Trigonométrie : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : calculs de la mesure d’un angle et trigonométrie
Pour chaque figure, on va utiliser la fonction trigonométrique tangente dans un triangle rectangle pour trouver l’angle demandé. La formule de la tangente est :

$\tan(\theta)\,=\,\frac{cote\,oppose}{cote\,adjacent}$

Puis, on utilise la fonction arctangente pour trouver l’angle :

$\theta\,=\,\arctan(\frac{cote\,oppose}{cote\,adjacent})$

### Figure 1 (Triangle AIB)

$\tan(\theta)\,=\,\frac{2%2C1\,\%2C\,cm}{2%2C8\,\%2C\,cm}\,\approx\,0%2C75$

$\theta\,\approx\,\arctan(0%2C75)\,\approx\,36%2C87^\circ$

Arrondi au degré près :

$\theta\,\approx\,37^\circ$

### Figure 2 (Triangle CLD)

$\tan(\theta)\,=\,\frac{8\,\%2C\,cm}{9\,\%2C\,cm}\,\approx\,0%2C89$

$\theta\,\approx\,\arctan(0%2C89)\,\approx\,41%2C99^\circ$

Arrondi au degré près :

$\theta\,\approx\,42^\circ$

### Figure 3 (Triangle EFJ)

$\tan(\theta)\,=\,\frac{2%2C7\,\%2C\,cm}{4%2C2\,\%2C\,cm}\,\approx\,0%2C64$

$\theta\,\approx\,\arctan(0%2C64)\,\approx\,32%2C47^\circ$

Arrondi au degré près :

$\theta\,\approx\,32^\circ$

### Figure 4 (Triangle GHK)

$\tan(\theta)\,=\,\frac{3\,\%2C\,cm}{4\,\%2C\,cm}\,=\,0%2C75$

$\theta\,\approx\,\arctan(0%2C75)\,\approx\,36%2C87^\circ$

Arrondi au degré près :

$\theta\,\approx\,37^\circ$

Exercice 2 : hauteur d’une tour
Pour calculer la hauteur de chaque tour :

### Première tour (gauche)
Dans le triangle $\triangle\,ASC$ , étant donné que $\angle\,BAC\,=\,25^\circ$ et $AC\,=\,45$ m, on utilise la relation trigonométrique suivante pour trouver :

$\tan(\angle\,BAC)\,=\,\frac{AB}{AC}$

Donc,

$AB\,=\,AC\,\cdot\,\tan(25^\circ)$

Puis,

$AB\,=\,45\,\cdot\,\tan(25^\circ)\,\approx\,45\,\cdot\,0.4663\,\approx\,20.9835\,\,m$

Ensuite, on ajoute la hauteur AC (1.5m) pour trouver h:

$h\,=\,AB\,%2B\,AC\,=\,20.9835\,%2B\,1.5\,\approx\,22.4835\,\,m$

### Deuxième tour (droite)
Dans le triangle $\triangle\,ASC$ , étant donné que $\angle\,BAC\,=\,40^\circ$ , $\angle\,DBC\,=\,18^\circ$ et $CD\,=\,3$ m, nous utilisons la relation trigonométrique pour décomposer en $AD\,=\,AC\,%2B\,CD$ .

1. Calcul de $AB\,=\,BC\,-\,BD$ :

$\tan(\angle\,BAC)\,=\,\frac{AB}{AC}\,\implies\,AB\,=\,AC\,\cdot\,\tan(40^\circ)$

2. Calcul de $BD\,=\,CD\,\cdot\,\tan(18^\circ)$ :

$BD\,=\,3\,\cdot\,\tan(18^\circ)\,\approx\,3\,\cdot\,0.3249\,\approx\,0.9747\,\,m$

3. Hauteur :

$h\,=\,AB\,%2B\,AC\,=\,(AC\,\cdot\,\tan(40^\circ))\,%2B\,3\,=\,(3\,\cdot\,\tan(40^\circ))\,%2B\,3\,\approx\,(3\,\cdot\,0.8391)\,%2B\,3\,\approx\,2.5173\,%2B\,3\,\approx\,5.5173\,\,m$

Donc, pour chaque tour, nous avons :
– Hauteur de la première tour : $\approx\,22.4835\,\,m$
– Hauteur de la deuxième tour : $\approx\,5.5173\,\,m$

Exercice 3 : distance entre deux bateaux
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser le théorème des sinus dans le triangle formé par les deux bateaux et le phare.

Notons le phare, le premier bateau et le second bateau. Nous savons que :
– $AB\,=\,40$ mètres,
– $\angle\,BAC\,=\,22^\circ$ ,
– $\angle\,BCA\,=\,16^\circ$ .

Nous devons trouver la longueur .

Pour ce faire, nous devons d’abord déterminer l’angle $\angle\,ABC$ . Puisque la somme des angles dans un triangle est de $180^\circ$ , nous avons :

$\angle\,ABC\,=\,180^\circ\,-\,\angle\,BAC\,-\,\angle\,BCA$

$\angle\,ABC\,=\,180^\circ\,-\,22^\circ\,-\,16^\circ$

$\angle\,ABC\,=\,142^\circ$

Utilisons maintenant le théorème des sinus, qui affirme que dans tout triangle, les rapports d’un côté sur le sinus de l’angle opposé sont égaux :

$\frac{BC}{\sin(\angle\,BAC)}\,=\,\frac{AB}{\sin(\angle\,ACB)}$

$\frac{BC}{\sin(22^\circ)}\,=\,\frac{40}{\sin(16^\circ)}$

En résolvant pour , nous avons :

$BC\,=\,\frac{40\,\cdot\,\sin(22^\circ)}{\sin(16^\circ)}$

Calculons cette valeur en utilisant les valeurs approximatives des sinus :

$\sin(22^\circ)\,\approx\,0.3746$
$\sin(16^\circ)\,\approx\,0.2756$

$BC\,=\,\frac{40\,\cdot\,0.3746}{0.2756}$

$BC\,\approx\,\frac{14.984}{0.2756}$

$BC\,\approx\,54.37$

Donc, la distance séparant les deux bateaux est d’environ mètres.

Exercice 4 : bateau et île
Étant donné que $CP\,=\,150$ m, $HC\,=\,100$ m et l’angle $\angle\,VCP\,=\,70^\circ$ (angle de dépression), nous pouvons calculer la distance .

1. Tout d’abord, trouvons , la distance horizontale entre et .

$HP\,=\,CP\,\cos(70^\circ)$

$HP\,=\,150\,\cos(70^\circ)$

En utilisant une calculatrice :

$HP\,\approx\,150\,\times \,0.3420\,\approx\,51.3\,\%2C\,m$

2. Maintenant, trouvons , la distance verticale entre et .

En utilisant le triangle rectangle $\triangle\,VHC$ et la trigonométrie $\tan$ (car nous connaissons l’angle et un côté adjacent), nous avons :

$\tan(70^\circ)\,=\,\frac{HV}{100\,\%2C\,m}$

$HV\,=\,100\,\tan(70^\circ)$

En utilisant une calculatrice :

$HV\,\approx\,100\,\times \,2.7475\,\approx\,274.75\,\%2C\,m$

3. La distance totale est donc la somme des distances verticales et .

$CV\,=\,HC\,%2B\,HV$

$CV\,=\,100\,\%2C\,m\,%2B\,274.75\,\%2C\,m\,=\,374.75\,\%2C\,m$

Donc, la distance est de :

$CV\,\approx\,374.75\,\%2C\,m$

Exercice 5 : problème du géomètre
Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser diverses propriétés géométriques, en particulier la loi des sinus et la trigonométrie dans les triangles.

