Loi de probabilité et espérance : corrigé du contrôle de maths en première
Voici le corrigé du contrôle de maths en première sur le thème « loi de probabilité et espérance », question par question.
Cette correction détaille chaque exercice comme une copie soignée. Pour chaque variable aléatoire, elle commence par l’ensemble des valeurs, puis présente la loi dans un tableau et vérifie que la somme des probabilités fait bien 1. Les calculs d’espérance sont écrits en fractions, sans raccourci.
Compare d’abord tes résultats, puis ta rédaction : une espérance juste mais non interprétée ne rapporte pas tous les points. Le barème placé sous chaque exercice t’aide ainsi à estimer ta note. Les figures corrigées montrent aussi le diagramme en barres attendu et le tableau des deux dés complété. Enfin, les encadrés signalent les erreurs fréquentes, notamment l’oubli de la mise dans un gain.
L’énoncé complet se trouve ici : Loi de probabilité et espérance : contrôle de maths en première.
Barème du contrôle corrigé : loi de probabilité et espérance
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. La roue de la fête foraine | 4 points |
| 2. Une loi donnée par un diagramme | 4 points |
| 3. Une valeur cachée | 3 points |
| 4. L’écart entre deux dés | 5 points |
| 5. La tombola du lycée | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : loi de probabilité et espérance
Exercice 1 – La roue de la fête foraine (4 points)
- Les secteurs portent 0 €, 2 €, 5 € ou 10 €, donc \(X\) prend les valeurs 0, 2, 5 et 10. Les 12 secteurs sont équiprobables. On compte alors 6 secteurs à 0 €, 3 à 2 €, 2 à 5 € et 1 à 10 €.
Valeur \(x_i\) 0 2 5 10 \(P(X = x_i)\) \(\frac{6}{12}\) \(\frac{3}{12}\) \(\frac{2}{12}\) \(\frac{1}{12}\) On vérifie ensuite : \(\frac{6}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{12}{12} = 1\). La somme des probabilités vaut bien 1.
- On trace une barre au-dessus de chaque valeur, de hauteur égale à sa probabilité. Le diagramme attendu est le suivant.
- On additionne les probabilités des valeurs supérieures ou égales à 2 :
\(P(X \geq 2) = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\).
Ainsi, Maël a une chance sur deux de gagner au moins 2 €. - \(E(X) = 0 \times \frac{6}{12} + 2 \times \frac{3}{12} + 5 \times \frac{2}{12} + 10 \times \frac{1}{12}\)
\(E(X) = \frac{0 + 6 + 10 + 10}{12} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6} \approx 2{,}17\).
Sur un grand nombre de parties, le joueur reçoit donc en moyenne \(\frac{13}{6}\) € par partie, alors qu’il en paie 2. Or \(\frac{13}{6} – 2 = \frac{1}{6} > 0\). Le jeu est donc avantageux pour le joueur : il gagne en moyenne environ 17 centimes par partie.
Piège classique : compter 4 issues équiprobables (0, 2, 5 et 10) et donner à chaque valeur la probabilité \(\frac{1}{4}\). Ce sont les 12 secteurs qui sont équiprobables, pas les 4 gains.
Exercice 2 – Une loi donnée par un diagramme (4 points)
- On lit \(P(X = -3) = 0{,}1\), \(P(X = -1) = 0{,}25\), \(P(X = 2) = 0{,}3\) et \(P(X = 5) = 0{,}15\). Comme la somme des probabilités vaut 1 :
\(P(X = 0) = 1 – (0{,}1 + 0{,}25 + 0{,}3 + 0{,}15) = 1 – 0{,}8 = 0{,}2\).
Donc \(P(X = 0) = 0{,}2\). - Les valeurs strictement positives sont 2 et 5, donc \(P(X > 0) = 0{,}3 + 0{,}15 = 0{,}45\).
L’événement « \(X \leq 0\) » est l’événement contraire de « \(X > 0\) ». Par conséquent, \(P(X \leq 0) = 1 – 0{,}45 = 0{,}55\).
On obtient \(P(X > 0) = 0{,}45\) et \(P(X \leq 0) = 0{,}55\). - Entre \(-1\) et 2 (inclus), \(X\) peut valoir \(-1\), 0 ou 2. Ainsi :
\(P(-1 \leq X \leq 2) = 0{,}25 + 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}75\). Donc \(P(-1 \leq X \leq 2) = 0{,}75\). - \(E(X) = -3 \times 0{,}1 + (-1) \times 0{,}25 + 0 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}3 + 5 \times 0{,}15\)
\(E(X) = -0{,}3 – 0{,}25 + 0 + 0{,}6 + 0{,}75 = 0{,}8\).
L’espérance de \(X\) vaut \(0{,}8\).
Piège classique : oublier la valeur 0 dans la question 3, car elle ne rapporte rien dans l’espérance. Pourtant, sa probabilité compte bien dans \(P(-1 \leq X \leq 2)\).
Exercice 3 – Une valeur cachée (3 points)
- Par définition de l’espérance :
\(E(X) = 1 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}3 + x \times 0{,}2 = 0{,}5 + 1{,}2 + 0{,}2x\).
