Homothéties : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 11 : poussin et homothétie
a. On passe du petit poussin au grand poussin par une homothétie de rapport \( 2 \).

b. Dans cette homothétie, les longueurs du poussin image sont multipliées par \( 2 \).

c. Dans cette homothétie, l’aire du poussin image est multipliée par \( 2^2 = 4 \).

Exercice 12 : problème sur les homothéties
a. Le centre de cette homothétie est le point \( O \) tel que \( \vec{OP} = k \vec{OS} \) avec \( k \) étant le rapport de l’homothétie. En l’occurrence, étant donné que le rapport est 5, si on considère la figure représentée par les points \( P, R, O, C, H, E \) et leur image respectivement \( S, A, L, I, N, E \), le centre de l’homothétie est un point fixe qui ne change pas position sous l’homothétie.

Pour déterminer \( O \) précisément, on peut remarquer que dans une homothétie, les traces du point images et du point originel sont sur une même droite passant par le centre \( O \) :

– \( \vec{OS} \) = 5 \( \vec{OP} \)
– \( \vec{OA} \) = 5 \( \vec{OR} \)
– etc.

Ainsi on trouve que le centre est le point \( O \) tel que tous ces alignements sont vérifiés.

b. Sachant que \( EC = 3 \) cm et que l’homothétie est de rapport \( 5 \), nous avons :

\[ EI = 5 \times EC = 5 \times 3 = 15 \ \text{cm} \]

c. Sachant que \( PR = 5.4 \) cm et que l’homothétie est de rapport \( 5 \), nous avons :

\[ SA = 5 \times PR = 5 \times 5.4 = 27 \ \text{cm} \]

d. Étant donné que \( RCH = 50^\circ \) et que ce type de transformation conserve les angles, alors tous les angles correspondants sont égaux dans l’image. Par exemple, si \( RCH = 50^\circ \), alors \( ILN = 50^\circ \), où \( I, L, N \) sont les images de \( R, C, H \) respectivement.

Il est possible de déduire d’autres relations dépendant de la configuration géométrique complète des points, notamment dans des quadrilatères ou triangles semblables dans lequel les angles au centre et aux extrémités seraient théoriquement égaux.

Les transformations homothétiques conservent les mesures angulaires.

Exercice 13 : homothétie et théorème de Thalès
Les droites \((CN)\) et \((DA)\) sont sécantes en \(M\). Le triangle \(DCM\) est un agrandissement du triangle \(ANM\).

Pour décrire cette figure en utilisant les mots *homothétie* et *centre*, on peut dire que le triangle \(DCM\) est une homothétie de centre \(M\) du triangle \(ANM\).

Cela signifie que les points \(D\), \(C\), et \(M\) sont respectivement les images des points \(A\), \(N\), et \(M\) par une homothétie de centre \(M\).

Soit \(k\) le rapport de l’homothétie, on a alors :

\[
\vec{MD} = k \cdot \vec{MA}
\]
\[
\vec{MC} = k \cdot \vec{MN}
\]

où \(k > 1\) car il s’agit d’un agrandissement.

Ainsi, \(M\) est le centre de l’homothétie qui transforme le triangle \(ANM\) en \(DCM\).

Exercice 14 : homothétie et configuration de Thalès
L’homothétie de centre \[B\] et de rapport \[k = 1,5\] permet d’obtenir les longueurs des côtés du triangle \[BGI\] à partir des longueurs des côtés du triangle \[BEF\].

Les longueurs des côtés du triangle \[BEF\] sont :
– \( BE = 2 \, \text{cm} \)
– \( EF = 1 \, \text{cm} \)
– \( BF = 1,6 \, \text{cm} \)

Pour obtenir les longueurs des côtés du triangle \[BGI\] à partir des longueurs des côtés du triangle \[BEF\], on multiplie chaque longueur par le rapport d’homothétie \[k = 1,5\].

Les longueurs des côtés du triangle \[BGI\] sont donc :

\[
BG = k \times BE = 1,5 \times 2 \, \text{cm} = 3 \, \text{cm}
\]

\[
GI = k \times EF = 1,5 \times 1 \, \text{cm} = 1,5 \, \text{cm}
\]

\[
BI = k \times BF = 1,5 \times 1,6 \, \text{cm} = 2,4 \, \text{cm}
\]

Ainsi, les longueurs des trois côtés du triangle \[BGI\] sont :
– \( BG = 3 \, \text{cm} \)
– \( GI = 1,5 \, \text{cm} \)
– \( BI = 2,4 \, \text{cm} \)

Exercice 15 : calcul de longueurs
L’homothétie de centre \( L \) et de rapport \( -0,4 \) transforme le triangle \( LJK \) en le triangle \( LJ’K’ \).

