Homothéties : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : réduction et agrandissement
| Homothétie de rapport | | | | | $\frac{3}{4}$ | $-\frac{4}{3}$ |
|:——————–:|:——:|:—-:|:—–:|:——-:|:——-:|:———-:|
| Réduction | $\checkmark$ | | | $\checkmark$ | $\checkmark$ | |
| Agrandissement | | $\checkmark$ | $\checkmark$ | | | $\checkmark$ |

Exercice 2 : trouver les caractéristiques de l’homothétie
a. de la figure $\mathscr{F}_1$ à la figure $\mathscr{F}_2$ ?

L’homothétie de centre et de rapport permet de transformer $\mathscr{F}_1$ en $\mathscr{F}_2$ . Dans ce cas, la figure $\mathscr{F}_2$ est une version agrandie de la figure $\mathscr{F}_1$ . Supposons que les dimensions linéaires de $\mathscr{F}_2$ soient fois les dimensions linéaires correspondantes de $\mathscr{F}_1$ .

Pour déterminer le rapport , mesurons les tailles de $\mathscr{F}_1$ et $\mathscr{F}_2$ . Si, par exemple, $\mathscr{F}_2$ est trois fois plus grande que $\mathscr{F}_1$ , alors :

$k\,=\,3$

Donc, l’homothétie de centre et de rapport transforme $\mathscr{F}_1$ en $\mathscr{F}_2$ .

b. de la figure $\mathscr{F}_2$ à la figure $\mathscr{F}_1$ ?

Pour inverser l’homothétie et transformer $\mathscr{F}_2$ en $\mathscr{F}_1$ , on utilise un rapport égal à l’inverse de celui de la première homothétie. Dans ce cas, si nous avions trouvé $k\,=\,3$ pour la première transformation, alors pour revenir de $\mathscr{F}_2$ à $\mathscr{F}_1$ , nous utilisons :

$k\,=\,\frac{1}{3}$

Donc, l’homothétie de centre et de rapport $\frac{1}{3}$ transforme $\mathscr{F}_2$ en $\mathscr{F}_1$ .

Exercice 3 : préciser la transformation
a. la figure $\mathcal{B}_1$ en la figure $\mathcal{B}_4$ ? \\
\text{La transformation est une symétrie axiale d’axe } \ (\text{O x’}) \ (\text{l’axe horizontal passant par le point O}).

b. la figure $\mathcal{B}_1$ en la figure $\mathcal{B}_2$ ? \\
\text{La transformation est une translation, de vecteur } \vec{u} = \vec{O O_y} \ (\text{deux unités vers le haut}).

c. la figure $\mathcal{B}_1$ en la figure $\mathcal{B}_5$ ? \\
\text{La transformation est une rotation autour du point O de } 180^\circ.

d. la figure $\mathcal{B}_2$ en la figure $\mathcal{B}_3$ ? \\
\text{La transformation est une translation, de vecteur } \vec{v} = \vec{\text{OO’}} \ (\text{vers l’axe vertical de droite } O’).

Exercice 4 : préciser le rapport de l’homothétie
$\begin{array}{c%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc}%0D%0A%26\,a\,%26\,b\,%26\,c\,%26\,d\,%26\,e\,%26\,f\,\\%0D%0A\hline%0D%0ARapport\,%26\,2\,%26\,-\frac{1}{3}\,%26\,4\,%26\,-\frac{1}{2}\,%26\,-4\,%26\,-2\,\\%0D%0A\hline%0D%0AReduction\,%26\,%26\,\times \,%26\,%26\,\times \,%26\,%26\,\times \,\\%0D%0A\hline%0D%0AAgrandissement\,%26\,\times \,%26\,%26\,\times \,%26\,%26\,\times \,%26\,\\%0D%0A\end{array}$

### Justifications

#### a)
$O\,=\,0%2C\,M\,=\,2%2C\,M'\,=\,4$
$Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{4}{2}\,=\,2$
Il s’agit d’un agrandissement.

#### b)
$O\,=\,0%2C\,M\,=\,-3%2C\,M'\,=\,1$
$Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{1}{-3}\,=\,-\frac{1}{3}$
Il s’agit d’une réduction.

#### c)
$O\,=\,0%2C\,M\,=\,2%2C\,M'\,=\,8$
$Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{8}{2}\,=\,4$
Il s’agit d’un agrandissement.

#### d)
$O\,=\,0%2C\,M\,=\,2%2C\,M'\,=\,-1$
$Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{-1}{2}\,=\,-\frac{1}{2}$
Il s’agit d’une réduction.

#### e)
$O\,=\,0%2C\,M\,=\,1%2C\,M'\,=\,-4$
$Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{-4}{1}\,=\,-4$
Il s’agit d’un agrandissement.

#### f)
$O\,=\,0%2C\,M\,=\,1%2C\,M'\,=\,-2$
$Rapport\,=\,\frac{M'}{M}\,=\,\frac{-2}{1}\,=\,-2$
Il s’agit d’une réduction.

Exercice 5 : construire le point image M’
Correction de l’exercice de mathématiques:

Pour chaque cas, l’image de par l’homothétie de centre et de rapport est obtenue en utilisant la formule suivante:
$OM'\,=\,k\,\times \,OM$

a. $k\,=\,\frac{5}{7}$

$OM\,=\,7$
$OM'\,=\,\frac{5}{7}\,\times \,7\,=\,5$
Le point est donc situé à 5 unités de sur le même côté que .

b. $k\,=\,\frac{10}{7}$

$OM\,=\,7$
$OM'\,=\,\frac{10}{7}\,\times \,7\,=\,10$
Le point est donc situé à 10 unités de sur le même côté que .

c. $k\,=\,2$

$OM\,=\,3$
$OM'\,=\,2\,\times \,3\,=\,6$
Le point est donc situé à 6 unités de sur le même côté que .

d. $k\,=\,-1$

$OM\,=\,4$
$OM'\,=\,-1\,\times \,4\,=\,-4$
Le point est donc situé à 4 unités de mais de l’autre côté par rapport à .

e. $k\,=\,-\frac{3}{5}$

$OM\,=\,5$
$OM'\,=\,-\frac{3}{5}\,\times \,5\,=\,-3$
Le point est donc situé à 3 unités de mais de l’autre côté par rapport à .

f. $k\,=\,-\frac{7}{5}$

$OM\,=\,5$
$OM'\,=\,-\frac{7}{5}\,\times \,5\,=\,-7$
Le point est donc situé à 7 unités de mais de l’autre côté par rapport à .

