Exercice 1 : position relative des droites dans un cube
Soit \( ABCDEFGH \) un cube de côté \( a \).
Les coordonnées des sommets du cube sont :
– \( A(0, 0, 0) \)
– \( B(a, 0, 0) \)
– \( C(a, a, 0) \)
– \( D(0, a, 0) \)
– \( E(0, 0, a) \)
– \( F(a, 0, a) \)
– \( G(a, a, a) \)
– \( H(0, a, a) \)
Les points \( I \), \( J \) et \( K \) étant les milieux des arêtes :
– \( I \) est le milieu de \([AB]\)
– \( J \) est le milieu de \([EF]\)
– \( K \) est le milieu de \([FG]\)
Calcul des coordonnées :
– \( I ( \frac{0+ a}{2}, \frac{0+ 0}{2}, \frac{0+0}{2} ) = (\frac{a}{2}, 0, 0) \)
– \( J ( \frac{0+ a}{2}, \frac{0+ 0}{2}, \frac{a + a}{2} ) = (\frac{a}{2}, 0, a) \)
– \( K ( \frac{a+ a}{2}, \frac{0 +a}{2}, \frac{a +a}{2} ) = (a, \frac{a}{2}, a) \)
La droite \((EF)\) :
Les vecteurs \(\vec{E} = E(0, 0, a)\) et \(\vec{F} = F(a, 0, a)\).
Le vecteur directeur de EF est :
\[
\vec{EF} = F – E = (a, 0, a) – (0, 0, a) = (a, 0, 0)
\]
La droite \((HK)\) :
Les vecteurs \(\vec{H} = H(0, a, a)\) et \(\vec{K} = K(a, \frac{a}{2}, a)\).
Le vecteur directeur de HK est :
\[
\vec{HK} = K – H = (a, \frac{a}{2}, a) – (0, a, a) = (a, -\frac{a}{2}, 0)
\]
Calcul du produit vectoriel entre \(\vec{EF}\) et \(\vec{HK}\) :
Le produit vectoriel \(\vec{EF} \times \vec{HK}\) est donné par :
\[
\vec{EF} \times \vec{HK} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} \\
a 0 0 \\
a -\frac{a}{2} 0
\end{vmatrix}
\]
Détaillons le calcul:
\[
\vec{EF} \times \vec{HK} =
\mathbf{i} ( 0 – 0 ) –
\mathbf{j} ( 0 – 0 ) +
\mathbf{k} ( – \frac{a^2}{2} – 0 ) =
– \frac{a^2}{2} \mathbf{k}
\]
Comme \(\vec{EF} \times \vec{HK} \neq \vec{0}\), les droites \((EF)\) et \((HK)\) ne sont pas parallèles. De plus, elles ne sont pas coplanaires (elles ne se trouvent pas dans le même plan du cube).
Conclusion : Les droites \((EF)\) et \((HK)\) sont gauches dans l’espace.
Exercice 2 : quelle est la nature de la section d’un cube?
1) Le plan \((IFG)\) :
Le point \(I\) est le milieu de \([AB]\), donc on a :
\[
\vec{AI} = \vec{IB} = \frac{1}{2} \vec{AB}
\]
Le plan \((IFG)\) passe par les points \(I\), \(F\), et \(G\).
Les points \(F\) et \(G\) sont situés sur la face \(FGCD\) (face avant du cube).
On observe que le segment \([IG]\) est une diagonale de la face avant \(EBCF\) du cube.
Puisque \(I\) est le milieu de \([AB]\), le plan \((IFG)\) coupe le cube en formant un triangle dont les sommets sont \(I\), \(F\), et \(G\).
Par conséquent, la section du cube par le plan \((IFG)\) est un triangle.
2) Le plan \((IFC)\) :
Le point \(I\) est le milieu de \([AB]\), donc on a :
\[
\vec{AI} = \vec{IB} = \frac{1}{2} \vec{AB}
\]
Le plan \((IFC)\) passe par les points \(I\), \(F\), et \(C\).
Observons la disposition des points. Le point \(F\) se situe sur la face supérieure \(EFGH\), le point \(C\) se situe sur la face avant \(FGCD\), et \(I\) se trouve au milieu de \([AB]\) (face avant \(ABCD\)).
Dans ce cas, le plan \((IFC)\) coupe les arêtes \([AB]\), \([BC]\), et la diagonale de la face supérieure en passant par \(F\).
Les trois points ne sont pas alignés, ils déterminent donc un plan. La section formée est un triangle.
Par conséquent, la section du cube par le plan \((IFC)\) est également un triangle.
Exercice 3 : donner les coordonnées des vecteurs
1) Donner les coordonnées des vecteurs \[\vec{AB}\], \[\vec{AC}\] et \[\vec{BC}\].
Les coordonnées d’un vecteur \[\vec{PQ}\] sont données par les différences des coordonnées des points \[Q\] et \[P\].
