Volumes de solides : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 11 : dénombrer les unités de volume
a. Pavé 1:
Nombre de petits cubes :
– En comptant les petits cubes, on constate qu’il y a 3 rangées de 4 cubes en largeur, donc il y a 3×4=12 cubes pour chaque couche.
– Il y a 2 couches.

Donc, le pavé 1 contient 12 cubes par couche × 2 couches \( = 24 \) petits cubes.

Méthode de calcul rapide :
La formule pour le volume d’un pavé droit est :
\[ L \times l \times h \]
où \(L\) est la longueur, \(l\) est la largeur et \(h\) est la hauteur.

Pour le pavé 1 :
\[ L = 4, \quad l = 3, \quad h = 2 \]
\[ \text{Volume} = 4 \times 3 \times 2 = 24 \]

Pavé 2:
Nombre de petits cubes :
– En comptant les petits cubes, on constate qu’il y a 3 rangées de 4 cubes en largeur, donc il y a 3×4=12 cubes pour chaque couche.
– Il y a 5 couches.

Donc, le pavé 2 contient 12 cubes par couche × 5 couches \( = 60 \) petits cubes.

Méthode de calcul rapide :
Pour le pavé 2 :
\[ L = 4, \quad l = 3, \quad h = 5 \]
\[ \text{Volume} = 4 \times 3 \times 5 = 60 \]

b.
On sait que le volume du pavé est de 40 petits cubes. Pour déterminer la hauteur, on peut utiliser la formule du volume :
\[ \text{Volume} = L \times l \times h \]

On peut voir que la base du pavé a une longueur \(L = 4\) et une largeur \(l = 2.5\) (en supposant que chaque petit cube mesure 1 unité en longueur). Donc,
\[ 4 \times 2.5 \times h = 40 \]

Il faut isoler \(h\), la hauteur :
\[ 10 \times h = 40 \]
\[ h = \frac{40}{10} \]
\[ h = 4 \]

La hauteur du pavé est donc de \(4\) petits cubes.

Exercice 12 : déterminer le volume de chaque solide
Soit \( V \) le volume d’un solide en unités de volume (u.v.).

a. Le solide a 12 petits cubes.
\[ V_a = 12 \, \text{u.v.} \]

b. Le solide a 15 petits cubes.
\[ V_b = 15 \, \text{u.v.} \]

c. Le solide a 9 petits cubes.
\[ V_c = 9 \, \text{u.v.} \]

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Solide} a. b. c. \\
\hline
\text{Volume en u.v.} 12 15 9 \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 13 : déterminer ces unités de volume
a. Le solide est composé de :

– 3 unités de volume dans la rangée du bas
– 3 unités de volume dans le milieu
– 2 unités de volume au sommet

Total :
\[ 3 + 3 + 2 = 8 \text{ unités de volume} \]

b. Le solide est composé de :

– 4 unités de volume dans la rangée du bas
– 4 unités de volume dans le milieu
– 3 unités de volume au sommet

Total :
\[ 4 + 4 + 3 = 11 \text{ unités de volume} \]

c.  Le solide est composé de :

– 3 unités de volume dans la rangée du bas
– 2 + 2 = 4 unités de volume dans le milieu
– 3 unités de volume au sommet

Total :
\[ 3 + 4 + 3 = 10 \text{ unités de volume} \]

Exercice 14 : un parallélépipède rectangle
Pour compléter le tableau, utilisons la formule du volume (V) d’un parallélépipède rectangle :

\[ V = l \times L \times h \]

Nous devons également nous assurer que toutes les unités soient cohérentes. Un retour à une même unité avant de calculer est essentiel.

1. Pour la première colonne :

\[
\begin{align*}
l = 4\, \text{cm} \\
L = 5\, \text{cm} \\
h = 6\, \text{cm} \\
\end{align*}
\]

Calculons le volume :

\[
V = 4\, \text{cm} \times 5\, \text{cm} \times 6\, \text{cm} = 120\, \text{cm}^3
\]

2. Pour la deuxième colonne :

Convertissons toutes les unités en décimètres (dm) :

\[
\begin{align*}
l = 1.2\, \text{dm} \\
L = 5\, \text{dm} \\
h = 2\, \text{dm} \\
\end{align*}
\]

Calculons le volume :

\[
V = 1.2\, \text{dm} \times 5\, \text{dm} \times 2\, \text{dm} = 12\, \text{dm}^3
\]

Sachant que \(1\, \text{dm}^3 = 1 \, \text{L} \), alors :

\[
V = 12\, \text{L}
\]

3. Pour la troisième colonne :

Convertissons toutes les unités en mètres (m) :

\[
\begin{align*}
l = 1\, \text{m} \\
L = 1000\, \text{m} \quad (10 \, \text{hm})\\
h = 1800\, \text{m} \quad (18 \, \text{hm})\\
V = 90 \, \text{hm}^3 = 90 \times (100\, \text{m})^3 = 90 \times 10^6 \, \text{m}^3\\
\end{align*}
\]

\[
V = 1800 \times 1000 \times 1 = 1.8 \times 10^6 \,\text{m}^3 \quad (La donnée V de cette colonne est très grande et semble différente de philosophiquement proche à la précision physique contre partagée)
]
\]

Exercice 15 : calculer le volumes de ces solides
a. Le solide est composé de deux parallélépipèdes rectangles accolés.

1. Calcul du volume du premier parallélépipède :

\[
V_1 = L \times \l \times h
\]

Avec :
\[
L = 75 \text{ mm}, \quad l = 40 \text{ mm}, \quad h = 32 \text{ mm}
\]

\[
V_1 = 75 \times 40 \times 32 = 96000 \text{ mm}^3
\]

2. Calcul du volume du deuxième parallélépipède :

\[V_2 = L \times \l \times h\]

Avec :
\[L = 32 \text{ mm}, \quad l = 32 \text{ mm}, \quad h = (94 – 32) \text{ mm} = 62 \text{ mm}\]

\[V_2 = 32 \times 32 \times 62 = 63488 \text{ mm}^3\]

3. Calcul du volume total du solide :

\[V_{\text{total}} = V_1 + V_2\]

\[V_{\text{total}} = 96000 + 63488 = 159488 \text{ mm}^3\]

—

b. Le solide est composé de deux parallélépipèdes rectangles accolés.

1. Calcul du volume du premier parallélépipède :

\[V_1 = L \times \l \times h\]

Avec :
\[L = 3 \text{ cm}, \quad l = 3,8 \text{ cm}, \quad h = 1,5 \text{ cm}\]

\[V_1 = 3 \times 3,8 \times 1,5 = 17,1 \text{ cm}^3\]

2. Calcul du volume du deuxième parallélépipède :

\[V_2 = L \times \l \times h\]

Avec :
\[L = 3 \text{ cm}, \quad l = 3,5 \text{ cm}, \quad h = (3 – 1,5) \text{ cm} = 1,5 \text{ cm}\]

\[V_2 = 3 \times 3,5 \times 1,5 = 15,75 \text{ cm}^3\]

3. Calcul du volume total du solide :

\[V_{\text{total}} = V_1 + V_2\]

\[V_{\text{total}} = 17,1 + 15,75 = 32,85 \text{ cm}^3\]

Exercice 16 : le petit frère de Pierre
Le plus gros cube a un côté de \(10 \, \text{cm}\). Les dimensions des côtés des autres cubes diminuent de \(2 \, \text{cm}\) à chaque niveau.

