements vacants} : ( \frac{6,8}{100} ) \times 29\,495\,000 \approx 2\,005\,460 \approx 2\,005\,000 \\
\text{Logements occasionnels} : ( \frac{1}{100} ) \times 29\,495\,000 \approx 294\,950 \approx 295\,000 \\
\text{Résidences secondaires} : ( \frac{9}{100} ) \times 29\,495\,000 \approx 2\,654\,550 \approx 2\,655\,000 \\
\end{align*}
\]
Ainsi, les nombres de logements par catégorie sont :
\[
\begin{align*}
\text{Résidence principales} : 24\,540\,000 \\
\text{Logements vacants} : 2\,005\,000 \\
\text{Logements occasionnels} : 295\,000 \\
\text{Résidences secondaires} : 2\,655\,000 \\
\end{align*}
\]
Exercice 2 : statistiques – moyenne, médiane et quartiles.
1. La moyenne de la série de lancers est donnée par la formule suivante :
\[
\text{Moyenne} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
où \( x_i \) représente la longueur de chaque lancer et \( n \) le nombre total de lancers. En substituant les valeurs données, nous avons :
\[
\text{Moyenne} = \frac{18,6 + 19,4 + 20,8 + 15,9 + 17,7 + 21,1 + 19,8 + 15,2 + 17,2 + 16,5 + 20,5 + 21,9}{12}
\]
Calculons la somme des longueurs :
\[
18,6 + 19,4 + 20,8 + 15,9 + 17,7 + 21,1 + 19,8 + 15,2 + 17,2 + 16,5 + 20,5 + 21,9 = 224,6
\]
Ensuite, nous divisons par 12 :
\[
\text{Moyenne} = \frac{224,6}{12} = 18,72
\]
La moyenne des lancers est donc de 18,72 mètres. Cela signifie qu’en moyenne, l’athlète lance le poids sur une distance de 18,72 mètres.
2. La médiane de la série de lancers est la valeur centrale lorsque les lancers sont classés dans l’ordre croissant. Classons les lancers :
\[
15,2, 15,9, 16,5, 17,2, 17,7, 18,6, 19,4, 19,8, 20,5, 20,8, 21,1, 21,9
\]
Pour une série de 12 valeurs, la médiane est la moyenne des 6ème et 7ème valeurs :
\[
\text{Médiane} = \frac{18,6 + 19,4}{2} = \frac{38}{2} = 19
\]
La médiane des lancers est donc de 19 mètres.
3. Le premier quartile \( Q_1 \) est la valeur qui sépare les 25 % premiers termes des 75 % derniers termes dans la série classée. Pour une série de 12 valeurs, cela correspond au 3ème terme, soit :
\[
Q_1 = 16,5
\]
4. Le troisième quartile \( Q_3 \) est la valeur qui sépare les 75 % premiers termes des 25 % derniers termes dans la série classée. Pour une série de 12 valeurs, cela correspond au 9ème terme, soit :
\[
Q_3 = 20,5
\]
Exercice 3 : statistiques et pourcentages.
Correction de l’exercice de mathématiques:
1. Calculer la moyenne des notes obtenues en mathématiques au brevet blanc par l’ensemble des élèves des classes de troisième.
La moyenne \( \,\overline{x} \) est donnée par la formule :
\[ \,\overline{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N} \]
où \( x_i \) sont les notes, \( n_i \) sont les effectifs correspondants, et \( N \) est le nombre total d’élèves.
Données:
\[
\begin{array}{cccccccccccccccccccc}
\text{Notes } (x_i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 \\
\text{Effectifs } (n_i) 2 6 11 19 12 10 4 13 5 8 16 8 11 15 16 17 9 6 11 11 5 \\
\end{array}
\]
Nombre total d’élèves \(N\) :
\[ N = \sum n_i = 200 \]
Calcul du numérateur :
\[
\sum (x_i \cdot n_i) = (0 \cdot 2) + (1 \cdot 6) + (2 \cdot 11) + (3 \cdot 19) + (4 \cdot 12) + (5 \cdot 10) + (6 \cdot 4) + (7 \cdot 13) + (8 \cdot 5) + (9 \cdot 8) + (10 \cdot 16) + (11 \cdot 8) + (12 \cdot 11) + (13 \cdot 15) + (14 \cdot 16) + (15 \cdot 17) + (16 \cdot 9) + (17 \cdot 6) + (18 \cdot 11) + (19 \cdot 11) + (20 \cdot 5)
\]
\[
= 0 + 6 + 22 + 57 + 48 + 50 + 24 + 91 + 40 + 72 + 160 + 88 + 132 + 195 + 224 + 255 + 144 + 102 + 198 + 209 + 100
\]
\[
= 2167
\]
Donc, la moyenne :
\[
\,\overline{x} = \frac{2167}{200} = 10.835
\]
2. Représenter cette série de résultats par un diagramme en bâtons.
\[
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
ybar,
symbolic x coords={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20},
xtick=data,
ymin=0,
ylabel={Effectifs},
xlabel={Notes}
]
\addplot coordinates {(0,2) (1,6) (2,11) (3,19) (4,12) (5,10) (6,4) (7,13) (8,5) (9,8) (10,16) (11,8) (12,11) (13,15) (14,16) (15,17) (16,9) (17,6) (18,11) (19,11) (20,5)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\]
3. À partir du tableau, donner les valeurs du premier et du troisième quartile de la série de notes.
Pour trouver les quartiles :
– Premier quartile \(Q1\) : position \(\frac{N}{4} = \frac{200}{4} = 50\)
– Troisième quartile \(Q3\) : position \(\frac{3N}{4} = \frac{3 \times 200}{4} = 150\)
En accumulant les effectifs :
– Effectifs cumulés jusqu’à 3 : 2 (0) + 6 (1) + 11 (2) + 19 (3) = 38
– Effectifs cumulés jusqu’à 4 : 38 + 12 = 50 donc \(Q1 = 4\)
Pour \(Q3\) :
– Effectifs cumulés jusqu’à 14 : … = 145 (cumul jusqu’à 13) + 16 = 161 donc \(Q3 = 14\)
4. À partir du tableau, donner la valeur de la médiane de la série de notes.
Position de la médiane : \(\frac{N}{2} = 100\)
En accumulant les effectifs :
– Effectifs cumulés jusqu’à 9 : 99 (cumul jusqu’à 8) + 16 = 115 donc la médiane est 10.
5. Quel est le pourcentage des élèves qui ont eu une note supérieure ou égale à 18.
Nombres d’élèves ayant une note \(\geq\, 18\) :
\[ n(18) + n(19) + n(20) = 11 + 11 + 5 = 27 \]
Pourcentage :
\[ \frac{27}{200} \times 100 = 13.5\% \]
Exercice 4 : calculs statistiques.
a. Calculer l’étendue de cette série.
L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de cette série.
Les valeurs extrêmes de la série sont :
\[
\text{Valeur maximale} = 230 \, \text{km}
\]
\[
\text{Valeur minimale} = 29 \, \text{km}
\]
L’étendue est donc :
\[
\text{Étendue} = 230 – 29 = 201 \, \text{km}
\]
b. Calculer la moyenne de cette série (arrondir au km). Interpréter ce résultat par une phrase.
La moyenne arithmétique d’une série de \( n \) valeurs est donnée par :
\[
\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Ici, \( n = 21 \) et la somme des distances est :
\[
195 + 165 + 195 + 29 + 230 + 195 + 158 + 174 + 222 + 154 + 166 + 168 + 182 + 182 + 216 + 157 + 210 + 197 + 163 + 53 + 143 = 3454 \, \text{km}
\]
La moyenne est donc :
\[
\overline{x} = \frac{3454}{21} \approx 165 \, \text{km}
\]
Interprétation : En moyenne, les étapes du Tour de France mesurent environ 165 km.
c. Déterminer la médiane de cette série.
Pour trouver la médiane, nous devons d’abord trier la série dans l’ordre croissant :
\[
29, 53, 143, 154, 157, 158, 158, 163, 165, 166, 168, 174, 182, 182, 195, 195, 195, 197, 210, 216, 222, 230
\]
La médiane est la valeur située au milieu de la série triée. Étant donné que \( n = 21 \) (un nombre impair), la médiane est la 11ème valeur :
\[
\text{Médiane} = 168 \, \text{km}
\]
d. Les distances à parcourir pour les deux individus sont 29 km et 53 km.
Les deux distances à considérer :
\[
29 \, \text{km} \quad \text{et} \quad 53 \, \text{km}
\]
\- Étendue :
\[
\text{Étendue} = 53 – 29 = 24 \, \text{km}
\]
\- Moyenne :
\[
\overline{x} = \frac{29 + 53}{2} = \frac{82}{2} = 41 \, \text{km}
\]
\- Médiane :
Pour deux valeurs, la médiane est la moyenne des deux valeurs :
\[
\text{Médiane} = \frac{29 + 53}{2} = 41 \, \text{km}
\]
Ainsi, pour les deux distances 29 km et 53 km :
\[
\text{Étendue} = 24 \, \text{km}, \quad \text{Moyenne} = 41 \, \text{km}, \quad \text{Médiane} = 41 \, \text{km}
\]
Exercice 5 : médiane et statistiques
Pour déterminer la médiane des notes de la classe, nous devons d’abord organiser toutes les notes par ordre croissant, en tenant compte de leurs effectifs.
Notes :
– Note 0: 1 fois
– Note 1: 2 fois
– Note 2: 4 fois
– Note 3: 3 fois
– Note 4: 7 fois
– Note 5: 8 fois
Nous les écrivons dans l’ordre et répétons chaque note selon son effectif:
\[ 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 \]
Le nombre total d’élèves est la somme des effectifs:
\[ 1 + 2 + 4 + 3 + 7 + 8 = 25 \]
La médiane est la valeur qui se trouve au milieu de cet ensemble de données ordonnées. Pour un nombre impair d’observations, la médiane est la \( (\frac{n+1}{2}) \)-ième valeur, où \( n \) est le nombre total d’observations.
Dans ce cas:
\[ n = 25 \quad \text{donc} \quad \frac{25 + 1}{2} = 13 \]
La 13ème valeur dans la liste ordonnée est 4.
Donc, la médiane des notes de la classe est:
\[ \boxed{4} \]
Exercice 6 : note d’élèves et statistiques.
