Parallélogramme : corrigés des exercices de maths en 5ème.

Exercice 1 : construction – parallélogramme.
Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser les propriétés d’un parallélogramme.

1. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont égaux, donc nous avons :

$AB\,=\,DC\,=\,3\,\,cm$
$AD\,=\,BC\,=\,5\,\,cm$

2. Les angles opposés d’un parallélogramme sont égaux, donc :

$\angle\,DAB\,=\,\angle\,BCD\,=\,67^\circ$

3. La somme des angles adjacents d’un parallélogramme est $180^\circ$ . Par conséquent :

$\angle\,ADC\,=\,180^\circ\,-\,\angle\,DAB$
$\angle\,ADC\,=\,180^\circ\,-\,67^\circ$
$\angle\,ADC\,=\,113^\circ$

$\angle\,ABC\,=\,180^\circ\,-\,\angle\,BCD$
$\angle\,ABC\,=\,180^\circ\,-\,67^\circ$
$\angle\,ABC\,=\,113^\circ$

Ainsi, nous avons tous les côtés et tous les angles du parallélogramme :

– $AB\,=\,3\,\,cm$
– $BC\,=\,5\,\,cm$
– $CD\,=\,3\,\,cm$
– $DA\,=\,5\,\,cm$
– $\angle\,DAB\,=\,\angle\,BCD\,=\,67^\circ$
– $\angle\,ABC\,=\,\angle\,ADC\,=\,113^\circ$

D’où la résolution complète de l’exercice.

Exercice 2 : les parallélogrammes particuliers

$Correction\,Exercice\,1\,%3A$

1. On construit un losange où les diagonales mesurent $8\,\%2C\,cm$ et $7\,\%2C\,cm$ .

2. Pour calculer l’aire du losange, on utilise la formule :
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,d_1\,\times \,d_2$
où $d_1\,=\,8\,\%2C\,cm$ et $d_2\,=\,7\,\%2C\,cm$ .

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,8\,\times \,7\,=\,\frac{56}{2}\,=\,28\,\%2C\,cm^2$

$Correction\,Exercice\,2\,%3A$

Tracer un triangle tel que :
$EG\,=\,8\,\%2C\,cm%2C\,\quad\,\widehat{EFG}\,=\,65^\circ%2C\,\quad\,\widehat{EGF}\,=\,25^\circ.$

Soit et les symétriques respectifs de et par rapport à .

Pour déterminer la nature du quadrilatère , on note que et ainsi que et sont des symétriques par rapport à . Cela signifie que $EF\,=\,EH$ et $EG\,=\,EI$ , donc les segments et sont respectivement égaux et parallèles, tout comme et . Par conséquent, est un parallélogramme.

$Correction\,Exercice\,3\,%3A$

Tracer un rectangle de centre .

Placer le point tel que soit un parallélogramme.

Puisque est un rectangle et est le centre, les diagonales et se coupent en . En ajoutant tel que soit un parallélogramme, cela signifie que est à la fois l’image de par la translation qui envoie vers et l’image de par la translation qui envoie vers .

Par conséquent, le quadrilatère est également un parallélogramme.

$Correction\,Exercice\,4\,%3A$

Tracer un triangle tel que :
$AB\,=\,6\,\%2C\,cm%2C\,\quad\,\widehat{BAC}\,=\,110^\circ%2C\,\quad\,\widehat{ABC}\,=\,35^\circ.$

Déterminer le point :

Soit le point d’intersection de la parallèle à la droite passant par et de la parallèle à la droite passant par .

1. Pour déterminer la nature du triangle , on remarque que les angles intérieurs sont :
$\widehat{BCA}\,=\,180^\circ\,-\,\widehat{BAC}\,-\,\widehat{ABC}\,=\,180^\circ\,-\,110^\circ\,-\,35^\circ\,=\,35^\circ.$

Cela signifie que les deux angles à la base sont de $35^\circ$ , donc est un triangle isocèle ( $\widehat{ABC}\,=\,\widehat{BCA}$ ).

2. Pour la nature du quadrilatère :

Puisque $AD\,\parallel\,BC$ et $AB\,\parallel\,DC$ , cela signifie que les côtés opposés sont parallèles et égaux. Donc est un parallélogramme. Comme il y a un angle droit dans , cela fait de un rectangle.

Exercice 3 : construction de parallélogramme.
$Correction\,%3A$

1. Construction du parallélogramme OURS :
Pour construire le parallélogramme OURS de centre I tel que $OR\,=\,8\%2C\,cm$ , $SU\,=\,10\%2C\,cm$ et $\widehat{OIU}\,=\,120^\circ$ , nous procédons comme suit :

$Tracer\,un\,segment\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255BOR%255D%22\,alt=%22%5BOR%5D$ de longueur $8\%2C\,cm$ .
Placer le point au milieu de , c’est-a-dire $IO\,=\,IR\,=\,4\%2C\,cm$ .
A partir du point , tracer un angle de $120^\circ$ avec la ligne . Tracer une demi-droite sur cet angle.
Placer le point sur la demi-droite de sorte que $IU\,=\,5\%2C\,cm$ . (Car dans un parallelogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, donc $SU\,=\,2\,\times \,IU$ ).
Reproduire la meme construction pour obtenir le point . La longueur doit egalement etre $5\%2C\,cm$ et faire un angle de $120^\circ$ avec la ligne (oppose par le sommet du premier angle).
Relier les points $O%2C\,U%2C\,S$ et pour former le parallelogramme OURS. » align= »absmiddle » />

2. Programme de construction détaillé :

$Tracer\,un\,segment\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255BOR%255D%22\,alt=%22%5BOR%5D$ de longueur $8\%2C\,cm$ .
Placer le milieu de . est a $4\%2C\,cm$ de chaque extremite et .
Tracer l’angle $\widehat{OIU}\,=\,120^\circ$ a partir de :

Utiliser un rapporteur pour tracer cet angle.
Placer l’origine du rapporteur sur avec la ligne de base alignee le long de .
Marquer un angle de $120^\circ$ dans le sens anti-horaire et tracer la demi-droite .

