Théorème de Thalès : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : théorème de Thalès.
\[
\text{Soit } \triangle OAC \text{ et \triangle OMB}.
\]

Puisque \(BM \parallel AC\), les triangles \(\triangle OMB\) et \(\triangle OAC\) sont semblables selon le théorème de Thalès. Donc,

\[
\frac{OM}{OA} = \frac{OB}{OC} \quad (1)
\]

De même, puisque \(AB \parallel NC\), les triangles \(\triangle OAB\) et \(\triangle ONC\) sont également semblables par le théorème de Thalès. Donc,

\[
\frac{OA}{ON} = \frac{OB}{OC} \quad (2)
\]

En remplaçant \(\frac{OB}{OC}\) de l’équation (2) dans (1), on obtient:

\[
\frac{OM}{OA} = \frac{OA}{ON}
\]

En multipliant les deux côtés de cette équation par \(OA \cdot ON\), on a:

\[
OM \cdot ON = OA^2
\]

Ainsi, nous avons montré que:

\[
OA^2 = OM \cdot ON
\]

Exercice 2 : théorème de thalès et sa réciproque.
1. Calcul de l’angle \( \hat{A} \) :

Pour déterminer l’angle \( \hat{A} \) dans le triangle \( ABC \), nous utilisons le théorème des cosinus. Étant donné que \( AB = 8 \) cm, \( AC = 6,4 \) cm, et \( BC = 4,9 \) cm, nous avons :

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 – 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\hat{A}) \]

Substituons les valeurs :

\[ 8^2 = 6,4^2 + 4,9^2 – 2 \cdot 6,4 \cdot 4,9 \cdot \cos(\hat{A}) \]

Calculons chaque terme :

\[ 8^2 = 64 \]

\[ 6,4^2 = 40,96 \]

\[ 4,9^2 = 24,01 \]

Ainsi, l’équation devient :

\[ 64 = 40,96 + 24,01 – 2 \cdot 6,4 \cdot 4,9 \cdot \cos(\hat{A}) \]

\[ 64 = 64,97 – 2 \cdot 6,4 \cdot 4,9 \cdot \cos(\hat{A}) \]

\[ 64 = 64,97 – 62,72 \cos(\hat{A}) \]

\[ -0,97 = -62,72 \cos(\hat{A}) \]

\[ \cos(\hat{A}) = \frac{0,97}{62,72} \]

\[ \cos(\hat{A}) \approx 0,0155 \]

Donc :

\[ \hat{A} \approx \arccos(0,0155) \]

\[ \hat{A} \approx 89^\circ \]

2. Nature du triangle \( AEF \) :

Pour déterminer la nature du triangle \( AEF \), calculons ses côtés :

\( AE = 12 \) cm et \( AF = 9,6 \) cm. Le calcul du côté \( EF \) peut se faire en utilisant les coordonnées ou pour simplifier, observons s’il existe un angle droit.

Approchons cela en vérifiant l’alignement avec les points donnés. Comme \( E \) et \( F \) sont pris sur des prolongements et les calculs impliquent des distances proportionnelles :
– \( E \) et \( F \) existent sur des prolongements faisant que leurs distances peuvent être alignées.

Le triangle \( AEF \) est quelque peu dépendant de \( \hat{A} \) et depuis ce point aligné on peut affirmer qu’étant colinéaire et dépendant du \( AE \) et \( AF \), des prolongements, une conclusion optimale de triangles proportionnels.

Pour valider, la perfection :

Calculons area : \( AE, AF, EF \)

\[ AE \neq AF \neq \sqrt{AE^2 + AF^2} => triangle quelconque ou évaluations alignés géométriqûe. \)

Ainsi le triangle \( AEF \) est un triangle quelconque.

Justification : Il en dépend de conditions ouvrages et alignement linéarisés.

Exercice 3 : utilisation du théorème de Thalès
\[\]a.\[\]
On peut utiliser le théorème de Thalès dans cette figure.
\[ \frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DC} = \frac{ED}{DB} \]

\[\]b.\[\]
Le théorème de Thalès ne s’applique pas directement ici car les droites parallèles (FI, GJ, HK, etc.) coupent le rectangle mais ne définissent pas des triangles semblables comme stipulé par le théorème de Thalès.

\[\]c.\[\]
Le théorème de Thalès ne peut pas s’appliquer ici car il n’y a pas de parallélisme évident ou de configuration qui permettrait d’appliquer le théorème dans les triangles représentés.

\[\]d.\[\]
On peut utiliser le théorème de Thalès dans cette figure car les droites \(MN\) et \(PQ\) sont parallèles :
\[ \frac{MO}{OQ} = \frac{NP}{PQ} \]

\[\]e.\[\]
Il n’est pas possible d’utiliser directement le théorème de Thalès avec les informations de cette figure. La présence des deux diamètres de deux cercles différents ne fournit pas une situation de parallélisme ou de rapport de segments conforme au théorème de Thalès.

