Probabilités conditionnelles : corrigé du contrôle de maths en première
Voici le corrigé du contrôle de maths en première sur le thème « probabilités conditionnelles », question par question.
Cette correction reprend chaque question avec la rédaction attendue en première. Pour chaque probabilité, elle nomme l’événement, écrit la formule utilisée, puis remplace par les valeurs avant de conclure par une phrase. Les deux arbres pondérés sont dessinés en entier, avec les probabilités des intersections au bout des chemins.
Compare ta copie ligne par ligne, puis compte tes points avec le barème donné après chaque exercice. Lorsque tu as perdu des points, lis aussi le piège classique signalé : il porte souvent sur le choix du dénominateur ou sur la confusion entre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\). Enfin, refais seul les questions d’inversion du conditionnement, car elles reviennent souvent à l’épreuve anticipée.
L’énoncé complet se trouve ici : Probabilités conditionnelles : contrôle de maths en première.
Barème du contrôle corrigé : probabilités conditionnelles
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Vingt boules numérotées | 3 points |
| 2. Vrai ou faux justifié | 3 points |
| 3. Les spectateurs du festival | 4 points |
| 4. Le trajet de Soraya | 5 points |
| 5. Les retards à la médiathèque | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : probabilités conditionnelles
Exercice 1 – Vingt boules numérotées (3 points)
- L’événement \(A \cap B\) regroupe les numéros à la fois multiples de 3 et pairs, donc \(A \cap B = \{6 \,;\, 12 \,;\, 18\}\). Ensuite, \(A \cup B\) contient les 3 boules de \(A\) seul, les 3 boules communes et les 7 boules de \(B\) seul : \(3 + 3 + 7 = 13\). \(A \cup B\) contient 13 boules.
- \(\overline{A}\) est l’événement « le numéro n’est pas un multiple de 3 ». Comme \(A\) contient 6 boules, \(\overline{A}\) en contient \(20 – 6 = 14\), d’où \(P(\overline{A}) = \frac{14}{20}\). \(P(\overline{A}) = 0{,}7\).
- Les boules sont tirées au hasard, donc on est dans une situation d’équiprobabilité :
\(P(A) = \frac{6}{20} = 0{,}3\) ; \(P(B) = \frac{10}{20} = 0{,}5\) ; \(P(A \cap B) = \frac{3}{20} = 0{,}15\).
Ainsi, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = 0{,}3 + 0{,}5 – 0{,}15 = 0{,}65\).
Or le comptage de la question 1 donne \(\frac{13}{20} = 0{,}65\). Les deux calculs concordent : \(P(A \cup B) = 0{,}65\). - On cherche \(P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}15}{0{,}5} = 0{,}3\). On peut aussi raisonner sur les 10 boules paires, dont 3 portent un multiple de 3. \(P_B(A) = 0{,}3\).
Piège classique : additionner 6 et 10 pour la réunion. En effet, les boules 6, 12 et 18 seraient alors comptées deux fois.
Exercice 2 – Vrai ou faux justifié (3 points)
- Par définition, \(P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25\). L’affirmation est vraie.
- Reprenons les valeurs de l’affirmation 1 : \(P_A(B) = \frac{0{,}1}{0{,}5} = 0{,}2\), alors que \(P_B(A) = 0{,}25\). Ces deux nombres sont différents, car on ne divise pas par la même probabilité. L’affirmation est fausse.
- Les événements \(A \cap B\) et \(A \cap \overline{B}\) sont incompatibles et leur réunion est \(A\), donc \(P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) = P(A)\).
En divisant par \(P(A)\), on obtient \(P_A(B) + P_A(\overline{B}) = \frac{P(A)}{P(A)} = 1\). L’affirmation est vraie. - Toujours avec les valeurs de l’affirmation 1, \(P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 – 0{,}1 = 0{,}8\), tandis que \(P(A) + P(B) = 0{,}9\). L’égalité n’est donc vraie que si \(A\) et \(B\) sont incompatibles. L’affirmation est fausse.
Exercice 3 – Les spectateurs du festival (4 points)
- D’abord, les moins de 25 ans sont \(120 + 40 = 160\), donc les 25 ans ou plus sont \(400 – 160 = 240\). Parmi eux, \(240 – 90 = 150\) sont venus en voiture. Enfin, la colonne train totalise \(120 + 90 = 210\) et la colonne voiture \(40 + 150 = 190\).
Venus en train Venus en voiture Total Moins de 25 ans 120 40 160 25 ans ou plus 90 150 240 Total 210 190 400 On vérifie : \(210 + 190 = 400\).
- Le spectateur est choisi au hasard, donc \(P(J) = \frac{160}{400} = 0{,}4\) et \(P(J \cap T) = \frac{120}{400} = 0{,}3\). \(P(J) = 0{,}4\) et \(P(J \cap T) = 0{,}3\).
- On cherche \(P_J(T)\). Parmi les 160 spectateurs de moins de 25 ans, 120 sont venus en train, donc \(P_J(T) = \frac{120}{160} = 0{,}75\). On retrouve aussi \(\frac{P(J \cap T)}{P(J)} = \frac{0{,}3}{0{,}4} = 0{,}75\). La probabilité cherchée vaut 0,75.
- Cette fois, la référence est l’ensemble des 210 spectateurs venus en train : \(P_T(J) = \frac{120}{210} = \frac{4}{7} \approx 0{,}571\).
