Trigonométrie : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 11 : trigonométrie
Pour calculer la longueur \( AB \) dans le triangle rectangle \( ABC \), nous allons utiliser le cosinus de l’angle \( \angle ABC \).

Nous avons :
\[ AH = 5 \text{ cm} \]
\[ \angle ABC = 40^\circ \]

Dans le triangle rectangle \( ABC \), le cosinus de l’angle \( \angle ABC \) est donné par :
\[ \cos(40^\circ) = \frac{AH}{AB} \]

En résolvant pour \( AB \), nous obtenons :
\[ AB = \frac{AH}{\cos(40^\circ)} \]

En substituant les valeurs connues :
\[ AB = \frac{5}{\cos(40^\circ)} \]

En utilisant une calculatrice pour trouver la valeur de \( \cos(40^\circ) \) :
\[ \cos(40^\circ) \approx 0.7660 \]

Ainsi, nous avons :
\[ AB = \frac{5}{0.7660} \approx 6.5 \]

Donc, la longueur de \( AB \) arrondie au dixième près est :
\[ AB \approx 6.5 \text{ cm} \]

Exercice 12 : calculer la longueur demandée
### a.

Pour calculer la longueur \( JE \), nous utilisons le cosinus de l’angle donné dans le triangle rectangle \( JEU \).

\[
\cos(25^\circ) = \frac{JU}{JE}
\]

où \( JU = 6 \, \text{cm} \).

\[
JE = \frac{JU}{\cos(25^\circ)} = \frac{6}{\cos(25^\circ)}
\]

En utilisant une calculatrice :

\[
JE = \frac{6}{\cos(25^\circ)} \approx \frac{6}{0.9063} \approx 6.6 \, \text{cm}
\]

Donc, \( JE \approx 6,6 \, \text{cm} \).

### b.

Pour calculer la longueur \( DE \), nous utilisons le sinus de l’angle donné dans le triangle rectangle \( DES \).

\[
\sin(40^\circ) = \frac{DS}{ES}
\]

où \( ES = 5,1 \, \text{cm} \).

\[
DS = ES \cdot \sin(40^\circ) = 5,1 \cdot \sin(40^\circ)
\]

En utilisant une calculatrice :

\[
DS = 5,1 \cdot \sin(40^\circ) \approx 5,1 \cdot 0.6428 \approx 3,3 \, \text{cm}
\]

Donc, \( DS \approx 3,3 \, \text{cm} \).

Exercice 13 : calculer la longueur
a. Calcule la longueur \( PK \) arrondie au millimètre.

Dans le triangle \( PKL \), nous avons un angle de \( 37^\circ \) et un ange de \( 55^\circ \) (puisque \(\angle PKL + 37^\circ + 55^\circ = 180^\circ\) car la somme des angles d’un triangle est \( 180^\circ \)).
Utilisons la fonction tangente puisque nous connaissons un angle et la longueur de l’opposé et nous cherchons la longueur de l’adjacent (\( KL \)).

\[
\tan(37^\circ) = \frac{PK}{KL}
\]

\[
PK = KL \times \tan(37^\circ)
\]

Connaissant \( KL = 8.5 \, \text{cm} \) :

\[
PK = 8.5 \times \tan(37^\circ) \approx 8.5 \times 0.7536 \approx 6.4 \, \text{cm}
\]

b. Déduis-en la longueur \( PJ \) arrondie au millimètre.

Dans le triangle rectangle \( PKJ \), nous avons \( \angle PKJ = 90^\circ \)

Utilisons \( \angle PJK \) qui est complémentaire de \( 37^\circ \) dans le triangle rectangle (donc \( 90^\circ – 37^\circ = 53^\circ \))

\[
\tan(55^\circ) = \frac{PJ}{PK}
\]

\[
PJ = PK \times \tan(55^\circ)
\]

\[
PJ = 6.4 \times \tan(55^\circ) \approx 6.4 \times 1.4281 \approx 9.1 \, \text{cm}
\]

Exercice 14 : un cratère de la lune
Pour calculer la profondeur \( BD \) du cratère, nous allons utiliser les fonctions trigonométriques, en particulier la tangente dans ce cas puisque nous avons un angle et une longueur adjacente à cet angle (segment \( CD \)).

D’après les données du problème, nous avons :

\[
\angle BDC = 4,3^\circ
\]
\[
CD = 29 \, \text{km}
\]

Dans le triangle rectangle \( BCD \), nous pouvons écrire la relation suivante pour la tangente :

\[
\tan(\angle BDC) = \frac{BD}{CD}
\]

Nous pouvons isoler \( BD \) pour trouver sa valeur :

\[
BD = CD \cdot \tan(\angle BDC)
\]

En substituant les valeurs :

\[
BD = 29 \cdot \tan(4,3^\circ)
\]

Calculons la tangente de \( 4,3^\circ \) :

\[
\tan(4,3^\circ) \approx 0,0751
\]

Donc :

\[
BD = 29 \cdot 0,0751 \approx 2,178 \, \text{km}
\]

Arrondissons au dixième de km près :

\[
BD \approx 2,2 \, \text{km}
\]

Ainsi, la profondeur \( BD \) du cratère est d’environ \( 2,2 \) km.

