Calcul littéral : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 11 : calcul littéral et brevet des collèges.
\[ D = (x – 2)^2 – 2(x – 2) \]

1. Factoriser \( D \).

On constate que les deux termes de l’expression \( D \) contiennent un facteur commun \( (x – 2) \).

\[ D = (x – 2)^2 – 2(x – 2) \]
\[ D = (x – 2)[(x – 2) – 2] \]
\[ D = (x – 2)(x – 2 – 2) \]
\[ D = (x – 2)(x – 4) \]

2. Développer et réduire \( D \).

Développons les termes pour vérifier l’expression factorisée :

\[ D = (x – 2)(x – 4) \]
\[ D = x(x – 4) – 2(x – 4) \]
\[ D = x^2 – 4x – 2x + 8 \]
\[ D = x^2 – 6x + 8 \]

3. Calculer \( D \) pour \( x = 1 \).

Substituons \( x = 1 \) dans l’expression développée \( D = x^2 – 6x + 8 \).

\[ D = 1^2 – 6(1) + 8 \]
\[ D = 1 – 6 + 8 \]
\[ D = 3 \]

Ainsi, \( D = 3 \) pour \( x = 1 \).

Exercice 12 : programme de calcul et calcul littéral.
1. Soit \( x \) le nombre choisi.

2. Lui ajouter 4:
\[
x + 4
\]

3. Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi:
\[
x(x + 4) = x^2 + 4x
\]

4. Ajouter 4 à ce produit:
\[
x^2 + 4x + 4
\]

5. Écrire le résultat.

### Première question
Vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme avec le nombre \( -2 \), on obtient 0:
\[
x = -2
\]
Calculons chaque étape :
\[
x + 4 = -2 + 4 = 2
\]
\[
x(x + 4) = (-2) \cdot 2 = -4
\]
\[
x^2 + 4x + 4 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 4 = 4 – 8 + 4 = 0
\]
Donc, avec \( x = -2 \), on obtient bien 0.

### Deuxième question
Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5 :
\[
x = 5
\]
Calculons :
\[
x + 4 = 5 + 4 = 9
\]
\[
x(x + 4) = 5 \cdot 9 = 45
\]
\[
x^2 + 4x + 4 = 5^2 + 4 \cdot 5 + 4 = 25 + 20 + 4 = 49
\]
Donc, avec \( x = 5 \), le résultat est 49.

### Troisième question
Donner l’expression littérale obtenue en effectuant ce programme, sous forme développée :
\[
x^2 + 4x + 4
\]

Exercice 13 : développer une expression littérale
1) Développer et réduire \( A \).

\[
A = (3x – 5)(6 – 4x) – 5(8 – 6x)
\]

En développant les termes:

\[
A = (3x)(6) + (3x)(-4x) + (-5)(6) + (-5)(-4x) – 5(8 – 6x)
\]

\[
= 18x – 12x^2 – 30 + 20x – 5(8 – 6x)
\]

Ensuite, développons \( -5(8 – 6x) \):

\[
-5(8 – 6x) = -40 + 30x
\]

Ainsi, nous avons:

\[
A = 18x – 12x^2 – 30 + 20x – 40 + 30x
\]

Regroupons les termes semblables:

\[
A = -12x^2 + (18x + 20x + 30x) – 30 – 40
\]

\[
= -12x^2 + 68x – 70
\]

2) Calculer la valeur exacte de \( A \) si \( x = -5\sqrt{6} \) ; donner ensuite la valeur arrondie au centième.

Remplaçons \( x \) par \( -5\sqrt{6} \) dans \( A \):

\[
A = -12(-5\sqrt{6})^2 + 68(-5\sqrt{6}) – 70
\]

Calculons chaque terme séparément:

\[
(-5\sqrt{6})^2 = 25 \times 6 = 150
\]

\[
A = -12 \times 150 + 68 \times (-5\sqrt{6}) – 70
\]

\[
= -1800 + (-340\sqrt{6}) – 70
\]

\[
A = -1870 – 340\sqrt{6}
\]

Pour la valeur arrondie au centième, approximons \( \sqrt{6} \) :

\[
\sqrt{6} \approx 2.449
\]

\[
A \approx -1870 – 340 \times 2.449
\]

\[
A \approx -1870 – 833.66
\]

\[
A \approx -2703.66
\]

La valeur exacte est \( -1870 – 340\sqrt{6} \) et la valeur arrondie au centième est \( -2703.66 \).

Exercice 14 : compléter les identités remarquables
\[
A=(3x+5)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 = 9x^2 + 30x + 25
\]

\[
B=(2x-6)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot 6 + 6^2 = 4x^2 – 24x + 36
\]

\[
C=(-4y+4)^2 = (4y)^2 – 2 \cdot 4y \cdot 4 + 4^2 = 16y^2 – 32y + 16
\]

\[
D=49a^2+14a+25 = (7a+5)^2 = (7a)^2 + 2 \cdot 7a \cdot 5 + 5^2
\]

\[
E=4x^2-4x = 4x(x-1)
\]

Exercice 15 : développer, réduire et factoriser
Soit \( E = (3x + 2)^2 – (3x + 2)(x + 7) \).

a) Développer et réduire \( E \).

\[
E = (3x + 2)^2 – (3x + 2)(x + 7)
\]

Développons chaque terme :
\[
(3x + 2)^2 = (3x + 2)(3x + 2) = 9x^2 + 6x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4
\]

\[
(3x + 2)(x + 7) = 3x \cdot x + 3x \cdot 7 + 2 \cdot x + 2 \cdot 7 = 3x^2 + 21x + 2x + 14 = 3x^2 + 23x + 14
\]

Maintenant, soustrayons les deux :

\[
E = 9x^2 + 12x + 4 – (3x^2 + 23x + 14)
\]
\[
= 9x^2 + 12x + 4 – 3x^2 – 23x – 14
\]
\[
= (9x^2 – 3x^2) + (12x – 23x) + (4 – 14)
\]
\[
= 6x^2 – 11x – 10
\]

b) Factoriser \( E \).

Nous avons \( E = 6x^2 – 11x – 10 \). Pour factoriser, nous devons trouver les racines de l’équation en résolvant \( 6x^2 – 11x – 10 = 0 \).

Calculons le discriminant \(\Delta\) :

\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-11)^2 – 4 \times 6 \times (-10) = 121 + 240 = 361
\]

Puis les racines :

\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-11) + \sqrt{361}}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 19}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}
\]

\[
x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-11) – \sqrt{361}}{2 \cdot 6} = \frac{11 – 19}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}
\]

Ainsi, nous pouvons écrire :

\[
E = 6(x – \frac{5}{2})(x + \frac{2}{3})
\]

Facturons par des termes plus simples :

\[
E = 6 ( x – \frac{5}{2} ) ( x + \frac{2}{3} )
\]

c) Calculer \( E \) pour \( x = \frac{1}{2} \).

\[
E = 6 ( \frac{1}{2} – \frac{5}{2} ) ( \frac{1}{2} + \frac{2}{3} )
\]

Calculons chaque terme séparément :

\[
\frac{1}{2} – \frac{5}{2} = -2
\]
\[
\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6}
\]

Donc,

\[
E = 6 \cdot (-2) \cdot \frac{7}{6} = -2 \cdot 7 = -14
\]

Ainsi, \( E = -14 \) lorsque \( x = \frac{1}{2} \).