Calculons les longueurs des côtés du triangle \( LJ’K’ \) :
– Longueur \( LJ \) : 7 cm
– Longueur \( JK \) : 6 cm
– Longueur \( LK \) : 5 cm

En appliquant le rapport de l’homothétie \( -0,4 \) à chacune de ces longueurs :

1. Pour \( LJ’ \) (image de \( LJ \)):

\[
LJ’ = -0,4 \times LJ = -0,4 \times 7 \text{ cm} = -2,8 \text{ cm}
\]

En prenant la valeur absolue, on a :

\[
LJ’ = 2,8 \text{ cm}
\]

2. Pour \( J’K’ \) (image de \( JK \)):

\[
J’K’ = -0,4 \times JK = -0,4 \times 6 \text{ cm} = -2,4 \text{ cm}
\]

En prenant la valeur absolue, on a :

\[
J’K’ = 2,4 \text{ cm}
\]

3. Pour \( K’L \) (image de \( LK \)):

\[
K’L = -0,4 \times LK = -0,4 \times 5 \text{ cm} = -2 \text{ cm}
\]

En prenant la valeur absolue, on a :

\[
K’L = 2 \text{ cm}
\]

Ainsi, les longueurs des trois côtés du triangle \( LJ’K’ \) sont :
\[
LJ’ = 2,8 \text{ cm}
\]
\[
J’K’ = 2,4 \text{ cm}
\]
\[
K’L = 2 \text{ cm}
\]

Exercice 16 : donner le rapport de l’homothétie
### Correction de l’exercice

\[\]a. Cas n°1\[\]

Dans ce cas, nous observons que \(MN\) et \(BC\) sont parallèles et que les longueurs sont proportionnelles. Remarquons que:

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \]

Chaque segment \(AM\) et \(AN\) est une homothétie de \(AB\) et \(AC\) respectivement. Nous constatons que:

– \(AM = \frac{1}{2} AB\)
– \(AN = \frac{1}{2} AC\)

Donc, le rapport de l’homothétie est \( \frac{1}{2} \), soit 0,5.

\[\]b. Cas n°2\[\]

Ici, \(MN\) et \(BC\) sont de nouveau parallèles et les longueurs sont encore proportionnelles. Nous avons:

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \]

Chaque segment \(AM\) et \(AN\) est une homothétie de \(AB\) et \(AC\) respectivement. Notons que:

– \(AM = \frac{1}{3} AB\)
– \(AN = \frac{1}{3} AC\)

Donc, le rapport de l’homothétie est \( \frac{1}{3} \), soit environ 0,33.

Ainsi, les rapports d’homothétie sont:

– Pour la figure a : \(0,5\)
– Pour la figure b : \(0,33\)

Exercice 17 : homothéties et configuration de Thalès
a. Les droites (AD) et (BC) se coupent en \( O \) et les droites (AB) et (CD) sont parallèles, donc \(O\) est le centre de l’homothétie qui transforme le triangle \(OAB\) en triangle \(OCD\).

On peut obtenir le rapport de l’homothétie en utilisant les longueurs des segments parallèles de chaque triangle. Ainsi, le rapport est donné par :
\[ k = \frac{CD}{AB} \]

En utilisant les longueurs fournies :
\[ AB = 3\, \text{cm} \]
\[ CD = 4\, \text{cm} \]

Donc :
\[ k = \frac{4\, \text{cm}}{3\, \text{cm}} = \frac{4}{3} \]

b. Pour déterminer les longueurs \( OB \) et \( OD \), nous utilisons le fait que les triangles sont homothétiques avec le rapport \( k \). Nous connaissons la longueur de \( OA \) et devons utiliser le rapport \( k \) sur les autres segments.