Donc \(E(X) = 1{,}7 + 0{,}2x\). - On sait que \(E(X) = 3\), donc \(1{,}7 + 0{,}2x = 3\).
Alors \(0{,}2x = 1{,}3\), puis \(x = \frac{1{,}3}{0{,}2} = 6{,}5\).
On vérifie enfin que \(6{,}5 > 4\), ce qui est conforme à l’énoncé. Ainsi, \(x = 6{,}5\). - Les valeurs supérieures ou égales à 4 sont 4 et \(6{,}5\), donc \(P(X \geq 4) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5\).
De plus, les valeurs strictement inférieures à 5 sont 1 et 4, donc \(P(X < 5) = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8\).
On trouve \(P(X \geq 4) = 0{,}5\) et \(P(X < 5) = 0{,}8\).
Exercice 4 – L’écart entre deux dés (5 points)
- Dans chaque case, on écrit le plus grand des deux résultats moins le plus petit. Le tableau complété est le suivant.
- Les dés sont équilibrés et distincts : chacun des 6 résultats du dé rouge s’associe à chacun des 6 résultats du dé bleu. On obtient donc \(6 \times 6 = 36\) issues équiprobables, de probabilité \(\frac{1}{36}\) chacune. En comptant les cases du tableau, on obtient :
Valeur \(k\) 0 1 2 3 4 5 \(P(X = k)\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{10}{36}\) \(\frac{8}{36}\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{2}{36}\) Vérification : \(6 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 36\), donc la somme des probabilités vaut bien 1.
- \(P(X \geq 3) = \frac{6}{36} + \frac{4}{36} + \frac{2}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\).
Donc \(P(X \geq 3) = \frac{1}{3}\). - \(E(X) = \frac{0 \times 6 + 1 \times 10 + 2 \times 8 + 3 \times 6 + 4 \times 4 + 5 \times 2}{36}\)
\(E(X) = \frac{0 + 10 + 16 + 18 + 16 + 10}{36} = \frac{70}{36} = \frac{35}{18} \approx 1{,}94\).
Ainsi, \(E(X) = \frac{35}{18}\) : sur un grand nombre de lancers, l’écart moyen entre les deux dés est proche de 2.
Piège classique : considérer que les 6 écarts possibles sont équiprobables. L’écart 1 est obtenu dans 10 cases, alors que l’écart 5 ne l’est que dans 2 cases.
Exercice 5 – La tombola du lycée (4 points)
- Le billet coûte 4 €, donc on retire 4 à chaque somme reçue : \(30 – 4 = 26\), \(10 – 4 = 6\), \(2 – 4 = -2\) et \(0 – 4 = -4\). Il y a \(20 – 1 – 3 – 6 = 10\) billets perdants. Chaque billet a la même probabilité \(\frac{1}{20}\) d’être tiré, d’où la loi :
Valeur \(g_i\) \(-4\) \(-2\) 6 26 \(P(G = g_i)\) \(\frac{10}{20}\) \(\frac{6}{20}\) \(\frac{3}{20}\) \(\frac{1}{20}\) \(G\) prend donc les valeurs \(-4\), \(-2\), 6 et 26.
- Le joueur gagne de l’argent quand \(G > 0\), c’est-à-dire quand \(G = 6\) ou \(G = 26\).
\(P(G > 0) = \frac{3}{20} + \frac{1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}\). La probabilité cherchée vaut \(\frac{1}{5}\), soit \(0{,}2\). - \(E(G) = -4 \times \frac{10}{20} + (-2) \times \frac{6}{20} + 6 \times \frac{3}{20} + 26 \times \frac{1}{20}\)
\(E(G) = \frac{-40 – 12 + 18 + 26}{20} = \frac{-8}{20} = -0{,}4\).
Donc \(E(G) = -0{,}4\) : en moyenne, un joueur perd 40 centimes par billet. - Ce que perd un joueur en moyenne, la classe le gagne. En effet, sur un grand nombre de billets, la classe encaisse en moyenne \(0{,}4\) € par billet. Pour 200 billets : \(200 \times 0{,}4 = 80\).
On peut aussi le vérifier directement : 200 billets correspondent à 10 fois l’urne, donc la classe encaisse \(200 \times 4 = 800\) € et distribue \(10 \times (30 + 3 \times 10 + 6 \times 2) = 10 \times 72 = 720\) €.
La classe peut ainsi espérer un bénéfice de 80 €.
Piège classique : établir la loi des sommes reçues (30, 10, 2 et 0) au lieu du gain net. On oublie alors de retirer le prix du billet, et l’espérance devient positive à tort.
À retenir de ce contrôle
- Une loi de probabilité associe à chaque valeur possible de X sa probabilité, et la somme de toutes ces probabilités vaut toujours 1.
- Pour calculer P(X ≥ k), on additionne les probabilités de toutes les valeurs de X supérieures ou égales à k.
- L’espérance E(X) est la somme des produits valeur fois probabilité ; elle représente la moyenne des valeurs obtenues sur un très grand nombre d’expériences.
- Dans un jeu, le gain net est la somme gagnée moins la mise : une espérance négative signifie que le joueur perd de l’argent en moyenne.
- Avec deux dés équilibrés, un tableau à double entrée donne les 36 issues équiprobables, qu’il suffit ensuite de compter pour chaque valeur.
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