1. Calculer la moyenne arrondie au centième de cette série de notes.
Les notes sont : \(8, 9, 19, 17, 6, 18, 18, 8, 14, 12, 9, 10, 11\).
La moyenne, \(\mu\), est donnée par :
\[ \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
Avec \(n = 13\) (le nombre de notes) et \(x_i\) chaque note.
\[ \mu = \frac{8 + 9 + 19 + 17 + 6 + 18 + 18 + 8 + 14 + 12 + 9 + 10 + 11}{13} \]
\[ \mu = \frac{159}{13} \approx 12,23 \]
La moyenne arrondie au centième est 12,23.
2. Calculer le pourcentage d’élèves qui ont une note supérieure à cette moyenne de la classe.
Il faut d’abord identifier le nombre de notes supérieures à 12,23.
Les notes supérieures à 12,23 sont : 19, 17, 18, 18, 14.
Il y a 5 notes supérieures. Le pourcentage est donc donné par :
\[ \text{Pourcentage} = ( \frac{5}{13} ) \times 100 \approx 38,46 \% \]
3. Déterminer la médiane de cette série de notes.
Pour trouver la médiane, il faut d’abord trier les notes dans l’ordre croissant :
\[ 6, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 14, 17, 18, 18, 19 \]
Avec 13 notes (un nombre impair), la médiane est la note en position \((\frac{13+1}{2})\), soit la 7ème note :
\[ \text{Médiane} = 11 \]
4. Calculer le premier et le troisième quartile. Interprétez ces résultats.
Le premier quartile (Q1) est la valeur au 25ème percentile.
\[ Q1 = 8 \]
Le troisième quartile (Q3) est la valeur au 75ème percentile.
\[ Q3 = 17 \]
Les quartiles signifient que 25% des élèves ont une note inférieure ou égale à 8 et que 75% des élèves ont une note inférieure ou égale à 17.
5. Calculer l’étendue de la série.
L’étendue (R) d’une série est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série.
\[ \text{Étendue} = 19 – 6 = 13 \]
Exercice 7 : hauteur et statistiques
{Correction de l’exercice}
1. Calculer la moyenne de cette série.
La moyenne est donnée par la formule suivante :
\[
\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i \cdot f_i)}{\sum_{i=1}^{n} f_i}
\]
où \( x_i \) est la hauteur en mètres et \( f_i \) l’effectif correspondant.
Calculons \(\sum_{i=1}^{n} (x_i \cdot f_i)\) :
\[
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n} (x_i \cdot f_i) = 1.2 \times 21 + 1.3 \times 37 + 1.4 \times 51 + 1.5 \times 22 + 1.6 \times 14 \\
= 25.2 + 48.1 + 71.4 + 33 + 22.4 \\
= 200.1
\end{aligned}
\]
Calculons \(\sum_{i=1}^{n} f_i\) :
\[
\sum_{i=1}^{n} f_i = 21 + 37 + 51 + 22 + 14 = 145
\]
Donc, la moyenne est :
\[
\overline{x} = \frac{200.1}{145} \approx 1.38
\]
2. Déterminer la médiane de cette série.
Pour déterminer la médiane, il faut d’abord trouver la position médiane qui est donnée par :
\[
\text{Position médiane} = \frac{N+1}{2}
\]
où \( N \) est le total des effectifs :
\[
N = 145
\]
La position médiane est donc :
\[
\frac{145+1}{2} = 73
\]
Ensuite, nous trouverons la médiane dans la distribution cumulée :
\[
\begin{aligned}
21 \quad (1.2) \\
21 + 37 = 58 \quad (1.3) \\
58 + 51 = 109 \quad (1.4)
\end{aligned}
\]
Comme 73 se trouve entre 58 et 109, la médiane est donc :
\[
1.4
\]
3. Interpréter les résultats obtenus précédemment.
– La moyenne des hauteurs, qui est de 1.38 m, représente la hauteur moyenne pondérée par le nombre d’individus correspondant à chaque hauteur mesurée.
– La médiane, qui est de 1.4 m, indique que la moitié des individus a une hauteur inférieure ou égale à cette valeur et l’autre moitié a une hauteur supérieure ou égale à cette valeur.
Ces résultats montrent que la distribution des hauteurs est légèrement asymétrique avec une moyenne inférieure à celle de la médiane. Cela suggère une légère tendance vers des hauteurs plus petites.
Exercice 8 : gymnastique et statistiques.
\[
\begin{array}{l}
\text{Soit } F \text{ le nombre de filles dans la classe et } G \text{ le nombre de garçons.} \\
G = 25 – F \\
\text{La moyenne d’EPS des filles est } 11 \text{ sur } 20. \\
\text{La moyenne d’EPS des garçons est } 9,5 \text{ sur } 20. \\
\text{La moyenne d’EPS de la classe est } 10,4 \text{ sur } 20. \\
\text{En utilisant la formule de la moyenne pondérée :} \\
\text{Moyenne de la classe} = \frac{\text{Somme des moyennes des filles et des garçons}}{\text{Nombre total d’élèves}} \\
10,4 = \frac{11F + 9,5G}{25} \\
\text{En remplaçant } G \text{ par } 25 – F : \\
10,4 = \frac{11F + 9,5(25 – F)}{25} \\
10,4 = \frac{11F + 237,5 – 9,5F}{25} \\
10,4 = \frac{1,5F + 237,5}{25} \\
10,4 \times 25 = 1,5F + 237,5 \\
260 = 1,5F + 237,5 \\
260 – 237,5 = 1,5F \\
22,5 = 1,5F \\
F = \frac{22,5}{1,5} \\
F = 15 \\
\text{Donc, il y a } 15 \text{ filles dans la classe.}
\end{array}
\]
Exercice 9 : entreprise et statistiques.
Pour déterminer où les salariés sont mieux payés en moyenne, nous allons calculer le salaire moyen global pour chaque entreprise.
Pour l’entreprise HITI :
\[ \text{Effectif total} = 50 + 50 = 100 \]
Le salaire moyen global est donné par :
\[ \text{Salaire moyen global} = \frac{(50 \times 168000) + (50 \times 120000)}{100} \]
Développons le numérateur :
\[ 50 \times 168000 + 50 \times 120000 = 8400000 + 6000000 = 14400000 \]
Donc,
\[ \text{Salaire moyen global chez HITI} = \frac{14400000}{100} = 144000 \]
Pour l’entreprise KALU :
\[ \text{Effectif total} = 20 + 80 = 100 \]
Le salaire moyen global est donné par :
\[ \text{Salaire moyen global} = \frac{(20 \times 180000) + (80 \times 132000)}{100} \]
Développons le numérateur :
\[ 20 \times 180000 + 80 \times 132000 = 3600000 + 10560000 = 14160000 \]
Donc,
\[ \text{Salaire moyen global chez KALU} = \frac{14160000}{100} = 141600 \]
Comparaison des salaires moyens globaux :
\[ \text{Salaire moyen global chez HITI} = 144000 \]
\[ \text{Salaire moyen global chez KALU} = 141600 \]
Ainsi, le salaire moyen global est légèrement plus élevé chez HITI que chez KALU. Donc, Kevin a tort ; on est mieux payé en moyenne chez HITI que chez KALU.
Exercice 10 : températures et statistiques.
1. Pour chacune des villes :
a. Calculer l’étendue de la série des températures :
– Mexico :
\( \text{Étendue} = \max(18.4, 17.7, 17.4, 16.8, 16.3, 16.2, 16, 15, 13.9, 12.4, 13, 12) – \min(18.4, 17.7, 17.4, 16.8, 16.3, 16.2, 16, 15, 13.9, 12.4, 13, 12) = 18.4 – 12 = 6.4 \)
– Barcelone :
\( \text{Étendue} = \max(24.3, 23.4, 21.8, 21.5, 18.1, 17.5, 17, 15, 14.6, 14, 10.3, 9.5) – \min(24.3, 23.4, 21.8, 21.5, 18.1, 17.5, 17, 15, 14.6, 14, 10.3, 9.5) = 24.3 – 9.5 = 14.8 \)
b. Estimer la température moyenne annuelle :
– Mexico :
\( \text{Moyenne} = \frac{12 + 14 + 16.2 + 17.4 + 18.4 + 17.7 + 16.7 + 16.8 + 16.3 + 15 + 13.9 + 12}{12} = \frac{186.4}{12} \approx 15.53 \)
– Barcelone :
\( \text{Moyenne} = \frac{9.5 + 10.3 + 12.4 + 14.6 + 17 + 21.5 + 24.3 + 23.4 + 21.8 + 18.1 + 13.5 + 10.3}{12} = \frac{197.7}{12} \approx 16.48 \)
c. Déterminer la médiane de la série :
– Mexico :
\( \text{Série triée} = [12, 12.4, 13, 13.9, 14, 15, 16, 16.2, 16.3, 16.8, 17.4, 18.4] \)
\[ \text{Médiane} = \frac{15 + 16}{2} = 15.5 \]
– Barcelone :
\( \text{Série triée} = [9.5, 10.3, 10.3, 12.4, 13.5, 14, 14.6, 17, 18.1, 21.5, 21.8, 24.3] \)
\[ \text{Médiane} = \frac{14.6 + 17}{2} = 15.8 \]
2. Calculs permettant d’affirmer :
a. « Il fait plus chaud à Barcelone qu’à Mexico » :
– Température moyenne annuelle de Barcelone : 16.48°C
– Température moyenne annuelle de Mexico : 15.53°C
Conclusion : Oui, il fait en moyenne plus chaud à Barcelone (16.48°C) qu’à Mexico (15.53°C).
b. « Les écarts de températures sont moindres à Mexico » :
– Étendue des températures de Mexico : 6.4°C
– Étendue des températures de Barcelone : 14.8°C
Conclusion : Oui, les écarts de températures sont moindres à Mexico (6.4°C) qu’à Barcelone (14.8°C).
c. « Dans ces deux villes, la température est supérieure à 16°C la moitié au moins de l’année » :
– Mexico : 16°C ou plus pour 6 mois au moins (oui, car il y a plus de 6 valeurs supérieures à 16°C)
– Barcelone : 16°C ou plus pour 6 mois au moins (oui, car il y a plus de 6 valeurs supérieures à 16°C)
Conclusion : Oui, dans les deux villes, la température est supérieure à 16°C pendant au moins la moitié de l’année.