Pour \[\vec{AB}\] :
\[
\vec{AB} = ( B_x – A_x, B_y – A_y, B_z – A_z ) = ( -1 – (-3), 1 – 2, 0 – 4 ) = ( 2, -1, -4 )
\]
Pour \[\vec{AC}\] :
\[
\vec{AC} = ( C_x – A_x, C_y – A_y, C_z – A_z ) = ( 2 – (-3), -3 – 2, 5 – 4 ) = ( 5, -5, 1 )
\]
Pour \[\vec{BC}\] :
\[
\vec{BC} = ( C_x – B_x, C_y – B_y, C_z – B_z ) = ( 2 – (-1), -3 – 1, 5 – 0 ) = ( 3, -4, 5 )
\]
2) Donner les coordonnées des vecteurs \[\vec{u} = 2\vec{AB} – \vec{AC}\] et \[\vec{v} = \vec{AC} + 3\vec{BC}\].
Pour \[\vec{u}\] :
\[
\vec{u} = 2\vec{AB} – \vec{AC}
\]
\[
2\vec{AB} = 2 \times (2, -1, -4) = (4, -2, -8)
\]
\[
\vec{u} = (4, -2, -8) – (5, -5, 1) = (4 – 5, -2 + 5, -8 – 1) = (-1, 3, -9)
\]
Pour \[\vec{v}\] :
\[
\vec{v} = \vec{AC} + 3\vec{BC}
\]
\[
3\vec{BC} = 3 \times (3, -4, 5) = (9, -12, 15)
\]
\[
\vec{v} = (5, -5, 1) + (9, -12, 15) = (5 + 9, -5 – 12, 1 + 15) = (14, -17, 16)
\]
Donc, les coordonnées des vecteurs sont :
\[
\vec{u} = (-1, 3, -9)
\]
\[
\vec{v} = (14, -17, 16)
\]
Exercice 4 : déterminer les coordonnées du vecteur
Déterminer les coordonnées du point \( C \) défini par \(\vec{AC} = \vec{u} \).
Les coordonnées de \(\vec{AC}\) et \(\vec{u}\) étant identiques, on a :
\[
\vec{AC} = \vec{u}
\]
\[
(x_C – 2, y_C – 5, z_C + 1) = (2, -1, 4)
\]
En résolvant pour \(C\), on obtient :
\[
\begin{cases}
x_C – 2 = 2 \implies x_C = 4 \\
y_C – 5 = -1 \implies y_C = 4 \\
z_C + 1 = 4 \implies z_C = 3
\end{cases}
\]
Donc, les coordonnées du point \( C \) sont \( (4, 4, 3) \).
Déterminer les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) puis celles du point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un parallélogramme.
Les coordonnées de \(\vec{AB}\) sont :
\[
\vec{AB} = (0 – 2, 3 – 5, 4 – (-1)) = (-2, -2, 5)
\]
Pour que \(ABDC\) soit un parallélogramme, \(\vec{BD}\) doit être égal à \(\vec{AC}\). Donc :
\[
\vec{BD} = \vec{AC} = (2, -1, 4)
\]
Si l’on prend \(D\) tel que \(\vec{BD} = \vec{AC}\), alors :
\[
\vec{BD} = (x_D – 0, y_D – 3, z_D – 4) = (2, -1, 4)
\]
En résolvant pour \(D\), on obtient :
\[
\begin{cases}
x_D – 0 = 2 \implies x_D = 2 \\
y_D – 3 = -1 \implies y_D = 2 \\
z_D – 4 = 4 \implies z_D = 8
\end{cases}
\]
Donc, les coordonnées du point \( D \) sont \( (2, 2, 8) \).
Déterminer les coordonnées du centre \( K \) de ce parallélogramme.
Les coordonnées du centre \( K \) d’un parallélogramme sont données par la moyenne des coordonnées de deux points opposés non contigus. Par exemple, si A et C sont opposés, alors :
\[
K = ( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} )
\]
Substituons les coordonnées de \(A\) et \(C\) :
\[
K = ( \frac{2 + 4}{2}, \frac{5 + 4}{2}, \frac{-1 + 3}{2} )
\]
En simplifiant, on obtient :
\[
K = ( \frac{6}{2}, \frac{9}{2}, \frac{2}{2} ) = (3, 4.5, 1)
\]
Ainsi, les coordonnées du centre \( K \) du parallélogramme sont \( (3, 4.5, 1) \).
Exercice 5 : déterminer une représentation paramétrique
Soit \( A(2; 5; -1) \) un point de la droite \( \Delta \) et \( \vec{u}(2; -1; 4) \) un vecteur directeur de \( \Delta \). La représentation paramétrique de la droite \( \Delta \) passant par \( A \) et de vecteur directeur \( \vec{u} \) est donnée par :
\[
\begin{cases}
x = 2 + 2t \\
y = 5 – t \\
z = -1 + 4t
\end{cases}
\]
où \( t \) est un paramètre réel.
Pour vérifier si le point \( B(2; -3; 4) \) appartient à la droite \( \Delta \), il faut déterminer s’il existe un paramètre \( t \) tel que :
\[
\begin{cases}
2 + 2t = 2 \\
5 – t = -3 \\
-1 + 4t = 4
\end{cases}
\]
En résolvant chacune de ces équations :
Pour l’équation \( 2 + 2t = 2 \) :
\[
2t = 0 \implies t = 0
\]
Pour l’équation \( 5 – t = -3 \) :
\[
-t = -8 \implies t = 8
\]
Pour l’équation \( -1 + 4t = 4 \) :
\[
4t = 5 \implies t = \frac{5}{4}
\]
Les valeurs de \( t \) ne sont pas cohérentes. Donc, il n’existe pas de paramètre \( t \) unique tel que \( B \) satisfasse les équations paramétriques de la droite \( \Delta \).
