Premières probabilités : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « premières probabilités », question par question.
Cette correction reprend chaque question comme on l’attend sur ta copie. Pour chaque probabilité, elle nomme d’abord les issues favorables, les compte, puis écrit la fraction et la simplifie. L’échelle de l’exercice 2 est redessinée avec les quatre lettres à leur place. Les justifications attendues sont rédigées en entier, en particulier l’argument sur l’équiprobabilité des secteurs de la roue et la différence entre fréquence et probabilité au dernier exercice. Sous chaque exercice, un barème détaillé indique les points de méthode, et un encadré signale le piège le plus fréquent. Refais d’abord le sujet seul, puis compare ta rédaction ligne par ligne.
L’énoncé complet se trouve ici : Premières probabilités : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : premières probabilités
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Le vocabulaire du dé | 3 points |
| 2. L’échelle des probabilités | 3 points |
| 3. La roue de la kermesse | 4 points |
| 4. L’urne aux boules numérotées | 5 points |
| 5. Le choix du stand | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : premières probabilités
Exercice 1 – Le vocabulaire du dé (3 points)
- On connaît tous les résultats possibles (1, 2, 3, 4, 5 ou 6), mais on ne peut pas prévoir lequel sortira avant le lancer : c’est une expérience aléatoire.
- Ensuite, les issues sont les six résultats possibles : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
- Ensuite, les nombres supérieurs ou égaux à 5 sont 5 et 6 : l’événement A est réalisé par les issues 5 et 6.
- L’événement contraire de A est réalisé quand A ne l’est pas : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 », réalisé par les issues 1, 2, 3 et 4.
- D’abord, aucune face ne porte 7 : B est impossible.
Ensuite, les six issues sont toutes inférieures à 10 : C est certain.
Enfin, D est réalisé par 3 et 6, mais pas par les autres issues : D n’est ni certain ni impossible.
Piège classique : le contraire de « supérieur ou égal à 5 » n’est pas « inférieur ou égal à 5 » : l’issue 5 ne peut pas appartenir à la fois à un événement et à son contraire.
Exercice 2 – L’échelle des probabilités (3 points)
- Pour A, la pièce a deux issues équiprobables dont une seule est Pile : \(P(A) = \frac{1}{2}\).
Pour B, aucune face ne porte 7, l’événement est impossible : \(P(B) = 0\).
Pour C, 3 cartes sur 4 sont rouges (les cœurs) : \(P(C) = \frac{3}{4}\).
Pour D, toutes les faces portent un nombre entre 1 et 6, l’événement est certain : \(P(D) = 1\).
\(P(A) = \frac{1}{2}\) ; \(P(B) = 0\) ; \(P(C) = \frac{3}{4}\) ; \(P(D) = 1\). - Ensuite, on place chaque lettre à la graduation correspondant à sa probabilité : B en 0, A en \(\frac{1}{2}\), C en \(\frac{3}{4}\) et D en 1.
Exercice 3 – La roue de la kermesse (4 points)
- Les huit secteurs ont la même taille, donc chacun a la même probabilité d’être désigné. Trois secteurs sur huit sont bleus : \(P(\text{bleu}) = \frac{3}{8}\).
- Ensuite, deux secteurs sur huit sont orange : \(P(\text{orange}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). La probabilité est \(\frac{1}{4}\).
- Un seul secteur sur huit est vert, donc \(P(\text{vert}) = \frac{1}{8}\).
« Ne pas obtenir le vert » est l’événement contraire : \(1 – \frac{1}{8} = \frac{8}{8} – \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\).
La probabilité de ne pas obtenir le vert est \(\frac{7}{8}\). (On peut aussi compter les 7 secteurs qui ne sont pas verts.) - Les quatre couleurs n’ont pas la même chance de sortir, car elles n’occupent pas le même nombre de secteurs : le bleu en occupe trois, le vert un seul. Les issues équiprobables sont les huit secteurs, pas les quatre couleurs. La bonne probabilité est \(\frac{1}{8}\), et non \(\frac{1}{4}\).
Piège classique : compter les couleurs au lieu des secteurs. On ne peut diviser par le nombre d’issues que si ces issues ont toutes la même chance de se produire.
Exercice 4 – L’urne aux boules numérotées (5 points)
- Les dix boules ont la même chance d’être tirées, et 4 sont bleues : \(P(\text{bleue}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). La probabilité est \(\frac{2}{5}\), soit \(0{,}4\).
- Ensuite, les numéros pairs sont 2, 4, 6, 8 et 10, soit 5 boules : \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). La probabilité est \(\frac{1}{2}\).
- Ensuite, parmi les boules bleues (1, 2, 3, 4), seules 2 et 4 ont un numéro pair : \(\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\). La probabilité est \(\frac{1}{5}\).
- Enfin, les multiples de 3 compris entre 1 et 10 sont 3, 6 et 9 : la probabilité est \(\frac{3}{10}\).
- La probabilité vaut \(\frac{1}{2}\) quand il y a autant de boules bleues que de boules orange. Il y a 6 boules orange et 4 bleues : il faut ajouter \(6 – 4 = 2\) boules bleues.
Vérification : l’urne contient alors 6 bleues sur 12 boules, et \(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Il faut ajouter 2 boules bleues.
Piège classique : à la question 5, ajouter des boules change aussi le nombre total de boules : \(\frac{4+2}{10}\) serait faux, il faut diviser par 12.
Exercice 5 – Le choix du stand (5 points)
- Les 12 jetons ont la même chance d’être tirés et 3 sont gagnants : \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\). La probabilité de gagner au stand « Pioche » est \(\frac{1}{4}\).
- Ensuite, le dé est équilibré, ses 6 faces sont équiprobables, et 2 faces font gagner (5 et 6) : \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). La probabilité de gagner au stand « Dé » est \(\frac{1}{3}\).
- On met les deux fractions au même dénominateur 12 : \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\) et \(\frac{1}{3} = \frac{4}{12}\).
Comme \(\frac{3}{12} < \frac{4}{12}\), on a \(\frac{1}{4} < \frac{1}{3}\). Zoé a intérêt à jouer au stand « Dé ». - Enfin, la fréquence est le quotient du nombre de parties gagnées par le nombre total de parties : \(\frac{18}{60} = \frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 30\,\%\). La fréquence est \(\frac{3}{10}\), soit \(30\,\%\).
- Théo a tort. Sur seulement 60 parties, la fréquence observée varie d’une série à l’autre : on pouvait s’attendre à environ \(60 \times \frac{1}{3} = 20\) parties gagnées, et 18 en est très proche. Un écart aussi faible ne prouve pas que le dé est truqué. Avec plusieurs milliers de parties, la fréquence des parties gagnées se rapprocherait de la probabilité \(\frac{1}{3}\), soit environ \(33\,\%\).
Piège classique : confondre fréquence et probabilité. La probabilité se calcule avant l’expérience ; la fréquence s’observe après, et elle change d’une série d’essais à l’autre.
À retenir de ce contrôle
- Une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1 : 0 pour un événement impossible, 1 pour un événement certain.
- En situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement est le nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues.
- La probabilité de l’événement contraire de A est égale à 1 moins la probabilité de A.
- Avant de diviser, vérifie que les issues comptées ont toutes la même chance de se produire, comme les secteurs égaux d’une roue.
- La fréquence observée varie d’une série d’essais à l’autre et se rapproche de la probabilité quand le nombre d’essais devient très grand.
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