Exercice 11 : accident et statistiques
La personne affirme que \(25\%\) des accidents se produisent entre 20h et 24h. Pour vérifier cette affirmation, nous devons analyser les données fournies dans le tableau.
Les accidents se produisant entre 20h et 23h sont donnés dans le tableau. Calculons le pourcentage de ces accidents par rapport au total.
Total des accidents entre 20h et 23h :
\[ 3535 + 2545 + 1908 + 1693 = 9671 \]
Nombre total d’accidents :
\[ 76309 \]
Pourcentage des accidents entre 20h et 23h :
\[ \frac{9671}{76309} \times 100 \approx 12.67\% \]
Nous savons que :
\[ 100 \% – 92 \% = 8 \% \]
Des accidents se produisant après 23h.
Ainsi, le nombre d’accidents entre 20h et 24h serait bien supérieur à \(12.67\%\) mais en prenant les valeurs des accidents d’après 23h, \(100-92=8 \%\)
\[ 12.67\% + 8\% = 20.67 \%\]
Ce pourcentage est en dessous de \(25 \%), ce qui prouve que l’affirmation de l’exercice est fausse.
Exercice 12 : quartiles et statistiques
\[
\begin{array}{c|cccccccc}
\text{Notes} 6 7 9 10 11 12 14 15 16 19 \\
\hline
\text{Effectifs} 3 4 4 2 1 3 2 4 1 2 \\
\end{array}
\]
1) Calcul de la fréquence des élèves ayant une note supérieure ou égale à la moyenne :
Calcul de la moyenne :
\[
\text{Moyenne} = \frac{\sum (\text{Notes} \times \text{Effectifs})}{\sum \text{Effectifs}} = \frac{3 \times 6 + 4 \times 7 + 4 \times 9 + 2 \times 10 + 1 \times 11 + 3 \times 12 + 2 \times 14 + 4 \times 15 + 1 \times 16 + 2 \times 19}{3 + 4 + 4 + 2 + 1 + 3 + 2 + 4 + 1 + 2}
\]
\[
\text{Moyenne} = \frac{18 + 28 + 36 + 20 + 11 + 36 + 28 + 60 + 16 + 38}{26}
\]
\[
\text{Moyenne} = \frac{291}{26} \approx 11.19
\]
Effectifs des élèves ayant une note supérieure ou égale à la moyenne (11.19) :
\[
2 + 3 + 2 + 4 + 1 + 2 = 14
\]
Fréquence :
\[
\frac{14}{26} \approx 0.54 \text{ soit } 54\%
\]
2) Détermination de la note médiane :
Les effectifs cumulés :
\[
3, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 23, 24, 26
\]
Il y a 26 élèves (nombre pair). La médiane est donc la moyenne des notes des 13ème et 14ème élèves.
Les notes des 13ème et 14ème élèves sont 10 et 11, respectivement.
\[
\text{Médiane} = \frac{10 + 11}{2} = 10.5
\]
3a) Détermination des quartiles \(Q1\) et \(Q3\) :
\(Q1\) est la 7ème valeur :
\[
Q1 = 9
\]
\(Q3\) est la 19ème valeur :
\[
Q3 = 14
\]
3b) Calcul du pourcentage des élèves ayant une note inférieure ou égale à \(Q3\) (14) :
Effectifs cumulés jusqu’à 14 :
\[
3 + 4 + 4 + 2 + 1 + 3 + 2 = 19
\]
Pourcentage :
\[
\frac{19}{26} \approx 0.73 \text{ soit } 73\%
\]
Ainsi, la correction complète de l’exercice donnée est :
\[
1) \text{La fréquence des élèves ayant une note supérieure ou égale à la moyenne est de } 54\%.
\]
\[
2) \text{La note médiane est } 10.5.
\]
\[
3a) \text{Le premier quartile (Q1) est } 9 \text{ et le troisième quartile (Q3) est } 14.
\]
\[
3b) \text{Le pourcentage d’élèves ayant une note inférieure ou égale à } Q3 \text{ est de } 73\%.
\]
Exercice 13 : climat et statistiques
a. Calculer la température annuelle moyenne.
Pour la ville Alpha (A) :
\[
\text{Température annuelle moyenne A} = \frac{-6 + 9 + 15 + 18 + 20 + 28 + 31 + 28 + 24 + 18 + 4 – 3}{12}
\]
\[
= \frac{186}{12} = 15,5^\circ C
\]
Pour la ville Gamma (G) :
\[
\text{Température annuelle moyenne G} = \frac{5 + 7 + 9 + 13 + 17 + 20 + 23 + 18 + 16 + 13 + 8 + 4}{12}
\]
\[
= \frac{153}{12} = 12,75^\circ C
\]
b. Déterminer une température médiane.
Pour la ville Alpha (A) : Les températures triées par ordre croissant sont : \(-6, -3, 4, 9, 15, 18, 18, 20, 24, 28, 28, 31\). La médiane est la moyenne des 6ème et 7ème valeurs :
\[
\text{Médiane A} = \frac{18 + 18}{2} = 18^\circ C
\]
Pour la ville Gamma (G) : Les températures triées par ordre croissant sont : \(4, 5, 7, 8, 9, 13, 13, 16, 17, 18, 20, 23\). La médiane est la moyenne des 6ème et 7ème valeurs :
\[
\text{Médiane G} = \frac{13 + 13}{2} = 13^\circ C
\]
c. Calculer l’étendue des températures.
Pour la ville Alpha (A) :
\[
\text{Étendue A} = \text{Température maximale} – \text{Température minimale} = 31 – (-6) = 37^\circ C
\]
Pour la ville Gamma (G) :
\[
\text{Étendue G} = \text{Température maximale} – \text{Température minimale} = 23 – 4 = 19^\circ C
\]
d. Décrire le climat.
Pour la ville Alpha (A), le climat montre des variations de température importantes avec une température moyenne annuelle de \(15,5^\circ C\) et une étendue de \(37^\circ C\), suggérant un climat avec des étés chauds et des hivers froids.
Pour la ville Gamma (G), le climat semble plus modéré avec une température moyenne annuelle de \(12,75^\circ C\) et une étendue de \(19^\circ C\), suggérant un climat avec des variations de température moins extrêmes tout au long de l’année.
Exercice 14 : etendue, médiane et moyenne
{Série 1 :}
Données : \(32, 38, 21, 49, 60, 84, 24\)
Écart-type : \( \sigma = \max(données) – \min(données) \)
\[
\sigma = 84 – 21 = 63
\]
Médiane : les données classées par ordre croissant sont : \(21, 24, 32, 38, 49, 60, 84\)
La médiane est donc la valeur centrale :
\[
\text{Médiane} = 38
\]
Moyenne :
\[
\text{Moyenne} = \frac{32 + 38 + 21 + 49 + 60 + 84 + 24}{7} = \frac{308}{7} \approx 44
\]
{Série 2 :}
Données : \(37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45\) avec effectifs respectifs \(1, 1, 4, 3, 2, 3, 1, 3, 1\)
Écart-type : \( \sigma = \max(données) – \min(données) \)
\[
\sigma = 45 – 37 = 8
\]
Médiane : pour trouver la médiane, on utilise la formule du rang médian :
\[
\text{Rang médian} = \frac{20 + 1}{2} = 10.5
\]
La médiane se trouve donc entre la 10ème et la 11ème valeur. Cette valeur correspond à la pointure \(40\) et \(41\).
\[
\text{Médiane} = \frac{40 + 41}{2} = 40.5
\]
Moyenne :
\[
\text{Moyenne} = \frac{\sum (\text{pointure} \times \text{effectif})}{\sum \text{effectif}} = \frac{37 \times 1 + 38 \times 1 + 39 \times 4 + 40 \times 3 + 41 \times 2 + 42 \times 3 + 43 \times 1 + 44 \times 3 + 45 \times 1}{20}
\]
\[
= \frac{37 + 38 + 156 + 120 + 82 + 126 + 43 + 132 + 45}{20} = \frac{779}{20} = 38.95
\]
{Série 3 :}
Données : \(4, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 15, 17, 18\) avec effectifs respectifs \(1, 1, 2, 2, 2, 4, 3, 1, 3, 2\)
Écart-type : \( \sigma = \max(données) – \min(données) \)
\[
\sigma = 18 – 4 = 14
\]
Médiane : pour trouver la médiane, on utilise la formule du rang médian :
\[
\text{Rang médian} = \frac{20 + 1}{2} = 10.5
\]
La médiane se trouve donc entre la 10ème et la 11ème valeur. Cette valeur correspond à la note \(9\) et \(12\).
\[
\text{Médiane} = \frac{9 + 12}{2} = 10.5
\]
Moyenne :
\[
\text{Moyenne} = \frac{\sum (\text{notes} \times \text{effectif})}{\sum \text{effectif}} = \frac{4 \times 1 + 5 \times 1 + 7 \times 2 + 8 \times 2 + 9 \times 2 + 12 \times 4 + 13 \times 3 + 15 \times 1 + 17 \times 3 + 18 \times 2}{20}
\]
\[
= \frac{4 + 5 + 14 + 16 + 18 + 48 + 39 + 15 + 51 + 36}{20} = \frac{246}{20} = 12.3
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Etendue} \text{Médiane} \text{Moyenne} \\
\hline
\text{Série 1} 63 38 44 \\
\hline
\text{Série 2} 8 40.5 38.95 \\
\hline
\text{Série 3} 14 10.5 12.3 \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 15 : graphique et statistiques
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Étendue} \text{Médiane} \text{Moyenne} \\
\hline
\text{Série 1} \\
\hline
\text{Série 2} \\
\hline
\text{Série 3} \\
\hline
\end{array}
\]
Pour la Série 1 (poids des pommes) :
Les valeurs sont : \(70, 78, 82, 86, 94, 98, 102, 106, 110\).
– \text{Étendue} : \( 110 – 70 = 40 \)
– \text{Médiane} : La valeur médiane est la cinquième valeur (90).
– \text{Moyenne} : \( \frac{70 + 78 + 82 + 86 + 94 + 98 + 102 + 106 + 110}{9} = \frac{826}{9} \approx 91.78 \)
Pour la Série 2 (nombre d’heures de sport) :
Les valeurs données par le graphique circulaire sont : \( 2h: 9, 3h: 5, 4h: 4, 5h: 8, 7h: 10 \).