Exercice 6 : image d’un triangle
Correction de l’exercice:

Soit le triangle gris représenté sur le graphique.

[(a)] Image de par l’homothétie de centre et de rapport (en bleu).

Une homothétie de centre et de rapport $k\,=\,2$ double les distances de tous les points du triangle par rapport au centre .

Si les sommets du triangle ont pour coordonnées $A(x_A%2C\,y_A)$ , $B(x_B%2C\,y_B)$ et $C(x_C%2C\,y_C)$ , alors les coordonnées de leurs images $A'(x_{A'}%2C\,y_{A'})$ , $B'(x_{B'}%2C\,y_{B'})$ et $C'(x_{C'}%2C\,y_{C'})$ sont définies par:

$A'\,=\,2A\,=\,(2x_A%2C\,2y_A)$
$B'\,=\,2B\,=\,(2x_B%2C\,2y_B)$
$C'\,=\,2C\,=\,(2x_C%2C\,2y_C)$

Ainsi, les trois coins du triangle gris sont multipliés par 2 et le nouveau triangle est tracé en conséquence.

[(b)] Image de par l’homothétie de centre et de rapport $\frac{1}{2}$ (en rouge).

Une homothétie de centre et de rapport $k\,=\,\frac{1}{2}$ réduit de moitié les distances de tous les points du triangle par rapport au centre .

Si les sommets du triangle ont pour coordonnées $A(x_A%2C\,y_A)$ , $B(x_B%2C\,y_B)$ , et $C(x_C%2C\,y_C)$ , alors les coordonnées de leurs images $A''(x_{A''}%2C\,y_{A''})$ , $B''(x_{B''}%2C\,y_{B''})$ , et $C''(x_{C''}})\,sont\,definies\,par%3A%0D%0A%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FA%2527%2527%2520%253D%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257DA%2520%253D%2520%255Cleft%2528%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dx_A%252C%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dy_A%2520%255Cright%2529%22\,alt=%22A''\,=\,\frac{1}{2}A\,=\,(\,\frac{1}{2}x_A%2C\,\frac{1}{2}y_A\,)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FB%2527%2527%2520%253D%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257DB%2520%253D%2520%255Cleft%2528%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dx_B%252C%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dy_B%2520%255Cright%2529%22\,alt=%22B''\,=\,\frac{1}{2}B\,=\,(\,\frac{1}{2}x_B%2C\,\frac{1}{2}y_B\,)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC%2527%2527%2520%253D%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257DC%2520%253D%2520%255Cleft%2528%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dx_C%252C%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257Dy_C%2520%255Cright%2529%22\,alt=%22C''\,=\,\frac{1}{2}C\,=\,(\,\frac{1}{2}x_C%2C\,\frac{1}{2}y_C\,)%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%0D%0AAinsi%2C\,les\,trois\,coins\,du\,triangle\,gris\,sont\,divises\,par\,2\,et\,le\,nouveau\,triangle\,\(\,T''$
$B''\,=\,\frac{1}{2}B\,=\,(\,\frac{1}{2}x_B%2C\,\frac{1}{2}y_B\,)$
$C''\,=\,\frac{1}{2}C\,=\,(\,\frac{1}{2}x_C%2C\,\frac{1}{2}y_C\,)$

Ainsi, les trois coins du triangle gris sont divises par 2 et le nouveau triangle \( T » » align= »absmiddle » /> est tracé en conséquence.

Exercice 7 : image d’un cercle
Correction :

Soit le cercle de centre et de rayon . Pour chacune des homothéties demandées, nous allons déterminer l’image de et redéfinir le rayon du cercle après l’homothétie.

## Partie a : Homothétie de centre et de rapport $-\frac{1}{4}$

1. L’image de se situera sur la droite à une distance égale à $%7C\,-\frac{1}{4}\,%7C\,=\,\frac{1}{4}$ de la distance mais dans l’autre sens par rapport à .
2. Le rayon de l’image du cercle sera $R\,\times \,%7C\,-\frac{1}{4}\,%7C\,=\,\frac{R}{4}$ .

## Partie b : Homothétie de centre et de rapport $-\frac{1}{2}$

1. L’image de se situera sur la droite à une distance égale à $%7C\,-\frac{1}{2}\,%7C\,=\,\frac{1}{2}$ de la distance mais dans l’autre sens par rapport à .
2. Le rayon de l’image du cercle sera $R\,\times \,%7C\,-\frac{1}{2}\,%7C\,=\,\frac{R}{2}$ .

## Partie c : Homothétie de centre et de rapport $-\frac{3}{4}$

1. L’image de se situera sur la droite à une distance égale à $%7C\,-\frac{3}{4}\,%7C\,=\,\frac{3}{4}$ de la distance mais dans l’autre sens par rapport à .
2. Le rayon de l’image du cercle sera $R\,\times \,%7C\,-\frac{3}{4}\,%7C\,=\,\frac{3R}{4}$ .

Exercice 8 : construire l’image d’un triangle
Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser le principe de l’homothétie dont le centre est . L’image d’un point par une homothétie de centre et de rapport est le point tel que le vecteur $\vec{OA'}\,=\,k\,\times \,\vec{OA}$ . Cela signifie en pratique que est sur la droite et que la distance $OA'\,=\,k\,\times \,OA$ .

Pour chaque variant de 2 à 8, nous allons construire l’image du triangle gris par cette homothétie. Le triangle sera agrandi de tel sorte que ses sommets se redistribuent en conformité au rapport .

Nous présentons le résultat en utilisant une figure géométrique qui montre l’image du triangle pour chaque . Voici les constructions théoriques :

1. Soit $A%2C\,B%2C\,C$ les sommets du triangle gris et le centre de l’homothétie.
2. Pour $k\,=\,2$ :
– $A'\,=\,2A$
– $B'\,=\,2B$
– $C'\,=\,2C$
3. Pour $k\,=\,3$ :
– $A'\,=\,3A$
– $B'\,=\,3B$
– $C'\,=\,3C$
4. Pour $k\,=\,4$ :
– $A'\,=\,4A$
– $B'\,=\,4B$
– $C'\,=\,4C$
5. Pour $k\,=\,5$ :
– $A'\,=\,5A$
– $B'\,=\,5B$
– $C'\,=\,5C$
6. Pour $k\,=\,6$ :
– $A'\,=\,6A$
– $B'\,=\,6B$
– $C'\,=\,6C$
7. Pour $k\,=\,7$ :
– $A'\,=\,7A$
– $B'\,=\,7B$
– $C'\,=\,7C$
8. Pour $k\,=\,8$ :
– $A'\,=\,8A$
– $B'\,=\,8B$
– $C'\,=\,8C$

Les images de chacun des triangles pour de 2 à 8 sont tous des triangles semblables au triangle initial, mais agrandis proportionnellement et situés sur la droite reliant chaque sommet du triangle originel au point , à une distance multipliée par .

