La proportionnalité en CM1 : corrigé détaillé des 20 exercices à télécharger en PDF

On lit sur chaque étiquette le prix d’un kilogramme. Par ailleurs, le prix est proportionnel à la masse : pour plusieurs kilos, on multiplie le prix d’un kilo par le nombre de kilos.

a. Pommes rubinette : 4 € le kg.

\[ 3 \times 4 = 12 \]

3 kg de pommes rubinette coûtent 12 €.

b. Pommes royal gala : 2 € le kg.

\[ 5 \times 2 = 10 \]

5 kg de pommes royal gala coûtent 10 €.

c. Figues fraîches : 10 € le kg.

\[ 2 \times 10 = 20 \]

2 kg de figues fraîches coûtent 20 €.

d. Potimarron : 5 € le kg.

\[ 4 \times 5 = 20 \]

4 kg de potimarron coûtent 20 €.

On sait que 3 paires coûtent 4 €. Puis le prix d’une seule paire ne tombe pas juste (4 € ÷ 3), donc on raisonne par lots de 3 paires.

a. 9 paires, c’est 3 lots de 3 paires, car \( 9 = 3 \times 3 \).

\[ 3 \times 4 = 12 \]

9 paires de chaussettes coûtent 12 €.

b. 15 paires, c’est 5 lots de 3 paires, car \( 15 = 5 \times 3 \).

\[ 5 \times 4 = 20 \]

15 paires de chaussettes coûtent 20 €.

c. Premier calcul : 24 paires, c’est 8 lots de 3 paires, car \( 24 = 8 \times 3 \).

\[ 8 \times 4 = 32 \]

Deuxième calcul : on additionne les résultats déjà trouvés. 24 paires = 9 paires + 15 paires, donc le prix est la somme des deux prix :

\[ 12 + 20 = 32 \]

(On peut aussi dire : 24 paires, c’est le double de 12 paires ; 12 paires = 4 lots, soit \( 4 \times 4 = 16 \) €, et \( 16 \times 2 = 32 \) €.)

24 paires de chaussettes coûtent 32 €.

La voiture consomme 6 L pour 100 km. Ensuite, la quantité d’essence est proportionnelle à la distance parcourue.

a. 300 km, c’est 3 fois 100 km, donc elle consomme 3 fois plus :

\[ 3 \times 6 = 18 \]

Pour 300 km, elle consomme 18 L.

b. 500 km = 5 fois 100 km : \( 5 \times 6 = 30 \). Puis elle consomme 30 L.

c. 700 km = 7 fois 100 km : \( 7 \times 6 = 42 \). De plus, elle consomme 42 L.

d. 3 L, c’est la moitié de 6 L, donc Zolan parcourt la moitié de 100 km :

\[ 100 \div 2 = 50 \]

Avec 3 L, il parcourt 50 km.

e. 1,5 L, c’est la moitié de 3 L, donc la moitié de 50 km : \( 50 \div 2 = 25 \). Ensuite, il parcourt 25 km.

f. 4,5 L = 3 L + 1,5 L, donc on additionne les distances : \( 50 + 25 = 75 \). Par ailleurs, il parcourt 75 km.

a. On cherche d’abord le nombre de personnes des colonnes sans titre grâce à la case déjà remplie :

• 750 g de chocolat noir : pour 10 personnes il en faut 250 g, et \( 750 = 3 \times 250 \), donc c’est une recette pour \( 3 \times 10 = \) 30 personnes.
• 100 g de corn flakes : c’est la moitié de 200 g, donc c’est une recette pour 5 personnes.
• 30 g de sucre glace : \( 150 = 5 \times 30 \), donc c’est 5 fois moins que pour 10 personnes, soit une recette pour \( 10 \div 5 = \) 2 personnes.

Pour la colonne « 7 personnes », on additionne les colonnes « 5 personnes » et « 2 personnes » (5 + 2 = 7). Par exemple pour les corn flakes : \( 100 + 40 = 140 \) g.

b. On calcule la quantité nécessaire pour une personne (10 fois moins que pour 10 personnes) :

• chocolat noir : \( 250 \div 10 = 25 \) g par personne ;
• beurre : \( 160 \div 10 = 16 \) g par personne.

