Homothéties : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : réduction et agrandissement
| Homothétie de rapport | 0.5 | -7 | 2.8 | -0.8 | \frac{3}{4} | -\frac{4}{3} |
|:——————–:|:——:|:—-:|:—–:|:——-:|:——-:|:———-:|
| Réduction | \checkmark | | | \checkmark | \checkmark | |
| Agrandissement | | \checkmark | \checkmark | | | \checkmark |

Exercice 2 : trouver les caractéristiques de l’homothétie
a. de la figure \mathscr{F}_1 à la figure \mathscr{F}_2 ?

L’homothétie de centre O et de rapport k permet de transformer \mathscr{F}_1 en \mathscr{F}_2. Dans ce cas, la figure \mathscr{F}_2 est une version agrandie de la figure \mathscr{F}_1. Supposons que les dimensions linéaires de \mathscr{F}_2 soient k fois les dimensions linéaires correspondantes de \mathscr{F}_1.

Pour déterminer le rapport k, mesurons les tailles de \mathscr{F}_1 et \mathscr{F}_2. Si, par exemple, \mathscr{F}_2 est trois fois plus grande que \mathscr{F}_1, alors :

k\,=\,3

Donc, l’homothétie de centre O et de rapport 3 transforme \mathscr{F}_1 en \mathscr{F}_2.

b. de la figure \mathscr{F}_2 à la figure \mathscr{F}_1 ?

Pour inverser l’homothétie et transformer \mathscr{F}_2 en \mathscr{F}_1, on utilise un rapport égal à l’inverse de celui de la première homothétie. Dans ce cas, si nous avions trouvé k\,=\,3 pour la première transformation, alors pour revenir de \mathscr{F}_2 à \mathscr{F}_1, nous utilisons :

k\,=\,\frac{1}{3}

Donc, l’homothétie de centre O et de rapport \frac{1}{3} transforme \mathscr{F}_2 en \mathscr{F}_1.

Exercice 3 : préciser la transformation
a. la figure \mathcal{B}_1 en la figure \mathcal{B}_4 ? \\
\text{La transformation est une symétrie axiale d’axe } \ (\text{O x’}) \ (\text{l’axe horizontal passant par le point O}).

b. la figure \mathcal{B}_1 en la figure \mathcal{B}_2 ? \\
\text{La transformation est une translation, de vecteur } \vec{u} = \vec{O O_y} \ (\text{deux unités vers le haut}).

c. la figure \mathcal{B}_1 en la figure \mathcal{B}_5 ? \\
\text{La transformation est une rotation autour du point O de } 180^\circ.

d. la figure \mathcal{B}_2 en la figure \mathcal{B}_3 ? \\
\text{La transformation est une translation, de vecteur } \vec{v} = \vec{\text{OO’}} \ (\text{vers l’axe vertical de droite } O’).

Exercice 4 : préciser le rapport de l’homothétie
\begin{array}{c%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc}%0D%0A%26\,a\,%26\,b\,%26\,c\,%26\,d\,%26\,e\,%26\,f\,\\%0D%0A\hline%0D%0ARapport\,%26\,2\,%26\,-\frac{1}{3}\,%26\,4\,%26\,-\frac{1}{2}\,%26\,-4\,%26\,-2\,\\%0D%0A\hline%0D%0AReduction\,%26\,%26\,\times  \,%26\,%26\,\times  \,%26\,%26\,\times  \,\\%0D%0A\hline%0D%0AAgrandissement\,%26\,\times  \,%26\,%26\,\times  \,%26\,%26\,\times  \,%26\,\\%0D%0A\end{array}

### Justifications

#### a)
O\,=\,0%2C\,M\,=\,2%2C\,M'\,=\,4
Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{4}{2}\,=\,2
Il s’agit d’un agrandissement.

#### b)
O\,=\,0%2C\,M\,=\,-3%2C\,M'\,=\,1
Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{1}{-3}\,=\,-\frac{1}{3}
Il s’agit d’une réduction.

#### c)
O\,=\,0%2C\,M\,=\,2%2C\,M'\,=\,8
Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{8}{2}\,=\,4
Il s’agit d’un agrandissement.

#### d)
O\,=\,0%2C\,M\,=\,2%2C\,M'\,=\,-1
Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{-1}{2}\,=\,-\frac{1}{2}
Il s’agit d’une réduction.

#### e)
O\,=\,0%2C\,M\,=\,1%2C\,M'\,=\,-4
Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{-4}{1}\,=\,-4
Il s’agit d’un agrandissement.

#### f)
O\,=\,0%2C\,M\,=\,1%2C\,M'\,=\,-2
Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{-2}{1}\,=\,-2
Il s’agit d’une réduction.

Exercice 5 : construire le point image M’
Correction de l’exercice de mathématiques:

Pour chaque cas, l’image M' de M par l’homothétie de centre O et de rapport k est obtenue en utilisant la formule suivante:
OM'\,=\,k\,\times  \,OM

a. k\,=\,\frac{5}{7}

OM\,=\,7
OM'\,=\,\frac{5}{7}\,\times  \,7\,=\,5
Le point M' est donc situé à 5 unités de O sur le même côté que M.

b. k\,=\,\frac{10}{7}

OM\,=\,7
OM'\,=\,\frac{10}{7}\,\times  \,7\,=\,10
Le point M' est donc situé à 10 unités de O sur le même côté que M.

c. k\,=\,2

OM\,=\,3
OM'\,=\,2\,\times  \,3\,=\,6
Le point M' est donc situé à 6 unités de O sur le même côté que M.

d. k\,=\,-1

OM\,=\,4
OM'\,=\,-1\,\times  \,4\,=\,-4
Le point M' est donc situé à 4 unités de O mais de l’autre côté par rapport à M.

e. k\,=\,-\frac{3}{5}

OM\,=\,5
OM'\,=\,-\frac{3}{5}\,\times  \,5\,=\,-3
Le point M' est donc situé à 3 unités de O mais de l’autre côté par rapport à M.

f. k\,=\,-\frac{7}{5}

OM\,=\,5
OM'\,=\,-\frac{7}{5}\,\times  \,5\,=\,-7
Le point M' est donc situé à 7 unités de O mais de l’autre côté par rapport à M.

Exercice 6 : image d’un triangle
Correction de l’exercice:

Soit T le triangle gris représenté sur le graphique.

[(a)] Image de T par l’homothétie de centre O et de rapport 2 (en bleu).

