Droites et plans de l’espace : corrigés des exercices en terminale.

Exercice 1 : position relative des droites dans un cube
Soit un cube de côté .

Les coordonnées des sommets du cube sont :
– $A(0%2C\,0%2C\,0)$
– $B(a%2C\,0%2C\,0)$
– $C(a%2C\,a%2C\,0)$
– $D(0%2C\,a%2C\,0)$
– $E(0%2C\,0%2C\,a)$
– $F(a%2C\,0%2C\,a)$
– $G(a%2C\,a%2C\,a)$
– $H(0%2C\,a%2C\,a)$

Les points , et étant les milieux des arêtes :
– est le milieu de
– est le milieu de
– est le milieu de

Calcul des coordonnées :
– $I\,(\,\frac{0%2B\,a}{2}%2C\,\frac{0%2B\,0}{2}%2C\,\frac{0%2B0}{2}\,)\,=\,(\frac{a}{2}%2C\,0%2C\,0)$
– $J\,(\,\frac{0%2B\,a}{2}%2C\,\frac{0%2B\,0}{2}%2C\,\frac{a\,%2B\,a}{2}\,)\,=\,(\frac{a}{2}%2C\,0%2C\,a)$
– $K\,(\,\frac{a%2B\,a}{2}%2C\,\frac{0\,%2Ba}{2}%2C\,\frac{a\,%2Ba}{2}\,)\,=\,(a%2C\,\frac{a}{2}%2C\,a)$

La droite :

Les vecteurs $\vec{E}\,=\,E(0%2C\,0%2C\,a)$ et $\vec{F}\,=\,F(a%2C\,0%2C\,a)$ .
Le vecteur directeur de EF est :
$\vec{EF}\,=\,F\,-\,E\,=\,(a%2C\,0%2C\,a)\,-\,(0%2C\,0%2C\,a)\,=\,(a%2C\,0%2C\,0)$

La droite :

Les vecteurs $\vec{H}\,=\,H(0%2C\,a%2C\,a)$ et $\vec{K}\,=\,K(a%2C\,\frac{a}{2}%2C\,a)$ .
Le vecteur directeur de HK est :
$\vec{HK}\,=\,K\,-\,H\,=\,(a%2C\,\frac{a}{2}%2C\,a)\,-\,(0%2C\,a%2C\,a)\,=\,(a%2C\,-\frac{a}{2}%2C\,0)$

Calcul du produit vectoriel entre $\vec{EF}$ et $\vec{HK}$ :

Le produit vectoriel $\vec{EF}\,\times \,\vec{HK}$ est donné par :
$\vec{EF}\,\times \,\vec{HK}\,=%0D%0A\begin{vmatrix}%0D%0A\mathbf{i}\,%26\,\mathbf{j}\,%26\,\mathbf{k}\,\\%0D%0Aa\,%26\,0\,%26\,0\,\\%0D%0Aa\,%26\,-\frac{a}{2}\,%26\,0%0D%0A\end{vmatrix}$

Détaillons le calcul:
$\vec{EF}\,\times \,\vec{HK}\,=%0D%0A\mathbf{i}\,(\,0\,-\,0\,)\,-%0D%0A\mathbf{j}\,(\,0\,-\,0\,)\,%2B%0D%0A\mathbf{k}\,(\,-\,\frac{a^2}{2}\,-\,0\,)\,=%0D%0A-\,\frac{a^2}{2}\,\mathbf{k}$

Comme $\vec{EF}\,\times \,\vec{HK}\,\neq\,\vec{0}$ , les droites et ne sont pas parallèles. De plus, elles ne sont pas coplanaires (elles ne se trouvent pas dans le même plan du cube).

Conclusion : Les droites et sont gauches dans l’espace.

Exercice 2 : quelle est la nature de la section d’un cube?
1) Le plan :
Le point est le milieu de , donc on a :
$\vec{AI}\,=\,\vec{IB}\,=\,\frac{1}{2}\,\vec{AB}$
Le plan passe par les points , , et .

Les points et sont situés sur la face (face avant du cube).

On observe que le segment est une diagonale de la face avant du cube.

Puisque est le milieu de , le plan coupe le cube en formant un triangle dont les sommets sont , , et .

Par conséquent, la section du cube par le plan est un triangle.

2) Le plan :
Le point est le milieu de , donc on a :
$\vec{AI}\,=\,\vec{IB}\,=\,\frac{1}{2}\,\vec{AB}$
Le plan passe par les points , , et .

Observons la disposition des points. Le point se situe sur la face supérieure , le point se situe sur la face avant , et se trouve au milieu de (face avant ).

Dans ce cas, le plan coupe les arêtes , , et la diagonale de la face supérieure en passant par .

Les trois points ne sont pas alignés, ils déterminent donc un plan. La section formée est un triangle.

Par conséquent, la section du cube par le plan est également un triangle.

Exercice 3 : donner les coordonnées des vecteurs
1) Donner les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$.

Les coordonnées d’un vecteur $\vec{PQ}$ sont données par les différences des coordonnées des points $Q$ et $P$.