Avec 600 g de chocolat : \( 600 \div 25 = 24 \), assez pour 24 personnes (vérification : \( 24 \times 25 = 600 \)).

Avec 400 g de beurre : \( 400 \div 16 = 25 \), assez pour 25 personnes (vérification : \( 25 \times 16 = 400 \)).

C’est le chocolat qui manque en premier : au-delà de 24 personnes, il n’y en a plus assez. Puis le beurre suffit largement pour 24 personnes (\( 24 \times 16 = 384 \) g, moins que 400 g).

La photo d’origine mesure 15 cm sur 10 cm. Ensuite, une reproduction est un agrandissement proportionnel si la longueur et la largeur sont multipliées par le même nombre.

• A (20 cm × 15 cm) : la largeur passe de 10 cm à 15 cm, on lui ajoute sa moitié (5 cm). Si on faisait pareil pour la longueur, on obtiendrait 15 + 7,5 = 22,5 cm, et non 20 cm. Il ne suffit pas non plus d’ajouter 5 cm aux deux côtés. Non.
• B (25 cm × 20 cm) : la largeur est doublée (\( 10 \times 2 = 20 \)) mais la longueur ne l’est pas (\( 15 \times 2 = 30 \), pas 25). Non.
• C (30 cm × 20 cm) : \( 15 \times 2 = 30 \) et \( 10 \times 2 = 20 \). Les deux dimensions sont multipliées par 2. Oui.
• D (30 cm × 25 cm) : \( 15 \times 2 = 30 \) mais \( 10 \times 2 = 20 \), pas 25. Non.
• E (45 cm × 30 cm) : \( 15 \times 3 = 45 \) et \( 10 \times 3 = 30 \). Les deux dimensions sont multipliées par 3. Oui.

Autre façon de voir : sur la photo d’origine, la longueur vaut une fois et demie la largeur (15 = 10 + 5). C’est encore vrai pour C (30 = 20 + 10) et E (45 = 30 + 15), mais pas pour A, B et D.

1. a. 2 pommes contiennent 2 fois plus de calories qu’une pomme, soit \( 2 \times 80 = 160 \) : 160 calories.

1. b. 5 pommes contiennent 5 fois plus de calories qu’une pomme, soit \( 5 \times 80 = 400 \) : 400 calories.

2. Attention : ici on part de 250 mL de jus qui contiennent 150 calories. Puis on divise donc les calories, c’est-à-dire 150.

2. a. 25 mL, c’est 10 fois moins que 250 mL, car \( 25 \times 10 = 250 \). Donc 25 mL de jus contiennent 10 fois moins de calories, soit \( 150 \div 10 = 15 \) : 15 calories.

2. b. 50 mL, c’est 5 fois moins que 250 mL, car \( 50 \times 5 = 250 \). Donc 50 mL de jus contiennent 5 fois moins de calories, soit \( 150 \div 5 = 30 \) : 30 calories.

Vérification : 50 mL, c’est le double de 25 mL, et 30 calories est bien le double de 15 calories.

a. Une bouteille coûte 2,50 €, donc 2 bouteilles coûtent 5 €. De plus, on peut alors compléter le tableau avec des multiples de 5 € : 4 bouteilles, c’est 2 fois 2 bouteilles, donc 10 €, etc. Ensuite, pour 15 bouteilles : 15 = 10 + 5, soit \( 25 + 12{,}50 = 37{,}50 \) €.

b. On lit dans le tableau : 8 bouteilles coûtent 20 €, 15 bouteilles coûtent 37,50 € et 50 bouteilles coûtent 125 €.

c. On lit le tableau « à l’envers », de la ligne du prix vers la ligne du nombre de bouteilles : avec 10 € on achète 4 bouteilles, avec 30 € 12 bouteilles et avec 75 € 30 bouteilles.

