Théorème de Thalès : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : théorème de Thalès.
Soit\,\,\triangle\,OAC\,\,et\,\triangle\,OMB.

Puisque BM\,\parallel\,AC, les triangles \triangle\,OMB et \triangle\,OAC sont semblables selon le théorème de Thalès. Donc,

\frac{OM}{OA}\,=\,\frac{OB}{OC}\,\quad\,(1)

De même, puisque AB\,\parallel\,NC, les triangles \triangle\,OAB et \triangle\,ONC sont également semblables par le théorème de Thalès. Donc,

\frac{OA}{ON}\,=\,\frac{OB}{OC}\,\quad\,(2)

En remplaçant \frac{OB}{OC} de l’équation (2) dans (1), on obtient:

\frac{OM}{OA}\,=\,\frac{OA}{ON}

En multipliant les deux côtés de cette équation par OA\,\cdot\,ON, on a:

OM\,\cdot\,ON\,=\,OA^2

Ainsi, nous avons montré que:

OA^2\,=\,OM\,\cdot\,ON

Exercice 2 : théorème de thalès et sa réciproque.
1. Calcul de l’angle \hat{A} :

Pour déterminer l’angle \hat{A} dans le triangle ABC, nous utilisons le théorème des cosinus. Étant donné que AB\,=\,8 cm, AC\,=\,6%2C4 cm, et BC\,=\,4%2C9 cm, nous avons :

AB^2\,=\,AC^2\,%2B\,BC^2\,-\,2\,\cdot\,AC\,\cdot\,BC\,\cdot\,\cos(\hat{A})

Substituons les valeurs :

8^2\,=\,6%2C4^2\,%2B\,4%2C9^2\,-\,2\,\cdot\,6%2C4\,\cdot\,4%2C9\,\cdot\,\cos(\hat{A})

Calculons chaque terme :

8^2\,=\,64

6%2C4^2\,=\,40%2C96

4%2C9^2\,=\,24%2C01

Ainsi, l’équation devient :

64\,=\,40%2C96\,%2B\,24%2C01\,-\,2\,\cdot\,6%2C4\,\cdot\,4%2C9\,\cdot\,\cos(\hat{A})

64\,=\,64%2C97\,-\,2\,\cdot\,6%2C4\,\cdot\,4%2C9\,\cdot\,\cos(\hat{A})

64\,=\,64%2C97\,-\,62%2C72\,\cos(\hat{A})

-0%2C97\,=\,-62%2C72\,\cos(\hat{A})

\cos(\hat{A})\,=\,\frac{0%2C97}{62%2C72}

\cos(\hat{A})\,\approx\,0%2C0155

Donc :

\hat{A}\,\approx\,\arccos(0%2C0155)

\hat{A}\,\approx\,89^\circ

2. Nature du triangle AEF :

Pour déterminer la nature du triangle AEF, calculons ses côtés :

AE\,=\,12 cm et AF\,=\,9%2C6 cm. Le calcul du côté EF peut se faire en utilisant les coordonnées ou pour simplifier, observons s’il existe un angle droit.

Approchons cela en vérifiant l’alignement avec les points donnés. Comme E et F sont pris sur des prolongements et les calculs impliquent des distances proportionnelles :
E et F existent sur des prolongements faisant que leurs distances peuvent être alignées.

Le triangle AEF est quelque peu dépendant de \hat{A} et depuis ce point aligné on peut affirmer qu’étant colinéaire et dépendant du AE et AF, des prolongements, une conclusion optimale de triangles proportionnels.

Pour valider, la perfection :

Calculons area : AE%2C\,AF%2C\,EF

AE\,\neq\,AF\,\neq\,\sqrt{AE^2\,%2B\,AF^2}\,=>\,triangle\,quelconque\,ou\,evaluations\,alignes\,geometrique.\,\)%0D%0A%0D%0AAinsi\,le\,triangle\,\(\,AEF\,\)\,est\,un\,triangle\,quelconque.%0D%0A%0D%0AJustification\,%3A\,Il\,en\,depend\,de\,conditions\,ouvrages\,et\,alignement\,linearises.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-3%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,3\,%3A\,utilisation\,du\,theoreme\,de\,Thales%3C%2Fspan>%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fa.%22\,alt=%22a.%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0AOn\,peut\,utiliser\,le\,theoreme\,de\,Thales\,dans\,cette\,figure.%0D%0A\%5B\,\frac{AE}{EB}\,=\,\frac{AD}{DC}\,=\,\frac{ED}{DB} est un triangle quelconque.

