Généralités sur les fonctions : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : généralité sur les fonctions.
1) Par lecture graphique, une valeur approchée de est environ 250.

2) Calcul de la valeur exacte de :

$v(x)\,=\,18\pi\,(\,(1\,%2B\,\frac{x}{2})^3\,-\,1\,)$

En remplaçant par 6, nous obtenons :

$v(6)\,=\,18\pi\,(\,(1\,%2B\,\frac{6}{2})^3\,-\,1\,)$

$v(6)\,=\,18\pi\,(\,(1\,%2B\,3)^3\,-\,1\,)$

$v(6)\,=\,18\pi\,(\,4^3\,-\,1\,)$

$v(6)\,=\,18\pi\,(\,64\,-\,1\,)$

$v(6)\,=\,18\pi\,\times \,63$

$v(6)\,=\,1134\pi$

Comme $\pi\,\approx\,3.14$ , nous obtenons :

$v(6)\,\approx\,1134\,\times \,3.14$

$v(6)\,\approx\,3550.76$

3) L’arrondi à l’unité de l’image du nombre 6 par la fonction est :

$v(6)\,\approx\,3551$

4) Par lecture graphique, pour encadrer par deux entiers consécutifs l’antécédent par la fonction du nombre 250 :

D’après le graphique, on observe que $v(4)\,\approx\,100$ et $v(5)\,\approx\,200$ , et $v(6)\,\approx\,250$ . On en déduit donc que l’antécédent de 250 se trouve entre 5 et 6.

Exercice 2 : exploitation d’une courbe – Fonctions.
1) Peut-on dire que la vitesse du sportif a été constante durant toute sa course ?

Non, la vitesse du sportif n’a pas été constante durant toute sa course. En effet, la courbe présente plusieurs segments avec des pentes différentes, ce qui indique des vitesses variées.

2) Le coureur s’est-il arrêté ? Si oui, pendant combien de temps ?

Oui, le coureur s’est arrêté. Cela se remarque aux segments horizontaux de la courbe où la distance parcourue reste constante malgré le passage du temps. Le coureur s’est arrêté entre 5 et 15 minutes, soit pendant $15\,-\,5\,=\,10$ minutes.

3) Quelle est l’image de 5 par la fonction $d\,%3A\,t\,\mapsto \,d(t)$ ? Que signifie dans la pratique ce résultat ?

L’image de 5 par la fonction $d\,%3A\,t\,\mapsto \,d(t)$ est $d(5)\,=\,2$ . Cela signifie qu’à 5 minutes, le coureur avait parcouru 2 km.

4) Quel est l’antécédent de 6 par la fonction $d\,%3A\,t\,\mapsto \,d(t)$ ? Quelle a été la durée du parcours de 6 km effectuée par le coureur ?

L’antécédent de 6 par la fonction $d\,%3A\,t\,\mapsto \,d(t)$ est $t\,=\,35$ minutes. Cela signifie que le coureur a mis 35 minutes pour parcourir 6 km.

5) Pendant sa course, le coureur a gravi une côte. Quand a certainement dû débuter l’ascension de cette côte ? Quelle était la longueur de cette côte ?

L’ascension de la côte a certainement dû débuter à 15 minutes et s’est terminée à 25 minutes. La longueur de cette côte est passée de 2 km (à 15 minutes) à 3.5 km (à 25 minutes), donc elle est de $3.5\,-\,2\,=\,1.5$ km.

6) Pourquoi peut-on supposer que les 10 dernières minutes de course furent effectuées en descente ?

On peut supposer que les 10 dernières minutes de course furent effectuées en descente, car la courbe de la distance augmente plus rapidement, ce qui indique une augmentation de la vitesse. Habituellement, une vitesse accrue sur une courte période de temps est un indice de descente.

7) Quelle a été la vitesse moyenne de ce coureur durant les 10 dernières minutes de course ? Quelle a été la vitesse moyenne de ce coureur sur l’ensemble de sa course ?

Durant les 10 dernières minutes de course, le coureur est passé de minutes, km\)\) à minutes, km\)\). Ainsi, la vitesse moyenne durant les 10 dernières minutes est de :

$v\,=\,\frac{6\,-\,3.5}{35\,-\,25}\,=\,\frac{2.5}{10}\,=\,0.25\,\,km%2Fmin$

Sur l’ensemble de sa course:

$v\,=\,\frac{6\,\,km}{35\,\,min}\,=\,\frac{6}{35}\,=\,0.1714\,\approx\,0.17\,\,km%2Fmin$

Il convient de noter que 0.17 km/min représente également environ 10.2 km/h.

Exercice 3 : représentation graphique d’une courbe – Fonctions.
a) L’image par du nombre 8 est $h(8)\,=\,4$ .

b) est égal à 3.

c) Les antécédents par du nombre 0 sont $x\,=\,0$ , $x\,=\,5$ , et $x\,=\,7$ .

d) L’image par du nombre -3 est $h(-3)\,=\,1$ .

e) Les antécédents par du nombre -2 sont $x\,=\,-1$ et $x\,=\,6$ .

f) Les antécédents par du nombre 2 sont $x\,=\,-2$ , $x\,=\,3$ , et $x\,=\,9$ .

Exercice 4 : géométrie et fonctions.
$Correction\,de\,l'exercice$

1. a. Construire un triangle tel que :
$EF\,=\,5{%2C}4\,\,cm%2C\,\quad\,EG\,=\,7{%2C}2\,\,cm%2C\,\quad\,FG\,=\,9\,\,cm$

b. est le point du segment tel que $EM\,=\,\frac{2}{3}\,\times \,EF$ . Calculons la longueur :
$EM\,=\,\frac{2}{3}\,\times \,5{%2C}4\,=\,\frac{2\,\times \,5{%2C}4}{3}\,=\,\frac{10{%2C}8}{3}\,=\,3{%2C}6\,\,cm$

c. Par , tracer la parallèle à la droite ; elle coupe le segment en . Calculons :

Puisque $MN\,\parallel\,FG$ et en utilisant les théorèmes sur les triangles semblables et les parallèles :
$\frac{EN}{EG}\,=\,\frac{EM}{EF}$

On a,
$\frac{EN}{7{%2C}2}\,=\,\frac{3{%2C}6}{5{%2C}4}$

$\frac{EN}{7{%2C}2}\,=\,\frac{2}{3}$

$EN\,=\,\frac{2}{3}\,\times \,7{%2C}2\,=\,4{%2C}8\,\,cm$

d. Démontrer que est un triangle rectangle en . En déduire l’aire du triangle .

