Proportionnalité : corrigés des exercices de maths en 5ème.

Exercice 11 : mickeyville et Donaldville
Pour trouver l’échelle de la carte, nous devons comparer la distance réelle entre Mickeyville et Donaldville à la distance sur la carte.

1. Distance réelle \( D_{r} = 84 \) km
2. Distance sur la carte \( D_{c} = 28 \) cm

Convertissons la distance réelle en centimètres pour que les unités soient cohérentes :
\[
84 \, \text{km} = 84 \times 1000 \, \text{m} = 84 \times 1000 \times 100 \, \text{cm} = 8{,}400{,}000 \, \text{cm}
\]

L’échelle \( E \) de la carte se calcule comme le ratio entre la distance sur la carte et la distance réelle:
\[
E = \frac{D_{c}}{D_{r}}
\]

En substituant les distances :
\[
E = \frac{28 \, \text{cm}}{8{,}400{,}000 \, \text{cm}} = \frac{28}{8{,}400{,}000}
\]

Simplifions cette fraction :
\[
E = \frac{1}{300{,}000}
\]

Ainsi, l’échelle de la carte est de \( \frac{1}{300{,}000} \).

Exercice 12 : calcul d’une distance
Sur une carte au \[\frac{1}{100\ 000}\], cela signifie que 1 cm sur la carte représente 100 000 cm dans la réalité.

Si la distance entre les deux villes sur la carte mesure 9 cm, alors la distance réelle peut être calculée comme suit :

\[
\text{Distance réelle} = 9 \, \text{cm} \times 100\ 000
\]

Convertissons d’abord la distance réelle de centimètres en kilomètres. Nous savons que \[1 \, \text{km} = 100\ 000 \, \text{cm}\].

\[
\text{Distance réelle} = 9 \times 100\ 000 \, \text{cm} = 900\ 000 \, \text{cm}
\]
\[
\text{Distance réelle en km} = \frac{900\ 000 \, \text{cm}}{100\ 000 \, \text{cm/km}} = 9 \, \text{km}
\]

Ainsi, la distance réelle entre les deux villes est de \[9 \, \text{km}\].

Exercice 13 : distance entre Bourg en Bresse et Lyon
On dispose d’une carte routière au \( \frac{1}{1\,000\,000} \).

Sachant que la distance réelle entre Bourg en Bresse et Lyon est de 62 km, quelle est en cm la distance sur la carte entre ces deux villes ?

La distance réelle entre Bourg en Bresse et Lyon est donnée en kilomètres (km), nous allons convertir cette distance en centimètres (cm) avant d’utiliser l’échelle de la carte.

1 km = 1000 mètres, et 1 mètre = 100 cm.
Donc, 1 km = \( 1000 \times 100 \) cm = 100\, 000 cm.

Ainsi, 62 km = \( 62 \times 100\, 000 \) cm = 6\, 200\, 000 cm.

L’échelle de la carte est \( \frac{1}{1\, 000\, 000} \), ce qui signifie que 1 cm sur la carte représente 1 000 000 cm dans la réalité.

La distance sur la carte entre Bourg en Bresse et Lyon (en cm) se calcule alors comme suit :

\[ \text{Distance sur la carte (cm)} = \frac{\text{Distance réelle (cm)}}{\text{Échelle}} \]

\[ = \frac{6\,200\,000 \, \text{cm}}{1\,000\,000} \]

\[ = 6.2 \, \text{cm} \]

Ainsi, la distance sur la carte entre Bourg en Bresse et Lyon est de 6.2 cm.

Exercice 14 : problème de blé
a. Calcul du coefficient de proportionnalité \( k \) :

Soit \( k \) le coefficient de proportionnalité entre la quantité de blé \( B \) (en kg) et la quantité de farine \( F \) (en kg). On a la relation de proportionnalité \( F = k \cdot B \).

Avec 15 kg de blé, on obtient 12 kg de farine. Donc :
\[ k = \frac{F}{B} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \]

Le coefficient de proportionnalité est donc \(\frac{4}{5}\). Cela signifie que pour chaque kilogramme de blé, on obtient \(\frac{4}{5}\) kg de farine.

b. Calcul des quantités \( \mathbf{2} \) et \( \mathbf{3} \) :

Pour calculer la quantité de farine obtenue avec 25 kg de blé (quantité \( \mathbf{2} \)), on utilise la relation \( F = k \cdot B \) :
\[ F = \frac{4}{5} \times 25 = 20 \]
Donc, la quantité \( \mathbf{2} \) est 20 kg de farine.

Pour calculer la quantité de blé nécessaire pour obtenir 36 kg de farine (quantité \( \mathbf{3} \)), on utilise la relation \( B = \frac{F}{k} \) :
\[ B = \frac{36}{\frac{4}{5}} = 36 \times \frac{5}{4} = 45 \]
Donc, la quantité \( \mathbf{3} \) est 45 kg de blé.

Interprétation :
Avec 25 kg de blé, on obtient 20 kg de farine. Pour obtenir 36 kg de farine, il faut utiliser 45 kg de blé. Ces résultats confirment la relation de proportionnalité établie avec le coefficient de proportionnalité de \(\frac{4}{5}\).

Exercice 15 : extraits d’un jeu vidéo
a. Pour vérifier si le nombre de points est proportionnel au nombre de coupes, nous devons examiner le rapport \(\frac{\text{points}}{\text{coupes}}\) dans chaque cas.

Pour 3 coupes et 750 points:
\[
\frac{750 \text{ points}}{3 \text{ coupes}} = \frac{750}{3} = 250 \text{ points par coupe}
\]

Pour 5 coupes et 1250 points:
\[
\frac{1250 \text{ points}}{5 \text{ coupes}} = \frac{1250}{5} = 250 \text{ points par coupe}
\]

Comme le ratio \(\frac{\text{points}}{\text{coupes}}\) est le même dans les deux cas, le nombre de points est proportionnel au nombre de coupes.

b. Pour obtenir 4 000 points, nous utilisons la proportion :
\[
4 000 \text{ points} = 250 \text{ points par coupe} \times \text{nombre de coupes}
\]
\[
\text{nombre de coupes} = \frac{4 000 \text{ points}}{250 \text{ points par coupe}} = 16 \text{ coupes}
\]

c. Si Louise a gagné 9 coupes, alors le nombre de points qu’elle a obtenus est :
\[
9 \text{ coupes} \times 250 \text{ points par coupe} = 2 250 \text{ points}
\]

Exercice 16 : masse d’un sac
Pour vérifier si la masse d’un sac est proportionnelle au nombre de boules qu’il contient, nous devons calculer le rapport entre la masse et le nombre de boules pour chaque sac, et voir si ce rapport est constant.

Regardons chaque sac :

1. Le premier sac contient 4 boules et a une masse de \(2,8 \, \text{kg}\).
2. Le second sac contient 3 boules et a une masse de \(1,2 \, \text{kg}\).

Calculons le rapport masse/nombre de boules pour chaque sac :

Pour le premier sac :
\[
\frac{2,8 \, \text{kg}}{4 \, \text{boules}} = 0,7 \, \frac{\text{kg}}{\text{boule}}
\]

Pour le second sac :
\[
\frac{1,2 \, \text{kg}}{3 \, \text{boules}} = 0,4 \, \frac{\text{kg}}{\text{boule}}
\]

Le rapport de la masse au nombre de boules n’est pas le même pour les deux sacs (0,7 vs 0,4). Cela signifie que la masse d’un sac n’est pas proportionnelle au nombre de boules qu’il contient.

Ainsi, la masse des sacs n’est pas proportionnelle au nombre de boules qu’ils contiennent.