Les dimensions des côtés des cubes sont donc :
– Le plus gros cube : \(10 \, \text{cm}\)
– Le deuxième cube : \(10 – 2 = 8 \, \text{cm}\)
– Le troisième cube : \(8 – 2 = 6 \, \text{cm}\)
– Le quatrième cube : \(6 – 2 = 4 \, \text{cm}\)
– Le plus petit cube : \(4 – 2 = 2 \, \text{cm}\)

Le volume de chaque cube est donné par la formule \(V = c^3\), où \(c\) est la longueur du côté du cube.

Calculons maintenant les volumes de chaque cube :

Pour le plus gros cube :
\[ V_1 = 10^3 = 1000 \, \text{cm}^3 \]

Pour le deuxième cube :
\[ V_2 = 8^3 = 512 \, \text{cm}^3 \]

Pour le troisième cube :
\[ V_3 = 6^3 = 216 \, \text{cm}^3 \]

Pour le quatrième cube :
\[ V_4 = 4^3 = 64 \, \text{cm}^3 \]

Pour le plus petit cube :
\[ V_5 = 2^3 = 8 \, \text{cm}^3 \]

Le volume total de l’empilement est la somme de ces volumes :
\[
V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 + V_5 = 1000 + 512 + 216 + 64 + 8
\]
\[
V_{\text{total}} = 1800 \, \text{cm}^3
\]

Donc, le volume total de l’empilement de cubes est de \(1800 \, \text{cm}^3\).

Exercice 17 : remplissage d’un pavé droit
a. Pour savoir combien de cubes de côté 1 m contient le pavé droit de dimensions \(2 \text{ m} \times 4 \text{ m} \times 5,5 \text{ m}\), on peut d’abord calculer le volume du pavé droit en mètre cube, et ensuite diviser par le volume d’un cube de côté 1 mètre, qui est \(1^3 = 1 \text{ m}^3\).

Le volume du pavé droit est donné par :
\[
V_{\text{pavé}} = L \times l \times h
\]
où \(L = 2 \text{ m}\), \(l = 4 \text{ m}\) et \(h = 5,5 \text{ m}\).

Donc,
\[
V_{\text{pavé}} = 2 \times 4 \times 5,5 = 44 \text{ m}^3
\]

Comme chaque cube a un volume de \(1 \text{ m}^3\), le nombre de cubes est effectivement égal au volume du pavé droit divisé par le volume d’un cube, soit :

\[
\text{Nombre de cubes} = \frac{44 \text{ m}^3}{1 \text{ m}^3} = 44
\]

b. On peut retrouver ce résultat en réutilisant la formule du volume d’un pavé droit. La formule est :

\[
V_{\text{pavé}} = L \times l \times h
\]

En substituant les valeurs des dimensions du pavé droit :

\[
V_{\text{pavé}} = 2 \times 4 \times 5,5 = 44 \text{ m}^3
\]

Donc, le volume du pavé droit est \(44 \text{ m}^3\). Comme chaque cube occupe \(1 \text{ m}^3\), cela confirme que le pavé droit entier contient 44 cubes de \(1 \text{ m}^3\).

Exercice 18 : lire la quantité d’eau
1. a. Le volume d’eau dans le récipient est de 10 mL.

Pour convertir en cm³, on utilise le fait que \[1 \; \text{mL} = 1 \; \text{cm}^3\].

Ainsi, le volume d’eau est
\[ 10 \; \text{mL} = 10 \; \text{cm}^3 \]

2. b. Le volume d’eau dans le récipient est de 1 dL.

Pour convertir en cm³, on utilise le fait que \[ 1 \; \text{dL} = 100 \; \text{mL}\] et donc \[ 1 \; \text{mL} = 1 \; \text{cm}^3\].

Ainsi, le volume d’eau est
\[ 1 \; \text{dL} = 100 \; \text{cm}^3 \]

3. c. Le volume d’eau dans le récipient est de 2 L. Pour convertir en cm³, on utilise le fait que \[1 \; \text{L} = 1000 \; \text{mL} \]et donc \[1 \; \text{mL} = 1 \; \text{cm}^3\]. Ainsi, le volume d’eau est
\[ 2 \; \text{L} = 2000 \; \text{cm}^3 \]

Exercice 19 : la gourde rouge
La gourde rouge contient 1 litre d’eau et la gourde bleue contient 1000 cm³ d’eau. Pour comparer ces deux volumes, nous devons les exprimer dans la même unité.

1 litre (L) est égal à 1000 centimètres cubes (cm³). Donc :

\[ 1 \, \text{L} = 1000 \, \text{cm}^3 \]

Ainsi, la capacité des deux gourdes est la même :

\[\text{Volume de la gourde rouge} = 1 \, \text{L} = 1000 \, \text{cm}^3\]
\[\text{Volume de la gourde bleue} = 1000 \, \text{cm}^3\]

Donc, aucune des deux gourdes ne contient plus d’eau que l’autre. Elles contiennent toutes les deux exactement 1000 cm³ d’eau (ou 1 litre).

Exercice 20 : empilement de trois pavés
Les volumes des pavés sont calculés en comptant le nombre de cubes de 1 cm³ dans chaque pavé.

1. Le pavé du bas (orange) est un pavé droit de base \(4 \times 4\) et de hauteur 1 :
\[ V_{\text{bas}} = 4 \times 4 \times 1 = 16 \, \text{cm}^3 \]

2. Le pavé du milieu (vert) est un pavé droit de base \(3 \times 3\) et de hauteur 3 :
\[ V_{\text{milieu}} = 3 \times 3 \times 3 = 27 \, \text{cm}^3 \]

3. Le pavé du haut (violet) est un pavé droit de base \(2 \times 2\) et de hauteur 4 :
\[ V_{\text{haut}} = 2 \times 2 \times 4 = 16 \, \text{cm}^3 \]

Le volume total de l’empilement est donc :
\[ V_{\text{total}} = V_{\text{bas}} + V_{\text{milieu}} + V_{\text{haut}} = 16 + 27 + 16 = 59 \, \text{cm}^3 \]

Le volume total de cet empilement est donc de \( \boxed{59 \, \text{cm}^3} \).

Exercice 21 : remplissage de deux vases
Pour déterminer si l’eau du vase B va déborder lorsqu’on la verse dans le vase A, nous devons comparer les volumes des deux vases.

Le vase A est un cube de côté 12 cm. Son volume se calcule comme suit :
\[
V_A = a^3
\]
où \( a \) est la longueur des côtés du cube.

Donc,
\[
V_A = 12^3 = 12 \times 12 \times 12 = 1728 \, \text{cm}^3
\]

Le vase B est un parallélépipède droit de dimensions 25 cm, 8 cm et 8 cm. Son volume se calcule comme suit :
\[
V_B = l \times L \times h
\]
où \( l \), \( L \) et \( h \) sont les dimensions du parallélépipède.

Donc,
\[
V_B = 25 \times 8 \times 8 = 200 \times 8 = 1600 \, \text{cm}^3
\]

Comparons maintenant les deux volumes :
\[
V_A = 1728 \, \text{cm}^3
\]
\[
V_B = 1600 \, \text{cm}^3
\]

Puisque \( V_A > V_B \), l’eau contenue dans le vase B, lorsqu’elle est versée dans le vase A, ne provoquera pas de débordement.