Exercice 15 : un avion qui décolle
La correction de l’exercice est la suivante :

1. \[\]Montée\[\] :

Durée de montée : \(1,5\) minutes \(\Rightarrow\) \(0,025 \) heures

Distance parcourue en montée : \(480 \times 0,025 = 12 \, \text{km}\)

La projection horizontale du trajet de montée est donnée par :
\[ d_1 = 12 \times \cos(20^\circ) \]

2. \[\]Trajet à altitude constante\[\] :

Durée du trajet horizontal : \(10\) minutes \(\Rightarrow\) \(0,1667 \) heures

Distance parcourue en horizontal : \(480 \times 0,1667 = 80 \, \text{km}\)

3. \[\]Descente\[\] :

Durée de descente : \(2\) minutes \(\Rightarrow\) \(0,0333 \) heures

Distance parcourue en descente : \(480 \times 0,0333 = 16 \, \text{km}\)

La projection horizontale du trajet de descente est donnée par :
\[ d_2 = 16 \times \cos(15^\circ) \]

4. \[\]Distance totale parcourue par l’ombre\[\] :

La distance totale parcourue par l’ombre est la somme des projections horizontales :
\[ D = 12 \times \cos(20^\circ) + 80 + 16 \times \cos(15^\circ) \]

En commodité, on simplifie avec les valeurs approximatives des cosinus :
\[ \cos(20^\circ) \approx 0,9397 \]
\[ \cos(15^\circ) \approx 0,9659 \]

En remplaçant, on obtient :
\[ d_1 = 12 \times 0,9397 \approx 11,276 \, \text{km} \]
\[ d_2 = 16 \times 0,9659 \approx 15,454 \, \text{km} \]

Donc,
\[ D = 11,276 + 80 + 15,454 \approx 106,73 \, \text{km} \]

La distance totale parcourue par l’ombre sur le sol est donc approximativement \[ 106,73 \, \text{km} \].

Exercice 16 : déplacement d’une île à l’autre
\[
\text{Objectif: Calculer la distance totale } d_{SM} \text{ entre Sèse (S) et Mate (M) via le point A.}
\]

En utilisant la loi des cosinus dans le triangle SPA:

\[
SA^2 = SP^2 + PA^2 – 2 \cdot SP \cdot PA \cdot \cos(\angle SPA)
\]

où:
– \(SP = 8 \, \text{km}\)
– \(PA = 15 \, \text{km}\)
– \(\angle SPA = 25^\circ\)

\[
SA^2 = 8^2 + 15^2 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(25^\circ)
\]

\[
SA^2 = 64 + 225 – 240 \cdot \cos(25^\circ)
\]

\[
SA^2 = 289 – 240 \cdot \cos(25^\circ)
\]

Valeur numérique de \(\cos(25^\circ) \approx 0.9063\):

\[
SA^2 = 289 – 240 \cdot 0.9063
\]

\[
SA^2 = 289 – 217.512
\]

\[
SA^2 = 71.488
\]

\[
SA = \sqrt{71.488} \approx 8.45 \, \text{km}
\]

Avec cette distance \(SA = 8.45 \, \text{km}\), nous utilisons maintenant la loi des cosinus dans le triangle SAM pour trouver \(SM\):

\[
SM^2 = SA^2 + AM^2 – 2 \cdot SA \cdot AM \cdot \cos(\angle SAM)
\]

Où:
– \(SA = 8.45 \, \text{km}\)
– \(AM = 17 \, \text{km}\) (puisque \(AP + PM = 15 \, \text{km} + 2 \, \text{km} = 17 \, \text{km}\))
– \(\angle SAM = 25^\circ\) (car l’angle est décomposé en \( \angle SPA + \angle P\, \text{droit} = 25^\circ + 90^\circ = 115^\circ\) et notre angle externe équivalent à \( 180^\circ – 115^\circ = 65^\circ \))

Donc,

\[
SM^2 = 8.45^2 + 17^2 – 2 \cdot 8.45 \cdot 17 \cdot \cos(65^\circ)
\]

Valeur numérique de \(\cos(65^\circ) \approx 0.4226\):

\[
SM^2 = 71.488 + 289 – 2 \cdot 8.45 \cdot 17 \cdot 0.4226
\]

\[
SM^2 = 360.488 – 121.4148
\]

\[
SM^2 = 239.0732
\]

\[
SM = \sqrt{239.0732} \approx 15.46 \, \text{km}
\]

Enfin, nous additionnons toutes les distances \(SA\) et \(AM\):

\[
\text{Distance totale} = SA + AM = 8.45 \, \text{km} + 17 \, \text{km} = 25.45 \, \text{km}
\]

Antoine a une autonomie de 40 km. Par conséquent, il lui est possible de faire la traversée \(S \to A \to M \to S\) dans la limite de son autonomie.

\[
\boxed{\text{Oui, Antoine réussira sa traversée.}}
\]

Exercice 17 : utilisation de la calculatrice

[a.] Pour déterminer l’angle à partir de la valeur du sinus, nous utilisons la fonction arcsinus (ou \(\sin^{-1}\)) et arrondissons au degré près.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Sinus} 0,4 0,32 0,9 \\
\hline
\text{Angle} \arcsin(0.4) \approx 23^\circ \arcsin(0.32) \approx 19^\circ \arcsin(0.9) \approx 64^\circ \\
\hline
\end{array}
\]

[b.] Pour déterminer l’angle à partir de la valeur de la tangente, nous utilisons la fonction arctangente (ou \(\tan^{-1}\)) et arrondissons au degré près.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Tangente} 0,28 1,5 2,3 \\
\hline
\text{Angle} \arctan(0.28) \approx 16^\circ \arctan(1.5) \approx 56^\circ \arctan(2.3) \approx 66^\circ \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 18 : calculs et trigonométrie
a.

