Volumes de solides : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 1 : conversion de volumes

%245\,\%2C\,m^3\,\,en\,\,dm^3 :

5\,\%2C\,m^3\,=\,5\,\times  \,1000\,\%2C\,dm^3\,=\,5000\,\%2C\,dm^3

$3034 \, cm^3 \text{ en } dm^3$ :

3034\,\%2C\,cm^3\,=\,3034\,: \,1000\,\%2C\,dm^3\,=\,3%2C034\,\%2C\,dm^3

15026\,\%2C\,mm^3\,\,en\,\,cm^3 :

15026\,\%2C\,mm^3\,=\,15026\,: \,1000\,\%2C\,cm^3\,=\,15%2C026\,\%2C\,cm^3

0%2C23428\,\%2C\,hm^3\,\,en\,\,dam^3 :

0%2C23428\,\%2C\,hm^3\,=\,0%2C23428\,\times  \,1000\,\%2C\,dam^3\,=\,234%2C28\,\%2C\,dam^3

0%2C23428\,\%2C\,dam^3\,\,en\,\,L :

0%2C23428\,\%2C\,dam^3\,=\,0%2C23428\,\times  \,1000\,\%2C\,L\,=\,234%2C28\,\%2C\,L

Exercice 2 : comparer des volumes
Pour calculer le volume des deux pièces, nous allons décomposer chaque pièce en parallélépipèdes rectangles simples.

 Première Pièce :

La première pièce orange peut être décomposée en trois parallélépipèdes:

1. Parallélépipède 1 :
– Dimensions : 1\,\%2C\,cm\,\times  \,1\,\%2C\,cm\,\times  \,4%2C5\,\%2C\,cm
– Volume : V_1\,=\,1\,\times  \,1\,\times  \,4%2C5\,=\,4%2C5\,\%2C\,cm^3

2. Parallélépipède 2 :
– Dimensions : 1\,\%2C\,cm\,\times  \,1%2C5\,\%2C\,cm\,\times  \,1%2C5\,\%2C\,cm
– Volume : V_2\,=\,1\,\times  \,1%2C5\,\times  \,1%2C5\,=\,2%2C25\,\%2C\,cm^3

3. Parallélépipède 3 :
– Dimensions : 2\,\%2C\,cm\,\times  \,1\,\%2C\,cm\,\times  \,1%2C5\,\%2C\,cm
– Volume : V_3\,=\,2\,\times  \,1\,\times  \,1%2C5\,=\,3\,\%2C\,cm^3

Le volume total de la première pièce est donc :
V_{total_1}\,=\,V_1\,%2B\,V_2\,%2B\,V_3\,=\,4%2C5\,%2B\,2%2C25\,%2B\,3\,=\,9%2C75\,\%2C\,cm^3

 Deuxième Pièce :

La deuxième pièce verte peut être décomposée en deux parallélépipèdes:

1. Parallélépipède 4 :
– Dimensions : 1%2C5\,\%2C\,cm\,\times  \,1%2C5\,\%2C\,cm\,\times  \,4%2C5\,\%2C\,cm
– Volume : V_4\,=\,1%2C5\,\times  \,1%2C5\,\times  \,4%2C5\,=\,10%2C125\,\%2C\,cm^3

2. Parallélépipède 5 :
– Dimensions : 4%2C5\,\%2C\,cm\,\times  \,1%2C5\,\%2C\,cm\,\times  \,1%2C5\,\%2C\,cm
– Volume : V_5\,=\,4%2C5\,\times  \,1%2C5\,\times  \,1%2C5\,=\,10%2C125\,\%2C\,cm^3

Le volume total de la deuxième pièce est donc :
V_{total_2}\,=\,V_4\,%2B\,V_5\,=\,10%2C125\,%2B\,10%2C125\,=\,20%2C25\,\%2C\,cm^3

Comparaison des Volumes :

Comparons les volumes des deux pièces :
V_{total_1}\,=\,9%2C75\,\%2C\,cm^3
V_{total_2}\,=\,20%2C25\,\%2C\,cm^3

La deuxième pièce (verte) a un volume plus grand que la première pièce (orange). Plus précisément :
V_{total_2}\,-\,V_{total_1}\,=\,20%2C25\,\%2C\,cm^3\,-\,9%2C75\,\%2C\,cm^3\,=\,10%2C5\,\%2C\,cm^3

Donc, la deuxième pièce a un volume de 10%2C5\,\%2C\,cm^3 de plus que la première pièce.

Exercice 3 : calculer le volume de chaque solide
a.