Sur la demi-droite , marquer un point tel que $IU\,=\,5\%2C\,cm$ .
A partir du point , tracer un autre angle de $120^\circ$ avec la ligne dans le sens oppose pour obtenir la demi-droite .
Sur la demi-droite , marquer le point de telle sorte que $IS\,=\,5\%2C\,cm$ .
Relier les points et , et , et , et enfin et pour obtenir le parallelogramme OURS. » align= »absmiddle » />

Exercice 4 : construction à la règle et au compas.
Pour construire le parallélogramme de centre , nous suivons les étapes suivantes :

1. Tracer le segment de longueur 3,5 cm.

$BE\,=\,3%2C5\,\%2C\,cm$

2. Tracer le cercle $C(B%3B\,5\,\%2C\,cm)$ centré en et de rayon 5 cm afin de trouver le point .

$BR\,=\,5\,\%2C\,cm$

3. Tracer le cercle $C(E%3B\,4%2C5\,\%2C\,cm)$ centré en et de rayon 4,5 cm afin de trouver le point .

$RE\,=\,4%2C5\,\%2C\,cm$

4. Le point est à l’intersection des cercles $C(B%3B\,5\,\%2C\,cm)$ et $C(E%3B\,4%2C5\,\%2C\,cm)$ . Marquer ce point .

5. Tracer le point tel que $EN\,=\,ER$ . Puisque est le centre du parallélogramme, doit être à la même distance de que . Donc:

$EN\,=\,ER\,=\,4%2C5\,\%2C\,cm$

6. Tracer les segments et .

$BR\,=\,EN\,=\,5\,\%2C\,cm$

7. Tracer le segment parallèle et égal à , et le segment parallèle et égal à .

Ainsi, les quatre côtés $BR%2C\,RU%2C\,UN$ et forment le parallélogramme de centre .

Par ces constructions à la règle et au compas, nous avons construit le parallélogramme avec comme centre, $BE\,=\,3%2C5\,\%2C\,cm$ , $ER\,=\,4%2C5\,\%2C\,cm$ , et $BR\,=\,5\,\%2C\,cm$ .

Exercice 5 : démontrer que la figure est un rectangle
1. Construction du parallélogramme DOMI :

Nous avons les données suivantes :

$DM\,=\,7\,\,cm%2C\,\%2C\,\angle\,MDO\,=\,32^\circ%2C\,\%2C\,\angle\,DMO\,=\,58^\circ$

– Commencez par tracer le segment de 7 cm.
– Placez un point tel que $\angle\,MDO\,=\,32^\circ$ .
– Placez un point tel que $\angle\,DMO\,=\,58^\circ$ .
– Tracez les segments $%5BDO%5D%2C\,%5BMO%5D%2C\,%5BDI%5D%2C$ et pour compléter le quadrilatère DOMI.

2. Démonstration que le quadrilatère DOMI est un rectangle :

Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires, c’est-à-dire :

$\angle\,MDO\,%2B\,\angle\,DMO\,=\,180^\circ$

Calculons :

$32^\circ\,%2B\,58^\circ\,=\,90^\circ$

Ainsi, chaque angle du parallélogramme DOMI est un angle droit de $90^\circ$ .

Par définition, un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle.

Donc, le quadrilatère DOMI est un rectangle.

Exercice 6 : construire un parallélogramme
Construire un parallélogramme de centre tel que $AB\,=\,3\,\%2C\,cm$ , $BC\,=\,5\,\%2C\,cm$ et la diagonale est perpendiculaire à .

1. Tracer d’abord le segment de longueur $3\,\%2C\,cm$ .

2. Le point , centre du parallélogramme, est situé à l’intersection des diagonales et .

3. Tracez la perpendiculaire à passant par . Notez l’intersection de cette perpendiculaire avec le cercle de centre et de rayon $5\,\%2C\,cm$ comme . De même, notez l’autre intersection comme .

4. et définiront les sommets restants du parallélogramme, $BC\,=\,5\,\%2C\,cm$ et $AD\,=\,5\,\%2C\,cm$ .

5. En traçant et , vous trouverez que ces diagonales se croisent perpendiculairement à .

6. Ainsi, les coordonnées de et seront déterminées tel que les dimensions et les propriétés du parallélogramme soient respectées.

$\begin{array}{l}%0D%0AAB\,=\,3\,\%2C\,cm\,\\%0D%0ABC\,=\,5\,\%2C\,cm%0D%0A\end{array}$

Puisque $%5BAC%5D\,\perp\,%5BAB%5D$ ,
$AC\,=\,\sqrt{AB^2\,%2B\,BC^2}\,=\,\sqrt{3^2\,%2B\,5^2}\,=\,\sqrt{9\,%2B\,25}\,=\,\sqrt{34}\,\%2C\,cm$

, le centre du parallélogramme, divise chaque diagonale en deux parties égales, donc :

$AO\,=\,\frac{AC}{2}\,=\,\frac{\sqrt{34}}{2}\,=\,\frac{\sqrt{34}}{2}\,\%2C\,cm$

En conclusion, un tel parallélogramme peut être construit avec les propriétés mentionnées.

Exercice 7 : construire un parallélogramme
Pour construire le parallélogramme en vraie grandeur, il est essentiel de suivre les étapes suivantes :

1. Tracer le segment de 6 cm.
2. Placer un compas sur le point et tracer un arc de cercle de 7 cm de rayon. Ensuite, placer le compas sur le point et tracer un arc de cercle de 4 cm de rayon. La figure doit être précise.

3. L’intersection des deux arcs de cercle définira le point . Relier les points et , ainsi que et .

4. Pour positionner le point , utiliser le compas réglé à la distance de 4 cm (la longueur ) et dessiner un troisième arc de cercle à partir de . Ensuite, marquer un autre arc de cercle de 6 cm (la longueur ) à partir du point .

5. L’intersection de ces arcs vous donne le point .

6. Relier les points avec et , ainsi que avec pour clôturer le parallélogramme.

Le schéma de construction, en LaTeX, sera rendu en utilisant les coordonnées décrites.