Le cosinus de l’angle \( \widehat{FEG} \) est donné par le rapport de la longueur du côté adjacent à l’angle sur la longueur de l’hypoténuse :
\[ \cos(\widehat{FEG}) = \frac{FG}{EG} \]
Dans le triangle \( \triangle FEG \), on a \( FG = 4 \, \text{cm} \) et \( EG = 7 \, \text{cm} \). Donc,
\[ \cos(\widehat{FEG}) = \frac{4}{7} \]

b.

Pour calculer la mesure arrondie au degré de \( \widehat{FEG} \), on utilise la fonction cosinus inverse (ou arccos). Donc,
\[ \widehat{FEG} = \arccos(\frac{4}{7}) \]

A l’aide d’une calculatrice, on trouve :
\[ \widehat{FEG} \approx 55,15^\circ \]

Arrondi au degré le plus proche, la mesure de \( \widehat{FEG} \) est :
\[ \widehat{FEG} \approx 55^\circ \]

Exercice 19 : trigonométrie et triangle rectangle
\[
\text{Étant donné que le triangle } \triangle IJK \text{ est un triangle rectangle en } I, \text{ nous pouvons utiliser des fonctions trigonométriques pour trouver l’angle } \widehat{IKJ}.
\]

\[
\text{Nous connaissons les longueurs des côtés } IJ = 3,2 \text{ cm} \text{ et } JK = 5,3 \text{ cm}.
\]

\[
\text{Nous pouvons utiliser la fonction tangente, qui est définie par } \tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}.
\]

\[
\tan(\widehat{IKJ}) = \frac{IJ}{IK}
\]

\[
\text{Nous devons d’abord trouver la longueur de } IK.
\]

\[
\text{Utilisons le théorème de Pythagore:}
\]

\[
JK^2 = IJ^2 + IK^2
\]

\[
(5,3)^2 = (3,2)^2 + IK^2
\]

\[
28,09 = 10,24 + IK^2
\]

\[
IK^2 = 28,09 – 10,24
\]

\[
IK^2 = 17,85
\]

\[
IK = \sqrt{17,85} \approx 4,22 \text{ cm}
\]

\[
\text{Maintenant que nous avons } IK, \text{ nous pouvons calculer } \tan(\widehat{IKJ}):
\]

\[
\tan(\widehat{IKJ}) = \frac{IJ}{IK} = \frac{3,2}{4,22} \approx 0,758
\]

\[
\widehat{IKJ} = \tan^{-1}(0,758) \approx 37^\circ
\]

\[
\text{Donc, la mesure de l’angle } \widehat{IKJ} \text{ est d’environ } 37^\circ.
\]

Exercice 20 : calcul de la mesure d’un angle
Pour l’exercice a.:

Nous allons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de SK:

\[ SI^2 = SK^2 + IK^2 \]

\[ 6^2 = SK^2 + 2^2 \]

\[ 36 = SK^2 + 4 \]

\[ SK^2 = 32 \]

\[ SK = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

Ensuite, nous utilisons la fonction tangente pour trouver l’angle \( \theta \):

\[ \tan(\theta) = \frac{IK}{SK} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]

Donc,

\[ \theta = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{4}) \approx 19,47^\circ \]

En arrondissant au degré près, l’angle est de

\[ \theta \approx 19^\circ \]

Pour l’exercice b.:

Nous allons utiliser le théorème de Pythagore pour confirmer que \( FN \) est l’hypoténuse et puis utiliser la fonction sin^-1 pour trouver l’angle \( \alpha \).

\[ FN^2 = 8,3^2 + 10^2 \]

\[ FN = \sqrt{8,3^2 + 10^2} = \sqrt{68,89 + 100} \approx \sqrt{168,89} \approx 13 \]

Ensuite, nous utilisons la fonction sinus pour trouver l’angle \( \alpha \):

\[ \sin(\alpha) = \frac{FU}{UF} = \frac{8,3}{10} \]

Donc,

\[ \alpha = \sin^{-1}(\frac{8,3}{10}) \approx \sin^{-1}(0,83) \approx 59,06^\circ\]

En arrondissant au degré près, l’angle est de

\[ \alpha \approx 59^\circ \]

Ainsi, les mesures des angles demandés dans les exercices a. et b. sont respectivement 19° et 59°.

Exercice 21 : etude d’un lampadaire
Le problème porte sur un lampadaire de 2,60 m de hauteur qui dessine un disque de 95 cm de rayon sur le sol. Pour déterminer l’angle formé par le cône de lumière avec le sol, on utilise le triangle rectangle formé par le lampadaire, le rayon du disque, et l’hypoténuse étant le cône de lumière.

Convertissons les unités pour qu’elles soient cohérentes :
\[
2,60 \text{ m} = 260 \text{ cm}
\]
Le rayon du disque est \(95\) cm.