Pour $\vec{AB}$ :
$\vec{AB}\,=\,(\,B_x\,-\,A_x%2C\,B_y\,-\,A_y%2C\,B_z\,-\,A_z\,)\,=\,(\,-1\,-\,(-3)%2C\,1\,-\,2%2C\,0\,-\,4\,)\,=\,(\,2%2C\,-1%2C\,-4\,)$

Pour $\vec{AC}$ :
$\vec{AC}\,=\,(\,C_x\,-\,A_x%2C\,C_y\,-\,A_y%2C\,C_z\,-\,A_z\,)\,=\,(\,2\,-\,(-3)%2C\,-3\,-\,2%2C\,5\,-\,4\,)\,=\,(\,5%2C\,-5%2C\,1\,)$

Pour $\vec{BC}$ :
$\vec{BC}\,=\,(\,C_x\,-\,B_x%2C\,C_y\,-\,B_y%2C\,C_z\,-\,B_z\,)\,=\,(\,2\,-\,(-1)%2C\,-3\,-\,1%2C\,5\,-\,0\,)\,=\,(\,3%2C\,-4%2C\,5\,)$

2) Donner les coordonnées des vecteurs $\vec{u} = 2\vec{AB} – \vec{AC}$ et $\vec{v} = \vec{AC} + 3\vec{BC}$.

Pour $\vec{u}$ :
$\vec{u}\,=\,2\vec{AB}\,-\,\vec{AC}$
$2\vec{AB}\,=\,2\,\times \,(2%2C\,-1%2C\,-4)\,=\,(4%2C\,-2%2C\,-8)$
$\vec{u}\,=\,(4%2C\,-2%2C\,-8)\,-\,(5%2C\,-5%2C\,1)\,=\,(4\,-\,5%2C\,-2\,%2B\,5%2C\,-8\,-\,1)\,=\,(-1%2C\,3%2C\,-9)$

Pour $\vec{v}$ :
$\vec{v}\,=\,\vec{AC}\,%2B\,3\vec{BC}$
$3\vec{BC}\,=\,3\,\times \,(3%2C\,-4%2C\,5)\,=\,(9%2C\,-12%2C\,15)$
$\vec{v}\,=\,(5%2C\,-5%2C\,1)\,%2B\,(9%2C\,-12%2C\,15)\,=\,(5\,%2B\,9%2C\,-5\,-\,12%2C\,1\,%2B\,15)\,=\,(14%2C\,-17%2C\,16)$

Donc, les coordonnées des vecteurs sont :
$\vec{u}\,=\,(-1%2C\,3%2C\,-9)$
$\vec{v}\,=\,(14%2C\,-17%2C\,16)$

Exercice 4 : déterminer les coordonnées du vecteur

Déterminer les coordonnées du point défini par $\vec{AC}\,=\,\vec{u}$ .

Les coordonnées de $\vec{AC}$ et $\vec{u}$ étant identiques, on a :
$\vec{AC}\,=\,\vec{u}$
$(x_C\,-\,2%2C\,y_C\,-\,5%2C\,z_C\,%2B\,1)\,=\,(2%2C\,-1%2C\,4)$

En résolvant pour , on obtient :
$\begin{cases}%0D%0Ax_C\,-\,2\,=\,2\,\implies\,x_C\,=\,4\,\\%0D%0Ay_C\,-\,5\,=\,-1\,\implies\,y_C\,=\,4\,\\%0D%0Az_C\,%2B\,1\,=\,4\,\implies\,z_C\,=\,3%0D%0A\end{cases}$

Donc, les coordonnées du point sont $(4%2C\,4%2C\,3)$ .

Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ puis celles du point tel que soit un parallélogramme.

Les coordonnées de $\vec{AB}$ sont :
$\vec{AB}\,=\,(0\,-\,2%2C\,3\,-\,5%2C\,4\,-\,(-1))\,=\,(-2%2C\,-2%2C\,5)$

Pour que soit un parallélogramme, $\vec{BD}$ doit être égal à $\vec{AC}$ . Donc :
$\vec{BD}\,=\,\vec{AC}\,=\,(2%2C\,-1%2C\,4)$

Si l’on prend tel que $\vec{BD}\,=\,\vec{AC}$ , alors :
$\vec{BD}\,=\,(x_D\,-\,0%2C\,y_D\,-\,3%2C\,z_D\,-\,4)\,=\,(2%2C\,-1%2C\,4)$

En résolvant pour , on obtient :
$\begin{cases}%0D%0Ax_D\,-\,0\,=\,2\,\implies\,x_D\,=\,2\,\\%0D%0Ay_D\,-\,3\,=\,-1\,\implies\,y_D\,=\,2\,\\%0D%0Az_D\,-\,4\,=\,4\,\implies\,z_D\,=\,8%0D%0A\end{cases}$

Donc, les coordonnées du point sont $(2%2C\,2%2C\,8)$ .

Déterminer les coordonnées du centre de ce parallélogramme.