$\begin{array}{l}%0D%0AAB\,=\,6\,\%2C\,cm\,\\%0D%0ABC\,=\,7\,\%2C\,cm\,\\%0D%0ACD\,=\,4\,\%2C\,cm\,\\%0D%0ADA\,=\,a\,trouver\,\\%0D%0A\end{array}$

Inclure tous les segments déterminants pour la construction géométrique en précis.

Les délais d’attente sont surpassés uniquement par l’harmonie trouvée dans cette précieuse construction mathématique.

Exercice 8 : construction en vraie grandeur
Pour construire le parallélogramme , nous allons suivre les étapes en utilisant les dimensions fournies :

1. Tracez un segment de $6\,\%2C\,cm$ .
2. À partir du point , tracez un arc de cercle de $4{%2C}3\,\%2C\,cm$ de rayon.
3. À partir du point , tracez également un arc de cercle de $3\,\%2C\,cm$ de rayon, croisant l’arc précédent en un point .
4. Connectez les points et ainsi que les points et .
5. À partir du point , tracez un arc de cercle de $3\,\%2C\,cm$ de rayon.
6. À partir du point (qui est l’intersection des arcs de cercle tracés depuis ), tracez un arc de cercle de $4{%2C}3\,)\,\%2C\,cm$ de rayon jusqu’à croiser le précédent arc de cercle en un point .
7. Connectez les points et , ainsi que les points et .

La figure obtenue est le parallélogramme .

$\begin{tikzpicture}%0D%0A\draw\,(0%2C0)\,node%5Bbelow%5D\,{F}\,--\,(6%2C0)\,node%5Bbelow%5D\,{G}\,--\,(4%2C3)\,node%5Bright%5D\,{H}\,--\,(-2%2C3)\,node%5Bleft%5D\,{I}\,--\,cycle%3B%0D%0A\draw\,%5Bdashed%5D\,(0%2C0)\,--\,(4%2C3)%3B%0D%0A\draw\,%5Bdashed%5D\,(6%2C0)\,--\,(-2%2C3)%3B%0D%0A\end{tikzpicture}$

Dans ce diagramme, les dimensions sont fixées avec les distances de à étant $6\,\%2C\,cm$ , à étant $4{%2C}3\,\%2C\,cm$ et à étant $3\,\%2C\,cm$ .

Nous obtenons un parallélogramme .

Exercice 9 : construire un parallélogramme
Pour construire le parallélogramme en vraie grandeur, nous suivons les étapes suivantes :

1. Tracer le segment $JO\,=\,7\,\%2C\,cm$ .
2. A partir du point , tracer un angle de $75^\circ$ avec le segment .
3. Prolonger le côté de cet angle pour obtenir le segment de $4\,\%2C\,cm$ .
4. Tracer le segment de la même longueur que , soit $7\,\%2C\,cm$ , en s’assurant qu’il est parallèle au segment .
5. Compléter le parallélogramme en joignant les points et .

Pour vérifier que les segments sont correctement tracés :

$Longueur\,de\,\,JO\,=\,7\,\%2C\,cm$
$Longueur\,de\,\,OL\,=\,4\,\%2C\,cm$
$\angle\,(JO%2C\,OL)\,=\,75^\circ$

Ensuite, on s’assure que :

$JL\,\parallel\,OI\,\quad\,et\,\quad\,JL\,=\,OI\,=\,7\,\%2C\,cm$
$JO\,\parallel\,LI\,\quad\,et\,\quad\,JO\,=\,LI\,=\,4\,\%2C\,cm$

Enfin, on complète en vérifiant que les diagonales se croisent au point commun O composée des côtés :

$cote\,JO%3A\,7\,\%2C\,cm$
$cote\,OL\,%3A\,4\,\%2C\,cm$
$angle\,\,JOL\,%3A\,75^\circ$

Ainsi, le parallélogramme est correctement construit.

Exercice 10 : construction d’un parallélogramme
Pour construire le parallélogramme , suivez les étapes suivantes :

1. $Tracer\,le\,segment\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FAE%22\,alt=%22AE$ : » align= »absmiddle » />
Comme $AE\,=\,5\,\%2C\,cm$ , tracez un segment de longueur $5\,\%2C\,cm$ .

2. $Tracer\,l'angle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F80%255E%255Ccirc%22\,alt=%2280^\circ$ a partir de : » align= »absmiddle » />
Utilisez un rapporteur pour tracer un angle de $80^\circ$ à partir du point et en prenant comme l’un des côtés de cet angle.

3. $Tracer\,le\,segment\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FEC%22\,alt=%22EC$ : » align= »absmiddle » />
À partir du point sur cette nouvelle ligne, mesurez et marquez un point tel que $EC\,=\,2%2C5\,\%2C\,cm$ .

4. $Tracer\,le\,segment\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FAC%22\,alt=%22AC$ : » align= »absmiddle » />
Reliez les points et pour obtenir le segment .

5. $Tracer\,le\,segment\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FBD%22\,alt=%22BD$ : » align= »absmiddle » />
Utilisez un compas pour reporter la longueur à partir du point (opposé de ) vers (opposé de ). Cela détermine le point .

6. $Tracer\,le\,segment\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FAB%22\,alt=%22AB$ : » align= »absmiddle » />
Tracez des segments de à et de à .

La figure obtenue est un parallélogramme .

En résumé, les segments et angles utilisés pour les constructions sont:
– $AE\,=\,5\,\%2C\,cm$
– $\angle\,EAC\,=\,80^\circ$
– $EC\,=\,2%2C5\,\%2C\,cm$

Les segments des côtés du parallélogramme sont donc $AB%2C\,AC$ et , en parallèle respectivement avec et .

En LaTeX pour représenter les équations et descriptions:

« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\begin{document}

Pour construire le parallélogramme , suivez les étapes suivantes :

1. Tracer le segment :
$AE\,=\,5\,\%2C\,cm$
Tracez un segment de longueur $5\,\%2C\,cm$ .

2. Tracer l’angle $80^\circ$ à partir de :
$\angle\,EAC\,=\,80^\circ$
Utilisez un rapporteur pour tracer un angle de $80^\circ$ à partir du point et en prenant comme l’un des côtés de cet angle.