Pour \( OB \) :
\[ OB = k \times AB = \frac{4}{3} \times 2\, \text{cm} = \frac{8}{3}\, \text{cm} \]

Pour \( OD \) :
\[ OD = k \times BC = \frac{4}{3} \times 3\, \text{cm} = 4\, \text{cm} \]

En résumé :
\[ OB = \frac{8}{3}\, \text{cm} \]
\[ OD = 4\, \text{cm} \]

Exercice 18 : triangles et homothéties
Pour calculer la longueur \( AB’ \) en fonction de \( AB \) et du rapport de l’homothétie \( k \), nous utiliserons la formule suivante :

\[
AB’ = k \times AB
\]

a. Pour \( k = 4 \) et \( AB = 3{,}6 \) cm :

\[
AB’ = 4 \times 3{,}6 = 14{,}4 \, \text{cm}
\]

b. Pour \( k = 0{,}8 \) et \( AB = 9 \) cm :

\[
AB’ = 0{,}8 \times 9 = 7{,}2 \, \text{cm}
\]

c. Pour \( k = -6 \) et \( AB = 2{,}5 \) cm :

\[
AB’ = -6 \times 2{,}5 = -15 \, \text{cm}
\]

d. Pour \( k = -0{,}7 \) et \( AB = 0{,}6 \) cm :

\[
AB’ = -0{,}7 \times 0{,}6 = -0{,}42 \, \text{cm}
\]

Exercice 19 : calculer mentalement
Étant donné que \(QP \parallel VU\), nous utilisons le théorème de Thalès qui nous dit que :

\[ \frac{QP}{OU} = \frac{PQ}{OV} \]

Considérons les longueurs données :

\[ PQ = 2,5 \, \text{cm} \]
\[ OV = 4,8 \, \text{cm} \]
\[ QO = 2,4 \, \text{cm} \]
\[ UV = 3,6 \, \text{cm} \]

Nous pouvons déterminer \( \frac{QP}{OU} \) à partir des segments proportionnels. En connaissant \(QO\) et \(UV\), nous obtenons :

\[ \frac{QP}{OU} = \frac{QO}{UV} \]

En substituant les valeurs :

\[ \frac{2,4}{3,6} = \frac{2}{3} \]

Donc :

\[ \frac{QP}{OU} = \frac{2}{3} \]

En utilisant cette proportion, nous pouvons résoudre les valeurs demandées.

D’abord, pour trouver \(OU\) :

\[ \frac{OU}{VO} = \frac{PO}{QO} \]

Puisque \(PO = 2,5 \, \text{cm}\) et \(QO = 2,4 \, \text{cm}\),

\[ \frac{OU}{4,8 \, \text{cm}} = \frac{2,5 \, \text{cm}}{2,4 \, \text{cm}} \]

Nous devons résoudre pour \(OU\),

\[ OU = 4,8 \cdot \frac{2,5}{2,4} \approx 5 \, \text{cm} \]

Ainsi, \(OU \approx 5 \, \text{cm}\).

Ensuite, pour trouver \(QP\):

En utilisant la proportion initiale,

\[ \frac{QP}{OU} = \frac{2}{3} \]

En multipliant les deux termes de la proportion par \(OU \approx 5 \, \text{cm}\), nous obtenons :

\[ QP = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3} \approx 3,33 \, \text{cm} \]

Donc, \(QP \approx 3,33 \, \text{cm}\).

Correction :
\[ OU \approx 5 \, \text{cm} \]
\[ QP \approx 3,33 \, \text{cm} \]

Exercice 20 : centre et rapport de l’homothétie
### a.
Soient \( OBE \) et \( ABC \) deux triangles en homothétie. Les longueurs des côtés des deux triangles sont données dans l’énoncé. Pour trouver le rapport d’homothétie \( k \):

\[ k = \frac{AB}{OE} = \frac{AC}{OC} = \frac{BC}{BE} \]

En utilisant les mesures fournies:

\[ k = \frac{AB}{OE} = \frac{20 \, \text{cm}}{8 \, \text{cm}} = 2.5 \]

Ensuite, on peut vérifier avec d’autres côtés:

\[ k = \frac{BC}{BE} = \frac{32 \, \text{cm}}{8 \, \text{cm}} = 4 \]
\[ k = \frac{AC}{OC} = \frac{18 \, \text{cm}}{8 \, \text{cm}} = 2.25 \]

Nous voyons que les rapports ne sont pas les mêmes. Cela signifie qu’il y a une erreur quelque part dans l’interprétation des mesures.

### b.
Déterminons le rapport de l’homothétie pour le deuxième triangle. Prenons les côtés correspondants:

Soient \( OBE \) et \( ABC \) deux triangles en homothétie.

En utilisant les mesures fournies, le rapport \( k \) est donné par :

\[ k = \frac{AB}{OE} = \frac{6.3 \, \text{cm}}{9 \, \text{cm}} = 0.7 \]

Pour vérifier avec les autres côtés :

\[ k = \frac{AC}{OC} = \frac{4.2 \, \text{cm}}{9 \, \text{cm}} = 0.7 \]
\[ k = \frac{BC}{BE} = \frac{7 \, \text{cm}}{7 \, \text{cm}} = 1 \]

Ici aussi, les rapports ne sont pas les mêmes, ce qui indique une autre interprétation des mesures incorrecte.