– \text{Étendue} : \( 7h – 2h = 5h \)
– \text{Médiane} : La distribution cumulée est \( 2h (9), 3h (14), 4h (18), 5h (26), 7h (36) \). La médiane est entre 4h et 5h.
– \text{Moyenne} : \( \frac{2 \times 9 + 3 \times 5 + 4 \times 4 + 5 \times 8 + 7 \times 10}{36} = \frac{2 \times 9 + 3 \times 5 + 4 \times 4 + 5 \times 8 + 7 \times 10}{36} = \frac{155}{36} \approx 4.31 \)
Pour la Série 3 (températures) :
Les valeurs sont : \(-20, -15, -5, 8, 15, 20, 25, 18, 10, -5, -10, -15\).
– \text{Étendue} : \( 25 – (-20) = 45 \)
– \text{Médiane} : Les valeurs triées : \(-20, -15, -15, -10, -5, -5, 8, 10, 15, 18, 20, 25\). La médiane est entre -5 et 8, soit \( \frac{-5 + 8}{2} = 1.5 \)
– \text{Moyenne} : \( \frac{-20 + (-15) + (-5) + 8 + 15 + 20 + 25 + 18 + 10 + (-5) + (-10) + (-15)}{12} = \frac{26}{12} \approx 2.17 \)
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Étendue} \text{Médiane} \text{Moyenne} \\
\hline
\text{Série 1} 40 94 91.78 \\
\hline
\text{Série 2} 5 4 < x < 5 4.31 \\
\hline
\text{Série 3} 45 1.5 2.17 \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 16 : moyenne, médiane et statistiques
a. Déterminer pour chaque élève :
– sa moyenne arrondie au dixième :
Pour Luc :
\[ \text{Moyenne de Luc} = \frac{18 + 2 + 4 + 3 + 1 + 19 + 20}{7} = \frac{67}{7} \approx 9.6 \]
Pour Samia :
\[ \text{Moyenne de Samia} = \frac{13 + 9 + 19 + 12 + 1 + 20 + 7}{7} = \frac{81}{7} \approx 11.6 \]
Pour Rudy :
\[ \text{Moyenne de Rudy} = \frac{9 + 11 + 10 + 12 + 13 + 12 + 12}{7} = \frac{79}{7} \approx 11.3 \]
– une note médiane, ainsi que les valeurs des premier et troisième quartiles :
Pour Luc :
Les notes ordonnées : \(1, 2, 3, 4, 18, 19, 20\)
\[ \text{médiane} = 4, \]
\[ Q1 = 2, \]
\[ Q3 = 19 \]
Pour Samia :
Les notes ordonnées : \(1, 7, 9, 12, 13, 19, 20\)
\[ \text{médiane} = 12, \]
\[ Q1 = 7, \]
\[ Q3 = 19 \]
Pour Rudy :
Les notes ordonnées : \(9, 10, 11, 12, 12, 12, 13\)
\[ \text{médiane} = 12, \]
\[ Q1 = 10, \]
\[ Q3 = 12 \]
– l’étendue des notes :
Pour Luc :
\[ \text{étendue} = 20 – 1 = 19 \]
Pour Samia :
\[ \text{étendue} = 20 – 1 = 19 \]
Pour Rudy :
\[ \text{étendue} = 13 – 9 = 4 \]
b. Comment expliquer la grande différence entre la note moyenne et la note médiane de Luc ?
La grande différence entre la note moyenne (9.6) et la note médiane (4) de Luc est due à la présence de valeurs très élevées (18, 19, 20) qui augmentent la moyenne de manière significative, alors que la médiane est moins influencée par ces valeurs extrêmes.
c. Samia et Rudy ont des caractéristiques en commun.
Samia et Rudy ont tous deux une médiane de 12, bien que leurs moyennes diffèrent légèrement. Cependant, l’étendue de leurs notes est très différente (19 pour Samia et 4 pour Rudy).
Pensez-vous que ces élèves auront la même appréciation sur leurs bulletins ? Justifier.
Il est probable que l’appréciation prendra en compte la régularité des résultats ainsi que la moyenne. Rudy pourrait avoir une appréciation plus favorable due à sa constance (faible étendue des notes) tandis que des variations importantes dans les résultats de Samia et surtout de Luc pourraient mener à des appréciations mentionnant un besoin de régularité.
Exercice 17 : salaire des femmes et hommes dans une entreprise
#### Correction de l’exercice de mathématiques en utilisant LaTeX
*Notations : Les salaires sont en euros*
Salaires des femmes : \(1090, 1044, 3470, 1224, 1250, 1438, 1072\)
Salaires des hommes : \(1405, 1070, 1948, 1525, 1090, 1002, 1525, 1968, 1224, 2096, 1703, 1126\)
\[\]a. Calculer l’étendue de chacune des séries. Comment pouvez-vous interpréter ces résultats ?\[\]
L’étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
Pour les femmes :
\[
\text{Étendue}_{femmes} = 3470 – 1044 = 2426
\]
Pour les hommes :
\[
\text{Étendue}_{hommes} = 2096 – 1002 = 1094
\]
\[\]Interprétation :\[\] L’étendue des salaires des femmes (2426) est beaucoup plus grande que celle des hommes (1094), ce qui montre une plus grande dispersion des salaires chez les femmes.
\[\]b. Calculer le salaire moyen pour chaque sexe (arrondi à l’euro si nécessaire). Comment pouvez-vous interpréter ces résultats ?\[\]
Pour les femmes :
\[
\text{Moyenne}_{femmes} = \frac{1090 + 1044 + 3470 + 1224 + 1250 + 1438 + 1072}{7} \approx 1513
\]
Pour les hommes :
\[
\text{Moyenne}_{hommes} = \frac{1405 + 1070 + 1948 + 1525 + 1090 + 1002 + 1525 + 1968 + 1224 + 2096 + 1703 + 1126}{12} \approx 1469
\]
\[\]Interprétation :\[\] Les salaires moyens des hommes (1469) et des femmes (1513) sont très proches, indiquant une moyenne similaire malgré une dispersion plus grande chez les femmes.
\[\]c. Déterminer la médiane des salaires pour chaque série. Comment pouvez-vous interpréter ces résultats ?\[\]
Pour les femmes :
– Liste triée : 1044, 1072, 1090, 1224, 1250, 1438, 3470
– Médiane (valeur centrale) : 1224
Pour les hommes :
– Liste triée : 1002, 1070, 1090, 1126, 1224, 1405, 1525, 1525, 1703, 1948, 1968, 2096
– Médiane (moyenne des deux valeurs centrales) : \(\frac{1405 + 1525}{2} = 1465\)
\[\]Interprétation :\[\] La médiane des salaires des femmes (1224) est inférieure à celle des hommes (1465), ce qui indique qu’il y a plus de salaires bas chez les femmes par rapport aux hommes.
\[\]d. Calculer l’étendue et la moyenne, puis déterminer une médiane de la série composée des salaires de tous les employés.\[\]
Les salaires combinés :
\(1002, 1044, 1070, 1072, 1090, 1090, 1126, 1224, 1224, 1250, 1405, 1438, 1525, 1525, 1703, 1948, 1968, 2096, 3470\)
Étendue :
\[
\text{Étendue}_{tous} = 3470 – 1002 = 2468
\]
Moyenne :
\[
\text{Moyenne}_{tous} = \frac{1090+1044+3470+1224+1250+1438+1072+1405+1070+1948+1525+1090+1002+1525+1968+1224+2096+1703+1126}{19} \approx 1444
\]
Médiane :
– Nombre impair d’observations, la médiane est la valeur centrale
– Médiane : 1250
\[\]e. Reprendre les questions précédentes en ne tenant plus compte du salaire le plus élevé de chaque sexe.\[\]
Nouveaux salaires pour les femmes : \(1090, 1044, 1224, 1250, 1438, 1072\)
Nouveaux salaires pour les hommes : \(1405, 1070, 1948, 1525, 1090, 1002, 1525, 1968, 1224, 1703, 1126\)
1. \[\]Étendue :\[\]
Pour les femmes (\(max : 1438, min : 1044\))
\[
\text{Étendue}_{femmes, sans max} = 1438 – 1044 = 394
\]
Pour les hommes (\(max : 1968, min : 1002\))
\[
\text{Étendue}_{hommes, sans max} = 1968 – 1002 = 966
\]
2. \[\]Moyenne :\[\]
Pour les femmes :
\[
\text{Moyenne}_{femmes, sans max} = \frac{1090 + 1044 + 1224 + 1250 + 1438 + 1072}{6} \approx 1186
\]
Pour les hommes :
\[
\text{Moyenne}_{hommes, sans max} = \frac{1405 + 1070 + 1948 + 1525 + 1090 + 1002 + 1525 + 1224 + 1703 + 1126}{11} \approx 1373
\]
3. \[\]Médiane :\[\]
Pour les femmes :
– Liste triée : 1044, 1072, 1090, 1224, 1250, 1438
– Médiane : \(\frac{1090 + 1224}{2} = 1157\)
Pour les hommes :
– Liste triée : 1002, 1070, 1090, 1126, 1224, 1405, 1525, 1525, 1703, 1948
– Médiane : 1405
\[\]Comparaison des résultats :\[\]
Les salaires des femmes, lorsqu’on exclut le plus grand, montrent une dispersion beaucoup plus petite et une baisse de la moyenne, alors que pour les hommes, la dispersion et la moyenne restent relativement proches des valeurs initiales. Cela indique que dans le groupe des femmes, le salaire le plus élevé influence fortement les résultats globaux.
