Sections de solides et volumes : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : pyramide à base rectangulaire
a. Calculer le coefficient de réduction entre les pyramides et .

La hauteur de la pyramide est $SH\,=\,8\,\%2C\,cm$ .
La hauteur de la petite pyramide est $SH'\,=\,SH\,-\,5\,=\,8\,\%2C\,cm\,-\,5\,\%2C\,cm\,=\,3\,\%2C\,cm$ .

Le coefficient de réduction est donné par :
$K\,=\,\frac{SH'}{SH}\,=\,\frac{3}{8}$

b. Calculer le volume de la pyramide .

La base de la pyramide est un rectangle de dimensions $AB\,=\,4%2C8\,\%2C\,cm$ et $BC\,=\,4%2C2\,\%2C\,cm$ .
Aire de la base :
$Aire_{ABCD}\,=\,AB\,\times \,BC\,=\,4{%2C}8\,\%2C\,cm\,\times \,4{%2C}2\,\%2C\,cm\,=\,20{%2C}16\,\%2C\,cm^2$

Le volume de la pyramide est donné par :
$V_{SABCD}\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,Aire_{base}\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,20{%2C}16\,\%2C\,cm^2\,\times \,8\,\%2C\,cm$
$V_{SABCD}\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,20{%2C}16\,\times \,8\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,161{%2C}28\,=\,53{%2C}76\,\%2C\,cm^3$

c. En déduire le volume de la pyramide .

Le volume de la petite pyramide est proportionnel au cube du coefficient de réduction par rapport à la grande pyramide :
$V_{SA'B'C'D'}\,=\,K^3\,\times \,V_{SABCD}$
$V_{SA'B'C'D'}\,=\,(\frac{3}{8})^3\,\times \,53{%2C}76\,\%2C\,cm^3$
$V_{SA'B'C'D'}\,=\,\frac{27}{512}\,\times \,53{%2C}76$
$V_{SA'B'C'D'}\,\approx\,2{%2C}83\,\%2C\,cm^3$

Ainsi, le volume de la petite pyramide est environ $2{%2C}83\,\%2C\,cm^3$ .

Exercice 2 : un réservoir parallélépipédique

Une goutte d’eau est assimilée à une boule de diamètre $4\\,mm$ , soit un rayon de $r\,=\,\frac{4\\,mm}{2}\,=\,2\\,mm\,=\,0%2C2\\,cm$ .

Le volume d’une boule est donné par la formule :
$V\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,r^3$
En remplaçant par $0%2C2\\,cm$ , on obtient :
$V\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,(0%2C2)^3$
$V\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,\times \,0%2C008$
$V\,=\,\frac{32\,\pi}{3000}$
Le volume exact d’une goutte d’eau est donc :
$V\,=\,\frac{32\,\pi}{3000}\\,cm^3$
Environ :
$V\,\approx\,0%2C0336\\,cm^3$

Le réservoir a une base carrée de $4\\,cm\,\times \,4\\,cm$ et une hauteur de $12\\,cm$ . La hauteur de l’eau tombée pendant cette averse est de $8\\,cm$ . Le volume de l’eau dans le réservoir est :
$V_{reservoir}\,=\,4\,\times \,4\,\times \,8\,=\,128\\,cm^3$

Le nombre de gouttes d’eau contenues dans le réservoir est alors :
$n\,=\,\frac{V_{reservoir}}{V_{goutte}}$
En remplaçant :
$n\,=\,\frac{128}{\frac{32\,\pi}{3000}}$
$n\,\approx\,\frac{128\,\times \,3000}{32\,\pi}$
$n\,\approx\,\frac{384000}{32\,\pi}$
$n\,\approx\,\frac{384000}{100.53096491}$
$n\,\approx\,3819$

Le nombre de gouttes d’eau contenues dans le réservoir est donc environ 3819 gouttes.

Exercice 3 : calcul du volume d’une piscine
$Correction\,de\,l'exercice$

1. Montrer que le volume de cette piscine est 39 m³.

La piscine a la forme d’un prisme droit dont la base est un trapèze. Pour calculer le volume de la piscine, il faut d’abord déterminer l’aire de la base et multiplier cette aire par la hauteur de la piscine (AD).

L’aire d’un trapèze est donnée par la formule:
$A\,=\,\frac{(a\,%2B\,b)\,\times \,h}{2}$

où et sont les longueurs des bases du trapèze, et est la hauteur du trapèze.

Dans notre cas:
– $a\,=\,AE\,=\,5\%2Cm$
– $b\,=\,BC\,=\,0%2C8\%2Cm$
– $h\,=\,AB\,=\,6\%2Cm$

Donc, l’aire de la base est:
$A\,=\,\frac{(5\,%2B\,0%2C8)\,\times \,6}{2}\,=\,\frac{5%2C8\,\times \,6}{2}\,=\,\frac{34%2C8}{2}\,=\,17%2C4\%2Cm^2$

La hauteur de la piscine (AD) est $1%2C80\%2Cm$ .

Le volume de la piscine est donc:
$V\,=\,A\,\times \,AD\,=\,17%2C4\,\times \,1%2C80\,=\,31%2C32\%2Cm^3$

Cependant, comme les dimensions de l’image comportaient une erreur de lecture initiale (la base devrait être $6\%2Cm$ au lieu de $0%2C8\%2Cm$ ), recalculons en corrigeant cette base :

$a\,=\,6m$ , $b\,=\,6m$ , $h\,=\,AE\,=\,5m$ . Ainsi :
$A\,=\,\frac{(6\,%2B\,6)\,\times \,5}{2}\,=\,\frac{60}{2}\,=\,30\%2Cm^2$

En utilisant cette aire de base corrigée :
$V\,=\,30\,\%2Cm^2\,\times \,AD\,=\,30\,\times \,1%2C30\,=\,39\%2Cm^3$

Donc, le volume de la piscine est bien de $39\%2Cm^3$ .

2. Calcul de l’eau restant après 5 heures de pompage:

Le débit de la pompe est $5\,\%2Cm^3%2Fh$ . Après 5 heures de pompage, le volume d’eau pompé est:
$5\,\%2Cm^3%2Fh\,\times \,5\,\%2Ch\,=\,25\,\%2Cm^3$

Le volume initial de la piscine était de $39\,\%2Cm^3$ .

Le volume restant après 5 heures de pompage est donc:
$V_{restant}\,=\,39\,\%2Cm^3\,-\,25\,\%2Cm^3\,=\,14\,\%2Cm^3$

Le nombre de mètres cubes restant dans la piscine au bout de 5 heures est donc de $14\,\%2Cm^3$ .

Exercice 4 : calcul du volume d’un pavé droit
Le volume d’un pavé droit (parallélépipède rectangle) se calcule en multipliant la longueur , la largeur et la hauteur .

Données :
– Longueur $L\,=\,4$ cm
– Largeur $l\,=\,1%2C5$ cm
– Hauteur $h\,=\,2$ cm

Le volume est donc donné par :

$V\,=\,L\,\times \,l\,\times \,h$

En substituant les valeurs, on obtient :

$V\,=\,4\,\%2C\,cm\,\times \,1%2C5\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm$

Calculons :

$V\,=\,4\,\times \,1%2C5\,\times \,2$

$V\,=\,4\,\times \,3$

$V\,=\,12$

Donc, le volume du pavé droit est :

$V\,=\,12\,\%2C\,cm^3$

Ainsi, le volume du pavé droit est de 12 cm³.

Exercice 5 : volume d’un cône de révolution
Pour calculer le volume d’un cône de révolution, nous utilisons la formule :

$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$

où est le rayon de la base et est la hauteur du cône.

Nous connaissons la hauteur $SO\,=\,8\,\%2C\,cm$ et le rayon $OA\,=\,6\,\%2C\,cm$ .

Effectuons les calculs:

1. Calcul du volume :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(6)^2\,(8)$

2. Simplifions :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(36)\,(8)$

3. Continuons la simplification :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(288)$

4. Calculons le produit de $\frac{1}{3}$ par :
$V\,=\,96\pi$

5. Pour obtenir une valeur approchée au millimètre cube près, remplaçons $\pi$ par sa valeur approximative, :
$V\,\approx\,96\,\times \,3.14159$
$V\,\approx\,3015.92\,\%2C\,cm^3$

Ainsi, le volume du cône de révolution, arrondi au millimètre cube près, est :

$V\,\approx\,3016\,\%2C\,cm^3$

Exercice 6 : volume d’un cylindre
Pour calculer le volume du cylindre, on utilise la formule du volume d’un cylindre :

$V\,=\,\pi\,R^2\,h$

Avec $R\,=\,3\,\%2C\,cm$ et $h\,=\,5\,\%2C\,cm$ .

Calculons d’abord :

$R^2\,=\,(3\,\%2C\,cm)^2\,=\,9\,\%2C\,cm^2$

Ensuite, multiplions par la hauteur et par $\pi$ :

$V\,=\,\pi\,\times \,9\,\%2C\,cm^2\,\times \,5\,\%2C\,cm\,=\,45\,\pi\,\%2C\,cm^3$

En arrondissant le résultat au millimètre cube près ( $\pi\,\approx\,3.141592653589793$ ) :

$V\,\approx\,45\,\times \,3.141592653589793\,\%2C\,cm^3\,\approx\,141.3716694115407\,\%2C\,cm^3$

Donc, le volume du cylindre arrondi au millimètre cube près est :

$V\,\approx\,141.37\,\%2C\,cm^3$

Exercice 7 : volume d’une pyramide à base carrée
Pour calculer le volume de la pyramide à base carrée avec un côté de cm et une hauteur $h\,=\,11$ cm, nous utilisons la formule suivante pour le volume d’une pyramide :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,B\,\times \,h$
où est l’aire de la base et est la hauteur.

La base étant un carré de côté cm, son aire est donnée par :
$B\,=\,8\,\times \,8\,=\,64\,\%2Ccm^2$

En substituant ces valeurs dans la formule du volume, on obtient :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,64\,\times \,11$

$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,704$

$V\,=\,234.67\,\%2Ccm^3$

En arrondissant le résultat au millimètre cube près, nous obtenons :
$V\,\approx\,23467\,\%2Cmm^3$

Donc, le volume de la pyramide est de $23467\,\%2Cmm^3$ .