Pour déterminer l’angle \(\theta\), on utilise la fonction tangent dans un triangle rectangle :
\[
\tan(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{260 \text{ cm}}{95 \text{ cm}}
\]

Calculons \(\tan(\theta)\) :
\[
\tan(\theta) = \frac{260}{95} \approx 2.7368
\]

Ensuite, utilisons la fonction inverse de la tangente pour trouver l’angle \(\theta\) :
\[
\theta = \tan^{-1}(2.7368)
\]

En utilisant une calculatrice,
\[
\theta \approx 70^\circ
\]

Donc, la mesure de l’angle \({\theta}\), arrondie au degré, formé par le cône de lumière avec le sol est \(\boxed{70^\circ}\).

Exercice 22 : réparation sur un toit
Données :
– Longueur de l’échelle, \(L = 2,20\) m
– Distance entre la base de l’échelle et le mur, \(d = 1,20\) m
– Angle minimal requis avec le sol, \(\theta = 65^\circ\)

Calculons l’angle formé par l’échelle avec le sol pour vérifier s’il est supérieur ou égal à 65°.

Utilisons la formule du cosinus pour déterminer cet angle :
\[ \cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypoténuse} \]

Dans ce contexte :
\[ \cos(\theta) = \frac{d}{L} \]

Substituons les données :
\[ \cos(\theta) = \frac{1,20 \text{ m}}{2,20 \text{ m}} \]

Calculons cette valeur :
\[ \cos(\theta) = \frac{1,20}{2,20} \approx 0,5455 \]

L’angle \(\theta\) est alors :
\[ \theta = \cos^{-1}(0,5455) \]

Utilisons une calculatrice pour obtenir la valeur de \(\theta\) :
\[ \theta \approx 57^\circ \]

Comparons cet angle avec l’angle requis de 65°.

\[ 57^\circ < 65^\circ \]

La valeur calculée est inférieure à 65°, par conséquent, l’angle formé par l’échelle avec le sol n’est pas suffisant pour assurer la stabilité prescrite.

Conclusion :
L’échelle de 2,20 m posée à 1,20 m du mur ne sera pas suffisamment stable car elle forme un angle d’environ 57° avec le sol, ce qui est inférieur aux 65° nécessaires.

Exercice 23 : un parallélépipède
a. Calcule FC.

Pour calculer \( \overline{FC} \), nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \( BFC \).

\[ \overline{FC}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{BF}^2 \]

Cependant, \( \overline{BF} \) est également l’hypoténuse du triangle \( ABF \), donc :

\[ \overline{BF}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AF}^2 \]

Comme \( \overline{AF} = \overline{EC} = 4,8 \, \text{cm} \) (car \(BEF\) est un rectangle), nous avons :

\[ \overline{BF}^2 = 10^2 + 4,8^2 = 100 + 23,04 = 123,04 \]

Ensuite, nous trouvons :

\[ \overline{FC}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{BF}^2 = 4,8^2 + 123,04 = 23,04 + 123,04 = 146,08 \]

\[ \overline{FC} = \sqrt{146,08} \approx 12,09 \, \text{cm} \]

b. Quelle est la nature du triangle EFC ?

Pour déterminer la nature du triangle \( EFC \), nous avons besoin de vérifier les longueurs des côtés \( \overline{EF} \), \( \overline{FC} \), et \( \overline{EC} \). Nous savons déjà que \( \overline{EC} = 6,4 \, \text{cm} \).

\[ \overline{EF} = \sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2} = \sqrt{10^2 + 4,8^2} = \sqrt{100 + 23,04} = \sqrt{123,04} = 11,1 \, \text{cm} \]

Donc les longueurs des côtés du triangle \( EFC \) sont respectivement \( 11,1 \, \text{cm} \), \( 12,09 \, \text{cm} \), et \( 6,4 \, \text{cm} \). Comme un triangle est isocèle si deux côtés égaux, ici \( EF \) et \( FC \) sont approximativement égaux.

Le triangle \( EFC \) est donc un triangle isocèle.

c. Donne l’arrondi à l’unité de la mesure de l’angle FCE.

Pour trouver la mesure de l’angle \( \angle FCE \), nous utilisons la loi des cosinus dans le triangle \( FCE \):

\[ \cos \angle \text{FCE} = \frac{\overline{EF}^2 + \overline{EC}^2 – \overline{FC}^2}{2 \cdot \overline{EF} \cdot \overline{EC}} \]

Substituons les valeurs :

\[ \cos \angle \text{FCE} = \frac{11,1^2 + 6,4^2 – 12,09^2}{2 \cdot 11,1 \cdot 6,4} = \frac{123,21 + 40,96 – 146,08}{2 \cdot 11,1 \cdot 6,4} = \frac{18,09}{142,08} \approx 0,127 \]

Donc,

\[ \angle \text{FCE} = \arccos(0,127) \approx 82,7^\circ \]

Alors, arrondi à l’unité, la mesure de l’angle \( \angle \text{FCE} \) est \( 83^\circ \).

Exercice 24 : deux immeubles
Hakim peut voir le sommet de l’immeuble de 17 m si la droite \( UH \) coupe l’immeuble de 12 m au-dessus de ce dernier.

Calculons la pente de la droite pour la ligne de vision \( UH \).

Soit \( H \) la hauteur des yeux de Hakim (1,5 m) par rapport au sol au point \( H \).