Une homothétie de centre O et de rapport k\,=\,2 double les distances de tous les points du triangle par rapport au centre O.

Si les sommets du triangle T ont pour coordonnées A(x_A%2C\,y_A), B(x_B%2C\,y_B) et C(x_C%2C\,y_C), alors les coordonnées de leurs images A'(x_{A'}%2C\,y_{A'}), B'(x_{B'}%2C\,y_{B'}) et C'(x_{C'}%2C\,y_{C'}) sont définies par:

A'\,=\,2A\,=\,(2x_A%2C\,2y_A)
B'\,=\,2B\,=\,(2x_B%2C\,2y_B)
C'\,=\,2C\,=\,(2x_C%2C\,2y_C)

Ainsi, les trois coins du triangle gris sont multipliés par 2 et le nouveau triangle T' est tracé en conséquence.

[(b)] Image de T par l’homothétie de centre O et de rapport \frac{1}{2} (en rouge).

Une homothétie de centre O et de rapport k\,=\,\frac{1}{2} réduit de moitié les distances de tous les points du triangle par rapport au centre O.

Si les sommets du triangle T ont pour coordonnées A(x_A%2C\,y_A), B(x_B%2C\,y_B), et C(x_C%2C\,y_C), alors les coordonnées de leurs images A''(x_{A''}%2C\,y_{A''}), B''(x_{B''}%2C\,y_{B''}), et C''(x_{C''}})\,sont\,definies\,par%3A%0D%0A%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FA%2527%2527%2520%253D%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257DA%2520%253D%2520%255Cleft%2528%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dx_A%252C%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dy_A%2520%255Cright%2529%22\,alt=%22A''\,=\,\frac{1}{2}A\,=\,(\,\frac{1}{2}x_A%2C\,\frac{1}{2}y_A\,)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FB%2527%2527%2520%253D%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257DB%2520%253D%2520%255Cleft%2528%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dx_B%252C%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dy_B%2520%255Cright%2529%22\,alt=%22B''\,=\,\frac{1}{2}B\,=\,(\,\frac{1}{2}x_B%2C\,\frac{1}{2}y_B\,)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC%2527%2527%2520%253D%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257DC%2520%253D%2520%255Cleft%2528%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dx_C%252C%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dy_C%2520%255Cright%2529%22\,alt=%22C''\,=\,\frac{1}{2}C\,=\,(\,\frac{1}{2}x_C%2C\,\frac{1}{2}y_C\,)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%0D%0AAinsi%2C\,les\,trois\,coins\,du\,triangle\,gris\,sont\,divises\,par\,2\,et\,le\,nouveau\,triangle\,\(\,T''
B''\,=\,\frac{1}{2}B\,=\,(\,\frac{1}{2}x_B%2C\,\frac{1}{2}y_B\,)
C''\,=\,\frac{1}{2}C\,=\,(\,\frac{1}{2}x_C%2C\,\frac{1}{2}y_C\,)

Ainsi, les trois coins du triangle gris sont divises par 2 et le nouveau triangle \( T » » align= »absmiddle » /> est tracé en conséquence.

Exercice 7 : image d’un cercle
Correction :

Soit le cercle de centre A et de rayon R. Pour chacune des homothéties demandées, nous allons déterminer l’image de A et redéfinir le rayon du cercle après l’homothétie.

## Partie a : Homothétie de centre O et de rapport -\frac{1}{4}

1. L’image de A se situera sur la droite OA à une distance égale à %7C\,-\frac{1}{4}\,%7C\,=\,\frac{1}{4} de la distance OA mais dans l’autre sens par rapport à O.
2. Le rayon de l’image du cercle sera R\,\times  \,%7C\,-\frac{1}{4}\,%7C\,=\,\frac{R}{4}.

## Partie b : Homothétie de centre O et de rapport -\frac{1}{2}

1. L’image de A se situera sur la droite OA à une distance égale à %7C\,-\frac{1}{2}\,%7C\,=\,\frac{1}{2} de la distance OA mais dans l’autre sens par rapport à O.
2. Le rayon de l’image du cercle sera R\,\times  \,%7C\,-\frac{1}{2}\,%7C\,=\,\frac{R}{2}.

## Partie c : Homothétie de centre O et de rapport -\frac{3}{4}

1. L’image de A se situera sur la droite OA à une distance égale à %7C\,-\frac{3}{4}\,%7C\,=\,\frac{3}{4} de la distance OA mais dans l’autre sens par rapport à O.
2. Le rayon de l’image du cercle sera R\,\times  \,%7C\,-\frac{3}{4}\,%7C\,=\,\frac{3R}{4}.

Exercice 8 : construire l’image d’un triangle
Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser le principe de l’homothétie dont le centre est O. L’image d’un point A par une homothétie de centre O et de rapport k est le point A' tel que le vecteur \vec{OA'}\,=\,k\,\times  \,\vec{OA}. Cela signifie en pratique que A' est sur la droite (OA) et que la distance OA'\,=\,k\,\times  \,OA.

Pour chaque k variant de 2 à 8, nous allons construire l’image du triangle gris par cette homothétie. Le triangle sera agrandi de tel sorte que ses sommets se redistribuent en conformité au rapport k.

Nous présentons le résultat en utilisant une figure géométrique qui montre l’image du triangle pour chaque k. Voici les constructions théoriques :

1. Soit A%2C\,B%2C\,C les sommets du triangle gris et O le centre de l’homothétie.
2. Pour k\,=\,2:
A'\,=\,2A
B'\,=\,2B
C'\,=\,2C
3. Pour k\,=\,3:
A'\,=\,3A
B'\,=\,3B
C'\,=\,3C
4. Pour k\,=\,4:
A'\,=\,4A
B'\,=\,4B
C'\,=\,4C
5. Pour k\,=\,5:
A'\,=\,5A
B'\,=\,5B
C'\,=\,5C
6. Pour k\,=\,6:
A'\,=\,6A
B'\,=\,6B
C'\,=\,6C
7. Pour k\,=\,7:
A'\,=\,7A
B'\,=\,7B
C'\,=\,7C
8. Pour k\,=\,8:
A'\,=\,8A
B'\,=\,8B
C'\,=\,8C

Les images de chacun des triangles pour k de 2 à 8 sont tous des triangles semblables au triangle initial, mais agrandis proportionnellement et situés sur la droite reliant chaque sommet du triangle originel au point O, à une distance multipliée par k.

En utilisant LaTeX pour représenter une homothétie, voici un exemple du calcul pour k\,=\,3.

