Exercice 1 : construction – parallélogramme.
Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser les propriétés d’un parallélogramme.
1. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont égaux, donc nous avons :
\[ AB = DC = 3 \text{ cm} \]
\[ AD = BC = 5 \text{ cm} \]
2. Les angles opposés d’un parallélogramme sont égaux, donc :
\[ \angle DAB = \angle BCD = 67^\circ \]
3. La somme des angles adjacents d’un parallélogramme est \(180^\circ\). Par conséquent :
\[ \angle ADC = 180^\circ – \angle DAB \]
\[ \angle ADC = 180^\circ – 67^\circ \]
\[ \angle ADC = 113^\circ \]
\[ \angle ABC = 180^\circ – \angle BCD \]
\[ \angle ABC = 180^\circ – 67^\circ \]
\[ \angle ABC = 113^\circ \]
Ainsi, nous avons tous les côtés et tous les angles du parallélogramme :
– \( AB = 3 \text{ cm} \)
– \( BC = 5 \text{ cm} \)
– \( CD = 3 \text{ cm} \)
– \( DA = 5 \text{ cm} \)
– \(\angle DAB = \angle BCD = 67^\circ\)
– \(\angle ABC = \angle ADC = 113^\circ\)
D’où la résolution complète de l’exercice.
Exercice 2 : les parallélogrammes particuliers
\[\]Correction Exercice 1 :\[\]
1. On construit un losange où les diagonales mesurent \(8 \, \text{cm}\) et \(7 \, \text{cm}\).
2. Pour calculer l’aire du losange, on utilise la formule :
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \]
où \(d_1 = 8 \, \text{cm}\) et \(d_2 = 7 \, \text{cm}\).
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times 8 \times 7 = \frac{56}{2} = 28 \, \text{cm}^2 \]
\[\]Correction Exercice 2 :\[\]
Tracer un triangle \(EFG\) tel que :
\[ EG = 8 \, \text{cm}, \quad \widehat{EFG} = 65^\circ, \quad \widehat{EGF} = 25^\circ. \]
Soit \(H\) et \(I\) les symétriques respectifs de \(F\) et \(G\) par rapport à \(E\).
Pour déterminer la nature du quadrilatère \(IFGH\), on note que \(F\) et \(H\) ainsi que \(G\) et \(I\) sont des symétriques par rapport à \(E\). Cela signifie que \(EF = EH\) et \(EG = EI\), donc les segments \(IF\) et \(GH\) sont respectivement égaux et parallèles, tout comme \(IG\) et \(FH\). Par conséquent, \(IFGH\) est un parallélogramme.
\[\]Correction Exercice 3 :\[\]
Tracer un rectangle \(ABCD\) de centre \(I\).
Placer le point \(E\) tel que \(ABEI\) soit un parallélogramme.
Puisque \(ABCD\) est un rectangle et \(I\) est le centre, les diagonales \(AC\) et \(BD\) se coupent en \(I\). En ajoutant \(E\) tel que \(ABEI\) soit un parallélogramme, cela signifie que \(E\) est à la fois l’image de \(A\) par la translation qui envoie \(B\) vers \(I\) et l’image de \(B\) par la translation qui envoie \(A\) vers \(I\).
Par conséquent, le quadrilatère \(AEBI\) est également un parallélogramme.
\[\]Correction Exercice 4 :\[\]
Tracer un triangle \(ABC\) tel que :
\[ AB = 6 \, \text{cm}, \quad \widehat{BAC} = 110^\circ, \quad \widehat{ABC} = 35^\circ. \]
Déterminer le point \(D\):
Soit \(D\) le point d’intersection de la parallèle à la droite \(AC\) passant par \(B\) et de la parallèle à la droite \(AB\) passant par \(C\).
1. Pour déterminer la nature du triangle \(ABC\), on remarque que les angles intérieurs sont :
\[ \widehat{BCA} = 180^\circ – \widehat{BAC} – \widehat{ABC} = 180^\circ – 110^\circ – 35^\circ = 35^\circ. \]
Cela signifie que les deux angles à la base sont de \(35^\circ\), donc \(ABC\) est un triangle isocèle (\(\widehat{ABC} = \widehat{BCA}\)).
2. Pour la nature du quadrilatère \(ABDC\) :
Puisque \(AD \parallel BC\) et \(AB \parallel DC\), cela signifie que les côtés opposés sont parallèles et égaux. Donc \(ABDC\) est un parallélogramme. Comme il y a un angle droit dans \(ABC\), cela fait de \(ABDC\) un rectangle.
Exercice 3 : construction de parallélogramme.
\[\]Correction :\[\]
1. Construction du parallélogramme OURS :
Pour construire le parallélogramme OURS de centre I tel que \( OR = 8\, \text{cm} \), \( SU = 10\, \text{cm} \) et \( \widehat{OIU} = 120^\circ \), nous procédons comme suit :
\[
Tracer un segment \([OR]\) de longueur \( 8\, \text{cm} \).
Placer le point \( I \) au milieu de \([OR]\), c’est-à-dire \( IO = IR = 4\, \text{cm} \).
À partir du point \( I \), tracer un angle de \( 120^\circ \) avec la ligne \( IO \). Tracer une demi-droite \( IU \) sur cet angle.
Placer le point \( U \) sur la demi-droite \( IU \) de sorte que \( IU = 5\, \text{cm} \). (Car dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, donc \( SU = 2 \times IU \)).
Reproduire la même construction pour obtenir le point \( S \). La longueur \( IS \) doit également être \( 5\, \text{cm} \) et faire un angle de \( 120^\circ \) avec la ligne \( IR \) (opposé par le sommet du premier angle).
Relier les points \( O, U, S \) et \( R \) pour former le parallélogramme OURS.
\]
2. Programme de construction détaillé :
\[
Tracer un segment \([OR]\) de longueur \( 8\, \text{cm} \).
Placer le milieu \( I \) de \([OR]\). \( I \) est à \( 4\, \text{cm} \) de chaque extrémité \( O \) et \( R \).
Tracer l’angle \( \widehat{OIU} = 120^\circ \) à partir de \( I \) :
Utiliser un rapporteur pour tracer cet angle.
