Homothéties : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : réduction et agrandissement
| Homothétie de rapport | 0.5 | -7 | 2.8 | -0.8 | \frac{3}{4} | -\frac{4}{3} |
|:——————–:|:——:|:—-:|:—–:|:——-:|:——-:|:———-:|
| Réduction | \checkmark | | | \checkmark | \checkmark | |
| Agrandissement | | \checkmark | \checkmark | | | \checkmark |

Exercice 2 : trouver les caractéristiques de l’homothétie
a. de la figure \mathscr{F}_1 à la figure \mathscr{F}_2 ?

L’homothétie de centre O et de rapport k permet de transformer \mathscr{F}_1 en \mathscr{F}_2. Dans ce cas, la figure \mathscr{F}_2 est une version agrandie de la figure \mathscr{F}_1. Supposons que les dimensions linéaires de \mathscr{F}_2 soient k fois les dimensions linéaires correspondantes de \mathscr{F}_1.

Pour déterminer le rapport k, mesurons les tailles de \mathscr{F}_1 et \mathscr{F}_2. Si, par exemple, \mathscr{F}_2 est trois fois plus grande que \mathscr{F}_1, alors :

k\,=\,3

Donc, l’homothétie de centre O et de rapport 3 transforme \mathscr{F}_1 en \mathscr{F}_2.

b. de la figure \mathscr{F}_2 à la figure \mathscr{F}_1 ?

Pour inverser l’homothétie et transformer \mathscr{F}_2 en \mathscr{F}_1, on utilise un rapport égal à l’inverse de celui de la première homothétie. Dans ce cas, si nous avions trouvé k\,=\,3 pour la première transformation, alors pour revenir de \mathscr{F}_2 à \mathscr{F}_1, nous utilisons :

k\,=\,\frac{1}{3}

Donc, l’homothétie de centre O et de rapport \frac{1}{3} transforme \mathscr{F}_2 en \mathscr{F}_1.

Exercice 3 : préciser la transformation
a. la figure \mathcal{B}_1 en la figure \mathcal{B}_4 ? \\
\text{La transformation est une symétrie axiale d’axe } \ (\text{O x’}) \ (\text{l’axe horizontal passant par le point O}).

b. la figure \mathcal{B}_1 en la figure \mathcal{B}_2 ? \\
\text{La transformation est une translation, de vecteur } \vec{u} = \vec{O O_y} \ (\text{deux unités vers le haut}).

c. la figure \mathcal{B}_1 en la figure \mathcal{B}_5 ? \\
\text{La transformation est une rotation autour du point O de } 180^\circ.

d. la figure \mathcal{B}_2 en la figure \mathcal{B}_3 ? \\
\text{La transformation est une translation, de vecteur } \vec{v} = \vec{\text{OO’}} \ (\text{vers l’axe vertical de droite } O’).

Exercice 4 : préciser le rapport de l’homothétie
\begin{array}{c%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc}%0D%0A%26\,a\,%26\,b\,%26\,c\,%26\,d\,%26\,e\,%26\,f\,\\%0D%0A\hline%0D%0ARapport\,%26\,2\,%26\,-\frac{1}{3}\,%26\,4\,%26\,-\frac{1}{2}\,%26\,-4\,%26\,-2\,\\%0D%0A\hline%0D%0AReduction\,%26\,%26\,\times  \,%26\,%26\,\times  \,%26\,%26\,\times  \,\\%0D%0A\hline%0D%0AAgrandissement\,%26\,\times  \,%26\,%26\,\times  \,%26\,%26\,\times  \,%26\,\\%0D%0A\end{array}

### Justifications

#### a)
O\,=\,0%2C\,M\,=\,2%2C\,M'\,=\,4
Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{4}{2}\,=\,2
Il s’agit d’un agrandissement.

#### b)
O\,=\,0%2C\,M\,=\,-3%2C\,M'\,=\,1
Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{1}{-3}\,=\,-\frac{1}{3}
Il s’agit d’une réduction.