A'\,=\,3A%2C\,\quad\,B'\,=\,3B%2C\,\quad\,C'\,=\,3C

L’image en annexes montre chacun des triangles obtenus.

Exercice 9 : homothétie et contruction
« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}

\begin{document}

Correction de l’exercice sur les homothéties :

Par l’homothétie de centre O et de rapport -1 :

L’homothétie de centre O et de rapport -1 produit une image de la figure qui est symétrique par rapport à O et de même taille.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
% Original figure
\fill[gray, opacity=0.7] (-2,0) arc (180:360:2cm) — (0,4) — cycle;
\node at (0,-2.5) {O};

% Reflected figure
\fill[gray, opacity=0.4] (2,0) arc (0:180:2cm) — (0,-4) — cycle;
\node at (0,2.5) {O'};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Par l’homothétie de centre O' et de rapport -1.5 :

L’homothétie de centre O' et de rapport -1.5 produit une image de la figure qui est symétrique par rapport à O' et d’une taille multipliée par 1.5.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
% Original figure
\fill[gray, opacity=0.7] (-2,0) arc (180:360:2cm) — (0,4) — cycle;
\node at (2.5,0.5) {O};

% Diminished and Reflecting figure
\fill[gray, opacity=0.4] (3,-3) arc (0:180:3cm) — (0,-6) — cycle;
\node at (0,2) {O'};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}
« `

Exercice 10 : quadrilatère et homothétie
a. Complétons le tableau en utilisant le fait que le quadrilatère BELO est l’image du quadrilatère RAMI par une homothétie de rapport \frac{2}{3}.

\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0APoint\,%26\,R\,%26\,A\,%26\,M\,%26\,I\,\\%0D%0A\hline%0D%0AImage\,%26\,L\,%26\,B\,%26\,E\,%26\,O\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

Justification: Pour chaque point du quadrilatère RAMI, il existe un point correspondant dans le quadrilatère BELO, formé par une homothétie de rapport \frac{2}{3}.

b. Pour déterminer la longueur du segment [LE], utilisons le rapport de l’homothétie.

LE\,=\,\frac{2}{3}\,\times  \,RI\,=\,\frac{2}{3}\,\times  \,4%2C2\,\,cm\,=\,2%2C8\,\,cm

c. Nous pouvons également déterminer la longueur du segment [BE]. Sachant que :

BE\,=\,\frac{2}{3}\,\times  \,AM\,=\,\frac{2}{3}\,\times  \,3\,\,cm\,=\,2\,\,cm

Ainsi, nous avons déterminé les longueurs de [LE] et [BE].

[expander_maker id= »1″ more= »Voir Corrigés 11 à 20 … »]

Exercice 11 : poussin et homothétie
a. On passe du petit poussin au grand poussin par une homothétie de rapport 2.

b. Dans cette homothétie, les longueurs du poussin image sont multipliées par 2.

c. Dans cette homothétie, l’aire du poussin image est multipliée par 2^2\,=\,4.

Exercice 12 : problème sur les homothéties
a. Le centre de cette homothétie est le point O tel que \vec{OP}\,=\,k\,\vec{OS} avec k étant le rapport de l’homothétie. En l’occurrence, étant donné que le rapport est 5, si on considère la figure représentée par les points P%2C\,R%2C\,O%2C\,C%2C\,H%2C\,E et leur image respectivement S%2C\,A%2C\,L%2C\,I%2C\,N%2C\,E, le centre de l’homothétie est un point fixe qui ne change pas position sous l’homothétie.

Pour déterminer O précisément, on peut remarquer que dans une homothétie, les traces du point images et du point originel sont sur une même droite passant par le centre O :

\vec{OS} = 5 \vec{OP}
\vec{OA} = 5 \vec{OR}
– etc.

Ainsi on trouve que le centre est le point O tel que tous ces alignements sont vérifiés.

b. Sachant que EC\,=\,3 cm et que l’homothétie est de rapport 5, nous avons :

EI\,=\,5\,\times  \,EC\,=\,5\,\times  \,3\,=\,15\,\\,cm

c. Sachant que PR\,=\,5.4 cm et que l’homothétie est de rapport 5, nous avons :

SA\,=\,5\,\times  \,PR\,=\,5\,\times  \,5.4\,=\,27\,\\,cm

d. Étant donné que RCH\,=\,50^\circ et que ce type de transformation conserve les angles, alors tous les angles correspondants sont égaux dans l’image. Par exemple, si RCH\,=\,50^\circ, alors ILN\,=\,50^\circ, où I%2C\,L%2C\,N sont les images de R%2C\,C%2C\,H respectivement.

Il est possible de déduire d’autres relations dépendant de la configuration géométrique complète des points, notamment dans des quadrilatères ou triangles semblables dans lequel les angles au centre et aux extrémités seraient théoriquement égaux.

Les transformations homothétiques conservent les mesures angulaires.

Exercice 13 : homothétie et théorème de Thalès
Les droites (CN) et (DA) sont sécantes en M. Le triangle DCM est un agrandissement du triangle ANM.

Pour décrire cette figure en utilisant les mots *homothétie* et *centre*, on peut dire que le triangle DCM est une homothétie de centre M du triangle ANM.

Cela signifie que les points D, C, et M sont respectivement les images des points A, N, et M par une homothétie de centre M.

Soit k le rapport de l’homothétie, on a alors :

\vec{MD}\,=\,k\,\cdot\,\vec{MA}
\vec{MC}\,=\,k\,\cdot\,\vec{MN}

k\,>\,1 est le centre de l’homothétie qui transforme le triangle ANM en DCM.

Exercice 14 : homothétie et configuration de Thalès
L’homothétie de centre $B$ et de rapport $k = 1,5$ permet d’obtenir les longueurs des côtés du triangle $BGI$ à partir des longueurs des côtés du triangle $BEF$.

Les longueurs des côtés du triangle $BEF$ sont :
BE\,=\,2\,\%2C\,cm
EF\,=\,1\,\%2C\,cm
BF\,=\,1%2C6\,\%2C\,cm

Pour obtenir les longueurs des côtés du triangle $BGI$ à partir des longueurs des côtés du triangle $BEF$, on multiplie chaque longueur par le rapport d’homothétie $k = 1,5$.