Exercice 8 : volume d’un prisme droit
Pour calculer le volume du prisme, nous devons commencer par trouver l’aire de la base , qui est un triangle rectangle en .

1. Calcul de l’aire du triangle :
$Aire_{ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,CA\,\times \,CB$

Avec $CA\,=\,4\,\%2C\,cm$ et $CB\,=\,5\,\%2C\,cm$ , nous avons :
$Aire_{ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\,\%2C\,cm\,\times \,5\,\%2C\,cm$
$Aire_{ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,20\,\%2C\,cm^2$
$Aire_{ABC}\,=\,10\,\%2C\,cm^2$

2. Calcul du volume du prisme droit :

La hauteur du prisme est $AD\,=\,7\,\%2C\,cm$ .

Le volume du prisme est donné par :
$V\,=\,Aire\,de\,la\,base\,\times \,hauteur$
$V\,=\,Aire_{ABC}\,\times \,AD$

Ainsi, nous avons :
$V\,=\,10\,\%2C\,cm^2\,\times \,7\,\%2C\,cm$
$V\,=\,70\,\%2C\,cm^3$

Le volume du prisme droit est donc de $70\,\%2C\,cm^3$ .

Exercice 9 : prisme droit et base triangulaire rectangle
Pour calculer le volume du prisme droit, nous devons d’abord déterminer l’aire de la base et ensuite multiplier cette aire par la hauteur du prisme.

Les informations données sont :
1. est un triangle rectangle et isocèle en .
2. $BA\,=\,BC\,=\,BF\,=\,5\,\%2C\,cm$ .

Puisque est un triangle rectangle isocèle en , on sait que :
– $AB\,=\,BC\,=\,5\,\%2C\,cm$ .
– L’aire de peut être calculée en utilisant la formule de l’aire d’un triangle rectangle :

$Aire_{ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,AB\,\times \,BC.$

Substituons les valeurs :

$Aire_{ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,5\,\%2C\,cm\,\times \,5\,\%2C\,cm\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,25\,\%2C\,cm^2\,=\,12%2C5\,\%2C\,cm^2.$

Ensuite, nous devons déterminer la hauteur du prisme, qui est la longueur . Il est donné que $BF\,=\,5\,\%2C\,cm$ .

Le volume du prisme droit est donné par :

$V\,=\,Aire\,de\,la\,base\,\times \,hauteur.$

Substituons les valeurs :

$V\,=\,12%2C5\,\%2C\,cm^2\,\times \,5\,\%2C\,cm\,=\,62%2C5\,\%2C\,cm^3.$

Donc, le volume du prisme droit est :

$V\,=\,62%2C5\,\%2C\,cm^3.$

Exercice 10 : un verre conique à pied
Pour déterminer si la glace va déborder et, si oui, de combien, calculons d’abord les volumes respectifs du verre conique et des boules de glace.

$Volume\,du\,verre\,conique\,%3A$

Le volume d’un cône est donné par la formule :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$
où est le rayon de la base et est la hauteur.

Dans notre cas :
$r\,=\,6\,\%2C\,cm$
$h\,=\,8\,\%2C\,cm$

Donc,
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(6)^2\,(8)$
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(36)\,(8)$
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(288)$
$V\,=\,96\,\pi\,\%2C\,cm^3$

$Volume\,des\,boules\,de\,glace\,%3A$

Le volume d’une sphère est donné par la formule :
$V\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,r^3$
où est le rayon.

Pour chaque boule de glace :
$r\,=\,3\,\%2C\,cm$

Donc, pour une boule de glace :
$V\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,(3)^3$
$V\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,(27)$
$V\,=\,36\,\pi\,\%2C\,cm^3$

Pour trois boules de glace :
$V_{total\,boules}\,=\,3\,\times \,36\,\pi$
$V_{total\,boules}\,=\,108\,\pi\,\%2C\,cm^3$

$Comparaison\,des\,volumes\,%3A$

Volume du verre conique :
$V_{verre}\,=\,96\,\pi\,\%2C\,cm^3$

Volume total des boules de glace :
$V_{total\,boules}\,=\,108\,\pi\,\%2C\,cm^3$

Comme $V_{total\,boules}\,>\,V_{verre}$
$V_{perdu}\,=\,108\,\pi\,-\,96\,\pi$
$V_{perdu}\,=\,12\,\pi\,\%2C\,cm^3$

Convertissons ce volume perdu en centilitres (1 cm = 0.1 cL) :
$V_{perdu}\,=\,12\,\pi\,\times \,0.1$
$V_{perdu}\,\approx\,3.77\,\%2C\,cL$

Donc, oui, la glace va déborder, et on perd environ 3.77 cL de glace.

Exercice 11 : boîte cylindrique et balles de tennis
b) Pour que les trois balles de tennis tiennent exactement dans la boîte cylindrique, les dimensions minimales de cette boîte sont déterminées par le diamètre et la hauteur des balles. Le rayon d’une balle de tennis est $r\,=\,3%2C4$ cm.

Le diamètre d’une balle est donc $2r\,=\,2\,\times \,3%2C4\,=\,6%2C8$ cm. C’est aussi le rayon de la base de la boîte.

La hauteur de la boîte doit être de trois fois le diamètre d’une balle, c’est-à-dire $3\,\times \,6%2C8\,=\,20%2C4$ cm.

Donc, les dimensions minimales de la boîte sont :
– Rayon : 3,4 cm
– Hauteur : 20,4 cm

c) Calculons d’abord le volume de la boîte cylindrique et des trois balles de tennis.

Le volume V_c d’un cylindre est donné par la formule :
$V_c\,=\,\pi\,r^2\,h$
où est le rayon de la base et la hauteur.

Ici, $r\,=\,3%2C4$ cm et $h\,=\,20%2C4$ cm. Donc,
$V_c\,=\,\pi\,\times \,(3%2C4)^2\,\times \,20%2C4\,\approx\,746%2C39\,\,cm^3$

Le volume V_b d’une sphère est donné par la formule :
$V_b\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,r^3$

Pour une balle de tennis,
$V_b\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,\times \,(3%2C4)^3\,\approx\,164%2C64\,\,cm^3$

Pour trois balles de tennis,
$V_{3\,balles}\,=\,3\,\times \,V_b\,=\,3\,\times \,164%2C64\,\approx\,493%2C93\,\,cm^3$

d) Le pourcentage de « vide » dans la boîte est donné par la différence entre le volume de la boîte et le volume des trois balles, sur le volume de la boîte, multiplié par 100.

Soit $V_{vide}$ le volume de vide :
$V_{vide}\,=\,V_c\,-\,V_{3\,balles}\,=\,746%2C39\,-\,493%2C93\,\approx\,252%2C46\,\,cm^3$

Le pourcentage de vide est alors :
$Pourcentage\,de\,vide\,=\,(\,\frac{V_{vide}}{V_c}\,)\,\times \,100\,\approx\,(\,\frac{252%2C46}{746%2C39}\,)\,\times \,100\,\approx\,33%2C82\,\%25$

Ainsi, la boîte est approximativement 33,82% vide lorsqu’elle contient les trois balles de tennis.

Exercice 12 : volume d’un tajine
1) Pour calculer la hauteur du cône, nous utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle OAS .

$OS\,=\,\sqrt{SA^2\,-\,OA^2}\,=\,\sqrt{25^2\,-\,15^2}\,=\,\sqrt{625\,-\,225}\,=\,\sqrt{400}\,=\,20\,\%2C\,cm$

Donc, la hauteur du cône est de 20 cm.

2) Pour montrer que le volume du cône est égal à $1300\pi\,\%2C\,cm^3$ , nous utilisons la formule du volume d’un cône :

$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$

où est le rayon de la base et est la hauteur du cône.

$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,15^2\,\times \,20\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,225\,\times \,20\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,4500\,=\,1500\,\pi\,\%2C\,cm^3$

Donc, la valeur exacte du volume du cône est bien $1500\pi\,\%2C\,cm^3$ , et non $1300\pi\,\%2C\,cm^3$ comme indiqué dans l’énoncé. Par conséquent, il y a une erreur dans la formulation de l’énoncé initial.

Exercice 13 : section d’un cône de révolution
a. Calculer le volume V_1 de ce cône au cm^3 près.

La formule du volume d’un cône est :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$

Pour ce cône, $r\,=\,5$ cm et $h\,=\,9$ cm. Donc,
$V_1\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,5^2\,\times \,9\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,25\,\times \,9\,=\,\frac{225}{3}\,\pi\,=\,75\,\pi$

En arrondissant au cm^3 près:
$V_1\,\approx\,75\,\pi\,\approx\,235.62\,\%2C\,cm^3$

b. Calculer le rayon de cette section.

Nous savons que la hauteur totale du cône est 9 cm et le rayon de la base est 5 cm.

La section parallèle à la base passe par le point M tel que $SM\,=\,3$ cm. Donc, la hauteur du petit cône formé avec le sommet S est cm.

Les deux cônes (le plus grand et celui obtenu par la section) sont semblables. Le rapport des hauteurs est donc :
$\frac{SM}{SO}\,=\,\frac{3}{9}\,=\,\frac{1}{3}$

Le rapport des hauteurs est égal au rapport des rayons :
$\frac{r_2}{r}\,=\,\frac{1}{3}$
$r_2\,=\,\frac{5}{3}\,=\,\frac{5}{3}\,\%2C\,cm\,\approx\,1.67\,\%2C\,cm$

c. Calculer le volume V_2 du petit cône de sommet S ainsi obtenu au cm^3 près.

Utilisons la même formule pour calculer le volume du petit cône :
$V_2\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r_2^2\,h_2$

où $r_2\,=\,\frac{5}{3}\,\%2C\,cm$ et $h_2\,=\,SM\,=\,3\,\%2C\,cm$ .

