Translation et rotation sur quadrillage : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « translation et rotation sur quadrillage », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices dans l’ordre. Pour chaque construction, elle indique d’abord le déplacement en carreaux ou le quart de tour appliqué à un sommet, puis elle généralise aux autres points. Les figures attendues sont redessinées en orange, avec les tracés de construction en vert.
Compare ta copie sommet par sommet, car une seule erreur de comptage décale toute la figure. Les réponses sur les longueurs et les aires s’appuient sur les propriétés de conservation, qu’il faut citer. Compte ensuite tes points grâce au barème détaillé. Les encadrés « Piège classique » montrent enfin les confusions fréquentes, par exemple entre le sens des aiguilles d’une montre et le sens inverse.
L’énoncé complet se trouve ici : Translation et rotation sur quadrillage : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : translation et rotation sur quadrillage
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Les cinq drapeaux | 4 points |
| 2. Une translation de la figure L | 4 points |
| 3. Un quart de tour autour de O | 4 points |
| 4. Un demi-tour autour de P | 4 points |
| 5. Le logo en hélice | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : translation et rotation sur quadrillage
Exercice 1 – Les cinq drapeaux (4 points)
- Le drapeau 2 a la même orientation que le drapeau 1 : il a seulement glissé de 6 carreaux vers la droite et de 6 carreaux vers le haut. C’est une translation (6 carreaux à droite, 6 carreaux vers le haut).
- Le drapeau 3 est retourné : sa flamme pointe vers la gauche, alors que son mât reste vertical. Les deux mâts sont à égale distance, 7 carreaux, d’une même droite verticale. C’est une symétrie axiale, d’axe la droite verticale située à 7 carreaux à droite du mât du drapeau 1.
- Le drapeau 4 est renversé tête en bas, avec la flamme vers la gauche : il a fait un demi-tour. C’est une symétrie centrale, c’est-à-dire une rotation de 180°, de centre le milieu du segment qui relie les pieds des deux mâts.
- Enfin, le mât du drapeau 5 est couché vers la gauche et sa flamme pointe vers le haut : le drapeau a tourné d’un quart de tour. C’est une rotation d’angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Piège classique : confondre le drapeau 3 et le drapeau 4. Une symétrie axiale retourne la figure comme un calque qu’on rabat, tandis qu’un demi-tour la fait tourner sans la retourner.
Exercice 2 – Une translation de la figure L (4 points)
- Pour aller de A à B, on se déplace de 5 carreaux vers la droite, puis de 3 carreaux vers le haut. On applique donc ce même déplacement à chacun des six sommets de L, ensuite on relie les images dans le même ordre. La figure L′ est tracée en orange ci-dessous.
- On passe de K à K′ en avançant de 5 carreaux vers la droite et de 3 carreaux vers le haut, exactement comme de A à B.
- La translation qui transforme A en B transforme aussi K en K′. Par conséquent, le quadrilatère ABK′K a ses côtés [AB] et [KK′] parallèles et de même longueur. ABK′K est un parallélogramme.
Piège classique : placer L′ à partir du point A, comme si A appartenait à la figure. Le couple (A ; B) indique seulement le déplacement, alors que la figure L reste à sa place de départ.
Exercice 3 – Un quart de tour autour de O (4 points)
- Depuis O, on atteint R par 2 carreaux à droite et 1 vers le haut. Après un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, ce déplacement devient 1 carreau à gauche et 2 vers le haut, ce qui donne R′. De même, S (5 à droite, 1 en haut) donne S′ (1 à gauche, 5 en haut), puis T (2 à droite, 3 en haut) donne T′ (3 à gauche, 2 en haut). Le triangle R′S′T′ est tracé en orange ci-dessous.
- Une rotation conserve les longueurs, donc R′S′ = RS. R′S′ = 3 cm.
- La rotation conserve les distances au centre, ainsi OR′ = OR. De plus, l’angle \(\widehat{ROR^{\prime}}\) mesure 90°, car c’est l’angle de la rotation. Le triangle ORR′ est isocèle et rectangle en O.
Piège classique : tourner dans le sens des aiguilles d’une montre. On obtiendrait alors un triangle placé sous O, symétrique de la bonne réponse par rapport au point O.
Exercice 4 – Un demi-tour autour de P (4 points)
- Pour un demi-tour, on prolonge chaque segment reliant un sommet à P d’une même longueur au-delà de P. Par exemple, pour aller de E à P, on avance de 4 carreaux vers la droite et de 1 vers le haut ; on recommence donc depuis P pour obtenir E′. Le quadrilatère E′F′G′H′ est tracé en orange ci-dessous.
- Une rotation de 180° est une symétrie centrale. C’est la symétrie de centre P, donc P est le milieu du segment [EE′].
- On entoure EFGH d’un carré de 3 carreaux sur 3, soit 9 carreaux, puis on retire deux triangles rectangles : \(\frac{1 \times 3}{2} = 1{,}5\) et \(\frac{2 \times 1}{2} = 1\).
Aire de EFGH : \(9 – 1{,}5 – 1 = 6{,}5\) carreaux.
Une rotation conserve les aires. EFGH et E′F′G′H′ ont la même aire : \(6{,}5\text{ cm}^2\).
Piège classique : compter les carreaux entamés comme des carreaux entiers. Pourtant, les bords obliques coupent des carreaux en deux, d’où la méthode du carré englobant.
Exercice 5 – Le logo en hélice (4 points)
- Chaque quart de tour autour de O transforme le triangle précédent : A (3 carreaux à droite de O) va d’abord 3 carreaux au-dessus de O, puis 3 carreaux à gauche, enfin 3 carreaux en dessous. Le point C suit le même mouvement. On obtient les trois triangles bleu, orange et vert de la figure ci-dessous.
- Le triangle OAC est rectangle en A, avec OA = 3 cm et AC = 2 cm :
Aire de OAC : \(\frac{3 \times 2}{2} = 3\text{ cm}^2\).
Une rotation conserve les aires, et les quatre pales ne se chevauchent pas. Ainsi, \(4 \times 3 = 12\).
Le logo a une aire de \(12\text{ cm}^2\). - Les 6 pales se partagent un tour complet de 360°, donc \(360 \div 6 = 60\). Yanis doit faire tourner chaque pale de 60°.
À retenir de ce contrôle
- Une translation fait glisser la figure : tous les points se déplacent dans la même direction, le même sens et de la même longueur.
- Dans une rotation de centre O, chaque point et son image sont à la même distance de O, et l’angle entre eux est l’angle de rotation.
- Une rotation de 180° autour d’un point P est la symétrie centrale de centre P : P est le milieu de chaque segment reliant un point à son image.
- Translations et rotations conservent les longueurs, les angles et les aires : l’image est superposable à la figure de départ.
- Si la translation qui transforme A en B transforme aussi K en K′, alors le quadrilatère ABK′K est un parallélogramme.
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