Placer l’origine du rapporteur sur \( I \) avec la ligne de base alignée le long de \( IO \).
Marquer un angle de \( 120^\circ \) dans le sens anti-horaire et tracer la demi-droite \( IU \).
Sur la demi-droite \( IU \), marquer un point \( U \) tel que \( IU = 5\, \text{cm} \).
À partir du point \( I \), tracer un autre angle de \( 120^\circ \) avec la ligne \( IR \) dans le sens opposé pour obtenir la demi-droite \( IS \).
Sur la demi-droite \( IS \), marquer le point \( S \) de telle sorte que \( IS = 5\, \text{cm} \).
Relier les points \( O \) et \( U \), \( U \) et \( S \), \( S \) et \( R \), et enfin \( R \) et \( O \) pour obtenir le parallélogramme OURS.
\]
Exercice 4 : construction à la règle et au compas.
Pour construire le parallélogramme \(BRUN\) de centre \(E\), nous suivons les étapes suivantes :
1. Tracer le segment \([BE]\) de longueur 3,5 cm.
\[
BE = 3,5 \, \text{cm}
\]
2. Tracer le cercle \(C(B; 5 \, \text{cm})\) centré en \(B\) et de rayon 5 cm afin de trouver le point \(R\).
\[
BR = 5 \, \text{cm}
\]
3. Tracer le cercle \(C(E; 4,5 \, \text{cm})\) centré en \(E\) et de rayon 4,5 cm afin de trouver le point \(R\).
\[
RE = 4,5 \, \text{cm}
\]
4. Le point \(R\) est à l’intersection des cercles \(C(B; 5 \, \text{cm})\) et \(C(E; 4,5 \, \text{cm})\). Marquer ce point \(R\).
5. Tracer le point \(N\) tel que \(EN = ER\). Puisque \(E\) est le centre du parallélogramme, \(N\) doit être à la même distance de \(E\) que \(R\). Donc:
\[
EN = ER = 4,5 \, \text{cm}
\]
6. Tracer les segments \([BR]\) et \([EN]\).
\[
BR = EN = 5 \, \text{cm}
\]
7. Tracer le segment \([RU]\) parallèle et égal à \([BE]\), et le segment \([NU]\) parallèle et égal à \([ER]\).
Ainsi, les quatre côtés \(BR, RU, UN\) et \(NB\) forment le parallélogramme \(RENB\) de centre \(E\).
Par ces constructions à la règle et au compas, nous avons construit le parallélogramme \(BRUN\) avec \(E\) comme centre, \(BE = 3,5 \, \text{cm}\), \(ER = 4,5 \, \text{cm}\), et \(BR = 5 \, \text{cm}\).
Exercice 5 : démontrer que la figure est un rectangle
1. Construction du parallélogramme DOMI :
Nous avons les données suivantes :
\[ DM = 7 \text{ cm}, \, \angle MDO = 32^\circ, \, \angle DMO = 58^\circ \]
– Commencez par tracer le segment \( [DM] \) de 7 cm.
– Placez un point \( O \) tel que \(\angle MDO = 32^\circ\).
– Placez un point \( I \) tel que \(\angle DMO = 58^\circ\).
– Tracez les segments \( [DO], [MO], [DI], \) et \( [OI] \) pour compléter le quadrilatère DOMI.
2. Démonstration que le quadrilatère DOMI est un rectangle :
Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires, c’est-à-dire :
\[ \angle MDO + \angle DMO = 180^\circ \]
Calculons :
\[ 32^\circ + 58^\circ = 90^\circ \]
Ainsi, chaque angle du parallélogramme DOMI est un angle droit de \( 90^\circ \).
Par définition, un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle.
Donc, le quadrilatère DOMI est un rectangle.
Exercice 6 : construire un parallélogramme
Construire un parallélogramme \(ABCD\) de centre \(O\) tel que \(AB = 3 \, \text{cm}\), \(BC = 5 \, \text{cm}\) et la diagonale \([AC]\) est perpendiculaire à \([AB]\).
1. Tracer d’abord le segment \([AB]\) de longueur \(3 \, \text{cm}\).
2. Le point \(O\), centre du parallélogramme, est situé à l’intersection des diagonales \([AC]\) et \([BD]\).
3. Tracez la perpendiculaire à \([AB]\) passant par \(A\). Notez l’intersection de cette perpendiculaire avec le cercle de centre \(A\) et de rayon \(5 \, \text{cm}\) comme \(C\). De même, notez l’autre intersection comme \(D\).
4. \(C\) et \(D\) définiront les sommets restants du parallélogramme, \(BC = 5 \, \text{cm}\) et \(AD = 5 \, \text{cm}\).
5. En traçant \(AC\) et \(BD\), vous trouverez que ces diagonales se croisent perpendiculairement à \(O\).
6. Ainsi, les coordonnées de \(C\) et \(D\) seront déterminées tel que les dimensions et les propriétés du parallélogramme soient respectées.
\[
\begin{array}{l}
AB = 3 \, \text{cm} \\
BC = 5 \, \text{cm}
\end{array}
\]
Puisque \([AC] \perp [AB]\),
\[
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \, \text{cm}
\]
\(O\), le centre du parallélogramme, divise chaque diagonale en deux parties égales, donc :
\[
AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{34}}{2} = \frac{\sqrt{34}}{2} \, \text{cm}
\]
En conclusion, un tel parallélogramme peut être construit avec les propriétés mentionnées.
Exercice 7 : construire un parallélogramme
Pour construire le parallélogramme \( IJKL \) en vraie grandeur, il est essentiel de suivre les étapes suivantes :
1. Tracer le segment \( [IJ] \) de 6 cm.
2. Placer un compas sur le point \( I \) et tracer un arc de cercle de 7 cm de rayon. Ensuite, placer le compas sur le point \( J \) et tracer un arc de cercle de 4 cm de rayon. La figure doit être précise.
3. L’intersection des deux arcs de cercle définira le point \( K \). Relier les points \( I \) et \( K \), ainsi que \( J \) et \( K \).
4. Pour positionner le point \( L \), utiliser le compas réglé à la distance de 4 cm (la longueur \( LK \)) et dessiner un troisième arc de cercle à partir de \( K \). Ensuite, marquer un autre arc de cercle de 6 cm (la longueur \( LI \)) à partir du point \( I \).