Conclusion : le point \( B(2; -3; 4) \) n’appartient pas à la droite \( \Delta \).
Exercice 6 : représentation paramétrique et vecteur directeur
La droite \(\Delta\) est donnée par les équations paramétriques :
\[
\begin{cases}
x = -3 + 4t \\
y = 2 \\
z = -t
\end{cases}
\quad, t \in \mathbb{R}
\]
Pour obtenir un vecteur directeur de la droite \(\Delta\), nous observons les coefficients de \(t\) dans les équations paramétriques, ce qui nous donne :
\[
\vec{u} = \begin{pmatrix}
4 \\
0 \\
-1
\end{pmatrix}
\]
Ainsi, un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\vec{u} = (4, 0, -1)\).
Pour déterminer un point de la droite \(\Delta\), il suffit de fixer une valeur de \(t\). Prenons \(t = 0\) par exemple :
\[
\begin{cases}
x = -3 + 4 \times 0 = -3 \\
y = 2 \\
z = -0 = 0
\end{cases}
\]
Donc, un point de la droite \(\Delta\) est \((-3, 2, 0)\).
En résumé:
– Un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\vec{u} = (4, 0, -1)\).
– Un point de \(\Delta\) est \((-3, 2, 0)\).
Exercice 7 : déterminer les positions relatives
\[(IK)\] et \[(AD)\] :
Les segments \[(IK)\] et \[(AD)\] sont des segments situés dans des plans différents du tétraèdre \[ABCD\]. Il n’y a donc pas de relation spéciale entre eux.
Conclusion : les droites \[(IK)\] et \[(AD)\] sont {non coplanaires}.
\[(IK)\] et \[(AB)\] :
Le segment \[(IK)\] est dans le plan \[(BCD)\] et \[(AB)\] est dans le plan \[(ABD)\]. Ils se croisent uniquement si l’un des points appartient au plan de l’autre.
Les plans \[(BCD)\] et \[(ABD)\] ne se croisent que sur la droite \[(BD)\]. \[I\] et \[K\] sont les milieux des segments dans le plan \[(BCD)\], non nécessairement alignés sur \[(BD)\].
Conclusion : les droites \[(IK)\] et \[(AB)\] sont {sécantes} dans le point \[D\].
\[(IJ)\] et \[(AID)\] :
\[(IJ)\] est défini par les milieux des segments \[(BC)\] et \[(CD)\], donc appartient au plan \[(BCD)\]. \[(AID)\] est une ligne fictive passant par \[A\] et \[I\] (sur \[(BC)J\]). La ligne arrive jusqu’à \[D\].
Les points \[I\] et \[J\] sont sur \[(BC)\] et \[(CD)\], donc dans \[(AID)\].
Conclusion : les droites \[(IJ)\] et \[(AID)\] sont {confondues}.
\[(ABJ)\] et \[(ACD)\] :
\[(ABJ)\] contient le segment \[AB\] et le point \[J\] sur \[(CD)\], et \[(ACD)\] est identifié par trois points \[A\], \[C\] et \[D\].
Ces deux droites interviennent différemment dans le tétraèdre le point d’intersection par leur appartenance.
Conclusion : les droites \[(ABJ)\] et \[(ACD)\] sont {coplanaires} dans le plan \[(BCD)\] et \[(AD)\].
\[(DIK)\] et \[(ABD)\] :
\[(DIK)\] est une droite dans le triangle non parallèle par rapport à \[(ABD)\].
Les intersections sont possibles sur les droites.
Conclusion : les droites \[(DIK)\] et \[(ABD)\] sont {sécantes}.
\[(IJ)\] et \[(KBD)\] :
L’intersection \[(IJ)\] n’est pas sur \[(KBD)\] donc dernière partie à gauche. Segment différent dans le tétraèdre.
Le point \[J\] est situé plus au-dessus.
Conclusion: les droites \[(IJ)\] et \[(KBD)\] sont {non sécantes}.
Exercice 8 : intersections de plans et pyramides
1) Montrons que la droite \( (BC) \) est parallèle au plan \( (EAD) \).
Dans la pyramide \( ABCDE \), considérons la base \( BCDE \) qui est un rectangle.
Dans le rectangle \( BCDE \), les côtés \( BC \) et \( DE \) sont parallèles. Comme \( BCDE \) est un rectangle, nous savons que les plans \( (BC) \) et \( (DE) \) ne se rencontrent jamais et sont donc parallèles entre eux.
Décrivons maintenant la situation des plans :
– Le plan \( (EAD) \) contient les points \( E \), \( A \), et \( D \).
– Le plan \( (BCDE) \) est formé par les segments \( BC \), \( DE \), etc.
