Droites et plans de l’espace : corrigés des exercices de maths en terminale.

Exercice 11 : les droites suivantes sont-elles coplanaires ?
Pour déterminer si les droites sont coplanaires, il suffit de vérifier si elles appartiennent au même plan.

1) \( (AB) \) et \( (IF) \)

La droite \( (AB) \) se trouve dans le plan \( ABD \). Quant à la droite \( (IF) \), notons que le point \( I \) est situé sur \( [AE] \) et \( F \) sur \( [EF] \). Puisque \( I \) appartient à \( AE \) et \( F \) à \( EF \), on peut dire que \( (IF) \) se trouve dans le plan \( AEF \). Par conséquent, \( (AB) \) et \( (IF) \) ne sont pas coplanaires car \( (AB) \) est dans le plan \( ABD \) et \( (IF) \) dans le plan \( AEF \).

2) \( (DJ) \) et \( (IF) \)

La droite \( (DJ) \) est dans le plan \( AFE \) car \( J \) est défini sur \( [CG] \) avec \( C \) appartenant au plan \( BCD \) et \( G \) appartenant à \( BGF \). De plus, \( (IF) \) est dans le plan \( AEF \). Les points \( D \), \( J \), \( I \), et \( F \) ne sont pas collinéaires ni coplanaires dans le même plan, donc les droites \( (DJ) \) et \( (IF) \) ne sont pas coplanaires.

3) \( (BC) \) et \( (AE) \)

La droite \( (BC) \) se trouve dans le plan \( BCD \), et la droite \( (AE) \) se trouve dans le plan \( AEF \). Ces deux plans sont perpendiculaires, donc les droites \( (BC) \) et \( (AE) \) ne sont pas coplanaires.

4) \( (EH) \) et \( (IJ) \)

La droite \( (EH) \) se trouve dans le plan \( EFGH \). Le point \( I \) appartient à \( AE \) et \( J \) appartenant à \( CG \) avec \( C \) appartenant au plan \( BCD \) et \( G \) appartenant au plan \( BGF \), \( J \) se trouve dans le plan \( ABEG \). Donc, les droites \( (EH) \) et \( (IJ) \) ne sont pas coplanaires.

Aucune des paires de droites discutées ci-dessus n’est coplanaires.

Exercice 12 : tracer l’intersection du plan et d’une face
1. Soit le pavé \(ABCDEFGH\) avec \(A, B, C, D, E, F, G, H\) comme sommets.

2. Déterminons l’intersection du plan \((BIJ)\) avec la face \(EABF\).

– Puisque \(B\) et \(I\) sont des points du plan \((BIJ)\), nous devons déterminer les points \(I\) et \(J\) sur la figure. Supposons que \(I\) soit un point sur l’arête \(AB\) et que \(J\) soit un point sur l’arête \(BF\).

– La droite passant par \(B\) et \(I\) intersecte le plan \(EABF\) sur la seconde arête passant par \(A\) (et donc \(E\)), et sur l’arête \(F\).

3. Trouvons l’intersection du plan \((BIJ)\) avec la face \(DCGH\).

– De manière similaire, dédions que \(DCGH\) est parallèle à \(EABF\) et \(I\) et \(J\) sont déterminés comme précédemment. Ainsi, nous cherchons où la droite passant par \(B\) et \(I\) intersecte le plan \(DCGH\).

– Ces intersections se produiront sur les arêtes \(D\) (et donc \(C\), puisque \(D\) est parallèle à \(F\)) et %\(G\) de la face \(DCGH\).

4. Enfin, nous complèterons la section du pavé \(ABCDEFGH\) par le plan \((BIJ)\).

\[
\begin{array}{l}
\text{1. Identifier les points d’intersection du plan \((BIJ)\) avec les arêtes du pavé :} \\
(B) \text{ sur la face } CDGH, \\
(I) \text{ sur la face } ABEF, \\
(J) \text{ sur la face } BFGH. \\
\text{2. Relier les points trouvés :} \\
\text{Tracer les droites passant par \(B-I\) et \(I-J\)}. \\
\text{Les intersections des segments \(BI, IJ\) forment la section du pavé par le plan \((BIJ)\)}.\\
\end{array}
\]

Exercice 13 : construire la section d’un cube par le plan (IJK)
Soit \( I \) un point tel que \( I \in [HD] \) et \( HI = \frac{2}{3} HD \).