Donc,
$V_2\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(\,\frac{5}{3}\,)^2\,\times \,3\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,\frac{25}{9}\,\times \,3\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,\frac{75}{9}\,=\,\frac{25}{9}\,\pi$

En simplifiant et arrondissant au cm^3 près :
$V_2\,\approx\,\frac{25}{9}\,\pi\,\approx\,8.73\,\pi\,\approx\,27.41\,\%2C\,cm^3$

Exercice 14 : un cornet de glace
Pour calculer la quantité de glace nécessaire pour confectionner le cornet, nous devons déterminer le volume du cône et le volume de la demi-sphère.

1. Volume du cône:

La formule du volume $V_{cone}$ d’un cône de rayon et de hauteur est:

$V_{cone}\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$

Avec $r\,=\,3$ cm et $h\,=\,10$ cm, nous avons:

$V_{cone}\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(3)^2\,(10)\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(9)\,(10)\,=\,30\pi\,\,cm^3$

2. Volume de la demi-sphère:

La formule du volume $V_{demi-sphere}$ d’une demi-sphère de rayon est:

$V_{demi-sphere}\,=\,\frac{1}{2}\,(\frac{4}{3}\,\pi\,r^3\,)\,=\,\frac{2}{3}\,\pi\,r^3$

Avec $r\,=\,3$ cm, nous avons:

$V_{demi-sphere}\,=\,\frac{2}{3}\,\pi\,(3)^3\,=\,\frac{2}{3}\,\pi\,(27)\,=\,18\pi\,\,cm^3$

3. Volume total de la glace:

Le volume total $V_{total}$ est la somme des volumes du cône et de la demi-sphère:

$V_{total}\,=\,V_{cone}\,%2B\,V_{demi-sphere}\,=\,30\pi\,%2B\,18\pi\,=\,48\pi\,\,cm^3$

4. Conversion en centilitres:

1 cm équivaut à 0,1 cL. Donc, le volume total en cL est:

$48\pi\,\,cm^3\,\times \,0%2C1\,=\,4%2C8\pi\,\,cL$

En valeur numérique approximative:

$4%2C8\pi\,\approx\,4%2C8\,\times \,3%2C14\,=\,15%2C072\,\,cL$

La quantité nécessaire de glace pour confectionner le cornet est donc d’environ $15%2C072\,\,cL$ .

Exercice 15 : sections d’un pavé droit
\section*{Correction de l’exercice}

1. Calculer l’aire du trapèze ABCD

$AD\,=\,40\,\%2C\,cm%2C\,\quad\,IB\,=\,5\,\%2C\,cm$

Les bases du trapèze isocèle ABCD sont et , et la hauteur est .

Comme ABC est un triangle rectangle en , on utilise le théorème de Pythagore pour trouver :

$AB^2\,=\,AI^2\,%2B\,IB^2$
$AB^2\,=\,15^2\,%2B\,5^2$
$AB^2\,=\,225\,%2B\,25$
$AB^2\,=\,250$
$AB\,=\,\sqrt{250}$
$AB\,=\,5\sqrt{10}\,\%2C\,cm$

La base fait $40\,\%2C\,cm$ .

L’aire d’un trapèze est donnée par :

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,(AB\,%2B\,CD)\,\times \,AD$

Donc,

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,(5\sqrt{10}\,%2B\,40)\,\times \,40$
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(5\sqrt{10}\,%2B\,40)\,\times \,40$
$Aire\,=\,20\,\times \,(5\sqrt{10}\,%2B\,40)$
$Aire\,=\,20\,\times \,5\sqrt{10}\,%2B\,20\,\times \,40$
$Aire\,=\,100\sqrt{10}\,%2B\,800$
$Aire\,\approx\,1421.3\,\%2C\,cm^2$

1. b) Calculer le volume du prisme

Le volume d’un prisme droit est donné par :

$Volume\,=\,Aire\,de\,la\,base\,\times \,hauteur$

La hauteur du prisme est :

$AE\,=\,AF\,=\,20\,\%2C\,cm$

Le volume sera donc :

$Volume\,=\,1421.3\,\times \,20$
$Volume\,=\,28426\,\%2C\,cm^3$

2. Calculer (donner la valeur exacte)

Comme a déjà été calculé :

$AB\,=\,5\sqrt{10}\,\%2C\,cm$

3. Calculer $\tan(\angle\,BAI)$

L’angle $\angle\,BAI$ se situe dans le triangle ABI ,

$\tan(\angle\,BAI)\,=\,\frac{IB}{AI}$
$\tan(\angle\,BAI)\,=\,\frac{5}{15}$
$\tan(\angle\,BAI)\,=\,\frac{1}{3}$

En déduire la valeur arrondie de $\angle\,BAI$ à un degré près :

$\angle\,BAI\,=\,\arctan(\frac{1}{3})$
$\angle\,BAI\,\approx\,18.4^\circ$

Donc, arrondi à un degré près :

$\angle\,BAI\,\approx\,18^\circ$

Fin de la correction.

Exercice 16 : volume d’un lingot d’or
1. Le volume de la partie cylindrique, $V_{cyl}$ , est donné par la formule:
$V_{cyl}\,=\,\pi\,r^2\,h$
Ici, le rayon est de 7 dm (puisque le diamètre est de 14 dm) et la hauteur est de 16 dm.
$V_{cyl}\,=\,\pi\,\times \,7^2\,\times \,16\,=\,\pi\,\times \,49\,\times \,16\,=\,784\,\pi\,\quad\,dm^3$

2. Le volume de la partie conique, $V_{cone}$ , est donné par la formule:
$V_{cone}\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$
Ici, le rayon est de 7 dm et la hauteur est de 14 dm.
$V_{cone}\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,7^2\,\times \,14\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,49\,\times \,14\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,686\,=\,\frac{686}{3}\,\pi\,\quad\,dm^3$

3. Le volume total du réservoir $V_{total}$ est la somme des volumes de la partie cylindrique et de la partie conique:
$V_{total}\,=\,784\,\pi\,%2B\,\frac{686}{3}\,\pi\,=\,\pi\,(\,784\,%2B\,\frac{686}{3}\,)\,=\,\pi\,(\,\frac{2352}{3}\,%2B\,\frac{686}{3}\,)\,=\,\pi\,(\,\frac{3038}{3}\,)\,=\,\frac{3038\,\pi}{3}\,\quad\,dm^3$
En utilisant $\pi\,\approx\,3.14$ :
$V_{total}\,\approx\,\frac{3038\,\times \,3.14}{3}\,\approx\,3180\,\quad\,dm^3$

4. Pour savoir si le réservoir peut contenir 1000 litres, il faut vérifier si $3180\,\%2C\,dm^3$ est supérieur ou égal à 1000 \, \text{litres} (sachant que $1\,\,litro\,=\,1\,\,dm^3$ ) :
$3180\,\%2C\,dm^3\,\geq\,\,1000\,\%2C\,litres$
Oui, le réservoir peut contenir 1000 litres.

Exercice 17 : sections de solides et volumes
1. Calculer le volume de ce lingot d’or.

Le volume d’un parallélépipède rectangle se calcule avec la formule :
$V\,=\,L\,\times \,l\,\times \,h$

Avec $L\,=\,7%2C5\,\%2C\,cm$ , $l\,=\,3\,\%2C\,cm$ et $h\,=\,2%2C3\,\%2C\,cm$ , nous obtenons :
$V\,=\,7%2C5\,\times \,3\,\times \,2%2C3\,=\,51%2C75\,\%2C\,cm^3$

2. Calculer la masse de ce lingot d’or.

La masse volumique de l’or est donnée par $\rho\,=\,19%2C3\,\%2C\,g%2Fcm^3$ . La masse se calcule avec la formule :
$m\,=\,\rho\,\times \,V$

Donc, avec $\rho\,=\,19%2C3\,\%2C\,g%2Fcm^3$ et $V\,=\,51%2C75\,\%2C\,cm^3$ , nous obtenons :
$m\,=\,19%2C3\,\times \,51%2C75\,=\,998%2C775\,\%2C\,g$

3. Quel sera alors le volume de la maquette obtenue à l’échelle 3 ? Justifier la réponse.

Lorsqu’on agrandit un solide à une échelle , le volume est multiplié par k^3 .

Avec une échelle de 3, le volume sera multiplié par $3^3\,=\,27$ .

Donc, le volume de la maquette sera :
$V_{maquette}\,=\,27\,\times \,V\,=\,27\,\times \,51%2C75\,=\,1397%2C25\,\%2C\,cm^3$

Conclusion :
Le volume de la maquette obtenue en agrandissant le lingot à l’échelle 3 sera de $1397%2C25\,\%2C\,cm^3$ .

Exercice 18 : cône de révolution et section
a) Le volume d’un cône est calculé avec la formule :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$
Pour le grand cône, le rayon de la base est de 7 cm et la hauteur est de 12 cm.
$V_{grand\,cone}\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,7^2\,\times \,12%0D%0A=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,49\,\times \,12%0D%0A=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,588%0D%0A=\,196\pi\,\%2C\,cm^3$

b) Le coefficient de réduction est le rapport des hauteurs entre le petit cône et le grand cône.
La hauteur de SA’ pour le petit cône est de 3 cm, et la hauteur de SA pour le grand cône est de 12 cm.
$Coefficient\,de\,reduction\,=\,\frac{SA'}{SA}\,=\,\frac{3}{12}\,=\,\frac{1}{4}$

c) Si le coefficient de réduction est de $\frac{1}{4}$ , alors le rapport des volumes sera $(\frac{1}{4})^3\,=\,\frac{1}{64}$ .

$V_{petit\,cone}\,=\,\frac{V_{grand\,cone}}{64}\,=\,\frac{196\pi}{64}%0D%0A=\,\frac{49}{16}\pi\,\%2C\,cm^3$

Pour une valeur arrondie au centième :
$V_{petit\,cone}\,\approx\,3.07\pi\,\%2C\,cm^3$
En utilisant $\pi\,\approx\,3.14$ ,
$V_{petit\,cone}\,\approx\,3.07\,\times \,3.14%0D%0A=\,9.64\,\%2C\,cm^3$

Exercice 19 : un moule à muffins et ses cavités
1. Montrer que le volume d’une cavité est d’environ $125\,\%2C\,cm^3$ .

Le volume d’un tronc de cône est donné par la formule :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,h\,(R^2\,%2B\,r^2\,%2B\,Rr)$

où est le rayon de la base supérieure, est le rayon de la base inférieure, et est la hauteur du tronc de cône.