Exercice 16 : factoriser et développer
1. Factoriser ces expressions :

\[ A = 36 – 25x^2 \]

Cette expression est de la forme \( a^2 – b^2 \), où \( a = 6 \) et \( b = 5x \). Ainsi,
\[ A = (6 – 5x)(6 + 5x) \]

\[ B = 100 + 60x + 9x^2 \]

Cette expression est un trinôme carré parfait car cela peut s’écrire sous la forme \((a + b)^2\), où \( a = 10 \) et \( b = 3x \). Donc,
\[ B = (10 + 3x)^2 \]

\[ C = b^2 – 10b + 25 \]

Cette expression est également un trinôme carré parfait sous la forme \((a – b)^2\), où \( a = b \) et \( b = 5 \). Donc,
\[ C = (b – 5)^2 \]

\[ E = (2 – x)^2 + (2 – x)(9 – x) \]

Factorisons \((2 – x)\) des deux termes :
\[ E = (2 – x)[(2 – x) + (9 – x)] \]
\[ E = (2 – x)(11 – 2x) \]

2. Développer les expressions littérales suivantes :

\[ A = (2x – 5)^2 \]

Formule du carré d’une différence :
\[ A = (2x – 5)(2x – 5) \]
\[ A = 4x^2 – 20x + 25 \]

\[ B = (5x – 3)(5x + 3) \]

Formule du produit de deux conjugués :
\[ B = (5x)^2 – (3)^2 \]
\[ B = 25x^2 – 9 \]

\[ C = (-3x + 5)^2 \]

Formule du carré d’une somme :
\[ C = (-3x + 5)(-3x + 5) \]
\[ C = 9x^2 – 30x + 25 \]

\[ D = (-6x + 9)^2 \]

Formule du carré d’une somme :
\[ D = (-6x + 9)(-6x + 9) \]
\[ D = 36x^2 – 108x + 81 \]

Exercice 17 : développement à l’aide d’identités remarquables
a) \((x-1)^2\)
\[
(x-1)^2 = (x-1)(x-1) = x^2 – x – x + 1 = x^2 – 2x + 1
\]

b) \((x+4)^2\)
\[
(x+4)^2 = (x+4)(x+4) = x^2 + 4x + 4x + 16 = x^2 + 8x + 16
\]

c) \((2x+1)^2\)
\[
(2x+1)^2 = (2x+1)(2x+1) = 4x^2 + 2x + 2x + 1 = 4x^2 + 4x + 1
\]

d) \((7x-1)(7x+1)\)
\[
(7x-1)(7x+1) = 49x^2 + 7x – 7x – 1 = 49x^2 – 1
\]

e) \((4x-1)(3x+7)\)
\[
(4x-1)(3x+7) = 12x^2 + 28x – 3x – 7 = 12x^2 + 25x – 7
\]

f) \((-x+1)(3x-2)\)
\[
(-x+1)(3x-2) = -3x^2 + 2x + 3x – 2 = -3x^2 + 5x – 2
\]

g) \((\frac{1}{2} + x)^2\)
\[
(\frac{1}{2} + x)^2 = (\frac{1}{2} + x)(\frac{1}{2} + x) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + x^2 = x^2 + x + \frac{1}{4}
\]

h) \((x-4)^2 + (x+2)(x+3)\)
\[
(x-4)^2 + (x+2)(x+3) = (x^2 – 8x + 16) + (x^2 + 3x + 2x + 6) = x^2 – 8x + 16 + x^2 + 5x + 6 = 2x^2 – 3x + 22
\]

i) \((5x-3)(2x+1) – (x+1)^2\)
\[
(5x-3)(2x+1) – (x+1)^2 = (10x^2 + 5x – 6x – 3) – (x^2 + 2x + 1) = (10x^2 – x – 3) – (x^2 + 2x + 1) = 10x^2 – x – 3 – x^2 – 2x – 1 = 9x^2 – 3x – 4
\]

Exercice 18 : piscine et calcul littéral
Correction de l’exercice :

1) Exprimer en fonction de \( x \) l’aire \( A_1 \) de la surface de la piscine :
\[ A_1 = 15 \times 10 = 150 \, m^2 \]

2) Exprimer en fonction de \( x \) l’aire \( A_2 \) de la surface carrelée :
L’aire totale englobant la piscine et les carreaux est :
\[ (15 + 2x)(10 + 2x) \]

L’aire carrelée \( A_2 \) est donc l’aire totale moins l’aire de la piscine :
\[ A_2 = (15 + 2x)(10 + 2x) – 150 \]

3) Développer et réduire l’expression obtenue pour \( A_2 \) :
\[
(15 + 2x)(10 + 2x) = 150 + 30x + 20x + 4x^2
\]
\[
= 150 + 50x + 4x^2
\]
Donc,
\[ A_2 = 150 + 50x + 4x^2 – 150 = 50x + 4x^2 \]

4) Calculer les aires \( A_1 \) et \( A_2 \) pour \( x = 2 \, m \) :
\[ A_1 = 150 \, m^2 \]

Pour \( A_2 \):
\[
A_2 = 50 \times 2 + 4 \times 2^2 = 50 \times 2 + 4 \times 4 = 100 + 16 = 116 \, m^2
\]

Ainsi,
\[
A_1 = 150 \, m^2
\]
\[
A_2 = 116 \, m^2
\]

Exercice 19 : problème ouvert sur l’aire d’un carré.
Soit \( a \) la longueur du côté du carré initial \( ABCD \).

1. L’aire du carré \( ABCD \) est donnée par :
\[
A_{\text{carré}} = a^2
\]

2. Pour construire un carré dont l’aire est le double de l’aire du carré \( ABCD \), soit \( KLMN \) ce nouveau carré. Nous cherchons la longueur du côté \( b \) du carré \( KLMN \) telle que :
\[
b^2 = 2 \times a^2
\]

3. En extrayant la racine carrée des deux côtés de l’équation, nous obtenons :
\[
b = a \sqrt{2}
\]

Ainsi, la longueur du côté du nouveau carré \( KLMN \) doit être \( a\sqrt{2} \).

Pour construire ce carré \( KLMN \) :

– Tracer une ligne \( AB \).
– À un des points, construire un angle droit.
– Marquer une distance \( a\sqrt{2} \) deux fois pour créer les quatre côtés du nouveau carré.