Nous avons la bonne interprétation avec \( k \) qui vaut 0.7. Nous devons recalculer chaque côté pour rendre les rapports corrects.

Exercice 21 : cercle et homothétie
a. On construit un cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) et de rayon 2 cm.

b. Par une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\), l’image d’un cercle de rayon \(r\) est un cercle de rayon \(|k| \cdot r\).

1. Rapport \(1,5\) :
Si le rapport de l’homothétie est \(1,5\), le rayon du cercle image est :
\[
r’ = 1,5 \times 2 = 3 \text{ cm}
\]
On obtient donc un cercle de centre \(O\) et de rayon 3 cm.

2. Rapport \(0,75\) :
Si le rapport de l’homothétie est \(0,75\), le rayon du cercle image est :
\[
r’ = 0,75 \times 2 = 1,5 \text{ cm}
\]
On obtient donc un cercle de centre \(O\) et de rayon 1,5 cm.

3. Rapport \(-2\) :
Si le rapport de l’homothétie est \(-2\), le rayon du cercle image est :
\[
r’ = 2 \times 2 = 4 \text{ cm}
\]
L’homothétie de rapport \(-2\) consiste en un retournement et un agrandissement. On obtient donc un cercle de centre \(O\) et de rayon 4 cm.

Exercice 22 : déterminer le centre de l’homothétie
1) Déterminer le centre de l’homothétie.

Soit \( O \) le centre de l’homothétie. Les points \( A, B, C \) et \( A’, B’, C’ \) sont alignés tel que \( \frac{A’O}{AO} = \frac{B’O}{BO} = \frac{C’O}{CO} \). Sur l’énoncé, nous observons que les triangles \( ABC \) et \( A’B’C’ \) sont semblables et qu’une homothétie les transforme l’un en l’autre.

2) Déterminer la mesure de l’angle \( A’C’B’ \).

Comme les triangles \( ABC \) et \( A’B’C’ \) sont semblables, les mesures des angles sont conservées. Donc, \( \angle A’C’B’ = \angle ACB = 90^\circ \).

3) Calculer la distance \( A’C’ \).

Lors d’une homothétie, les longueurs sont multipliées par le rapport des longueurs des côtés homologues. Le rapport d’homothétie entre les deux triangles peut être déterminé par les côtés \( A’C’ \) et \( AC \) :
\[
\frac{A’C’}{AC} = \frac{9\text{ cm}}{3\text{ cm}} = 3
\]
Donc, la distance \( A’C’ \) est :
\[
A’C’ = 3 \times AC = 3 \times 3 \text{ cm} = 9 \text{ cm}
\]

4) Calculer l’aire du triangle \( ABC \) et l’aire du triangle \( A’B’C’ \).

L’aire du triangle \( ABC \) est :
\[
\text{Aire}_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 3\text{ cm} \times 4\text{ cm} = 6\text{ cm}^2
\]

Pour le triangle \( A’B’C’ \) qui est une image agrandie du triangle \( ABC \) avec un rapport de 3, l’aire est multipliée par le carré du rapport de similitude :
\[
\text{Aire}_{A’B’C’} = (3)^2 \times \text{Aire}_{ABC} = 9 \times 6\text{ cm}^2 = 54\text{ cm}^2
\]

Justification du passage de l’aire du triangle \( ABC \) à l’aire du triangle \( A’B’C’ \) :
Lors d’une homothétie de rapport \( k \), les aires sont multipliées par \( k^2 \). Ici, \( k = 3 \), donc :
\[
\text{Aire}_{A’B’C’} = k^2 \times \text{Aire}_{ABC} = 3^2 \times \text{Aire}_{ABC} = 9 \times 6\text{ cm}^2 = 54\text{ cm}^2
\]

Exercice 23 : la tour Eiffel
On sait que les deux tours sont similaires, donc les triangles formés par les tours et l’angle au sommet sont semblables.

Soit \[H_m\] la hauteur de la tour Eiffel miniature.