En utilisant LaTeX pour représenter une homothétie, voici un exemple du calcul pour $k\,=\,3$ .

$A'\,=\,3A%2C\,\quad\,B'\,=\,3B%2C\,\quad\,C'\,=\,3C$

L’image en annexes montre chacun des triangles obtenus.

Exercice 9 : homothétie et contruction
« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}

\begin{document}

Correction de l’exercice sur les homothéties :

Par l’homothétie de centre et de rapport :

L’homothétie de centre et de rapport produit une image de la figure qui est symétrique par rapport à et de même taille.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
% Original figure
\fill[gray, opacity=0.7] (-2,0) arc (180:360:2cm) — (0,4) — cycle;
\node at (0,-2.5) {};

% Reflected figure
\fill[gray, opacity=0.4] (2,0) arc (0:180:2cm) — (0,-4) — cycle;
\node at (0,2.5) {};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Par l’homothétie de centre et de rapport :

L’homothétie de centre et de rapport produit une image de la figure qui est symétrique par rapport à et d’une taille multipliée par .

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
% Original figure
\fill[gray, opacity=0.7] (-2,0) arc (180:360:2cm) — (0,4) — cycle;
\node at (2.5,0.5) {};

% Diminished and Reflecting figure
\fill[gray, opacity=0.4] (3,-3) arc (0:180:3cm) — (0,-6) — cycle;
\node at (0,2) {};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}
« `

Exercice 10 : quadrilatère et homothétie
a. Complétons le tableau en utilisant le fait que le quadrilatère BELO est l’image du quadrilatère RAMI par une homothétie de rapport $\frac{2}{3}$ .

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0APoint\,%26\,R\,%26\,A\,%26\,M\,%26\,I\,\\%0D%0A\hline%0D%0AImage\,%26\,L\,%26\,B\,%26\,E\,%26\,O\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Justification: Pour chaque point du quadrilatère RAMI, il existe un point correspondant dans le quadrilatère BELO, formé par une homothétie de rapport $\frac{2}{3}$ .

b. Pour déterminer la longueur du segment [LE], utilisons le rapport de l’homothétie.

$LE\,=\,\frac{2}{3}\,\times \,RI\,=\,\frac{2}{3}\,\times \,4%2C2\,\,cm\,=\,2%2C8\,\,cm$

c. Nous pouvons également déterminer la longueur du segment [BE]. Sachant que :

$BE\,=\,\frac{2}{3}\,\times \,AM\,=\,\frac{2}{3}\,\times \,3\,\,cm\,=\,2\,\,cm$

Ainsi, nous avons déterminé les longueurs de [LE] et [BE].

[expander_maker id= »1″ more= »Voir Corrigés 11 à 20 … »]

Exercice 11 : poussin et homothétie
a. On passe du petit poussin au grand poussin par une homothétie de rapport .

b. Dans cette homothétie, les longueurs du poussin image sont multipliées par .

c. Dans cette homothétie, l’aire du poussin image est multipliée par $2^2\,=\,4$ .

Exercice 12 : problème sur les homothéties
a. Le centre de cette homothétie est le point tel que $\vec{OP}\,=\,k\,\vec{OS}$ avec étant le rapport de l’homothétie. En l’occurrence, étant donné que le rapport est 5, si on considère la figure représentée par les points $P%2C\,R%2C\,O%2C\,C%2C\,H%2C\,E$ et leur image respectivement $S%2C\,A%2C\,L%2C\,I%2C\,N%2C\,E$ , le centre de l’homothétie est un point fixe qui ne change pas position sous l’homothétie.

Pour déterminer précisément, on peut remarquer que dans une homothétie, les traces du point images et du point originel sont sur une même droite passant par le centre :

– $\vec{OS}$ = 5 $\vec{OP}$
– $\vec{OA}$ = 5 $\vec{OR}$
– etc.

Ainsi on trouve que le centre est le point tel que tous ces alignements sont vérifiés.

b. Sachant que $EC\,=\,3$ cm et que l’homothétie est de rapport , nous avons :

$EI\,=\,5\,\times \,EC\,=\,5\,\times \,3\,=\,15\,\\,cm$

c. Sachant que $PR\,=\,5.4$ cm et que l’homothétie est de rapport , nous avons :

$SA\,=\,5\,\times \,PR\,=\,5\,\times \,5.4\,=\,27\,\\,cm$

d. Étant donné que $RCH\,=\,50^\circ$ et que ce type de transformation conserve les angles, alors tous les angles correspondants sont égaux dans l’image. Par exemple, si $RCH\,=\,50^\circ$ , alors $ILN\,=\,50^\circ$ , où $I%2C\,L%2C\,N$ sont les images de $R%2C\,C%2C\,H$ respectivement.

Il est possible de déduire d’autres relations dépendant de la configuration géométrique complète des points, notamment dans des quadrilatères ou triangles semblables dans lequel les angles au centre et aux extrémités seraient théoriquement égaux.

Les transformations homothétiques conservent les mesures angulaires.

Exercice 13 : homothétie et théorème de Thalès
Les droites et sont sécantes en . Le triangle est un agrandissement du triangle .

Pour décrire cette figure en utilisant les mots *homothétie* et *centre*, on peut dire que le triangle est une homothétie de centre du triangle .

Cela signifie que les points , , et sont respectivement les images des points , , et par une homothétie de centre .

Soit le rapport de l’homothétie, on a alors :

$\vec{MD}\,=\,k\,\cdot\,\vec{MA}$
$\vec{MC}\,=\,k\,\cdot\,\vec{MN}$

où $k\,>\,1$ est le centre de l’homothétie qui transforme le triangle en .

Exercice 14 : homothétie et configuration de Thalès
L’homothétie de centre $B$ et de rapport $k = 1,5$ permet d’obtenir les longueurs des côtés du triangle $BGI$ à partir des longueurs des côtés du triangle $BEF$.