5. L’intersection de ces arcs vous donne le point \( L \).
6. Relier les points \( L \) avec \( I \) et \( K \), ainsi que \( L \) avec \( I \) pour clôturer le parallélogramme.
Le schéma de construction, en LaTeX, sera rendu en utilisant les coordonnées décrites.
\[
\begin{array}{l}
AB = 6 \, \text{cm} \\
BC = 7 \, \text{cm} \\
CD = 4 \, \text{cm} \\
DA = \text{à trouver} \\
\end{array}
\]
Inclure tous les segments déterminants pour la construction géométrique en précis.
Les délais d’attente sont surpassés uniquement par l’harmonie trouvée dans cette précieuse construction mathématique.
Exercice 8 : construction en vraie grandeur
Pour construire le parallélogramme \( FGHI \), nous allons suivre les étapes en utilisant les dimensions fournies :
1. Tracez un segment \( FG \) de \( 6 \, \text{cm} \).
2. À partir du point \( F \), tracez un arc de cercle de \( 4{,}3 \, \text{cm} \) de rayon.
3. À partir du point \( G \), tracez également un arc de cercle de \( 3 \, \text{cm} \) de rayon, croisant l’arc précédent en un point \( J \).
4. Connectez les points \( F \) et \( J \) ainsi que les points \( G \) et \( J \).
5. À partir du point \( J \), tracez un arc de cercle de \( 3 \, \text{cm} \) de rayon.
6. À partir du point \( I \) (qui est l’intersection des arcs de cercle tracés depuis \( J \)), tracez un arc de cercle de \( 4{,}3 ) \, \text{cm} \) de rayon jusqu’à croiser le précédent arc de cercle en un point \( H \).
7. Connectez les points \( J \) et \( H \), ainsi que les points \( I \) et \( H \).
La figure obtenue est le parallélogramme \( FGHI \).
\[
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below] {F} — (6,0) node[below] {G} — (4,3) node[right] {H} — (-2,3) node[left] {I} — cycle;
\draw [dashed] (0,0) — (4,3);
\draw [dashed] (6,0) — (-2,3);
\end{tikzpicture}
\]
Dans ce diagramme, les dimensions sont fixées avec les distances de \( F \) à \( G \) étant \( 6 \, \text{cm} \), \( F \) à \( H \) étant \( 4{,}3 \, \text{cm} \) et \( G \) à \( H \) étant \( 3 \, \text{cm} \).
Nous obtenons un parallélogramme \( FGHI \).
Exercice 9 : construire un parallélogramme
Pour construire le parallélogramme \( JOLI \) en vraie grandeur, nous suivons les étapes suivantes :
1. Tracer le segment \( JO = 7 \, \text{cm} \).
2. A partir du point \( O \), tracer un angle de \( 75^\circ \) avec le segment \( JO \).
3. Prolonger le côté de cet angle pour obtenir le segment \( OL \) de \( 4 \, \text{cm} \).
4. Tracer le segment \( LI \) de la même longueur que \( JO \), soit \( 7 \, \text{cm} \), en s’assurant qu’il est parallèle au segment \( JO \).
5. Compléter le parallélogramme en joignant les points \( J \) et \( I \).
Pour vérifier que les segments sont correctement tracés :
\[
\text{Longueur de } JO = 7 \, \text{cm}
\]
\[
\text{Longueur de } OL = 4 \, \text{cm}
\]
\[
\angle (JO, OL) = 75^\circ
\]
Ensuite, on s’assure que :
\[
JL \parallel OI \quad \text{et} \quad JL = OI = 7 \, \text{cm}
\]
\[
JO \parallel LI \quad \text{et} \quad JO = LI = 4 \, \text{cm}
\]
Enfin, on complète en vérifiant que les diagonales se croisent au point commun O composée des côtés :
\[
\text{côté} JO: 7 \, \text{cm}
\]
\[
\text{côté} OL : 4 \, \text{cm}
\]
\[
\text{angle } JOL : 75^\circ
\]
Ainsi, le parallélogramme \( JOLI \) est correctement construit.
Exercice 10 : construction d’un parallélogramme
Pour construire le parallélogramme \(ABCD\), suivez les étapes suivantes :
1. \[\]Tracer le segment \(AE\) :\[\]
Comme \(AE = 5 \, \text{cm}\), tracez un segment de longueur \(5 \, \text{cm}\).
2. \[\]Tracer l’angle \(80^\circ\) à partir de \(A\) :\[\]
Utilisez un rapporteur pour tracer un angle de \(80^\circ\) à partir du point \(A\) et en prenant \(AE\) comme l’un des côtés de cet angle.
3. \[\]Tracer le segment \(EC\) :\[\]
À partir du point \(E\) sur cette nouvelle ligne, mesurez et marquez un point \(C\) tel que \(EC = 2,5 \, \text{cm}\).
4. \[\]Tracer le segment \(AC\) :\[\]
Reliez les points \(A\) et \(C\) pour obtenir le segment \(AC\).
5. \[\]Tracer le segment \(BD\) :\[\]
Utilisez un compas pour reporter la longueur \(AC\) à partir du point \(B\) (opposé de \(A\)) vers \(D\) (opposé de \(C\)). Cela détermine le point \(D\).
6. \[\]Tracer le segment \(AB\) :\[\]
Tracez des segments de \(A\) à \(B\) et de \(C\) à \(D\).
La figure obtenue est un parallélogramme \(ABCD\).
En résumé, les segments et angles utilisés pour les constructions sont:
– \(AE = 5 \, \text{cm}\)
– \(\angle EAC = 80^\circ\)
– \(EC = 2,5 \, \text{cm} \)
Les segments des côtés du parallélogramme sont donc \(AB, AC\) et \(BD\), en parallèle respectivement avec \(DC\) et \(AD\).
En LaTeX pour représenter les équations et descriptions:
« `latex
\usepackage{amssymb}
Pour construire le parallélogramme \(ABCD\), suivez les étapes suivantes :
1. Tracer le segment \(AE\) :
\[
AE = 5 \, \text{cm}
\]
Tracez un segment de longueur \(5 \, \text{cm}\).