Pour calculer le volume du solide a, nous devons le diviser en deux parties :

1. Le grand parallélépipède rectangle :
V_{1}\,=\,342\,\%2C\,mm\,\times  \,254\,\%2C\,mm\,\times  \,75\,\%2C\,mm
V_{1}\,=\,6'528'300\,\%2C\,mm^3

2. Le petit parallélépipède rectangle :
V_{2}\,=\,52\,\%2C\,mm\,\times  \,(254\,\%2C\,mm\,-\,75\,\%2C\,mm)\,\times  \,42\,\%2C\,mm
V_{2}\,=\,52\,\%2C\,mm\,\times  \,179\,\%2C\,mm\,\times  \,42\,\%2C\,mm
V_{2}\,=\,391'536\,\%2C\,mm^3

Le volume total du solide est donc :
V_{total}\,=\,V_{1}\,%2B\,V_{2}
V_{total}\,=\,6'528'300\,\%2C\,mm^3\,%2B\,391'536\,\%2C\,mm^3
V_{total}\,=\,6'919'836\,\%2C\,mm^3
Convertissons ensuite ce volume en centimètres cubes :
V_{total}\,=\,6'919'836\,\%2C\,mm^3\,\times  \,(\,\frac{1\,\%2C\,cm}{10\,\%2C\,mm}\,)^3
V_{total}\,=\,6'919.836\,\%2C\,cm^3

b.

Pour calculer le volume du solide b, nous le divisons en cinq parties identiques, chacune étant un parallélépipède rectangle :

V_{1}\,=\,12\,\%2C\,cm\,\times  \,2.8\,\%2C\,cm\,\times  \,2.8\,\%2C\,cm
V_{1}\,=\,94.08\,\%2C\,cm^3

Il y a cinq parallélépipèdes identiques :

V_{total}\,=\,5\,\times  \,V_{1}
V_{total}\,=\,5\,\times  \,94.08\,\%2C\,cm^3
V_{total}\,=\,470.4\,\%2C\,cm^3

c.

Pour calculer le volume du solide c, nous devons additionner les volumes des trois cubes :

1. Cube de 5 cm de côté :
V_{1}\,=\,5\,\%2C\,cm\,\times  \,5\,\%2C\,cm\,\times  \,5\,\%2C\,cm
V_{1}\,=\,125\,\%2C\,cm^3

2. Cube de 4 cm de côté :
V_{2}\,=\,4\,\%2C\,cm\,\times  \,4\,\%2C\,cm\,\times  \,4\,\%2C\,cm
V_{2}\,=\,64\,\%2C\,cm^3

3. Cube de 3 cm de côté :
V_{3}\,=\,3\,\%2C\,cm\,\times  \,3\,\%2C\,cm\,\times  \,3\,\%2C\,cm
V_{3}\,=\,27\,\%2C\,cm^3

Le volume total du solide est donc :
V_{total}\,=\,V_{1}\,%2B\,V_{2}\,%2B\,V_{3}
V_{total}\,=\,125\,\%2C\,cm^3\,%2B\,64\,\%2C\,cm^3\,%2B\,27\,\%2C\,cm^3
V_{total}\,=\,216\,\%2C\,cm^3

Exercice 4 : conversions de volumes

[a.] 1\,\%2C\,dm^3\,=\,1\,\%2C\,L
[b.] 1\,\%2C\,m^3\,=\,1000\,\%2C\,L
[c.] 1\,\%2C\,hL\,=\,100\,\%2C\,L\,=\,100\,\times  \,1000\,\%2C\,cm^3\,=\,100000\,\%2C\,cm^3
[d.] 131%2C2\,\%2C\,L\,=\,131%2C2\,\%2C\,dm^3\,=\,0%2C1312\,\%2C\,m^3
[e.] 35%2C635\,\%2C\,cm^3\,=\,35%2C635\,\%2C\,ml\,=\,3%2C5635\,\%2C\,dL
[f.] 7\,\%2C\,302\,\%2C\,L\,=\,7\,\%2C\,302\,\%2C\,kl\,=\,0%2C007302\,\%2C\,kL
[g.] 10\,\%2C\,000\,\%2C\,000\,\%2C\,mm^3\,=\,10\,\%2C\,000\,\%2C\,cm^3\,=\,10\,\%2C\,L

Exercice 5 : convertir ces volumes
a. 1\,\%2C\,L\,=\,10\,\%2C\,dL

b. 1{%2C}53\,\%2C\,daL\,=\,153\,\%2C\,cL

c. 35\,\%2C\,dL\,=\,3{%2C}5\,\%2C\,L

d. 1\,\%2C\,hL\,=\,1000\,\%2C\,dL

e. 12\,\%2C\,dL\,=\,1{%2C}2\,\%2C\,daL

f. 172{%2C}4\,\%2C\,mL\,=\,1{%2C}724\,\%2C\,dL

Exercice 6 : choisir une unité
a. 23\\,000\\,cm^3\,=\,23\\,dm^3

b. 0%2C000\\,07\\,m^3\,=\,70\\,cm^3

c. 199\\,700\\,000\\,dam^3\,=\,199%2C7\\,km^3

d. 0%2C060\\,8\\,dam^3\,=\,60%2C8\\,dm^3

Exercice 7 : compléter avec la bonne unité
a. 1\,\%2C000\%2C000\,\%2C\,cm^3\,=\,0%2C000\%2C001\,\%2C\,hm^3

b. 6\%2C521\,\%2C\,mm^3\,=\,0%2C000\%2C006\%2C521\,\%2C\,m^3

c. 12\,\%2C\,dam^3\,=\,12\%2C000\%2C000\,\%2C\,dm^3

d. 0%2C004\%2C\,67\,\%2C\,hm^3\,=\,4\%2C670\,\%2C\,m^3

Exercice 8 : effectuer les conversions
a. 1\,\%2C\,dm^3\,=\,1{%2C}000\,\%2C\,mm^3