Exercice 18 : tirage du loto
\[\]Correction de l’exercice de mathématiques :\[\]
a. Calcul du gain moyen d’un gagnant le 26 décembre :
\[
\text{Gain moyen} = \frac{1 \times 757\,030 + 6 \times 13\,188{,}10 + 319 \times 859{,}90 + 686 \times 47 + 13\,843 \times 23{,}90 + 16\,894 \times 5{,}40 + 235\,301 \times 2{,}70}{1 + 6 + 319 + 686 + 13\,843 + 16\,894 + 235\,301}
\]
\[
= \frac{757\,030 + 79\,128{,}60 + 274\,368{,}10 + 32\,242 + 330\,377{,}70 + 91\,227{,}60 + 635\,312{,}70}{266\,050}
\]
\[
= \frac{2\,199\,686{,}70}{266\,050} \approx 8{,}27\, \text{(euros)}
\]
b. Déterminer la médiane et les premier et troisième quartiles de la série des gains :
Les gains triés par ordre croissant sont (chaque gain est répété selon le nombre de gagnants) :
\[
2{,}70,\ 5{,}40,\ 23{,}90,\ 47,\ 859{,}90,\ 13\,188{,}10,\ 757\,030
\]
Pour la médiane (G), le nombre total de gagnants (N) est \(266\,050\).
\[
\text{Médiane} = G_{(\frac{N + 1}{2})} = G_{(\frac{266\,050 + 1}{2})} = G_{133\,025{,}5}
\]
Ce qui correspond à \(2{,}70\, \text{(euros)}\) car c’est la valeur au centre.
Pour les quartiles :
\[
\text{Premier quartile} (Q1) = G_{(\frac{N + 1}{4})} = G_{(\frac{266{,}050 + 1}{4})} = G_{66\,512{,}75}
\]
Ce qui correspond à la \(0{,}25\)-ème partie, et il sera \(2{,}70\, \text{également car c’est dans les premiers éléments.}
\[
\text{Troisième quartile} (Q3) = 3 \times G_{(\frac{N + 1}{4})} =3 \times G_{(\frac{266\,050 + 1}{4})} = G_{199\,988{,}25}
\]
Ce qui correspond à la \(0{,}75\)-ème calcul (47\,euros).
c. Calcul de l’étendue des gains :
\[
\text{Etendue} = \text{gain maximum} – \text{gain minimum}
\]
\[
= 757\,030 – 2{,}70 = 757\,027{,}30 \text{ euros}
\]
Éliminons 1 % des plus gros et des plus petits gagnants. 1 % de 266\,050 = 2\,660,5 soit environ 2660 valeurs d’extrêmes
En excluant 1% des valeurs extrêmes (les plus petits et les plus grands):
\[
\text{Nouvelle étendue} = 13\,188{,}10 – 2{,}70 = 12{,}185{,}40 \text{euros}
\]
d. Combien y-a-t-il de grilles possibles au loto ?
Le loto consiste à tirer 6 numéros distincts parmi 49 :
\[
C_{49}^{6} = \binom\,{49}{6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6! \times 43!}
\]
On calcule ceci :
\[
C_{49}^{6} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{10\,068\,347\,520}{720} = 13\,983\,816
\]
Ainsi, il y a \(13\,983\,816\) grilles possibles au loto.
Exercice 19 : histogramme, âge moyen et entreprise
1) Complétons le tableau:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Ages} 20 \leq\, \text{âge} < 24 24 \leq\, \text{âge} < 28 28 \leq\, \text{âge} < 32 32 \leq\, \text{âge} < 36 36 \leq\, \text{âge} < 40 40 \leq\, \text{âge} < 44 \text{Total} \\
\hline
\text{Centre de classe} 22 26 30 34 38 42 \\
\hline
\text{Effectifs} 6 30 48 36 24 6 150 \\
\hline
\text{Fréquences en \%} 4 \frac{30}{150}\times 100 = 20 \frac{48}{150}\times 100 = 32 \frac{36}{150}\times 100 = 24 \frac{24}{150}\times 100 = 16 \frac{6}{150}\times 100 = 4 100 \\
\hline
\end{array}
\]
2) Pourcentage des employés ayant strictement moins de 36 ans:
\[
\text{Effectifs} = 6 + 30 + 48 + 36 = 120
\]
\[
\text{Pourcentage} = \frac{120}{150} \times 100 = 80\%
\]
3) Calcul de l’âge moyen:
L’âge moyen \( \overline{x} \) se calcule par la formule suivante:
\[
\overline{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{N}
\]
où \( x_i \) est le centre de classe, \( f_i \) est la fréquence absolue (effectif), et \( N \) est l’effectif total (150).
\[
\overline{x} = \frac{(22 \times 6) + (26 \times 30) + (30 \times 48) + (34 \times 36) + (38 \times 24) + (42 \times 6)}{150}
\]
\[
= \frac{132 + 780 + 1440 + 1224 + 912 + 252}{150}
\]
\[
= \frac{4740}{150}
\]
\[
= 31.6
\]
L’âge moyen d’un employé de cette entreprise est donc de 31,6 ans.
Exercice 20 : moyenne et médiane d’une note de classe
1) Compléter le tableau suivant en rangeant les notes par ordre croissant :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} 2 4 5 6 7 8 9 10 12 13 15 15 16 18 \\
\hline
\text{Effectif} 1 1 3 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 \\
\hline
\end{array}
\]
2) Quel est l’effectif total de ce groupe ?
\[
1 + 1 + 3 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 21
\]
L’effectif total de ce groupe est donc \( 21 \).
3) Quelle est la moyenne de cette classe ? Arrondir à 0,1 près.
\[
\text{Moyenne} = \frac{(2 \times 1) + (4 \times 1) + (5 \times 3) + (6 \times 1) + (7 \times 2) + (8 \times 2) + (9 \times 1) + (10 \times 1) + (12 \times 2) + (13 \times 2) + (15 \times 2) + (15 \times 1) + (16 \times 1) + (18 \times 1)}{21}
\]
\[
= \frac{(2) + (4) + (15) + (6) + (14) + (16) + (9) + (10) + (24) + (26) + (30) + (15) + (16) + (18)}{21}
\]
\[
= \frac{205}{21} \approx 9,8
\]
La moyenne de cette classe, arrondie à 0,1 près, est \( 9,8 \).
4) Donner la médiane de ces notes.
Pour trouver la médiane, rangeons les notes par ordre croissant et trouvons la note centrale. Avec un effectif de 21 (impair), la médiane est la \( \frac{21 + 1}{2}e = 11e \) valeur.
\[
\text{Notes classées} : 2, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 12, 13, 13, 15, 15, 16, 18
\]
La 11ème valeur est \( 9 \).
La médiane de ces notes est donc \( 9 \).
Exercice 21 : fréquence, étendue et médiane d’un contrôle
1) Compléter le tableau suivant :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{NOTE} 0 1 2 3 4 5 \\
\hline
\text{EFFECTIF} 1 2 2 1 5 9 \\
\hline
\text{ECC} 1 3 5 6 11 20 \\
\hline
\end{array}
\]
2) L’étendue de la série est :
\[
\text{étendue} = \text{note maximale} – \text{note minimale} = 5 – 0 = 5
\]
3) La signification du nombre situé dans la case grise (ECC pour la note 3) est :
C’est l’effectif cumulé croissant (ECC), ce qui signifie qu’il y a 6 élèves qui ont eu une note inférieure ou égale à 3.
4) La fréquence (en pourcentage) correspondant à la note 2 est :
\[
\text{effectif de la note 2} = 2
\]
\[
\text{effectif total} = 1 + 2 + 2 + 1 + 5 + 9 = 20
\]
\[
\text{fréquence} = ( \frac{2}{20} ) \times 100\% = 10\%
\]
La fréquence signifie que 10 % des élèves ont obtenu la note 2.
5) La médiane de cette série de notes est :
– Tout d’abord, les notes effectives dans l’ordre croissant sont :
\[
\{0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5\}
\]
– Le total des observations est 20. Donc, la médiane se situe entre la 10ème et la 11ème valeur. Dans notre série :
\[
\text{10ème valeur} = 4, \quad \text{11ème valeur} = 4
\]
Donc, la médiane est :
\[
\text{médiane} = 4
\]
La médiane signifie que 50 % des élèves ont eu une note inférieure ou égale à 4, et 50 % des élèves ont eu une note supérieure ou égale à 4.
Exercice 22 : salaires d’une entreprise, médiane et moyenne
1) Histogramme des effectifs :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Classes} \text{Effectifs} \\
\hline
[1000 ; 1200[ 12 \\
\hline
[1200 ; 1400[ 20 \\
\hline
[1400 ; 1600[ 40 \\
\hline
[1600 ; 1800[ 18 \\
\hline
[1800 ; 2000[ 6 \\
\hline
[2000 ; 2200[ 4 \\
\hline
\end{array}
\]
Pour tracer l’histogramme, on place les classes sur l’axe horizontal et les effectifs sur l’axe vertical.
2) Effectifs cumulés croissants et décroissants :
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Classes} \text{Effectifs} \text{Effectifs cumulés croissants} \\
\hline
[1000 ; 1200[ 12 12 \\
\hline
[1200 ; 1400[ 20 12 + 20 = 32 \\
\hline
[1400 ; 1600[ 40 32 + 40 = 72 \\
\hline
[1600 ; 1800[ 18 72 + 18 = 90 \\
\hline
[1800 ; 2000[ 6 90 + 6 = 96 \\
\hline
[2000 ; 2200[ 4 96 + 4 = 100 \\
\hline
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Classes} \text{Effectifs} \text{Effectifs cumulés décroissants} \\
\hline
[2000 ; 2200[ 4 100 \\
\hline
[1800 ; 2000[ 6 100 – 4 = 96 \\
\hline
[1600 ; 1800[ 18 96 – 6 = 90 \\
\hline
[1400 ; 1600[ 40 90 – 18 = 72 \\
\hline
[1200 ; 1400[ 20 72 – 40 = 32 \\
\hline
[1000 ; 1200[ 12 32 – 20 = 12 \\
\hline
\end{array}
\]
3) Salaire médian :
Le salaire médian correspond à la valeur qui partage la population en deux parts égales. Avec un total de 100 employés, la valeur médiane se situe entre le 50ème et le 51ème individu.
En observant les effectifs cumulés croissants :
– Le 50ème et le 51ème individu se trouvent dans la classe [1400 ; 1600[, qui commence à partir de l’effectif cumulé 32 et atteint 72.
Donc, le salaire médian est compris dans la classe [1400 ; 1600[.