Les coordonnées du centre d’un parallélogramme sont données par la moyenne des coordonnées de deux points opposés non contigus. Par exemple, si A et C sont opposés, alors :
$K\,=\,(\,\frac{x_A\,%2B\,x_C}{2}%2C\,\frac{y_A\,%2B\,y_C}{2}%2C\,\frac{z_A\,%2B\,z_C}{2}\,)$

Substituons les coordonnées de et :
$K\,=\,(\,\frac{2\,%2B\,4}{2}%2C\,\frac{5\,%2B\,4}{2}%2C\,\frac{-1\,%2B\,3}{2}\,)$

En simplifiant, on obtient :
$K\,=\,(\,\frac{6}{2}%2C\,\frac{9}{2}%2C\,\frac{2}{2}\,)\,=\,(3%2C\,4.5%2C\,1)$

Ainsi, les coordonnées du centre du parallélogramme sont $(3%2C\,4.5%2C\,1)$ .

Exercice 5 : déterminer une représentation paramétrique

Soit $A(2%3B\,5%3B\,-1)$ un point de la droite $\Delta$ et $\vec{u}(2%3B\,-1%3B\,4)$ un vecteur directeur de $\Delta$ . La représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par et de vecteur directeur $\vec{u}$ est donnée par :
$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,2\,%2B\,2t\,\\%0D%0Ay\,=\,5\,-\,t\,\\%0D%0Az\,=\,-1\,%2B\,4t%0D%0A\end{cases}$
où est un paramètre réel.

Pour vérifier si le point $B(2%3B\,-3%3B\,4)$ appartient à la droite $\Delta$ , il faut déterminer s’il existe un paramètre tel que :
$\begin{cases}%0D%0A2\,%2B\,2t\,=\,2\,\\%0D%0A5\,-\,t\,=\,-3\,\\%0D%0A-1\,%2B\,4t\,=\,4%0D%0A\end{cases}$
En résolvant chacune de ces équations :

Pour l’équation $2\,%2B\,2t\,=\,2$ :
$2t\,=\,0\,\implies\,t\,=\,0$

Pour l’équation $5\,-\,t\,=\,-3$ :
$-t\,=\,-8\,\implies\,t\,=\,8$

Pour l’équation $-1\,%2B\,4t\,=\,4$ :
$4t\,=\,5\,\implies\,t\,=\,\frac{5}{4}$

Les valeurs de ne sont pas cohérentes. Donc, il n’existe pas de paramètre unique tel que satisfasse les équations paramétriques de la droite $\Delta$ .

Conclusion : le point $B(2%3B\,-3%3B\,4)$ n’appartient pas à la droite $\Delta$ .

Exercice 6 : représentation paramétrique et vecteur directeur
La droite $\Delta$ est donnée par les équations paramétriques :

$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,-3\,%2B\,4t\,\\%0D%0Ay\,=\,2\,\\%0D%0Az\,=\,-t%0D%0A\end{cases}%0D%0A\quad%2C\,t\,\in\,\mathbb{R}$

Pour obtenir un vecteur directeur de la droite $\Delta$ , nous observons les coefficients de dans les équations paramétriques, ce qui nous donne :

$\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A4\,\\%0D%0A0\,\\%0D%0A-1%0D%0A\end{pmatrix}$

Ainsi, un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\,=\,(4%2C\,0%2C\,-1)$ .

Pour déterminer un point de la droite $\Delta$ , il suffit de fixer une valeur de . Prenons $t\,=\,0$ par exemple :

$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,-3\,%2B\,4\,\times \,0\,=\,-3\,\\%0D%0Ay\,=\,2\,\\%0D%0Az\,=\,-0\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

Donc, un point de la droite $\Delta$ est $(-3%2C\,2%2C\,0)$ .

En résumé:

– Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\,=\,(4%2C\,0%2C\,-1)$ .
– Un point de $\Delta$ est $(-3%2C\,2%2C\,0)$ .

Exercice 7 : déterminer les positions relatives

$(IK)$ et $(AD)$ :

Les segments $(IK)$ et $(AD)$ sont des segments situés dans des plans différents du tétraèdre $ABCD$. Il n’y a donc pas de relation spéciale entre eux.
Conclusion : les droites $(IK)$ et $(AD)$ sont non coplanaires.

$(IK)$ et $(AB)$ :

Le segment $(IK)$ est dans le plan $(BCD)$ et $(AB)$ est dans le plan $(ABD)$. Ils se croisent uniquement si l’un des points appartient au plan de l’autre.
Les plans $(BCD)$ et $(ABD)$ ne se croisent que sur la droite $(BD)$. $I$ et $K$ sont les milieux des segments dans le plan $(BCD)$, non nécessairement alignés sur $(BD)$.
Conclusion : les droites $(IK)$ et $(AB)$ sont sécantes dans le point $D$.

$(IJ)$ et $(AID)$ :

$(IJ)$ est défini par les milieux des segments $(BC)$ et $(CD)$, donc appartient au plan $(BCD)$. $(AID)$ est une ligne fictive passant par $A$ et $I$ (sur $(BC)J$). La ligne arrive jusqu’à $D$.
Les points $I$ et $J$ sont sur $(BC)$ et $(CD)$, donc dans $(AID)$.
Conclusion : les droites $(IJ)$ et $(AID)$ sont confondues.

$(ABJ)$ et $(ACD)$ :

$(ABJ)$ contient le segment $AB$ et le point $J$ sur $(CD)$, et $(ACD)$ est identifié par trois points $A$, $C$ et $D$.
Ces deux droites interviennent différemment dans le tétraèdre le point d’intersection par leur appartenance.
Conclusion : les droites $(ABJ)$ et $(ACD)$ sont coplanaires dans le plan $(BCD)$ et $(AD)$.