En utilisant le théorème de Pythagore pour vérifier si le triangle est rectangle en :
$EF^2\,%2B\,EG^2\,=\,FG^2$

$5{%2C}4^2\,%2B\,7{%2C}2^2\,=\,9^2$

$29{%2C}16\,%2B\,51{%2C}84\,=\,81$

Comme $81\,=\,81$ , le triangle est bien rectangle en .

L’aire du triangle :

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,EM\,\times \,EN$

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,3{%2C}6\,\times \,4{%2C}8\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,17{%2C}28\,=\,8{%2C}64\,\,cm^2$

2. a. Les valeurs de comprises entre :
$0\,\leq\,\,x\,\leq\,\,5{%2C}4$

b. Exprimer la longueur en fonction de :

En utilisant la proportionnalité :
$\frac{EN}{EG}\,=\,\frac{x}{EF}$

$EN\,=\,\frac{x\,\times \,EG}{EF}\,=\,\frac{x\,\times \,7{%2C}2}{5{%2C}4}\,=\,\frac{4}{3}x$

c. L’aire en fonction de :
$A(x)\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,x\,\times \,\frac{4}{3}x\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\frac{4}{3}\,x^2\,=\,\frac{2}{3}\,x^2$

d. Le graphique de la fonction est représenté dans l’image.

Lire une valeur approximée :

– $A(3{%2C}5)\,\approx\,8\,\,cm^2$
– $x\,\approx\,4{%2C}34\,\,cm$ pour $A(x)\,=\,12\,\,cm^2$

Exercice 5 : problème sur les fractions
1. Pour que la boîte soit fabriquée correctement en coupant les coins de cm, il est nécessaire que soit compris entre 0 et 10. Ces limites existent parce que si dépasse 10, deux découpes se superposeraient, empêchant ainsi la formation de la boîte.

2. La hauteur de la boîte est égale à la valeur des coins découpés, donc cm.

3. L’aire du carré au fond de la boîte peut être calculée comme suit :
$A(x)\,=\,(20\,-\,2x)^2\,\quad\,cm^2$
4. Le volume de la boîte est donné par l’aire du fond multipliée par la hauteur :
$V(x)\,=\,(20\,-\,2x)^2\,\cdot\,x\,\quad\,cm^3$
5. Représentation graphique de de 0 à 10 :

« `
[Insérer ici le graphique à la main ou à l’aide d’un logiciel approprié]
« `

6. Conjecture pour la valeur de pour laquelle le volume est maximum :
En observant la représentation graphique, on peut conjecturer que le volume est maximum pour une valeur de proche de 3,3 cm.

En utilisant la dérivée pour vérifier cette conjecture :
$V'(x)\,=\,4x^2\,-\,80x\,%2B\,400$
Résolvons $V'(x)\,=\,0$ pour trouver les points critiques. Cela donne :
$4x^2\,-\,80x\,%2B\,400\,=\,0$
En utilisant la formule quadratique, on trouve :
$x\,=\,\frac{80\,\pm\,\sqrt{80^2\,-\,4\,\times \,4\,\times \,400}}{8}\,=\,\frac{80\,\pm\,\sqrt{6400\,-\,1600}}{8}\,=\,\frac{80\,\pm\,\sqrt{4800}}{8}$
$x\,=\,\frac{80\,\pm\,40\sqrt{3}}{8}\,=\,10\,\pm\,5\sqrt{3}$
Puisque $10\,-\,5\sqrt{3}\,\approx\,1.34$ est dans l’intervalle [0, 10], il s’agit d’un candidat pour la maximisation. Pour vérifier lequel des deux est un maximum, il convient d’évaluer le signe de la dérivée seconde ou d’observer la valeur via un tableau de variations. En conclusion, la boîte atteint son volume maximal approximativement pour $x\,\approx\,3.3$ cm.

Exercice 6 : notion de fonctions, calcul d’image et d’antécédent
a. $g(-0.1)\,=\,2$

b. $g(0)\,=\,1$

c. $g(0.9)\,=\,-5$

d. $g(0.9)\,=\,-5$

e. $g(0.7)\,=\,-0.1$

Exercice 7 : lecture d’image et d’antécédent à partir d’un graphique
a. L’image de par la fonction est : $h(0)\,=\,1$ .

b. Les nombres ayant pour image par la fonction sont $x\,=\,-1$ et $x\,=\,1$ .

c. Valeurs approximées :

– L’image de par la fonction est environ $h(4)\,\approx\,35$ .

– L’image de par la fonction est environ $h(-3)\,\approx\,9$ .

Exercice 8 : tableau de valeurs et nombre d’antécédents
Correction de l’exercice :

a. 3,5

Pour trouver l’antécédent de 3,5, il suffit de repérer la valeur 3,5 dans la ligne correspondant à :

$f(0)\,=\,3%2C5$

L’antécédent de 3,5 est donc $x\,=\,0$ .

b. -2

Pour trouver l’antécédent de -2, il suffit de repérer la valeur -2 dans la ligne correspondant à :

$f(-1%2C5)\,=\,-2\,\quad\,et\,\quad\,f(2)\,=\,-2$

Les antécédents de -2 sont donc $x\,=\,-1%2C5$ et $x\,=\,2$ .

c. 2

Pour trouver l’antécédent de 2, il suffit de repérer la valeur 2 dans la ligne correspondant à . Or, on constate qu’il n’y a aucune valeur de pour laquelle $f(x)\,=\,2$ .

Il n’y a donc pas d’antécédent de 2 dans ce tableau.

Exercice 9 : compléter un tableau de valeur à l’aide d’une fonction
La fonction représentée par le graphique nous permet de lire les valeurs nécessaires pour compléter le tableau. Après avoir observé le graphique, nous obtenons les valeurs suivantes :

Pour $x\,=\,-1%2C25$ , nous lisons $h(-1%2C25)\,=\,0%2C5$ .
Pour $x\,=\,-1$ , nous lisons $h(-1)\,=\,1%2C25$ .