4) Salaire moyen :
\[
\,\overline{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^k f_i \cdot x_i
\]
où \( f_i \) représente les effectifs et \( x_i \) les centres des classes.
\[
x_i \text{ (le centre des classes) } = \begin{cases}
\frac{1000 + 1200}{2} = 1100 \\
\frac{1200 + 1400}{2} = 1300 \\
\frac{1400 + 1600}{2} = 1500 \\
\frac{1600 + 1800}{2} = 1700 \\
\frac{1800 + 2000}{2} = 1900 \\
\frac{2000 + 2200}{2} = 2100 \\
\end{cases}
\]
Calculons :
\[
\,\overline{x} = \frac{1}{100} (12 \cdot 1100 + 20 \cdot 1300 + 40 \cdot 1500 + 18 \cdot 1700 + 6 \cdot 1900 + 4 \cdot 2100)
\]
\[
= \frac{1}{100} (13200 + 26000 + 60000 + 30600 + 11400 + 8400)
\]
\[
= \frac{1}{100} \times 149600
\]
\[
= 1496
\]
Le salaire moyen dans cette entreprise est de 1496 euros.
Exercice 23 : salaire des femmes et des hommes en statistiques
1) Comparer le salaire moyen des hommes et celui des femmes.
Pour déterminer le salaire moyen des femmes, nous devons additionner tous les salaires des femmes et diviser par le nombre de salaires.
\[ \text{Salaire moyen des femmes} = \frac{1200 + 1230 + 1250 + 1310 + 1370 + 1400 + 1440 + 1500 + 1700 + 2100}{10} \]
\[ \text{Salaire moyen des femmes} = \frac{14500}{10} = 1450 \, \text{€} \]
Salaire moyen des hommes : \(1769 \, \text{€}\)
Donc, le salaire moyen des hommes est de \(1769 \, \text{€}\) et celui des femmes est de \(1450 \, \text{€}\).
2) On tire au sort une personne dans l’entreprise. Quelle est la probabilité que ce soit une femme?
Nombre total de personnes dans l’entreprise:
\[ \text{Nombre total} = 10 \, (\text{femmes}) + 20 \, (\text{hommes}) = 30 \]
La probabilité que ce soit une femme :
\[ \text{P(femme)} = \frac{\text{nombre de femmes}}{\text{nombre total de personnes}} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \]
3) Le plus bas salaire de l’entreprise est de 1 000 €. Quel salaire est le plus élevé ?
Le plus bas salaire des femmes est de \(1200 \, \text{€}\).
L’étendue des salaires des hommes est de \(2400 \, \text{€}\), donc :
\[ \text{Plus bas salaire des hommes} = 1000 \, \text{€} \]
\[ \text{Salaire le plus élevé des hommes} = \text{Salaire minimum} + \text{étendue} = 1000 \, \text{€} + 2400 \, \text{€} = 3400 \, \text{€} \]
Donc, le salaire le plus élevé dans l’entreprise est de \(3400 \, \text{€}\), et il appartient à un homme.
4) Dans cette entreprise, combien de personnes gagnent plus de 2000 € ?
Les salaires des femmes supérieurs à \(2000 \, \text{€}\) sont : \(2100 \, \text{€}\) (1 personne).
La médiane des salaires des hommes est de \(2000 \, \text{€}\), et comme il y a 20 salaires différents, cela signifie que 10 salaires sont au-dessus de \(2000 \, \text{€}\).
Donc, le nombre total de personnes gagnant plus de \(2000 \, \text{€}\) est :
\[ 1 (\text{femme}) + 10 (\text{hommes}) = 11 \, \text{personnes} \]
Exercice 24 : diagramme circulaire et fréquence
1. Complétons le tableau avec les fréquences en pourcentage et les angles correspondants.
Pour calculer les fréquences en pourcentage (%), nous devons d’abord trouver le total des effectifs en millions:
\[
\text{Total} = 9{,}86 + 19{,}72 + 26{,}68 + 1{,}74 = 58{,}00 \, \text{millions}
\]
Calculons maintenant le pourcentage pour chaque opérateur:
\[
\text{Fréquence}_{\text{Bouygues Télécom}} = ( \frac{9{,}86}{58{,}00} ) \times 100 \approx 17{,}00\%
\]
\[
\text{Fréquence}_{\text{SFR}} = ( \frac{19{,}72}{58{,}00} ) \times 100 \approx 34{,}00\%
\]
\[
\text{Fréquence}_{\text{Orange}} = ( \frac{26{,}68}{58{,}00} ) \times 100 \approx 46{,}00\%
\]
\[
\text{Fréquence}_{\text{Autres}} = ( \frac{1{,}74}{58{,}00} ) \times 100 \approx 3{,}00\%
\]
Calculons maintenant l’angle correspondant à chaque pourcentage. Sachant que 360° correspond à 100%, on peut utiliser la proportion suivante :
\[
\text{Angle} = ( \frac{\text{Fréquence en \%}}{100} ) \times 360°
\]
\[
\text{Angle}_{\text{Bouygues Télécom}} = ( \frac{17}{100} ) \times 360° = 61{,}20°
\]
\[
\text{Angle}_{\text{SFR}} = ( \frac{34}{100} ) \times 360° = 122{,}40°
\]
\[
\text{Angle}_{\text{Orange}} = ( \frac{46}{100} ) \times 360° = 165{,}60°
\]
\[
\text{Angle}_{\text{Autres}} = ( \frac{3}{100} ) \times 360° = 10{,}80°
\]
On peut maintenant compléter le tableau:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Opérateurs} \text{Bouygues télécom} \text{SFR} \text{Orange} \text{Autres} \text{Total} \\
\hline
\text{Effectifs en millions} 9,86 19,72 26,68 1,74 58,00 \\
\hline
\text{Fréquence en \%} 17,00\% 34,00\% 46,00\% 3,00\% 100\% \\
\hline
\text{Angle correspondant en degrés} 61,20° 122,40° 165,60° 10,80° 360° \\
\hline
\end{array}
\]
2. Construction du diagramme circulaire:
Chaque secteur du cercle représente un opérateur, avec des segments d’angle proportionnels au pourcentage des abonnés de cet opérateur.
\[
\begin{tikzpicture}
\pie[radius=5, text=legend, color={red, orange, blue, green}]
{
17/% Bouygues Télécom,
34/% SFR,
46/% Orange,
3/% Autres
}
\end{tikzpicture}
\]
Cela donne une représentation visuelle claire de la répartition des abonnés au téléphone mobile en France en 2006.
Exercice 25 : diagramme en bâtons et moyenne, médiane
1. Complétons le tableau avec les effectifs et les effectifs cumulés croissants :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Notes} 5 6 8 10 11 13 15 \text{Total} \\
\hline
\text{Effectifs} 20 25 18 16 15 20 8 122 \\
\hline
\text{Effectifs cumulés croissants} 20 45 63 79 94 114 122 – \\
\hline
\end{array}
\]
2. Calcul de la moyenne :
La moyenne \(\overline{x}\) des notes est donnée par :
\[
\overline{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i}
\]
où \(x_i\) est la note et \(f_i\) est l’effectif correspondant.
\[
\overline{x} = \frac{(5 \times 20) + (6 \times 25) + (8 \times 18) + (10 \times 16) + (11 \times 15) + (13 \times 20) + (15 \times 8)}{122}
\]
\[
\overline{x} = \frac{100 + 150 + 144 + 160 + 165 + 260 + 120}{122}
\]
\[
\overline{x} = \frac{1099}{122} \approx 9.01
\]
3. Calcul de l’étendue :
L’étendue est la différence entre la note maximale et la note minimale.
\[
\text{Étendue} = 15 – 5 = 10
\]
4. Calcul de la médiane :
La médiane est la valeur qui partage la distribution en deux parties égales. Pour une série statistique ordonnée, elle se trouve à la position :
\[
\frac{N+1}{2}
\]
où \(N\) est le total des effectifs.
Dans notre cas, \(N = 122\). La position de la médiane est donc :
\[
\frac{122 + 1}{2} = 61.5
\]
Nous devons trouver le premier effectif cumulé qui atteint au moins 61.5 :
– L’effectif cumulé à la note 6 est 45.
– L’effectif cumulé à la note 8 est 63.
La médiane se situe donc dans la classe de la note 8.
\[
\text{Médiane} = 8
\]
Exercice 26 : diagramme en bâtons et médiane
1. Le nombre total d’élèves dans cette classe est la somme des effectifs pour chaque note:
\[
8 = 1, \quad 9 = 6, \quad 10 = 2, \quad 11 = 3, \quad 12 = 2, \quad 13 = 3, \quad 14 = 8, \quad 15 = 2
\]
\[
\text{Nombre total d’élèves} = 1 + 6 + 2 + 3 + 2 + 3 + 8 + 2 = 27
\]
2. La note moyenne se calcule en faisant le produit de chaque note par son effectif, en sommant ces produits et en divisant par le nombre total d’élèves :
\[
Moyenne = \frac{1 \times 8 + 6 \times 9 + 2 \times 10 + 3 \times 11 + 2 \times 12 + 3 \times 13 + 8 \times 14 + 2 \times 15}{27}
\]
\[
= \frac{8 + 54 + 20 + 33 + 24 + 39 + 112 + 30}{27}
\]
\[
= \frac{320}{27} \approx 11.85
\]
Donc, la note moyenne est environ \( 11.85 \).
3. Pour trouver la médiane, nous devons organiser les notes des élèves par ordre croissant et déterminer la valeur médiane. Puisque le nombre total d’élèves est 27 (impair), la médiane est la valeur de la 14ème note.
\[
8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, \mathbf{13}, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15
\]
La 14ème note est 13. Donc, la médiane est \( 13 \).
4. L’étendue de cette série de notes est la différence entre la note la plus élevée et la note la plus basse.
\[
\text{Étendue} = 15 – 8 = 7
\]
Donc, l’étendue des notes est \( 7 \).