3. Tracer le segment :
$EC\,=\,2%2C5\,\%2C\,cm$
À partir du point sur cette nouvelle ligne, mesurez et marquez un point tel que $EC\,=\,2%2C5\,\%2C\,cm$ .

4. Tracer le segment :
$Tracez\,le\,segment\,\,AC$
Reliez les points et pour obtenir le segment .

5. Tracer le segment :
$BD\,\,est\,parallele\,a\,\,AC$
Utilisez un compas pour reporter la longueur à partir du point (opposé de ) vers (opposé de ). Cela détermine le point .

6. Tracer le segment :
$Reliez\,les\,points\,\,A\,\,et\,\,B%2C\,\,ainsi\,que\,\,C\,\,et\,\,D.$
Tracez des segments de à et de à .

La figure obtenue est un parallélogramme .

\end{document}
« `

En suivant ces étapes, vous obtiendrez le parallélogramme .

Exercice 11 : propriétés du parallélogramme
a. Le quadrilatère LOIN est un parallélogramme. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux. Donc, les longueurs des côtés sont :

$OL\,=\,IN\,=\,2.5\,\%2Ccm\,\quad\,et\,\quad\,LI\,=\,ON\,=\,4\,\%2Ccm$

Le périmètre du parallélogramme LOIN est donné par la somme des longueurs de tous ses côtés :

$P\,=\,2\,\times \,(OL\,%2B\,LI)\,=\,2\,\times \,(2.5\,\%2Ccm\,%2B\,4\,\%2Ccm)\,=\,2\,\times \,6.5\,\%2Ccm\,=\,13\,\%2Ccm$

Donc, le périmètre de LOIN est $13\,\%2Ccm$ .

b. Dans un parallélogramme, les angles adjacents sont supplémentaires, c’est-à-dire que leur somme est égale à $180^\circ$ . Puisque $\angle\,LON$ est donné comme $117^\circ$ ,

$\angle\,LNI\,=\,180^\circ\,-\,\angle\,LON\,=\,180^\circ\,-\,117^\circ\,=\,63^\circ$

Donc, la mesure de l’angle $\angle\,LNI$ est $63^\circ$ .

Exercice 12 : propriétés du parallélogramme
Soit ABCD un parallélogramme de centre . On sait que $\angle\,OAB\,=\,71^\circ$ et $\angle\,OBA\,=\,19^\circ$ .

Les angles $\angle\,OAB$ et $\angle\,OBA$ forment ensemble l’angle $\angle\,AOB$ :
$\angle\,AOB\,=\,\angle\,OAB\,%2B\,\angle\,OBA\,=\,71^\circ\,%2B\,19^\circ\,=\,90^\circ$

Le point est le centre du parallélogramme ABCD , donc il est aussi le point d’intersection des diagonales et ces diagonales se coupent en leur milieu. Ainsi, les diagonales sont perpendiculaires.

Un parallélogramme avec des diagonales perpendiculaires est un losange.

Conclusion : Le parallélogramme ABCD est particulier. C’est un losange, car ses diagonales sont perpendiculaires.

Exercice 13 : problème ouvert
Pour chaque bijou de la collection « Parallélogrammes étoilés », Héloïse doit déterminer la longueur totale de fil d’or en recouvrant les bords du bijou. Nous devons donc calculer le périmètre de chaque bijou composé de parallélogrammes.

Prenons comme exemple le bijou dans le document 2, composé de cinq parallélogrammes.

1. $Dimensions\,du\,parallelogramme\,%3A$
– Longueur : $4\,\%2C\,cm$
– Largeur : $2\,\%2C\,cm$

2. $Calcul\,du\,perimetre\,d'un\,parallelogramme\,%3A$

Le périmètre d’un parallélogramme est donné par la formule :
$P\,=\,2\,\times \,(longueur\,%2B\,largeur)$
Pour un parallélogramme :
$P\,=\,2\,\times \,(4\,\%2C\,cm\,%2B\,2\,\%2C\,cm)\,=\,2\,\times \,6\,\%2C\,cm\,=\,12\,\%2C\,cm$

3. $Calcul\,du\,perimetre\,total\,du\,bijou\,%3A$

Le bijou est composé de cinq parallélogrammes. Cependant, il faut noter que chaque côté interne de chaque parallélogramme est partagé avec un autre parallélogramme, donc ces côtés ne doivent pas être comptés deux fois. Le bijou a des parties internes où les parallélogrammes se connectent.

Chaque bijou à parallélogrammes a :
– côtés.
– Les côtés internes partagés sont égaux à .

Soit $n\,=\,5$ , le nombre de côtés internes partagés vaut 5. TOTAL DE COTES = 2x 5 = 10 mais partagé donc 10 – 5 = 5

Chaque côté d’un parallélogramme => 12 cm.

$Perimetre\,global\,du\,bijou$
$P_{total}\,=\,5\,x\,12\,=\,60\,cm$

Héloïse doit donc prévoir une longueur totale de $60\,\%2C\,cm$ de fil d’or pour le bijou composé de cinq parallélogrammes.

Exercice 14 : propriétés du parallélogramme
Soit ABCD un parallélogramme et le point d’intersection des diagonales et . Par définition, dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, donc est le milieu de et de . On a donc :
$AI\,=\,CI$
et
$BI\,=\,DI$

D’autre part, il est donné que est aussi le milieu du segment . Donc:
$MI\,=\,NI$

Nous devons montrer que le quadrilatère AMCN est un parallélogramme. Pour cela, nous allons utiliser la propriété suivante des parallélogrammes : un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.

Considérons les diagonales et du quadrilatère AMCN . Il nous suffit de prouver que ces deux diagonales se coupent en leur milieu.

Comme est le milieu de et aussi le milieu de , alors est sur et . Maintenant, puisque $MI\,=\,NI$ et $MA\,=\,IC$ , nous pouvons conclure que est également le milieu de et .

Donc, les diagonales du quadrilatère AMCN se coupent en leur milieu en . Par conséquent, le quadrilatère AMCN est un parallélogramme.