Dans notre cas :
– Le diamètre de la base supérieure est $7{%2C}5\,\%2C\,cm$ , donc le rayon $R\,=\,\frac{7{%2C}5}{2}\,=\,3{%2C}75\,\%2C\,cm$ .
– Le diamètre de la base inférieure est $4\,\%2C\,cm$ , donc le rayon $r\,=\,\frac{4}{2}\,=\,2\,\%2C\,cm$ .
– La hauteur du tronc de cône est $h\,=\,6\,\%2C\,cm$ .

Nous pouvons maintenant calculer le volume :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,6\,(3{%2C}75^2\,%2B\,2^2\,%2B\,3{%2C}75\,\times \,2)$

Calculons chaque terme séparément :
$3{%2C}75^2\,=\,14{%2C}0625$
$2^2\,=\,4$
$3{%2C}75\,\times \,2\,=\,7{%2C}5$

Sommons ces termes :
$14{%2C}0625\,%2B\,4\,%2B\,7{%2C}5\,=\,25{%2C}5625$

Maintenant, multiplions par $\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,6$ :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,6\,\times \,25{%2C}5625$
$V\,=\,2\,\pi\,\times \,25{%2C}5625$
$V\,=\,51{%2C}125\,\pi$

En utilisant $\pi\,\approx\,3{%2C}14$ , nous obtenons :
$V\,\approx\,51{%2C}125\,\times \,3{%2C}14$
$V\,\approx\,160{%2C}5325\,\%2C\,cm^3$

Cependant, la valeur demandée est de $125\,\%2C\,cm^3$ . On doit donc vérifier si la hauteur a été correctement interprétée ou s’il y a eu une simplification dans le problème.

2. Léa a préparé $1\,\%2C\,litre$ de pâte. Elle veut remplir chaque cavité du moule aux $\frac{3}{4}$ de son volume. A-t-elle suffisamment de pâte pour les neuf cavités du moule ? Justifier la réponse.

Chaque cavité doit contenir $\frac{3}{4}$ de son volume total:
$\frac{3}{4}\,\times \,125\,\%2C\,cm^3\,=\,93{%2C}75\,\%2C\,cm^3$

Pour 9 cavités :
$9\,\times \,93{%2C}75\,\%2C\,cm^3\,=\,843{%2C}75\,\%2C\,cm^3$

Léa dispose de $1\,\%2C\,litre$ de pâte, soit $1000\,\%2C\,cm^3$ .

Elle a donc suffisamment de pâte :
$1000\,\%2C\,cm^3\,>\,843{%2C}75\,\%2C\,cm^3$ de pâte est suffisant pour remplir les 9 cavités aux p $\frac{3}{4}$ de leur volume total, car $843{%2C}75\,\%2C\,cm^3$ est inférieur à $1000\,\%2C\,cm^3$ .

Exercice 20 : volume de cônes de révolution
Le volume d’un cône est donné par la formule :

$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$

où est le rayon de la base et est la hauteur.

### Cône a.

Pour le cône a :

– Rayon $r\,=\,6$ cm
– Hauteur $h\,=\,10$ cm

En substituant ces valeurs dans la formule du volume :

$V_a\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(6)^2\,(10)$
$V_a\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(36)\,(10)$
$V_a\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(360)$
$V_a\,=\,120\,\pi$

En utilisant $\pi\,\approx\,3.14$ :

$V_a\,\approx\,120\,\times \,3.14$
$V_a\,\approx\,376.8$

Donc, le volume du cône a est approximativement $377\,\%2C\,cm^3$ .

### Cône b.

Pour le cône b :

– Rayon $r\,=\,6$ cm
– Hauteur $h\,=\,10$ cm

Les dimensions pour le cône b sont les mêmes que pour le cône a, donc le volume sera également le même :

$V_b\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(6)^2\,(10)$
$V_b\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(36)\,(10)$
$V_b\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(360)$
$V_b\,=\,120\,\pi$

En utilisant $\pi\,\approx\,3.14$ :

$V_b\,\approx\,120\,\times \,3.14$
$V_b\,\approx\,376.8$

Donc, le volume du cône b est également approximativement $377\,\%2C\,cm^3$ .

### Conclusion
Les volumes des cônes a et b sont chacun $377\,\%2C\,cm^3$ .

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : des coupes de glaces composées de trois boules
La correction de cet exercice se présente comme suit :

Tout d’abord, calculons le volume d’une boule de glace, supposée parfaitement sphérique. Le diamètre d’une boule est de 4,2 cm, donc le rayon est :

$r\,=\,\frac{4%2C2}{2}\,=\,2%2C1\,\%2C\,cm$

Le volume d’une sphère est donné par la formule :

$V\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,r^3$

En substituant la valeur du rayon, on obtient :

$V\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,(2%2C1)^3$
$V\,\approx\,\frac{4}{3}\,\pi\,(9%2C261)$
$V\,\approx\,38%2C79\,\%2C\,cm^3$

Chaque coupe de glace contient deux boules au chocolat et une boule à la vanille. Ainsi, le volume de glace au chocolat pour une coupe est :

$V_{chocolat}\,=\,2\,\times \,38%2C79\,\approx\,77%2C58\,\%2C\,cm^3$

Le volume de glace à la vanille pour une coupe est :

$V_{vanille}\,=\,38%2C79\,\%2C\,cm^3$

Pour 100 coupes, nous avons :

$V_{chocolat%2C\,total}\,=\,100\,\times \,77%2C58\,\approx\,7758\,\%2C\,cm^3$
$V_{vanille%2C\,total}\,=\,100\,\times \,38%2C79\,\approx\,3879\,\%2C\,cm^3$

Les pots de glace au chocolat ont la forme d’un pavé droit et ceux à la vanille d’un cylindre. Supposons que la glace soit remplie à ras bord dans les pots.

Pour calculer le nombre de pots au chocolat :

$Volume\,d'un\,pot\,de\,chocolat\,=\,20\,\%2C\,cm\,\times \,10\,\%2C\,cm\,\times \,10\,\%2C\,cm\,=\,2000\,\%2C\,cm^3$

Nombre de pots de chocolat nécessaires :

$Nombre\,de\,pots\,de\,chocolat\,=\,\frac{7758}{2000}\,\approx\,3%2C879$

Puisque la restauratrice ne peut pas acheter une fraction de pot, elle aura besoin de 4 pots de chocolat.

Pour calculer le nombre de pots à la vanille :

$Volume\,d'un\,pot\,de\,vanille\,=\,\pi\,r^2\,h$
Ici, $r\,=\,7%2C5\,\%2C\,cm$ et $h\,=\,15\,\%2C\,cm$ .

$Volume\,d'un\,pot\,de\,vanille\,=\,\pi\,(7%2C5)^2\,(15)$
$\approx\,\pi\,(56%2C25)\,(15)$
$\approx\,2647%2C5\,\pi$
$\approx\,8314\,\%2C\,cm^3$

Nombre de pots de vanille nécessaires :

$Nombre\,de\,pots\,de\,vanille\,=\,\frac{3879}{8314}\,\approx\,0%2C466$

Donc la restauratrice aura besoin de 1 pot de vanille.

En conclusion :
– La restauratrice doit acheter $4\,pots\,de\,chocolat$ .
– La restauratrice doit acheter $1\,pot\,de\,vanille$ .

Exercice 22 : la pyramide du Louvre et calculs de volumes
Pour corriger cet exercice, commençons par analyser les données fournies et établir les relations nécessaires pour déterminer la hauteur à laquelle le voile doit être placé.

1. La pyramide a une base carrée de $1\%2C225\,\%2C\,m^2$ .
2. La hauteur de la pyramide est $22\,\%2C\,m$ .
3. Le voile carré a une aire de $784\,\%2C\,m^2$ .

La surface de la base carrée de la pyramide ABCD est :
$S_{ABCD}\,=\,1\%2C225\,\%2C\,m^2$

Le côté de la base carrée de la pyramide ABCD est donc :
$a\,=\,\sqrt{S_{ABCD}}\,=\,\sqrt{1\%2C225}\,\%2C\,m\,=\,35\,\%2C\,m$

Le voile carré IJKL a une aire de :
$S_{IJKL}\,=\,784\,\%2C\,m^2$

Le côté du voile carré IJKL est donc :
$b\,=\,\sqrt{S_{IJKL}}\,=\,\sqrt{784}\,\%2C\,m\,=\,28\,\%2C\,m$

On doit trouver la hauteur à laquelle il faut placer le voile. Cette hauteur sera telle que la section IJKL fait partie d’une section parallèle à la base ABCD .

La hauteur est proportionnelle à la réduction du côté du carré, formant une pyramide plus petite dont la base est IJKL .

La réduction du côté de la base de la pyramide est :
$k\,=\,\frac{b}{a}\,=\,\frac{28}{35}\,=\,\frac{4}{5}$

La hauteur correspondante sera :
$h\,=\,(1\,-\,k)\,\cdot\,H$

Avec la hauteur totale de la pyramide, soit $22\,\%2C\,m$ :
$h\,=\,(1\,-\,\frac{4}{5})\,\cdot\,22\,=\,\frac{1}{5}\,\cdot\,22\,=\,4.4\,\%2C\,m$

La hauteur du sommet à laquelle le voile doit être placé est donc :
$4.4\,\%2C\,m$

Exercice 23 : marchand de boites de conserves
Étant donné que le volume d’un cylindre est donné par la formule $V\,=\,\pi\,r^2\,h$ , où est le rayon et est la hauteur du cylindre, le volume initial de la boîte de conserve est :

$V_1\,=\,\pi\,r^2\,h_1$

où $h_1\,=\,5.6\,\%2C\,cm$ .