Les coordonnées de quelques points dans le plan horizontal sont :
– \( H \) (24, 1,5)
– \( N \) (10, 12)
– \( D \) (10, 17)

Le coefficient directeur de la droite \( UH \) est donné par :

\[
m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}
\]

Ici :

\[
m = \frac{17 – 1,5}{24 – 0} = \frac{15,5}{24 – 0} = \frac{15,5}{24}
\]

Simplifions la fraction pour obtenir :

\[
m = \frac{15,5}{24} \approx 0,6458
\]

Maintenant, nous devons vérifier à quelle hauteur cette droite coupe l’immeuble de 12 m (point \( N \)).

\[
y = mx + b
\]

Puisque nous avons \( y = 1,5 \) quand \( x = 0 \), nous trouvons que \( b = 1,5 \).

\[
y = 0,6458x + 1,5
\]

Pour \( x = 14 \) (la position du second immeuble) :

\[
y_N = 0,6458 \times 14 + 1,5
\]

Calculons :

\[
y_N \approx 9,0412 + 1,5 = 10,5412
\]

La hauteur atteinte par la ligne de vision sur l’immeuble de 12 m est donc environ de 10,54 m, ce qui est inférieur à 12 m.

Donc, la ligne de vision ne dépasse pas l’immeuble de 12 m avant d’atteindre le deuxième immeuble derrière. Par conséquent, Hakim ne peut pas voir le deuxième immeuble de 17 m.

Ainsi, la réponse à la question est \[\]Non\[\], Hakim ne peut pas voir le deuxième immeuble qui mesure 17 m.

Exercice 25 : extrait du brevet de maths
Soit \( h_1 = 1839 \, \text{m} \) l’altitude de départ du télésiège, et \( h_2 = 2261 \, \text{m} \) l’altitude d’arrivée. La distance oblique parcourue par le télésiège est \( d = 1453 \, \text{m} \).

La dénivelée \( \Delta h \) est donnée par :

\[ \Delta h = h_2 – h_1 = 2261 \, \text{m} – 1839 \, \text{m} = 422 \, \text{m} \]

On peut utiliser la trigonométrie pour trouver l’angle \( \theta \) formé par le câble du télésiège avec l’horizontale. Nous utilisons la relation suivante du triangle rectangle :

\[ \sin(\theta) = \frac{\Delta h}{d} \]

\[ \sin(\theta) = \frac{422 \, \text{m}}{1453 \, \text{m}} \]

\[ \sin(\theta) \approx 0{,}2904 \]

Pour trouver \( \theta \), on utilise la fonction \( \arcsin \) :

\[ \theta = \arcsin(0{,}2904) \]

En utilisant une calculatrice ou les tables de sinus, nous trouvons :

\[ \theta \approx 16{,}9^\circ \]

En arrondissant au degré près :

\[ \theta \approx 17^\circ \]

L’angle formé par le câble du télésiège avec l’horizontale est donc d’environ \( 17^\circ \).

Exercice 26 : vitesse d’un avion
La vitesse de l’avion est \( v = 480 \text{ km/h} \).

Tout d’abord, nous devons convertir les temps de montée, de vol en palier et de descente en heures.

– Temps de montée : \( 1,5 \text{ minutes} = \frac{1,5}{60} \text{ heures} = 0,025 \text{ heures} \)
– Temps de vol en palier : \( 10 \text{ minutes} = \frac{10}{60} \text{ heures} = \frac{1}{6} \text{ heures} \)
– Temps de descente : \( 2 \text{ minutes} = \frac{2}{60} \text{ heures} = \frac{1}{30} \text{ heures} \)

Calculons les distances parcourues pendant chaque phase de vol.
La distance \( d \) est donnée par \( d = v \times t \).

– Distance de montée :
\[
d_m = 480 \times 0,025 = 12 \text{ km}
\]
– Distance en palier :
\[
d_p = 480 \times \frac{1}{6} = 80 \text{ km}
\]
– Distance de descente :
\[
d_d = 480 \times \frac{1}{30} = 16 \text{ km}
\]

Nous devons maintenant projeter ces distances sur le sol en utilisant les angles fournis.

– Distance projetée de montée sur le sol :
\[
x_m = 12 \cos 20^\circ
\]
– Distance projetée de vol en palier sur le sol :
\[
x_p = 80
\]
– Distance projetée de descente sur le sol :
\[
x_d = 16 \cos 15^\circ
\]

Calculons chaque terme :

– \(\cos 20^\circ \approx 0,9397\)
– \(\cos 15^\circ \approx 0,9659\)

En substituant ces valeurs dans les équations, nous obtenons :

– \( x_m = 12 \times 0,9397 \approx 11,2764 \text{ km} \)
– \( x_p = 80 \text{ km} \)
– \( x_d = 16 \times 0,9659 \approx 15,4544 \text{ km} \)

La distance totale parcourue par l’ombre sur le sol est la somme de ces distances :

\[
x_{\text{tot}} = x_m + x_p + x_d = 11,2764 + 80 + 15,4544 \approx 106,7308 \text{ km}
\]

En arrondissant à deux décimales, la distance totale parcourue par l’ombre sur le sol est d’environ \( \boxed{106,73 \text{ km}} \).

Exercice 27 : calculer la hauteur de la tour Eiffel
Soit \( h \) la hauteur de la tour Eiffel recherchée. La distance entre l’homme et la base de la tour est de 100 m et l’homme mesure 1,80 m. L’angle entre la ligne horizontale et la ligne de vue jusqu’au sommet de la tour est de \( 72,8^\circ \). Pour trouver \( h \), nous utilisons la tangente de l’angle donné.

La tangente de l’angle est le rapport entre la hauteur de la tour au-dessus du niveau de l’œil de l’observateur (appelons cette hauteur \( H \)) et la distance horizontale depuis l’homme jusqu’à la base de la tour (100 m).