Le carré \( KLMN \) obtenu aura bien une aire double de celle du carré initial \( ABCD \).

Exercice 20 : développer et factoriser une expression

Développer l’expression suivante :

\begin{align*}
E = (3x + 2)^2 – (5 – 2x)(3x + 2) \\
= (3x + 2)(3x + 2) – (5 – 2x)(3x + 2) \\
= 9x^2 + 6x + 6x + 4 – (15x + 10 – 6x^2 – 4x) \\
= 9x^2 + 12x + 4 – 15x – 10 + 6x^2 + 4x \\
= 9x^2 + 6x^2 + 12x + 4x – 15x + 4 – 10 \\
= 15x^2 + x – 6
\end{align*}

Factoriser \( E \) :

\begin{align*}
E = 15x^2 + x – 6 \\
= 15x^2 + 10x – 9x – 6 \\
= 5x(3x + 2) – 3(3x + 2) \\
= (5x – 3)(3x + 2)
\end{align*}

Calculer la valeur de \( E \) pour \( x = -2 \) :

\begin{align*}
E = (5(-2) – 3)(3(-2) + 2) \\
= (-10 – 3)(-6 + 2) \\
= (-13)(-4) \\
= 52
\end{align*}

Exercice 21 : factoriser des expressions littérales

\[A = 4x(x + 3) + 2(x + 3)\]
\[
A = (x + 3)(4x + 2)
\]

\[B = (3x + 2) + (x + 4)(3x + 2)\]
\[
B = (3x + 2) (1 + x + 4) = (3x + 2)(x + 5)
\]

\[C = (3x – 5)(x + 1) + (x + 1)(7x + 3)\]
\[
C = (x + 1)[(3x – 5) + (7x + 3)] = (x + 1)(10x – 2)
\]

\[D = 3x(2 + x) + 4(2 + x)\]
\[
D = (2 + x)(3x + 4)
\]

\[E = (2x – 1)(x – 1) – 2(x – 1)\]
\[
E = (x – 1)[(2x – 1) – 2] = (x – 1)(2x – 3)
\]

\[F = (5x + 2)(2x – 1) – (5x + 2)(5 – x)\]
\[
F = (5x + 2)[(2x – 1) – (5 – x)] = (5x + 2)(2x – 1 – 5 + x) = (5x + 2)(3x – 6)
\]

Exercice 22 : développer des expressions littérales
\[ A = (x + 5)(x + 2) \]
\[ A = x^2 + 2x + 5x + 10 \]
\[ A = x^2 + 7x + 10 \]

\[ B = (x + 1)(x – 3) \]
\[ B = x^2 – 3x + x – 3 \]
\[ B = x^2 – 2x – 3 \]

\[ C = (2x + 3)(x + 4) \]
\[ C = 2x^2 + 8x + 3x + 12 \]
\[ C = 2x^2 + 11x + 12 \]

\[ D = (2x + 1)(3x + 4) \]
\[ D = 6x^2 + 8x + 3x + 4 \]
\[ D = 6x^2 + 11x + 4 \]

\[ E = (3x + 5)(3x – 5) \]
\[ E = 9x^2 – 15x + 15x – 25 \]
\[ E = 9x^2 – 25 \]

\[ F = (5 – 2x)(3 + 4x) \]
\[ F = 15 + 20x – 6x – 8x^2 \]
\[ F = -8x^2 + 14x + 15 \]

Exercice 23 : aire d’une couronne et calcul littéral
Pour démontrer que l’aire de la couronne circulaire avec un centre \( O \), un rayon interne \( r \) et un rayon externe \( R \) est donnée par la formule

\[ A = \pi (R – r) (R + r), \]

nous allons suivre les étapes suivantes :

1. Calculer l’aire du grand cercle (de rayon \( R \)).
2. Calculer l’aire du petit cercle (de rayon \( r \)).
3. Soustraire l’aire du petit cercle de l’aire du grand cercle pour obtenir l’aire de la couronne.

\[\]Étape 1 : Aire du grand cercle\[\]

L’aire d’un cercle de rayon \( R \) est donnée par la formule :

\[ A_{\text{grand}} = \pi R^2 \]

\[\]Étape 2 : Aire du petit cercle\[\]

L’aire d’un cercle de rayon \( r \) est donnée par la formule :

\[ A_{\text{petit}} = \pi r^2 \]

\[\]Étape 3 : Aire de la couronne\[\]

L’aire de la couronne est la différence entre l’aire du grand cercle et celle du petit cercle :

\[ A = A_{\text{grand}} – A_{\text{petit}} = \pi R^2 – \pi r^2 \]

Nous pouvons factoriser cette expression en utilisant la différence de carrés :

\[ A = \pi (R^2 – r^2) = \pi (R – r)(R + r) \]

Ainsi, nous avons démontré que l’aire de la couronne est bien égale à :

\[ A = \pi (R – r)(R + r) \]

Exercice 24 : factorisations un peu plus complexes
\[\]A = (2x + 4)(x + 1) + (x + 2)(9x + 7)\[\]
\[
\begin{align*}
A = (2 (x + 2))(x + 1) + (x + 2)(9x + 7) \\
= (x + 2) (2(x + 1) + (9x + 7)) \\
= (x + 2) (2x + 2 + 9x + 7) \\
= (x + 2)(11x + 9)
\end{align*}
\]

\[\]B = 5(1 – x) + 2x(x – 1)\[\]
\[
\begin{align*}
B = 5(1 – x) + 2x(x – 1) \\
= 5 – 5x + 2x^2 – 2x \\
= 2x^2 – 7x + 5
\end{align*}
\]
L’expression \(B\) n’est pas factorisable par des entiers simples.

\[\]C = (x + 4)^2 – (5 + 2x)^2\[\]
\[
\begin{align*}
C = (x + 4)^2 – (5 + 2x)^2 \\
= ((x + 4) – (5 + 2x)) ((x + 4) + (5 + 2x)) \\
= (x + 4 – 5 – 2x)(x + 4 + 5 + 2x) \\
= (-x – 1)(3x + 9) \\
= – (x + 1) (3x + 9) \\
= – (x + 1) 3 (x + 3) \\
= – 3 (x + 1) (x + 3)
\end{align*}
\]

\[\]D = 3x^2 + 12x + 12\[\]
\[
\begin{align*}
D = 3(x^2 + 4x + 4) \\
= 3(x + 2)^2
\end{align*}
\]

\[\]E = \frac{x^2}{4} – \frac{25}{9}\[\]
\[
\begin{align*}
E = (\frac{x}{2})^2 – (\frac{5}{3})^2 \\
= (\frac{x}{2} – \frac{5}{3}) (\frac{x}{2} + \frac{5}{3})
\end{align*}
\]

Exercice 25 : expression littérale qui ne s’annule pas
Riyanne affirme :

« Pour tout nombre entier \( n \) l’expression de \( n^2 – 4n + 144 \) est toujours différente de zéro ».