Exercice 17 : objets vendus à l’unité
a) Pour les cahiers:
\[ P = N \times \frac{10}{4} = N \times 2.5 \]

b) Pour les gommes:
\[ P = N \times \frac{3}{4} = N \times 0.75 \]

Exercice 18 : associer chaque nombre au pourcentage
Pour convertir chaque fraction en pourcentage, il faut multiplier la fraction par 100.

1. \( \frac{3}{2} \):
\[ \frac{3}{2} \times 100 = 150\% \]

2. \( \frac{4}{10} \):
\[ \frac{4}{10} \times 100 = 40\% \]

3. \( \frac{1}{2} \):
\[ \frac{1}{2} \times 100 = 50\% \]

4. \( \frac{3}{4} \):
\[ \frac{3}{4} \times 100 = 75\% \]

5. \( \frac{3}{3} \):
\[ \frac{3}{3} \times 100 = 100\% \]

Par conséquent, l’association correcte est la suivante :

– \( \frac{3}{2} \) : 150%
– \( \frac{4}{10} \) : 40%
– \( \frac{1}{2} \) : 50%
– \( \frac{3}{4} \) : 75%
– \( \frac{3}{3} \) : 100%

Exercice 19 : quantité d’eau versée
Nous savons que la quantité d’eau (en litres) est proportionnelle à la hauteur d’eau (en cm) dans l’aquarium. Par conséquent, si nous notons \( h \) la hauteur et \( V \) le volume, alors nous avons:

\[ \frac{V_1}{h_1} = \frac{V_2}{h_2} \]

où \( V_1 \) et \( V_2 \) sont les volumes et \( h_1 \) et \( h_2 \) sont les hauteurs correspondantes.

Pour compléter la table:

1. Pour la case jaune, nous devons trouver le volume \( V_2 \) correspondant à une hauteur \( h_2 = 60 \) cm. Nous avons déjà \( V_1 = 56 \) litres pour \( h_1 = 7 \) cm. Donc:

\[ \frac{V_2}{60} = \frac{56}{7} \]
\[ V_2 = \frac{56}{7} \times 60 \]
\[ V_2 = 8 \times 60 \]
\[ V_2 = 480 \]

Ainsi, le nombre dans la case jaune est 480 litres.

2. Pour la case bleue, nous devons trouver la hauteur \( h_2 \) correspondant à un volume \( V_2 = 320 \) litres. Nous avons déjà \( V_1 = 56 \) litres pour \( h_1 = 7 \) cm. Donc:

\[ \frac{320}{h_2} = \frac{56}{7} \]
\[ \frac{320}{h_2} = 8 \]
\[ h_2 = \frac{320}{8} \]
\[ h_2 = 40 \]

Ainsi, le nombre dans la case bleue est 40 cm.

Exercice 20 : calculer mentalement
a. \( 50\% \) de \( 48 \, \text{€} \)

\[ 50\% \times 48 = \frac{50}{100} \times 48 = 0,5 \times 48 = 24 \, \text{€} \]

b. \( 25\% \) de \( 36 \, \text{km} \)

\[ 25\% \times 36 = \frac{25}{100} \times 36 = 0,25 \times 36 = 9 \, \text{km} \]

c. \( 10\% \) de \( 78 \, \text{kg} \)

\[ 10\% \times 78 = \frac{10}{100} \times 78 = 0,1 \times 78 = 7,8 \, \text{kg} \]

d. \( 75\% \) de \( 80 \, \text{L} \)

\[ 75\% \times 80 = \frac{75}{100} \times 80 = 0,75 \times 80 = 60 \, \text{L} \]

Exercice 21 : croissants dans une boulangerie
Pour vérifier si ce tableau est un tableau de proportionnalité, il faut vérifier si les rapports entre le nombre de croissants et les prix sont constants. En d’autres termes, il faut vérifier si :

\[
\frac{Prix}{Nombre \ de \ croissants}
\]

est constant pour les différentes valeurs du tableau.

Calculons ces rapports pour chaque couple (nombre de croissants, prix en €) :

\[
\frac{6,80}{8} = 0,85
\]
\[
\frac{10,20}{12} = \frac{10,20}{12} \approx 0,85
\]
\[
\frac{12,75}{15} = \frac{12,75}{15} = 0,85
\]

Les trois rapports sont égaux (0,85), donc on peut conclure que le tableau est un tableau de proportionnalité.

En conclusion, ce tableau est un tableau de proportionnalité.

Exercice 22 : dans une station de ski
Pour vérifier si le nombre de personnes est proportionnel à la durée, nous devons examiner le rapport entre le nombre de personnes et la durée.

Calculons le rapport \( k \) pour chaque couple de valeurs (Durée, Nombre de personnes):

Pour 10 minutes et 76 personnes :
\[ k_1 = \frac{76}{10} = 7,6 \]

Pour 20 minutes et 152 personnes :
\[ k_2 = \frac{152}{20} = 7,6 \]

Pour 30 minutes et 258 personnes :
\[ k_3 = \frac{258}{30} = 8,6 \]

Pour 45 minutes et 360 personnes :
\[ k_4 = \frac{360}{45} = 8 \]

Nous observons que les rapports \( k_1, k_2, k_3, \) et \( k_4 \) ne sont pas tous égaux. En conséquence, le nombre de personnes prenant le télésiège n’est pas proportionnel à la durée.

Exercice 23 : morceaux de corde d’escalade
a. Conversion des longueurs en mètres :

\[
70 \text{ cm} = 0{,}7 \text{ m}
\]
\[
1{,}2 \text{ m} = 1{,}2 \text{ m}
\]
\[
20 \text{ dm} = 2 \text{ m}
\]

Le tableau devient donc :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Longueur (en m)} 0{,}7 1{,}2 2 \\
\hline
\text{Prix (en €)} 1{,}75 3 5 \\
\hline
\end{array}
\]

b. Vérification de la proportionnalité :

Calculons les rapports \(\frac{\text{Prix}}{\text{Longueur}}\) pour chaque paire de valeurs.

Pour 0{,}7 m :
\[
\frac{1{,}75}{0{,}7} = \frac{175}{70} = 2{,}5
\]

Pour 1{,}2 m :
\[
\frac{3}{1{,}2} = \frac{300}{120} = 2{,}5
\]

Pour 2 m :
\[
\frac{5}{2} = 2{,}5
\]

Les trois rapports sont égaux à 2{,}5.

Ainsi, le tableau est bien un tableau de proportionnalité.

Exercice 24 : prix de l’abonnement à un journal
Pour vérifier si le prix de l’abonnement est proportionnel à la durée d’abonnement, nous devons vérifier si le rapport entre le prix et la durée est constant pour chaque période.

Commençons par calculer le prix par mois pour chaque abonnement.

1. Abonnement de 3 mois pour \( 19,5 \, \text{€} \):

\[
\frac{19,5 \, \text{€}}{3 \, \text{mois}} = 6,5 \, \text{€ par mois}
\]

2. Abonnement de 6 mois pour \( 39 \, \text{€} \):

\[
\frac{39 \, \text{€}}{6 \, \text{mois}} = 6,5 \, \text{€ par mois}
\]

3. Abonnement de 12 mois (1 an) pour \( 68 \, \text{€} \):

\[
\frac{68 \, \text{€}}{12 \, \text{mois}} \approx 5,67 \, \text{€ par mois}
\]

Les prix par mois pour les différentes périodes d’abonnement sont :

– 3 mois : \( 6,5 \, \text{€ par mois} \)
– 6 mois : \( 6,5 \, \text{€ par mois} \)
– 12 mois : \( \approx 5,67 \, \text{€ par mois} \)

Nous remarquons que le prix par mois n’est pas constant lorsque nous comparons l’abonnement de 12 mois avec les autres périodes. En effet, \( 5,67 \, \text{€} \) est différent de \( 6,5 \, \text{€} \).