Dans l’ensemble, seules les figures a et d permettent d’utiliser directement le théorème de Thalès.

Exercice 4 : deux cônes de révolution et théorème de Thalès
Les droites \( BI \) et \( KA \) étant parallèles, les triangles \( KAS \) et \( BIS \) sont semblables (car ils ont un angle commun \( \angle KAS = \angle BIS \) et les angles \(\angle SKA = \angle BIS\) par les parallèles).

On peut donc écrire le rapport de proportionnalité des triangles semblables suivants :
\[ \frac{KS}{SI} = \frac{KA}{BI} \]

Les valeurs sont \( KS = 6 \) cm, \( SI = 4 \) cm, et \( KA = 4.5 \) cm.

Remplaçons ces valeurs dans la proportion :
\[ \frac{6}{4} = \frac{4.5}{BI} \]

En résolvant pour \( BI \) :
\[ \frac{6}{4} = \frac{4.5}{BI} \]
\[ BI = \frac{4.5 \times 4}{6} \]
\[ BI = \frac{18}{6} \]
\[ BI = 3 \text{ cm} \]

Ainsi, la longueur de \( BI \) est de 3 cm.

Exercice 5 : sports d’hiver et théorème de Thalès
Soit \( D \) le point d’arrêt du skieur après sa chute et \( H \) le point de projection verticale de \( D \) sur \( (BC) \). D’après les données de l’énoncé, nous savons que :

– \( BC = 1200 \) m (la longueur totale de la piste),
– \( AC = 200 \) m (le dénivelé initial de \( C \) par rapport à \( B \)),
– \( DH = 150 \) m (le dénivelé au point \( D \) par rapport à \( B \)).

Nous cherchons la longueur \( DB \).

1. Trigonométriquement, nous avons le triangle \( ABC \) rectangle en \( B \) où :
\[
\tan(\theta) = \frac{AC}{BC} = \frac{200}{1200} = \frac{1}{6}
\]
où \( \theta \) est l’angle formé par \( AC \) et \( BC \).

2. Pour le point \( D \), le dénivelé \( DH = 150 \) m, toujours par rapport à \( B \). Soit \( x \) la distance \( BH \).

Utilisons la tangente de \( \theta \) encore une fois:
\[
\tan(\theta) = \frac{DH}{x} = \frac{150}{x}
\]
En substituant \( \tan(\theta) \) par \( \frac{1}{6} \) :
\[
\frac{1}{6} = \frac{150}{x}
\]
Résolvons pour \( x \) :
\[
x = 150 \times 6 = 900 \, \text{m}
\]

3. Calculons maintenant \( DB \) :

Sachant que \( DB = BC – BH \), soit :
\[
DB = 1200 – 900 = 300 \, \text{m}
\]

Le skieur a donc encore \( 300 \) m de piste à parcourir pour atteindre la fin de la piste \( B \).

Exercice 6 : parcours dans les bois et théorème de Thalès
\[\]Correction de l’exercice :\[\]

a. Calculer la largeur de la rivière en nombre de pas.

On dispose d’un triangle rectangle où :
– l’hypoténuse mesure \( 20 \) pas,
– une des projections sur l’un des axes mesure \( 1 \) pas,
– l’autre projection sur l’autre axe mesure \( 5 \) pas, soit \( d = 5 \) pas.

On peut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle:

\[ d^2 + 1^2 = 20^2 \]

\[ d^2 + 1 = 400 \]

\[ d^2 = 399 \]

\[ d = \sqrt{399} \approx 19.975 \]

Cependant, cette valeur semble contradictoire avec les autres informations. Reprenons donc cette autre approche.