Le tableau complété est donc :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-1%2C25\,%26\,-1\,%26\,1\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ah(x)\,%26\,0%2C5\,%26\,1%2C25\,%26\,1\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 10 : hauteur d’un triangle équilatéral et fonctions
a. Calculons la hauteur du triangle équilatéral de côté 5 cm. Un triangle équilatéral peut être divisé en deux triangles rectangles, dont les côtés adjacents à l’angle droit sont la hauteur et la moitié de la base, soit $\frac{5}{2}\,=\,2.5$ cm. Le côté opposé étant cm, on utilise le théorème de Pythagore :

$h\,=\,\sqrt{5^2\,-\,2.5^2}\,=\,\sqrt{25\,-\,6.25}\,=\,\sqrt{18.75}\,=\,2.5\sqrt{3}\,\\,cm$

Sachant cela, l’aire du triangle est :
$A\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,base\,\cdot\,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,5\,\cdot\,(2.5\sqrt{3})\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,5\,\cdot\,2.5\,\cdot\,\sqrt{3}\,=\,6.25\,\sqrt{3}\,\\,cm^2$

b. Si on note le côté du triangle équilatéral, sa hauteur est:

$h\,=\,\sqrt{x^2\,-\,(\frac{x}{2})^2}\,=\,\sqrt{x^2\,-\,\frac{x^2}{4}}\,=\,\sqrt{\frac{4x^2\,-\,x^2}{4}}\,=\,\frac{\sqrt{3}x}{2}$

c. On appelle la fonction qui à associe l’aire du triangle équilatéral de côté . L’aire du triangle est donnée par :

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,base\,\cdot\,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,x\,\cdot\,\frac{\sqrt{3}x}{2}\,=\,\frac{\sqrt{3}x^2}{4}$

Donc,

$f(x)\,=\,\frac{\sqrt{3}x^2}{4}$

Calculons alors , et $f(\sqrt{3})$ :

$f(5)\,=\,\frac{\sqrt{3}\,\cdot\,5^2}{4}\,=\,\frac{\sqrt{3}\,\cdot\,25}{4}\,=\,\frac{25\sqrt{3}}{4}$

$f(3)\,=\,\frac{\sqrt{3}\,\cdot\,3^2}{4}\,=\,\frac{\sqrt{3}\,\cdot\,9}{4}\,=\,\frac{9\sqrt{3}}{4}$

$f(\sqrt{3})\,=\,\frac{\sqrt{3}\,\cdot\,(\sqrt{3})^2}{4}\,=\,\frac{\sqrt{3}\,\cdot\,3}{4}\,=\,\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Exercice 11 : enclos d’un chien et fonctions numériques
1) a. Quelle est la longueur de l’enclos si son maître choisit une largeur de 3m ? de 7m ?

Pour $x\,=\,3\,\%2C\,m$ :
$Longueur\,=\,21\,-\,2x\,=\,21\,-\,2\,\times \,3\,=\,21\,-\,6\,=\,15\,\%2C\,m$

Pour $x\,=\,7\,\%2C\,m$ :
$Longueur\,=\,21\,-\,2x\,=\,21\,-\,2\,\times \,7\,=\,21\,-\,14\,=\,7\,\%2C\,m$

b. Quelle est l’aire dont dispose alors Aïcko pour se débattre dans ces deux cas ?

Pour $x\,=\,3\,\%2C\,m$ :
$A\,=\,longueur\,\times \,largeur\,=\,15\,\times \,3\,=\,45\,\%2C\,m^2$

Pour $x\,=\,7\,\%2C\,m$ :
$A\,=\,longueur\,\times \,largeur\,=\,7\,\times \,7\,=\,49\,\%2C\,m^2$

2) Mr Martin souhaite que son chien ait le maximum d’espace.

a. Donner un encadrement de (quelles sont les largeurs minimales et maximales ?)

La longueur doit être positive:
$21\,-\,2x\,>\,0$

La largeur doit également être positive:
$x\,>\,0$

b. Exprimer, en fonction de , la longueur de l’enclos.

$Longueur\,=\,21\,-\,2x$

c. Prouver alors l’expression de l’aire de l’enclos en fonction de , est $21x\,-\,2x^2$ .

L’aire :
$A\,=\,longueur\,\times \,largeur$
$A\,=\,(21\,-\,2x)\,\times \,x$
$A\,=\,21x\,-\,2x^2$

Pour maximiser l’aire, nous devons trouver le maximum de la fonction $A(x)\,=\,21x\,-\,2x^2$ .

Cette fonction est une parabole qui ouvre vers le bas (a < 0) et son maximum se trouve au sommet. La position du sommet pour une fonction quadratique $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ est donnée par:
$x\,=\,\frac{-b}{2a}$

Pour $A(x)\,=\,-2x^2\,%2B\,21x$ :
$a\,=\,-2$
$b\,=\,21$

$x\,=\,\frac{-21}{2(-2)}\,=\,\frac{21}{4}\,=\,5.25\,\%2C\,m$

La largeur pour maximiser l’aire est donc $x\,=\,5.25\,\%2C\,m$ .

En conclusion, pour maximiser l’aire de l’enclos, il faut que la largeur soit de $5.25\,\%2C\,m$ et la longueur sera alors:
$Longueur\,=\,21\,-\,2\,\times \,5.25\,=\,21\,-\,10.5\,=\,10.5\,\%2C\,m$

L’aire maximale obtenue est:
$A\,=\,(21\,\times \,5.25)\,-\,2\,(5.25)^2$
$A\,=\,110.25\,-\,55.125$
$A\,=\,55.125\,\%2C\,m^2$

Exercice 12 : courbes de fonctions ou pas
Correction de l’exercice :

1. Le graphique 1 représente une fonction. Pour chaque valeur de , il y a une seule valeur de correspondante.

2. Le graphique 2 ne représente pas une fonction. Un cercle n’est pas une fonction car pour certaines valeurs de , il y a deux valeurs de .

3. Le graphique 3 représente une fonction. Il s’agit d’une fonction constante y = 0 pour tout .

4. Le graphique 4 représente une fonction. Il passe le test de la ligne verticale, c’est-à-dire que chaque valeur de correspond à une seule valeur de .

5. Le graphique 5 représente une fonction. Il s’agit d’une fonction escalier et chaque valeur de a une seule valeur de .

6. Le graphique 6 ne représente pas une fonction. Pour $x\,=\,1$ , il y a deux valeurs différentes de (une en haut et une en bas), ce qui ne respecte pas la définition d’une fonction.

Exercice 13 : utiliser le vocabulaire
a. L’image de 4 par la fonction est 32.

b. L’image de 12 par la fonction est -4.

