Propriétés du parallélogramme : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « propriétés du parallélogramme », question par question.
Dans cette correction, chaque réponse suit le même schéma de rédaction : les données de la figure, la propriété utilisée, puis la conclusion avec l’unité. C’est cette rédaction que le professeur attend sur ta copie, bien plus qu’un nombre seul.
Le quadrillage de l’exercice 3 est redessiné avec le point D, le centre O et le déplacement à reproduire, et la construction de l’exercice 4 est tracée avec ses arcs de compas et ses codages. Le barème détaillé montre où se gagnent les points, et les encadrés signalent les confusions fréquentes entre angles opposés et angles consécutifs.
L’énoncé complet se trouve ici : Propriétés du parallélogramme : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : propriétés du parallélogramme
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Longueurs dans le parallélogramme RSTU | 4 points |
| 2. Les angles de EFGH | 4 points |
| 3. Le quatrième sommet | 4 points |
| 4. Construire à partir des diagonales | 4 points |
| 5. Le terrain de pétanque | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : propriétés du parallélogramme
Exercice 1 – Longueurs dans le parallélogramme RSTU (4 points)
- RSTU est un parallélogramme. Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. [UT] est opposé à [RS], donc \(UT = RS = 6\text{ cm}\). UT mesure 6 cm.
- De même, [RU] est opposé à [ST], donc \(RU = ST = 4\text{ cm}\). RU mesure 4 cm.
- Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. O est donc le milieu de [RT] et \(RT = 2 \times RO = 2 \times 4{,}5 = 9\). La diagonale RT mesure 9 cm.
- Ensuite, O est aussi le milieu de [SU], donc \(OU = OS = 2{,}4\text{ cm}\). OU mesure 2,4 cm.
- Enfin, le périmètre est \(RS + ST + TU + UR = 6 + 4 + 6 + 4 = 20\). Le périmètre de RSTU est 20 cm.
Piège classique : ajouter les diagonales dans le périmètre. Le périmètre est la longueur du contour : seuls les quatre côtés comptent.
Exercice 2 – Les angles de EFGH (4 points)
- Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure. \(\widehat{EHG}\) est opposé à \(\widehat{EFG}\), donc \(\widehat{EHG} = 128^\circ\).
- Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme vaut \(180^\circ\)). \(\widehat{FGH}\) et \(\widehat{EFG}\) sont consécutifs, donc :
\(\widehat{FGH} = 180^\circ – 128^\circ = 52^\circ\).
\(\widehat{FGH} = 52^\circ\). - \(\widehat{HEF}\) est opposé à \(\widehat{FGH}\), donc \(\widehat{HEF} = 52^\circ\).
Vérification : \(128 + 52 + 128 + 52 = 360\), la somme des angles d’un quadrilatère. - Ensuite, dans KLMN, les angles \(\widehat{K}\) et \(\widehat{M}\) sont opposés. Si KLMN était un parallélogramme, ils auraient la même mesure. Or \(70^\circ \neq 75^\circ\). Samir a tort : KLMN n’est pas un parallélogramme.
Piège classique : croire que tous les angles d’un parallélogramme sont égaux et répondre 128° à la question 2. Seuls les angles opposés sont égaux ; deux angles voisins ont une somme de 180°.
Exercice 3 – Le quatrième sommet (4 points)
- Dans un parallélogramme ABCD, les côtés [BC] et [AD] sont parallèles et de même longueur, parcourus dans le même sens. Pour aller de B à C, on avance de 2 carreaux vers la droite et de 3 carreaux vers le haut. On fait le même déplacement en partant de A. D est à 2 carreaux à droite et 3 carreaux au-dessus de A.
- Ensuite, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. O est le milieu de [AC] et le milieu de [BD]. Sur le quadrillage, O est à 4 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de A.
- Ainsi, O est le milieu de [AC] : le symétrique de A par rapport à O est C. O est le milieu de [BD] : le symétrique de B par rapport à O est D. Le symétrique d’un segment est le segment qui relie les symétriques de ses extrémités. Le symétrique de [AB] est le segment [CD].
Exercice 4 – Construire à partir des diagonales (4 points)
- La figure à main levée montre le quadrilatère MNPQ, ses diagonales [MP] et [NQ] qui se coupent en I, les codages de milieu sur chaque diagonale, les longueurs 8 cm et 5 cm, et l’angle \(\widehat{MIN}\) de \(60^\circ\).
- MNPQ est un parallélogramme de centre I. Or les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc I est le milieu de [MP] et de [NQ].
\(IM = 8 \div 2 = 4\) et \(IN = 5 \div 2 = 2{,}5\).
IM = 4 cm et IN = 2,5 cm. - Programme de construction : d’abord, tracer [MP] de 8 cm et placer son milieu I ; ensuite, au rapporteur, tracer une droite passant par I qui fait un angle de \(60^\circ\) avec [IM] ; au compas, placer N sur cette droite à 2,5 cm de I, puis Q de l’autre côté de I, à 2,5 cm aussi ; relier M, N, P et Q. On obtient le parallélogramme MNPQ.
La figure est réduite : sur la copie, MP mesure réellement 8 cm.
Exercice 5 – Le terrain de pétanque (4 points)
- D’abord, \(\widehat{ADC}\) et \(\widehat{DAB}\) sont deux angles consécutifs du parallélogramme, donc ils sont supplémentaires :
\(\widehat{ADC} = 180^\circ – 65^\circ = 115^\circ\).
\(\widehat{BCD}\) est opposé à \(\widehat{DAB}\), donc \(\widehat{BCD} = 65^\circ\).
\(\widehat{ADC} = 115^\circ\) et \(\widehat{BCD} = 65^\circ\). - Ensuite, les côtés opposés ont la même longueur : \(CD = AB = 14\text{ m}\) et \(BC = AD = 9\text{ m}\).
Périmètre : \(2 \times (14 + 9) = 2 \times 23 = 46\).
Il faut 46 m de bordure. - Puis \(9 \times 5 = 45\) : 9 rouleaux donnent 45 m, ce n’est pas assez. \(10 \times 5 = 50\) : 10 rouleaux suffisent.
Prix : \(10 \times 12 = 120\).
Le gardien achète 10 rouleaux et paie 120 €. - Enfin, O est le milieu de la diagonale [AC], donc \(AC = 2 \times 9{,}8 = 19{,}6\). L’allée mesure 19,6 m.
Piège classique : répondre 9,2 rouleaux. On ne peut acheter qu’un nombre entier de rouleaux, et 9 rouleaux ne suffisent pas : il faut arrondir à l’unité supérieure.
À retenir de ce contrôle
- Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur, et les angles opposés ont la même mesure.
- Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu : ce point est le centre de symétrie de la figure.
- Deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires : leur somme est égale à 180 degrés.
- Pour placer le quatrième sommet sur un quadrillage, on reproduit depuis le premier sommet le déplacement qui mène du deuxième au troisième.
- Une figure qui n’est pas à l’échelle ne se mesure jamais : on calcule avec les données et les propriétés.
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