Exercice 27 : une course automobile aux 24 h du Mans
1. Compléter le tableau des effectifs et des effectifs cumulés croissants de cette série statistique.
Pour compléter le tableau, nous utilisons les informations fournies dans le diagramme en bâtons :
| Nombre de tours effectuées | 310 | 320 | 330 | 340 | 350 | 360 |
|—————————-|—–|—–|—–|—–|—–|—–|
| Effectifs | 4 | 4 | 7 | 5 | 3 | 2 |
| Effectifs cumulés croissants| 4 | 8 | 15 | 20 | 23 | 25 |
2. Déterminer la médiane et l’étendue de cette série.
– La médiane est la valeur centrale de la série quand elle est ordonnée. Ici, comme il y a 25 valeurs (effectifs cumulés), la médiane est la 13ème valeur (ou élément), que nous retrouvons dans la classe « 330 tours ».
\[
\text{Médiane} = 330
\]
– L’étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série :
\[
\text{Étendue} = 360 – 310 = 50
\]
3. Calculer la moyenne de cette série (on donnera la valeur arrondie à l’unité).
La moyenne \(\,\overline{x}\) est calculée en pondérant chaque valeur par son effectif et en divisant par le total des effectifs :
\[
\,\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}
\]
Avec \(x_i\) les valeurs des tours effectués et \(f_i\) leurs effectifs, nous avons :
\[
\,\overline{x} = \frac{310 \cdot 4 + 320 \cdot 4 + 330 \cdot 7 + 340 \cdot 5 + 350 \cdot 3 + 360 \cdot 2}{4 + 4 + 7 + 5 + 3 + 2}
\]
Calculons chaque terme :
\[
310 \cdot 4 = 1240
\]
\[
320 \cdot 4 = 1280
\]
\[
330 \cdot 7 = 2310
\]
\[
340 \cdot 5 = 1700
\]
\[
350 \cdot 3 = 1050
\]
\[
360 \cdot 2 = 720
\]
La somme des produits est :
\[
1240 + 1280 + 2310 + 1700 + 1050 + 720 = 8300
\]
La somme des effectifs est :
\[
4 + 4 + 7 + 5 + 3 + 2 = 25
\]
Donc, la moyenne est :
\[
\,\overline{x} = \frac{8300}{25} = 332
\]
Arrondi à l’unité, la moyenne de cette série est :
\[
\,\overline{x} \approx 332
\]
Exercice 28 : les employés d’une entreprise et statistiques
1. Pour déterminer l’amplitude des classes, on doit calculer la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure de chaque classe.
\[ \text{Amplitude} = 160 – 150 = 10 \, \text{cm} \]
On constate que l’amplitude des classes est de 10 cm pour chaque intervalle.
2. Le directeur souhaiterait avoir une vision plus fine de la taille des employés. Cela signifie qu’il a besoin de plus de précisions, ce qui implique une réduction de l’amplitude des classes.
Donc, pour avoir une vision plus fine de la taille des employés, l’amplitude des classes doit être plus petite.
Exercice 29 : calculer la moyenne
Pour calculer la moyenne d’une série statistique, il faut effectuer la somme pondérée des valeurs, puis la diviser par la somme des effectifs.
Première série :
1. Calcul de la somme pondérée des valeurs :
\[
S_1 = (-4 \times 2) + (0 \times 8) + (4 \times 4) + (15 \times 6)
\]
\[
S_1 = (-8) + (0) + (16) + (90)
\]
\[
S_1 = 98
\]
2. Calcul de la somme des effectifs :
\[
N_1 = 2 + 8 + 4 + 6
\]
\[
N_1 = 20
\]
3. Calcul de la moyenne :
\[
\,\overline{X}_1 = \frac{S_1}{N_1} = \frac{98}{20} = 4,9
\]
Deuxième série :
1. Calcul de la somme pondérée des valeurs :
\[
S_2 = (-7 \times 8) + (-2 \times 6) + (14 \times 4) + (6 \times 2)
\]
\[
S_2 = (-56) + (-12) + (56) + (12)
\]
\[
S_2 = 0
\]
2. Calcul de la somme des effectifs :
\[
N_2 = 8 + 6 + 4 + 2
\]
\[
N_2 = 20
\]
3. Calcul de la moyenne :
\[
\,\overline{X}_2 = \frac{S_2}{N_2} = \frac{0}{20} = 0
\]
Ainsi, les moyennes des deux séries sont :
– Première série : 4,9
– Deuxième série : 0
Exercice 30 : une épreuve de saut en hauteur
1. Déterminer la hauteur médiane lors de ces qualifications.
Pour trouver la médiane, il faut d’abord organiser les données en ordre croissant avec leur effectif.
\[ 2.11 \, m \ (2 \text{ fois}), \ 2.16 \, m \ (6 \text{ fois}), \ 2.21 \, m \ (10 \text{ fois}), \ 2.25 \, m \ (9 \text{ fois}) \]
On les place ainsi :
\[ 2.11, \ 2.11, \ 2.16, \ 2.16, \ 2.16, \ 2.16, \ 2.16, \ 2.16, \ 2.21, \ 2.21, \ 2.21, \ 2.21, \ 2.21, \ 2.21, \ 2.21, \ 2.21, \ 2.21, \ 2.21, \ 2.25, \ 2.25, \ 2.25, \ 2.25, \ 2.25, \ 2.25, \ 2.25, \ 2.25, \ 2.25 \]
Il y a un total de 27 participants (sommes des effectifs : \(2 + 6 + 10 + 9 = 27\)).
Pour trouver la médiane, nous cherchons le \((n+1)/2\)-ième terme, où \(n\) est le nombre total de participants.
\[
\frac{27+1}{2} = 14
\]
Le 14ème terme correspond à une hauteur de \(2.21 \, m\). Donc, la médiane est :
\[
\boxed{2.21 \text{ m}}
\]
2. Interpréter le résultat.
La médiane de \(2.21 \, m\) signifie que la moitié des participants ont une performance (en termes de hauteur de saut) inférieure ou égale à \(2.21 \, m\), tandis que l’autre moitié a une performance supérieure ou égale à \(2.21 \, m\). Cela nous donne une idée de la performance centrale des athlètes dans cette compétition de saut en hauteur.
Exercice 31 : masse des ordures ménagères
1) Calculer la masse moyenne par mois.
Soit \( m_i \) la masse des ordures ménagères au mois \( i \).
Les masses sont : \( 40, 25, 20, 15, 24, 30, 32, 28, 36, 24, 35, 51 \) kg.
La masse moyenne \( \overline{m} \) est donnée par la formule :
\[ \overline{m} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n m_i \]
où \( n \) est le nombre de mois (\( n = 12 \)).
\[ \overline{m} = \frac{1}{12} (40 + 25 + 20 + 15 + 24 + 30 + 32 + 28 + 36 + 24 + 35 + 51) \]
\[ \overline{m} = \frac{1}{12} (360) \]
\[ \overline{m} = \frac{360}{12} \]
\[ \overline{m} = 30 \, \text{kg} \]
2) Déterminer la masse médiane.
Pour trouver la médiane, il faut d’abord ordonner les valeurs :
\[ 15, 20, 24, 24, 25, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 51 \]
Puisqu’il y a un nombre pair de mois (12 mois), la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
Les deux valeurs centrales sont les 6ème et 7ème valeurs :
\[ 28 \, \text{kg} \, \text{et} \, 30 \, \text{kg} \]
La médiane \( m_{\text{médiane}} \) est donc :
\[ m_{\text{médiane}} = \frac{28 + 30}{2} \]
\[ m_{\text{médiane}} = \frac{58}{2} \]
\[ m_{\text{médiane}} = 29 \, \text{kg} \]
Exercice 32 : le Ph de l’eau et statistiques
1) a) La population étudiée est l’eau, et le caractère étudié est le pH de l’eau.
b) Le nombre de valeurs distinctes est de 8 : 6.69, 6.89, 6.94, 7.01, 7.02, 7.05, 7.08, 7.22.
c) Le nombre de données est de 12 : 6.69, 6.69, 7.05, 6.89, 6.94, 7.2, 7.19, 7.08, 7.22, 6.99, 6.99, 7.01, 7.02.
d) L’effectif total est de 13.
2) Plusieurs raisons peuvent expliquer les différences de mesures obtenues par les élèves :
– La précision de l’appareil de mesure (ph-mètre) peut varier.
– Les conditions expérimentales peuvent être différentes (température, contamination, etc.).
– Des erreurs de manipulation ou de lecture peuvent survenir.
– Le ph-mètre peut nécessiter un étalonnage.
3) La valeur mesurée par Ludivine et Margaux est de 6.99 avec une précision de ±0.01.
Donc, l’encadrement au centième du pH mesuré est :
\[
6.99 – 0.01 = 6.98
\]
\[
6.99 + 0.01 = 7.00
\]
Ainsi, l’encadrement au centième du pH de l’eau mesuré par Ludivine et Margaux est \( [6.98 ; 7.00] \).
Exercice 33 : un magasin d’informatique et des clés USB
1) Calcul de la moyenne:
La moyenne \(\overline{x}\) est donnée par la formule suivante :
\[
\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}
\]
où \(x_i\) représente les valeurs de la capacité et \(f_i\) les effectifs associés.
En substituant les valeurs:
\[
\overline{x} = \frac{1 \cdot 25 + 2 \cdot 50 + 4 \cdot 60 + 8 \cdot 15}{25 + 50 + 60 + 15}
\]
\[
\overline{x} = \frac{25 + 100 + 240 + 120}{150} = \frac{485}{150} \approx 3.2 \text{ (arrondi au dixième) }
\]
2) Détermination de la médiane :
Pour trouver la médiane, nous ordonnons les capacités par ordre croissant et trouvons la valeur médiane dans l’effectif cumulé.
\[
\text{Total des effectifs} = 150
\]
La moitié est \(\frac{150}{2} = 75\).
En parcourant les effectifs cumulés :
– de \(0 \text{ à } 25\) pour \(1 \text{ Go}\)
– de \(26 \text{ à } 75\) pour \(2 \text{ Go}\)
Ainsi, la médiane se situe dans la classe \(2 \text{ Go}\).
3) a) Compléter le tableau :
Calcul des angles (en degrés) de chaque portion du diagramme circulaire, où l’angle est proportionnel à l’effectif.
\[
\text{Angle pour } 1 \text{ Go} = \frac{25}{150} \times 360° = 60°
\]
\[
\text{Angle pour } 2 \text{ Go} = \frac{50}{150} \times 360° = 120°
\]
\[
\text{Angle pour } 4 \text{ Go} = \frac{60}{150} \times 360° = 144°
\]
\[
\text{Angle pour } 8 \text{ Go} = \frac{15}{150} \times 360° = 36°
\]
Tableau complété :
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Capacité (en Go)} \text{Effectif} \text{Angle (en °)} \\
\hline
1 25 60 \\
\hline
2 50 120 \\
\hline
4 60 144 \\
\hline
8 15 36 \\
\hline
\text{Total} 150 360 \\
\hline
\end{array}
\]
3) b) Construction du diagramme circulaire :
(On ne peut pas dessiner directement dans du texte LaTeX ici, mais le diagramme doit être composé de secteurs avec des angles de 60°, 120°, 144°, et 36°, correspondant respectivement aux capacités de 1 Go, 2 Go, 4 Go, et 8 Go. Corel Draw, GeoGebra, ou même des programmes comme Excel peuvent vous aider à tracer ce diagramme.)