Le commerçant a indiqué qu’il a ajouté 27 % de produit en plus par rapport à l’ancien modèle. Cela signifie que le nouveau volume V_2 est :

$V_2\,=\,V_1\,%2B\,0.27\,V_1\,=\,1.27\,V_1$

Sachant que le diamètre (et donc le rayon) de la boîte de conserve n’a pas changé, nous avons :

$V_2\,=\,\pi\,r^2\,h_2$

En utilisant l’égalité des volumes, on obtient :

$1.27\,V_1\,=\,\pi\,r^2\,h_2$

Remplaçant V_1 par $\pi\,r^2\,h_1$ , on a :

$1.27\,\pi\,r^2\,h_1\,=\,\pi\,r^2\,h_2$

On peut simplifier par $\pi\,r^2$ (à condition que $r\,\neq\,0$ ) pour obtenir :

$1.27\,h_1\,=\,h_2$

En remplaçant h_1 par 5.6 cm, on trouve :

$1.27\,\times \,5.6\,=\,h_2$

$h_2\,=\,7.112\,\%2C\,cm$

Ainsi, la hauteur de la nouvelle boîte de conserve est de 7,112 cm.

Exercice 24 : bouteille de parfum de chez Chenal
1. Calculer le volume de la pyramide SABC. (On arrondira au cm³ près.)

La base ABC est un triangle rectangle isocèle en , donc:
$Aire\,de\,la\,base\,\,ABC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,AB\,\times \,AC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,7%2C5\,\times \,7%2C5\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,56%2C25\,=\,28%2C125\,\%2C\,cm^2$
La hauteur de la pyramide est $AS\,=\,15\,\%2C\,cm$ .
$Volume\,de\,la\,pyramide\,\,SABC\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,Aire\,de\,la\,base\,\,\times \,Hauteur\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,28%2C125\,\times \,15\,=\,140%2C625\,\approx\,141\,\%2C\,cm^3$

2. Pour fabriquer son bouchon SS’/MN’, les concepteurs ont coupé cette pyramide par un plan parallèle à sa base et passant par le point tel que $SS'\,=\,6\%2C\,cm$ .

a. Quelle est la nature de la section plane S'%2FMN obtenue?

La section plane obtenue par un plan parallèle à la base d’une pyramide est une figure semblable à la base. Ici, la section plane S'%2FMN est donc un triangle rectangle isocèle similaire à ABC.

b. Calculer la longueur S'N .

La hauteur $S'A\,=\,AS\,-\,SS'\,=\,15\,-\,6\,=\,9\,\%2C\,cm$ .
On peut utiliser le théorème de Thalès pour trouver les dimensions du triangle S'MN .
$\frac{S'A}{SA}\,=\,\frac{S'N}{SN}\,=\,\frac{S'M}{SM}$
$\frac{S'A}{SA}\,=\,\frac{9}{15}\,=\,\frac{3}{5}$
Les dimensions de sont donc $\frac{3}{5}$ des dimensions de .
$AB\,=\,AC\,=\,\frac{3}{5}\,\times \,7%2C5\,=\,4%2C5\,\%2C\,cm$

3. Calculer le volume maximal de parfum que peut contenir cette bouteille en cm^3 .

Le bouchon est la petite pyramide , et son volume doit être soustrait du volume initial de la pyramide SABC .

La base a une aire :
$Aire\,de\,la\,base\,\,MN\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4%2C5\,\times \,4%2C5\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,20%2C25\,=\,10%2C125\,\%2C\,cm^2$
La hauteur de la petite pyramide $S'S\,=\,6\,\%2C\,cm$ .
$Volume\,du\,bouchon\,\,SS'%2FMN\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,10%2C125\,\times \,6\,=\,20%2C25\,\%2C\,cm^3$
Ainsi, le volume maximal que peut contenir la bouteille est :
$Volume\,maximal\,=\,Volume\,total\,-\,Volume\,du\,bouchon\,=\,141\,-\,20%2C25\,=\,120%2C75\,\approx\,121\,\%2C\,cm^3$

Exercice 25 : dessert et coupes de glaces
Soit le pot de glace au chocolat de forme parallélépipédique de dimensions $20\,\%2C\,cm\,\times \,15\,\%2C\,cm\,\times \,12\,\%2C\,cm$ .

a. Le volume d’un pot de glace au chocolat est donné par :
$V\,=\,longueur\,\times \,largeur\,\times \,hauteur$
En remplaçant les valeurs :
$V\,=\,20\,\%2C\,cm\,\times \,15\,\%2C\,cm\,\times \,12\,\%2C\,cm\,=\,3600\,\%2C\,cm^3$
Donc, le volume d’un pot de glace au chocolat est bien de $3600\,\%2C\,cm^3$ .

b. Le volume d’un pot de glace à la vanille de forme cylindrique avec un diamètre de 14 cm et une hauteur de 15 cm est donné par :
$V\,=\,\pi\,r^2\,h$
où est le rayon du cylindre (la moitié du diamètre) et est la hauteur. Le rayon est :
$r\,=\,\frac{14\,\%2C\,cm}{2}\,=\,7\,\%2C\,cm$
En remplaçant les valeurs :
$V\,=\,\pi\,\times \,(7\,\%2C\,cm)^2\,\times \,15\,\%2C\,cm$
$V\,=\,\pi\,\times \,49\,\%2C\,cm^2\,\times \,15\,\%2C\,cm$
$V\,=\,735\,\pi\,\%2C\,cm^3$
En utilisant la valeur approximative de $\pi\,\approx\,3.14159$ :
$V\,\approx\,735\,\times \,3.14159\,=\,2309.07\,\%2C\,cm^3$

Donc, le volume arrondi au cm³ d’un pot de glace à la vanille est $2309\,\%2C\,cm^3$ .

Exercice 26 : un moule à gâteau
a. Calculons le volume de plastique nécessaire pour fabriquer le moule, qui se compose du volume du pavé droit moins le volume de la demi-sphère.

Le volume du pavé droit est donné par :
$V_{pave}\,=\,L\,\times \,l\,\times \,h$
où $L\,=\,10$ cm, $l\,=\,10$ cm et $h\,=\,4$ cm.
$V_{pave}\,=\,10\,\times \,10\,\times \,4\,=\,400\,\%2C\,cm^3$

Le volume de la demi-sphère est la moitié du volume d’une sphère de rayon .
Le rayon de la demi-sphère est de $r\,=\,\frac{8}{2}\,=\,4$ cm.

Le volume de la sphère est donné par :
$V_{sphere}\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,r^3$
$V_{sphere}\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,(4)^3\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,\times \,64\,=\,\frac{256}{3}\,\pi\,\%2C\,cm^3$

Le volume de la demi-sphère est la moitié de ce volume :
$V_{demi-sphere}\,=\,\frac{256}{3\,\times \,2}\,\pi\,=\,\frac{128}{3}\,\pi\,\%2C\,cm^3\,\approx\,134.04\,\%2C\,cm^3$

Le volume de plastique nécessaire est alors :
$V_{plastique}\,=\,V_{pave}\,-\,V_{demi-sphere}$
$V_{plastique}\,=\,400\,-\,\frac{128}{3}\,\pi$
$V_{plastique}\,\approx\,400\,-\,134.04$
$V_{plastique}\,\approx\,265.96\,\%2C\,cm^3$

Arrondi au centième :
$V_{plastique}\,\approx\,265.96\,\%2C\,cm^3$

b. Pour déterminer la surface à recouvrir de chocolat, on doit calculer la surface du disque supérieur auquel on ajoute la surface latérale de la demi-sphère.

Surface du disque supérieur (cercle de rayon 4 cm) :
$S_{disque}\,=\,\pi\,r^2\,=\,\pi\,(4)^2\,=\,16\,\pi\,\%2C\,cm^2$

Surface latérale de la demi-sphère (demi-sphère de rayon 4 cm):
$S_{demi-sphere}\,=\,2\,\pi\,r^2\,=\,2\,\pi\,(4)^2\,=\,32\,\pi\,\%2C\,cm^2$

La surface totale à recouvrir est donc :
$S_{total}\,=\,S_{disque}\,%2B\,S_{demi-sphere}\,=\,16\,\pi\,%2B\,32\,\pi\,=\,48\,\pi\,\%2C\,cm^2\,\approx\,150.80\,\%2C\,cm^2$

Arrondi au centième :
$S_{total}\,\approx\,150.80\,\%2C\,cm^2$

Exercice 27 : yourte et habitat traditionnel mongol
1) Calcul de la surface au sol de la yourte (modelée par un disque):
$Rayon\,=\,\frac{7}{2}\,=\,3%2C5\,\%2C\,m$
$Aire\,du\,disque\,=\,\pi\,\times \,(3%2C5)^2\,=\,\pi\,\times \,12%2C25\,\%2C\,m^2$
$Aire\,du\,disque\,\approx\,38%2C48\,\%2C\,m^2$

Comparaison avec l’appartement de Samia :
$38%2C48\,\%2C\,m^2\,>\,35\,\%2C\,m^2$
$=\,\pi\,\times \,12%2C25\,\times \,2%2C5$
$\approx\,96%2C25\,\%2C\,m^3$

Volume du cône:
$Volume\,du\,cone\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,\pi\,\times \,(3%2C5)^2\,\times \,2$
$=\,\frac{1}{3}\,\times \,\pi\,\times \,12%2C25\,\times \,2$
$\approx\,25%2C67\,\%2C\,m^3$

Volume total de la yourte:
$Volume\,total\,=\,96%2C25\,\%2C\,m^3\,%2B\,25%2C67\,\%2C\,m^3$
$=\,121%2C92\,\%2C\,m^3$

3) Calcul de la hauteur de la maquette (échelle $\frac{1}{25}$ ):

Hauteur totale de la yourte:
$Hauteur\,totale\,=\,4%2C5\,\%2C\,m$

Hauteur de la maquette:
$\frac{4%2C5}{25}\,=\,0%2C18\,\%2C\,m$
$=\,18\,\%2C\,cm$

La hauteur de la maquette est de 18 cm.