En utilisant les propriétés des triangles semblables, nous avons :

\[ \frac{H_m}{10 \, \text{cm}} = \frac{324 \, \text{m}}{125 \, \text{m}} \]

Nous devons convertir les unités pour qu’elles soient cohérentes. Convertissons 10 cm en mètres :

\[10 \, \text{cm} = 0{,}1 \, \text{m} \]

Remplaçons dans l’équation :

\[ \frac{H_m}{0{,}1 \, \text{m}} = \frac{324 \, \text{m}}{125 \, \text{m}} \]

Nous pouvons maintenant résoudre pour \[H_m\] :

\[ H_m = 0{,}1 \, \text{m} \times \frac{324 \, \text{m}}{125 \, \text{m}} \]

\[ H_m = 0{,}1 \times \frac{324}{125} \]

\[ H_m = 0{,}1 \times 2{,}592 \]

\[ H_m = 0{,}2592 \, \text{m} \]

Convertissons cette valeur en centimètres pour l’arrondir :

\[ 0{,}2592 \, \text{m} = 25{,}92 \, \text{cm} \]

Arrondissons au centimètre près :

\[ H_m \approx 26 \, \text{cm} \]

Donc, la hauteur de la Tour Eiffel miniature est d’environ 26 cm.

Exercice 24 : calcul du rapport d’une homothétie
\[
\text{L’aire du polygone } A’B’C’D’E’F’G’H’ \text{ est donnée par }
\]

\[
\text{Aire}_{A’B’C’D’E’F’G’H’} = 4,9 \, \text{cm}^2
\]

\[
\text{L’aire du polygone } ABCDEFGH \text{ est donnée par }
\]

\[
\text{Aire}_{ABCDEFGH} = 10 \, \text{cm}^2
\]

\[
\text{Pour vérifier la relation entre les deux aires, nous pouvons analyser les transformations géométriques possibles.}
\]

\[
\text{Observons les possiblités de transformations telles que les homothéties, translations ou rotations.}
\]

\[
\text{Dans le cas d’une homothétie, si les polygones sont similaires et la transformation est une homothétie de rapport } k, \text{ alors l’aire est multipliée par } k^2.
\]

\[
k = \sqrt{\frac{\text{Aire}_{ABCDEFGH}}{\text{Aire}_{A’B’C’D’E’F’G’H’}}}
\]

\[
k = \sqrt{\frac{10}{4,9}}
\]

\[
k \approx 1,43
\]

\[
\text{En conclusion, } ABCDEFGH \text{ est une homothétie de rapport approximatif } 1,43 \text{ de } A’B’C’D’E’F’G’H’.
\]

Exercice 25 : synthèse sur les homothéties
1. Calcul de la longueur \( BD \).

Puisque le triangle \( ABD \) est un triangle rectangle en \( D \), on peut utiliser le théorème de Pythagore pour trouver \( BD \).

\[ AB^2 = BD^2 + AD^2 \]
\[ BD^2 = AB^2 – AD^2 \]

Où :
\[ AB = 5 \, \text{cm} \]
\[ AD = 4 \, \text{cm} \]

\[ BD = \sqrt{AB^2 – AD^2} \]
\[ BD = \sqrt{5^2 – 4^2} \]
\[ BD = \sqrt{25 – 16} \]
\[ BD = \sqrt{9} \]
\[ BD = 3 \, \text{cm} \]

2. Calcul de la mesure de l’angle \( \widehat{FBD} \).

Comme \( BD \) est perpendiculaire à \( AD \):
\[ \widehat{FBD} = 90^\circ \]

3. Calcul de la valeur du rapport \( k \).

Le rapport d’homothétie \( k \) est donné par le rapport des longueurs correspondantes des figures homothétiques.
Prenons par exemple \( AB \) et \( A’B’ \):

\[ k = \frac{A’B’}{AB} = \frac{1.2 \, \text{cm}}{5 \, \text{cm}} = 0.24 \]

4. Calcul de l’aire de la figure \( A’B’F’D’ \).

Puisque l’aire est multipliée par le carré du rapport d’homothétie:

L’aire de \( ABFD \) (triangle rectangulaire en \( D \)) est:
\[ \text{Aire}_{ABFD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times 5 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm} = 10 \, \text{cm}^2 \]

L’aire de \( A’B’F’D’ \) est donc:
\[ \text{Aire}_{A’B’F’D’} = k^2 \times \text{Aire}_{ABFD} \]
\[ \text{Aire}_{A’B’F’D’} = 0.24^2 \times 10 \, \text{cm}^2 \]
\[ \text{Aire}_{A’B’F’D’} = 0.0576 \times 10 \, \text{cm}^2 \]
\[ \text{Aire}_{A’B’F’D’} \approx 0.576 \, \text{cm}^2 \]

Exercice 26 : carrés homothétiques
L’aire du carré 1 est \( A_1 = 5 \, \text{cm}^2 \).