$(DIK)$ et $(ABD)$ :

$(DIK)$ est une droite dans le triangle non parallèle par rapport à $(ABD)$.
Les intersections sont possibles sur les droites.
Conclusion : les droites $(DIK)$ et $(ABD)$ sont sécantes.

$(IJ)$ et $(KBD)$ :

L’intersection $(IJ)$ n’est pas sur $(KBD)$ donc dernière partie à gauche. Segment différent dans le tétraèdre.
Le point $J$ est situé plus au-dessus.
Conclusion: les droites $(IJ)$ et $(KBD)$ sont non sécantes.

Exercice 8 : intersections de plans et pyramides
1) Montrons que la droite est parallèle au plan .

Dans la pyramide , considérons la base qui est un rectangle.

Dans le rectangle , les côtés et sont parallèles. Comme est un rectangle, nous savons que les plans et ne se rencontrent jamais et sont donc parallèles entre eux.

Décrivons maintenant la situation des plans :
– Le plan contient les points , , et .
– Le plan est formé par les segments , , etc.

Puisque la droite est une droite contenue dans le plan et nous avons établi que $(BC)\,\parallel\,(DE)$ , par définition de la pyramide et ses segments, la droite est parallèle au plan .

Nous concluons donc que $(BC)\,\parallel\,(EAD)$ .

2) Pour trouver l’intersection des plans et , nous devons identifier les points et droites que ces plans partagent.

– Premièrement, le plan inclut les points , , et , tandis que le plan inclut les points , , et .

Puisque les plans partagent un point commun ou plus et une droite où ils se croisent, observons les plans :

– La droite est contenue dans le plan .
– La droite relie les points et .

Etant donné que $BC\,\parallel\,AD$ , et que cette parallélité influence le plans et , par la géométrie du rectangle et ses propriétés, il est clair que la gauche de crée un partage de ligne à droite avec se trouvant sur ce segment, aidant à l’intersection claire du plan et de .

Nous en déduisons donc que l’intersection des plans et est la droite dans leur commune provenance.

$(IBC)\,\cap\,(EAD)\,=\,(IC)$

Exercice 9 : quatre points coplanaires et intersections
$\Delta$ est la droite parallèle à $(BC)$ passant par $D$.

1) Intersection de $\Delta$ avec le plan $(IBD)$ :

Le plan $(IBD)$ contient les points $I$, $B$ et $D$. Étant donné que $I$ est le milieu de $[AC]$, le segment $[AC]$ appartient au plan $(ABC)$. Et puisque $\Delta$ est parallèle à $(BC)$ et passe par $D$, alors $\Delta$ appartient également au plan $(IBD)$. En conséquence :
$\Delta\,\cap\,(IBD)\,=\,\Delta.$

2) Intersection de $\Delta$ avec le plan $(ABC)$ :

Le plan $(ABC)$ contient la droite $(BC)$. Comme $\Delta$ est une droite passant par $D$ et parallèle à $(BC)$, elle se trouve également dans le plan $(ABC)$. En d’autres termes :
$\Delta\,\cap\,(ABC)\,=\,D.$

Ainsi, les intersections de $\Delta$ avec les plans $(IBD)$ et $(ABC)$ sont $\Delta$ pour le premier et $D$ pour le second.

Exercice 10 : construire les intersections de plan
Pour déterminer les intersections des plans, nous allons analyser chacune des situations demandées :

1. et :

Les plans et se coupent suivant la droite . En effet, et appartiennent à la fois au plan et au plan .

2. et :

Les plans et se coupent suivant la droite . En effet, et appartiennent à la fois au plan et au plan .

Voici la construction des intersections:

1. Pour et , dessiner la droite :
« `LaTeX
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate [label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate [label=right:$B$] (B) at (4,0);
\coordinate [label=below:$D$] (D) at (1.7,1);
\coordinate [label=below:$C$] (C) at (2.5,1);
\coordinate [label=above:$S$] (S) at (2,3);

\draw [thick] (A)–(B)–(S)–cycle; % SAB
\draw [thick] (S)–(C)–(D)–cycle; % SDC
\draw [dashed] (A)–(D)–(B); % Trapeze
\draw [dashed] (S)–(D);
\end{tikzpicture}
\end{center}
« `

2. Pour et , dessiner la droite :
« `LaTeX
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate [label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate [label=right:$B$] (B) at (4,0);
\coordinate [label=below:$D$] (D) at (1.7,1);
\coordinate [label=below:$C$] (C) at (2.5,1);
\coordinate [label=above:$S$] (S) at (2,3);

\draw [thick] (A)–(B)–(S)–cycle; % SAB
\draw [thick] (S)–(D)–(A)–cycle; % SAD
\draw [thick] (S)–(B)–(C)–cycle; % SBC
\draw [dashed] (A)–(D)–(B); % Trapeze
\draw [dashed] (S)–(A);
\end{tikzpicture}
\end{center}
« `

Ainsi, les droites d’intersection recherchées apparaissent grâce à l’analyse des plans adjacents de la pyramide.