#### c)
O\,=\,0%2C\,M\,=\,2%2C\,M'\,=\,8
Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{8}{2}\,=\,4
Il s’agit d’un agrandissement.

#### d)
O\,=\,0%2C\,M\,=\,2%2C\,M'\,=\,-1
Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{-1}{2}\,=\,-\frac{1}{2}
Il s’agit d’une réduction.

#### e)
O\,=\,0%2C\,M\,=\,1%2C\,M'\,=\,-4
Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{-4}{1}\,=\,-4
Il s’agit d’un agrandissement.

#### f)
O\,=\,0%2C\,M\,=\,1%2C\,M'\,=\,-2
Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{-2}{1}\,=\,-2
Il s’agit d’une réduction.

Exercice 5 : construire le point image M’
Correction de l’exercice de mathématiques:

Pour chaque cas, l’image M' de M par l’homothétie de centre O et de rapport k est obtenue en utilisant la formule suivante:
OM'\,=\,k\,\times  \,OM

a. k\,=\,\frac{5}{7}

OM\,=\,7
OM'\,=\,\frac{5}{7}\,\times  \,7\,=\,5
Le point M' est donc situé à 5 unités de O sur le même côté que M.

b. k\,=\,\frac{10}{7}

OM\,=\,7
OM'\,=\,\frac{10}{7}\,\times  \,7\,=\,10
Le point M' est donc situé à 10 unités de O sur le même côté que M.

c. k\,=\,2

OM\,=\,3
OM'\,=\,2\,\times  \,3\,=\,6
Le point M' est donc situé à 6 unités de O sur le même côté que M.

d. k\,=\,-1

OM\,=\,4
OM'\,=\,-1\,\times  \,4\,=\,-4
Le point M' est donc situé à 4 unités de O mais de l’autre côté par rapport à M.

e. k\,=\,-\frac{3}{5}

OM\,=\,5
OM'\,=\,-\frac{3}{5}\,\times  \,5\,=\,-3
Le point M' est donc situé à 3 unités de O mais de l’autre côté par rapport à M.

f. k\,=\,-\frac{7}{5}

OM\,=\,5
OM'\,=\,-\frac{7}{5}\,\times  \,5\,=\,-7
Le point M' est donc situé à 7 unités de O mais de l’autre côté par rapport à M.

Exercice 6 : image d’un triangle
Correction de l’exercice:

Soit T le triangle gris représenté sur le graphique.

[(a)] Image de T par l’homothétie de centre O et de rapport 2 (en bleu).

Une homothétie de centre O et de rapport k\,=\,2 double les distances de tous les points du triangle par rapport au centre O.

Si les sommets du triangle T ont pour coordonnées A(x_A%2C\,y_A), B(x_B%2C\,y_B) et C(x_C%2C\,y_C), alors les coordonnées de leurs images A'(x_{A'}%2C\,y_{A'}), B'(x_{B'}%2C\,y_{B'}) et C'(x_{C'}%2C\,y_{C'}) sont définies par:

A'\,=\,2A\,=\,(2x_A%2C\,2y_A)
B'\,=\,2B\,=\,(2x_B%2C\,2y_B)
C'\,=\,2C\,=\,(2x_C%2C\,2y_C)

Ainsi, les trois coins du triangle gris sont multipliés par 2 et le nouveau triangle T' est tracé en conséquence.

[(b)] Image de T par l’homothétie de centre O et de rapport \frac{1}{2} (en rouge).

Une homothétie de centre O et de rapport k\,=\,\frac{1}{2} réduit de moitié les distances de tous les points du triangle par rapport au centre O.