4) Interprétation :
– La capacité de 2 Go est la plus populaire, représentant le plus grand effectif (50).
– La capacité médiane est également de 2 Go, ce qui reflète la tendance centrale des ventes.
– La capacité de 4 Go est la seconde plus populaire avec un effectif de 60.
– Les capacités de 1 Go et 8 Go sont les moins vendues avec respectivement 25 et 15 unités.
– En général, les clients préfèrent les tailles intermédiaires (2 Go et 4 Go) plutôt que les extrêmes (1 Go et 8 Go).
Cela pourrait indiquer une préférence marquée pour des clés de stockage ni trop petites ni trop grandes mais suffisamment grandes pour un besoin moyen de stockage à un coût raisonnable.
Exercice 34 : répartition de notes en mathématiques
1) La note moyenne de la classe se calcule en utilisant la formule suivante :
\[ \,\overline{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N} \]
où \( x_i \) représentent les notes, \( n_i \) les effectifs correspondants, et \( N \) le nombre total d’élèves.
Calculons la somme des produits des notes par les effectifs :
\[
\begin{align*}
S = 6 \cdot 3 + 8 \cdot 5 + 10 \cdot 6 + 13 \cdot 7 + 14 \cdot 5 + 17 \cdot 1 \\
= 18 + 40 + 60 + 91 + 70 + 17 \\
= 296
\end{align*}
\]
Le nombre total d’élèves \( N \) est :
\[
N = 3 + 5 + 6 + 7 + 5 + 1 = 27
\]
La note moyenne est donc :
\[
\,\overline{x} = \frac{296}{27} \approx 10.96 \approx 11 \ \text{(arrondi à l’unité)}
\]
2) Pour calculer le pourcentage d’élèves ayant eu une note supérieure ou égale à 10, nous devons d’abord déterminer l’effectif total de ces élèves.
\[
E_{\geq\, 10} = 6 (pour\ 10) + 7 (pour\ 13) + 5 (pour\ 14) + 1 (pour\ 17) = 19
\]
Le pourcentage d’élèves ayant une note supérieure ou égale à 10 est :
\[
P = \frac{E_{\geq\, 10}}{N} \times 100 = \frac{19}{27} \times 100 \approx 70.4\% \ \text{(arrondi au dixième)}
\]
3) La médiane de cette série correspond à la valeur centrale lorsque les données sont ordonnées. Étant donné que \( N = 27 \), la médiane sera la 14ème valeur dans l’ordre croissant.
Les notes ordonnées et leurs effectifs cumulatifs sont les suivants :
– 6 : 3
– 8 : 3 + 5 = 8
– 10 : 8 + 6 = 14
– 13 : 14 + 7 = 21
– 14 : 21 + 5 = 26
– 17 : 26 + 1 = 27
La 14ème valeur se situe au début de l’intervalle correspondant à la note 10.
Ainsi, la médiane est :
\[
M = 10
\]
Exercice 35 : faire germer des graines de blé
1) Le nombre de plantules ayant une taille qui mesure au plus 12 cm est :
\[\]1 (0 \, cm) + 2 (8 \, cm) + 2 (12 \, cm) = 5.\[\]
Il y a donc 5 plantules ayant une taille de 12 cm ou moins.
2) L’étendue de cette série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série :
\[\]22 \, cm – 0 \, cm = 22 \, cm.\[\]
3) Calcul de la moyenne de cette série :
\[\]
\text{Moyenne} = \frac{\sum (\text{taille} \times \text{effectif})}{\sum \text{effectif}}
\[\]
\[\]
= \frac{0 \times 1 + 8 \times 2 + 12 \times 2 + 14 \times 5 + 16 \times 3 + 17 \times 6 + 18 \times 3 + 19 \times 4 + 20 \times 2 + 21 \times 4 + 22 \times 2}{1 + 2 + 2 + 5 + 3 + 6 + 3 + 4 + 2 + 4 + 2}
\[\]
\[\]
= \frac{0 + 16 + 24 + 70 + 48 + 102 + 54 + 76 + 40 + 84 + 44}{29}
\[\]
\[\]
= \frac{558}{29}
\[\]
\[\]
\approx 19.2 \, cm.
\[\]
La moyenne arrondie au dixième près est de 19.2 cm.
4) Pour déterminer la médiane, il faut ordonner les tailles des plantules et trouver la valeur centrale.
Les effectifs cumulés:
1, 3, 5, 10, 13, 19, 22, 26, 28, 30 (on dépasse 29 ici).
La taille à la position 15, donc la médiane, est:
\[\] \approx 17 \, cm. \[\]
La médiane est donc de 17 cm.
5) Un élève a bien respecté le protocole si la taille de la plantule à 10 jours est supérieure ou égale à 14 cm. Calculons le pourcentage des élèves ayant une taille \geq\, 14 cm :
\[\]
(\frac{5+3+6+3+4+2+4+2}{29}) \times 100 = (\frac{29}{29}) \times 100 = 100\%.
\[\]
Le pourcentage est donc de 100 %.
6) Étant donné que la médiane est la valeur centrale, ajouter une nouvelle donnée à la série n’affectera pas la médiane si cette nouvelle donnée tombe exactement au centre de l’ordre. L’ajout d’une donnée au centre influencera seulement une médiane paire vers l’extérieur, donc l’affirmation est vraie:
La position de la médiane pour un nombre impair (29 devient 30) reste 17 cm.
La médiane restera donc inchangée.
Exercice 36 : statistiques et utilisation du tableur
1. Le caractère de cette série est le nombre de défauts. Son type est quantitatif discret.
2. Compléter la ligne des fréquences en pourcentage :
\[
\text{Fréquence (en \%)} = ( \frac{\text{Effectifs}}{\text{Effectif total}} ) \times 100
\]
L’effectif total \(N\) est :
\[
N = 59 + 83 + 92 + 81 + 75 + 38 + 6 = 434
\]
Les fréquences sont donc :
\[
a = ( \frac{59}{434} ) \times 100 \approx 13.59\%
\]
\[
b = ( \frac{83}{434} ) \times 100 \approx 19.12\%
\]
\[
c = ( \frac{92}{434} ) \times 100 \approx 21.20\%
\]
\[
d = ( \frac{81}{434} ) \times 100 \approx 18.66\%
\]
\[
e = ( \frac{75}{434} ) \times 100 \approx 17.28\%
\]
\[
f = ( \frac{38}{434} ) \times 100 \approx 8.75\%
\]
\[
g = ( \frac{6}{434} ) \times 100 \approx 1.38\%
\]
3. Compléter la ligne des angles exprimés en degrés :
\[
\text{Angle (en °)} = ( \frac{\text{Effectifs}}{\text{Effectif total}} ) \times 360
\]
Les angles sont donc :
\[
a = ( \frac{59}{434} ) \times 360 \approx 48.89^\circ
\]
\[
b = ( \frac{83}{434} ) \times 360 \approx 68.79^\circ
\]
\[
c = ( \frac{92}{434} ) \times 360 \approx 76.33^\circ
\]
\[
d = ( \frac{81}{434} ) \times 360 \approx 67.06^\circ
\]
\[
e = ( \frac{75}{434} ) \times 360 \approx 62.22^\circ
\]
\[
f = ( \frac{38}{434} ) \times 360 \approx 31.51^\circ
\]
\[
g = ( \frac{6}{434} ) \times 360 \approx 4.97^\circ
\]
4. Les formules dans les cellules \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), et \(e\) sont :
Pour \(\text{Fréquence (en \%)}\) :
\[
a = ( \frac{B2}{N} ) \times 100
\]
\[
b = ( \frac{C2}{N} ) \times 100
\]
\[
c = ( \frac{D2}{N} ) \times 100
\]
\[
d = ( \frac{E2}{N} ) \times 100
\]
\[
e = ( \frac{F2}{N} ) \times 100
\]
Pour \(\text{Angle (en °)}\) :
\[
a = ( \frac{B2}{N} ) \times 360
\]
\[
b = ( \frac{C2}{N} ) \times 360
\]
\[
c = ( \frac{D2}{N} ) \times 360
\]
\[
d = ( \frac{E2}{N} ) \times 360
\]
\[
e = ( \frac{F2}{N} ) \times 360
\]
Pour \(N\) :
\[
N = \sum(\text{Chaque cellule des Effectifs})
\]
Pour \(\text{SommeProduit}\) :
\[
\text{SommeProduit} = 0 \times B2 + 1 \times C2 + 2 \times D2 + 3 \times E2 + 4 \times F2 + 5 \times G2 + 6 \times H2
\]
Pour la Moyenne :
\[
\text{Moyenne} = \frac{\text{SommeProduit}}{N}
\]
5. Représenter le diagramme circulaire correspondant à cette série statistique en utilisant les angles calculés précédemment.
6. Calculer la moyenne puis la médiane :
La moyenne a été calculée avec la formule ci-dessus. Moyenne :
\[
\text{Moyenne} = \frac{0 \times 59 + 1 \times 83 + 2 \times 92 + 3 \times 81 + 4 \times 75 + 5 \times 38 + 6 \times 6}{434} \approx 2.15
\]
Pour déterminer la médiane, nous devons trouver la valeur centrale des effectifs cumulés. Les effectifs cumulés sont :
\[
59, 142, 234, 315, 390, 428, 434
\]
Le milieu de l’échantillon se trouve entre le 217ème et le 218ème élément (puisque \(N = 434\)).
La médiane se situe donc dans la catégorie dont le nombre de défauts est \(2\).
7. Le nombre d’articles ayant, au plus, 4 défauts comprend toutes les catégories de 0 à 4 défauts, donc :
\[
59 + 83 + 92 + 81 + 75 = 390
\]
8. Le pourcentage d’articles ayant, au moins, 3 défauts comprend toutes les catégories de 3 à 6 défauts, donc :
\[
\text{Pourcentage} = \frac{81 + 75 + 38 + 6}{434} \times 100 \approx 23.96\%
\]
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