2. Tracer l’angle \(80^\circ\) à partir de \(A\) :
\[
\angle EAC = 80^\circ
\]
Utilisez un rapporteur pour tracer un angle de \(80^\circ\) à partir du point \(A\) et en prenant \(AE\) comme l’un des côtés de cet angle.
3. Tracer le segment \(EC\) :
\[
EC = 2,5 \, \text{cm}
\]
À partir du point \(E\) sur cette nouvelle ligne, mesurez et marquez un point \(C\) tel que \(EC = 2,5 \, \text{cm}\).
4. Tracer le segment \(AC\) :
\[
\text{Tracez le segment } AC
\]
Reliez les points \(A\) et \(C\) pour obtenir le segment \(AC\).
5. Tracer le segment \(BD\) :
\[
BD \text{ est parallèle à } AC
\]
Utilisez un compas pour reporter la longueur \(AC\) à partir du point \(B\) (opposé de \(A\)) vers \(D\) (opposé de \(C\)). Cela détermine le point \(D\).
6. Tracer le segment \(AB\) :
\[
\text{Reliez les points } A \text{ et } B, \text{ ainsi que } C \text{ et } D.
\]
Tracez des segments de \(A\) à \(B\) et de \(C\) à \(D\).
La figure obtenue est un parallélogramme \(ABCD\).
« `
En suivant ces étapes, vous obtiendrez le parallélogramme \(ABCD\).
Exercice 11 : propriétés du parallélogramme
a. Le quadrilatère LOIN est un parallélogramme. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux. Donc, les longueurs des côtés sont :
\[
OL = IN = 2.5 \,\text{cm} \quad \text{et} \quad LI = ON = 4 \,\text{cm}
\]
Le périmètre du parallélogramme LOIN est donné par la somme des longueurs de tous ses côtés :
\[
P = 2 \times (OL + LI) = 2 \times (2.5 \,\text{cm} + 4 \,\text{cm}) = 2 \times 6.5 \,\text{cm} = 13 \,\text{cm}
\]
Donc, le périmètre de LOIN est \(13 \,\text{cm}\).
b. Dans un parallélogramme, les angles adjacents sont supplémentaires, c’est-à-dire que leur somme est égale à \(180^\circ\). Puisque \(\angle LON\) est donné comme \(117^\circ\),
\[
\angle LNI = 180^\circ – \angle LON = 180^\circ – 117^\circ = 63^\circ
\]
Donc, la mesure de l’angle \(\angle LNI\) est \(63^\circ\).
Exercice 12 : propriétés du parallélogramme
Soit \( ABCD \) un parallélogramme de centre \( O \). On sait que \( \angle OAB = 71^\circ \) et \( \angle OBA = 19^\circ \).
Les angles \( \angle OAB \) et \( \angle OBA \) forment ensemble l’angle \( \angle AOB \):
\[ \angle AOB = \angle OAB + \angle OBA = 71^\circ + 19^\circ = 90^\circ \]
Le point \( O \) est le centre du parallélogramme \( ABCD \), donc il est aussi le point d’intersection des diagonales et ces diagonales se coupent en leur milieu. Ainsi, les diagonales sont perpendiculaires.
Un parallélogramme avec des diagonales perpendiculaires est un losange.
Conclusion : Le parallélogramme \( ABCD \) est particulier. C’est un losange, car ses diagonales sont perpendiculaires.
Exercice 13 : problème ouvert
Pour chaque bijou de la collection « Parallélogrammes étoilés », Héloïse doit déterminer la longueur totale de fil d’or en recouvrant les bords du bijou. Nous devons donc calculer le périmètre de chaque bijou composé de parallélogrammes.
Prenons comme exemple le bijou dans le document 2, composé de cinq parallélogrammes.
1. \[\]Dimensions du parallélogramme :\[\]
– Longueur : \(4 \, \text{cm}\)
– Largeur : \(2 \, \text{cm}\)
2. \[\]Calcul du périmètre d’un parallélogramme :\[\]
Le périmètre d’un parallélogramme est donné par la formule :
\[
P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})
\]
Pour un parallélogramme :
\[
P = 2 \times (4 \, \text{cm} + 2 \, \text{cm}) = 2 \times 6 \, \text{cm} = 12 \, \text{cm}
\]
3. \[\]Calcul du périmètre total du bijou :\[\]
Le bijou est composé de cinq parallélogrammes. Cependant, il faut noter que chaque côté interne de chaque parallélogramme est partagé avec un autre parallélogramme, donc ces côtés ne doivent pas être comptés deux fois. Le bijou a des parties internes où les parallélogrammes se connectent.
Chaque bijou à \(n\) parallélogrammes a :
– \(2n\) côtés.
– Les côtés internes partagés sont égaux à \(n\).
Soit \(n = 5\), le nombre de côtés internes partagés vaut 5. TOTAL DE COTES = 2x 5 = 10 mais partagé donc 10 – 5 = 5
Chaque côté d’un parallélogramme => 12 cm.
\[\]Périmètre global du bijou\[\]
\[
P_{\text{total}} = 5 x 12 = 60 cm
\]
Héloïse doit donc prévoir une longueur totale de \(60 \, \text{cm}\) de fil d’or pour le bijou composé de cinq parallélogrammes.
Exercice 14 : propriétés du parallélogramme
Soit \( ABCD \) un parallélogramme et \( I \) le point d’intersection des diagonales \( AC \) et \( BD \). Par définition, dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, donc \( I \) est le milieu de \( AC \) et de \( BD \). On a donc :
\[ AI = CI \]
et
\[ BI = DI \]
D’autre part, il est donné que \( I \) est aussi le milieu du segment \( MN \). Donc:
\[ MI = NI \]
Nous devons montrer que le quadrilatère \( AMCN \) est un parallélogramme. Pour cela, nous allons utiliser la propriété suivante des parallélogrammes : un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.
Considérons les diagonales \( AN \) et \( CM \) du quadrilatère \( AMCN \). Il nous suffit de prouver que ces deux diagonales se coupent en leur milieu.
Comme \( I \) est le milieu de \( AC \) et aussi le milieu de \( MN \), alors \( I \) est sur \( AC \) et \( MN \). Maintenant, puisque \( MI = NI \) et \( MA = IC \), nous pouvons conclure que \( I \) est également le milieu de \( AN \) et \( CM \).