1. $Calcul\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FGH%22\,alt=%22GH$ (la hauteur du triangle ) » align= »absmiddle » />

Dans le triangle , nous connaissons l’angle $\angle\,A\,=\,180^\circ\,-\,78^\circ\,-\,70^\circ\,=\,32^\circ$ .

En utilisant la loi des sinus, nous avons :

$\frac{GH}{\sin(70^\circ)}\,=\,\frac{AG}{\sin(78^\circ)}$

Donc :

$GH\,=\,AG\,\cdot\,\frac{\sin(70^\circ)}{\sin(78^\circ)}$

Sachant que $AG\,=\,20\,\%2C\,m$ :

$GH\,=\,20\,\cdot\,\frac{\sin(70^\circ)}{\sin(78^\circ)}$

En utilisant les valeurs des sinus approximatives :

$\sin(70^\circ)\,\approx\,0.9397\,\quad\,et\,\quad\,\sin(78^\circ)\,\approx\,0.9781$

Ainsi :

$GH\,\approx\,20\,\cdot\,\frac{0.9397}{0.9781}\,\approx\,20\,\cdot\,0.961\,\approx\,19.22\,\%2C\,m$

2. $Calcul\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FGM%22\,alt=%22GM$ (la distance entre et ) » align= »absmiddle » />

Pour ce faire, nous allons utiliser la loi des cosinus dans le triangle .

$GM^2\,=\,AG^2\,%2B\,AM^2\,-\,2\,\cdot\,AG\,\cdot\,AM\,\cdot\,\cos(\angle\,AGM)$

Dans ce cadre, nous devons d’abord trouver . Utilisons la loi des sinus encore une fois dans le triangle :

$\frac{AM}{\sin(78^\circ)}\,=\,\frac{AG}{\sin(32^\circ)}$

Donc :

$AM\,=\,AG\,\cdot\,\frac{\sin(78^\circ)}{\sin(32^\circ)}$

Sachant que $\sin(32^\circ)\,\approx\,0.5299$ :

$AM\,\approx\,20\,\cdot\,\frac{0.9781}{0.5299}\,\approx\,20\,\cdot\,1.846\,\approx\,36.92\,\%2C\,m$

Utilisons maintenant la loi des cosinus :

$GM^2\,=\,20^2\,%2B\,36.92^2\,-\,2\,\cdot\,20\,\cdot\,36.92\,\cdot\,\cos(70^\circ)$

Sachant que $\cos(70^\circ)\,\approx\,0.342$ :

$GM^2\,=\,400\,%2B\,1363\,-\,2\,\cdot\,20\,\cdot\,36.92\,\cdot\,0.342$

Calculons $2\,\cdot\,20\,\cdot\,36.92\,\cdot\,0.342\,\approx\,503.6$ :

$GM^2\,=\,400\,%2B\,1363\,-\,503.6\,\approx\,1259.4$

Donc :

$GM\,\approx\,\sqrt{1259.4}\,\approx\,35.5\,\%2C\,m$

Exercice 6 : compléter les pointillés
a. Dans le triangle rectangle en , on a :

$\cos\,\widehat{BAC}\,=\,\frac{AC}{AB}$

$\cos\,\widehat{ABC}\,=\,\frac{BC}{AB}$

b. Dans le triangle rectangle en , on a :

$\sin\,\widehat{BCD}\,=\,\frac{CD}{BC}$

$\tan\,\widehat{DBC}\,=\,\frac{DC}{BD}$

c. Dans le triangle rectangle en , on a :

$\sin\,\widehat{ACD}\,=\,\frac{AD}{AC}$

Exercice 7 : associer les bonnes formules
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
n° \\ \hline
a. Triangle n° 2 \\ \hline
b. Triangle n° 1 \\ \hline
c. Triangle n° 3 \\ \hline
d. Triangle n° 3 \\ \hline
\end{tabular}

Exercice 8 : utilisation de la calculatrice
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0AAngle\,%26\,30^\circ\,%26\,45^\circ\,%26\,20^\circ\,%26\,83^\circ\,%26\,60^\circ\,\\%0D%0A\hline%0D%0ASinus\,%26\,0{%2C}50\,%26\,0{%2C}71\,%26\,0{%2C}34\,%26\,0{%2C}99\,%26\,0{%2C}87\,\\%0D%0A\hline%0D%0ATangente\,%26\,0{%2C}58\,%26\,1{%2C}00\,%26\,0{%2C}36\,%26\,9{%2C}51\,%26\,1{%2C}73\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 9 : produit en croix
a. $5%2C6\,=\,\frac{x}{3%2C5}$

Pour trouver , nous devons résoudre l’équation en multipliant les deux côtés par :

$x\,=\,5%2C6\,\times \,3%2C5$

$x\,=\,19%2C6$

Donc, la valeur de est .

b. $\frac{8%2C5}{y}\,=\,\frac{3%2C4}{5%2C2}$

Pour trouver , nous devons résoudre l’équation en croisant les produits. Nous avons :

$8%2C5\,\times \,5%2C2\,=\,y\,\times \,3%2C4$

Cela se simplifie en :

$44%2C2\,=\,3%2C4y$

Pour isoler , nous divisons les deux côtés par :

$y\,=\,\frac{44%2C2}{3%2C4}$

$y\,=\,13$

Donc, la valeur de est .

Exercice 10 : calcul de longueurs
a. $Exprime\,les\,cosinus%2C\,sinus%2C\,tangente\,de\,l'angle\,\,\angle\,IJK\,\,en\,fonction\,des\,longueurs\,des\,cotes.$

Dans le triangle rectangle rectangle en :

$\cos(\angle\,IJK)\,=\,\frac{JK}{JI}$

$\sin(\angle\,IJK)\,=\,\frac{KI}{JI}$

$\tan(\angle\,IJK)\,=\,\frac{KI}{JK}$

b. $Calcule\,les\,longueurs\,\,JK\,\,et\,\,IK\,\,en\,utilisant\,a\,chaque\,fois\,la\,formule\,adequate.$

Nous avons:

$\cos(53^\circ)\,=\,\frac{JK}{JI}$
Or, $\cos(53^\circ)\,\approx\,0.6$ , et $JI\,=\,6\,\%2C\,cm$ .

$0.6\,=\,\frac{JK}{6}$
$JK\,=\,6\,\times \,0.6\,=\,3.6\,\%2C\,cm$

Ensuite:

$\sin(53^\circ)\,=\,\frac{KI}{JI}$
Or, $\sin(53^\circ)\,\approx\,0.8$ , et $JI\,=\,6\,\%2C\,cm$ .

$0.8\,=\,\frac{KI}{6}$
$KI\,=\,6\,\times \,0.8\,=\,4.8\,\%2C\,cm$

Exercice 11 : trigonométrie
Pour calculer la longueur dans le triangle rectangle ABC , nous allons utiliser le cosinus de l’angle $\angle\,ABC$ .

