Priorités opératoires et parenthèses : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « priorités opératoires et parenthèses », question par question.
Tous les calculs de ce corrigé sont écrits une étape par ligne, comme on les attend sur une copie de 5ème. Avant chaque calcul, une courte phrase rappelle quelle règle de priorité s’applique. Ainsi, on comprend l’ordre choisi au lieu de le recopier.
L’arbre de l’exercice 4 est redessiné avec ses résultats intermédiaires. De plus, les égalités à compléter sont vérifiées par un calcul complet. Le barème détaillé distingue les points de méthode et les points de résultat. En effet, une étape juste rapporte des points même si le résultat final est faux. Les encadrés « piège » reprennent les erreurs les plus courantes sur ce chapitre.
L’énoncé complet se trouve ici : Priorités opératoires et parenthèses : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : priorités opératoires et parenthèses
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Automatismes de calcul | 4 points |
| 2. Carrés et cubes | 3 points |
| 3. Des parenthèses partout | 5 points |
| 4. Arbre de calcul et parenthèses | 4 points |
| 5. Une sortie au cinéma | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : priorités opératoires et parenthèses
Exercice 1 – Automatismes de calcul (4 points)
- La multiplication et la division passent avant l’addition et la soustraction, donc on les calcule en premier.
\(A = 7 + 3 \times 5 = 7 + 15\) donc \(A = 22\).
\(B = 30 – 12 \div 4 = 30 – 3\) donc \(B = 27\). - On effectue d’abord les deux produits, ou le quotient et le produit.
\(C = 6 \times 4 – 2 \times 9 = 24 – 18\) donc \(C = 6\).
\(D = 40 \div 8 + 3 \times 7 = 5 + 21\) donc \(D = 26\). - Il n’y a pas de parenthèses. Ainsi, on calcule de gauche à droite.
\(E = 18 – 6 + 4 = 12 + 4\) donc \(E = 16\).
\(F = 48 \div 6 \times 2 = 8 \times 2\) donc \(F = 16\). - Les carrés se calculent d’abord, puis viennent les multiplications.
\(G = 3^2 + 4 \times 2 = 9 + 8\) donc \(G = 17\).
\(H = 2 \times 5^2 = 2 \times 25\) donc \(H = 50\).
Piège classique : calculer \(E\) comme \(18 – (6 + 4) = 8\). Or, sans parenthèse, on enchaîne additions et soustractions de gauche à droite. De même, \(H\) ne vaut pas \(10^2 = 100\).
Exercice 2 – Carrés et cubes (3 points)
- La figure 1 a 5 rangées de 5 carreaux, donc \(5 \times 5 = 5^2 = 25\). La figure 1 est formée de \(5^2 = 25\) petits carreaux.
- La figure 2 a 2 étages de 2 rangées de 2 petits cubes, donc \(2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\). La figure 2 est formée de \(2^3 = 8\) petits cubes.
- \(K = 1 + 2^3 \times 3 = 1 + 8 \times 3 = 1 + 24\) donc \(K = 25\).
\(L = (1 + 2)^3 = 3^3 = 3 \times 3 \times 3\) donc \(L = 27\).
Piège classique : confondre \(2^3\) et \(2 \times 3\). On multiplie 2 par lui-même trois fois : \(2^3 = 8\), et non 6.
Exercice 3 – Des parenthèses partout (5 points)
- On calcule d’abord le contenu des parenthèses, puis on effectue l’opération.
\(M = 5 \times (8 – 3) = 5 \times 5\) donc \(M = 25\).
\(N = (14 + 6) \div (7 – 2) = 20 \div 5\) donc \(N = 4\). - Dans la parenthèse, la multiplication passe avant l’addition, alors on la calcule en premier.
\(P = 50 – 2 \times (3 + 8)\)
\(P = 50 – 2 \times 11\)
\(P = 50 – 22\) donc \(P = 28\). - On commence par les parenthèses les plus intérieures, puis on continue.
\(Q = 3 \times (20 – 6 \times 3)\)
\(Q = 3 \times (20 – 18)\)
\(Q = 3 \times 2\) donc \(Q = 6\). - Dans chaque parenthèse, le carré est prioritaire. Ainsi, on calcule d’abord \(2^2 = 4\).
\(R = (6 + 4) \times (9 – 7)\)
\(R = 10 \times 2\) donc \(R = 20\).
Piège classique : dans \(P\), calculer \(50 – 2 = 48\) avant la multiplication. Le produit \(2 \times 11\) doit être effectué avant la soustraction.
Exercice 4 – Arbre de calcul et parenthèses (4 points)
- L’addition \(7 + 5\) est faite en premier, puis multipliée par 3 : il faut donc des parenthèses. En revanche, la division \(8 \div 2\) est prioritaire sur la soustraction. Elle n’en a pas besoin. L’expression est \((7 + 5) \times 3 – 8 \div 2\).
- \((7 + 5) \times 3 – 8 \div 2 = 12 \times 3 – 4\)
\(= 36 – 4\) donc le résultat est 32. - Sans parenthèses, \(2 + 4 \times 5 – 1 = 2 + 20 – 1 = 21\).
Ensuite, pour obtenir 29 : \((2 + 4) \times 5 – 1 = 6 \times 5 – 1 = 30 – 1 = 29\). \((2 + 4) \times 5 – 1 = 29\).
Enfin, pour obtenir 24 : \((2 + 4) \times (5 – 1) = 6 \times 4 = 24\). \((2 + 4) \times (5 – 1) = 24\).
Piège classique : écrire \(7 + 5 \times 3 – 8 \div 2\), qui vaut \(7 + 15 – 4 = 18\). Sans parenthèses, l’addition n’est plus faite en premier.
Exercice 5 – Une sortie au cinéma (4 points)
- Les places coûtent \(3 \times 8\) € et les menus \(2 \times 6\) €, donc on additionne. Le montant total est donné par \(3 \times 8 + 2 \times 6\).
- \(3 \times 8 + 2 \times 6 = 24 + 12 = 36\). Inès dépense 36 €.
- On retire le montant total des achats aux 50 €. Il faut donc le mettre entre parenthèses.
\(50 – (3 \times 8 + 2 \times 6) = 50 – (24 + 12) = 50 – 36 = 14\).
Le caissier rend 14 € à Inès. - \(50 – 3 \times 8 + 2 \times 6 = 50 – 24 + 12 = 26 + 12 = 38\).
L’expression de Yanis vaut 38. Sans parenthèses, on retire le prix des places mais on ajoute le prix des menus au lieu de le retirer. En effet, les 12 € des menus sont comptés comme un gain. La monnaie rendue est donc 14 €, pas 38 €.
À retenir de ce contrôle
- Dans une expression, on calcule d’abord les parenthèses, puis les puissances, puis multiplications et divisions, enfin additions et soustractions.
- Quand il ne reste que des additions et des soustractions, ou que des multiplications et des divisions, on calcule de gauche à droite.
- Avec des parenthèses imbriquées, on commence toujours par la parenthèse la plus intérieure.
- Le carré d’un nombre est ce nombre multiplié par lui-même : 5² = 25 ; le cube : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
- Pour retirer une somme entière à un nombre, il faut la mettre entre parenthèses : 50 − (24 + 12).
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