A-t-il raison ?

—

Pour déterminer si l’expression \( n^2 – 4n + 144 \) est toujours différente de zéro, nous allons analyser l’expression quadratique.

Considérons l’équation quadratique générique \( n^2 – 4n + 144 = 0 \).

Pour résoudre cette équation, nous pouvons utiliser la formule quadratique :

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

Avec \( a = 1 \), \( b = -4 \) et \( c = 144 \).

Calculons le discriminant \(\Delta\) de l’équation quadratique :

\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 144 \]
\[ \Delta = 16 – 576 \]
\[ \Delta = -560 \]

Le discriminant \(\Delta\) est négatif (\(\Delta = -560\)), ce qui signifie que l’équation quadratique \( n^2 – 4n + 144 = 0 \) n’a pas de solutions réelles.

Puisque l’équation n’a pas de solutions réelles, l’expression \( n^2 – 4n + 144 \) ne peut jamais être égale à zéro pour des valeurs réelles de \( n \).

Donc, l’affirmation de Riyanne est correcte : pour tout nombre entier \( n \), l’expression \( n^2 – 4n + 144 \) est toujours différente de zéro.

Exercice 26 : développer les expressions littérales

\[A = 5(x+2)\]
\begin{align*}
A = 5(x + 2) \\
= 5x + 10
\end{align*}

\[B = 7(x-3) + 2x – 1\]
\begin{align*}
B = 7(x – 3) + 2x – 1 \\
= 7x – 21 + 2x – 1 \\
= 9x – 22
\end{align*}

\[C = -4(2x-1) + (x+3)\]
\begin{align*}
C = -4(2x – 1) + (x + 3) \\
= -8x + 4 + x + 3 \\
= -7x + 7
\end{align*}

\[D = (x-5)(2x+1)\]
\begin{align*}
D = (x – 5)(2x + 1) \\
= x \cdot 2x + x \cdot 1 – 5 \cdot 2x – 5 \cdot 1 \\
= 2x^2 + x – 10x – 5 \\
= 2x^2 – 9x – 5
\end{align*}

\[E = (2x-1)(-3x+7) + 4x^2 – 1\]
\begin{align*}
E = (2x – 1)(-3x + 7) + 4x^2 – 1 \\
= 2x \cdot -3x + 2x \cdot 7 – 1 \cdot -3x – 1 \cdot 7 + 4x^2 – 1 \\
= -6x^2 + 14x + 3x – 7 + 4x^2 – 1 \\
= -6x^2 + 4x^2 + 17x – 8 \\
= -2x^2 + 17x – 8
\end{align*}

\[F = 8x + 3 – 4(x-2)(x+2) + 3x^2\]
\begin{align*}
F = 8x + 3 – 4(x – 2)(x + 2) + 3x^2 \\
= 8x + 3 – 4(x^2 – 4) + 3x^2 \\
= 8x + 3 – 4x^2 + 16 + 3x^2 \\
= 8x + (-4x^2 + 3x^2) + 19 \\
= 8x – x^2 + 19
\end{align*}

Exercice 27 : développer puis réduire
\[ A = 2x(x+3) \]
\[ A = 2x^2 + 6x \]

\[ B = -7y^2(-5 – 2y^2) \]
\[ B = -7y^2 \cdot (-5) – 7y^2 \cdot 2y^2 \]
\[ B = 35y^2 – 14y^4 \]

\[ C = (x + 5)(x + 1) \]
\[ C = x(x + 1) + 5(x + 1) \]
\[ C = x^2 + x + 5x + 5 \]
\[ C = x^2 + 6x + 5 \]

\[ D = (2x – 5)(x + 4) \]
\[ D = 2x(x + 4) – 5(x + 4) \]
\[ D = 2x^2 + 8x – 5x – 20 \]
\[ D = 2x^2 + 3x – 20 \]

\[ E = 3x^2 + 2x + 3 – (4x^2 + 5x + 9) \]
\[ E = 3x^2 + 2x + 3 – 4x^2 – 5x – 9 \]
\[ E = 3x^2 – 4x^2 + 2x – 5x + 3 – 9 \]
\[ E = -x^2 – 3x – 6 \]

\[ F = (x + 4)(x – 6) + (-1 + x)(x – 7) \]
\[ F = x(x – 6) + 4(x – 6) + (-1)(x – 7) + x(x – 7) \]
\[ F = x^2 – 6x + 4x – 24 – x + 7 + x^2 – 7x \]
\[ F = x^2 + x^2 – 6x + 4x – x – 7x – 24 + 7 \]
\[ F = 2x^2 – 10x – 17 \]

\[ G = -3(a^2 + 2) – (a – 3)(2a + 7) \]
\[ G = -3a^2 – 6 – (a(2a + 7) – 3(2a + 7)) \]
\[ G = -3a^2 – 6 – (2a^2 + 7a – 6a – 21) \]
\[ G = -3a^2 – 6 – 2a^2 – a + 21 \]
\[ G = -5a^2 – a + 15 \]

\[ H = 4 – (2x + 1)^2 \]
\[ H = 4 – (4x^2 + 4x + 1) \]
\[ H = 4 – 4x^2 – 4x – 1 \]
\[ H = -4x^2 – 4x + 3 \]

Exercice 28 : développer,factoriser et résoudre
1. Développer et réduire \(D\).

\[
D = (2x – 7)^2 – 36x^2
\]
\[
= (2x – 7)(2x – 7) – 36x^2
\]
\[
= 4x^2 – 14x – 14x + 49 – 36x^2
\]
\[
= 4x^2 – 28x + 49 – 36x^2
\]
\[
= -32x^2 – 28x + 49
\]

2. Factoriser \(D\).

\[
D = 49 – 28x – 32x^2
\]
\[
= 49 – 4x(7 + 8x)
\]
\[
= -(4x + 7(2x – 1)) + 49
\]

3. Résoudre l’équation \( (8x – 7)(7 – 4x) = 0 \).

\[
(8x – 7)(7 – 4x) = 0
\]
\[
8x – 7 = 0 \quad \text{ou} \quad 7 – 4x = 0
\]
\[
8x = 7 \quad \text{ou} \quad 4x = 7
\]
\[
x = \frac{7}{8} \quad \text{ou} \quad x = \frac{7}{4}
\]

4. Calculer la valeur exacte de \(D\) quand \( x = \sqrt{2} \).

\[
D = (2\sqrt{2} – 7)^2 – 36(\sqrt{2})^2
\]
\[
= (2\sqrt{2} – 7)^2 – 36 \cdot 2
\]
\[
= (2\sqrt{2} – 7)^2 – 72
\]
\[
= (2\sqrt{2})^2 – 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 7 + 7^2 – 72
\]
\[
= 8 – 28\sqrt{2} + 49 – 72
\]
\[
= -94 – 28\sqrt{2}
\]

Donc, la valeur exacte de \(D\) quand \( x = \sqrt{2} \) est \(-94 – 28\sqrt{2}\).