Conclusion : Non, cela ne va pas déborder. Le volume du vase A (1728 cm³) est supérieur au volume du vase B (1600 cm³).

Exercice 22 : la tour de Belvédère
a. Calculer le volume d’un pavé.

Le volume \( V \) d’un pavé droit se calcule à l’aide de la formule:
\[ V = L \times l \times h \]
où \( L \) est la longueur, \( l \) est la largeur et \( h \) est la hauteur.

Pour un pavé droit de 3,6 m de longueur, 1,8 m de largeur et 1,5 m de hauteur, nous avons:
\[ V = 3,6 \, \text{m} \times 1,8 \, \text{m} \times 1,5 \, \text{m} \]

Calculons:
\[ V = 3,6 \times 1,8 \times 1,5 \]
\[ V = 9,72 \, \text{m}^3 \]

b. Quelle est la hauteur de cette tour ?

La tour est constituée de deux empilements de 24 pavés droits chacun.

La hauteur \( H \) d’un empilement de pavés se calcule ainsi:
\[ H_{\text{empilement}} = n \times h \]
où \( n \) est le nombre de pavés et \( h \) est la hauteur d’un pavé.

Ici, chaque empilement a 24 pavés et chaque pavé a une hauteur de 1,5 m:
\[ H_{\text{empilement}} = 24 \times 1,5 \, \text{m} \]
\[ H_{\text{empilement}} = 36 \, \text{m} \]

La hauteur totale de la tour avec deux empilements est donc:
\[ H_{\text{tour}} = 2 \times H_{\text{empilement}} \]
\[ H_{\text{tour}} = 2 \times 36 \, \text{m} \]
\[ H_{\text{tour}} = 72 \, \text{m} \]

c. Calculer de deux façons différentes le volume de cette tour.

Première méthode : En utilisant le volume d’un pavé.
Le volume total \( V_{\text{tour}} \) est donné par:
\[ V_{\text{tour}} = n_{\text{total}} \times V_{\text{pavé}} \]
où \( n_{\text{total}} \) est le nombre total de pavés et \( V_{\text{pavé}} \) est le volume d’un pavé.

Il y a 48 pavés dans la tour (24 pavés par empilement et 2 empilements):
\[ n_{\text{total}} = 48 \]
\[ V_{\text{tour}} = 48 \times 9,72 \, \text{m}^3 \]
\[ V_{\text{tour}} = 466,56 \, \text{m}^3 \]

Deuxième méthode : En utilisant les dimensions totales de la tour.

La base de la tour est un carré de côté 3,6 m et la hauteur totale de la tour est 72 m.
Le volume total \( V_{\text{tour}} \) est alors:
\[ V_{\text{tour}} = L_{\text{base}}^2 \times H_{\text{tour}} \]
où \( L_{\text{base}} \) est le côté de la base carrée et \( H_{\text{tour}} \) est la hauteur totale de la tour.

Calculons:
\[ V_{\text{tour}} = (3,6 \, \text{m})^2 \times 72 \, \text{m} \]
\[ V_{\text{tour}} = 12,96 \, \text{m}^2 \times 72 \, \text{m} \]
\[ V_{\text{tour}} = 933,12 \, \text{m}^3 \]

Il semble y avoir une incohérence entre les deux méthodes. Étant donné que les calculs utilisant les pavés sont basés directement sur les informations et simplifient la question, le volume trouvé par les pavés (466,56 m³) devrait être correct. Il peut être utile de vérifier les dimensions de la base et les hypothèses utilisées.

Exercice 23 : un podium composé de trois pavés
a. Calculer le volume de chaque pavé droit en cm³.

Convertissons tout d’abord les dimensions en cm.
\[ 1 \, \text{dm} = 10 \, \text{cm} \]

Pour le pavé droit numéro 1:
\[ \text{Longueur} = 4 \, \text{dm} = 40 \, \text{cm} \]
\[ \text{Largeur} = 3,6 \, \text{dm} = 36 \, \text{cm} \]
\[ \text{Hauteur} = 5 \, \text{dm} = 50 \, \text{cm} \]

Le volume \( V_1 \) du pavé droit numéro 1 est:
\[ V_1 = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} \]
\[ V_1 = 40 \times 36 \times 50 \]
\[ V_1 = 72\,000 \, \text{cm}^3 \]

Pour le pavé droit numéro 2:
\[ \text{Longueur} = 4 \, \text{dm} = 40 \, \text{cm} \]
\[ \text{Largeur} = 3,6 \, \text{dm} = 36 \, \text{cm} \]
\[ \text{Hauteur} = \text{hauteur du pavé droit numéro 1} – 2,4 \, \text{dm} (24 \, \text{cm}) \]
\[ \text{Hauteur} = 50 \, \text{cm} – 24 \, \text{cm} = 26 \, \text{cm} \]

Le volume \( V_2 \) du pavé droit numéro 2 est:
\[ V_2 = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} \]
\[ V_2 = 40 \times 36 \times 26 \]
\[ V_2 = 37\,440 \, \text{cm}^3 \]

Pour le pavé droit numéro 3:
\[ \text{Longueur} = 4 \, \text{dm} = 40 \, \text{cm} \]
\[ \text{Largeur} = 2,4 \, \text{dm} = 24 \, \text{cm} \]
\[ \text{Hauteur} = 2,4 \, \text{dm} = 24 \, \text{cm} \]

Le volume \( V_3 \) du pavé droit numéro 3 est:
\[ V_3 = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} \]
\[ V_3 = 40 \times 24 \times 24 \]
\[ V_3 = 23\,040 \, \text{cm}^3 \]

b. En déduire le volume total de ce podium.

Le volume total \( V_{\text{total}} \) du podium est la somme des volumes des trois pavés droits:
\[ V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + V_3 \]
\[ V_{\text{total}} = 72\,000 + 37\,440 + 23\,040 \]
\[ V_{\text{total}} = 132\,480 \, \text{cm}^3 \]

Exercice 24 : contenance d’un silo à grains
Pour donner la contenance en litres d’un silo à grains, il faut convertir le volume intérieur donné dans l’unité adéquate. Les volumes sont donnés en différentes unités : dm³, m³ et cm³. Nous savons que :

– 1 dm³ = 1 litre
– 1 m³ = 1000 litres
– 1 cm³ = 0,001 litre

a) Pour \(0,5 \, \text{dm}^3\) :
\[0,5 \, \text{dm}^3 = 0,5 \, \text{litre}\]

b) Pour \(13,5 \, \text{m}^3\) :
\[13,5 \, \text{m}^3 = 13,5 \times 1000 \, \text{litres} = 13500 \, \text{litres}\]

c) Pour \(850 000 \, \text{cm}^3\) :
\[850 000 \, \text{cm}^3 = 850 000 \times 0,001 \, \text{litres} = 850 \, \text{litres}\]

Ainsi, les contenances en litres des volumes fournis sont :

a. 0,5 litre

b. 13 500 litres

c. 850 litres

Exercice 25 : le viaduc de Millau
a. 1 dam\(^3\) est le volume d’un cube d’arête 10 dm.

b. Pour construire le Viaduc de Millau, on a utilisé 85 dam\(^3\) de béton. Exprimer ce volume en dm\(^3\).

1 dam\(^3\) = 1000 dm\(^3\)
Alors, 85 dam\(^3\) = 85 \times 1000 dm\(^3\) = 85000 dm\(^3\).

c. On estime que le lac Léman contient 89 km\(^3\) d’eau. Exprimer ce volume en m\(^3\), puis en L.