Ainsi, \( I \) divise le segment \( [HD] \) en deux parties telles que \( HI = \frac{2}{3} HD \) et \( ID = \frac{1}{3} HD \).

Soit \( J \) un point tel que \( J \in [FG] \) et \( FJ = \frac{3}{4} FG \).

Ainsi, \( J \) divise le segment \( [FG] \) en deux parties telles que \( FJ = \frac{3}{4} FG \) et \( JG = \frac{1}{4} FG \).

Le plan \((EIJ)\) passe donc par le point \(E\), \(I\) et \(J\).

Pour déterminer la section du cube par le plan \((EIJ)\), traçons les segments :
– \([EI]\)
– \([IJ]\)
– \([JE]\)

Ces lignes définiront la section du cube par le plan \((EIJ)\).

\[\]Correction de l’exercice 2 :\[\]

Soit \( I \) un point tel que \( I \in [EF] \) et \( EI = \frac{1}{3} EF \).

Ainsi, \( I \) divise le segment \( [EF] \) en deux parties telles que \( EI = \frac{1}{3} EF \) et \( IF = \frac{2}{3} EF \).

Soit \( J \) un point tel que \( J \in [BC] \) et \( BJ = \frac{1}{2} BC \).

Ainsi, \( J \) divise le segment \( [BC] \) en deux parties telles que \( BJ = \frac{1}{2} BC \) et \( JC = \frac{1}{2} BC \).

Soit \( K \) un point tel que \( K \in [HG] \) et \( HK = \frac{3}{4} HG \).

Ainsi, \( K \) divise le segment \( [HG] \) en deux parties telles que \( HK = \frac{3}{4} HG \) et \( KG = \frac{1}{4} HG \).

Le plan \((IJK)\) passe donc par les points \(I\), \(J\) et \(K\).

Pour déterminer la section du cube par le plan \((IJK)\), traçons les segments :
– \([IJ]\)
– \([JK]\)
– \([KI]\)

Ces lignes définiront la section du cube par le plan \((IJK)\).

Exercice 14 : section et construction


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\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

{Correction de l’exercice}

\subsection*{Premier cas: \( J \) et \( K \) milieux de \([BC]\) et \([CD]\)}
On considère le cube \(ABCDEFGH\) et les points \( I \), \( J \), et \( K \) comme définis dans l’énoncé.

\(J\) étant le milieu de \([BC]\) et \(K\) le milieu de \([CD]\), et sachant que \(I\) est le milieu de \([EH]\), on peut en déduire que le plan \((IJK)\) est défini par ces trois points.

Analysons la position de chaque point :
– \(E\) et \(H\) appartiennent à une face latérale du cube, disons que \(E\) est situé en \((0,0,1)\) et \(H\) en \((0,1,1)\).
– \(I\) étant le milieu de \([EH]\), il se trouve en \((0,0.5,1)\).
– \(A\), \(B\), \(C\), et \(D\) appartiennent à une autre face latérale du cube.
– \(A\) est en \((0,0,0)\), \(B\) en \((0,1,0)\), \(C\) en \((1,1,0)\), et \(D\) en \((1,0,0)\).
– \(J\) est alors positionné en \((0.5,1,0)\) et \(K\) en \((1,0.5,0)\).

Pour trouver la section du cube par le plan \((IJK)\), on doit déterminer les intersections de ce plan avec les arêtes du cube. En utilisant l’équation du plan passant par trois points \( I(0,0.5,1) \), \( J(0.5,1,0) \), et \( K(1,0.5,0) \), on trouve que le plan \((IJK)\) s’écrit comme suit :

\[
\vec{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} \\
0 0.5 1 \\
1 0 0
\end{vmatrix} \implies \vec{n} = -0.5\mathbf{i} – \mathbf{j} \implies \vec{n} = -\frac{1}{2}\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]

Ainsi, l’équation du plan \((I, J, K)\) peut être écrite:

\[
-\frac{1}{2}x – y + z – b = 0, \quad \text{où \(b\) est une constante déterminée par l’alignement des points}
\]

Pour tracer la section du cube par le plan \((IJK)\), il faut tracer les intersections de ce plan avec les faces du cube.