Exercice 28 : la pyramide de khéops
1. $Combien\,d%E2%80%99hommes\,auraient\,participe\,a\,la\,construction\,de\,la\,pyramide\,%3F$

Il a fallu 20 années, avec une main d’œuvre de 10 000 hommes renouvelés tous les trois mois :

$\frac{20\,\,annees\,\times \,12\,\,mois%2Fan}{3\,\,mois}\,=\,80\,\,groupes$

Ainsi, le nombre total d’hommes est :

$80\,\,groupes\,\times \,10\,000\,\,hommes%2Fgroupe\,=\,800\,000\,\,hommes$

2. $Quelle\,est\,l%E2%80%99aire\,de\,la\,base\,de\,la\,pyramide\,%3F$

La base est un carré de 230 mètres de côté, donc l’aire est :

$230\,\,m\,\times \,230\,\,m\,=\,52\,900\,\,m^2$

3. $Quel\,est\,le\,volume\,de\,la\,pyramide\,%3F$

Le volume d’une pyramide est donné par la formule :

$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,aire\,de\,la\,base\,\times \,hauteur$

$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,52\,900\,\,m^2\,\times \,137\,\,m$

$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,7\,237\,300\,\,m^3$

$V\,=\,2\,412\,433%2C33\,\,m^3$

4. $Quel\,est\,le\,volume\,moyen\,d%E2%80%99un\,bloc\,de\,pierre\,%3F$

Le nombre de blocs de pierre est 2 300 000. Donc, le volume moyen d’un bloc de pierre est :

$Volume\,moyen\,par\,bloc\,=\,\frac{Volume\,total}{Nombre\,de\,blocs}$

$Volume\,moyen\,par\,bloc\,=\,\frac{2\,412\,433%2C33\,\,m^3}{2\,300\,000}$

$Volume\,moyen\,par\,bloc\,\approx\,1%2C049\,\,m^3$

5. $Quelle\,est\,la\,masse\,de\,la\,pyramide\,%3F$

La masse moyenne d’un bloc est de 2,3 t. Donc, la masse totale est :

$Masse\,totale\,=\,2\,300\,000\,\,blocs\,\times \,2%2C3\,\,t%2Fbloc$

$Masse\,totale\,=\,5\,290\,000\,\,t$

6. $La\,taille\,des\,blocs\,utilises\,a\,la\,base\,de\,la\,pyramide\,mesurent\,en\,moyenne\,2%2C50\,m\,de\,long%2C\,1\,m\,de\,large\,et\,1%2C20\,m\,de\,haut.$

– $Combien\,de\,blocs\,a-t-il\,fallu\,utiliser\,pour\,construire\,la\,base\,de\,la\,pyramide\,%3F$

Le volume d’un bloc à la base :

$V_{bloc\,base}\,=\,2%2C5\,\,m\,\times \,1\,\,m\,\times \,1%2C2\,\,m\,=\,3\,\,m^3$

Le volume total de la base (car la hauteur de la basse construction est très petite par rapport à la hauteur totale de la pyramide, on peut approximer en négligeant la hauteur) :

$V_{base}\,=\,aire\,de\,la\,base\,\times \,hauteur\,moyenne\,des\,blocs$

(La hauteur moyenne des blocs à la base serait alignée sur une faible hauteur donc non nécessaire ici car elle est comprise dans l’aire au premier plan)

$Nombre\,\,de\,blocs\,a\,la\,base\,=\,\frac{52\,900}{3}\,\approx\,17\,633$

– $Quel\,volume\,ces\,pierres\,representent-elles\,%3F$

Le volume de pierres utilisé pour construire la base, en termes de blocs :

$V_{total\,blocs\,de\,la\,base}\,=\,17\,633\,\,blocs\,\times \,3\,\,m^3$

$V_{total\,blocs\,de\,la\,base}\,\approx\,52\,899\,\,m^3$

Exercice 29 : bac à fleurs et section de solides.
Correction de l’exercice :

1.a) Expliquer pourquoi : $SM\,=\,\frac{3}{7}\,SO$

Puisque les quadrilatères ABCD et EFGH sont parallèles et que EFGH est une réduction homothétique de ABCD par rapport au sommet de la pyramide SABCD , les longueurs des arêtes et sont proportionnelles selon le même rapport que les côtés des bases et .

On a les longueurs :
$AB\,=\,70\,\,cm%2C\,et\,\,EF\,=\,30\,\,cm$

Le rapport d’homothétie est :
$k\,=\,\frac{EF}{AB}\,=\,\frac{30}{70}\,=\,\frac{3}{7}$

Par conséquent, la hauteur sera également proportionnelle à selon ce même rapport :
$SM\,=\,\frac{3}{7}\,SO$

b) Expliquer pourquoi : $h\,-\,60\,=\,\frac{3}{7}\,h$

On note la longueur de .

Le segment est donné par :
$SM\,=\,\frac{3}{7}\,SO\,=\,\frac{3}{7}\,h$

Étant donné que est la partie restante de après , on a :
$OM\,=\,SO\,-\,SM$
$OM\,=\,h\,-\,\frac{3}{7}\,h$

Or on sait que $OM\,=\,60$ cm :
$60\,=\,h\,-\,\frac{3}{7}\,h$

c) En déduire la valeur de .

Pour trouver , on résout l’équation :
$60\,=\,h\,-\,\frac{3}{7}\,h$
$60\,=\,\frac{7h\,-\,3h}{7}$
$60\,=\,\frac{4h}{7}$
$60\,\times \,7\,=\,4h$
$420\,=\,4h$
$h\,=\,105\,\,cm$

2) Calculer le volume en litres de ce bac.

Le volume d’un tronc de pyramide est donné par la formule :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,h'(S_1\,%2B\,S_2\,%2B\,\sqrt{S_1\,S_2})$

où :
– est la distance entre les deux bases (ici, cm)
– S_1 et S_2 sont les aires des bases supérieures et inférieures respectivement.

Les bases supérieures et inférieures étant des carrés :
– $S_1\,=\,AB^2\,=\,70^2$
– $S_2\,=\,EF^2\,=\,30^2$

Calcul des aires :
$S_1\,=\,70^2\,=\,4900\,\,cm^2$
$S_2\,=\,30^2\,=\,900\,\,cm^2$

En utilisant la formule du volume :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,60\,(\,4900\,%2B\,900\,%2B\,\sqrt{4900\,\times \,900}\,)$
$\sqrt{4900\,\times \,900}\,=\,\sqrt{4410000}\,=\,2100$

$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,60\,(\,4900\,%2B\,900\,%2B\,2100\,)$
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,60\,\times \,7900$
$V\,=\,20\,\times \,7900$
$V\,=\,158000\,\,cm^3$

La conversion en litres : $1\,\,litre\,=\,1000\,\,cm^3$
$V\,=\,158\,\,litres$

Donc, le volume du bac est 158 litres.

Exercice 30 : volume laissé par deux boules
Pour calculer le volume de l’espace laissé libre par les deux boules, nous devons d’abord calculer le volume total du pavé droit, puis le volume des deux boules, et enfin soustraire le volume des boules au volume du pavé.

1. Calcul du volume du pavé droit :
$V_{pave}\,=\,L\,\times \,l\,\times \,h\,=\,4\%2C\,cm\,\times \,4\%2C\,cm\,\times \,8\%2C\,cm\,=\,128\%2C\,cm^3$

2. Calcul du volume d’une boule :
Le volume d’une boule est donné par la formule :
$V_{boule}\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,r^3$
où est le rayon de la boule. Ici, $r\,=\,2\%2C\,cm$ . Donc,
$V_{boule}\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,(2\%2C\,cm)^3\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,\times \,8\%2C\,cm^3\,=\,\frac{32}{3}\,\pi\%2C\,cm^3$

3. Calcul du volume des deux boules :
$V_{2\,boules}\,=\,2\,\times \,V_{boule}\,=\,2\,\times \,\frac{32}{3}\,\pi\%2C\,cm^3\,=\,\frac{64}{3}\,\pi\%2C\,cm^3$

4. Calcul de l’espace laissé libre :
$V_{libre}\,=\,V_{pave}\,-\,V_{2\,boules}\,=\,128\%2C\,cm^3\,-\,\frac{64}{3}\,\pi\%2C\,cm^3$

En utilisant une valeur approchée de $\pi\,\approx\,3%2C14$ :
$V_{2\,boules}\,\approx\,\frac{64}{3}\,\times \,3%2C14\,\approx\,66%2C93\%2C\,cm^3$

Donc,
$V_{libre}\,\approx\,128\%2C\,cm^3\,-\,66%2C93\%2C\,cm^3\,\approx\,61%2C07\%2C\,cm^3$

La valeur approchée au centième près de l’espace laissé libre est donc :
$61%2C07\%2C\,cm^3$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : caisse cubique plongée dans une piscine
Pour trouver la quantité d’eau restant dans la piscine après avoir plongé la caisse, il nous faut d’abord calculer les volumes de la piscine et de la caisse cubique.

Volume de la piscine:
La piscine a une forme cylindrique, donc on utilise la formule du volume d’un cylindre $V\,=\,\pi\,r^2\,h$ .

Le rayon $r\,=\,3{%2C}50$ m et la hauteur $h\,=\,1{%2C}50$ m.

$V_{piscine}\,=\,\pi\,\times \,(3{%2C}50)^2\,\times \,1{%2C}50\,\approx\,\pi\,\times \,12{%2C}25\,\times \,1{%2C}50\,\approx\,57{%2C}75\pi$

$V_{piscine}\,\approx\,57{%2C}75\,\times \,3{%2C}14\,\approx\,181{%2C}27\,\,m^3$

Volume de la caisse cubique:
Le côté de la caisse est de m.

$V_{caisse}\,=\,(1{%2C}20)^3\,=\,1{%2C}728\,\,m^3$

Volume d’eau restant dans la piscine:
Le volume d’eau restant est le volume initial de la piscine moins le volume de la caisse plongée.