1 km\(^3\) = 1000 \times 1000 \times 1000 m\(^3\) = 10^9 m\(^3\)
Alors, 89 km\(^3\) = 89 \times 10^9 m\(^3\).

De plus, 1 m\(^3\) = 1000 L
Donc, 89 \times 10^9 m\(^3\) = 89 \times 10^9 \times 1000 L = 89 \times 10^{12} L.

Exercice 26 : deux packs d’eau
Soit \( P_1 \) le premier pack de bouteilles et \( P_2 \) le deuxième pack de bouteilles.

Calculons la quantité d’eau totale dans \( P_1 \).

Chaque bouteille contient \( 750 \: \text{mL} \). Il y a \( 6 \) bouteilles :
\[ Q_{P_1} = 6 \times 750 \: \text{mL} \]

Convertissons les \( 750 \: \text{mL} \) en litres :
\[ 750 \: \text{mL} = 0,75 \: \text{L} \]

Donc :
\[ Q_{P_1} = 6 \times 0,75 \: \text{L} = 4,5 \: \text{L} \]

Calculons la quantité d’eau totale dans \( P_2 \).

Chaque bouteille contient \( 0,5 \: \text{L} \). Il y a \( 9 \) bouteilles :
\[ Q_{P_2} = 9 \times 0,5 \: \text{L} \]
\[ Q_{P_2} = 4,5 \: \text{L} \]

Ainsi, \( Q_{P_1} = Q_{P_2} = 4,5 \: \text{L} \).

L’affirmation de Robin est donc \[\]vraie\[\] : les deux packs contiennent effectivement la même quantité d’eau.

Exercice 27 : une pile de six cubes
La hauteur totale de la pile des six cubes est de 66 cm. Si l’on note \( a \) la longueur de l’arête du plus grand cube, alors les longueurs des arêtes des cubes peuvent être représentées comme suit :

\[
a, \, a – 2, \, a – 4, \, a – 6, \, a – 8, \, a – 10
\]

La hauteur totale est donc la somme des arêtes des six cubes :

\[
a + (a – 2) + (a – 4) + (a – 6) + (a – 8) + (a – 10) = 66
\]

Résolvons cette équation :

\[
a + (a – 2) + (a – 4) + (a – 6) + (a – 8) + (a – 10) = 66
\]

\[
a + a – 2 + a – 4 + a – 6 + a – 8 + a – 10 = 66
\]

\[
6a – 30 = 66
\]

\[
6a = 96
\]

\[
a = 16
\]

Ainsi, la longueur de l’arête du plus grand cube est de \( 16 \) cm. Calculons maintenant les longueurs des arêtes des cubes :

\[
16, \, 14, \, 12, \, 10, \, 8, \, 6
\]

Le volume de chaque cube est donné par le cube de la longueur de son arête.

\[
V_1 = 16^3 = 4096 \text{ cm}^3
\]

\[
V_2 = 14^3 = 2744 \text{ cm}^3
\]

\[
V_3 = 12^3 = 1728 \text{ cm}^3
\]

\[
V_4 = 10^3 = 1000 \text{ cm}^3
\]

\[
V_5 = 8^3 = 512 \text{ cm}^3
\]

\[
V_6 = 6^3 = 216 \text{ cm}^3
\]

Le volume total de la pile est la somme des volumes de tous les cubes :

\[
V_{\text{total}} = 4096 + 2744 + 1728 + 1000 + 512 + 216
\]

\[
V_{\text{total}} = 10296 \text{ cm}^3
\]

Ainsi, le volume de la pile est de \( 10296 \, \text{cm}^3 \).

Exercice 28 : volumes et conversions
1.
Effectue les conversions suivantes.

a. \[12 \, \text{m}^3 = 12 \times 10^3 = 12\,000 \, \text{dm}^3\]
b.  \[10 \, \text{mm}^3 = 10 \times 10^{-3} = 0{,}01 \, \text{cm}^3\]
c.  \[1\,200 \, \text{dm}^3 = 1{,}2 \, \text{m}^3\]
d.  \[0{,}75 \, \text{m}^3 = 0{,}75 \times 10^3 = 750 \, \text{dm}^3\]
e.  \[12{,}426 \, \text{mm}^3 = 12{,}426 \times 10^{-3} = 0{,}012426 \, \text{cm}^3\]
f.  \[25{,}7 \, \text{cm}^3 = 25{,}7 \times 10^3 = 25{,}700 \, \text{mm}^3\]

2.Effectue les conversions suivantes.

[a.] \[127 \, \text{mL} = 0{,}127 \, \text{L}\]
[b.] \[752{,}3 \, \text{hL} = 75{,}230 \, \text{L}\]
[c.] \[132 \, \text{cL} = 1{,}32 \, \text{L}\]
[d.] \[\frac{1}{2} \, \text{L} = 0{,}5 \, \text{L}\]
[e.] \[0{,}051 \, \text{L} = 5{,}1 \, \text{cL}\]
[f.] \[25 \, \text{dL} = 250 \, \text{cL}\]
[g.] \[0{,}3 \, \text{cL} = 0{,}03 \, \text{dL}\]
[h.] \[\frac{1}{4} \, \text{L} = 0{,}25 \, \text{L}\]

{3.}
Effectue les conversions suivantes.

[a.] \[12 \, \text{L} = 12 \times 1 = 12 \, \text{dm}^3\]
[b.] \[0{,}3 \, \text{L} = 0{,}3 \times 1 = 0{,}3 \, \text{dm}^3\]
[c.] \[40 \, \text{mL} = 0{,}04 \, \text{dm}^3\]
[d.] \[1{,}8 \, \text{hL} = 180 \, \text{L}\]
[e.] \[1 \, \text{m}^3 = 1 \times 10^3 = 1\,000 \, \text{L}\]
[f.] \[24 \, \text{dm}^3 = 240 \, \text{cL}\]
[g.] \[12{,}9 \, \text{dm}^3 = 12{,}9 \times 1\,000 = 12\,900 \, \text{mL}\]
[h.] \[42{,}1 \, \text{m}^3 = 42{,}1 \times 1\,000 = 42\,100 \, \text{L}\]

Exercice 29 : convertir des volumes
Convertis chaque volume en \[m\]^3\[ :

[a.] \(1 \text{ dam}^3 = 1000 \text{ m}^3\)
[b.] \(1 \text{ dm}^3 = 0,001 \text{ m}^3\)
[c.] \(200 \text{ mm}^3 = 200 \times 10^{-9} \text{ m}^3 = 2 \times 10^{-7} \text{ m}^3\)
[d.] \(42 \text{ km}^3 = 42 \times 10^9 \text{ m}^3 = 42\,000\,000\,000 \text{ m}^3\)
[e.] \(35,635 \text{ cm}^3 = 35,635 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 3,5635 \times 10^{-5} \text{ m}^3\)

Complète avec la bonne unité :

[a.] \(1\,000\,000 \text{ cm}^3 = 0,001 \text{ m}^3\)
[b.] \(6\,521 \text{ mm}^3 = 6,521 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 6,521 \times 10^{-9} \text{ m}^3\)
[c.] \(12 \text{ dam}^3 = 12\,000\,000 \text{ m}^3\)
[d.] \(0,00467 \text{ hm}^3 = 4670 \text{ m}^3\)
[e.] \(24,06 \text{ hm}^3 = 24\,060 \text{ m}^3\)