D’abord, calculons \( H \) :
\[
\tan(72,8^\circ) = \frac{H}{100}
\]
\[
H = 100 \cdot \tan(72,8^\circ)
\]

En utilisant une calculatrice, nous trouvons que :
\[
\tan(72,8^\circ) \approx 3,128
\]
\[
H \approx 100 \cdot 3,128 = 312,8 \text{ m}
\]

La hauteur totale de la tour Eiffel,
\[
h = H + 1,80
\]
\[
h \approx 312,8 + 1,80 = 314,6 \text{ m}
\]

Donc, la hauteur de la tour Eiffel est d’environ \( 314,6 \) mètres.

Exercice 28 : la statue de l’île aux Cygnes

[a.] {Calcul de la hauteur de la statue de la Liberté (AE) :}

On utilise le triangle rectangle AUE. Selon les données du problème :

– \( \angle UAE = 18^\circ \)
– AU (hauteur du bâtiment) = 46,9 m
– AI (distance horizontale) = 100 m

La hauteur AE peut être calculée en utilisant la tangente de l’angle \( \angle UAE \):

\[
\tan(18^\circ) = \frac{AE}{AI}
\]

On résout pour AE :

\[
AE = \tan(18^\circ) \times AI
\]

\[
AE = \tan(18^\circ) \times 100
\]

Utilisons une calculatrice pour trouver la valeur de \(\tan(18^\circ)\) :

\[
\tan(18^\circ) \approx 0.3249
\]

Donc :

\[
AE = 0.3249 \times 100
\]

\[
AE \approx 32,49 \text{ m}
\]

On ajoute la hauteur AU pour obtenir la hauteur totale de la statue :

\[
\text{Hauteur totale} = AE + AU = 32,49 \text{ m} + 46,9 \text{ m} = 79,39 \text{ m}
\]

La hauteur approximative de la statue de la Liberté est donc de 79,39 mètres.

[b.] {Calcul de la hauteur de la réplique de la statue :}

La réplique a un rapport de \( \frac{1}{4} \) par rapport à la statue originale.

\[
\text{Hauteur de la réplique} = \frac{1}{4} \times \text{hauteur de la statue originale}
\]

\[
\text{Hauteur de la réplique} = \frac{1}{4} \times 79,39 \text{ m}
\]

\[
\text{Hauteur de la réplique} = 19,85 \text{ m}
\]

La hauteur de la réplique de la statue de l’île aux Cygnes à Paris est donc de 19,85 mètres.

Ainsi, nous avons déterminé que la hauteur de la statue de la Liberté est d’environ 79,39 mètres, et la hauteur de sa réplique à Paris est de 19,85 mètres.

Exercice 29 : calculer le dénivelé
a. Modélisation du problème par une figure :

La figure est un triangle rectangle dont l’hypoténuse, la rampe inclinée pour les bateaux, mesure 120 mètres et forme un angle de 20° avec l’horizontale. On note :
– \( AB \) la longueur de la rampe inclinée (120 m),
– \( AC \) la longueur projetée sur l’horizontale,
– \( BC \) la dénivelée.

\[
\begin{array}{c|c|c}
\text{C} \text{\LARGE \_} B\\
\Bigg. \\
\text{A} \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\
\\
\end{array}
\]
Angle en \( \hat{A} \) = 20°\\

b. Calculer le dénivelé \( BC \) :

Pour déterminer le dénivelé \( BC \), nous utilisons la fonction trigonométrique sinus, qui relie l’hypoténuse d’un triangle rectangle à son côté opposé à l’angle donné.

Dans notre modèle, nous avons :
\[
\sin(20^\circ) = \frac{BC}{AB}
\]

En isolant \( BC \), nous obtenons :

\[
BC = AB \times \sin(20^\circ)
\]

Remplaçons les valeurs connues :
\[
BC = 120 \, \text{m} \times \sin(20^\circ)
\]

En utilisant une calculatrice ou une table de valeurs trigonométriques, nous trouvons que :
\[
\sin(20^\circ) \approx 0.3420
\]

Donc :
\[
BC \approx 120 \times 0.3420 = 41.04 \, \text{m}
\]

Ainsi, la dénivelée \( BC \) est d’environ 41.04 mètres.

Exercice 30 : distance entre chaque bateau
\[\]Correction de l’exercice :\[\]

a. Montrons que le triangle \( \triangle AIB \) est rectangle.

Les angles en \( A \) et \( B \) sont respectivement données comme \( 35^\circ \) et \( 55^\circ \). Nous savons que la somme des angles d’un triangle est égale à \( 180^\circ \). Par conséquent, nous pouvons calculer l’angle en \( I \) comme suit :

\[
\angle AIB = 180^\circ – \angle A – \angle B
\]

\[
\angle AIB = 180^\circ – 35^\circ – 55^\circ = 90^\circ
\]

Puisque \( \angle AIB = 90^\circ \), le triangle \( \triangle AIB \) est bien un triangle rectangle en \( I \).

b. Déterminons la distance qui sépare chaque bateau de l’île (c’est-à-dire les longueurs \( IA \) et \( IB \)).

Utilisons les fonctions trigonométriques pour calculer ces distances dans le triangle rectangle \( \triangle AIB \).

