Tracer une fonction linéaire ou affine : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « tracer une fonction linéaire ou affine », question par question.
Cette correction détaille les cinq exercices avec la rédaction attendue au brevet. Pour chaque fonction, elle identifie les nombres \(a\) et \(b\) avant de conclure, puis montre comment calculer une image en remplaçant \(x\) et comment trouver un antécédent en résolvant une équation. Les droites de l’exercice 4 sont tracées sur le repère avec les points utilisés, et le graphique des tarifs est complété par la lecture du point d’intersection. Le calcul du coefficient directeur à partir de deux images est présenté étape par étape. Compare ta copie au barème : une lecture graphique juste mais non expliquée ne rapporte pas tous les points.
L’énoncé complet se trouve ici : Tracer une fonction linéaire ou affine : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : tracer une fonction linéaire ou affine
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Linéaire, affine ou aucune des deux | 3 points |
| 2. Images et antécédents | 4 points |
| 3. Trois droites à lire | 4 points |
| 4. Tracer puis retrouver une fonction | 4 points |
| 5. La location de vélos | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : tracer une fonction linéaire ou affine
Exercice 1 – Linéaire, affine ou aucune des deux (3 points)
- \(r(x) = -4x\) est de la forme \(ax\) avec \(a = -4\) : \(r\) est linéaire (donc aussi affine avec \(b = 0\)).
\(s(x) = 2x + 7\) est de la forme \(ax + b\) avec \(a = 2\) et \(b = 7\) : \(s\) est affine non linéaire.
En revanche, \(t(x) = x^2 – 1\) contient \(x^2\) : \(t\) n’est ni linéaire ni affine. - \(u(x) = 5 – 3x = -3x + 5\) : \(u\) est affine avec \(a = -3\) et \(b = 5\).
De même, \(v(x) = \dfrac{x}{2} = 0{,}5x\) : \(v\) est linéaire avec \(a = 0{,}5\).
Enfin, \(w(x) = 3(x + 1) – 3 = 3x + 3 – 3 = 3x\) : \(w\) est linéaire avec \(a = 3\).
Piège classique : classer \(w\) comme affine non linéaire à cause du « \(-3\) ». Il faut d’abord développer et réduire l’expression avant de conclure.
Exercice 2 – Images et antécédents (4 points)
- \(f(3) = -2 \times 3 + 5 = -6 + 5 = -1\). L’image de 3 est \(-1\).
- \(f(-1{,}5) = -2 \times (-1{,}5) + 5 = 3 + 5 = 8\). \(f(-1{,}5) = 8\).
- On résout \(-2x + 5 = 11\).
Ensuite, \(-2x = 11 – 5\)
\(-2x = 6\)
Donc \(x = 6 \div (-2) = -3\).
Vérification : \(f(-3) = 6 + 5 = 11\). L’antécédent de 11 est \(-3\). - On résout \(-2x + 5 = 0\).
Ensuite, \(-2x = -5\)
Donc \(x = \dfrac{-5}{-2} = 2{,}5\).
\(f(x) = 0\) pour \(x = 2{,}5\).
Exercice 3 – Trois droites à lire (4 points)
- Une fonction linéaire est représentée par une droite qui passe par l’origine du repère. Seule (d₁) passe par le point \((0 \,;\, 0)\). Elle passe aussi par \((1 \,;\, 2)\), donc son coefficient est 2. (d₁) représente la fonction linéaire \(x \mapsto 2x\).
- (d₂) coupe l’axe des ordonnées au point \((0 \,;\, 3)\) : \(b = 3\). Quand on avance de 1 vers la droite, elle descend de 1, donc \(a = -1\). (d₂) représente \(x \mapsto -x + 3\).
(d₃) coupe l’axe des ordonnées au point \((0 \,;\, -2)\) : \(b = -2\). Ensuite, quand on avance de 2 vers la droite, elle monte de 1, donc \(a = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\). (d₃) représente \(x \mapsto 0{,}5x – 2\). - On cherche le point de (d₃) d’ordonnée 1 : c’est le point \((6 \,;\, 1)\). Vérification : \(0{,}5 \times 6 – 2 = 3 – 2 = 1\). L’antécédent de 1 est 6.
Exercice 4 – Tracer puis retrouver une fonction (4 points)
- Pour \(g\) : \(g(0) = 4\) et \(g(2) = -3 \times 2 + 4 = -2\). La droite (D₁) passe par \((0 \,;\, 4)\) et \((2 \,;\, -2)\).
Ensuite, pour \(h\), fonction linéaire, la droite (D₂) passe par l’origine \((0 \,;\, 0)\), et \(h(4) = 1{,}5 \times 4 = 6\), donc par \((4 \,;\, 6)\). On trace les deux droites passant par ces points. - \(k\) est affine : \(k(x) = ax + b\).
D’abord, \(a = \dfrac{k(6) – k(2)}{6 – 2} = \dfrac{9 – 1}{4} = \dfrac{8}{4} = 2\).
Donc \(k(x) = 2x + b\) et \(k(2) = 1\) donne \(2 \times 2 + b = 1\), soit \(b = 1 – 4 = -3\).
Enfin, on vérifie : \(k(6) = 2 \times 6 – 3 = 9\). \(k(x) = 2x – 3\).
Piège classique : placer le point \((0 \,;\, 4)\) sur l’axe des abscisses. L’ordonnée à l’origine se lit toujours sur l’axe vertical.
Exercice 5 – La location de vélos (5 points)
- Tarif A : \(4 \times 3 = 12\) €. Ensuite, tarif B : \(10 + 1{,}5 \times 3 = 10 + 4{,}5 = 14{,}5\) €. Pour 3 heures : 12 € avec A et 14,50 € avec B.
- \(f_A(x) = 4x\) et \(f_B(x) = 1{,}5x + 10\). Le prix du tarif A est proportionnel à la durée (fonction linéaire).
- Les deux droites se coupent au point \((4 \,;\, 16)\). Ensuite, après 4 heures, la droite du tarif B est en dessous de celle du tarif A. Le tarif B est plus avantageux au-delà de 4 heures.
- On résout \(f_A(x) = f_B(x)\) :
\(4x = 1{,}5x + 10\)
Ensuite, \(4x – 1{,}5x = 10\)
\(2{,}5x = 10\)
\(x = 10 \div 2{,}5 = 4\).
Ainsi, pour 4 heures, les deux tarifs coûtent \(4 \times 4 = 16\) €. Au-delà de 4 heures, le tarif B est moins cher. - Tarif A : \(4x = 25\) donne \(x = 6{,}25\) h, soit 6 h 15 min.
Ensuite, tarif B : \(1{,}5x + 10 = 25\) donne \(1{,}5x = 15\), soit \(x = 10\) h.
Avec le tarif B, Nora peut rouler 10 heures.
À retenir de ce contrôle
- Une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b ; elle est linéaire quand b = 0 et sa droite passe alors par l’origine.
- Le nombre b est l’ordonnée à l’origine : c’est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées.
- Le coefficient directeur se calcule avec deux points : on divise la différence des images par la différence des abscisses.
- Pour trouver un antécédent, on écrit l’équation f(x) = valeur donnée et on la résout, puis on vérifie en calculant l’image.
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