Donc, les diagonales du quadrilatère \( AMCN \) se coupent en leur milieu en \( I \). Par conséquent, le quadrilatère \( AMCN \) est un parallélogramme.
\[
\boxed{AMCN \text{ est un parallélogramme.}}
\]
Exercice 15 : périmètre d’un parallélogramme
a. Les longueurs des segments [AD], [DC] et [FG] sont :
– Le segment [AD] correspond à un côté du parallélogramme ABCD. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur, donc \([AD] = [BC]\). Ainsi, \( [AD] = 2 \, \text{cm} \).
– Le segment [DC] correspond à la différence entre le segment [ED] et [FC] dans le parallélogramme ABCD. Étant donné que E et F sont sur le segment [CD], \([DC] = [DE] + [EF] + [FC] = 3 \, \text{cm} + 2 \, \text{cm} = 5 \, \text{cm} \).
– Le segment [FG] correspond à un côté du parallélogramme EFGH. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur, donc \( [FG] = [EH] \). Ainsi, \( [FG] = 2 \, \text{cm} \).
b. Le périmètre du parallélogramme ABCD est donné par la somme de tous ses côtés. Puisque certains côtés sont de même longueur, nous avons :
\[
P_{ABCD} = 2AB + 2AD = 2 \times 4 \, \text{cm} + 2 \times 2 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} = 12 \, \text{cm}
\]
c. Le périmètre total de la figure :
Pour calculer le périmètre total de la figure composée des deux parallélogrammes ABCD et EFGH, nous devons additionner les longueurs de tous les segments qui forment le contour :
\[
P_{\text{total}} = AB + BC + CG + GH + HE + ED
\]
Sachant les valeurs des différents segments :
\[
P_{\text{total}} = 4 \, \text{cm} + 2 \, \text{cm} + 3 \:\text{cm} + 2 \, \text{cm} + 3 \, \text{cm} + 5 \:\text{cm}
\]
\[
P_{\text{total}} = 19 \, \text{cm}
\]
Ainsi, le périmètre de la figure est \( 19 \, \text{cm} \).
Exercice 16 : constructions de parallélogramme avec le compas
Pour construire les parallélogrammes \(ABCD\) et \(DEFG\) à la règle et au compas, nous suivons ces étapes :
#### Parallélogramme \(ABCD\) :
1. Traçons le segment \([AB]\) de longueur 5 cm.
2. À partir du point \(B\), construisons un angle de \(50^\circ\) avec \( [BC]\) de longueur 3 cm.
3. À partir du point \(A\), traçons un segment \([AD]\) parallèle à \([BC]\). Utilisons la règle et le compas pour assurer que les deux segments sont parallèles et de même longueur (3 cm).
4. À partir du point \(D\), traçons un segment \([DC]\) parallèle à \([AB]\). Utilisons la règle et le compas pour assurer qu’ils sont parallèles et de même longueur (5 cm).
5. Verifions que le point \(D\) situé à l’intersection de \( [AD]\) et \([DC]\) ferme le parallélogramme.
##### Parallélogramme \(DEFG\) :
1. Traçons le segment \([DE]\) de longueur 4 cm.
2. À partir du point \(E\), construisons un angle de \(130^\circ\) avec \([EF]\) de longueur 6 cm.
3. À partir du point \(D\), traçons un segment \([DG]\) parallèle à \([EF]\). Utilisons la règle et le compas pour assurer qu’ils sont parallèles et de même longueur (6 cm).
4. À partir du point \(F\), traçons un segment \([FG]\) parallèle à \([DE]\). Utilisons la règle et le compas pour assurer qu’ils sont parallèles et de même longueur (4 cm).
5. Verifions que le point \(G\) situé à l’intersection de \([DG]\) et \([FG]\) ferme le parallélogramme.
#### Construction et vérification :
Pour construire les parallélogrammes, utilisons les propriétés des parallélogrammes :
– Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
– Les angles opposés sont égaux.
\[
\text{Longueurs suivantes :}
\begin{align*}
AB = DC = 5 \text{ cm} \\
AD = BC = 3 \text{ cm}
\end{align*}
\]
\[
\text{Longueurs suivantes :}
\begin{align*}
DE = FG = 4 \text{ cm} \\
EF = DG = 6 \text{ cm}
\end{align*}
\]
Vérifions les angles et les longueurs avec précision pour s’assurer qu’ils suivent les propriétés des parallélogrammes.
Ainsi, les parallélogrammes \(ABCD\) et \(DEFG\) sont correctement construits selon les spécifications données.
Exercice 17 : conjecturer les longueurs IJ et GH
Étant donné que les quadrilatères EFGH et EFIJ sont des parallélogrammes, nous savons que les côtés opposés de ces figures sont égaux.
Pour le parallélogramme EFGH :
\[ EG = FH \]
\[ EF = GH \]
Pour le parallélogramme EFIJ :
\[ EJ = FI \]
\[ EF = IJ \]
Ainsi, on peut conjecturer les relations de longueurs suivantes :
\[ IJ = GH \]
Pour prouver cette conjecture, considérons les deux parallélogrammes de la figure. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont égaux en longueur. Ainsi :
1) Dans le parallélogramme EFGH :
\[ EG = FH \]
\[ EF = GH \]
2) Dans le parallélogramme EFIJ :
\[ EJ = FI \]
\[ EF = IJ \]
De ces égalités, nous pouvons voir que :
\[ GH = EF \]
\[ IJ = EF \]
Donc, en combinant ces égalités, nous avons :
\[ GH = IJ \]
Donc, en conclusion, les segments \( IJ \) et \( GH \) ont la même longueur.