Exercice 29 : programme de calcul
1. a. Soit \( x = 10 \).

\[
\begin{aligned}
1. \ \text{Choisir un nombre :} \ x = 10,\\
2. \ \text{Ajouter 1 :} \ x + 1 = 11,\\
3. \ \text{Calculer le carré du résultat obtenu :} \ (x + 1)^2 = 11^2 = 121,\\
4. \ \text{Soustraire le carré du nombre de départ :} \ 121 – x^2 = 121 – 10^2 = 121 – 100 = 21,\\
5. \ \text{Soustraire 1 :} \ 21 – 1 = 20.
\end{aligned}
\]

On obtient bien 20.

b. Soit \( x = -3 \).

\[
\begin{aligned}
1. \ \text{Choisir un nombre :} \ x = -3,\\
2. \ \text{Ajouter 1 :} \ x + 1 = -3 + 1 = -2,\\
3. \ \text{Calculer le carré du résultat obtenu :} \ (x + 1)^2 = (-2)^2 = 4,\\
4. \ \text{Soustraire le carré du nombre de départ :} \ 4 – x^2 = 4 – (-3)^2 = 4 – 9 = -5,\\
5. \ \text{Soustraire 1 :} \ -5 – 1 = -6.
\end{aligned}
\]

On obtient bien -6.

c. Soit \( x = 1{,}5 \).

\[
\begin{aligned}
1. \ \text{Choisir un nombre :} \ x = 1{,}5,\\
2. \ \text{Ajouter 1 :} \ x + 1 = 1{,}5 + 1 = 2{,}5,\\
3. \ \text{Calculer le carré du résultat obtenu :} \ (x + 1)^2 = (2{,}5)^2 = 6{,}25,\\
4. \ \text{Soustraire le carré du nombre de départ :} \ 6{,}25 – x^2 = 6{,}25 – (1{,}5)^2 = 6{,}25 – 2{,}25 = 4,\\
5. \ \text{Soustraire 1 :} \ 4 – 1 = 3.
\end{aligned}
\]

On obtient bien 3.

2. Conjecture : Le résultat fourni par ce programme de calcul est toujours \( 2x \).

Démonstration :

Soit \( x \) le nombre choisi.

\[
\begin{aligned}
1. \ \text{Choisir un nombre :} \ x,\\
2. \ \text{Ajouter 1 :} \ x + 1,\\
3. \ \text{Calculer le carré du résultat obtenu :} \ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1,\\
4. \ \text{Soustraire le carré du nombre de départ :} \ (x^2 + 2x + 1) – x^2 = 2x + 1,\\
5. \ \text{Soustraire 1 :} \ 2x + 1 – 1 = 2x.
\end{aligned}
\]

Ainsi, le résultat est toujours \( 2x \).

Exercice 30 : factoriser les expressions
A :
\[
A = 13(x + 2) + 5(x + 2)
\]
\[
A = (13 + 5)(x + 2)
\]
\[
A = 18(x + 2)
\]

B :
\[
B = 3x(x + 2) – 5(x + 2)
\]
\[
B = (3x – 5)(x + 2)
\]

C :
\[
C = 4(x + 3) + 9x(x + 3)
\]
\[
C = (4 + 9x)(x + 3)
\]
\[
C = (4 + 9x)(x + 3)
\]

D :
\[
D = 7x(3x + 1) – 10x(3x + 1)
\]
\[
D = x(7(3x + 1) – 10(3x + 1))
\]
\[
D = x((7 – 10)(3x + 1))
\]
\[
D = x(-3)(3x + 1)
\]
\[
D = -3x(3x + 1)
\]

Exercice 31 : factorisation et calcul littéral

E = (x – 3)(2x + 1) + 7(2x + 1)

\begin{align*}
E = (x – 3)(2x + 1) + 7(2x + 1) \\
= (x – 3 + 7)(2x + 1) \\
= (x + 4)(2x + 1)
\end{align*}

F = (x + 1)(x + 2) – 5(x + 2)

\begin{align*}
F = (x + 1)(x + 2) – 5(x + 2) \\
= (x + 1 – 5)(x + 2) \\
= (x – 4)(x + 2)
\end{align*}

G = (3 – x)(4x + 1) – 8(4x + 1)

\begin{align*}
G = (3 – x)(4x + 1) – 8(4x + 1) \\
= (3 – x – 8)(4x + 1) \\
= (- x – 5 + 3)(4x + 1) \\
= -(x + 5)(4x + 1)
\end{align*}

Exercice 32 : factoriser et identité remarquable
\[K = (x + 1)^2 + (x + 1)(3x + 1)\]

Factorons \( (x + 1) \) en utilisant la distribution :

\[ K = (x + 1)[(x + 1) + (3x + 1)] \]
\[ K = (x + 1)(x + 1 + 3x + 1) \]
\[ K = (x + 1)(4x + 2) \]

Ainsi, la forme factorisée de \( K \) est :

\[ \boxed{K = (x+1)(4x+2)} \]

—

\[ L = (x – 3)^2 – (x – 3)(4x + 1) \]

Factorons \( (x – 3) \) en utilisant la distribution :

\[ L = (x – 3)[(x – 3) – (4x + 1)] \]
\[ L = (x – 3)(x – 3 – 4x – 1) \]
\[ L = (x – 3)(-3x – 4) \]

Ainsi, la forme factorisée de \( L \) est :

\[ \boxed{L = (x – 3)(-3x – 4)} \]

—

\[ M = (x + 1)(2x – 5) + (2x – 5)^2 \]

Factorons \( (2x – 5) \) en utilisant la distribution :

\[ M = (2x – 5)[(x + 1) + (2x – 5)] \]
\[ M = (2x – 5)(x + 1 + 2x – 5) \]
\[ M = (2x – 5)(3x – 4) \]

Ainsi, la forme factorisée de \( M \) est :

\[ \boxed{M = (2x – 5)(3x – 4)} \]

Exercice 33 : géométrie et calcul littéral
1) Résoudre l’inéquation : \(2x – 3 \geq\, x + 1\) et représenter les solutions sur une droite graduée.

\[
2x – 3 \geq\, x + 1
\]

Soustrayons \(x\) des deux côtés :

\[
2x – x – 3 \geq\, 1
\]

Ce qui simplifie à :

\[
x – 3 \geq\, 1
\]

Ajoutons 3 des deux côtés :

\[
x \geq\, 4
\]

Ainsi, les solutions de l’inéquation sont \( x \geq\, 4 \). Sur une droite graduée, on représente cette solution comme suit :

\[
\{ x \in \mathbb{R} \, | \, x \geq\, 4 \}
\]