Exercice 14 : utiliser le mot antécédent
a. $L'antecedent\,de\,\,-2%2C9\,\,par\,la\,fonction\,\,g\,\,est\,\,0.$

b. $L'antecedent\,de\,\,1\,\,par\,la\,fonction\,\,k\,\,est\,\,-4.$

Exercice 15 : vocabulaire sur les fonctions
a. $f(4)\,=\,5$

b. $g(-3)\,=\,0$

c. $h(17%2C2)\,=\,-17$

d. $k(-31%2C8)\,=\,-3$

e. $f(5)\,=\,4$

f. $g(0)\,=\,-3$

g. $h^{-1}(7%2C2)\,=\,-1$ ou $h(-1)\,=\,7%2C2$

h. $k^{-1}(-5)\,=\,-8$ ou $k(-8)\,=\,-5$

Exercice 16 : vocabulaire et fonctions
$a.\,\,f(2)\,=\,2^2\,=\,4$

$b.\,\,f(-3)\,=\,(-3)^2\,=\,9$

$c.\,\,f(1%2C2)\,\,n'a\,pas\,de\,sens\,car\,le\,domaine\,de\,\,f\,\,est\,un\,seul\,nombre\,reel.$

$d.\,\,f(-3%2C6)\,\,n'a\,pas\,de\,sens\,car\,le\,domaine\,de\,\,f\,\,est\,un\,seul\,nombre\,reel.$

Pour les questions e et f, nous devons trouver les antécédents, c’est-à-dire les nombres tels que $f(x)\,=\,4$ et $f(x)\,=\,5$ .

$e.\,\quad\,f(x)\,=\,4\,\implies\,x^2\,=\,4\,\implies\,x\,=\,2\,\,ou\,\,x\,=\,-2$
L’antécédent de 4 par est donc $x\,=\,2$ ou $x\,=\,-2$ .

$f.\,\quad\,f(x)\,=\,5\,\implies\,x^2\,=\,5\,\implies\,x\,=\,\sqrt{5}\,\,ou\,\,x\,=\,-\sqrt{5}$
L’antécédent de 5 par est donc $x\,=\,\sqrt{5}$ ou $x\,=\,-\sqrt{5}$ .

Exercice 17 : calculs d’image
a. $k(0)\,=\,6\,\cdot\,0^2\,-\,7\,\cdot\,0\,-\,3\,=\,-3$

b. $k(-1)\,=\,6\,\cdot\,(-1)^2\,-\,7\,\cdot\,(-1)\,-\,3\,=\,6\,\cdot\,1\,%2B\,7\,-\,3\,=\,10$

c.
$k\,(\,\frac{3}{2}\,)\,=\,6\,(\,\frac{3}{2}\,)^2\,-\,7\,(\,\frac{3}{2}\,)\,-\,3\,=\,6\,(\,\frac{9}{4}\,)\,-\,7\,(\,\frac{3}{2}\,)\,-\,3\,=\,\frac{54}{4}\,-\,\frac{21}{2}\,-\,3\,=\,\frac{54}{4}\,-\,\frac{42}{4}\,-\,\frac{12}{4}\,=\,0$

Exercice 18 : fonction définie par son expression
a. La fonction n’est pas définie pour $x\,=\,1$ car cela rendrait le dénominateur nul, ce qui rendrait l’expression $\frac{x%2B2}{x-1}$ indéfinie. En d’autres termes, on ne peut pas diviser par zéro.

b. Pour les calculs suivants, nous substituons chaque valeur de dans la fonction $f(x)\,=\,\frac{x%2B2}{x-1}$ .

$f(-2)\,=\,\frac{-2%2B2}{-2-1}\,=\,\frac{0}{-3}\,=\,0$

$f(-1)\,=\,\frac{-1%2B2}{-1-1}\,=\,\frac{1}{-2}\,=\,-\frac{1}{2}$

$f(-0%2C5)\,=\,\frac{-0%2C5%2B2}{-0%2C5-1}\,=\,\frac{1%2C5}{-1%2C5}\,=\,-1$

$f(0)\,=\,\frac{0%2B2}{0-1}\,=\,\frac{2}{-1}\,=\,-2$

$f(2)\,=\,\frac{2%2B2}{2-1}\,=\,\frac{4}{1}\,=\,4$

$f(4)\,=\,\frac{4%2B2}{4-1}\,=\,\frac{6}{3}\,=\,2$

c. Pour trouver les antécédents des nombres, nous devons résoudre l’équation $\frac{x%2B2}{x-1}\,=\,k$ pour chaque .

Pour :
$\frac{x%2B2}{x-1}\,=\,-2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,-2(x-1)\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,-2x\,%2B\,2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,3x\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,0$

Pour :
$\frac{x%2B2}{x-1}\,=\,-1\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,-1(x\,-\,1)\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,-x\,%2B\,1\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,2x\,=\,-1\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,-\frac{1}{2}$

Pour -0%2C5 :
$\frac{x%2B2}{x-1}\,=\,-0%2C5\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,-0%2C5(x\,-\,1)\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,-0%2C5x\,%2B\,0%2C5\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,1%2C5x\,=\,-1%2C5\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,-1$

Pour :
$\frac{x%2B2}{x-1}\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,-2$

Pour :
$\frac{x%2B2}{x-1}\,=\,2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,2(x\,-\,1)\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,2x\,-\,2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,-x\,=\,-4\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,4$

Pour :
$\frac{x%2B2}{x-1}\,=\,4\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,4(x\,-\,1)\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,%2B\,2\,=\,4x\,-\,4\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,-3x\,=\,-6\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,x\,=\,2$

Exercice 19 : calculs d’image et d’antécédent
a. Pour calculer f(8) , on remplace par dans l’expression de la fonction :

$f(x)\,=\,-3x\,%2B\,7$

$f(8)\,=\,-3\,\times \,8\,%2B\,7\,=\,-24\,%2B\,7\,=\,-17$

Donc, $f(8)\,=\,-17$ .

b. Pour calculer l’image de 0, on remplace par dans l’expression de la fonction :

$f(x)\,=\,-3x\,%2B\,7$

$f(0)\,=\,-3\,\times \,0\,%2B\,7\,=\,0\,%2B\,7\,=\,7$

Donc, l’image de 0 est .

c. Pour calculer l’antécédent de 2, on résout l’équation $f(x)\,=\,2$ :

$-3x\,%2B\,7\,=\,2$

$-3x\,=\,2\,-\,7$

$-3x\,=\,-5$

$x\,=\,\frac{-5}{-3}\,=\,\frac{5}{3}$

Donc, l’antécédent de 2 est $\frac{5}{3}$ .

d. Pour calculer le nombre qui a pour image 10, on résout l’équation $f(x)\,=\,10$ :

$-3x\,%2B\,7\,=\,10$

$-3x\,=\,10\,-\,7$

$-3x\,=\,3$

$x\,=\,\frac{3}{-3}\,=\,-1$

Donc, le nombre qui a pour image 10 est .

