Logarithme népérien : corrigés des exercices de maths en terminale.

Exercice 1 : résoudre l’équation ou l’inéquation
1. Dans chaque cas, résoudre l’équation ou l’inéquation.

a) \ln\,x=5
x\,=\,e^5

b) e^x\,=\,7
x\,=\,\ln\,7

c) \ln(6x%2B1)\,>\,2
3x\,\leq\,\,\ln\,4
x\,\leq\,\,\frac{\ln\,4}{3}

2. Résoudre l’inéquation \ln(3x)\,%3C\,\ln(2\,-\,5x).

Puisque la fonction logarithme est strictement croissante, nous avons :
3x\,%3C\,2\,-\,5x
3x\,%2B\,5x\,%3C\,2
8x\,%3C\,2
x\,%3C\,\frac{2}{8}
x\,%3C\,\frac{1}{4}

Conditions d’existence :
Pour que \ln(3x) et \ln(2\,-\,5x) soient définis, nous devons avoir :
3x\,>\,0\,\Rightarrow\,x\,>\,0

Par conséquent, la solution de l’inéquation est :
0\,%3C\,x\,%3C\,\frac{1}{4}

Exercice 2 : logarithmes, équations et inéquations
a) \ln\,x\,=\,0

Pour résoudre cette équation, nous utilisons la relation suivante entre logarithme et exponentielle:
\ln\,x\,=\,0\,\Rightarrow\,e^{\ln\,x}\,=\,e^0\,\Rightarrow\,x\,=\,e^0\,\Rightarrow\,x\,=\,1

b) \ln\,x\,\geq\,\,1

Pour résoudre cette inéquation, nous utilisons la propriété de la fonction exponentielle:
\ln\,x\,\geq\,\,1\,\Rightarrow\,x\,\geq\,\,e^1\,\Rightarrow\,x\,\geq\,\,e

c) \ln\,x\,=\,3

Pour résoudre cette équation, nous utilisons la relation exponentielle:
\ln\,x\,=\,3\,\Rightarrow\,x\,=\,e^3

d) \ln\,x\,%3C\,-5

Pour résoudre cette inéquation, nous utilisons également la fonction exponentielle:
\ln\,x\,%3C\,-5\,\Rightarrow\,x\,%3C\,e^{-5}

e) \ln\,(2x\,-\,5)\,=\,-2

Pour résoudre cette équation, nous utilisons la relation exponentielle:
\ln\,(2x\,-\,5)\,=\,-2\,\Rightarrow\,2x\,-\,5\,=\,e^{-2}\,\Rightarrow\,2x\,=\,e^{-2}\,%2B\,5\,\Rightarrow\,x\,=\,\frac{e^{-2}\,%2B\,5}{2}

Exercice 3 : inéquations à résoudre
a) e^x\,=\,2

Pour résoudre cette équation, on applique le logarithme népérien des deux côtés :
x\,=\,\ln(2)

b) e^x\,\geq\,\,-1

L’exponentielle ne prend que des valeurs positives, donc :
e^x\,\geq\,\,0
C’est automatiquement vérifié pour tout x\,\in\,\mathbb{R}.

c) e^x\,%3C\,\frac{1}{2}

On applique le logarithme népérien des deux côtés :
x\,%3C\,\ln(\frac{1}{2})
x\,%3C\,\ln(1)\,-\,\ln(2)
x\,%3C\,-\ln(2)

d) e^{-x}\,\geq\,\,5

On écrit cette inéquation de manière équivalente en prenant le logarithme népérien :
-x\,\geq\,\,\ln(5)
x\,\leq\,\,-\ln(5)

e) e^{2x-3}\,%3C\,4

Application du logarithme népérien :
2x\,-\,3\,%3C\,\ln(4)
2x\,%3C\,\ln(4)\,%2B\,3
x\,%3C\,\frac{\ln(4)\,%2B\,3}{2}

f) e^{1-5x}\,\leq\,\,1

Premier logarithme népérien puis résolution :
1\,-\,5x\,\leq\,\,\ln(1)
1\,-\,5x\,\leq\,\,0
-5x\,\leq\,\,-1
x\,\geq\,\,\frac{1}{5}

Exercice 4 : logarithmes et inéquations
a) \ln(2x\,-\,1)\,=\,\ln(x)

\ln(2x\,-\,1)\,%26=\,\ln(x)\,\\%0D%0A2x\,-\,1\,%26=\,x\,\\%0D%0A2x\,-\,x\,%26=\,1\,\\%0D%0Ax\,%26=\,1

Alors, la solution est x\,=\,1.


b) \ln(x\,%2B\,3)\,\geq\,\,\ln(3x\,%2B\,2)

\ln(x\,%2B\,3)\,\geq\,\,\ln(3x\,%2B\,2)\,%26\implies\,x\,%2B\,3\,\geq\,\,3x\,%2B\,2\,\\%0D%0Ax\,%2B\,3\,-\,3x\,%26\geq\,\,2\,\\%0D%0A-2x\,%2B\,3\,%26\geq\,\,2\,\\%0D%0A-2x\,%26\geq\,\,-1\,\\%0D%0Ax\,%26\leq\,\,\frac{1}{2}


c) \ln(x^2\,-\,2)\,>\,\ln(2x).