\subsection*{Deuxième cas:}
Nous avons maintenant un second scénario :

– \( I \in [AE] \) avec \( AI = \frac{1}{4} AE \),
– \( J \in [DH] \) avec \( DJ = \frac{3}{4} DH \),
– \( K \in [FG] \) avec \( FK = \frac{1}{3} FG \).

Pour tracer le plan \((IJK)\), nous devons trouver les coordonnées de \(I\), \(J\), et \(K\) et les intersections de ce plan avec le cube.

– \(A(0,0,0)\) et \(E(0,0,1)\), d’où \(I(0, 0,\frac{1}{4})\),
– \(D(1,0,0)\) et \(H(1,1,1)\), d’où \(J(1, \frac{3}{4}, \frac{3}{4})\),
– \(F(1, 1,0)\) et \(G(1, 1,1)\), d’où \(K(1,1,\frac{1}{3})\).

Ensuite, la section se trouve de la même manière que dans le premier cas en déterminant l’équation du plan \((IJK)\) et en trouvant les intersections avec les arêtes du cube.

Exercice 15 : déterminer et construire la section d’un cube
{Correction de l’exercice de mathématiques}

\subsection*{Exercice 1}

Soit \(ABCDEFGH\) un cube. Définissons \(I\) comme le milieu de \([EH]\), \(J\) comme le milieu de \([BC]\) et \(K\) comme un point du segment \([GH]\) tel que \(HK = \frac{2}{3} HG\). Nous devons déterminer et construire la section du cube par le plan \((IJK)\).

1. Les coordonnées des sommets du cube sont :
\[
A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1), H(0,1,1)
\]

2. Calculons les coordonnées des points \(I\), \(J\), et \(K\):
– \(I\) est le milieu de \([EH]\) :
\[
I(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = I(0, \frac{1}{2}, 1)
\]

– \(J\) est le milieu de \([BC]\) :
\[
J(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = J(1, \frac{1}{2}, 0)
\]

– \(K\) est un point de \([GH]\) tel que \(HK = \frac{2}{3} HG\). \(H(0,1,1)\) et \(G(1,1,1)\), donc \([GH]\) est horizontal :
\[
HG = G – H = (1-0, 1-1, 1-1) = (1,0,0)
\]
\[
HK = \frac{2}{3} HG = \frac{2}{3} (1,0,0) = (\frac{2}{3}, 0, 0)
\]
\[
K = H + HK = (0,1,1) + (\frac{2}{3}, 0, 0) = (\frac{2}{3}, 1, 1)
\]

3. Déterminons l’équation du plan \((IJK)\). Pour ce faire, écrivons les vecteurs \(\vec{IJ}\) et \(\vec{IK}\) :
– \(\vec{IJ} = (1-0, \frac{1}{2} – \frac{1}{2}, 0-1) = (1,0,-1)\)
– \(\vec{IK} = (\frac{2}{3} – 0, 1 – \frac{1}{2}, 1 – 1) = (\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, 0)\)

4. Le vecteur normal \(\mathbf{n}\) au plan \((IJK)\) est :
\[
\mathbf{n} = \vec{IJ} \times \vec{IK} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} \\
1 0 -1 \\
\frac{2}{3} \frac{1}{2} 0
\end{vmatrix}
= \mathbf{i} (0 \cdot 0 – (-1) \cdot \frac{1}{2}) – \mathbf{j} (1 \cdot 0 – (-1) \cdot \frac{2}{3}) + \mathbf{k} (1 \cdot \frac{1}{2} – 0 \cdot \frac{2}{3})
\]
\[
\mathbf{n} = \mathbf{i} (\frac{1}{2}) – \mathbf{j} (\frac{2}{3}) + \mathbf{k} (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{2})
\]