Exercice 20 : fonction et expression algébrique
L’image d’un nombre par la fonction est donnée par $f(x)\,=\,-2x^2\,%2B\,8$ .

a. Pour $x\,=\,3$ :
$f(3)\,=\,-2\,\times \,3^2\,%2B\,8\,=\,-2\,\times \,9\,%2B\,8\,=\,-18\,%2B\,8\,=\,-10$

b. Pour $x\,=\,-8$ :
$f(-8)\,=\,-2\,\times \,(-8)^2\,%2B\,8\,=\,-2\,\times \,64\,%2B\,8\,=\,-128\,%2B\,8\,=\,-120$

c. Pour $x\,=\,2%2C5$ :
$f(2%2C5)\,=\,-2\,\times \,(2%2C5)^2\,%2B\,8\,=\,-2\,\times \,6%2C25\,%2B\,8\,=\,-12%2C5\,%2B\,8\,=\,-4%2C5$

d. Pour $x\,=\,-0%2C1$ :
$f(-0%2C1)\,=\,-2\,\times \,(-0%2C1)^2\,%2B\,8\,=\,-2\,\times \,0%2C01\,%2B\,8\,=\,-0%2C02\,%2B\,8\,=\,7%2C98$

e. Pour $x\,=\,\frac{4}{5}$ :
$f\,(\,\frac{4}{5}\,)\,=\,-2\,(\,\frac{4}{5}\,)^2\,%2B\,8\,=\,-2\,(\,\frac{16}{25}\,)\,%2B\,8\,=\,-\,\frac{32}{25}\,%2B\,8\,=\,\frac{-32\,%2B\,200}{25}\,=\,\frac{168}{25}\,=\,6%2C72$

f. Pour $x\,=\,\sqrt{5}$ :
$f\,(\,\sqrt{5}\,)\,=\,-2\,(\,\sqrt{5}\,)^2\,%2B\,8\,=\,-2\,\times \,5\,%2B\,8\,=\,-10\,%2B\,8\,=\,-2$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : fonction carrée
Soit la fonction définie par $g(x)\,=\,(x-1)^2\,-\,4$ .

1. $Determinons\,les\,images\,%3A$

a. Pour $x\,=\,0$ :
$g(0)\,=\,(0-1)^2\,-\,4\,=\,1\,-\,4\,=\,-3$

b. Pour $x\,=\,1$ :
$g(1)\,=\,(1-1)^2\,-\,4\,=\,0\,-\,4\,=\,-4$

c. Pour $x\,=\,-1$ :
$g(-1)\,=\,(-1-1)^2\,-\,4\,=\,4\,-\,4\,=\,0$

d. Pour $x\,=\,\frac{2}{5}$ :
$g(\frac{2}{5})\,=\,(\frac{2}{5}\,-\,1)^2\,-\,4\,=\,(\frac{-3}{5})^2\,-\,4\,=\,\frac{9}{25}\,-\,4\,=\,\frac{9}{25}\,-\,\frac{100}{25}\,=\,\frac{9\,-\,100}{25}\,=\,\frac{-91}{25}$

e. Pour $x\,=\,-\frac{1}{4}$ :
$g(-\frac{1}{4})\,=\,(-\frac{1}{4}\,-\,1)^2\,-\,4\,=\,(-\frac{5}{4})^2\,-\,4\,=\,\frac{25}{16}\,-\,4\,=\,\frac{25}{16}\,-\,\frac{64}{16}\,=\,\frac{25\,-\,64}{16}\,=\,\frac{-39}{16}$

2. $Calcul\,d'antecedents\,%3A$

Justifions que 2 a un antécédent par la fonction .

Il faut résoudre l’équation $g(x)\,=\,2$ :
$(x-1)^2\,-\,4\,=\,2$
$(x-1)^2\,=\,6$
$x-1\,=\,\pm\sqrt{6}$
$x\,=\,1\,\pm\,\sqrt{6}$

Les antécédents de 2 par la fonction sont donc $1\,%2B\,\sqrt{6}$ et $1\,-\,\sqrt{6}$ .

Exercice 22 : fonction et programme de calcul
On commence par exprimer la fonction . Selon le programme de calcul donné:

$h(x)\,=\,(x\,-\,5)^2$

### a. Complétons le tableau de valeurs suivant :

Pour $x\,=\,-3$ :
$h(-3)\,=\,(-3\,-\,5)^2\,=\,(-8)^2\,=\,64$

Pour $x\,=\,-2$ :
$h(-2)\,=\,(-2\,-\,5)^2\,=\,(-7)^2\,=\,49$

Pour $x\,=\,0$ :
$h(0)\,=\,(0\,-\,5)^2\,=\,(-5)^2\,=\,25$

Pour $x\,=\,2$ :
$h(2)\,=\,(2\,-\,5)^2\,=\,(-3)^2\,=\,9$

Pour $x\,=\,5$ :
$h(5)\,=\,(5\,-\,5)^2\,=\,0^2\,=\,0$

Pour $x\,=\,\pi$ :
$h(\pi)\,=\,(\pi\,-\,5)^2$
Puisque $\pi\,\approx\,3.14$ ,
$h(\pi)\,\approx\,(3.14\,-\,5)^2\,=\,(-1.86)^2\,\approx\,3.46$

Le tableau complété est donc:

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,h(x)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A-3\,%26\,64\,\\%0D%0A-2\,%26\,49\,\\%0D%0A0\,%26\,25\,\\%0D%0A2\,%26\,9\,\\%0D%0A5\,%26\,0\,\\%0D%0A\pi\,%26\,3.46\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

### b. Quelle est l’image de 0 par ?

$h(0)\,=\,(0\,-\,5)^2\,=\,25$

L’image de 0 par est 25.

### c. Donne un antécédent de 0 par .

Pour trouver un antécédent de 0 par , on cherche tel que $h(x)\,=\,0$ :

$h(x)\,=\,(x\,-\,5)^2\,=\,0$

On résout donc l’équation suivante:
$(x\,-\,5)^2\,=\,0$

Cela revient à:
$x\,-\,5\,=\,0$
$x\,=\,5$

Un antécédent de 0 par est donc $x\,=\,5$ .

Exercice 23 : programme de calcul
$a.\,Teste\,ce\,programme\,avec\,le\,nombre\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F2%22\,alt=%222$ . » align= »absmiddle » />

– Choisissons .
– Ajoutons : $2\,%2B\,5\,=\,7$ .
– Multiplions cette somme par : $7\,\times \,3\,=\,21$ .
– Soustrayons à ce produit: $21\,-\,6\,=\,15$ .

Donc, le résultat obtenu avec le nombre est .