Justification : Il en depend de conditions ouvrages et alignement linearises.

Exercice 3 : utilisation du theoreme de Thales
a.
On peut utiliser le theoreme de Thales dans cette figure.
\[ \frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DC} = \frac{ED}{DB} » align= »absmiddle » />

b.
Le théorème de Thalès ne s’applique pas directement ici car les droites parallèles (FI, GJ, HK, etc.) coupent le rectangle mais ne définissent pas des triangles semblables comme stipulé par le théorème de Thalès.

c.
Le théorème de Thalès ne peut pas s’appliquer ici car il n’y a pas de parallélisme évident ou de configuration qui permettrait d’appliquer le théorème dans les triangles représentés.

d.
On peut utiliser le théorème de Thalès dans cette figure car les droites MN et PQ sont parallèles :
\frac{MO}{OQ}\,=\,\frac{NP}{PQ}

e.
Il n’est pas possible d’utiliser directement le théorème de Thalès avec les informations de cette figure. La présence des deux diamètres de deux cercles différents ne fournit pas une situation de parallélisme ou de rapport de segments conforme au théorème de Thalès.

Dans l’ensemble, seules les figures a et d permettent d’utiliser directement le théorème de Thalès.

Exercice 4 : deux cônes de révolution et théorème de Thalès
Les droites BI et KA étant parallèles, les triangles KAS et BIS sont semblables (car ils ont un angle commun \angle\,KAS\,=\,\angle\,BIS et les angles \angle\,SKA\,=\,\angle\,BIS par les parallèles).

On peut donc écrire le rapport de proportionnalité des triangles semblables suivants :
\frac{KS}{SI}\,=\,\frac{KA}{BI}

Les valeurs sont KS\,=\,6 cm, SI\,=\,4 cm, et KA\,=\,4.5 cm.

Remplaçons ces valeurs dans la proportion :
\frac{6}{4}\,=\,\frac{4.5}{BI}

En résolvant pour BI :
\frac{6}{4}\,=\,\frac{4.5}{BI}
BI\,=\,\frac{4.5\,\times  \,4}{6}
BI\,=\,\frac{18}{6}
BI\,=\,3\,\,cm

Ainsi, la longueur de BI est de 3 cm.

Exercice 5 : sports d’hiver et théorème de Thalès
Soit D le point d’arrêt du skieur après sa chute et H le point de projection verticale de D sur (BC). D’après les données de l’énoncé, nous savons que :

BC\,=\,1200 m (la longueur totale de la piste),
AC\,=\,200 m (le dénivelé initial de C par rapport à B),
DH\,=\,150 m (le dénivelé au point D par rapport à B).

Nous cherchons la longueur DB.

1. Trigonométriquement, nous avons le triangle ABC rectangle en B où :
\tan(\theta)\,=\,\frac{AC}{BC}\,=\,\frac{200}{1200}\,=\,\frac{1}{6}
\theta est l’angle formé par AC et BC.

2. Pour le point D, le dénivelé DH\,=\,150 m, toujours par rapport à B. Soit x la distance BH.

Utilisons la tangente de \theta encore une fois:
\tan(\theta)\,=\,\frac{DH}{x}\,=\,\frac{150}{x}
En substituant \tan(\theta) par \frac{1}{6} :
\frac{1}{6}\,=\,\frac{150}{x}
Résolvons pour x :
x\,=\,150\,\times  \,6\,=\,900\,\%2C\,m

3. Calculons maintenant DB :

Sachant que DB\,=\,BC\,-\,BH, soit :
DB\,=\,1200\,-\,900\,=\,300\,\%2C\,m

Le skieur a donc encore 300 m de piste à parcourir pour atteindre la fin de la piste B.

Exercice 6 : parcours dans les bois et théorème de Thalès
Correction\,de\,l'exercice\,%3A

a. Calculer la largeur de la rivière en nombre de pas.

On dispose d’un triangle rectangle où :
– l’hypoténuse mesure 20 pas,
– une des projections sur l’un des axes mesure 1 pas,
– l’autre projection sur l’autre axe mesure 5 pas, soit d\,=\,5 pas.