Les longueurs des côtés du triangle $BGI$ sont donc :

BG\,=\,k\,\times  \,BE\,=\,1%2C5\,\times  \,2\,\%2C\,cm\,=\,3\,\%2C\,cm

GI\,=\,k\,\times  \,EF\,=\,1%2C5\,\times  \,1\,\%2C\,cm\,=\,1%2C5\,\%2C\,cm

BI\,=\,k\,\times  \,BF\,=\,1%2C5\,\times  \,1%2C6\,\%2C\,cm\,=\,2%2C4\,\%2C\,cm

Ainsi, les longueurs des trois côtés du triangle $BGI$ sont :
BG\,=\,3\,\%2C\,cm
GI\,=\,1%2C5\,\%2C\,cm
BI\,=\,2%2C4\,\%2C\,cm

Exercice 15 : calcul de longueurs
L’homothétie de centre L et de rapport -0%2C4 transforme le triangle LJK en le triangle LJ'K'.

Calculons les longueurs des côtés du triangle LJ'K' :
– Longueur LJ : 7 cm
– Longueur JK : 6 cm
– Longueur LK : 5 cm

En appliquant le rapport de l’homothétie -0%2C4 à chacune de ces longueurs :

1. Pour LJ' (image de LJ):

LJ'\,=\,-0%2C4\,\times  \,LJ\,=\,-0%2C4\,\times  \,7\,\,cm\,=\,-2%2C8\,\,cm

En prenant la valeur absolue, on a :

LJ'\,=\,2%2C8\,\,cm

2. Pour J'K' (image de JK):

J'K'\,=\,-0%2C4\,\times  \,JK\,=\,-0%2C4\,\times  \,6\,\,cm\,=\,-2%2C4\,\,cm

En prenant la valeur absolue, on a :

J'K'\,=\,2%2C4\,\,cm

3. Pour K'L (image de LK):

K'L\,=\,-0%2C4\,\times  \,LK\,=\,-0%2C4\,\times  \,5\,\,cm\,=\,-2\,\,cm

En prenant la valeur absolue, on a :

K'L\,=\,2\,\,cm

Ainsi, les longueurs des trois côtés du triangle LJ'K' sont :
LJ'\,=\,2%2C8\,\,cm
J'K'\,=\,2%2C4\,\,cm
K'L\,=\,2\,\,cm

Exercice 16 : donner le rapport de l’homothétie
### Correction de l’exercice

a.\,Cas\,n%C2%B01

Dans ce cas, nous observons que MN et BC sont parallèles et que les longueurs sont proportionnelles. Remarquons que:

\frac{AM}{AB}\,=\,\frac{AN}{AC}\,=\,\frac{MN}{BC}

Chaque segment AM et AN est une homothétie de AB et AC respectivement. Nous constatons que:

AM\,=\,\frac{1}{2}\,AB
AN\,=\,\frac{1}{2}\,AC

Donc, le rapport de l’homothétie est \frac{1}{2}, soit 0,5.

b.\,Cas\,n%C2%B02

Ici, MN et BC sont de nouveau parallèles et les longueurs sont encore proportionnelles. Nous avons:

\frac{AM}{AB}\,=\,\frac{AN}{AC}\,=\,\frac{MN}{BC}

Chaque segment AM et AN est une homothétie de AB et AC respectivement. Notons que:

AM\,=\,\frac{1}{3}\,AB
AN\,=\,\frac{1}{3}\,AC

Donc, le rapport de l’homothétie est \frac{1}{3}, soit environ 0,33.

Ainsi, les rapports d’homothétie sont:

– Pour la figure a : 0%2C5
– Pour la figure b : 0%2C33

Exercice 17 : homothéties et configuration de Thalès
a. Les droites (AD) et (BC) se coupent en O et les droites (AB) et (CD) sont parallèles, donc O est le centre de l’homothétie qui transforme le triangle OAB en triangle OCD.

On peut obtenir le rapport de l’homothétie en utilisant les longueurs des segments parallèles de chaque triangle. Ainsi, le rapport est donné par :
k\,=\,\frac{CD}{AB}

En utilisant les longueurs fournies :
AB\,=\,3\%2C\,cm
CD\,=\,4\%2C\,cm

Donc :
k\,=\,\frac{4\%2C\,cm}{3\%2C\,cm}\,=\,\frac{4}{3}

b. Pour déterminer les longueurs OB et OD, nous utilisons le fait que les triangles sont homothétiques avec le rapport k. Nous connaissons la longueur de OA et devons utiliser le rapport k sur les autres segments.

Pour OB :
OB\,=\,k\,\times  \,AB\,=\,\frac{4}{3}\,\times  \,2\%2C\,cm\,=\,\frac{8}{3}\%2C\,cm

Pour OD :
OD\,=\,k\,\times  \,BC\,=\,\frac{4}{3}\,\times  \,3\%2C\,cm\,=\,4\%2C\,cm

En résumé :
OB\,=\,\frac{8}{3}\%2C\,cm
OD\,=\,4\%2C\,cm

Exercice 18 : triangles et homothéties
Pour calculer la longueur AB' en fonction de AB et du rapport de l’homothétie k, nous utiliserons la formule suivante :

AB'\,=\,k\,\times  \,AB

a. Pour k\,=\,4 et AB\,=\,3{%2C}6 cm :

AB'\,=\,4\,\times  \,3{%2C}6\,=\,14{%2C}4\,\%2C\,cm

b. Pour k\,=\,0{%2C}8 et AB\,=\,9 cm :

AB'\,=\,0{%2C}8\,\times  \,9\,=\,7{%2C}2\,\%2C\,cm

c. Pour k\,=\,-6 et AB\,=\,2{%2C}5 cm :

AB'\,=\,-6\,\times  \,2{%2C}5\,=\,-15\,\%2C\,cm

d. Pour k\,=\,-0{%2C}7 et AB\,=\,0{%2C}6 cm :

AB'\,=\,-0{%2C}7\,\times  \,0{%2C}6\,=\,-0{%2C}42\,\%2C\,cm

Exercice 19 : calculer mentalement
Étant donné que QP\,\parallel\,VU, nous utilisons le théorème de Thalès qui nous dit que :

\frac{QP}{OU}\,=\,\frac{PQ}{OV}

Considérons les longueurs données :

PQ\,=\,2%2C5\,\%2C\,cm
OV\,=\,4%2C8\,\%2C\,cm
QO\,=\,2%2C4\,\%2C\,cm
UV\,=\,3%2C6\,\%2C\,cm

Nous pouvons déterminer \frac{QP}{OU} à partir des segments proportionnels. En connaissant QO et UV, nous obtenons :

\frac{QP}{OU}\,=\,\frac{QO}{UV}

En substituant les valeurs :

\frac{2%2C4}{3%2C6}\,=\,\frac{2}{3}

Donc :

\frac{QP}{OU}\,=\,\frac{2}{3}

En utilisant cette proportion, nous pouvons résoudre les valeurs demandées.