Les longueurs des côtés du triangle $BEF$ sont :
– $BE\,=\,2\,\%2C\,cm$
– $EF\,=\,1\,\%2C\,cm$
– $BF\,=\,1%2C6\,\%2C\,cm$

Pour obtenir les longueurs des côtés du triangle $BGI$ à partir des longueurs des côtés du triangle $BEF$, on multiplie chaque longueur par le rapport d’homothétie $k = 1,5$.

Les longueurs des côtés du triangle $BGI$ sont donc :

$BG\,=\,k\,\times \,BE\,=\,1%2C5\,\times \,2\,\%2C\,cm\,=\,3\,\%2C\,cm$

$GI\,=\,k\,\times \,EF\,=\,1%2C5\,\times \,1\,\%2C\,cm\,=\,1%2C5\,\%2C\,cm$

$BI\,=\,k\,\times \,BF\,=\,1%2C5\,\times \,1%2C6\,\%2C\,cm\,=\,2%2C4\,\%2C\,cm$

Ainsi, les longueurs des trois côtés du triangle $BGI$ sont :
– $BG\,=\,3\,\%2C\,cm$
– $GI\,=\,1%2C5\,\%2C\,cm$
– $BI\,=\,2%2C4\,\%2C\,cm$

Exercice 15 : calcul de longueurs
L’homothétie de centre et de rapport transforme le triangle en le triangle .

Calculons les longueurs des côtés du triangle :
– Longueur : 7 cm
– Longueur : 6 cm
– Longueur : 5 cm

En appliquant le rapport de l’homothétie à chacune de ces longueurs :

1. Pour (image de ):

$LJ'\,=\,-0%2C4\,\times \,LJ\,=\,-0%2C4\,\times \,7\,\,cm\,=\,-2%2C8\,\,cm$

En prenant la valeur absolue, on a :

$LJ'\,=\,2%2C8\,\,cm$

2. Pour (image de ):

$J'K'\,=\,-0%2C4\,\times \,JK\,=\,-0%2C4\,\times \,6\,\,cm\,=\,-2%2C4\,\,cm$

En prenant la valeur absolue, on a :

$J'K'\,=\,2%2C4\,\,cm$

3. Pour (image de ):

$K'L\,=\,-0%2C4\,\times \,LK\,=\,-0%2C4\,\times \,5\,\,cm\,=\,-2\,\,cm$

En prenant la valeur absolue, on a :

$K'L\,=\,2\,\,cm$

Ainsi, les longueurs des trois côtés du triangle sont :
$LJ'\,=\,2%2C8\,\,cm$
$J'K'\,=\,2%2C4\,\,cm$
$K'L\,=\,2\,\,cm$

Exercice 16 : donner le rapport de l’homothétie
### Correction de l’exercice

$a.\,Cas\,n%C2%B01$

Dans ce cas, nous observons que et sont parallèles et que les longueurs sont proportionnelles. Remarquons que:

$\frac{AM}{AB}\,=\,\frac{AN}{AC}\,=\,\frac{MN}{BC}$

Chaque segment et est une homothétie de et respectivement. Nous constatons que:

– $AM\,=\,\frac{1}{2}\,AB$
– $AN\,=\,\frac{1}{2}\,AC$

Donc, le rapport de l’homothétie est $\frac{1}{2}$ , soit 0,5.

$b.\,Cas\,n%C2%B02$

Ici, et sont de nouveau parallèles et les longueurs sont encore proportionnelles. Nous avons:

$\frac{AM}{AB}\,=\,\frac{AN}{AC}\,=\,\frac{MN}{BC}$

Chaque segment et est une homothétie de et respectivement. Notons que:

– $AM\,=\,\frac{1}{3}\,AB$
– $AN\,=\,\frac{1}{3}\,AC$

Donc, le rapport de l’homothétie est $\frac{1}{3}$ , soit environ 0,33.

Ainsi, les rapports d’homothétie sont:

– Pour la figure a :
– Pour la figure b :

Exercice 17 : homothéties et configuration de Thalès
a. Les droites (AD) et (BC) se coupent en et les droites (AB) et (CD) sont parallèles, donc est le centre de l’homothétie qui transforme le triangle en triangle .

On peut obtenir le rapport de l’homothétie en utilisant les longueurs des segments parallèles de chaque triangle. Ainsi, le rapport est donné par :
$k\,=\,\frac{CD}{AB}$

En utilisant les longueurs fournies :
$AB\,=\,3\%2C\,cm$
$CD\,=\,4\%2C\,cm$

Donc :
$k\,=\,\frac{4\%2C\,cm}{3\%2C\,cm}\,=\,\frac{4}{3}$

b. Pour déterminer les longueurs et , nous utilisons le fait que les triangles sont homothétiques avec le rapport . Nous connaissons la longueur de et devons utiliser le rapport sur les autres segments.

Pour :
$OB\,=\,k\,\times \,AB\,=\,\frac{4}{3}\,\times \,2\%2C\,cm\,=\,\frac{8}{3}\%2C\,cm$

Pour :
$OD\,=\,k\,\times \,BC\,=\,\frac{4}{3}\,\times \,3\%2C\,cm\,=\,4\%2C\,cm$

En résumé :
$OB\,=\,\frac{8}{3}\%2C\,cm$
$OD\,=\,4\%2C\,cm$

Exercice 18 : triangles et homothéties
Pour calculer la longueur en fonction de et du rapport de l’homothétie , nous utiliserons la formule suivante :

$AB'\,=\,k\,\times \,AB$

a. Pour $k\,=\,4$ et $AB\,=\,3{%2C}6$ cm :

$AB'\,=\,4\,\times \,3{%2C}6\,=\,14{%2C}4\,\%2C\,cm$

b. Pour $k\,=\,0{%2C}8$ et $AB\,=\,9$ cm :

$AB'\,=\,0{%2C}8\,\times \,9\,=\,7{%2C}2\,\%2C\,cm$

c. Pour $k\,=\,-6$ et $AB\,=\,2{%2C}5$ cm :

$AB'\,=\,-6\,\times \,2{%2C}5\,=\,-15\,\%2C\,cm$

d. Pour $k\,=\,-0{%2C}7$ et $AB\,=\,0{%2C}6$ cm :

$AB'\,=\,-0{%2C}7\,\times \,0{%2C}6\,=\,-0{%2C}42\,\%2C\,cm$

Exercice 19 : calculer mentalement
Étant donné que $QP\,\parallel\,VU$ , nous utilisons le théorème de Thalès qui nous dit que :

$\frac{QP}{OU}\,=\,\frac{PQ}{OV}$

Considérons les longueurs données :

$PQ\,=\,2%2C5\,\%2C\,cm$
$OV\,=\,4%2C8\,\%2C\,cm$
$QO\,=\,2%2C4\,\%2C\,cm$
$UV\,=\,3%2C6\,\%2C\,cm$

Nous pouvons déterminer $\frac{QP}{OU}$ à partir des segments proportionnels. En connaissant et , nous obtenons :

$\frac{QP}{OU}\,=\,\frac{QO}{UV}$

En substituant les valeurs :

$\frac{2%2C4}{3%2C6}\,=\,\frac{2}{3}$

Donc :

$\frac{QP}{OU}\,=\,\frac{2}{3}$

En utilisant cette proportion, nous pouvons résoudre les valeurs demandées.