Puisque la droite \( (BC) \) est une droite contenue dans le plan \( (BCDE) \) et nous avons établi que \( (BC) \parallel (DE) \), par définition de la pyramide et ses segments, la droite \( (BC) \) est parallèle au plan \( (EAD) \).
Nous concluons donc que \( (BC) \parallel (EAD) \).
2) Pour trouver l’intersection des plans \( (IBC) \) et \( (EAD) \), nous devons identifier les points et droites que ces plans partagent.
– Premièrement, le plan \( (IBC) \) inclut les points \( I \), \( B \), et \( C \), tandis que le plan \( (EAD) \) inclut les points \( E \), \( A \), et \( D \).
Puisque les plans partagent un point commun ou plus et une droite où ils se croisent, observons les plans :
– La droite \( (AD) \) est contenue dans le plan \( (EAD) \).
– La droite \( (CI) \) relie les points \( C \) et \( I \).
Etant donné que \( BC \parallel AD \), et que cette parallélité influence le plans \( (IBC) \) et \( (EAD) \), par la géométrie du rectangle et ses propriétés, il est clair que la gauche de \( BC \) crée un partage de ligne à droite \( AD \) avec \( I \) se trouvant sur ce segment, aidant à l’intersection claire du plan \( (IBC) \) et de \( (EAD) \).
Nous en déduisons donc que l’intersection des plans \( (IBC) \) et \( (EAD) \) est la droite \( (IC) \) dans leur commune provenance.
\[ (IBC) \cap (EAD) = (IC) \]
Exercice 9 : quatre points coplanaires et intersections
\[\Delta\] est la droite parallèle à \[(BC)\] passant par \[D\].
1) Intersection de \[\Delta\] avec le plan \[(IBD)\] :
Le plan \[(IBD)\] contient les points \[I\], \[B\] et \[D\]. Étant donné que \[I\] est le milieu de \[[AC]\], le segment \[[AC]\] appartient au plan \[(ABC)\]. Et puisque \[\Delta\] est parallèle à \[(BC)\] et passe par \[D\], alors \[\Delta\] appartient également au plan \[(IBD)\]. En conséquence :
\[\]\Delta \cap (IBD) = \Delta.\[\]
2) Intersection de \[\Delta\] avec le plan \[(ABC)\] :
Le plan \[(ABC)\] contient la droite \[(BC)\]. Comme \[\Delta\] est une droite passant par \[D\] et parallèle à \[(BC)\], elle se trouve également dans le plan \[(ABC)\]. En d’autres termes :
\[\]\Delta \cap (ABC) = D.\[\]
Ainsi, les intersections de \[\Delta\] avec les plans \[(IBD)\] et \[(ABC)\] sont \[\Delta\] pour le premier et \[D\] pour le second.
Exercice 10 : construire les intersections de plan
Pour déterminer les intersections des plans, nous allons analyser chacune des situations demandées :
1. \((SAB)\) et \((SDC)\):
Les plans \((SAB)\) et \((SDC)\) se coupent suivant la droite \(SD\). En effet, \(S\) et \(D\) appartiennent à la fois au plan \((SAB)\) et au plan \((SDC)\).
2. \((SAD)\) et \((SBC)\):
Les plans \((SAD)\) et \((SBC)\) se coupent suivant la droite \(SA\). En effet, \(S\) et \(A\) appartiennent à la fois au plan \((SAD)\) et au plan \((SBC)\).
Voici la construction des intersections:
1. Pour \((SAB)\) et \((SDC)\), dessiner la droite \(SD\) :
« `LaTeX
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate [label=left:\[A\]] (A) at (0,0);
\coordinate [label=right:\[B\]] (B) at (4,0);
\coordinate [label=below:\[D\]] (D) at (1.7,1);
\coordinate [label=below:\[C\]] (C) at (2.5,1);
\coordinate [label=above:\[S\]] (S) at (2,3);
\draw [thick] (A)–(B)–(S)–cycle; % SAB
\draw [thick] (S)–(C)–(D)–cycle; % SDC
\draw [dashed] (A)–(D)–(B); % Trapeze
\draw [dashed] (S)–(D);
\end{tikzpicture}
\end{center}
« `
2. Pour \((SAD)\) et \((SBC)\), dessiner la droite \(SA\) :
« `LaTeX
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate [label=left:\[A\]] (A) at (0,0);
\coordinate [label=right:\[B\]] (B) at (4,0);
\coordinate [label=below:\[D\]] (D) at (1.7,1);
\coordinate [label=below:\[C\]] (C) at (2.5,1);
\coordinate [label=above:\[S\]] (S) at (2,3);
\draw [thick] (A)–(B)–(S)–cycle; % SAB
\draw [thick] (S)–(D)–(A)–cycle; % SAD
\draw [thick] (S)–(B)–(C)–cycle; % SBC
\draw [dashed] (A)–(D)–(B); % Trapeze
\draw [dashed] (S)–(A);
\end{tikzpicture}
\end{center}
« `
Ainsi, les droites d’intersection recherchées apparaissent grâce à l’analyse des plans adjacents de la pyramide.
Exercice 11 : les droites suivantes sont-elles coplanaires ?
Pour déterminer si les droites sont coplanaires, il suffit de vérifier si elles appartiennent au même plan.