L’angle entre les repères (les arbres et la rivière) permet de calculer la largeur \( d \) comme proportionnelle aux distances mesurées :

\[ \tan(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{d}{5} \]

or, de l’information donnée :

\[ \theta = \tan^{-1} ( \frac{1}{20} ) \]

\[ d = 5 \times \tan(\theta) = 5 \times \frac{d}{20} = \frac{d}{4} \]

d’où :

\[ d = 1,25 \]

(on utilisera donc cette valeur de \( d \) pour le calcul de la largeur).

b. Calculer la largeur en centimètres.

Julien estime la longueur de son pas à 65 cm. La largeur de la rivière est alors :

\[ d = 5 \times 65 \, \text{cm} = 5 \times 0,65 \, \text{m} = 3,25 \, \text{m} = 325 \, \text{cm} \]

Ainsi, la largeur approximative de la rivière en centimètres est \( d = 325\) cm.

\[\]Résumé :\[\]
– En nombre de pas, la largeur \( d \) de la rivière est \( 1,25 \) pas ou \( 5 \times 1 \) pas non correctes.
– La largeur en centimètres est de \( 325 \) cm.

Ce problème fausse information approche géométrique correcte avoir mesurer et valeur exact 325 cm.

Exercice 7 : consolidation d’un bâtiment et théorème de Thalès
{Correction de l’exercice :}

\[\]a. Calculer la longueur AS.\[\]

Puisque le montant [BS] est perpendiculaire au sol, nous avons un triangle rectangle ABS.

Nous utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABS :

\[ AS^2 = AB^2 + BS^2 \]

Où \( AB = 2,5 \, \text{m} \) et \( BS = 6 \, \text{m} \).

\[ AS^2 = 2,5^2 + 6^2 \]
\[ AS^2 = 6,25 + 36 \]
\[ AS^2 = 42,25 \]
\[ AS = \sqrt{42,25} \]
\[ AS \approx 6,5 \, \text{m} \]

\[\]b. Calculer les longueurs SM et SN.\[\]

Le segment [SM] est la hauteur partant de S sur [AB], et [SN] est parallèle à [AB].
Nous notons \( AM = 1,95 \, \text{m} \) et \( BN = 1,8 \, \text{m} \).

La longueur de [SM] est égale à la longueur de [SN] puisque SN est parallèle à AB et MN est parallèle au sol.
Ainsi, \( SM \) est également égal à la longueur de \( S \) au sol. Comme SM est parallèle à AB la hauteur perpendiculaire est BS.
Donc, \( SM \) = \( BS = 6 \, \text{m} \).

Pour \( SN \) nous utilisons les points de M et N.

\[ SN = BS = 6 \, \text{m} \]

\[\]c. Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol.\[\]

Pour prouver que [MN] est parallèle au sol, il faut démontrer que \( \angle BMN = 90^\circ \).

La pente de la droite du sol est 0 (0 degré). Puisque BM est horizontal, pour que MN soit parallèle au sol, \( MN \) doit être à la même inclinaison.

Puisque \( AS = 6,5 \, \text{m} \), et que [MN] est à la même hauteur que [AB].

La montée de S est perpendiculaire, donc la pente de MN serait protégée car SM // AB. donc \( SA\cdot MN = h = 0\cdot MN = 0^\circ \).

Ainsi,

\[ [MN] \text{ est parallèle au sol.} \]

\[ \text{MN} = \text{ Parallele Sol} \cdot \text{Parallele AB} = \parallel Sol. \]

Exercice 8 : spectacle de marionnettes
Pour résoudre ce problème, nous utiliserons les propriétés de la géométrie similaire des triangles.

Soit \( L \) la distance entre la source de lumière et l’écran, \( h_{\text{ombre}} \) la hauteur de l’ombre de la marionnette sur l’écran, et \( h_{\text{marionnette}} \) la hauteur de la marionnette.

Nous avons :
\[
h_{\text{marionnette}} = 24 \text{ cm}
\]
\[
h_{\text{ombre}} = 2 \text{ m} = 200 \text{ cm}
\]

Let \((L + 30 \text{ cm})\) be the distance from the light source to the top of the marionnette:

D’après le théorème de Thalès, nous avons la proportionnalité des triangles semblables:
\[
\frac{h_{\text{ombre}}}{h_{\text{marionnette}}} = \frac{L + 30 \text{ cm}}{30 \text{ cm}}
\]

En remplaçant les valeurs connues:
\[
\frac{200}{24} = \frac{L + 30}{30}
\]

Nous résolvons cette équation pour obtenir \( L \):
\[
200 \cdot 30 = 24 \cdot (L + 30)
\]
\[
6000 = 24L + 720
\]
\[
6000 – 720 = 24L
\]
\[
5280 = 24L
\]
\[
L = \frac{5280}{24}
\]
\[
L = 220 \text{ cm}
\]

Donc, la distance de la source de lumière à l’écran pour rendre l’ombre de la marionnette aussi grande que possible est:
\[
\boxed{220 \text{ cm}}
\]

Exercice 9 : fabrication de boîtes par un artisan
a. Préciser la nature du triangle \( AOS \) et montrer que \( SO = 16 \) cm.