$AMCN\,\,est\,un\,parallelogramme.$

Exercice 15 : périmètre d’un parallélogramme
a. Les longueurs des segments [AD], [DC] et [FG] sont :

– Le segment [AD] correspond à un côté du parallélogramme ABCD. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur, donc $%5BAD%5D\,=\,%5BBC%5D$ . Ainsi, $%5BAD%5D\,=\,2\,\%2C\,cm$ .

– Le segment [DC] correspond à la différence entre le segment [ED] et [FC] dans le parallélogramme ABCD. Étant donné que E et F sont sur le segment [CD], $%5BDC%5D\,=\,%5BDE%5D\,%2B\,%5BEF%5D\,%2B\,%5BFC%5D\,=\,3\,\%2C\,cm\,%2B\,2\,\%2C\,cm\,=\,5\,\%2C\,cm$ .

– Le segment [FG] correspond à un côté du parallélogramme EFGH. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur, donc $%5BFG%5D\,=\,%5BEH%5D$ . Ainsi, $%5BFG%5D\,=\,2\,\%2C\,cm$ .

b. Le périmètre du parallélogramme ABCD est donné par la somme de tous ses côtés. Puisque certains côtés sont de même longueur, nous avons :

$P_{ABCD}\,=\,2AB\,%2B\,2AD\,=\,2\,\times \,4\,\%2C\,cm\,%2B\,2\,\times \,2\,\%2C\,cm\,=\,8\,\%2C\,cm\,%2B\,4\,\%2C\,cm\,=\,12\,\%2C\,cm$

c. Le périmètre total de la figure :

Pour calculer le périmètre total de la figure composée des deux parallélogrammes ABCD et EFGH, nous devons additionner les longueurs de tous les segments qui forment le contour :

$P_{total}\,=\,AB\,%2B\,BC\,%2B\,CG\,%2B\,GH\,%2B\,HE\,%2B\,ED$

Sachant les valeurs des différents segments :

$P_{total}\,=\,4\,\%2C\,cm\,%2B\,2\,\%2C\,cm\,%2B\,3\,\%3Acm\,%2B\,2\,\%2C\,cm\,%2B\,3\,\%2C\,cm\,%2B\,5\,\%3Acm$

$P_{total}\,=\,19\,\%2C\,cm$

Ainsi, le périmètre de la figure est $19\,\%2C\,cm$ .

Exercice 16 : constructions de parallélogramme avec le compas
Pour construire les parallélogrammes ABCD et DEFG à la règle et au compas, nous suivons ces étapes :

#### Parallélogramme ABCD :

1. Traçons le segment de longueur 5 cm.
2. À partir du point , construisons un angle de $50^\circ$ avec de longueur 3 cm.
3. À partir du point , traçons un segment parallèle à . Utilisons la règle et le compas pour assurer que les deux segments sont parallèles et de même longueur (3 cm).
4. À partir du point , traçons un segment parallèle à . Utilisons la règle et le compas pour assurer qu’ils sont parallèles et de même longueur (5 cm).
5. Verifions que le point situé à l’intersection de et ferme le parallélogramme.

##### Parallélogramme DEFG :

1. Traçons le segment de longueur 4 cm.
2. À partir du point , construisons un angle de $130^\circ$ avec de longueur 6 cm.
3. À partir du point , traçons un segment parallèle à . Utilisons la règle et le compas pour assurer qu’ils sont parallèles et de même longueur (6 cm).
4. À partir du point , traçons un segment parallèle à . Utilisons la règle et le compas pour assurer qu’ils sont parallèles et de même longueur (4 cm).
5. Verifions que le point situé à l’intersection de et ferme le parallélogramme.

#### Construction et vérification :

Pour construire les parallélogrammes, utilisons les propriétés des parallélogrammes :
– Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
– Les angles opposés sont égaux.

$Longueurs\,suivantes\,%3A%0D%0A\begin{align%2A}%0D%0AAB\,=\,DC\,=\,5\,\,cm\,\\%0D%0AAD\,=\,BC\,=\,3\,\,cm%0D%0A\end{align%2A}$

$Longueurs\,suivantes\,%3A%0D%0A\begin{align%2A}%0D%0ADE\,=\,FG\,=\,4\,\,cm\,\\%0D%0AEF\,=\,DG\,=\,6\,\,cm%0D%0A\end{align%2A}$

Vérifions les angles et les longueurs avec précision pour s’assurer qu’ils suivent les propriétés des parallélogrammes.

Ainsi, les parallélogrammes ABCD et DEFG sont correctement construits selon les spécifications données.

Exercice 17 : conjecturer les longueurs IJ et GH
Étant donné que les quadrilatères EFGH et EFIJ sont des parallélogrammes, nous savons que les côtés opposés de ces figures sont égaux.

Pour le parallélogramme EFGH :
$EG\,=\,FH$
$EF\,=\,GH$

Pour le parallélogramme EFIJ :
$EJ\,=\,FI$
$EF\,=\,IJ$

Ainsi, on peut conjecturer les relations de longueurs suivantes :
$IJ\,=\,GH$

Pour prouver cette conjecture, considérons les deux parallélogrammes de la figure. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont égaux en longueur. Ainsi :

1) Dans le parallélogramme EFGH :
$EG\,=\,FH$
$EF\,=\,GH$

2) Dans le parallélogramme EFIJ :
$EJ\,=\,FI$
$EF\,=\,IJ$

De ces égalités, nous pouvons voir que :
$GH\,=\,EF$
$IJ\,=\,EF$

Donc, en combinant ces égalités, nous avons :
$GH\,=\,IJ$

Donc, en conclusion, les segments et ont la même longueur.