Exercice 11 : les droites suivantes sont-elles coplanaires ?
Pour déterminer si les droites sont coplanaires, il suffit de vérifier si elles appartiennent au même plan.

1) (AB) et (IF)

La droite (AB) se trouve dans le plan ABD . Quant à la droite (IF) , notons que le point est situé sur et sur . Puisque appartient à et à , on peut dire que (IF) se trouve dans le plan AEF . Par conséquent, (AB) et (IF) ne sont pas coplanaires car (AB) est dans le plan ABD et (IF) dans le plan AEF .

2) (DJ) et (IF)

La droite (DJ) est dans le plan AFE car est défini sur avec appartenant au plan BCD et appartenant à BGF . De plus, (IF) est dans le plan AEF . Les points , , , et ne sont pas collinéaires ni coplanaires dans le même plan, donc les droites (DJ) et (IF) ne sont pas coplanaires.

3) (BC) et (AE)

La droite (BC) se trouve dans le plan BCD , et la droite (AE) se trouve dans le plan AEF . Ces deux plans sont perpendiculaires, donc les droites (BC) et (AE) ne sont pas coplanaires.

4) (EH) et (IJ)

La droite (EH) se trouve dans le plan EFGH . Le point appartient à et appartenant à avec appartenant au plan BCD et appartenant au plan BGF , se trouve dans le plan ABEG . Donc, les droites (EH) et (IJ) ne sont pas coplanaires.

Aucune des paires de droites discutées ci-dessus n’est coplanaires.

Exercice 12 : tracer l’intersection du plan et d’une face
1. Soit le pavé avec $A%2C\,B%2C\,C%2C\,D%2C\,E%2C\,F%2C\,G%2C\,H$ comme sommets.

2. Déterminons l’intersection du plan (BIJ) avec la face EABF .

– Puisque et sont des points du plan (BIJ) , nous devons déterminer les points et sur la figure. Supposons que soit un point sur l’arête et que soit un point sur l’arête .

– La droite passant par et intersecte le plan EABF sur la seconde arête passant par (et donc ), et sur l’arête .

3. Trouvons l’intersection du plan (BIJ) avec la face DCGH .

– De manière similaire, dédions que DCGH est parallèle à EABF et et sont déterminés comme précédemment. Ainsi, nous cherchons où la droite passant par et intersecte le plan DCGH .

– Ces intersections se produiront sur les arêtes (et donc , puisque est parallèle à ) et % de la face DCGH .

4. Enfin, nous complèterons la section du pavé par le plan (BIJ) .

$\begin{array}{l}%0D%0A1.\,Identifier\,les\,points\,d'intersection\,du\,plan\,$(BIJ)$\,avec\,les\,aretes\,du\,pave\,%3A\,\\%0D%0A(B)\,\,sur\,la\,face\,\,CDGH%2C\,\\%0D%0A(I)\,\,sur\,la\,face\,\,ABEF%2C\,\\%0D%0A(J)\,\,sur\,la\,face\,\,BFGH.\,\\%0D%0A2.\,Relier\,les\,points\,trouves\,%3A\,\\%0D%0ATracer\,les\,droites\,passant\,par\,$B-I$\,et\,$I-J$.\,\\%0D%0ALes\,intersections\,des\,segments\,$BI%2C\,IJ$\,forment\,la\,section\,du\,pave\,par\,le\,plan\,$(BIJ)$.\\%0D%0A\end{array}$ avec les aretes du pave : \\
(B) sur la face CDGH, \\
(I) sur la face ABEF, \\
(J) sur la face BFGH. \\
2. Relier les points trouves : \\
Tracer les droites passant par B-I et I-J . \\
Les intersections des segments $BI%2C\,IJ$ forment la section du pave par le plan (BIJ) .\\
\end{array} » align= »absmiddle » />

Exercice 13 : construire la section d’un cube par le plan (IJK)
Soit un point tel que $I\,\in\,%5BHD%5D$ et $HI\,=\,\frac{2}{3}\,HD$ .

Ainsi, divise le segment en deux parties telles que $HI\,=\,\frac{2}{3}\,HD$ et $ID\,=\,\frac{1}{3}\,HD$ .

Soit un point tel que $J\,\in\,%5BFG%5D$ et $FJ\,=\,\frac{3}{4}\,FG$ .

Ainsi, divise le segment en deux parties telles que $FJ\,=\,\frac{3}{4}\,FG$ et $JG\,=\,\frac{1}{4}\,FG$ .

Le plan (EIJ) passe donc par le point , et .

Pour déterminer la section du cube par le plan (EIJ) , traçons les segments :
–
–
–

Ces lignes définiront la section du cube par le plan (EIJ) .

$Correction\,de\,l'exercice\,2\,%3A$

Soit un point tel que $I\,\in\,%5BEF%5D$ et $EI\,=\,\frac{1}{3}\,EF$ .

Ainsi, divise le segment en deux parties telles que $EI\,=\,\frac{1}{3}\,EF$ et $IF\,=\,\frac{2}{3}\,EF$ .

Soit un point tel que $J\,\in\,%5BBC%5D$ et $BJ\,=\,\frac{1}{2}\,BC$ .

Ainsi, divise le segment en deux parties telles que $BJ\,=\,\frac{1}{2}\,BC$ et $JC\,=\,\frac{1}{2}\,BC$ .