\Delta\,%26=\,b^2\,-\,4ac\,\\%0D%0A%26=\,4\,%2B\,8\,\\%0D%0A%26=\,12\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{2\,\pm\,\sqrt{12}}{2}\,\\%0D%0Ax\,%26=\,1\,\pm\,\sqrt{3}

Les solutions de l’équation quadratique sont x\,=\,1\,%2B\,\sqrt{3} et x\,=\,1\,-\,\sqrt{3}.

Le signe de x^2\,-\,2x\,-\,2 dépend des intervalles définis par ces racines.
Pour vérifier les intervalles :

– Si x\,%3C\,1\,-\,\sqrt{3}, x^2\,-\,2x\,-\,2\,>\,0, x^2\,-\,2x\,-\,2\,%3C\,0
– Si x\,>\,1\,%2B\,\sqrt{3} ou x\,>\,1\,%2B\,\sqrt{3}

\ln(x\,-\,3)\,%3C\,\ln(2\,-\,3x)\,%26\implies\,x\,-\,3\,%3C\,2\,-\,3x\,\\%0D%0Ax\,%2B\,3x\,%26%3C\,2\,%2B\,3\,\\%0D%0A4x\,%26%3C\,5\,\\%0D%0Ax\,%26%3C\,\frac{5}{4}

Ainsi, la solution finale est x\,%3C\,\frac{5}{4}.

Cependant, nous devons aussi vérifier les domaines de définition de chaque logarithme dans l’inéquation
(x\,-\,3)\,>\,0

Ceci rend cette inéquation impossible à résoudre car il n’existe pas de x qui satisfait simultanément x\,>\,3.

Ainsi, l’ensemble de solution pour la partie d) est vide.

Exercice 5 : logiciel Xcas et logarithmes
a) Que peut-on en penser ?

L’équation donnée est \ln(2x\,%2B\,5)\,=\,\ln(x\,-\,7).

Pour que cette équation ait des solutions, les arguments des logarithmes naturels doivent être positifs. Donc :
1. 2x\,%2B\,5\,>\,0

Comme les fonctions logarithmes seraient égales, leurs arguments doivent être égaux :
2x\,%2B\,5\,=\,x\,-\,7

Résolvons cette équation linéaire pour x :
2x\,%2B\,5\,=\,x\,-\,7
2x\,-\,x\,=\,-7\,-\,5
x\,=\,-12

Mais ici, nous voyons que x\,=\,-12 ne satisfait pas la condition x\,>\,7 n’est pas une solution valide pour l’équation logarithmique.

Conclusion: L’équation \ln(2x\,%2B\,5)\,=\,\ln(x\,-\,7) n’a pas de solution dans le domaine des nombres réels où les logarithmes sont définis.

Exercice 6 : décharge de condensateur et tension initiale
Pour trouver le temps t pour lequel la tension initiale V_0 est divisée par 2, on commence par écrire l’équation de la tension initiale. La tension initiale, V(t=0) est :

V_0\,=\,5000

Nous cherchons le temps t pour lequel la tension est \frac{V_0}{2} :

V\,=\,\frac{5000}{2}\,=\,2500

Nous avons donc l’équation suivante :

2500\,=\,5000\,e^{-8.3t}

Divisons les deux côtés par 5000 :

\frac{2500}{5000}\,=\,e^{-8.3t}

\frac{1}{2}\,=\,e^{-8.3t}

Prenons le logarithme népérien des deux côtés :

\ln(\frac{1}{2})\,=\,\ln(e^{-8.3t})

Utilisons la propriété du logarithme :

\ln(\frac{1}{2})\,=\,-8.3t

Nous savons que \ln(\frac{1}{2})\,=\,-\ln(2), alors :

-\ln(2)\,=\,-8.3t

Divisons ensuite par -8.3 pour isoler t :

t\,=\,\frac{\ln(2)}{8.3}

Finalement, en utilisant une calculatrice pour trouver la valeur numérique :

t\,\approx\,\frac{0.693}{8.3}\,\approx\,0.0835

Donc, au bout de t\,\approx\,0.0835 millisecondes, la tension sera divisée par 2.