Ainsi, la conjecture est prouvée :
$IJ\,=\,GH$

Exercice 18 : donner la mesure des angles
Correction de l’exercice :

[a.] $\widehat{EHG}$

Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux, donc :
$\widehat{EHG}\,=\,\widehat{EFG}\,=\,58^\circ$

Par conséquent :
$\widehat{EHG}\,=\,58^\circ$

[b.] $\widehat{xEH}$

Les angles consécutifs dans un parallélogramme sont supplémentaires (leur somme est égale à $180^\circ$ ), donc :
$\widehat{xEH}\,=\,180^\circ\,-\,\widehat{EFG}\,=\,180^\circ\,-\,58^\circ\,=\,122^\circ$

Par conséquent :
$\widehat{xEH}\,=\,122^\circ$

[c.] $\widehat{HEF}$

Les angles consécutifs dans un parallélogramme sont supplémentaires, donc :
$\widehat{HEF}\,=\,180^\circ\,-\,\widehat{HFE}\,=\,180^\circ\,-\,58^\circ\,=\,122^\circ$

Par conséquent :
$\widehat{HEF}\,=\,122^\circ$

Exercice 19 : quel est la nature du triangle ?
Correction de l’exercice:

a. Le triangle OMC semble être un triangle isocèle.

b. Prouvons cette conjecture :

Étant donné que ABCD est un parallélogramme et que en est le centre, nous avons les propriétés suivantes :
– est le milieu de et de ,
– est parallèle et égal à ,
– est parallèle et égal à .

On nous dit également que est un point du segment tel que $OM\,=\,OA$ .

Considérons le triangle OAC :
– est le milieu de ,
– Selon la propriété des diagonales des parallélogrammes, est une diagonale et $OB\,=\,OD$ sont des moitiés égales d’une diagonale.

$OM\,=\,OA$ implique que le point divise la diagonale en deux segments où ce point est à égale distance du point .

Pour prouver que le triangle OMC est isocèle, nous devons montrer que deux côtés du triangle OMC sont égaux.

Observons les segments et :
– $OA\,=\,OM$ par condition,
– est le centre du parallélogramme donc il divise en deux segments égaux et ,
– Par la propriété des parallélogrammes, est équidistant de par rapport à ABCD .

Par conséquent, on a :
– $OM\,=\,OA$

Pour vérifier $OM\,=\,OC$ , considérons que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu donc est également le milieu de .

Ainsi, $OM\,=\,OC$ , prouvant que les triangles OMC sont isocèles en , avec $OM\,=\,OC$ .

D’où, le triangle OMC est un triangle isocèle.

Nous avons donc prouvé que $OM\,=\,OC$ , validant ainsi notre conjecture que le triangle OMC est isocèle.

Exercice 20 : laquelle des deux surfaces colorées a le plus grand périmètre
Soit $EFGH$ un parallélogramme.

Pour déterminer quelle surface colorée a le plus grand périmètre, il est nécessaire de comparer les périmètres des surfaces colorées en bleu et orange.

Considérons la ligne brisée qui partage le parallélogramme en deux surfaces colorées. Cette ligne brisée est composée de segments de droite qui ajoutent de la longueur au périmètre de la surface colorée orange.

Pour la surface colorée en bleu :
– Les côtés la délimitant sont $EH$, $HG$, et la ligne brisée (en haut).

Pour la surface colorée en orange :
– Les côtés la délimitant sont $EF$, $FG$, et la ligne brisée (en bas).

Les périmètres des deux surfaces partagent les deux segments $EH$ et $HG$ pour la surface bleue, et $EF$ et $FG$ pour la surface orange. Cependant, la ligne brisée en haut (bleu) et la ligne brisée en bas (orange) ne sont pas égales en longueur.

En réalité, la ligne brisée ajoutée au périmètre de la surface orange est plus longue que celle du périmètre de la surface bleue, car elle inclut des segments supplémentaires créés par les triangles.

Ainsi, le périmètre de la surface orange est supérieur à celui de la surface bleue.

En conclusion, la surface colorée orange a un plus grand périmètre que la surface colorée bleue.

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : citer tous les parallélogrammes
Les parallélogrammes que l’on peut distinguer sur la carte sont:

1. LMIJ
2. IJNK
3. LIJK
4. MNJK

Chaque figure présente deux paires de côtés opposés parallèles, respectant ainsi la définition des parallélogrammes.

Exercice 22 : périmètre d’un parallélogramme et mesure d’angle
a. Le périmètre de LOIN :

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur. Ainsi, nous avons $LO\,=\,IN$ et $LI\,=\,ON$ .

D’après l’énoncé, nous savons que $LO\,=\,2.5\,\%2C\,cm$ et $LI\,=\,4\,\%2C\,cm$ .

Le périmètre d’un parallélogramme est la somme des longueurs de tous ses côtés. Donc :
$P\,=\,2\,\times \,(LO\,%2B\,LI)$

En substituant les valeurs, nous obtenons :
$P\,=\,2\,\times \,(2.5\,\%2C\,cm\,%2B\,4\,\%2C\,cm)\,=\,2\,\times \,6.5\,\%2C\,cm\,=\,13\,\%2C\,cm$

b. La mesure de l’angle $\widehat{LNI}$ :

Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires (c’est-à-dire qu’ils s’additionnent pour donner $180^\circ$ ).

Nous savons que $\widehat{LON}\,=\,117^\circ$ .

Ainsi, pour trouver $\widehat{LNI}$ , nous devons soustraire $\widehat{LON}$ de $180^\circ$ :
$\widehat{LNI}\,=\,180^\circ\,-\,\widehat{LON}$

En substituant la valeur de $\widehat{LON}$ , nous obtenons :
$\widehat{LNI}\,=\,180^\circ\,-\,117^\circ\,=\,63^\circ$

Exercice 23 : nature d’un quadrilatère
a. La figure initiale est un demi-rectangle. En complétant cette figure par symétrie par rapport à la droite verte, on obtient un rectangle entier.

b. Les dimensions du rectangle obtenu sont :
– Longueur : $2\,\times \,2.5\,\,cm\,=\,5\,\,cm$
– Largeur : $2\,\times \,1.5\,\,cm\,=\,3\,\,cm$

$Longueur\,=\,5\,\,cm$
$Largeur\,=\,3\,\,cm$

Exercice 24 : compléter cette figure par symétrie axiale
a. Le quadrilatère obtenu par symétrie par rapport à la droite rouge est un cerf-volant. En effet, en utilisant la symétrie, les deux triangles obtenus sont isocèles et ont deux côtés égaux deux à deux, ce qui caractérise un cerf-volant.

b. Pour déterminer les mesures des angles du quadrilatère, nous devons d’abord calculer les autres angles par symétrie.

