Nombres relatifs et priorités opératoires : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « nombres relatifs et priorités opératoires », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices dans l’ordre du sujet. Chaque calcul est écrit ligne par ligne : on y voit d’abord l’opération prioritaire, puis le passage à l’addition de l’opposé dès qu’une soustraction de relatifs apparaît. Compare ta copie étape par étape plutôt que de regarder seulement le résultat encadré.
La droite graduée et le repère sont redessinés avec les points placés en orange, et les pointillés montrent comment on lit l’abscisse puis l’ordonnée. Le barème détaillé indique les points accordés à la méthode, même en cas d’erreur de calcul, et les encadrés signalent les erreurs de signe les plus fréquentes en 5ème.
L’énoncé complet se trouve ici : Nombres relatifs et priorités opératoires : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : nombres relatifs et priorités opératoires
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Automatismes sur les relatifs | 4 points |
| 2. Priorités avec des nombres négatifs | 5 points |
| 3. Les résultats sur une droite graduée | 4 points |
| 4. Un point calculé dans le repère | 3,5 points |
| 5. Les matins au refuge | 3,5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : nombres relatifs et priorités opératoires
Exercice 1 – Automatismes sur les relatifs (4 points)
- Deux nombres de signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe de celui qui en est le plus éloigné. Deux nombres de même signe : on ajoute les distances à zéro et on garde le signe commun.
\(a = (-8) + (+5) = -3\), donc \(a = -3\).
\(b = (-6) – (+9) = (-6) + (-9) = -15\), donc \(b = -15\).
\(c = (+4) – (-11) = (+4) + (+11) = 15\), donc \(c = 15\).
\(d = (-12) + (-7) = -19\), donc \(d = -19\). - On regroupe les termes positifs, puis les termes négatifs.
Termes positifs : \(8 + 6 = 14\).
Termes négatifs : \(-5 – 13 – 2 = -20\).
\(A = 14 – 20 = -6\), donc \(A = -6\).
Vérification de gauche à droite : \(-5 + 8 = 3\) ; \(3 – 13 = -10\) ; \(-10 + 6 = -4\) ; \(-4 – 2 = -6\). - Parmi les négatifs, le plus petit est le plus éloigné de zéro : \(3{,}2 > 3{,}05\), donc \(-3{,}2 < -3{,}05\).
\(-3{,}2 < -3{,}05 < -0{,}7 < 0 < 1{,}5\)
Piège classique : croire que \(-3{,}05\) est plus petit que \(-3{,}2\) parce que 05 « a plus de chiffres ». Compare d’abord \(3{,}20\) et \(3{,}05\), puis inverse l’ordre pour les négatifs.
Exercice 2 – Priorités avec des nombres négatifs (5 points)
- La multiplication est prioritaire, donc on la calcule en premier.
\(B = -9 + 4 \times 3\)
\(B = -9 + 12\)
\(B = 3\) - La multiplication est prioritaire.
\(C = 20 – 6 \times 5\)
\(C = 20 – 30\)
\(C = -10\) - On calcule d’abord la parenthèse, et dans la parenthèse le produit.
\(D = 3 – (18 – 2 \times 4)\)
\(D = 3 – (18 – 8)\)
\(D = 3 – 10\)
\(D = -7\) - Le carré d’abord, puis le produit, enfin les additions et soustractions de gauche à droite.
\(E = -4 + 3^2 – 2 \times 8\)
\(E = -4 + 9 – 16\)
\(E = 5 – 16\)
\(E = -11\) - On calcule chaque parenthèse ; dans la seconde, le quotient passe avant la soustraction.
\(F = (-6 + 1) – (2 – 12 \div 3)\)
\(F = (-5) – (2 – 4)\)
\(F = (-5) – (-2)\)
\(F = (-5) + (+2)\)
\(F = -3\)
Piège classique : calculer \(20 – 6 = 14\) puis \(14 \times 5 = 70\) pour \(C\). Le produit \(6 \times 5\) passe en premier, et le résultat peut être négatif : \(20 – 30 = -10\).
Exercice 3 – Les résultats sur une droite graduée (4 points)
- En comptant les graduations depuis \(-10\), \(-5\), \(0\) et \(5\) : R a pour abscisse \(-8\), S a pour abscisse \(-1\) et T a pour abscisse \(4\).
- D’après l’exercice 2, \(B = 3\), \(D = -7\) et \(F = -3\). On place B(3), D(−7) et F(−3) sur la droite (croix orange ci-dessous).
- La distance est la différence entre la plus grande et la plus petite abscisse.
\(RT = 4 – (-8)\)
\(RT = 4 + 8\)
\(RT = 12\) unités.
Piège classique : écrire \(RT = 4 – 8 = -4\). Une distance n’est jamais négative : on soustrait l’abscisse de R, qui vaut \(-8\), et soustraire \(-8\) revient à ajouter 8.
Exercice 4 – Un point calculé dans le repère (3,5 points)
- On lit d’abord l’abscisse sur l’axe horizontal, puis l’ordonnée sur l’axe vertical.
M(−4 ; 3), N(5 ; −2), P(−3 ; −5) et Q(0 ; 4). - \(x = -7 + 2 \times 5 = -7 + 10 = 3\).
\(y = 1 – 2^2 = 1 – 4 = -3\).
Le point Z a pour coordonnées (3 ; −3). - On avance de 3 carreaux vers la droite sur l’axe des abscisses, puis on descend de 3 carreaux. Z est placé en orange ci-dessous.
Piège classique : inverser abscisse et ordonnée, par exemple écrire Q(4 ; 0), ce qui placerait le point sur l’axe horizontal.
Exercice 5 – Les matins au refuge (3,5 points)
- La barre qui descend le plus bas est celle du mardi, donc c’est le matin le plus froid. Le matin le plus froid est mardi, avec \(-9\) °C.
- Le matin le plus chaud est jeudi, avec \(3\) °C.
\(3 – (-9) = 3 + 9 = 12\).
L’écart de température est de 12 °C. - Vendredi à 6 h, il faisait \(-4\) °C. De 6 h à 10 h, il s’écoule 4 heures, soit une hausse de \(4 \times 3\) °C, puis une baisse de 11 °C.
Expression : \(-4 + 4 \times 3 – 11\).
\(-4 + 4 \times 3 – 11 = -4 + 12 – 11\)
\(= 8 – 11\)
\(= -3\)
Samedi à 18 h, la température est de \(-3\) °C.
Piège classique : compter 5 heures entre 6 h et 10 h, ou oublier de partir de la température de vendredi. Il y a 4 heures, donc la hausse est de 12 °C.
À retenir de ce contrôle
- Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé : 4 − (−11) = 4 + 11 = 15.
- Dans une somme algébrique, on peut regrouper tous les termes positifs, puis tous les termes négatifs, avant de conclure.
- Les priorités restent les mêmes avec des relatifs : parenthèses, puis carrés, puis produits et quotients, enfin sommes et différences.
- Entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui est le plus éloigné de zéro : −3,2 est inférieur à −3,05.
- La distance entre deux points d’une droite graduée se calcule en soustrayant la plus petite abscisse à la plus grande.
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