Nous avons :
$AH\,=\,5\,\,cm$
$\angle\,ABC\,=\,40^\circ$

Dans le triangle rectangle ABC , le cosinus de l’angle $\angle\,ABC$ est donné par :
$\cos(40^\circ)\,=\,\frac{AH}{AB}$

En résolvant pour , nous obtenons :
$AB\,=\,\frac{AH}{\cos(40^\circ)}$

En substituant les valeurs connues :
$AB\,=\,\frac{5}{\cos(40^\circ)}$

En utilisant une calculatrice pour trouver la valeur de $\cos(40^\circ)$ :
$\cos(40^\circ)\,\approx\,0.7660$

Ainsi, nous avons :
$AB\,=\,\frac{5}{0.7660}\,\approx\,6.5$

Donc, la longueur de arrondie au dixième près est :
$AB\,\approx\,6.5\,\,cm$

Exercice 12 : calculer la longueur demandée
### a.

Pour calculer la longueur , nous utilisons le cosinus de l’angle donné dans le triangle rectangle JEU .

$\cos(25^\circ)\,=\,\frac{JU}{JE}$

où $JU\,=\,6\,\%2C\,cm$ .

$JE\,=\,\frac{JU}{\cos(25^\circ)}\,=\,\frac{6}{\cos(25^\circ)}$

En utilisant une calculatrice :

$JE\,=\,\frac{6}{\cos(25^\circ)}\,\approx\,\frac{6}{0.9063}\,\approx\,6.6\,\%2C\,cm$

Donc, $JE\,\approx\,6%2C6\,\%2C\,cm$ .

### b.

Pour calculer la longueur , nous utilisons le sinus de l’angle donné dans le triangle rectangle DES .

$\sin(40^\circ)\,=\,\frac{DS}{ES}$

où $ES\,=\,5%2C1\,\%2C\,cm$ .

$DS\,=\,ES\,\cdot\,\sin(40^\circ)\,=\,5%2C1\,\cdot\,\sin(40^\circ)$

En utilisant une calculatrice :

$DS\,=\,5%2C1\,\cdot\,\sin(40^\circ)\,\approx\,5%2C1\,\cdot\,0.6428\,\approx\,3%2C3\,\%2C\,cm$

Donc, $DS\,\approx\,3%2C3\,\%2C\,cm$ .

Exercice 13 : calculer la longueur
a. Calcule la longueur arrondie au millimètre.

Dans le triangle PKL , nous avons un angle de $37^\circ$ et un ange de $55^\circ$ (puisque $\angle\,PKL\,%2B\,37^\circ\,%2B\,55^\circ\,=\,180^\circ$ car la somme des angles d’un triangle est $180^\circ$ ).
Utilisons la fonction tangente puisque nous connaissons un angle et la longueur de l’opposé et nous cherchons la longueur de l’adjacent ().

$\tan(37^\circ)\,=\,\frac{PK}{KL}$

$PK\,=\,KL\,\times \,\tan(37^\circ)$

Connaissant $KL\,=\,8.5\,\%2C\,cm$ :

$PK\,=\,8.5\,\times \,\tan(37^\circ)\,\approx\,8.5\,\times \,0.7536\,\approx\,6.4\,\%2C\,cm$

b. Déduis-en la longueur arrondie au millimètre.

Dans le triangle rectangle PKJ , nous avons $\angle\,PKJ\,=\,90^\circ$

Utilisons $\angle\,PJK$ qui est complémentaire de $37^\circ$ dans le triangle rectangle (donc $90^\circ\,-\,37^\circ\,=\,53^\circ$ )

$\tan(55^\circ)\,=\,\frac{PJ}{PK}$

$PJ\,=\,PK\,\times \,\tan(55^\circ)$

$PJ\,=\,6.4\,\times \,\tan(55^\circ)\,\approx\,6.4\,\times \,1.4281\,\approx\,9.1\,\%2C\,cm$

Exercice 14 : un cratère de la lune
Pour calculer la profondeur du cratère, nous allons utiliser les fonctions trigonométriques, en particulier la tangente dans ce cas puisque nous avons un angle et une longueur adjacente à cet angle (segment ).

D’après les données du problème, nous avons :

$\angle\,BDC\,=\,4%2C3^\circ$
$CD\,=\,29\,\%2C\,km$

Dans le triangle rectangle BCD , nous pouvons écrire la relation suivante pour la tangente :

$\tan(\angle\,BDC)\,=\,\frac{BD}{CD}$

Nous pouvons isoler pour trouver sa valeur :

$BD\,=\,CD\,\cdot\,\tan(\angle\,BDC)$

En substituant les valeurs :

$BD\,=\,29\,\cdot\,\tan(4%2C3^\circ)$

Calculons la tangente de $4%2C3^\circ$ :

$\tan(4%2C3^\circ)\,\approx\,0%2C0751$

Donc :

$BD\,=\,29\,\cdot\,0%2C0751\,\approx\,2%2C178\,\%2C\,km$

Arrondissons au dixième de km près :

$BD\,\approx\,2%2C2\,\%2C\,km$

Ainsi, la profondeur du cratère est d’environ 2%2C2 km.

Exercice 15 : un avion qui décolle
La correction de l’exercice est la suivante :

1. Montee :

Durée de montée : 1%2C5 minutes $\Rightarrow$ 0%2C025 heures

Distance parcourue en montée : $480\,\times \,0%2C025\,=\,12\,\%2C\,km$

La projection horizontale du trajet de montée est donnée par :
$d_1\,=\,12\,\times \,\cos(20^\circ)$

2. $Trajet\,a\,altitude\,constante$ :

Durée du trajet horizontal : minutes $\Rightarrow$ heures

Distance parcourue en horizontal : $480\,\times \,0%2C1667\,=\,80\,\%2C\,km$

3. :

Durée de descente : minutes $\Rightarrow$ heures

Distance parcourue en descente : $480\,\times \,0%2C0333\,=\,16\,\%2C\,km$

La projection horizontale du trajet de descente est donnée par :
$d_2\,=\,16\,\times \,\cos(15^\circ)$

4. $Distance\,totale\,parcourue\,par\,l'ombre$ :

La distance totale parcourue par l’ombre est la somme des projections horizontales :
$D\,=\,12\,\times \,\cos(20^\circ)\,%2B\,80\,%2B\,16\,\times \,\cos(15^\circ)$

En commodité, on simplifie avec les valeurs approximatives des cosinus :
$\cos(20^\circ)\,\approx\,0%2C9397$
$\cos(15^\circ)\,\approx\,0%2C9659$

En remplaçant, on obtient :
$d_1\,=\,12\,\times \,0%2C9397\,\approx\,11%2C276\,\%2C\,km$
$d_2\,=\,16\,\times \,0%2C9659\,\approx\,15%2C454\,\%2C\,km$

Donc,
$D\,=\,11%2C276\,%2B\,80\,%2B\,15%2C454\,\approx\,106%2C73\,\%2C\,km$

La distance totale parcourue par l’ombre sur le sol est donc approximativement $106%2C73\,\%2C\,km$ .