Ainsi, le prix de l’abonnement n’est pas proportionnel à la durée d’abonnement.

Exercice 25 : calculer la valeur de x et y
Méthode 1 : Par le calcul du coefficient de proportionnalité

Le coefficient de proportionnalité \( k \) se calcule comme suit :

\[ k = \frac{\text{distance}}{\text{tours de pédalier}} \]

Pour les valeurs données (2 tours de pédalier pour une distance de 3,6 m) :

\[ k = \frac{3,6}{2} = 1,8 \]

Pour trouver \( x \) et \( y \), nous utilisons ce coefficient de proportionnalité :

\[ x = k \times \text{tours de pédalier} = 1,8 \times 5 = 9 \]

\[ y = k \times \text{tours de pédalier} = 1,8 \times 7 = 12,6 \]

Donc, \( x = 9 \) et \( y = 12,6 \).

Méthode 2 : Par la règle de trois (ou produit en croix)

Pour trouver \( x \) :
\[ \frac{3,6}{2} = \frac{x}{5} \]
En multipliant les deux côtés par 5 :
\[ x = \frac{3,6 \times 5}{2} = 9 \]

Pour trouver \( y \) :
\[ \frac{3,6}{2} = \frac{y}{7} \]
En multipliant les deux côtés par 7 :
\[ y = \frac{3,6 \times 7}{2} = 12,6 \]

Donc, les valeurs calculées sont les mêmes : \( x = 9 \) et \( y = 12,6 \).

Exercice 26 : un paquet de feuilles de papier
\[
\text{On sait qu’un paquet de 200 feuilles pèse 160 g. La masse est proportionnelle au nombre de feuilles.}
\]

1. {Combien pèse un paquet de 250 feuilles ?}

\[
\text{La masse est proportionnelle au nombre de feuilles, donc :}
\]

\[
\frac{160 \,\text{g}}{200 \,\text{feuilles}} = \frac{x \,\text{g}}{250 \,\text{feuilles}}
\]

\[
160 \times 250 = 200 \times x
\]

\[
40000 = 200x
\]

\[
x = \frac{40000}{200} = 200 \,\text{g}
\]

Un paquet de 250 feuilles pèse \(200 \,\text{g}\).

2. {Combien de feuilles contient un paquet de 60 g ?}

\[
\frac{160 \,\text{g}}{200 \,\text{feuilles}} = \frac{60\,\text{g}}{y \,\text{feuilles}}
\]

\[
160 \times y = 60 \times 200
\]

\[
160y = 12000
\]

\[
y = \frac{12000}{160} = 75
\]

Un paquet de 60 g contient \(75 \,\text{feuilles}\).

3. {Complétion du tableau}

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Nombre de feuilles} \text{Masse (en g)} \\
\hline
200 160 \\
\hline
250 200 \\
\hline
75 60 \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 27 : sur une clé USB
Soit \(C\) la capacité totale de la clé USB, \(C = 16 \text{ Go}\).

Le pourcentage de l’espace occupé est de \(85\%\), soit \(0,85\).

La quantité d’espace occupé en gigaoctets est donc :
\[ E_{\text{occupé}} = C \times 0,85 \]
\[ E_{\text{occupé}} = 16 \times 0,85 \]
\[ E_{\text{occupé}} = 13,6 \text{ Go} \]

La quantité d’espace encore disponible est alors :
\[ E_{\text{disponible}} = C – E_{\text{occupé}} \]
\[ E_{\text{disponible}} = 16 – 13,6 \]
\[ E_{\text{disponible}} = 2,4 \text{ Go} \]

Ainsi, il reste \(2,4 \text{ Go}\) de gigaoctets encore disponibles.

Exercice 28 : spectacle de patinage
Maël bénéficie d’une réduction de 35 % sur une place coûtant initialement 28 €. Calculons le montant de la réduction puis le prix qu’il doit payer.

Soit \( P \) le prix initial de la place :
\[ P = 28 \, \text{€} \]

Soit \( R \), le pourcentage de réduction :
\[ R = 35 \, \% = 0{,}35 \]

Le montant de la réduction, noté \( M \), est donné par :
\[ M = P \times R \]
\[ M = 28 \times 0{,}35 \]
\[ M = 9{,}8 \, \text{€} \]

Le prix que Maël doit payer, noté \( P_{final} \), est donc :
\[ P_{final} = P – M \]
\[ P_{final} = 28 – 9{,}8 \]
\[ P_{final} = 18{,}2 \, \text{€} \]

Maël va donc payer \( 18{,}2 \, \text{€} \) pour assister au spectacle de patinage.

Exercice 29 : un paquet de biscuits
{Correction de l’exercice}

{a.}

1er calcul :

\[ \frac{3,6}{24} \times 100 \approx 15 \]

Ce calcul représente le pourcentage de protéines dans le biscuit par rapport à la masse totale (24g). Le résultat 15% montre que le biscuit contient 15% de protéines.

2e calcul :

\[ \frac{3,6 \times 24}{100} = 0,864 \]

Ce calcul représente la quantité en grammes de protéines contenues dans un biscuit de 24g. Le résultat 0,864g montre la quantité de protéines pour un biscuit.

{b.}

Pour vérifier si un biscuit contient plus de 70% de glucides, faisons le calcul suivant :

\[ \frac{17,1}{24} \times 100 \approx 71,25 \]

Le calcul montre que les glucides représentent environ 71,25% de la masse totale du biscuit. Donc, Leïla a raison. Un biscuit contient plus de 70% de glucides.

Exercice 30 : la tour Burj Khalifa
Correction de l’exercice :

a. Quelle est la hauteur de la tour sur son dessin ?

L’échelle utilisée est \( \frac{1}{4000} \), ce qui signifie que chaque unité sur le dessin correspond à \( 4000 \) unités réelles. La hauteur réelle de la tour Burj Khalifa est de \( 828 \) mètres. Pour trouver la hauteur de la tour sur le dessin, nous devons diviser la hauteur réelle par le facteur d’échelle.

\[
\text{Hauteur sur le dessin} = \frac{\text{Hauteur réelle}}{\text{Facteur d’échelle}} = \frac{828 \, m}{4000} = 0,207 \, m
\]

Donc, la hauteur de la tour sur le dessin est de \( 0,207 \) mètres, soit \( 20,7 \) centimètres.

b. Alex mesure \( 1,80 \) m. Peut-il se représenter sur son dessin ?

Alex mesure \( 1,80 \) mètres dans la réalité. Pour savoir s’il peut se représenter sur son dessin, nous devons également diviser sa hauteur réelle par le facteur d’échelle.

\[
\text{Hauteur d’Alex sur le dessin} = \frac{\text{Hauteur réelle d’Alex}}{\text{Facteur d’échelle}} = \frac{1,80 \, m}{4000} = 0,00045 \, m
\]

La hauteur d’Alex sur le dessin serait de \( 0,00045 \) mètres, soit \( 0,045 \) centimètres. Comme cette hauteur est extrêmement petite, environ \( 0,45 \) millimètres, il est impossible de le représenter à cette échelle de manière visible et discernable sur le dessin.