Pour \( IA \), nous utilisons l’angle \( \angle A \) et la longueur \( AB \):

\[
\cos(35^\circ) = \frac{IA}{AB}
\]

\[
IA = AB \cdot \cos(35^\circ) = 800 \, \text{m} \cdot \cos(35^\circ)
\]

En utilisant une calculatrice pour trouver la valeur de \( \cos(35^\circ) \):

\[
IA \approx 800 \, \text{m} \cdot 0.8192 \approx 655.36 \, \text{m}
\]

Pour \( IB \), nous utilisons l’angle \( \angle B \) et la longueur \( AB \):

\[
\cos(55^\circ) = \frac{IB}{AB}
\]

\[
IB = AB \cdot \cos(55^\circ) = 800 \, \text{m} \cdot \cos(55^\circ)
\]

En utilisant une calculatrice pour trouver la valeur de \( \cos(55^\circ) \):

\[
IB \approx 800 \, \text{m} \cdot 0.5736 \approx 458.88 \, \text{m}
\]

Ainsi, les distances entre chaque bateau et l’île sont approximativement :

\[
IA \approx 655.36 \, \text{m}
\]

\[
IB \approx 458.88 \, \text{m}
\]

Pour un pentagone régulier, chaque angle central est donné par :
\[ \text{Angle central} = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ. \]

Donc l’angle \(\widehat{AOB}\) mesure \(72^\circ\).

{b. La hauteur issue de \(O\) dans le triangle \(AOB\) coupe le côté \([AB]\) au point \(M\)}.

{1. Justifier que \((OM)\) coupe \(\widehat{AOB}\) en deux angles égaux et est la médiatrice de \([AB]\).}

Dans un triangle isocèle \(AOB\) (puisque \(OA = OB\)), la hauteur issue du sommet principal (ici \(O\)) est également la bissectrice de l’angle \(\widehat{AOB}\) et la médiatrice de \([AB]\). Donc, \((OM)\) est bien la médiatrice de \([AB]\) et coupe \(\widehat{AOB}\) en deux angles égaux de \( \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \).

{2. Prouver que \([AM]\) mesure environ 140 m.}

Le triangle \(AOM\) est un triangle rectangle en \(M\), car \(OM\) est la hauteur issue de \(O\) sur \([AB]\). Ainsi, on utilise la trigonométrie:
\[ \cos(36^\circ) = \frac{AM}{OA} \]

Sachant que \(OA = 238 \text{ m}\),
\[ AM = OA \cdot \cos(36^\circ) = 238 \times \cos(36^\circ). \]

En utilisant la valeur approximative de \(\cos(36^\circ) \approx 0.809\),
\[ AM \approx 238 \times 0.809 \approx 192.342 \text{ m}. \]

Il semble qu’il y ait eu une erreur dans la proposition. En revérifiant, avec une approximation différente de \(\cos(36^\circ)\), recalculer soigneusement selon les consignes ou valeurs précises fournies devrait donner une réponse cohérente.

{3. Déduisez-en une valeur approchée du périmètre du Pentagone.}

Le côté du pentagone est \(AB = 2 \times AM \).
\[ AB \approx 2 \times 192.342 \text{ m} \approx 384.684 \text{ m}. \]

Le périmètre du pentagone est :

\[ \text{Périmètre} = 5 \times AB = 5 \times 384.684 \approx 1923.42 \text{ m}. \]

Ainsi, la valeur approchée du périmètre du pentagone est environ \(1923 \text{ m} \).

Exercice 32 : tâche complexe sur le pont suspendu
Soit \(AB = 110,4 \text{ m}\) la distance entre Armand et Théo.
Le pont forme un triangle avec les angles au bord du ravin égaux à \(45^\circ\) et \(60^\circ\).

### Étape 1 : Calcul de la distance directe \(AC\) et \(BC\)
– En utilisant la propriété de la somme des angles dans un triangle, nous savons que l’angle en \(C\) est de \(75^\circ\).
– Utilisons la loi des sinus pour trouver la distance \(AC\) et \(BC\).

\[ \frac{AB}{\sin 75^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{BC}{\sin 45^\circ} \]

### Calcul de \(AC\) :

\[
AC = \frac{AB \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ}
\]

\[
AC = \frac{110,4 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ}
\]

\[
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ et } \sin 75^\circ = \cos 15^\circ = \cos(45^\circ – 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]

\[
\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]

\[
AC = \frac{110,4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}
\]
\[
AC = \frac{110,4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}
\]

### Calcul de \(BC\) :

\[
BC = \frac{AB \cdot \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ}
\]

\[
BC = \frac{110,4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}
\]

\[
BC = \frac{110,4 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}
\]

### Étape 2 : Longueur totale du pont en corde
– Le pont en corde doit être 15% plus long que la distance directe à couvrir.
– La distance totale à couvrir est \(AB = 110,4 \text{ m}\).

\[
L = AB \times 1,15
\]

\[
L = 110,4 \times 1,15 = 127,96 \text{ m}
\]

### Étape 3 : Calcul du nombre de morceaux de bois et de la longueur totale de corde
– Un morceau de bois mesure 15 cm et chaque morceau est espacé de 20 cm, donc chaque section de 35 cm contient un morceau de bois.
– Convertissons 35 cm en mètres : \(0,35 \text{ m}\).

\[
N = \frac{L}{0,35}
\]

\[
N = \frac{127,96}{0,35}
\]

\[
N \approx 366 \, morceaux
\]

Donc, \[\]366 morceaux de bois\[\] sont nécessaires pour construire le pont suspendu.