Ainsi, la conjecture est prouvée :
\[ IJ = GH \]
Exercice 18 : donner la mesure des angles
{Correction de l’exercice :}
[a.] \( \widehat{EHG} \)
Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux, donc :
\[
\widehat{EHG} = \widehat{EFG} = 58^\circ
\]
Par conséquent :
\[
\widehat{EHG} = 58^\circ
\]
[b.] \( \widehat{xEH} \)
Les angles consécutifs dans un parallélogramme sont supplémentaires (leur somme est égale à \( 180^\circ \)), donc :
\[
\widehat{xEH} = 180^\circ – \widehat{EFG} = 180^\circ – 58^\circ = 122^\circ
\]
Par conséquent :
\[
\widehat{xEH} = 122^\circ
\]
[c.] \( \widehat{HEF} \)
Les angles consécutifs dans un parallélogramme sont supplémentaires, donc :
\[
\widehat{HEF} = 180^\circ – \widehat{HFE} = 180^\circ – 58^\circ = 122^\circ
\]
Par conséquent :
\[
\widehat{HEF} = 122^\circ
\]
Exercice 19 : quel est la nature du triangle ?
Correction de l’exercice:
a. Le triangle \(OMC\) semble être un triangle isocèle.
b. Prouvons cette conjecture :
Étant donné que \(ABCD\) est un parallélogramme et que \(O\) en est le centre, nous avons les propriétés suivantes :
– \(O\) est le milieu de \(AC\) et de \(BD\),
– \(AB\) est parallèle et égal à \(CD\),
– \(AD\) est parallèle et égal à \(BC\).
On nous dit également que \(M\) est un point du segment \([AB]\) tel que \(OM = OA\).
Considérons le triangle \(OAC\) :
– \(O\) est le milieu de \(AC\),
– Selon la propriété des diagonales des parallélogrammes, \(AC\) est une diagonale et \(OB = OD\) sont des moitiés égales d’une diagonale.
\(OM = OA\) implique que le point \(M\) divise la diagonale \(AB\) en deux segments où ce point est à égale distance du point \(O\).
Pour prouver que le triangle \(OMC\) est isocèle, nous devons montrer que deux côtés du triangle \(OMC\) sont égaux.
Observons les segments \(OM\) et \(OC\) :
– \(OA = OM\) par condition,
– \(O\) est le centre du parallélogramme donc il divise \(BD\) en deux segments égaux \(OB\) et \(OD\),
– Par la propriété des parallélogrammes, \(C\) est équidistant de \(O\) par rapport à \(ABCD\).
Par conséquent, on a :
– \(OM = OA\)
Pour vérifier \(OM = OC\), considérons que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu donc \(O\) est également le milieu de \(OC\).
Ainsi, \(OM = OC\), prouvant que les triangles \(OMC\) sont isocèles en \(O\), avec \(OM = OC\).
D’où, le triangle \(OMC\) est un triangle isocèle.
Nous avons donc prouvé que \(OM = OC\), validant ainsi notre conjecture que le triangle \(OMC\) est isocèle.
Exercice 20 : laquelle des deux surfaces colorées a le plus grand périmètre
Soit \[EFGH\] un parallélogramme.
Pour déterminer quelle surface colorée a le plus grand périmètre, il est nécessaire de comparer les périmètres des surfaces colorées en bleu et orange.
Considérons la ligne brisée qui partage le parallélogramme en deux surfaces colorées. Cette ligne brisée est composée de segments de droite qui ajoutent de la longueur au périmètre de la surface colorée orange.
Pour la surface colorée en bleu :
– Les côtés la délimitant sont \[EH\], \[HG\], et la ligne brisée (en haut).
Pour la surface colorée en orange :
– Les côtés la délimitant sont \[EF\], \[FG\], et la ligne brisée (en bas).
Les périmètres des deux surfaces partagent les deux segments \[EH\] et \[HG\] pour la surface bleue, et \[EF\] et \[FG\] pour la surface orange. Cependant, la ligne brisée en haut (bleu) et la ligne brisée en bas (orange) ne sont pas égales en longueur.
En réalité, la ligne brisée ajoutée au périmètre de la surface orange est plus longue que celle du périmètre de la surface bleue, car elle inclut des segments supplémentaires créés par les triangles.
Ainsi, le périmètre de la surface orange est supérieur à celui de la surface bleue.
En conclusion, la surface colorée orange a un plus grand périmètre que la surface colorée bleue.
Exercice 21 : citer tous les parallélogrammes
Les parallélogrammes que l’on peut distinguer sur la carte sont:
1. \[\]LMIJ\[\]
2. \[\]IJNK\[\]
3. \[\]LIJK\[\]
4. \[\]MNJK\[\]
Chaque figure présente deux paires de côtés opposés parallèles, respectant ainsi la définition des parallélogrammes.
Exercice 22 : périmètre d’un parallélogramme et mesure d’angle
a. Le périmètre de \( LOIN \):
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur. Ainsi, nous avons \( LO = IN \) et \( LI = ON \).
D’après l’énoncé, nous savons que \( LO = 2.5 \, \text{cm} \) et \( LI = 4 \, \text{cm} \).
Le périmètre \( P \) d’un parallélogramme est la somme des longueurs de tous ses côtés. Donc :
\[
P = 2 \times (LO + LI)
\]
En substituant les valeurs, nous obtenons :
\[
P = 2 \times (2.5 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm}) = 2 \times 6.5 \, \text{cm} = 13 \, \text{cm}
\]
b. La mesure de l’angle \( \widehat{LNI} \) :
Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires (c’est-à-dire qu’ils s’additionnent pour donner \( 180^\circ \)).
Nous savons que \( \widehat{LON} = 117^\circ \).
Ainsi, pour trouver \( \widehat{LNI} \), nous devons soustraire \( \widehat{LON} \) de \( 180^\circ \) :
\[
\widehat{LNI} = 180^\circ – \widehat{LON}
\]
En substituant la valeur de \( \widehat{LON} \), nous obtenons :
\[
\widehat{LNI} = 180^\circ – 117^\circ = 63^\circ
\]
Exercice 23 : nature d’un quadrilatère
a. La figure initiale est un demi-rectangle. En complétant cette figure par symétrie par rapport à la droite verte, on obtient un rectangle entier.
b. Les dimensions du rectangle obtenu sont :
– Longueur : \(2 \times 2.5 \text{ cm} = 5 \text{ cm}\)
– Largeur : \(2 \times 1.5 \text{ cm} = 3 \text{ cm}\)
\[ \text{Longueur} = 5 \text{ cm} \]
\[ \text{Largeur} = 3 \text{ cm} \]
Exercice 24 : compléter cette figure par symétrie axiale
a. Le quadrilatère obtenu par symétrie par rapport à la droite rouge est un cerf-volant. En effet, en utilisant la symétrie, les deux triangles obtenus sont isocèles et ont deux côtés égaux deux à deux, ce qui caractérise un cerf-volant.
b. Pour déterminer les mesures des angles du quadrilatère, nous devons d’abord calculer les autres angles par symétrie.