Exercice 31 : plan d’un appartement
Le rectangle représentant l’appartement mesure \(18 \, \text{cm} \) sur le plan et correspond à une longueur réelle de \(9 \, \text{m}\), soit \(900 \, \text{cm}\).

a. Complétons le tableau fourni :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Distance sur le plan (en cm)} 18 1 16,2 \\
\hline
\text{Distance dans la réalité (en cm)} 900 50 810 \\
\hline
\end{array}
\]

Les calculs sont les suivants :
\[
\frac{900 \, \text{cm}}{18 \, \text{cm}} = 50 \implies \text{échelle} =\frac{1}{50}
\]
\[
\text{Distance sur le plan} = 1 \, \text{cm} \implies \text{Distance réelle} = 1 \times 50 = 50 \, \text{cm}
\]
\[
\text{Distance sur le plan} = 16,2 \, \text{cm} \implies \text{Distance réelle} = 16,2 \times 50 = 810 \, \text{cm}
\]

b. Pour déterminer l’échelle sous la forme \( \frac{1}{x} \):

L’échelle est \( \frac{1}{50} \).

\[
\boxed{\frac{1}{50}}
\]

Exercice 32 : pourcentages et entreprise
Soit la production totale de l’entreprise \( P = 350 \) tonnes.

1. \[\]Marché national:\[\]
\[
P_{national} = \frac{1}{4} \times P = \frac{1}{4} \times 350 = 87,5 \text{ tonnes}
\]

2. \[\]Marché européen:\[\]
\[
P_{européen} = 30\% \times P = 0,3 \times 350 = 105 \text{ tonnes}
\]

3. \[\]Marché américain:\[\]
\[
P_{américain} = 10\% \times P = 0,1 \times 350 = 35 \text{ tonnes}
\]

4. \[\]Marché asiatique:\[\]
\[
P_{asiatique} = P – (P_{national} + P_{européen} + P_{américain})
\]
Substituons les valeurs:
\[
P_{asiatique} = 350 – (87,5 + 105 + 35) = 350 – 227,5 = 122,5 \text{ tonnes}
\]

La production en tonnes correspondante pour chaque marché est :
– Marché national : \( 87,5 \) tonnes
– Marché européen : \( 105 \) tonnes
– Marché américain : \( 35 \) tonnes
– Marché asiatique : \( 122,5 \) tonnes

Exercice 33 : volume de chlorure de sodium
Le volume de chlorure de sodium représenté dans un flacon de 2 L, où le sel représente \(0{,}9\%\) du volume total, peut être calculé en utilisant la formule suivante :

\[
V_{\text{sel}} = V_{\text{total}} \times \frac{p}{100}
\]

où :
– \( V_{\text{sel}} \) est le volume de chlorure de sodium,
– \( V_{\text{total}} = 2 \) L est le volume total du flacon,
– \( p = 0{,}9 \) est le pourcentage de volume de sel.

En substituant les valeurs :

\[
V_{\text{sel}} = 2 \times \frac{0{,}9}{100}
\]

\[
V_{\text{sel}} = 2 \times 0{,}009
\]

\[
V_{\text{sel}} = 0{,}018 \, \text{L}
\]

Le volume de chlorure de sodium dans le flacon est donc de \( 0{,}018 \) L (ou 18 mL).

Exercice 34 : rabais et pourcentages
a. Un rabais de 15% signifie que le commerçant réduit le prix initial de l’article de 15%.

Calculons le montant du rabais:
\[ 230 \times 0,15 = 34,50 \text{ €} \]

Le nouveau prix de vente est donc:
\[ 230 – 34,50 = 195,50 \text{ €} \]

b. Un rabais de 25% signifie que le commerçant réduit le prix initial de l’article de 25%.

Calculons le montant du rabais:
\[ 125 \times 0,25 = 31,25 \text{ €} \]

Le nouveau prix de vente est donc:
\[ 125 – 31,25 = 93,75 \text{ €} \]

Exercice 35 : porportionnalité et pourcentages
a. Complétons les tableaux de proportionnalité :

\[
\begin{array}{c|c}
6\text{eA} \\
\hline
8 32 \\
25 100 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c|c}
6\text{eB} \\
\hline
13 50 \\
26 100 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c|c}
6\text{eC} \\
\hline
10 40 \\
25 100 \\
\end{array}
\]

b. Complétons les phrases suivantes :

– \(\frac{8}{25} \times 100 = 32 \%\) des élèves de 6\text{eA} font du sport en club.
– \(\frac{13}{26} \times 100 = 50 \%\) des élèves de 6\text{eB} font du sport en club.
– \(\frac{10}{25} \times 100 = 40 \%\) des élèves de 6\text{eC} font du sport en club.

Exercice 36 : meilleur tireur à la pétanque
Pour déterminer le meilleur tireur, nous devons comparer les pourcentages de réussite de Marcel et Simon.

Calculons d’abord le pourcentage de réussite de Marcel :
\[
\text{{Pourcentage de Marcel}} = ( \frac{{102}}{{120}} ) \times 100 = ( \frac{{102}}{{120}} ) \times \frac{100}{1} = \frac{10200}{120} \approx 85\%
\]

Ensuite, calculons le pourcentage de réussite de Simon :
\[
\text{{Pourcentage de Simon}} = ( \frac{{64}}{{80}} ) \times 100 = ( \frac{{64}}{{80}} ) \times \frac{100}{1} = \frac{6400}{80} = 80\%
\]

En comparant les deux pourcentages, nous voyons que :
\[
85\% > 80\%
\]

Marcel a un meilleur pourcentage de réussite que Simon. Donc, si je voulais le meilleur tireur dans mon équipe, je choisirais Marcel.

Exercice 37 : possession de téléphone portable
Début 2016, quatre élèves de 5\(^e\) sur cinq déclarent posséder un téléphone portable et 3 sur 10 faire partie d’un réseau social. Écrivons cette phrase avec des pourcentages.

1. Pourcentages des élèves de 5\(^e\) possédant un téléphone portable :
\[
\frac{4}{5} \times 100 = 80\%
\]

2. Pourcentages des élèves faisant partie d’un réseau social :
\[
\frac{3}{10} \times 100 = 30\%
\]

Ainsi, la phrase devient :

Début 2016, 80\% des élèves de 5\(^e\) déclarent posséder un téléphone portable et 30\% faire partie d’un réseau social.

Exercice 38 : nombre d’accidents sur la route
a. Calcule le pourcentage d’accidents corporels supplémentaires en 2016.

Le nombre d’accidents corporels en 2015 est de \(4261\).
Le nombre d’accidents corporels en 2016 est de \(4483\).

La différence en nombre d’accidents est donc :
\[ 4483 – 4261 = 222 \]

Le pourcentage d’accidents corporels supplémentaires en 2016 par rapport à 2015 est alors :
\[ ( \frac{222}{4261} ) \times 100 \approx 5.21\% \]

b. Calcule le nombre de blessés en 2016, sachant que ce nombre a augmenté de 8.7%.

Le nombre de blessés en 2015 est de \(5238\).

En 2016, le nombre de blessés a augmenté de \(8.7\%\), ce qui signifie qu’il représente \(108.7\%\) du nombre de blessés en 2015.

Le nombre de blessés en 2016 est donc :
\[ 5238 \times 1.087 = 5691.606 \]

En arrondissant, on obtient :
\[ 5692 \]

Le nombre de blessés en 2016 est donc \(5692\).

Exercice 39 : tableaux de proportionnalité ?
Le tableau est un tableau de proportionnalité si les rapports entre les valeurs de la première ligne et les valeurs correspondantes de la deuxième ligne sont constants.

a.
\[
\frac{10}{15}, \frac{15}{25}, \frac{30}{50}
\]

Calculons les rapports :
\[
\frac{10}{15} = \frac{2}{3} \approx 0,6667
\]
\[
\frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6
\]
\[
\frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0,6
\]

Les rapports ne sont pas constants, donc le tableau a. n’est pas un tableau de proportionnalité.

b.
\[
\frac{7}{9}, \frac{63}{81}, \frac{73,5}{94,5}
\]

Calculons les rapports :
\[
\frac{7}{9} = \frac{7}{9} \approx 0,7778
\]
\[
\frac{63}{81} = \frac{7}{9} \approx 0,7778
\]
\[
\frac{73,5}{94,5} = \frac{7}{9} \approx 0,7778
\]

Les rapports sont constants, donc le tableau b. est un tableau de proportionnalité.

c.
\[
\frac{10,4}{26}, \frac{19,5}{50,5}
\]

Calculons les rapports :
\[
\frac{10,4}{26} = \frac{10,4}{26} = 0,4
\]
\[
\frac{19,5}{50,5} = \frac{19,5}{50,5} \approx 0,3861
\]

Les rapports ne sont pas constants, donc le tableau c. n’est pas un tableau de proportionnalité.