On compte les carreaux de chaque figure (longueur × largeur) : A 12 × 4, B 2 × 4, C 6 × 6, D 8 × 4, E 2 × 2, F 3 × 1, G 3 × 1, H 3 × 2.

a. F mesure 3 × 1 et H mesure 3 × 2. Par ailleurs, la largeur est multipliée par 2 (1 → 2) mais la longueur ne change pas (3 → 3). Puis les deux dimensions ne sont pas multipliées par le même nombre : non, H n’est pas un agrandissement de F.

b. C mesure 6 × 6 et E mesure 2 × 2. Ensuite, on divise les deux côtés par 3 (\( 6 \div 3 = 2 \)) : oui, E est une réduction de C (3 fois plus petit).

c. G mesure 3 × 1 : sa longueur vaut 3 fois sa largeur. Puis le rectangle A mesure 12 × 4 : \( 3 \times 4 = 12 \) et \( 1 \times 4 = 4 \). A est un agrandissement de G (dimensions multipliées par 4).

d. D mesure 8 × 4 : sa longueur vaut 2 fois sa largeur. De plus, le rectangle B (posé debout) mesure 4 carreaux sur 2 : \( 8 \div 2 = 4 \) et \( 4 \div 2 = 2 \). B est une réduction de D (dimensions divisées par 2).

e. On regroupe les figures qui ont la même forme :

• longueur = 3 fois la largeur : A, F et G (en bleu) ;
• carrés : C et E (en rouge) ;
• longueur = 2 fois la largeur : D et B (en vert) ;
• H (3 × 2) n’est proportionnel à aucune autre figure : il reste seul (en jaune).

Zolan roule à vitesse constante : il parcourt 12 km en 1 h. Ensuite, la distance est proportionnelle à la durée.

a.

• En 3 h : \( 3 \times 12 = 36 \), il parcourt 36 km.
• En 5 h : \( 5 \times 12 = 60 \), il parcourt 60 km.
• En ½ h : c’est la moitié d’une heure, \( 12 \div 2 = 6 \), il parcourt 6 km.
• En 1 h 30 : 1 h 30 = 1 h + ½ h, donc \( 12 + 6 = 18 \), il parcourt 18 km.

b.

• 24 km = 2 fois 12 km (\( 2 \times 12 = 24 \)) : il met 2 h.
• 72 km = 6 fois 12 km (\( 6 \times 12 = 72 \)) : il met 6 h.
• 30 km = 24 km + 6 km, soit 2 h + ½ h : il met 2 h 30 min.
• 3 km, c’est la moitié de 6 km ; comme 6 km prennent ½ h (30 min), 3 km prennent la moitié de 30 min : il met 15 min (un quart d’heure).

Le prix est proportionnel à la masse : on cherche d’abord le prix de 1 kg.

1. \[ 12 \div 3 = 4 \]

   1 kg de cerises coûte 4 €.

2. \[ 5 \times 4 = 20 \qquad 8 \times 4 = 32 \]

   5 kg coûtent 20 € et 8 kg coûtent 32 €.

3. \[ 28 \div 4 = 7 \]

   Avec 28 €, on achète 7 kg de cerises.

Pour 1 carnet : \( 15 \div 5 = 3 \) €. Pour 10 carnets, on multiplie par 2 : \( 15 \times 2 = 30 \) €. Pour 20 carnets : \( 30 \times 2 = 60 \) €.

Pour 7 carnets : \( 7 \times 3 = 21 \) €. Pour passer de 5 à 10 carnets, on multiplie par 2 le nombre de carnets et le prix.

Avec 45 € : \( 45 \div 3 = 15 \). On peut acheter 15 carnets.

Pour 8 personnes, on double les quantités. Pour 2 personnes, on prend la moitié. Pour 6 personnes, on additionne les quantités pour 4 et pour 2 personnes.

Pour 1 personne : \( 200 \div 4 = 50 \) g de farine. Un paquet de 1 kg contient 1\,000 g :

\[ 1\,000 \div 50 = 20 \]

Un paquet de 1 kg suffit pour 20 personnes.

Un tableau est de proportionnalité si l’on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre.

1. \( 3 \times 2 = 6 \), \( 6 \times 2 = 12 \), \( 12 \times 2 = 24 \) : c’est un tableau de proportionnalité.
2. \( 4 \times 25 = 100 \) mais \( 8 \times 25 = 200 \neq 130 \) : ce n’est pas un tableau de proportionnalité (la taille ne double pas quand l’âge double).
3. \( 5 \times 2 = 10 \) et \( 10 \times 2 = 20 \), mais \( 15 \times 2 = 30 \neq 35 \) : ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
4. \( 10 \times 1{,}8 = 18 \), \( 20 \times 1{,}8 = 36 \), \( 40 \times 1{,}8 = 72 \) : c’est un tableau de proportionnalité. On peut aussi remarquer que 20 est le double de 10 et que 36 est le double de 18 ; 40 est le double de 20 et 72 est le double de 36.