Exercice 16 : déplacement d’une île à l’autre
$Objectif%3A\,Calculer\,la\,distance\,totale\,\,d_{SM}\,\,entre\,Sese\,(S)\,et\,Mate\,(M)\,via\,le\,point\,A.$

En utilisant la loi des cosinus dans le triangle SPA:

$SA^2\,=\,SP^2\,%2B\,PA^2\,-\,2\,\cdot\,SP\,\cdot\,PA\,\cdot\,\cos(\angle\,SPA)$

où:
– $SP\,=\,8\,\%2C\,km$
– $PA\,=\,15\,\%2C\,km$
– $\angle\,SPA\,=\,25^\circ$

$SA^2\,=\,8^2\,%2B\,15^2\,-\,2\,\cdot\,8\,\cdot\,15\,\cdot\,\cos(25^\circ)$

$SA^2\,=\,64\,%2B\,225\,-\,240\,\cdot\,\cos(25^\circ)$

$SA^2\,=\,289\,-\,240\,\cdot\,\cos(25^\circ)$

Valeur numérique de $\cos(25^\circ)\,\approx\,0.9063$ :

$SA^2\,=\,289\,-\,240\,\cdot\,0.9063$

$SA^2\,=\,289\,-\,217.512$

$SA^2\,=\,71.488$

$SA\,=\,\sqrt{71.488}\,\approx\,8.45\,\%2C\,km$

Avec cette distance $SA\,=\,8.45\,\%2C\,km$ , nous utilisons maintenant la loi des cosinus dans le triangle SAM pour trouver :

$SM^2\,=\,SA^2\,%2B\,AM^2\,-\,2\,\cdot\,SA\,\cdot\,AM\,\cdot\,\cos(\angle\,SAM)$

Où:
– $SA\,=\,8.45\,\%2C\,km$
– $AM\,=\,17\,\%2C\,km$ (puisque $AP\,%2B\,PM\,=\,15\,\%2C\,km\,%2B\,2\,\%2C\,km\,=\,17\,\%2C\,km$ )
– $\angle\,SAM\,=\,25^\circ$ (car l’angle est décomposé en $\angle\,SPA\,%2B\,\angle\,P\%2C\,droit\,=\,25^\circ\,%2B\,90^\circ\,=\,115^\circ$ et notre angle externe équivalent à $180^\circ\,-\,115^\circ\,=\,65^\circ$ )

Donc,

$SM^2\,=\,8.45^2\,%2B\,17^2\,-\,2\,\cdot\,8.45\,\cdot\,17\,\cdot\,\cos(65^\circ)$

Valeur numérique de $\cos(65^\circ)\,\approx\,0.4226$ :

$SM^2\,=\,71.488\,%2B\,289\,-\,2\,\cdot\,8.45\,\cdot\,17\,\cdot\,0.4226$

$SM^2\,=\,360.488\,-\,121.4148$

$SM^2\,=\,239.0732$

$SM\,=\,\sqrt{239.0732}\,\approx\,15.46\,\%2C\,km$

Enfin, nous additionnons toutes les distances et :

$Distance\,totale\,=\,SA\,%2B\,AM\,=\,8.45\,\%2C\,km\,%2B\,17\,\%2C\,km\,=\,25.45\,\%2C\,km$

Antoine a une autonomie de 40 km. Par conséquent, il lui est possible de faire la traversée $S\,\to\,A\,\to\,M\,\to\,S$ dans la limite de son autonomie.

$Oui%2C\,Antoine\,reussira\,sa\,traversee.$

Exercice 17 : utilisation de la calculatrice

[a.] Pour déterminer l’angle à partir de la valeur du sinus, nous utilisons la fonction arcsinus (ou $\sin^{-1}$ ) et arrondissons au degré près.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ASinus\,%26\,0%2C4\,%26\,0%2C32\,%26\,0%2C9\,\\%0D%0A\hline%0D%0AAngle\,%26\,\arcsin(0.4)\,\approx\,23^\circ\,%26\,\arcsin(0.32)\,\approx\,19^\circ\,%26\,\arcsin(0.9)\,\approx\,64^\circ\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

[b.] Pour déterminer l’angle à partir de la valeur de la tangente, nous utilisons la fonction arctangente (ou $\tan^{-1}$ ) et arrondissons au degré près.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ATangente\,%26\,0%2C28\,%26\,1%2C5\,%26\,2%2C3\,\\%0D%0A\hline%0D%0AAngle\,%26\,\arctan(0.28)\,\approx\,16^\circ\,%26\,\arctan(1.5)\,\approx\,56^\circ\,%26\,\arctan(2.3)\,\approx\,66^\circ\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 18 : calculs et trigonométrie
a.

Le cosinus de l’angle $\widehat{FEG}$ est donné par le rapport de la longueur du côté adjacent à l’angle sur la longueur de l’hypoténuse :
$\cos(\widehat{FEG})\,=\,\frac{FG}{EG}$
Dans le triangle $\triangle\,FEG$ , on a $FG\,=\,4\,\%2C\,cm$ et $EG\,=\,7\,\%2C\,cm$ . Donc,
$\cos(\widehat{FEG})\,=\,\frac{4}{7}$

Pour calculer la mesure arrondie au degré de $\widehat{FEG}$ , on utilise la fonction cosinus inverse (ou arccos). Donc,
$\widehat{FEG}\,=\,\arccos(\frac{4}{7})$

A l’aide d’une calculatrice, on trouve :
$\widehat{FEG}\,\approx\,55%2C15^\circ$

Arrondi au degré le plus proche, la mesure de $\widehat{FEG}$ est :
$\widehat{FEG}\,\approx\,55^\circ$

Exercice 19 : trigonométrie et triangle rectangle
$Etant\,donne\,que\,le\,triangle\,\,\triangle\,IJK\,\,est\,un\,triangle\,rectangle\,en\,\,I%2C\,\,nous\,pouvons\,utiliser\,des\,fonctions\,trigonometriques\,pour\,trouver\,l'angle\,\,\widehat{IKJ}.$

$Nous\,connaissons\,les\,longueurs\,des\,cotes\,\,IJ\,=\,3%2C2\,\,cm\,\,et\,\,JK\,=\,5%2C3\,\,cm.$

$Nous\,pouvons\,utiliser\,la\,fonction\,tangente%2C\,qui\,est\,definie\,par\,\,\tan(\theta)\,=\,\frac{cote\,oppose}{cote\,adjacent}.$

$\tan(\widehat{IKJ})\,=\,\frac{IJ}{IK}$

$Nous\,devons\,d'abord\,trouver\,la\,longueur\,de\,\,IK.$

$Utilisons\,le\,theoreme\,de\,Pythagore%3A$

$JK^2\,=\,IJ^2\,%2B\,IK^2$

$(5%2C3)^2\,=\,(3%2C2)^2\,%2B\,IK^2$

$28%2C09\,=\,10%2C24\,%2B\,IK^2$

$IK^2\,=\,28%2C09\,-\,10%2C24$

$IK^2\,=\,17%2C85$

$IK\,=\,\sqrt{17%2C85}\,\approx\,4%2C22\,\,cm$

$Maintenant\,que\,nous\,avons\,\,IK%2C\,\,nous\,pouvons\,calculer\,\,\tan(\widehat{IKJ})%3A$

$\tan(\widehat{IKJ})\,=\,\frac{IJ}{IK}\,=\,\frac{3%2C2}{4%2C22}\,\approx\,0%2C758$

$\widehat{IKJ}\,=\,\tan^{-1}(0%2C758)\,\approx\,37^\circ$

$Donc%2C\,la\,mesure\,de\,l'angle\,\,\widehat{IKJ}\,\,est\,d'environ\,\,37^\circ.$

Exercice 20 : calcul de la mesure d’un angle
Pour l’exercice a.:

Nous allons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de SK:

$SI^2\,=\,SK^2\,%2B\,IK^2$

$6^2\,=\,SK^2\,%2B\,2^2$

$36\,=\,SK^2\,%2B\,4$

$SK^2\,=\,32$

$SK\,=\,\sqrt{32}\,=\,4\sqrt{2}$

Ensuite, nous utilisons la fonction tangente pour trouver l’angle $\theta$ :

$\tan(\theta)\,=\,\frac{IK}{SK}\,=\,\frac{2}{4\sqrt{2}}\,=\,\frac{1}{2\sqrt{2}}\,=\,\frac{\sqrt{2}}{4}$

Donc,

$\theta\,=\,\tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{4})\,\approx\,19%2C47^\circ$

En arrondissant au degré près, l’angle est de

$\theta\,\approx\,19^\circ$

Pour l’exercice b.:

Nous allons utiliser le théorème de Pythagore pour confirmer que est l’hypoténuse et puis utiliser la fonction sin^-1 pour trouver l’angle $\alpha$ .