$b.\,En\,notant\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%22\,alt=%22x$ le nombre choisi au depart, determine la fonction qui associe a le resultat obtenu avec le programme. » align= »absmiddle » />

– Choisissons .
– Ajoutons : $x\,%2B\,5$ .
– Multiplions cette somme par : $(x\,%2B\,5)\,\times \,3\,=\,3(x\,%2B\,5)$ .
– Soustrayons à ce produit: $3(x\,%2B\,5)\,-\,6$ .

Ainsi, la fonction est :
$g(x)\,=\,3(x\,%2B\,5)\,-\,6.$

Simplifions cette expression :
$g(x)\,=\,3x\,%2B\,15\,-\,6\,=\,3x\,%2B\,9.$

Donc,
$g(x)\,=\,3x\,%2B\,9.$

$c.\,Determine\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fg%25280%2529%22\,alt=%22g(0)$ . » align= »absmiddle » />

$g(0)\,=\,3\,\times \,0\,%2B\,9\,=\,9.$

$d.\,Quel\,nombre\,faut-il\,choisir\,pour\,obtenir\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F18%22\,alt=%2218$ ? » align= »absmiddle » />

Pour déterminer quel nombre il faut choisir pour que $g(x)\,=\,18$ , résolvons l’équation :
$3x\,%2B\,9\,=\,18.$

Soustrayons des deux côtés :
$3x\,=\,18\,-\,9.$
$3x\,=\,9.$

Divisons par des deux côtés :
$x\,=\,\frac{9}{3}.$
$x\,=\,3.$

Donc, il faut choisir le nombre pour obtenir .

Exercice 24 : tableau de valeurs et fonctions

[a.] $h(-2%2C5)\,=\,-2$
[b.] $h(-1%2C5)\,=\,-1%2C8$
[c.] $h(0)\,=\,2$
[d.] $h(-1)\,=\,-1%2C5$
[e.] $h(-0%2C5)\,=\,0%2C25$
[f.] $h(-2)\,=\,1%2C4$

Exercice 25 : compléter un tableau de valeurs
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,2\,%26\,-6\,%26\,-4\,%26\,125\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ak(x)\,%26\,5{%2C}5\,%26\,2\,%26\,5{%2C}5\,%26\,5{%2C}5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 26 : exploitation d’un tableau de valeurs
a. est l’image de par .

b. est l’image de par .

c. est l’image de par .

d. est l’image de par .

e. est l’image de par .

f. Le nombre a une image par .

En résumé :
– est l’image de (donc $g(-2)\,=\,1$ ).
– est l’image de (donc $g(-1)\,=\,2$ ).
– est l’image de (donc $g(1)\,=\,-4$ ).
– est l’image de (donc $g(-1)\,=\,2$ ).
– est l’image de (donc $g(0)\,=\,0$ ).
– Le nombre unique est un antécédent pour l’image (soit $g(-2)\,=\,1$ ).

Exercice 27 : courbe d’une fonction
$a.\,\\,L'ordonnee\,du\,point\,E\,d'abscisse\,1\,est\,\,1.\,\\,Donc%2C\,les\,coordonnees\,de\,\,\\,E\,\\,sont\,%3A\,\\,(1%2C\,1).$

$b.\,\\,L'ordonnee\,du\,point\,F\,d'abscisse\,8\,est\,\,0.\,\\,Donc%2C\,les\,coordonnees\,de\,\,\\,F\,\\,sont\,%3A\,\\,(8%2C\,0).$

$c.\,\\,Les\,points\,\,G_1%2C\,\\,G_2\,\\,et\,\\,G_3\,\\,qui\,ont\,pour\,ordonnee\,1\,sont\,%3A$
$G_1\,%3A\,(-4%2C\,1)\,\\%0D%0AG_2\,%3A\,(1%2C\,1)\,\\%0D%0AG_3\,%3A\,(10%2C\,1)$

$d.\,\\,La\,courbe\,a\,deux\,points\,ayant\,pour\,ordonnee\,\,\\,-2.$
$Les\,coordonnees\,de\,ces\,points\,sont\,%3A\\%0D%0A(-1%2C\,-2)\,\\,et\,\\,(5%2C\,-2).$

Exercice 28 : représentation graphique d’une fonction
a. L’image de par la fonction est .

b. Les antécédents de par sont inexistants.

c. Aucun nombre n’a pour image par .

d. Les antécédents de par sont $x\,=\,2$ , $x\,=\,6$ , $x\,=\,10$ , et $x\,=\,14$ .

e. Les nombres entiers qui ont deux antécédents sont et .

En résumé :
– $k(8)\,=\,-1$
– $k(x)\,=\,2$ n’a pas de solution.
– $k(x)\,=\,-2$ n’a pas de solution.
– $k(x)\,=\,0\,\quad\,pour\,\quad\,x\,=\,2%2C\,\%2C\,6%2C\,\%2C\,10%2C\,\%2C\,14$
– $k(x)\,=\,1\,\quad\,pour\,\quad\,x\,=\,3%2C\,\%2C\,11$
– $k(x)\,=\,-1\,\quad\,pour\,\quad\,x\,=\,0%2C\,\%2C\,4%2C\,\%2C\,8%2C\,\%2C\,12%2C\,\%2C\,16$

Exercice 29 : graphique et fonctions
a. $h(-2)\,=\,3$

b. $h(-1)\,=\,0$

c. $h(-1.5)\,=\,-4$

d. $h(0)\,=\,1$

e. $h(1)\,=\,0$

f. $h(2)\,=\,5$

g. $h(1.5)\,=\,3%2C5$

h. Les antécédents de 1 par sont $x\,=\,0$ et $x\,=\,0.8$ .

Exercice 30 : représentation graphique
a. Complète le tableau de valeurs suivants.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-2\,%26\,0\,%26\,1\,%26\,2\,%26\,3\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ak(x)\,%26\,-1\,%26\,2\,%26\,0\,%26\,-1\,%26\,-2\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b. Détermine les images de :

$\begin{align%2A}%0D%0A0%2C5\,%26%3A\,1\,\\%0D%0A1%2C5\,%26%3A\,0\,\\%0D%0A-1\,%26%3A\,2\,\\%0D%0A-2%2C5\,%26%3A\,-\,Pas\,de\,valeur\,definie%0D%0A\end{align%2A}$

c. Détermine tous les antécédents de :

$\begin{align%2A}%0D%0A-0%2C5\,%26%3A\,Pas\,de\,valeur\,definie\,\\%0D%0A2\,%26%3A\,0\,\\%0D%0A3\,%26%3A\,Pas\,de\,valeur\,definie\,\\%0D%0A-2%2C5\,%26%3A\,Pas\,de\,valeur\,definie%0D%0A\end{align%2A}$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : parabole
a. L’image de 1 par la fonction est .

b. Les antécédents de 0 par la fonction sont et .

c. $g(2)\,=\,0$ .

d. Les nombres qui ont pour image par la fonction sont et .