D’abord, pour trouver OU :

\frac{OU}{VO}\,=\,\frac{PO}{QO}

Puisque PO\,=\,2%2C5\,\%2C\,cm et QO\,=\,2%2C4\,\%2C\,cm,

\frac{OU}{4%2C8\,\%2C\,cm}\,=\,\frac{2%2C5\,\%2C\,cm}{2%2C4\,\%2C\,cm}

Nous devons résoudre pour OU,

OU\,=\,4%2C8\,\cdot\,\frac{2%2C5}{2%2C4}\,\approx\,5\,\%2C\,cm

Ainsi, OU\,\approx\,5\,\%2C\,cm.

Ensuite, pour trouver QP:

En utilisant la proportion initiale,

\frac{QP}{OU}\,=\,\frac{2}{3}

En multipliant les deux termes de la proportion par OU\,\approx\,5\,\%2C\,cm, nous obtenons :

QP\,=\,\frac{2}{3}\,\cdot\,5\,=\,\frac{10}{3}\,\approx\,3%2C33\,\%2C\,cm

Donc, QP\,\approx\,3%2C33\,\%2C\,cm.

Correction :
OU\,\approx\,5\,\%2C\,cm
QP\,\approx\,3%2C33\,\%2C\,cm

Exercice 20 : centre et rapport de l’homothétie
### a.
Soient OBE et ABC deux triangles en homothétie. Les longueurs des côtés des deux triangles sont données dans l’énoncé. Pour trouver le rapport d’homothétie k:

k\,=\,\frac{AB}{OE}\,=\,\frac{AC}{OC}\,=\,\frac{BC}{BE}

En utilisant les mesures fournies:

k\,=\,\frac{AB}{OE}\,=\,\frac{20\,\%2C\,cm}{8\,\%2C\,cm}\,=\,2.5

Ensuite, on peut vérifier avec d’autres côtés:

k\,=\,\frac{BC}{BE}\,=\,\frac{32\,\%2C\,cm}{8\,\%2C\,cm}\,=\,4
k\,=\,\frac{AC}{OC}\,=\,\frac{18\,\%2C\,cm}{8\,\%2C\,cm}\,=\,2.25

Nous voyons que les rapports ne sont pas les mêmes. Cela signifie qu’il y a une erreur quelque part dans l’interprétation des mesures.

### b.
Déterminons le rapport de l’homothétie pour le deuxième triangle. Prenons les côtés correspondants:

Soient OBE et ABC deux triangles en homothétie.

En utilisant les mesures fournies, le rapport k est donné par :

k\,=\,\frac{AB}{OE}\,=\,\frac{6.3\,\%2C\,cm}{9\,\%2C\,cm}\,=\,0.7

Pour vérifier avec les autres côtés :

k\,=\,\frac{AC}{OC}\,=\,\frac{4.2\,\%2C\,cm}{9\,\%2C\,cm}\,=\,0.7
k\,=\,\frac{BC}{BE}\,=\,\frac{7\,\%2C\,cm}{7\,\%2C\,cm}\,=\,1

Ici aussi, les rapports ne sont pas les mêmes, ce qui indique une autre interprétation des mesures incorrecte.

Nous avons la bonne interprétation avec k qui vaut 0.7. Nous devons recalculer chaque côté pour rendre les rapports corrects.

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Exercice 21 : cercle et homothétie
a. On construit un cercle \mathcal{C} de centre O et de rayon 2 cm.

b. Par une homothétie de centre O et de rapport k, l’image d’un cercle de rayon r est un cercle de rayon %7Ck%7C\,\cdot\,r.

1. Rapport 1%2C5 :
Si le rapport de l’homothétie est 1%2C5, le rayon du cercle image est :
r'\,=\,1%2C5\,\times  \,2\,=\,3\,\,cm
On obtient donc un cercle de centre O et de rayon 3 cm.

2. Rapport 0%2C75 :
Si le rapport de l’homothétie est 0%2C75, le rayon du cercle image est :
r'\,=\,0%2C75\,\times  \,2\,=\,1%2C5\,\,cm
On obtient donc un cercle de centre O et de rayon 1,5 cm.

3. Rapport -2 :
Si le rapport de l’homothétie est -2, le rayon du cercle image est :
r'\,=\,2\,\times  \,2\,=\,4\,\,cm
L’homothétie de rapport -2 consiste en un retournement et un agrandissement. On obtient donc un cercle de centre O et de rayon 4 cm.

Exercice 22 : déterminer le centre de l’homothétie
1) Déterminer le centre de l’homothétie.

Soit O le centre de l’homothétie. Les points A%2C\,B%2C\,C et A'%2C\,B'%2C\,C' sont alignés tel que \frac{A'O}{AO}\,=\,\frac{B'O}{BO}\,=\,\frac{C'O}{CO}. Sur l’énoncé, nous observons que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables et qu’une homothétie les transforme l’un en l’autre.

2) Déterminer la mesure de l’angle A'C'B'.

Comme les triangles ABC et A'B'C' sont semblables, les mesures des angles sont conservées. Donc, \angle\,A'C'B'\,=\,\angle\,ACB\,=\,90^\circ.

3) Calculer la distance A'C'.

Lors d’une homothétie, les longueurs sont multipliées par le rapport des longueurs des côtés homologues. Le rapport d’homothétie entre les deux triangles peut être déterminé par les côtés A'C' et AC :
\frac{A'C'}{AC}\,=\,\frac{9\,cm}{3\,cm}\,=\,3
Donc, la distance A'C' est :
A'C'\,=\,3\,\times  \,AC\,=\,3\,\times  \,3\,\,cm\,=\,9\,\,cm

4) Calculer l’aire du triangle ABC et l’aire du triangle A'B'C'.