D’abord, pour trouver :

$\frac{OU}{VO}\,=\,\frac{PO}{QO}$

Puisque $PO\,=\,2%2C5\,\%2C\,cm$ et $QO\,=\,2%2C4\,\%2C\,cm$ ,

$\frac{OU}{4%2C8\,\%2C\,cm}\,=\,\frac{2%2C5\,\%2C\,cm}{2%2C4\,\%2C\,cm}$

Nous devons résoudre pour ,

$OU\,=\,4%2C8\,\cdot\,\frac{2%2C5}{2%2C4}\,\approx\,5\,\%2C\,cm$

Ainsi, $OU\,\approx\,5\,\%2C\,cm$ .

Ensuite, pour trouver :

En utilisant la proportion initiale,

$\frac{QP}{OU}\,=\,\frac{2}{3}$

En multipliant les deux termes de la proportion par $OU\,\approx\,5\,\%2C\,cm$ , nous obtenons :

$QP\,=\,\frac{2}{3}\,\cdot\,5\,=\,\frac{10}{3}\,\approx\,3%2C33\,\%2C\,cm$

Donc, $QP\,\approx\,3%2C33\,\%2C\,cm$ .

Correction :
$OU\,\approx\,5\,\%2C\,cm$
$QP\,\approx\,3%2C33\,\%2C\,cm$

Exercice 20 : centre et rapport de l’homothétie
### a.
Soient et deux triangles en homothétie. Les longueurs des côtés des deux triangles sont données dans l’énoncé. Pour trouver le rapport d’homothétie :

$k\,=\,\frac{AB}{OE}\,=\,\frac{AC}{OC}\,=\,\frac{BC}{BE}$

En utilisant les mesures fournies:

$k\,=\,\frac{AB}{OE}\,=\,\frac{20\,\%2C\,cm}{8\,\%2C\,cm}\,=\,2.5$

Ensuite, on peut vérifier avec d’autres côtés:

$k\,=\,\frac{BC}{BE}\,=\,\frac{32\,\%2C\,cm}{8\,\%2C\,cm}\,=\,4$
$k\,=\,\frac{AC}{OC}\,=\,\frac{18\,\%2C\,cm}{8\,\%2C\,cm}\,=\,2.25$

Nous voyons que les rapports ne sont pas les mêmes. Cela signifie qu’il y a une erreur quelque part dans l’interprétation des mesures.

### b.
Déterminons le rapport de l’homothétie pour le deuxième triangle. Prenons les côtés correspondants:

Soient et deux triangles en homothétie.

En utilisant les mesures fournies, le rapport est donné par :

$k\,=\,\frac{AB}{OE}\,=\,\frac{6.3\,\%2C\,cm}{9\,\%2C\,cm}\,=\,0.7$

Pour vérifier avec les autres côtés :

$k\,=\,\frac{AC}{OC}\,=\,\frac{4.2\,\%2C\,cm}{9\,\%2C\,cm}\,=\,0.7$
$k\,=\,\frac{BC}{BE}\,=\,\frac{7\,\%2C\,cm}{7\,\%2C\,cm}\,=\,1$

Ici aussi, les rapports ne sont pas les mêmes, ce qui indique une autre interprétation des mesures incorrecte.

Nous avons la bonne interprétation avec qui vaut 0.7. Nous devons recalculer chaque côté pour rendre les rapports corrects.

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Exercice 21 : cercle et homothétie
a. On construit un cercle $\mathcal{C}$ de centre et de rayon 2 cm.

b. Par une homothétie de centre et de rapport , l’image d’un cercle de rayon est un cercle de rayon $%7Ck%7C\,\cdot\,r$ .

1. Rapport :
Si le rapport de l’homothétie est , le rayon du cercle image est :
$r'\,=\,1%2C5\,\times \,2\,=\,3\,\,cm$
On obtient donc un cercle de centre et de rayon 3 cm.

2. Rapport :
Si le rapport de l’homothétie est , le rayon du cercle image est :
$r'\,=\,0%2C75\,\times \,2\,=\,1%2C5\,\,cm$
On obtient donc un cercle de centre et de rayon 1,5 cm.

3. Rapport :
Si le rapport de l’homothétie est , le rayon du cercle image est :
$r'\,=\,2\,\times \,2\,=\,4\,\,cm$
L’homothétie de rapport consiste en un retournement et un agrandissement. On obtient donc un cercle de centre et de rayon 4 cm.

Exercice 22 : déterminer le centre de l’homothétie
1) Déterminer le centre de l’homothétie.

Soit le centre de l’homothétie. Les points $A%2C\,B%2C\,C$ et $A'%2C\,B'%2C\,C'$ sont alignés tel que $\frac{A'O}{AO}\,=\,\frac{B'O}{BO}\,=\,\frac{C'O}{CO}$ . Sur l’énoncé, nous observons que les triangles et sont semblables et qu’une homothétie les transforme l’un en l’autre.

2) Déterminer la mesure de l’angle .

Comme les triangles et sont semblables, les mesures des angles sont conservées. Donc, $\angle\,A'C'B'\,=\,\angle\,ACB\,=\,90^\circ$ .

3) Calculer la distance .

Lors d’une homothétie, les longueurs sont multipliées par le rapport des longueurs des côtés homologues. Le rapport d’homothétie entre les deux triangles peut être déterminé par les côtés et :
$\frac{A'C'}{AC}\,=\,\frac{9\,cm}{3\,cm}\,=\,3$
Donc, la distance est :
$A'C'\,=\,3\,\times \,AC\,=\,3\,\times \,3\,\,cm\,=\,9\,\,cm$

4) Calculer l’aire du triangle et l’aire du triangle .