Les angles donnés sont de 58° et 61°. Par symétrie :
\- L’angle adjacent à 61° (de l’autre côté de la droite rouge) sera également de 61°.
\- L’angle adjacent à 58° (de l’autre côté de la droite rouge) sera également de 58°.
Maintenant, considérons les deux angles au sommet formés par la droite rouge. Pour un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. Donc, nous devons trouver le troisième angle de l’un des triangles formés par la symétrie :
\[
180^\circ – 58^\circ – 61^\circ = 61^\circ
\]
Ainsi, les deux sommets adjacents de la droite rouge formeront un angle total de :
\[
2 \times 61^\circ = 122^\circ
\]
Alors, les angles du quadrilatère sont :
\- Deux angles de 58°
\- Deux angles de 122°
En résumé, les mesures des angles du quadrilatère sont : \(58^\circ, 58^\circ, 122^\circ\), et \(122^\circ\).
Exercice 25 : ce parallélogramme est-il particulier ?
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Ici, O est le milieu de AC et BD.
\[
AC = 7,2 \, \text{cm} \quad \text{et} \quad OD = 3,6 \, \text{cm}
\]
Puisque O est le milieu de AC, alors :
\[
AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{7,2 \, \text{cm}}{2} = 3,6 \, \text{cm}
\]
Or, dans le parallélogramme ABCD, les segments AO et OD sont égaux en longueur :
\[
AO = OD = 3,6 \, \text{cm}
\]
Cela implique que les diagonales se coupent en leur centre avec les mêmes segments AO et OD. Par conséquent, les diagonales sont égales.
Un parallélogramme ayant ses diagonales de même longueur est un rectangle.
Donc, le parallélogramme ABCD est un rectangle.
Exercice 26 : quelle est la nature de ce parallélogramme ?
Étant donné que \( ABCD \) est un parallélogramme de centre \( O \), \( O \) est le milieu des diagonales \( AC \) et \( BD \). Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
D’après l’exercice, on sait que \( \angle OAB = 71^\circ \) et \( \angle OBA = 19^\circ \).
Dans le triangle \( OAB \), la somme des angles est égale à \( 180^\circ \) :
\[ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ \]
\[ 71^\circ + 19^\circ + \angle AOB = 180^\circ \]
\[ \angle AOB = 180^\circ – 71^\circ – 19^\circ = 90^\circ \]
Comme \( \angle AOB = 90^\circ \), cela signifie que les diagonales \( AC \) et \( BD \) se coupent perpendiculairement.
Dans un parallélogramme où les diagonales se coupent perpendiculairement, le parallélogramme est un losange. En effet, les quatre côtés sont congruents dans un losange et les diagonales se coupent perpendiculairement.
Ainsi, \( ABCD \) est un losange.
Pour justifier :
– Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
– Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires.
– D’après les mesures fournies \(\angle OAB = 71^\circ\) , \(\angle OBA = 19^\circ\) et \(\angle AOB = 90^\circ\).
– Cela prouve que les diagonales sont perpendiculaires.
Donc, \( ABCD \) est un losange.
Exercice 27 : construire le parallélogramme IJKL
Pour construire le parallélogramme \(IJKL\) tel que représenté, nous utiliserons les mesures suivantes:
– \( IJ = 6 \, \text{cm} \)
– \( JK = 4 \, \text{cm} \)
– La diagonale \( IK = 7 \, \text{cm} \)
Voici les étapes de correction:
1. Tracer un segment \( IJ \) de longueur \( 6 \, \text{cm} \).
\[
IJ = 6 \, \text{cm}
\]
2. Avec \( I \) comme centre et un rayon de \( 7 \, \text{cm} \), tracer un arc de cercle.
3. Avec \( J \) comme centre et un rayon de \( 4 \, \text{cm} \), tracer un autre arc de cercle qui coupe le premier arc de cercle en \( K \).
\[
IK = 7 \, \text{cm} \quad \text{et} \quad JK = 4 \, \text{cm}
\]
4. Relier les points \( I \) à \( K \) et \( J \) à \( K \) pour obtenir les segments \( IK \) et \( JK \).
5. Utiliser le fait que \( IJKL \) est un parallélogramme, ce qui implique que les diagonales se coupent en leur milieu.
6. Tracer les diagonales \( IK \) et \( JL \), et marquer leur point d’intersection \( O \) (milieu de \( IK \) et \( JL \)).
7. Utiliser le fait que \( IJKL \) est symétrique par rapport à \( O \) pour déterminer les points \( L \) et \( K \).
8. Relier les points \( L \) à \( I \) et \( J \), et \( L \) à \( K \) pour compléter le parallélogramme \( IJKL \).
Finalement, nous obtenons le parallélogramme \( IJKL \) dessiné en vraie grandeur respectant les mesures données.
Exercice 28 : construire le parallélogramme FGHI
Pour construire le parallélogramme \[FGHI\] en vraie grandeur, nous allons suivre les étapes suivantes :
1. Tracer un segment \[\overline{FG}\] de longueur \[6\] cm.
« `latex
\usepackage{tikz}
\begin{tikzpicture}
% Segment FG
\draw (0,0) — (6,0);
\node[above] at (0,0) {F};
\node[above] at (6,0) {G};
\end{tikzpicture}
« `
2. À partir du point \[G\], tracer un segment \[\overline{GH}\] perpendiculaire à \[\overline{FG}\] et de longueur \[3\] cm.
« `latex
\begin{tikzpicture}
% Segment FG
\draw (0,0) — (6,0);
\node[above] at (0,0) {F};
\node[above] at (6,0) {G};
% Segment GH
\draw (6,0) — (6,-3);
\node[right] at (6,-3) {H};
\end{tikzpicture}
« `
3. À partir du point \[F\], tracer un segment \[\overline{FI}\] de longueur \[4.3\] cm tel que \[I\] soit aligné avec \[H\] de manière à former un parallélogramme.