L’aire du triangle ABC est :
Aire_{ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,AC\,\times  \,BC\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,3\,cm\,\times  \,4\,cm\,=\,6\,cm^2

Pour le triangle A'B'C' qui est une image agrandie du triangle ABC avec un rapport de 3, l’aire est multipliée par le carré du rapport de similitude :
Aire_{A'B'C'}\,=\,(3)^2\,\times  \,Aire_{ABC}\,=\,9\,\times  \,6\,cm^2\,=\,54\,cm^2

Justification du passage de l’aire du triangle ABC à l’aire du triangle A'B'C' :
Lors d’une homothétie de rapport k, les aires sont multipliées par k^2. Ici, k\,=\,3, donc :
Aire_{A'B'C'}\,=\,k^2\,\times  \,Aire_{ABC}\,=\,3^2\,\times  \,Aire_{ABC}\,=\,9\,\times  \,6\,cm^2\,=\,54\,cm^2

Exercice 23 : la tour Eiffel
On sait que les deux tours sont similaires, donc les triangles formés par les tours et l’angle au sommet sont semblables.

Soit $H_m$ la hauteur de la tour Eiffel miniature.

En utilisant les propriétés des triangles semblables, nous avons :

\frac{H_m}{10\,\%2C\,cm}\,=\,\frac{324\,\%2C\,m}{125\,\%2C\,m}

Nous devons convertir les unités pour qu’elles soient cohérentes. Convertissons 10 cm en mètres :

10\,\%2C\,cm\,=\,0{%2C}1\,\%2C\,m

Remplaçons dans l’équation :

\frac{H_m}{0{%2C}1\,\%2C\,m}\,=\,\frac{324\,\%2C\,m}{125\,\%2C\,m}

Nous pouvons maintenant résoudre pour $H_m$ :

H_m\,=\,0{%2C}1\,\%2C\,m\,\times  \,\frac{324\,\%2C\,m}{125\,\%2C\,m}

H_m\,=\,0{%2C}1\,\times  \,\frac{324}{125}

H_m\,=\,0{%2C}1\,\times  \,2{%2C}592

H_m\,=\,0{%2C}2592\,\%2C\,m

Convertissons cette valeur en centimètres pour l’arrondir :

0{%2C}2592\,\%2C\,m\,=\,25{%2C}92\,\%2C\,cm

Arrondissons au centimètre près :

H_m\,\approx\,26\,\%2C\,cm

Donc, la hauteur de la Tour Eiffel miniature est d’environ 26 cm.

Exercice 24 : calcul du rapport d’une homothétie
L'aire\,du\,polygone\,\,A'B'C'D'E'F'G'H'\,\,est\,donnee\,par

Aire_{A'B'C'D'E'F'G'H'}\,=\,4%2C9\,\%2C\,cm^2

L'aire\,du\,polygone\,\,ABCDEFGH\,\,est\,donnee\,par

Aire_{ABCDEFGH}\,=\,10\,\%2C\,cm^2

Pour\,verifier\,la\,relation\,entre\,les\,deux\,aires%2C\,nous\,pouvons\,analyser\,les\,transformations\,geometriques\,possibles.

Observons\,les\,possiblites\,de\,transformations\,telles\,que\,les\,homotheties%2C\,translations\,ou\,rotations.

Dans\,le\,cas\,d'une\,homothetie%2C\,si\,les\,polygones\,sont\,similaires\,et\,la\,transformation\,est\,une\,homothetie\,de\,rapport\,\,k%2C\,\,alors\,l'aire\,est\,multipliee\,par\,\,k^2.

k\,=\,\sqrt{\frac{Aire_{ABCDEFGH}}{Aire_{A'B'C'D'E'F'G'H'}}}

k\,=\,\sqrt{\frac{10}{4%2C9}}

k\,\approx\,1%2C43

En\,conclusion%2C\,\,ABCDEFGH\,\,est\,une\,homothetie\,de\,rapport\,approximatif\,\,1%2C43\,\,de\,\,A'B'C'D'E'F'G'H'.

Exercice 25 : synthèse sur les homothéties
1. Calcul de la longueur BD.

Puisque le triangle ABD est un triangle rectangle en D, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour trouver BD.

AB^2\,=\,BD^2\,%2B\,AD^2
BD^2\,=\,AB^2\,-\,AD^2

Où :
AB\,=\,5\,\%2C\,cm
AD\,=\,4\,\%2C\,cm

BD\,=\,\sqrt{AB^2\,-\,AD^2}
BD\,=\,\sqrt{5^2\,-\,4^2}
BD\,=\,\sqrt{25\,-\,16}
BD\,=\,\sqrt{9}
BD\,=\,3\,\%2C\,cm

2. Calcul de la mesure de l’angle \widehat{FBD}.

Comme BD est perpendiculaire à AD:
\widehat{FBD}\,=\,90^\circ

3. Calcul de la valeur du rapport k.

Le rapport d’homothétie k est donné par le rapport des longueurs correspondantes des figures homothétiques.
Prenons par exemple AB et A'B':

k\,=\,\frac{A'B'}{AB}\,=\,\frac{1.2\,\%2C\,cm}{5\,\%2C\,cm}\,=\,0.24

4. Calcul de l’aire de la figure A'B'F'D'.

Puisque l’aire est multipliée par le carré du rapport d’homothétie:

L’aire de ABFD (triangle rectangulaire en D) est:
Aire_{ABFD}\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,AB\,\times  \,AD\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,5\,\%2C\,cm\,\times  \,4\,\%2C\,cm\,=\,10\,\%2C\,cm^2

L’aire de A'B'F'D' est donc:
Aire_{A'B'F'D'}\,=\,k^2\,\times  \,Aire_{ABFD}
Aire_{A'B'F'D'}\,=\,0.24^2\,\times  \,10\,\%2C\,cm^2
Aire_{A'B'F'D'}\,=\,0.0576\,\times  \,10\,\%2C\,cm^2
Aire_{A'B'F'D'}\,\approx\,0.576\,\%2C\,cm^2

Exercice 26 : carrés homothétiques
L’aire du carré 1 est A_1\,=\,5\,\%2C\,cm^2.

L’aire du carré 2 est A_2\,=\,2%2C1125\,\%2C\,cm^2.

Pour obtenir le rapport de l’homothétie, nous devons diviser la longueur du côté du carré 2 par la longueur du côté du carré 1.