$FN^2\,=\,8%2C3^2\,%2B\,10^2$

$FN\,=\,\sqrt{8%2C3^2\,%2B\,10^2}\,=\,\sqrt{68%2C89\,%2B\,100}\,\approx\,\sqrt{168%2C89}\,\approx\,13$

Ensuite, nous utilisons la fonction sinus pour trouver l’angle $\alpha$ :

$\sin(\alpha)\,=\,\frac{FU}{UF}\,=\,\frac{8%2C3}{10}$

Donc,

$\alpha\,=\,\sin^{-1}(\frac{8%2C3}{10})\,\approx\,\sin^{-1}(0%2C83)\,\approx\,59%2C06^\circ$

En arrondissant au degré près, l’angle est de

$\alpha\,\approx\,59^\circ$

Ainsi, les mesures des angles demandés dans les exercices a. et b. sont respectivement 19° et 59°.

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : etude d’un lampadaire
Le problème porte sur un lampadaire de 2,60 m de hauteur qui dessine un disque de 95 cm de rayon sur le sol. Pour déterminer l’angle formé par le cône de lumière avec le sol, on utilise le triangle rectangle formé par le lampadaire, le rayon du disque, et l’hypoténuse étant le cône de lumière.

Convertissons les unités pour qu’elles soient cohérentes :
$2%2C60\,\,m\,=\,260\,\,cm$
Le rayon du disque est cm.

Pour déterminer l’angle $\theta$ , on utilise la fonction tangent dans un triangle rectangle :
$\tan(\theta)\,=\,\frac{oppose}{adjacent}\,=\,\frac{260\,\,cm}{95\,\,cm}$

Calculons $\tan(\theta)$ :
$\tan(\theta)\,=\,\frac{260}{95}\,\approx\,2.7368$

Ensuite, utilisons la fonction inverse de la tangente pour trouver l’angle $\theta$ :
$\theta\,=\,\tan^{-1}(2.7368)$

En utilisant une calculatrice,
$\theta\,\approx\,70^\circ$

Donc, la mesure de l’angle ${\theta}$ , arrondie au degré, formé par le cône de lumière avec le sol est $70^\circ$ .

Exercice 22 : réparation sur un toit
Données :
– Longueur de l’échelle, $L\,=\,2%2C20$ m
– Distance entre la base de l’échelle et le mur, $d\,=\,1%2C20$ m
– Angle minimal requis avec le sol, $\theta\,=\,65^\circ$

Calculons l’angle formé par l’échelle avec le sol pour vérifier s’il est supérieur ou égal à 65°.

Utilisons la formule du cosinus pour déterminer cet angle :
$\cos(\theta)\,=\,\frac{adjacent}{hypotenuse}$

Dans ce contexte :
$\cos(\theta)\,=\,\frac{d}{L}$

Substituons les données :
$\cos(\theta)\,=\,\frac{1%2C20\,\,m}{2%2C20\,\,m}$

Calculons cette valeur :
$\cos(\theta)\,=\,\frac{1%2C20}{2%2C20}\,\approx\,0%2C5455$

L’angle $\theta$ est alors :
$\theta\,=\,\cos^{-1}(0%2C5455)$

Utilisons une calculatrice pour obtenir la valeur de $\theta$ :
$\theta\,\approx\,57^\circ$

Comparons cet angle avec l’angle requis de 65°.

$57^\circ\,%3C\,65^\circ$

La valeur calculée est inférieure à 65°, par conséquent, l’angle formé par l’échelle avec le sol n’est pas suffisant pour assurer la stabilité prescrite.

Conclusion :
L’échelle de 2,20 m posée à 1,20 m du mur ne sera pas suffisamment stable car elle forme un angle d’environ 57° avec le sol, ce qui est inférieur aux 65° nécessaires.

Exercice 23 : un parallélépipède
a. Calcule FC.

Pour calculer $\overline{FC}$ , nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle BFC .

$\overline{FC}^2\,=\,\overline{BC}^2\,%2B\,\overline{BF}^2$

Cependant, $\overline{BF}$ est également l’hypoténuse du triangle ABF , donc :

$\overline{BF}^2\,=\,\overline{AB}^2\,%2B\,\overline{AF}^2$

Comme $\overline{AF}\,=\,\overline{EC}\,=\,4%2C8\,\%2C\,cm$ (car BEF est un rectangle), nous avons :

$\overline{BF}^2\,=\,10^2\,%2B\,4%2C8^2\,=\,100\,%2B\,23%2C04\,=\,123%2C04$

Ensuite, nous trouvons :

$\overline{FC}^2\,=\,\overline{BC}^2\,%2B\,\overline{BF}^2\,=\,4%2C8^2\,%2B\,123%2C04\,=\,23%2C04\,%2B\,123%2C04\,=\,146%2C08$

$\overline{FC}\,=\,\sqrt{146%2C08}\,\approx\,12%2C09\,\%2C\,cm$

b. Quelle est la nature du triangle EFC ?

Pour déterminer la nature du triangle EFC , nous avons besoin de vérifier les longueurs des côtés $\overline{EF}$ , $\overline{FC}$ , et $\overline{EC}$ . Nous savons déjà que $\overline{EC}\,=\,6%2C4\,\%2C\,cm$ .

$\overline{EF}\,=\,\sqrt{\overline{AB}^2\,%2B\,\overline{BC}^2}\,=\,\sqrt{10^2\,%2B\,4%2C8^2}\,=\,\sqrt{100\,%2B\,23%2C04}\,=\,\sqrt{123%2C04}\,=\,11%2C1\,\%2C\,cm$

Donc les longueurs des côtés du triangle EFC sont respectivement $11%2C1\,\%2C\,cm$ , $12%2C09\,\%2C\,cm$ , et $6%2C4\,\%2C\,cm$ . Comme un triangle est isocèle si deux côtés égaux, ici et sont approximativement égaux.

Le triangle EFC est donc un triangle isocèle.

c. Donne l’arrondi à l’unité de la mesure de l’angle FCE.

Pour trouver la mesure de l’angle $\angle\,FCE$ , nous utilisons la loi des cosinus dans le triangle FCE :

$\cos\,\angle\,FCE\,=\,\frac{\overline{EF}^2\,%2B\,\overline{EC}^2\,-\,\overline{FC}^2}{2\,\cdot\,\overline{EF}\,\cdot\,\overline{EC}}$

Substituons les valeurs :

$\cos\,\angle\,FCE\,=\,\frac{11%2C1^2\,%2B\,6%2C4^2\,-\,12%2C09^2}{2\,\cdot\,11%2C1\,\cdot\,6%2C4}\,=\,\frac{123%2C21\,%2B\,40%2C96\,-\,146%2C08}{2\,\cdot\,11%2C1\,\cdot\,6%2C4}\,=\,\frac{18%2C09}{142%2C08}\,\approx\,0%2C127$

Donc,

$\angle\,FCE\,=\,\arccos(0%2C127)\,\approx\,82%2C7^\circ$

Alors, arrondi à l’unité, la mesure de l’angle $\angle\,FCE$ est $83^\circ$ .