Exercice 30 : volumes et conversions

[a.] \( 1 \, \text{hL} = 100 \, \text{L} \)
[b.] \( 1{,}53 \, \text{daL} = 15{,}3 \, \text{L} \)
[c.] \( 35 \, \text{dL} = 3{,}5 \, \text{L} \)
[d.] \( 6{,}8 \, \text{cL} = 0{,}068 \, \text{L} \)
[e.] \( 172{,}4 \, \text{mL} = 0{,}1724 \, \text{L} \)

[a.] \( 1 \, \text{dm}^3 = 1 \, \text{L} \)
[b.] \( 1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{L} \)
[c.] \( 1 \, \text{cm}^3 = 0{,}001 \, \text{L} \)
[d.] \( 131{,}2 \, \text{m}^3 = 131200 \, \text{L} \)
[e.] \( 35{,}635 \, \text{cm}^3 = 0{,}035635 \, \text{L} \)

Exercice 31 : déterminer la hauteur d’un pavé droit
Le volume du cube est donné par :
\[ V_{\text{cube}} = \text{côté}^3 \]
Le côté du cube est de 6 dm, donc :
\[ V_{\text{cube}} = 6^3 = 216 \, \text{dm}^3 \]

Le volume du pavé droit est donné par :
\[ V_{\text{pavé}} = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} \]
On connaît la longueur (12 dm) et la largeur (4 dm) du pavé droit, et on sait que son volume est égal à celui du cube. Donc :
\[ V_{\text{pavé}} = 12 \times 4 \times h = 216 \, \text{dm}^3 \]

On résout pour h :
\[ 48h = 216 \]
\[ h = \frac{216}{48} \]
\[ h = 4.5 \, \text{dm} \]

La hauteur du pavé droit est donc de 4,5 dm.

Exercice 32 : sacs de terreau et jardinière
La première étape consiste à calculer le volume de la jardinière. Les dimensions de la jardinière sont données en centimètres :

– Longueur (\( L \)) = 90 cm
– Largeur (\( l \)) = 45 cm
– Hauteur (\( h \)) = 48,5 cm

Le volume (\( V \)) d’un parallélépipède rectangle est donné par la formule suivante :
\[ V = L \times l \times h \]

Ainsi,
\[ V = 90 \, \text{cm} \times 45 \, \text{cm} \times 48,5 \, \text{cm} \]

Calculons ce volume :
\[
V = 90 \times 45 \times 48,5 = 196875 \, \text{cm}^3
\]

Ensuite, nous devons convertir ce volume de centimètres cubes en litres. Sachant que \( 1 \, \text{L} = 1000 \, \text{cm}^3 \), nous avons :
\[
V \, (\text{en litres}) = \frac{196875 \, \text{cm}^3}{1000} = 196,875 \, \text{L}
\]

Chaque sac de terreau a une capacité de 25 litres. Pour savoir combien de sacs sont nécessaires, nous divisons le volume total de la jardinière par le volume d’un sac :
\[
\text{Nombre de sacs} = \frac{196,875 \, \text{L}}{25 \, \text{L/sac}} = 7,875 \, \text{sacs}
\]

Comme on ne peut pas acheter une fraction de sac, il faut arrondir au nombre entier supérieur. Ainsi, le nombre de sacs nécessaires est :
\[
\text{Nombre de sacs} = \lceil 7,875 \rceil = 8
\]

Donc, il faut acheter 8 sacs de terreau de 25 litres pour remplir cette jardinière.

Exercice 33 : des cubes empilés et calculs de volumes
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Solide} a. b. c. d. \\ \hline
\text{Nombre de petits cubes manquant pour former le grand cube} 0 3 6 7 \\ \hline
\text{Volume en cm}^3 27 24 21 20 \\ \hline
\end{array}
\]

Calculs :

Pour le solide \( a \) :
\[
\text{Volume} = 3 \times 3 \times 3 = 27 \, \text{cm}^3
\]
Il ne manque aucun cube.

Pour le solide \( b \) :
Le solide \( b \) montre 3 cubes manquants :
\[
\text{Volume} = 27 – 3 = 24 \, \text{cm}^3
\]

Pour le solide \( c \) :
Le solide \( c \) montre 6 cubes manquants :
\[
\text{Volume} = 27 – 6 = 21 \, \text{cm}^3
\]

Pour le solide \( d \) :
Le solide \( d \) montre 7 cubes manquants (1 cube central + 6 cubes centraux sur chaque face) :
\[
\text{Volume} = 27 – 7 = 20 \, \text{cm}^3
\]

Exercice 34 : trouver les patrons de cube
Les patrons de cube sont les figures où les six faces peuvent être repliées pour former un cube sans chevauchement ni espace laissé. Les figures correspondantes aux patrons de cube sont les figures :

a, b, d, e, et g.

Donc la solution correcte est :

\[
\boxed{a, b, d, e, g}
\]

Exercice 35 : compléter les longueurs manquantes de ces patrons
a.
1. La largeur manquante du côté gauche est de \( 4,5 \, \text{cm} \).
2. La largeur totale du bas est de \( 4,5 + 5,5 + 4,5 = 14,5 \, \text{cm} \).
3. La hauteur totale de la figure du haut est de \( 5 + 5 = 10 \, \text{cm} \).
4. Pour la hauteur de la section de gauche, elle est de \( 5 \, \text{cm} \) et égale à celle de droite.

b.
1. La largeur manquante du côté gauche et droit est de \( 3,3 \, \text{cm} \).
2. La largeur totale du bas est de \( 3,3 + 4,2 + 3,3 = 10,8 \, \text{cm} \).
3. La hauteur de la partie centrale est de \( 4,2 \, \text{cm} \).
4. La largeur de la section verticale supérieure et inférieure est de \( 4,2 \, \text{cm} \).

c.
1. La largeur manquante de la petite section en bas à droite est de \( 3 \, \text{cm} \).
2. La hauteur totale de la section verticale de droite est de \( 6 \, \text{cm} \).
3. Pour la portion verticale supérieure, elle est de \( 4,4 \, \text{cm} \).
4. La hauteur des côtés supérieur et aucune partie centrale est de \( 3 \, \text{cm} \).

Exercice 36 : trouver les patrons de pavés droits
Les patrons de pavé droit sont les représentations qui, une fois assemblées, forment un parallélépipède rectangle (ou pavé droit). Les figures qui répondent à cette condition sont celles où les six faces (rectangles) peuvent être agencées pour former un pavé droit. Observons chaque figure :

– \( \mathbf{a.} \) Cette figure ne peut pas être pliée pour former un pavé droit, car les rectangles ne se connectent pas correctement pour former un solide tridimensionnel.
– \( \mathbf{b.} \) Cette figure peut être pliée pour former un pavé droit. Les rectangles alignés correctement permettent la formation du solide.
– \( \mathbf{c.} \) Cette figure ne peut pas être pliée pour former un pavé droit pour les mêmes raisons que \( \mathbf{a} \).
– \( \mathbf{d.} \) Cette figure ne peut pas être pliée pour former un pavé droit pour les mêmes raisons que \( \mathbf{a} \).
– \( \mathbf{e.} \) Cette figure peut être pliée pour former un pavé droit. Les rectangles sont disposés correctement.
– \( \mathbf{f.} \) Cette figure peut être pliée pour former un pavé droit. Les côtés sont correctement alignés.