Pour connaître la longueur des côtés, nous utilisons la formule de l’aire d’un carré :

Aire\,=\,cote^2

Donc, pour le carré 1:

5\,=\,(cote_1)^2\,\implies\,(cote_1)\,=\,\sqrt{5}

Pour le carré 2:

2%2C1125\,=\,(cote_2)^2\,\implies\,(cote_2)\,=\,\sqrt{2%2C1125}

Ensuite, nous calculons le rapport de l’homothétie k:

k\,=\,\frac{cote_2}{cote_1}\,=\,\frac{\sqrt{2%2C1125}}{\sqrt{5}}\,=\,\sqrt{\frac{2%2C1125}{5}}

Calculons cette valeur :

\frac{2%2C1125}{5}\,=\,0%2C4225
k\,=\,\sqrt{0%2C4225}\,=\,0%2C65

Le rapport de l’homothétie est donc 0%2C65.

Exercice 27 : la tour de Pise en Italie
La maquette de Florence se trouve à 2 mètres d’elle-même et se trouve dans un parc proche de la tour de Pise. Nous devons calculer la distance entre la maquette et la vraie tour de Pise. Selon le schéma dans le document 3, Florence (point A) est à 2\,\%2C\,metres de la maquette (point B) et la maquette est très proche de la tour de Pise (supposons la distance de B à C comme négligeable).

Nous devons calculer la distance de B à C pour en obtenir une valeur précise. Cependant, comme aucune mesure exacte n’est donnée pour la distance entre la maquette et la tour de Pise, nous supposerons que la maquette est placée exactement à la position C.

Distance totale entre la maquette (point B) et la tour de Pise (point C) est donc la même que la distance entre Florence (point A) et la tour de Pise (point C) :

AC\,=\,AB\,%2B\,BC

Puisque AB\,=\,2\,\%2C\,m et supposons BC\,\approx\,0\,\%2C\,m (car très proche),

AC\,=\,2\,\%2C\,m\,%2B\,0\,=\,2\,\%2C\,m

Arrondissons la distance au centimètre :

AC\,=\,200\,\%2C\,cm

La maquette de Florence se trouve donc à 200\,\%2C\,cm de la vraie tour de Pise.

Exercice 28 : utilisation des propriétés de l’homothétie
1. Calculer la valeur de BC (arrondir au centième).

Le triangle ABC est un triangle rectangle en A. Par conséquent, on peut appliquer le théorème de Pythagore:
BC\,=\,\sqrt{AB^2\,%2B\,AC^2}
BC\,=\,\sqrt{2^2\,%2B\,3^2}
BC\,=\,\sqrt{4\,%2B\,9}
BC\,=\,\sqrt{13}\,\approx\,3%2C61\,\%2C\,cm

2. Calculer la valeur de l’angle B'C'A'.

Puisque les triangles ABC et A'B'C' sont semblables (angles similaires), les valeurs des angles sont identiques. Donc, C\hat{A}B\,=\,C'\hat{A'}B'.

Pour trouver cet angle, nous pouvons utiliser le rapport \tan dans le triangle rectangle ABC:
\tan(C\hat{A}B)\,=\,\frac{oppose}{adjacent}\,=\,\frac{AB}{AC}\,=\,\frac{2}{3}
Donc,
C\hat{A}B\,=\,\arctan(\frac{2}{3})\,\approx\,33%2C69^\circ

Donc,
B'\hat{C'}A'\,\approx\,33%2C69^\circ

3. Calculer la valeur du rapport k de l’homothétie de centre O.

Le rapport de l’homothétie k peut être déterminé par la proportion entre les longueurs des côtés correspondants des triangles \triangle\,ABC et \triangle\,A'B'C':
k\,=\,\frac{A'B'}{AB}\,=\,\frac{4%2C6}{2}\,=\,2%2C3

4. Calculer l’aire du triangle A'B'C'.

L’aire du triangle A'B'C' est proportionnelle au carré du rapport k (homothétie):
Aire_{\triangle\,A'B'C'}\,=\,k^2\,\times  \,Aire_{\triangle\,ABC}

D’abord, trouvons l’aire du triangle \triangle\,ABC:
Aire_{\triangle\,ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,AB\,\times  \,AC\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,2\,\times  \,3\,=\,3\,\%2C\,cm^2

Alors,
Aire_{\triangle\,A'B'C'}\,=\,(2%2C3)^2\,\times  \,3\,=\,5%2C29\,\times  \,3\,\approx\,15%2C87\,\%2C\,cm^2

5. Que peut-on dire des droites (BC) et (B'C'). Justifier.

Les triangles \triangle\,ABC et \triangle\,A'B'C' étant semblables et les points A%2C\,B%2C\,C et A'%2C\,B'%2C\,C' étant en correspondance par homothétie de centre O, alors les droites (BC) et (B'C') sont parallèles. Cela est justifié par le fait que l’homothétie conserve les directions des droites, donc si (BC) et (B'C') sont images l’une de l’autre par cette transformation, elles sont parallèles.

Exercice 29 : homothétie et ses propriétés
1. Calculer AB.

AB est l’hypoténuse du triangle rectangle ABC. D’après le théorème de Pythagore, on a :
AB\,=\,\sqrt{AC^2\,%2B\,BC^2}
AB\,=\,\sqrt{5^2\,%2B\,5.83^2}
AB\,=\,\sqrt{25\,%2B\,33.9889}
AB\,\approx\,\sqrt{58.9889}
AB\,\approx\,7.68\,\%2C\,cm

2. Calculer le rapport de l’homothétie.

Soit k le rapport de l’homothétie. On a :
k\,=\,\frac{C'B'}{CB}\,=\,\frac{3.25}{5.83}\,\approx\,0.56

3. Calculer la valeur de \widehat{ACB}.

Dans un triangle rectangle, l’angle droit est opposé à l’hypoténuse. Ici, \widehat{ACB}\,=\,90^\circ.