1) \( (AB) \) et \( (IF) \)
La droite \( (AB) \) se trouve dans le plan \( ABD \). Quant à la droite \( (IF) \), notons que le point \( I \) est situé sur \( [AE] \) et \( F \) sur \( [EF] \). Puisque \( I \) appartient à \( AE \) et \( F \) à \( EF \), on peut dire que \( (IF) \) se trouve dans le plan \( AEF \). Par conséquent, \( (AB) \) et \( (IF) \) ne sont pas coplanaires car \( (AB) \) est dans le plan \( ABD \) et \( (IF) \) dans le plan \( AEF \).
2) \( (DJ) \) et \( (IF) \)
La droite \( (DJ) \) est dans le plan \( AFE \) car \( J \) est défini sur \( [CG] \) avec \( C \) appartenant au plan \( BCD \) et \( G \) appartenant à \( BGF \). De plus, \( (IF) \) est dans le plan \( AEF \). Les points \( D \), \( J \), \( I \), et \( F \) ne sont pas collinéaires ni coplanaires dans le même plan, donc les droites \( (DJ) \) et \( (IF) \) ne sont pas coplanaires.
3) \( (BC) \) et \( (AE) \)
La droite \( (BC) \) se trouve dans le plan \( BCD \), et la droite \( (AE) \) se trouve dans le plan \( AEF \). Ces deux plans sont perpendiculaires, donc les droites \( (BC) \) et \( (AE) \) ne sont pas coplanaires.
4) \( (EH) \) et \( (IJ) \)
La droite \( (EH) \) se trouve dans le plan \( EFGH \). Le point \( I \) appartient à \( AE \) et \( J \) appartenant à \( CG \) avec \( C \) appartenant au plan \( BCD \) et \( G \) appartenant au plan \( BGF \), \( J \) se trouve dans le plan \( ABEG \). Donc, les droites \( (EH) \) et \( (IJ) \) ne sont pas coplanaires.
Aucune des paires de droites discutées ci-dessus n’est coplanaires.
Exercice 12 : tracer l’intersection du plan et d’une face
1. Soit le pavé \(ABCDEFGH\) avec \(A, B, C, D, E, F, G, H\) comme sommets.
2. Déterminons l’intersection du plan \((BIJ)\) avec la face \(EABF\).
– Puisque \(B\) et \(I\) sont des points du plan \((BIJ)\), nous devons déterminer les points \(I\) et \(J\) sur la figure. Supposons que \(I\) soit un point sur l’arête \(AB\) et que \(J\) soit un point sur l’arête \(BF\).
– La droite passant par \(B\) et \(I\) intersecte le plan \(EABF\) sur la seconde arête passant par \(A\) (et donc \(E\)), et sur l’arête \(F\).
3. Trouvons l’intersection du plan \((BIJ)\) avec la face \(DCGH\).
– De manière similaire, dédions que \(DCGH\) est parallèle à \(EABF\) et \(I\) et \(J\) sont déterminés comme précédemment. Ainsi, nous cherchons où la droite passant par \(B\) et \(I\) intersecte le plan \(DCGH\).
– Ces intersections se produiront sur les arêtes \(D\) (et donc \(C\), puisque \(D\) est parallèle à \(F\)) et %\(G\) de la face \(DCGH\).
4. Enfin, nous complèterons la section du pavé \(ABCDEFGH\) par le plan \((BIJ)\).
\[
\begin{array}{l}
\text{1. Identifier les points d’intersection du plan \((BIJ)\) avec les arêtes du pavé :} \\
(B) \text{ sur la face } CDGH, \\
(I) \text{ sur la face } ABEF, \\
(J) \text{ sur la face } BFGH. \\
\text{2. Relier les points trouvés :} \\
\text{Tracer les droites passant par \(B-I\) et \(I-J\)}. \\
\text{Les intersections des segments \(BI, IJ\) forment la section du pavé par le plan \((BIJ)\)}.\\
\end{array}
\]
Exercice 13 : construire la section d’un cube par le plan (IJK)
\[\]Correction de l’exercice 1 :\[\]
Soit \( I \) un point tel que \( I \in [HD] \) et \( HI = \frac{2}{3} HD \).
Ainsi, \( I \) divise le segment \( [HD] \) en deux parties telles que \( HI = \frac{2}{3} HD \) et \( ID = \frac{1}{3} HD \).
Soit \( J \) un point tel que \( J \in [FG] \) et \( FJ = \frac{3}{4} FG \).
Ainsi, \( J \) divise le segment \( [FG] \) en deux parties telles que \( FJ = \frac{3}{4} FG \) et \( JG = \frac{1}{4} FG \).
Le plan \((EIJ)\) passe donc par le point \(E\), \(I\) et \(J\).
Pour déterminer la section du cube par le plan \((EIJ)\), traçons les segments :
– \([EI]\)
– \([IJ]\)
– \([JE]\)
Ces lignes définiront la section du cube par le plan \((EIJ)\).
\[\]Correction de l’exercice 2 :\[\]
Soit \( I \) un point tel que \( I \in [EF] \) et \( EI = \frac{1}{3} EF \).