« `latex
\begin{tikzpicture}
% Segment FG
\draw (0,0) — (6,0);
\node[above] at (0,0) {F};
\node[above] at (6,0) {G};
% Segment GH et HI
\draw (6,0) — (6,-3) — (1.7,-3);
\node[right] at (6,-3) {H};
\node[below] at (1.7,-3) {I};
% Segment IF pour fermer le parallélogramme
\draw (1.7,-3) — (0,0);
\end{tikzpicture}
« `
4. Vérifier que \[\overline{FI}\] est bien de longueur \[4.3\] cm.
L’utilisation d’un rapporteur pour vérifier les angles et la bonne perpendicularité entre \[\overline{FG}\] et \[\overline{GH}\] est recommandée pour garantir que le quadrilatère est bien un parallélogramme.
« `latex
\begin{tikzpicture}
% Segment FG
\draw (0,0) — (6,0);
\node[above] at (0,0) {F};
\node[above] at (6,0) {G};
% Segment GH et HI
\draw (6,0) — (6,-3) — (1.7,-3);
\node[right] at (6,-3) {H};
\node[below] at (1.7,-3) {I};
% Segment IF pour fermer le parallélogramme
\draw (1.7,-3) — (0,0);
% Segment diagonal FJ et IH
\draw (0,0) — (1.7,-3);
\draw (6,0) — (0,0);
\node[left] at (1,-1.8) {J};
\end{tikzpicture}
« `
Ainsi, vous avez construit le parallélogramme \[FGHI\] en vraie grandeur.
Exercice 29 : construire en vraie grandeur ces boucles d’oreilles
Pour l’exercice, nous devons construire la boucle d’oreille en forme de parallélogramme en utilisant les informations données :
1. \[\]Étant donné :\[\]
\[ ED = 6 \text{ cm}, \quad CE = 2 \text{ cm}, \quad \widehat{CED} = 125^\circ \]
2. \[\]Construction :\[\]
– Dessiner le segment \(ED\) de \(6 \text{ cm}\).
– Placer le point \(C\) tel que \(CE = 2 \text{ cm}\) et l’angle \(\widehat{CED} = 125^\circ\).
– \[\]Étapes :\[\]
1. Tracer un segment \(ED\) de \(6 \text{ cm}\).
2. À partir du point \(E\), tracer le segment \(EC\) de \(2 \text{ cm}\) formant un angle de \(125^\circ\) avec le segment \(ED\).
– \[\]Construction de \(D\) et \(C\) :\[\]
\[
\begin{tikzpicture}
% Géo de la figure
\draw[thick] (0,0) — (6,0) node[midway, below] {ED=6cm};
\draw[thick] (6,0) — (5.1,1.8) node[midway, right] {CE=2cm};
\draw[dashed] (0,0) — (5.1,1.8);
% Points
\filldraw[black] (0,0) circle (2pt) node[anchor=east] {D};
\filldraw[black] (6,0) circle (2pt) node[anchor=west] {E};
\filldraw[black] (5.1,1.8) circle (2pt) node[anchor=south west] {C};
% Angle marker
\draw[->, red] (6,0) arc (0:125:1);
% Angle notation
\node at (6.3,1) {\(125^\circ\)};
\end{tikzpicture}
\]
En conclusion, la construction d’une des boucles d’oreilles est terminée en vraie grandeur avec les dimensions et l’angle donnés.
Exercice 30 : construire le parallélogramme JOLI
Pour construire le parallélogramme JOLI en vraie grandeur, suivez ces étapes :
1. \[\]Tracer un segment \([OJ]\) de 7 cm\[\] :
\[
\overline{OJ} = 7 \, \text{cm}
\]
2. \[\]À partir du point \(O\), tracer un angle de \(75^\circ\) avec \([OJ]\) et marquer le point \(L\) à 4 cm du point \(O\)\[\] :
\[
\angle (\overline{OJ}, \overline{OL}) = 75^\circ \quad \text{et} \quad \overline{OL} = 4 \, \text{cm}
\]
3. \[\]À partir du point \(J\), tracer une ligne parallèle à \([OL]\)\[\], telle que :
\[
JI \parallel OL \quad \text{et} \quad \overline{JI} = 4 \, \text{cm}
\]
4. \[\]À partir du point \(L\), tracer une ligne parallèle à \([OJ]\)\[\], telle que :
\[
LI \parallel OJ \quad \text{et} \quad \overline{LI} = 7 \, \text{cm}
\]
5. \[\]Vérifier que les côtés opposés sont de même longueur et que les angles opposés sont égaux pour confirmer que la figure est bien un parallélogramme\[\] :
\[
\overline{OJ} = \overline{LI} = 7 \, \text{cm} \quad \text{et} \quad \overline{OL} = \overline{JI} = 4 \, \text{cm}
\]
Ainsi, le parallélogramme JOLI est construit en vraie grandeur.
Exercice 31 : construire le parallélogramme ABCD
Pour construire le parallélogramme \(ABCD\) en vraie grandeur, nous allons suivre les étapes suivantes :
1. Tracez un segment \(DE\) de 5 cm.
2. À partir du point \(D\), tracez un angle de \(80^\circ\) avec \(DE\), en direction allant vers l’extérieur du segment \(DE\). Tracez une ligne suffisamment longue depuis \(D\) pour ce faire.
3. Reportez la longueur de 2,5 cm sur la droite partant de \(D\). Nommez ce point \(C\).
4. Tracez la ligne parallèle à \(DE\) passant par \(C\). Pour ce faire, utilisez un compas pour tracer les arcs congruents à partir de \(C\).
5. Ensuite, tracez la ligne parallèle à \(DC\) passant par \(E\). Faites de même avec le compas pour trouver le point \(B\), intersection de cette ligne avec la ligne précédemment tracée.
6. Reliez les points \(D\) et \(B\), et les points \(C\) et \(A\) pour compléter le parallélogramme \(ABCD\).
En résumé, nous avons :
1. \(DE = 5 \, \text{cm} \)
2. \(\angle EDC = 80^\circ \)
3. \(EC = 2.5 \, \text{cm} \)
Ainsi, nous avons construit le parallélogramme \(ABCD\) en vraie grandeur.
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