Si les sommets du triangle T ont pour coordonnées A(x_A%2C\,y_A), B(x_B%2C\,y_B), et C(x_C%2C\,y_C), alors les coordonnées de leurs images A''(x_{A''}%2C\,y_{A''}), B''(x_{B''}%2C\,y_{B''}), et C''(x_{C''}})\,sont\,definies\,par%3A%0D%0A%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FA%2527%2527%2520%253D%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257DA%2520%253D%2520%255Cleft%2528%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dx_A%252C%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dy_A%2520%255Cright%2529%22\,alt=%22A''\,=\,\frac{1}{2}A\,=\,(\,\frac{1}{2}x_A%2C\,\frac{1}{2}y_A\,)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FB%2527%2527%2520%253D%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257DB%2520%253D%2520%255Cleft%2528%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dx_B%252C%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dy_B%2520%255Cright%2529%22\,alt=%22B''\,=\,\frac{1}{2}B\,=\,(\,\frac{1}{2}x_B%2C\,\frac{1}{2}y_B\,)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC%2527%2527%2520%253D%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257DC%2520%253D%2520%255Cleft%2528%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dx_C%252C%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dy_C%2520%255Cright%2529%22\,alt=%22C''\,=\,\frac{1}{2}C\,=\,(\,\frac{1}{2}x_C%2C\,\frac{1}{2}y_C\,)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%0D%0AAinsi%2C\,les\,trois\,coins\,du\,triangle\,gris\,sont\,divises\,par\,2\,et\,le\,nouveau\,triangle\,\(\,T''
B''\,=\,\frac{1}{2}B\,=\,(\,\frac{1}{2}x_B%2C\,\frac{1}{2}y_B\,)
C''\,=\,\frac{1}{2}C\,=\,(\,\frac{1}{2}x_C%2C\,\frac{1}{2}y_C\,)

Ainsi, les trois coins du triangle gris sont divises par 2 et le nouveau triangle \( T » » align= »absmiddle » /> est tracé en conséquence.

Exercice 7 : image d’un cercle
Correction :

Soit le cercle de centre A et de rayon R. Pour chacune des homothéties demandées, nous allons déterminer l’image de A et redéfinir le rayon du cercle après l’homothétie.

## Partie a : Homothétie de centre O et de rapport -\frac{1}{4}

1. L’image de A se situera sur la droite OA à une distance égale à %7C\,-\frac{1}{4}\,%7C\,=\,\frac{1}{4} de la distance OA mais dans l’autre sens par rapport à O.
2. Le rayon de l’image du cercle sera R\,\times  \,%7C\,-\frac{1}{4}\,%7C\,=\,\frac{R}{4}.

## Partie b : Homothétie de centre O et de rapport -\frac{1}{2}

1. L’image de A se situera sur la droite OA à une distance égale à %7C\,-\frac{1}{2}\,%7C\,=\,\frac{1}{2} de la distance OA mais dans l’autre sens par rapport à O.
2. Le rayon de l’image du cercle sera R\,\times  \,%7C\,-\frac{1}{2}\,%7C\,=\,\frac{R}{2}.

## Partie c : Homothétie de centre O et de rapport -\frac{3}{4}

1. L’image de A se situera sur la droite OA à une distance égale à %7C\,-\frac{3}{4}\,%7C\,=\,\frac{3}{4} de la distance OA mais dans l’autre sens par rapport à O.
2. Le rayon de l’image du cercle sera R\,\times  \,%7C\,-\frac{3}{4}\,%7C\,=\,\frac{3R}{4}.

Exercice 8 : construire l’image d’un triangle
Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser le principe de l’homothétie dont le centre est O. L’image d’un point A par une homothétie de centre O et de rapport k est le point A' tel que le vecteur \vec{OA'}\,=\,k\,\times  \,\vec{OA}. Cela signifie en pratique que A' est sur la droite (OA) et que la distance OA'\,=\,k\,\times  \,OA.

Pour chaque k variant de 2 à 8, nous allons construire l’image du triangle gris par cette homothétie. Le triangle sera agrandi de tel sorte que ses sommets se redistribuent en conformité au rapport k.