Ainsi, \( I \) divise le segment \( [EF] \) en deux parties telles que \( EI = \frac{1}{3} EF \) et \( IF = \frac{2}{3} EF \).
Soit \( J \) un point tel que \( J \in [BC] \) et \( BJ = \frac{1}{2} BC \).
Ainsi, \( J \) divise le segment \( [BC] \) en deux parties telles que \( BJ = \frac{1}{2} BC \) et \( JC = \frac{1}{2} BC \).
Soit \( K \) un point tel que \( K \in [HG] \) et \( HK = \frac{3}{4} HG \).
Ainsi, \( K \) divise le segment \( [HG] \) en deux parties telles que \( HK = \frac{3}{4} HG \) et \( KG = \frac{1}{4} HG \).
Le plan \((IJK)\) passe donc par les points \(I\), \(J\) et \(K\).
Pour déterminer la section du cube par le plan \((IJK)\), traçons les segments :
– \([IJ]\)
– \([JK]\)
– \([KI]\)
Ces lignes définiront la section du cube par le plan \((IJK)\).
Exercice 14 : section et construction
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
{Correction de l’exercice}
\subsection*{Premier cas: \( J \) et \( K \) milieux de \([BC]\) et \([CD]\)}
On considère le cube \(ABCDEFGH\) et les points \( I \), \( J \), et \( K \) comme définis dans l’énoncé.
\(J\) étant le milieu de \([BC]\) et \(K\) le milieu de \([CD]\), et sachant que \(I\) est le milieu de \([EH]\), on peut en déduire que le plan \((IJK)\) est défini par ces trois points.
Analysons la position de chaque point :
– \(E\) et \(H\) appartiennent à une face latérale du cube, disons que \(E\) est situé en \((0,0,1)\) et \(H\) en \((0,1,1)\).
– \(I\) étant le milieu de \([EH]\), il se trouve en \((0,0.5,1)\).
– \(A\), \(B\), \(C\), et \(D\) appartiennent à une autre face latérale du cube.
– \(A\) est en \((0,0,0)\), \(B\) en \((0,1,0)\), \(C\) en \((1,1,0)\), et \(D\) en \((1,0,0)\).
– \(J\) est alors positionné en \((0.5,1,0)\) et \(K\) en \((1,0.5,0)\).
Pour trouver la section du cube par le plan \((IJK)\), on doit déterminer les intersections de ce plan avec les arêtes du cube. En utilisant l’équation du plan passant par trois points \( I(0,0.5,1) \), \( J(0.5,1,0) \), et \( K(1,0.5,0) \), on trouve que le plan \((IJK)\) s’écrit comme suit :
\[
\vec{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} \\
0 0.5 1 \\
1 0 0
\end{vmatrix} \implies \vec{n} = -0.5\mathbf{i} – \mathbf{j} \implies \vec{n} = -\frac{1}{2}\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
Ainsi, l’équation du plan \((I, J, K)\) peut être écrite:
\[
-\frac{1}{2}x – y + z – b = 0, \quad \text{où \(b\) est une constante déterminée par l’alignement des points}
\]
Pour tracer la section du cube par le plan \((IJK)\), il faut tracer les intersections de ce plan avec les faces du cube.
\subsection*{Deuxième cas:}
Nous avons maintenant un second scénario :
– \( I \in [AE] \) avec \( AI = \frac{1}{4} AE \),
– \( J \in [DH] \) avec \( DJ = \frac{3}{4} DH \),
– \( K \in [FG] \) avec \( FK = \frac{1}{3} FG \).
Pour tracer le plan \((IJK)\), nous devons trouver les coordonnées de \(I\), \(J\), et \(K\) et les intersections de ce plan avec le cube.
– \(A(0,0,0)\) et \(E(0,0,1)\), d’où \(I(0, 0,\frac{1}{4})\),
– \(D(1,0,0)\) et \(H(1,1,1)\), d’où \(J(1, \frac{3}{4}, \frac{3}{4})\),
– \(F(1, 1,0)\) et \(G(1, 1,1)\), d’où \(K(1,1,\frac{1}{3})\).
Ensuite, la section se trouve de la même manière que dans le premier cas en déterminant l’équation du plan \((IJK)\) et en trouvant les intersections avec les arêtes du cube.
Exercice 15 : déterminer et construire la section d’un cube
{Correction de l’exercice de mathématiques}
\subsection*{Exercice 1}
Soit \(ABCDEFGH\) un cube. Définissons \(I\) comme le milieu de \([EH]\), \(J\) comme le milieu de \([BC]\) et \(K\) comme un point du segment \([GH]\) tel que \(HK = \frac{2}{3} HG\). Nous devons déterminer et construire la section du cube par le plan \((IJK)\).