On peut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle:

d^2\,%2B\,1^2\,=\,20^2

d^2\,%2B\,1\,=\,400

d^2\,=\,399

d\,=\,\sqrt{399}\,\approx\,19.975

Cependant, cette valeur semble contradictoire avec les autres informations. Reprenons donc cette autre approche.

L’angle entre les repères (les arbres et la rivière) permet de calculer la largeur d comme proportionnelle aux distances mesurées :

\tan(\theta)\,=\,\frac{oppose}{adjacent}\,=\,\frac{d}{5}

or, de l’information donnée :

\theta\,=\,\tan^{-1}\,(\,\frac{1}{20}\,)

d\,=\,5\,\times  \,\tan(\theta)\,=\,5\,\times  \,\frac{d}{20}\,=\,\frac{d}{4}

d’où :

d\,=\,1%2C25

(on utilisera donc cette valeur de d pour le calcul de la largeur).

b. Calculer la largeur en centimètres.

Julien estime la longueur de son pas à 65 cm. La largeur de la rivière est alors :

d\,=\,5\,\times  \,65\,\%2C\,cm\,=\,5\,\times  \,0%2C65\,\%2C\,m\,=\,3%2C25\,\%2C\,m\,=\,325\,\%2C\,cm

Ainsi, la largeur approximative de la rivière en centimètres est d\,=\,325 cm.

Resume\,%3A
– En nombre de pas, la largeur d de la rivière est 1%2C25 pas ou 5\,\times  \,1 pas non correctes.
– La largeur en centimètres est de 325 cm.

Ce problème fausse information approche géométrique correcte avoir mesurer et valeur exact 325 cm.

Exercice 7 : consolidation d’un bâtiment et théorème de Thalès
Correction de l’exercice :

a.\,Calculer\,la\,longueur\,AS.

Puisque le montant [BS] est perpendiculaire au sol, nous avons un triangle rectangle ABS.

Nous utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABS :

AS^2\,=\,AB^2\,%2B\,BS^2

AB\,=\,2%2C5\,\%2C\,m et BS\,=\,6\,\%2C\,m.

AS^2\,=\,2%2C5^2\,%2B\,6^2
AS^2\,=\,6%2C25\,%2B\,36
AS^2\,=\,42%2C25
AS\,=\,\sqrt{42%2C25}
AS\,\approx\,6%2C5\,\%2C\,m

b.\,Calculer\,les\,longueurs\,SM\,et\,SN.

Le segment [SM] est la hauteur partant de S sur [AB], et [SN] est parallèle à [AB].
Nous notons AM\,=\,1%2C95\,\%2C\,m et BN\,=\,1%2C8\,\%2C\,m.

La longueur de [SM] est égale à la longueur de [SN] puisque SN est parallèle à AB et MN est parallèle au sol.
Ainsi, SM est également égal à la longueur de S au sol. Comme SM est parallèle à AB la hauteur perpendiculaire est BS.
Donc, SM = BS\,=\,6\,\%2C\,m.

Pour SN nous utilisons les points de M et N.

SN\,=\,BS\,=\,6\,\%2C\,m

c.\,Demontrer\,que\,la\,traverse\,%5BMN%5D\,est\,bien\,parallele\,au\,sol.

Pour prouver que [MN] est parallèle au sol, il faut démontrer que \angle\,BMN\,=\,90^\circ.

La pente de la droite du sol est 0 (0 degré). Puisque BM est horizontal, pour que MN soit parallèle au sol, MN doit être à la même inclinaison.

Puisque AS\,=\,6%2C5\,\%2C\,m, et que [MN] est à la même hauteur que [AB].

La montée de S est perpendiculaire, donc la pente de MN serait protégée car SM // AB. donc SA\cdot\,MN\,=\,h\,=\,0\cdot\,MN\,=\,0^\circ.

Ainsi,

%5BMN%5D\,\,est\,parallele\,au\,sol.

MN\,=\,\,Parallele\,Sol\,\cdot\,Parallele\,AB\,=\,\parallel\,Sol.

Exercice 8 : spectacle de marionnettes
Pour résoudre ce problème, nous utiliserons les propriétés de la géométrie similaire des triangles.

Soit L la distance entre la source de lumière et l’écran, h_{ombre} la hauteur de l’ombre de la marionnette sur l’écran, et h_{marionnette} la hauteur de la marionnette.