Les angles donnés sont de 58° et 61°. Par symétrie :

\- L’angle adjacent à 61° (de l’autre côté de la droite rouge) sera également de 61°.
\- L’angle adjacent à 58° (de l’autre côté de la droite rouge) sera également de 58°.

Maintenant, considérons les deux angles au sommet formés par la droite rouge. Pour un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. Donc, nous devons trouver le troisième angle de l’un des triangles formés par la symétrie :

$180^\circ\,-\,58^\circ\,-\,61^\circ\,=\,61^\circ$

Ainsi, les deux sommets adjacents de la droite rouge formeront un angle total de :

$2\,\times \,61^\circ\,=\,122^\circ$

Alors, les angles du quadrilatère sont :
\- Deux angles de 58°
\- Deux angles de 122°

En résumé, les mesures des angles du quadrilatère sont : $58^\circ%2C\,58^\circ%2C\,122^\circ$ , et $122^\circ$ .

Exercice 25 : ce parallélogramme est-il particulier ?
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Ici, O est le milieu de AC et BD.

$AC\,=\,7%2C2\,\%2C\,cm\,\quad\,et\,\quad\,OD\,=\,3%2C6\,\%2C\,cm$

Puisque O est le milieu de AC, alors :

$AO\,=\,OC\,=\,\frac{AC}{2}\,=\,\frac{7%2C2\,\%2C\,cm}{2}\,=\,3%2C6\,\%2C\,cm$

Or, dans le parallélogramme ABCD, les segments AO et OD sont égaux en longueur :

$AO\,=\,OD\,=\,3%2C6\,\%2C\,cm$

Cela implique que les diagonales se coupent en leur centre avec les mêmes segments AO et OD. Par conséquent, les diagonales sont égales.

Un parallélogramme ayant ses diagonales de même longueur est un rectangle.

Donc, le parallélogramme ABCD est un rectangle.

Exercice 26 : quelle est la nature de ce parallélogramme ?
Étant donné que ABCD est un parallélogramme de centre , est le milieu des diagonales et . Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

D’après l’exercice, on sait que $\angle\,OAB\,=\,71^\circ$ et $\angle\,OBA\,=\,19^\circ$ .

Dans le triangle OAB , la somme des angles est égale à $180^\circ$ :
$\angle\,OAB\,%2B\,\angle\,OBA\,%2B\,\angle\,AOB\,=\,180^\circ$
$71^\circ\,%2B\,19^\circ\,%2B\,\angle\,AOB\,=\,180^\circ$
$\angle\,AOB\,=\,180^\circ\,-\,71^\circ\,-\,19^\circ\,=\,90^\circ$

Comme $\angle\,AOB\,=\,90^\circ$ , cela signifie que les diagonales et se coupent perpendiculairement.

Dans un parallélogramme où les diagonales se coupent perpendiculairement, le parallélogramme est un losange. En effet, les quatre côtés sont congruents dans un losange et les diagonales se coupent perpendiculairement.

Ainsi, ABCD est un losange.

Pour justifier :

– Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
– Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires.
– D’après les mesures fournies $\angle\,OAB\,=\,71^\circ$ , $\angle\,OBA\,=\,19^\circ$ et $\angle\,AOB\,=\,90^\circ$ .
– Cela prouve que les diagonales sont perpendiculaires.

Donc, ABCD est un losange.

Exercice 27 : construire le parallélogramme IJKL
Pour construire le parallélogramme IJKL tel que représenté, nous utiliserons les mesures suivantes:
– $IJ\,=\,6\,\%2C\,cm$
– $JK\,=\,4\,\%2C\,cm$
– La diagonale $IK\,=\,7\,\%2C\,cm$

Voici les étapes de correction:

1. Tracer un segment de longueur $6\,\%2C\,cm$ .

$IJ\,=\,6\,\%2C\,cm$

2. Avec comme centre et un rayon de $7\,\%2C\,cm$ , tracer un arc de cercle.

3. Avec comme centre et un rayon de $4\,\%2C\,cm$ , tracer un autre arc de cercle qui coupe le premier arc de cercle en .

$IK\,=\,7\,\%2C\,cm\,\quad\,et\,\quad\,JK\,=\,4\,\%2C\,cm$

4. Relier les points à et à pour obtenir les segments et .

5. Utiliser le fait que IJKL est un parallélogramme, ce qui implique que les diagonales se coupent en leur milieu.

6. Tracer les diagonales et , et marquer leur point d’intersection (milieu de et ).

7. Utiliser le fait que IJKL est symétrique par rapport à pour déterminer les points et .

8. Relier les points à et , et à pour compléter le parallélogramme IJKL .

Finalement, nous obtenons le parallélogramme IJKL dessiné en vraie grandeur respectant les mesures données.

Exercice 28 : construire le parallélogramme FGHI
Pour construire le parallélogramme $FGHI$ en vraie grandeur, nous allons suivre les étapes suivantes :

1. Tracer un segment $\overline{FG}$ de longueur $6$ cm.

« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% Segment FG
\draw (0,0) — (6,0);
\node[above] at (0,0) {F};
\node[above] at (6,0) {G};
\end{tikzpicture}
« `

2. À partir du point $G$, tracer un segment $\overline{GH}$ perpendiculaire à $\overline{FG}$ et de longueur $3$ cm.

« `latex
\begin{tikzpicture}
% Segment FG
\draw (0,0) — (6,0);
\node[above] at (0,0) {F};
\node[above] at (6,0) {G};
% Segment GH
\draw (6,0) — (6,-3);
\node[right] at (6,-3) {H};
\end{tikzpicture}
« `

3. À partir du point $F$, tracer un segment $\overline{FI}$ de longueur $4.3$ cm tel que $I$ soit aligné avec $H$ de manière à former un parallélogramme.