L’aire du triangle est :
$Aire_{ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,AC\,\times \,BC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,3\,cm\,\times \,4\,cm\,=\,6\,cm^2$

Pour le triangle qui est une image agrandie du triangle avec un rapport de 3, l’aire est multipliée par le carré du rapport de similitude :
$Aire_{A'B'C'}\,=\,(3)^2\,\times \,Aire_{ABC}\,=\,9\,\times \,6\,cm^2\,=\,54\,cm^2$

Justification du passage de l’aire du triangle à l’aire du triangle :
Lors d’une homothétie de rapport , les aires sont multipliées par . Ici, $k\,=\,3$ , donc :
$Aire_{A'B'C'}\,=\,k^2\,\times \,Aire_{ABC}\,=\,3^2\,\times \,Aire_{ABC}\,=\,9\,\times \,6\,cm^2\,=\,54\,cm^2$

Exercice 23 : la tour Eiffel
On sait que les deux tours sont similaires, donc les triangles formés par les tours et l’angle au sommet sont semblables.

Soit $H_m$ la hauteur de la tour Eiffel miniature.

En utilisant les propriétés des triangles semblables, nous avons :

$\frac{H_m}{10\,\%2C\,cm}\,=\,\frac{324\,\%2C\,m}{125\,\%2C\,m}$

Nous devons convertir les unités pour qu’elles soient cohérentes. Convertissons 10 cm en mètres :

$10\,\%2C\,cm\,=\,0{%2C}1\,\%2C\,m$

Remplaçons dans l’équation :

$\frac{H_m}{0{%2C}1\,\%2C\,m}\,=\,\frac{324\,\%2C\,m}{125\,\%2C\,m}$

Nous pouvons maintenant résoudre pour $H_m$ :

$H_m\,=\,0{%2C}1\,\%2C\,m\,\times \,\frac{324\,\%2C\,m}{125\,\%2C\,m}$

$H_m\,=\,0{%2C}1\,\times \,\frac{324}{125}$

$H_m\,=\,0{%2C}1\,\times \,2{%2C}592$

$H_m\,=\,0{%2C}2592\,\%2C\,m$

Convertissons cette valeur en centimètres pour l’arrondir :

$0{%2C}2592\,\%2C\,m\,=\,25{%2C}92\,\%2C\,cm$

Arrondissons au centimètre près :

$H_m\,\approx\,26\,\%2C\,cm$

Donc, la hauteur de la Tour Eiffel miniature est d’environ 26 cm.

Exercice 24 : calcul du rapport d’une homothétie
$L'aire\,du\,polygone\,\,A'B'C'D'E'F'G'H'\,\,est\,donnee\,par$

$Aire_{A'B'C'D'E'F'G'H'}\,=\,4%2C9\,\%2C\,cm^2$

$L'aire\,du\,polygone\,\,ABCDEFGH\,\,est\,donnee\,par$

$Aire_{ABCDEFGH}\,=\,10\,\%2C\,cm^2$

$Pour\,verifier\,la\,relation\,entre\,les\,deux\,aires%2C\,nous\,pouvons\,analyser\,les\,transformations\,geometriques\,possibles.$

$Observons\,les\,possiblites\,de\,transformations\,telles\,que\,les\,homotheties%2C\,translations\,ou\,rotations.$

$Dans\,le\,cas\,d'une\,homothetie%2C\,si\,les\,polygones\,sont\,similaires\,et\,la\,transformation\,est\,une\,homothetie\,de\,rapport\,\,k%2C\,\,alors\,l'aire\,est\,multipliee\,par\,\,k^2.$

$k\,=\,\sqrt{\frac{Aire_{ABCDEFGH}}{Aire_{A'B'C'D'E'F'G'H'}}}$

$k\,=\,\sqrt{\frac{10}{4%2C9}}$

$k\,\approx\,1%2C43$

$En\,conclusion%2C\,\,ABCDEFGH\,\,est\,une\,homothetie\,de\,rapport\,approximatif\,\,1%2C43\,\,de\,\,A'B'C'D'E'F'G'H'.$

Exercice 25 : synthèse sur les homothéties
1. Calcul de la longueur .

Puisque le triangle est un triangle rectangle en , on peut utiliser le théorème de Pythagore pour trouver .

$AB^2\,=\,BD^2\,%2B\,AD^2$
$BD^2\,=\,AB^2\,-\,AD^2$

Où :
$AB\,=\,5\,\%2C\,cm$
$AD\,=\,4\,\%2C\,cm$

$BD\,=\,\sqrt{AB^2\,-\,AD^2}$
$BD\,=\,\sqrt{5^2\,-\,4^2}$
$BD\,=\,\sqrt{25\,-\,16}$
$BD\,=\,\sqrt{9}$
$BD\,=\,3\,\%2C\,cm$

2. Calcul de la mesure de l’angle $\widehat{FBD}$ .

Comme est perpendiculaire à :
$\widehat{FBD}\,=\,90^\circ$

3. Calcul de la valeur du rapport .

Le rapport d’homothétie est donné par le rapport des longueurs correspondantes des figures homothétiques.
Prenons par exemple et :

$k\,=\,\frac{A'B'}{AB}\,=\,\frac{1.2\,\%2C\,cm}{5\,\%2C\,cm}\,=\,0.24$

4. Calcul de l’aire de la figure .

Puisque l’aire est multipliée par le carré du rapport d’homothétie:

L’aire de (triangle rectangulaire en ) est:
$Aire_{ABFD}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,AB\,\times \,AD\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,5\,\%2C\,cm\,\times \,4\,\%2C\,cm\,=\,10\,\%2C\,cm^2$

L’aire de est donc:
$Aire_{A'B'F'D'}\,=\,k^2\,\times \,Aire_{ABFD}$
$Aire_{A'B'F'D'}\,=\,0.24^2\,\times \,10\,\%2C\,cm^2$
$Aire_{A'B'F'D'}\,=\,0.0576\,\times \,10\,\%2C\,cm^2$
$Aire_{A'B'F'D'}\,\approx\,0.576\,\%2C\,cm^2$

Exercice 26 : carrés homothétiques
L’aire du carré 1 est $A_1\,=\,5\,\%2C\,cm^2$ .

L’aire du carré 2 est $A_2\,=\,2%2C1125\,\%2C\,cm^2$ .

Pour obtenir le rapport de l’homothétie, nous devons diviser la longueur du côté du carré 2 par la longueur du côté du carré 1.