Le triangle \( AOS \) est un triangle rectangle en \( O \) car \( O \) est le centre de la base carrée \( ABCD \).

Utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle \( AOS \) pour calculer \( SO \) :

\[
SO^2 = SA^2 – OA^2
\]

\[
SO^2 = 20^2 – 12^2
\]

\[
SO^2 = 400 – 144
\]

\[
SO^2 = 256
\]

\[
SO = \sqrt{256}
\]

\[
SO = 16 \, \text{cm}
\]

b. Calculer le coefficient de réduction transformant la pyramide \( SABCD \) en la pyramide \( SIJKL \).

Le plan parallèle qui coupe la pyramide \( SABCD \) en \( IJKL \) est situé à une hauteur de \( SM = 2 \) cm, donc à une hauteur de \( SA – SM = 18 \) cm de la base.

Le coefficient de réduction est le rapport des hauteurs :

\[
k = \frac{SM}{SA}
\]

\[
k = \frac{2}{20}
\]

\[
k = \frac{1}{10}
\]

c. En déduire la longueur \( SI \) puis la longueur \( IA \).

Puisque \( M \) et \( O \) sont les centres des bases \( IJKL \) et \( ABCD \) respectivement, les segments \( SI \) et \( SO \) sont proportionnels par rapport au coefficient de réduction \( k = \frac{1}{10} \).

D’où :

\[
SI = SO \cdot k
\]

\[
SI = 16 \cdot \frac{1}{10}
\]

\[
SI = 1.6 \, \text{cm}
\]

Pour trouver \( IA \), nous savons que \( OA = 12 \) cm. La longueur \( IA \) est proportionnelle à \( OA \) suivant le coefficient de réduction \( k \) :

\[
IA = OA \cdot k
\]

\[
IA = 12 \cdot \frac{1}{10}
\]

\[
IA = 1.2 \, \text{cm}
\]

Donc, la longueur \( SI \) est de \( 1.6 \) cm et la longueur \( IA \) est de \( 1.2 \) cm.

Exercice 10 : funiculaire , théorème de Thalès et Pythagore
1) Calculer la distance \(DP\) en mètres.

Le triangle \(DPM\) est un triangle rectangle en \(P\). Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la distance \(DP\).

\[
DP^2 = DM^2 – MP^2
\]

En remplaçantpar les valeurs données:

\[
DP^2 = 420^2 – 252^2
\]

\[
DP^2 = 176400 – 63504
\]

\[
DP^2 = 112896
\]

\[
DP = \sqrt{112896} \approx 336 \text{ m}
\]

2a) Montrer que les droites \(MP\) et \(HA\) sont parallèles.

Les triangles \(DPM\) et \(DAH\) sont respectivement rectangles en \(P\) et en \(H\).
Puisque les triangles \(DPM\) et \(DAH\) ont un angle commun en \(D\) et sont tous les deux rectangles, cela signifie que leurs autres angles sont également égaux. Ainsi, les segments \(MP\) et \(HA\) sont des côtés opposés à ces angles égaux, ce qui implique que

\[
MP \parallel HA
\]

2b) Calculer la distance \(DA\) en mètres puis en kilomètres.

Le triangle \(DAH\) est un triangle rectangle en \(H\). Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la distance \(DA\).

\[
DA^2 = DH^2 + AH^2
\]

Sachant que \(AH\) est la somme de \(AP\) et \(PH\). Comme \(AP = MP = 252\) m et \(PH = 420\) m, alors

\[
AH = AP + PH = 252 + 420 = 672 \text{ m}
\]

\[
DA^2 = 1000^2 + 672^2
\]

\[
DA^2 = 1000000 + 451584
\]

\[
DA^2 = 1451584
\]

\[
DA = \sqrt{1451584} \approx 1205.65 \text{ m}
\]

En kilomètres :

\[
DA = 1.20565 \text{ km}
\]

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