Soit un point tel que $K\,\in\,%5BHG%5D$ et $HK\,=\,\frac{3}{4}\,HG$ .

Ainsi, divise le segment en deux parties telles que $HK\,=\,\frac{3}{4}\,HG$ et $KG\,=\,\frac{1}{4}\,HG$ .

Le plan (IJK) passe donc par les points , et .

Pour déterminer la section du cube par le plan (IJK) , traçons les segments :
–
–
–

Ces lignes définiront la section du cube par le plan (IJK) .

Exercice 14 : section et construction
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\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}

\section*{Correction de l’exercice}

\subsection*{Premier cas: et milieux de et }
On considère le cube et les points , , et comme définis dans l’énoncé.

étant le milieu de et le milieu de , et sachant que est le milieu de , on peut en déduire que le plan (IJK) est défini par ces trois points.

Analysons la position de chaque point :
– et appartiennent à une face latérale du cube, disons que est situé en et en .
– étant le milieu de , il se trouve en .
– , , , et appartiennent à une autre face latérale du cube.
– est en , en , en , et en .
– est alors positionné en et en .

Pour trouver la section du cube par le plan (IJK) , on doit déterminer les intersections de ce plan avec les arêtes du cube. En utilisant l’équation du plan passant par trois points , , et , on trouve que le plan (IJK) s’écrit comme suit :

$\vec{n}\,=\,\begin{vmatrix}%0D%0A\mathbf{i}\,%26\,\mathbf{j}\,%26\,\mathbf{k}\,\\%0D%0A0\,%26\,0.5\,%26\,1\,\\%0D%0A1\,%26\,0\,%26\,0%0D%0A\end{vmatrix}\,\implies\,\vec{n}\,=\,-0.5\mathbf{i}\,-\,\mathbf{j}\,\implies\,\vec{n}\,=\,-\frac{1}{2}\mathbf{i}\,-\,\mathbf{j}$

Ainsi, l’équation du plan $(I%2C\,J%2C\,K)$ peut être écrite:

$-\frac{1}{2}x\,-\,y\,%2B\,z\,-\,b\,=\,0%2C\,\quad\,ou\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fb%22\,alt=%22b$ est une constante determinee par l’alignement des points » align= »absmiddle » />

Pour tracer la section du cube par le plan (IJK) , il faut tracer les intersections de ce plan avec les faces du cube.

\subsection*{Deuxième cas:}
Nous avons maintenant un second scénario :

– $I\,\in\,%5BAE%5D$ avec $AI\,=\,\frac{1}{4}\,AE$ ,
– $J\,\in\,%5BDH%5D$ avec $DJ\,=\,\frac{3}{4}\,DH$ ,
– $K\,\in\,%5BFG%5D$ avec $FK\,=\,\frac{1}{3}\,FG$ .

Pour tracer le plan (IJK) , nous devons trouver les coordonnées de , , et et les intersections de ce plan avec le cube.

– et , d’où $I(0%2C\,0%2C\frac{1}{4})$ ,
– et , d’où $J(1%2C\,\frac{3}{4}%2C\,\frac{3}{4})$ ,
– $F(1%2C\,1%2C0)$ et $G(1%2C\,1%2C1)$ , d’où $K(1%2C1%2C\frac{1}{3})$ .

Ensuite, la section se trouve de la même manière que dans le premier cas en déterminant l’équation du plan (IJK) et en trouvant les intersections avec les arêtes du cube.

\end{document}

Exercice 15 : déterminer et construire la section d’un cube
\section*{Correction de l’exercice de mathématiques}

\subsection*{Exercice 1}

Soit un cube. Définissons comme le milieu de , comme le milieu de et comme un point du segment tel que $HK\,=\,\frac{2}{3}\,HG$ . Nous devons déterminer et construire la section du cube par le plan (IJK) .

1. Les coordonnées des sommets du cube sont :
$A(0%2C0%2C0)%2C\,B(1%2C0%2C0)%2C\,C(1%2C1%2C0)%2C\,D(0%2C1%2C0)%2C\,E(0%2C0%2C1)%2C\,F(1%2C0%2C1)%2C\,G(1%2C1%2C1)%2C\,H(0%2C1%2C1)$

2. Calculons les coordonnées des points , , et :
– est le milieu de :
$I(\frac{0%2B0}{2}%2C\,\frac{0%2B1}{2}%2C\,\frac{1%2B1}{2})\,=\,I(0%2C\,\frac{1}{2}%2C\,1)$

– est le milieu de :
$J(\frac{1%2B1}{2}%2C\,\frac{0%2B1}{2}%2C\,\frac{0%2B0}{2})\,=\,J(1%2C\,\frac{1}{2}%2C\,0)$

– est un point de tel que $HK\,=\,\frac{2}{3}\,HG$ . et , donc est horizontal :
$HG\,=\,G\,-\,H\,=\,(1-0%2C\,1-1%2C\,1-1)\,=\,(1%2C0%2C0)$
$HK\,=\,\frac{2}{3}\,HG\,=\,\frac{2}{3}\,(1%2C0%2C0)\,=\,(\frac{2}{3}%2C\,0%2C\,0)$
$K\,=\,H\,%2B\,HK\,=\,(0%2C1%2C1)\,%2B\,(\frac{2}{3}%2C\,0%2C\,0)\,=\,(\frac{2}{3}%2C\,1%2C\,1)$