5. L’équation du plan \((IJK)\) est de la forme \(ax + by + cz + d = 0\), avec \(\mathbf{n} = (a, b, c)\) et \(d\) une constante. Utilisons un des points pour déterminer \(d\):
\[
\frac{1}{2} \cdot 0 – \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + d = 0
\]
\[
-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + d = 0
\]
\[
\frac{1}{6} + d = 0 \Rightarrow d = -\frac{1}{6}
\]
Donc l’équation du plan \((IJK)\) est :
\[
\frac{1}{2}x – \frac{2}{3}y + \frac{1}{2}z – \frac{1}{6} = 0
\]
\[
3x – 4y + 3z = 1
\]

\subsection*{Exercice 2}

Soit \(ABCDEFGH\) un cube et \(I\), \(J\), et \(K\) des points tels que:
– \(I \in [AD]\) et \(AI = \frac{1}{3} AD\),
– \(J \in [FG]\) et \(FJ = \frac{2}{3} FG\),
– \(K \in [AB]\) et \(AK = \frac{1}{3} AB\).

1. Les coordonnées des sommets du cube sont les mêmes :
\[
A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1), H(0,1,1)
\]

2. Calculons les coordonnées des points \(I\), \(J\), et \(K\) :
– \(I \in [AD]\) et \(AI = \frac{1}{3} AD\) :
\[
AD = (0,1,0) – (0,0,0) = (0,1,0)
\]
\[
I = A + \frac{1}{3} AD = (0,0,0) + \frac{1}{3} (0,1,0) = (0,\frac{1}{3},0)
\]

– \(J \in [FG]\) et \(FJ = \frac{2}{3} FG\) :
\[
FG = (1,1,1) – (1,0,1) = (0,1,0)
\]
\[
J = F + \frac{2}{3} FG = (1,0,1) + \frac{2}{3} (0,1,0) = (1,\frac{2}{3},1)
\]

– \(K \in [AB]\) et \(AK = \frac{1}{3} AB\) :
\[
AB = (1,0,0) – (0,0,0) = (1,0,0)
\]
\[
K = A + \frac{1}{3} AB = (0,0,0) + \frac{1}{3} (1,0,0) = (\frac{1}{3},0,0)
\]

3. Déterminons l’équation du plan \((IJK)\). Pour ce faire, écrivons les vecteurs \(\vec{IJ}\) et \(\vec{IK}\) :
– \(\vec{IJ} = (1-0,\frac{2}{3}-\frac{1}{3},1-0) = (1,\frac{1}{3},1)\)
– \(\vec{IK} = (\frac{1}{3}-0,0-\frac{1}{3},0-0) = (\frac{1}{3},-\frac{1}{

Exercice 16 : construire la section de la pyramide
1) Reproduire la figure et placer les points \(I\) et \(J\) milieux respectifs des segments \([SD]\) et \([AB]\).

Les points \(I\) et \(J\) se trouvent à mi-distance des segments \([SD]\) et \([AB]\), respectivement. On peut donc les placer en divisant chaque segment en deux parties égales.

2) Construire en justifiant la section de la pyramide par le plan \((CIJ)\).

Pour construire la section de la pyramide par le plan \((CIJ)\), nous devons déterminer où ce plan coupe les autres arêtes de la pyramide.

– Le point \(C\) est déjà un point de l’intersection.
– Le point \(I\) est le milieu du segment \([SD]\).
– Le point \(J\) est le milieu du segment \([AB]\).

Considérons les points \(M \in [SC]\), \(N \in [CD]\) et \(P \in [SB]\) tels que ces points soient aussi sur le plan \((CIJ)\).

– Les droites \((SD)\) et \((AB)\) sont coupées en leurs milieux \(I\) et \(J\).
– Le plan \((CIJ)\) passe par le point \(C\), le milieu \(I\) de \([SD]\) et le milieu \(J\) de \([AB]\).
– On doit donc trouver les points \(M\), \(N\) et \(P\) tels que ces points aussi appartiennent au plan \((CIJ)\).

Le plan \((CIJ)\) passe par le point \(C\) et est parallèlement limité par les segments \([AB]\) et \([SD]\).

Pour déterminer les points d’intersection \(M\), \(N\) et \(P\):
– Le point \(M\) se situe donc sur l’arête \([SC]\).
– Le point \(N\) est l’intersection du plan \((CIJ)\) avec l’arête \([CD]\).
– Le point \(P\) est l’intersection du plan \((CIJ)\) avec l’arête \([SB]\).