Exercice 32 : variation de vitesse
Le circuit sur lequel roulait la voiture est le circuit .

Pour expliquer cela, observons les variations de vitesse et leur correspondance avec la forme du circuit.

1. De 0 km à environ 0,6 km, la vitesse diminue, ce qui correspond à une section plus sinueuse ou à plusieurs virages.
2. De 0,6 km à 1,2 km, la vitesse augmente, ce qui correspond à une ligne droite.
3. De 1,2 km à 1,6 km, la vitesse diminue encore une fois, correspondant probablement à une autre section plus sinueuse.
4. De 1,6 km jusqu’à 2,3 km, la vitesse revient à augmenter, ce qui suggère une portion plus droite du circuit.
5. De 2,3 km à 2,8 km, la vitesse diminue de nouveau.
6. Enfin, de 2,8 km à la ligne d’arrivée (3 km), la vitesse augmente à nouveau.

Par conséquent, ces variations de vitesse correspondent bien au circuit car les autres circuits ne possèdent pas une alternance entre lignes droites et sections sinueuses qui refléterait les variations de vitesse observées dans le graphique.

Exercice 33 : un coffret de tir à l’arc et fonctions
1. a) D’après le graphique, la flèche est tirée à une hauteur de $f(0)\,=\,1$ mètre.

b) Toujours d’après le graphique, la flèche retombe au sol à une distance horizontale de 10 mètres de Julien (là où la courbe coupe l’axe des abscisses).

c) La hauteur maximale atteinte par la flèche, d’après le graphique, est de 3,05 mètres.

2. a) Calculons f(4) et f(5) :

La fonction est définie par $f(x)\,=\,-0.1x^2\,%2B\,0.9x\,%2B\,1$ .

$f(4)\,=\,-0.1(4)^2\,%2B\,0.9(4)\,%2B\,1$
$f(4)\,=\,-0.1(16)\,%2B\,3.6\,%2B\,1$
$f(4)\,=\,-1.6\,%2B\,3.6\,%2B\,1$
$f(4)\,=\,3$

$f(5)\,=\,-0.1(5)^2\,%2B\,0.9(5)\,%2B\,1$
$f(5)\,=\,-0.1(25)\,%2B\,4.5\,%2B\,1$
$f(5)\,=\,-2.5\,%2B\,4.5\,%2B\,1$
$f(5)\,=\,3$

b) Pour vérifier si la flèche s’élève à plus de 3 mètres de hauteur, nous devons trouver le sommet de la parabole donnée par $f(x)\,=\,-0.1x^2\,%2B\,0.9x\,%2B\,1$ . La formule du sommet d’une parabole $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ est donnée par $x\,=\,-\frac{b}{2a}$ .

$x\,=\,-\frac{0.9}{2(-0.1)}$
$x\,=\,\frac{0.9}{0.2}$
$x\,=\,4.5$

Ensuite, calculons f(4.5) pour trouver la hauteur maximale :

$f(4.5)\,=\,-0.1(4.5)^2\,%2B\,0.9(4.5)\,%2B\,1$
$f(4.5)\,=\,-0.1(20.25)\,%2B\,4.05\,%2B\,1$
$f(4.5)\,=\,-2.025\,%2B\,4.05\,%2B\,1$
$f(4.5)\,=\,3.025$

Donc, oui, la flèche s’élève à plus de 3 mètres de hauteur $(3.025\,\%2C\,m)$ .

Exercice 34 : fonction carrée et calculs d’images
1) Calculer les images de et de par .

Pour $x\,=\,2$ ,
$f(2)\,=\,(2\,-\,3)^2\,=\,(-1)^2\,=\,1$

Pour $x\,=\,5$ ,
$f(5)\,=\,(5\,-\,3)^2\,=\,2^2\,=\,4$

2) Que représente f(-1) pour le nombre ?

f(x) nous donne l’image de par la fonction . Par conséquent, f(-1) représente l’image du nombre par la fonction .

3) Calculer f(-1) .

Pour $x\,=\,-1$ ,
$f(-1)\,=\,(-1\,-\,3)^2\,=\,(-4)^2\,=\,16$

Exercice 35 : tableau de valeurs et fonction carrée

[1)] On a $g(x)\,=\,x^2\,%2B\,7$ .
\begin{itemize}
Pour $x\,=\,0$ :
$g(0)\,=\,0^2\,%2B\,7\,=\,7$
Pour $x\,=\,2%2C5$ :
$g(2%2C5)\,=\,(2%2C5)^2\,%2B\,7\,=\,6%2C25\,%2B\,7\,=\,13%2C25$

[2)] Complettons le tableau donné:

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,0\,%26\,2%2C5\,%26\,-1\,%26\,4\,\\%0D%0A\hline%0D%0AImage\,de\,\,x\,\,par\,\,g\,%26\,7\,%26\,13%2C25\,%26\,8\,%26\,23\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Calculs détaillés pour chaque valeur de :

Pour $x\,=\,-1$ :
$g(-1)\,=\,(-1)^2\,%2B\,7\,=\,1\,%2B\,7\,=\,8$
Pour $x\,=\,4$ :
$g(4)\,=\,4^2\,%2B\,7\,=\,16\,%2B\,7\,=\,23$

\end{itemize}

Exercice 36 : une descente sinueuse
1) L’information $f(10)\,=\,55$ signifie qu’à l’instant $t\,=\,10$ secondes, le cycliste roulait à une vitesse de 55 km/h.

2) À partir du graphique, on peut estimer les valeurs des images suivantes :

$f(20)\,\approx\,68$ km/h

$f(30)\,\approx\,20$ km/h

$f(35)\,\approx\,15$ km/h

$f(50)\,\approx\,47$ km/h

Exercice 37 : exploiter une courbe représentative
1) Lire sur le graphique et compléter :
$h(1)\,=\,15$
$h(6)\,=\,6$

2) Lire sur le graphique l’image de 2 puis le(s) antécédent(s) de 21.
– L’image de 2 est :
$h(2)\,=\,30$
– Les antécédents de 21 sont environ :
$x\,\approx\,1\,\quad\,et\,\quad\,x\,\approx\,7.5$

3) Lire sur le graphique quelle semble être la valeur maximum de h(x) .
– La valeur maximum de h(x) est environ 34 à $x\,\approx\,4.25$ .