Les patrons de pavé droit sont donc les figures identifiées par les lettres \( \mathbf{b} \), \( \mathbf{e} \) et \( \mathbf{f} \).

Exercice 37 : calculer le volume d’un caillou
La hauteur initiale de l’eau dans le cube est de 8 cm. Après avoir plongé le caillou, la hauteur de l’eau dans le cube est de 8,5 cm.

Pour déterminer le volume du caillou, nous devons calculer l’augmentation du volume d’eau, qui est la différence entre les volumes des deux situations (avant et après avoir plongé le caillou).

Volume initial de l’eau (avant plongée du caillou):
\[ V_{\text{initial}} = \text{surface de la base} \times \text{hauteur initiale} \]
La surface de la base est \((12 \text{ cm})^2\).

Donc,
\[ V_{\text{initial}} = 12 \text{ cm} \times 12 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} \]
\[ V_{\text{initial}} = 1152 \text{ cm}^3 \]

Volume final de l’eau (après plongée du caillou):
\[ V_{\text{final}} = \text{surface de la base} \times \text{nouvelle hauteur} \]
\[
V_{\text{final}} = 12 \text{ cm} \times 12 \text{ cm} \times 8,5 \text{ cm}
\]
\[
V_{\text{final}} = 1224 \text{ cm}^3
\]

Le volume du caillou est alors la différence entre le volume final et le volume initial :
\[
V_{\text{caillou}} = V_{\text{final}} – V_{\text{initial}}
\]
\[
V_{\text{caillou}} = 1224 \text{ cm}^3 – 1152 \text{ cm}^3
\]
\[
V_{\text{caillou}} = 72 \text{ cm}^3
\]

Le volume du caillou est donc \(72 \text{ cm}^3\).

Exercice 38 : calculer le volume de chaque cube
Pour calculer le volume d’un cube, on utilise la formule \( V = a^3 \), où \( a \) représente la longueur d’une arête du cube.

a.\[V = 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \, \text{dm}^3\]

b.\[V = 3.5^3 = 3.5 \times 3.5 \times 3.5 = 42.875 \, \text{dm}^3\]

c.\[V = 3.9^3 = 3.9 \times 3.9 \times 3.9 \approx 59.319 \, \text{dm}^3\]

Exercice 39 : calcul mental et volume d’un pavé droit
Pour calculer le volume de chaque pavé droit, nous utilisons la formule du volume d’un pavé droit :

\[ V = l \times L \times h \]

où \( l \) est la longueur, \( L \) est la largeur, et \( h \) est la hauteur.

Pour le pavé droit \( a \):

\[ V_a = 6 \, \text{m} \times 5 \, \text{m} \times 4 \, \text{m} \]
\[ V_a = 120 \, \text{m}^3 \]

Pour le pavé droit \( b \):

\[ V_b = 6 \, \text{m} \times 2,5 \, \text{m} \times 2 \, \text{m} \]
\[ V_b = 6 \times 2,5 \times 2 \]
\[ V_b = 30 \, \text{m}^3 \]

Pour le pavé droit \( c \):

\[ V_c = 10 \, \text{m} \times 8 \, \text{m} \times 7 \, \text{m} \]
\[ V_c = 10 \times 8 \times 7 \]
\[ V_c = 560 \, \text{m}^3 \]

Pour le pavé droit \( d \):

\[ V_d = 3 \, \text{m} \times 3 \, \text{m} \times 9 \, \text{m} \]
\[ V_d = 3 \times 3 \times 9 \]
\[ V_d = 81 \, \text{m}^3 \]

Les volumes des pavés droits sont donc :
\[ V_a = 120 \, \text{m}^3 \]
\[ V_b = 30 \, \text{m}^3 \]
\[ V_c = 560 \, \text{m}^3 \]
\[ V_d = 81 \, \text{m}^3 \]

Exercice 40 : classer des cartons dans l’ordre croissant de leur volume
Les volumes des cartons \( C1 \), \( C2 \) et \( C3 \) sont calculés en multipliant leurs dimensions.

\[
\text{Volume de } C1 = 38 \times 33 \times 50 = 62700 \text{ cm}^3
\]

\[
\text{Volume de } C2 = 36 \times 33 \times 54 = 64008 \text{ cm}^3
\]

\[
\text{Volume de } C3 = 30 \times 35 \times 55 = 57750 \text{ cm}^3
\]

Classification des cartons en ordre croissant de leur volume:

\[
C3 \, (57750 \text{ cm}^3) < C1 \, (62700 \text{ cm}^3) < C2 \, (64008 \text{ cm}^3)
\]

Donc, les cartons dans l’ordre croissant de leur volume sont :

\[
C3 < C1 < C2
\]

Exercice 41 : patron d’un dé cubique
1. Le patron est déjà reproduit dans l’énoncé.

2. Complétons les faces vides en tenant compte du fait que la somme des chiffres situés sur deux faces parallèles d’un dé est toujours égale à \(7\).

– La face en face de \(1\) doit être \(6\) car \(1 + 6 = 7\).
– La face en face de \(3\) doit être \(4\) car \(3 + 4 = 7\).
– La face en face de \(5\) doit être \(2\) car \(5 + 2 = 7\).

Ainsi, les faces se complètent comme suit :

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1 3 6 \\
\hline
5 4 \\
\hline
2 \\
\hline
\end{array}
\]

Les faces vides sont donc complétées avec les chiffres qui conviennent pour respecter la règle du dé cubique.

Exercice 42 : dessiner le patron d’un pavé droit
Pour dessiner le patron de ce pavé droit de dimensions \( 4 \, \text{cm} \times 3 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm} \), il faut représenter les faces rectangulaires qui constituent le pavé. Voici les étapes pour créer le patron du pavé :

1. \]\[Dimensions des faces du pavé droit :\]\[

– Le pavé droit a six faces : deux faces de \( 4 \, \text{cm} \times 3 \, \text{cm} \), deux faces de \( 4 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm} \) et deux faces de \( 3 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm} \).

2. \]\[Disposer les faces pour former un patron :\]\[

Un patron possible peut être formé en disposant les faces de manière que chaque face adjacente corresponde à une arête commune du pavé droit. Voici un exemple de disposition :

« `
_______
| |
| 2×3 |
|_______|_______ _______
| | | |
| 4×3 | 4×2 | 4×3 |
|_______|_______|_______|
| |
| 2×3 |
|_______|
« `

3. \]\[Détailler chaque segment avec ses dimensions :\]$

Le patron inclut les six rectangles suivantes, étiquetées par leurs dimensions :
– Deux rectangles de \( 4 \, \text{cm} \times 3 \, \text{cm} \)
– Deux rectangles de \( 4 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm} \)
– Deux rectangles de \( 3 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm} \)

Exercice 43 : calculer le volume d’un parallélépipède
Pour le pavé droit \(1\):

Les dimensions sont \(6 \, \text{cm}\), \(3 \, \text{cm}\) et \(2 \, \text{cm}\). Le volume \(V\) est donné par la formule :

\[ V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} \]

\[ V = 6 \, \text{cm} \times 3 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm} \]

\[ V = 36 \, \text{cm}^3 \]

Pour le pavé droit \(2\):

Les dimensions sont \(6 \, \text{cm}\), \(5 \, \text{cm}\) et \(2 \, \text{cm}\). Le volume \(V\) est donné par la formule :

\[ V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} \]

\[ V = 6 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm} \]

\[ V = 60 \, \text{cm}^3 \]

Exercice 44 : volume et exercice en anglais
Pour trouver le volume d’un prisme rectangulaire, on utilise la formule suivante :

\[ V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} \]

Dans cet exercice, la longueur est de 15 pouces, la largeur est de 9 pouces, et la hauteur est de 3 pouces.

\[
V = 15 \, \text{inches} \times 9 \, \text{inches} \times 3 \, \text{inches}
\]

En effectuant les calculs :

\[
V = 15 \times 9 \times 3
\]

\[
V = 135 \times 3
\]

\[
V = 405
\]

Ainsi, le volume du prisme rectangulaire est de 405 pouces cubes.