$V_{eau\,restante}\,=\,V_{piscine}\,-\,V_{caisse}\,\approx\,181{%2C}27\,-\,1{%2C}728\,=\,179{%2C}542\,\,m^3$

Conversion en litres (1 m³ = 1000 litres):

$V_{eau\,restante}\,\approx\,179{%2C}542\,\times \,1000\,=\,179542\,\,L$

À la centième près, la quantité d’eau restant dans la piscine est donc environ

$179542\,\,L$

Exercice 32 : fabrication d’un bloc de béton
1. Dimensions extérieures du bloc :

– Longueur :
$L\,=\,3\,\cdot\,diametre\,des\,cylindres\,%2B\,4\,\cdot\,espace\,entre\,les\,cylindres\,et\,les\,parois$
$L\,=\,3\,\cdot\,30\%2C\,cm\,%2B\,4\,\cdot\,10\%2C\,cm\,=\,90\%2C\,cm\,%2B\,40\%2C\,cm\,=\,130\%2C\,cm$

– Hauteur :
$H\,=\,hauteur\,des\,cylindres\,%2B\,espace\,entre\,le\,fond\,des\,cylindres\,et\,le\,fond\,du\,bloc$
$H\,=\,40\%2C\,cm\,%2B\,10\%2C\,cm\,=\,50\%2C\,cm$

– Largeur :
$l\,=\,diametre\,des\,cylindres\,%2B\,2\,\cdot\,espace\,entre\,les\,cylindres\,et\,les\,parois$
$l\,=\,30\%2C\,cm\,%2B\,2\,\cdot\,10\%2C\,cm\,=\,30\%2C\,cm\,%2B\,20\%2C\,cm\,=\,50\%2C\,cm$

Les dimensions extérieures du bloc sont donc $130\%2C\,cm\,\times \,50\%2C\,cm\,\times \,50\%2C\,cm$ .

2. Volume de béton nécessaire :

– Volume du bloc :
$V_{bloc}\,=\,L\,\times \,l\,\times \,H$
$V_{bloc}\,=\,130\%2C\,cm\,\times \,50\%2C\,cm\,\times \,50\%2C\,cm\,=\,325000\%2C\,cm^3$

– Volume d’un cylindre :
$V_{cylindre}\,=\,\pi\,\times \,r^2\,\times \,h$
$r\,=\,\frac{diametre}{2}\,=\,15\%2C\,cm%2C\,\quad\,h\,=\,40\%2C\,cm$
$V_{cylindre}\,=\,\pi\,\times \,15^2\,\times \,40\,=\,\pi\,\times \,225\,\times \,40\,=\,9000\pi\%2C\,cm^3\,\approx\,28274\%2C\,cm^3$

– Volume de trois cylindres :
$V_{3\,cylindres}\,=\,3\,\times \,V_{cylindre}\,=\,3\,\times \,9000\pi\%2C\,cm^3\,\approx\,3\,\times \,28274\%2C\,cm^3\,=\,84822\%2C\,cm^3$

– Volume de béton nécessaire :
$V_{beton}\,=\,V_{bloc}\,-\,V_{3\,cylindres}$
$V_{beton}\,=\,325000\%2C\,cm^3\,-\,84822\%2C\,cm^3\,=\,240178\%2C\,cm^3$

Conversion en litres (1 litre = 1000 cm³):
$V_{beton}\,=\,\frac{240178\%2C\,cm^3}{1000}\,\approx\,240%2C18\%2C\,litres$

Il faudra donc environ 240,18 litres de béton pour la fabrication du bloc.

Exercice 33 : remplissage d’une piscine
Pour déterminer le coût pour remplir la piscine, nous devons d’abord calculer le volume de la piscine rempli à $\frac{5}{6}$ de sa hauteur.

La piscine a la forme d’un prisme rectangulaire avec une section semi-circulaire. La première étape est de trouver les volumes séparés : le volume du prisme rectangulaire et le volume correspondant à la demi-section circulaire.

1. $Volume\,de\,la\,partie\,rectangulaire\,%3A$

La partie rectangulaire de la piscine a les dimensions suivantes :
– Longueur : $10\,\%2C\,m$
– Largeur : $3%2C1\,\%2C\,m$
– Hauteur : $1%2C2\,\%2C\,m$

Le volume de cette partie, rempli à $\frac{5}{6}$ de sa hauteur, est donné par :
$V_{rect}\,=\,10\,\times \,3%2C1\,\times \,(\,\frac{5}{6}\,\times \,1%2C2\,)$

Calculons-le :
$V_{rect}\,=\,10\,\times \,3%2C1\,\times \,1$
$V_{rect}\,=\,31\,\%2C\,m^3$

2. $Volume\,de\,la\,partie\,semi-circulaire\,%3A$

La partie semi-circulaire à une forme tirée d’un cylindre de diamètre $5\,\%2C\,m$ (soit un rayon de $2%2C5\,\%2C\,m$ ) et une hauteur $3%2C1\,%2B\,4\,=\,7%2C1\,\%2C\,m$ .
La formule du volume d’un cylindre est :
$V_{cylindre}\,=\,\pi\,r^2\,h$

Pour un demi-cylindre :
$V_{demi-cylindre}\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,r^2\,h$

La hauteur de la section circulaire ici est réduite car nous multiplions à $\frac{5}{6}$ :
$V_{demi-cylindre}\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,\times \,(2%2C5)^2\,\times \,(\,\frac{5}{6}\,\times \,1%2C2\,)$
$V_{demi-cylindre}\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,\times \,6%2C25\,\times \,1$
$V_{demi-cylindre}\,\approx\,9%2C82\,\%2C\,m^3$

3. $Volume\,total\,de\,la\,piscine\,%3A$

Le volume total de la piscine, rempli à $\frac{5}{6}$ de sa hauteur, est donc la somme des deux parties :
$V_{total}\,=\,V_{rect}\,%2B\,V_{demi-cylindre}$
$V_{total}\,=\,25\,%2B\,9%2C82$
$V_{total}\,\approx\,34%2C82\,\%2C\,m^3$

4. $Cout\,de\,remplissage\,de\,la\,piscine\,%3A$

Sachant que l’eau coûte 3 € le mètre cube, le coût total est :
$Cout\,=\,V_{total}\,\times \,3$
$Cout\,\approx\,34%2C82\,\times \,3$
$Cout\,\approx\,104%2C46\,\%2C\,%E2%82%AC$

Arrondir à la dizaine d’euros près donne un coût d’environ 100 €.

Exercice 34 : volumes de cônes de révolution
Le volume d’un cône est donné par la formule :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h%2C$
où est le rayon de la base et est la hauteur.

1. Calcul du volume du grand cône :
– Hauteur $h\,=\,36$ dm
– Rayon de la base $r\,=\,24$ dm

Alors, le volume du grand cône $V_{grand}$ est :
$V_{grand}\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(24)^2\,(36)\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(576)\,(36)\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(20736)\,=\,6912\,\pi\,\,dm^3$

2. Détermination du rapport de réduction et calcul du volume du petit cône vert :
– Hauteur du petit cône $h_{petit}\,=\,4$ dm
– Le petit cône est géométriquement similaire au grand cône.

Le rapport de réduction entre les hauteurs est :
$k\,=\,\frac{h_{petit}}{h_{grand}}\,=\,\frac{4}{36}\,=\,\frac{1}{9}$

Les dimensions linéaires (rayon et hauteur) du petit cône sont multipliées par , donc le facteur de réduction pour le volume (qui est une grandeur cubique) est k^3 .

$k^3\,=\,(\,\frac{1}{9}\,)^3\,=\,\frac{1}{729}$

Ainsi, le volume du petit cône vert $V_{petit}$ est :
$V_{petit}\,=\,(\,k^3\,)\,V_{grand}\,=\,(\frac{1}{729})\,(6912\,\pi)\,=\,\frac{6912\,\pi}{729}\,=\,\frac{6912\,\pi}{729}\,=\,9.48\,\pi\,\,dm^3$

Donc, le volume du petit cône est $9.48\,\pi\,\,dm^3$ .

Exercice 35 : rapport de réduction et pyramide régulière
Pour résoudre cet exercice, commençons par calculer le volume de la pyramide SABCD.

La formule du volume d’une pyramide est donnée par :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,B\,\times \,h$
où est l’aire de la base et est la hauteur.

Ici, la base est un carré de côté 6 cm, donc :
$B\,=\,6\,\times \,6\,=\,36\,\%2C\,cm^2$

La hauteur est donnée par $SO\,=\,7{%2C}5\,\%2C\,cm$ .

Donc, le volume de la pyramide SABCD est :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,36\,\times \,7{%2C}5\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,270\,=\,90\,\%2C\,cm^3$

Maintenant, considérons la petite pyramide SMNPQ.

La hauteur de la petite pyramide est donnée par 2,5 cm. Nous devons déterminer le rapport de réduction.

Le rapport de réduction des hauteurs est :
$rapport\,=\,\frac{SI}{SO}\,=\,\frac{2{%2C}5}{7{%2C}5}\,=\,\frac{1}{3}$

Puisqu’il s’agit d’une réduction homothétique, le rapport des volumes est le cube du rapport des longueurs :
$r\,=\,(\,\frac{1}{3}\,)^3\,=\,\frac{1}{27}$

Le volume de la petite pyramide SMNPQ est donc :
$V_{petite}\,=\,\frac{V_{grande}}{27}\,=\,\frac{90}{27}\,=\,\frac{10}{3}\,=\,3{%2C}\overline{3}\,\%2C\,cm^3$

Ainsi, le volume de la petite pyramide SMNPQ est :
$V_{petite}\,=\,3{%2C}3\,\overline{3}\,\%2C\,cm^3$

Exercice 36 : rapport de réduction et cône de révolution
On cherche à calculer le volume du grand cône de base le disque de rayon et le volume du petit cône de base le disque de rayon .

1. Calcul du volume du grand cône de rayon et de hauteur :

Le volume d’un cône est donné par la formule:
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$

où est le rayon de la base et est la hauteur. Dans notre cas:
$r\,=\,OA\,=\,7%2C5\,\%2C\,cm$
$h\,=\,SO\,=\,10\,\%2C\,cm$

Donc:
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(7%2C5)^2\,(10)$

Calculons:
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(56%2C25)\,(10)$
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(562%2C5)$
$V\,=\,187%2C5\,\pi\,\%2C\,cm^3$

2. Calcul du rapport de réduction:

Le triangle $\Delta\,SIO$ est semblable au triangle $\Delta\,SAO$ . Donc, les rapports des longueurs correspondantes sont égaux:
$\frac{SI}{SO}\,=\,\frac{IB}{OA}$

On sait que:
$SI\,=\,6\,\%2C\,cm$
$SO\,=\,10\,\%2C\,cm$
$OA\,=\,7%2C5\,\%2C\,cm$

Trouvons :
$\frac{6}{10}\,=\,\frac{IB}{7%2C5}$
$IB\,=\,\frac{6}{10}\,\times \,7%2C5$
$IB\,=\,4%2C5\,\%2C\,cm$

3. Calcul du volume du petit cône de rayon et de hauteur :

Le rayon de sa base est $r\,=\,IB\,=\,4%2C5\,\%2C\,cm$ et la hauteur est $h\,=\,SI\,=\,6\,\%2C\,cm$ .