4) Calculer l’image de 3
$h(3)\,=\,3(17\,-\,2\,\cdot\,3)\,=\,3\,\cdot\,11\,=\,33$

5) Calculer le(s) antécédent(s) de 0.
$x(17\,-\,2x)\,=\,0$
$\Rightarrow\,x\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,17\,-\,2x\,=\,0\,\Rightarrow\,x\,=\,8.5$
Donc, les antécédents de 0 sont $x\,=\,0$ et $x\,=\,8.5$ .

Exercice 38 : courbe avec images et antécédents
Correction de l’exercice :

1) L’image par du nombre :
h(8)
En regardant le graphique, on voit que $h(8)\,=\,4$ .

2) h(-1) :
En regardant le graphique, on voit que $h(-1)\,=\,2$ .

3) Les antécédents par du nombre :
$h(x)\,=\,0$
En regardant le graphique, on voit que les antécédents de sont $x\,=\,-2$ , $x\,=\,1$ , et $x\,=\,5$ .

4) L’image par du nombre :
h(-3)
En regardant le graphique, on voit que $h(-3)\,=\,-2$ .

5) Les antécédents par du nombre :
$h(x)\,=\,-2$
En regardant le graphique, on voit que les antécédents de sont $x\,=\,-3$ et $x\,=\,4$ .

6) Les antécédents par du nombre :
$h(x)\,=\,2$
En regardant le graphique, on voit que les antécédents de sont $x\,=\,-1$ , $x\,=\,2$ , et $x\,=\,6$ .

Exercice 39 : fonction numérique et courbe
1) Déterminer graphiquement :

[a)] L’image de $-1$ est $1$ : $h(-1) = 1$.
[b)] Les antécédents de $2$ sont $x = -2$ et $x = 0$ : $h(-2) = 2$ et $h(0) = 2$.
[c)] L’image de $1.5$ est $-1$ : $h(1.5) = -1$.
[d)] Les antécédents de $-1$ sont $x = -2$ et $x = 1.5$ : $h(-2) = -1$ et $h(1.5) = -1$.

2) Lire $h(0.5)$, $h(-1.5)$ et $h(0)$.

$h(0.5) = -1$
$h(-1.5) = 1$
$h(0) = 2$

3) Citer un nombre qui :

[a)] N’a aucun antécédent : $3$
[b)] A un seul antécédent : $0$
[c)] A trois antécédents : $1$

Exercice 40 : lecture d’une image et d’antécédents

Lire les images de 0, de 2, de 5.

L’image de est $f(0)\,=\,-1$ .
L’image de est $f(2)\,=\,2$ .
L’image de est $f(5)\,=\,0$ .

Lire les antécédents de et de .

Les antécédents de sont $x\,=\,1$ et $x\,=\,3$ , donc $f(1)\,=\,1$ et $f(3)\,=\,1$ .
Les antécédents de sont $x\,=\,0$ et $x\,=4$ , donc $f(0)\,=\,-1$ et $f(4)\,=\,-1$ .

Citer un nombre qui n’a pas d’antécédent.

Le nombre n’a pas d’antécédent, car il n’existe pas de tel que $f(x)\,=\,2$ (sauf lorsque $x\,=\,2$ ce qui n’est pas demandé ici).

Voir Corrigés 31 à 40 ...

Exercice 41 : image et antécédents : lecture graphique
1) L’image de par la fonction est $g(0)\,=\,-1$ .

2) Les antécédents de par la fonction sont les valeurs de telles que $g(x)\,=\,0$ . D’après le graphique, on relève ces valeurs aux intersections de la courbe avec l’axe des abscisses :
$x\,=\,-3\,\quad\,et\,\quad\,x\,\approx\,1.5.$

3) Les antécédents de par la fonction sont les valeurs de telles que $g(x)\,=\,-1$ . D’après le graphique, on relève ces valeurs aux points où la courbe atteint l’ordonnée :
$x\,=\,0.$

Les antécédents de par la fonction sont les valeurs de telles que $g(x)\,=\,1$ . D’après le graphique, on relève ces valeurs aux points où la courbe atteint l’ordonnée :
$x\,=\,-1\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,4.$

Exercice 42 : porblème sur les fonctions et la courbe
1. $(f(5)%2C\,f(10))$

En observant le graphe, on trouve que:
$f(5)\,\approx\,-3$
$f(10)\,\approx\,2$

2. $f(x)\,=\,-1$

Pour $f(x)\,=\,-1$ , on cherche les valeurs de telles que la courbe coupe la ligne horizontale $y\,=\,-1$ . En observant le graphe, on trouve:

$f(x)\,=\,-1\,\,pour\,\,x\,\approx\,-4.5%2C\,-0.5%2C\,2.5%2C\,8.5$

3. Les antécédents de 4 puis de -3.

Pour $y\,=\,4$ , en observant le graphe on trouve que:
$y\,=\,4\,\,pour\,\,x\,\approx\,0.5%2C\,6.5%2C\,12.5$

Pour $y\,=\,3$ , en observant le graphe on trouve que:
$y\,=\,3\,\,pour\,\,x\,\approx\,-3.5%2C\,3.5%2C\,9.5$

4. L’image de 2.

Pour $x\,=\,2$ , en observant le graphe, on trouve que:
$f(2)\,\approx\,-1.5$

Exercice 43 : graphe, image et antécédents
a. Pour $x\,=\,3$ , l’image est $f(3)\,=\,-2$ .

b. $f(1)\,=\,-3$ .

c. Pour $x\,=\,-2$ , l’ordonnée est $f(-2)\,=\,4$ .

d. Les antécédents de par sont $x\,=\,-3%2C\,0.5$ , et 2.5 .

e. Un nombre qui n’a pas d’antécédent par est 5. Le graphe ne croise jamais la ligne $y\,=\,5$ .

Exercice 44 : vocabulaire mathématiques et fonctions
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Notation mathématique} \text{En français} \\
\hline
f(7) = 2 \text{L’image de } 7 \text{ est } 2. \\
\hline
f(8) = -3 \text{Un antécédent de } -3 \text{ est } 8. \\
\hline
f(5) = 4 4 \text{ a pour image } 5. \\
\hline
f(-6) = 1 1 \text{ a pour antécédent } -6. \\
\hline
\end{array}

\text{2. Traduire en français l’égalité } f(-3) = 4 \text{ de deux façons différentes :}

1. \text{L’image de } -3 \text{ est } 4.

2. -3 \text{ a pour image } 4.

Voir Corrigés 41 à 44 ...