Exercice 40 : les prix pratiqués au cinéma
Pour vérifier si les prix pratiqués par ce cinéma sont proportionnels au nombre de séances, calculons les rapports entre le prix et le nombre de séances pour chaque paire de valeurs fournies dans le tableau.

Pour 1 séance :
\[ \frac{prix}{séances} = \frac{8 \, \text{€}}{1} = 8 \, \text{€/séance} \]

Pour 4 séances :
\[ \frac{prix}{séances} = \frac{32 \, \text{€}}{4} = 8 \, \text{€/séance} \]

Pour 14 séances :
\[ \frac{prix}{séances} = \frac{112 \, \text{€}}{14} = 8 \, \text{€/séance} \]

Les rapports sont tous égaux à \( 8 \, \text{€/séance} \). Nous constatons donc que le rapport entre le prix et le nombre de séances est constant.

Ainsi, les prix pratiqués par ce cinéma sont bien proportionnels au nombre de séances.

Exercice 41 : compléter ces tableaux de proportionnalité
Pour le premier tableau de proportionnalité, on cherche à trouver le coefficient de proportionnalité \( k \).

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
1 12 8 … \\
\hline
24 … … 75 \\
\hline
\end{array}
\]

– Pour la première colonne, nous avons \( k = \frac{24}{1} = 24 \).
– Pour la deuxième colonne, nous avons \( 12 \times 24 = 288 \).
– Pour la troisième colonne, nous avons \( 8 \times 24 = 192 \).
– Pour la quatrième colonne, nous avons \( k = \frac{75}{3} = 25 \).

Donc le premier tableau rempli est:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
1 12 8 3 \\
\hline
24 288 192 75 \\
\hline
\end{array}
\]

Pour le deuxième tableau de proportionnalité, on cherche à trouver le coefficient de proportionnalité \( k \).

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
185 361 … … \\
\hline
72 … 1444 1700 \\
\hline
\end{array}
\]

– Pour la première colonne, nous avons \( k = \frac{72}{185} \approx 0.389 \).
– Pour la deuxième colonne, nous avons \( 361 \times 0.389 \approx 140.389 \).
– Pour la troisième colonne, nous avons \( \frac{1444}{0.389} \approx 3711.057 \).
– Pour la quatrième colonne, nous avons \( \frac{1700}{0.389} \approx 4364.757 \).

Donc le deuxième tableau rempli est:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
185 361 1444 1700 \\
\hline
72 140 3711 4364 \\
\hline
\end{array}
\]

Pour le troisième tableau de proportionnalité, on a le coefficient de proportionnalité \( k = 5 \).

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
… … … 60 \\
\hline
3 10 26 … \\
\hline
\end{array}
\]

– Pour la première colonne, nous avons \( 3 \times 5 = 15 \).
– Pour la deuxième colonne, nous avons \( 10 \times 5 = 50 \).
– Pour la troisième colonne, nous avons \( 26 \times 5 = 130 \).
– Pour la quatrième colonne, nous avons \( \frac{60}{5} = 12 \).

Donc le troisième tableau rempli est:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
15 50 130 60 \\
\hline
3 10 26 12 \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 42 : la pâtissière et les beignets
Chaque beignet pèse :

\[
\frac{300 \text{ g}}{2} = 150 \text{ g}
\]

ou

\[
\frac{450 \text{ g}}{3} = 150 \text{ g}
\]

Ainsi, un beignet pèse \(150 \text{ g}\).

Pour 5 beignets :

\[
5 \times 150 \text{ g} = 750 \text{ g}
\]

Pour 6 beignets :

\[
6 \times 150 \text{ g} = 900 \text{ g}
\]

Pour 10 beignets :

\[
10 \times 150 \text{ g} = 1500 \text{ g}
\]

Pour 1 beignet :

\[
1 \times 150 \text{ g} = 150 \text{ g}
\]

Exercice 43 : compléter ces tableaux de proportionnalité
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
2 4 \\
\hline
3 x \\
\hline
\end{array}
\]
Pour le tableau (a), la constante de proportionnalité est :
\[ k = \frac{4}{2} = 2 \]
Donc,
\[ x = 3 \times 2 = 6 \]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
2 4 \\
\hline
3 6 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
10 y \\
\hline
80 16 \\
\hline
\end{array}
\]
Pour le tableau (b), la constante de proportionnalité est :
\[ k = \frac{80}{10} = 8 \]
Donc,
\[ y = \frac{16}{8} = 2 \]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
10 2 \\
\hline
80 16 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
17 z \\
\hline
51 3 \\
\hline
\end{array}
\]
Pour le tableau (c), la constante de proportionnalité est :
\[ k = \frac{51}{17} = 3 \]
Donc,
\[ z = 1 \]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
17 1 \\
\hline
51 3 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
500 25 \\
\hline
100 u \\
\hline
\end{array}
\]
Pour le tableau (d), la constante de proportionnalité est :
\[ k = \frac{500}{25} = 20 \]
Donc,
\[ u = \frac{100}{20} = 5 \]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
500 25 \\
\hline
100 5 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
120 90 \\
\hline
m 100 \\
\hline
\end{array}
\]
Pour le tableau (e), la constante de proportionnalité est :
\[ k = \frac{120}{90} = \frac{4}{3} \]
Donc,
\[ m = \frac{100 \times 3}{4} = 75 \]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
120 90 \\
\hline
75 100 \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 44 : compléterles tableaux de proportionnalité
a.
Pour le tableau {a}, nous avons le coefficient de proportionnalité entre les colonnes comme suit :
\[ k_1 = \frac{12}{4} = 3 \]
\[ k_2 = \frac{28}{4} = 7 \]

On calcule la troisième colonne pour la deuxième ligne en utilisant le coefficient \(k_2\):
\[ 9 \times 7 = 63 \]

Tableau complété:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
4 12 28 \\
\hline
9 27 63 \\
\hline
\end{array}
\]

b.
Pour le tableau {b}, nous avons le coefficient de proportionnalité entre les colonnes comme suit :
\[ k_1 = \frac{14}{7} = 2 \]
\[ k_2 = \frac{56}{7} = 8 \]

On calcule la troisième colonne pour la première ligne en utilisant le coefficient \( k_2 \):
\[ 8 \times 8 = 64 \]

Tableau complété:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
8 14 64 \\
\hline
7 12,25 56 \\
\hline
\end{array}
\]

c.
Pour le tableau {c}, nous avons le coefficient de proportionnalité entre les colonnes comme suit :
\[ k_1 = \frac{21}{7} = 3 \]
\[ k_2 = \frac{179}{7} \approx 25.57 \]

On calcule la troisième colonne pour la première ligne en utilisant le coefficient \( k_2 \):
\[ 300 \times 25.57 = 7671 \]

Tableau complété:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
300 21 7671 \\
\hline
100 7 179 \\
\hline
\end{array}
\]

d.
Pour le tableau {d}, nous avons le coefficient de proportionnalité entre les colonnes comme suit :
\[ k_1 = \frac{0.1}{0.02} = 5 \]
\[ k_2 = \frac{9.9}{2} = 4.95 \]