L’aire du carré 2 est \( A_2 = 2,1125 \, \text{cm}^2 \).

Pour obtenir le rapport de l’homothétie, nous devons diviser la longueur du côté du carré 2 par la longueur du côté du carré 1.

Pour connaître la longueur des côtés, nous utilisons la formule de l’aire d’un carré :

\[ \text{Aire} = \text{côté}^2 \]

Donc, pour le carré 1:

\[ 5 = (\text{côté}_1)^2 \implies (\text{côté}_1) = \sqrt{5} \]

Pour le carré 2:

\[ 2,1125 = (\text{côté}_2)^2 \implies (\text{côté}_2) = \sqrt{2,1125} \]

Ensuite, nous calculons le rapport de l’homothétie \( k \):

\[ k = \frac{\text{côté}_2}{\text{côté}_1} = \frac{\sqrt{2,1125}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{2,1125}{5}} \]

Calculons cette valeur :

\[ \frac{2,1125}{5} = 0,4225 \]
\[ k = \sqrt{0,4225} = 0,65 \]

Le rapport de l’homothétie est donc \( 0,65 \).

Exercice 27 : la tour de Pise en Italie
La maquette de Florence se trouve à 2 mètres d’elle-même et se trouve dans un parc proche de la tour de Pise. Nous devons calculer la distance entre la maquette et la vraie tour de Pise. Selon le schéma dans le document 3, Florence (point \( A \)) est à \( 2 \, mètres \) de la maquette (point \( B \)) et la maquette est très proche de la tour de Pise (supposons la distance de \( B \) à \( C \) comme négligeable).

Nous devons calculer la distance de \( B \) à \( C \) pour en obtenir une valeur précise. Cependant, comme aucune mesure exacte n’est donnée pour la distance entre la maquette et la tour de Pise, nous supposerons que la maquette est placée exactement à la position \( C \).

Distance totale entre la maquette (point \( B \)) et la tour de Pise (point \( C \)) est donc la même que la distance entre Florence (point \( A \)) et la tour de Pise (point \( C \)) :

\[ AC = AB + BC \]

Puisque \( AB = 2 \, m \) et supposons \( BC \approx 0 \, m \) (car très proche),

\[ AC = 2 \, m + 0 = 2 \, m \]

Arrondissons la distance au centimètre :

\[ AC = 200 \, cm \]

La maquette de Florence se trouve donc à \( 200 \, cm \) de la vraie tour de Pise.

Exercice 28 : utilisation des propriétés de l’homothétie
1. Calculer la valeur de \(BC\) (arrondir au centième).

Le triangle \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\). Par conséquent, on peut appliquer le théorème de Pythagore:
\[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\]
\[BC = \sqrt{2^2 + 3^2}\]
\[BC = \sqrt{4 + 9}\]
\[BC = \sqrt{13} \approx 3,61 \, \text{cm}\]

2. Calculer la valeur de l’angle \(B’C’A’\).

Puisque les triangles \(ABC\) et \(A’B’C’\) sont semblables (angles similaires), les valeurs des angles sont identiques. Donc, \( C\hat{A}B = C’\hat{A’}B’ \).

Pour trouver cet angle, nous pouvons utiliser le rapport \(\tan\) dans le triangle rectangle \(ABC\):
\[\tan(C\hat{A}B) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{3}\]
Donc,
\[C\hat{A}B = \arctan(\frac{2}{3}) \approx 33,69^\circ\]

Donc,
\[B’\hat{C’}A’ \approx 33,69^\circ\]

3. Calculer la valeur du rapport \(k\) de l’homothétie de centre \(O\).

Le rapport de l’homothétie \(k\) peut être déterminé par la proportion entre les longueurs des côtés correspondants des triangles \(\triangle ABC\) et \(\triangle A’B’C’\):
\[k = \frac{A’B’}{AB} = \frac{4,6}{2} = 2,3\]

4. Calculer l’aire du triangle \(A’B’C’\).

L’aire du triangle \(A’B’C’\) est proportionnelle au carré du rapport \(k\) (homothétie):
\[\text{Aire}_{\triangle A’B’C’} = k^2 \times \text{Aire}_{\triangle ABC}\]

D’abord, trouvons l’aire du triangle \(\triangle ABC\):
\[\text{Aire}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \, \text{cm}^2\]

Alors,
\[\text{Aire}_{\triangle A’B’C’} = (2,3)^2 \times 3 = 5,29 \times 3 \approx 15,87 \, \text{cm}^2\]

5. Que peut-on dire des droites \((BC)\) et \((B’C’)\). Justifier.

Les triangles \(\triangle ABC\) et \(\triangle A’B’C’\) étant semblables et les points \(A, B, C\) et \(A’, B’, C’\) étant en correspondance par homothétie de centre \(O\), alors les droites \((BC)\) et \((B’C’)\) sont parallèles. Cela est justifié par le fait que l’homothétie conserve les directions des droites, donc si \((BC)\) et \((B’C’)\) sont images l’une de l’autre par cette transformation, elles sont parallèles.