Les deux résultats diffèrent, car le numérateur est le même (les 120 jeunes venus en train) mais le dénominateur change : 160 jeunes d’une part, 210 voyageurs en train d’autre part. \(P_T(J) \approx 0{,}571\), ce qui diffère de \(P_J(T) = 0{,}75\).
Piège classique : diviser 120 par 400 à la question 3. Ce calcul donne \(P(J \cap T)\), et non la probabilité sachant \(J\).
Exercice 4 – Le trajet de Soraya (5 points)
- Les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à 1, donc \(P(\overline{V}) = 1 – 0{,}7 = 0{,}3\), puis \(P_V(\overline{A}) = 1 – 0{,}9 = 0{,}1\) et \(P_{\overline{V}}(\overline{A}) = 1 – 0{,}6 = 0{,}4\).
Les probabilités manquantes sont 0,3 ; 0,1 et 0,4.
- On suit le chemin \(V\) puis \(A\) : \(P(V \cap A) = P(V) \times P_V(A) = 0{,}7 \times 0{,}9 = 0{,}63\). La probabilité que Soraya vienne à vélo et arrive en avance est 0,63.
- Les événements \(V\) et \(\overline{V}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
\(P(A) = P(V \cap A) + P(\overline{V} \cap A)\)
\(P(A) = 0{,}63 + 0{,}3 \times 0{,}6\)
\(P(A) = 0{,}63 + 0{,}18 = 0{,}81\). On a bien \(P(A) = 0{,}81\). - On cherche \(P_A(V) = \frac{P(V \cap A)}{P(A)} = \frac{0{,}63}{0{,}81} = \frac{63}{81} = \frac{7}{9}\). \(P_A(V) = \frac{7}{9} \approx 0{,}778\).
- D’abord, \(P(\overline{A}) = 1 – 0{,}81 = 0{,}19\) et \(P(\overline{V} \cap \overline{A}) = 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12\). Ensuite, \(P_{\overline{A}}(\overline{V}) = \frac{0{,}12}{0{,}19} = \frac{12}{19} \approx 0{,}632\). La probabilité qu’elle ait pris le bus vaut environ 0,632.
Piège classique : répondre 0,7 à la question 4. Or savoir que Soraya est en avance modifie la probabilité : on divise par \(P(A)\).
Exercice 5 – Les retards à la médiathèque (5 points)
- L’énoncé donne \(P(B) = 0{,}35\), donc \(P(\overline{B}) = 0{,}65\) ; puis \(P_B(R) = 0{,}6\), donc \(P_B(\overline{R}) = 0{,}4\) ; enfin \(P(R) = 0{,}3\). Sur l’arbre, les branches issues de \(\overline{B}\) portent \(x\) et \(1 – x\). La figure ci-dessous montre aussi la valeur de \(x\) trouvée à la question 3.
- \(P(B \cap R) = P(B) \times P_B(R) = 0{,}35 \times 0{,}6 = 0{,}21\). \(P(B \cap R) = 0{,}21\).
- Comme \(B\) et \(\overline{B}\) forment une partition, la formule des probabilités totales donne :
\(P(R) = P(B \cap R) + P(\overline{B} \cap R)\)
\(0{,}3 = 0{,}21 + 0{,}65x\)
Ainsi, \(0{,}65x = 0{,}3 – 0{,}21 = 0{,}09\), donc \(x = \frac{0{,}09}{0{,}65} = \frac{9}{65}\). \(x = \frac{9}{65} \approx 0{,}138\). - \(P_R(B) = \frac{P(B \cap R)}{P(R)} = \frac{0{,}21}{0{,}3} = 0{,}7\). Ainsi, 70 % des emprunts rendus en retard sont des bandes dessinées.
- Pour les bandes dessinées, \(P_B(R) = 0{,}6\) et \(0{,}6 > 0{,}25\). Pour les autres documents, en revanche, \(P_{\overline{B}}(R) \approx 0{,}138\) et \(0{,}138 < 0{,}25\). Il faut donc envoyer un rappel pour les bandes dessinées, mais pas pour les autres documents.
Piège classique : écrire \(P(R) = 0{,}3\) sur une branche de l’arbre. Cette probabilité n’est portée par aucune branche : elle s’obtient en additionnant deux chemins.
À retenir de ce contrôle
- Pour deux événements A et B avec P(A) non nulle, la probabilité de B sachant A vaut P(A ∩ B) divisé par P(A).
- Dans un tableau croisé, une probabilité sachant A se calcule en divisant par l’effectif total de A, et non par l’effectif total.
- Sur un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités écrites sur ses branches.
- Si A et son contraire partagent l’univers, alors P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) : c’est la formule des probabilités totales.
- En général P_A(B) et P_B(A) sont différentes : pour inverser, on calcule P(A ∩ B) puis on divise par P(B).
Revenir à l’énoncé du contrôle
Consolider probabilités conditionnelles après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon probabilités conditionnelles et indépendance.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en première.
Autres corrigés sur le même thème
Télécharger ou imprimer cette fiche «probabilités conditionnelles : corrigé du contrôle de maths en première» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
Ressources de maths en Première
Cours
Tout voir
Exercices corrigés
Tout voir
Contrôles
Tout voir
QCM
Tout voir