Pour connaître la longueur des côtés, nous utilisons la formule de l’aire d’un carré :

$Aire\,=\,cote^2$

Donc, pour le carré 1:

$5\,=\,(cote_1)^2\,\implies\,(cote_1)\,=\,\sqrt{5}$

Pour le carré 2:

$2%2C1125\,=\,(cote_2)^2\,\implies\,(cote_2)\,=\,\sqrt{2%2C1125}$

Ensuite, nous calculons le rapport de l’homothétie :

$k\,=\,\frac{cote_2}{cote_1}\,=\,\frac{\sqrt{2%2C1125}}{\sqrt{5}}\,=\,\sqrt{\frac{2%2C1125}{5}}$

Calculons cette valeur :

$\frac{2%2C1125}{5}\,=\,0%2C4225$
$k\,=\,\sqrt{0%2C4225}\,=\,0%2C65$

Le rapport de l’homothétie est donc .

Exercice 27 : la tour de Pise en Italie
La maquette de Florence se trouve à 2 mètres d’elle-même et se trouve dans un parc proche de la tour de Pise. Nous devons calculer la distance entre la maquette et la vraie tour de Pise. Selon le schéma dans le document 3, Florence (point ) est à $2\,\%2C\,metres$ de la maquette (point ) et la maquette est très proche de la tour de Pise (supposons la distance de à comme négligeable).

Nous devons calculer la distance de à pour en obtenir une valeur précise. Cependant, comme aucune mesure exacte n’est donnée pour la distance entre la maquette et la tour de Pise, nous supposerons que la maquette est placée exactement à la position .

Distance totale entre la maquette (point ) et la tour de Pise (point ) est donc la même que la distance entre Florence (point ) et la tour de Pise (point ) :

$AC\,=\,AB\,%2B\,BC$

Puisque $AB\,=\,2\,\%2C\,m$ et supposons $BC\,\approx\,0\,\%2C\,m$ (car très proche),

$AC\,=\,2\,\%2C\,m\,%2B\,0\,=\,2\,\%2C\,m$

Arrondissons la distance au centimètre :

$AC\,=\,200\,\%2C\,cm$

La maquette de Florence se trouve donc à $200\,\%2C\,cm$ de la vraie tour de Pise.

Exercice 28 : utilisation des propriétés de l’homothétie
1. Calculer la valeur de (arrondir au centième).

Le triangle est un triangle rectangle en . Par conséquent, on peut appliquer le théorème de Pythagore:
$BC\,=\,\sqrt{AB^2\,%2B\,AC^2}$
$BC\,=\,\sqrt{2^2\,%2B\,3^2}$
$BC\,=\,\sqrt{4\,%2B\,9}$
$BC\,=\,\sqrt{13}\,\approx\,3%2C61\,\%2C\,cm$

2. Calculer la valeur de l’angle .

Puisque les triangles et sont semblables (angles similaires), les valeurs des angles sont identiques. Donc, $C\hat{A}B\,=\,C'\hat{A'}B'$ .

Pour trouver cet angle, nous pouvons utiliser le rapport $\tan$ dans le triangle rectangle :
$\tan(C\hat{A}B)\,=\,\frac{oppose}{adjacent}\,=\,\frac{AB}{AC}\,=\,\frac{2}{3}$
Donc,
$C\hat{A}B\,=\,\arctan(\frac{2}{3})\,\approx\,33%2C69^\circ$

Donc,
$B'\hat{C'}A'\,\approx\,33%2C69^\circ$

3. Calculer la valeur du rapport de l’homothétie de centre .

Le rapport de l’homothétie peut être déterminé par la proportion entre les longueurs des côtés correspondants des triangles $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,A'B'C'$ :
$k\,=\,\frac{A'B'}{AB}\,=\,\frac{4%2C6}{2}\,=\,2%2C3$

4. Calculer l’aire du triangle .

L’aire du triangle est proportionnelle au carré du rapport (homothétie):
$Aire_{\triangle\,A'B'C'}\,=\,k^2\,\times \,Aire_{\triangle\,ABC}$

D’abord, trouvons l’aire du triangle $\triangle\,ABC$ :
$Aire_{\triangle\,ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,AB\,\times \,AC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2\,\times \,3\,=\,3\,\%2C\,cm^2$

Alors,
$Aire_{\triangle\,A'B'C'}\,=\,(2%2C3)^2\,\times \,3\,=\,5%2C29\,\times \,3\,\approx\,15%2C87\,\%2C\,cm^2$

5. Que peut-on dire des droites et . Justifier.

Les triangles $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,A'B'C'$ étant semblables et les points $A%2C\,B%2C\,C$ et $A'%2C\,B'%2C\,C'$ étant en correspondance par homothétie de centre , alors les droites et sont parallèles. Cela est justifié par le fait que l’homothétie conserve les directions des droites, donc si et sont images l’une de l’autre par cette transformation, elles sont parallèles.

Exercice 29 : homothétie et ses propriétés
1. Calculer .

est l’hypoténuse du triangle rectangle . D’après le théorème de Pythagore, on a :
$AB\,=\,\sqrt{AC^2\,%2B\,BC^2}$
$AB\,=\,\sqrt{5^2\,%2B\,5.83^2}$
$AB\,=\,\sqrt{25\,%2B\,33.9889}$
$AB\,\approx\,\sqrt{58.9889}$
$AB\,\approx\,7.68\,\%2C\,cm$

2. Calculer le rapport de l’homothétie.

Soit le rapport de l’homothétie. On a :
$k\,=\,\frac{C'B'}{CB}\,=\,\frac{3.25}{5.83}\,\approx\,0.56$

3. Calculer la valeur de $\widehat{ACB}$ .

Dans un triangle rectangle, l’angle droit est opposé à l’hypoténuse. Ici, $\widehat{ACB}\,=\,90^\circ$ .