Exercice 7 : l’expression donnée a-t-elle un sens?
1) \ln(x)

L’expression \ln(x) est définie pour x\,>\,0

L’expression \ln(3\,-\,x) est définie pour 3\,-\,x\,>\,0.

3) \ln(x\,%2B\,2)

L’expression \ln(x\,%2B\,2) est définie pour x\,%2B\,2\,>\,0

L’expression \frac{1}{\ln(x^2)} est définie quand \ln(x^2)\,\neq\,0.
Sachant que \ln(x^2)\,=\,2\,\ln\,%7Cx%7C, il faut que 2\,\ln\,%7Cx%7C\,\neq\,0. Donc, \ln\,%7Cx%7C\,\neq\,0, ce qui implique %7Cx%7C\,\neq\,1 (car \ln(1)\,=\,0).
En plus, \ln(x^2) est défini quand x\,\neq\,0.

Ainsi, \frac{1}{\ln(x^2)} est définie pour x\,\in\,\mathbb{R}\,\setminus\,\{0%2C\,1%2C\,-1\}.

Exercice 8 : simplification de logarithmes
1) e^{\ln\,3}
e^{\ln\,3}\,=\,3

2) e^{-\ln\,5}
e^{-\ln\,5}\,=\,\frac{1}{e^{\ln\,5}}\,=\,\frac{1}{5}

3) e^{\ln(\frac{1}{3})}
e^{\ln(\frac{1}{3})}\,=\,\frac{1}{3}

4) \ln(e^5)
\ln(e^5)\,=\,5

5) \ln\,1\,%2B\,\ln\,e
\ln\,1\,%2B\,\ln\,e\,=\,0\,%2B\,1\,=\,1

6) \ln(e^{-2})
\ln(e^{-2})=\,-2

Exercice 9 : exprimer ces nombres sous la forme ln c
1. A\,=\,\ln\,7\,%2B\,\ln\,8
A\,=\,\ln\,(7\,\cdot\,8)
A\,=\,\ln\,56

2. B\,=\,\ln\,20\,-\,\ln\,4
B\,=\,\ln\,(\frac{20}{4})
B\,=\,\ln\,5

3. C\,=\,-\ln\,4\,%2B\,\ln\,28
C\,=\,\ln\,28\,-\,\ln\,4
C\,=\,\ln\,(\frac{28}{4})
C\,=\,\ln\,7

4. D\,=\,3\,\ln\,2
D\,=\,\ln\,(2^3)
D\,=\,\ln\,8

5. E\,=\,-2\,\ln\,4
E\,=\,\ln\,(4^{-2})
E\,=\,\ln\,(\frac{1}{16})

Exercice 10 : comparer les réels A et B
1. A\,=\,\ln\,2\,%2B\,\ln\,5 et B\,=\,\ln\,9

Utilisons la propriété des logarithmes \ln(a)\,%2B\,\ln(b)\,=\,\ln(ab):

A\,=\,\ln\,2\,%2B\,\ln\,5\,=\,\ln\,(2\,\times  \,5)\,=\,\ln\,10

Nous savons que \ln\,9\,=\,\ln(3^2), donc:

B\,=\,\ln\,9\,=\,2\,\ln\,3

Comparons \ln\,10 et 2\,\ln\,3:

\ln\,10\,\approx\,2.3026
2\,\ln\,3\,\approx\,2\,\times  \,1.0986\,=\,2.1972

Donc, A\,>\,B et B\,=\,\ln\,6\,-\,\ln\,2

Utilisons la propriété des logarithmes \ln\,(\frac{a}{b})\,=\,\ln\,a\,-\,\ln\,b:

B\,=\,\ln\,(\frac{6}{2})\,=\,\ln\,3

Nous savons que \ln\,4\,=\,\ln\,(2^2)\,=\,2\,\ln\,2:

A\,=\,2\,\ln\,2

Comparons 2\,\ln\,2 et \ln\,3:

2\,\ln\,2\,\approx\,2\,\times  \,0.6931\,=\,1.3863
\ln\,3\,\approx\,1.0986

Donc, A\,>\,B et B\,=\,2\,\ln\,3

Calculez les valeurs:

3\,\ln\,2\,\approx\,3\,\times  \,0.6931\,=\,2.0793
2\,\ln\,3\,\approx\,2\,\times  \,1.0986\,=\,2.1972

Donc, B\,>\,A et B\,=\,2\,\ln\,5

Nous savons que \ln\,25\,=\,\ln(5^2)\,=\,2\,\ln\,5:

A\,=\,2\,\ln\,5
B\,=\,2\,\ln\,5

Donc, A\,=\,B.

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