Exercice 45 : plans de tomates irriguées par un dispositif de goutte-à-goutte
Donnée : Tom doit partir en vacances pendant 21 jours.

Tout d’abord, déterminons le volume d’eau total que contient la cuve :
\[
V (\text{cuve}) = \ell \times L \times h = 75 \, \text{cm} \times 80 \, \text{cm} \times 150 \, \text{cm} = 900000 \, \text{cm}^3
\]

Ensuite, convertissons le volume de la cuve en litres :
\[
V (\text{cuve}) = 900000 \, \text{cm}^3 = 900 \, \text{L}
\]

Déterminons le volume d’eau consommé par jour en fonction des différentes vitesses du goutteur.

Pour la vitesse 1 (1 goutte en 10 secondes) :
\[
1 \, \text{goutte} \times \frac{86400 \, \text{secondes}}{10 \, \text{secondes}} = 8640 \, \text{gouttes/jour}
\]
Sachant que 20 gouttes = 1 cm\(^3\) :
\[
V (\text{vitesse 1 par jour}) = \frac{8640 \, \text{gouttes}}{20} = 432 \, \text{cm}^3 = 0,432 \, \text{L/jour}
\]

Pour la vitesse 2 (1 goutte en 4 secondes) :
\[
1 \, \text{goutte} \times \frac{86400 \, \text{secondes}}{4 \, \text{secondes}} = 21600 \, \text{gouttes/jour}
\]
\[
V (\text{vitesse 2 par jour}) = \frac{21600 \, \text{gouttes}}{20} = 1080 \, \text{cm}^3 = 1,08 \, \text{L/jour}
\]

Pour la vitesse 3 (1 goutte en 3 secondes) :
\[
1 \, \text{goutte} \times \frac{86400 \, \text{secondes}}{3 \, \text{secondes}} = 28800 \, \text{gouttes/jour}
\]
\[
V (\text{vitesse 3 par jour}) = \frac{28800 \, \text{gouttes}}{20} = 1440 \, \text{cm}^3 = 1,44 \, \text{L/jour}
\]

Pour la vitesse 4 (1 goutte en 1 seconde) :
\[
1 \, \text{goutte} \times \frac{86400 \, \text{secondes}}{1 \, \text{seconde}} = 86400 \, \text{gouttes/jour}
\]
\[
V (\text{vitesse 4 par jour}) = \frac{86400 \, \text{gouttes}}{20} = 4320 \, \text{cm}^3 = 4,32 \, \text{L/jour}
\]

Vérifions maintenant si le volume total d’eau dans la cuve sera suffisant pour alimenter les 60 plantes pendant 21 jours pour chaque vitesse.

Pour la vitesse 1 :
\[
\text{Volume total requis} = 0,432 \, \text{L/jour/plante} \times 60 \, \text{plantes} \times 21 \, \text{jours} = 544,32 \, \text{L}
\]
L’eau de la cuve est-elle suffisante ?
\[
900 \, \text{L} \geq\, 544,32 \, \text{L} \quad \text{donc, OUI}
\]

Pour la vitesse 2 :
\[
\text{Volume total requis} = 1,08 \, \text{L/jour/plante} \times 60 \, \text{plantes} \times 21 \, \text{jours} = 1360,8 \, \text{L}
\]
L’eau de la cuve est-elle suffisante ?
\[
900 \, \text{L} < 1360,8 \, \text{L} \quad \text{donc, NON}
\]

Pour la vitesse 3 :
\[
\text{Volume total requis} = 1,44 \, \text{L/jour/plante} \times 60 \, \text{plantes} \times 21 \, \text{jours} = 1814,4 \, \text{L}
\]
L’eau de la cuve est-elle suffisante ?
\[
900 \, \text{L} < 1814,4 \, \text{L} \quad \text{donc, NON}
\]

Pour la vitesse 4 :
\[
\text{Volume total requis} = 4,32 \, \text{L/jour/plante} \times 60 \, \text{plantes} \times 21 \, \text{jours} = 5443,2 \, \text{L}
\]
L’eau de la cuve est-elle suffisante ?
\[
900 \, \text{L} < 5443,2 \, \text{L} \quad \text{donc, NON}
\]

Conclusion : Le dispositif pourra irriguer correctement les 60 plantes de tomates pendant l’absence de Tom en utilisant la vitesse 1.

Exercice 46 : rénovation d’une piscine et tâche complexe
1.  Calcul de la surface à peindre 

La piscine a une forme de parallélépipède avec les dimensions suivantes :
– Longueur : \(10\,m\)
– Largeur : \(5\,m\)
– Hauteur : \(2,3\,m\) (profondeur maximale)

On note également une portion plus petite à une profondeur de \(1,2\,m\).

a. Surface des parois et du fond de la partie profonde (2,3 m):
– Surface du fond : \(10 \times 5 = 50\,m^2 \)
– Surface des côtés longs : \(2 \times (10 \times 2,3) = 46\,m^2\)
– Surface des côtés courts : \(2 \times (5 \times 2,3) = 23\,m^2\)

b. Surface des parois et du fond de la partie moins profonde (1,2 m):
– Surface du petit fond : \(3 \times 5 = 15\,m^2\) (le petit fond du côté de 3 m de largeur)
– Surface des côtés longs (restants) : \(2 \times (3 \times 1,1) + 2 \times (2 \times 1,1) = 10,6\,m^2\)
– Surface de séparation (descente) : \( (5 – 3) \times 1,1 = 2,2\,m^2\)

Total de la surface à peindre :
\[50\,m^2 + 46\,m^2 + 23\,m^2 + 15\,m^2 + 10,6\,m^2 + 2,2\,m^2 = 146,8\,m^2\]

2. Consommation de peinture :

Étant donné que deux couches sont nécessaires :
– Surface totale pour une couche : \(146,8\,m^2\)
– Surface à couvrir pour deux couches : \(2 \times 146,8 = 293,6\,m^2\)

Rendement de la peinture : \(10\,m^2/L\)
Donc, la quantité de peinture nécessaire :
\[\frac{293,6}{10} = 29,36\,L\]

Nombre de pots nécessaires :
\[\frac{29,36}{25} \approx 1,2 \implies 2\, pots \text{ (car il faut un nombre entier de pots)}\]

Coût de la peinture :
\[2 \times 64,20 = 128,40 \] €

3.  Coût du remplissage de la piscine :

Volume de la piscine :
\[10 \times 5 \times 2,3 – (3 \times 5 \times 1,1) = 115 \,m^3 – 16,5 \,m^3 = 98,5 \,m^3\]

Plafond du niveau à 10 cm du bord :
\[10 – 0,1 = 9,9 \,m^3\]

Coût du remplissage :
\[98,5 \times 3,48  = 342,78  ] €

4. Temps de remplissage :

Temps de remplissage pour 10 L \((0,01 \,m^3)\): 16 s

Débit de l’eau :
\[\frac{0,01}{16} = 0,000625 \, m^3/s\]

Temps pour remplir 98,5 m³ :
\[\frac{98,5}{0,000625} = 157600 \, s \\\frac{157600}{3600} \approx 43,78 \, h\]

On doit considérer une marge d’erreur. 44h sont nécessaires pour rendre la piscine opérationnelle.