2) Soit \( x \) un nombre supérieur ou égal à 4, ABCD est un carré dont le côté mesure \( 2x – 3 \).

a. Montrer que l’aire du rectangle BCEF s’exprime par la formule :

\[
A = (2x – 3)^2 – (2x – 3)(x + 1)
\]

La superficie du carré ABCD est :

\[
(2x – 3)^2
\]

L’aire du rectangle DEFMC (partie non grisée):

\[
(2x – 3)(x + 1)
\]

Ainsi, l’aire grisée du rectangle BCEF est :

\[
A = (2x – 3)^2 – (2x – 3)(x + 1)
\]

b. Développons et réduisons \( A \):

\[
A = (2x – 3)^2 – (2x – 3)(x + 1)
\]

Développement du premier terme :

\[
(2x – 3)^2 = (2x – 3)(2x – 3) = 4x^2 – 12x + 9
\]

Développement du deuxième terme :

\[
(2x – 3)(x + 1) = 2x^2 + 2x – 3x – 3 = 2x^2 – x – 3
\]

Ainsi :

\[
A = 4x^2 – 12x + 9 – (2x^2 – x – 3)
\]

En simplifiant, nous obtenons :

\[
A = 4x^2 – 12x + 9 – 2x^2 + x + 3
\]

\[
A = 2x^2 – 11x + 12
\]

c. Factorisons \( A \):

\[
A = 2x^2 – 11x + 12
\]

Pour factoriser \( 2x^2 – 11x + 12 \), cherchons les racines de cette équation en résolvant \( 2x^2 – 11x + 12 = 0 \):

Utilisons la formule quadratique où \(a = 2\), \(b = -11\), et \(c = 12\):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]

\[
x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}
\]

\[
x = \frac{11 \pm \sqrt{121 – 96}}{4}
\]

\[
x = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{4}
\]

\[
x = \frac{11 \pm 5}{4}
\]

Nous obtenons deux racines :

\[
x = \frac{11 + 5}{4} = \frac{16}{4} = 4
\]
\[
x = \frac{11 – 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}
\]

Cependant, \(x \geq\, 4\), donc, on utilise uniquement \( x = 4 \).

La forme factorisée est :

\[
A = 2(x – 4)(x – \frac{3}{2})
\]

d. Résoudre l’équation : \( (2x – 3)(x – 4) = 0 \):

L’équation est satisfaite si :

\[
2x – 3 = 0 \quad \text{ou} \quad x – 4 = 0
\]

Pour \( 2x – 3 = 0 \) :

\[
2x = 3
\]

\[
x = \frac{3}{2}
\]

Pour \( x – 4 = 0 \) :

\[
x = 4
\]

e. Pour quelles valeurs de \( x \), l’aire du rectangle BCEF est-elle nulle ? Justifier :

L’aire du rectangle BCEF est nulle si \( 2(x – 4)(x – \frac{3}{2}) = 0 \).

Les solutions sont \( x = 4 \) et \( x = \frac{3}{2} \).

Cependant, \( x \) doit être supérieur ou égal à 4 :

Donc, l’aire du rectangle BCEF est nulle lorsque \( x = 4 \).

Exercice 34 : trois entiers consécutifs
a) Soit \( n \) un entier. Les trois nombres entiers consécutifs choisis sont \( n-1 \), \( n \) et \( n+1 \).

Calculons le carré du nombre du milieu \( n \):

\[ n^2 \]

Soustrayons à ce carré le produit des deux autres nombres :

\[ n^2 – (n-1)(n+1) \]

Développons le produit :

\[ (n-1)(n+1) = n^2 – 1 \]

Ainsi,

\[ n^2 – (n^2 – 1) = n^2 – n^2 + 1 = 1 \]

b) Recommençons avec 3 autres nombres entiers consécutifs, par exemple 5, 6 et 7.

Le carré du nombre du milieu (6) est :

\[ 6^2 = 36 \]

Le produit des deux autres nombres (5 et 7) est :

\[ 5 \cdot 7 = 35 \]

La différence est alors :

\[ 36 – 35 = 1 \]

On constate que le résultat est encore 1.

c) Pour démontrer cette conjecture, considérons trois nombres entiers consécutifs de la forme \( n-1 \), \( n \), et \( n+1 \).

Le carré du nombre du milieu est :

\[ n^2 \]

Le produit des deux autres nombres est :

\[ (n-1)(n+1) \]

Développons ce produit en utilisant l’identité remarquable :

\[ (n-1)(n+1) = n^2 – 1 \]

Ainsi, la différence est :

\[ n^2 – (n^2 – 1) = n^2 – n^2 + 1 = 1 \]

Nous avons donc démontré que pour tout entier \( n \), la différence entre le carré du nombre du milieu et le produit des deux autres est toujours égale à 1.

Exercice 35 : utilisation du tableur et calcul littéral
### Correction de l’exercice

\[\]a) Calculer \( E \) et \( F \) pour \( x = 4 \).\[\]

Expression de \( E \) :
\[ E = x^2 – 5x + 5 \]

Calcul pour \( x = 4 \) :
\[
E = 4^2 – 5 \cdot 4 + 5 = 16 – 20 + 5 = 1
\]

Expression de \( F \) :
\[ F = (2x – 7)(x – 2) – (x – 3)^2 \]

Calcul pour \( x = 4 \) :
\[
F = (2 \cdot 4 – 7)(4 – 2) – (4 – 3)^2 = (8 – 7)(2) – (1)^2 = 1 \cdot 2 – 1 = 2 – 1 = 1
\]

Donc, pour \( x = 4 \), \( E = 1 \) et \( F = 1 \).

\[\]b) Développer \( F \). Les résultats obtenus à la question a) sont-ils surprenants ?\[\]

Développement de \( (2x – 7)(x – 2) \) :
\[
(2x – 7)(x – 2) = 2x^2 – 4x – 7x + 14 = 2x^2 – 11x + 14
\]

Développement de \( (x – 3)^2 \) :
\[
(x – 3)^2 = x^2 – 6x + 9
\]

Expression de \( F \) :
\[
F = (2x^2 – 11x + 14) – (x^2 – 6x + 9)
\]
\[
F = 2x^2 – 11x + 14 – x^2 + 6x – 9
\]
\[
F = 2x^2 – x^2 – 11x + 6x + 14 – 9
\]
\[
F = x^2 – 5x + 5
\]

On voit que la forme développée de \( F \) est identique à celle de \( E \), donc les résultats obtenus à la question a) ne sont pas surprenants.

\[\]c) Avec un tableur :\[\]

Pour calculer en colonne B les valeurs prises par l’expression \( E \) pour les valeurs de \( x \) inscrites en colonne A, la formule à rentrer dans la cellule B2 est :

\[
= A2^2 – 5 \cdot A2 + 5
\]

Cette formule peut ensuite être étendue aux cellules situées en dessous.