b. 1\,\%2C\,dam^3\,=\,1{%2C}000{%2C}000\,\%2C\,m^3\,=\,0{%2C}001\,\%2C\,km^3

c. 200\,\%2C\,mm^3\,=\,0{%2C}2\,\%2C\,cm^3

d. 1{%2C}542\,\%2C\,km^3\,=\,1{%2C}542{%2C}000{%2C}000\,\%2C\,m^3\,=\,1{%2C}542{%2C}000\,\%2C\,dam^3

e. 35{%2C}635\,\%2C\,cm^3\,=\,35{%2C}635{%2C}000\,\%2C\,mm^3

f. 534{%2C}273\,\%2C\,m^3\,=\,0{%2C}534273\,\%2C\,km^3

Exercice 9 : une boîte a la forme d’un pavé droit

[a.] Calculons le nombre de cubes de côté 1 cm que l’on peut ranger dans cette boîte.

Volume\,du\,pave\,droit\,=\,12\,\%2C\,cm\,\times  \,8\,\%2C\,cm\,\times  \,5\,\%2C\,cm\,=\,480\,\%2C\,cm^3

Étant donné que chaque cube a un volume de 1\,\%2C\,cm^3, le nombre de cubes que l’on peut ranger dans la boîte est donc:

\frac{480\,\%2C\,cm^3}{1\,\%2C\,cm^3}\,=\,480

On peut ranger 480 cubes de côté 1 cm dans la boîte.

[b.] Déterminons le nombre de cubes de côté 1 mm que l’on peut ranger dans cette boîte.

Volume\,de\,la\,boite\,en\,mm^3\,=\,120\,\%2C\,mm\,\times  \,80\,\%2C\,mm\,\times  \,50\,\%2C\,mm\,=\,480000\,\%2C\,mm^3

Chaque cube de côté 1 mm a un volume de 1\,\%2C\,mm^3, donc le nombre de cubes que l’on peut ranger est:

\frac{480000\,\%2C\,mm^3}{1\,\%2C\,mm^3}\,=\,480000

On peut ranger 480000 cubes de côté 1 mm dans la boîte.

[c.] Exprimons son volume en cm^3 puis en mm^3.

Le volume de la boîte en cm^3 est déjà calculé comme 480 cm^3. Pour convertir ce volume en mm^3:

1\,\%2C\,cm^3\,=\,1000\,\%2C\,mm^3

480\,\%2C\,cm^3\,=\,480\,\times  \,1000\,\%2C\,mm^3\,=\,480000\,\%2C\,mm^3

Le volume de la boîte est 480\,\%2C\,cm^3 ou 480000\,\%2C\,mm^3.

[d.] Déduisons le nombre de millimètres cubes contenus dans un centimètre cube.

1\,\%2C\,cm^3\,=\,(10\,\%2C\,mm)\,\times  \,(10\,\%2C\,mm)\,\times  \,(10\,\%2C\,mm)\,=\,1000\,\%2C\,mm^3

Il y a 1000 millimètres cubes dans un centimètre cube.

Exercice 10 : construire un cube
a. Détermine le volume des cubes en centimètres cubes.

L’image montre trois cubes de tailles différentes. Voici comment calculer leurs volumes :

1. Le petit cube :
Volume\,=\,1\,\times  \,1\,\times  \,1\,=\,1\,\,cm^3

2. Le cube de taille moyenne (3 cm de côté) :
Volume\,=\,3\,\times  \,3\,\times  \,3\,=\,27\,\,cm^3

3. Le grand cube (4 cm de côté) :
Volume\,=\,4\,\times  \,4\,\times  \,4\,=\,64\,\,cm^3

b. Yani veut construire un cube de 5 cm de côté en utilisant des petits cubes en bois de 1 cm de côté. Combien de cubes doit-il prévoir ? 

Le volume d’un cube de 5 cm de côté est :
Volume\,=\,5\,\times  \,5\,\times  \,5\,=\,125\,\,cm^3
Chaque petit cube en bois a un volume de 1\,\,cm^3. Donc, le nombre de petits cubes nécessaires est :
125\,\,petits\,cubes

c. Louise a commencé la construction d’un cube. Combien lui manque-t-il de petits cubes pour terminer son empilement ?

Le cube complet doit mesurer 4 cm de côté (comme celui du paragraphe a), donc il faut 64 petits cubes.

Pour estimer combien de cubes manquent, on compte le nombre de cubes déjà présents :
– Les trois couches inférieures sont complètes, donc elles contiennent 3\,\times  \,16\,=\,48 cubes.
– La quatrième couche comporte 3\,%2B\,1\,%2B\,4\,%2B\,3\,=\,11 cubes visibles.

Alors :
48\,%2B\,11\,=\,59\,\,cubes\,presents

Le nombre de cubes manquants est donc :
64\,-\,59\,=\,5\,\,cubes

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