On calcule la troisième colonne pour la première ligne en utilisant le coefficient \( k_2 \):
\[ 10 \times 4.95 = 49.5 \]

Tableau complété:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
10 0,1 49,5 \\
\hline
2 0,02 9,9 \\
\hline
\end{array}
\]

e.
Pour le tableau {e}, nous avons le coefficient de proportionnalité entre les colonnes comme suit :
\[ k_1 = \frac{7}{0,7} = 10 \]
\[ k_2 = \frac{514}{0,7} \approx 734.29 \]

On calcule la troisième colonne pour la première ligne en utilisant le coefficient \( k_2 \):
\[ 50 \times 734.29 = 36714.5 \]

Tableau complété:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
50 7 36714,5 \\
\hline
5 0,7 514 \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 45 : match et proportionnalité
a. Complétons le tableau de proportionnalité:

Pour trouver la valeur manquante, nous pouvons utiliser la relation de proportionnalité:
\[ \frac{21\,250}{25\,000} = \frac{x}{100} \]

En résolvant pour \(x\):

\[ x = \frac{21\,250 \times 100}{25\,000} \]
\[ x = \frac{2\,125\,000}{25\,000} \]
\[ x = 85 \]

Ainsi, le tableau complété est:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
21\,250 85 \\
\hline
25\,000 100 \\
\hline
\end{array}
\]

b. Le pourcentage de places occupées pour cette rencontre est donc de 85 %.

Exercice 46 : pourcentage d’un nombre
– Pour le nombre \(24\):
\[
25\% \text{ de } 24 = \frac{25}{100} \times 24 = \frac{1}{4} \times 24 = 6
\]
\[
50\% \text{ de } 24 = \frac{50}{100} \times 24 = \frac{1}{2} \times 24 = 12
\]
\[
75\% \text{ de } 24 = \frac{75}{100} \times 24 = \frac{3}{4} \times 24 = 18
\]

– Pour le nombre \(40\):
\[
25\% \text{ de } 40 = \frac{25}{100} \times 40 = \frac{1}{4} \times 40 = 10
\]
\[
50\% \text{ de } 40 = \frac{50}{100} \times 40 = \frac{1}{2} \times 40 = 20
\]
\[
75\% \text{ de } 40 = \frac{75}{100} \times 40 = \frac{3}{4} \times 40 = 30
\]

– Pour le nombre \(16,8\):
\[
25\% \text{ de } 16,8 = \frac{25}{100} \times 16,8 = \frac{1}{4} \times 16,8 = 4,2
\]
\[
50\% \text{ de } 16,8 = \frac{50}{100} \times 16,8 = \frac{1}{2} \times 16,8 = 8,4
\]
\[
75\% \text{ de } 16,8 = \frac{75}{100} \times 16,8 = \frac{3}{4} \times 16,8 = 12,6
\]

Exercice 47 : calculer de tête des pourcentages
a. \[70 \times 0.2 = 14\]

b. \[90 \times 0.2 = 18\]

c. \[100 \times 0.2 = 20\]

d. \[112 \times 0.2 = 22.4\]

e. \[0.7 \times 0.2 = 0.14\]

f. \[18.2 \times 0.2 = 3.64\]

g. \[22.2 \times 0.2 = 4.44\]

h. \[43.9 \times 0.2 = 8.78\]

Exercice 48 : pourcentage d’une quantité
a. \\
\( 37 \% \text{ de } 28 \)
\[
= \frac{37}{100} \times 28 \\
= 0{,}37 \times 28 \\
= 10{,}36
\]

b. \\
\( 79 \% \text{ de } 0{,}8 \)
\[
= \frac{79}{100} \times 0{,}8 \\
= 0{,}79 \times 0{,}8 \\
= 0{,}632
\]

c. \\
\( 4{,}5 \% \text{ de } 150 \)
\[
= \frac{4{,}5}{100} \times 150 \\
= 0{,}045 \times 150 \\
= 6{,}75
\]

d. \\
\( 99 \% \text{ de } 6\ 300 \)
\[
= \frac{99}{100} \times 6\ 300 \\
= 0{,}99 \times 6\ 300 \\
= 6\ 237
\]

Exercice 49 : nourriture gaspillée en France
Soit \( T = 10 \) millions de tonnes la quantité totale de nourriture gaspillée par an en France.

Pour chaque catégorie, on calcule la quantité de nourriture gaspillée en appliquant le pourcentage correspondant à \( T \).

\[\]Distribution\[\] : \( 14\% \) de \( T \)
\[
Q_{\text{Distribution}} = 0.14 \times 10\, \text{millions de tonnes} = 1.4\, \text{millions de tonnes}
\]

\[\]Consommation\[\] : \( 33\% \) de \( T \)
\[
Q_{\text{Consommation}} = 0.33 \times 10\, \text{millions de tonnes} = 3.3\, \text{millions de tonnes}
\]

\[\]Transformation\[\] : \( 21\% \) de \( T \)
\[
Q_{\text{Transformation}} = 0.21 \times 10\, \text{millions de tonnes} = 2.1\, \text{millions de tonnes}
\]

\[\]Production\[\] : \( 32\% \) de \( T \)
\[
Q_{\text{Production}} = 0.32 \times 10\, \text{millions de tonnes} = 3.2\, \text{millions de tonnes}
\]

Les quantités de nourriture gaspillée par catégorie sont donc :

\[
\begin{align*}
Q_{\text{Distribution}} = 1.4\, \text{millions de tonnes}, \\
Q_{\text{Consommation}} = 3.3\, \text{millions de tonnes}, \\
Q_{\text{Transformation}} = 2.1\, \text{millions de tonnes}, \\
Q_{\text{Production}} = 3.2\, \text{millions de tonnes}.
\end{align*}
\]

Exercice 50 : soldes sur des marchandises
\[\]a. Aide-le à compléter ces trois étiquettes.\[\]

Pour une remise de 25 %, on peut utiliser la formule suivante pour le nouveau prix :
\[ \text{Nouveau prix} = \text{Prix de référence} \times (1 – 0,25) = \text{Prix de référence} \times 0,75 \]

Pour la première étiquette :
\[ \text{Nouveau prix} = 50 \, € \times 0,75 = 37,50 \, € \]

Pour la deuxième étiquette :
\[ \text{Nouveau prix} = 130 \, € \times 0,75 = 97,50 \, € \]

Pour la troisième étiquette :
\[ \text{Nouveau prix} = 240 \, € \times 0,75 = 180 \, € \]

\[\]b. Complète le prix après la première démarque (réduction de 25 %), puis après la deuxième démarque (réduction supplémentaire de 10 % sur le dernier prix).\[\]

Pour la première étiquette après la première démarque :
\[ \text{Premier démarque} = 202 \, € \times 0,75 = 151,50 \, € \]
Puis après la deuxième démarque :
\[ \text{Deuxième démarque} = 151,50 \, € \times (1 – 0,10) = 151,50 \, € \times 0,90 = 136,35 \, € \]

Pour la deuxième étiquette après la première démarque :
\[ \text{Premier démarque} = 66 \, € \times 0,75 = 49,50 \, € \]
Puis après la deuxième démarque :
\[ \text{Deuxième démarque} = 49,50 \, € \times (1 – 0,10) = 49,50 \, € \times 0,90 = 44,55 \, € \]

Pour la troisième étiquette après la première démarque :
\[ \text{Premier démarque} = 350 \, € \times 0,75 = 262,50 \, € \]
Puis après la deuxième démarque :
\[ \text{Deuxième démarque} = 262,50 \, € \times (1 – 0,10) = 262,50 \, € \times 0,90 = 236,25 \, € \]

Exercice 51 : des cèpes de bordeaux en forêt
Pour chaque cueillette, nous devons calculer la masse des cèpes séchés après qu’ils aient perdu 93% de leur masse.