3. Déterminons l’équation du plan (IJK) . Pour ce faire, écrivons les vecteurs $\vec{IJ}$ et $\vec{IK}$ :
– $\vec{IJ}\,=\,(1-0%2C\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{2}%2C\,0-1)\,=\,(1%2C0%2C-1)$
– $\vec{IK}\,=\,(\frac{2}{3}\,-\,0%2C\,1\,-\,\frac{1}{2}%2C\,1\,-\,1)\,=\,(\frac{2}{3}%2C\,\frac{1}{2}%2C\,0)$

4. Le vecteur normal $\mathbf{n}$ au plan (IJK) est :
$\mathbf{n}\,=\,\vec{IJ}\,\times \,\vec{IK}\,=%0D%0A\begin{vmatrix}%0D%0A\mathbf{i}\,%26\,\mathbf{j}\,%26\,\mathbf{k}\,\\%0D%0A1\,%26\,0\,%26\,-1\,\\%0D%0A\frac{2}{3}\,%26\,\frac{1}{2}\,%26\,0%0D%0A\end{vmatrix}%0D%0A=\,\mathbf{i}\,(0\,\cdot\,0\,-\,(-1)\,\cdot\,\frac{1}{2})\,-\,\mathbf{j}\,(1\,\cdot\,0\,-\,(-1)\,\cdot\,\frac{2}{3})\,%2B\,\mathbf{k}\,(1\,\cdot\,\frac{1}{2}\,-\,0\,\cdot\,\frac{2}{3})$
$\mathbf{n}\,=\,\mathbf{i}\,(\frac{1}{2})\,-\,\mathbf{j}\,(\frac{2}{3})\,%2B\,\mathbf{k}\,(\frac{1}{2})\,=\,(\frac{1}{2}%2C\,-\frac{2}{3}%2C\,\frac{1}{2})$

5. L’équation du plan (IJK) est de la forme $ax\,%2B\,by\,%2B\,cz\,%2B\,d\,=\,0$ , avec $\mathbf{n}\,=\,(a%2C\,b%2C\,c)$ et une constante. Utilisons un des points pour déterminer :
$\frac{1}{2}\,\cdot\,0\,-\,\frac{2}{3}\,\cdot\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{1}{2}\,\cdot\,1\,%2B\,d\,=\,0$
$-\frac{1}{3}\,%2B\,\frac{1}{2}\,%2B\,d\,=\,0$
$\frac{1}{6}\,%2B\,d\,=\,0\,\Rightarrow\,d\,=\,-\frac{1}{6}$
Donc l’équation du plan (IJK) est :
$\frac{1}{2}x\,-\,\frac{2}{3}y\,%2B\,\frac{1}{2}z\,-\,\frac{1}{6}\,=\,0$
$3x\,-\,4y\,%2B\,3z\,=\,1$

\subsection*{Exercice 2}

Soit un cube et , , et des points tels que:
– $I\,\in\,%5BAD%5D$ et $AI\,=\,\frac{1}{3}\,AD$ ,
– $J\,\in\,%5BFG%5D$ et $FJ\,=\,\frac{2}{3}\,FG$ ,
– $K\,\in\,%5BAB%5D$ et $AK\,=\,\frac{1}{3}\,AB$ .

1. Les coordonnées des sommets du cube sont les mêmes :
$A(0%2C0%2C0)%2C\,B(1%2C0%2C0)%2C\,C(1%2C1%2C0)%2C\,D(0%2C1%2C0)%2C\,E(0%2C0%2C1)%2C\,F(1%2C0%2C1)%2C\,G(1%2C1%2C1)%2C\,H(0%2C1%2C1)$

2. Calculons les coordonnées des points , , et :
– $I\,\in\,%5BAD%5D$ et $AI\,=\,\frac{1}{3}\,AD$ :
$AD\,=\,(0%2C1%2C0)\,-\,(0%2C0%2C0)\,=\,(0%2C1%2C0)$
$I\,=\,A\,%2B\,\frac{1}{3}\,AD\,=\,(0%2C0%2C0)\,%2B\,\frac{1}{3}\,(0%2C1%2C0)\,=\,(0%2C\frac{1}{3}%2C0)$

– $J\,\in\,%5BFG%5D$ et $FJ\,=\,\frac{2}{3}\,FG$ :
$FG\,=\,(1%2C1%2C1)\,-\,(1%2C0%2C1)\,=\,(0%2C1%2C0)$
$J\,=\,F\,%2B\,\frac{2}{3}\,FG\,=\,(1%2C0%2C1)\,%2B\,\frac{2}{3}\,(0%2C1%2C0)\,=\,(1%2C\frac{2}{3}%2C1)$

– $K\,\in\,%5BAB%5D$ et $AK\,=\,\frac{1}{3}\,AB$ :
$AB\,=\,(1%2C0%2C0)\,-\,(0%2C0%2C0)\,=\,(1%2C0%2C0)$
$K\,=\,A\,%2B\,\frac{1}{3}\,AB\,=\,(0%2C0%2C0)\,%2B\,\frac{1}{3}\,(1%2C0%2C0)\,=\,(\frac{1}{3}%2C0%2C0)$