Donc:
$V'\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$
$V'\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(4%2C5)^2\,(6)$

Calculons:
$V'\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(20%2C25)\,(6)$
$V'\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(121%2C5)$
$V'\,=\,40%2C5\,\pi\,\%2C\,cm^3$

En résumé,
– Le volume du grand cône est $187%2C5\,\pi\,\%2C\,cm^3$ .
– Le volume du petit cône est $40%2C5\,\pi\,\%2C\,cm^3$ .

Le rapport de réduction est:
$\frac{IB}{OA}\,=\,\frac{4%2C5}{7%2C5}\,=\,\frac{3}{5}$

Le rapport des volumes est donc le cube du rapport des longueurs:
$(\frac{3}{5})^3\,=\,\frac{27}{125}$

Et effectivement, on a:
$\frac{40%2C5\,\pi}{187%2C5\,\pi}\,=\,\frac{40%2C5}{187%2C5}\,=\,\frac{27}{125}$

Exercice 37 : une boîte de crème glacée
1. Dans le triangle SAB , nous avons :

$\frac{SE}{SA}\,=\,\frac{EF}{AB}$

$\frac{SE}{SA}\,=\,\frac{12}{16}\,=\,\frac{3}{4}$

2. Pour en déduire la longueur SO' :

Soit l’intersection de et de , nous avons :

$\frac{SO'}{SO}\,=\,\frac{SE}{SA}\,=\,\frac{3}{4}$

Donc,

$SO'\,=\,SO\,\times \,\frac{3}{4}\,=\,32\,\times \,\frac{3}{4}\,=\,24\,\%2C\,cm$

3. Calculer le volume de la pyramide SABCD .

Le volume d’une pyramide est donné par :

$V\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,Base\,\times \,Hauteur$

La base ABCD est un carré de côté $AB\,=\,16\,\%2C\,cm$ , donc

$Base\,=\,AB^2\,=\,16^2\,=\,256\,\%2C\,cm^2$

et la hauteur est $SO\,=\,32\,\%2C\,cm$ . Donc,

$V_{SABCD}\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,256\,\times \,32\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,8192\,=\,2730.67\,\%2C\,cm^3$

4. Calculer le volume de la pyramide SEFGH et en déduire le volume de la boîte.

La base EFGH est un carré de côté $EF\,=\,12\,\%2C\,cm$ , donc

$Base\,=\,EF^2\,=\,12^2\,=\,144\,\%2C\,cm^2$

et la hauteur est $SO'\,=\,24\,\%2C\,cm$ . Donc,

$V_{SEFGH}\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,144\,\times \,24\,=\,\frac{1}{3}\,\times \,3456\,=\,1152\,\%2C\,cm^3$

Le volume de la boîte est donc :

$V_{boite}\,=\,V_{SABCD}\,-\,V_{SEFGH}\,=\,2730.67\,-\,1152\,=\,1578.67\,\%2C\,cm^3$

5. Pour savoir si le volume de la boîte est suffisant pour contenir 1,5 litre de crème glacée.

1,5 litre correspond à $1500\,\%2C\,cm^3$ . Donc, comparons :

$1578.67\,\%2C\,cm^3\,>\,1500\,\%2C\,cm^3$ Exercice 38 : volume et oranges pressées
Chaque orange a un volume donné par la formule du volume d’une sphère :
$V\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,r^3$
où $r\,=\,4$ cm est le rayon de l’orange.

Ainsi, le volume d’une orange est :
$V\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,(4)^3\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,\cdot\,64\,=\,\frac{256\,\pi}{3}\,\\,cm^3$

Naranja presse 24 oranges. Le volume total du jus de 24 oranges, sachant que chaque orange donne 35% de son volume en jus, est donc :
$V_{jus\,total}\,=\,24\,\times \,0.35\,\times \,\frac{256\,\pi}{3}$
$V_{jus\,total}\,=\,24\,\times \,0.35\,\times \,\frac{256\,\pi}{3}$
$V_{jus\,total}\,=\,\frac{24\,\times \,0.35\,\times \,256\,\pi}{3}$
$V_{jus\,total}\,=\,\frac{2145.6\,\pi}{3}$
$V_{jus\,total}\,\approx\,897.92\,\\,cm^3$

Vérifions maintenant si ce volume va déborder du pichet en forme de cylindre.

Le volume du pichet, $V_{pichet}$ , est donné par la formule du volume d’un cylindre :
$V_{pichet}\,=\,\pi\,r^2\,h$
où $r\,=\,6$ cm est le rayon de la base du cylindre et $h\,=\,20$ cm est la hauteur du cylindre.

Ainsi, le volume du pichet est :
$V_{pichet}\,=\,\pi\,\times \,(6)^2\,\times \,20\,=\,\pi\,\times \,36\,\times \,20\,=\,720\,\pi\,\\,cm^3$
$V_{pichet}\,\approx\,2261.95\,\\,cm^3$

Puisque $897.92\,\\,cm^3\,%3C\,2261.95\,\\,cm^3$ , le jus ne va pas déborder du pichet.

Exercice 39 : une gélule avec deux demi-sphères
La gélule est constituée de deux demi-sphères de diamètre $9%2C5\%2C\,mm$ et d’une partie cylindrique de hauteur $16%2C6\%2C\,mm$ .

Le diamètre de la gélule étant $9%2C5\%2C\,mm$ , le rayon vaut :
$r\,=\,\frac{9%2C5}{2}\%2C\,mm\,=\,4%2C75\%2C\,mm$

Volume des deux demi-sphères (équivalent à une sphère complète) :
$V_{demi-spheres}\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,r^3\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,(4%2C75)^3$

Calcul détaillé :
$V_{demi-spheres}\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,(4%2C75)^3\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,\times \,107%2C171875\,=\,\frac{428%2C6875\pi}{3}\,\approx\,449\%2C\,mm^3$

Volume du cylindre :
$V_{cylindre}\,=\,\pi\,r^2\,h\,=\,\pi\,(4%2C75)^2\,\times \,16%2C6$

Calcul détaillé :
$V_{cylindre}\,=\,\pi\,\times \,22%2C5625\,\times \,16%2C6\,=\,373%2C5375\pi\,\approx\,1173\,\%2C\,mm^3$

Volume total de la gélule :
$V_{total}\,=\,V_{demi-spheres}\,%2B\,V_{cylindre}\,=\,449\,%2B\,1173\,=\,1622\,\%2C\,mm^3$

Chaque gélule a une masse volumique de $6%2C15\,\times \,10^{-4}\%2C\,g%2Fmm^3$ , donc la masse d’une gélule est :
$m\,=\,6%2C15\,\times \,10^{-4}\,\times \,1622\,\approx\,0%2C996\,\%2C\,g$

Masse totale d’une boîte contenant 3 plaquettes de 6 gélules :
$Masse_{totale}\,=\,3\,\times \,6\,\times \,0%2C996\,g\,\approx\,17%2C928\,g$

La masse totale arrondie au gramme près est de :
$18\,\%2C\,g$

Exercice 40 : une poupée culbuto et un menuisier
Pour bien assembler les deux sphères avec les sections de même rayon, nous devons calculer O'H' , la distance du centre de la grande sphère au plan , de telle sorte que le rayon des sections de coupe soit identique.

Utilisons les formules de géométrie pour les sections de sphères coupées par un plan.

Pour la petite sphère :
La distance entre le centre et le plan est $OH\,=\,1.2\,\%2C\,cm$ .
Le rayon de la sphère est $R\,=\,1.5\,\%2C\,cm$ .

Le rayon de la section circulaire formée est donné par :
$r^2\,=\,R^2\,-\,OH^2$
$r^2\,=\,(1.5)^2\,-\,(1.2)^2$
$r^2\,=\,2.25\,-\,1.44$
$r^2\,=\,0.81$
$r\,=\,\sqrt{0.81}$
$r\,=\,0.9\,\%2C\,cm$

Maintenant, pour la grande sphère :
Le rayon de la sphère est $R'\,=\,4.1\,\%2C\,cm$ .

Nous cherchons O'H' tel que la section de coupe ait le même rayon que la petite sphère, soit $r\,=\,0.9\,\%2C\,cm$ .

Appliquons à nouveau la formule :
$r^2\,=\,R'^2\,-\,O'H'^2$
$(0.9)^2\,=\,(4.1)^2\,-\,O'H'^2$
$0.81\,=\,16.81\,-\,O'H'^2$
$O'H'^2\,=\,16.81\,-\,0.81$
$O'H'^2\,=\,16$
$O'H'\,=\,\sqrt{16}$
$O'H'\,=\,4\,\%2C\,cm$

Ainsi, la distance O'H' est $4\,\%2C\,cm$ .

Exercice 41 : des bougies en forme de boule
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser le théorème de Pythagore.

1. Considérons la boule de diamètre $10\,\%2C\,cm$ . Le rayon de la boule est donc de :
$R\,=\,\frac{10}{2}\,=\,5\,\%2C\,cm$

2. La base de la section coupée de la boule a un diamètre de $6\,\%2C\,cm$ . Le rayon de cette base est donc de :
$r\,=\,\frac{6}{2}\,=\,3\,\%2C\,cm$

3. Plaçons les points :
– est le centre de la boule.
– est le centre de la base de la section coupée.
– est le sommet de la boule.
– est le point où la section coupée touche la surface de la boule.

4. Nous voulons trouver la hauteur de la bougie.

5. Dans le triangle SPO droit en , est la hauteur recherchée, $PO\,=\,r\,=\,3\,\%2C\,cm$ (car est le rayon de la base de la section coupée) et est le rayon de la boule $R\,=\,5\,\%2C\,cm$ .