4. Calculer l’aire totale de la figure initiale et l’aire totale de la figure image.

– Aire du secteur circulaire initial (grand secteur) :
$A_initial\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,r^2\,\times \,\theta$
où $r\,=\,5\,\%2C\,cm$ et $\theta\,=\,180^\circ\,=\,\pi$ radians.
$A_initial\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,5^2\,\times \,\pi$
$A_initial\,=\,\frac{25\pi}{2}$
$A_initial\,\approx\,39.27\,\%2C\,cm^2$

– Aire du secteur circulaire image (petit secteur) :
$A_image\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(3.25)^2\,\times \,\pi$
$A_image\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,10.5625\,\times \,\pi$
$A_image\,=\,\frac{10.5625\pi}{2}$
$A_image\,\approx\,16.59\,\%2C\,cm^2$

Exercice 30 : homothétie d’un pentagone
Pour construire l’image du pentagone ABCDE par une homothétie de centre et de rapport , nous allons appliquer la règle des homothéties à chaque sommet du pentagone. Voici les étapes de la procédure :

1. $Pour\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fk%2520%253D%25202%252C3%22\,alt=%22k\,=\,2%2C3$ : » align= »absmiddle » />

Pour chaque point du pentagone, son image par homothétie de centre (qui est à l’origine) et de rapport $k\,=\,2%2C3$ est donnée par :
$M'(x'%2Cy')\,=\,(kx%2C\,ky)$

– L’image de est $A'(2%2C3\,\cdot\,a%2C\,2%2C3\,\cdot\,b)$
– L’image de est $B'(2%2C3\,\cdot\,c%2C\,2%2C3\,\cdot\,d)$
– L’image de est $C'(2%2C3\,\cdot\,e%2C\,2%2C3\,\cdot\,f)$
– L’image de est $D'(2%2C3\,\cdot\,g%2C\,2%2C3\,\cdot\,h)$
– L’image de est $E'(2%2C3\,\cdot\,i%2C\,2%2C3\,\cdot\,j)$

2. $Pour\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fk%2520%253D%2520-1%252C6%22\,alt=%22k\,=\,-1%2C6$ : » align= »absmiddle » />

De manière similaire, pour chaque point du pentagone, son image par homothétie de centre et de rapport $k\,=\,-1%2C6$ est donnée par :
$M'(x'%2Cy')\,=\,(kx%2C\,ky)$

– L’image de est $A'(-1%2C6\,\cdot\,a%2C\,-1%2C6\,\cdot\,b)$
– L’image de est $B'(-1%2C6\,\cdot\,c%2C\,-1%2C6\,\cdot\,d)$
– L’image de est $C'(-1%2C6\,\cdot\,e%2C\,-1%2C6\,\cdot\,f)$
– L’image de est $D'(-1%2C6\,\cdot\,g%2C\,-1%2C6\,\cdot\,h)$
– L’image de est $E'(-1%2C6\,\cdot\,i%2C\,-1%2C6\,\cdot\,j)$

En appliquant ces transformations respectivement pour chaque sommet, nous pourrons tracer les nouveaux pentagones , un pour $k\,=\,2%2C3$ et l’autre pour $k\,=\,-1%2C6$ .

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[expander_maker id= »1″ more= »Voir Corrigés 31 à 33 … »]

Exercice 31 : brevet de maths et Homothéties
1. Le rapport de l’homothétie de centre qui permet d’obtenir la figure à partir de la figure est .

2. Si on applique l’homothétie de centre et de rapport $\frac{3}{5}$ à la figure , on obtient la figure .

3. La figure qui a une aire quatre fois plus grande que celle de la figure est la figure . En effet, le rapport des aires dans une homothétie de rapport est . Ici, la figure est obtenue par une homothétie de rapport à partir de la figure , dont l’aire est $2^2\,=\,4$ fois l’aire de la figure .

Exercice 32 : homothétie et rectangle
a) Construction du rectangle et son image par l’homothétie de centre et de rapport $\frac{2}{3}$ .

On commence par tracer le rectangle avec $AB\,=\,3\,\%2C\,cm$ et $BC\,=\,6\,\%2C\,cm$ .

Ensuite, on place le point à l’extérieur du rectangle. Pour construire , on utilise l’homothétie de centre et de rapport $\frac{2}{3}$ . Chaque point du rectangle est transformé en tel que $OM'\,=\,\frac{2}{3}\,\times \,OM$ .

b) Nature du quadrilatère .

Le rectangle est une figure géométrique où les côtés opposés sont parallèles et de mêmes longueurs. Une homothétie conserve le parallélisme, donc est également un rectangle.

c) Aire du rectangle .

L’aire du rectangle est donnée par la formule :
$Aire\,=\,longueur\,\times \,largeur$
Donc :
$Aire_{ABCD}\,=\,AB\,\times \,BC\,=\,3\,\%2C\,cm\,\times \,6\,\%2C\,cm\,=\,18\,\%2C\,cm^2$

d) Aire du quadrilatère .

L’homothétie de rapport $\frac{2}{3}$ réduit les longueurs par un facteur de $\frac{2}{3}$ . Les aires, cependant, sont réduites par le carré de ce facteur :
$Aire_{A'B'C'D'}\,=\,(\frac{2}{3})^2\,\times \,Aire_{ABCD}$
$Aire_{A'B'C'D'}\,=\,\frac{4}{9}\,\times \,18\,\%2C\,cm^2$
$Aire_{A'B'C'D'}\,=\,8\,\%2C\,cm^2$

En résumé :

a) Le quadrilatère a été construit par homothétie de centre et de rapport $\frac{2}{3}$ .

b) Le quadrilatère est un rectangle.

c) L’aire du rectangle est de $18\,\%2C\,cm^2$ .

d) L’aire du quadrilatère est de $8\,\%2C\,cm^2$ .

Exercice 33 : homothétie et carré
a) La construction a été correctement réalisée. Le carré est obtenu par homothétie de centre et de rapport $-\frac{1}{2}$ .

b) Le quadrilatère est un carré.
Justification : En effet, l’homothétie conserve les angles et les rapports de longueurs, et comme l’homothétie implique un rapport négatif, l’image d’un carré est un carré renversé. L’image d’un segment de longueur par une homothétie de rapport $-\frac{1}{2}$ est un segment de longueur $\frac{l}{2}$ , donc les côtés d’un carré de coté 3 cm deviennent des côtés de 1.5 cm.

c) Calcul de l’aire du carré :
$Aire_{ABCD}\,=\,cote^2\,=\,3^2\,=\,9\,\%2C\,cm^2$

d) Détermination de l’aire du quadrilatère :
Puisque l’homothétie de rapport $k\,=\,-\frac{1}{2}$ réduit chaque côté du carré original par un facteur de $\frac{1}{2}$ , l’aire de se réduit par le carré de ce facteur:
$Aire_{A'B'C'D'}\,=\,(\,\frac{1}{2}\,)^2\,\times \,Aire_{ABCD}\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,9\,=\,\frac{9}{4}\,\%2C\,cm^2\,=\,2.25\,\%2C\,cm^2$