1. Masse de cèpes séchés après la cueillette du lundi:
\[
\text{Masse sèche} = \text{Masse fraîche} \times (1 – 0.93)
\]
\[
\text{Masse sèche} = 1.4\, \text{kg} \times 0.07 = 0.098\, \text{kg} = 98\, \text{g}
\]

2. Masse de cèpes séchés après la cueillette du mercredi:
\[
\text{Masse sèche} = \text{Masse fraîche} \times (1 – 0.93)
\]
\[
\text{Masse sèche} = 3.9\, \text{kg} \times 0.07 = 0.273\, \text{kg} = 273\, \text{g}
\]

3. Masse de cèpes séchés après la cueillette du samedi:
\[
\text{Masse sèche} = \text{Masse fraîche} \times (1 – 0.93)
\]
\[
\text{Masse sèche} = 2.5\, \text{kg} \times 0.07 = 0.175\, \text{kg} = 175\, \text{g}
\]

Les masses des cèpes séchés après chaque cueillette sont donc :
– Lundi : \( 98\, \text{g} \)
– Mercredi : \( 273\, \text{g} \)
– Samedi : \( 175\, \text{g} \)

Exercice 52 : carte de la mer d’Iroise
Correction de l’exercice :

a. L’échelle de la carte est de 1 cm pour 2 km. Cela signifie qu’un centimètre sur la carte correspond à une distance réelle de 2 kilomètres.

b. Dans la réalité, la distance entre le phare de la Jument et le phare des Pierres Noires peut être calculée grâce à l’échelle de la carte.

– Mesurons la distance sur la carte entre les deux phares, que nous notons \(d\) en centimètres.
– Si \(d\) cm correspond à une distance réelle de \(D\) km, alors \(d \times 2 = D\).

Supposons que la distance mesurée sur la carte entre le phare de la Jument et le phare des Pierres Noires soit de 3 cm :

\[
D = 3 \text{ cm} \times 2 \text{ km/cm} = 6 \text{ km}
\]

Donc, la distance réelle entre le phare de la Jument et le phare des Pierres Noires est de 6 km.

c. Même question entre le phare de Kereon et le phare du Creach :

Supposons que la distance mesurée sur la carte entre le phare de Kereon et le phare du Creach soit de 4,5 cm :

\[
D = 4,5 \text{ cm} \times 2 \text{ km/cm} = 9 \text{ km}
\]

Donc, la distance réelle entre le phare de Kereon et le phare du Creach est de 9 km.

d. Même question entre le phare du Stiff et le phare de la Pointe Saint Mathieu :

Supposons que la distance mesurée sur la carte entre le phare du Stiff et le phare de la Pointe Saint Mathieu soit de 7 cm :

\[
D = 7 \text{ cm} \times 2 \text{ km/cm} = 14 \text{ km}
\]

Donc, la distance réelle entre le phare du Stiff et le phare de la Pointe Saint Mathieu est de 14 km.

Exercice 53 : plan du rez-de-chaussée d’une maison
\[\]*Correction de l’exercice de mathématiques\[\]*

\[\]a. Quelle est l’échelle de ce plan ?\[\]

Pour déterminer l’échelle du plan, nous devons comparer une longueur mesurée directement sur le plan à la longueur réelle correspondante.

Selon l’image, une distance de 2.5 m dans la réalité est représentée par une distance équivalente à 1 cm sur le plan.

L’échelle est donc de 1:250. Symboliquement, cela peut être écrit:

\[ \text{Échelle} = 1:250 \]

\[\]b. En prenant les mesures nécessaires, complète les dimensions manquantes.\[\]

Pour compléter les dimensions manquantes, nous allons mesurer les longueurs sur le plan et ensuite les convertir à l’échelle réelle.

Supposons que les mesures prises directement sur le plan sont:

– Longueur totale de la maison sur le plan : \( \approx 14 \, cm \)
– Largeur de la maison sur le plan : \( \approx 5.6 \, cm \)

En utilisant l’échelle 1:250,

\[
\text{Longueur réelle} = 14 \, cm \times 250 = 3500 \, cm = 35 \, m
\]

\[
\text{Largeur réelle} = 5.6 \, cm \times 250 = 1400 \, cm = 14 \, m
\]

Donc, les dimensions réelles mesurées et calculées sont:

– Longueur de la maison : \( 35 \, m \)
– Largeur de la maison : \( 14 \, m \)

Ces calculs vous permettent de compléter les dimensions manquantes sur le plan suivant les mesures prises et l’échelle donnée.

Exercice 54 : une maquette de voiture
\[\]
\text{Échelle} \quad \quad \quad \frac{1}{87} \quad \quad \quad \frac{1}{50} \quad \quad \quad \frac{1}{43} \quad \quad \quad \frac{1}{24}
\[\]

1. \[\]Longueur\[\] \( 457 \text{ cm} \) :
\[
\frac{457}{87} \approx 5.26 \text{ cm} \quad \quad \frac{457}{50} \approx 9.14 \text{ cm} \quad \quad \frac{457}{43} \approx 10.63 \text{ cm} \quad \quad \frac{457}{24} \approx 19.04 \text{ cm}
\]

2. \[\]Largeur\[\] \( 177.8 \text{ cm} \) :
\[
\frac{177.8}{87} \approx 2.04 \text{ cm} \quad \quad \frac{177.8}{50} \approx 3.56 \text{ cm} \quad \quad \frac{177.8}{43} \approx 4.14 \text{ cm} \quad \quad \frac{177.8}{24} \approx 7.41 \text{ cm}
\]

3. \[\]Hauteur\[\] \( 130.2 \text{ cm} \) :
\[
\frac{130.2}{87} \approx 1.50 \text{ cm} \quad \quad \frac{130.2}{50} \approx 2.60 \text{ cm} \quad \quad \frac{130.2}{43} \approx 3.03 \text{ cm} \quad \quad \frac{130.2}{24} \approx 5.42 \text{ cm}
\]

\[\]
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Échelle} \frac{1}{87} \frac{1}{50} \frac{1}{43} \frac{1}{24} \\
\hline
\text{Longueur} 5.26 \text{ cm} 9.14 \text{ cm} 10.63 \text{ cm} 19.04 \text{ cm} \\
\hline
\text{Largeur} 2.04 \text{ cm} 3.56 \text{ cm} 4.14 \text{ cm} 7.41 \text{ cm} \\
\hline
\text{Hauteur} 1.50 \text{ cm} 2.60 \text{ cm} 3.03 \text{ cm} 5.42 \text{ cm} \\
\hline
\end{array}
\[\]

Exercice 55 : longueur, périmètre et aire
Les valeurs complémentaires pour le tableau sont calculées comme suit :

Pour un côté de \(3 \, \text{cm}\) :
– Périmètre \(= 4 \times 3 = 12 \, \text{cm}\)
– Aire \(= 3^2 = 9 \, \text{cm}^2\)

Pour un côté de \(4 \, \text{cm}\) :
– Périmètre \(= 4 \times 4 = 16 \, \text{cm}\)
– Aire \(= 4^2 = 16 \, \text{cm}^2\)

Pour un côté de \(10 \, \text{cm}\) :
– Périmètre \(= 4 \times 10 = 40 \, \text{cm}\)
– Aire \(= 10^2 = 100 \, \text{cm}^2\)

Ainsi, le tableau complété est :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Côté (cm)} 2 3 4 10 \\
\hline
\text{Périmètre (cm)} 8 12 16 40 \\
\hline
\text{Aire (cm}^2) 4 9 16 100 \\
\hline
\end{array}
\]

a. Le périmètre est-il proportionnel au côté du carré ?