Nous présentons le résultat en utilisant une figure géométrique qui montre l’image du triangle pour chaque k. Voici les constructions théoriques :

1. Soit A%2C\,B%2C\,C les sommets du triangle gris et O le centre de l’homothétie.
2. Pour k\,=\,2:
A'\,=\,2A
B'\,=\,2B
C'\,=\,2C
3. Pour k\,=\,3:
A'\,=\,3A
B'\,=\,3B
C'\,=\,3C
4. Pour k\,=\,4:
A'\,=\,4A
B'\,=\,4B
C'\,=\,4C
5. Pour k\,=\,5:
A'\,=\,5A
B'\,=\,5B
C'\,=\,5C
6. Pour k\,=\,6:
A'\,=\,6A
B'\,=\,6B
C'\,=\,6C
7. Pour k\,=\,7:
A'\,=\,7A
B'\,=\,7B
C'\,=\,7C
8. Pour k\,=\,8:
A'\,=\,8A
B'\,=\,8B
C'\,=\,8C

Les images de chacun des triangles pour k de 2 à 8 sont tous des triangles semblables au triangle initial, mais agrandis proportionnellement et situés sur la droite reliant chaque sommet du triangle originel au point O, à une distance multipliée par k.

En utilisant LaTeX pour représenter une homothétie, voici un exemple du calcul pour k\,=\,3.

A'\,=\,3A%2C\,\quad\,B'\,=\,3B%2C\,\quad\,C'\,=\,3C

L’image en annexes montre chacun des triangles obtenus.

Exercice 9 : homothétie et contruction
« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}

\begin{document}

Correction de l’exercice sur les homothéties :

Par l’homothétie de centre O et de rapport -1 :

L’homothétie de centre O et de rapport -1 produit une image de la figure qui est symétrique par rapport à O et de même taille.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
% Original figure
\fill[gray, opacity=0.7] (-2,0) arc (180:360:2cm) — (0,4) — cycle;
\node at (0,-2.5) {O};

% Reflected figure
\fill[gray, opacity=0.4] (2,0) arc (0:180:2cm) — (0,-4) — cycle;
\node at (0,2.5) {O'};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Par l’homothétie de centre O' et de rapport -1.5 :

L’homothétie de centre O' et de rapport -1.5 produit une image de la figure qui est symétrique par rapport à O' et d’une taille multipliée par 1.5.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
% Original figure
\fill[gray, opacity=0.7] (-2,0) arc (180:360:2cm) — (0,4) — cycle;
\node at (2.5,0.5) {O};

% Diminished and Reflecting figure
\fill[gray, opacity=0.4] (3,-3) arc (0:180:3cm) — (0,-6) — cycle;
\node at (0,2) {O'};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}
« `

Exercice 10 : quadrilatère et homothétie
a. Complétons le tableau en utilisant le fait que le quadrilatère BELO est l’image du quadrilatère RAMI par une homothétie de rapport \frac{2}{3}.

\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0APoint\,%26\,R\,%26\,A\,%26\,M\,%26\,I\,\\%0D%0A\hline%0D%0AImage\,%26\,L\,%26\,B\,%26\,E\,%26\,O\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

Justification: Pour chaque point du quadrilatère RAMI, il existe un point correspondant dans le quadrilatère BELO, formé par une homothétie de rapport \frac{2}{3}.

b. Pour déterminer la longueur du segment [LE], utilisons le rapport de l’homothétie.

LE\,=\,\frac{2}{3}\,\times  \,RI\,=\,\frac{2}{3}\,\times  \,4%2C2\,\,cm\,=\,2%2C8\,\,cm

c. Nous pouvons également déterminer la longueur du segment [BE]. Sachant que :

BE\,=\,\frac{2}{3}\,\times  \,AM\,=\,\frac{2}{3}\,\times  \,3\,\,cm\,=\,2\,\,cm

Ainsi, nous avons déterminé les longueurs de [LE] et [BE].

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