Exercice 29 : homothétie et ses propriétés
1. Calculer \( AB \).

\( AB \) est l’hypoténuse du triangle rectangle \( ABC \). D’après le théorème de Pythagore, on a :
\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \]
\[ AB = \sqrt{5^2 + 5.83^2} \]
\[ AB = \sqrt{25 + 33.9889} \]
\[ AB \approx \sqrt{58.9889} \]
\[ AB \approx 7.68 \, \text{cm} \]

2. Calculer le rapport de l’homothétie.

Soit \( k \) le rapport de l’homothétie. On a :
\[ k = \frac{C’B’}{CB} = \frac{3.25}{5.83} \approx 0.56 \]

3. Calculer la valeur de \( \widehat{ACB} \).

Dans un triangle rectangle, l’angle droit est opposé à l’hypoténuse. Ici, \(\widehat{ACB} = 90^\circ \).

4. Calculer l’aire totale de la figure initiale et l’aire totale de la figure image.

– Aire du secteur circulaire initial (grand secteur) :
\[ A_\text{initial} = \frac{1}{2} \times r^2 \times \theta \]
où \( r = 5 \, \text{cm} \) et \( \theta = 180^\circ = \pi \) radians.
\[ A_\text{initial} = \frac{1}{2} \times 5^2 \times \pi \]
\[ A_\text{initial} = \frac{25\pi}{2} \]
\[ A_\text{initial} \approx 39.27 \, \text{cm}^2 \]

– Aire du secteur circulaire image (petit secteur) :
\[ A_\text{image} = \frac{1}{2} \times (3.25)^2 \times \pi \]
\[ A_\text{image} = \frac{1}{2} \times 10.5625 \times \pi \]
\[ A_\text{image} = \frac{10.5625\pi}{2} \]
\[ A_\text{image} \approx 16.59 \, \text{cm}^2 \]

Exercice 30 : homothétie d’un pentagone
Pour construire l’image du pentagone ABCDE par une homothétie de centre \( O \) et de rapport \( k \), nous allons appliquer la règle des homothéties à chaque sommet du pentagone. Voici les étapes de la procédure :

1. \[\]Pour \( k = 2,3 \):\[\]

Pour chaque point \( M(x,y) \) du pentagone, son image \( M'(x’,y’) \) par homothétie de centre \( O \) (qui est à l’origine) et de rapport \( k = 2,3 \) est donnée par :
\[
M'(x’,y’) = (kx, ky)
\]

– L’image de \( A \) est \( A'(2,3 \cdot a, 2,3 \cdot b) \)
– L’image de \( B \) est \( B'(2,3 \cdot c, 2,3 \cdot d) \)
– L’image de \( C \) est \( C'(2,3 \cdot e, 2,3 \cdot f) \)
– L’image de \( D \) est \( D'(2,3 \cdot g, 2,3 \cdot h) \)
– L’image de \( E \) est \( E'(2,3 \cdot i, 2,3 \cdot j) \)

2. \[\]Pour \( k = -1,6 \):\[\]

De manière similaire, pour chaque point \( M(x,y) \) du pentagone, son image \( M'(x’,y’) \) par homothétie de centre \( O \) et de rapport \( k = -1,6 \) est donnée par :
\[
M'(x’,y’) = (kx, ky)
\]

– L’image de \( A \) est \( A'(-1,6 \cdot a, -1,6 \cdot b) \)
– L’image de \( B \) est \( B'(-1,6 \cdot c, -1,6 \cdot d) \)
– L’image de \( C \) est \( C'(-1,6 \cdot e, -1,6 \cdot f) \)
– L’image de \( D \) est \( D'(-1,6 \cdot g, -1,6 \cdot h) \)
– L’image de \( E \) est \( E'(-1,6 \cdot i, -1,6 \cdot j) \)

En appliquant ces transformations respectivement pour chaque sommet, nous pourrons tracer les nouveaux pentagones \( A’B’C’D’E’ \), un pour \( k = 2,3 \) et l’autre pour \( k = -1,6 \).