La formule du périmètre d’un carré est \( P = 4 \times C \). On note que chaque périmètre est multiplié par 4 par rapport au côté :

\[
\frac{P}{C} = \frac{8}{2} = \frac{12}{3} = \frac{16}{4} = \frac{40}{10} = 4
\]

Puisque le rapport \(\frac{P}{C}\) est constant, le périmètre est proportionnel au côté du carré.

b. L’aire est-elle proportionnelle au côté du carré ?

La formule de l’aire d’un carré est \( A = C^2 \). On note que le rapport entre l’aire et le côté n’est pas constant :

\[
\frac{A}{C} = \frac{4}{2} = 2, \quad \frac{9}{3} = 3, \quad \frac{16}{4} = 4, \quad \frac{100}{10} = 10
\]

Puisque le rapport \(\frac{A}{C}\) n’est pas constant, l’aire n’est pas proportionnelle au côté du carré.

c. Le périmètre est-il proportionnel à l’aire ?

Examiner le rapport entre le périmètre et l’aire :

\[
\frac{P}{A} = \frac{8}{4} = 2, \quad \frac{12}{9} \approx 1.33, \quad \frac{16}{16} = 1, \quad \frac{40}{100} = 0.4
\]

Le rapport \(\frac{P}{A}\) n’est pas constant, donc le périmètre n’est pas proportionnel à l’aire du carré.

Exercice 56 : tableaux non proportionnels
{Correction de l’exercice:}

Pour vérifier si un tableau est un tableau de proportionnalité, les rapports des valeurs correspondantes dans les deux rangées de chaque colonne (ou ligne) doivent être constants.

{Tableau a:}
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
10 15 30 \\
\hline
15 25 50 \\
\hline
\end{array}
\]

Calculons les rapports entre les valeurs correspondantes :
\[
\frac{15}{10} = 1.5, \quad \frac{25}{15} \approx 1.67, \quad \frac{50}{30} \approx 1.67
\]

Les rapports ne sont pas constants (\(1.5 \neq 1.67 \)). Donc, le tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.

{Tableau b:}
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
8 15 \\
\hline
20 40 \\
\hline
\end{array}
\]

Calculons les rapports entre les valeurs correspondantes :
\[
\frac{20}{8} = 2.5, \quad \frac{40}{15} \approx 2.67
\]

Les rapports ne sont pas constants (\(2.5 \neq 2.67\)). Donc, le tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.

{Tableau c:}
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
20 60 80 \\
\hline
50 150 220 \\
\hline
\end{array}
\]

Calculons les rapports entre les valeurs correspondantes :
\[
\frac{50}{20} = 2.5, \quad \frac{150}{60} = 2.5, \quad \frac{220}{80} = 2.75
\]

Les rapports ne sont pas constants (\(2.5 \neq 2.75\)). Donc, le tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.

{Tableau d:}
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
123,35 1354,76 \\
\hline
765,87 1236,23 \\
\hline
\end{array}
\]

Calculons les rapports entre les valeurs correspondantes :
\[
\frac{765,87}{123,35} \approx 6.21, \quad \frac{1236,23}{1354,76} \approx 0.91
\]

Les rapports ne sont pas constants (\(6.21 \neq 0.91 \)). Donc, le tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.

Exercice 57 : bouteilles de boisson gazeuse et proportionnalité
a.
Pour réaliser un schéma qui traduit cette situation, on peut diviser le prix total de 9 € par le nombre de bouteilles, qui est 6, pour obtenir le prix unitaire d’une bouteille :
\[
\text{Prix par bouteille} = \frac{9}{6} = 1.5\ \text{€}
\]

Ensuite, on peut représenter cela par 6 bouteilles alignées, chaque bouteille coûtant 1.5 €.

b.
Pour déterminer le prix de 3 bouteilles, on multiplie le prix par bouteille par 3 :
\[
\text{Prix de 3 bouteilles} = 3 \times 1.5 = 4.5\ \text{€}
\]

c.
Pour déterminer le prix de 5 bouteilles, on multiplie le prix par bouteille par 5 :
\[
\text{Prix de 5 bouteilles} = 5 \times 1.5 = 7.5\ \text{€}
\]

d.
Pour déterminer le prix de 22 bouteilles, on multiplie le prix par bouteille par 22 :
\[
\text{Prix de 22 bouteilles} = 22 \times 1.5 = 33\ \text{€}
\]

Exercice 58 : une entreprise d’écrous et de vis
La production totale de l’entreprise est de 350 tonnes.

Sur le marché national, l’entreprise a vendu un quart de sa production :
\[
\frac{1}{4} \times 350 = 87,5 \text{ tonnes}
\]

Sur le marché européen, l’entreprise a vendu 30 % de sa production :
\[
0,3 \times 350 = 105 \text{ tonnes}
\]

Sur le marché américain, l’entreprise a vendu 10 % de sa production :
\[
0,1 \times 350 = 35 \text{ tonnes}
\]

Pour déterminer la quantité vendue sur le marché asiatique, nous devons soustraire les quantités vendues sur les autres marchés de la production totale :
\[
350 – (87,5 + 105 + 35) = 122,5 \text{ tonnes}
\]

Ainsi, la production vendue sur chaque marché est la suivante :

Marché national : 87,5 tonnes
Marché européen : 105 tonnes
Marché américain : 35 tonnes
Marché asiatique : 122,5 tonnes

Exercice 59 : un collège et des demi-pensionnaires
Soit \( n \) le nombre total d’élèves dans le collège, et soit \( d \) le nombre d’élèves demi-pensionnaires.

Nous avons :
\[
n = 620
\]
\[
d = 372
\]

Le pourcentage \( p \) des demi-pensionnaires est donné par la formule :
\[
p = ( \frac{d}{n} ) \times 100
\]

En substituant les valeurs connues :
\[
p = ( \frac{372}{620} ) \times 100
\]

Calculons ce ratio :
\[
p = ( \frac{372}{620} ) \times 100 \approx 0.6 \times 100 = 60
\]

Donc, le pourcentage d’élèves demi-pensionnaires dans ce collège est de :
\[
\boxed{60\%}
\]

Exercice 60 : des élections et des pourcentages

a. \ Pour calculer le nombre de personnes ayant voté pour M. Hollande en Bretagne, on utilise la formule suivante :

\[
\text{Nombre de votes pour M. Hollande} = \frac{56,35}{100} \times 1912083
\]

Calculons cette valeur :

\[
\text{Nombre de votes pour M. Hollande} = 0,5635 \times 1912083
\]
\[
\text{Nombre de votes pour M. Hollande} \approx 1077075
\]

Donc, le nombre de personnes qui ont voté pour M. Hollande est d’environ 1 077 075.

b. \ Pour calculer le pourcentage de suffrages exprimés parmi les votants, nous utilisons la formule suivante :

\[
\text{Pourcentage de suffrages exprimés} = \frac{1912083}{2019910} \times 100
\]

Calculons cette valeur :

\[
\text{Pourcentage de suffrages exprimés} \approx 94,70 \%
\]

Donc le pourcentage de suffrages exprimés parmi les votants est d’environ 94,70%.

c. \ Pour calculer le nombre de personnes ayant voté pour M. Sarkozy à La Réunion, on utilise la formule suivante :

\[
\text{Nombre de votes pour M. Sarkozy} = \frac{28,51}{100} \times 400394
\]

Calculons cette valeur :

\[
\text{Nombre de votes pour M. Sarkozy} = 0,2851 \times 400394
\]
\[
\text{Nombre de votes pour M. Sarkozy} \approx 114235
\]

Donc, le nombre de personnes qui ont voté pour M. Sarkozy à La Réunion est d’environ 114 235.