1. Les coordonnées des sommets du cube sont :
\[
A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1), H(0,1,1)
\]
2. Calculons les coordonnées des points \(I\), \(J\), et \(K\):
– \(I\) est le milieu de \([EH]\) :
\[
I(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = I(0, \frac{1}{2}, 1)
\]
– \(J\) est le milieu de \([BC]\) :
\[
J(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = J(1, \frac{1}{2}, 0)
\]
– \(K\) est un point de \([GH]\) tel que \(HK = \frac{2}{3} HG\). \(H(0,1,1)\) et \(G(1,1,1)\), donc \([GH]\) est horizontal :
\[
HG = G – H = (1-0, 1-1, 1-1) = (1,0,0)
\]
\[
HK = \frac{2}{3} HG = \frac{2}{3} (1,0,0) = (\frac{2}{3}, 0, 0)
\]
\[
K = H + HK = (0,1,1) + (\frac{2}{3}, 0, 0) = (\frac{2}{3}, 1, 1)
\]
3. Déterminons l’équation du plan \((IJK)\). Pour ce faire, écrivons les vecteurs \(\vec{IJ}\) et \(\vec{IK}\) :
– \(\vec{IJ} = (1-0, \frac{1}{2} – \frac{1}{2}, 0-1) = (1,0,-1)\)
– \(\vec{IK} = (\frac{2}{3} – 0, 1 – \frac{1}{2}, 1 – 1) = (\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, 0)\)
4. Le vecteur normal \(\mathbf{n}\) au plan \((IJK)\) est :
\[
\mathbf{n} = \vec{IJ} \times \vec{IK} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} \\
1 0 -1 \\
\frac{2}{3} \frac{1}{2} 0
\end{vmatrix}
= \mathbf{i} (0 \cdot 0 – (-1) \cdot \frac{1}{2}) – \mathbf{j} (1 \cdot 0 – (-1) \cdot \frac{2}{3}) + \mathbf{k} (1 \cdot \frac{1}{2} – 0 \cdot \frac{2}{3})
\]
\[
\mathbf{n} = \mathbf{i} (\frac{1}{2}) – \mathbf{j} (\frac{2}{3}) + \mathbf{k} (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{2})
\]
5. L’équation du plan \((IJK)\) est de la forme \(ax + by + cz + d = 0\), avec \(\mathbf{n} = (a, b, c)\) et \(d\) une constante. Utilisons un des points pour déterminer \(d\):
\[
\frac{1}{2} \cdot 0 – \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + d = 0
\]
\[
-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + d = 0
\]
\[
\frac{1}{6} + d = 0 \Rightarrow d = -\frac{1}{6}
\]
Donc l’équation du plan \((IJK)\) est :
\[
\frac{1}{2}x – \frac{2}{3}y + \frac{1}{2}z – \frac{1}{6} = 0
\]
\[
3x – 4y + 3z = 1
\]
\subsection*{Exercice 2}
Soit \(ABCDEFGH\) un cube et \(I\), \(J\), et \(K\) des points tels que:
– \(I \in [AD]\) et \(AI = \frac{1}{3} AD\),
– \(J \in [FG]\) et \(FJ = \frac{2}{3} FG\),
– \(K \in [AB]\) et \(AK = \frac{1}{3} AB\).
1. Les coordonnées des sommets du cube sont les mêmes :
\[
A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1), H(0,1,1)
\]
2. Calculons les coordonnées des points \(I\), \(J\), et \(K\) :
– \(I \in [AD]\) et \(AI = \frac{1}{3} AD\) :
\[
AD = (0,1,0) – (0,0,0) = (0,1,0)
\]
\[
I = A + \frac{1}{3} AD = (0,0,0) + \frac{1}{3} (0,1,0) = (0,\frac{1}{3},0)
\]
– \(J \in [FG]\) et \(FJ = \frac{2}{3} FG\) :
\[
FG = (1,1,1) – (1,0,1) = (0,1,0)
\]
\[
J = F + \frac{2}{3} FG = (1,0,1) + \frac{2}{3} (0,1,0) = (1,\frac{2}{3},1)
\]
– \(K \in [AB]\) et \(AK = \frac{1}{3} AB\) :
\[
AB = (1,0,0) – (0,0,0) = (1,0,0)
\]
\[
K = A + \frac{1}{3} AB = (0,0,0) + \frac{1}{3} (1,0,0) = (\frac{1}{3},0,0)
\]
3. Déterminons l’équation du plan \((IJK)\). Pour ce faire, écrivons les vecteurs \(\vec{IJ}\) et \(\vec{IK}\) :
– \(\vec{IJ} = (1-0,\frac{2}{3}-\frac{1}{3},1-0) = (1,\frac{1}{3},1)\)
– \(\vec{IK} = (\frac{1}{3}-0,0-\frac{1}{3},0-0) = (\frac{1}{3},-\frac{1}{
Exercice 16 : construire la section de la pyramide
1) Reproduire la figure et placer les points \(I\) et \(J\) milieux respectifs des segments \([SD]\) et \([AB]\).
Les points \(I\) et \(J\) se trouvent à mi-distance des segments \([SD]\) et \([AB]\), respectivement. On peut donc les placer en divisant chaque segment en deux parties égales.
2) Construire en justifiant la section de la pyramide par le plan \((CIJ)\).
Pour construire la section de la pyramide par le plan \((CIJ)\), nous devons déterminer où ce plan coupe les autres arêtes de la pyramide.
– Le point \(C\) est déjà un point de l’intersection.
– Le point \(I\) est le milieu du segment \([SD]\).
– Le point \(J\) est le milieu du segment \([AB]\).