Repérage de la date et heure limite pour le commencement du remplissage :

Étant donné l’anniversaire est le 6 juillet à 14h, ils doivent finir le remplissage et séchage avant :

Délai nécessaire pour remplir la piscine :
\[43,78 \text{ heures}\]

On doit initier le remplissage au plus tard à :
\[14h \, (6/7) – 44h = 18h \, (4/7)\]

Donc, démarrer au plus tard à 18h le 4 juillet.

Résumé :
– Coût total (mise en peinture + remise en eau) :
\[128,40   (peinture) + 342,78   (eau) = 471,18 \,\] €
– Commencer le remplissage au plus tard le 4 juillet vers 18h.

Exercice 47 : calculer le volume de ce solide
La figure représentée est un parallélépipède à partir duquel un petit parallélépipède a été retiré. Pour calculer le volume total restant, nous devons d’abord calculer le volume du grand parallélépipède puis soustraire le volume du petit parallélépipède retiré.

Calcul du volume du grand parallélépipède :
Longueur \(L = 8 \, \text{cm}\),
Largeur \(l = 6 \, \text{cm}\),
Hauteur \(h = 4 \, \text{cm}\).

Le volume du grand parallélépipède est donné par :
\[
V_{\text{grand}} = L \times l \times h = 8 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm} = 192 \, \text{cm}^3
\]

Calcul du volume du petit parallélépipède retiré :
Longueur \(L’ = 4 \, \text{cm}\),
Largeur \(l’ = 2 \, \text{cm}\),
Hauteur \(h’ = 2 \, \text{cm}\).

Le volume du petit parallélépipède retiré est donné par :
\[
V_{\text{petit}} = L’ \times l’ \times h’ = 4 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm} = 16 \, \text{cm}^3
\]

Le volume du solide restant est donc :
\[
V_{\text{restant}} = V_{\text{grand}} – V_{\text{petit}} = 192 \, \text{cm}^3 – 16 \, \text{cm}^3 = 176 \, \text{cm}^3
\]

Ainsi, le volume du solide est de \(176 \, \text{cm}^3\).

Exercice 48 : calculer le volume de chaque solide
Pour le solide a. :

Le solide est composé d’un cuboïde principal avec un petit cuboïde enlevé.

1. Calcul du volume du cuboïde principal :
\[
V_{\text{principal}} = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} = 4 \, \text{mm} \times 4 \, \text{mm} \times 2 \, \text{mm} = 32 \, \text{mm}^3
\]

2. Calcul du volume du petit cuboïde retiré :
\[
V_{\text{enlevé}} = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} = 2 \, \text{mm} \times 1 \, \text{mm} \times 1 \, \text{mm} = 2 \, \text{mm}^3
\]

3. Volume final du solide a :
\[
V_{\text{solide a}} = V_{\text{principal}} – V_{\text{enlevé}} = 32 \, \text{mm}^3 – 2 \, \text{mm}^3 = 30 \, \text{mm}^3
\]

Pour le solide b. :

Le solide est composé de deux cuboïdes empilés.

1. Calcul du volume du cuboïde supérieur :
\[
V_{\text{supérieur}} = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} = 4 \, \text{mm} \times 2 \, \text{mm} \times 2 \, \text{mm} = 16 \, \text{mm}^3
\]

2. Calcul du volume du cuboïde inférieur :
\[
V_{\text{inférieur}} = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} = 4 \, \text{mm} \times 4 \, \text{mm} \times 2 \, \text{mm} = 32 \, \text{mm}^3
\]

3. Volume final du solide b :
\[
V_{\text{solide b}} = V_{\text{supérieur}} + V_{\text{inférieur}} = 16 \, \text{mm}^3 + 32 \, \text{mm}^3 = 48 \, \text{mm}^3
\]

Exercice 49 : calculer le volume de ces pavés droits
1. Calculons le volume d’un pavé droit ayant pour dimensions :

a. \( \ell = 3 \, \text{dm}, L = 5 \, \text{dm} \text{ et } h = 8 \, \text{dm} \) :

Le volume se calcule par la formule :
\[ V = \ell \times L \times h \]
\[ V = 3 \, \text{dm} \times 5 \, \text{dm} \times 8 \, \text{dm} \]
\[ V = 120 \, \text{dm}^3 \]

b. \( \ell = 4 \, \text{m}, L = 6 \, \text{m} \text{ et } h = 12 \, \text{m} \) :

\[ V = 4 \, \text{m} \times 6 \, \text{m} \times 12 \, \text{m} \]
\[ V = 288 \, \text{m}^3 \]

2. Exprimons ces deux résultats en \(\text{cm}^3 \) :

a. Pour \(\ell = 3 \, \text{dm}, L = 5 \, \text{dm} \text{ et } h = 8 \, \text{dm} \) :

Sachant que \(1 \, \text{dm}^3 = 1000 \, \text{cm}^3 \),
\[ 120 \, \text{dm}^3 = 120 \times 1000 \, \text{cm}^3 \]
\[ V = 120000 \, \text{cm}^3 \]

b. Pour \(\ell = 4 \, \text{m}, L = 6 \, \text{m} \text{ et } h = 12 \, \text{m} \) :

Sachant que \(1 \, \text{m}^3 = 1000000 \, \text{cm}^3 \),
\[ 288 \, \text{m}^3 = 288 \times 1000000 \, \text{cm}^3 \]
\[ V = 288000000 \, \text{cm}^3 \]

3. Calculons le volume d’un pavé droit ayant pour dimensions :

\[ \ell = 12 \, \text{cm}, L = 2 \, \text{dm} \text{ et } h = 30 \, \text{mm} \]

Convertissons les unités afin que toutes soient en centimètres :
\[ L = 2 \, \text{dm} = 20 \, \text{cm} \]
\[ h = 30 \, \text{mm} = 3 \, \text{cm} \]

Calculons le volume :
\[ V = \ell \times L \times h \]
\[ V = 12 \, \text{cm} \times 20 \, \text{cm} \times 3 \, \text{cm} \]
\[ V = 720 \, \text{cm}^3 \]

a. En \(\text{cm}^3 \) :
\[ V = 720 \, \text{cm}^3 \]

b. En \(\text{dm}^3 \) :
Sachant que \(1 \, \text{dm}^3 = 1000 \, \text{cm}^3 \),
\[ V = \frac{720 \, \text{cm}^3}{1000} \]
\[ V = 0,72 \, \text{dm}^3 \]

c. En \(\text{mm}^3 \) :
Sachant que \(1 \, \text{cm}^3 = 1000 \, \text{mm}^3 \),
\[ 720 \, \text{cm}^3 = 720 \times 1000 \, \text{mm}^3 \]
\[ V = 720000 \, \text{mm}^3 \]