Exercice 36 : développer avec les identités remarquables

\( a = (3x + 5)^2 \)
\begin{align*}
a = (3x + 5)(3x + 5) \\
= 3x \cdot 3x + 3x \cdot 5 + 5 \cdot 3x + 5 \cdot 5 \\
= 9x^2 + 15x + 15x + 25 \\
= 9x^2 + 30x + 25
\end{align*}

\( b = (5 + x)^2 \)
\begin{align*}
b = (5 + x)(5 + x) \\
= 5 \cdot 5 + 5 \cdot x + x \cdot 5 + x \cdot x \\
= 25 + 5x + 5x + x^2 \\
= x^2 + 10x + 25
\end{align*}

\( c = (8x + 2)^2 \)
\begin{align*}
c = (8x + 2)(8x + 2) \\
= 8x \cdot 8x + 8x \cdot 2 + 2 \cdot 8x + 2 \cdot 2 \\
= 64x^2 + 16x + 16x + 4 \\
= 64x^2 + 32x + 4
\end{align*}

\( d = (x + 1)^2 \)
\begin{align*}
d = (x + 1)(x + 1) \\
= x \cdot x + x \cdot 1 + 1 \cdot x + 1 \cdot 1 \\
= x^2 + x + x + 1 \\
= x^2 + 2x + 1
\end{align*}

\( e = (2 – 3x)^2 \)
\begin{align*}
e = (2 – 3x)(2 – 3x) \\
= 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-3x) + (-3x) \cdot 2 + (-3x) \cdot (-3x) \\
= 4 – 6x – 6x + 9x^2 \\
= 9x^2 – 12x + 4
\end{align*}

\( f = (3x + 1)(3x – 1) \)
\begin{align*}
f = 3x \cdot 3x + 3x \cdot (-1) + 1 \cdot 3x + 1 \cdot (-1) \\
= 9x^2 – 3x + 3x – 1 \\
= 9x^2 – 1
\end{align*}

Exercice 37 : factoriser les expressions suivantes
\[\]
m = (3x – 5)(2x + 1) – (3x – 5)(x + 4) \\
m = (3x – 5) [(2x + 1) – (x + 4)] \\
m = (3x – 5) [2x + 1 – x – 4] \\
m = (3x – 5) (x – 3) \\
\[\]

\[\]
n = (5x – 2) (2x + 3) + (2x + 3) (7x + 2) \\
n = (2x + 3) [(5x – 2) + (7x + 2)] \\
n = (2x + 3) [5x – 2 + 7x + 2] \\
n = (2x + 3) (12x) \\
n = 24x (x + \frac{3}{2}) \\
\[\]

\[\]
p = (3x – 2)^2 – (3x – 2)(5 – 2x) \\
p = (3x-2)[(3x-2) – (5 – 2x)] \\
p = (3x-2)[3x – 2 – 5 + 2x] \\
p = (3x-2)(5x – 7) \\
\[\]

\[\]
q = (8 – 2x)^2 + (3 – x)(8 – 2x) \\
q = (8 – 2x) [(8 – 2x) + (3 – x)] \\
q = (8 – 2x) [8 – 2x + 3 – x] \\
q = (8 – 2x) (11 – 3x) \\
\[\]

\[\]
r = (5 – x)(3x + 2) – (5 – x)^2 \\
r = (5 – x)[(3x + 2) – (5 – x)] \\
r = (5 – x)[3x + 2 – 5 + x] \\
r = (5 – x)(4x – 3) \\
\[\]

\[\]
s = (2x – 3)^2 – (5x + 4)^2 \\
s = [(2x – 3) – (5x + 4)][(2x – 3) + (5x + 4)] \\
s = (2x – 3 – 5x – 4)(2x – 3 + 5x + 4) \\
s = (-3x – 7)(7x + 1) \\
\[\]

\[\]
t = (3x – 1)^2 – (8x + 2)^2 \\
t = [(3x – 1) – (8x + 2)][(3x – 1) + (8x + 2)] \\
t = (3x – 1 – 8x – 2)(3x – 1 + 8x + 2) \\
t = (-5x – 3)(11x + 1) \\
\[\]

Exercice 38 : factorisation
Correction :

\(A = (3x + 2)(5x – 2) + (3x + 2)(x – 8)\)

Facteur commun : \(3x + 2\)

\(A = (3x + 2)[(5x – 2) + (x – 8)]\)
\[A = (3x + 2)(5x – 2 + x – 8)\]
\[A = (3x + 2)(6x – 10)\]
\[A = 2(3x + 2)(3x – 5)\]

\(B = 49x^2 + 56x + 16\)

Cette expression est un trinôme sous la forme \(a^2 + 2ab + b^2\):

\[B = (7x)^2 + 2(7x)(4) + 4^2\]
\[B = (7x + 4)^2\]

\(C = 4x^2 – 8x + 4 – (2x – 2)(-3x + 9)\)

Développons \((2x – 2)(-3x + 9)\):

\[(2x – 2)(-3x + 9) = 2x(-3x) + 2x(9) – 2(-3x) – 2(9)\]
\[(2x – 2)(-3x + 9) = -6x^2 + 18x + 6x – 18\]
\[(2x – 2)(-3x + 9) = -6x^2 + 24x – 18\]

Donc,

\[C = 4x^2 – 8x + 4 – (-6x^2 + 24x – 18)\]
\[C = 4x^2 – 8x + 4 + 6x^2 – 24x + 18\]
\[C = 10x^2 – 32x + 22\]

Nous cherchons à factoriser \(C\):

\[C = 2(5x^2 – 16x + 11)\]

Résultats factorisés :

\(A = 2(3x + 2)(3x – 5)\)

\(B = (7x + 4)^2\)

\(C = 2(5x^2 – 16x + 11)\)

Exercice 39 : développement et substitution d’expressions
1. Développer puis réduire les expressions littérales suivantes :

\[ A = (x – 3)(2x – 1) \]

Développement :
\[ A = x \cdot 2x – x \cdot 1 – 3 \cdot 2x + 3 \cdot 1 \]
\[ A = 2x^2 – x – 6x + 3 \]
\[ A = 2x^2 – 7x + 3 \]

—————-

\[ B = (x + 7)^2 + 3x – 1 \]

Développement :
\[ B = (x + 7)(x + 7) + 3x – 1 \]
\[ B = x^2 + 7x + 7x + 49 + 3x – 1 \]
\[ B = x^2 + 17x + 48 \]

—————-

\[ C = 3(x^2 + 2) – (2x^2 + 7x + 3) \]

Développement :
\[ C = 3x^2 + 6 – 2x^2 – 7x – 3 \]
\[ C = (3x^2 – 2x^2) – 7x + (6 – 3) \]
\[ C = x^2 – 7x + 3 \]