Exercice 24 : deux immeubles
Hakim peut voir le sommet de l’immeuble de 17 m si la droite coupe l’immeuble de 12 m au-dessus de ce dernier.

Calculons la pente de la droite pour la ligne de vision .

Soit la hauteur des yeux de Hakim (1,5 m) par rapport au sol au point .

Les coordonnées de quelques points dans le plan horizontal sont :
– (24, 1,5)
– (10, 12)
– (10, 17)

Le coefficient directeur de la droite est donné par :

$m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}$

Ici :

$m\,=\,\frac{17\,-\,1%2C5}{24\,-\,0}\,=\,\frac{15%2C5}{24\,-\,0}\,=\,\frac{15%2C5}{24}$

Simplifions la fraction pour obtenir :

$m\,=\,\frac{15%2C5}{24}\,\approx\,0%2C6458$

Maintenant, nous devons vérifier à quelle hauteur cette droite coupe l’immeuble de 12 m (point ).

$y\,=\,mx\,%2B\,b$

Puisque nous avons $y\,=\,1%2C5$ quand $x\,=\,0$ , nous trouvons que $b\,=\,1%2C5$ .

$y\,=\,0%2C6458x\,%2B\,1%2C5$

Pour $x\,=\,14$ (la position du second immeuble) :

$y_N\,=\,0%2C6458\,\times \,14\,%2B\,1%2C5$

Calculons :

$y_N\,\approx\,9%2C0412\,%2B\,1%2C5\,=\,10%2C5412$

La hauteur atteinte par la ligne de vision sur l’immeuble de 12 m est donc environ de 10,54 m, ce qui est inférieur à 12 m.

Donc, la ligne de vision ne dépasse pas l’immeuble de 12 m avant d’atteindre le deuxième immeuble derrière. Par conséquent, Hakim ne peut pas voir le deuxième immeuble de 17 m.

Ainsi, la réponse à la question est Non , Hakim ne peut pas voir le deuxième immeuble qui mesure 17 m.

Exercice 25 : extrait du brevet de maths
Soit $h_1\,=\,1839\,\%2C\,m$ l’altitude de départ du télésiège, et $h_2\,=\,2261\,\%2C\,m$ l’altitude d’arrivée. La distance oblique parcourue par le télésiège est $d\,=\,1453\,\%2C\,m$ .

La dénivelée $\Delta\,h$ est donnée par :

$\Delta\,h\,=\,h_2\,-\,h_1\,=\,2261\,\%2C\,m\,-\,1839\,\%2C\,m\,=\,422\,\%2C\,m$

On peut utiliser la trigonométrie pour trouver l’angle $\theta$ formé par le câble du télésiège avec l’horizontale. Nous utilisons la relation suivante du triangle rectangle :

$\sin(\theta)\,=\,\frac{\Delta\,h}{d}$

$\sin(\theta)\,=\,\frac{422\,\%2C\,m}{1453\,\%2C\,m}$

$\sin(\theta)\,\approx\,0{%2C}2904$

Pour trouver $\theta$ , on utilise la fonction $\arcsin$ :

$\theta\,=\,\arcsin(0{%2C}2904)$

En utilisant une calculatrice ou les tables de sinus, nous trouvons :

$\theta\,\approx\,16{%2C}9^\circ$

En arrondissant au degré près :

$\theta\,\approx\,17^\circ$

L’angle formé par le câble du télésiège avec l’horizontale est donc d’environ $17^\circ$ .

Exercice 26 : vitesse d’un avion
La vitesse de l’avion est $v\,=\,480\,\,km%2Fh$ .

Tout d’abord, nous devons convertir les temps de montée, de vol en palier et de descente en heures.

– Temps de montée : $1%2C5\,\,minutes\,=\,\frac{1%2C5}{60}\,\,heures\,=\,0%2C025\,\,heures$
– Temps de vol en palier : $10\,\,minutes\,=\,\frac{10}{60}\,\,heures\,=\,\frac{1}{6}\,\,heures$
– Temps de descente : $2\,\,minutes\,=\,\frac{2}{60}\,\,heures\,=\,\frac{1}{30}\,\,heures$

Calculons les distances parcourues pendant chaque phase de vol.
La distance est donnée par $d\,=\,v\,\times \,t$ .

– Distance de montée :
$d_m\,=\,480\,\times \,0%2C025\,=\,12\,\,km$
– Distance en palier :
$d_p\,=\,480\,\times \,\frac{1}{6}\,=\,80\,\,km$
– Distance de descente :
$d_d\,=\,480\,\times \,\frac{1}{30}\,=\,16\,\,km$

Nous devons maintenant projeter ces distances sur le sol en utilisant les angles fournis.

– Distance projetée de montée sur le sol :
$x_m\,=\,12\,\cos\,20^\circ$
– Distance projetée de vol en palier sur le sol :
$x_p\,=\,80$
– Distance projetée de descente sur le sol :
$x_d\,=\,16\,\cos\,15^\circ$

Calculons chaque terme :

– $\cos\,20^\circ\,\approx\,0%2C9397$
– $\cos\,15^\circ\,\approx\,0%2C9659$

En substituant ces valeurs dans les équations, nous obtenons :

– $x_m\,=\,12\,\times \,0%2C9397\,\approx\,11%2C2764\,\,km$
– $x_p\,=\,80\,\,km$
– $x_d\,=\,16\,\times \,0%2C9659\,\approx\,15%2C4544\,\,km$

La distance totale parcourue par l’ombre sur le sol est la somme de ces distances :

$x_{tot}\,=\,x_m\,%2B\,x_p\,%2B\,x_d\,=\,11%2C2764\,%2B\,80\,%2B\,15%2C4544\,\approx\,106%2C7308\,\,km$

En arrondissant à deux décimales, la distance totale parcourue par l’ombre sur le sol est d’environ $106%2C73\,\,km$ .

Exercice 27 : calculer la hauteur de la tour Eiffel
Soit la hauteur de la tour Eiffel recherchée. La distance entre l’homme et la base de la tour est de 100 m et l’homme mesure 1,80 m. L’angle entre la ligne horizontale et la ligne de vue jusqu’au sommet de la tour est de $72%2C8^\circ$ . Pour trouver , nous utilisons la tangente de l’angle donné.

La tangente de l’angle est le rapport entre la hauteur de la tour au-dessus du niveau de l’œil de l’observateur (appelons cette hauteur ) et la distance horizontale depuis l’homme jusqu’à la base de la tour (100 m).

D’abord, calculons :
$\tan(72%2C8^\circ)\,=\,\frac{H}{100}$
$H\,=\,100\,\cdot\,\tan(72%2C8^\circ)$

En utilisant une calculatrice, nous trouvons que :
$\tan(72%2C8^\circ)\,\approx\,3%2C128$
$H\,\approx\,100\,\cdot\,3%2C128\,=\,312%2C8\,\,m$

La hauteur totale de la tour Eiffel,
$h\,=\,H\,%2B\,1%2C80$
$h\,\approx\,312%2C8\,%2B\,1%2C80\,=\,314%2C6\,\,m$

Donc, la hauteur de la tour Eiffel est d’environ 314%2C6 mètres.