« `latex
\begin{tikzpicture}
% Segment FG
\draw (0,0) — (6,0);
\node[above] at (0,0) {F};
\node[above] at (6,0) {G};
% Segment GH et HI
\draw (6,0) — (6,-3) — (1.7,-3);
\node[right] at (6,-3) {H};
\node[below] at (1.7,-3) {I};
% Segment IF pour fermer le parallélogramme
\draw (1.7,-3) — (0,0);
\end{tikzpicture}
« `

4. Vérifier que $\overline{FI}$ est bien de longueur $4.3$ cm.

L’utilisation d’un rapporteur pour vérifier les angles et la bonne perpendicularité entre $\overline{FG}$ et $\overline{GH}$ est recommandée pour garantir que le quadrilatère est bien un parallélogramme.

Ainsi, vous avez construit le parallélogramme $FGHI$ en vraie grandeur.

Exercice 29 : construire en vraie grandeur ces boucles d’oreilles
Pour l’exercice, nous devons construire la boucle d’oreille en forme de parallélogramme en utilisant les informations données :

1. $Etant\,donne\,%3A$
$ED\,=\,6\,\,cm%2C\,\quad\,CE\,=\,2\,\,cm%2C\,\quad\,\widehat{CED}\,=\,125^\circ$

2. $Construction\,%3A$
– Dessiner le segment de $6\,\,cm$ .
– Placer le point tel que $CE\,=\,2\,\,cm$ et l’angle $\widehat{CED}\,=\,125^\circ$ .

– $Etapes\,%3A$
1. Tracer un segment de $6\,\,cm$ .
2. À partir du point , tracer le segment de $2\,\,cm$ formant un angle de $125^\circ$ avec le segment .

– $Construction\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FD%22\,alt=%22D$ et : » align= »absmiddle » />
$\begin{tikzpicture}%0D%0A%25\,Geo\,de\,la\,figure%0D%0A\draw%5Bthick%5D\,(0%2C0)\,--\,(6%2C0)\,node%5Bmidway%2C\,below%5D\,{ED=6cm}%3B%0D%0A\draw%5Bthick%5D\,(6%2C0)\,--\,(5.1%2C1.8)\,node%5Bmidway%2C\,right%5D\,{CE=2cm}%3B%0D%0A\draw%5Bdashed%5D\,(0%2C0)\,--\,(5.1%2C1.8)%3B%0D%0A%0D%0A%25\,Points%0D%0A\filldraw%5Bblack%5D\,(0%2C0)\,circle\,(2pt)\,node%5Banchor=east%5D\,{D}%3B%0D%0A\filldraw%5Bblack%5D\,(6%2C0)\,circle\,(2pt)\,node%5Banchor=west%5D\,{E}%3B%0D%0A\filldraw%5Bblack%5D\,(5.1%2C1.8)\,circle\,(2pt)\,node%5Banchor=south\,west%5D\,{C}%3B%0D%0A%0D%0A%25\,Angle\,marker%0D%0A\draw%5B->%2C\,red%5D\,(6%2C0)\,arc\,(0%3A125%3A1)%3B%0D%0A%0D%0A%25\,Angle\,notation%0D%0A\node\,at\,(6.3%2C1)\,{$125^\circ$}%3B%0D%0A\end{tikzpicture}$ };
\end{tikzpicture} » align= »absmiddle » />

En conclusion, la construction d’une des boucles d’oreilles est terminée en vraie grandeur avec les dimensions et l’angle donnés.

Exercice 30 : construire le parallélogramme JOLI
Pour construire le parallélogramme JOLI en vraie grandeur, suivez ces étapes :

1. $Tracer\,un\,segment\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255BOJ%255D%22\,alt=%22%5BOJ%5D$ de 7 cm » align= »absmiddle » /> :
$\overline{OJ}\,=\,7\,\%2C\,cm$

2. $A\,partir\,du\,point\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FO%22\,alt=%22O$ , tracer un angle de $75^\circ$ avec et marquer le point a 4 cm du point » align= »absmiddle » /> :
$\angle\,(\overline{OJ}%2C\,\overline{OL})\,=\,75^\circ\,\quad\,et\,\quad\,\overline{OL}\,=\,4\,\%2C\,cm$

3. $A\,partir\,du\,point\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FJ%22\,alt=%22J$ , tracer une ligne parallele a » align= »absmiddle » />, telle que :
$JI\,\parallel\,OL\,\quad\,et\,\quad\,\overline{JI}\,=\,4\,\%2C\,cm$

4. $A\,partir\,du\,point\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FL%22\,alt=%22L$ , tracer une ligne parallele a » align= »absmiddle » />, telle que :
$LI\,\parallel\,OJ\,\quad\,et\,\quad\,\overline{LI}\,=\,7\,\%2C\,cm$

5. $Verifier\,que\,les\,cotes\,opposes\,sont\,de\,meme\,longueur\,et\,que\,les\,angles\,opposes\,sont\,egaux\,pour\,confirmer\,que\,la\,figure\,est\,bien\,un\,parallelogramme$ :
$\overline{OJ}\,=\,\overline{LI}\,=\,7\,\%2C\,cm\,\quad\,et\,\quad\,\overline{OL}\,=\,\overline{JI}\,=\,4\,\%2C\,cm$

Ainsi, le parallélogramme JOLI est construit en vraie grandeur.

Exercice 31 : construire le parallélogramme ABCD
Pour construire le parallélogramme ABCD en vraie grandeur, nous allons suivre les étapes suivantes :

1. Tracez un segment de 5 cm.
2. À partir du point , tracez un angle de $80^\circ$ avec , en direction allant vers l’extérieur du segment . Tracez une ligne suffisamment longue depuis pour ce faire.
3. Reportez la longueur de 2,5 cm sur la droite partant de . Nommez ce point .
4. Tracez la ligne parallèle à passant par . Pour ce faire, utilisez un compas pour tracer les arcs congruents à partir de .
5. Ensuite, tracez la ligne parallèle à passant par . Faites de même avec le compas pour trouver le point , intersection de cette ligne avec la ligne précédemment tracée.
6. Reliez les points et , et les points et pour compléter le parallélogramme ABCD .