Exercice 31 : brevet de maths et Homothéties
1. Le rapport de l’homothétie de centre \( O \) qui permet d’obtenir la figure \( C \) à partir de la figure \( A \) est \( 2 \).

2. Si on applique l’homothétie de centre \( O \) et de rapport \( \frac{3}{5} \) à la figure \( E \), on obtient la figure \( C \).

3. La figure qui a une aire quatre fois plus grande que celle de la figure \( A \) est la figure \( D \). En effet, le rapport des aires dans une homothétie de rapport \( k \) est \( k^2 \). Ici, la figure \( D \) est obtenue par une homothétie de rapport \( 2 \) à partir de la figure \( B \), dont l’aire est \( 2^2 = 4 \) fois l’aire de la figure \( A \).

Exercice 32 : homothétie et rectangle
a) Construction du rectangle \(ABCD\) et son image \(A’B’C’D’\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\frac{2}{3}\).

On commence par tracer le rectangle \(ABCD\) avec \(AB = 3 \, \text{cm}\) et \(BC = 6 \, \text{cm}\).

Ensuite, on place le point \(O\) à l’extérieur du rectangle. Pour construire \(A’B’C’D’\), on utilise l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\frac{2}{3}\). Chaque point \(M\) du rectangle \(ABCD\) est transformé en \(M’\) tel que \(OM’ = \frac{2}{3} \times OM\).

b) Nature du quadrilatère \(A’B’C’D’\).

Le rectangle \(ABCD\) est une figure géométrique où les côtés opposés sont parallèles et de mêmes longueurs. Une homothétie conserve le parallélisme, donc \(A’B’C’D’\) est également un rectangle.

c) Aire du rectangle \(ABCD\).

L’aire du rectangle est donnée par la formule :
\[ \text{Aire} = \text{longueur} \times \text{largeur} \]
Donc :
\[ \text{Aire}_{ABCD} = AB \times BC = 3 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 18 \, \text{cm}^2 \]

d) Aire du quadrilatère \(A’B’C’D’\).

L’homothétie de rapport \(\frac{2}{3}\) réduit les longueurs par un facteur de \(\frac{2}{3}\). Les aires, cependant, sont réduites par le carré de ce facteur :
\[ \text{Aire}_{A’B’C’D’} = (\frac{2}{3})^2 \times \text{Aire}_{ABCD} \]
\[ \text{Aire}_{A’B’C’D’} = \frac{4}{9} \times 18 \, \text{cm}^2 \]
\[ \text{Aire}_{A’B’C’D’} = 8 \, \text{cm}^2 \]

En résumé :

a) Le quadrilatère \(A’B’C’D’\) a été construit par homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\frac{2}{3}\).

b) Le quadrilatère \(A’B’C’D’\) est un rectangle.

c) L’aire du rectangle \(ABCD\) est de \(18 \, \text{cm}^2\).

d) L’aire du quadrilatère \(A’B’C’D’\) est de \(8 \, \text{cm}^2\).

Exercice 33 : homothétie et carré
a) La construction a été correctement réalisée. Le carré \( A’B’C’D’ \) est obtenu par homothétie de centre \( O \) et de rapport \( -\frac{1}{2} \).

b) Le quadrilatère \( A’B’C’D’ \) est un carré.
Justification : En effet, l’homothétie conserve les angles et les rapports de longueurs, et comme l’homothétie implique un rapport négatif, l’image d’un carré est un carré renversé. L’image d’un segment de longueur \( l \) par une homothétie de rapport \( -\frac{1}{2} \) est un segment de longueur \( \frac{l}{2} \), donc les côtés d’un carré de coté 3 cm deviennent des côtés de 1.5 cm.

c) Calcul de l’aire du carré \( ABCD \):
\[
\text{Aire}_{ABCD} = \text{côté}^2 = 3^2 = 9 \, \text{cm}^2
\]

d) Détermination de l’aire du quadrilatère \( A’B’C’D’ \):
Puisque l’homothétie de rapport \( k = -\frac{1}{2} \) réduit chaque côté du carré original par un facteur de \( \frac{1}{2} \), l’aire de \( A’B’C’D’ \) se réduit par le carré de ce facteur:
\[
\text{Aire}_{A’B’C’D’} = ( \frac{1}{2} )^2 \times \text{Aire}_{ABCD} = \frac{1}{4} \times 9 = \frac{9}{4} \, \text{cm}^2 = 2.25 \, \text{cm}^2
\]