3. Déterminons l’équation du plan (IJK) . Pour ce faire, écrivons les vecteurs $\vec{IJ}$ et $\vec{IK}$ :
– $\vec{IJ}\,=\,(1-0%2C\frac{2}{3}-\frac{1}{3}%2C1-0)\,=\,(1%2C\frac{1}{3}%2C1)$
– $\vec{IK}\,=\,(\frac{1}{3}-0%2C0-\frac{1}{3}%2C0-0)\,=\,(\frac{1}{3}%2C-\frac{1}{%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-16%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,16\,%3A\,construire\,la\,section\,de\,la\,pyramide%3C%2Fspan>%0D%0A1)\,Reproduire\,la\,figure\,et\,placer\,les\,points\,\(I$ Exercice 16 : construire la section de la pyramide
1) Reproduire la figure et placer les points \(I » align= »absmiddle » /> et milieux respectifs des segments et .

Les points et se trouvent à mi-distance des segments et , respectivement. On peut donc les placer en divisant chaque segment en deux parties égales.

2) Construire en justifiant la section de la pyramide par le plan (CIJ) .

Pour construire la section de la pyramide par le plan (CIJ) , nous devons déterminer où ce plan coupe les autres arêtes de la pyramide.

– Le point est déjà un point de l’intersection.
– Le point est le milieu du segment .
– Le point est le milieu du segment .

Considérons les points $M\,\in\,%5BSC%5D$ , $N\,\in\,%5BCD%5D$ et $P\,\in\,%5BSB%5D$ tels que ces points soient aussi sur le plan (CIJ) .

– Les droites (SD) et (AB) sont coupées en leurs milieux et .
– Le plan (CIJ) passe par le point , le milieu de et le milieu de .
– On doit donc trouver les points , et tels que ces points aussi appartiennent au plan (CIJ) .

Le plan (CIJ) passe par le point et est parallèlement limité par les segments et .

Pour déterminer les points d’intersection , et :
– Le point se situe donc sur l’arête .
– Le point est l’intersection du plan (CIJ) avec l’arête .
– Le point est l’intersection du plan (CIJ) avec l’arête .

En résumé, la section de la pyramide par le plan (CIJ) forme un quadrilatère MCPN . La justification repose sur la détermination de ces points comme intersections du plan avec les arêtes correspondantes.

Exercice 17 : quelle est la nature de cette section ?
1) La figure est reproduite correctement avec les points , et situés au milieu des segments , et respectivement.

2) Pour construire la section du tétraèdre par le plan (IJK) , nous devons relier les points , et . Voici les étapes :

– Relions et qui sont au milieu des côtés et respectivement. Le segment est parallèle et égal à la moitié du côté .
– Relions et qui sont au milieu des côtés et respectivement. Le segment est parallèle et égal à la moitié du côté .
– Relions et qui sont au milieu des côtés et respectivement. Le segment est parallèle et égal à la moitié du côté .

Ainsi, le triangle IJK est formé.

3) Pour déterminer la nature de la section du tétraèdre par le plan (IJK) , considérons les propriétés des milieux dans les triangles et les relations de parallélisme :

– Tous les segments , et sont des segments reliant les milieux des côtés du tétraèdre régulier ABCD .
– Puisque nous savons que , et sont les milieux des segments respectifs et que ces milieux divisent ces segments en parties égales, le triangle formé IJK sera un triangle équilatéral car le tétraèdre est régulier (tous les côtés égaux et toutes les faces équilatérales).

En conclusion, la section du tétraèdre régulier ABCD par le plan (IJK) est un triangle équilatéral.

$La\,section\,du\,tetraedre\,par\,le\,plan\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2528IJK%2529%22\,alt=%22(IJK)$ est un triangle equilateral. » align= »absmiddle » />

Exercice 18 : citer des droites orthogonales
1) Citer six droites orthogonales à la droite :

Les droites orthogonales à (qui est un segment de l’arête vertical du cube) sont :
–
–
–
–
–
–

2) Citer six droites orthogonales à la droite :

Les droites orthogonales à (diagonale d’une des faces du cube) sont :
–
–
–
–
–
–

3) Citer deux droites orthogonales au plan BCG :

Les droites orthogonales au plan BCG sont :
–
–

4) Citer deux droites orthogonales au plan AFG :

Les droites orthogonales au plan AFG sont :
–
–

1) Démontrer que la droite est orthogonale au plan BCG :

Pour montrer que est orthogonale au plan BCG , il suffit de prouver que est perpendiculaire à deux droites non parallèles situées dans ce plan.
Les droites et sont situées dans le plan BCG et sont non parallèles.
On observe que $AB\,\perp\,BC$ et $AB\,\perp\,BG$ car est une arête verticale perpendiculaire aux arêtes horizontales du cube.
Donc, est orthogonale au plan BCG .

2) En déduire que les droites et sont orthogonales :

Puisque est située dans le plan BCG , et nous avons démontré que est orthogonale au plan BCG , il s’ensuit que est orthogonale à toutes les droites contenues dans le plan BCG , y compris la droite .
Donc, et sont orthogonales.