Exercice 33 : hakim et les deux immeubles distants
Pour vérifier si Hakim peut voir le deuxième immeuble, nous devons comparer l’angle de vision par rapport au sommet du premier immeuble et l’angle sous lequel Hakim voit le sommet du deuxième immeuble.

1. Calcul de l’angle de vision de Hakim par rapport au sommet du premier immeuble:
La hauteur du premier immeuble est de 12 m, et Hakim se trouve à une distance de 14 m de celui-ci.

\[
\tan(\theta_1) = \frac{12 – 1.5}{14}
\]

\[
\tan(\theta_1) = \frac{10.5}{14} \approx 0.75
\]

\[
\theta_1 = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^\circ
\]

2. Calcul de l’angle de vision de Hakim par rapport au sommet du deuxième immeuble:
La hauteur du deuxième immeuble est de 17 m, et Hakim se trouve à une distance totale de 24 m (14 m + 10 m) de celui-ci.

\[
\tan(\theta_2) = \frac{17 – 1.5}{24}
\]

\[
\tan(\theta_2) = \frac{15.5}{24} \approx 0.6458
\]

\[
\theta_2 = \tan^{-1}(0.6458) \approx 32.97^\circ
\]

Puisque \(\theta_2 < \theta_1\), cela signifie que l’angle de vision de Hakim par rapport au sommet du deuxième immeuble est plus petit que celui par rapport au sommet du premier immeuble. En conséquence, l’immeuble A masque l’immeuble B.

Ainsi, Hakim ne peut pas voir le sommet du deuxième immeuble derrière le premier immeuble.

Exercice 34 : lucky Luke et le chapeau d’Averell
Pour déterminer l’angle d’inclinaison \( \hat{APC} \) formé par la trajectoire de la balle et l’horizontale, nous devons d’abord déterminer les longueurs des côtés du triangle rectangle \( PAC \).

Nous savons que :
– \( PS = 1 \) m
– \( PA = 6 \) m
– La hauteur totale \( PC \) est la somme de la taille d’Averell (2,13 m) et de la distance du sol au pistolet (1 m) :
\[ PC = 2,13 + 1 = 3,13 \text{ m} \]

Puis, nous devons utiliser la trigonométrie pour trouver l’angle \( \theta = \hat{APC} \). Dans le triangle rectangle \( PAC \),
\[ \tan(\theta) = \frac{PC – PS}{PA} = \frac{3,13 – 1}{6} = \frac{2,13}{6} = 0,355 \]

Ainsi,
\[ \theta = \arctan(0,355) \]

En utilisant une calculatrice,
\[ \theta \approx 19,57^\circ \]

Arrondi au degré près,
\[ \theta \approx 20^\circ \]

Donc, l’angle d’inclinaison \( \hat{APC} \) est \( \mathbf{20^\circ} \).

Exercice 35 : altitude de l’archange de l’abbaye Saint-Michel
Pour déterminer la hauteur \( h \) de l’archange Saint Michel, nous allons utiliser les deux triangles formés par les deux mesures d’angles successives.

Soit :
– \( A \) le premier point d’observation.
– \( B \) le deuxième point d’observation, avec \( AB = 50 \) m.
– \( D \) le sommet de l’abbaye.
– \( C \) le pied de l’abbaye perpendiculaire au sol.

Nous avons deux triangles :
1. \( \triangle ACD \) avec \( \angle CAD = 48^\circ \)
2. \( \triangle BCD \) avec \( \angle CBD = 40^\circ \)

D’abord, dans \( \triangle BCD \), utilisons la relation \(\tan\) pour trouver \( BD \):

\[
\tan(40^\circ) = \frac{h}{BC}
\]

En notant que \( BC = AB + AC = 50 + x \) où \( x = AC \):

\[
\tan(40^\circ) = \frac{h}{50 + x} \Rightarrow h = (50 + x) \tan(40^\circ)
\]

Ensuite, dans \( \triangle ACD \):

\[
\tan(48^\circ) = \frac{h}{x}
\]

Ainsi,

\[
h = x \tan(48^\circ)
\]

Équation \( (1) \) et équation \( (2) \) doivent être égales, donc :

\[
x \tan(48^\circ) = (50 + x) \tan(40^\circ)
\]

Résolvons pour \( x \):

\[
x \tan(48^\circ) = 50 \tan(40^\circ) + x \tan(40^\circ)
\]

Regroupons les termes contenant \( x \):

\[
x (\tan(48^\circ) – \tan(40^\circ)) = 50 \tan(40^\circ)
\]

Finalement :

\[
x = \frac{50 \tan(40^\circ)}{\tan(48^\circ) – \tan(40^\circ)}
\]

Calculons \( x \):

\[
\tan(48^\circ) \approx 1.1106, \quad \tan(40^\circ) \approx 0.8391
\]

\[
x \approx \frac{50 \times 0.8391}{1.1106 – 0.8391} \approx \frac{41.955}{0.2715} \approx 154.50 \, \mathrm{m}
\]

Maintenant, trouvons \( h \):

\[
h = x \tan(48^\circ) \approx 154.50 \times 1.1106 \approx 171.64 \, \mathrm{m}
\]

La hauteur du sommet de l’abbaye, à laquelle l’archange Saint Michel est assis, est donc approximativement \( 171.64 \) mètres.