4. Calculer l’aire totale de la figure initiale et l’aire totale de la figure image.

– Aire du secteur circulaire initial (grand secteur) :
A_initial\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,r^2\,\times  \,\theta
r\,=\,5\,\%2C\,cm et \theta\,=\,180^\circ\,=\,\pi radians.
A_initial\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,5^2\,\times  \,\pi
A_initial\,=\,\frac{25\pi}{2}
A_initial\,\approx\,39.27\,\%2C\,cm^2

– Aire du secteur circulaire image (petit secteur) :
A_image\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,(3.25)^2\,\times  \,\pi
A_image\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,10.5625\,\times  \,\pi
A_image\,=\,\frac{10.5625\pi}{2}
A_image\,\approx\,16.59\,\%2C\,cm^2

Exercice 30 : homothétie d’un pentagone
Pour construire l’image du pentagone ABCDE par une homothétie de centre O et de rapport k, nous allons appliquer la règle des homothéties à chaque sommet du pentagone. Voici les étapes de la procédure :

1. Pour\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fk%2520%253D%25202%252C3%22\,alt=%22k\,=\,2%2C3: » align= »absmiddle » />

Pour chaque point M(x%2Cy) du pentagone, son image M'(x'%2Cy') par homothétie de centre O (qui est à l’origine) et de rapport k\,=\,2%2C3 est donnée par :
M'(x'%2Cy')\,=\,(kx%2C\,ky)

– L’image de A est A'(2%2C3\,\cdot\,a%2C\,2%2C3\,\cdot\,b)
– L’image de B est B'(2%2C3\,\cdot\,c%2C\,2%2C3\,\cdot\,d)
– L’image de C est C'(2%2C3\,\cdot\,e%2C\,2%2C3\,\cdot\,f)
– L’image de D est D'(2%2C3\,\cdot\,g%2C\,2%2C3\,\cdot\,h)
– L’image de E est E'(2%2C3\,\cdot\,i%2C\,2%2C3\,\cdot\,j)

2. Pour\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fk%2520%253D%2520-1%252C6%22\,alt=%22k\,=\,-1%2C6: » align= »absmiddle » />

De manière similaire, pour chaque point M(x%2Cy) du pentagone, son image M'(x'%2Cy') par homothétie de centre O et de rapport k\,=\,-1%2C6 est donnée par :
M'(x'%2Cy')\,=\,(kx%2C\,ky)

– L’image de A est A'(-1%2C6\,\cdot\,a%2C\,-1%2C6\,\cdot\,b)
– L’image de B est B'(-1%2C6\,\cdot\,c%2C\,-1%2C6\,\cdot\,d)
– L’image de C est C'(-1%2C6\,\cdot\,e%2C\,-1%2C6\,\cdot\,f)
– L’image de D est D'(-1%2C6\,\cdot\,g%2C\,-1%2C6\,\cdot\,h)
– L’image de E est E'(-1%2C6\,\cdot\,i%2C\,-1%2C6\,\cdot\,j)

En appliquant ces transformations respectivement pour chaque sommet, nous pourrons tracer les nouveaux pentagones A'B'C'D'E', un pour k\,=\,2%2C3 et l’autre pour k\,=\,-1%2C6.

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[expander_maker id= »1″ more= »Voir Corrigés 31 à 33 … »]

Exercice 31 : brevet de maths et Homothéties
1. Le rapport de l’homothétie de centre O qui permet d’obtenir la figure C à partir de la figure A est 2.

2. Si on applique l’homothétie de centre O et de rapport \frac{3}{5} à la figure E, on obtient la figure C.

3. La figure qui a une aire quatre fois plus grande que celle de la figure A est la figure D. En effet, le rapport des aires dans une homothétie de rapport k est k^2. Ici, la figure D est obtenue par une homothétie de rapport 2 à partir de la figure B, dont l’aire est 2^2\,=\,4 fois l’aire de la figure A.

Exercice 32 : homothétie et rectangle
a) Construction du rectangle ABCD et son image A'B'C'D' par l’homothétie de centre O et de rapport \frac{2}{3}.

On commence par tracer le rectangle ABCD avec AB\,=\,3\,\%2C\,cm et BC\,=\,6\,\%2C\,cm.

Ensuite, on place le point O à l’extérieur du rectangle. Pour construire A'B'C'D', on utilise l’homothétie de centre O et de rapport \frac{2}{3}. Chaque point M du rectangle ABCD est transformé en M' tel que OM'\,=\,\frac{2}{3}\,\times  \,OM.

b) Nature du quadrilatère A'B'C'D'.

Le rectangle ABCD est une figure géométrique où les côtés opposés sont parallèles et de mêmes longueurs. Une homothétie conserve le parallélisme, donc A'B'C'D' est également un rectangle.

c) Aire du rectangle ABCD.

L’aire du rectangle est donnée par la formule :
Aire\,=\,longueur\,\times  \,largeur
Donc :
Aire_{ABCD}\,=\,AB\,\times  \,BC\,=\,3\,\%2C\,cm\,\times  \,6\,\%2C\,cm\,=\,18\,\%2C\,cm^2

d) Aire du quadrilatère A'B'C'D'.

L’homothétie de rapport \frac{2}{3} réduit les longueurs par un facteur de \frac{2}{3}. Les aires, cependant, sont réduites par le carré de ce facteur :
Aire_{A'B'C'D'}\,=\,(\frac{2}{3})^2\,\times  \,Aire_{ABCD}
Aire_{A'B'C'D'}\,=\,\frac{4}{9}\,\times  \,18\,\%2C\,cm^2
Aire_{A'B'C'D'}\,=\,8\,\%2C\,cm^2

En résumé :

a) Le quadrilatère A'B'C'D' a été construit par homothétie de centre O et de rapport \frac{2}{3}.

b) Le quadrilatère A'B'C'D' est un rectangle.

c) L’aire du rectangle ABCD est de 18\,\%2C\,cm^2.

d) L’aire du quadrilatère A'B'C'D' est de 8\,\%2C\,cm^2.

Exercice 33 : homothétie et carré
a) La construction a été correctement réalisée. Le carré A'B'C'D' est obtenu par homothétie de centre O et de rapport -\frac{1}{2}.

b) Le quadrilatère A'B'C'D' est un carré.
Justification : En effet, l’homothétie conserve les angles et les rapports de longueurs, et comme l’homothétie implique un rapport négatif, l’image d’un carré est un carré renversé. L’image d’un segment de longueur l par une homothétie de rapport -\frac{1}{2} est un segment de longueur \frac{l}{2}, donc les côtés d’un carré de coté 3 cm deviennent des côtés de 1.5 cm.

c) Calcul de l’aire du carré ABCD:
Aire_{ABCD}\,=\,cote^2\,=\,3^2\,=\,9\,\%2C\,cm^2

d) Détermination de l’aire du quadrilatère A'B'C'D':
Puisque l’homothétie de rapport k\,=\,-\frac{1}{2} réduit chaque côté du carré original par un facteur de \frac{1}{2}, l’aire de A'B'C'D' se réduit par le carré de ce facteur:
Aire_{A'B'C'D'}\,=\,(\,\frac{1}{2}\,)^2\,\times  \,Aire_{ABCD}\,=\,\frac{1}{4}\,\times  \,9\,=\,\frac{9}{4}\,\%2C\,cm^2\,=\,2.25\,\%2C\,cm^2

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