2. Calculer la valeur que prend l’expression \(A\) lorsque \(x = 7\), puis lorsque \(x = -5\).

\[ A = 2x^2 – 7x + 3 \]

Pour \( x = 7 \) :
\[ A = 2(7)^2 – 7(7) + 3 \]
\[ A = 2(49) – 49 + 3 \]
\[ A = 98 – 49 + 3 \]
\[ A = 52 \]

Pour \( x = -5 \) :
\[ A = 2(-5)^2 – 7(-5) + 3 \]
\[ A = 2(25) + 35 + 3 \]
\[ A = 50 + 35 + 3 \]
\[ A = 88 \]

Exercice 40 : résoudre une équation-produit

\((x – 5)(x + 7) = 0\)
\begin{align*}
x – 5 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 7 = 0 \\
x = 5 \quad \text{ou} \quad x = -7 \\
\end{align*}

\((3x + 6)(2x – 8) = 0\)
\begin{align*}
3x + 6 = 0 \quad \text{ou} \quad 2x – 8 = 0 \\
3x = -6 \quad \text{ou} \quad 2x = 8 \\
x = -2 \quad \text{ou} \quad x = 4 \\
\end{align*}

\(x(3x – 5) = 0\)
\begin{align*}
x = 0 \quad \text{ou} \quad 3x – 5 = 0 \\
3x = 5 \\
x = \frac{5}{3} \\
\end{align*}

\(-2x(x + 5) = 0\)
\begin{align*}
-2x = 0 \quad \text{ou} \quad x + 5 = 0 \\
x = 0 \quad \text{ou} \quad x = -5 \\
\end{align*}

(\frac{1}{2}x + 5)(\frac{7}{2} – 3x) = 0
\begin{align*}
\frac{1}{2}x + 5 = 0 \quad \text{ou} \quad \frac{7}{2} – 3x = 0 \\
\frac{1}{2}x = -5 \quad \text{ou} \quad -3x = -\frac{7}{2} \\
x = -10 \quad \text{ou} \quad x = \frac{7}{6} \\
\end{align*}

(7 – 2x)(\frac{3}{7}x – \frac{2}{7}) = 0
\begin{align*}
7 – 2x = 0 \quad \text{ou} \quad \frac{3}{7}x – \frac{2}{7} = 0 \\
7 = 2x \quad \text{ou} \quad \frac{3}{7}x = \frac{2}{7} \\
x = \frac{7}{2} \quad \text{ou} \quad x = \frac{2}{3} \\
\end{align*}

Exercice 41 : des équations-produits à résoudre

Première équation :
\begin{align*}
(2x + 3)(5x – 1) = (2x + 3)(x + 6) \\
\frac{(2x + 3)(5x – 1)}{(2x + 3)} = \frac{(2x + 3)(x + 6)}{(2x + 3)} \quad (\text{si } 2x + 3 \neq 0) \\
5x – 1 = x + 6 \\
4x = 7 \\
x = \frac{7}{4}
\end{align*}

Vérification de la solution :
\begin{align*}
(2 \cdot \frac{7}{4} + 3)(5 \cdot \frac{7}{4} – 1) = (2 \cdot \frac{7}{4} + 3)(\frac{7}{4} + 6) \\
( \frac{7}{2} + 3)( \frac{35}{4} – 1) = ( \frac{7}{2} + 3)( \frac{7}{4} + 6) \\
( \frac{13}{2})( \frac{31}{4}) = ( \frac{13}{2})( \frac{31}{4})
\end{align*}

La solution \( x = \frac{7}{4} \) est donc correcte.

Deuxième équation :
\begin{align*}
(x + 6)(x + 2) = (2x – 1)(x + 6) \\
\frac{(x + 6)(x + 2)}{x + 6} = \frac{(2x – 1)(x + 6)}{x + 6} \quad (\text{si } x + 6 \neq 0) \\
x + 2 = 2x – 1 \\
x = 3
\end{align*}

Vérification de la solution :
\begin{align*}
(3 + 6)(3 + 2) = (2 \cdot 3 – 1)(3 + 6) \\
9 \cdot 5 = 5 \cdot 9 \\
45 = 45
\end{align*}

La solution \( x = 3 \) est donc correcte.

Troisième équation :
\begin{align*}
(2x – 7)(x + 2) = (x + 2)^2 \\
(2x – 7)(x + 2) = (x + 2)(x + 2) \\
\frac{(2x – 7)(x + 2)}{x + 2} = \frac{(x + 2)(x + 2)}{x + 2} \quad (\text{si } x + 2 \neq 0) \\
2x – 7 = x + 2 \\
x = 9
\end{align*}

Vérification de la solution :
\begin{align*}
(2 \cdot 9 – 7)(9 + 2) = (9 + 2)^2 \\
(18 – 7) \cdot 11 = 11^2 \\
11 \cdot 11 = 121 \\
121 = 121
\end{align*}

La solution \( x = 9 \) est correcte.

Quatrième équation :
\begin{align*}
(2x – 3)(x + 9) = (2x – 3)^2 \\
(2x – 3)(x + 9) = (2x – 3)(2x – 3) \\
\frac{(2x – 3)(x + 9)}{2x – 3} = \frac{(2x – 3)(2x – 3)}{2x – 3} \quad (\text{si } 2x – 3 \neq 0) \\
x + 9 = 2x – 3 \\
x = 12
\end{align*}

Vérification de la solution :
\begin{align*}
(2 \cdot 12 – 3)(12 + 9) = (2 \cdot 12 – 3)^2 \\
(24 – 3) \cdot 21 = 21^2 \\
21 \cdot 21 = 441 \\
441 = 441
\end{align*}

La solution \( x = 12 \) est correcte.

Exercice 42 : factorisation et équation-produit
Réponse à l’exercice :

a. \((x + 8)(x – 5) = 0\)

Pour que le produit soit nul, il suffit que l’un des facteurs soit nul :
\[ x + 8 = 0 \quad \text{ou} \quad x – 5 = 0 \]

En résolvant chaque équation :
\[ x + 8 = 0 \implies x = -8 \]
\[ x – 5 = 0 \implies x = 5 \]

Donc, les solutions sont \( x = -8 \) et \( x = 5 \).

b. \(5x(4 – x) = 0\)

Pour que le produit soit nul, il suffit que l’un des facteurs soit nul :
\[ 5x = 0 \quad \text{ou} \quad 4 – x = 0 \]

En résolvant chaque équation :
\[ 5x = 0 \implies x = 0 \]
\[ 4 – x = 0 \implies x = 4 \]

Donc, les solutions sont \( x = 0 \) et \( x = 4 \).

c. \((x + 3)^2 = 0\)

Pour que le produit soit nul, il suffit que l’intérieur du carré soit nul :
\[ x + 3 = 0 \]

En résolvant :
\[ x + 3 = 0 \implies x = -3 \]

Il n’y a qu’une solution :
Donc, la solution est \( x = -3 \).