Nous avons :
h_{marionnette}\,=\,24\,\,cm
h_{ombre}\,=\,2\,\,m\,=\,200\,\,cm

Let (L\,%2B\,30\,\,cm) be the distance from the light source to the top of the marionnette:

D’après le théorème de Thalès, nous avons la proportionnalité des triangles semblables:
\frac{h_{ombre}}{h_{marionnette}}\,=\,\frac{L\,%2B\,30\,\,cm}{30\,\,cm}

En remplaçant les valeurs connues:
\frac{200}{24}\,=\,\frac{L\,%2B\,30}{30}

Nous résolvons cette équation pour obtenir L:
200\,\cdot\,30\,=\,24\,\cdot\,(L\,%2B\,30)
6000\,=\,24L\,%2B\,720
6000\,-\,720\,=\,24L
5280\,=\,24L
L\,=\,\frac{5280}{24}
L\,=\,220\,\,cm

Donc, la distance de la source de lumière à l’écran pour rendre l’ombre de la marionnette aussi grande que possible est:
220\,\,cm

Exercice 9 : fabrication de boîtes par un artisan
a. Préciser la nature du triangle AOS et montrer que SO\,=\,16 cm.

Le triangle AOS est un triangle rectangle en O car O est le centre de la base carrée ABCD.

Utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle AOS pour calculer SO :

SO^2\,=\,SA^2\,-\,OA^2

SO^2\,=\,20^2\,-\,12^2

SO^2\,=\,400\,-\,144

SO^2\,=\,256

SO\,=\,\sqrt{256}

SO\,=\,16\,\%2C\,cm

b. Calculer le coefficient de réduction transformant la pyramide SABCD en la pyramide SIJKL.

Le plan parallèle qui coupe la pyramide SABCD en IJKL est situé à une hauteur de SM\,=\,2 cm, donc à une hauteur de SA\,-\,SM\,=\,18 cm de la base.

Le coefficient de réduction est le rapport des hauteurs :

k\,=\,\frac{SM}{SA}

k\,=\,\frac{2}{20}

k\,=\,\frac{1}{10}

c. En déduire la longueur SI puis la longueur IA.

Puisque M et O sont les centres des bases IJKL et ABCD respectivement, les segments SI et SO sont proportionnels par rapport au coefficient de réduction k\,=\,\frac{1}{10}.

D’où :

SI\,=\,SO\,\cdot\,k

SI\,=\,16\,\cdot\,\frac{1}{10}

SI\,=\,1.6\,\%2C\,cm

Pour trouver IA, nous savons que OA\,=\,12 cm. La longueur IA est proportionnelle à OA suivant le coefficient de réduction k :

IA\,=\,OA\,\cdot\,k

IA\,=\,12\,\cdot\,\frac{1}{10}

IA\,=\,1.2\,\%2C\,cm

Donc, la longueur SI est de 1.6 cm et la longueur IA est de 1.2 cm.

Exercice 10 : funiculaire , théorème de Thalès et Pythagore
1) Calculer la distance DP en mètres.

Le triangle DPM est un triangle rectangle en P. Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la distance DP.

DP^2\,=\,DM^2\,-\,MP^2

En remplaçantpar les valeurs données:

DP^2\,=\,420^2\,-\,252^2

DP^2\,=\,176400\,-\,63504

DP^2\,=\,112896

DP\,=\,\sqrt{112896}\,\approx\,336\,\,m

2a) Montrer que les droites MP et HA sont parallèles.

Les triangles DPM et DAH sont respectivement rectangles en P et en H.
Puisque les triangles DPM et DAH ont un angle commun en D et sont tous les deux rectangles, cela signifie que leurs autres angles sont également égaux. Ainsi, les segments MP et HA sont des côtés opposés à ces angles égaux, ce qui implique que

MP\,\parallel\,HA

2b) Calculer la distance DA en mètres puis en kilomètres.

Le triangle DAH est un triangle rectangle en H. Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la distance DA.

DA^2\,=\,DH^2\,%2B\,AH^2

Sachant que AH est la somme de AP et PH. Comme AP\,=\,MP\,=\,252 m et PH\,=\,420 m, alors

AH\,=\,AP\,%2B\,PH\,=\,252\,%2B\,420\,=\,672\,\,m

DA^2\,=\,1000^2\,%2B\,672^2

DA^2\,=\,1000000\,%2B\,451584

DA^2\,=\,1451584

DA\,=\,\sqrt{1451584}\,\approx\,1205.65\,\,m

En kilomètres :

DA\,=\,1.20565\,\,km

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