Chaque centimètre de la carte représente 5 km : les distances réelles sont proportionnelles aux distances sur la carte.

1. \[ 6 \times 5 = 30 \qquad 3 \times 5 = 15 \]

   A et B sont distantes de 30 km, B et C de 15 km.

2. \[ 30 + 15 = 45 \]

   Le cycliste parcourt 45 km.

3. \[ 60 \div 5 = 12 \]

   Les deux villages sont distants de 12 cm sur la carte.

Le prix est proportionnel au nombre de pots.

1. \[ 3{,}60 \div 6 = 0{,}60 \]

   Un pot coûte \(0{,}60\) €.

2. 12 pots, c’est 2 lots : \( 3{,}60 \times 2 = 7{,}20 \). 18 pots, c’est 3 lots : \( 3{,}60 \times 3 = 10{,}80 \). 5 pots : \( 5 \times 0{,}60 = 3{,}00 \).

   12 pots coûtent \(7{,}20\) €, 18 pots \(10{,}80\) € et 5 pots 3 €.

3. \[ 4{,}80 \div 0{,}60 = 8 \]

   Avec \(4{,}80\) €, on peut acheter 8 pots.

1. On lit sur le graphique : 2 kg coûtent 4 € et 3 kg coûtent 6 €.
2. Les points sont alignés sur une droite qui passe par l’origine : le prix est proportionnel à la masse. Ici, 1 kg coûte 2 €.
3. \[ 5 \times 2 = 10 \qquad 10 \times 2 = 20 \]

   5 kg coûteraient 10 € et 10 kg coûteraient 20 €.

Il y a toujours deux fois plus de jaune que de rouge.

Pour 7 pots de rouge : \( 7 \times 2 = 14 \) pots de jaune.

Avec 9 pots de jaune, on peut faire \( 9 \div 2 = 4 \) mélanges (reste 1). Avec 5 pots de rouge, on pourrait en faire 5. Le jaune limite donc le nombre de mélanges.

Inès peut faire 4 mélanges. Elle utilise 8 pots de jaune et 4 de rouge : il lui reste 1 pot de jaune et 1 pot de rouge.

Un rectangle est un agrandissement d’un autre si ses deux dimensions sont multipliées par le même nombre.

1. \( 4 \times 2 = 8 \) et \( 3 \times 2 = 6 \) : les deux dimensions sont multipliées par 2. Oui, B est un agrandissement de A.
2. \( 4 \times 2 = 8 \) mais \( 3 \times 2 = 6 \neq 5 \) : les dimensions ne sont pas multipliées par le même nombre. Non, C n’est pas un agrandissement de A.
3. \( 12 \div 4 = 3 \) : les dimensions sont multipliées par 3, donc la largeur est \( 3 \times 3 = 9 \).

   La largeur est 9 cm.

1. \[ 12 \div 3 = 4 \qquad 21 \div 3 = 7 \]

   Il faut 4 pizzas pour 12 enfants et 7 pizzas pour 21 enfants.

2. \[ 8 \times 3 = 24 \]

   Avec 8 pizzas, 24 enfants peuvent manger.

3. Il faut 7 pizzas pour 21 enfants :\[ 7 \times 9 = 63 \]

   Le prix est de 63 €.

1. La taille d’un enfant n’est pas proportionnelle à son âge : en doublant d’âge, il ne double pas de taille. Léa a tort : un enfant de 8 ans ne mesure pas 2 m.
2. Pour 10 places au tarif normal : \[ 10 \times 6 = 60 \]

   Le carnet coûte 50 € au lieu de 60 € : le tableau n’est pas un tableau de proportionnalité (de 1 à 10 places, on multiplie par 10, mais le prix n’est pas multiplié par 10).

   L’économie est de \( 60 – 50 = 10 \) € : 10 €.