Considérons les points \(M \in [SC]\), \(N \in [CD]\) et \(P \in [SB]\) tels que ces points soient aussi sur le plan \((CIJ)\).
– Les droites \((SD)\) et \((AB)\) sont coupées en leurs milieux \(I\) et \(J\).
– Le plan \((CIJ)\) passe par le point \(C\), le milieu \(I\) de \([SD]\) et le milieu \(J\) de \([AB]\).
– On doit donc trouver les points \(M\), \(N\) et \(P\) tels que ces points aussi appartiennent au plan \((CIJ)\).
Le plan \((CIJ)\) passe par le point \(C\) et est parallèlement limité par les segments \([AB]\) et \([SD]\).
Pour déterminer les points d’intersection \(M\), \(N\) et \(P\):
– Le point \(M\) se situe donc sur l’arête \([SC]\).
– Le point \(N\) est l’intersection du plan \((CIJ)\) avec l’arête \([CD]\).
– Le point \(P\) est l’intersection du plan \((CIJ)\) avec l’arête \([SB]\).
En résumé, la section de la pyramide par le plan \((CIJ)\) forme un quadrilatère \(MCPN\). La justification repose sur la détermination de ces points comme intersections du plan avec les arêtes correspondantes.
Exercice 17 : quelle est la nature de cette section ?
\[\]Correction de l’exercice de mathématiques\[\]
1) La figure est reproduite correctement avec les points \( I \), \( J \) et \( K \) situés au milieu des segments \([BC]\), \([AB]\) et \([AD]\) respectivement.
2) Pour construire la section du tétraèdre par le plan \((IJK)\), nous devons relier les points \( I \), \( J \) et \( K \). Voici les étapes :
– Relions \( I \) et \( J \) qui sont au milieu des côtés \([BC]\) et \([AB]\) respectivement. Le segment \( IJ \) est parallèle et égal à la moitié du côté \( AC \).
– Relions \( J \) et \( K \) qui sont au milieu des côtés \([AB]\) et \([AD]\) respectivement. Le segment \( JK \) est parallèle et égal à la moitié du côté \( BD \).
– Relions \( K \) et \( I \) qui sont au milieu des côtés \([AD]\) et \([BC]\) respectivement. Le segment \( KI \) est parallèle et égal à la moitié du côté \( CD \).
Ainsi, le triangle \( IJK \) est formé.
3) Pour déterminer la nature de la section du tétraèdre par le plan \((IJK)\), considérons les propriétés des milieux dans les triangles et les relations de parallélisme :
– Tous les segments \( IJ \), \( JK \) et \( KI \) sont des segments reliant les milieux des côtés du tétraèdre régulier \( ABCD \).
– Puisque nous savons que \( I \), \( J \) et \( K \) sont les milieux des segments respectifs et que ces milieux divisent ces segments en parties égales, le triangle formé \( IJK \) sera un triangle équilatéral car le tétraèdre est régulier (tous les côtés égaux et toutes les faces équilatérales).
En conclusion, la section du tétraèdre régulier \( ABCD \) par le plan \((IJK)\) est un triangle équilatéral.
\[
\boxed{\text{La section du tétraèdre par le plan \((IJK)\) est un triangle équilatéral.}}
\]
Exercice 18 : citer des droites orthogonales
1) Citer six droites orthogonales à la droite \(EA\) :
Les droites orthogonales à \(EA\) (qui est un segment de l’arête vertical du cube) sont :
– \(AB\)
– \(AD\)
– \(EF\)
– \(EH\)
– \(BC\)
– \(FG\)
2) Citer six droites orthogonales à la droite \(EB\) :
Les droites orthogonales à \(EB\) (diagonale d’une des faces du cube) sont :
– \(ED\)
– \(EF\)
– \(AB\)
– \(CD\)
– \(FH\)
– \(GH\)
3) Citer deux droites orthogonales au plan \(BCG\) :
Les droites orthogonales au plan \(BCG\) sont :
– \(AD\)
– \(EH\)
4) Citer deux droites orthogonales au plan \(AFG\) :
Les droites orthogonales au plan \(AFG\) sont :
– \(EH\)
– \(BC\)
1) Démontrer que la droite \(AB\) est orthogonale au plan \(BCG\) :
Pour montrer que \(AB\) est orthogonale au plan \(BCG\), il suffit de prouver que \(AB\) est perpendiculaire à deux droites non parallèles situées dans ce plan.
Les droites \(BC\) et \(BG\) sont situées dans le plan \(BCG\) et sont non parallèles.
On observe que \(AB \perp BC\) et \(AB \perp BG\) car \(AB\) est une arête verticale perpendiculaire aux arêtes horizontales du cube.
Donc, \(AB\) est orthogonale au plan \(BCG\).
2) En déduire que les droites \(AB\) et \(CF\) sont orthogonales :
Puisque \(CF\) est située dans le plan \(BCG\), et nous avons démontré que \(AB\) est orthogonale au plan \(BCG\), il s’ensuit que \(AB\) est orthogonale à toutes les droites contenues dans le plan \(BCG\), y compris la droite \(CF\).
Donc, \(AB\) et \(CF\) sont orthogonales.
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