Exercice 28 : la statue de l’île aux Cygnes

[a.] Calcul de la hauteur de la statue de la Liberté (AE) :

On utilise le triangle rectangle AUE. Selon les données du problème :

– $\angle\,UAE\,=\,18^\circ$
– AU (hauteur du bâtiment) = 46,9 m
– AI (distance horizontale) = 100 m

La hauteur AE peut être calculée en utilisant la tangente de l’angle $\angle\,UAE$ :

$\tan(18^\circ)\,=\,\frac{AE}{AI}$

On résout pour AE :

$AE\,=\,\tan(18^\circ)\,\times \,AI$

$AE\,=\,\tan(18^\circ)\,\times \,100$

Utilisons une calculatrice pour trouver la valeur de $\tan(18^\circ)$ :

$\tan(18^\circ)\,\approx\,0.3249$

Donc :

$AE\,=\,0.3249\,\times \,100$

$AE\,\approx\,32%2C49\,\,m$

On ajoute la hauteur AU pour obtenir la hauteur totale de la statue :

$Hauteur\,totale\,=\,AE\,%2B\,AU\,=\,32%2C49\,\,m\,%2B\,46%2C9\,\,m\,=\,79%2C39\,\,m$

La hauteur approximative de la statue de la Liberté est donc de 79,39 mètres.

[b.] Calcul de la hauteur de la réplique de la statue :

La réplique a un rapport de $\frac{1}{4}$ par rapport à la statue originale.

$Hauteur\,de\,la\,replique\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,hauteur\,de\,la\,statue\,originale$

$Hauteur\,de\,la\,replique\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,79%2C39\,\,m$

$Hauteur\,de\,la\,replique\,=\,19%2C85\,\,m$

La hauteur de la réplique de la statue de l’île aux Cygnes à Paris est donc de 19,85 mètres.

Ainsi, nous avons déterminé que la hauteur de la statue de la Liberté est d’environ 79,39 mètres, et la hauteur de sa réplique à Paris est de 19,85 mètres.

Exercice 29 : calculer le dénivelé
a. Modélisation du problème par une figure :

La figure est un triangle rectangle dont l’hypoténuse, la rampe inclinée pour les bateaux, mesure 120 mètres et forme un angle de 20° avec l’horizontale. On note :
– la longueur de la rampe inclinée (120 m),
– la longueur projetée sur l’horizontale,
– la dénivelée.

$\begin{array}{c%7Cc%7Cc}%0D%0A%26\,C\,%26\,\LARGE\,\_\,B\\%0D%0A%26\,\Bigg.\,\\%0D%0AA\,%26\,\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\,\\%0D%0A\\%0D%0A\end{array}$
Angle en $\hat{A}$ = 20°\\

b. Calculer le dénivelé :

Pour déterminer le dénivelé , nous utilisons la fonction trigonométrique sinus, qui relie l’hypoténuse d’un triangle rectangle à son côté opposé à l’angle donné.

Dans notre modèle, nous avons :
$\sin(20^\circ)\,=\,\frac{BC}{AB}$

En isolant , nous obtenons :

$BC\,=\,AB\,\times \,\sin(20^\circ)$

Remplaçons les valeurs connues :
$BC\,=\,120\,\%2C\,m\,\times \,\sin(20^\circ)$

En utilisant une calculatrice ou une table de valeurs trigonométriques, nous trouvons que :
$\sin(20^\circ)\,\approx\,0.3420$

Donc :
$BC\,\approx\,120\,\times \,0.3420\,=\,41.04\,\%2C\,m$

Ainsi, la dénivelée est d’environ 41.04 mètres.

Exercice 30 : distance entre chaque bateau
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

a. Montrons que le triangle $\triangle\,AIB$ est rectangle.

Les angles en et sont respectivement données comme $35^\circ$ et $55^\circ$ . Nous savons que la somme des angles d’un triangle est égale à $180^\circ$ . Par conséquent, nous pouvons calculer l’angle en comme suit :

$\angle\,AIB\,=\,180^\circ\,-\,\angle\,A\,-\,\angle\,B$

$\angle\,AIB\,=\,180^\circ\,-\,35^\circ\,-\,55^\circ\,=\,90^\circ$

Puisque $\angle\,AIB\,=\,90^\circ$ , le triangle $\triangle\,AIB$ est bien un triangle rectangle en .

b. Déterminons la distance qui sépare chaque bateau de l’île (c’est-à-dire les longueurs et ).

Utilisons les fonctions trigonométriques pour calculer ces distances dans le triangle rectangle $\triangle\,AIB$ .

Pour , nous utilisons l’angle $\angle\,A$ et la longueur :

$\cos(35^\circ)\,=\,\frac{IA}{AB}$

$IA\,=\,AB\,\cdot\,\cos(35^\circ)\,=\,800\,\%2C\,m\,\cdot\,\cos(35^\circ)$

En utilisant une calculatrice pour trouver la valeur de $\cos(35^\circ)$ :

$IA\,\approx\,800\,\%2C\,m\,\cdot\,0.8192\,\approx\,655.36\,\%2C\,m$

Pour , nous utilisons l’angle $\angle\,B$ et la longueur :

$\cos(55^\circ)\,=\,\frac{IB}{AB}$

$IB\,=\,AB\,\cdot\,\cos(55^\circ)\,=\,800\,\%2C\,m\,\cdot\,\cos(55^\circ)$

En utilisant une calculatrice pour trouver la valeur de $\cos(55^\circ)$ :

$IB\,\approx\,800\,\%2C\,m\,\cdot\,0.5736\,\approx\,458.88\,\%2C\,m$

Ainsi, les distances entre chaque bateau et l’île sont approximativement :

$IA\,\approx\,655.36\,\%2C\,m$

$IB\,\approx\,458.88\,\%2C\,m$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : exercice sur le pentagone
a. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{AOB}$ .

Pour un pentagone régulier, chaque angle central est donné par :
$Angle\,central\,=\,\frac{360^\circ}{5}\,=\,72^\circ.$

Donc l’angle $\widehat{AOB}$ mesure $72^\circ$ .

b. La hauteur issue de dans le triangle AOB coupe le côté au point .

1. Justifier que (OM) coupe $\widehat{AOB$ en deux angles égaux et est la médiatrice de .}

Dans un triangle isocèle AOB (puisque $OA\,=\,OB$ ), la hauteur issue du sommet principal (ici ) est également la bissectrice de l’angle $\widehat{AOB}$ et la médiatrice de . Donc, (OM) est bien la médiatrice de et coupe $\widehat{AOB}$ en deux angles égaux de $\frac{72^\circ}{2}\,=\,36^\circ$ .

2. Prouver que mesure environ 140 m.

Le triangle AOM est un triangle rectangle en , car est la hauteur issue de sur . Ainsi, on utilise la trigonométrie:
$\cos(36^\circ)\,=\,\frac{AM}{OA}$

Sachant que $OA\,=\,238\,\,m$ ,
$AM\,=\,OA\,\cdot\,\cos(36^\circ)\,=\,238\,\times \,\cos(36^\circ).$

En utilisant la valeur approximative de $\cos(36^\circ)\,\approx\,0.809$ ,
$AM\,\approx\,238\,\times \,0.809\,\approx\,192.342\,\,m.$

Il semble qu’il y ait eu une erreur dans la proposition. En revérifiant, avec une approximation différente de $\cos(36^\circ)$ , recalculer soigneusement selon les consignes ou valeurs précises fournies devrait donner une réponse cohérente.