En résumé, la section de la pyramide par le plan \((CIJ)\) forme un quadrilatère \(MCPN\). La justification repose sur la détermination de ces points comme intersections du plan avec les arêtes correspondantes.

Exercice 17 : quelle est la nature de cette section ?
1) La figure est reproduite correctement avec les points \( I \), \( J \) et \( K \) situés au milieu des segments \([BC]\), \([AB]\) et \([AD]\) respectivement.

2) Pour construire la section du tétraèdre par le plan \((IJK)\), nous devons relier les points \( I \), \( J \) et \( K \). Voici les étapes :

– Relions \( I \) et \( J \) qui sont au milieu des côtés \([BC]\) et \([AB]\) respectivement. Le segment \( IJ \) est parallèle et égal à la moitié du côté \( AC \).
– Relions \( J \) et \( K \) qui sont au milieu des côtés \([AB]\) et \([AD]\) respectivement. Le segment \( JK \) est parallèle et égal à la moitié du côté \( BD \).
– Relions \( K \) et \( I \) qui sont au milieu des côtés \([AD]\) et \([BC]\) respectivement. Le segment \( KI \) est parallèle et égal à la moitié du côté \( CD \).

Ainsi, le triangle \( IJK \) est formé.

3) Pour déterminer la nature de la section du tétraèdre par le plan \((IJK)\), considérons les propriétés des milieux dans les triangles et les relations de parallélisme :

– Tous les segments \( IJ \), \( JK \) et \( KI \) sont des segments reliant les milieux des côtés du tétraèdre régulier \( ABCD \).
– Puisque nous savons que \( I \), \( J \) et \( K \) sont les milieux des segments respectifs et que ces milieux divisent ces segments en parties égales, le triangle formé \( IJK \) sera un triangle équilatéral car le tétraèdre est régulier (tous les côtés égaux et toutes les faces équilatérales).

En conclusion, la section du tétraèdre régulier \( ABCD \) par le plan \((IJK)\) est un triangle équilatéral.

\[
\boxed{\text{La section du tétraèdre par le plan \((IJK)\) est un triangle équilatéral.}}
\]

Exercice 18 : citer des droites orthogonales
1) Citer six droites orthogonales à la droite \(EA\) :

Les droites orthogonales à \(EA\) (qui est un segment de l’arête vertical du cube) sont :
– \(AB\)
– \(AD\)
– \(EF\)
– \(EH\)
– \(BC\)
– \(FG\)

2) Citer six droites orthogonales à la droite \(EB\) :

Les droites orthogonales à \(EB\) (diagonale d’une des faces du cube) sont :
– \(ED\)
– \(EF\)
– \(AB\)
– \(CD\)
– \(FH\)
– \(GH\)

3) Citer deux droites orthogonales au plan \(BCG\) :

Les droites orthogonales au plan \(BCG\) sont :
– \(AD\)
– \(EH\)

4) Citer deux droites orthogonales au plan \(AFG\) :

Les droites orthogonales au plan \(AFG\) sont :
– \(EH\)
– \(BC\)

1) Démontrer que la droite \(AB\) est orthogonale au plan \(BCG\) :

Pour montrer que \(AB\) est orthogonale au plan \(BCG\), il suffit de prouver que \(AB\) est perpendiculaire à deux droites non parallèles situées dans ce plan.
Les droites \(BC\) et \(BG\) sont situées dans le plan \(BCG\) et sont non parallèles.
On observe que \(AB \perp BC\) et \(AB \perp BG\) car \(AB\) est une arête verticale perpendiculaire aux arêtes horizontales du cube.
Donc, \(AB\) est orthogonale au plan \(BCG\).

2) En déduire que les droites \(AB\) et \(CF\) sont orthogonales :

Puisque \(CF\) est située dans le plan \(BCG\), et nous avons démontré que \(AB\) est orthogonale au plan \(BCG\), il s’ensuit que \(AB\) est orthogonale à toutes les droites contenues dans le plan \(BCG\), y compris la droite \(CF\).
Donc, \(AB\) et \(CF\) sont orthogonales.