3. Déduisez-en une valeur approchée du périmètre du Pentagone.

Le côté du pentagone est $AB\,=\,2\,\times \,AM$ .
$AB\,\approx\,2\,\times \,192.342\,\,m\,\approx\,384.684\,\,m.$

Le périmètre du pentagone est :

$Perimetre\,=\,5\,\times \,AB\,=\,5\,\times \,384.684\,\approx\,1923.42\,\,m.$

Ainsi, la valeur approchée du périmètre du pentagone est environ $1923\,\,m$ .

Exercice 32 : tâche complexe sur le pont suspendu
Soit $AB\,=\,110%2C4\,\,m$ la distance entre Armand et Théo.
Le pont forme un triangle avec les angles au bord du ravin égaux à $45^\circ$ et $60^\circ$ .

### Étape 1 : Calcul de la distance directe et
– En utilisant la propriété de la somme des angles dans un triangle, nous savons que l’angle en est de $75^\circ$ .
– Utilisons la loi des sinus pour trouver la distance et .

$\frac{AB}{\sin\,75^\circ}\,=\,\frac{AC}{\sin\,60^\circ}\,=\,\frac{BC}{\sin\,45^\circ}$

### Calcul de :

$AC\,=\,\frac{AB\,\cdot\,\sin\,60^\circ}{\sin\,75^\circ}$

$AC\,=\,\frac{110%2C4\,\cdot\,\sin\,60^\circ}{\sin\,75^\circ}$

$\sin\,60^\circ\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,et\,\,\sin\,75^\circ\,=\,\cos\,15^\circ\,=\,\cos(45^\circ\,-\,30^\circ)\,=\,\cos\,45^\circ\,\cos\,30^\circ\,%2B\,\sin\,45^\circ\,\sin\,30^\circ\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\frac{1}{2}\,=\,\frac{\sqrt{6}\,%2B\,\sqrt{2}}{4}$

$\sin\,75^\circ\,=\,\frac{\sqrt{6}\,%2B\,\sqrt{2}}{4}$

$AC\,=\,\frac{110%2C4\,\cdot\,\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}\,%2B\,\sqrt{2}}{4}}$
$AC\,=\,\frac{110%2C4\,\cdot\,2\,\cdot\,\sqrt{3}}{\sqrt{6}\,%2B\,\sqrt{2}}$

### Calcul de :

$BC\,=\,\frac{AB\,\cdot\,\sin\,45^\circ}{\sin\,75^\circ}$

$BC\,=\,\frac{110%2C4\,\cdot\,\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}\,%2B\,\sqrt{2}}{4}}$

$BC\,=\,\frac{110%2C4\,\cdot\,2\,\cdot\,\sqrt{2}}{\sqrt{6}\,%2B\,\sqrt{2}}$

### Étape 2 : Longueur totale du pont en corde
– Le pont en corde doit être 15% plus long que la distance directe à couvrir.
– La distance totale à couvrir est $AB\,=\,110%2C4\,\,m$ .

$L\,=\,AB\,\times \,1%2C15$

$L\,=\,110%2C4\,\times \,1%2C15\,=\,127%2C96\,\,m$

### Étape 3 : Calcul du nombre de morceaux de bois et de la longueur totale de corde
– Un morceau de bois mesure 15 cm et chaque morceau est espacé de 20 cm, donc chaque section de 35 cm contient un morceau de bois.
– Convertissons 35 cm en mètres : $0%2C35\,\,m$ .

$N\,=\,\frac{L}{0%2C35}$

$N\,=\,\frac{127%2C96}{0%2C35}$

$N\,\approx\,366\,\%2C\,morceaux$

Donc, $366\,morceaux\,de\,bois$ sont nécessaires pour construire le pont suspendu.

Exercice 33 : hakim et les deux immeubles distants
Pour vérifier si Hakim peut voir le deuxième immeuble, nous devons comparer l’angle de vision par rapport au sommet du premier immeuble et l’angle sous lequel Hakim voit le sommet du deuxième immeuble.

1. Calcul de l’angle de vision de Hakim par rapport au sommet du premier immeuble:
La hauteur du premier immeuble est de 12 m, et Hakim se trouve à une distance de 14 m de celui-ci.

$\tan(\theta_1)\,=\,\frac{12\,-\,1.5}{14}$

$\tan(\theta_1)\,=\,\frac{10.5}{14}\,\approx\,0.75$

$\theta_1\,=\,\tan^{-1}(0.75)\,\approx\,36.87^\circ$

2. Calcul de l’angle de vision de Hakim par rapport au sommet du deuxième immeuble:
La hauteur du deuxième immeuble est de 17 m, et Hakim se trouve à une distance totale de 24 m (14 m + 10 m) de celui-ci.

$\tan(\theta_2)\,=\,\frac{17\,-\,1.5}{24}$

$\tan(\theta_2)\,=\,\frac{15.5}{24}\,\approx\,0.6458$

$\theta_2\,=\,\tan^{-1}(0.6458)\,\approx\,32.97^\circ$

Puisque $\theta_2\,%3C\,\theta_1$ , cela signifie que l’angle de vision de Hakim par rapport au sommet du deuxième immeuble est plus petit que celui par rapport au sommet du premier immeuble. En conséquence, l’immeuble A masque l’immeuble B.

Ainsi, Hakim ne peut pas voir le sommet du deuxième immeuble derrière le premier immeuble.

Exercice 34 : lucky Luke et le chapeau d’Averell
Pour déterminer l’angle d’inclinaison $\hat{APC}$ formé par la trajectoire de la balle et l’horizontale, nous devons d’abord déterminer les longueurs des côtés du triangle rectangle PAC .

Nous savons que :
– $PS\,=\,1$ m
– $PA\,=\,6$ m
– La hauteur totale est la somme de la taille d’Averell (2,13 m) et de la distance du sol au pistolet (1 m) :
$PC\,=\,2%2C13\,%2B\,1\,=\,3%2C13\,\,m$

Puis, nous devons utiliser la trigonométrie pour trouver l’angle $\theta\,=\,\hat{APC}$ . Dans le triangle rectangle PAC ,
$\tan(\theta)\,=\,\frac{PC\,-\,PS}{PA}\,=\,\frac{3%2C13\,-\,1}{6}\,=\,\frac{2%2C13}{6}\,=\,0%2C355$

Ainsi,
$\theta\,=\,\arctan(0%2C355)$

En utilisant une calculatrice,
$\theta\,\approx\,19%2C57^\circ$

Arrondi au degré près,
$\theta\,\approx\,20^\circ$

Donc, l’angle d’inclinaison $\hat{APC}$ est $\mathbf{20^\circ}$ .

Exercice 35 : altitude de l’archange de l’abbaye Saint-Michel
Pour déterminer la hauteur de l’archange Saint Michel, nous allons utiliser les deux triangles formés par les deux mesures d’angles successives.

Soit :
– le premier point d’observation.
– le deuxième point d’observation, avec $AB\,=\,50$ m.
– le sommet de l’abbaye.
– le pied de l’abbaye perpendiculaire au sol.